Články

2.5: Násobenie polynómov - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Znásobte monomálie
  • Vynásobte polynóm monomémom
  • Vynásobte dvojčlen podľa dvojčasti
  • Vynásobte polynóm polynómom
  • Znásobte špeciálne produkty
  • Znásobte polynomické funkcie

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Distribuovať: (2 (x + 3) ).
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].
  2. Zjednodušte: ⓐ (9 ^ 2 ) ⓑ ((- - 9) ^ 2 ) ⓒ (- 9 ^ 2 ).
    Ak ste tento problém nestihli skontrolovať [odkaz].
  3. Vyhodnoťte: (2x ^ 2−5x + 3 ) pre (x = −2 ).
    Ak ste tento problém prehliadli, skontrolujte ho [odkaz].

Znásobte Monomials

Sme pripravení vykonávať operácie s polynómami. Pretože monomómy sú algebraické výrazy, môžeme na ich násobenie použiť vlastnosti exponentov.

Príklad ( PageIndex {1} )

Násobiť:

  1. ((3x ^ 2) (- 4x ^ 3) )
  2. ( left ( frac {5} {6} x ^ 3y right) (12xy ^ 2). )
Odpoveď a

( begin {array} {ll} {} & {(3x ^ 2) (- 4x ^ 3)} { text {Na zmenu usporiadania výrazov použite komutatívnu vlastnosť.}} & {3 · (−4 ) · X ^ 2 · x ^ 3} { text {}} a {- 12x ^ 5} end {pole} )

Odpoveď b

( begin {array} {ll} {} & { left ( frac {5} {6} x ^ 3y right) (12xy ^ 2)} { text {Pomocou komutatívnej vlastnosti usporiadajte termíny.}} & { frac {5} {6} · 12 · x ^ 3 · x · y · y ^ 2} { text {Vynásobiť.}} & {10x ^ 4y ^ 3} koniec {pole} )

Násobiť:

  1. ((5r ^ 7) (- 7r ^ 4) )
  2. ((25a ^ 4b ^ 3) (15ab ^ 3) )
Odpoveď a

(- 35r ^ {11} )

Odpoveď b

(6a ^ 5b ^ 6 )

Príklad ( PageIndex {3} )

Násobiť:

  1. ((- - 6b ^ 4) (- 9b ^ 5) )
  2. ((23r ^ 5s) (12r ^ 6s ^ 7). )
Odpoveď a

(54b ^ 9 )

Odpoveď b

(8r ^ {11} s ^ 8 )

Vynásobte polynóm monomémou

Násobenie polynómu monomémiou je vlastne iba použitie Distribučnej vlastnosti.

Príklad ( PageIndex {4} )

Násobiť:

  1. (- 2r (4r ^ 2 + 3r-5) )
  2. (3x ^ 3y (x ^ 2−8xy + y ^ 2) ).
Odpoveď a
Distribuovať.
Znásobte sa.
Odpoveď b

( begin {array} {ll} {} & {3x ^ 3y (x ^ 2−8xy + y ^ 2)} { text {Distribute.}} & {3x ^ 3y⋅x ^ 2 + ( 3x ^ 3y) ⋅ (−8xy) + (3x ^ 3y) ⋅y ^ 2} { text {Násobiť.}} & {3x ^ 5y − 24x ^ 4y ^ 2 + 3x ^ 3y ^ 3} end {pole} )

Príklad ( PageIndex {5} )

Násobiť:

  1. (- 3r (5r ^ 2 + 8r ^ {- 7}) )
  2. (4x ^ 2y ^ 2 (3x ^ 2−5xy + 3y ^ 2) )
Odpoveď a

(- 15r ^ 3−24r ^ 2 + 21r )

Odpoveď b

(12x ^ 4y ^ 2−20x ^ 3y ^ 3 + 12x ^ 2y ^ 4 )

Príklad ( PageIndex {6} )

Násobiť:

  1. (4x ^ 2 (2x ^ 2−3x + 5) )
  2. (- 6a ^ 3b (3a ^ 2−2ab + 6b ^ 2) )
Odpoveď a

(- 15r ^ 3−24r ^ 2 + 21r )

Odpoveď b

(- 18a ^ 5b + 12a ^ 4b ^ 2−36a ^ 3b ^ 3 )

Vynásobte binárny index binárnym číslom

Rovnako ako existujú rôzne spôsoby, ako reprezentovať násobenie čísel, existuje niekoľko metód, ktoré možno použiť na násobenie binomického času a binomického čísla. Začneme používaním Distribučného majetku.

Príklad ( PageIndex {7} )

Násobiť:

  1. ((y + 5) (y + 8) )
  2. ((4r + 3) (2r-5) ).
Odpoveď

Distribuujte ((y + 8) ).
Distribuujte znova.
Kombinujte ako termíny.

Distribuovať.
Distribuujte znova.
Kombinujte ako termíny.

Príklad ( PageIndex {8} )

Násobiť:

  1. ((x + 8) (x + 9) )
  2. ((3c + 4) (5c -2) ).
Odpoveď a

(x ^ 2 + 17x + 72 )

Odpoveď b

(15c ^ 2 + 14c − 8 )

Príklad ( PageIndex {9} )

Násobiť:

  1. ((5x + 9) (4x + 3) )
  2. ((5r + 2) (6r-3) ).
Odpoveď a

(20x ^ 2 + 51x + 27 )

Odpoveď b

(30y ^ 2 -3y − 6 )

Ak násobíte dvojčleny dosť často, môžete si všimnúť vzor. Všimnite si, že prvý výraz vo výsledku je produktom najprv výrazy v každom dvojčlene. Druhý a tretí výraz sú výsledkom znásobenia týchto dvoch výrazov vonkajšie podmienky a potom dva vnútorné podmienky. A posledný termín vyplýva zo znásobenia oboch posledný podmienky,

Skratku „Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný“ označujeme ako FÓLIA. Písmená znamenajú ‘Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný‘. Používame to ako ďalšiu metódu násobenia dvojčlenov. Slovo FOIL je ľahko zapamätateľné a zaručuje, že nájdeme všetko štyri Produkty.

Znásobme ((x + 3) (x + 7) ) pomocou oboch metód.

Ďalej zhrňujeme kroky metódy FOIL. Metóda FOIL sa vzťahuje iba na násobenie dvojčlenov, nie iných polynómov!

DEFINÍCIA: POUŽITE FÓLIOVÚ METÓDU NA NÁSOBENIE DVA BINOMÁLOV.

Keď sa vynásobíte metódou FOIL, kreslenie čiar pomôže vášmu mozgu zamerať sa na vzor a uľahčí jeho aplikáciu.

Teraz si ukážeme príklad, kedy pomocou vzoru FOIL znásobíme dva dvojčleny.

Príklad ( PageIndex {10} )

Násobiť:

  1. ((y − 7) (y + 4) )
  2. ((4x + 3) (2x − 5) ).
Odpoveď

Násobiť:

  1. ((x − 7) (x + 5) )
  2. ((3x + 7) (5x − 2) ).
Odpoveď

Ⓐ (x ^ 2−2x − 35 )
Ⓑ (15x ^ 2 + 29x −14 )

Cvičenie ( PageIndex {12} )

Násobiť:

  1. ((b − 3) (b + 6) )
  2. ((4r + 5) (4r-10) ).
Odpoveď

Ⓐ (b ^ 2 + 3b − 18 )
Ⓑ (16y ^ 2-20y −50 )

Konečné produkty v poslednom príklade boli trinomálie, pretože sme mohli spojiť dva stredné výrazy. Nie vždy to tak je.

Príklad ( PageIndex {14} )

Násobiť:

  1. ((x ^ 2 + 6) (x − 8) )
  2. ((2ab + 5) (4ab − 4) ).
Odpoveď

Ⓐ (x ^ 3−8x ^ 2 + 6x − 48 )
Ⓑ (8a ^ 2b ^ 2 + 12ab − 20 )

Príklad ( PageIndex {15} )

Násobiť:

  1. ((y ^ 2 + 7) (y − 9) )
  2. ((2xy + 3) (4xy − 5) ).
Odpoveď

Ⓐ (y ^ 3−9y ^ 2 + 7y − 63 )
Ⓑ (8x ^ 2y ^ 2 + 2xy − 15 )

Metóda FOIL je zvyčajne najrýchlejšou metódou na vynásobenie dvoch dvojčlenov, ale je iba funguje pre dvojčleny. Distribučnú vlastnosť môžete použiť na vyhľadanie produktu akýchkoľvek dvoch polynómov. Ďalšou metódou, ktorá funguje pre všetky polynómy, je vertikálna metóda. Je to podobné ako metóda, ktorú používate na vynásobenie celých čísel. Pozorne si pozrite tento príklad násobenia dvojciferných čísel.

Teraz použijeme tú istú metódu na násobenie dvoch dvojčlenov.

Príklad ( PageIndex {16} )

Násobte pomocou vertikálnej metódy: ((3y − 1) (2y − 6) ).

Odpoveď

Nezáleží na tom, aký dvojčlen ide na vrch.

( begin {align *} & & quad ; ; ; 3r - 1 [4pt]
& & podčiarknuté { quad times ; 2r-6} [4 body]
& text {Vynásobiť} 3r-1 text {by} -6. & & quad -18y + 6 & & text {čiastočný produkt} [4 body]
& text {Vynásobiť} 3r-1 text {od} 2r. & & podčiarknutie {6r ^ 2 - 2r} & & text {čiastočný produkt} [4pt]
& text {Pridať podobné výrazy.} & & 6y ^ 2 - 20y + 6 end {align *} )

Všimnite si, že čiastkové produkty sú rovnaké ako výrazy v metóde FOIL.

