Články

Základy maticovej algebry (Hartman)


Základy maticovej algebry (Hartman)

Základy Matrix Algebra, tretie vydanie, brožované vydanie - 2. novembra 2011

Veľmi odporúčam vyzdvihnúť si tento titul pre všetkých študentov, ktorí sa chystajú prihlásiť na prvý kurz lineárnej algebry. Keby som mal túto knihu pred tým, ako som sa zúčastnil takéhoto kurzu, určite by som sa nad malými vecami namáhal o dosť menej a ušetril som si viac času na premýšľanie cez koncepčnejšie aspekty kurzu. Pre LA sa MUSÍTE naučiť základy maticovej algebry za studena, ako poznáte bežných algebraických operátorov, a väčšina profesorov vám na to dá asi 3 týždne od prvého dňa. Potom sa kurz rozbehne a nechá vás za sebou.

Prešiel som to asi na 10 sedeniach potom, čo som absolvoval úplný kurz lineárnej algebry, a spevnil to veľa operatívnych aspektov kurzu a pomohol skutočne skamenieť zozbieranú intuíciu. Hartman je nadaný spisovateľ matematických textov (a pravdepodobne profesor učiteľstva).


Základy maticovej algebry

Tento text sa zaoberá maticovou algebrou, na rozdiel od lineárnej algebry. Bez argumentácie sémantikou sa na maticovú algebru pozerám ako na podmnožinu lineárnej algebry zameranú predovšetkým na základné pojmy a techniky riešenia. Teória je formálne málo rozvinutá a abstraktné koncepty sa vyhýbajú. To je podobné tomu, ako majster tesár učí svojho učňa používať kladivo, pílu a lietadlo predtým, ako vyučuje výrobu skrine.

Táto kniha je určená na čítanie. Každá časť začína otázkami „AKO ČÍTATE“, na ktoré by mal čitateľ vedieť po dôkladnom prečítaní časti odpovedať, aj keď nie sú úplne pochopené všetky koncepcie tejto časti. Tieto otázky používam ako denný kvíz pre čítanie pre svojich študentov. Text je písaný konverzačným spôsobom, dúfajme, že vznikne text, ktorý sa ľahko (a dokonca príjemne) číta.

Uvádza sa veľa príkladov na ilustráciu konceptov. Pri prvom osvojení koncepcie sa snažím demonštrovať všetky potrebné kroky, aby bolo možné dosiahnuť majstrovstvo. Neskôr, keď je tento koncept teraz nástrojom na štúdium iného nápadu, sú niektoré kroky prebraté, aby sa zameral na nový dostupný materiál. Navrhoval by som, aby sa technológia využívala podobným spôsobom.


O

APEX: Acenovo dostupné Print a Electronic TeXtbooky

Tradičná vysokoškolská učebnica súčasnosti je drahý. Niekto môže namietať, že tieto texty stoja za ich vysokú cenu, podobne ako niekto tvrdí, že luxusné auto stojí za svoju vysokú cenu. Pri kúpe automobilu však človek má a výber: ak chcete luxusné auto, môžete si ho kúpiť, ak si to môžete dovoliť. Ak si to nemôžete dovoliť, kúpite si niečo lacnejšie.

Inak tomu nie je ani v prípade učebníc. Existuje len veľmi málo (vôbec?) Textov dostupných prostredníctvom tradičných vydavateľstiev, ktoré sú lacné, ale kvalitné. S rozširovaním nástrojov na desktopovú publikáciu a služieb tlače na požiadanie sa však začali objavovať alternatívy.

(Alternatívy potreba javiť sa ako súčasný model učebnice je nezdravé a pravdepodobne neudržateľné. Pozrite sa na túto správu NPR, ktorá ukazuje, že ceny učebníc medzi rokmi 2002 a 2012 vzrástli o 82%, v porovnaní s výdavkami študentov na učebnice mierne klesol v tom istom období, význam študenti kupujú menej učebníc. Táto správa Planet Money poskytuje prehľad o trhu s učebnicami a stojí za to si ju 15 minút vypočuť.)

Najväčšou zostávajúcou prekážkou pri písaní učebníc je čas: napísať a vyrobiť kvalitný text zjavne trvá veľa času. O riešení tohto problému sa rozhodli niektorí profesori matematiky na Virginskom vojenskom inštitúte spolupráca bol kľúč: čo by malo robiť, keby jeden alebo dvaja autori robili všetku prácu, čo ak by veľa ľudí spolupracovalo na písaní textu? Každý jednotlivec sa mohol špecializovať: niekto by mohol písať príklady, iný, problémové súbory, iný by mal vytvárať grafiku atď. Náklady na čas pre ktorúkoľvek osobu by sa výrazne znížili. Títo profesori matematiky sa rozhodli propagovať túto myšlienku spolupráce pod menom APEX v nádeji, že sa im podarí vytvoriť konzorcium rovnako zmýšľajúcich jednotlivcov, ktorí spolupracovali na zmene prostredia učebnice matematiky.

Základné hodnoty tohto konzorcia sú reprezentované písmenami APEX. Je zrejmé, že píšeme učebnice, hoci sa neobmedzuje iba na matematiku. Produkt musí byť cenovo dostupné. (APEX kalkul je zadarmo vo formáte pdf, ak chcete tlačenú kópiu, môžete si ju vytlačiť sami alebo si kúpiť peknú tlačenú kópiu cez Amazon za približne 15 dolárov.) Aj keď je toho veľa, čo by malo robiť v tom, ako by elektronické knihy a tablety priniesli revolúciu vo vzdelávaní, máme skúsenosť, že veľa študenti stále chcú niečo, čo by mohli chytiť do ruky. A napíš. A psie ucho. Preto musíme urobiť tlačiť dostupné verzie. Je toho veľa, čo treba urobiť elektronickýspojenec, to sa však nedá urobiť v tlači. Táto vzrušujúca hranica ešte nebude úplne preskúmaná, aj keď program APEX Calculus predstavil aspoň jednu vzrušujúcu funkciu - 3D grafiku, s ktorou je možné manipulovať v súbore .pdf!

Na podporu spolupráce je APEX Calculus k dispozícii ako otvorený text. Všetky zdrojové súbory sú k dispozícii na GitHubu pre ostatných, s ktorými sa dá opičiť, na ktoré sa vzťahuje veľkorysá licencia Creative Commons BY-NC. Nechcete sekciu? Vziať to. Vynechali sme nejaký úsek? Pridajte jednu do.

Máte záujem o napísanie textu s otvoreným zdrojovým kódom? Kontaktujte ma!

Príbeh APEX Calc

Semená APEX Calculus boli zasadené, ako som napísal Základy maticovej algebry pre môj kurz Matrix Algebra a Troy napísal Úvod do programov MATLAB a Mathcad pre jeho študentov učiacich sa matematický softvér. Uvedomili sme si, že písanie textov bolo osobnou aj profesionálnou odmenou, a žasli sme, že to viac ľudí nerobí.

