Články

10.2.1: Riešenie jednokrokových nerovností


Učebné ciele

  • Reprezentujte nerovnosti na číselnom rade.
  • Pomocou vlastnosti sčítania nerovnosti môžete izolovať premenné a riešiť algebraické nerovnosti a vyjadriť ich riešenia graficky.
  • Použite vlastnosť násobenia nerovnosti na izoláciu premenných a riešenie algebraických nerovností a na vyjadrenie ich riešení graficky.

Niekedy je možné popísať situáciu v rade možných hodnôt. Keď uvidíte značku „Rýchlostný limit 25“, viete, že to neznamená, že musíte jazdiť presne rýchlosťou 25 míľ za hodinu (mph). Toto znamenie znamená, že by ste nemali ísť rýchlejšie ako 25 míľ / h, ale existuje veľa legálnych rýchlostí, ktoré by ste mohli riadiť, napríklad 22 mph, 24,5 mph alebo 19 mph. V takejto situácii, ktorá má viac ako jednu prijateľnú hodnotu, nerovnosti sa používajú skôr na vyjadrenie situácie ako na rovnice.

Nerovnosť je matematický výrok, ktorý porovnáva dva výrazy pomocou znaku nerovnosti. V prípade nerovnosti môže byť jeden výraz nerovnosti väčší alebo menší ako druhý výraz. V týchto výrokoch sa používajú špeciálne symboly. V poli nižšie je uvedený symbol, význam a príklad pre každý znak nerovnosti.

Znaky nerovnosti

( x neq y quad x text {is} { bf text {nerovná sa}} text {to} y ).

Príklad: Počet dní v týždni je nerovná sa do 9.

( x> y quad x { bf text {je väčší ako}} y. text {Príklad:} 6> 3 )

Príklad: Počet dní v mesiaci je väčší než počet dní v týždni.

( x

Príklad: Počet dní v týždni je menej ako počet dní v roku.

( x geq y quad x { bf text {je väčší alebo rovný}} y )

Príklad: 31 je väčší alebo rovný na počet dní v mesiaci.

( x leq y quad x { bf text {je menší alebo rovný}} y )

Príklad: Rýchlosť vozidla jazdiaceho legálne v zóne 25 mph je menšie alebo rovnaké do 25 míľ / h.

Dôležité na nerovnostiach je, že môže existovať viac riešení. Napríklad nerovnosť „31 ≥ počet dní v mesiaci“ je pravdivým tvrdením pre každý mesiac v roku - žiadny mesiac nemá viac ako 31 dní. Platí to pre január, ktorý má 31 dní ( ( 31 geq 31 )); September, ktorý má 30 dní (≥ 30); a február, ktorý má podľa roku buď 28 alebo 29 dní ( ( 31 geq 28 text {a} 31 geq 29 )).

Nerovnosť ( x> y ) možno tiež zapísať ako ( y

Nerovnosti je možné znázorniť grafom na číselnej čiare. Ďalej sú uvedené tri príklady nerovností a ich grafy.

Každý z týchto grafov začína kruhom - buď otvoreným alebo uzavretým (tieňovaným) kruhom. Tento bod sa často nazýva koncový bod riešenia. Uzavretý alebo zatienený kruh sa používa na znázornenie nerovností väčší alebo rovný (≥) alebo menšie alebo rovné (≤). Pointa je súčasťou riešenia. Pre kruh sa používa otvorený kruh väčší než (>) alebo menej ako (<). Pointa je nie súčasť riešenia.

Graf sa potom nekonečne rozširuje jedným smerom. To je znázornené čiarou so šípkou na konci. Napríklad si všimnite, že pre graf ( x geq-3 ) zobrazený vyššie je koncový bod -3 vyjadrený uzavretým kruhom, pretože nerovnosť je väčšie alebo rovné -3. Modrá čiara je nakreslená vpravo na číselnej čiare, pretože hodnoty v tejto oblasti sú väčšie ako -3. Šípka na konci označuje, že riešenia pokračujú nekonečne dlho.

Väčšinu nerovností môžete vyriešiť pomocou rovnakých metód ako pri riešení rovníc. Na riešenie nerovností možno použiť inverzné operácie. Je to tak preto, lebo keď sčítate alebo odčítate rovnakú hodnotu z oboch strán nerovnosti, nerovnosť ste zachovali. Tieto vlastnosti sú uvedené v modrom poli nižšie.

Vlastnosti sčítania a odčítania nerovnosti

( text {If} a> b, text {then} a + c> b + c )

( text {Ak} a> b, text {potom} a-c> b-c )

Pretože nerovnosti majú viac možných riešení, ich grafické znázornenie poskytuje užitočný obraz situácie. Nasledujúci príklad ukazuje kroky na riešenie a znázornenie nerovnosti v grafoch.

Príklad

Riešiť pre ( x ).

( x + 3 <5 )

Riešenie

( begin {pole} {r}
x + 3 <& 5
-3 & -3 \
hline x <& 2
end {pole} )
Izolujte premennú odpočítaním 3 od oboch strán nerovnosti.

( x <2 )

Graf nerovnosti ( x <2 ) je uvedený nižšie.

Rovnako ako môžete skontrolovať riešenie rovnice, môžete skontrolovať riešenie nerovnosti. Najskôr skontrolujete koncový bod dosadením do súvisiacej rovnice. Potom nahradením akéhokoľvek iného riešenia skontrolujete, či je nerovnosť správna. Zistite, či je jedným z riešení. Pretože existuje viac riešení, je dobrým zvykom skontrolovať viac ako jedno z možných riešení. To vám tiež môže pomôcť skontrolovať, či je váš graf správny.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako môžete skontrolovať, že ( x <2 ) je riešením ( x + 3 <5 ).

Príklad

Skontrolujte, či ( x <2 ) je riešením ( x + 3 <5 ).

Riešenie

( begin {zarovnané}
x + 3 & = 5
text {Does} 2 + 3 & = 5?
5 &=5
end {zarovnané} )
Nahraďte koncový bod 2 príslušnou rovnicou ( x + 3 = 5 ).