Príklad ( PageIndex {17} )

Násobte pomocou vertikálnej metódy: ((5m − 7) (3m − 6) ).

Odpoveď

(15m ^ 2-51m + 42 )

Príklad ( PageIndex {18} )

Násobte pomocou vertikálnej metódy: ((6b − 5) (7b − 3) ).

Odpoveď

(42b ^ 2 - 53b + 15 )

Teraz sme použili tri metódy na množenie dvojčlenov. Každú metódu si určite precvičte a skúste sa rozhodnúť, ktorú z nich uprednostňujete. Tu sú uvedené všetky metódy, ktoré vám pomôžu ľahšie si ich zapamätať.

DEFINÍCIA: NÁSOBENIE DVOJÍ BINOMIÁLOV

Na znásobenie dvojčlenov použite:

  • Distribučný majetok
  • FÓLIA metóda
  • Vertikálna metóda

Vynásobte polynóm polynomom

Znásobili sme monomómy monomiálmi, monomómy polynómami a binomiály binomiálmi. Teraz sme pripravení vynásobiť polynóm polynómom. Pamätajte, že FOIL nebude v tomto prípade fungovať, ale môžeme použiť buď distribučnú vlastnosť, alebo vertikálnu metódu.

Príklad ( PageIndex {19} )

Vynásobte ((b + 3) (2b ^ 2−5b + 8) ) pomocou ⓐ distribučnej vlastnosti a ⓑ vertikálnej metódy.

Odpoveď

Distribuovať.
Znásobte sa.
Kombinujte ako termíny.

Ⓑ Je ľahšie vložiť polynóm s menším počtom výrazov na dno, pretože týmto spôsobom dostaneme menej čiastkových produktov.

Vynásobte ((2b ^ 2−5b + 8) ) o 3.
Vynásobte ((2b ^ 2−5b + 8) ) znakom (b ).
Pridajte podobné výrazy.

Príklad ( PageIndex {20} )

Vynásobte ((y − 3) (y ^ 2−5y + 2) ) pomocou ⓐ distribučnej vlastnosti a ⓑ vertikálnej metódy.

Odpoveď

Ⓐ (y ^ 3−8y2 + 17y −6 )
Ⓑ (y ^ 3−8y2 + 17y −6 )

Príklad ( PageIndex {21} )

Vynásobte ((x + 4) (2x ^ 2−3x + 5) ) pomocou ⓐ distribučnej vlastnosti a ⓑ vertikálnej metódy.

Odpoveď

Ⓐ (2x ^ 3 + 5x ^ 2-7x + 20 )
Ⓑ (y ^ 3−8y ^ 2 + 17y −6 )

Teraz sme videli dve metódy, ktoré môžete použiť na násobenie polynómu polynómom. Po precvičení každej z týchto metód pravdepodobne zistíte, že uprednostňujete jednu cestu pred druhou. Tu uvádzame obidve metódy, ktoré sú tu uvedené pre ľahšiu orientáciu.

DEFINÍCIA: NÁSOBENIE POLYNOMIÁLU POLYNOMIÁLOM

Na vynásobenie trojčlenu dvojčlenom použite:

  • Distribučný majetok
  • Vertikálna metóda

Znásobte špeciálne produkty

Matematici radi hľadajú vzory, ktoré im uľahčia prácu. Dobrým príkladom toho je pravouhlé dvojčleny. Aj keď produkt môžete získať tak, že dvojčlen napíšete dvakrát a vynásobíte ho, ale ak sa naučíte používať vzor, ​​zostáva menej práce. Na úvod sa pozrime na tri príklady a vyhľadajme vzor.

Pozrite sa na tieto výsledky. Vidíte nejaké vzory?

A čo počet termínov? V každom príklade sme vytvorili štvorcový dvojčlen a výsledkom bol trojčlen.

[(a + b) ^ 2 = text {___} + text {___} + text {___} nonumber ]

Teraz sa pozrite na prvý termín v každom výsledku. Odkiaľ to prišlo?

Prvý člen je produktom prvých členov každého dvojčlenu. Pretože sú dvojčleny identické, je to iba druhá mocnina prvého výrazu!

[(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + text {___} + text {___} nonumber ]

Ak chcete získať prvý výraz produktu, zarovnajte prvý výraz na druhú.

Kde sa posledný termín pochádzať z? Prezrite si príklady a nájdite vzor.

Posledný výraz je súčinom posledných výrazov, čo je druhá mocnina posledného výrazu.

[(a + b) ^ 2 = text {___} + text {___} + b ^ 2 nonumber ]

Ak chcete získať posledný výraz produktu, zarovnajte posledný výraz na druhú.

Nakoniec sa pozrite na strednodobý termín. Všimnite si, že to vzniklo pridaním „vonkajšieho“ a „vnútorného“ výrazu - ktoré sú rovnaké! Stredný termín je teda dvojnásobkom súčinu dvoch pojmov dvojčlenu.

[(a + b) ^ 2 = text {___} + 2ab + text {___} nonumber ]

[(a − b) ^ 2 = text {___} - 2ab + text {___} nonumber ]

Ak chcete získať strednú dobu produktu, znásobte podmienky a produkt zdvojnásobte.

Dávať to všetko dokopy:

definícia: VZOR BINOMIÁLNEHO ŠTVORCA

Ak a a b sú skutočné čísla,

Ak chcete štvorcovú veličinu zarovnať na druhú, zarovnajte prvý výraz na druhú, posledný výraz na druhú, produkt zdvojnásobte.

Príklad ( PageIndex {22} )

Vynásobte: ⓐ ((x + 5) ^ 2 ) ⓑ ((2x − 3y) ^ 2 ).

Odpoveď

Zarovnajte prvý termín.
Zarovnajte posledné volebné obdobie.
Zdvojnásobte ich produkt.
Zjednodušiť.

Použite vzor.
Zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {23} )

Vynásobte: ⓐ ((x + 9) ^ 2 ) ⓑ ((2c − d) ^ 2 ).

Odpoveď

Ⓐ (x ^ 2 + 18x + 81 )
Ⓑ (4c ^ 2−4cd + d ^ 2 )

Príklad ( PageIndex {24} )

Vynásobte: ⓐ ((y + 11) ^ 2 ) ⓑ ((4x − 5y) ^ 2 ).

Odpoveď

Ⓐ (y ^ 2 + 22y + 121 )
Ⓑ (16x ^ 2−40xy + 25y ^ 2 )

Práve sme videli vzor na zarovnávanie dvojčlenov, ktorý môžeme použiť na uľahčenie násobenia niektorých dvojčlenov. Podobne existuje vzor pre iný produkt dvojčlenov. Ale predtým, ako sa k tomu dostaneme, musíme predstaviť slovnú zásobu.

Dvojica dvojčlenov, ktoré majú rovnaké prvé a rovnaké posledné volebné obdobie, ale jeden je súčet a jeden je rozdiel, sa nazýva a konjugovaný pár a má tvar ((a − b) ), ((a + b) ).

definícia: konjugovaný pár

A konjugovaný pár sú dva dvojčleny tvaru

[(a − b), (a + b). nonumber ]

Dvojica dvojčlenov má každý rovnaký prvý člen a rovnaký posledný člen, ale jeden dvojčlen je súčet a druhý rozdiel.

Existuje pekný vzor na vyhľadanie produktu konjugátov. Môžete samozrejme jednoducho FÓLII získať produkt, ale použitie vzoru vám uľahčí prácu. Pozrime sa na vzor pomocou FÓLIE na množenie niektorých konjugovaných párov.

Čo pozorujete na produktoch?

Produkt dvoch dvojčlenov je tiež dvojčlenom! Väčšina výrobkov získaných z FÓLIE boli trinomálie.

Každý prvý termín je produktom prvých členov binomiálu a keďže sú zhodné, je to štvorec prvého člena.

[(a + b) (a − b) = a ^ 2− text {___} nonumber ]

Ak chcete získať prvý termín, zarovnajte prvý termín na druhú.

The posledný termín vzniklo vynásobením posledných výrazov, štvorca posledného výrazu.

[(a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 nonumber ]

Ak chcete získať posledný termín, zarovnajte posledný termín na druhú.

Prečo neexistuje strednodobé obdobie? Všimnite si, že dva stredné členy, ktoré získate z kombinácie FOIL, sú v každom prípade 0, výsledok jedného sčítania a jedného odčítania.

Produkt konjugátov má vždy tvar (a ^ 2 − b ^ 2 ). Toto sa nazýva a rozdiel štvorcov.

To vedie k tomuto vzoru:

definícia: PRODUKT VZORU KONJUGÁTOV

Ak a a b sú skutočné čísla,

Produkt sa nazýva rozdiel štvorcov.

Ak chcete vynásobiť konjugáty, zaraďte prvý výraz do štvorca a posledný člen do štvorca. Napíšete ho ako rozdiel štvorcov.

Príklad ( PageIndex {26} )

Vynásobte: ⓐ ((6x + 5) (6x − 5) ) ⓑ ((4p − 7q) (4p + 7q) ).