Troy, môj kolega Daniel Joseph a ja, sme vymysleli model APEX, v rámci ktorého viac ľudí spolupracuje na písaní textu a odľahčení každého. Rozhodol som sa viesť písanie prvej knihy modelu APEX, textu o lineárnej algebre. Neskôr sa naše zameranie presunulo do písania knihy Multivariable Calculus a požiadali sme o pomoc ďalších dvoch z iných virginských škôl.

Na jeseň roku 2011 VMI ponúkla fakulte granty na podporu projektov, ktoré by významne zmenili vzdelávanie. S Troyovým povzbudením som požiadal o grantové peniaze na nákup vydaní kurzov, aby som mohol venovať značný čas písaniu. O účasť na projekte malo záujem veľa mojich kolegov z miestnej sekcie MAA a potenciál ich podpory som napísal do svojej žiadosti o grant. Aby sme dosiahli čo najväčší vplyv, rozhodli sme sa, že náš text by mal byť kalkul (a nielen časti s viac premennými).

Získal som grant a okamžite som začal plánovať text. Strávil som veľa času určovaním toho, ako bude kniha vyzerať, vrátane výberu písma, toho, ako budú obrázky vyzerať a kde sa budú nachádzať, a vizuálnej metódy určovania, kde príklady začínajú a kedy končia. Väčšina z toho bola v súlade s vlastnosťami tradičných textov. Troy úmyselne myslel na niečo „nové“, čo by sme mohli urobiť, čo by iné texty neurobili, čo nás viedlo k zahrnutiu priestoru Notes do dolnej časti každej stránky.

Keď som oznámil svojim kolegom, ktorí majú záujem, že som dostal správy o kurze vedenia projektu, väčšina mi gratulovala a zdvorilo vycúvala. Pochopil som, prečo sa nemôžu zúčastniť: boli zaneprázdnení rovnako ako ja. Veľký rozdiel medzi nami bol v tom, že som mal dve verzie kurzov a oni nie.

Na jar roku 2012 som urobil veľký pokrok, keď som písal kapitoly 1 až časti 6. Troy pomohol s napísaním dvoch častí a Brian Heinold tiež prispel niekoľkými časťami. Jennifer Bowen upravovala materiál, dávala návrhy a ponúkala ocenené komplimenty. Na jeseň roku 2012 spoločnosť VMI použila tieto dokončené kapitoly na výučbu nášho kurzu Calc 1 a pokračoval som v písaní. Na jar roku 2013 som dokončil všetok materiál Calc 2 a teraz sme učili obidva programy Calc 1 a 2 pomocou nášho novo vyplneného textu.

Tiež mi bolo udelené jedno ďalšie vydanie kurzu. Môj dekan a rada VMI boli ohromení tým, koľko sa toho dosiahlo, a dali mi dodatočné uvoľnenie kurzu, ktoré mi pomôže dokončiť. Takže na jar roku 2013 som napísal veľa materiálu Calc 3. Ale nie všetky. Cez leto som pokračoval v písaní, ale do jesene 2013 som šiel bez celého textu Calc 3. My ako katedra sme sa zaviazali tento text používať, pretože v tom čase už naši študenti nepoznali žiadnu inú knihu s kalkulmi. S 3 kolegami som teda učil program Calc 3 a zúrivo som písal a dokončil text „včas“. Moji kolegovia boli počas tejto doby neuveriteľne trpezliví a nápomocní. Niekoľkými sekciami prispel aj Dimplekumar Chalishajar.

Niekde uprostred písania textu bolo bez formálneho vyhlásenia zrejmé, že ide o „môj“ text. Malo to byť spoločné úsilie, pričom veľa autorov si navzájom prispieva a kritizuje prácu, keď sme sa spoločne usilovali o dokončenie textu. (V tejto vete veľa slov „c“.) Takto to nedopadlo. APEX Calculus bola moja kniha a prispievatelia boli. prispievanie k mojej práci. Úpravy, ktoré predložili, som upravoval, niekedy aj výdatne, bez ich starostlivosti alebo starostí. Napísali, aby mi pomohli (a aj to pomohli!), Aby ma oficiálne neznali ako „spoluautora“.

Aplikácia APEX Calculus Verzia 1.0 bola „vydaná“ na jeseň 2013 a pozostáva z kapitol 1 - 8. Počas tohto akademického roku som dokončil kapitoly 9 - 13 a taktiež som pridal materiál k predtým dokončeným častiam, predovšetkým kapitolám 6 a 8. I tiež opravil veľa preklepov, ktoré našli moji kolegovia. Na jeseň roku 2014 bola vydaná verzia 2.0. Verzia 3.0 bola vydaná v júni 2015. Verzia 4.0 bola vydaná v máji 2018.

APEX Calculus píšem ja, Gregory Hartman, profesor aplikovanej matematiky na Virginskom vojenskom ústave. Príspevky prispeli Troy Siemers a Dimplekumar Chalishajar z VMI a Brian Heinold z univerzity Mount Saint Mary. Text upravila Jennifer Bowen z College of Wooster. Autorské práva sú chránené licenciou Creative Commons Attribution - Noncommercial (BY-NC).

Ďakujem: Ďakujem Troyovi, Brianovi a Dimpleovi za ich príspevky a Jennifer za prečítanie toľkého materiálu. Ďakujem Troyovi, Lee Dewaldovi, Danovi Josephovi, Meagan Heraldovi, Billovi Loweovi a ďalším fakultám VMI, ktorí mi na základe svojich skúseností s výučbou z textu dali početné návrhy a opravy. (Špeciálne poďakovanie Troyovi, Lee a amp Danovi za výučbu programu Calc III, keď som písal materiál Calc III.) Ďakujem Randymu Coneovi za povzbudenie jeho lektorov laboratória Open Math Lab spoločnosti VMI k čítaniu textu a kontrole riešení a vďaka lektorom za to, že tým trávili čas. Veľmi pekne ďakujem Kristi Brownovej a Paulovi Janiczekovi, ktorí využili túto príležitosť ďaleko nad & amp; amp; nad rámec toho, čo som očakával, starostlivo skontroloval každé riešenie a pozorne prečítal každý príklad. Ich pripomienky boli mimoriadne užitočné. Som požehnaný, že toľko ľudí dalo svoj čas na to, aby bola táto kniha lepšia.


Základy maticovej analýzy s aplikáciami

Poskytovanie komplexného pokrytia teórie matíc z geometrického a fyzikálneho hľadiska, Základy maticovej analýzy s aplikáciami popisuje funkčnosť matíc a ich schopnosť kvantifikovať a analyzovať mnoho praktických aplikácií. Kniha, ktorú napísal vysoko kvalifikovaný autorský tím, predstavuje nástroje na maticovú analýzu a je ilustrovaná rozsiahlymi príkladmi a implementáciami softvéru.