( begin {zarovnané}
x + 3 & <5
text {Je} 0 + 3 & <5?
3 &<5
end {zarovnané} )

Kontroluje to!

Ak chcete skontrolovať nerovnosť, vyberte hodnotu menšiu ako 2, napríklad 0. (Táto hodnota bude v tieňovanej časti grafu.)

( x <2 ) je riešením ( x + 3 <5 )

Nasledujúce príklady ukazujú ďalšie problémy s nerovnosťou. Je zobrazený aj graf riešenia nerovnosti. Nezabudnite skontrolovať riešenie. Toto je dobrý zvyk budovať!

Pokročilý príklad

Riešiť pre ( x ).

( frac {15} {2} + x> - frac {37} {4} )

Riešenie

( begin {pole} {r}
frac {15} {2} - frac {15} {2} + x- frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {15} {2}
x> - frac {37} {4} - frac {30} {4}
x> - frac {67} {4}
end {pole} )
Na izoláciu premennej odčítajte ( frac {15} {2} ) z oboch strán.

( x> - frac {67} {4} )

Príklad

Riešiť pre ( x ).

( x-10 leq-12 )

Riešenie

( begin {pole} {r}
x-10 leq & -12
+10 & +10 \
hline x leq & -2
end {pole} )
Izolujte premennú pridaním 10 na obe strany nerovnosti.

( x leq-2 )

Graf tohto riešenia je uvedený nižšie. Všimnite si, že sa používa uzavretý kruh, pretože nerovnosť je „menšia alebo rovná sa“ (≤). Modrá šípka je nakreslená naľavo od bodu -2, pretože to sú hodnoty, ktoré sú menšie ako -2.

Príklad

Skontrolujte to ( x leq-2 ) je riešením ( x-10 leq-12 ).

Riešenie

( begin {zarovnané}
x-10 & = - 12
text {Does} -2-10 & = - 12?
-12 &=-12
end {zarovnané} )
Nahraďte koncový bod -2 príslušnou rovnicou ( x-10 = -12 ).

( text {Is} begin {zarovnané}
x-10 a leq 12
-5-10 & leq 12 text {? }
-15 & leq 12
end {zarovnané} )

Kontroluje to!

Ak chcete skontrolovať nerovnosť, vyberte hodnotu menšiu ako -2, napríklad -5. (Táto hodnota bude v tieňovanej časti grafu.)

( x leq-2 ) je riešením ( x-10 leq 12 ).

Príklad

Riešiť pre ( a ).

( a-17> -17 )

Riešenie

( begin {pole} {r}
a-17> & -17
+17 & +17 \
hline a > & 0
end {pole} )
Izolujte premennú pridaním 17 na obe strany nerovnosti.

( a> 0 )

Graf tohto riešenia je uvedený nižšie. Všimnite si, že sa používa otvorený kruh, pretože nerovnosť je „väčšia ako“ (>). Šípka je nakreslená vpravo od 0, pretože to sú hodnoty, ktoré sú väčšie ako 0.

Príklad

Skontrolujte, či je riešením riešenie ( a> 0 )

( a-17> -17 ).

Riešenie

( begin {zarovnané}
a-17 & = - 17
text {Does} 0-17 & = - 17?
-17&=-17
end {zarovnané} )
Nahraďte koncový bod 0 príslušnou rovnicou.

( begin {zarovnané}
a-17 a> - 17
text {Je} 20-17 &> - 17?
3&>-17
end {zarovnané} )

Kontroluje to!

Ak chcete skontrolovať nerovnosť, vyberte hodnotu väčšiu ako 0, napríklad 20. (Táto hodnota bude v tieňovanej časti grafu.)

( a> 0 ) je riešením ( a-17> -17 ).

Pokročilá otázka

Riešiť pre ( x ): ( 0,5 x leq 7-0,5 x ).

  1. ( x leq 0 )
  2. ( x> 35 )
  3. ( x leq 7 )
  4. ( x geq 5 )
Odpoveď
  1. ( x leq 0 )

    Nesprávne. Ak chcete zistiť hodnotu ( x ), skúste pridať ( 0,5 x ) na obe strany. Správna odpoveď je ( x leq 7 ).

  2. ( x> 35 )

    Nesprávne. Ak chcete zistiť hodnotu ( x ), skúste pridať ( 0,5 x ) na obe strany. Správna odpoveď je ( x leq 7 ).

  3. ( x leq 7 )

    Správne. Keď pridáte ( 0,5 x ) na obe strany, vytvorí sa ( 1 x ), takže ( x leq 7 ).

  4. ( x geq 5 )

    Nesprávne. Správna odpoveď je ( x leq 7 ).

Riešenie nerovnosti pomocou premennej, ktorá má koeficient iný ako 1, zvyčajne znamená násobenie alebo delenie. Kroky sú ako riešenie jednokrokových rovníc zahŕňajúcich násobenie alebo delenie OKREM znaku nerovnosti. Pozrime sa, čo sa stane s nerovnosťou, keď každú stranu vynásobíte alebo vydelíte rovnakým číslom.

Začnime pravdivým tvrdením:( 10>5)Skúsme to znova a začnime rovnakým pravdivým výrokom:( 10>5)
Ďalej vynásobte obe strany rovnakým kladným číslom: ( 10 cdot 2> 5 cdot 2 )Tentokrát obe strany vynásobte rovnakým záporným číslom: ( 10 cdot-2> 5 cdot-2 )
20 je väčšie ako 10, takže stále máte skutočnú nerovnosť:( 20>10)Počkaj minútu! -20 je nie väčšie ako -10, takže máte nepravdivé tvrdenie.( -20>-10)
Keď vynásobíte kladným číslom, nechajte znak nerovnosti taký, aký je!Ak chcete, aby bol výrok pravdivý, musíte znak „nerovnosti“ obrátiť:( -20<-10)

Keď vynásobíte záporným číslom, „obráťte“ znak nerovnosti.

