Články

7.1: Čiastočné zlomky - matematika


7.1: Čiastočné zlomky - matematika

Integrujte nasledujúcu funkciu vzhľadom na x:

Rozložte danú racionálnu funkciu na čiastkové zlomky. & # Xa0

1 / (x - 1) (x + 2) 2 & # xa0 & # xa0 = & # xa0 A / (x - 1) + B / (x + 2) + C / (x + 2) 2

= & # xa0 (1/9) ∫(1 / (x-1)) dx- (1/9) (1 / (x + 2) - (1/3) (1 / (x + 2) 2 dx

= & # xa0 (1/9) [log (x - 1) - log (x + 2)] - (1/3) (1 / (x + 2)) + c

= & # xa0 (1/9) [log (x - 1) / (x - 2)] - (1/3 (x + 2)) + c

Integrujte nasledujúcu funkciu vzhľadom na x:

Rozložte danú racionálnu funkciu na čiastkové zlomky. & # Xa0

3x - 9 & # xa0 = & # xa0 A (x + 2) (x 2 +1) + B (x-1) (x 2 +1) + (Cx + D) (x-1) (x + 2)

3x - 9 & # xa0 = & # xa0 A (x + 2) (x 2 +1) + B (x-1) (x 2 +1) + (Cx + D) (x-1) (x + 2)

∫[ (3x - 9) / (x - 1) (x + 2) (x 2 & # xa0 + 1)] dx

& # xa0 = & # xa0 & # xa0- ∫1 / (x - 1) dx + & # xa0 1 / (x + 2) dx + & # xa0 ∫ 3 / (x 2 & # xa0 + 1) dx

& # xa0 = & # xa0 - log (x - 1) + log (x + 2) + 3 tan -1 (x)

Integrujte nasledujúcu funkciu vzhľadom na x:

V danom racionálnom zlomku je najvyšší exponent x v čitateľovi väčší ako najvyšší exponent x v menovateli. & # Xa0

Môžeme teda použiť dlhé delenie na rozloženie danej racionálnej funkcie. & # Xa0

Z vyššie uvedeného dlhého rozdelenia máme

x 3 / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 (x + 3) + (7x - 6) / (x 2 - 3x + 2)

x 3 / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 (x + 3) + (7x - 6) / (x - 1) (x - 2) ---- (1)

Rozložte (7x - 6) / (x - 1) (x - 2) na čiastočné zlomky. & # Xa0

(7x - 6) / (x - 1) (x - 2) & # xa0 = & # xa0 A / (x - 1) + B (x - 2)

& # xa0 = & # xa0 & # xa0 (x + 3) dx - ∫1 / (x - 1) dx + 8 ∫1 / (x - 2) dx

= & # xa0 x 2/2 + 3x - & # xa0 log (x - 1) + 8log (x - & # xa0 2) + C

Po absolvovaní vyššie uvedeného dúfame, že by študenti pochopili, ako integrovať racionálne funkcie pri písaní čiastkových zlomkov. & # Xa0

Okrem vecí uvedených v tejto časti & # xa0, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


7.4 Čiastočné zlomky

Úvod: V tejto lekcii sa naučíme používať rozklad čiastkových zlomkov na integráciu racionálnych funkcií. Technika nazývaná rozklad parciálnych zlomkov nám ukazuje, ako rozdeliť racionálnu funkciu na súčet jednoduchších racionálnych funkcií. Tieto jednoduchšie racionálne funkcie možno potom bežne integrovať.

Ciele: Po tejto lekcii by ste mali byť schopní:

  • Pochopiť pojem rozklad parciálnych frakcií.
  • Na integráciu racionálnych funkcií použite rozklad parciálnych zlomkov s lineárnymi a kvadratickými faktormi (niektoré sa môžu opakovať).

Poznámky k videu a zosilňovaču: Pri sledovaní videa vyplňte hárok s poznámkami k tejto lekcii (7-4-čiastočné zlomky). Ak chcete, mohli by ste si prečítať oddiel 7.4 svojej učebnice a sami si precvičiť úlohy uvedené v poznámkach. Pamätajte, že poznámky musia byť každý týždeň nahrávané do Blackboardu! Ak sa z nejakého dôvodu nižšie uvedené video nenačíta, máte k nemu prístup na YouTube tu.

Domáca úloha: Prejdite na WebAssign a dokončite priradenie & # 82207.4 Čiastočné zlomky & # 8221.


Kalkulačka zlomkov

Hodnotami môžu byť jednoduché zlomky, zmiešané zlomky alebo nesprávne zlomky.

Prehľad zlomkov:

Zlomok označuje časť regiónu alebo časť skupiny. Zlomok je počet tieňovaných častí vydelený počtom rovnakých častí. Čitateľ je číslo nad zlomkom a menovateľ je číslo pod zlomkom.