Odpoveď

Ⓐ (36x ^ 2−25 )
Ⓑ (16p ^ 2−49q ^ 2 )

Príklad ( PageIndex {27} )

Vynásobte: ⓐ ((2x + 7) (2x − 7) ) ⓑ ((3x − y) (3x + y) ).

Odpoveď

Ⓐ (4x ^ 2−49 ) ⓑ (9x ^ 2 −y ^ 2 )

Práve sme vyvinuli špeciálne vzory produktov pre binomické štvorce a pre produkt konjugátov. Výrobky vyzerajú podobne, takže je dôležité si uvedomiť, kedy je vhodné použiť každý z týchto vzorov, a všimnúť si, v čom sa líšia. Pozerajte sa na tieto dva vzory spoločne a všimnite si ich podobnosti a rozdiely.

POROVNANIE ŠPECIÁLNYCH VZOROV VÝROBKU

Binomické štvorceProdukt konjugátov
((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ) ((a − b) (a + b) = a ^ 2 − b ^ 2 )
((a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 )
• Zarovnanie binomia na druhú• Násobenie konjugátov
• Produkt je a trojčlenný• Produkt je a dvojčlen.
• Vnútorné a vonkajšie výrazy s FÓLIOU sú rovnaký.• Vnútorné a vonkajšie výrazy s FÓLIOU sú protiklady.
• Strednodobý termín je zdvojnásobiť produkt podmienok• Existuje č strednodobý termín.

Príklad ( PageIndex {28} )

Vyberte vhodný vzor a použite ho na vyhľadanie produktu:

Ⓐ ((2x − 3) (2x + 3) ) ⓑ ((5x − 8) ^ 2 ) ⓒ ((6m + 7) ^ 2 ) ⓓ ((5x − 6) (6x + 5) ).

Odpoveď

Ⓐ ((2x − 3) (2x + 3) )

Toto sú konjugáty. Majú rovnaké prvé čísla a rovnaké posledné čísla a jedno dvojčlen je suma a druhé rozdiel. Hodí sa k vzoru Produkt konjugátov.

Použite vzor.
Zjednodušiť.

Ⓑ ((8x −5) ^ 2 )

Žiada sa od nás štvorcový dvojčlen. Hodí sa k vzoru dvojčlenných štvorcov.

Použite vzor.
Zjednodušiť.

Ⓒ ((6m + 7) ^ 2 )

Opäť zarovnáme dvojčlen, takže použijeme vzor dvojčlenných štvorcov.

Použite vzor.
Zjednodušiť.

Ⓓ ((5x − 6) (6x + 5) )

Tento produkt sa nehodí k vzorom, preto použijeme FÓLIU.

( begin {array} {ll} {} & {(5x − 6) (6x + 5)} { text {Use FOIL.}} & {30x ^ 2 + 25x − 36x − 30} { text {Zjednodušiť.}} & {30x ^ 2−11x − 30} end {pole} )

Príklad ( PageIndex {29} )

Vyberte vhodný vzor a použite ho na vyhľadanie produktu:

Ⓐ ((9b − 2) (2b + 9) ) ⓑ ((9p − 4) ^ 2 ) ⓒ ((7y + 1) ^ 2 ) ⓓ ((4r − 3) (4r + 3) ).

Odpoveď

ⒶFÓLIA; (18b ^ 2 + 77b − 18 )
Ⓑ Binomické štvorce; (81p ^ 2-72p + 16 )
Ⓒ Binomické štvorce; (49r ^ 2 + 14r + 1 )
Ⓓ Produkt z konjugátov; (16r ^ 2-9 )

Príklad ( PageIndex {30} )

Vyberte vhodný vzor a použite ho na vyhľadanie produktu:

Ⓐ ((6x + 7) ^ 2 ) ⓑ ((3x − 4) (3x + 4) ) ⓒ ((2x − 5) (5x − 2) ) ⓓ ((6n − 1) ^ 2 ).

Odpoveď

Ⓐ Binomické štvorce; (36x ^ 2 + 84x + 49 ) ⓑ produkt konjugátov; (9x ^ 2-16 ) ⓒ FÓLIA; (10x ^ 2−29x + 10 ) ⓓ Binomické štvorce; (36n ^ 2-12n + 1 )

Znásobte polynomické funkcie

Rovnako ako je možné násobiť polynómy, možno vynásobiť aj polynomické funkcie.

NÁSOBENIE POLYNOMIÁLNYCH FUNKCIÍ

Pre funkcie (f (x) ) a (g (x) ),

[(f · g) (x) = f (x) · g (x) ]

Príklad ( PageIndex {31} )

Pre funkcie * f (x) = x + 2 ) a (g (x) = x ^ 2−3x − 4 ) nájdite:

  1. ((f · g) (x) )
  2. ((f. g) (2) ).
Odpoveď

( begin {array} {ll} {} & {(f · g) (x) = f (x) · g (x)} { text {Náhrada za} f (x) text {a } g (x)} & {(f · g) (x) = (x + 2) (x ^ 2−3x − 4)} { text {Vynásobte polynómy.}} & {(f · g ) (x) = x (x ^ 2−3x − 4) +2 (x ^ 2−3x − 4)} { text {Distribute.}} & {(f · g) (x) = x3− 3x ^ 2−4x + 2x ^ 2−6x − 8} { text {Kombinujte ako výrazy.}} & {(F · g) (x) = x3 − x ^ 2−10x − 8} koniec {pole} )

Ⓑ Čiastočne ⓐ sme našli ((f · g) (x) ) a teraz sa od nich vyžaduje, aby sme našli ((f · g) (2) ).

( begin {array} {ll} {} & {(f · g) (x) = x ^ 3 − x ^ 2−10x − 8} { text {To find} (f · g) ( 2), text {substitút} x = 2.} & {(F · g) (2) = 2 ^ 3−2 ^ 2−10 · 2−8} {} & {(f · g) ( 2) = 8−4−20−8} {} & {(f · g) (2) = - 24} end {pole} )

Príklad ( PageIndex {32} )

Pre funkcie (f (x) = x − 5 ) a (g (x) = x ^ 2−2x + 3 ) nájdite

  1. ((f · g) (x) )
  2. ((f. g) (2) ).
Odpoveď a

((f · g) (x) = x ^ 3−7x ^ 2 + 13x − 15 )

Odpoveď b

((f · g) (2) = - 9 )

Príklad ( PageIndex {33} )

Pre funkcie (f (x) = x − 7 ) a (g (x) = x ^ 2 + 8x + 4 ) nájdite

  1. ((f · g) (x) )
  2. ((f. g) (2) ).
Odpoveď a

((f · g) (x) = x ^ 3 + x ^ 2−52x − 28 )

Odpoveď a

((f · g) (2) = - 120 )

Vstúpte do tohto online zdroja, kde získate ďalšie pokyny a precvičte si násobenie polynómov.

  • Úvod do špeciálnych produktov dvojčlenov

Glosár

konjugovaný pár
Konjugovaný pár sú dva dvojčleny tvaru ((a − b) ) a ((a + b) ). Dvojica dvojčlenov má každý rovnaký prvý člen a rovnaký posledný člen, ale jeden dvojčlen je súčet a druhý rozdiel.

Javascript

Časová zložitosť vyššie uvedeného riešenia je O (mn). Ak je veľkosť dvoch polynómov rovnaká, potom je časová zložitosť O (n 2).
Môžeme to urobiť lepšie?
Existujú metódy, ako urobiť násobenie rýchlejšie ako O (n 2) čas. Tieto metódy sú založené hlavne na rozdelení a dobytí. Nasleduje jedna jednoduchá metóda, ktorá rozdeľuje daný polynóm (stupňa n) na dva polynómy, z ktorých jeden obsahuje výrazy nižšieho stupňa (nižší ako n / 2) a druhý obsahujúci ternáky vyššieho stupňa (vyšší alebo rovný n / 2)

Vyššie uvedený prístup rozdelenia a dobývania teda vyžaduje 4 násobenia a O (n) čas na pridanie všetkých 4 výsledkov. Preto je časová zložitosť T (n) = 4T (n / 2) + O (n). Riešením rekurencie je O (n 2), ktoré je rovnaké ako vyššie uvedené jednoduché riešenie.
Cieľom je znížiť počet násobení na 3 a dosiahnuť opakovanie ako T (n) = 3T (n / 2) + O (n)
Ako znížiť počet násobení?
Vyžaduje si to malý trik podobný Matrix multiplikácii Strassen & # 8217s. Robíme nasledujúce 3 násobenia.

V Hĺbkové vysvetlenie
Konvenčné polynomické násobenie používa 4 násobné koeficienty:

Všimnite si však nasledujúci vzťah:

Zvyšok dvoch zložiek je presne stredný koeficient pre súčin dvoch polynómov. Preto je možné produkt vypočítať ako:

Druhý výraz má teda iba tri násobenia.
Takže čas potrebný na vykonanie tohto algoritmu je T (n) = 3T (n / 2) + O (n)
Riešením vyššie uvedenej rekurencie je O (n Lg3), ktoré je lepšie ako O (n 2)
.
Čoskoro budeme diskutovať o implementácii vyššie uvedeného prístupu.
Existuje tiež algoritmus O (nLogn), ktorý používa rýchlu Fourierovu transformáciu na násobenie dvoch polynómov (podrobnosti nájdete v tomto a tomto)
Zdroje:
http://www.cse.ust.hk/

dekai / 271 / poznámky / L03 / L03.pdf
Tento článok prispel Harsh. Ak nájdete niečo nesprávne alebo chcete zdieľať viac informácií o vyššie diskutovanej téme, napíšte komentáre.

