Články

2.2: Operácie na komplexných číslach - matematika


Aj keď sme formálne definovali ( mathbb {C} ) ako množinu všetkých usporiadaných párov reálnych čísel, môžeme bežné aritmetické operácie na ( mathbb {R} ) rozšíriť tak, aby mali tiež zmysel na ( mathbb {C} ). O týchto rozšíreniach hovoríme v tejto časti spolu s niekoľkými ďalšími dôležitými operáciami na komplexných číslach.

2.2.1 Sčítanie a odčítanie zložitých čísel

Sčítanie komplexných čísel sa vykonáva po jednotlivých častiach, čo znamená, že reálna a imaginárna časť sa jednoducho kombinujú.

Definícia 2.2.1. Dané dve komplexné čísla ((x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}) v mathbb {C} ), definujeme ich zložité súčet byť

[(x_ {1}, y_ {1}) + (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}). ]

Príklad 2.2.2. ( (3, 2) + (17, -4.5) = (3 + 17, 2 - 4.5) = (20, -2.5).)

Rovnako ako pri reálnych číslach, aj pri odčítaní je definované odčítanie pomocou tzv aditívny inverzný, kde je aditívna inverzná hodnota (z = (x, y) ) definovaná ako (- z = (- x, -y) ).

Príklad 2.2.3. (( pi, sqrt {2}) - ( pi / 2, sqrt {19}) = ( pi, sqrt {2}) + (- pi / 2, - sqrt {19} ), )

kde

[( pi, sqrt {2}) + (- pi / 2, - sqrt {19}) = ( pi - pi / 2, sqrt {2} - sqrt {19}) = ( pi / 2, sqrt {2} - sqrt {19}). ]

Sčítanie komplexných čísel má veľa rovnakých vlastností ako sčítanie reálnych čísel, vrátane asociativity, komutativity, existencie a jedinečnosti aditívnej identity a existencie a jedinečnosti aditívnych inverzií. Tieto vlastnosti sumarizujeme v nasledujúcej vete, ktorú by ste mali preukázať sami
prax.

Veta 2.2.4. Poďme (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3} v mathbb {C} ) byť ľubovoľné tri komplexné čísla. Potom sú nasledujúce tvrdenia pravdivé.

  1. (Asociatívnosť) ((z_ {1} + z_ {2}) + z_ {3} = z_ {1} + (z_ {2} + z_ {3}) ).
  2. (Komutativita) (z_ {1} + z_ {2} = z_ {2} + z_ {1} ).
  3. (Aditívna identita) Existuje jedinečné komplexné číslo označené (0), také, že pri akomkoľvek komplexnom počte (z v mathbb {C} ), (0 + z = z ). Navyše, (0 = (0, 0)).
  4. (Aditívne inverzie) Vzhľadom na akékoľvek komplexné číslo (z v mathbb {C} ), existuje jedinečné komplexné číslo označené (- z ), také, že (z + (-z) = 0 ). Navyše, ak (z = (x, y) ) s (x, y in mathbb {R} ), potom (- z = (-x, -y) ).

Dôkaz tejto vety je priamy a spolieha sa iba na definíciu komplexného sčítania spolu so známymi vlastnosťami sčítania pre reálne čísla. Napríklad na kontrolu komutativity nechajme (z_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}) ) a (z_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}) ) komplexné čísla s (x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2} v mathbb {R} ).
Potom
[
z_ {1} + z_ {2} =
(x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}) =
(x_ {2} + x_ {1}, y_ {2} + y_ {1}) =
z_ {2} + z_ {1}.
]

2.2.2 Násobenie a delenie komplexných čísel

Definícia násobenia pre dve komplexné čísla je na prvý pohľad o niečo menej jasná ako definícia sčítania.

Definícia 2.2.5. Dané dve komplexné čísla ((x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}) v mathbb {C} ), definujeme ich zložité produkt, ktorý má byť

[(x_ {1}, y_ {1}) (x_ {2}, y_ {2}) = (x_ {1} x_ {2} - y_ {1} y_ {2}, x_ {1} y_ { 2} + x_ {2} y_ {1}). ]

Podľa tejto definície (i ^ 2 = -1 ). Inými slovami, (i ) je riešením polynomiálnej rovnice (z ^ 2 + 1 = 0 ), ktorá nemá riešenie v ( mathbb {R} ). Riešenie takýchto inak neriešiteľných rovníc bolo do veľkej miery hlavnou motiváciou zavedenia komplexných čísel. Všimnite si, že vzťah (i ^ 2 = -1 ) a predpoklad, že komplexné čísla je možné násobiť ako reálne čísla, sú dostatočné na to, aby sme dospeli k všeobecnému pravidlu pre násobenie komplexných čísel:

begin {zarovnať *}
(x_ {1} + y_ {1} i) (x_ {2} + y_ {2} i)
& =
x_ {1} x_ {2} + x_ {1} y_ {2} i + x_ {2} y_ {1} i + y_ {1} y_ {2} i ^ {2}
\
& =
x_ {1} x_ {2} + x_ {1} y_ {2} i + x_ {2} y_ {1} i - y_ {1} y_ {2}
\
& =
x_ {1} x_ {2} - y_ {1} y_ {2} + (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) i.
end {zarovnať *}