Vlastný zlomok je zlomok, v ktorom je čitateľ menší ako menovateľ. Nesprávny zlomok je zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi. Číslo možno klasifikovať ako správny zlomok, nesprávny zlomok alebo ako zmiešané číslo. Akékoľvek delené číslo sa rovná jednej. Zmiešané číslo sa skladá z celočíselnej časti a zlomkovej časti.

Ekvivalentné zlomky sú rôzne zlomky, ktoré pomenujú rovnaké číslo. Ekvivalentné zlomky sú rôzne zlomky, ktoré pomenujú rovnaké číslo. Čitateľ a menovateľ zlomku sa musia vynásobiť rovnakým nenulovým celým číslom, aby mali ekvivalentné zlomky.

Aby ste zjednodušili zlomok (znížili ho na najnižšie hodnoty), čitateľ a menovateľ musia byť vydelení rovnakým nenulovým celým číslom. Zlomok je v najnižších termínoch, keď najväčší spoločný faktor (GCF) jeho čitateľa a menovateľa je jeden.

Pri porovnaní dvoch zlomkov s podobnými menovateľmi je väčší zlomok s väčším čitateľom. Ak chcete porovnať zlomky s odlišnými menovateľmi, pomocou LCD napíšte ekvivalentné zlomky so spoločným menovateľom a potom porovnajte čitateľa.

Nesprávny zlomok väčší ako jedna môžete previesť na zmiešané číslo dlhým rozdelením čitateľa a menovateľa. Porovnanie čitateľa a menovateľa: Ak je čitateľ & menovateľ lt, potom zlomok & lt 1.

Ak chcete zoradiť zlomky s rovnakými menovateľmi, pozrite sa na čitateľov a porovnajte ich dva naraz. Ak chcete zoradiť zlomky s odlišnými menovateľmi, pomocou LCD ich napíšte ako ekvivalentné zlomky s rovnakými menovateľmi. Potom porovnajte dve frakcie súčasne. Je užitočné napísať číslo do kruhu vedľa každej zlomku, aby ste ich ľahšie porovnali.

Frakčné hodiny s príkladmi problémov a interaktívnymi cvičeniami:

Úvod do zlomkov

Úvod, klasifikácia zlomkov, ekvivalentné zlomky, zjednodušenie, porovnanie a zoradenie. Prevod zlomkov na zmiešané čísla. Prevod zmiešaných čísel na zlomky. Matematická výučba je vizuálna a koncepčná.

Sčítajte a odčítajte zlomky a zmiešané čísla

Sčítajte a odčítajte zlomky podobnými a na rozdiel od menovateľov, LCD, sčítajte a odčítajte zmiešané čísla, riešte problémy zo skutočného sveta. Tieto hodiny využívajú vizuálny aj koncepčný prístup.

Znásobte a rozdeľte zlomky a zmiešané čísla

Znásobte zlomky so zrušením a bez zrušenia, znásobte zmiešané čísla, recipročné hodnoty, rozdeľte zlomky, rozdeľte zmiešané čísla, riešenie problémov zo skutočného sveta. Výučba je vizuálna a koncepčná.


Otázky k cvičeniu 7.1

i) frac <1>

ii) frac <1>

iii) frac <1>

iv) frac <3>

(v) frac <4>

Q1) Napíšte zlomok predstavujúci tieňovanú časť.

i)

ii)

iii)

iv)

(v)

vi)

vii)

(viii)

(ix)

(X)


Úvod do Laplaceovej transformácie

8.3 Riešenie problémov s počiatočnou hodnotou pomocou Laplaceovej transformácie

V tejto časti ukážeme, ako sa Laplaceova transformácia používa na riešenie problémov s počiatočnou hodnotou. Aby sme to dosiahli, najskôr musíme pochopiť, ako Laplaceova transformácia derivácií funkcie súvisí so samotnou funkciou. Začíname s prvou deriváciou.

Veta 45 (Laplaceova transformácia prvej derivácie). Predpokladajme, že f(t) je spojitá pre všetky t ≥ 0 a je exponenciálneho rádu b pre t & gt T. Predpokladajme tiež, že f & # x27(t) je po častiach spojitý na akomkoľvek uzavretom podintervali [0,∞). Potom pre s & gt b

Dôkaz. Využitie integrácie časťami s u = e - sv a dv = f & # x27(t) dt, máme

Dôkaz vety 45 to predpokladá f & # x27 je spojitá funkcia. Ak použijeme predpoklad, že f & # x27 je spojitá na 0 & lt t1 & lt t2 & lt ⋯tn & lt ∞, dokončujeme dôkaz pomocou

Toto je rovnaká integrácia podľa častí, ktorá je uvedená v dôkaze vety 45 pre každý integrál. Teraz robíme rovnaké predpoklady f & # x27 a f & quot ako sme to urobili f a f & # x27, vo výroku z vety 45 a použite vetu 45 na vytvorenie výrazu pre 45 <f & quot(t)>:

Pokračovaním v tomto procese môžeme zostrojiť podobné výrazy pre Laplaceovu transformáciu derivátov vyššieho rádu, ktorá vedie k nasledujúcej vete.