Kedykoľvek znásobíte alebo vydelíte obe strany nerovnosti záporným číslom, musí sa značka nerovnosti obrátiť, aby sa zachoval pravdivý výrok.

Tieto pravidlá sú zhrnuté v poli nižšie.

Násobenie a delenie vlastnosti nerovnosti

( begin {zarovnané}
text {If} a> b text {, then} a c> b c text {, if} c> 0
text {If} a> b text {, then} a c text {If} a> b text {, potom} frac {a} {c}> frac {b} {c} text {, if} c> 0
text {If} a> b text {, potom} frac {a} {c} < frac {b} {c} text {, if} c <0
end {zarovnané} )

Majte na pamäti, že znamienko meníte iba vtedy, keď násobíte a vydelíte a negatívny číslo. Ak sčítate alebo odčítate záporné číslo, nerovnosť zostane rovnaká.

Príklad

Riešiť pre ( x ).

( - frac {1} {3}> - 12 x )

Riešenie

( begin {zarovnané}
- frac {1} {3} div-12 & <- 12 x div-12
- frac {1} {3} cdot- frac {1} {12} & < frac {-12 x} {- 12}
frac {1} {36} a end {zarovnané} )
Rozdelte obe strany o -12, aby ste izolovali premennú. Pretože delíte záporným číslom, musíte zmeniť smer značky nerovnosti.

Skontrolujte

( begin {zarovnané} text {does}
- frac {1} {3} & = - 12 vľavo ( frac {1} {36} vpravo)?
- frac {1} {3} & = - frac {12} {36}
- frac {1} {3} & = - frac {1} {3}
end {zarovnané} )

Skontrolujte svoje riešenie tak, že najskôr skontrolujete koncový bod ( frac {1} {36} ) v súvisiacej rovnici.

( begin {zarovnané}
text {Is} - frac {1} {3} &> - 12 (2)
- frac {1} {3} a> - 24
end {zarovnané} )

Kontroluje to!

Ak chcete skontrolovať nerovnosť, vyberte hodnotu väčšiu ako ( frac {1} {36} ), napríklad 2.

( x> frac {1} {36} )

Príklad

Riešiť pre ( x ).

( 3 x> 12 )

Riešenie

( begin {zarovnané}
frac {3 x} {3} &> frac {12} {3}
& x> 4
end {zarovnané} )
Rozdelte obe strany o 3, aby ste izolovali premennú.

Skontrolujte

( begin {zarovnané}
text {robí}
3 cdot 4 & = 12?
12 &=12
end {zarovnané} )

( begin {zarovnané}
text {Je} 3 cdot 10 &> 12?
30&>12
end {zarovnané} )

Skontrolujte svoje riešenie tak, že najskôr skontrolujete koncový bod 4 a potom skontrolujete iné riešenie nerovnosti.

( x> 4 )

Graf tohto riešenia je uvedený nižšie.

V znaku nerovnosti nebolo potrebné robiť žiadne zmeny, pretože obe strany nerovnosti boli rozdelené znakom pozitívny 3. V nasledujúcom príklade je rozdelenie záporným číslom, takže je tu ďalší krok v riešení!

Príklad

Riešiť pre ( x ).

( -2 x> 6 )

Riešenie

( frac {-2 x} {- 2} < frac {6} {- 2} )

( x <-3 )

Každú stranu nerovnosti vydeľte -2, aby ste izolovali premennú, a zmeňte smer znamienka nerovnosti kvôli rozdeleniu záporným číslom.

Kontrola:

( begin {zarovnané} text {does}
-2(-3)&=6 ? \
6&=6 \
text {Is} -2 (-6) &> 6?
12&>6
end {zarovnané} )

Kontroluje to!

Skontrolujte svoje riešenie tak, že najskôr skontrolujete koncový bod -3 a potom skontrolujete nerovnosť pomocou iného riešenia.

( x <-3 )

Pretože obe strany nerovnosti boli rozdelené záporným číslom -2, bol symbol nerovnosti prepnutý z> na <. Graf tohto riešenia je uvedený nižšie.

Cvičenie

Vyriešiť pre ( y ): ( -10 y geq 150 )

  1. ( y = -15 )
  2. ( y geq-15 )
  3. ( y leq-15 )
  4. ( y geq 15 )
Odpoveď
  1. ( y = -15 )

    Nesprávne. Aj keď je -15 riešením nerovnosti, nie je jediným riešením. Riešenie musí obsahovať znak nerovnosti. Správna odpoveď je ( y leq-15 ).

  2. ( y geq-15 )

    Nesprávne. Toto riešenie nespĺňa nerovnosť. Napríklad ( y = 0 ), čo je hodnota väčšia ako -15, má za následok nepravdivé vyhlásenie. 0 nie je väčšie ako Pri delení záporným číslom musíte zmeniť symbol nerovnosti. Správna odpoveď je ( y leq-15 ).

  3. ( y leq-15 )

    Správne. Vydelením oboch strán -10 listami ( y ) izolovanými na ľavej strane nerovnosti a -15 na pravej strane. Pretože ste sa vydelili záporným číslom, ≥ musí byť prepnuté na ≤.

  4. ( y geq 15 )

    Nesprávne. Delením na -10, nie 10 na izoláciu premennej. Správna odpoveď je ( y leq-15 ).

Pokročilá otázka

Riešiť pre ( a ): ( - frac {a} {5} < frac {35} {8} )

  1. ( a> - frac {175} {8} )
  2. ( a <- frac {175} {8} )
  3. ( a> - frac {7} {8} )
  4. ( a <- frac {7} {8} )
Odpoveď
  1. ( a> - frac {175} {8} )

    Správne. Vynásobením oboch strán číslom -5 a preklopením znamienka nerovnosti z zistíte, že ( a> - frac {175} {8} ).

