Články

2: Systémy rovníc a matíc - matematika


2: Systémy rovníc a matíc - matematika

Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby), porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


Systémy lineárnych rovníc

Stiahnite si video z iTunes U alebo z internetového archívu.

JOEL LEWIS: Ahoj. Vitajte späť pri recitácii. Naučili ste sa na prednáške o maticiach a ich rôznych aplikáciách a jednou z nich je riešenie systémov lineárnych rovníc. Takže tu pre vás mám systém troch lineárnych rovníc. 2x plus c * z sa rovná 4, x mínus y plus 2z sa rovná pi a x mínus 2y plus 2z sa rovná mínus 12. Takže to, čo by som chcel, je urobiť nasledovne.

Nájdite hodnotu c-- alebo všetky hodnoty c--, pre ktorú je v prvom rade jedinečné riešenie tohto systému. Po druhé, pre ktoré má zodpovedajúci homogénny systém jedinečné riešenie. Pamätajte teda, že zodpovedajúcim homogénnym systémom je systém, v ktorom práve nahradíte tieto konštanty vpravo číslom 0. Je to teda veľmi podobný systém. Ľavá strana je rovnaká, ale pravá strana je nahradená číslom 0. Takže chcete nájsť hodnotu c, pre ktorú má tento systém jedinečné riešenie, hodnotu c, pre ktorú má zodpovedajúci homogénny systém jedinečné riešenie a tiež hodnoty c, pre ktoré má zodpovedajúci homogénny systém nekonečne veľa riešení.

Upozorňujeme, že nežiadam vás, aby ste vyriešili tento systém rovníc, aj keď môžete, ak chcete, môžete tak urobiť. Aj keď samozrejme to, či môžete alebo nie, môže závisieť od hodnoty c. Prečo teda video nepozastavíte, nevydržte chvíľu pri riešení týchto troch otázok, vráťte sa a my to môžeme spoločne vyriešiť.

Dúfajme teda, že máte šťastie na vyriešenie týchto problémov. Poďme spolu začať pracovať na nich. Takže vlastne idem naraz na časti aab spolu.

A dôvod, prečo to urobím, je ten, že jednu vec, ktorú ste sa naučili, je, že systém má jedinečné riešenie, na pravú stranu ... prepáčte, systém má jedinečné riešenie, ako je toto, štvorcová sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie, len ak má jedinečné riešenie bez ohľadu na to, čo je na pravej strane. Konkrétne teda odpoveď na a a na b sú úplne rovnaké.

Takže hodnoty c, pre ktoré má tento systém jedinečné riešenie, sú úplne rovnaké ako hodnoty c, pre ktoré má homogénny systém jedinečné riešenie. Teraz budú samozrejme riešenia odlišné. Ale hodnota c - alebo hodnoty c -, ktoré ju robia jedinečne riešiteľnou, ju robia jedinečne riešiteľnou pre všetky pravé strany.

A tak ktoré hodnoty c sú to? To sú hodnoty c, pre ktoré je matica koeficientu na ľavej strane invertovateľná. Takže ak je matica koeficientov na ľavej strane invertovateľná, môžeme vyriešiť tento systém a dostaneme jedinečné riešenie. Ak to nie je invertovateľné, potom buď nemôžeme vyriešiť tento systém - neexistujú žiadne riešenia - alebo môžeme vyriešiť tento systém, ale riešení je nekonečne veľa.

Takže v oboch otázkach a a b sa pýtame na hodnotu c, pre ktorú je matica koeficientov na ľavej strane invertovateľná, a to bude, keď budeme mať jedinečné riešenie. Ako teda vieme, keď je matica invertovateľná? No poďme si najskôr zapísať, čo je to tá matica.

Takže táto matica M, ktorú sledujeme, sa rovná matici 2, 0, c 1, mínus 1, 2 1, mínus 2, 2. Takže toto je matica koeficientu M tohto systému, a chceme vedieť, pre ktorú hodnoty c je to invertovateľné.

Kedy je matica invertovateľná? Matica je invertovateľná - štvorcová matica je invertovateľná - presne vtedy, keď má nenulový determinant. Musíme sa teda pozrieť na determinant tejto matice. Takže ste sa naučili, ako vypočítať determinanty matíc, myslím si.

Poďme teda, v tomto prípade máme det M. Ide teda o súčet alebo rozdiel šiestich rôznych výrazov a mohli by ste ho získať napríklad rozšírením Laplaceovej, ak by ste chceli. Takže len napíšem, čo je tých šesť pojmov. Takže je to 2 krát mínus 1 krát 2, plus 0 krát 2 krát 1, plus c krát 1 krát mínus 2, mínus c krát mínus 1 krát 1, mínus 2 krát mínus 2 krát 2, mínus 0 krát 1 krát 2. Takže toto je determinant tejto matice.