Počnúc podrobnou expozíciou a prehodnotením Gaussovej eliminačnej metódy si autori udržujú záujem čitateľov o osviežujúce diskusie o otázkach počtu operácií, rýchlosti a presnosti počítača, zložitých aritmetických formuláciách, parametrizácii riešení a logických pasciach, ktoré nariaďujú prísne dodržiavanie Pokyny Gauss & rsquos. Kniha ohlasuje maticovú formuláciu ako notačný skratok a ako kvantifikátor fyzických operácií, ako sú rotácie, projekcie, odrazy a Gaussove redukcie. Inverzie a vlastné vektory sú vizualizované najskôr v kontexte operátora a potom sú výpočtovo riešené. Teória najmenších štvorcov je vysvetlená vo všetkých svojich prejavoch vrátane optimalizácie, ortogonality, výpočtovej presnosti a dokonca aj teórie funkcií. Základy maticovej analýzy s aplikáciami tiež funkcie:

  • Nové prístupy použité na vysvetlenie rozkladu QR, singulárnej hodnoty, Schurovho a Jordanovho rozkladu a ich aplikácií
  • Pokrytie úlohy maticového exponenciálu pri riešení lineárnych systémov diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi
  • Zhrnutia jednotlivých kapitol, preskúmanie problémov, precvičovanie technického písania, vybrané riešenia a skupinové projekty na uľahčenie porozumenia predloženým koncepciám

Základy maticovej analýzy s aplikáciami je vynikajúca učebnica pre vysokoškolské kurzy lineárnej algebry a teórie matíc pre študentov odboru matematika, inžinierstvo a prírodoveda. Kniha je tiež prístupným referenčným dokumentom pre čitateľov, ktorí hľadajú objasnenie jemných bodov kinematiky, teórie obvodov, teórie riadenia, výpočtových štatistík a numerických algoritmov.


Zhrnutie testu / Revízne listy a testovacie riešenia

  1. Definujte tieto pojmy tvojimi vlastnými slovami: vzorový priestor, distribučná funkcia, pravdepodobnosť (E ).
  2. Popíš čo tvojimi vlastnými slovami čo hovoria podmienky 1 a 2 definície 1.2.
  3. Popíš čo tvojimi vlastnými slovami čo hovoria vlastnosti 1, 2 a 5 vety 1,1.
  4. Čo je to rovnomerné rozdelenie?
  5. S akými problémami sa musíme zaoberať, keď máme nekonečný vzorový priestor?
  6. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná.
  7. Vyskúšajte tieto problémy (zahrňte svoju prácu do úlohy): Cvičenia 1.2.4-5
  1. Aký je všeobecný prístup v príkladoch 2.2, 2.3, 2.4 a 2.6? (Tj. Čo majú tieto príklady spoločné?)
  2. Čo je Bertrandov paradox? Ako sa dá vyriešiť tento paradox?
  3. Čo je rnd?
  4. Napíš pseudokód (alebo iný obrys riešenia) pre cvičenie 2.1.1.
  1. Aký je rozdiel medzi funkciou hustoty a distribučnou funkciou?
  2. Aká je pravdepodobnosť výskytu jediného výsledku pre spojitú náhodnú premennú?
  3. Ako kniha rozlišuje medzi rôznymi spôsobmi použitia distribúcie slova?
  4. Aká je vlastnosť funkcie exponenciálneho rozdelenia bez pamäte?
  5. Vyskúšajte tento problém (zahrňte svoju prácu do úlohy): Cvičenie 2.2.4 (b).
  1. Definujte, čo je permutácia tvojimi vlastnými slovami.
  2. Čo je pevný bod v permutácii?
  3. Čo predpokladáme o vzájomnej nesúrodosti pri vytváraní stromového diagramu?
  4. Čo je problém k narodeninám?
  5. Čo je to vykoľajenie a v akých kontextoch / aplikáciách sa v tejto časti vyskytujú?
  6. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Všetko alebo nič nie sú prijateľné odpovede.)
  7. Vyskúšajte tento problém (zahrňte svoju prácu do úlohy): Cvičenie 3.1.2.
  1. Ako súvisia binomické koeficienty s Pascalovým trojuholníkom?
  2. Definujte skúšky Bernoulliho vlastnými slovami.
  3. Uveďte príklad (nie z knihy) procesu Bernoulliho skúšok.
  4. Poskytnite jednu skutočnú aplikáciu Galtonovej dosky.
  5. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Všetko alebo nič nie sú prijateľné odpovede.)
  6. Vyskúšajte tieto problémy (zahrňte svoju prácu do úlohy): Cvičenie 3.2.1 (a) (b).
  1. Čo je to miešací remorkér?
  2. Čo je to a-hodiť?
  3. Čo je to zamieňanie (niekedy nazývané inverzné zamiešanie)?
  4. Ako sa v tejto časti meria náhodnosť?
  5. Podľa výsledkov v tejto časti, koľkokrát musí byť paluba zamiešaná, než sa začne približovať náhodne?
  6. Čo je faro shuffle? (Pre túto knihu pravdepodobne budete musieť ísť mimo knihu. A mimo knihy mám na mysli internet alebo niekoho, kto túto triedu absolvoval minulý rok.)
  7. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Všetko alebo nič nie sú prijateľné odpovede.)

Bonus: Naučte sa, ako urobiť faro shuffle do konca semestra (ukážte mi to v posledný deň hodiny), a získajte bonus 2% na finále.

  1. Podľa vlastných slov definujte podmienenú pravdepodobnosť.
  2. Pomocou tejto kalkulačky môžete odhadnúť svoju životnosť (ak nechcete, nemusíte uvádzať správne hodnoty):
    https://www.ssa.gov/OACT/population/longevity.html
    Uveďte podmienečné vyhlásenie na základe jedného z riadkov vo výsledkoch (informácie sa neuvádzajú z hľadiska pravdepodobnosti, ale stále môžete zostať ako napríklad Vzhľadom na to, že [bla sa stane], môžem očakávať [bla, ktoré nasleduje].
  3. Vlastnými slovami vysvetlite prečo (P (F | E) = dfrac) (tj. vysvetlite, ako to bolo odvodené).
  4. Čo je Bayesova pravdepodobnosť?
  5. Čo sú vzájomne nezávislé udalosti?
  6. Na čo sa dá použiť Bayesov vzorec? Podajte aspoň dve žiadosti.
  7. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Všetko alebo nič nie sú prijateľné odpovede.)
  8. Vyskúšajte tento problém (do práce zahrňte svoju prácu): Cvičenie 4.1.4 (a), a skús to urobiť pomocou vzorca podmienenej pravdepodobnosti.
  1. Uveďte zoznam siedmich distribučných funkcií, o ktorých sa hovorí v tejto časti.
  2. Podajte aspoň jednu žiadosť o každý zo siedmich distribučných funkcií.
  3. Aký je rozdiel medzi binomickým rozdelením a negatívnym binomickým rozdelením? (Teda v akých scenároch by sme použili jeden namiesto druhého?)
  4. Aký je pôvod distribúcie v Benforde?
  5. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Buďte konkrétni, všetko alebo nič nie sú prijateľné (a pravdepodobne nesprávne) odpovede.)
  6. Vyskúšajte tieto problémy (zahrňte svoju prácu do úlohy): Cvičenie 5.1.7 (a) (b) a 38 (b).
  1. Zadajte vzorce a krátky popis nasledujúcich hustôt: Continuous Uniform, Exponential, Gamma a Normal. (Toto sú časti oddielu, na ktoré sa zameriame.)
  2. S ktorým diskrétnym rozdelením súvisí funkcia exponenciálnej hustoty?
  3. S akou funkciou hustoty súvisí binomické rozdelenie?
  4. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Buďte konkrétni, všetko alebo nič nie sú prijateľné (a pravdepodobne nesprávne) odpovede.)
  5. Ako sa používa veta 5.1 na simulácie?
  1. Vlastnými slovami definujte očakávanú hodnotu.
  2. Čo to znamená, že sa séria absolútne zbližuje? (Možno sa budete musieť ohliadnuť za svojou knihou počtu.)
  3. Ako počítajú (E (X) približne -0,526 ) v príklade 6.13?
  4. Podľa vlastných slov uveďte neformálnu definíciu odchýlky.
  5. Aká je odchýlka súčtu dvoch nezávislých premenných?
  6. Čo je štandardná odchýlka a ako súvisí s očakávanou hodnotou?
  7. Úvaha: Povedzte mi aspoň jednu otázku, ktorá súvisí s touto časťou, alebo aspoň jednu vec, ktorá je podľa vás nejasná. (Buďte konkrétni, všetko alebo nič nie sú prijateľné (a pravdepodobne nesprávne) odpovede.)