  2. ( a <- frac {175} {8} )

    Nesprávne. Správne ste vynásobili -5, ale nezabudnite, že znak nerovnosti sa preklopí, keď sa vynásobíte záporným číslom. Správna odpoveď je: ( a> - frac {175} {8} ).

  3. ( a> - frac {7} {8} )

    Nesprávne. Vyzerá to, že ste obe strany rozdelili o -5. Aj keď ste si pamätali, že ste znak nerovnosti museli preklopiť správne, delenie tu nie je správna operácia. Správna odpoveď je: ( a> - frac {175} {8} ).

  4. ( a <- frac {7} {8} )

    Nesprávne. Vyzerá to, že ste obe strany rozdelili o -5. Delenie tu nie je správna operácia. Nezabudnite preklopiť znamienko nerovnosti, keď násobíte alebo vydelíte záporným číslom. Správna odpoveď je: ( a> - frac {175} {8} ).

Riešenie nerovností je veľmi podobné ako pri riešení rovníc, ibaže musíte zvrátiť symboly nerovností, keď vynásobíte alebo vydelíte obe strany nerovnosti záporným číslom. Pretože nerovnosti môžu mať viac riešení, je obvyklé predstavovať riešenie nerovnosti graficky aj algebraicky. Pretože obvykle existuje viac ako jedno riešenie nerovnosti, pri kontrole odpovede by ste mali skontrolovať konečný bod a jednu ďalšiu hodnotu na kontrolu smeru nerovnosti.


Sprievodca krok za krokom k riešeniu jednokrokových nerovností

  • Podobne ako v prípade rovníc je potrebné najskôr izolovať premennú pomocou inverznej operácie.
  • Ak chcete obidve strany vydeliť alebo vynásobiť zápornými číslami, otočte smer značky nerovnosti.

Jednostupňové nerovnosti & # 8211 Príklad 1:

Vyriešte a nakreslite nerovnosť v grafe. (x + 2 ≥ 3 )

Odčítajte 2 od oboch strán. (x + 2 ≥ 3 → x + 2 & # 8211 2 ≥ 3 & # 8211 2, potom: x ≥ 1 )

Jednostupňové nerovnosti & # 8211 Príklad 2:

Vyriešte a nakreslite nerovnosť v grafe. (x & # 8211 1 leq 2 )

Pridajte (1 ) na obe strany. (x - 1 ≤ 2 → x - 1 + 1 ≤ 2 + 1 ), potom: (x ≤ 3 )


Otvorené zdroje pre Community College Algebra

V tejto časti sa dozvedáme, že riešenie základných nerovností sa až tak nelíši od riešenia základných rovníc.

Obrázok 1.6.1. Lekcia alternatívneho videa

S jednou malou komplikáciou môžeme pri riešení nerovností (na rozdiel od rovníc) použiť veľmi podobné vlastnosti ako Fakt 1.5.13. Tu uvádzam niekoľko číselných príkladov.

Pridajte na obe strany Ak (2 lt4 text <,> ) potom (2 addright <1> stackrel < začiarknutie> < lt> 4 addright <1> text <.> )
Odčítajte z oboch strán Ak (2 lt4 text <,> ) potom (2 subtractright <1> stackrel < začiarknutie> < lt> 4 subtractright <1> text <.> )
Vynásobte na oboch stranách a pozitívne číslo Ak (2 lt4 text <,> ) potom ( multiplyleft <3> 2 stackrel < začiarknutie> < lt> multiplyleft <3> 4 text <.> )
Z oboch strán rozdeľte a pozitívne číslo Ak (2 lt4 text <,> ) potom ( divideunder <2> <2> stackrel < checkmark> < lt> divideunder <4> <2> text <.> )

Stane sa však niečo zaujímavé, keď sa množíme alebo delíme rovnako negatívny číslo na oboch stranách nerovnosti: smer sa obráti! Ak chcete pochopiť, prečo, zvážte obrázok 1.6.2, kde sa čísla (2 ) a (4 ) vynásobia záporným číslom (- 1 text <.> )

Takže aj keď (2 lt4 text <,> ), ak obe strany vynásobíme (- 1 text <,> ), máme falošnú nerovnosť (- 2 stackrel < text> < lt> -4 text <.> ) The pravda nerovnosť je (- 2 gt-4 text <.> )

Fakt 1.6.3. Zmena smeru značky nerovnosti.

Keď vynásobíme alebo vydelíme každú stranu nerovnosti rovnakou negatívny číslo, musí značka nerovnosti meniť smer. Urob nie zmeniť znak nerovnosti pri vynásobení / vydelení kladným číslom alebo pri sčítaní / odčítaní ľubovoľným číslom.

Príklad 1.6.4.

Vyriešte nerovnosť (- 2x geq12 text <.> ) Uveďte množinu riešení graficky pomocou intervalového zápisu a pomocou zápisu set-buildera. (Intervalovému zápisu a zápisu zostavovateľa súpravy sa venujeme v časti 1.3.)

Aby sme túto nerovnosť vyriešili, rozdelíme každú stranu (- 2 text <:> )

Všimnite si, že značka nerovnosti zmenila smer v kroku, kde sme každú stranu nerovnosti rozdelili a negatívny číslo.

Keď riešime lineár nerovnosť, riešení je zvyčajne nekonečne veľa. (Na rozdiel od toho, keď riešime lineárnu rovnicu a máme iba jedno riešenie.) V tomto príklade je riešením akékoľvek číslo menšie alebo rovné (- 6 ).

Existujú najmenej tri spôsoby, ako reprezentovať množinu riešení pre riešenie nerovnosti: graficky s notáciou set-builder a s intervalovým zápisom. Graficky reprezentujeme riešenie nastavené ako:

Pomocou intervalového zápisu zapíšeme množinu riešení ako ((- infty, -6] text <.> ) Pomocou zápisu set-buildera zapíšeme množinu riešení ako ( text <.> )

Rovnako ako v prípade rovníc, mali by sme skontrolovať riešenia, aby sme zachytili ľudské chyby aj možné cudzie riešenia (počty, ktoré boli možné riešenia podľa algebry, ktoré však v skutočnosti neriešia nerovnosť).