Veta 46 (Laplaceova transformácia vyšších derivátov). Všeobecnejšie, ak f (i) (t) je spojitá funkcia exponenciálneho poradia b na [0, ∞) pre i = 0,1, ..., n − 1 a f (n) (t) je po častiach spojitý na akomkoľvek uzavretom podintervali [0,∞), potom pre s & gt b

Túto vetu a dôsledok použijeme pri riešení úloh počiatočnej hodnoty. Môžeme ich však tiež použiť na nájdenie Laplaceovej transformácie funkcie, keď poznáme Laplaceovu transformáciu derivácie funkcie.

Riešenie

Teraz ukážeme, ako možno Laplaceovu transformáciu použiť na riešenie problémov s počiatočnou hodnotou. Spravidla, keď riešime problém počiatočnej hodnoty, ktorý zahŕňa r(t), použijeme nasledujúce kroky:

vypočítať Laplaceovu transformáciu každého člena v diferenciálnej rovnici

vyriešte výslednú rovnicu pre ℒ <r(t)> = Υ (s) a

určiť r(t) výpočtom inverznej Laplaceovej transformácie Υ (s).

Výhodou tejto metódy je, že prostredníctvom využitia nehnuteľnosti

meníme diferenciál rovnica k algebraický rovnicu, ktorú je možné vyriešiť pre ℒ <f(t)>.

Vyriešte problém s počiatočnou hodnotou y & # x27 - 4y = e 4t , r(0) = 0.

Ako sa zmení riešenie, ak r(0) = 1?

Riešenie

Začneme Laplaceovou transformáciou oboch strán diferenciálnej rovnice. Pretože ℒ <y & # x27> = sΥ (s) − r(0) = sΥ (s), máme

V mnohých prípadoch musíme určiť rozklad parciálneho zlomku Υ ( s) na získanie výrazov, pre ktoré možno nájsť inverznú Laplaceovu transformáciu.

Riešenie

Nech Υ (s) = ℒ <r(t)>. Aplikácia Laplaceovej transformácie na rovnicu nám potom dá ℒ <y & quot - 4y & # x27> = ℒ <0>. Pretože

V nasledujúcom príklade je znázornený rozklad parciálnych zlomkov zahŕňajúci opakovaný lineárny faktor.

Riešenie

Použite Laplaceove transformácie na riešenie y & # x27 - y = 0.

V niektorých prípadoch, F(s) zahŕňa neredukovateľné kvadratické faktory, ako vidíme v nasledujúcom príklade.

Riešenie

Nech ℒ <r(t)> = Υ (s). Vezmeme Laplaceovu transformáciu rovnice a vyriešime pre Υ (s) dáva nám,


Parciálne zlomky

Každé zlomkové číslo, t.j. e. také racionálne číslo m n, že celé číslo m nie je deliteľné celým číslom n, možno rozložiť na súčet čiastkových zlomkov takto:

m n = m 1 p 1 ν 1 + m 2 p 2 ν 2 + ⋯ + m t p t ν t

Tu sú čísla p i zreteľné kladné prvočísla, kladné celé čísla ν i a niektoré celé čísla m i. Porov. parciálne zlomky výrazov.

6 289 = 6 17 2
- 1 24 = - 3 2 3 + 1 3 1
1 504 = - 1 2 3 + 32 3 2 - 24 7 1

Ako získať čitateľov m i na rozklad zlomkového čísla 1 n na čiastočné zlomky? Prvý môže mať najvyššiu mocninu p ν prvočísla p, ktorá rozdeľuje menovateľa n. Potom n = p ν ⁢ u, kde gcd ⁡ (u, p ν) = 1. Euklidov algoritmus dáva niektoré celé čísla x a y také

Vydelením tejto rovnice p ν ⁢ u dostaneme

1 n = 1 p ν ⁢ u = x p ν + y u.

Ak má u viac ako jeden zreteľný primárny faktor, možno urobiť podobný postup pre zlomok y u atď.

