Články

8.3: Mediány a ťažiská - matematika


Medián trojuholníka je segment spájajúci vrchol so stredom protiľahlej strany.

Veta ( PageIndex {1} )

Tri mediány ľubovoľného nedgenerovaného trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Okrem toho priesečník rozdeľuje každý medián v pomere 2: 1.

Priesečník stredov sa nazýva ťažisko trojuholníka; zvyčajne to označuje M. V dôkaze použijeme Cvičenie 3.4.3 a Cvičenie 7.3.1; ich úplné riešenia sú uvedené v prístupoch.

Dôkaz

Zvážte nedegenerovaný trojuholník (ABC ). Nech ([AA '] ) a ([BB'] ) sú jej mediány. Podľa cvičenia 3.4.3 majú ([AA '] ) a ([BB'] ) priesečník; označme to (M ).

Nakreslite čiaru ( ell ) cez (A ') rovnobežnú s ((BB') ). Ak použijeme Cvičenie 7.3.1 pre ( trojuholník BB'C ) a ( ell ), dostaneme ten ( ell ) kríž ([B'C] ) v určitom okamihu (X ) a

( dfrac {CX} {CB '} = dfrac {CA'} {CB} = dfrac {1} {2}; )

tj (X ) je stredom ([CB '] ).

Pretože (B ') je stredom ([AC] ) a (X ) je stredom ([B'C] ), dostaneme to

( dfrac {AB '} {AX} = dfrac {2} {3}. )

Ak použijeme cvičenie 7.3.1 pre ( trojuholník XA'A ) a priamku ((BB ') ), dostaneme to

[ dfrac {AM} {AA '} = dfrac {AB'} {AX} = dfrac {2} {3}; ]

tj (M ) rozdeľuje ([AA '] ) v pomere 2: 1.

Upozorňujeme, že verzia 8.3.1 jednoznačne definuje (M ) v ([AA '] ). Opakovaním rovnakého argumentu pre mediány ([AA '] ) a ([CC'] ) dostaneme, že sa pretínajú tiež (M ), preto výsledok.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Nech ( štvorec ABCD ) je nedegenerovaný štvoruholník a (X, Y, V, W ) sú stredy jeho strán ([AB], [BC], [CD] ) a ([ DA] ). Ukážte, že ( štvorec XYVW ) je rovnobežník.

Pomôcka

Použite myšlienku z dôkazu vety ( PageIndex {1} ) a ukážte, že ((XY) paralelné (AC) paralelné (VW) ) a ((XV) paralelné (BD) paralelné (YW) ).


Každý trojuholník má v sebe jeden bod, ktorý umožňuje perfektné vyváženie trojuholníka, ak je trojuholník vyrobený iba z jedného materiálu. Tento bod sa nazýva centróda alebo „ťažisko“ alebo „ťažisko“ trojuholníka.

Matematicky je ťažisko trojuholníka definované ako bod, kde sa stretávajú tri mediány trojuholníka. Je to jeden z troch bodov súbežnosti v trojuholníku spolu s incenterom, circumcenterom a orthocentrom. Ťažisko je zvyčajne reprezentované symbolom „G“.

Ďalej je uvedený ΔABC s ťažiskom „G“.


Apollóniova veta

V trojuholníku platí, že súčet štvorcov dvoch jeho strán sa rovná súčtu polovice štvorca tretej strany a dvojnásobku štvorca mediánu zodpovedajúceho tejto tretej strane.

Kde a, ba c, sú nohy a mb je medián zodpovedajúci strane b.


Špeciálny majetok ťažiska

V cvičení nižšie ste pre vás už našli ťažisko (bod C). Pre toto cvičenie vyhľadajte oblasť každej časti celkového trojuholníka. Každá časť (celkovo ich je 6) je v tieni inej farby. Najskôr vyberte ikonu Oblasť nástroj , ktorý sa nachádza pod Uhol Ponuka . Potom jednoducho kliknite na každú z jednotlivých častí. Odpovedzte na nasledujúce otázky.

Čo si všímate na ploche každého menšieho trojuholníka?

Pripomeňme, že oblasť tvaru predstavuje množstvo priestoru vo vnútri tohto tvaru. Na základe toho, čo by sme mohli povedať, že ťažisko je stredom?

Predpokladajme, že všetky časti trojuholníka majú hmotnosť (podobnú hmotnosti), ktorá je rovnomerne rozložená po celej ich ploche. Na základe toho, o čom by sme teraz mohli povedať, že ťažiskom je stred? (* Pomôcka, mohli by sme to nazvať aj rovnovážnym bodom).


