Články

6: Faktoring polynómov


6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

Kapitola 6. Faktorovanie polynómov

Po dokončení tejto kapitoly by ste mali

Hľadanie faktorov monomálie (časť 6.2)

  • pripomínať produkty polynómov

  • vedieť určiť druhý faktor polynómu s daným prvým faktorom

Faktorovanie monómu z polynómu (časť 6.3)

  • vedieť rozčleniť monomiál z polynómu

Najväčší spoločný faktor (oddiel 6.4)

  • jasnejšie pochopiť proces faktorizácie

  • byť schopný určiť najväčší spoločný faktor z dvoch alebo viacerých výrazov

Faktoring podľa zoskupenia (oddiel 6.5)

  • vedieť, ako rozdeliť polynóm pomocou metódy zoskupovania a kedy vyskúšať metódu zoskupovania

Faktorovanie dvoch špeciálnych produktov (časť 6.6)

  • poznať základné pravidlá factoringu

  • vedieť vypočítať rozdiel dvoch štvorcov a dokonalých štvorcových trojčlenov

Faktorovanie trojčlenov s vedúcim koeficientom 1 (časť 6.7)

  • vedieť koeficientovať trojčlenky s vedúcim koeficientom 1

  • zoznámiť sa s niektorými faktoringovými radami

Faktorovanie trojčlenov s vedúcim koeficientom iným ako 1 (časť 6.8)

  • byť schopný faktorovať trojčlenky s vedúcim koeficientom iným ako 1

6.2. Nájdenie faktorov Monomial *

  • Produkty polynómov

  • Faktoring

Predtým sme študovali násobenie polynómov (časť 4.6). Dostali sme faktorov a požiadali o nájdenie ich výrobok, ako je uvedené nižšie.

Príklad 6.1.

Vzhľadom na faktory 4 a 8 vyhľadajte produkt. 4⋅8 = 32. Produkt je 32.

Príklad 6.2.

Vzhľadom na faktory 6X2 a 2 X−7, vyhľadajte produkt.

6 X2 ( 2 X−7 )=12 X3−42 X2

Produkt je 12 X3−42 X2 .

Príklad 6.3.

Vzhľadom na faktory X−2 r a 3 X + r , vyhľadajte produkt.

Produkt je 3X2 −5Xr−2r2 .

Príklad 6.4.

Vzhľadom na faktory a+8 a a+8, vyhľadajte produkt.

(a+8) 2 =a2 +16a+64

Výrobok je a2 +16a+64 .

Poďme teraz situáciu zvrátiť. Dostaneme produkt a pokúsime sa nájsť faktory. Tento proces, ktorý je opakom násobenia, sa nazýva faktoring.

Faktoring

Faktoring je proces určovania faktorov daného produktu.

Príklad 6.5.

Ďalším faktorom je 4.

Príklad 6.6.

Produkt je 18X3 r4 z2 a jeden faktor je 9Xr2 z . Aký je ďalší faktor?

Vieme to od 9Xr2 z je faktor 18X3 r4 z2 , musí tam byť nejaké množstvo také, že . Delenie 18X3 r4 z2 o 9Xr2 z , dostaneme

Ďalším faktorom je teda 2X2 r2 z .

Kontrola nás presvedčí, že 2X2 r2 z je skutočne ten správny faktor.

Mali by sme sa pokúsiť nájsť kvocient mentálne a vyhnúť sa skutočnému napísaniu problému s delením.

Príklad 6.7.

Produkt je −21a5 bn a 3ab4 je faktor. Nájdite ďalší faktor.

Mentálne rozdelenie −21a5 bn o 3ab4 , dostaneme

Ďalším faktorom je teda −7a4 b n−4 .

Cvičenie 1.

Produkt má 84 a jeden faktor je 6. Aký je ďalší faktor?

14

Cvičenie 2.

Produkt je 14 X3 r2 z5 a jeden faktor je 7 X r z . Aký je ďalší faktor?

2 X2 r z4

V nasledujúcich problémoch predstavuje prvé množstvo produkt a druhé množstvo predstavuje faktor daného produktu. Nájdite ďalší faktor.

Cvičenie 37.

(Oddiel 2.6) Zjednodušiť .

X 12 z6

Cvičenie 38.

(Oddiel 3.3) Zjednodušiť - {- [- (- | 6 |)]}.

Cvičenie 39.

(Oddiel 4.7) Nájdite produkt. (2X−4 ) 2 .

4X2 −16X+16

6.3. Faktorovanie monómu z polynómu *

  • Faktorizačný proces

Faktorizačný proces

Zavedieme proces rozkladu monomómu z polynómu skúmaním problému: Predpokladajme, že 12X2 +20X je produkt a jedným z faktorov je 4X . Aby sme našli ďalší faktor, mohli by sme problém nastaviť takto:

4X⋅( )=12X2 +20X

Od produktu 12X2 +20X sa skladá z dvoch členov, pričom výraz sa násobí 4X musí pozostávať z dvoch pojmov, pretože, podľa distribučného majetku

Teraz vidíme, že tento problém je iba rozšírením hľadania faktorov monomia.

Teda 4X⋅( 3X+5 )=12X2 +20X .

Zvyčajne sa tieto rozdelenia dajú urobiť mentálne a podmienky faktora sa vyplnia priamo.

Príklad 6.8.

Produkt je 3X7 −2X6 +4X5 −3X4 a jeden faktor je X4 . Nájdite ďalší faktor.

Máme problém: X4 krát „aký výraz“ prinesie 3X7 −2X6 +4X5 −3X4 ? Matematicky

X4 ⋅( )=3X7 −2X6 +4X5 −3X4

Pretože v produkte sú štyri výrazy, v zátvorke musia byť štyri výrazy. Aby sme našli každý zo štyroch výrazov, rozdelíme (mentálne) každý výraz produktu X4 . Výsledný kvocient bude nevyhnutným termínom faktora.

Preto je ďalším faktorom 3X3 −2X2 +4X−3 .

Tento výsledok je možné skontrolovať použitím distribučnej vlastnosti.

Teda

Opäť platí, že ak sa dajú rozdelenia vykonať mentálne, proces môže pokračovať veľmi rýchlo.

Príklad 6.9.

Produkt je 10X3 r6 +15X3 r4 −5X2 r4 a faktor je 5X2 r4 . Nájdite ďalší faktor.

5X2 r4 ⋅( )=10X3 r6 +15X3 r4 −5X2 r4

Pretože v produkte sú tri výrazy, v zátvorke musia byť tri výrazy. Aby sme našli každý z týchto troch výrazov, rozdelíme každý výraz produktu na 5X2 r4 .

Ďalším faktorom je 2Xr2 +3X-1, a

Príklad 6.10.

Produkt je −4a2b3 +2c a faktor je -1. Nájdite ďalší faktor.

−1( )=−4a2b3 +2c

Pretože v produkte sú tri výrazy, v zátvorke musia byť tri výrazy. Každý výraz produktu rozdelíme (mentálne) číslom −1.

Ďalším faktorom je 4a2 +b3 −2c a

−1(4a2 +b3 −2c)=−4a2b3 +2c

Bez toho, aby sme napísali -1, dostaneme sa

−(4a2 +b3 −2c)=−4a2b3 +2c

Príklad 6.11.

Produkt je -3a2 b5 −15a3 b2 +9a2 b2 a faktor je -3a2 b2 . Nájdite ďalší faktor.

−3a2 b2 ( )=−3a2 b5 −15a3 b2 +9a2 b2

Mentálne vydelenie každého člena pôvodnej trojčlenky −3a2 b2 , dostaneme b3 +5a−3 ako ďalší faktor a

−3a2 b2 (b3 +5a−3)=−3a2 b5 −15a3 b2 +9a2 b2

Cvičenie 40.

Produkt je 3X2 −6X a faktor je 3X . Nájdite ďalší faktor.

X−2

Cvičenie 41.

Produkt je 5r4 +10r3 −15r2 a faktor je 5r2 . Nájdite ďalší faktor.

r2 +2r−3

Cvičenie 42.

Produkt je 4X5 r3 −8X4 r4 +16X3 r5 +24Xr7 a faktor je 4Xr3 . Nájdite ďalší faktor.

X4 −2X3 r+4X2 r2 +6r4

Cvičenie 43.

Výrobok je –25 a4−35 a2+5 a faktor je −5. Nájdite ďalší faktor.

5a4 +7a2 −1

Cvičenie 44.

Výrobok je -a2 +b2 a faktor je -1. Nájdite ďalší faktor.

a2b2

Pre nasledujúce problémy predstavuje prvé množstvo produkt a druhé množstvo faktor. Nájdite ďalší faktor.

Cvičenie 95.

(Oddiel 4.2) Koľko 4r2 Sú tam v 24 X2 r3 ?

6X2 r

Cvičenie 96.

(Oddiel 4.7) Nájdite produkt. (2r−3) 2 .

Cvičenie 97.

(Oddiel 5.4) Riešiť 2 (2a−1)−a=7 .

a=3

Cvičenie 98.

(Časť 6.2) Vzhľadom na to, že 3m2 n je faktor 12m3 n4 , nájdite ďalší faktor.

6.4. Najväčší spoločný faktor*

  • Faktoringová metóda

  • Najväčší spoločný faktor

V posledných dvoch typoch problémov (časti 6.2 a 6.3) sme poznali jeden z faktorov a druhý sme boli schopní určiť delením. Predpokladajme, že teraz dostaneme produkt bez akýchkoľvek faktorov. Náš problém je nájsť faktory, ak je to možné. Tento postup a dva predchádzajúce postupy sú založené na distribučnom vlastníctve.

Distribučný majetok použijeme v opačnom poradí.

Všimli sme si, že v produkte a je spoločné pre oba pojmy. (V skutočnosti, a je spoločným faktorom oboch pojmov.) Od a je spoločné pre obidva pojmy, urobíme to rozlúsknuť to a napíš

a( )

Teraz musíme určiť, čo umiestniť do zátvorky. Toto je postup v predchádzajúcej časti. Vydeľte každý výraz produktu známym faktorom a.

Teda ba csú požadované podmienky druhého faktora. Teda

ab+ac=a(b+c)

Pri rozkladaní monomómu z polynómu hľadáme faktory, ktoré nie sú spoločné iba pre každý výraz polynómu, ale faktory, ktoré majú tieto vlastnosti:

  1. Číselné koeficienty sú najväčšie bežné číselné koeficienty.