Získate ho buď iba zapamätaním si, ktoré výrazy sú ktoré a ktoré dostanú znamienko plus a ktoré mínus, alebo vykonaním Laplaceovej expanzie alebo akýmikoľvek inými trikmi, ktoré by ste mohli vedieť. Takže teraz musíme vedieť, či je alebo nie je tento determinant 0. Takže poďme zistiť, čo to je.

Takže toto je ... dovoľte mi začať to zjednodušovať. Takže toto je mínus 4 plus 0 mínus 2c - to je mínus mínus c, takže plus c - to je mínus mínus 8, takže plus 8, čo sa rovná 4 mínus c. Takže determinant - správne, dva z týchto výrazov sú 0, a tak ich musím vynechať. Takže determinant tejto matice je 4 mínus c. A nás zaujíma, keď je tento determinant nenulový.

Takže najmä pre c nie je rovné 0 - prepáčte, pre c nie je rovné 4 - keď c nie je 4, determinant M nie je 0. Takže keď c nie je 4, determinant M nie je 0, takže oba systémy - pôvodný aj zodpovedajúci homogénny systém - majú jedinečné riešenie. Takže keď c nie je 4--, tak pre väčšinu hodnôt c-- determinant nie je 0 a systém má jedinečné riešenie.

Takže keď c sa rovná 4, čo sa stane? Keď je c rovné 4, sme v dolnej časti. Sme v prípade, keď má homogénny systém nekonečne veľa riešení. Ok? Takže to sem napíšem.

Keď c sa bude rovnať 4-- Znovu skrátim-- homogénny systém má-- Použijem tento symbol-- tento druh bokom osem symbolov znamená nekonečno, takže ho budem používať donekonečna veľa riešení. Takže keď c je 4, homogénny systém má nekonečne veľa riešení. A možno by ste boli zvedaví ... no, dovoľte mi k tomu povedať ešte jednu vec. Vieme, že keď matica koeficientov nie je invertovateľná, že systém má buď nulové, alebo nekonečne veľa riešení. Homogénny systém má ale vždy riešenie. Vždy má riešenie, keď je všetko všetko 0. Je to tak? Takže preto vieme, že je ich tu nekonečne veľa.

A môžete sa opýtať jednej veci, že môžete nájsť nejaké ďalšie? Nájdete nejaké riešenie, ktoré nie je iba [0, 0, 0]? A odpoveď je áno. Takže toto teraz ide ďalej, keď som vás o to požiadal, ale myslím si, že je to zaujímavé vidieť. Takže ak ste chceli nájsť iné riešenie, čo viete? Vráťme sa teda k rovniciam, ktoré sme mali.

Takže keď máme do činenia s homogénnym systémom, pravá strana je 0. Takže len preškrtnem tieto pravé strany a nahradím ich 0, aby sme sa nenechali zmiasť. Takže toto je 0, 0 a 0. Takže máme do činenia s týmto systémom: 2x plus c * z sa rovná 0, x mínus y plus 2z sa rovná 0 a x mínus 2y plus 2z sa rovná 0.

Dobre, takže ak hľadáte riešenie [x, y, z] tohto systému, čo viete? Z druhej rovnice viete, že vektor [x, y, z] je kolmý na vektor 1, mínus 1, 2. Ako to viete? Pretože táto ľavá strana, x mínus y plus 2z, sa rovná [x, y, z] bodka 1, mínus 1, 2.

A podobne z tretej rovnice viete, že vektor [x, y, z] je kolmý na vektor 1, mínus 2, 2, pretože táto ľavá strana sa rovná [x, y, z] bodka 1, mínus 2, 2. Áno? A to sa rovná 0. Takže z druhej a tretej rovnice viete, že hľadáte vektor, ktorý je kolmý na obidve x - alebo prepáčte - obe 1, mínus 1, 2 a 1, mínus 2, 2 .

Ako získate vektor kolmý na dva známe vektory? Stačí si vziať ich krížový produkt. Vráťme sa teda sem. Takže aby ste našli jeden, vezmete krížový súčin dvoch radov matice koeficientov. Napríklad v tomto prípade môžeme vziať tieto riadky, 1, mínus 1, 2 a 1, mínus 2, 2. Takže napríklad vektor 1, mínus 1, 2 - OK - prekrížime vektor 1 , mínus 2, 2.

Teraz mi nejako došlo miesto na palube, takže nebudem presne zisťovať, čo je tento vektor pre vás. Ale ak chcete, určite to môžete skontrolovať. Tento krížový produkt môžete vypočítať pomocou nášho pekného vzorca pre krížový produkt. Dá vám nejaký vektor a potom môžete skontrolovať, či je tento vektor skutočne riešením homogénneho systému. To nám dá druhé riešenie homogénneho systému. Hovoríme netriviálne, pretože to nie je iba riešenie 0.