Balbharatiho riešenia pre matematiku 8. štandardná štátna rada štátu Maháraštra, kapitola 4 (Nadpisy a stredy trojuholníka) obsahujú všetky otázky s riešením a podrobným vysvetlením. Toto vyčistí študentov od pochybností o akejkoľvek otázke a zlepší aplikačné schopnosti pri príprave na skúšky v základnej škole. Podrobné podrobné riešenia vám pomôžu lepšie porozumieť konceptom a odstránia prípadné nejasnosti. Shaalaa.com má Maharashtra State Board Mathematics 8. štandardné riešenie Maharashtra State Board State spôsobom, ktorý pomáha študentom lepšie a rýchlejšie pochopiť základné pojmy.

Ďalej na stránke Shaalaa.com poskytujeme také riešenia, aby sa študenti mohli pripraviť na písomné skúšky. Riešenia učebníc Balbharati môžu byť základnou pomocou pre samoštúdium a pôsobia ako dokonalé svojpomocné usmernenie pre študentov.

Koncepty obsiahnuté v Matematike 8. štandardná štátna rada štátu Maháráštra, kapitola 4 Nadmorské výšky a mediány trojuholníka sú Nadmorské výšky trojuholníka, Stredné hodnoty trojuholníka, Konštrukcia nadmorskej výšky trojuholníka, Kreslenie stredných trojuholníkov.

Používanie 8. štandardných riešení Balbharati Riešenie Altitudes a Medians trojuholníkového cvičenia od študentov je ľahký spôsob prípravy na skúšky, pretože zahŕňajú riešenia usporiadané podľa kapitol aj stránok. Otázky spojené s Balbharati Solutions sú dôležité otázky, ktoré je možné položiť pri záverečnej skúške. Maximálny počet študentov 8. normy Maharashtra State Board dáva prednosť tomu, aby test Balbharati skóroval viac.


Nadmorské výšky a mediány trojuholníka

ii. Nakreslite kolmicu z vrcholu P na bočný QR pomocou štvorca. Miesto, kde sa nachádza na strane QR, pomenujte ako M. Seg PM je nadmorská výška na strane QR.

iii. Ak vezmeme do úvahy bočné PR ako základňu, nakreslite nadmorskú výšku QX na bočnej XZ. Seg QX je nadmorská výška na strane PR.

iv. Zvážte bočné PQ ako základňu, nakreslite nadmorskú výšku RN na seg PQ. Seg RN je nadmorská výška na strane PQ.

Seg PM, seg QO, seg RN sú nadmorské výšky & # 8710PQR. Bod súbehu, tj. Ortocentrum sa označuje bodom O.

Nakreslite tupý uhol & # 8710STV. Nakreslite jeho stredy a ukážte ťažisko.

Ak chcete nakresliť tupý uhol & # 8710STV.

i. Nakreslite základnú čiaru ľubovoľnej dĺžky, označte ju ako TV. Na T nakreslite tupý uhol, ktorý označuje bod čiary S. Spojte body S a V. Takto vytvorená ΔSTV je tupý uhlový trojuholník.

ii. Nájdite stredný bod A bočnej televízie zostrojením kolmej osi úsečky televízora s lineárnymi segmentmi. Žreb AS.

iii. Nájdite stred B na strane SV zostrojením kolmej osi úsečky SV. Nakreslite seg BT.

iv. Nájdite stredný bod C strany ST zostrojením kolmej osi úsečky ST. Nakreslite seg CV.

Seg AS, seg BT a seg CV sú mediány & # 8710STV.

Ich bod súbehu označuje O.

Nakreslite tupý uhol & # 8710LMN. Nakreslite jeho nadmorské výšky a označte ortocentrum znakom & # 8216O & # 8217.

Ak chcete nakresliť tupý uhol & # 8710LMN.

i. Nakreslite základnú čiaru ľubovoľnej dĺžky, označte ju MN. Na M nakreslite tupý uhol, ktorý označuje bod priamky L. Spojte body L a N. Takto vytvorená ΔLMN je tupý uhlový trojuholník.

ii. Ak chcete nakresliť nadmorskú výšku z vrcholu L, roztiahnite stranu MN trojuholníka od bodu M prerušovanou čiarou, ako je to znázornené na obrázku, a potom nakreslite kolmé čiary od bodu M.

iii. Ak vezmeme do úvahy bočnú LN ako základňu, nakreslite nadmorskú výšku MP na bočnej LN. Seg MP je nadmorská výška na strane LN.

iv. Ak chcete nakresliť nadmorskú výšku z vrcholu N, roztiahnite stranu LM trojuholníka od bodu M prerušovanou čiarou, ako je to znázornené na obrázku, a potom nakreslite kolmú čiaru z vrcholu N.

v. Teraz pre ortocentrum, pretože všetky nadmorské výšky sa nepretínajú, budeme ich musieť predĺžiť, aby sa mohli stretnúť, aby nám poskytli ortocentrum trojuholníka.

vi. Preto predĺžte nadmorskú výšku LQ z bodu Q MP z bodu M a NR z bodu R.

vii. Kolmý stred Obtuseovho trojuholníka leží mimo trojuholníka.

viii. Bod O označuje ortocentrum tupého uhla & # 8710LMN.