Pretože existuje nekonečne veľa riešení, je nemožné ich doslova skontrolovať. Zistili sme, že všetky hodnoty (x ), pre ktoré (x leq-6 ) sú riešením. Jedným z prístupov je skontrolovať, či nerovnosť spĺňa jedno číslo menšie ako (- 6 ) (ľubovoľné číslo podľa vášho výberu). A že (- 6 ) uspokojuje nerovnosť. A toto jedno číslo väčšie ako (- 6 ) (ľubovoľné číslo podľa vášho výberu) áno nie vyrovnať nerovnosť.

Takže (- 7 ) aj (- 6 ) sú riešenia, zatiaľ čo (- 5 ) nie je. Je to dôkaz, že naša sada riešení je správna, a je cenná v tom, že vykonávanie týchto kontrol by nám pravdepodobne pomohlo zachytiť chybu, ak by sme ju urobili. Aj keď je potrebné urobiť tri kontroly takto, určite to chce čas a priestor, má to svoju hodnotu.

Príklad 1.6.5.

Vyriešte nerovnosť (t + 7 lt5 text <.> ) Uveďte množinu riešení graficky pomocou intervalového zápisu a pomocou zápisu set-buildera.

Na vyriešenie tejto nerovnosti odrátame (7 ) z každej strany. Medzi týmto procesom a riešením nie je veľký rozdiel rovnica (t + 7 = 5 text <,> ), pretože sa nebudeme množiť alebo deliť zápornými číslami.

Znova si všimnite, že smer nerovnosti sa nezmenil, pretože sme každú stranu nerovnosti v žiadnom bode neznásobili ani nevydelili záporným číslom.

Graficky reprezentujeme toto riešenie ako:

Pomocou intervalového zápisu zapíšeme množinu riešení ako ((- infty, -2) text <.> ) Pomocou zápisu set-buildera zapíšeme množinu riešení ako ( text <.> )

Mali by sme skontrolovať, či je nejaké číslo menšie ako (- 2 ) je riešenie, ale to (- 2 ) a nejaké číslo väčšie ako (- 2 ) sú nie riešenia.

Naše riešenie je teda primerane skontrolované.

Kontrolný bod 1.6.6.
Kontrolný bod 1.6.7.

Čítanie otázok Čítanie otázok

Aké sú tri spôsoby vyjadrenia riešenia nastaveného na lineárnu nerovnosť?

Keď prechádzate pohybmi riešenia jednoduchej lineárnej nerovnosti, aké kroky by ste mohli podniknúť, keď sa stane niečo zvláštne, s čím si nemusíte robiť starosti pri riešení jednoduchej lineárnej rovnice?

Prečo kontrola riešenia nastaveného na nerovnosť vyžaduje viac úsilia ako kontrola riešenia nastaveného na rovnicu?


Ako vyriešiť nerovnosti v jednom kroku

Jednostupňové nerovnosti sú nerovnosti, ktorých riešenia sa získajú vykonaním jediného kroku. Podľa tohto postupu dospejte k riešeniu:

& emsp & emsp & # 10031 Využite inverzné operácie.

& emsp & emsp & # 10031 Izolovať premennú na jednej strane.

Mohlo by to vyzerať presne ako riešenie jednokrokových rovníc, ale určité kroky majú tendenciu meniť smer znamienka nerovnosti. Nezabudnite teda, čo ovplyvňuje smer symbolu nerovnosti a čo nie.

Čo nezmení smerovanie:

& emsp & emsp1) Sčítanie alebo odčítanie čísla na oboch stranách.

& emsp & emsp2) Násobenie alebo delenie kladného čísla na oboch stranách.

Hádate, čo to mení? Máš pravdu!

Keď znásobíte alebo vydelíte obe strany záporným číslom, musíte obrátiť smer značky nerovnosti.

Rovnako tak zmeňte & le na & ge a & ge na & le.

Teraz, keď ste pochopili kroky, skúsme ich implementovať na riešenie rôznych nerovností s jednou premennou!

Riešenie jednokrokových nerovností pomocou sčítania

Sčítanie je inverzná hodnota odčítania. Pre nerovnosti tvaru x - a & lt b, kde ‘x’ je premenná, ‘a’ a ‘b’ sú konštanty, používame na riešenie prídavnú vlastnosť nerovností. Vlastnosť uvádza, že keď pridáte rovnaké číslo na obe strany, nerovnosť zostane nezmenená.

Môžeme tomu lepšie porozumieť, keď sa pozrieme na vyriešený príklad.

Vyriešte nerovnosť: x - 2 & lt 3.

& emsp & # 8680 x - 2 + 2 & lt 3 + 2 & emsp [Pridanie 2 na obe strany]

Sada riešení uvádza, že x môže mať ľubovoľnú hodnotu, ktorá je menšia ako 5.

Grafické znázornenie množiny riešení je nasledovné:

Poznámka: Tu nie je hodnota 5 zahrnutá v množine riešení, takže je vykreslená s otvoreným kruhom.

Skontrolujte svoje riešenie!
Ak chcete skontrolovať svoju odpoveď, nahraďte x v nerovnosti akoukoľvek hodnotou z množiny riešení.
Pre nerovnosť x - 2 & lt 3 môžete x nahradiť ľubovoľnou hodnotou, ktorá je menšia ako 5.
Pripojením x = 4 dostaneme:
4 - 2 a <3
2 & lt 3 ✔

Riešenie jednokrokových nerovností pomocou odčítania

Vlastnosť odčítania použijeme na riešenie nerovností tvaru x + a & lt b. Vlastnosť odčítania uvádza, že nerovnosť zostáva nezmenená, keď odčítate rovnaké číslo z oboch strán.

Pozrime sa na vyriešený príklad:

Vyriešte túto nerovnosť: x + 3 ≥ 2.