Aby sme to rýchlo zhrnuli, mali sme systém lineárnych rovníc. Teraz som prečiarkol, čo bola pôvodná pravá strana. Mali sme systém lineárnych rovníc a hľadali sme voľbu c, pre ktorú mal tento systém jedinečné riešenie a pre ktorú zodpovedajúci homogénny systém mal jedinečné riešenie. A hodnoty c, ktoré robia túto prácu, sú presne také hodnoty c, že ​​matica koeficientu má nenulový determinant. Takže to platí pre obe časti a aj b.

A pre časť c, keď sme hľadali, aké hodnoty c dávajú homogénnemu systému nekonečne veľa riešení, odpoveďou je akákoľvek iná hodnota c. Akákoľvek hodnota c, pre ktorú má matica koeficientu 0 determinant, vám dá v homogénnom prípade nekonečne veľa riešení a v nehomogénnych prípadoch vám dá buď 0 riešení, alebo nekonečne veľa riešení.

A potom sme tiež na konci stručne diskutovali o jednom spôsobe hľadania netriviálnych riešení v homogénnom prípade, keď existuje nekonečne veľa riešení. Takže tým skončím.


Systémy lineárnych rovníc a matíc

Zrieknutie sa zodpovednosti: Pojmy, ktoré je potrebné poznať na hárku, nemusia byť nevyhnutne úplné, ale mali by byť vodítkom
hlavné pojmy, ktoré treba poznať, a druhy problémov, ktoré je možné vyriešiť pri štúdiu na skúšku.

Oddiel 2.1: Systémy lineárnych rovníc
& # 8226 Vedie riešiť sústavy lineárnych rovníc (2 rovnice a 2 premenné)
algebraicky pomocou metódy eliminácie a substitúcie.
& # 8226 Dokáže graficky vyriešiť systém lineárnych rovníc (nezabudnite, že musíte)
zapíšte si rovnice, ktoré ste zapojili do kalkulačky, nakreslite graf a
označiť riešenie)
& # 8226 Pochopte rôzne typy riešení pre systém 2 rovníc a 2
premenné, ktoré je možné získať algebraicky (jedno riešenie, žiadne riešenie, nekonečne veľa
veľa riešení) a ako to súvisí s grafickým riešením (čiary zachytené v
jeden bod, čiary sú rovnobežné alebo dvakrát rovnaká čiara)
& # 8226 Vedzte, čo to znamená, keď sa hovorí, že systém lineárnych rovníc je konzistentný,
nekonzistentné, nezávislé alebo závislé.

Oddiel 2.2: Používanie matíc na riešenie sústav lineárnych rovníc.
& # 8226 Pochopte, čo je to matica, a buďte schopní určiť rozmer (t. J. Veľkosť) a
matrica
& # 8226 Vedieť napísať systém lineárnych rovníc ako rozšírenú maticu
& # 8226 Pochopte, čo to znamená, keď je matica v RREF (Reduced Row Echelon
Formulár) a byť schopný určiť, či je matica v RREF alebo nie.
& # 8226 Vedieť vyriešiť sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminácie. Vy
musí byť schopný vyriešiť systém algebraicky zobrazujúci všetky riadkové operácie a
získať maticu v RREF na získanie riešenia.
& # 8226 Pochopte, ako interpretovať maticu v RREF na určenie riešenia súboru
systém (pamätajte, že systém môže mať jedno riešenie, žiadne riešenie alebo nekonečne veľa
mnoho riešení). Ak máte pre systém nekonečné množstvo riešení, buďte
schopný poskytnúť riešenia v zmysle jednej z premenných a vymenovať niektoré riešenia
do systému.

Oddiel 2.3: Aplikácie zahŕňajúce systémy lineárnych rovníc
& # 8226 Použite kalkulačku na získanie rozšírenej matice v RREF.
& # 8226 Vzhľadom na problém s aplikáciou, byť schopný zostaviť systém lineárnych rovníc a
vyriešiť systém, aby ste dostali riešenie. Nezabudnite identifikovať svoje premenné
úplne (tj. nechajte x = počet lístkov v oblasti vyššej úrovne atď.) a použite jednotky
za odpovede.