Rovnako ako dodatok, základné vlastnosti komplexného násobenia sú dostatočne ľahké na to, aby sa dali preukázať použitím definície. Tieto vlastnosti sumarizujeme v nasledujúcej vete, ktorú by ste mali preukázať aj pre svoju vlastnú prax.

Veta 2.2.6. Nechajme (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3} v mathbb {C} ) byť ľubovoľné tri komplexné čísla. Potom sú nasledujúce tvrdenia pravdivé.

  1. (Asociatívnosť) ((z_ {1} z_ {2}) z_ {3} = z_ {1} (z_ {2} z_ {3}) ).
  2. (Komutativita) (z_ {1} z_ {2} = z_ {2} z_ {1} ).
  3. (Multiplikatívna identita) Existuje jedinečné komplexné číslo označené (1), také, že vzhľadom na akékoľvek (z v mathbb {C} ), (1 z = z ). Navyše, (1 = (1, 0)).
  4. (Distribučnosť násobenia oproti sčítaniu) (z_ {1} (z_ {2} + z_ {3}) = z_ {1} z_ {2} + z_ {1} z_ {3} ).

Rovnako ako v prípade reálnych čísel, každé nenulové komplexné číslo (z ) má jedinečnú multiplikatívnu inverznú hodnotu, ktorú môžeme označiť buď ​​(z ^ {- 1} ) alebo (1 / z ) .

Veta 2.2.6. (pokračovanie).

  1. (Multiplikatívne inverzie) Dané (z in mathbb {C} ) s (z neq 0 ), existuje jedinečné komplexné číslo označené (z ^ {- 1} ), také, že (z z ^ {- 1} = 1 ). Navyše, ak (z = (x, y) ) s (x, y in mathbb {R} ), potom

[z ^ {- 1} = doľava ( frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}, frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}} správny). ]

Dôkaz.

Jedinečnosť: Komplexné číslo (w ) je inverznou hodnotou k (z ), ak (zw = 1 ) (komutativitou komplexného násobenia je ekvivalentné (wz = 1 ). Najprv dokážeme, že ak (w ) a (v ) sú dve komplexné čísla, napríklad (zw = 1 ) a (zv = 1 ), ktoré nevyhnutne musíme mať (w = v ). To potom bude znamenať, že ľubovoľné (z v mathbb {C} ) môže mať najviac jednu inverznú hodnotu. Aby sme to videli, vychádzame z (zv = 1 ). Vynásobením obidvoch strán znakom (w ) získame (wzv = w 1 ). Ak použijeme skutočnosť, že (1 ) je multiplikatívna jednotka, že produkt je komutatívny a predpoklad (w ) je inverzná, dostaneme (zwv = v = w ) .

Existencia: Teraz predpokladajme (z v mathbb {C} ) s (z neq 0 ) a napíšeme (z = x + yi ) pre (x, y in mathbb {R} ). Pretože (z neq 0 ), aspoň jeden z (x ) alebo (y ) nie je nula, a teda (x ^ 2 + y ^ 2> 0 ). Preto môžeme definovať

[w = doľava ( frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}, frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}} doprava), ]

a dá sa to skontrolovať (z w = 1 ).

Teraz môžeme definovať rozdelenie komplexného čísla (z_1 ) o nenulové komplexné číslo (z_2 ) ako súčin (z_1 ) a (z_2 ^ {- 1} ). Výslovne pre dve komplexné čísla (z_1 = x_ {1} + i y_ {1} ) a (z_2 = x_ {2} + i y_ {2} ) máme ich zložité kvocient je

[ frac {z_1} {z_2} = frac {x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + doľava (x_ {2} y_ {1} - x_ {1} y_ { 2} vpravo) i} {x_ {2} ^ {2} + y_ {2} ^ {2}}. ]

Príklad 2.2.7. Vyššie uvedenú definíciu ilustrujeme na nasledujúcom príklade:
[
frac {(1, 2)} {(3, 4)}
=
doľava (
frac {1 cdot 3 + 2 cdot 4} {3 ^ {2} + 4 ^ {2}}
,
frac {3 cdot 2 - 1 cdot 4} {3 ^ {2} + 4 ^ {2}}
správny)
=
doľava (
frac {3 + 8} {9 + 16}
,
frac {6 - 4} {9 + 16}
správny)
=
doľava (
frac {11} {25}
,
frac {2} {25}
správny).
]