Pozor čitateľ! Don & rsquot prestať učiť sa teraz. Chyťte všetky dôležité koncepty DSA pomocou Samozrejmý kurz DSA za študentskú cenu a pripravte sa na priemysel. Ak chcete dokončiť svoju prípravu od výučby jazyka po program DS Algo a mnoho ďalších, prečítajte si Kompletný kurz prípravy rozhovoru.


Znásobenie Monomial Times Monomial

Predtým, ako skočíte na násobenie polynómov, nechajte ich & aposs rozdeliť na násobiace monomómy. Keď násobíte polynómy, budete to brať len s dvoma výrazmi naraz, takže znižovanie monomiálov je dôležité.
Začnime & aposs s:
(3) (2x)

Všetko, čo musíte urobiť, je rozdeliť to na 3 krát 2 krát x. Môžete sa zbaviť zátvorky a vypísať ju ako 3 & # xB7 2 & # xB7 x. (Nepoužívajte & quotx & quot; na označenie násobenia. Môže to byť mätúce s písmenom x ako premennou. Namiesto toho použite na násobenie & # xB7!)

Kvôli komutatívnej vlastnosti násobenia môžete množiť výrazy v ľubovoľnom poradí, takže nechajme & aposs vyriešiť to zľava doprava:
3 & # xB7 2 & # xB7 x
3-krát 2 je 6, takže nám zostáva:
6 & # xB7 x, ktoré je možné zapísať ako 6x.


MathHelp.com

To znamená, že fólia vám povie, aby ste vynásobili prvé výrazy v každej zo zátvorkách, potom vynásobte dva výrazy, ktoré sú na & quotoutside & quot (najďalej od seba), potom dva výrazy, ktoré sú na & quotinside & quot (najbližšie k sebe), a potom posledné výrazy v každej zo zátvorkách. Inými slovami, s použitím predchádzajúceho príkladu:

Na zjednodušenie použite fóliu (X + 3)(X + 2)

V poriadku pokyny určujú metódu, ktorú musím použiť, takže tu je:

Keď spojím výsledky štyroch násobení a skombinujem dva výrazy & quot; & quot; v strede, dostanem:

Mnoho inštruktorov na neskorších hodinách matematiky nenávidí „fóliovanie“, pretože sa zdá, že väčšinou slúžia na zmätenie študentov, keď sa dostanú k pokročilejším materiálom. Fólia sa, bohužiaľ, zvykne vyučovať v skorších kurzoch algebry ako & quot; & quot; spôsob množenia všetko polynómy, čo zjavne nie je pravda. (Len čo má ktorýkoľvek z polynómov v zátvorke viac výrazov ako „prvý“ a „prvý“, bude sa vám zobrazovať slovo „skúsiť“, ak sa pokúsite použiť fóliu F, pretože tieto výrazy sa nebudú „hodiť“).)

A fólia je v podstate iba prostriedkom na sledovanie toho, čo robíte, keď sa množíte horizontálne. Ale už viete, že pri násobení väčších čísel je vertikálna cesta správna. Rovnako je to aj v algebre. Pri vynásobení väčších polynómov prepne takmer každý na vertikálne násobenie, jeho používanie je oveľa jednoduchšie.

Ak chcete použiť fóliu, je to v poriadku, ale (upozornenie!) Majte na pamäti jej obmedzenie: môžete ju použiť LEN pre špeciálny prípad násobenia dvoch dvojčlenov. NEMÔŽETE ho použiť NIKDY inokedy!

Zjednodušiť (X & ndash 4) (X & ndash 3)

Pokyny mi nehovoria, akú metódu musím na toto násobenie použiť, preto pôjdem vertikálne:

Znásobte a zjednodušte: (X & ndash 3r)(X + r)

Toto znásobenie vyzerá, že by to mohlo byť komplikovanejšie kvôli druhej premennej, ale proces nezaujíma, koľko výrazov má premenné. Takže môžem postupovať ako obvykle.

Vertikálne násobenie mi dáva toto:

Znásobte a zjednodušte: (2X & ndash 5) (3X + 4)

Toto znásobenie má o niečo väčšie koeficienty, ale postup je rovnaký. Budem pracovať vertikálne:

Nebudem sa obťažovať robiť fóliový proces pre toto cvičenie.

Násobenie: (& ndash4X & ndash 1) (5X & ndash 7)

Faktory v tomto produkte majú veľa znakov „ominus “, ale proces zostáva rovnaký:

Rozbaliť: (X & ndash 3) 2

Niektorí študenti sa to pokúsia urobiť skratkou a mysliac si, že moc nad pojmami nejako & quot; distribuuje & quot ;, každý z nich zarovná na druhú (získa X 2 a 9, ale žiadne stredné členy s X sú v nich) a. potom budú zmätení z toho, aké znamenia by mali ísť kam.

Namiesto toho štvorček výslovne vypíšem, výraz, ktorý mi dali, znamená toto:

Toto sa znásobuje takto:

Rozbaliť a zjednodušiť:

Zlomky? Naozaj. Tento proces bude fungovať rovnako s zlomkami ako s celými číslami:

Na stranu svojho stieracieho papiera pridám zlomky pre strednodobý termín:

Takže moja zjednodušená odpoveď je:

Než pôjdeme ďalej, dovoľte mi zopakovať, čo som povedal na začiatku tejto stránky: & quot; fólie & quot funguje IBA pre konkrétny a špeciálny prípad dvojslovného výrazu krát iný dvojtermínový výraz. NEPLATÍ to v žiadnom inom prípade. Mal by si nie pri všeobecnom násobení sa spoliehajte na fóliu a nemali by ste očakávať, že bude & quotwork & quot pre každé násobenie alebo dokonca pre väčšinu násobení. Ak sa naučíte iba fóliu, budete nie naučili ste sa všetko, čo potrebujete vedieť, a toto bude vám neskôr spôsobí problémy.

Áno, vykecávam. Ale videl som, ako príliš mnohým študentom v štúdiu veľmi prekáža nemysliace prílišné spoliehanie sa na fólie. Ich inštruktori ich často ani nikdy nenaučili žiadnu metódu na množenie iných druhov polynómov. Pre svoje dobro si nájdite čas na prečítanie nasledujúcej stránky a naučte sa, ako správne množiť všeobecné polynómy.

Na precvičenie násobenia dvojčlenov môžete použiť widget Mathway uvedený nižšie. Vyskúšajte zadané cvičenie alebo zadajte svoje vlastné cvičenie. Potom kliknite na tlačidlo a výberom možností & quot; Vynásobiť & quot; alebo & quot; Zjednodušiť & quot; porovnajte svoju odpoveď s odpoveďami Mathway. (Alebo miniaplikáciu preskočte a pokračujte v lekcii.)

(Kliknutím na & quotKlepnutím zobrazíte kroky & quot, ktoré je potrebné vykonať priamo na webe Mathway pre platenú aktualizáciu.)


2.5: Násobenie polynómov - matematika

Násobenie polynómov

· Znásobte monomálie krát polynómy.

· Znásobte ľubovoľné dva polynómy.

Násobenie polynómy zahŕňa uplatnenie pravidiel exponentov a distribučnej vlastnosti na zjednodušenie produktu. Toto znásobenie je možné ilustrovať aj plošným modelom a môže byť užitočné pri modelovaní situácií v reálnom svete. Pochopenie polynomiálnych produktov je dôležitým krokom v učení sa riešenia algebraických rovníc obsahujúcich polynómy.

Násobenie monom

Začnime vynásobením dvoch jednoduchých monomials spolu. Zvážte obdĺžnik, ktorého dĺžka je 2X a ktorej šírka je 3X. Ak chcete zistiť oblasť tohto obdĺžnika, vynásobte dĺžku šírkou.

Plocha obdĺžnika = (2X)(3X) = (2X)(3X) = 2 • 3 • XX = 6X 2

Všimnite si, že komutatívne a asociatívne vlastnosti násobenia sa používajú na nové usporiadanie faktorov, pričom sa dajú dohromady koeficienty a premenné.

Oblasť, 6x 2 , je produkt, ktorý obsahuje koeficient (6) a premennú s exponentom celého čísla (X 2). Inými slovami, je to tiež monomiál. Výsledok znásobenia dvoch monomií je teda - ďalší monomiál!

Skúsme trochu zložitejší problém: -9X 3 • 3X 2 .

Znásobte sa. -9X 3 • 3X 2

-9 • 3 • X 3 • X 2

Na zmenu usporiadania faktorov použite komutatívne a asociatívne vlastnosti násobenia.

Vynásobte konštanty. Pamätajte, že kladné číslo a záporné číslo prinesie záporné číslo.

Vynásobte variabilné výrazy. Nezabudnite pridať exponenty, keď násobíte exponenty rovnakou bázou.

−9X 3 • 3X 2 = −27X 5

To je všetko! Keď násobíte monomómy, vynásobte koeficienty dohromady a potom vynásobte premenné dohromady. Ak majú dve premenné rovnaký základ, postupujte podľa pravidiel exponentov, napríklad takto:

Nájdite oblasť obdĺžnika:

Nesprávne. Vynásobením dvoch koeficientov získate 15 a potom vynásobte premenné. Použite pravidlá exponentov: r 3 • r 2 = r 3 + 2 = r 5. Správna odpoveď je 15r 5 .

