Články

2.2: Lineárne rovnice v jednej premennej


Učebné ciele

  • Riešte rovnice v jednej premennej algebraicky.
  • Vyriešte racionálnu rovnicu.
  • Nájdite lineárnu rovnicu.
  • Na základe rovníc dvoch priamok určite, či sú ich grafy rovnobežné alebo kolmé.
  • Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej alebo kolmej na danú priamku.

Caroline je študentkou denného štúdia na vysokej škole, ktorá plánuje dovolenku na jarné prázdniny. Aby si na cestu zarobila dostatok peňazí, nastúpila na čiastočný úväzok do miestnej banky, ktorá platí (15,00 USD / hod ), a 15. januára si založila sporiaci účet s počiatočným vkladom (400 USD ). Zaistila priamy vklad svojich mzdových šekov. Ak sa jarné prázdniny začnú 20. marca a cesta bude stáť približne (2 500 dolárov ), koľko hodín bude musieť pracovať, aby si zarobila toľko, aby mohla zaplatiť svoju dovolenku? Ak môže pracovať iba (4 ) hodiny denne, koľko dní v týždni bude musieť pracovať? Koľko týždňov to bude trvať? V tejto časti preskúmame problémy podobné týmto a ďalším, ktoré generujú grafy ako čiara na obrázku ( PageIndex {1} ).

Riešenie lineárnych rovníc v jednej premennej

A lineárna rovnica je rovnica priamky, napísaná v jednej premennej. Jediná sila premennej je (1 ). Lineárne rovnice v jednej premennej môžu mať tvar (ax + b = 0 ) a sú riešené pomocou základných algebraických operácií. Začneme klasifikáciou lineárnych rovníc v jednej premennej ako jedného z troch typov: identický, podmienený alebo nekonzistentný.

  • An rovnica identity platí pre všetky hodnoty premennej. Tu je príklad rovnice identity: [3x = 2x + x nonumber ] sada riešení sa skladá zo všetkých hodnôt, ktoré robia rovnicu pravdivou. Pre túto rovnicu sú množinou riešení všetky reálne čísla, pretože akékoľvek reálne číslo nahradené znakom (x ) urobí rovnicu pravdivou.
  • A podmienená rovnica platí iba pre niektoré hodnoty premennej. Napríklad ak máme vyriešiť rovnicu (5x + 2 = 3x − 6 ), máme nasledujúce: [ begin {align *} 5x + 2 & = 3x-6 2x & = - 8 x & = - 4 end {align *} ] Sada riešení sa skladá z jedného čísla: ({- 4} ). Je to jediné riešenie, a preto sme vyriešili podmienenú rovnicu.
  • An nekonzistentná rovnica má za následok nepravdivé vyhlásenie. Napríklad, ak máme vyriešiť (5x − 15 = 5 (x − 4) ), máme nasledujúce: [ begin {align *} 5x − 15 & = 5x − 20 5x − 15- 5x & = 5x − 20-5x −15 & neq −20 end {align *} ] Skutočne, (- 15 ≠ −20 ). Neexistuje riešenie, pretože ide o nekonzistentnú rovnicu.

Riešenie lineárnych rovníc v jednej premennej zahŕňa základné vlastnosti rovnosti a základných algebraických operácií. Nasleduje krátke preskúmanie týchto operácií.

LINEÁRNA ROVINA V JEDNEJ PREMENNEJ

Lineárna rovnica v jednej premennej môže byť napísaná vo forme

[sekera + b = 0 ]

kde a a b sú reálne čísla, (a ≠ 0 ).

Ako: Vzhľadom na lineárnu rovnicu v jednej premennej to vyriešte pomocou algebry

Nasledujúce kroky sa používajú na manipuláciu s rovnicou a na izoláciu neznámej premennej, takže posledný riadok má hodnotu (x = ) _________, ak (x ) je neznáma. Nie je stanovené žiadne poradie, pretože použité kroky závisia od toho, čo je dané:

  1. Môžeme sčítať, odčítať, vynásobiť alebo vydeliť rovnicu číslom alebo výrazom, pokiaľ robíme to isté na obidvoch stranách znamienka rovnosti. Všimnite si, že nemôžeme deliť nulou.
  2. Podľa potreby použite distribučnú vlastnosť: (a (b + c) = ab + ac ).
  3. Izolovajte premennú na jednej strane rovnice.
  4. Keď sa premenná v konečnej fáze vynásobí koeficientom, vynásobte obe strany rovnice prevrátenou hodnotou koeficientu.

Príklad ( PageIndex {1} ): Riešenie rovnice v jednej premennej

Vyriešte nasledujúcu rovnicu: (2x + 7 = 19 ).

Riešenie

Táto rovnica môže byť napísaná v tvare (ax + b = 0 ) odčítaním 19 od oboch strán. Môžeme však pokračovať v riešení rovnice v pôvodnej podobe vykonaním algebraických operácií.

[ begin {align *} 2x + 7 & = 19 2x & = 12 qquad text {Odčítajte 7 z oboch strán} x & = 6 qquad text {Vynásobte obe strany znakom} dfrac {1} { 2} text {alebo vydeľte} 2 end {zarovnať *} ]

Riešením je (6 ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešte lineárnu rovnicu v jednej premennej: (2x + 1 = −9 ).

Odpoveď

(x = −5 )

Príklad ( PageIndex {2} ): Riešenie, keď sa premenná zobrazuje na oboch stranách

Vyriešte nasledujúcu rovnicu: (4 (x − 3) + 12 = 15−5 (x + 6) ).

Riešenie

Použite štandardné algebraické vlastnosti.

[ begin {align *} 4 (x-3) + 12 & = 15-5 (x + 6) 4x-12 + 12 & = 15-5x-30 qquad text {Použiť distribučnú vlastnosť} 4x & = - 15-5x qquad text {Kombinujte ako pojmy} 9x & = - 15 qquad text {Umiestnite x pojmov na jednu stranu a zjednodušte ich} x & = - dfrac {15} {9} qquad text {Vynásobte obe strany znakom}} dfrac {1} {9} text {, prevrátená hodnota} 9 x & = - dfrac {3} {5} end {zarovnať *} ]

Analýza

Tento problém vyžaduje, aby sa distribučná vlastnosť použila dvakrát. Potom sa pomocou vlastností algebry dosiahne posledný riadok (x = - dfrac {3} {5} ).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešte rovnicu v jednej premennej: (- 2 (3x − 1) + x = 14 − x ).

Odpoveď

(x = -3 )

Riešenie racionálnej rovnice

V tejto časti sa pozrieme na racionálne rovnice, ktorých výsledkom je po nejakej manipulácii lineárna rovnica. Ak rovnica obsahuje aspoň jeden racionálny výraz, považuje sa to za a racionálna rovnica. Pripomeňme, že a racionálne číslo je pomer dvoch čísel, napríklad ( dfrac {2} {3} ) alebo ( dfrac {7} {2} ). Racionálny výraz je pomer alebo kvocient dvoch polynómov. Uvádzame tri príklady.

[ dfrac {x + 1} {x ^ 2-4} nonumber ]

[ dfrac {1} {x-3} nonumber ]

alebo

[ dfrac {4} {x ^ 2 + x-2} nonumber ]

Racionálne rovnice majú premennú v menovateli najmenej v jednom z výrazov. Naším cieľom je vykonávať algebraické operácie tak, aby sa premenné zobrazovali v čitateľovi. V skutočnosti vylúčime všetkých menovateľov vynásobením oboch strán rovnice znakom najmenší spoločný menovateľ (LCD). Hľadanie LCD identifikuje výraz, ktorý obsahuje najvyššiu mocnosť zo všetkých faktorov vo všetkých menovateľoch. Robíme to preto, lebo keď sa rovnica vynásobí LCD, spoločné faktory na LCD a v každom menovateli sa budú rovnať jednému a zrušia sa.

Príklad ( PageIndex {3} ): Riešenie racionálnej rovnice

Vyriešte racionálnu rovnicu:

[ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} = dfrac {22} {3} nonumber ]

Riešenie

Máme troch menovateľov; (2x ), (3x ) a (3 ). Displej LCD musí obsahovať (2x ), (3x ) a (3 ). LCD so znakom (6x ) obsahuje všetky tri menovatele. Inými slovami, každého menovateľa je možné rozdeliť rovnomerne na LCD. Ďalej vynásobte obe strany rovnice LCD (6x ).