Poznámka. Číslovače m 1, m 2,…, m t v rozklade nie sú jedinečné. Napr. Máme tiež


Obsah

Ak je počiatočné číslo racionálne, potom tento proces presne zodpovedá paralele euklidovskému algoritmu použitému na čitateľa a menovateľa čísla. Musí najmä ukončiť a vytvoriť konečnú zlomkovú reprezentáciu čísla. Poradie celých čísel, ktoré sa vyskytuje v tejto reprezentácii, je postupnosťou po sebe nasledujúcich kvocientov vypočítaných euklidovským algoritmom. Ak je počiatočné číslo iracionálne, potom proces pokračuje neurčito. Takto sa vytvorí postupnosť aproximácií, pričom všetky sú racionálnymi číslami a tieto konvergujú k počiatočnému číslu ako limit. Toto je (nekonečné) pokračujúce zlomkové zastúpenie čísla. Príklady pokračujúcich zlomkových reprezentácií iracionálnych čísel sú:

  • √ 19 = [42,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8. ] (sekvencia A010124 v OEIS). Vzor sa opakuje neurčito s periódou 6.
  • e = [21,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8. ] (sekvencia A003417 v OEIS). Vzor sa opakuje neurčito s periódou 3 s tým rozdielom, že k jednému z výrazov v každom cykle sa pridajú dva.
  • π = [37,15,1292,1,1,1,2,1,3,1. ] (postupnosť A001203 v OEIS). V tomto znázornení sa nikdy nenašiel žiadny vzor.
  • ϕ = [11,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1. ] (sekvencia A000012 v OEIS). Zlatý rez, iracionálne číslo, ktoré je „najťažšie“ racionálne priblížiť. Pozri: Vlastnosť zlatého rezu φ.

Pokračujúce zlomky sú v niektorých ohľadoch „matematicky prirodzenejšie“ reprezentácie skutočného počtu ako iné reprezentácie, napríklad desatinné reprezentácie, a majú niekoľko žiaducich vlastností:

  • Pokračujúce zlomkové zastúpenie racionálneho čísla je konečné a iba racionálne čísla majú konečné zastúpenie. Naproti tomu desatinné vyjadrenie racionálneho čísla môže byť napríklad konečné
  • 137/1600 = 0,085625, alebo napríklad nekonečný s opakujúcim sa cyklom
  • 4 / 27 = 0.148148148148.
  • Každé racionálne číslo má v podstate jedinečné pokračujúce zlomkové zastúpenie. Každú racionálnu možno reprezentovať presne dvoma spôsobmi, pretože [a0a1. an−1,an] = [a0a1. an−1,(an−1), 1]. Ako kanonické znázornenie sa zvyčajne zvolí prvý, kratší.
  • Pokračujúce zlomkové zastúpenie iracionálneho čísla je jedinečné.
  • Skutočné čísla, ktorých pokračujúci zlomok sa nakoniec opakuje, sú presne kvadratické iracionály. [5] Napríklad opakujúci sa zlomok [11,1,1. ] je zlatý rez a opakujúci sa zlomok [12,2,2. ] je druhá odmocnina z 2. Naopak, desatinné vyjadrenia kvadratických iracionálov sú zjavne náhodné. Druhé odmocniny všetkých (kladných) celých čísel, ktoré nie sú dokonalými štvorcami, sú kvadratické iracionály, a preto sú jedinečné periodické zlomky.
  • Postupné aproximácie generované pri hľadaní spojitého zlomkového zastúpenia čísla, to znamená skrátením zastúpenia spojitého zlomku, sú v určitom zmysle (popísané nižšie) „najlepším možným“.

Pokračujúca zlomok je vyjadrením formy

kde ai a bi môžu byť akékoľvek komplexné čísla. Zvyčajne sa vyžaduje, aby boli celé čísla. Ak bi = 1 pre všetkých i výraz sa nazýva a jednoduché pokračujúca frakcia. Ak výraz obsahuje konečne veľa výrazov, nazýva sa a konečný pokračujúca frakcia. Ak výraz obsahuje nekonečne veľa výrazov, nazýva sa an nekonečný pokračujúca frakcia. [6]

Všetky nasledujúce ilustrujú platné konečné jednoduché jednoduché pokračovacie zlomky:

Príklady konečných jednoduchých pokračujúcich zlomkov
Vzorec Numerické Poznámky
a 0 < Displaystyle a_ <0>> 2 Všetky celé čísla sú zdegenerovaným prípadom
a 0 + 1 a 1 < Displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>>>> 2 + 1 3 < Displaystyle 2 + < cfrac <1> <3> >> Najjednoduchšia možná zlomková forma
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 < Displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>+ < cfrac <1>>>>>> - 3 + 1 2 + 1 18 < Displaystyle -3 + < cfrac <1> <2 + < cfrac <1> <18> >>>> Prvé celé číslo môže byť záporné
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 < Displaystyle a_ <0> + < cfrac <1>+ < cfrac <1>+ < cfrac <1>>>>>>>> 1 15 + 1 1 + 1 102 < Displaystyle < cfrac <1> <15 + < cfrac <1> <1 + < cfrac <1> <102> >>>>>> Prvé celé číslo môže byť nula