Správne. Vynásobte 3 • 5 a r 3 • r 2, s použitím pravidiel exponentov získať 15r 5 .

Nesprávne. Pri násobení exponentmi, ak sú základy rovnaké, pridáte exponenty: r 3 • r 2 = r 3 + 2 = r 5. Správna odpoveď je 15r 5 .

Nesprávne. Správne ste premnožili premenné (r 3 • r 2 = r 3 + 2 = r 5), ale zdá sa, že ste koeficienty skôr pridali ako znásobili. Správna odpoveď je 15r 5 .

Produkt monómu a polynómu

Distribučnú vlastnosť je možné použiť na násobenie polynómu monomémom. Pamätajte, že monomiál musí byť vynásobený každým výrazom v polynóme. Zvážte výraz 2X(2X 2 + 5X + 10).

Tento výraz je možné modelovať pomocou náčrtu, ako je tento.

Vyššie uvedený model ilustruje distribučnú vlastnosť.

2X(2X 2 + 5X + 10) = 2x (2X 2) + 2x (5x) = 2x (10)

= 4X 3 + 10X 2 + 20X

Zjednodušiť. 5X(4X 2 + 3X + 7)

5X(4X 2) + 5x (3X) + 5x (7)

Distribuujte monomiál ku každému členu polynómu.

20X 3 + 15X 2 + 35X

5X(4X 2 + 3X + 7) = 20X 3 + 15X 2 + 35X

Možno budete musieť prepísať odčítanie tak, že pridáte opak.

Zjednodušiť. 7X 2 (2X 2 – 5X + 1)

7X 2 [2X 2 + (– 5X) + 1]

Opíšte odčítanie tak, že pridáte opak.

7X 2 (2X 2 ) + 7X 2 (– 5X) + 7x 2 (1)

Distribuujte monomiál ku každému členu polynómu.

14X 4 + (-35)X 3 + 7X 2

7X 2 (2X 2 – 5X + 1) =

14X 4 – 35X 3 + 7X 2

Sčítanie výrazov so zápornými koeficientmi prepíšte ako odčítanie.

Nájdite produkt. Sledujte znamenia!

-3t 2 (7t 3 + 3t 2 – t)

A) -21t 5 – 9t 4 + 3t 3

B) -21t 5 + 9t 4 – 3t 3

C) -21t 6 – 9t 4 + 3t 2

D) -21t 5 + 3t 2 – t

A)) -21t 5 – 9t 4 + 3t 3

Správne. Prepísaním odčítania pridaním opačného výsledku získate -3t 2 [7t 3 + 3t 2 + (-t)]. Distribúcia monomónu -3t 2 dáva -3t 2 • 7t 3 + (-3t 2 ) • 3t 2 + (-3t 2 ) • (-t), čo je -21t 5 + (‑9t 4 ) + (3t 3). Prepísaním súčtu výrazov so zápornými koeficientmi odčítaním získate hodnotu –21t 5 – 9t 4 + 3t 3 .

B) -21t 5 + 9t 4 – 3t 3

Nesprávne. Negatív musí byť distribuovaný do všetkých výrazov spolu s 3t 2. Tým sa zmení znamienko prostredného a posledného výrazu. Správna odpoveď je –21t 5 – 9t 4 + 3t 3 .

C) -21t 6 – 9t 4 + 3t 2

Nesprávne. Podľa zákonov exponentov pridávate (nie násobíte) exponenty pri vynásobení: -3t 2 • 7t 3 + (-3t 2 ) • 3t 2 + (-3t 2 ) • (-t) je -21t 5 + (-9t 4 ) + (3t 3). Správna odpoveď je –21t 5 – 9t 4 + 3t 3 .

D) -21t 5 + 3t 2 – t

Nesprávne. Monomiál musíte distribuovať do všetkých troch výrazov v polynóme, nielen do prvého: -3t 2 • 7t 3 + (-3t 2 ) • 3t 2 + (-3t 2 ) • (-t). Správna odpoveď je –21t 5 – 9t 4 + 3t 3 .

Produkt dvoch dvojčlenov

Teraz poďme preskúmať násobenie dvoch dvojčlenov. Opäť môžete nakresliť plošný model, ktorý pomôže procesu porozumieť. Každý dvojčlen použijete ako jednu z rozmerov obdĺžnika a jeho súčin ako plochu.


Polynómy

& emsp & emsp V symbole a ^ n sa a nazýva Hie báza an sa nazýva exponent. Termín a ^ 2 sa číta & ldquo štvorec, & rdquo a ^ 3 sa číta & ldquo kocka, & rdquo a ^ 4 sa číta „a na štvrtú mocninu“ a všeobecne a ^ n sa číta & ldquo a na n-tú mocninu . & rdquo
& emsp & emspA Premenná je písmeno, ktoré počas danej diskusie preberá dmerentné hodnoty z danej zbierky reálnych čísel. Konštanta je symbol alebo písmeno, ktoré v diskusii predstavuje iba jedno konkrétne reálne číslo, aj keď nešpecifikujeme, ktoré reálne číslo predstavuje. Je dohodnutým zvykom používať prvé písmená abecedy, ako napríklad a, b, c, d,. , pre konštanty a posledné písmená abecedy. ako x, y, z, u, v,. , pre premenné. Pretože v abecede je iba konečný počet písmen, sme niekedy nútení používať dolné indexy na jedno písmeno, aby sme rozlíšili rôzne konštanty. Napríklad a_0 sa číta & ldquo a -sub-nula "alebo & ldquo a -sub-zero," a, sa číta "a - sub-one, & rdquo a všeobecne pre na kladné celé číslo a_n sa číta & ldquo a - sub- n. & rdquo Určite si nesmieme mýliť dolné indexy s exponentmi.

& emsp & emspMonomiál v premenných x, y,. , z, máme na mysli výraz
formulára

& emsp & emspwhere n, m,. p sú kladné celé čísla. Napríklad 7x ^ 3y ^ 2z ^ 5 je monomiál v premenných x, yaz. Konštanty sa označujú aj ako monomálie. Polynóm v premenných x, y. z je akýkoľvek súčet monomiálov v x, y. z. Najmä binomický je súčtom dvoch monomií a trojčlen je súčtom troch monomiálov. Monomiál vyskytujúci sa v polynóme sa označuje ako pojem polynómu.

& emsp & emsp Pod stupňom monomómu budeme rozumieť súčet exponentov premenných, alebo ak je monomiál nenulová konštanta, rozumie sa mu stupeň 0. Teda monomiál 5 má stupeň nula, 3x je stupeň jeden, zatiaľ čo 7x ^ 3y ^ 2z ^ 5 je stupeň desať. Monomiu 0 nie je priradený žiadny stupeň. Ďalej, zatiaľ čo výraz 7x ^ 3y ^ 2z ^ 5 má stupeň desať, je tiež stupňa tri v x, dvoch v y a žije v z. Pod stupňom polynómu budeme rozumieť stupeň monomia najvyššieho stupňa vyskytujúci sa v polynóme. Polynómy stupňa jeden, dva alebo tri sa často nazývajú lineárne, kvadratické alebo kubické polynómy.

Príklad 1. Nájdite stupeň, stupeň v x a stupeň v y polynómu 7x ^ 2y ^ 3-4xy ^ 2-x ^ 3y + 9y ^ 4.
Výrazy polynómu sú monomómy 7x ^ 2y ^ 3, -4xy ^ 2-x ^ 3y a 9y ^ 4.

Titul v x Titul v r Stupňa
7x ^ 2r ^ 3 2 3 5
-4xy ^ 2 1 2 3
-x ^ 3r 3 1 4
9r ^ 4 0 4 4

& emsp & emspV dôsledku toho je stupeň polynómu v x 3, stupeň v y je 4 a jeho stupeň je 5, ako je uvedené v tabuľke vyššie. & emsp & emsp

& emsp & emspKaždá zbierka faktorov v danom monomeli sa nazýva koeficient zvyšných faktorov v monomiku. Teda v monomii 3xy je 3 koeficient xy, zatiaľ čo 3y je koeficient x. Numerický faktor monomálie sa označuje ako numerický koeficient alebo jednoducho koeficiencia monomia. Napríklad 3 je koeficient 3x ^ 2y, 1 je koeficient x ^ 2y ^ 3, zatiaľ čo -1 je koeficient -x

& emsp & emspVedúci koeficient a. polynóm v jednej premennej je koeficientom termínu najvyššieho stupňa. Konštantný pojem je výraz bez variabilného faktora. Ak napíšeme polynóm v zostupnej sile x, ako

& emsp & emspthen polynom je stupňa n, má vedúci koeficient a_n a konštantný člen a_0.

Príklad 2. Aký je stupeň, vedúci koeficient a konštantné obdobie každého z nasledujúcich?

Stupňa & emsp & emspKoeficient pristátia & emsp & emspKonštantný termín
3x ^ 2-2x + 1 2 3 1
7x-4x ^ 3 + 3 3 -4 3
2x-4x ^ 2-x ^ 5 5 -1 0
5 0 5 5

& emsp & emspHodnota polynómu v premennej x na skutočnom počte x = a je skutočné číslo získané nahradením každého výskytu x v polynóme znakom a. Napríklad hodnota 2x ^ 2- x + 7 pri x = -3 je

& emsp & emsp Hodnota polynómu v dvoch alebo viacerých premenných sa získa podobným spôsobom.Hodnotu xy-x ^ 2 + y ^ 3 získame pri x = 1, y = -2 nahradením každého x číslom 1 a každého y číslom -2:

& emsp & emsp Preto hodnota xy-x ^ 2 + y ^ 3 pri x = 1, y = -2 je -11.