[ begin {align *}
(6x) left [ dfrac {7} {2x} - dfrac {5} {3x} right] & = left [ dfrac {22} {3} right] (6x)
(6x) left ( dfrac {7} {2x} right) - (6x) left ( dfrac {5} {3x} right) & = left ( dfrac {22} {3} right ) (6x) qquad text {Použite distribučnú vlastnosť. Zrušiť bežné faktory}
3 (7) -2 (5) & = 22 (2x) qquad text {Znásobte zostávajúce faktory každým čitateľom.}
21-10 & = 44x
11 & = 44x
dfrac {11} {44} & = x
dfrac {1} {4} & = x
end {zarovnať *} ]

Bežná chyba, ktorá sa urobí pri riešení racionálnych rovníc, spočíva v nájdení LCD, keď je jeden z menovateľov dvojčlen - dva sčítané alebo odčítané výrazy - napríklad ((x + 1) ). Binomiál vždy považujte za individuálny faktor - termíny nemožno oddeliť. Predpokladajme napríklad, že problém má tri členy a menovateľmi sú (x ), (x − 1 ) a (3x − 3 ). Najskôr zvážte všetkých menovateľov. Potom máme ako menovatele (x ), ((x − 1) ) a (3 (x − 1) ). (Všimnite si zátvorky umiestnené okolo druhého menovateľa.) Iba posledné dva menovatele majú spoločný faktor ((x − 1) ). X v prvom menovateli je oddelené od (x ) v ((x − 1) ) menovateľoch. Účinným spôsobom, ako si to zapamätať, je zapísať faktorizované a binomické menovatele do zátvoriek a každú zátvorku považovať za samostatnú jednotku alebo samostatný faktor. LCD sa v tomto prípade zistí vynásobením (x ), jedného faktora ((x − 1) ) a 3. LCD teda predstavuje:

(x (x − 1) 3 = 3x (x − 1) )

Takže obe strany rovnice by sa vynásobili (3x (x − 1) ). Nechajte LCD v pôvodnej podobe, pretože tak lepšie vidíte, ako sa každý menovateľ problému ruší.

Ďalším príkladom je problém s dvoma menovateľmi, napríklad (x ) a (x ^ 2 + 2x ). Akonáhle je druhý menovateľ započítaný ako (x ^ 2 + 2x = x (x + 2) ), v obidvoch menovateľoch existuje spoločný faktor (x ) a na LCD je (x (x + 2) ).

Niekedy máme racionálnu rovnicu vo forme proporcie; to znamená, keď sa jedna frakcia rovná inej frakcii a v rovnici nie sú žiadne ďalšie výrazy.

[ dfrac {a} {b} = dfrac {c} {d} ]

Môžeme použiť inú metódu riešenia rovnice bez nájdenia LCD: krížové násobenie. Násobíme podmienky krížením cez znamienko rovnosti.

Vynásobte a (d) a b (c), výsledkom čoho je (ad = bc ).

Z možností musí byť vylúčené akékoľvek riešenie, ktoré robí menovateľa v pôvodnom výraze rovným nule.

RACIONÁLNE ROVNICE

Rnárodná rovnica obsahuje najmenej jeden racionálny výraz, kde sa premenná vyskytuje najmenej v jednom z menovateľov.

Ako: Vzhľadom na racionálnu rovnicu to riešte.

  1. Faktor všetkých menovateľov do rovnice.
  2. Nájdite a vylúčte hodnoty, ktoré nastavujú každý menovateľ na nulu.
  3. Nájdite LCD.
  4. Vynásobte celú rovnicu pomocou LCD. Ak je LCD správny, nezostane žiaden menovateľ.
  5. Vyriešte zostávajúcu rovnicu.
  6. Nezabudnite skontrolovať riešenia späť v pôvodných rovniciach, aby ste zabránili tomu, že riešenie bude mať v menovateli nulu

Príklad ( PageIndex {4} ): Riešenie racionálnej rovnice bez faktoringu

Vyriešte nasledujúcu racionálnu rovnicu:

( dfrac {2} {x} - dfrac {3} {2} = dfrac {7} {2x} )

Riešenie

Máme troch menovateľov: (x ), (2 ) a (2x ). Nie je potrebný žiadny faktoring. Súčet prvých dvoch menovateľov sa rovná tretiemu menovateľovi, takže LCD je (2x ). Zo sady riešení je vylúčená iba jedna hodnota, (0 ). Ďalej vynásobte celú rovnicu (obe strany znamienka rovnosti) znakom (2x ).

Navrhované riešenie je (- 1 ), čo nie je vylúčená hodnota, takže sada riešení obsahuje jedno číslo, (x = −1 ) alebo ( {- 1 } ) napísané v množinovej notácii .

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vyriešte racionálnu rovnicu:

( dfrac {2} {3x} = dfrac {1} {4} - dfrac {1} {6x} )

Odpoveď

(x = dfrac {10} {3} )

Príklad ( PageIndex {5} ): Riešenie racionálnej rovnice faktorovaním menovateľa

Vyriešte nasledujúcu racionálnu rovnicu:

( dfrac {1} {x} = dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} )

Riešenie

Najskôr nájdite spoločného menovateľa. Tri menovatele vo faktorizovanej podobe sú (x, 10 = 2⋅5 ) a (4x = 2⋅2⋅x ). Najmenší výraz, ktorý je deliteľný každým z menovateľov, je (20x ). Iba (x = 0 ) je vylúčená hodnota. Vynásobte celú rovnicu (20x ).

[ begin {align *} 20x left ( dfrac {1} {x} right) & = left ( dfrac {1} {10} - dfrac {3} {4x} right) 20x 20 & = 2x-15 35 & = 2x dfrac {35} {2} & = x end {zarovnať *} ]

Riešením je ( dfrac {35} {2} ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Vyriešte racionálnu rovnicu:

[- dfrac {5} {2x} + dfrac {3} {4x} = - dfrac {7} {4} nonumber ]

Odpoveď

(x = 1 )

Príklad ( PageIndex {6} ): Riešenie racionálnych rovníc s dvojčlenom v menovateli

Vyriešte nasledujúce racionálne rovnice a uveďte vylúčené hodnoty:

  1. ( dfrac {3} {x-6} = dfrac {5} {x} )
  2. ( dfrac {x} {x-3} = dfrac {5} {x-3} - dfrac {1} {2} )
  3. ( dfrac {x} {x-2} = dfrac {5} {x-2} - dfrac {1} {2} )

Riešenie

a.

Menovatele (x ) a (x − 6 ) nemajú nič spoločné. Preto je LCD produkt (x (x − 6) ). V prípade tohto problému sa však môžeme krížovo množiť.

[ begin {align *} dfrac {3} {x-6} & = dfrac {5} {x} 3x & = 5 (x-6) qquad text {Distribute.} 3x & = 5x-30 -2x & = - 30 x & = 15 end {zarovnať *} ]

Riešením je (15 ). Vylúčené hodnoty sú (6 ) a (0 ).

b.

LCD je (2 (x − 3) ). Vynásobte obe strany rovnice (2 (x − 3) ).

[ begin {align *} 2 (x-3) left [ dfrac {x} {x-3} right] & = left [ dfrac {5} {x-3} - dfrac {1 } {2} vpravo] 2 (x-3) dfrac {2 (x-3) x} {x-3} & = dfrac {2 (x-3) 5} {x-3} - dfrac {2 (x-3)} {2} 2x & = 10- (x-3) 2x & = 13-x 3x & = 13 x & = dfrac {13} {3} end {zarovnať *} ]

Riešením je ( dfrac {13} {3} ). Vylúčená hodnota je (3 ).

c.

Najmenší spoločný menovateľ je (2 (x − 2) ). Vynásobte obe strany rovnice (x (x − 2) ).

[ begin {align *} 2 (x-2) left [ dfrac {x} {x-2} right] & = left [ dfrac {5} {x-2} - dfrac {1 } {2} vpravo] 2 (x-2) 2x & = 10- (x-2) 2x & = 12-x 3x & = 12 x & = 4 end {zarovnať *} ]

Riešením je (4 ). Vylúčená hodnota je (2 ).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Vyriešiť ( dfrac {-3} {2x + 1} = dfrac {4} {3x + 1} ). Uveďte vylúčené hodnoty.