Tu je zoznam niektorých kontextov, v ktorých nájdeme odkazy na pravdepodobnostné udalosti v Biblii. Venujte prosím čas pred hodinou prečítaniu týchto pasáží:

  • Pri uctievaní: Leviticus 16: 6-10.
  • Rozdelenie krajiny: 4. Mojžišova 26: 52–56, 33:54, 34:13 Jozue 14: 1–5, 18: 8–10 1 Kronika 6:54 a nasl. Izaiáš 34: 16–17.
  • V právnych otázkach: 4. Mojžišova 36: 1–4 Príslovia 18:18.
  • Určovanie levitských povinností: 1 Kronika 24: 5 a nasl., 25: 8 a nasl., 26: 13 a nasl. Nehemiáš 10:34 Obadiáš 11 Lukáš 1: 5-9.
  • Určenie viny a na základe rozsudku: Jozue 7: 10–15 1 Samuel 14: 36–46 (Urim a Thummim sa zmienili aj inde) Jonáš 1: 7–10 Joel 3: 1–3 Nahum 3:10.
  • Výber vodcov: 1. Samuelova 10: 20–24.
  • Na počiatku sviatku Purim: Ester 3: 7 a Ester 9: 20–32.
  • Pri Ježišovej smrti: Žalm 22: 16–18 Matúš 27:35 Marek 15:24 Lukáš 23:34 Ján 19: 23–24.
  • Na určenie Judášovej náhrady: Skutky 1: 23–26.
  • S odkazom na Božiu vševedúcnosť: Žalm 16: 5–6 Príslovia 16:33.
  1. Uveďte krátku definíciu pre každý z týchto výrazov: vektor, matica, skalár a transpozícia.
  2. Čo meria bodový produkt?
  3. Je krížový produkt komutatívny?
  4. Je krížový produkt asociatívny?
  5. Ak je bodový produkt dvoch vektorov 0, aký je uhol medzi nimi? (Rada: Pozri vetu 2.4.)
  6. Ak je súčin dvoch vektorov 0, aký je ich uhol? (Rada: Pozri vetu 2.8.)
  7. Uveďte dve verzie nerovnosti trojuholníka uvedené v týchto častiach (jedna bola pre veľkosti a druhá pre bodové výrobky, nie obe sa výslovne nazývajú trojuholníková nerovnosť).
  8. Overte, či obidve verzie nerovnosti trojuholníka platia pri použití na vektory ( mathbf

    = langle 1, -2,3 rangle ) a ( mathbf= langle -4,5,6 rangle ).

  9. Vizuálne, čo robí ( text_Q ( textbf

    ) ) zastupovať?

  10. Veľkosť krížového produktu nám hovorí, čo s ktorým geometrickým tvarom? (Teda, aký je tvar a čo nám o ňom hovorí krížový produkt?)
  1. Ako je ( mathbf

    times mathbf) orientované vzhľadom na ( mathbf

    ) a ( mathbf)?

  2. Je krížový produkt komutatívny?
  3. Je krížový produkt asociatívny?
  4. Čo to znamená, ak bude súprava uzavretá v rámci operácie?
  5. Sú vektory ( mathbf

    = langle 1, -2 rangle ) a ( mathbf= langle -2,5 rangle ) lineárne nezávislé? Uveďte krátke vysvetlenie svojej odpovede.

  6. Čo produkuje Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces?
  1. Je ( doľava ( mathbf

    ^ T mathbf right) ^ T = mathbf^ T mathbf

    )? Vysvetlite / ukážte prácu pre svoju odpoveď.

  2. Je sčítanie matice komutatívne?
  3. Je pridanie matice asociatívne?
  4. Aké sú tri základné riadkové operácie?

Pozrieť si aspoň jednu z týchto možností:

    alebo verzia z roku 1972 alebo neklikajte, ak vás desí verzia 80. rokov. (prvé hudobné video vo vesmíre). .
  1. Podľa vlastných slov definujte markovský reťazec.
  2. Čo predstavujú položky v prechodovej matici?
  3. Čo je bežný markovský reťazec?
  4. Čo je základná veta o limite?
  5. Aký je význam fundamentálnej vety o limite?
  6. Zvážte prechodovú maticu [A = begin.1 & .4 & .5 .5 & 0 & .5 .4 & .6 & 0 end. ] Aká je najmenšia sila tejto matice, ktorá prinesie ustálený / nezávislý stav? Na pomoc s tým môžete použiť Mathematica a musíte dávať pozor iba na šesť desatinných miest (zobrazené predvolené číslo).

Štyri základné podpriestory

Stiahnite si video z iTunes U alebo z internetového archívu.

Dobre, tu je prednáška desať v lineárnej algebre. V tejto prednáške musíte urobiť dve dôležité veci.

Jedným z nich je oprava chyby z deviatej prednášky.

Takže tabuľa s tou strašnou chybou je stále tu.

A druhá, veľká vec, ktorú musíte urobiť, je povedať vám o štyroch podpriestoroch, ktoré prichádzajú s maticou.

Videli sme dva podpriestory, priestor stĺpcov a prázdny priestor.

V prvom rade je to skvelý spôsob, ako

Ok. zrekapitulovať a opraviť predchádzajúcu prednášku - takže si pamätáte, že som práve robil R ^ 3. Nemohol som si vziať jednoduchší príklad ako R ^ 3. A napísal som štandardný základ.

Základ - zrejmý základ pre celý trojrozmerný priestor.

A potom som chcel poukázať na to, že tam nebolo nič zvláštne, nič o tom základe, ktorý iný základ nemohol mať.

Mohlo by to mať lineárnu nezávislosť, mohlo by to presahovať priestor.

Je tu veľa ďalších základní.

Takže som začal s týmito vektormi, jeden jeden dva a dva dva päť, a tie boli nezávislé.