Oddiel 3.1: Sčítanie matíc a skalárne násobenie
& # 8226 Vedieť sčítať a odčítať matice (a vedieť, kedy sa sčítanie matice alebo
odčítanie nie je definované)
& # 8226 Byť schopný vykonávať skalárne násobenie na matici

Oddiel 3.2: Násobenie matíc a inverzie
& # 8226 Byť schopný vykonávať násobenie matíc (a vedieť, kedy je násobenie matíc
nedefinované).
& # 8226 Pochopte, čo je to Matica identity.
& # 8226 Pochopte, čo je to inverzná matica, a ak máte dve matice, buďte schopní jednu zobraziť
matica je inverzná matica druhého.
& # 8226 Pre maticu 2x2 musíte byť schopní vyhľadať inverznú maticu pomocou vzorca. Poznámka: Na a
kvíz alebo skúška nebudete požiadaní, aby ste našli inverznú maticu matice 2x2
pomocou vzorca z tejto časti. Možno však budete chcieť poznať vzorec
ako ďalšia metóda na vyhľadanie inverznej matice matice 2x2, ak sa tak rozhodnete.
& # 8226 Pochopte, aké druhy matíc majú inverznú maticu.
& # 8226 Pochopte, čo pre maticu znamená singulár a invertibilita.

Oddiel 3.3: Riešenie maticových rovníc (použitie inverznej matice na riešenie systémov z
Lineárne rovnice)

& # 8226 Byť schopný nájsť inverznú maticu algebraicky (alebo určiť algebraicky, ak
inverzná matica neexistuje) ľubovoľnej matice štvorcovej veľkosti pomocou operácií s riadkami
(tj. Nastaviť rozšírenú maticu a používať operácie riadkov na získanie matice v RREF)
& # 8226 Vedieť pomocou grafickej kalkulačky nájsť inverznú maticu (alebo určiť, či
inverzná matica neexistuje). Dajte inverznú maticu pomocou presných hodnôt a nie
aproximácie (prevod opakujúcich sa desatinných miest na zlomky)
& # 8226 Vedieť napísať systém lineárnych rovníc (rovníc s rovnakým počtom)
rovnice ako premenné) ako súčin matíc a zapisujeme ako maticová rovnica
AX = B. Pomocou matice & # 8220A & # 8221 byť schopný vyriešiť sústavu rovníc pomocou inverznej metódy
matice A, (t.j. A & # 87221) a riešte sústavu rovníc pomocou inverznej matice
a násobenie matíc.
& # 8226 Pochopte obmedzenia použitia inverznej matice na riešenie lineárnych systémov
rovnice (funguje iba na systémoch, ktoré sú nezávislé (tj. majú jedinečné
Riešenie). Budete musieť použiť iné algebraické metódy na zistenie, či
systém je závislý (nekonečne veľa riešení) alebo nekonzistentný (žiadne riešenia)

Online sekcia: Pravidlo Cramer & # 8217s:
& # 8226 Vedieť vypočítať determinant matice 2x2
& # 8226 Byť schopný použiť pravidlo Cramer & # 8217s na riešenie systému 2 rovníc a 2 premenných.
& # 8226 Pochopte obmedzenia používania pravidla Cramer & # 8217s (získajte determinant nuly v
menovateľ) vyriešiť sústavu lineárnych rovníc (riešiť môžu iba sústavy, ktoré
sú nezávislé - teda majú jedinečné riešenie. Je potrebné použiť iné algebraické metódy
zistiť, či je systém závislý (nekonečne veľa riešení) alebo nekonzistentný
(žiadne riešenia).

Oddiel 4.1: Grafické znázornenie lineárnych nerovností
& # 8226 Vzhľadom na lineárnu nerovnosť alebo na systém lineárnych nerovností vedieť vykresliť graf
oblasť riešenia (uistite sa, že nájdete zachytenie x a y (tj. vodorovné a
vertikálne zachytáva algebraicky)
& # 8226 Byť schopný určiť všetky rohové body oblasti riešenia (byť schopný
algebraicky nájsť rohové body, ktoré nie sú zachytené)

Časť 4.2: Grafické riešenie problémov s lineárnym programovaním.
& # 8226 Vzhľadom na problém lineárneho programovania, byť schopný nájsť optimálne riešenie a
optimálna hodnota. Budete musieť byť schopní vytvoriť graf obmedzení a určiť ich
uskutočniteľný región, nájdite všetky rohové body smerujúce k uskutočniteľnému regiónu a použite
objektívna funkcia na nájdenie optimálneho riešenia (t. j. maximum alebo minimum
hodnota). Pochopte prípady, keď optimálne riešenie nemusí existovať (Ak je to možné
bez obmedzenia). Budete musieť byť schopní nájsť zachytenie x a y
(vodorovné a zvislé zachytenie) algebraicky a nájdite rohové body, ktoré sú
nezachytáva algebraicky.
& # 8226 Vzhľadom na problém s aplikáciou byť schopný identifikovať premenné a prísť s nimi
cieľovú funkciu a všetky obmedzenia a vyriešiť lineárne programovanie
problém.