Odpoveď

(x = - dfrac {7} {17} ). Vylúčené hodnoty sú (x = −12 ) a (x = −13 ).

Príklad ( PageIndex {7} ): Riešenie racionálnej rovnice s faktorovými menovateľmi a uvádzanie vylúčených hodnôt

Vyriešte racionálnu rovnicu po zohľadnení menovateľov: ( dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} = dfrac {2x} {x ^ 2-1} ). Uveďte vylúčené hodnoty.

Riešenie

Musíme zohľadniť menovateľa (x ^ 2−1 ). Rozpoznávame to ako rozdiel štvorcov a faktorujeme to ako ((x − 1) (x + 1) ). Teda LCD, ktorý obsahuje každého menovateľa, je ((x − 1) (x + 1) ). Vynásobte celú rovnicu na displeji LCD, zrušte menovatele a vyriešte zostávajúcu rovnicu.

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) left [ dfrac {2} {x + 1} - dfrac {1} {x-1} right] & = left [ dfrac {2x} {x ^ 2-1} vpravo] (x + 1) (x-1) 2 (x-1) - (x + 1) & = 2x 2x-2-x- 1 & = 2x text {Rozdeliť záporné znamienko} -3-x & = 0 x & = -3 end {zarovnať *} ]

Riešením je (- 3 ). Vylúčené hodnoty sú (1 ) a (- 1 ).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Vyriešte racionálnu rovnicu:

( dfrac {2} {x-2} + dfrac {1} {x + 1} = dfrac {1} {x ^ 2-x-2} )

Odpoveď

(x = dfrac {1} {3} )

Hľadanie lineárnej rovnice

Azda najznámejšou formou lineárnej rovnice je sklon-tvar zachytenia, písané ako [y = mx + b ] kde (m = text {sklon} ) a (b = text {y − zachytenie.} ) Začnime so sklonom.

The sklon čiary označuje pomer vertikálnej zmeny v (y ) k horizontálnej zmene v (x ) medzi ľubovoľnými dvoma bodmi na priamke. Udáva smer, ktorým je línia sklonená, ako aj jej strmosť. Sklon sa niekedy označuje ako stúpanie v priebehu behu.

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

Ak je sklon kladný, čiara sa zvažuje doprava. Ak je sklon záporný, čiara sa zvažuje doľava. Pri zvyšovaní sklonu je čiara strmšia. Niektoré príklady sú uvedené na obrázku ( PageIndex {2} ). Úsečky označujú nasledujúce svahy: (m = −3 ), (m = 2 ) a (m = dfrac {1} {3} ).

SKLON ČIARY

Sklon priamky (m ) predstavuje zmenu v (y ) nad zmenou v (x ). Vzhľadom na dva body ((x_1, y_1) ) a ((x_2, y_2) ) určuje nasledujúci vzorec sklon priamky obsahujúcej tieto body:

[m = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

Príklad ( PageIndex {8} ): Nájdenie sklonu priamky, ktorá má dva body

Nájdite sklon priamky, ktorá prechádza bodmi ((2, -1) ) a ((- 5,3) ).

Riešenie

Do vzorca dosadíme hodnoty (y ) - a hodnoty (x ) -.

[ begin {align *} m & = dfrac {3 - (- 1)} {- 5-2} & = dfrac {4} {- 7} & = - dfrac {4} { 7} end {align *} ]

Sklon je (- dfrac {4} {7} )

Analýza

Nezáleží na tom, ktorý bod sa volá ((x_1, y_1) ) alebo ((x_2, y_2) ). Pokiaľ sme konzistentní s poradím (y ) výrazov a poradím (x ) výrazov v čitateli a menovateli, výpočet prinesie rovnaký výsledok.

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Nájdite sklon priamky, ktorá prechádza bodmi ((- 2,6) ) a ((1,4) ).

Odpoveď

(m = - dfrac {2} {3} )

Príklad ( PageIndex {9} ): Identifikácia sklonu a priesečníka y priamky s rovnicou

Určte sklon a (y ) - priesečník, vzhľadom na rovnicu (y = - dfrac {3} {4} x-4 ).

Riešenie

Pretože je riadok vo forme (y = mx + b ), má daný riadok sklon (m = - dfrac {3} {4} ). Intercept (y ) - je (b = −4 ).

Analýza

Intercept (y ) - je bod, v ktorom čiara pretína os (y ) -. Na osi (y ) - (x = 0 ). Zakaždým, keď je čiara vo formáte interceptu, môžeme určiť intercept (y ) - intercept, pretože bude vždy rovný (b ). Alebo stačí nahradiť (x = 0 ) a vyriešiť za (y ).

Vzorec bodového sklonu

Vzhľadom na sklon a jeden bod na priamke môžeme nájsť rovnicu priamky pomocou vzorca bod-sklon.

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

Toto je dôležitý vzorec, pretože sa bude používať v iných oblastiach vysokoškolskej algebry a často pri výpočtoch na nájdenie rovnice dotyčnice. Na použitie vzorca potrebujeme iba jeden bod a sklon priamky. Po dosadení sklonu a súradníc jedného bodu do vzorca to zjednodušíme a zapíšeme do tvaru sklonu-zachytenia.

VZOR BODU POSUNU

Vzhľadom na jeden bod a sklon bude vzorec bodového sklonu viesť k rovnici priamky:

[y − y_1 = m (x − x_1) ]

Príklad ( PageIndex {10} ): Nájdenie rovnice priamky s ohľadom na sklon a jeden bod

Napíšte rovnicu priamky so sklonom (m = -3) a prechádzajúcou bodom ((4,8) ). Napíš konečnú rovnicu vo formáte interceptu.

Riešenie

Pomocou vzorca sklonu bodu nahraďte (- 3 ) za m a bod ((4,8) ) za ((x_1, y_1) ).

[ begin {align *} y-y_1 & = m (x-x_1) y-8 & = -3 (x-4) y-8 & = -3x + 12 y & = -3x + 20 koniec {zarovnať *} ]

Analýza

Upozorňujeme, že na nájdenie rovnice je možné použiť akýkoľvek bod na priamke. Ak sa to urobí správne, získa sa rovnaká konečná rovnica.

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Vzhľadom na (m = 4 ) nájdite rovnicu priamky vo forme interceptu prechádzajúcej bodom ((2,5) ).

Odpoveď

(y = 4x − 3 )

Príklad ( PageIndex {11} ): Nájdenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi ((3,4) ) a ((0, -3) ). Napíš konečnú rovnicu vo formáte interceptu.

Riešenie

Najskôr vypočítame sklon pomocou vzorca sklonu a dvoch bodov.

[ begin {align *} m & = dfrac {-3-4} {0-3} m & = dfrac {-7} {- 3} m & = dfrac {7} {3} end {align *} ]

Ďalej použijeme vzorec bodového sklonu so sklonom ( dfrac {7} {3} ) a ľubovoľný bod. Vyberme bod ((3,4) ) pre ((x_1, y_1) ).

[ begin {align *} y-4 & = dfrac {7} {3} (x-3) y-4 & = dfrac {7} {3} x-7 y & = dfrac {7 } {3} -3 end {zarovnať *} ]

Vo forme interceptu so sklonom sa rovnica píše ako (y = dfrac {7} {3} -3 )

Analýza

Aby sme dokázali, že je možné použiť ktorýkoľvek bod, použijeme druhý bod ((0, −3) ) a uvidíme, či dostaneme rovnakú rovnicu.

[ begin {align *} y - (- 3) & = dfrac {7} {3} (x-0) y + 3 & = dfrac {7} {3} x y & = dfrac {7} {3} -3 end {zarovnať *} ]

Vidíme, že rovnaká priamka sa získa pomocou ktoréhokoľvek bodu. To má zmysel, pretože na výpočet sklonu sme použili oba body.

Štandardná forma riadku

Ďalším spôsobom, ako môžeme reprezentovať rovnicu priamky, je in štandardná forma. Štandardný formulár je uvedený ako

[Ax + By = C ]

kde (A ), (B ) a (C ) sú celé čísla. Výrazy (x ) - a (y ) - sú na jednej strane znamienka rovnosti a konštantný člen je na druhej strane.