& emsp & # 8680 x + 3 - 3 ≥ 2 - 3 & emsp [Odčítanie 3 od oboch strán]

Keď grafujeme túto množinu riešení, vyzerá to takto:

Poznámka: Tu je hodnota -1 zahrnutá do množiny riešení, takže je vynesená s uzavretým alebo vyplneným kruhom.

Riešenie jednokrokových nerovností pomocou násobenia

Násobenie je inverzná hodnota delenia. Preto pri riešení nerovností formy Xa & lt b, použijeme vlastnosť násobenia. Premenná tu má zlomkový koeficient. Vlastnosť uvádza, že keď vynásobíme rovnaké číslo na obe strany, nerovnosť zostane rovnaká.

Tu máme náš vyriešený príklad:

Vyriešte túto nerovnosť: X2 & gt –1.

& emsp & # 8680 X2 . 2 & gt (–1). 2 & emsp [Násobenie 2 na oboch stranách]

Graf tejto množiny riešení je:

Čo ak má premenná záporný zlomkový koeficient? Pamätáte si zmenu v znamení smeru nerovnosti?

Áno, to sa stane, keď sa záporné číslo vynásobí. Na ilustráciu je tu vyriešený príklad.

Vyriešte nerovnosť: X–3 ≤ 2.

& emsp & # 8680 X–3 . (–3) ≥ 2. (–3) & emsp [Násobenie oboch strán číslom –3 a obrátenie symbolu nerovnosti]

V grafe tejto sady riešení máme:

Riešenie jednokrokových nerovností pomocou delenia

Pre nerovnosti typu ax & lt b sa do hry dostane vlastnosť rozdelenia. Tvrdí, že nerovnosť zostáva rovnaká, keď obidve jej strany vydelíme rovnakým počtom. Izolujte premennú vydelením oboch strán koeficientom „a“. Vždy majte na pamäti, že značka po rozdelení záporným číslom obráti svoj smer.

Vyriešte nerovnosť: 4x a 20.

& emsp & # 8680 4x4 & ge 204 & emsp [vydelenie oboch strán číslom 4]

Pri grafe tejto množiny riešení dostaneme:

Vyriešte nerovnosť: –5x ≥ 10.

& emsp & # 8680 –5x–510–5 & emsp [Rozdelenie oboch strán číslom –5 a zmena smeru symbolu nerovnosti]

V grafe množiny riešení máme:

Balenie!

Na riešenie nerovností sčítaním a odčítaním musíme izolovať premennú na jednej strane rovnice.

Na riešenie nerovnosti s premennou, ktorá má zlomkový koeficient, použijeme vlastnosť násobenia. Vynásobíme obe strany nerovnosti menovateľom, aby sme izolovali premennú.

Vlastnosť divízia sa používa na riešenie nerovnosti s premennou, ktorá má celočíselný koeficient.

Násobenie alebo delenie záporného čísla na obidve strany nerovnosti spôsobí, že znamienko nerovnosti zmení smer.

Získajte impulz v procese s našimi bezplatnými tlačiteľnými pracovnými listami o nerovnostiach v jednom kroku!


Odčítajte 5 od každej strany. & # Xa0

Hodnota x je teda väčšia ako -2.

Hodnota p je teda menšia ako 10. & # xa0

Hodnota r je teda menšia alebo rovná 3. & # Xa0

Takže hodnota m je menšia alebo rovná 12.

V tomto probléme najskôr musíme urobiť p, aby bolo pozitívne.

Preto musíme na každú stranu pridať p. & # Xa0

Keď to urobíme, budeme mať (12 + p) na pravej strane nerovnosti.

Potom odčítajte 12 z každej strany, aby ste vyriešili výsledok pre p. & # Xa0

Hodnota p je teda menšia alebo rovná -4.

Hodnota m je teda menšia ako -5.

Odčítajte 5/3 od každej strany. & # Xa0

Hodnota v je teda väčšia ako -2. & # Xa0

V tomto probléme najskôr musíme urobiť m, aby sme boli pozitívni.

Preto musíme na každú stranu pridať m. & # Xa0

Keď to urobíme, budeme mať (-44 + m) na pravej strane nerovnosti.

Potom pridajte 44 na každú stranu, aby ste vyriešili problém s m. & # Xa0

Takže hodnota m je väčšia ako 82.

Hodnota m je teda menšia ako -2.

V tomto probléme najskôr musíme urobiť v, aby bolo pozitívne.

Preto musíme na každú stranu pridať v. & # Xa0

Keď to urobíme, budeme mať (-40,3 + v) na pravej strane nerovnosti.

Potom na každú stranu pridajte 40,3, aby ste vyriešili problém s v. & # Xa0

Hodnota v je teda väčšia ako 14,6.

Keď sa k číslu pridá 7, dostaneme výsledok väčší ako 25. Nájdite číslo. & # Xa0

Nech x je požadované číslo. & # Xa0

Zadané: & # xa0 Keď sa k číslu pridá 7, bude výsledok väčší ako 25.

Odčítajte 7 od každej strany.

Požadované číslo je teda každé číslo väčšie ako 18.

Keď vynásobíme číslo číslom 4, dostaneme výsledok menej ako 124. Vyhľadajte číslo. & # Xa0

Nech x je požadované číslo. & # Xa0

Zadané: & # xa0 Keď sa počet vynásobí číslom 4, výsledok je menej ako 125. & # Xa0

Požadované číslo je teda každé číslo menšie ako 31.

Keď číslo vydelíme číslom 7, dostaneme výsledok väčší ako 14. Nájdite číslo. & # Xa0

Nech m je požadované číslo. & # Xa0

Zadané: & # xa0 Keď je počet vydelený číslom 7, je výsledok väčší ako 14. & # xa0

Požadované číslo je teda akékoľvek číslo väčšie ako 98.