  2. Premenné obsahujú najväčšie spoločné exponenty všetkých premenných.

Monomiálny faktor, ktorý spĺňa vyššie uvedené dve požiadavky, sa nazýva najväčší spoločný faktor polynómu.

Príklad 6.12.

Faktor 3X−18.

Najväčší spoločný faktor je 3.

Príklad 6.13.

Faktor 9X3 +18X2 +27X.

Všimnite si, že 9X je najväčší spoločný faktor.

Príklad 6.14.

Faktor 10X2 r3 −20Xr4 −35r5 .

Všimnite si, že 5r3 je najväčší spoločný faktor. Faktor von 5r3 .

10X2 r3 −20Xr4 −35r5 =5r3 ( )

Mentálne rozdeliť 5r3 do každého výrazu produktu a výsledné kvocienty umiestnite do ().

10X2 r3 −20Xr4 −35r5 =5r3 (2X2 −4Xr−7r2 )

Príklad 6.15.

Faktor −12X5 +8X3 −4X2 .

Vidíme, že najväčší spoločný faktor je −4X2 .

−12X5 +8X3 −4X2 =−4X2 ( )

Mentálne rozdelenie −4X2 do každého výrazu produktu dostaneme

−12X5 +8X3 −4X2 =−4X2 (3X3 −2X+1)

Cvičenie 99.

Faktor 4X−48.

4(X−12)

Cvičenie 100.

Faktor 6r3 +24r2 +36r.

6r(r2 +4r+6)

Cvičenie 101.

Faktor 10a5 b4 −14a4 b5 −8b6 .

2b4 (5a5 −7a4 b−4b2 )

Cvičenie 102.

Faktor −14m4 +28m2 −7m.

−7m(2m3 −4m+1)

Zvážte tento problém: faktor AX+Ar. Určite AX+Ar=A(X+r). Od začiatku štúdia algebry vieme, že písmená predstavujú jednotlivé veličiny. Vieme tiež, že veličinu vyskytujúcu sa v množine zátvoriek treba považovať za jednu veličinu. Predpokladajme, že list A predstavuje množstvo (a+b). Potom máme

AX+ Ar= A(X+r)

(a+b)X+(a+b)r=(a+b)(X+r)

Keď pozorujeme výraz

(a+b)X+(a+b)r

všimneme si, že (a+b) je spoločný pre oba výrazy. Pretože je to bežné, tak to vytriedime.

(a+b)( )

Ako obvykle určujeme, čo sa má umiestniť do zátvorky, a to tak, že každý výraz produktu vydelíme (a+b).

Takto dostaneme

(a+b)X+(a+b)r=(a+b)(X+r)

Toto je predchodca faktoringu, ktorý sa uskutoční v časti 5.4.

Príklad 6.16.

Faktor (X−7)a+(X−7)b.

Všimni si (X−7) je najväčší spoločný faktor. Rozdeliť (X−7).

Príklad 6.17.

Faktor 3X2 (X+1)−5X(X+1) .

Všimni si X a (X+1) sú spoločné pre obidva výrazy. Rozdelte ich. Túto faktorizáciu vykonáme tak, že to dovolíme A=X(X+1). Potom máme

Cvičenie 103.

Faktor (r+4)a+(r+4)b.

(r+4)(a+b)

Cvičenie 104.

Faktor 8m3 (n−4)−6m2 (n−4).

2m2 (n−4)(4m−3)

Pri nasledujúcich problémoch zvážte polynómy.

Cvičenie 148.

(Oddiel 5.6) Množstvo plus 21% viac z tohto množstva je 26,25. Aké je pôvodné množstvo?

Cvičenie 149.

(Časť 5.8) Vyriešte rovnicu 6 (t−1)=4(5−s) ak s=2.

t=3

Cvičenie 150.

(Časť 6.3) Vzhľadom na to, že 4a3 je faktor 8a3 −12a2 , nájdite ďalší faktor.

6.5. Faktoring podľa zoskupenia*

  • Použitie zoskupenia na faktorovanie polynómu

  • Vedieť, kedy vyskúšať metódu zoskupovania

Použitie zoskupenia na faktorovanie polynómu

Polynóm niekedy nebude mať konkrétny faktor spoločný pre každý výraz. Stále však môžeme byť schopní vytvoriť faktorizovaný tvar polynómu.

Polynóm X3+3 X2−6 X−18 nemá jediný faktor, ktorý je spoločný pre každý výraz. Všimli sme si však, že keby skupina dokopy prvé dva pojmy a druhé dva pojmy vidíme, že každý výsledný dvojčlen má osobitný činiteľ spoločný pre oba pojmy.

Faktor X2 z prvých dvoch výrazov a faktor −6 z druhých dvoch výrazov.

X2 (X+3) −6(X+3)

Teraz sa bližšie pozri na tento dvojčlen. Každý z týchto dvoch pojmov obsahuje faktor (X+3) .

Rozdeliť (X+3) .
(X+3) (X2 −6) je konečná faktorizácia.

X3 +3X2 −6X−18= (X+3) (X2 −6)

Vedieť, kedy vyskúšať metódu zoskupovania

Na myšlienku zoskupenia sme upozornení, keď má polynóm, o ktorom uvažujeme buď z týchto vlastností:

  1. žiadny spoločný faktor všetko podmienky

  2. an dokonca počet pojmov

Pri faktoringu podľa zoskupenia bude znamienko (+ alebo -) faktora, ktorý vyberáme zvyčajne (ale nie vždy) byť rovnaké ako znamienko prvého výrazu v tejto skupine.

Príklad 6.18.

Faktor 8a2 b4 −4b4 +14a2 −7 .

  1. Všimli sme si, že neexistuje žiadny faktor spoločný pre všetky výrazy.

  2. Vidíme, že existujú štyri výrazy, párne číslo.

  3. Vidíme, že výrazy 1 a 2 majú +4b4 spoločné (keďže 1. volebné obdobie v skupine je +8a2 b4 ) .

  4. Všimli sme si, že 3. a 4. volebné obdobie majú spoločné +7 (keďže 1. volebné obdobie v skupine je +14a2 ).

Na zoskupenie nasledujúcich polynómov použite metódu zoskupovania.

Cvičenie 151.

a X+a r+b X+b r

(a+b) (X+r)

Cvičenie 152.

2am+8m+5an+20n

(2m+5n) (a+4)

Cvičenie 153.

a2 X3 +4a2 r3 +3bX3 +12br3

(a2 +3b) (X3 +4r3 )

Cvičenie 154.

15mX+10nX−6mr−4nr

(5X−2r) (3m+2n)

Cvičenie 155.

40abX−24abXr−35c2 X+21c2 Xr

X(8ab−7c2 ) (5−3r)

Cvičenie 156.

Pri rozkladaní polynómu 8a2b4−4b4+14a2−7 vo vzorke A, boli sme zoskupené pojmy 1 a 2 a 3 a 4. Mohli sme zoskupiť pojmy 1 a 3 a 2 a 4? Skúste to.
8a2 b4 −4b4 +14a2 −7=

Áno

Dosiahneme rovnaký výsledok? Ak výsledky nevyzerajú úplne rovnako, pripomeňme si komutatívnu vlastnosť násobenia.

Pri nasledujúcich problémoch použite metódu zoskupovania na rozdelenie polynómov. Niektoré polynómy nemusia byť pri použití metódy zoskupovania rozdeliteľné.

Cvičenie 180.

(Oddiel 2.6) Zjednodušiť (X5 r3 ) (X2 r) .

Cvičenie 181.

(Oddiel 3.8) Použite vedecký zápis na vyhľadanie produktu (3 × 10 −5 )(2× 10 2 ) .

6× 10 −3

Cvičenie 182.

(Časť 4.8) Nájdite doménu rovnice .

Cvičenie 183.

(Časť 5.8) Zostrojte graf nerovnosti r≥−2 .

Cvičenie 184.

(Oddiel 6.4) Faktor 8a4 b4 +12a3 b5 −8a2 b3 .

6.6. Faktoring dvoch špeciálnych produktov *

  • Rozdiel dvoch štvorcov

  • Základné pravidlá faktoringu

  • Perfektné štvorcové trojčlenky

Rozdiel dvoch štvorcov

Pripomeňme si, že keď sme vynásobili obidva dvojčleny ( a+b ) a ( ab ), produkt sme získali a2b2 .

( a+b ) ( ab )=a2b2

Dokonalé námestie

Všimnite si, že podmienky a2 a b2 vo výrobku je možné vyrobiť druhou mocninou a a b , resp. Výraz, ktorý je štvorcom iného výrazu, sa nazýva a dokonalý štvorec. Teda oboje a2 a b2 sú dokonalé štvorce. Znamienko mínus medzi a2 a b2 znamená, že berieme rozdiel z dvoch štvorcov.
Pretože to vieme ( a+b ) ( ab )=a2b2 , na nájdenie faktorizačného tvaru stačí otočiť rovnicu.

a2b2=( a+b ) ( ab )
Faktorizačná forma hovorí, že dokážeme faktorovať a2b2 , rozdiel dvoch štvorcov, nájdením výrazov, ktoré vytvárajú dokonalé štvorce, a dosadením týchto veličín do faktorizačného tvaru.
Pri použití reálnych čísel (tak ako sme my) neexistuje súčinný tvar pre súčet dvoch štvorcov. To znamená, že pomocou reálnych čísel

a2+b2 nemôže zohľadniť

Príklad 6.19.

Faktor X2-16. Oboje X2 a 16 sú dokonalé štvorce. Výrazy, ktoré keď vzniknú na druhú, vzniknú X2 a 16 sú X a 4, v uvedenom poradí. Teda

X2−16=( X+4 ) ( X−4 )

Našu faktorizáciu môžeme skontrolovať jednoducho vynásobením.

Príklad 6.20.

49 a2 b4-121. Obaja 49 a2 b4 a 121 sú dokonalé štvorce. Výrazy, ktoré keď vzniknú hranou, vytvárajú 49 a2 b4 a 121 je 7 a b2 a 11, v uvedenom poradí. Nahradením týchto výrazov do faktorizačnej formy, ktorú dostaneme

49 a2 b4−121=(7 a b2+11) (7 a b2−11)

Našu faktorizáciu môžeme skontrolovať vynásobením.