A potom som povedal, že tri tri sedem by to neurobili, pretože tri tri sedem je súčet tých.

Takže vo svojej nevine som dal tri, tri a osem.

Pravdepodobne som si myslel, že ak sú tri tri sedem v lietadle, sú - čo viem, je to v lietadle s týmito dvoma, potom pravdepodobne tri tri osem trčí trochu z lietadla a je to nezávislé a dáva to základ.

Ale po hodine mi študent na moje smútok povedal: „Počkaj chvíľu, ten ba- ten tretí vektor, tri tri osem, nie je nezávislý.“ A prečo to povedala?

Vlastne si nenašla čas, nemusela, aby našla www - aká kombinácia tejto a tejto dáva tri tri osem.

Inými slovami, pozrela sa dopredu, pretože povedala, počkajte chvíľu, ak sa pozriem na tú maticu, nie je to nezvratné.

Ten tretí stĺpec nemôže byť nezávislý od prvých dvoch, pretože keď sa pozriem na túto maticu, má dva rovnaké riadky.

Jeho riadky sú zjavne závislé.

A tým sú stĺpce závislé.

Keď sa pozriem na maticu A, ktorá má tieto tri stĺpce, tieto tri stĺpce nemôžu byť nezávislé, pretože táto matica nie je invertovateľná, pretože má dva rovnaké riadky.

A dnešná prednáška dospeje k záveru, skvelému záveru, ktorý spája priestor stĺpcov s priestorom riadkov.

Takže to sú - priestor riadkov bude teraz ďalším z mojich základných podpriestorov.

Riadkový priestor tejto matice alebo tejto - teda riadkový priestor tejto je v poriadku, ale riadkový priestor tejto, pozerám sa na riadky matice - ach, každopádne, Budem mať dva rovnaké riadky a priestor riadkov bude iba dvojrozmerný.

Poradie matice s týmito stĺpcami bude iba dve.

Takže iba dva z týchto stĺpcov, stĺpce môžu byť tiež nezávislé.

Riadky mi hovoria niečo o stĺpcoch, inými slovami niečo, čo som si mal všimnúť a ja som to neurobil.

Takže teraz mi dovoľte určiť tieto štyri základné podpriestory.

Takže tu sú štyri základné podpriestory.

Toto je skutočne jadro tohto prístupu k lineárnej algebre, aby sme videli tieto štyri podpriestory, ako spolu súvisia.

A teraz prichádza radový priestor, niečo nové.

Priestor riadkov, čo je v tom?

Všetko sú to kombinácie riadkov.

Chceme medzeru, takže musíme zobrať všetky kombinácie a začneme riadkami.

Riadky teda pokrývajú priestor riadkov.

Sú riadky základom pre priestor riadkov?

Riadky sú základom priestoru riadkov, keď sú nezávislé, ale ak sú závislé, ako v tomto príklade, moja chyba z poslednej doby, nie sú - tieto tri riadky nie sú základom.

Radový priestor by nebol - bol by iba dvojrozmerný.

Potrebujem len dva rady ako základ.

Takže priestor riadkov, teraz čo je v nich?

Všetko sú to kombinácie riadkov A.

Všetky kombinácie radov A.

Ale nerada pracujem s vektormi riadkov.

Všetky moje vektory boli stĺpcové vektory.

Chcel by som zostať pri stĺpcových vektoroch.

Ako sa môžem dostať k vektorom stĺpcov z týchto riadkov?

Takže ak je to s vami v poriadku, urobím transpozíciu

matrica. Ja, poviem všetky kombinácie stĺpcov A transponovať.

A to mi umožňuje použiť vhodný zápis, stĺpovitý priestor A transpose.

Nič, žiadna matematika tam nepokračovala.

Práve sme dostali nejaké vektory, ktoré ležali, aby sa postavili.

Ale to znamená, že môžeme použiť tento stĺpcový priestor A transpozície, čo mi v peknej maticovej notácii hovorí, čo je to riadkový priestor.

Ok. A konečne je tu ďalší prázdny priestor.

Štvrtý základný priestor bude prázdny priestor A transpozície.

Štvrtý človek je prázdny priestor A transpozície.

A samozrejme môj zápis je N z A transponovať.

To je nulový priestor A transpozície.

Eh, nemáme pre tento priestor dokonalý názov ako - spojenie s A, ale náš obvyklý názov je prázdny prázdny priestor a o chvíľu ti ukážem prečo.

Tak často to nazývam - len aby som napísal toto slovo - ľavý prázdny priestor A.

Takže presne tak, ako máme priestor riadkov A a prepneme ich na priestor stĺpcov A transponovať, takže máme tento priestor chlapov l-, ktorý nazývam ľavým prázdnym priestorom A, ale dobrá notácia je, že je to nulový priestor A transponovať.

Na čo, do akého veľkého priestoru sú - keď A je m na n?

V takom prípade nulový priestor A, čo je v nulovom priestore A?

Vektory s n komponentami, riešenia A x sa rovnajú nule.

Takže nulový priestor A je v R ^ n.

Čo sa nachádza v stĺpcovom priestore A?

Koľko komponentov majú dothose stĺpce?

m. Takže tento priestor stĺpcov je v R ^ m.

A čo priestor stĺpcov A transponovať, ktoré sú len skrytým spôsobom, ako povedať riadky A?

Riadky A, v tejto matici tri krát šesť, majú šesť zložiek, n ​​zložiek.

Priestor stĺpca je v R ^ n.

A nulový priestor A transpozície, vidím, že tento štvrtý priestor je už druhý, viete, zaobchádzanie s občanmi druhej triedy a nezaslúži si to.

Je to, malo by to tam byť, je to tam a nemalo by sa to stláčať.

Nulový priestor A transpozície - nuž, ak by nulový priestor A mal vektory s n zložkami, nulový priestor A transpozície bude v R ^ m.

Chcem nakresliť obrázok štyroch medzier.

Ok. Tu sú štyri medzery.

Dobre, dovoľte mi umiestniť n dimenzionálny priestor na túto stranu.

Potom ktoré boli podpriestory v R ^ n?

Prázdny priestor bol a priestor riadkov bol.

Takže tu máme - môžem urobiť ten obrázok priestoru riadkov?

A môžem urobiť taký obraz prázdneho priestoru?

Toto má byť len náčrt, ktorý vám má pripomenúť, že sú v tomto - čo viete, ako - aký typ vektorov je v tom?

Vektory s n zložkami.

Tu, vo vnútri, pozostávajúceho z vektorov s komponentmi m, je priestor stĺpcov a to, čo nazývam nulovým priestorom A transpose.

To sú tie, ktoré majú m komponentov.

Teraz je našou úlohou pochopiť tieto priestory.

Pretože porozumením týmto priestorom vieme všetko o tejto polovici lineárnej algebry.

Čo mám na mysli pod pochopením týchto priestorov?

Chcel by som vedieť základ pre tieto priestory.

Ako by som pre každý z týchto priestorov vytvoril - postavil základ?

Aký systematický spôsob by vytvoril základ?

A aký je ich rozmer?

Ok. Takže pre každé zo štyroch medzier musím na tieto otázky odpovedať.