Nakreslite pravouhlý & # 8710XYZ. Nakreslite jej mediány a ukážte ich bod súbehu pomocou G.

Ak chcete nakresliť pravouhlý & # 8710XYZ.

i. Nakreslite základnú čiaru ľubovoľnej dĺžky, označte ju YZ. Na Y nakreslite značku pravého uhla tohto bodu priamky X. Spojte body X a Z. Takto vytvorený ΔXYZ je pravouhlý trojuholník.

ii. Nájdite stredný bod A strany YZ zostrojením kolmej osi úsečky YZ. Nakreslite AX.

iii. Nájdite stred B na strane XZ zostrojením kolmej osi úsečky XZ. Nakreslite seg BY.

iv. Nájdite stredný bod C na strane XY zostrojením kolmej osi úsečky XY. Nakreslite seg CZ.

Seg AX, seg BY a seg CZ sú mediány & # 8710XYZ.

Ich bod súbehu označuje G.

Nakreslite rovnoramenný trojuholník. Nakreslite všetky jeho stredy a výšky. Napíšte svoje pozorovanie o ich bodoch súbehu.

i. Nakreslite rovnoramenný trojuholník a pomenujte ho ako PQR.

Rovnoramenný trojuholník je ten trojuholník, ktorého základňa je strana, ktorá sa nerovná ostatným dvom stranám alebo Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorý má dve rovnaké strany.

ii. Teraz označte stredný bod, tj. A, B, C, na všetkých stranách trojuholníka a spojte ho s opačným vrcholom, tj. P, Q, R. Úsečka tj. PA, QB, RC teda nájdená sú stredná hodnota trojuholníka.

iii. Bod súbehu označte ako „O“.

iv. Znova nakreslite zvislý úsečkový segment z každého vrcholu.

v. Označte bod súbehu X.

Tu vidíme, že sa zhoduje bod súbehu stredov a nadmorských výšok.

V prípade rovnoramenného trojuholníka sa dve strany, ktoré sú rovnaké, stretávajú na vrchole, ktorý leží priamo nad stredom základne. Z tohto dôvodu nadmorská výška, ktorá vedie od P k základni, pretína základňu v jeho strednom bode, čo z nej robí tiež stredný bod z P do základne, ktorý je rovnaký aj pre ďalšie dve strany.

Preto v rovnoramennom trojuholníku sú nadmorská výška a medián rovnaký segment čiary, ktorý je na vyššie uvedenom obrázku zobrazený tučnou čiarou.

Bod G je ťažiskom & # 8710ABC.

(1) Ak l (RG) = 2,5 potom l (GC) = .

(2) Ak l (BG) = 6 potom l (BQ) = .

(3) Ak l (AP) = 6 potom l (AG) = . a l (GP) = .

1) Ak potom, ako vieme, ťažisko rozdeľuje každý medián v pomere 2: 1.

2) Ak potom, ako vieme, ťažisko rozdeľuje každý medián v pomere 2: 1.

Pretože musíme nájsť I (BQ) a z obrázku je zrejmé, že

Preto som (BQ) = 6 + 3

3) Ak potom a l (GP) = 2, pretože vieme, že ťažisko rozdeľuje každý medián v pomere 2: 1 -------- (i)


The Ťažisko je rovnaké ako ťažisko, keď je hustota v celom objeme rovnaká.

Ťažisko, ťažisko hmoty a ťažiskový sú rovnaké pre jednoduché pevné látky.

Často sú označené znakom a kríž alebo bodka a niekedy aj písmená CG alebo len tak G


Pre torus je ťažisko v samom strede
(aj keď tam nie je žiadna časť torusu!)


Pre pravý pevný kužeľ je ťažisko zapnuté
stredová čiara a & frac14 cesty od základne

Ťažisko automobilu môže byť veľmi ťažké zistiť, pretože je v ňom veľa prázdneho priestoru a materiálov s rôznou hustotou (napríklad motor oproti sedadlám).

Pri výpočtoch môžeme často nahraďte predmet jeho ťažiskom.

Príklad: Odhodíte kladivo!

Môže sa to trochu točiť, ale je to ťažisko padne priamo dole.

Rýchlejšie a rýchlejšie klesá aj vďaka gravitácii.

(Jedinou komplikáciou je odpor vzduchu, ktorý viac ovplyvňuje jeho pohyb, keď ide rýchlejšie.)

Sila, ktorá ide cez ťažisko nespôsobí žiadnu rotáciu. V skutočnosti môžete vyvážiť objekt tak, že ho podržíte priamo pod jeho ťažiskom.