Príklad 6.21.

3 X2−27. To nevyzerá ako rozdiel dvoch štvorcov, pretože ľahko nepoznáme výrazy, ktoré vytvárajú 3 X2 a 27. Všimnite si však, že číslo 3 je spoločné pre obidva výrazy. Faktor out 3.

3 ( X2−9 )

Teraz to vidíme X2−9 je rozdiel dvoch štvorcov. Faktoring X2−9 dostaneme

Dávajte pozor, aby ste faktor 3 nevypustili.

Ak je to možné, nasledujúce dvojčleny úplne započítajte.

Cvičenie 185.

m2−25

( m+5 ) ( m−5 )

Cvičenie 186.

36 p2−81 q2

9 ( 2 p−3 q ) ( 2 p+3 q )

Cvičenie 187.

49a4b2 c2

(7a2 +bc)(7a2bc)

Cvičenie 188.

X8 r4 −100w 12

(X4 r2 +10w6 )(X4 r2 −10w6 )

Cvičenie 189.

3X2 −75

3 ( X+5 ) ( X−5 )

Cvičenie 190.

a3 b4 ma m3 n2

am(ab2 +mn)(ab2mn)

Základné pravidlá faktoringu

Pri faktoringu sa riadime dvoma základnými pravidlami:

Základné pravidlá faktoringu

  1. Najprv vylúčte všetky bežné monomály.

  2. Faktor úplne.

Faktorujte každý dvojčlen úplne.

Príklad 6.22.

Teraz vidíme rozdiel dvoch štvorcov, zatiaľ čo v pôvodnom polynóme sme to nedokázali. Našu faktorizáciu doplníme tak, že započítame rozdiel dvoch štvorcov.

Príklad 6.23.

Nakoniec je faktorizácia dokončená.

Tieto typy výrobkov sa objavujú občas, takže majte na pamäti, že možno budete musieť brať do úvahy viac ako raz.

Faktorujte každý dvojčlen úplne.

Cvičenie 191.

m4n4

(m2 +n2 )(mn)(m+n)

Cvičenie 192.

16r8 −1

(4r4 +1)(2r2 +1)(2r2 −1)

Perfektné štvorcové trojčlenky

Pripomeňme si proces kvadratúry dvojčlenu.

Tabuľka 6.1.
Naša metóda jeVšímame si
Zarovnajte prvý termín.Prvý výraz produktu by mal byť dokonalý štvorec.
Vezmite produkt dvoch výrazov a zdvojnásobte ho.Stredná čiara produktu by mala byť deliteľná 2 (pretože sa vynásobí 2).
Zarovnajte posledné volebné obdobie.Posledným výrazom produktu by mal byť dokonalý štvorec.

Perfektné štvorcové trojčlenky vždy faktor ako druhá mocnina dvojčlenu.

Ak chcete rozpoznať dokonalú štvorcovú trojčlenku, hľadajte nasledujúce funkcie:

  1. Prvý a posledný výraz sú dokonalé štvorce.

  2. Stredný člen je deliteľný 2, a ak stredný člen rozdelíme na polovicu (opak jeho zdvojnásobenia), dostaneme súčin výrazov, ktoré keď na druhú vytvoria prvý a posledný člen.

Inými slovami, započítanie dokonalého štvorcového trojuholníka predstavuje nájdenie výrazov, ktoré keď vzniknú druhú, vytvoria prvý a posledný člen trojčlenu a ich nahradenie jedným zo vzorcov

Faktor každý dokonalý štvorcový trojčlen.

Príklad 6.24.

X2 +6X+9. Tento výraz je dokonalým štvorcovým trojčlenom. The X2 a 9 sú dokonalé štvorce.

Výrazy, ktoré keď sa stane druhou, produkujú X2 a 9 sú X a 3, v uvedenom poradí.

Stredný termín je deliteľný dvoma a . 3 X je produktom X a 3, čo sú výrazy, ktoré vytvárajú dokonalé štvorce.

X2 +6X+9= (X+3) 2

Príklad 6.25.

X4 –10X2 r3 +25r6 . The X4 a 25r6 sú obidve dokonalé štvorce. Výrazy, ktoré keď sa stane druhou, produkujú X4 a 25r6X2 a 5r3 , resp.

Strednodobé obdobie –10X2 r3 je deliteľné 2. V skutočnosti, . Teda

X4 –10X2 r3 +25r6 = (X2 –5r3 ) 2

Príklad 6.26.

X2 +10X+16. Tento výraz je nie dokonalý štvorcový trojuholník. Aj keď je stredný termín deliteľný , 5 a X nie sú výrazy, ktoré keď na druhú vytvoria prvý a posledný výraz. (Tento výraz by bol dokonalou štvorcovou trojčlenou, ak by stredný termín bol 8X .)

Príklad 6.27.

4a4 +32a2 b–64b2 . Tento výraz je nie perfektný štvorcový trojuholník od posledného funkčného obdobia –64b2 nie je dokonalý štvorec (pretože akákoľvek druhá mocnina je vždy kladná alebo nulová a nikdy záporná).

Teda 4a4 +32a2 b–64b2 pomocou tejto metódy nie je možné zohľadniť.

Faktor, ak je to možné, nasledujúce trojčlenky.

Cvičenie 193.

m2 –8m+16

(m–4) 2

Cvičenie 194.

k2 +10k+25

(k+5) 2

Cvičenie 195.

4a2 +12a+9

(2a+3) 2

Cvičenie 196.

9X2 –24Xr+16r2

(3X–4r) 2

Cvičenie 197.

2w3 z+16w2 z2 +32wz3

2wz (w+4z) 2

Cvičenie 198.

X2 +12X+49

nemožné

Pri nasledujúcich problémoch zvážte dvojčleny.

Pri nasledujúcich problémoch zvážte, pokiaľ je to možné, trojčlenky.

Cvičenie 277.

(Oddiel 6.4) Faktor ( m−3 ) X( m−3 ) r .

( m−3 )( Xr )

Cvičenie 278.

(Oddiel 6.5) Faktor 8 X m+16 X n+3 r m+6 r n zoskupením.

6.7. Faktorovanie trojčlenov s vedúcim koeficientom 1*

  • Metóda

  • Faktoringové rady

Pozrime sa na produkt dvoch dvojčlenov ( X+4) a ( X+7 ) .

Všimnite si, že prvý termín vo výslednej trojčlenke pochádza z produktu prvých výrazov v dvojčlenoch: XX=X2 . The posledný termín v trojčleni pochádza z produktu posledných výrazov v dvojčlenoch: 4⋅7 = 28. The strednodobý termín pochádza z pridania vonkajších a vnútorných výrobkov: 7 X+4 X=11 X . Všimnite si tiež, že strednodobý koeficient je presne ten súčet posledných výrazov v dvojčlenoch: 4 + 7 = 11.

Problém, ktorý nás zaujíma, je ten, že vzhľadom na trinomiál môžeme nájsť faktory? Keď je vedúci koeficient (koeficient kvadratického člena) 1, pozorovania, ktoré sme vykonali vyššie, nás vedú k nasledujúcej metóde faktoringu.

Metóda faktoringu

  1. Napíšte dve sady zátvoriek:.

  2. Do každej zátvorky vložte dvojčlen. Prvý člen každého dvojčlenu je faktorom prvého členu trojčlenu.

  3. Určte druhé členy dvojčlenu určením faktorov tretieho člena, ktoré po spočítaní poskytnú koeficient stredného člena.

Zvažte nasledujúce trojčlenky.

Príklad 6.28.

X2 +5X+6

  1. Napíšte dve sady zátvoriek: .

  2. Umiestnite faktory X2 do prvej polohy každej sady zátvoriek:

  3. Tretí člen trojčlenky je 6. Hľadáme dve čísla, ktorých
    a) výrobok je 6 a
    b) súčet je 5.
    Požadované čísla sú 3 a 2. Do zátvoriek vložte +3 a +2.

    X2 +5X+6=(X+3) (X+2)

    Faktorizácia je dokončená. Pre istotu skontrolujeme.

Príklad 6.29.

r2 −2r−24

  1. Napíšte dve sady zátvoriek: .

  2. Umiestnite faktory r2 do prvej polohy každej sady zátvoriek:

  3. Tretí člen trojčlenky je −24. Hľadáme dve čísla, ktorých
    a) produkt je −24 a
    (b) súčet je -2.
    Požadované čísla sú -6 a 4. Do zátvoriek vložte −6 a +4.

    r2 −2r−24=(r−6) (r+4)

    Faktorizácia je dokončená. Pre istotu skontrolujeme.

Všimnite si, že ostatné kombinácie faktorov –24 (niektoré sú –2,12; 3, –8; a –4,6) nefungujú. Napríklad,

Vo všetkých týchto rovniciach sú stredné členy nesprávne.

Príklad 6.30.

a2 −11a+30

  1. Napíšte dve sady zátvoriek: .

  2. Umiestnite faktory a2 do prvej polohy každej sady zátvoriek:

  3. Tretí člen trinomiálu je +30. Hľadáme dve čísla, ktorých
    a) výrobok je 30 a
    (b) súčet je −11.
    Požadované čísla sú −5 a −6. Do zátvoriek vložte −5 a −6.

    a2 −11a+30=(a−5) (a−6)

    Faktorizácia je dokončená. Pre istotu skontrolujeme.

Príklad 6.31.

3X2 −15X−42

Než začneme, pripomeňme si najzákladnejšie pravidlo faktoringu: najskôr vylúčiť spoločné monomálne faktory. Všimnite si, že 3 je najväčší spoločný monomický faktor v každý termín. Faktor out 3.

3X2 −15X−42=3(X2 −5X−14)

Teraz môžeme pokračovať.

  1. Napíšte dve sady zátvoriek:.

  2. Umiestnite faktory X2 do prvej polohy každej sady zátvoriek:

  3. Tretí člen trojčlenky je −14. Hľadáme dve čísla, ktorých
    a) výrobok je −14 a
    (b) súčet je −5.
    Požadované čísla sú −7 a 2. Do zátvoriek vložte −7 a +2.

    3X2 −15X−42=3(X−7) (X+2)

    Faktorizácia je dokončená. Pre istotu skontrolujeme.

Faktor, ak je to možné, nasledujúce trojčlenky.