Príklad ( PageIndex {12} ): Nájdenie rovnice priamky a jej zápis v štandardnom tvare

Nájdite rovnicu priamky s (m = −6 ) a prechádzajúcej bodom ( doľava ( dfrac {1} {4}, - 2 doprava) ). Napíšte rovnicu v štandardnom tvare.

Riešenie

Začneme používať vzorec bod-sklon.

[ begin {align *} y - (- 2) & = -6 doľava (x- dfrac {1} {4} vpravo) y + 2 & = -6x + dfrac {3} {2} end {align *} ]

Odtiaľto násobíme (2 ), pretože v štandardnom tvare nie sú povolené žiadne zlomky, potom obidve premenné presunieme doľava od znamienka rovnosti a konštanty posunieme doprava.

[ begin {align *} 2 (y + 2) & = left (-6x + dfrac {3} {2} right) 2 2y + 4 & = -12x + 3 12x + 2y & = - 1 end {align *} ]

Táto rovnica je teraz napísaná v štandardnej forme.

Cvičenie ( PageIndex {12} )

Nájdite rovnicu priamky v štandardnom tvare so sklonom (m = - dfrac {1} {3} ) a prechádzajúcim bodom ((1,13) ).

Odpoveď

(x + 3y = 2 )

Zvislá a vodorovná čiara

Rovnice vertikálnych a horizontálnych línií nevyžadujú žiaden z predchádzajúcich vzorcov, aj keď pomocou vzorcov môžeme dokázať, že rovnice sú správne. Rovnica a zvislá čiara sa udáva ako

[x = c ]

kde (c ) je konštanta. Sklon zvislej čiary je nedefinovaný a bez ohľadu na hodnotu (y ) - hodnoty ktoréhokoľvek bodu na čiare, (x ) - súradnica bodu bude (c ).

Predpokladajme, že chceme nájsť rovnicu priamky obsahujúcej nasledujúce body: ((- - 3, −5) ), ((- 3,1) ), ((- 3,3) ), a ((- 3,5) ). Najskôr nájdeme svah.

(m = dfrac {5-3} {- 3 - (- 3)} = dfrac {2} {0} )

Nula v menovateli znamená, že sklon nie je definovaný, a preto nemôžeme použiť vzorec bodového sklonu. Body však môžeme vykresliť. Všimnite si, že všetky súradnice (x ) sú rovnaké a nájdeme zvislú čiaru cez (x = −3 ). Viď obrázok ( PageIndex {3} ).

Rovnica a horizontálna čiara sa udáva ako

[y = c ]

kde (c ) je konštanta. Sklon vodorovnej čiary je nula a pre každú hodnotu (x ) - hodnotu bodu na priamke bude súradnica (y ) - (c ).

Predpokladajme, že chceme nájsť rovnicu priamky, ktorá obsahuje nasledujúcu množinu bodov: ((- 2, -2) ), ((0, -2) ), ((3, -2) ) a ((5, -2) ). Môžeme použiť vzorec bod-sklon. Najskôr nájdeme sklon pomocou ľubovoľných dvoch bodov na priamke.

[ begin {align *} m & = dfrac {-2 - (- 2)} {0 - (- 2)} & = dfrac {0} {2} & = 0 end {zarovnať *} ]

Použite ľubovoľný bod pre ((x_1, y_1) ) vo vzorci alebo použite intercept y.

[ begin {align *} y - (- 2) & = 0 (x-3) y + 2 & = 0 y & = -2 end {align *} ]

Graf je vodorovná čiara prechádzajúca (y = −2 ). Všimnite si, že všetky súradnice y sú rovnaké. Viď obrázok ( PageIndex {3} ).

Príklad ( PageIndex {13} ): Nájdenie rovnice priamky prechádzajúcej danými bodmi

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej danými bodmi: ((1, -3) ) a ((1,4) ).

Riešenie

Súradnica (x ) oboch bodov je (1 ). Preto máme zvislú čiaru (x = 1 ).

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej cez ((- - 5,2) ) a ((2,2) ).

Odpoveď

Vodorovná čiara: (y = 2 )

Určenie, či sú grafy čiar rovnobežné alebo kolmé

Rovnobežné čiary majú rovnaký sklon a rôzne priesečníky y. Čiary, ktoré sú navzájom rovnobežné, sa nikdy nebudú pretínať. Napríklad obrázok ( PageIndex {4} ) zobrazuje grafy rôznych čiar s rovnakým sklonom, (m = 2 ).

Všetky čiary zobrazené v grafe sú rovnobežné, pretože majú rovnaký sklon a rôzne priesečníky y.

Riadky, ktoré sú kolmý pretínajú a vytvárajú uhol (90 ^ { circ} ). Sklon jednej priamky je negatívny obojstranný toho druhého. Môžeme ukázať, že dve priamky sú kolmé, ak je súčin oboch svahov (- 1: m_1⋅m_2 = −1 ). Napríklad obrázok ( PageIndex {5} ) zobrazuje graf dvoch kolmých čiar. Jedna priamka má sklon (3 ); druhá čiara má sklon (- dfrac {1} {3} ).

[ begin {align *} m_1 cdot m_2 & = -1 3 cdot left (- dfrac {1} {3} right) & = -1 end {align *} ]

Príklad ( PageIndex {14} ): Vytvorenie grafu dvoch rovníc a určenie, či sú priamky rovnobežné, kolmé alebo buď

Vytvorte graf rovníc daných priamok a uveďte, či sú rovnobežné, kolmé alebo buď: (3y = −4x + 3 ) a (3x − 4y = 8 ).

Riešenie

Prvá vec, ktorú chceme urobiť, je prepísať rovnice tak, aby boli obe rovnice vo forme sklonu-zachytenia.

Prvá rovnica:

[ begin {align *} 3y & = -4x + 3 y & = - dfrac {4} {3} x + 1 end {align *} ]

Druhá rovnica:

[ begin {align *} 3x-4y & = 8 -4y & = -3x + 8 y & = dfrac {3} {4} x-2 end {align *} ]

Graf oboch riadkov nájdete na obrázku ( PageIndex {6} ).

Z grafu vidíme, že čiary sa javia kolmé, ale musíme porovnať svahy.

[ begin {align *} m_1 & = - dfrac {4} {3} m_2 & = dfrac {3} {4} m_1 cdot m_2 & = left (- dfrac {4} {3} right) left ( dfrac {3} {4} right) & = - 1 end {align *} ]

Svahy sú vzájomné záporné recipročné hodnoty, čo potvrdzuje, že priamky sú kolmé.

Cvičenie ( PageIndex {14} )

Vytvorte graf týchto dvoch čiar a určite, či sú rovnobežné, kolmé alebo žiadne: (2y − x = 10 ) a (2y = x + 4 ).

Odpoveď

Rovnobežné čiary: rovnice sa zapisujú vo forme interceptu.

Písanie rovníc priamok rovnobežných alebo kolmých na danú priamku

Ako sme sa dozvedeli, určenie toho, či sú dve priamky rovnobežné alebo kolmé, je potrebné nájsť svahy. Pri písaní rovnice priamky rovnobežnej alebo kolmej na inú priamku postupujeme podľa rovnakých zásad ako pri hľadaní rovnice ktorejkoľvek priamky. Po nájdení svahu použite vzorec bod-sklon napísať rovnicu nového riadku.

Keď dáte rovnicu pre čiaru, napíšte rovnicu čiary rovnobežne alebo kolmo na ňu.

  1. Nájdite sklon danej čiary. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je napísať rovnicu vo formáte interceptu.
  2. Použite sklon a daný bod s vzorcom bodového sklonu.
  3. Zjednodušte tvar úsečky na sklon a porovnajte rovnicu s danou úsečkou.

Príklad ( PageIndex {15} ): Zápis rovnice priamky rovnobežnej s danou priamkou prechádzajúcou daným bodom

Napíšte rovnicu priamky rovnobežnej s (5x + 3y = 1 ) a prechádzajúcej bodom ((3,5) ).

Riešenie

Najskôr napíšeme rovnicu vo forme interceptu pre sklon, aby sme našli sklon.