2.2.3 Komplexná konjugácia

Komplexná konjugácia je operácia na ( mathbb {C} ), ktorá sa ukáže ako veľmi užitočná, pretože nám umožňuje manipulovať iba s imaginárnou časťou komplexného čísla. Najmä v kombinácii s pojmom modul (definovaný v nasledujúcej časti) je to jedna z najzákladnejších operácií na ( mathbb {C} ). Definícia a najzákladnejšie vlastnosti komplexnej konjugácie sú nasledujúce. (Rovnako ako v predchádzajúcich častiach, aj teraz by ste mali poskytnúť dôkaz o vete pre svoju vlastnú prax.)

Definícia 2.2.8. Vzhľadom na komplexné číslo (z = (x, y) v mathbb {C} ) s (x, y in mathbb {R} ) definujeme (zložité) konjugovať z (z ) je komplexné číslo

[ bar {z} = (x, -y). ]

Veta 2.2.9. Dané dve komplexné čísla (z_ {1}, z_ {2} v mathbb {C} ),

  1. ( overline {z_ {1} + z_ {2}} = overline {z_ {1}} + overline {z_ {2}} ).
  2. ( overline {z_ {1} z_ {2}} = overline {z_ {1}} , overline {z_ {2}} ).
  3. ( overline {1 / z_1} = 1 / overline {z_1} ), pre všetky (z_1 neq 0 ).
  4. ( overline {z_ {1}} = z_ {1} ) práve vtedy, ak ( ImaginaryPart (z_ {1}) = 0 ).
  5. ( overline { overline {z_ {1}}} = z_ {1} ).
  6. reálnu a imaginárnu časť (z_ {1} ) je možné vyjadriť ako

[ mathrm {Re} (z_ {1}) = frac {1} {2} (z_ {1} + overline {z_ {1}})
{ rm quad a quad}
mathrm {Im} (z_ {1}) = frac {1} {2 i} (z_1 - overline {z_1}). ]

2.2.4 Modul (známa tiež ako norma, dĺžka alebo veľkosť)

V tejto časti uvádzame ešte ďalšiu operáciu na komplexných číslach, tentokrát na základe zovšeobecnenia pojmu absolútna hodnota reálneho čísla. Na motiváciu tejto definície je užitočné pozerať sa na množinu komplexných čísel ako na dvojrozmernú euklidovskú rovinu, t. J. Myslieť na to, že ( mathbb {C} = mathbb {R} ^ 2 ) sú rovnaké ako množiny. The modulalebo dĺžka, z (z v mathbb {C} ) je potom definované ako euklidovská vzdialenosť medzi (z ), ako bod v rovine a počiatok (0 = (0,0) ). Toto je obsah nasledujúcej definície.

Definícia 2.2.10. Vzhľadom na komplexné číslo (z = (x, y) v mathbb {C} ) s (x, y v mathbb {R} ), modul z (z ) je definované ako

[| z | = sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}. ]

Predovšetkým vzhľadom na (x v mathbb {R} ) si uvedomte, že

[| (x, 0) | = sqrt {x ^ {2} + 0} = | x | ]

podľa dohody, že druhá odmocnina nadobúda svoju hlavnú kladnú hodnotu.

Príklad 2.2.11. Pomocou vyššie uvedenej definície vidíme, že modul komplexného čísla ((3, 4) ) je

[| (3, 4) | = sqrt {3 ^ {2} + 4 ^ {2}} = sqrt {9 + 16} = sqrt {25} = 5. ]

Aby ste to videli geometricky, zostrojte figúru v euklidovskej rovine, ako napr

a aplikujte Pytagorovu vetu na výsledný pravouhlý trojuholník, aby ste našli vzdialenosť od počiatku k bodu ((3, 4) ).

Nasledujúca veta uvádza základné vlastnosti modulu, najmä pokiaľ ide o komplexnú konjugáciu. Mali by ste poskytnúť dôkaz o svojej vlastnej praxi.