Cvičenie 279.

k2+8 k+15

(k+3) (k+5)

Cvičenie 280.

r2+7 r−30

(r+10) (r−3)

Cvičenie 281.

m2+10 m+24

(m+6) (m+4)

Cvičenie 282.

m2−10 m+16

(m−8) (m−2)

Faktoringové trojčlenky môžu vyžadovať určitú prax, ale s časom a skúsenosťami budete schopní faktorovať oveľa rýchlejšie.

Existuje niekoľko indícií, ktoré sú užitočné pri určovaní faktorov tretieho obdobia, ktoré po pridaní poskytujú koeficient stredného obdobia.

Faktoringové rady

Pozri na podpísať posledného volebného obdobia:

  1. Ak je znamienko kladné, vieme, že tieto dva faktory musia mať to isté podpísať, keďže (+) (+) = (+) a (-) (-) = (+). Tieto dva faktory budú mať rovnaké znamienko ako znamienko v strednodobom horizonte.

  2. Ak je znamienko záporné, vieme, že musia existovať dva faktory opak znamienka, keďže (+) (-) = (-) a (-) (+) = (-).

Príklad 6.32.

Faktor X2 −7X+12 .

  1. Napíšte dve sady zátvoriek: .

  2. Tretí člen trojčlenky je +12. Znamienko je pozitívne, takže dva faktory 12, ktoré hľadáme, musia mať rovnaké znamienko. Budú mať strednodobý znak. Znamenie strednodobého obdobia je záporné, takže obidva faktory 12 sú záporné. Sú to −12 a −1, −6 a −2 alebo −4 a −3. Iba faktory −4 a −3 sa pridajú k −7, takže −4 a −3 sú správne faktory 12, ktoré sa majú použiť.

    X2 −7X+12=(X−4) (X−3)

Faktor, ak je to možné, nasledujúce trojčlenky.

Cvičenie 283.

4 k2+32 k+28

4(k+7) (k+1)

Cvičenie 284.

3 r4+24 r3+36 r2

3r2 (r+2) (r+6)

Cvičenie 285.

X2X r−6 r2

(X+2r) (X−3r)

Cvičenie 286.

–5 a5 b−10 a4 b2+15 a3 b3

−5a3 b(a+3b) (ab)

Ak je to možné, urobte faktor trojice podľa nasledujúcich problémov.

Cvičenie 327.

(Oddiel 6.5) Faktor 6 X r+2 a X−3 a ra2 .

( 2Xa )( 3r+a )

Cvičenie 328.

(Časť 6.6) Faktor 8 a2−50 .

Cvičenie 329.

(Časť 6.6) Faktor 4 X2+17 X−15 .

( 4X−3 )( X+5 )

6.8. Faktorovanie trojčlenov s vedúcim koeficientom iným ako 1 *

  • Metóda faktorizácie

Metóda faktorizácie

V poslednej časti sme videli, že by sme mohli ľahko faktorovať trojčlenky formy X2+b X+c hľadaním faktorov konštanty c ktoré zvyšujú koeficient lineárneho člena b , ako je uvedené v nasledujúcom príklade:

Faktor X2 - 4 X - 21 .
Tretí člen trojčlenky je −21. Hľadáme dve čísla, ktorých

a) výrobok je −21 a
(b) súčet je −4.

Vyžadované čísla sú −7 a +3.

X2 - 4 X - 21=( X - 7 ) ( X+3 )

Problém rozkladu polynómu a X2+b X+c , a ≠ 1, sa viac angažuje. Budeme študovať dve metódy faktorovania takýchto polynómov. Každá metóda poskytuje rovnaký výsledok a mali by ste zvoliť metódu, ktorá vám najviac vyhovuje. Prvá metóda sa nazýva metóda pokus - omyl a vyžaduje niekoľko vzdelaných dohadov. Preskúmame dva príklady (Sample Sets A a B). Potom budeme študovať druhú metódu faktoringu. Druhá metóda sa nazýva metóda zhromažďovania a vyraďovaniaa vyžaduje menej hádania ako metóda pokusu a omylu. Sada vzoriek C ilustruje použitie metódy zhromažďovania a vyraďovania.

Skúšobná a chybová metóda faktoringu aX2+bX+c

Skúšobná a chybová metóda

Zvážte produkt

Skúmanie trinomia 20 X2+23 X+6 , môžeme okamžite vidieť niektoré faktory prvého a posledného výrazu.

Tabuľka 6.2.
20X26
20X, X6, 1
10X, 2X3, 2
5X, 4X

Naším cieľom je zvoliť správnu kombináciu faktorov prvého a posledného člena, ktoré poskytnú stredný termín 23 X .
Všimnite si, že strednodobý termín pochádza z súčet z vonkajšie a vnútorné množeniu dvoch dvojčlenov.

Táto skutočnosť nám poskytuje spôsob, ako nájsť správnu kombináciu.

Hľadajte kombináciu, ktorá kedy znásobený a potom doplnené dáva strednodobý termín.

Správna kombinácia, ktorú hľadáme, je

Príklad 6.33.

Faktor 6X2 +X−12 .

Faktor prvý a posledný termín.

Teda 3X a 3 sa majú znásobiť, 2X a −4 sa majú vynásobiť.

Príklad 6.34.

Faktor 8X2 −30X−27 .

Nájdite faktory prvého a posledného výrazu.

Teda 4X a −9 sa majú vynásobiť a 2X a 3 sa majú znásobiť.

Príklad 6.35.

Faktor 15X2 +44X+32 .

Predtým, ako začneme hľadať faktory prvého a posledného výrazu, všimnite si, že konštantný člen je +32. Keďže výrobok je pozitívne, dva faktory, ktoré hľadáme musieť mať rovnaké znamenie. Musia byť pozitívne alebo obidva negatívne. Teraz strednodobý termín, +44X , predchádza kladné znamienko. Vieme, že strednodobý termín pochádza z súčet vonkajších a vnútorných výrobkov. Ak sa majú tieto dve čísla sčítať s kladným číslom, musia byť samy obe kladné. Keby boli záporné, ich súčet by bol záporný. Môžeme teda konštatovať, že dva faktory, ktoré hľadáme, sú kladné čísla. Eliminuje sa tým niekoľko faktorov s hodnotou 32 a znižuje sa množstvo práce.
Faktor prvý a posledný termín.

Po niekoľkých pokusoch vidíme, že 5X a 4 sa majú množiť a 3X a 8 sa majú znásobiť.

15X2 +44X+32=(5X+8)(3X+4)

Príklad 6.36.

Faktor 18X2 −56X+6 .

Vidíme, že každý výraz je párny, takže môžeme vylúčiť 2.

2(9X2 −28X+3)

Všimnite si, že konštantný výraz je pozitívny. Vieme teda, že hľadané faktory 3 musia mať rovnaké znamenie. Pretože znak stredného obdobia je negatívny, musia byť oba faktory negatívne.
Faktor prvý a posledný termín.

Nie je veľa kombinácií, ktoré by sme mohli vyskúšať, a zistíme, že 9X a -3 sa majú vynásobiť a X a -1 sa majú vynásobiť.

Keby sme najskôr nezapočítali dvojku, dostali by sme faktorizáciu

Faktorizácia nie je úplná, pretože jeden z faktorov sa môže ďalej zohľadňovať.

Výsledky sú rovnaké, ale je oveľa jednoduchšie určiť polynóm po tom, ako boli najskôr zohľadnené všetky bežné faktory.

Príklad 6.37.

Faktor 3X2 +X−14 .

Neexistujú spoločné faktory. Vidíme, že konštantný člen je záporný. Faktory –14 teda musia mať rôzne znaky.
Faktor prvý a posledný termín.

Po niekoľkých pokusoch vidíme, že 3X a −2 sa majú vynásobiť a X a 7 sa majú znásobiť.

3X2 +X−14=(3X+7)(X−2)

Príklad 6.38.

Faktor 8X2 −26Xr+15r2 .

Vidíme, že konštantný člen je kladný a že strednému členu predchádza znamienko mínus.
Preto sú faktory 15r2 ktoré hľadáme, musia byť negatívne.
Faktor prvý a posledný termín.

Po niekoľkých pokusoch vidíme, že 4X a −5r sa majú znásobiť a 2X a -3r sa majú znásobiť.

8X2 −26Xr+15r2 =(4X−3r)(2X−5r)

Ak je to možné, zohľadnite nasledujúce faktory.

Cvičenie 330.

2X2 +13X−7

(2X−1)(X+7)

Cvičenie 331.

3X2 +X−4

(3X+4)(X−1)

Cvičenie 332.

4a2 −25a−21

(4a+3)(a−7)

Cvičenie 333.

16b2 −22b−3

(8b+1)(2b−3)

Cvičenie 334.

10r2 −19r−15

(5r+3)(2r−5)

Cvičenie 335.

6m3 +40m2 −14m

2m(3m−1)(m+7)

Cvičenie 336.

14p2 +31pq−10q2

(7p−2q)(2p+5q)

Cvičenie 337.

−24w2 z2 +14wz3 −2z4

−2z2 (4wz)(3wz)

Cvičenie 338.

3X2 +6Xr+2r2

nie faktorabilný

Postupom času s rozcvičovaním týchto typov polynómov si budete rýchlejšie vyberať správne kombinácie. Vyžaduje si to veľa cviku!
Pri výbere správnych kombinácií môže pomôcť skratka. Tento proces nie vždy funguje, ale zdá sa, že v mnohých prípadoch platí. Potom, čo ste zapracovali prvý a posledný výraz a začínate hľadať správne kombinácie, začnite znakom medziprodukt faktory, a nie extrémne.

Príklad 6.39.

Faktor 24X2 −41X+12 .

Faktor prvý a posledný termín.

Tabuľka 6.3.
24X212
24X, X−12, −1
12X, 2X−6, −2
8X, 3X−4, −3
6X, 4X

Namiesto toho, aby ste začali s 24X,X a −12, −1, vyberte nejaké stredné hodnoty, 8X a 3X , 6.X a 4X alebo −6 a −2 alebo −4 a −3.

24X2 −41X+12=(8X−3)(3X−4)

Cvičenie 339.

Faktor 48X2 +22X–15 .

(6X+5)(8X−3)

Cvičenie 340.

Faktor 54r2 +39rw−28w2 .