Súhrn metód riešenia sústavy lineárnych rovníc:
Vzhľadom na akýkoľvek systém 2 rovníc a 2 premenných by ste mali byť schopní vyriešiť pomocou
metódami:
& # 8226 Graficky
& # 8226 Metóda eliminácie
& # 8226 Substitučná metóda
& # 8226 Eliminácia Gaussian (algebraicky a pomocou kalkulačky & funkcia rref # 8211)
& # 8226 Metóda inverznej matice (byť schopní nájsť inverznú maticu algebraicky a pomocou
kalkulačka)
& # 8226 Cramer & # 8217s Rule

Vzhľadom na akýkoľvek systém 3 rovníc a 3 premenných by ste mali byť schopní vyriešiť pomocou
metódami:
& # 8226 Eliminácia Gaussian (algebraicky a pomocou kalkulačky & funkcia rref # 8211)
& # 8226 Metóda inverznej matice (byť schopní nájsť inverznú maticu algebraicky a pomocou
kalkulačka


Riešenie lineárnych systémov

Teraz sme už videli, ako je možné systém lineárnych rovníc transformovať do maticovej rovnice, čo uľahčuje jeho riešenie.

možno napísať nasledujúcim spôsobom:

Teraz je možné túto rovnicu ľahko vyriešiť ručne zväčšením matice o vektor vpravo a použitím operácií s riadkami. Ak by však náš systém nemal pekné celočíselné zápisy, mohlo by byť jeho riešenie ručne pomocou redukcie riadkov veľmi ťažké. MATLAB nám poskytuje ľahší spôsob, ako získať odpoveď.

Systém tohto typu má formu Sekera = b, takže môžeme tieto čísla zadávať do MATLABu pomocou nasledujúcich príkazov:

Všimnite si, že pre vektor stĺpca b , za každú položku začleníme bodkočiarky, aby sme sa uistili, že sú v rôznych riadkoch. Keby sme namiesto toho napísali

dostali by sme riadkový vektor, čo nie je to isté. Teraz, keď sme definovali A a b, príkaz

nájde riešenie našej rovnice Sekera = b ak existuje. V takom prípade nám to hovorí MATLAB

Pri zadávaní príkazu A b buďte opatrní. Má spätné lomítko (), nie lomka (/).

Zvážte sústavu rovníc

Preveďte tento systém rovníc na maticovú rovnicu tvaru Cx = d . Vyriešte to ručne a zaznamenajte svoje riešenie do dokumentu.

Zadajte maticu C. a stĺpcový vektor d do MATLABu a použite príkaz

Očakávali by sme, že dostaneme vektor stĺpca d v MATLABe, keby sme spustili príkaz C * x, nie? Inými slovami, C * x-d by mala byť nula. Zadajte tento výraz do MATLABu:

Rozpor v poslednej časti vyššie uvedeného cvičenia je jednoducho spôsobený chybou zaokrúhľovania. Všimnete si, že chybou je vektor vynásobený veľmi malým počtom, jeden rádovo 10 - 15. Prečo však vôbec existuje chyba? Nakoniec, riešenie pomocou redukcie riadkov dalo veľmi pekné čísla, nie? Odpoveď je v spôsobe, akým MATLAB ukladá čísla. Pri tomto výpočte MATLAB predstavuje čísla v „podobe s pohyblivou rádovou čiarkou“, čo znamená, že ich predstavuje vo vedeckom zápise s presnosťou približne 10 –14. Keď teda počas tohto kurzu uvidíte vo výpočtoch 10 - 14, zvyčajne to zodpovedá nule.

Používanie príkazu x = C d má, bohužiaľ, nevýhody. Poďme ich teraz preskúmať.

Zvážte sústavu rovníc

Rovnako ako v predchádzajúcom cvičení zadajte príslušnú maticu C. a stĺpcový vektor d do MATLABU. Potom zadajte

Všimnite si zvláštny výstup. Zahrňte to do svojho zápisu. Teraz pokračujte a vyriešte tento systém ručne. Koľko voľných premenných máte vo svojom riešení? Na základe vašej odpovede môžete vysvetliť, prečo ste dostali chybové hlásenie pri pokuse o použitie príkazu x = C d?

Ak sa chcete vysporiadať s prípadmi nekonzistentných systémov alebo so systémami s nekonečne veľa riešeniami, môže byť niekedy lepšie jednoducho použiť program MATLAB na zmenšenie riadkov matice a potom načítať riešenia sami. Našťastie má MATLAB príkaz, ktorý za vás vykoná Gaussovu elimináciu.