A potom - čo má trochu dlhú odpoveď.

A aký je rozmer, ktorý je iba číslom, má teda skutočne krátku odpoveď.

Môžem vám najskôr dať krátku odpoveď?

Nemal by som to robiť, ale tu to je.

Môžem vám povedať rozmer priestoru stĺpca.

Začnem týmto človekom.

Rozmer priestoru stĺpca je poradie,

r. K tomu sme sa vlastne dostali na konci poslednej prednášky, ale len pre príklad.

Takže naozaj musím povedať, OK, čo sa tam deje.

Mal by som vytvoriť základ a potom sa iba pozriem, koľko vektorov som na tom základe potreboval, a odpoveď bude r.

Vlastne to urobím skôr, ako prejdem k ostatným.

Aký je základ pre priestor stĺpcov?

Vykonali sme všetku prácu pri redukcii riadkov, pričom sme identifikovali otočné stĺpce, tie, ktoré majú otočné čapy, a tie, ktoré končia s otočnými čapmi.

Ale teraz ja - otočné stĺpce, ktoré ma zaujímajú, sú stĺpce A, pôvodné A.

A tie otočné stĺpce, je ich r.

Takže ak odpoviem na túto otázku pre priestor stĺpcov, odpoveď bude základom sú otočné stĺpce a dimenzia je poradie r, a sú tu otočné stĺpce r a všetko skvelé.

Takže tomuto priestoru celkom dobre rozumieme.

Pravdepodobne sa ešte trochu vraciam - aby som dokázal, že toto je správna odpoveď, ale viete, že je to správna odpoveď.

Teraz sa pozriem na priestor riadkov.

Mám ti povedať rozmer priestoru radu?

Áno. Skôr ako urobíme čo i len príklad, poviem vám rozmer medzery v riadku.

Priestor riadkov a priestor stĺpcov majú rovnaký rozmer.

Rozmer stĺpcového priestoru A transpozície - to je riadkový priestor - je r.

Ten priestor je trojrozmerný.

To je druh vhľadu, ktorý sa použil v tomto príklade.

Pokiaľ to sú - sú to tri stĺpce matice - dovoľte mi urobiť z nich tri stĺpce matice iba vymazaním niektorých zátvoriek.

Dobre, to sú tri stĺpce matice.

Hodnosť tej matice, keď sa pozriem na stĺpce, tak mi to aj tak nebolo zrejmé.

Ale keď sa pozriem na riadky, tak je to teraz zrejmé.

Riadkový priestor tejto matice je zjavne dvojrozmerný, pretože vidím základ pre riadkový priestor, tento riadok a tento riadok.

A samozrejme, prísne povedané, mám tých chlapov transponovať, prinútiť ich, aby sa postavili.

But the rank is two, and therefore the column space is two dimensional by this wonderful fact that the row space and column space have the same dimension.

And therefore there are only two pivot columns, not three, and, those, the three columns are dependent.

Now let me bury that error and talk about the row space.

Well, I'm going to give you the dimensions of all the spaces.

Because that's such a nice answer.

Ok. So let me come back here.

So we have this great fact to establish, that the row space, its dimension is also the rank.

What about the null space?

What's a basis for the null space?

What's the dimension of the null space?

Let me, I'll put that answer up here for the null space.

Well, how have we constructed the null space?

We took the matrix A, we did those row operations to get it into a form U or, or even further.

We got it into the reduced form R.

And then we read off special solutions.

And every special solution came from a free variable.

And those special solutions are in the null space, and the great thing is they're a basis for it.

So for the null space, a basis will be the special solutions.

And there's one for every free variable, right?

For each free variable, we give that variable the value one, the other free variables zero.

We get the pivot variables, we get a vector in the -- we get a special solution.

So we get altogether n-r of them, because that's the number of free variables.

If we have r -- this is the dimension is r, is the number of pivot variables.

This is the number of free variables.

So the beauty is that those special solutions do form a basis and tell us immediately that the dimension of the null space is n -- I better write this well, because it's so nice -- n-r. And do you see the nice thing?

That the two dimensions in this n dimensional space, one subspace is r dimensional -- to be proved, that's the row space.

The other subspace is n-r dimensional, that's the null space.

And the two dimensions like together give n.

It's really copying the fact that we have n variables, r of them are pivot variables and n-r are free variables, and n altogether.

Ok. And now what's the dimension of this poor misbegotten fourth subspace?

It's got to be m-r. The dimension of this left null space, left out practically, is m-r. Well, that's really just saying that this -- again, the sum of that plus that is m, and m is correct, it's the number of columns in A transpose.

A transpose is just as good a matrix as A.

It just happens to be n by m.

It happens to have m columns, so it will have m variables when I go to A x equals 0 and m of them, and r of them will be pivot variables and m-r will be free variables.

A transpose is as good a matrix as A.

It follows the same rule that the this plus the dimension -- this dimension plus this dimension adds up to the number of columns.

And over here, A transpose has m columns.

Ok. Ok. So I gave you the easy answer, the dimensions.

Now can I go back to check on a basis?

We would like to think that -- say the row space, because we've got a basis for the column space.

The pivot columns give a basis for the column space.

Now I'm asking you to look at the row space.

And I -- you could say, OK, I can produce a basis for the row space by transposing my matrix, making those columns, then doing elimination, row reduction, and checking out the pivot columns in this transposed matrix.

But that means you had to do all that row reduction on A transpose.

It ought to be possible, if we take a matrix A -- let me take the matrix -- maybe we had this matrix in the last lecture.

Ok. That, that matrix was so easy.

We spotted its pivot columns, one and two, without actually doing row reduction.

But now let's do the job properly.

So I subtract this away from this to produce a zero.

Subtracting that away leaves me minus 1 -1 0, right?

And subtracting that from the last row, oh, well that's easy.

Now I've -- the first column is all set.

The second column I now see the pivot.

And I can clean up, if I -- actually,

Ok. Why don't I make the pivot into a 1. I'll multiply that row through by by -1, and then I have 1 1. That was an elementary operation I'm allowed, multiply a row by a number.

And now I'll do elimination.

Two of those away from that will knock this guy out and make this into a 1. So that's now a 0 and that's a

I'm seeing the identity matrix here.

What happened to its row space -- well, what happened -- let me first ask, just because this is, is -- sometimes something does happen.

The column space of R is not the column space of A, right?

Because 1 1 1 is certainly in the column space of A and certainly not in the column space of R.

Those row operations preserve the row space.

So the row, so the column spaces are different.

Different column spaces, different column spaces.

But I believe that they have the same row space.

I believe that the row space of that matrix and the row space of this matrix are identical.

They have exactly the same vectors in them.

Those vectors are vectors with four components, right?

They're all combinations of those rows.

Or I believe you get the same thing by taking all combinations of these rows.

And if true, what's a basis?

What's a basis for the row space of R, and it'll be a basis for the row space of the original A, but it's obviously a basis for the row space of R.

What's a basis for the row space of that matrix?

So a basis for the row -- so a basis is, for the row space of A or of R, is, is the first R rows of R.