Pre jednoduché pokračovanie zlomky formy

Ak chcete vypočítať súvislú zlomkovú reprezentáciu čísla r, zapíšte si celočíselnú časť (technicky spodnú časť) z r. Odpočítajte túto celočíselnú časť od r. Ak je rozdiel 0, zastavte inak, nájdite prevrátený rozdiel a opakujte. Postup sa zastaví, len ak je r racionálne. Tento proces je možné efektívne implementovať pomocou euklidovského algoritmu, keď je počet racionálny. Nasledujúca tabuľka ukazuje implementáciu tohto postupu pre číslo 3.245, ktorá má za následok pokračujúce rozširovanie frakcií [3 4,12,4].

alebo v zápise spoločnosti Pringsheim as

alebo v inej súvisiacej notácii ako

Niekedy sa používajú uholníky, napríklad:

Bodkočiarka v hranatých a lomených zátvorkách je niekedy nahradená čiarkou. [3] [4]

Jeden môže tiež definovať nekonečné jednoduché pokračujúce zlomky ako limity:

Každý konečný spojitý zlomok predstavuje racionálne číslo a každé racionálne číslo je možné predstaviť presne dvoma rôznymi spôsobmi ako konečný spojitý zlomok s podmienkami, že prvý koeficient je celé číslo a ostatné koeficienty sú kladné celé čísla. Tieto dve vyhlásenia súhlasia, s výnimkou konečných podmienok. V dlhšom zastúpení je konečný člen v pokračujúcom zlomku 1, kratšie zastúpenie vypustí konečný 1, ale zvýši nový konečný člen o 1. Konečný prvok v krátkom zastúpení je preto vždy väčší ako 1, ak je prítomný. V symboloch:

Pokračujúce zlomkové reprezentácie kladného racionálneho čísla a jeho recipročné sú identické, okrem posunu o jedno miesto doľava alebo doprava v závislosti od toho, či je číslo menšie alebo väčšie ako jedno. Inými slovami, čísla reprezentovaná [a 0 a 1, a 2,…, a n] < displaystyle [a_ <0> a_ <1>, a_ <2>, ldots, a_]> a [0 a 0, a 1,…, a n] < displaystyle [0a_ <0>, a_ <1>, ldots, a_]> sú recipročné.

Posledné číslo, ktoré generuje zvyšok spojitého zlomku, je rovnaké pre obidve x < displaystyle x>.

Každý nekonečný pokračujúci zlomok je iracionálny a každé iracionálne číslo sa dá presne jedným spôsobom predstaviť ako nekonečný pokračujúci zlomok.

Nekonečné pokračovanie zlomkovej reprezentácie iracionálneho čísla je užitočné, pretože jeho počiatočné segmenty poskytujú racionálne aproximácie čísla. Tieto racionálne čísla sa nazývajú konvergencie pokračujúcej frakcie. [9] [10] Čím je člen väčší v pokračujúcom zlomku, tým bližšie sa približuje zodpovedajúca konvergencia k iracionálnemu číslu. Čísla ako π majú občasné veľké členy vo svojej spojitej frakcii, čo uľahčuje ich aproximáciu pomocou racionálnych čísel. Ostatné čísla ako e majú iba malé termíny na začiatku svojej pokračujúcej frakcie, čo sťažuje ich racionálnu aproximáciu. Zlatý rez ϕ má výrazy rovné 1 všade - čo najmenšie hodnoty -, čo robí ϕ najťažšie racionálne aproximovateľné číslo. V tomto zmysle je teda „najracionálnejším“ zo všetkých iracionálnych čísel. Konvertory párneho čísla sú menšie ako pôvodné číslo, zatiaľ čo nepárne čísla sú väčšie.

Pre pokračujúci zlomok [a0 a1, a2, ], prvé štyri konvergenty (číslované od 0 do 3) sú

Čitateľ tretieho konvergentu sa vytvorí vynásobením čitateľa druhého konvergentu tretím koeficientom a pridaním čitateľa prvého konvergentu. Menovatelia sú formovaní podobne. Preto každý konvergent môžeme výslovne vyjadriť ako pokračujúci zlomok ako pomer určitých mnohorozmerných polynómov nazývaných pokračovatelia.

Ak sa nájdu postupné konvergenty, s čitateľmi h 1, h 2, a menovatelia k 1, k 2, potom je relevantný rekurzívny vzťah:

hn = anhn − 1 + hn − 2 , kn = ankn − 1 + kn − 2 .