Zvážte nasledujúci homogénny systém rovníc:

Zadajte zodpovedajúcu maticu C. a stĺpcový vektor d do MATLABU. Teraz chceme vykonať redukciu riadkov na rozšírenej matici [C. | d]. Príkaz, ktorý vykonáva redukciu riadkov v MATLABe, je rref (názov znamená „redukovaná forma sledu riadkov“). Zadajte

Pripomeňme z triedy, že na zistenie x môžeme použiť tento formulár so zníženým počtom riadkov1 = 3,5x3 a to x2 = -12x3 . Tu, x3 je voľná premenná a my si pre ňu môžeme zvoliť akúkoľvek hodnotu, ktorú chceme, ďalšie dve premenné sú pevné. Napríklad, ak vyberieme x3 = 2, potom x1 = 7 a x2 = -24. Existuje nekonečne veľa riešení, pretože existuje nekonečne veľa možností pre hodnotu x3 , ale všetci sa riadia týmto vzorom.

Zvážte homogénny systém rovníc

Pomocou príkazu rref si zapíšte všeobecné riešenie tohto systému rovníc. Koľko voľných premenných je potrebných?

Teraz, keď sme videli základné nástroje MATLABu na riešenie lineárnych systémov, obráťme sa na niektoré aplikácie.


Pododdiel 2.3.1 Maticová rovnica

V tejto časti uvádzame veľmi výstižný spôsob písania systému lineárnych rovníc:

sú vektory (spravidla rôznych veľkostí), takže najskôr si musíme vysvetliť, ako vynásobiť maticu vektorom.

Poznámka

V tejto knihe to robíme nie rezervuj si listy

pre počty riadkov a stĺpcov matice. Ak napíšeme „

Definícia

je lineárna kombinácia

Príklad

aby malo zmysel, počet záznamov z

musí byť rovnaký ako počet stĺpcov v

používame záznamy z

ako koeficienty stĺpcov

v lineárnej kombinácii. Výsledný vektor má rovnaký počet záznamov ako počet riadkov z

má tento počet záznamov.

Vlastnosti produktu Matrix-Vector
Definícia

A maticová rovnica je rovnica tvaru

je vektor, ktorého koeficienty

V tejto knihe budeme študovať dve doplňujúce sa otázky týkajúce sa maticovej rovnice

    Vzhľadom na konkrétny výber

aké sú všetky riešenia

Prvá otázka sa skôr podobá otázkam, na ktoré by ste si mohli zvyknúť zo svojich predchádzajúcich kurzov algebry, kde máte veľa skúseností s riešením rovníc ako

Druhá otázka je pre vás možno novým konceptom. Teória o hodnosti v časti 2.9, ktorá je zavŕšením tejto kapitoly, nám hovorí, že obe otázky spolu úzko súvisia.

Maticové rovnice a vektorové rovnice

Zvážte vektorovú rovnicu

Toto je ekvivalent maticovej rovnice

je ekvivalentný s vektorovou rovnicou

Príklad
Štyri spôsoby písania lineárneho systému

Teraz máme štyri ekvivalentné spôsoby písania (a uvažovania) o systéme lineárnych rovníc:

Najmä všetky štyri majú nastavené rovnaké riešenie.

Po zvyšok knihy sa budeme voľne pohybovať medzi štyrmi spôsobmi písania lineárneho systému.

Iný spôsob výpočtu

Vyššie uvedená definícia je užitočným spôsobom definovania súčinu matice s vektorom, pokiaľ ide o porozumenie vzťahu medzi maticovými rovnicami a vektorovými rovnicami. Tu uvádzame definíciu, ktorá je lepšie prispôsobená výpočtom ručne.

Definícia

A riadkový vektor je matica s jedným riadkom. The výrobok riadkového vektora dĺžky


Systém dvoch lineárnych rovníc v maticovej podobe

V tomto návode prevedieme rovnice priamych čiar do maticového tvaru. Najskôr si rozoberieme jednu lineárnu rovnicu v maticovej podobe.

Jedna lineárna rovnica:
Uvažujme, že rovnica priamky je uvedená ako:
[ax + by + c = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> left (< text> vpravo) ]

Rovnica (i) je lineárna rovnica a dve premenné, $ x $ a $ y y $, je možné zapísať do matice takto:

Rovnica (i) sa stáva
[začať Rightarrow ax + by = & # 8211 c Rightarrow left [ right] = left [<& # 8211 c> right] end ]

Môže sa ďalej písať ako
[začať Rightarrow left [< begin<*<20>> a & ampb koniec> vpravo] vľavo [< začať<*<20>> x y koniec> right] = left [<& # 8211 c> right] AX = C end ] Kde $ A = doľava [< začať<*<20>> a & ampb koniec> right] $ je matica koeficientu, $ X = left [< begin<*<20>> x y koniec> right] $ je premenná matica a $ C = left [<& # 8211 c> right] $ je konštantná matica.