Veta 2.2.12. Vzhľadom na dve komplexné čísla (z_ {1}, z_ {2} v mathbb {C} ),

  1. (| z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} | cdot | z_ {2} | ).
  2. ({ displaystyle left | frac {z_ {1}} {z_ {2}} right | = frac {| z_ {1} |} {| z_ {2} |}} ), za predpokladu, že (z_ {2} neq 0 ).
  3. (| overline {z_ {1}} | = | z_ {1} | ).
  4. (| mathrm {Re} (z_ {1}) | leq | z_ {1} | ) a (| mathrm {Im} (z_ {1}) | leq | z_ {1} | ).
  5. (Nerovnosť trojuholníka) (| z_ {1} + z_ {2} | leq | z_ {1} | + | z_ {2} | ).
  6. (Ďalšia nerovnosť trojuholníka) (| z_ {1} - z_ {2} | geq | , | z_ {1} | - | z_ {2} | , | ).
  7. (Vzorec pre multiplikatívnu inverziu) (z_ {1} overline {z_ {1}} = | z_ {1} | ^ {2} ), z ktorých

[z_ {1} ^ {- 1} = frac { overline {z_ {1}}} {| z_ {1} | ^ {2}} ]

keď to predpokladáme (z_ {1} neq 0 ).

2.2.5 Komplexné čísla ako vektory v ( mathbb {R} ^ {2} )

Keď sa komplexné čísla považujú za body v euklidovskej rovine ( mathbb {R} ^ {2} ), je možné priamo vizualizovať niekoľko operácií definovaných v časti 2.2, akoby išlo o operácie na vektory.

Na účely tejto kapitoly si pod vektormi predstavujeme nasmerované úsečky, ktoré začínajú od začiatku a končia v určenom bode euklidovskej roviny. Tieto úsečky sa môžu v priestore pohybovať aj tak dlho, ako je to v smere (ktorý budeme nazývať argument v časti 2.3.1 nižšie) a dĺžka (a.k.a. ~ modul) sú zachované. Rozdiel medzi bodmi v rovine a vektormi je ako taký iba záležitosťou konvencie, pokiaľ si aspoň implicitne myslíme, že každý vektor bol preložený tak, že začína od počiatku.

Ako sme videli v príklade 2.2.11 vyššie, na modul komplexného čísla sa dá pozerať ako na dĺžku prepony určitého pravého trojuholníka. Súčet a rozdiel dvoch vektorov možno tiež každý predstaviť geometricky ako dĺžky konkrétnych uhlopriečok v konkrétnom rovnobežníku, ktorý je vytvorený kopírovaním a vhodným prekladom dvoch vektorov, ktoré sa kombinujú.

Príklad 2.2.13. Súčet ((3, 2) + (1, 3) = (4, 5) ) zobrazujeme ako hlavnú prerušovanú uhlopriečku rovnobežníka na obrázku úplne zľava. Na rozdiel ((3, 2) - (1, 3) = (2, -1) ) sa dá pozerať aj ako na kratšiu uhlopriečku toho istého rovnobežníka, aj keď by sme skutočne potrebovali trvať na tom, aby sa táto kratšia uhlopriečka preložila aby to zacalo pri vzniku. Posledná uvedená je znázornená na obrázku úplne vpravo.


Násobenie komplexných čísel

Komplexné číslo je kombináciou reálneho a imaginárneho čísla:

Skutočné číslo je typ čísla, ktoré používame každý deň.

Imaginárne číslo, keď je štvorček záporný výsledok:

„Jednotková“ imaginárna číslica, ktorá sa rovná druhej, sa rovná -1

Príklady: 5i, −3.6i, i/2, 500i

Príklady zložitých čísel:

3.6 + 4i
(skutočná časť je 3,6, imaginárna časť je 4i)
−0.02 + 1.2i
(skutočná časť je −0,02, imaginárna časť je 1,2 i)
25 − 0.3i
(skutočná časť je 25, imaginárna časť je -0,3i)
0 + 2i
(žiadna skutočná časť, imaginárna časť je 2i)
rovnako ako 2i
4 + 0i
(skutočná časť je 4, žiadna imaginárna časť)
rovnako ako 4

Aritmetika pre zložité čísla

Predtým, ako sa ponoríme do zložitejšieho využívania komplexných čísel, nezabudnime na základnú aritmetiku. Ak chcete sčítať alebo odčítať zložité čísla, jednoducho pridáme podobné výrazy, ktoré kombinujú reálne časti a kombinujú imaginárne časti.

Príklad

Pridajte [latex] 3-4i [/ latex] a [latex] 2 + 5i [/ latex].

Pridaním [latex] (3-4i) + (2 + 5i) [/ latex] pridáme skutočné časti a imaginárne časti.

Skús to

Odčítajte [latex] 2 + 5i [/ latex] od [latexu] 3-4i [/ latex].

V nasledujúcom videu uvádzame podrobnejšie príklady aritmetiky so zložitými číslami.

Keď sčítame zložité čísla, môžeme si sčítanie predstaviť ako posun alebo preklad bodu v komplexnej rovine.

Príklad

Vizualizujte pridanie [latex] 3-4i [/ latex] a [latex] -1 + 5i [/ latex].