[ begin {align *} 5x + 3y & = 1 3y & = -5x + 1 y & = - dfrac {5} {3} + dfrac {1} {3} end {align *} ]

Sklon je (m = - dfrac {5} {3} ). Odchýlka y je (13 ), ale to skutočne nevstupuje do nášho problému, pretože jediné, čo potrebujeme, aby boli dve priamky rovnobežné, je rovnaký sklon. Jedinou výnimkou je, že ak sú zachytené body (y ) - rovnaké, potom sú tieto dva riadky rovnaké. Ďalším krokom je použitie tohto sklonu a daného bodu so vzorcom bodového sklonu.

[ begin {align *} y-5 & = - dfrac {5} {3} (x-3) y-5 & = - dfrac {5} {3} x + 5 y & = - dfrac {5} {3} +10 end {zarovnať *} ]

Rovnica priamky je (y = - dfrac {5} {3} x + 10 ). Viď obrázok ( PageIndex {8} ).

Cvičenie ( PageIndex {15} )

Nájdite rovnicu priamky rovnobežnej s (5x = 7 + y ) a prechádzajúcej bodom ((- - 1, −2) ).

Odpoveď

(y = 5x + 3 )

Príklad ( PageIndex {16} ): Nájdenie rovnice priamky kolmej na danú priamku prechádzajúcu daným bodom

Nájdite rovnicu priamky kolmej na (5x − 3y + 4 = 0 medzera (−4,1) ).

Riešenie

Prvým krokom je napísanie rovnice vo forme sklonu-zachytenia.

[ begin {align *} 5x-3y + 4 & = 0 -3y & = -5x-4 y & = dfrac {5} {3} x + dfrac {4} {3} end {align * } ]

Vidíme, že sklon je (m = dfrac {5} {3} ). To znamená, že sklon čiary kolmej na danú čiaru je záporná recipročná, alebo (- dfrac {3} {5} ). Ďalej použijeme vzorec bod-sklon s týmto novým sklonom a daným bodom.

[ begin {align *} y-1 & = - dfrac {3} {5} (x - (- 4)) y-1 & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12 } {5} y & = - dfrac {3} {5} x- dfrac {12} {5} + dfrac {5} {5} y & = - dfrac {3} {5} - dfrac {7} {5} end {zarovnať *} ]

Médiá

Prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie pomocou lineárnych rovníc.

  1. Riešenie racionálnych rovníc
  2. Rovnica priamky s dvoma bodmi
  3. Nájdenie rovnice priamky kolmej na inú priamku daným bodom
  4. Nájdenie rovnice priamky rovnobežnej s inou priamkou prechádzajúcou daným bodom

Kľúčové koncepty

  • Lineárne rovnice môžeme vyriešiť v jednej premennej v tvare (ax + b = 0 ) pomocou štandardných algebraických vlastností. Pozri príklad a príklad.
  • Racionálny výraz je kvocient dvoch polynómov. Pomocou LCD čistíme zlomky z rovnice. Pozri príklad a príklad.
  • Všetky riešenia racionálnej rovnice by sa mali overovať v rámci pôvodnej rovnice, aby sa zabránilo nedefinovanému výrazu alebo nule v menovateli. Pozri príklad a príklad.
  • Vzhľadom na dva body môžeme nájsť sklon priamky pomocou vzorca sklonu. Pozri príklad.
  • Môžeme identifikovať sklon a (y ) - intercept rovnice vo forme interceptu. Pozri príklad.
  • Nájdeme rovnicu priamky danej sklonom a bodom. Pozri príklad.
  • Nájdeme tiež rovnicu priamky, ktorá má dva body. Nájdite sklon a použite vzorec bod-sklon. Pozri príklad.
  • Štandardný tvar riadku nemá zlomky. Pozri príklad.
  • Vodorovné čiary majú sklon nula a sú definované ako (y = c ), kde (c ) je konštanta.
  • Zvislé čiary majú nedefinovaný sklon (v menovateli nulu) a sú definované ako (x = c ), kde (c ) je konštanta. Pozri príklad.
  • Paralelné čiary majú rovnaký sklon a rozdielne (y ) - úseky. Pozri príklad.
  • Kolmé čiary majú svahy, ktoré sú navzájom negatívne, pokiaľ nie je jedna vodorovná a druhá zvislá. Pozri príklad.

Cvičenie 2.2 Lineárne rovnice v jednej premennej - riešenie NCERT, trieda 8

Ak odčítate ( začať frac <1> <2> koniec) z čísla a výsledok vynásobte ( begin frac <1> <2> koniec), dostanete ( začať frac <1> <8> koniec). Aký je počet?

Riešenie

Video riešenie

Vytvorenie lineárnej rovnice pre dané vyhlásenie o probléme a jej riešenie povedie k riešeniu.

Čo je známe?

(začínam frac <1> <2> koniec) sa odčíta od čísla.

(ii) Výsledok sa vynásobí ( begin frac <1> <2> koniec)

Čo je neznáme?

(začínam frac <1> <2> koniec) sa odčíta od čísla ( begin to x - frac <1> <2> koniec)

(ii) Výsledok sa vynásobí ( begin frac <1> <2> to frac <1> <2> (x - frac <1> <2>) end)


1. Ak od čísla odpočítate ½ a výsledok vynásobíte ½, dostanete ⅛. Aký je počet?
Riešenie:
Nech je číslo x.
Podľa otázky
(x & # 8211 ½) × ½ = ⅛
x / 2 & # 8211 ¼ = ⅛
x / 2 = ⅛ + ¼
x / 2 = ⅜
x = ⅜ × 2
x = ¾

2. Obvod obdĺžnikového bazéna je 154 m. Jeho dĺžka je o 2 m viac ako dvojnásobok jeho šírky. Aká je dĺžka a šírka bazéna?
Riešenie:
Obvod obdĺžnikového bazéna = 154 m.
Nech je šírka obdĺžnika = x
Podľa otázky
Dĺžka obdĺžnika = 2x + 2
Obvod obdĺžnika
= 2 (dĺžka + šírka)
= 2 (2x +2 + x)
= 154
2 (2x +2 + x) = 154
2 (3x + 2) = 154
6x + 4 = 154
6x = 154 -4
6x = 150
x = 150/6
x = 25
Preto šírka = 25 m.
Dĺžka = 2 × 25 + 2 = 52 m.

3. Základňa rovnoramenného trojuholníka je 4/3 cm. Obvod trojuholníka je 4_2 / 15 cm.
Aká je dĺžka ktorejkoľvek zo zvyšných rovnakých strán?
Riešenie:
Báza rovnoramenného trojuholníka = 4/3
Obvod trojuholníka = 4_2 / 15 cm = 62 / 15cm
Nech je dĺžka rovnakých strán trojuholníka x.
Podľa otázky
4/3 + x + x = 62/15
2x = 62/15 & # 8211 4/3
2x = (62-20) / 15
2x = 42/15
x = 62/15 × ½
x = 42/30 cm
x = 7/5 cm
Dĺžka ktorejkoľvek zo zvyšných rovnakých strán je asi 7/5 cm.

4. Súčet dvoch čísel je 95. Ak jedno prekročí druhé o 15, nájdite čísla.
Riešenie:
Nech je jedno z čísel = x.
Potom sa z druhého čísla stane x + 15. Podľa otázky,
x + x + 15 = 95
2x = 95 & # 8211 15
2x = 80
x = 80/2
x = 40
Prvé číslo = x = 40
A ďalšie číslo = x + 15 = 40 + 15 = 55.

5. Dve čísla sú v pomere 5: 3. Ak sa líšia o 18, aké sú čísla?
Riešenie:
Nech sú dve čísla 5x a 3x.
Podľa otázky
5x & # 8211 3x = 18
2x = 18
x = 18/2
x = 9
Čísla sú 5x = 5 × 9 = 45
A 3x = 3 × 9 = 27.