Teraz budeme diskutovať o systéme dvoch rovníc v maticovej podobe.

Systém dvoch lineárnych rovníc
Uvažujme, že sústava dvoch rovníc priamok je uvedená ako:
[začať x + y + = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> doľava (< text> vpravo) x + y + = 0 , , , , < text <& # 8211 & # 8211 & # 8211 >> doľava (<< text>> right) end ]

Rovnice (i) a (ii) sú lineárne rovnice a dve premenné, $ x $ a $ y $, je možné zapísať do matice takto:


Systém rovníc a matíc

Dobre, takže potrebujem pomoc. Mám tieto slovné úlohy, ktoré musím urobiť pre domáce úlohy, napríklad takto:

Arkáda Arcadium v ​​Lynchburgu v Tennessee používa pre svoje hracie automaty 3 rôzne farebné žetóny. Za 20 $ si môžete kúpiť ktorúkoľvek z nasledujúcich zmesí žetónov: 14 zlatých, 20 strieborných a 24 bronzových ALEBO, 20 zlatých, 15 strieborných a 19 bronzových ALEBO, 30 zlatých, 5 strieborných a 13 bronzových.

Tieto problémy mi hovoria, aby som napísal systém rovníc (a urobil som to!), Čo je:

14x + 20y + 24z = 20
20x + 15r + 19z = 20
30x + 5r + 13z + 20

x predstavuje hodnotu zlata
y predstavuje hodnotu striebra
z predstavuje hodnotu bronzu

Potom som musel reprezentovať systém ako maticu, ktorá je:

14 20 24 x 20
20 15 19 y 20
30 5 13 z 20

Chcem len vedieť, ako zistím peňažnú hodnotu každého tokenu? Mohol by mi niekto vysvetliť, ako to robím?

Subhotosh Khan

Super moderátor

Dobre, takže potrebujem pomoc. Mám tieto slovné úlohy, ktoré musím urobiť pre domáce úlohy, napríklad takto:

Arkáda Arcadium v ​​Lynchburgu v Tennessee používa pre svoje hracie automaty 3 rôzne farebné žetóny. Za 20 $ si môžete kúpiť ktorúkoľvek z nasledujúcich zmesí žetónov: 14 zlatých, 20 strieborných a 24 bronzových ALEBO, 20 zlatých, 15 strieborných a 19 bronzových ALEBO, 30 zlatých, 5 strieborných a 13 bronzových.

Tieto problémy mi hovoria, aby som napísal systém rovníc (a urobil som to!), Čo je:

14x + 20y + 24z = 20
20x + 15r + 19z = 20
30x + 5r + 13z + 20

x predstavuje hodnotu zlata
y predstavuje hodnotu striebra
z predstavuje hodnotu bronzu

Potom som musel reprezentovať systém ako maticu, ktorá je:

14 20 24 x 20
20 15 19 y 20
30 5 13 z 20

Chcem len vedieť, ako zistím peňažnú hodnotu každého tokenu? Mohol by mi niekto vysvetliť, ako to robím?

Pre krátku kontrolu - choďte na:

HallsofIvy

Člen elity

Prečo napisal si to ako matricu? To je úplne dobrá metóda, ale skutočnosť, že spomínate & quotmatrices & quot, ma núti myslieť si, že o nich musíte niečo vedieť!

Máte ( Displaystyle začiatok14 & amp; 20 & amp; 24 20 & amp; 15 & amp; 19 30 & amp; 5 & amp; 13 endzačaťx y z end= začať20 20 20 koniec)
Keď to tak napíšeme, je zrejmé, že musíte nájsť inverzný maticu koeficientovej matice, potom tým obe strany vynásobte. To znamená, že vyriešite Ax = b vynásobením oboch strán. ( Displaystyle A ^ <-1> ): ( Displaystyle A ^ <-1> Ax = x = A ^ <-1> x ),

Ďalším spôsobom riešenia sústavy rovníc je napísanie & quotaugmented matrix & quot:
( Displaystyle začať14 & amp; 20 & amp; 24 & amp; 20 20 & amp; 15 & amp; 19 & amp; 20 30 & amp; 5 & amp; 13 & amp; 20 end)
a & quot; zmenšiť & quot; takže prvé tri stĺpce sú ( displaystyle begin 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 end) a posledný stĺpec bude dávať x, yaz.