Počiatočný bod je [latex] 3-4i [/ latex]. Keď pridáme [latex] -1 + 3i [/ latex], pridáme [latex] -1 [/ latex] do skutočnej časti, pričom bod posunieme o 1 jednotku doľava, a do imaginárnej časti, ktorá sa presunie, pridáme 5 bod 5 jednotiek zvisle. Toto posúva bod [latex] 3-4i [/ latex] na [latex] 2 + 1i [/ latex].

Skús to

Zložité čísla môžeme tiež vynásobiť reálnym číslom alebo dve zložité čísla.

Príklad

Ak chcete komplexné číslo vynásobiť reálnym číslom, jednoducho ho rozdelíme, ako by sme to urobili pri vynásobení polynómov.

Príklad

Skús to

Vynásobte [latex] 3-4i [/ latex] a [latex] 2 + 3i [/ latex].

Aby sme vizuálne pochopili účinok násobenia, preskúmame tri príklady.

Príklad

Vizualizujte produkt [latex] 2 (1 + 2i) [/ latex].

Všimnite si, že skutočná aj imaginárna časť boli zmenšené o 2. Vizuálne to roztiahne bod smerom von, preč od počiatku.

Príklad

Vizualizujte produkt [latex] i ľavý (l + 2i pravý) [/ latex].

V tomto prípade sa vzdialenosť od počiatku nezmenila, ale bod sa otočil okolo počiatku o 90 ° proti smeru hodinových ručičiek.

Skús to

Vynásobte [latex] 3-4i [/ latex] a [latex] 2 + 3i [/ latex].

Príklad

Vizualizujte výsledok vynásobenia [latexu] 1 + 2i [/ latex] koeficientom [latex] 1 + i [/ latex]. Potom opäť ukážte výsledok vynásobenia [latex] 1 + i [/ latex].

Vynásobenie [latexu] 1 + 2i [/ latex] číslom [latex] 1 + i [/ latex],

Vynásobením znova [latex] 1 + i [/ latex],

Keby sme znova vynásobili [latex] 1 + i [/ latex], dostali by sme [latex] –6–2i [/ latex]. Vynesením týchto čísel do komplexnej roviny si môžete všimnúť, že každý bod sa dostane ďalej od počiatku a otáča sa proti smeru hodinových ručičiek, v tomto prípade o 45 °.

Všeobecne možno násobenie komplexným číslom považovať za a škálovanie, meniaca sa vzdialenosť od začiatku, kombinovaná s a rotácia o pôvode.

Skús to

Nasledujúce video predstavuje viac príkladov, ako vizualizovať výsledky aritmetiky na komplexných číslach.

V nasledujúcom videu uvádzame podrobnejšie príklady aritmetiky so zložitými číslami.


Riešenie

  1. Máme začať (3 + 2i) (2 - 5i) & amp = & amp 3 (2 - 5i) + 2i (2 - 5i) & amp = & amp 6 - 15i + 4i - 10i ^ 2 & amp = & amp 6 - 15i + 4i + 10 & amp = & amp 16 - 11i. koniec Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že $ i ^ 2 = -1 $ na zápis $ -10i ^ 2 = 10 $.
  2. Tento výraz môžeme vyhodnotiť tak, že každý produkt dvojčlenov vypočítame osobitne a potom odčítame. Môžeme si však uľahčiť prácu tým, že si všimneme, že každý produkt obsahuje faktor (17 - 13i), a rozdelením to na získanie begin (5 + 4i) (17 - 13i) - (5 + 3i) (17 - 13i) & amp = & amp ((5 + 4i) - (5 + 3i)) (17 - 13i) & amp = & amp i (17 - 13i) & amp = & amp 17i - 13i ^ 2 & amp = & amp 13 + 17i. koniec
  3. Opäť je možné každú dvojčlen rozdeliť na druhú a potom ju odčítať, ale keďže máme výraz v tvare $ x ^ 2 - y ^ 2 $, skúsme daný výraz rozložiť na rozdiel štvorcov: begin doľava ( frac52 + frac <7i> <2> doprava) ^ 2 - doľava ( frac52 + frac<2> right) ^ 2 & amp = & amp left ( left ( frac52 + frac <7i> <2> right) - left ( frac52 + frac)<2> right) right) left ( left ( frac52 + frac <7i> <2> right) + left ( frac52 + frac<2> right) right) & amp = & amp 3i (5 + 4i) & amp = & amp 15i + 12i ^ 2 & amp = & amp -12 + 15i end
  4. Komutatívnymi a asociačnými vlastnosťami môžeme spárovať a vynásobiť faktory tohto výrazu v akomkoľvek poradí, ktoré chceme. Pretože vidíme dva komplexné konjugáty - konkrétne (1 + i) a (1 - i) - pokúsime sa ich najskôr spárovať a vynásobiť: begin (1 + i) (13 - 4i) (1 - i) & amp = & amp (1 + i) (1 - i) (13 - 4i) & amp = & amp (1 - i ^ 2) (13 - 4i) & amp = & amp 2 (13 - 4i) & amp = & amp 26 - 8i. koniec
  5. Vieme, že $ i ^ 2 = -1 $ a $ i ^ 3 = i ^ 2 cdot i = -i $. Takže $ 1 + i + i ^ 2 + i ^ 3 = 1 + i + (-1) + (-i) = 0, $