6. Tri za sebou idúce celé čísla sčítajú až 51. Čo sú to celé čísla?
Riešenie:
Nech sú tri po sebe nasledujúce celé čísla x, x + 1, x +2.
Podľa otázky
x + x + 1 + x + 2 = 51
3x + 3 = 51
3x = 51 & # 8211 3
3x = 48
x = 48/3
x = 16
teda celé čísla
x = 16
x + 1 = 17
x + 2 = 18

7. Súčet troch po sebe nasledujúcich násobkov 8 je 888. Nájdite násobky.
Riešenie:
Nech sú tri po sebe nasledujúce násobky 8 8x, 8 (x + 1), 8 (x + 2).
Podľa otázky
8x + 8 (x + 1) + 8 (x + 2) = 888
8 (x + x + 1 + x + 2) = 888 (pričom 8 je bežných)
8 (3x + 3) = 888
3x + 3 = 888/8
3x + 3 = 111
3x = 111 & # 8211 3 = 108
x = 108/3
x = 36
Teda tri po sebe nasledujúce násobky 8 sú:
8x = 8 × 36 = 288
8 (x + 1) = 8 × 37 = 296
8 (x + 2) = 8 × 38 = 304

8. Tri po sebe idúce celé čísla sú také, že keď sa vezmú v rastúcom poradí a vynásobia 2,3 a 4, pripočítajú sa až 74. Nájdite ich.
Riešenie:
Nech sú tri po sebe nasledujúce celé čísla x, x + 1, x +2.
Podľa otázky
2x + 3 (x + 1) + 4 (x + 2) = 74
2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
9x + 11 = 74
9x = 74 & # 8211 11
9x = 63
x = 63/9
x = 7
Čísla teda sú:
x = 7
x + 1 = 8
x + 2 = 9

9. Vek Rahul a Haroon sú v pomere 5: 7. O štyri roky neskôr bude súčet ich veku 56 rokov. Aký je ich súčasný vek?
Riešenie:
Nech je vek Rahula a Haroona 5x a 7x.
Podľa otázky
5x + 4 + 7x + 4 = 56
12x + 8 = 56
12x = 56 & # 8211 8
12x = 48
x = 48/12
x = 4
Preto
Súčasný vek Rahul = 5x = 5 × 4 = 20
A súčasný vek Haroon = 7x = 7 × 4 = 28

10. Počet chlapcov a dievčat v triede je pomer 7: 5. Počet chlapcov je 8 viac ako počet dievčat. What is the total class strength?
Riešenie:
Let the number of boys be 7x and girls be 5x.
According to the question,
7x = 5x +8
7x – 5x = 8
2x = 8
x = 8/4
x = 2
Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28
And, Number of girls = 5 × 4 = 20
Total number of students = 20 + 28 = 48

11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?
Riešenie:
Let the age of Baichung’s father be x.
Then, the age of Baichung’s grandfather = x + 26.
and, Age of Baichung = x – 29.
According to the question,
x + x + 26 + x – 29 = 135
3x – 3 = 135
3x = 135 + 3
3x = 138/3
x = 46
Age of Baichung’s father = x = 46
Age of Baichung’s grandfather = x +26 = 72
Age of Baichung = x – 29 = 17

12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?
Riešenie:
Let the present age of Ravi be x.
Fifteen years later, Ravi age will be x + 15years.
According to the question,
x + 15 = 4x
4x – x = 15
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Therefore, present age of Ravi = 5 years.

13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get, -7/12. What is the number?
Riešenie:
Let the rational number be x.
According to the question,
x × (5/2) + 2/3 = -7/12
5x/2 + 2/3 = -7/12
5x/2 = -7/12 -2/3
5x/2 = ( -7 -8)/12
5x/2 = -15/12
5x/2 = -5/4
x = (-5/4) × (2/5)
x = -10/20
x = -1/2
Therefore, the rational number is -1/2.

14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations 100, 50 and 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is 4,00,000. How many notes of each denomination does she have?
Riešenie:
Let the numbers to notes of Rs.100, Rs.50, Rs.10, be 2x, 3x, and 5x respectively.
Value of Rs.100 = 2x × 100 = 200x
Value of Rs.50 = 3x × 50 = 150x
Value of Rs.10 = 5x × 10 = 50x.
According to the question,
200x + 150x + 50x = 4,00,000
400x = 4,00,000
x = 4,00,000/400
x = 1000
Numbers of Rs.100 notes = 2x = 2000
Numbers of Rs.50 notes = 3x = 3000
Numbers of Rs.10 notes = 5x = 5000

15. I have a total of Rs.300 in coins of denomination Rs.1, Rs.2 and Rs.5. The number of Rs.2 coins is 3 times the number of Rs.5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?
Riešenie:
Let the number of Rs.5 coins be x.
Then,
Number of Rs.2 coins = 3x
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x
Teraz,
Value of Rs.5 coins = x × 5 = 5x
Value of Rs.2 coins = 3x × 2 = 6x
Value of Rs.1 coins = (160 – 4x) × 1 = 160 -4x
According to the question,
5x +6x + 160 – 4x = 300
11x + 160 – 4x = 300
7x = 300 – 160
7x = 140
x = 140/7
x = 20
Number of Rs.5 coins = x = 20
Number of Rs.2 coins = 3x = 60
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x = 160 -80
= 80

16. The organisers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of Rs.100 and a participant who does not win gets a prize of Rs.25. The total prize money distributed is Rs.3000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Riešenie:
Let the numbers of winner be x.
Then, the number of participants who didn’t win = 63 – x
Total money given to the winner = x × 100 = 100x
Total money given to participant who didn’t win = 25( 63 – x )
According to the question:
100x + 25( 63 – x ) = 3,000
100x + 1575 – 25x = 3,000
75x = 3,000 – 1575
75x = 1425
x = 1425/75
x = 19
Therefore, the number of winners are 19.


Chapter 2 Ex.2.1 Question 3

Riešenie

Video riešenie

What is known?

What is unknown?

In an equation values of left-hand side (LHS) and right-hand side (RHS) are equal. The two sides of the equation are balanced. We perform mathematical operations so that the balance is not disturbed.

Transposing (2) to LHS we get,


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.6

Solve the following equations.
Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.
(frac < 8x-3 > < 3x >=2)
Riešenie:
We have (frac < 8x-3 > < 3x >=2)
⇒ (frac < 8x-3 >< 3x >) = (frac < 2 >< 1 >)
⇒ 8x – 3 = 2 × 3x (Cross-multiplication)
⇒ 8x – 3 = 6x
⇒ 8x – 6x = 3 (Transposing 6x to LHS and 3 to RHS)
⇒ 2x = 3
⇒ x = (frac < 3 >< 2 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.
(frac < 9x >< 7-6x >) = 15
Riešenie:
we have (frac < 9x >< 7-6x >) = 15
⇒ (frac < 9x >< 7-6x >) = (frac < 15 >< 1 >)
⇒ 9x = 15(7 – 6x) (Cross-multiplication)
⇒ 9x = 105 – 90x (Solving the bracket)
⇒ 9x + 90x = 105 (Transposing 90x to LHS)
⇒ 99x = 105
⇒ x = (frac < 105 >< 99 >)
⇒ x = (frac < 35 >< 33 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.
(frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
Riešenie:
We have (frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
⇒ 9z = 4 (z + 15) (Cross-multiplication)
⇒ 9z = 4z + 60 (Solving the bracket)
⇒ 9z – 42 = 60
⇒ 5z = 60
⇒ z = 12

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.
(frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
Riešenie:
we have (frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
⇒ 5(3y + 4) = -2(2 – 6y) (Cross-multiplication)
⇒ 15y + 20 = -4 + 12y (Solving the bracket)
⇒ 15y – 12y = -4 – 20 (Transposing 12y to LHS and 20 to RHS)
⇒ 3y = -24 (Transposing 3 to RHS) -24
⇒ y = -8

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.
(frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
Riešenie:
we have (frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
⇒ 3(7y + 4) = -4 (y + 2) (Corss-multiplication)
⇒ 21y + 12 = -4y – 8 [Solving the bracket]
⇒ 21y + 4y = -12 – 8 [Transposing 4y to LHS and 12 to RHS]
⇒ 25y = -20 [Transposing 25 to RHS]
⇒ y = (frac < -4 >< 5 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages of Hari and Harry are in the ratio 5 : 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 : 4. Find their present ages.
Riešenie:
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.
After 4 years Hari’s age will be (5x + 4) years and Harry’s age will be (7x + 4) years.
As per the conditions, we have
(frac < 5x+4 > < 7x+4 >=frac < 3 >< 4 >)
⇒ 4(5x + 4) = 3(7x + 4) (Cross-multiplication)
⇒ 20x + 16 = 21x + 12 (Solving the bracket)
⇒ 20x – 21x = 12 – 16 (Transposing 21x to LHS and 16 to RHS)
⇒ -x = -4
⇒ x = 4
Hence the present ages of Hari and Harry are 5 × 4 = 20years and 7 × 4 = 28years respectively.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is (frac < 3 >< 2 >). Find the rational number.
Riešenie:
Let the numerator of the rational number be x.
Denominator = (x + 8)
As per the conditions, we have

⇒ 2(x + 17) = 3(x + 7) (Cross-multiplication)
⇒ 2x + 34 = 3x + 21 (Solving the bracket)
⇒ 2x – 3x = 21 – 34 (Transposing 3x to LHS and 34 to RHS)
⇒ -x = -13
⇒ x = 13
Thus, numerator = 13
and denominator = 13 + 8 = 21
Hence the rational number is (frac < 13 >< 21 >).