Ale priznám sa, že ja osobne by som & quotmatrices & quot vôbec nepoužíval. Z rovnice ( Displaystyle 14x + 20y + 24z = 20 ) môžeme rozdeliť 2, aby sme dostali ( Displaystyle 7x + 10y + 12z = 10 ). Druhá rovnica je ( Displaystyle 20x + 15y + 19z = 20 ). Ak túto rovnicu vynásobíme číslom 2, prvou rovnicou o 3 a druhou odčítame od prvej, dostaneme ( Displaystyle (40x + 30y + 38z) - (21x + 30y + 36z) = 60-20 ) alebo ( štýl zobrazenia 19x + 2z = 40 ), čím sa vylúči y. Odčítať ( Displaystyle 7x + 10y + 12x = 10 ), povedzme, dvojnásobok tretej rovnice, ( displaystyle 60x + 10y + 26z = 40 ), dostať ( displaystyle 53x + 14z = 30 ). Teraz máme dve rovnice v dvoch neznámych. Manipulujte s týmito rovnicami, aby ste jednu vylúčili.


Úvod do matíc a systémov rovníc


Matica je obdĺžnikové pole čísel usporiadané do riadkov a stĺpcov. Každé číslo v tomto poli nazývame prvkom matice. Keď píšeme maticu, zvyčajne uzavrieme pole do zátvoriek. Matice (množné číslo) majú veľa veľkostí, ktoré sú určené počtom riadkov a počtom stĺpcov. Ak má matica n riadkov am stĺpcov, potom hovoríme, že veľkosť matice je m x n, prečítať & quot; n & quot. Nasledujú príklady matíc rôznych veľkostí.

Keď vyčíslime riadky a stĺpce danej matice, počítame riadky zhora nadol a počítame stĺpce zľava doprava. Pretože matica je pole čísel, často vidíme matice používané na zaznamenávanie informácií, najmä ak sú riadky a stĺpce maticu možno chápať tak, že predstavuje kategórie. Preto určite môžeme použiť matice na zaznamenanie relevantných informácií o systéme lineárnych rovníc - koeficientov premenných a konštánt na pravej strane rovníc v systéme.

Prijímame tu konvenciu používania skôr zapísaných premenných ako premenných jednotlivých písmen, aby sme sa vyhli možným problémom s počtom dostupných písmen. Zostrojíme maticu 2 x 3, nazývanú rozšírená matica pre systém, kde každý riadok predstavuje informácie pre konkrétnu rovnicu a každý stĺpec predstavuje buď koeficienty premennej, alebo konštanty na pravej strane rovníc.

Túto maticu píšeme nasledovne.

Všimnite si korešpondenciu medzi riadkami tejto matice a rovnicami v systéme, ako aj korešpondenciu medzi stĺpcami matice a koeficientmi a konštantnými výrazmi v rovniciach. Vertikálna čiara nemá žiadny skutočný účel, iba slúži ako vizuálna pripomienka umiestnenia rovnakých znamienok v systéme, a teda ako separácia medzi koeficientmi premenných a konštantami na pravej strane rovníc. Predtým, ako sa pustíme do používania týchto rozšírených matíc predstavujúcich systémy, pozastavíme sa a uvedieme terminológiu a zápis. Pripomeňme si, že v metóde eliminácie sme mali tri operácie, ktoré sme mohli použiť na vytvorenie ekvivalentných systémov lineárnych rovníc. Máme podobnú zbierku riadkových operácií, ktorú vykonávame na maticiach. Hovoríme, že dve matice sú riadkovo ekvivalentné, ak je jedna získaná od druhej nejakou postupnosťou operácií s riadkami. Ide o tieto operácie:

  • Zamieňajte ľubovoľné dva riadky.
  • Vynásobte (všetky prvky v) riadku ľubovoľnou nenulovou konštantou a nahraďte tento riadok výsledkom.
  • Vynásobte (všetky prvky v) riadku ľubovoľnou konštantou a pridajte (zodpovedajúce prvky) do ktoréhokoľvek iného riadku, čím nahradíte druhý riadok v tejto sume výsledkom.

Výsledkom akejkoľvek postupnosti týchto operácií je matica ekvivalentná riadkom.

Všimnite si podobnosť medzi týmito operáciami a operáciami použitými v metóde eliminácie. Podobnú skratkovú notáciu používame aj na označenie vykonania konkrétnej operácie s riadkom.

Zápis pre operácie s riadkami


V prípade, že matica je rozšírená matica predstavujúca systém lineárnych rovníc, je vykonanie riadkovej operácie na matici ekvivalentné vykonaniu príslušnej operácie na sústave rovníc. Takže riadkové ekvivalentné matice predstavujú ekvivalentné systémy lineárnych rovníc. Aby sme demonštrovali, ako používať rozšírené matice na nájdenie riešení systémov lineárnych rovníc, ukážeme si paralelné operácie v metóde eliminácie a príslušné riadkové operácie.


Pozri si video: SISTEMA DE EQUAÇÕES Substituição e Adição - Prof. Robson Liers - Mathematicamente (December 2021).