(9r−4w)(6r+7w)

Metóda zhromažďovania a vyraďovania faktoringu aX2+bX+c

Metóda zhromažďovania a vyraďovania

Uvažujme polynóm 6X2 +X−12. Začíname identifikáciou a a c . V tomto prípade, a= 6 a c= −12. Začíname tak, ako by sme začali a=1 .

Teraz vypočítajte ac .

ac=(6)(−12)=−72

Nájdite faktory −72, ktoré pripočítajú k 1, koeficientu X , lineárny výraz. Faktory sú 9 a −8. Tieto faktory uveďte v zátvorke.

6X2 +X−12: (6X+9)(6X−8)

Zahrnuli sme však príliš veľa. Musíme odstrániť prebytok. Zvážte každú zátvorku.

6X2 +X−12: 3(2X+3)⋅2(3X−4)

Faktory, ktoré sa množia, zahoďte a= 6. V tomto prípade 3 a 2. Zostáva nám správna faktorizácia.

6X2 +X−12=(2X+3)(3X−4)

Príklad 6.40.

Faktor 10X2 +23X−5 .

Identifikovať a= 10 a b=−5 .

Vypočítať

ac=(10)(−5)=−50

Nájdite faktory −50, ktoré pripočítajú k +23 koeficientu X , lineárny výraz. Faktory sú 25 a -2. Tieto čísla vložte do zátvoriek.

10X2 +23X−5: (10X+25)(10X−2)

Nazbierali sme príliš veľa. Zvážte každú sadu zátvoriek a eliminujte prebytok.

10X2 +23X−5: (5)(2X+5)⋅(2)(5X−1)

Faktory, ktoré sa množia, zahoďte a= 10. V tomto prípade 5 a 2.

10X2 +23X−5=(2X+5)(5X−1)

Príklad 6.41.

Faktor 8X2 −30X−27 .

Identifikovať a= 8 a c=−27 .

Vypočítať

ac=(8)(−27)=−216

Nájdite faktory −216, ktoré pripočítajú k −30, koeficientu X , lineárny výraz. To si vyžaduje určité zamyslenie. Faktory sú −36 a 6. Tieto čísla vložte do zátvoriek.

8X2 −30X−27: (8X−36)(8X+6)

Nazbierali sme príliš veľa. Zvážte každú sadu zátvoriek a eliminujte prebytok.

8X2 −30X−27: (4)(2X−9)⋅(2)(4X+3)

Faktory, ktoré sa množia, zahoďte a= 8. V tomto prípade 4 a 2.

8X2 −30X−27=(2X−9)(4X+3)

Príklad 6.42.

Faktor 18X2 −5Xr−2r2 .

Identifikovať a= 18 a c=−2 .

Vypočítať

ac=(18)(−2)=−36

Nájdite faktory −36, ktoré pripočítajú k −5, koeficientu xy . V tomto prípade −9 a 4. Tieto čísla vložte do zátvoriek a pripevnite ich r každému.

18X2 −5Xr−2r2 : (18X−9r)(18X+4r)

Nazbierali sme príliš veľa. Zvážte každú sadu zátvoriek a eliminujte prebytok.

18X2 −5Xr−2r2 : (9)(2Xr)⋅(2)(9X+2r)

Faktory, ktoré sa množia, zahoďte a= 18. V tomto prípade 9 a 4.

18X2 −5Xr−2r2 =(2Xr)(9X+2r)

Cvičenie 341.

Faktor 6X2 +7X−3 .

(3X−1)(2X+3)

Cvičenie 342.

Faktor 14X2 −31X−10 .

(7X+2)(2X−5)

Cvičenie 343.

Faktor 48X2 +22X−15 .

(6X+5)(8X−3)

Cvičenie 344.

Faktor 10X2 −23Xw+12w2 .

(5X−4w)(2X−3w)

Ak je to možné, zohľadnite nasledujúce problémy.

Pri nasledujúcich problémoch sa daný trojčlen vyskytuje pri riešení zodpovedajúceho aplikovaného problému. Faktor každý trinomiál. Problém nemusíte riešiť.

Pri nasledujúcich problémoch zvážte trojčlenky, ak je to možné.

Cvičenie 384.

(Oddiel 2.7) Zjednodušiť (a3 b6 ) 4 .

Cvičenie 385.

(Časť 4.6) Nájdite produkt. X2 (X−3)(X+4) .

X4 +X3 −12X2

Cvičenie 386.

(Oddiel 4.7) Nájdite produkt. (5m−3n) 2 .

Cvičenie 387.

(Časť 5.3) Vyriešte rovnicu 5 (2X−1)−4(X+7)=0 .

Cvičenie 388.

(Časť 6.7) Faktor X5 −8X4 +7X3 .

6.9. Zhrnutie kľúčových koncepcií *

Faktoring (časť 6.2)

Faktoring je proces určovania faktorov niektorého produktu. Faktoring je opakom násobenia.

Najväčší spoločný faktor (oddiel 6.4)

The najväčší spoločný faktor polynómu je faktor, ktorý je spoločný pre každý výraz polynómu a je taký

  1. Numerický koeficient je najväčší počet spoločný pre každý výraz.

  2. Premenné majú najväčšie exponenty, ktoré sú spoločné pre všetky premenné.

Faktorovanie monomómu z polynómu (časť 6.4)

Ak A je najväčší spoločný faktor A X+A r potom
A X+A r=A ( X+r )

Faktoring podľa zoskupenia (oddiel 6.5)

Sme upozornení na myšlienku faktoring zoskupením keď uvažujeme o polynóme

  1. Nemá žiadny faktor spoločný pre všetky výrazy.

  2. Má párny počet výrazov.

Špeciálne výrobky (oddiel 6.6)

Základné pravidlo faktoringu (oddiel 6.6)

  1. Najprv vylúčte všetky bežné monomály.

  2. Faktor úplne.

Faktorovanie trojčlenov (oddiel 6.7, oddiel 6.8)

Jednou z metód faktorovania trinomiálu je zoznam všetkých dvojíc faktorov prvého aj posledného člena a potom výber kombinácie, ktorá po vynásobení a pridaní vytvorí stredný člen.

6.10. Dodatok k cvičeniu *

Nájdenie faktorov monomilu (časť 6.2)

Pre nasledujúce problémy predstavuje prvé množstvo produkt a druhé množstvo faktor. Nájdite ďalší faktor.

Cvičenie 389.

16a4

Cvičenie 390.

Cvičenie 391.

4a2 c

Cvičenie 392.

Cvičenie 393.

17( a+1 ) ( b+3 ) 4

Cvičenie 394.

Cvičenie 395.

4X4 r4 ( X+r ) 3 ( X+3r ) 2

Cvičenie 396.

Cvičenie 397.

−4X5 r n−8

Cvičenie 398.

Cvičenie 399.

( X−2 )

Cvičenie 400.

Cvičenie 401.

4a−1

Cvičenie 402.

Cvičenie 403.

−3r2 +9r−12

Cvičenie 404.

Cvičenie 405.

X2 r−2X+3

Cvičenie 406.

Cvičenie 407.

X+2r+c2

Cvičenie 408.

Faktorovanie monomómu z polynómu (časť 6.3) - najväčší spoločný faktor (časť 6.4)

Pri nasledujúcich problémoch zvážte polynómy.

Cvičenie 409.

8a+4

4( 2a+1 )

Cvičenie 410.

10X+10

Cvičenie 411.

3r2 +27r

3r( r+9 )

Cvičenie 412.

6a2 b2 +18a2

Cvičenie 413.

21(X+5)+9

3( 7X+38 )

Cvičenie 414.

14(2a+1)+35

Cvičenie 415.

ma3m

Cvičenie 416.

15r3 −24r+24

Cvičenie 417.

r2 (r+1) 3 −3r (r+1) 2 +r+1

( r+1 ) [ r2 ( r+1 ) 2 −3r( r+1 )+1 ]

Cvičenie 418.

Pa+Pb+Pc

Cvičenie 419.

(10–3X)(2+X)+3(10−3X)(7+X)

( 10−3X )( 23+4X )

Faktoring podľa zoskupenia (oddiel 6.5)

Pri nasledujúcich problémoch použite metódu zoskupovania na rozdelenie polynómov. Niektoré nemusia byť faktorabilné.

Cvičenie 420.

4aX+X+4ar+r

Cvičenie 421.

Xr+4X−3r−12

( X−3 )( r+4 )

Cvičenie 422.

2ab−8b−3ab−12a

Cvičenie 423.

a2 −7a+ab−7b

( a+b )( a−7 )

Cvičenie 424.

m2 +5m+nm+5n

Cvičenie 425.

r2 +rsrs

( r−1 )( r+s )

Cvičenie 426.

8a2 bc+20a2 bc+10a3 b3 c+25a3 b3

Cvičenie 427.

a(a+6)−(a+6)+a(a−4)−(a−4)

2( a+1 )( a−1 )

Cvičenie 428.

a(2X+7)−4(2X+7)+a(X−10)−4(X−10)

Faktoring dvoch špeciálnych produktov (časť 6.6) - Faktorovanie trojčlenov s vedúcim koeficientom iným ako 1 (časť 6.8)

Ak je to možné, zoraďte polynómy pre nasledujúce problémy.

Cvičenie 429.

m2 −36

( m+6 )( m−6 )

Cvičenie 430.

r2 −81

Cvičenie 431.

a2 +8a+16

( a+4 ) 2

Cvičenie 432.

c2 +10c+25

Cvičenie 433.

m2 +m+1

nie faktorabilný

Cvičenie 434.

r2r−6

Cvičenie 435.

a2 +9a+20

( a+5 )( a+4 )

Cvičenie 436.

s2 +9s+18

Cvičenie 437.

X2 +14X+40

( X+10 )( X+4 )

Cvičenie 438.

a2 −12a+36

Cvičenie 439.

n2 −14n+49

( n−7 ) 2

Cvičenie 440.

a2 +6a+5

Cvičenie 441.

a2 −9a+20

( a−5 )( a−4 )

Cvičenie 442.

6X2 +5X+1

Cvičenie 443.

4a2 −9a−9

( 4a+3 )( a−3 )

Cvičenie 444.

4X2 +7X+3

Cvičenie 445.

42a2 +5a−2

( 6a−1 )( 7a+2 )

Cvičenie 446.

30r2 +7r−15

Cvičenie 447.

56m2 +26m+6

Cvičenie 448.

27r2 −33r−4

Cvičenie 449.