Otázka 1.
If you subtract (frac < 1 > < 2 >) from a number and multiply the result (frac < 1 > < 2 >) by you get (frac < 1 > < 8 >) What is the number ?
Solution.

Otázka 2.
The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and the breadth of the pool?
Solution.

Otázka 3.
The base of an isosceles triangle is (frac < 4 > < 3 >)cm. The perimeter of the triangle is (4frac < 2 > < 15 >)cm. What is the length of either of the remaining equal sides ?
Solution.

Otázka 4.
Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.
Solution.

Otázka 5.
Two numbers are in the ratio 5 :3. If they differ by 18, what are the numbers?
Solution.

Otázka 6.
Three consecutive integers add up to 51. What are these integers ?
Solution.

Otázka 7.
The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.
Solution.

Otázka 8.
Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.
Solution.

Otázka 9.
The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5 : 7. Four years later, the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages ?
Solution.

Otázka 10.
The numbers of boys and girls in a class are in the ratio 7 : 5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength ?
Solution. .

Otázka 11.
Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them ?
Solution.

Otázka 12.
Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age ?
Solution.

Otázka 13.
A rational number is such that when you multiply it by (frac < 5 > < 2 >) and add (frac < 2 > < 3 >) to the product, you get(-frac < 7 > < 12 >). What is the number ?
Solution.

Otázka 14.
Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹ 100, ₹ 50 and ₹ 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2 : 3 : 5. The total cash with Lakshmi is ₹ 4,00,000. How many notes of each denomination does she have ?
Solution.

Otázka 15.
I have a total of oft 300 in coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5. The number of ₹ 2 coins is 3 times the number of ₹ 5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me ?
Solution.

Hence, I have 80, 60, and 20 coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5 respectively.

Otázka 16.
The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹ 100 and a participant who does not win gets a prize of ₹ 25. The total prize money distributed is ₹ 3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Solution.

We hope the NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


2.2: Linear Equations in One Variable

Let the number be ‘a’.

According to the question,

(a – 1/2) × 1/2 = 1/8

a/2 – 1/4 = 1/8



a/2 = 1/8 + 1/4

a/2 = 1/8 + 2/8

a/2 = (1 + 2)/8

a/2 = 3/8

a = (3/8) × 2

So,

a = 3/4

Question 2. The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and breadth of the pool?

Given that,

Perimeter of rectangular swimming pool = 154 m

Let the breadth of rectangle be ‘a’

Length of the rectangle = 2a + 2 We know that,

Perimeter = 2 × (length + breadth)

So,

2(2a + 2 + a) = 154

2(3a + 2) = 154

3a + 2 = 154/2

3a = 77 – 2



3a = 75

a = 75/3

a = 25

Therefore, Breadth = 25 m

Length = 2a + 2

= (2 × 25) + 2

= 50 + 2

Length = 52 m

Question 3. The base of an isosceles triangle is 4/3 cm. The perimeter of the triangle is 62/15 cm. What is the length of either of the remaining equal sides?

Base of isosceles triangle = 4/3 cm

Perimeter of triangle = 62/15

Let the length of equal sides of triangle be ‘a’.

So,

2a = (62/15 – 4/3)

2a = (62 – 20)/15

2a = 42/15

a = (42/30) × (1/2)

a = 42/30

a = 7/5

So, length of either of the remaining equal sides are 7/5 cm each.


Question 4. Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.

Let one of the numbers be ‘a’.

Then, the other number becomes (a + 15) Given in the question,

Also given that,

a + (a + 15) = 95

2a + 15 = 95

2a = 95 – 15

2a = 80

a = 80/2

a = 40

So, First number = 40

And, other number is = (a + 15) = 40 + 15 = 55

Question 5. Two numbers are in the ratio 5 : 3. If they differ by 18, what are the numbers?

Let the two numbers be 𔃵a’ and 𔃳a’. So, according to the question,

5a – 3a = 18

2a = 18

a = 18/2

a = 19

Teda

The first numbers is (5a) = 5 × 9 = 45

And another number (3a) = 3 × 9 = 27.

Question 6. Three consecutive integers add up to 51. What are these integers?

Let the three consecutive integers be ‘a’, ‘a + 1’ and ‘a + 2’. So, according to the question,

a + (a + 1) + (a + 2) = 51

3a + 3 = 51

3a = 51 – 3

3a = 48

a = 48/3

a = 16

So, the integers are



First integer will be (a) = 16

Second integer will be (a + 1) = 17

& third integer will be (a + 2) = 18

Question 7. The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.

Let the three consecutive multiples of 8 be 𔃸a’, 𔃸(a+1)’ and 𔃸(a+2)’. According to the question,

Given,

8a + 8(a + 1) + 8(a + 2) = 888

8 (a + a + 1 + a + 2) = 888 (Taking 8 as common)

8 (3a + 3) = 888

3a + 3 = 888/8

3a + 3 = 111

3a = 111 – 3

3a = 108

a = 108/3

a = 36

Thus, the three consecutive multiples of 8 are:

First no. = 8a = 8 × 36 = 288

Second no. = 8(a + 1) = 8 × (36 + 1) = 8 × 37 = 296

Third No. = 8(a + 2) = 8 × (36 + 2) = 8 × 38 = 304

Question 8. Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.

Let the three consecutive integers are ‘a’, ‘a+1’ and ‘a+2’. According to the question,

Given,

2a + 3(a + 1) + 4(a + 2) = 74

2a + 3a +3 + 4a + 8 = 74

9a + 11 = 74

9a = 74 – 11

9a = 63

a = 63/9

a = 7

Thus, the numbers are:

First integer. = a = 7

Second integer = a + 1 = 8

and Third integer = a + 2 = 9

Question 9. The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5:7. Four years later the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages?

Let the ages of Rahul and Haroon be 𔃵a’ and 𔃷a’.

Four years later,

The ages of Rahul and Haroon will be (5a + 4) and (7a + 4) respectively. According to the question,

Given, (5a + 4) + (7a + 4) = 56

5a + 4 + 7a + 4 = 56

12a + 8 = 56



12a = 56 – 8

12a = 48

a = 48/12

a = 4

Therefore, Present age of Rahul = 5a = 5 × 4 = 20

And, present age of Haroon = 7a = 7 × 4 = 28

Question 10. The number of boys and girls in a class are in the ratio 7:5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength?

Let the number of boys be 𔃷a’ and girls be 𔃵a’.

According to the question,

Given, 7a = 5a + 8

7a – 5a = 8

2a = 8

a = 8/2

a = 4

Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28

And, Number of girls = 5 × 4 = 20

Total number of students = 20 + 28 = 48

Question 11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?

Let age of Baichung’s father be ‘a’.

Then, age of Baichung’s grandfather = (a + 26)

and, Age of Baichung = (a – 29) According to the question,

Given, a + (a + 26) + (a – 29) = 135

3a + 26 – 29 = 135

3a – 3 = 135

3a = 135 + 3

3a = 138

a = 138/3

a = 46

Age of Baichung’s father = a = 46

Age of Baichung’s grandfather = (a + 26) = 46 + 26 = 72

Age of Baichung = (a – 29) = 46 – 29 = 17

Question 12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?