Nech $ z_1 = x_1 + y_1 i $ a $ z_2 = x_2 + y_2 i $ sú komplexné čísla. Potom je ich množenie definované ako:

$ z_1 cdot z_2 = (x_1 + y_1 i) cdot (x_2 + y_2 i) $

$ = x_1 cdot x_2 + x_1 cdot y_2 cdot i + y_1 cdot x_2 cdot i + y_1 cdot y_2 cdot i ^ 2 $

$ = x_1 cdot x_2 + (x_1 cdot y_2 + y_1 cdot x_2) i + y_1 cdot y_2 cdot (-1) $

$ = (x_1x_2 & # 8211 y_1 y_2) + (x_1 y_2 + y_1x_2) i $

Operácie sčítania a násobenia komplexných čísel sú komutatívny , asociatívny a distribučný .

Príklad 3: Vypočítajte $ (2 + 3i) cdot (4 + 2i) $.

$ (2 + 3i) cdot (4 + 2i) = 2 cdot 4 + 2 cdot 2i + 3i cdot 4 + 3i cdot 2i $


Geometrické znázornenia komplexných čísel

Komplexné číslo, ( (a + ib ) s (a ) a (b ) reálnymi číslami), môže byť reprezentované bodom v rovine s (x ) súradnicou (a ) a (y ) súradnica (b ).

To definuje to, čo sa nazýva „komplexná rovina“. Od bežnej roviny sa líši iba tým, že vieme, ako násobiť a deliť komplexné čísla, aby sme dostali ďalšie komplexné číslo, niečo, čo všeobecne nevieme, ako robiť pre body v lietadle.

Tento obrázok naznačuje, že existuje ďalší spôsob, ako opísať komplexné číslo. Namiesto použitia jeho skutočných a imaginárnych častí, ktorými sú jeho (x ) a (y ) súradnice na jeho opísanie. Môžeme použiť vzdialenosť od jej bodu v komplexnej rovine k počiatku ((0,0) ) a uhol tvorený úsečkou od začiatku do tohto bodu a kladná polovica osi (x ). The vzdialenosť k počiatku sa obvykle označuje ako (r ), tento uhol sa zvyčajne nazýva (θ ) (theta). (θ ) sa nazýva "fáza" a niekedy aj "argument"„komplexného čísla. Vzdialenosť k počiatku sa nazýva jeho „veľkosť“ a tiež „absolútna hodnota“.

Ako súvisia tieto parametre (r ) a ( theta ) s (a ) a (b )?

Používame euklidovskú definíciu vzdialenosti, pre ktorú platí Pytagorova veta. Toto nám hovorí

[r ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 enspace text enspace r = sqrt]

Pokiaľ ide o ( theta ), používame štandardné trigonometrické definície sínusov a kosínusov. Sínus uhla je definovaný ako pomer jeho súradnice y (b ) k dĺžke (r ) a kosínus je pomer jeho súradnice x (a ) k (r ). Teda ( theta ) je uhol, ktorého sínus je ( frac), a ktorého kosínus je ( frac).

To nám dáva vzťahy

[a = r cos theta enspace text enspace b = r sin theta ]

Čo je to dobré?

Veľa dobrého, ako sa nakoniec presvedčíme. Ale práve teraz si môžeme všimnúť túto kurióznu skutočnosť:

Pokiaľ ide o (a ) a (b ), ktoré sa nazývajú reálna a imaginárna časť komplexného čísla, je ľahké ich opísať sčítaním a odčítaním (každú časť zvlášť pripočítajte alebo odčítajte, akoby druhá neexistovala: ((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i ), ale násobenie a delenie sú trochu škaredé.

Pokiaľ ide o (r ) a (θ ), veľkosť a fázu komplexného čísla, opak je pravdou. To znamená, že násobenie a delenie sa dá ľahko opísať, zatiaľ čo sčítanie a odčítanie je trochu škaredé.

No, môžete vynásobiť dve komplexné čísla spojením ich veľkostí a sčítaním ich fáz. Delíte tak, že príslušné veľkosti vydelíte a odčítate fázu menovateľa od fázy čitateľa.