Sometimes it's true for A, but not necessarily.

But R, we definitely have a matrix here whose row space we can, we can identify.

The row space is spanned by the three rows, but if we want a basis we want independence.

The row space is also spanned by the first two rows.

This guy didn't contribute anything.

And of course over here this 1 2 3 1 in the bottom didn't contribute anything.

So this, here is a basis. 1 0 1 1 and 0 1 1 0. I believe those are in the row space.

I know they're independent.

Why are they in the row space?

Why are those two vectors in the row space?

Because all those operations we did, which started with these rows and took combinations of them -- I took this row minus this row, that gave me something that's still in the row space.

When I took a row minus a multiple of another row, I'm staying in the row space.

The row space is not changing.

My little basis for it is changing, and I've ended up with, sort of the best basis.

If the columns of the identity matrix are the best basis for R^3 or R^n, the rows of this matrix are the best basis for the row space.

Best in the sense of being as clean as I can make it.

Starting off with the identity and then finishing up with whatever has to be in there.

Do you see then that the dimension is r?

For sure, because we've got r pivots, r non-zero rows.

We've got the right number of vectors, r.

They're in the row space, they're independent.

They are a basis for the row space.

And we can even pin that down further.

How do I know that every row of A is a combination?

How do I know they span the row space?

Well, somebody says, I've got the right number of them, so they must.

But let me just say, how do I know that this row is a combination of these?

By just reversing the steps of row reduction.

If I just reverse the steps and go from A -- from R back to A, then what do I, what I doing?

I'm starting with these rows, I'm taking combinations of them.

After a couple of steps, undoing the subtractions that I did before, I'm back to these rows.

So these rows are combinations of those rows.

Those rows are combinations of those rows.

The two row spaces are the same.

And the natural basis is this guy.

Is that all right for the row space?

The row space is sitting there in R in its cleanest possible form.

Ok. Now what about the fourth guy, the null space of A transpose?

First of all, why do I call that the left null space?

So let me save that and bring that down.

So the fourth space is the null space of A transpose.

So it has in it vectors, let me call them y, so that A transpose y equals 0. If A transpose y equals 0, then y is in the null space of A transpose, of course.

So this is a matrix times a column equaling zero.

And now, because I want y to sit on the left and I want A instead of A transpose, I'll just transpose that equation.

Can I just transpose that?

On the right, it makes the zero vector lie down.

And on the left, it's a product, A, A transpose times y.

If I take the transpose, then they come in opposite order, right?

So that's y transpose times A transpose transpose.

But nobody's going to leave it like that.

That's -- A transpose transpose is just A, of course.

When I transposed A transpose I got back to A.

Now do you see what I have now?

I have a row vector, y transpose, multiplying A, and multiplying from the left.

That's why I call it the left null space.

But by making it -- putting it on the left, I had to make it into a row instead of a column vector, and so my convention is I usually don't do that.

I usually stay with A transpose y equals 0. OK.

And you might ask, how do we get a basis -- or I might ask, how do we get a basis for this fourth space, this left null space?

Ok. I'll do it in the example.

The left null space is not jumping out at me here.

I know which are the free variables -- the special solutions, but those are special solutions to A x equals zero, and now I'm looking at A transpose, and I'm not seeing it here.

So -- but somehow you feel that the work that you did which simplified A to R should have revealed the left null space too.

And it's slightly less immediate, but it's there.

So from A to R, I took some steps, and I guess I'm interested in what were those steps, or what were all of them together.

I don't -- I'm not interested in what particular ones they were.

I'm interested in what was the whole matrix that took me from A to R.

Do you remember Gauss-Jordan, where you tack on the identity matrix?

So I, I'll do it above, here.

So this is now, this is now the idea of -- I take the matrix A, which is m by n.

In Gauss-Jordan, when we saw him before -- A was a square invertible matrix and we were finding its inverse.

Now the matrix isn't square.

But I'll still tack on the identity matrix, and of course since these have length m it better be m by m.

And now I'll do the reduced row echelon form of this matrix.

The reduced row echelon form starts with these columns, starts with the first columns, works like mad, and produces R.

Of course, still that same size, m by n.

And then whatever it did to get R, something else is going to show up here.

It's whatever -- do you see that E is just going to contain a record of what we did?

We did whatever it took to get A to become R.

And at the same time, we were doing it to the identity matrix.

So we started with the identity matrix, we buzzed along.

So we took some -- all this row reduction amounted to multiplying on the left by some matrix, some series of elementary matrices that altogether gave us one matrix, and that matrix is E.

So all this row reduction stuff amounted to multiplying by E.

It certainly amounted to multiply it by something.

And that something took I to E, so that something was E.

So now look at the first part, E A is R.

All I've said is that the row reduction steps that we all know -- well, taking A to R, are in a, in some matrix, and I can find out what that matrix is by just tacking I on and seeing what comes out.

Let's just review the invertible square case.

Because I was interested in it in chapter two also.

When A was square and invertible, I took A I, I did row, row elimination.

And what was the R that came out?

So in chapter two, in chapter two, R was I.

The row the, the reduced row echelon form of a nice invertible square matrix is the identity.

So if R was I in that case, then E was -- then E was A inverse, because E A is I.

Dobre. That's, that was good and easy.

Now what I'm saying is that there still is an E.

It's not A inverse any more, because A is rectangular.

But there is still some matrix E that connected this to this -- oh, I should have figured out in advanced what it was.

I didn't -- I did those steps and sort of erased as I went -- and, I should have done them to the identity too.

I'll keep the identity matrix, like I'm supposed to do, and I'll do the same operations on it, and see what I end up

So I'm starting with the identity -- which I'll write in light, light enough, but -- OK.

I subtracted that row from that one and that row from that one.

OK, I'll do that to the identity.

So I subtract that first row from row two and row three.

Then I think I multiplied -- Do you remember?

I multiplied row two by minus one.

I subtracted two of row two away from row one.

Subtract two of this away from this.

That's minus one, two of these away leaves a plus 2 and 0. I believe that's E.

The way to check is to see, multiply that E by this A, just to see did I do it right.

So I believe E was -1 2 0, 1 -1 0, and -1 0 1. OK.

That's my E, that's my A, and that's R.

All I'm struggling to do is right, the reason I wanted this blasted E was so that I could figure out the left null space, not only its dimension, which I know -- actually, what is the dimension of the left null space?

What's the rank of the matrix?

And the dimension of the null -- of the left null space is supposed to be m-r. It's 3 -2, 1. I believe that the left null space is one dimensional.

There is one combination of those three rows that produces the zero row.

There's a basis -- a basis for the left null space has only got one vector in it.

It's here in the last row of E.

But we could have seen it earlier.

What combination of those rows gives the zero row? -1 of that plus one of that.

So a basis for the left null space of this matrix -- I'm looking for combinations of rows that give the zero row if I'm looking at the left null space.

For the null space, I'm looking at combinations of columns to get the zero column.

Now I'm looking at combinations of these three rows to get the zero row, and of course there is my zero row, and here is my vector that produced it. -1 of that row and one of that

Ok. So in that example -- and actually in all examples, we have seen how to produce a basis for the left null space.