Let the present age of Ravi be ‘a’.

Fifteen years later, Ravi age will be (a+15) years. According to the question,

Given, a + 15 = 4a

4a – a = 15

3a = 15

a = 15/3

a = 5

Therefore, Present age of Ravi = 5 years.

Question 13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get -7/12. What is the number?

Let the rational be ‘a’.

According to the question,

Given, a × (5/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) = -7/12 – 2/3

5(a/2) = (-7- 8)/12

5(a/2) = -15/12

5a/2 = -5/4

a = (-5/4) × (2/5)



a = – 10/20

a = -1/2

Therefore, the rational number will be -1/2.

Question 14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹100, ₹50 and ₹10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is ₹4,00,000. How many notes of each denomination does she have?

Let the numbers of notes of ₹100, ₹50 and ₹10 be 𔃲a’ , 𔃳a’ and 𔃵a’ respectively.

Value of ₹100 = 2a × 100 = 200a

Value of ₹50 = 3a × 50 = 150a

Value of ₹10 = 5a × 10 = 50a According to the question,

Given, 200a + 150a + 50a = 400000

400a = 400000

a = 400000/400

a = 1000

Numbers of ₹100 notes = 2a = 2000

Numbers of ₹50 notes = 3a = 3000

Numbers of ₹10 notes = 5a = 5000

Question 15. I have a total of ₹300 in coins of denomination ₹1, ₹2 and ₹5. The number of ₹2 coins is 3 times the number of ₹5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?

Let number of ₹5 coins be ‘a’.

Then,

Number ₹2 coins = 3a

and, number of ₹1 coins = (160 – 4a) Now,

Value of ₹5 coins= a × 5 = 5a

Value of ₹2 coins = 3a × 2 = 6a

Value of ₹1 coins = (160 – 4a) × 1 = (160 – 4a)

According to the question,

Given, 5a + 6a + (160 – 4a) = 300

11a + 160 – 4a = 300

7a = 140

a = 140/7

a = 20

Number of ₹5 coins = a = 20

Number of ₹2 coins = 3a = 60

Number of ₹1 coins = (160 – 4a) = 160 – 80 = 80

Question 16. The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹100 and a participant who does not win gets a prize of ₹25. The total prize money distributed is ₹3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.

Let the numbers of winner be ‘a’

Then, the number of participant who didn’t win will be (63 – a)

Total money given to the winner = a × 100 = 100a

Total money given to participant who didn’t win = 25 × (63 – a)

According to the question,

Given, 100a + 25 × (63 – a) = 3000

100a + 1575 – 25a = 3000

75a = 3000 – 1575

75a = 1425

a = 1425/75

a = 19

So, the number of winners are 19.


Solve the following equations:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.

Riešenie:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.

Riešenie:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.

Riešenie:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.

Riešenie:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.

Riešenie:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages ofHari and Harry are in the ratio 5: 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 :4. Find their present ages.
Solution.
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.

∴ Present age of Hari =5 x 4 years = 20 years
∴ Present age of Harry =7 x 4 years = 28 years.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is . Find the rational number.
Solution.
Let the numerator of the rational number be x. Then, the denominator of the rational number = x + 8.
∴ The rational number =
If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number becomes .

Hence, the required rational number = .

We hope the NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.3

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.3

Solve the following equations and check your results.
Ex 2.3 Class 8 Maths Question 1.
3x = 2x + 18
Riešenie:
We have 3x = 2x + 18
⇒ 3x – 2x = 18 (Transposing 2x to LHS)
⇒ x = 18
Hence, x = 18 is the required solution.
Check: 3x = 2x + 18
Putting x = 18, we have
LHS = 3 × 18 = 54
RHS = 2 × 18 + 18 = 36 + 18 = 54
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 2.
5t – 3 = 3t – 5
Riešenie:
We have 5t – 3 = 3t – 5
⇒ 5t – 3t – 3 = -5 (Transposing 3t to LHS)
⇒ 2t = -5 + 3 (Transposing -3 to RHS)
⇒ 2t = -2
⇒ t = -2 ÷ 2
⇒ t = -1
Hence t = -1 is the required solution.
Check: 5t – 3 = 3t – 5
Putting t = -1, we have
LHS = 5t – 3 = 5 × (-1)-3 = -5 – 3 = -8
RHS = 3t – 5 = 3 × (-1) – 5 = -3 – 5 = -8
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 3.
5x + 9 = 5 + 3x
Riešenie:
We have 5x + 9 = 5 + 3x
⇒ 5x – 3x + 9 = 5 (Transposing 3x to LHS) => 2x + 9 = 5
⇒ 2x = 5 – 9 (Transposing 9 to RHS)
⇒ 2x = -4
⇒ x = -4 ÷ 2 = -2
Hence x = -2 is the required solution.
Check: 5x + 9 = 5 + 3x
Putting x = -2, we have
LHS = 5 × (-2) + 9 = -10 + 9 = -1
RHS = 5 + 3 × (-2) = 5 – 6 = -1
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 4.
4z + 3 = 6 + 2z
Riešenie:
We have 4z + 3 = 6 + 2z
⇒ 4z – 2z + 3 = 6 (Transposing 2z to LHS)
⇒ 2z + 3 = 6
⇒ 2z = 6 – 3 (Transposing 3 to RHS)
⇒ 2z = 3
⇒ z = (frac < 3 >< 2 >)
Hence z = (frac < 3 >< 2 >) is the required solution.
Check: 4z + 3 = 6 + 2z
Putting z = (frac < 3 >< 2 >), we have
LHS = 4z + 3 = 4 × (frac < 3 >< 2 >) + 3 = 6 + 3 = 9
RHS = 6 + 2z = 6 + 2 × (frac < 3 >< 2 >) = 6 + 3 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 5.
2x – 1 = 14 – x
Riešenie:
We have 2x – 1 = 14 – x
⇒ 2x + x = 14 + 1 (Transposing x to LHS and 1 to RHS)
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15 ÷ 3 = 5
Hence x = 5 is the required solution.
Check: 2x – 1 = 14 – x
Putting x = 5
LHS we have 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1 = 9
RHS = 14 – x = 14 – 5 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 6.
8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Riešenie:
We have 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
⇒ 8x + 4 = 3x – 3 + 7 (Solving the bracket)
⇒ 8x + 4 = 3x + 4
⇒ 8x – 3x = 4 – 4 [Transposing 3x to LHS and 4 to RHS]
⇒ 5x = 0
⇒ x = 0 ÷ 5 [Transposing 5 to RHS]
or x = 0
Thus x = 0 is the required solution.
Check: 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Putting x = 0, we have
8 × 0 + 4 = 3(0 – 1) + 7
⇒ 0 + 4 = -3 + 7
⇒ 4 = 4
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 7.
x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Riešenie:
We have x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
⇒ 5 × x = 4(x + 10) (Transposing 5 to LHS)
⇒ 5x = 4x + 40 (Solving the bracket)
⇒ 5x – 4x = 40 (Transposing 4x to LHS)
⇒ x = 40
Thus x = 40 is the required solution.
Check: x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Putting x = 40, we have
40 = (frac < 4 >< 5 >) (40 + 10)
⇒ 40 = (frac < 4 >< 5 >) × 50
⇒ 40 = 4 × 10
⇒ 40 = 40
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 8.
(frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
Riešenie:
We have (frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
15((frac < 2x >< 3 >) + 1) = 15((frac < 7x >< 15 >) + 3)
LCM of 3 and 15 is 15
(frac < 2x >< 3 >) × 15 + 1 × 15 = (frac < 7x >< 15 >) × 15 + 3 × 15 [Multiplying both sides by 15]
⇒ 2x × 5 + 15 = 7x + 45
⇒ 10x + 15 = 7x + 45
⇒ 10x – 7x = 45 – 15 (Transposing 7x to LHS and 15 to RHS)
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30 ÷ 3 = 10 (Transposing 3 to RHS)
Thus the required solution is x = 10

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 9.
2y + (frac < 5 >< 3 >) = (frac < 26 >< 3 >) – y
Riešenie:

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 10.
3m = 5m – (frac < 8 >< 5 >)
Riešenie:
Máme


Pozri si video: Vyjadřování neznámé (December 2021).