Výslovne, máme súčin komplexného čísla s veľkosťou (r_1 ) a fázy ( theta_1 ) s komplexným číslom s veľkosťou a fázou (r_2 ) a ( theta_2 ) je komplexné číslo s veľkosťou ( r_1 * r_2 ) a fáza ( theta_1 + theta_2 ).

(Pravidlá pre sčítanie a odčítanie, pokiaľ ide o veľkosť a fázu, sa dajú odvodiť z pravidiel, pokiaľ ide o reálne a imaginárne časti, ale nie sú nijak zvlášť osvetľujúce, pretože sú chaotické.)

To všetko môžete vidieť v nasledujúcej matematike. Komplexné čísla (w ) a (z ) môžete posúvať okolo tak, že kliknete na ľavé tlačidlo myši na príslušnej hlave a pri pohybe ho držíte. Umožňuje vám preskúmať správanie rozdielov súčtov súčinov a pomerov komplexných čísel pri ich zmene. Ak chcete zistiť, čo môžete robiť s touto matematikou, kliknite na „+ približne“ v pravom hornom rohu.


Rovnosť zložitých čísel

Ako zistíte, či sú dve komplexné čísla rovnaké? Je to vlastne veľmi jednoduché. Dve komplexné čísla sú si rovné, ak sú ich skutočné časti rovnaké, a ich imaginárne časti sú rovnaké. Pre porovnanie musia byť tieto dve čísla samozrejme vo forme + bi.

Prvý príklad
Ak a + bi = c + di, čo musí platiť pre a, b, c a d?

Riešenie
a = c, b = d

Príklad dva
Sú 3 + 2i -1 a 2 + 4i - 2i rovnaké?

Riešenie
3 + 2i - 1 = 2 + 2i
2 + 4i - 2i = 2 + 2i

Tieto dve veličiny majú rovnaké reálne časti a rovnaké imaginárne časti, takže sú si rovné.

Príklad tri
Nájdite x, ak x + 2i = x + 2xi - 3i

Riešenie
Spojte podobné výrazy vpravo: x + 2i = x + (2x - 3) i

Príklad štyri
Nájdite x a y, ak x + yi = 3y - (2x - 4) i

Riešenie
To je zaujímavé: máme iba jednu rovnicu, ale dve premenné sa nezdajú byť dostatočné na vyriešenie. Ale pretože to môžeme rozdeliť na skutočnú časť a imaginárnu časť, môžeme vytvoriť dve rovnice:


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby) porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako je napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


2.2: Operácie na komplexných číslach - matematika

IMAGINÁRNE ČÍSLA

Druhá mocnina skutočného čísla nie je nikdy záporná. To znamená, že druhá odmocnina záporného čísla nemôže byť skutočné číslo. Symbol sa nazýva imaginárna jednotka, i 2 = –1. Právomoci i postupujte podľa vzoru:

Medzikroky

Inými slovami, právomoci i postupujte podľa cyklu štyroch. To znamená, že ja n = ja n mod 4, kde n mod 4 je zvyšok, keď n je vydelené číslom 4. Napríklad i 58 = i 2 = –1.

Pomyselné čísla sú čísla formulára bi , kde b je reálne číslo. Druhá odmocnina každého záporného čísla je i násobok druhej odmocniny kladného čísla tohto čísla. Napríklad a .

KOMPLEXNÉ ČÍSLO ARITMETICKÉ

Komplexné čísla sú tvorené „pripojením“ imaginárnych čísel k reálnym číslam pomocou znamienka plus (+). Štandardná forma komplexného čísla je a + bi , kde a a b sú skutočné. Číslo a sa nazýva skutočná časť komplexného čísla a b číslo sa nazýva imaginárna časť. Ak b = 0, potom je komplexné číslo iba reálne číslo. Ak b 0, komplexné číslo sa nazýva imaginárne. Ak a = 0, bi sa nazýva čisté imaginárne číslo. Príklady imaginárnych čísel sú 2 + 3i, – + 4i, 6i, 0.11 + (–0.45)ia i.

Ak je imaginárna časť komplexného čísla radikál, napíšte znak i doľava, aby sa zabránilo nejasnostiam o tom, či i je pod radikálom.