Vyrobte a nájdite ťažisko!

Môžete sa naučiť nájsť ťažisko a dokázať si, že to je skutočne ťažisko trojuholníka, pomocou kusu pevnej lepenky (napríklad plagátovej alebo drevotrieskovej dosky), pravítka, ceruzky a nožníc.

Pomocou pravítka vytiahnite akýkoľvek druh trojuholníka, ktorý chcete: ostrý, pravý, tupý. V každom trojuholníku je ťažisko vždy vo vnútri trojuholníka!

Zmerajte a nájdite stred každej strany trojuholníka. Jasne označte stred. Spojte tri stredové body s ich protiľahlými vrcholmi. Tieto riadky sú mediány.

Stredy, kde sa krížia, sú ťažiskami. Opatrne vystrihnite trojuholník. Držte ho nad ukazovákom, aby bol ťažisko na konci prsta. Poďme druhou rukou. Trojuholník by mal perfektne vyvážiť!


Zostrojte ťažisko & # xa0 Δ ABC, ktorého strany sú AB = 6 cm, BC = 7 cm, & # xa0 a AC = 5 cm

Nakreslite & # xa0 ΔABC pomocou daných meraní. & # Xa0

Zostrojte zvislé osi bis & # xa0 ľubovoľných dvoch strán & # xa0 (AC a BC), aby ste našli stredné body & # xa0 D a E AC & # xa0 a BC.

Nakreslite mediány AE a & # xa0 BD a nechajte ich stretnúť sa pri G.

Bod G je ťažiskom daného & # xa0 ΔABC.

Zostrojte & # xa0 Δ ABC, ktorého strany sú AB = 6 cm, BC = 4 cm a AC = 5,5 cm, a vyhľadajte & # xa0 jeho ortocentrum.

Nakreslite & # xa0 ΔABC pomocou daných meraní. & # Xa0

Zostrojte výšky z ľubovoľných dvoch vrcholov & # xa0 (A a C) na ich opačné strany & # xa0 (BC a AB).

Priesečník nadmorských výšok H je ortocentrum daného & # xa0 Δ ABC.

Kde je ortocentrum umiestnené v každom type trojuholníka?

Nakreslite príklad každého typu trojuholníka a vyhľadajte jeho ortocentrum.

Δ ABC je ostrý trojuholník. Tri nadmorské výšky sa pretínajú v bode G, bode vo vnútri trojuholníka

ΔKLM & # xa0je pravý trojuholník. Dve nohy LM a KM sú tiež nadmorskými výškami. Pretínajú sa v pravom uhle trojuholníka. & # Xa0 To znamená, že ortocentrum je & # xa0 na trojuholníku v M, vrchole pravého uhla trojuholníka

Δ YPR & # xa0 je tupý trojuholník. Tri čiary, ktoré obsahujú nadmorské výšky, sa pretínajú u W, bodu mimo trojuholníka.

Nájdite súradnice ťažiska & # xa0 ΔJKL zobrazené nižšie. & # Xa0

Vieme, že ťažisko je dve tretiny vzdialenosti od každého vrcholu k stredu opačnej strany.

Vyberte strednú hodnotu KN. Nájdite súradnice N, stredného bodu JL.

Nájdite vzdialenosť od vrcholu K do stredu N. Vzdialenosť od K (5, 2) k N (5, 8) je 8 - 2 alebo 6 jednotiek.

Určte súradnice ťažiska, čo je 2/3 ⋅6 & # xa0 alebo & # xa0 o 4 jednotky od vrcholu K pozdĺž mediánu KN. & # Xa0 & # xa0

Z tohto dôvodu sú súradnice ťažiska & # xa0P

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Eulerova línia

V akejkoľvek nerovnostranný trojuholník ortocentrum (H), ťažiskový (G) a circumcenter (O) sú zarovnané. Čiara, ktorá obsahuje tieto tri body, sa nazýva Eulerova čiara.

V rovnostrannom trojuholníku sú všetky tri stredy na rovnakom mieste.

Relatívne vzdialenosti medzi stredmi trojuholníkov zostávajú konštantné.

Vzdialenosti medzi stredmi:

Je pravda, že vzdialenosť od ortocentra (H) do ťažiskový (G) je dvojnásobok ťažiska (G) do cirkumcentra (O). Alebo inak povedané HG segment je dvojnásobok Choď segment:

Keď je trojuholník rovnostranný, barycentrum, ortocentrum, circumcenter a incenter sa zhodujú v rovnakom vnútornom bode, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od troch vrcholov.

Táto vzdialenosť k trom vrcholom rovnostranného trojuholníka sa rovná z jednej strany, a preto na vrchol, bytie h jeho nadmorská výška (alebo výška).


Pozri si video: 3 - Modus a medián MAT - Statistika (December 2021).