4X2 +4Xr−3r2

( 2X+3r )( 2Xr )

Cvičenie 450.

25a2 +25ab+6b2

Cvičenie 451.

2X2 +6X−20

2( X−2 )( X+5 )

Cvičenie 452.

−2r2 +4r+48

Cvičenie 453.

X3 +3X2 −4X

X( X+4 )( X−1 )

Cvičenie 454.

3r4 −27r3 +24r2

Cvičenie 455.

15a2 b2ab−2b

Cvičenie 456.

4X3 −16X2 +16X

Cvičenie 457.

Cvičenie 458.

a4 +16a2 b+16b2

Cvičenie 459.

4X2 −12Xr+9r2

( 2X−3r ) 2

Cvičenie 460.

49b4 −84b2 +36

Cvičenie 461.

r6 s8 +6r3 s4 p2 q6 +9p4 q 12

Cvičenie 462.

a4 −2a2 b−15b2

Cvičenie 463.

81a8 b 12 c 10 −25X 20 r 18

Cvičenie 464.

(Časť 6.2) Produkt je 27a3 +9a2 +9a a faktor je 3a . Nájdite ďalší faktor.

9a2 +3a+3

Cvičenie 465.

(Časť 6.2) Produkt je 15Xn+5r3n−2 . Nájdite ďalší faktor.

5Xn r 2n−3

Pri nasledujúcich problémoch zvážte, ak je to možné, polynómy.

Cvičenie 466.

(Oddiel 6.4) −14X2 r4 b−28X2 r3 b–42X2 r2

Cvičenie 467.

(Oddiel 6.4) ( r+2 ) a +( r+2 ) c

( a+c )( r+2 )

Cvičenie 468.

(Oddiel 6.5) 6X2r2z+5X2 r3−12 X r z-10x r2

Xr( Xr−2 )( 6z+5r )

Cvičenie 469.

(Časť 6.6) 4a2−16c2

4( a+2c )( a−2c )

Cvičenie 470.

(Časť 6.6) m4n4

Cvičenie 471.

(Časť 6.6) b2 +8b+16

( b+4 ) 2

Cvičenie 472.

(Časť 6.6) 9r2−30 r+25

( 3r−5 ) 2

Cvičenie 473.

(Časť 6.7) X2+ 5x − 15

nie faktorabilný

Cvičenie 474.

(Časť 6.7) X2X−30

( X−6 )( X+5 )

Cvičenie 475.

(Časť 6.8) 4X6−36X4+80X2

Cvičenie 476.

(Časť 6.8) 9X2 +25X−6

( 9X−2 )( X+3 )

Riešenia


Štátna univerzita v Kansase

Toto video obsahuje:
* Faktoring je najdôležitejší proces, ktorý sa naučíte v College Algebra a v ďalších lekciách
* Recenzia klasifikácie polynómov (pomenovanie polynómov), sčítanie / odčítanie / násobenie polynómov
* Rozdiel medzi delením a faktoringom
* Technika „spoločného faktora“, kedy ju treba vyhľadať a ako vyzerá
* Ako skontrolovať techniku ​​spoločného faktora

Príklady:

Toto video obsahuje:
* Kroky faktora zoskupenia pomocou techniky spoločného faktora
* Koľko výrazov zdôrazňuje faktor zoskupením
* Prečo na zoskupenie výrazov používať skôr podčiarknutia ako zátvorky
* Prečo musí byť zátvorka zodpovedajúca faktoru zoskupením, aby fungoval
* Ako skontrolovať faktor pomocou techniky zoskupovania
* Prečo by mal byť váš konečný formát v zátvorkách okolo oboch množín výrazov

Príklady:

3: Faktor podľa trojčlenného úvodu a jednoduché príklady

Toto video obsahuje:
* Recenzia procesu FOILINGu, pretože je opačný ako faktor podľa techniky trinomia
* Faktor trinomiálnou technikou využívajúci postup FÓLIA spätne, vrátane správnych znakov
* Koľko výrazov zdôrazňuje techniku ​​Trinomail
* V akom poradí by mala byť sada zátvoriek
* Ako skontrolovať faktor trojčlennou metódou

Príklady:

4: Faktorovanie komplikovanejších trojčlenov

Toto video obsahuje:
* Pripomíname, že polynómy by mali byť vždy v zostupnom poradí, najmä predtým, ako sa ich pokúsite rozdeliť
* Pripomienka, že musíte vždy najskôr vyhľadať akékoľvek bežné faktory
* Prečo je trojčlenný factoring ťažší, keď máte číslo s prvým volebným obdobím
* Akými číslami začať v metóde hádania a kontroly
* Užitočný tip na trojčlenky a bežné faktory
* Návrh na nevymazanie pokusov a omylov, aby ste neskúšali stále tú istú kombináciu
* Pripomienka, ako skontrolovať svoj trojčlenný faktoring
* Pripomienka toho, ako vyzerá zostupné poradie, s dvoma premennými
* Kedy zhustiť dva faktory ako binomický štvorček

Príklady:

5: Faktorovanie rozdielu štvorcov

Toto video obsahuje:
* Prehľad všetkých ostatných doterajších techník (až do 3:15)
* Koľko výrazov zdôrazňuje techniku ​​Rozdiel štvorcov
* Ako názov, Rozdiel štvorcov, úplne vysvetľuje túto techniku ​​- musí to byť rozdiel (odčítanie)
* Ako sa jedná o špeciálny prípad opaku FARBY
* Aké sú znaky rozdielu štvorcov
* Ako skontrolovať rozdiel v technikách štvorcov
* Pripomienka, aby ste skontrolovali, či je polynóm v zostupnom poradí, a najskôr vyhľadajte spoločné faktory
* To, že ste faktororovali pomocou jednej techniky, ešte neznamená, že ste dokončili factoring - vždy sa pozrite na faktor ďalej!
* Recenzia slovnej zásoby, konjugáty
* Vzorec rozdielu štvorcov

Príklady:

6: Faktorovanie súčtu a rozdielu kociek

Toto video obsahuje:
* Podobnosť medzi „rozdielom štvorcov“ a „súčtom / rozdielom kociek“
* Vzorec pre každú zo súčtov a rozdielov kociek
* Koľko výrazov zdôrazňuje techniku ​​Súčet / Rozdiel kociek
* Pripomienka, aby ste skontrolovali, či je polynóm v zostupnom poradí, a najskôr vyhľadajte spoločné faktory
* Návrh na vloženie polynómu do formátu vzorca pred pokusom o faktor
* Pripomienka iba preto, že ste použili jednu techniku, ešte neznamená, že ste dokončili factoring - vždy sa pozrite na faktor ďalej!
* Náznak druhej sady zátvoriek sa nikdy nebude považovať za trojčlen, aj keď má vždy tri členy
* Ako skontrolovať súčet / rozdiel techniky kocky vynásobením polynómov

Príklady:

7: Rozdelenie negatívov

Toto video obsahuje:
* Kedy je najlepšie vylúčiť zápor
* Pripomienka, aby ste skontrolovali, či je polynóm v zostupnom poradí, a najskôr vyhľadajte spoločné faktory
* Pripomienka iba preto, že ste použili jednu techniku, ešte neznamená, že ste dokončili factoring - vždy sa pozrite na faktor ďalej!
* Pripomienka, aby ste vždy skontrolovali faktoring vynásobením

Príklady:

Toto video obsahuje:
* Prehľad všetkých faktoringových techník
* Kontrolný zoznam, ktorý by ste mali dodržiavať pri vytváraní koeficientov pre akýkoľvek polynóm - ako všetky techniky spolupracujú
* Pripomienka, aby ste skontrolovali, či je polynóm v zostupnom poradí, a najskôr vyhľadajte spoločné faktory
* Pripomienka iba preto, že ste použili jednu techniku, ešte neznamená, že ste dokončili factoring - vždy sa pozrite na faktor ďalej!
* Pripomienka, aby ste vždy skontrolovali faktoring vynásobením
* Pripomienka, aby ste skopírovali všetku prácu krok za krokom, aby ste nestratili žiadne dôležité podrobnosti
* Pripomeňte, že faktoring je váš „najlepší priateľ“, najdôležitejšia technika pre vysokoškolskú algebru a všetky nasledujúce hodiny

Príklady:


Faktoring - základy

Keď sme študovali zlomky, dozvedeli sme sa, že najväčší spoločný faktor (GCF) z dvoch čísel je najväčšie číslo, ktoré sa rovnomerne rozdelí na obe čísla. Napríklad [latex] 4 [/ latex] je GCF [latex] 16 [/ latex] a [latex] 20 [/ latex], pretože je to najväčší počet, ktorý sa rovnomerne rozdelí na obidve [latex] 16 [/ latex ] a [latex] 20 [/ latex]. GCF polynómov funguje rovnakým spôsobom: [latex] 4x [/ latex] je GCF [latex] 16x [/ latex] a [latex] 20^ <2> [/ latex], pretože je to najväčší polynóm, ktorý sa rovnomerne rozdeľuje na [latex] 16x [/ latex] a [latex] 20^ <2> [/ latex].

Pri výpočte polynomického výrazu je naším prvým krokom kontrola GCF. Vyhľadajte GCF koeficientov a potom vyhľadajte GCF premenných.

Všeobecná poznámka: Najväčší spoločný faktor

The najväčší spoločný faktor (GCF) polynómov je najväčší polynóm, ktorý sa rovnomerne rozdeľuje na polynómy.

Ako: Pri zadaní polynomického výrazu vyraďte najväčší spoločný faktor

  1. Identifikujte GCF koeficientov.
  2. Identifikujte GCF premenných.
  3. Kombináciou vyhľadajte GCF výrazu.
  4. Určte, čím je potrebné vynásobiť GCF, aby sa získal každý výraz vo výraze.
  5. Zapíšte faktorizovaný výraz ako produkt GCF a súčet výrazov, ktorými sa musíme vynásobiť.

Príklad: Faktorovanie najväčšieho spoločného faktora

Najskôr vyhľadajte GCF výrazu. GCF [latex] 6,45 [/ latex] a [latex] 21 [/ latex] je [latex] 3 [/ latex]. GCF [latexu]^<3>,^ <2> [/ latex] a [latex] x [/ latex] je [latex] x [/ latex]. (Upozorňujeme, že GCF množiny výrazov v tvare [latex])^[/ latex] bude vždy najnižší exponent.) GCF pre [latex]^<3>,^ <2> [/ latex] a [latex] y [/ latex] je [latex] y [/ latex]. Kombinujte ich a nájdite GCF polynómu [latex] 3xy [/ latex].