Nájdenie súčtov, rozdielov, produktov, kvocientov a recipročných čísel komplexných čísel je možné vykonať priamo na vašej kalkulačke. Pomyselná jednotka i je druhé desatinné miesto. Ak zadáte výraz pomocou i v ňom bude kalkulačka robiť imaginárnu aritmetiku v REÁLNOM režime. Ak zadaný výraz neobsahuje i ale výstup je imaginárny, kalkulačka vám zobrazí chybové hlásenie NONREAL ANS. Napríklad, ak ste sa pokúsili vypočítať v REÁLNOM režime by sa vám zobrazila táto chybová správa. V a + bi režim, by sa počítalo ako 1,732 & middot & middot & middoti . Mali by ste použiť a + bi režim výlučne pre test úrovne 2. Aj keď nie je pravdepodobné, že by aritmetika komplexného čísla ako taká bola na teste úrovne 2, bolo by možné pochopiť, ako sa to robí. Prehľad hlavných znakov aritmetiky komplexného čísla je uvedený v nasledujúcich niekoľkých odsekoch.

Ak chcete sčítať alebo odčítať zložité čísla, sčítajte alebo odčítajte ich reálne a imaginárne časti. Napríklad,

Ak chcete vynásobiť komplexné čísla, vynásobte ich ako dva ľubovoľné dvojčlenné výrazy pomocou FÓLIE. Teda

Rozdiel medzi prvým a posledným členom tvorí skutočnú časť a súčet vonkajších a vnútorných členov tvorí imaginárnu časť.

Ak chcete nájsť podiel dvoch komplexných čísel, vynásobte menovateľ a čitateľ konjugátom menovateľa. Potom zjednodušte. Napríklad,

1. Napíš produkt z (2 + 3i )(4 – 5i ) v štandardnej podobe.

2. Napíš v štandardnej podobe.

& emsp (A)

& emsp (B)

& emsp (C)

GRAFICKÉ KOMPLEXNÉ ČÍSLA

Komplexné číslo možno graficky znázorniť ako obdĺžnikové súradnice pomocou znaku X -koordinovaný ako skutočná časť a r -koordinovaný ako imaginárna časť. Modul komplexného čísla je druhá mocnina jeho vzdialenosti od začiatku. Pytagorova veta nám hovorí, že táto vzdialenosť je . Konjugát imaginárneho čísla a + bi je abi , takže grafy konjugátov sú odrazmi o r - os. Súčin imaginárneho čísla a jeho konjugát je tiež druhou mocninou modulu, pretože (a + bi )(abi ) = a 2 – b 2 i 2 = a 2 + b 2 .

1. Ak z je komplexné číslo zobrazené na obrázku, ktoré by z nasledujúcich bodov mohlo byť iz?

2. Čo z toho je modul 2+ ja?

& emsp (A)

& emsp (C)

& emsp (D)

Odpovede a vysvetlenia

Aritmetika komplexného čísla

1. (D) Ak do kalkulačky zadáte imaginárne čísla, vykoná sa imaginárna aritmetika bez zmeny režimu. Imaginárna jednotka je druhá desatinná čiarka. Zadajte produkt a prečítajte si riešenie 23 + 2i .

2. * (C) Jednoducho zadajte výraz do grafickej kalkulačky.

3. * (A) Jednoducho zadajte výraz do grafickej kalkulačky.

1. (B) z = 4 + 2i , tak iz = –2 + 4i , čo je bod B .

2. (D) Skutočná a imaginárna časť sú 2, respektíve 1, takže modul je .

Ak ste držiteľom autorských práv na akýkoľvek materiál obsiahnutý na našom webe a chcete ho odstrániť, požiadajte o schválenie nášho správcu stránky.


Racionálne vyjadrenia

Komplexné čísla majú tvar, a + bi kde a sa nazýva skutočná časť a bi sa nazýva imaginárna časť. Tento text vám ukáže, ako vykonať štyri základné operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie):

Doplnenie:

Okrem toho sčítajte skutočné časti a sčítajte imaginárne časti.

Príklad: nech je prvé číslo 2 - 5i a druhý byť -3 + 8i. Súčet je:

(2 - 5i) + (- 3 + 8i) = = (2 - 3) + (-5 + 8) i = - 1 + 3 i

Odčítanie:

Odčítajte skutočné časti a odčítajte imaginárne časti.

Príklad: nech je prvé číslo -3 + 7i a druhý byť 6 - 9i. Súčet je:

(- 3 + 7i) - (6 - 9i) = = (- 3 - 6) + (7 - (-9)) i = - 9 + 16 i

Násobenie

Na znásobenie zložitej metódy použite Metóda FOIL( Fprvý, Outside, Janside a Ľast. )

Príklad: znásobiť 3 + 4i a 2 - 6i

Vonkajšie podmienky: 3 * (- 6i) = -18i

Vnútorné pojmy: 4i * 2 = 8i

Posledné termíny: 4i * (-6i) = -24 * i2 = -24 (- 1) = 24

Teraz všetko skombinujte

Divízia

Vynásobte menovateľa aj čitateľa konjugátom menovateľa


Pozri si video: Komplexné čísla 1 dôvod ich existencie (December 2021).