John mal nejaké cukríky. Priateľovi dal 5 cukríkov a teraz má viac ako 18 cukríkov. Koľko cukríkov mal pôvodne John? & # Xa0

Nech m je č. cukríkov, ktoré mal pôvodne John. & # xa0

Zadané: & # xa0 Po odovzdaní 5 cukríkov priateľovi má John viac ako 18 cukríkov. & # Xa0

John by teda pôvodne mal viac ako 23 cukríkov.

Alex si požičal nejaké peniaze od Joseho. Po 3 rokoch Alex vrátil Jose 2-krát požičané peniaze. Ak sú vrátené peniaze 226 dolárov, koľko peňazí si Alex požičal od Joseho?

Nech x sú požičané peniaze. & # Xa0

Zadané: & # xa0 Alex vrátil Jose 2-krát požičané peniaze. a vrátené peniaze sú 226 dolárov. & # xa0

Takže požičané peniaze sú menej ako 113 dolárov. & # Xa0

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Spojením vlastností nerovnosti vyriešime algebraické nerovnosti

Populárna stratégia riešenia rovníc, izolovanie premennej, platí aj pre riešenie nerovností. Sčítaním, odčítaním, násobením a / alebo delením môžete nerovnosť prepísať tak, aby bola premenná na jednej strane a všetko ostatné na druhej. Rovnako ako v prípade jednokrokových nerovností, je možné riešenia viacstupňových nerovností graficky znázorniť na číselnej čiare.

Príklad

Vyriešiť pre p. [latex] 4p + 5 & lt29 [/ latex]

Začnite izolovať premennú odpočítaním 5 od oboch strán nerovnosti.

Vydeľte obe strany nerovnosti číslom 4, aby ste vyjadrili premennú s koeficientom 1.

Odpoveď

Graf: Všimnite si prázdnu kružnicu na konci bodu 6, ktorá ukazuje, že riešenia nerovnosti nezahŕňajú 6. Hodnoty kde p je menej ako 6 a nachádzajú sa pozdĺž celej číselnej rady naľavo od 6.

Skontrolujte koncový bod 6 v súvisiacej rovnici.

Skúste inú hodnotu a skontrolujte nerovnosť. Použijme [latex] p = 0 [/ latex].

[latex] p

Príklad

Vyriešiť pre X: [latex] 3x – 7 ge 41 [/ latex]

Začnite izolovať premennú pridaním 7 na obe strany nerovnosti, potom rozdeľte obe strany nerovnosti o 3, aby ste vyjadrili premennú s koeficientom 1.

Odpoveď

Nerovnosť: [latex] x ge 16 [/ latex]

Graf: Na vykreslenie tejto nerovnosti nakreslíme uzavretý kruh v koncovom bode 16 na číselnej čiare, aby sme ukázali, že riešenia obsahujú hodnotu 16. Čiara pokračuje vpravo od 16, pretože všetky čísla väčšie ako 16 tiež urobia nerovnosť. [latex] 3x – 7 ge 41 [/ latex] pravda.
/>

Najskôr skontrolujte koncový bod 16 v súvisiacej rovnici.

Potom skúste inú hodnotu a skontrolujte nerovnosť. Použijme [latex] x = 20 [/ latex].

Pri riešení viacstupňových rovníc dávajte pozor na situácie, v ktorých sa vynásobíte alebo vydelíte záporným číslom. V týchto prípadoch musíte obrátiť znamienko nerovnosti.

Príklad

Vyriešiť pre p. [latex] −58 a gt14−6p [/ latex]

Všimnite si, ako je premenná na pravej strane nerovnosti, metóda riešenia sa v tomto prípade nezmení.

Začnite izolovať premennú odpočítaním 14 od oboch strán nerovnosti.

Vydelením oboch strán nerovnosti [latex] −6 [/ latex] vyjadríme premennú s koeficientom 1. Delenie záporným číslom má za následok obrátenie znamienka nerovnosti.

Môžeme to tiež napísať ako [latex] p & gt12 [/ latex]. Všimnite si, ako sa znak nerovnosti stále otvára smerom k premennej p.

Odpoveď

Nerovnosť: [latex] p & gt12 [/ latex]
Interval: [latex] ľavý (12, infty pravý) [/ latex]
Graf: Graf nerovnosti p & gt 12 má v 12 otvorený kruh so šípkou tiahnucou sa doprava.

Najskôr skontrolujte koncový bod 12 v súvisiacej rovnici.

Potom skúste inú hodnotu a skontrolujte nerovnosť. Skúste 100.

V nasledujúcom videu uvidíte príklad riešenia lineárnej nerovnosti s premennou na ľavej strane nerovnosti a príklad zmeny smeru nerovnosti po vydelení záporným číslom.

V nasledujúcom videu uvidíte príklad riešenia lineárnej nerovnosti s premennou na pravej strane nerovnosti a príklad zmeny smeru nerovnosti po vydelení záporným číslom.


Ako: Vyriešiť jednokrokové nerovnosti

Jednostupňové nerovnosti sú jednou z najjednoduchších metód v matematike, ktoré môžete sčítať alebo odčítať od hodnôt v rovnici. Zvážte rovnicu M + 7 = -3 (predpokladajme M + 7 ako ľavú stranu a amp -3 ako pravú stranu), v tomto prípade by ste mali pridať -7 na obidve strany rovnice. V ďalšom kroku na ľavej strane +7 a -7 sa vzájomne zrušte a na pravej strane -3 a -7 sa stanú -10 (pretože mínus vynásobený mínusom dáva mínus symbol pridaním hodnôt). V ďalšom kroku hodnotu M = -10 možno považovať za M & lt = -10, ktorá ukazuje symbol nerovností. V ďalšom príklade zvážte X-5 & gt17, podobne ako je uvedené vyššie, pridajte +5 na obe strany, čím získate hodnotu ako X & gt22. Z vyššie uvedených dvoch rovníc teda získate nerovnosti z oboch strán, t. J. Z odčítania a sčítania. Pri sledovaní tohto videa by ste mohli získať základné vedomosti z matematiky, najmä začiatočníkov.