2.2 & emsp & emspSčítanie a odčítanie polynómov

& emsp & emsp Pretože polynómy sú výrazy v jednej alebo viacerých premenných nad reálnymi číslami, zákony, o ktorých sme hovorili v kapitole 1, sa môžu použiť na vývoj techník na ich sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie.

& emsp & emspPridanie dvoch výrazov, ako sú 2a a 4a, sa dá dosiahnuť priamou aplikáciou distribučného práva. Teda

& emsp & emspVýraz tvaru 2x + 3y nemožno dať do nijakej jednoduchšej formy, pretože všeobecne x a y budú označovať dve rôzne veličiny. Môžeme však pridať dva alebo viac výrazov tohto druhu nasledujúcim spôsobom.

Príklad 1. & emsp & emspPridajte 2a + 3b-4c a 6a-5b + 2c.

& emsp & emspPoužívanie asociatívnych a komutatívnych zákonov na doplnenie a tiež distribučné právo, ktoré máme

& emsp & emsp V praxi, keď má byť pridaných niekoľko výrazov, je niekedy užitočná nasledujúca metóda.

& emsp & emspPridajte 3a-4ab ^ 3 + 7c ^ 3, 7ab-4a + 5c ^ 3, 2ab ^ 2-4a + 8c ^ 3 a -5a + 4ab-2ab ^ 2 + 3c ^ 3.

& emsp & emsp Výrazy píšeme priamo pod seba tak, že výrazy obsahujúce rovnaké písmená sa objavujú v rovnakom stĺpci takto:

& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emspSpodný riadok je konečný výsledok, ktorý sa získa pridaním príslušných stĺpcov.

& emsp & emsp Už sme videli (kapitola 1), že odčítanie podpísaných čísel sa dá dosiahnuť pridaním po zmene znamienka čísla, ktoré sa má odčítať. To je presne to, čo robíme, keď odčítame polynómy.

& emsp & emspOdpočítajte 3x-2s + t od 4x + s-2t

& emsp & emspOd súčtu 2a + 7b - 15c a 60 - 4b + c odčítajte súčet a-b + 2c a -2a + 6b-3c.
& emsp & emsp Pretože odčítanie súčtu a - b + 2c a - -2a + 6b-3c je rovnaké ako odčítanie každého výrazu osobitne, jednoducho zmeníme všetky znaky posledných dvoch výrazov a sčítame.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Skupiny so zátvorkami spracovávame rovnako, ako sme ich riešili s podpísanými číslami v časti 1.2.

Pozrime sa, ako náš riešiteľ Polynomials zjednodušuje tento a podobné problémy. Kliknutím na tlačidlo „Vyriešiť podobné“ zobrazíte ďalšie príklady.

& emsp & emspPrepíšte výraz x-2y + z-5 tak, že posledné tri výrazy uvedené v zátvorkách, pred ktorými je znamienko mínus.

2.3 & emsp & emspNásobenie polynómov

& emsp & emspKeď vynásobíme monomeliá, v ktorých sa objaví premenná x, získame produkty tvaru x ^ (m) x ^ (n). Celkový počet faktorov x v tomto produkte je m + n, takže máme nasledujúci zákon exponentov:

& emsp & emsp Aby sme mohli vynásobiť dva alebo viac algebraických výrazov, musíme použiť vyššie uvedený zákon, ako aj zákony reálnych čísel z kapitoly 1.

& emsp & emsp Obzvlášť využívame distribučné zákony, keď násobíme dve multinomálie, ako je ilustrované v nasledujúcich príkladoch.

& emsp & emspVynásobte (x ^ 3 + 2x ^ 2-x + 2) (2x)

& emsp & emspVynásobte 3x ^ 2 + x-5 x x 2.

& emsp & emsp Z príkladu 3 vidíme, že členy v súčine jedného polynómu s druhým sa získajú vynásobením každého člena v prvom faktore každým termínom v druhom. S trochou skúseností budeme schopní preskočiť kroky, ktoré používajú distribučné zákony, jednoducho si napíšeme všetky produkty. Toto je ilustrované v nasledujúcich dvoch príkladoch.

Pozrime sa, ako náš polynomický riešiteľ znásobuje tento a podobné problémy. Kliknutím na tlačidlo „Vyriešiť podobné“ zobrazíte ďalšie príklady.

& emsp & emspVynásobte 2x + 3 x x -5

& emsp & emspVynásobte 2x + y x + 2y-3.

2.4 & emsp & emspRozdelenie polynómov

& emsp & emsp Aby sme mohli rozdeliť jeden polynóm na druhého, najskôr musíme byť schopní rozdeliť jeden monomiál na druhý. Pri delení jedného monomilu na at druhým musíme brať do úvahy výrazy tvaru x ^ (m) & dividex ^ (n), kde m & gt n. Tento kvocient je x ^ (m-n), pretože x ^ (m-n) x ^ n = x ^ m. Tiež ak m = n, potom x ^ m & dividex ^ n = 1. To možno zhrnúť ako ďalší zákon exponentov:

& emsp & emsp

& emsp & emspVydeľte 8x ^ 4y ^ 2z ^ 3 2x ^ 2yz.

& emsp & emsp Používame notáciu dlhého delenia, čo bude vyhovujúce na rozdelenie jedného polynómu druhým.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Nasledujúci príklad pripomína metódu dlhého delenia celých čísel.

& emsp & emspRozdeľte 492 na 8.

& emsp & emsp

& emsp & emspTo nám dáva rovnosť

& emsp & emsp Pripomeňme, že 492 sa nazýva dividenda, 8 deliteľ, 61 podiel a 4 zvyšok. Upozorňujeme, že proces delenia sa končí, keď je zvyšok menší ako deliteľ.

& emsp & emspRozdelenie jedného polynómu na druhý sa vykonáva podobným spôsobom. Tu sa rozdelenie končí, keď je stupeň zvyšku menší ako stupeň deliteľa, alebo keď je zvyšok nulový.

& emsp & emspVydeľte -3x + 2x ^ 2 + 5 x-1.

Krok 1. & emsp & emspUsporiadajte oba polynómy v zostupných mocninách x a píšte takto.

& emsp & emsp

Krok 2. & emsp & emspRozdeľte x na 2x ^ 2.

& emsp & emsp

Krok 3. & emsp & emspVynásobte x-1 dvakrát a odčítajte od 2x ^ 2-3x + 5.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Pretože stupeň zvyšku, -x + 5, nie je menší ako stupeň deliteľa, x-1, postup opakujeme.

Krok 4. & emsp & emspRozdeľte x na -x.

& emsp & emsp

Krok 5. & emsp & emspVynásobte x-1 o -1 a odčítajte od -x + 5.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Zvyšok, 4, má stupeň 0 a Hie deliteľ, x- 1, má stupeň 1 Preto sa delenie končí.

Krok 6. & emsp & emspVýsledok tohto rozdelenia predstavuje rovnica

& emsp & emspVydeľte 3x ^ 3-2x + 5 x ^ 2 + x + 1.

& emsp & emsp

& emsp & emsp Pretože stupeň zvyšku, -2x + 8, je menší ako stupeň deliteľa, x ^ 2 + x + 1, proces je ukončený. Výsledok je

& emsp & emspRozdeľte 3x ^ 3 + 2x ^ 2-1 na 2x + 7.

& emsp & emsp

& emsp & emspVydeľte x ^ 3 + a ^ 3 x-a

& emsp & emsp Ak chcete vykonať toto rozdelenie, považujeme tieto polynómy za polynómy v jednej premennej x.

& emsp & emsp


Faktoringové polynómy: spoločné faktory

Pozrime sa na to podrobnejšie: Všimnite si, že tam bol v obidvoch pojmoch originálu. Keď sme obrátili distribúciu, dáme spoločný faktor na vonkajšiu stranu zátvorky a do zátvorky napísal všetko, čo zostalo.

Pozrime sa na spoločné faktory v nasledujúcich polynómoch a rozdeľme ich na nasledujúce:

1) 3x + 3r.Spoločný faktor v tomto je dosť zrejmý. Vidíš to?
Samozrejme 3 je náš spoločný faktor, pretože je to v obidvoch ohľadoch.
Na vonkajšiu stranu zátvorky vypíšeme spoločný faktor (3)

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : 3 (x + y) = 3x + 3y (pôvodný problém), takže vieme, že máme pravdu.

2) 5x + 2xy. Vidíte spoločné faktory?
Samozrejme, x je náš spoločný faktor, pretože je to z obidvoch hľadísk.
Na vonkajšiu stranu zátvorky a na všetko ostatné v zátvorke vypíšeme spoločný faktor (x).
Konečná odpoveď x (5 + 2r)

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : x (5 + 2r) = 5x + 2xy (originál

3) 6x + 12. Spoločný faktor nie je v tomto prípade taký zrejmý, takže najskôr zohľadníme faktor.
Vidíme, že 3 je náš spoločný faktor, pretože je to z obidvoch hľadísk.
Na vonkajšiu stranu zátvorky a na všetko ostatné v zátvorke vypíšeme spoločný faktor (3), ktorý rekombinuje zvyšné faktory (2. X = 2x)

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : 3 (2x + 4) = 6x + 12 (pôvodné

4) 5x 2 + 10x. Spoločný faktor nie je v tomto prípade taký zrejmý, takže najskôr zohľadníme faktor.
Vidíme, že 5 aj x sú naše spoločné faktory
Píšeme spoločné faktory (5x) na vonkajšiu stranu zátvorky a všetko ostatné vo vnútri zátvorky.