Ďalej určite, čím je potrebné GCF vynásobiť, aby sa získal každý termín polynómu. Zistili sme, že [latex] 3xy left (2^<2>^ <2> vpravo) = 6^<3>^ <3>, 3xy doľava (15xy doprava) = 45^<2>^ <2> [/ latex] a [latex] 3xy ľavý (7 pravý) = 21xy [/ latex].

Nakoniec napíšte faktorizovaný výraz ako produkt GCF a súčet výrazov, ktorými sme potrebovali vynásobiť.

Analýza riešenia

Po faktoringu môžeme našu prácu skontrolovať vynásobením. Pomocou distribučnej vlastnosti potvrďte, že [latex] ľavý (3xy pravý) ľavý (2^<2>^ <2> + 15xy + 7 vpravo) = 6^<3>^<3>+45^<2>^ <2> + 21xy [/ latex].

Skús to

Faktor [latex] x vľavo (^ <2> -a doprava) +6 doľava (^ <2> -a right) [/ latex] vytiahnutím GCF.


Faktoringové polynómy

Dve dôležité vety pre skutočné polynómy. Faktorovať polynóm znamená napísať ho ako produkt
polynómov nižšieho stupňa. Kompletný faktoring znamená písať polynóm ako produkt polynómov
to sa nedá ďalej započítať. Nasledujúce dve vety nám poskytujú pohľad na to, ako to možno urobiť.
Prvý výsledok spája štyri rôzne pojmy algebry (funkcie, rovnice, výrazy a
grafy) pre polynómy, zatiaľ čo druhý ukazuje to najlepšie, v čo môžeme pri faktoringu dúfať.

& bullThe Zero Theorem. Ak p je polynóm a c je číslo (možno zložité), potom nasledujúce
4 výroky sú ekvivalentné:

1. p (c) = 0, to znamená, že c je nula funkcie p.
2. x = c je riešením rovnice p (x) = 0.
3. (x - c) možno vylúčiť z výrazu p (x).
4. Ak c je skutočné, potom (c, 0) je x - priesečník krivky y = p (x).

& bullVeta o skutočnej faktorizácii. Akýkoľvek polynóm p je možné do produktu zapracovať jedinečným spôsobom
zahŕňajú nasledujúce

- Vedúci koeficient a
- Lineárne členy tvaru (x - c), kde c je nula p
- Kvadratické členy tvaru (x ^ 2 + ux + v) bez skutočných núl, ktoré sa nazývajú neredukovateľné kvadratiky.

Komplexné čísla a factoring úplne. Ak používame iba reálne čísla, tak nie každý polynóm
možno rozdeliť na jednoduché lineárne výrazy. Napríklad x ^ 2 + 1 nemá skutočné riešenie, takže ho nemožno zohľadniť
ďalej. Ak však povolíme komplexné čísla - a najmä imaginárne & quot číslo
do našich faktorizácií potom možno x ^ 2 +1 započítať ako (x-i) (x-i). Ukazuje sa, že to platí všeobecne,
ako naznačujú nasledujúce, predposledné vety o vysokoškolskej algebre.

& bullZákladná veta o algebre. Polynom n-tého stupňa má presne n komplexných núl,
počítanie multiplikácií (opakovania rovnakého faktora).

& bullLinear Factorization Theorem. Ak p je polynóm n-tého stupňa so zložitými koeficientmi, potom p
možno zohľadniť vo forme

kde a je vedúci koeficient p a čísla sú n komplexné (možno opakované)
nuly p.

Navyše, ak sú koeficienty p všetky reálne čísla, potom akékoľvek nereálne korene vždy vznikajú v pároch
forma a nazývajú sa komplexné konjugáty.

Faktoringové techniky. Existujú dve hlavné techniky, ktoré sa dajú použiť, aby sa stanovila dlhá a zložitá metóda
polynóm na produkt jednoduchších.

& BullLong Division. Toto je technika, ktorú možno použiť na rozdelenie polynómu p (x) ktorýmkoľvek iným
polynóm d (x), aby sme dostali kvocient q (x) a zvyšok r (x), takže

Ak je zvyšok 0, potom d (x) je faktor p (x).
Proces dlhého delenia je nasledovný:

1. Zadajte problém s delením tak, že napíšete deliteľ d (x) (polynóm, ktorý delíte)
by) a dividenda p (x) (polynom, na ktorý sa delíte) v štandardnej forme, pričom všetky chýbajú
mocniny x vrátane 0 koeficientov.

2. Ak je stupeň deliteľa menší alebo rovný stupňu dividendy, prejdite na krok 3.
V opačnom prípade prejdite na krok 6.

3. Určte monomiál multiplikátora potrebný na to, aby sa vedúci člen deliteľa zhodoval s
vedúce obdobie dividendy. Napíš to nad vinculum (dlhá vodorovná čiara hore)
symbolu rozdelenia).

4. Vynásobte deliteľ týmto monomémom a výsledný polynóm napíšte pod neho
dividenda spojená so zodpovedajúcimi mocninami x.

5. Odčítajte spodný riadok od horného riadku (nezabudnite distribuovať záporné hodnotenie cez!).
Po dokončení rozbaľte ďalší výraz z p (x). Tento polynóm je teraz novou dividendou,
vráťte sa na krok 2.

6. Ak je stupeň deliteľa väčší ako stupeň dividendy, potom je dlhé delenie
kompletný. Súčet multiplikátorových monomiálov nad vinkulom je kvocient q (x) a
konečná dividenda je zvyšok r (x).

& bullThe The Remainder Theorem. Zvyšok, keď je hodnota p (x) vydelená hodnotou (x-c) presne hodnotou p (c).
To znamená, r = p (c).

& bullSyntetické delenie. Toto je rýchla, tabuľková verzia dlhého delenia, ktorá sa používa na rozdelenie polynómu iba faktorom formy (x - c) pre niektoré číslo c - dokonca aj pre zložité!

Proces syntetického delenia je nasledovný:

1. Zadajte problém s delením tak, že napíšete koeficienty p (x) v štandardnom tvare s 0s až
označte všetky chýbajúce mocniny x a vložte hodnotu c do políčka vľavo od tejto položky. Daj si
dva riadky, s ktorými môžete pracovať, a nakreslite čiaru, ktorá ich oddelí.

2. Pod vedúcim koeficientom p (x) nakreslite v druhom riadku šípku nadol a & quotdrop & quot
koeficient až do tretieho radu.

3. Vynásobte číslo v treťom riadku písmenom c a produkt napíšte na ďalšie dostupné miesto do súboru
druhý rad.

4. Sčítajte čísla v prvom a druhom riadku dohromady a do tretieho riadku napíšte súčet. Opakujte
Kroky 3 a 4, kým sa tretí riadok nezaplní.

5. Posledné číslo v treťom riadku je zvyšok r, predchádzajúci zoznam čísel dáva znak
koeficienty kvocientu q (x) v štandardnom tvare.

Hľadanie výrazov, ktoré treba zohľadniť. Pri hľadaní koreňov existujú tri dôležité techniky
faktor z polynómu, ktorý nezávisí od nemého šťastia. & quot

& bull Používanie grafu. Prietoky x grafu zodpovedajú nulám funkcie, a teda poskytujú
započítať. Použite syntetické delenie, aby ste zistili, či fungujú.

& bullVzdelané odhady. Slepo alebo s pomocou hádajte nulovú hodnotu polynómu
grafu a otestujte ho syntetickým delením. Ak máte šťastie a nájdete nulu, už ju budete mať
faktorizácia hotová. Ak tak neurobíte, môžete na vylepšenie hádok použiť syntetické delenie. Niektoré
usmernenia.

- Stredné hodnoty. Ak zvyšok zmení znamenie po dvoch neúspešných hádaniach, skutočný koreň
musí ležať medzi tými dohadmi.
- Príliš veľký odhad. Ak je váš odhad kladný a čísla v spodnom riadku sú tiež kladné, použije sa znak
odhad je príliš veľký.
- Príliš malý odhad. Ak je váš odhad záporný a čísla v spodnom riadku sa striedajú so znamienkom,
odhad je príliš malý.
- Hádam zlomky. Pre polynóm s celočíselnými koeficientmi sú jediné možné racionálne korene
polynóm má formu

Preto, aby hodnota x = c / d mohla byť čo i len nula, musí c rozdeliť a0 a d musí rozdeliť an. Ak
oboje sa nestane, potom sa neoplatí hádať.

& bullComplex korene. Toto funguje pre akýkoľvek polynóm so skutočnými koeficientmi. Pretože zložité korene vždy
ak prichádzame v konjugovaných pároch, môžeme získať skutočný faktor p (x), pretože sa vynásobí

bude vždy neredukovateľným kvadratom, ktorý sa dá z polynómu vylúčiť pomocou dlhého delenia.


Faktoring polynómov

V tejto lekcii sumarizujeme a aplikujeme factoringové metódy uvedené v predchádzajúcich častiach. Je dôležité zabezpečiť, aby bol problém úplne zohľadnený. To znamená, že v niektorých prípadoch možno budete musieť faktorovať viackrát alebo použiť viac ako jednu faktoringovú metódu.

Pripomeňme, že polynóm sa úplne zohľadňuje, keď:

1) polynóm sa píše ako súčin faktorov, ktoré sú prvočíselnými polynómami s celočíselnými koeficientmi
2) žiadny z polynomických faktorov nie je možné ďalej započítať

Nasledujúce kroky vám môžu pomôcť pri organizácii vašich faktoringových metód:

Krok 1: Faktorovať všetky spoločné faktory (GCF).

Krok 2: Ak je polynóm binomický, skontrolujte, či ide o rozdiel štvorcov, rozdiel kociek alebo súčet kociek.

Ak je polynóm trojčlen, skontrolujte, či ide o dokonalý štvorcový trojčlen. Ak nie je, vyskúšajte faktoring pomocou metódy AC.

Ak má polynóm viac ako tri členy, skúste to zoskupiť.

Krok 3: Vyplnený formulár skontrolujte vynásobením.