Postupné konvergenty sú dané vzorcom

Na začlenenie nového výrazu do racionálnej aproximácie sú teda potrebné iba dva predchádzajúce konvergenty. Počiatočné „konvergencie“ (požadované pre prvé dva volebné obdobia) sú 0 /1 a 1 /0. Napríklad tu sú konvergenty pre [01,5,2,2].

n −2 −1 0 1 2 3 4
an 0 1 5 2 2
hn 0 1 0 1 5 11 27
kn 1 0 1 1 6 13 32

Pri použití babylonskej metódy na generovanie postupných aproximácií druhej odmocniny celého čísla, ak sa začína najnižším celým číslom ako prvým aproximantom, vygenerované racionálne hodnoty sa objavia v zozname konvergentov pre pokračujúci zlomok. Konkrétne sa aproximanty objavia v zozname konvergentov na pozíciách 0, 1, 3, 7, 15,. , 2 k -1,. Napríklad pokračujúca expanzia zlomku pre √ 3 je [11,2,1,2,1,2,1,2. ]. Porovnanie konvergentov s aproximantmi odvodenými z babylonskej metódy:

Upraviť vlastnosti

Baireho priestor je topologický priestor na nekonečných sekvenciách prirodzených čísel. Nekonečná spojitá frakcia poskytuje homeomorfizmus z baireovského priestoru do priestoru iracionálnych reálnych čísel (s subpriestorovou topológiou zdedenou z obvyklej topológie na realitách). Nekonečná pokračujúca frakcia tiež poskytuje mapu medzi kvadratickými iracionálmi a dyadickými racionalitami a od iných iracionálov po množinu nekonečných reťazcov binárnych čísel (tj. Cantorova množina) sa táto mapa nazýva Minkowského funkcia otáznika. Mapovanie má zaujímavé podobné fraktálne vlastnosti, ktoré dáva modulárna skupina, čo je podskupina Möbiových transformácií s celočíselnými hodnotami v transformácii. Zhruba povedané, konvergenty s pokračujúcimi zlomkami možno považovať za Möbiove transformácie pôsobiace na (hyperbolickú) hornú polrovinu, čo vedie k fraktálnej samo-symetrii.

Distribúcia limitnej pravdepodobnosti koeficientov v pokračujúcom rozširovaní frakcie náhodnej premennej rovnomerne distribuovanej v (0, 1) je Gaussovo-Kuzminovo rozdelenie.

Niektoré užitočné vety Upraviť

Dodatok 2: Rozdiel medzi postupnými konvergentmi je zlomok, ktorého čitateľom je jednota:

Dodatok 3: Pokračujúca frakcia je ekvivalentná sérii striedajúcich sa výrazov:

Dodatok 4: Matica

Dodatok 1: Konvergent je bližšie k hranici spojitého zlomku ako ktorýkoľvek zlomok, ktorého menovateľ je menší ako konvergentný zlomok.

Dodatok 2: Konvergent získaný ukončením spojitej frakcie tesne pred veľkým termínom je blízkym priblížením k hranici spojitej frakcie.

sú po sebe idúce konvergenty, potom všetky zlomky formy

kde m < Displaystyle m> je celé číslo také, že 0 ≤ m ≤ a n + 1 < displaystyle 0 leq m leq a_>, sú volaní polokonvergenty, sekundárne konvergentyalebo stredné frakcie. (M + 1) < Displaystyle (m + 1)> - prvý semikonvergentný sa rovná prostrediu prvého a konvergentného h n k n < Displaystyle < tfrac m < Displaystyle m> <>><>>>>. Niekedy sa pod týmto pojmom rozumie, že byť polokonvergentným vylučuje možnosť byť konvergentným (t. J. 0 & lt m & lt a n + 1 < displaystyle 0 & ltm & lta_>), skôr než to, že konvergent je druh polokonvergentného.

Z toho vyplýva, že polokonvergenty predstavujú monotónnu postupnosť zlomkov medzi konvergentmi. H n - 1 k n - 1 < displaystyle < tfrac <>><>>>> (zodpovedá m = 0 < Displaystyle m = 0>) a n n + 1 k n + 1 < displaystyle < tfrac <>><>>>> (zodpovedá m = a n + 1 < displaystyle m = a_>). Postupné polkonvergenty a b < Displaystyle < tfrac >> a c d < Displaystyle < tfrac >> uspokojiť vlastnosť. a d - b c = ± 1 < displaystyle ad-bc = pm 1>.

  1. Skráťte pokračujúcu frakciu a znížte jej posledný termín o vybrané množstvo (možno nulu).
  2. Skrátené obdobie nemôže mať menej ako polovicu pôvodnej hodnoty.
  3. Ak je konečný výraz párny, polovica jeho hodnoty je prípustná, iba ak je zodpovedajúci semikonvergent lepší ako predchádzajúci konvergent. (Pozri nižšie.)