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : (pôvodné

5) 7x + 7. Spoločný faktor je tu dosť zrejmý.
Samozrejme 7 je náš spoločný faktor, pretože je to v obidvoch ohľadoch.
Na vonkajšiu stranu zátvorky vypíšeme spoločný faktor (7). Všimnite si, že aj keď sú z pojmu odstránené všetky faktory, stále existuje pochopenie 1. Pamätajte, že faktoring je zvrátenie násobenia. Musíme byť schopní vynásobiť 7 (x + 1) a vrátiť sa k pôvodnej odpovedi. Bez 1 by sme sa nedostali späť na 7x + 7

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : 7 (x + 1) = 7x + 7 (originál

6) Spoločný faktor nie je úplne jasný, preto najskôr zohľadníme faktor.
Jediný faktor, ktorý je vo všetkých troch termínoch, je 2.x, nie je bežným faktorom, pretože nie je v poslednom termíne.
Na vonkajšiu stranu zátvorky a na všetko ostatné v zátvorke vypíšeme spoločný faktor (2), ktorý rekombinuje zvyšné faktory.

Záverečná odpoveď:

Našu odpoveď môžeme skontrolovať distribúciou. : (pôvodné


VÝROBKY POLYNOMIÁLOV

CIELE

  1. Nájdite produkt dvoch dvojčlenov.
  2. Použite distribučnú vlastnosť na násobenie akýchkoľvek dvoch polynómov.

V predchádzajúcej časti ste sa dozvedeli, že produkt A (2x + y) sa rozširuje na A (2x) + A (y).

Teraz zvážte produkt (3x + z) (2x + y).

Pretože (3x + z) je v zátvorkách, môžeme to považovať za jeden faktor a rozbaliť (3x + z) (2x + y) rovnakým spôsobom ako A (2x + y). Toto nám dáva

Ak teraz rozšírime každý z týchto výrazov, máme

Všimnite si, že v konečnej odpovedi sa každý výraz jednej zátvorky vynásobí každým výrazom ostatných zátvoriek.

Toto je aplikácia distribučného vlastníctva.

Toto je aplikácia distribučného vlastníctva.

Pretože - 8x a 15x sú podobné výrazy, môžeme ich spojiť a získať 7x.

V tomto príklade sme boli schopní skombinovať dva z týchto výrazov, aby sme zjednodušili konečnú odpoveď.

Tu sme opäť skombinovali niektoré výrazy, aby sme zjednodušili konečnú odpoveď. Upozorňujeme, že poradie výrazov v konečnej odpovedi nemá vplyv na správnosť riešenia.


Otvorené zdroje pre Community College Algebra

Predtým v časti 5.2 sme sa naučili znásobiť dva monomily dohromady (napríklad (4xy cdot3x ^ 2 )). A v časti 5.1 sme sa naučili, ako sčítať a odčítať polynómy, aj keď existuje viac ako jeden výraz (napríklad ((4x ^ 2-3x) + (5x ^ 2 + x-2) )). V tejto časti sa dozvieme, ako násobiť polynómy viac ako jedným termínom.

Obrázok 5.4.1. Lekcia alternatívneho videa

Príklad 5.4.2. Príjmy.

Avery vlastní miestnu spoločnosť na výrobu organického džemu, ktorá v súčasnosti predáva asi (1 500) pohárov mesačne za cenu ( $ 13) za pohár. Avery zistil, že zakaždým, keď zdvihnú cenu pohára o (25 ) centov, predajú (50 ) pohárov džemu za mesiac.

Všeobecne je možné príjmy tejto spoločnosti vypočítať vynásobením ceny za nádobu celkovým počtom predaných nádob na zaváranie. Ak necháme (x ) predstavovať počet zvýšení ceny o (25 ) centov, potom bude cena (13 + 0,25x text <.> )

Naopak, počet nádob, ktoré spoločnosť predá, bude (1 500 ), ktoré v súčasnosti predávajú každý mesiac, mínus (50 ) -krát (x text <.> ), Čo nám dá výraz (1 500- 50x ) predstavuje počet pohárov, ktoré spoločnosť predá po zvýšení ceny (x ) -krát.

Kombináciou týchto výrazov môžeme napísať vzorec pre model výnosov:

Pre zjednodušenie výrazu ( left (13 + 0,25x right) left (1500-50x right) text <,> ) budeme musieť (13 + 0,25x ) vynásobiť (1500 -50x text <.> ) V tejto časti sa naučíme, ako na to.

Pododdiel 5.4.1 Preskúmanie distribučného majetku

Polynomické násobenie sa spolieha na distribučnú vlastnosť a môže sa tiež spoliehať na pravidlá exponentov. Keď vynásobíme monomiál dvojčlenom, použijeme túto vlastnosť tak, že monomiál rozdelíme ku každému výrazu v dvojčlene. Napríklad,

Poznámka 5.4.3.

Distribučnú vlastnosť môžeme použiť pri násobení vľavo alebo vpravo. To znamená, že (a (b + c) = ab + ac text <,> ), ale tiež ((b + c) a = ba + ca text <.> )

Príklad 5.4.4.

Dĺžka obdĺžnika je (4 ) metrov dlhšia ako jeho šírka. Predpokladajme, že jeho šírka je (w ) metrov. Použite zjednodušený polynóm na modelovanie oblasti obdĺžnika z hľadiska (w ) ako jedinej premennej.

Pretože dĺžka obdĺžnika je o (4 ) metrov dlhšia ako jeho šírka, môžeme jeho dĺžku modelovať o (w + 4 ) metrov.

Plocha obdĺžnika by bola:

Plochu obdĺžnika možno modelovať z (w ^ 2 + 4w ) metrov štvorcových.

V druhom riadku vyššie by sme si mali uvedomiť, že ((w + 4) w ) je ekvivalentné (w (w + 4) text <.> ) Či je (w ) napísané skôr alebo po dvojčlene môžeme stále používať distribúciu na zjednodušenie produktu.

Kontrolný bod 5.4.5.

Distribučnému majetku je možné vizuálne porozumieť pomocou a.

Veľký obdĺžnik sa skladá z dvoch menších obdĺžnikov. Plocha veľkého obdĺžnika je (2x (3x + 4) text <,> ) a súčet týchto dvoch menších obdĺžnikov je (2x cdot3x + 2x cdot4 text <.> ) Od súčtu oblasti týchto dvoch menších obdĺžnikov sú rovnaké ako oblasti väčšieho obdĺžnika, máme:

Na vizualizáciu množiacich sa polynómov je možné použiť všeobecné obdĺžniky.

Pododdiel 5.4.2 Násobenie dvojčlenov

Násobenie dvojčlenov pomocou distribúcie.

Či už násobíme monomiál polynomom alebo dvoma väčšími polynómami dohromady, prvý krok je stále založený na distribučnej vlastnosti. Začneme vynásobením dvoch dvojčlenov a potom prejdeme k väčším polynómom.

Vieme, že môžeme (3 ) distribuovať v ((x + 2) 3 ), aby sme získali ((x + 2) multiplyright <3> = x multiplyright <3> +2 multiplyright <3> text <.> ) Môžeme skutočne distribuovať čokoľvek cez ((x + 2) ), ak je násobené. Napríklad:

S ohľadom na to môžeme ((x + 2) (x + 3) ) vynásobiť distribúciou ((x + 3) ) medzi ((x + 2) text <:> )

Ak chcete násobenie dokončiť, budeme pokračovať opätovnou distribúciou, tentokrát však medzi ((x + 3) text <:> )

Na násobenie dvojčlenu iným dvojčlenom sme jednoducho museli opakovať krok distribúcie a výsledné výrazy zjednodušiť. V skutočnosti sa násobenie akýchkoľvek dvoch polynómov bude spoliehať na tieto rovnaké kroky.

Násobenie binárnych čísel pomocou FÓLIE.

Zatiaľ čo násobenie dvoch dvojčlenov vyžaduje dve aplikácie distribučnej vlastnosti, ľudia si tento proces distribúcie často pamätajú pomocou skratky FOIL. FOIL označuje dvojice výrazov z každého dvojčlenu, ktoré sa nakoniec navzájom distribuujú.

Ak sa pozrieme na príklad, ktorý sme práve dokončili, ((x + 2) (x + 3) text <,> ), môžeme zdôrazniť, ako funguje proces FOIL. FOIL je skratka pre „Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný“.

Termín (x ^ 2 ) bol výsledkom súčinu produktu najprv výrazy z každého dvojčlenu.

(3x ) bol výsledkom produktu vonkajšie výrazy z každého dvojčlenu Toto bolo z (x ) v prednej časti prvého binomia a z (3 ) v zadnej časti druhého binomia.

(2x ) bol výsledkom produktu vnútorné výrazy z každého dvojčlenu. Toto bolo z (2 ) v zadnej časti prvého binomia a z (x ) v prednej časti druhého binomia.

Konštantný člen (6 ) bol výsledkom súčinu posledný podmienky každého dvojčlenu.

Násobenie dvojčlenov pomocou všeobecných obdĺžnikov.