I won't ask you that all the time, because -- it didn't come out immediately from R.

We had to keep track of E for that left null space.

But at least it didn't require us to transpose the matrix and start all over again.

OK, those are the four subspaces.

The row space and the null space are in R^n.

Their dimensions add to n.

The column space and the left null space are in R^m, and their dimensions add to m.

So let me close these last minutes by pushing you a little bit more to a new type of vector space.

All our vector spaces, all the ones that we took seriously, have been subspaces of some real three or n dimensional space.

Now I'm going to write down another vector space, a new vector space.

Say all three by three matrices.

My matrices are the vectors.

You can put quotes around vectors.

Every three by three matrix is one of my vectors.

Now how I entitled to call those things vectors?

I mean, they look very much like matrices.

But they are vectors in my vector space because they obey

the rules. All I'm supposed to be able to do with vectors is add them -- I can add matrices -- I'm supposed to be able to multiply them by scalar numbers like seven -- well, I can multiply a matrix by And that -- and I can take combinations of matrices, I can take three of one matrix minus five of another

matrica. And those combinations, there's a zero matrix, the matrix that has all zeros in it.

If I add that to another matrix, it doesn't change it.

If I multiply a matrix by one it doesn't change it.

All those eight rules for a vector space that we never wrote down, all easily satisfied.

So now we have a different -- now of course you can say you can multiply those matrices.

For the moment, I'm only thinking of these matrices as forming a vector space -- so I only doing A plus B and c times A.

I'm not interested in A B for now.

The fact that I can multiply is not relevant to th- to a vector space.

Ok. So I have three by three matrices.

What's -- tell me a subspace of this matrix space.

Let me call this matrix space M.

That's my matrix space, my space of all three by three matrices.

What about the upper triangular matrices?

All, all upper triangular matrices.

The intersection of two subspaces is supposed to be a subspace.

We gave a little effort to the proof of that fact.

If I look at the matrices that are in this subspace -- they're symmetric, and they're also in this subspace, they're upper triangular, what do they look like?

Well, if they're symmetric but they have zeros below the diagonal, they better have zeros above the diagonal, so the intersection would be diagonal matrices.

That's another subspace, smaller than those.

How can I use the word smaller?

Well, I'm now entitled to use the word smaller.

I mean, well, one way to say is, OK, these are contained in those.

These are contained in those.

But more precisely, I could give the dimension of these spaces.

So I could -- we can compute -- let's compute it next time, the dimension of all upper -- of the subspace of upper triangular three by three matrices.

The dimension of symmetric three by three matrices.

The dimension of diagonal three by three matrices.

Well, to produce dimension, that means I'm supposed to produce a basis, and then I just count how many vecto- how many I needed in the basis.

Let me give you the answer for this one.

The dimension of this -- say, this subspace, let me call it D, all diagonal matrices.

The dimension of this subspace is -- as I write you're working it out -- three.

Because here's a matrix in this -- it's a diagonal matrix.

Better make it diagonal, let me put a seven there.

That was not a very great choice, but it's three diagonal matrices, and I believe that they're a basis.

I believe that those three matrices are independent and I believe that any diagonal matrix is a combination of those three.

So they span the subspace of diagonal matrices.

It's like stretching the idea from R^n to R^(n by n), three by three.

But the -- we can still add, we can still multiply by numbers, and we just ignore the fact that we can multiply two matrices together.


Solutions Manual to accompany Fundamentals of Matrix Analysis with Applications

Solutions Manual to accompany Fundamentals of Matrix Analysis with Applications&mdashan accessible and clear introduction to linear algebra with a focus on matrices and engineering applications.

Buy Set of 2 Items

Táto položka: Solutions Manual to accompany Fundamentals of Matrix Analysis with Applications


Fundamentals of Matrix Computations, 3rd Edition

Retaining the accessible and hands-on style of its predecessor, Fundamentals of Matrix Computations, Third Edition thoroughly details matrix computations and the accompanying theory alongside the author's useful insights. The book presents the most important algorithms of numerical linear algebra and helps readers to understand how the algorithms are developed and why they work.

Along with new and updated examples, the Third Edition features:

  • A novel approach to Francis' QR algorithm that explains its properties without reference to the basic QR algorithm
  • Application of classical Gram-Schmidt with reorthogonalization
  • A revised approach to the derivation of the Golub-Reinsch SVD algorithm
  • New coverage on solving product eigenvalue problems
  • Expanded treatment of the Jacobi-Davidson method
  • A new discussion on stopping criteria for iterative methods for solving linear equations

Throughout the book, numerous new and updated exercises—ranging from routine computations and verifications to challenging programming and proofs—are provided, allowing readers to immediately engage in applying the presented concepts. The new edition also incorporates MATLAB to solve real-world problems in electrical circuits, mass-spring systems, and simple partial differential equations, and an index of MATLAB terms assists readers with understanding the basic concepts related to the software.

Fundamentals of Matrix Computations, Third Edition is an excellent book for courses on matrix computations and applied numerical linear algebra at the upper-undergraduate and graduate level. The book is also a valuable resource for researchers and practitioners working in the fields of engineering and computer science who need to know how to solve problems involving matrix computations.


A Matrix Algebra Approach to Artificial Intelligence

Matrix algebra plays an important role in many core artificial intelligence (AI) areas, including machine learning, neural networks, support vector machines (SVMs) and evolutionary computation. This book offers a comprehensive and in-depth discussion of matrix algebra theory and methods for these four core areas of AI, while also approaching AI from a theoretical matrix algebra perspective.

The book consists of two parts: the first discusses the fundamentals of matrix algebra in detail, while the second focuses on the applications of matrix algebra approaches in AI. Highlighting matrix algebra in graph-based learning and embedding, network embedding, convolutional neural networks and Pareto optimization theory, and discussing recent topics and advances, the book offers a valuable resource for scientists, engineers, and graduate students in various disciplines, including, but not limited to, computer science, mathematics and engineering.

XIAN-DA ZHANG is a Professor Emeritus at the Department of Automation, Tsinghua University, China. He was a Distinguished Professor at Xidian University, Xi’an, China, as part of the Ministry of Education of China and Cheung Kong Scholars Programme, from 1999 to 2002. His areas of research include intelligent signal and information processing, pattern recognition, machine learning and neural networks, evolutional computation, and correlated applied mathematics. He has published over 120 international journal and conference papers. The Japanese translation of his book “Linear Algebra in Signal Processing” (published in Chinese by Science Press, Beijing, in 1997) was published by Morikita Press, Tokyo, in 2008. He also authored the book “Matrix Analysis and Applications” (Cambridge University Press, UK, 2017).

“The book is of very high relevance for students, professors and researchers involved in artificial intelligence (AI), the work is also of very high relevance for the mathematics community in general since it addresses the importance of matrix algebra for the field of AI and how major approaches and state-of-the-art algorithms rely on matrix algebra.” (Carlos Pedro Gonçalves, zbMATH 1455.68010, 2021)


Pozri si video: Основы Булевой алгебры (December 2021).