Napríklad 0,84375 má pokračujúcu frakciu [01,5,2,2]. Tu sú všetky jeho najlepšie racionálne aproximácie.

Prísne monotónny nárast menovateľov, keď sú zahrnuté ďalšie výrazy, umožňuje algoritmu uložiť limit, a to buď na veľkosť menovateľa, alebo na blízkosť aproximácie.

Vyššie uvedené „polovičné pravidlo“ vyžaduje, aby keď a k je párny, polovičný výraz a k / 2 je prípustný, iba ak |X − [a0 a1, . ak − 1] | & gt |X − [a0 a1, . ak − 1, ak/ 2] | [11] Toto je ekvivalent [11] k: [12]

Konvergenty na x sú „najlepšie aproximácie“ v oveľa silnejšom zmysle, ako je definované vyššie. Konkrétne, n / d je konvergentné pre x vtedy a len vtedy, ak |dxn| má najmenšiu hodnotu z analogických výrazov pre všetky racionálne aproximácie m / cs cd to znamená, že máme |dxn| & lt |cxm| pokiaľ c & lt d . (Všimnite si tiež, že |dkXnk| → 0 ako k → ∞ .)

Najlepšie racionálne v intervale Upraviť

Racionál, ktorý spadá do daného intervalu (X, r), pre 0 & lt x & lt y, možno nájsť s pokračujúcimi zlomkami pre x a y. Keď sú x aj y iracionálne a

X = [a0 a1, a2, . ak − 1, ak, ak + 1, . ] r = [a0 a1, a2, . ak − 1, bk, bk + 1, . ]

kde x a y majú rovnaké pokračujúce expanzie zlomkov až do konca ak−1 , racionálna hodnota, ktorá spadá do daného intervalu (X, r) je dané konečným zlomkom,

z(X,r) = [a0 a1, a2, . ak − 1, min (ak, bk) + 1]

Tento racionálny bude najlepší v tom zmysle, že žiadny iný racionálny v (X, r) bude mať menšieho čitateľa alebo menovateľa. [ potrebná citácia ]

Ak je x racionálne, bude mať dva pokračujúce zlomkové reprezentácie, ktoré sú konečný, X1 a X2 , a podobne racionálne y bude mať dve reprezentácie, r1 a r2 . Koeficienty za posledným v ktoromkoľvek z týchto zobrazení by sa mali interpretovať ako + ∞ a najlepší racionálny bude jeden z z(X1, r1) , z(X1, r2) , z(X2, r1) alebo z(X2, r2) .

Napríklad desatinné číslo 3.1416 je možné zaokrúhliť z ktoréhokoľvek čísla v intervale [3.14155, 3.14165). Pokračujúce zlomkové reprezentácie 3,14155 a 3,14165 sú

3.14155 = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2] 3.14165 = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

a najlepšie racionálne medzi týmito dvoma je

Interval pre konvergentné úpravy

Racionálne číslo, ktoré možno vyjadriť ako konečný zlomok dvoma spôsobmi,

z = [a0 a1, . ak − 1, ak, 1] = [a0 a1, . ak − 1, ak + 1]

bude jedným z konvergentov pre ďalšie rozširovanie zlomkov čísla, ak a len vtedy, ak je počet striktne medzi

X = [a0 a1, . ak − 1, ak, 2] a r = [a0 a1, . ak − 1, ak + 2]

Čísla x a y sú tvorené zvýšením posledného koeficientu v dvoch znázorneniach pre z. Je to tak X & lt r keď k je párne, a X & gt r keď k je nepárne.

Zvážte X = [a0 a1, ] a r = [b0 b1, ]. Ak k je najmenší index, pre ktorý ak je nerovné bk potom X & lt r ak (-1) k (akbk) & lt 0 a r & lt X inak.

Ak také k nie je, ale jedna expanzia je povedzme kratšia ako druhá X = [a0 a1, . an] a r = [b0 b1, . bn, bn + 1, ] s ai = bi pre 0 ≤ in potom X & lt r ak n je párne a r & lt X ak n je nepárne.

[37,15,1292,1,1. ] (postupnosť A001203 v OEIS).

Predpokladajme, že nájdené kvocienty sú, ako je uvedené vyššie, [37,15,1]. Nasleduje pravidlo, podľa ktorého môžeme naraz zapisovať konvergentné zlomky, ktoré sú výsledkom týchto kvocientov, bez vývoja spojitého zlomku.


Riešenia CBSE NCERT pre matematiku triedy 6, zlomky kapitoly 7

Všetky riešenia NCERT triedy 6 uvedené na tejto stránke riešia odborníci spoločnosti Embibe na základe pokynov CBSE. Pomocou nich Riešenia NCERT pre matematiku triedy 6, študenti môžu ľahko vyriešiť svoje úlohy a domáce práce včas.