Chcete ovládať program Microsoft Excel a posunúť svoje vyhliadky na prácu z domu na vyššiu úroveň? Naštartujte svoju kariéru pomocou nášho prémiového výcvikového balíka Microsoft Excel od A do Z v novom obchode Gadget Hacks Shop a získajte doživotný prístup k viac ako 40 hodinám základných až pokročilých inštruktáží o funkciách, vzorcoch, nástrojoch a ďalších.


Dvojstupňová nerovnosť

Dvojstupňová nerovnosť sú pre jednokrokové nerovnosti to, čo sú dvojkrokové rovnice pre jednokrokové rovnice - to isté, ale na ich vyriešenie je potrebné ešte trochu pracovať. Dvojstupňová nerovnosť are very easy to solve and the rules you have to adhere to are the same as for the one-step inequalities – remember that you need to change the sign of inequality when multiplying or dividing the whole inequality with a negative number. The order of operations will not come into play often since there are not many operations to perform here.

We will now show you on this example how this inequality looks like and what it takes to solve it:

The first thing you need to do is to put all the numbers on the right side and the variables on the left. Then perform the additions and subtractions. Páči sa ti to:

The only thing left to do now is to divide the whole inequality by 4 to get the final, simplified result. Since the number we are dividing the inequality by is positive, it is not necessary to change the sign of inequality. Preto:

And now we have the final result. If you wish to practice solving two-step inequalities a bit more, please feel free to use the worksheets below.


Solving One And Two Step Inequalities Worksheet Pdf

Solving graphing inequalities ds1. Intermediate one step inequalities are graphed on a number line.

Solving Equations And Inequalities Worksheet Solving Equations Factoring Quadratics Graphing Linear Inequalities

1 4 5 v 29.

Solving one and two step inequalities worksheet pdf. 1 6x 4 10. T worksheet by kuta software llc kuta software infinite algebra 1 name two step inequalities date period solve each inequality and graph its solution. Negative numbers decimals and fractions are included.

P 32e0 q1j2z qkaumtha9 tstoxf8t mwvapr peq 5lzlqc 0 h z rablble jr2i jg eh2t rs k pr0e osbegrcv6ewd9. Easy level has positive integer coefficients with answers only in positive numbers. Still solving one two and multi step inequalities worksheets pdf with answers is definitely useful and you should give them to the students.

Two step inequalities date period solve each inequality and graph its solution. Solving and graphing two step inequalities cc standards 7 ee 4b use variables to represent quantities in a real world or mathematical problem and construct simple equations and inequalities to solve real world or mathematical problem and construct simple equations and inequalities to solve problems by reasoning about the quantities. Week 5 day 1 id.

A one step equation is as straightforward as it sounds. We just have to perform one step in order to solve the equation. Create your own worksheets like this one with infinite algebra 1.

K s rmja cd hel mwwivt hh8 gijn xfai 9nbi5tbe b hpgrae j eaol7g 6erbkroa s 9 worksheet by kuta software llc kuta software infinite pre algebra name solving two step inequalities date period. This worksheet includes only addition or subtraction on the same side of the inequality as the variable. Solving one sep equations.

E w 2a7lal9 nr li iguh ftjs 6 qraeds 2e 5r mvaevdc c f fm8a cdse y vw0idt qhg diin bfi0n8i bt fel gahlxgdekburwak p1t. Two step inequalities worksheets this page contains a lot of printable two step inequalities worksheets based on solving and graphing for 7th grade 8th grade and high school students. But this subject is not very tedious or hard to understand and students can easily grasp the basic concept and solve the related problems.

1 6x 4 10 6 6x 20. 1 kknuwtgas tsoobfbtywlasrwej ol1llcb 0 y cahl9lg br6ijgjhxtbss zrte vsoezrsveemdh 5 m fmpaedgex ywxi6tah2 ei6nxfriantictzet qaclpghetbarraf n1x h worksheet by kuta software llc pre algebra. Click the following links to download one step equations worksheets as pdf documents.

Introduction to inequalities is another phase in a student s life. Solve each inequality and graph its solution. 1 name solving one two step inequalities write an inequality for each graph.

Two Step Inequalities On A Number Line Matching Cards Algebra Math Centers Graphing Inequalities Inequality Word Problems

Inequalities Hangman Solve Multi Step Inequalities Hangman Style Solving Inequalities Multi Step Inequalities Solving Equations

Partner Problems Inequalities 1 Pdf Solving Inequalities Solving Equations Inequality

Pairs And Self Checking Math School Teaching Algebra Solving Inequalities

Solving Two Step Inequalities 9th 12th Grade Worksheet Lesson Literal Equations Graphing Inequalities Algebra Worksheets

Pin By Trudy Yaklich On Clasa 6 One Step Equations Equations Algebra Worksheets

An Innovative Way Of Comparing Numbers One Step Equations Solving Inequalities Multi Step Inequalities

Solving One And Two Step Inequalities Color Worksheet Color Worksheets Inequality Solving Multi Step Equations

Solving Two Step Equations Color Worksheet Practice 6 Two Step Equations Equations Solving Equations

Inequalities Hangman Solve Multi Step Inequalities Hangman Style School Algebra Middle School Math Teacher Teaching Algebra

One Step Inequalities Worksheets By Adding And Subtracting Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

One Step Inequalities Worksheets By Multiplying And Dividing Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

Graphing Single Variable Inequalities Worksheets Also You Can Create Free Math Worksheets On Graphing Inequalities Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets

One Step Inequalities Worksheets One Step Equations Solving Inequalities Multi Step Inequalities

Inequalities Maze Solving Inequalities Inequality Teaching Algebra

Writing Solving And Graphing Inequalities Worksheet Graphing Inequalities Graphing Inequality

Algebra 1 Worksheets Inequalities Worksheets Algebra Worksheets Pre Algebra Worksheets Graphing Inequalities

Inequalities Challenge Solving Inequalities Combining Like Terms Inequality

One Step Inequalities Worksheets Graphing Inequalities Graphing Linear Equations Linear Inequalities