K rovnakému príkladu môžeme pristúpiť aj pomocou metódy generického obdĺžnika. Ak chcete použiť všeobecné obdĺžniky, považujeme (x + 2 ) za základňu obdĺžnika a (x + 3 ) za výšku. Ich súčin ((x + 2) (x + 3) text <,> ) predstavuje plochu obdĺžnika. Nasledujúci diagram ukazuje, ako nastaviť všeobecné obdĺžniky na násobenie ((x + 2) (x + 3) text <.> )

Veľký obdĺžnik sa skladá zo štyroch menších obdĺžnikov. V nasledujúcom diagrame nájdeme oblasť každého malého obdĺžnika podľa vzorca ( text= text cdot text text <.> )

Na dokončenie hľadania tohto produktu musíme pridať oblasti štyroch menších obdĺžnikov:

Všimnite si, že oblasti štyroch menších obdĺžnikov sú úplne rovnaké ako štyri výrazy, ktoré sme získali pomocou distribúcie, čo sú tiež rovnaké štyri výrazy, ktoré pochádzajú z metódy FOIL. Metóda FOIL aj prístup všeobecných obdĺžnikov sú rôzne spôsoby, ako reprezentovať distribúciu, ktorá sa vyskytuje.

Príklad 5.4.10.

Vynásobte ((2x-3r) (4x-5r) ) pomocou distribúcie.

Ak chcete pomocou násobiacej vlastnosti tieto dve dvojčleny použiť distribučnú vlastnosť, najskôr rozdelíme druhý dvojčlen cez ((2x-3y) text <.> ), Potom znova rozdelíme a zjednodušíme pojmy, ktoré z toho vzniknú.

Príklad 5.4.11.

Prvý, Vonkajší, Vnútorný, Posledný: Buď so šípkami na papieri, alebo mentálne v našich hlavách, spárujeme štyri páry monomií a tieto páry znásobíme.

Príklad 5.4.12.

Vynásobte ((2x-3y) (4x-5y) ) pomocou všeobecných obdĺžnikov.

Začneme tým, že nakreslíme štyri obdĺžniky a ich základne a výšky označíme výrazmi v daných dvojčlenoch:

Ďalej vypočítame plochu každého obdĺžnika vynásobením jeho základne s výškou:

Na záver pridáme plochu všetkých obdĺžnikov, aby sme našli produkt:

Príklad 5.4.15.

Znásobte a zjednodušte vzorec pre príjmy z organického džemu Avery, (R ) (v dolároch) z príkladu 5.4.2, kde (R = (13 + 0,25x) (1500-50x) ) a (x ) predstavuje počet zvýšení ceny o 25 centov.

Na znásobenie toho použijeme FÓLIU:

Príklad 5.4.16.

Tyrone je umelec a všetky svoje obrazy predáva za ( $ 200 text <.> ). V súčasnosti môže predávať (100 ) obrazov ročne. Takže jeho ročný príjem z predaja obrazov je ( 200 $ cdot100 = 20000 dolárov text <.> ) Plánuje zvýšiť cenu. Za každé zvýšenie ceny o 20 dolárov za jeden obraz však jeho zákazníci ročne kúpia (5 ) obrazov menej.

Predpokladajme, že Tyrone zvýši cenu svojich obrazov (x ) -krát, zakaždým o 20 dolárov. Použite rozšírený polynóm na vyjadrenie jeho nových výnosov za rok.

V súčasnosti stojí každý obraz 200 dolárov. Po zvýšení ceny (x ) -krát, zakaždým o 20 $, bude nová cena každého obrazu (200 + 20x ) dolárov.

V súčasnosti Tyrone predáva (100 ) obrazov ročne. Po zvýšení ceny (x ) -krát, pri každom predaji (5 ) obrazov menej, predá (100-5x ) obrazov ročne.

Jeho ročný príjem možno vypočítať tak, že sa cena každého obrazu vynásobí počtom obrazov, ktoré by predal:

Po zvýšení ceny (x ) -krát, zakaždým o 20 dolárov, bude ročný príjem Tyrone z obrazov (- 100x ^ 2 + 1000x +20000 ) dolárov.

Pododdiel 5.4.3 Násobenie polynómov väčších ako binárnych

Základom pre množenie ľubovoľného páru polynómov je distribúcia a monomické násobenie. Či už pracujeme s binomiálmi, trinomiálmi alebo väčšími polynómami, proces je v zásade rovnaký.

Príklad 5.4.17.

Násobenie ( doľava (x + 5 doprava) doľava (x ^ 2-4x + 6 doprava) text <.> )

K tomuto produktu môžeme priblížiť buď pomocou distribučných všeobecných obdĺžnikov. Metódu FOIL nemôžeme priamo použiť, aj keď môže byť užitočné nakresliť šípky k šiestim párom produktov, ktoré sa vyskytnú.

Pomocou distribučnej vlastnosti začneme distribúciou cez ( left (x ^ 2-4x + 6 right) text <,> ), vykonáme druhý krok distribúcie a potom kombinujeme podobné výrazy.

Na základe monomiálneho násobenia a pochopenia toho, ako v tomto kontexte platí distribúcia, sme schopní nájsť produkt akýchkoľvek dvoch polynómov.

Kontrolný bod 5.4.19.

Čítanie otázok 5.4.4 Čítanie otázok

Popíšte tri spôsoby, ako znásobiť ((x + 3) (2x + 5) text <.> )

Keby ste vynásobili ((a + b + c) (d + e + f + g) text <,> ), koľko výrazov by tam bolo? (Skúste odpovedať bez toho, aby ste si všetky zapísali.)


Programovanie v C ++ & # 8211 Znásobte dva polynómy

Keď dáme dva polynómy reprezentované dvoma poliami, napíšeme funkciu, ktorá dané dané dva polynómy znásobí.

Jednoduchým riešením je postupné zvažovanie každého člena prvého polynómu a jeho vynásobenie každým členom druhého polynómu. Nasleduje algoritmus tejto jednoduchej metódy.

Nasleduje implementácia vyššie uvedeného algoritmu v C ++.

Prvý polynóm je
5 + 0x ^ 1 + 10x ^ 2 + 6x ^ 3
Druhý polynóm je
1 + 2x ^ 1 + 4x ^ 2
Polynom produktu je
5 + 10x ^ 1 + 30x ^ 2 + 26x ^ ​​3 + 52x ^ 4 + 24x ^ 5
Časová zložitosť vyššie uvedeného riešenia je O (mn). Ak je veľkosť dvoch polynómov rovnaká, potom je časová zložitosť O (n2).

Môžeme to urobiť lepšie?
Existujú metódy, ako urobiť násobenie rýchlejšie ako O (n2) čas. Tieto metódy sú založené hlavne na rozdelení a dobytí. Nasleduje jedna jednoduchá metóda, ktorá rozdeľuje daný polynóm (stupňa n) na dva polynómy, z ktorých jeden obsahuje výrazy nižšieho stupňa (nižší ako n / 2) a druhý obsahujúci ternáky vyššieho stupňa (vyšší alebo rovný n / 2)

Nech dva dané polynómy sú A a B.
Pre jednoduchosť predpokladajme, že dané dva polynómy sú
rovnaký stupeň a majú titul v mocninách 2, t. j. = 2i

Polynom & # 8216A & # 8217 možno zapísať ako A0 + A1 * xn / 2
Polynom & # 8216B & # 8217 možno zapísať ako B0 + B1 * xn / 2

Napríklad 1 + 10x + 6 & # 2152 & # 8211 4 & # 2153 + 5 & # 2154 môžu byť
napísané ako (1 + 10x) + (6 & # 8211 4x + 5 & # 2152) * x2

A * B = (A0 + A1 * xn / 2) * (B0 + B1 * xn / 2)
= A0 * B0 + A0 * B1 * xn / 2 + A1 * B0 * xn / 2 + A1 * B1 * xn
= A0 * B0 + (A0 * B1 + A1 * B0) xn / 2 + A1 * B1 * xn
Vyššie uvedený prístup rozdelenia a dobývania teda vyžaduje 4 násobenia a O (n) čas na pridanie všetkých 4 výsledkov. Preto je časová zložitosť T (n) = 4T (n / 2) + O (n). Riešením rekurencie je O (n2), ktoré je rovnaké ako vyššie uvedené jednoduché riešenie.

Cieľom je znížiť počet násobení na 3 a dosiahnuť opakovanie ako T (n) = 3T (n / 2) + O (n)

Ako znížiť počet násobení?
Vyžaduje si to malý trik podobný Strassenovej maticovej multiplikácii. Robíme nasledujúce 3 násobenia.

X = (A0 + A1) * (B0 + B1) // Prvé násobenie
Y = A0B0 // Druhý
Z = A1B1 // Tretí

Chýbajúci stredný termín vo vyššie uvedenej násobiacej rovnici A0 * B0 + (A0 * B1 +
A1 * B0) xn / 2 + A1 * B1 * xn je možné získať pomocou nižšie uvedeného.
A0B1 + A1B0 = X & # 8211 Y & # 8211 Z
Takže čas potrebný na vykonanie tohto algoritmu je T (n) = 3T (n / 2) + O (n)
Riešením vyššie uvedenej rekurencie je O (nLg3), ktoré je lepšie ako O (n2).


Pozri si video: Учимся дома. 4 класс. Математика: деление многозначного числа на двузначное число (December 2021).