Príklad 1.Faktor 9p + 45

Všimnite si v tomto príklade, že GCF je 9. To znamená, že môžeme z každého výrazu v polynóme vytiahnuť (alebo rozdeliť) 9.

Preto 9p + 45 = 9 (p + 5).

Príklad 2.Faktor 8m 2 p 2 + 4mp

V tomto príklade si všimnite, že existuje GCF 4mp. To znamená, že z každého termínu v polynóme môžeme rozdeliť (alebo vydeliť) 4mp.

8m 2 p 2 + 4mp = (4mp) (2mp) + (4mp) (1) = 4mp (2mp + 1)

Preto 8m 2 p 2 + 4mp = 4mp (2mp + 1) .

Faktor binárny

Príklad 3.Faktor 64m 2 - 9n 2

V tomto príklade si všimnite, že máme odčítanie dvoch členov, kde oba členy sú dokonalé štvorce:
64p 2 = (8p) 2 = (8p) (8p) a 9n2 = (3n) 2 = (3n) (3n).

To znamená, že na riešenie tohto problému môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov.

Za týmto účelom otvoríme dve sady zátvoriek a do každej zátvorky zahrnieme jeden faktor každého štvorcového výrazu. Ďalej do jednej zátvorky zahrnieme znamienko „+“ a do druhej znamienko „-“.

64p 2 - 9n 2 = (8p) 2 - (3n) 2 = (8m + 3n) (8m - 3n) = (8m + 3n) (8m - 3n).
Preto preto 64m 2 - 9n 2 = (8m + 3n) (8m - 3n) .

Príklad 4. Faktor 8p 3 - 27

V tomto príklade si všimnite, že máme odčítanie dvoch členov, kde oba členy sú dokonalé kocky: 8p 3 = (2p) 3 a 27 = (3) 3.

To znamená, že na riešenie tohto problému môžeme použiť vzorec rozdielu kociek.

Za týmto účelom otvoríme dve sady zátvoriek. Do prvej sady zátvoriek zahrnieme jeden faktor každého výrazu v kockách a znamienko bude rovnaké ako v pôvodnom probléme. V druhej zátvorke bude prvý výraz rovnaký ako prvý výraz v prvej zátvorke na druhú; posledný výraz bude rovnaký ako posledný výraz v prvej zátvorke na druhú; stredný výraz bude produktom
výrazov v prvej zátvorke a znamienko bude opakom výrazov v prvej zátvorke.

8p 3 - 27 = (2p) 3 - (3) 3 = (2p - 3) [(2p) 2 + (2 p • 3) + 3 2] = (2p - 3) (4p 2 + 6p + 9)
Preto 8p 3 - 27 = (2p - 3) (4p 2 + 6p + 9).

Faktor a trinomiál (metóda bez rozruchu)

Epríklad 5.Faktor 2k 2 - k - 6

V tomto príklade a = 2, b = 1 a c = 6.
Takže počítame pomocou metódy AC.

Krok 1: a • c = 2 • 6 = 12

Krok 2: Potrebujeme nájsť dve čísla, ktoré sa vynásobia (súčin), aby sme vám dali –12, a sčítali (súčet), aby vám dali –1.
Môžeme vytvoriť tabuľku so zoznamom všetkých spôsobov, ako môžeme vynásobiť, aby sme dostali –12, a skontrolovať, či je súčet –1:


Faktoring kvadratických polynómov (polynómy druhého stupňa) sa vykonáva „un-FOILingom“, čo znamená, že začneme s výsledkom problému FOIL a budeme hľadať spätne dva binomické faktory.

Vytváram online kurzy, ktoré vám pomôžu prekonať hodinu matematiky. Čítaj viac.

Na výpočet kvadratického polynómu, v ktorom. x ^ 2. termín má koeficient. 1. a konštantný člen je nenulový (inými slovami, kvadratický polynóm tvaru. X ^ 2 + ax + b. Kde. B ne0.), Budete uvažovať o dvojici faktorov posledného člena ( konštantný člen) a nájdenie dvojice faktorov, ktorých súčet je koeficientom stredného člena (the. x. -term).


Faktoring polynómov

& # 8226 Faktorovať polynóm znamená písať ho ako súčin iných polynómov.
& # 8226 Polynóm je prvočíslo, ak ho nemožno zapísať ako súčin iných polynómov.
& # 8226 Polynóm je započítaný úplne, ak je napísaný ako produkt prvočíselných faktorov.

& # 8226 Prvé pravidlo faktoringu: na rozdelenie najväčšieho spoločného faktora použite distribučnú vlastnosť
& # 8226 príkladov:

& # 8226 Špeciálne faktorizačné vzorce
& # 8226 Námestie dvojčlenu a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
& # 8226 Námestie dvojčlenu a 2 & # 8722 2ab + b 2 = (a & # 8722b) 2
& # 8226 Rozdiel štvorcov a 2 & # 8722 b 2 = (a + b) (a & # 8722 b)
& # 8226 Súčet kociek a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 & # 8722ab + b 2)
& # 8226 Rozdiel kociek a 3 & # 8722 b 3 = (a & # 8722 b) (a 2 + ab + b 2)

& # 8226 Použite pokus a omyl (obráťte proces FÓLIA) na faktorovanie trinomií formy ax 2 + bx + c
& # 8226 príkladov:

& # 8226 Štyri výrazy - vyskúšajte faktor zoskupením
& # 8226 príklad:

& # 8226 Nezabudnite každý polynóm úplne zohľadniť.
& # 8226 príkladov:


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby), porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


Ako faktorovať polynómy

Naučiť sa faktorovať polynómy nemusí byť ťažké. Trieda A vám rozdelí kroky, ukáže vám jednoduché príklady s vizuálnymi ilustráciami a tiež vám poskytne niekoľko šikovných tipov a trikov.

Pomocou nasledujúcich krokov upravíte svoje polynómy:

1) Ak je to možné, vyberte GCF

2) Uveďte počet výrazov

3) Skontrolujte vynásobením

Chcete vedieť, ako vyriešiť kvadratické rovnice (napr. X 2 + 8X + 15 = 0)? Naučte sa, ako riešiť kvadratické rovnice, čo je iný typ problému ako faktoring, takže si to vyžaduje iný proces.

Faktoring Binomials: Rozdiel dvoch štvorcov

Pamätajte, že vždy najskôr vyberte GCF. Niekedy je to jediná časť dvojčlenu, ktorú je možné zohľadniť. Po skontrolovaní GCF môžete prejsť k vyriešeniu problému:

Ak využívate základnú triedu algebry, pravdepodobne potrebujete poznať iba jeden typ faktoringu, keď máte dva členy: nazýva sa to rozdiel dvoch štvorcov. Ak chcete vedieť, ako faktorovať polynómy, musíte vedieť rozlíšiť rozdiel dvoch štvorcov.

Vyššie uvedený príklad je veľmi častým faktoringovým problémom. Nazýva sa to rozdiel dvoch štvorcov, pretože ide o problém s odčítaním (& quotdifference & quot označuje odčítanie) a sú to dokonalé štvorce, medzi ktorými je dané číslo niekoľkokrát. Viac o dokonalých štvorcoch.

Tu je niekoľko ďalších príkladov rozdielu dvoch štvorcov:

Krok 1: Nájdite druhú odmocninu každého výrazu.

Krok 2: Faktor do dvoch dvojčlenov - jeden plus a jeden mínus.

X 2 - 16 faktorov do (X + 4)(X - 4)

4X 2 - 49 faktorov do (2X + 7)(2X - 7)

Všimnite si, ako sa každý faktor rozpadá na.

Ako vidíte, započítanie rozdielu dvoch štvorcov je celkom jednoduché, keď to rozdelíte na niekoľko krokov. Ďalšia časť je o niečo pokročilejšia, ale väčšina tried Algebra 1 nepokrýva súčet a rozdiel dvoch kociek, takže túto časť môžete preskočiť.

Pokročilé binomické faktorovanie: súčet / rozdiel kociek

Rozdiel 2 kociek: (X 3 − r 3 ) = (Xr)(X 2 + xy + r 2 )

Súčet 2 kociek: (X 3 + r 3 ) = (X + r)(X 2 − xy + r 2 )

Môžete započítať súčet 2 kociek, ale vy nemôže faktor súčet 2 štvorcov!

Faktoringové trojčlenky: Guess & amp Check alebo Britská metóda

Metóda 1: Guess & amp Check. Najlepšie sa to používa, keď a hodnota je 1 (viac informácií).

Nezabudnite, že keď zistíte hodnoty, ešte ste celkom neurobili. Pretože používate metódu zahŕňajúcu & quotacessing & quot, chcete skontrolovať, či máte pravdu. Najjednoduchší spôsob, ako skontrolovať problém, ako je tento, je vynásobiť dvojčleny spolu s matematickým systémom FOIL a zistiť, či sa vám pôvodný problém zdá.

Metóda 2: Britská metóda: Najlepšie sa používa, keď a hodnota je> 1 (viac informácií).

Väčšina začínajúcich študentov dáva prednosť tejto metóde, keď sa pokúša naučiť sa faktorovať polynómy. Britská metóda je oveľa procedurálnejšia a vždy bude fungovať!

Páči sa vám teda zo všetkých spôsobov, ako určovať polynómy, britskú metódu?

Teraz, keď viete, ako faktorovať polynómy, sa možno budete chcieť pozrieť aj na opačný proces faktoringu: Tento proces sa často nazýva FÓLIAing.


Vysoké školy

Zamerajte sa na kurzy a programy ponúkané na konkrétnych vysokých školách. Vyhľadajte a prehliadajte konkrétne kurzy a programy na vysokej škole, ktorá vás zaujíma.

Kurzy uvedené na tejto webovej stránke VCCS sa aktualizujú po jednotlivých termínoch a odrážajú iba tie kurzy, ktoré sú schválené na ponúkanie počas najaktuálnejšieho obdobia. Všetky vysoké školy VCCS musia používať minimálne štandardnú predponu kurzu, číslo kurzu, hodnoty kreditu a popisy uvedené v tomto zozname.

Pri plánovaní kurzov môžu vysoké školy použiť miestne pravidlo na priradenie predbežných alebo korekvizícií, ktoré nie sú uvedené v súbore hlavného kurzu.

Tu by ste sa mali zaoberať otázkami, ďalšími informáciami a opravami týkajúcimi sa súboru Master Course.


Pozri si video: What is Factoring? (November 2021).