Predtým, ako sa pozrieme na podrobnosti o kapitole 7 NCERT riešení pre matematiku triedy 6, pozrime sa na sekcie spolu s odkazmi na stiahnutie PDF:

CvičenieTémy
7.1Úvod
7.2Zlomok
7.3Zlomok na číselnej čiare
7.4Správne zlomky
7.5Nesprávne a zmiešané zlomky
7.6Ekvivalentné zlomky
7.7Najjednoduchšia forma zlomku
7.8Ako zlomky
7.9Porovnávanie zlomkov
7.10Sčítanie a odčítanie zlomkov

Riešenia NCERT pre matematiku triedy 6 Kapitola 7: Frakcie na stiahnutie vo formáte PDF

Tu sme poskytli riešenia pre kapitolu 7 z Knihy NCERT pre matematiku triedy 6.

Stiahnite si riešenia NCERT pre matematiku triedy 6 pre ďalšie kapitoly:

  • Kapitola 1: Poznať naše čísla
  • Kapitola 2: Celé čísla
  • Kapitola - 3: Hra s číslami
  • Kapitola - 4: Základné geometrické nápady
  • Kapitola - 5: Pochopenie elementárnych tvarov
  • Kapitola - 6: Celé čísla
  • Kapitola - 8: Desatinné miesta
  • Kapitola - 9: Spracovanie údajov
  • Kapitola - 10: Menstruácia
  • Kapitola - 11: Algebra
  • Kapitola - 12: Pomer a proporcia
  • Kapitola - 13: Symetria
  • Kapitola - 14: Praktická geometria

CBSE Class 6 Maths Kapitola 7: Zlomky - Zhrnutie kapitoly

Zlomok je číslo predstavujúce časť celku. Každá zlomok má na číselnom rade spojený s bodom. Študenti sa v tejto kapitole stretnú s rôznymi typmi zlomkov a # 8211 Správne zlomky, Nesprávne zlomky, Zmiešané zlomky, Páči sa mi zlomky a Na rozdiel od zlomkov.

Zlomok je najjednoduchšia forma, ak jeho čitateľ a menovateľ nemajú spoločný faktor okrem 1. V tejto kapitole sa študenti naučia, ako porovnávať zlomky. Je ľahké porovnať zlomky, ale porovnanie rozdielnych zlomkov si vyžaduje osobitnú pozornosť tam, kde sa vyžadujú spoločné menovatele a LCM.

Stiahnite si dôležité študijné materiály pre CBSE triedy 6 odtiaľto:

Sylabus matematiky CBSE triedy 6Osnova CBSE triedy 6 (Všetky predmety)
Knihy NCERT pre matematiku triedy 6Knihy NCERT pre triedu 6

Časté otázky týkajúce sa matematiky CBSE triedy 6 Kapitola 7 Riešenia

Tu sme uviedli niektoré z najčastejšie kladených otázok z kapitoly CBSE Class 6 Maths Kapitola 7:

Odpoveď: Existuje 24 hodín denne
Máme 8 hodín
Preto je požadovaný zlomok 8/24 alebo 1/3

Odpoveď: Za 1 hodinu je 60 minút
∴ 1 hodina = 60 minút
Preto je požadovaný zlomok 40/60 alebo 2/3

Odpoveď: Arya rozdelila sendvič na 3 rovnaké časti. Každý človek teda dostane jednu časť.
b) Každý chlapec dostane 1/3 dielu
∴ Požadovaná frakcia je 1/3

Odpoveď: Celkový počet šiat, ktoré musí Kanchan zafarbiť = 30 šiat
Počet dokončených šiat = 20 šiat
∴ Požadovaná frakcia = 20/30 alebo 2/3

Odpoveď: Prirodzené čísla od 102 do 113 sú
102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113
Celkový počet daných prirodzených čísel = 12
Počet prvočísiel = 4 [103, 107, 109, 113]
∴ Požadovaná frakcia = 4/12 alebo 1/3

A. Zlomok na číselnej čiare je cvičenie, ktoré je správne vysvetlené v riešení NCERT pre matematiku triedy 6, kapitola 7 Frakcie, cvičenie 7.3.

A. Správne zlomky je cvičenie, ktoré je správne vysvetlené v riešení NCERT pre matematiku triedy 6, kapitola 7 Frakcie, cvičenie 7.4.

Teraz získate podrobné informácie Riešenia CBSE NCERT pre matematiku triedy 6 Kapitola 7. Dúfame, že vám tento podrobný článok pomôže pri príprave.

Ak máte pochybnosti týkajúce sa Riešenia NCERT, nižšie môžete umiestniť svoje komentáre. Ozveme sa vám najskôr.


Pozri si video: Složené zlomky 2 (December 2021).