Články

1.7: Úhly - matematika


Naším ďalším cieľom je predstaviť uhly a miery uhlov; potom bude tvrdenie „môžeme merať uhly“ dôsledné; pozri (iii) v oddiele 1.1.

Usporiadaná dvojica polpriamok, ktoré začínajú v rovnakom bode, sa nazýva uhol. Uhol (AOB ) (tiež označovaný ( uhol AOB )) je dvojica polpriamok ([OA) ) a ([OB) ). V tomto prípade sa bod (O ) nazýva vrchol uhla.

Intuitívne meranie uhla udáva, koľko musí človek otočiť prvou polpriamkou proti smeru hodinových ručičiek, takže získa polohu druhej polpriamky uhla. Za úplné otočenie sa považuje (2 cdot pi ); zodpovedá miere uhla v radiánoch. (Na chvíľu si možno myslíte, že ( pi ) je pozitívne reálne číslo, ktoré meria veľkosť pol otáčky v určitých jednotkách. Jeho konkrétna hodnota ( pi približne 3,14 ) nebude dlho dôležitá čas.

Miera uhla ( uhol AOB ) je označená ( meraný uhol AOB ); je to reálne číslo v intervale ((- - pi, pi] ).

Značky ( uhol AOB ) a ( measureangle AOB ) vyzerajú podobne; majú tiež blízke, ale odlišné významy, ktoré sa nesmú zamieňať. Napríklad rovnosť ( uhol AOB = uhol A'O'B ') znamená, že ([OA) = [O'A') ) a ([OB) = [O'B ') ); najmä (O = O '). Na druhej strane rovnosť ( meraný uhol AOB = meraný uhol A'O'B ') znamená iba rovnosť dvoch reálnych čísel; v tomto prípade sa (O ) môže líšiť od (O ').

Toto je prvá vlastnosť miery, ktorá sa stane súčasťou axiómy.

Vzhľadom na polpriamku ([OA) ) a ( alpha in (- pi, pi] ) existuje jedinečná polovičná čiara ([OB) ), ktorá ( změřený úhel AOB = alfa ).


Uhol medzi dvoma čiarami

Cieľom tejto lekcie je nájsť uhol medzi dvoma čiarami pomocou vzorca. Keď sa dve priamky pretínajú v rovine, ich priesečník vytvorí dva páry opačných uhlov, ktoré sa nazývajú vertikálne uhly.

Ak tieto dve čiary nie sú kolmé a majú svahy m1 a m2, potom môžete pomocou nasledujúceho vzorca vyhľadať uhol medzi dvoma čiarami.

$ tan θ = dolava lvert frac <1 + m_1m_2> doprava rvert $


UHLY

Popis: Age of the Angles je úžasná aplikácia navrhnutá na posilnenie schopností uhlomera, merania uhlov a odhadov uhlov. Precvičte si použitie uhlomeru na meranie uhlov v režime & quot; Practice & quot; a odhad miery uhla v & quot; režime prehrávania. & Quot; V režime prehrávania si pozrite, koľko mier uhlov môžete úspešne odhadnúť, skôr ako vyčerpáte svoj limit merania uhla 100 °.

Angle Invaders - Online hra

Popis: V tejto zábavnej hre musia študenti odhadnúť mieru uhla, aby mohli výbuchu napadnúť vesmírne lode. Každé kolo je ťažšie ako posledné, keď sa miera chyby zmenšuje a stopy zmiznú.

Popis: Vitajte v aplikácii AIRmadillos! Zatiaľ čo pásovce sú bežné vo väčšine južných častí USA a Mexika, zvláštne plemeno tohto záhadného cicavca kolonizovalo odľahlú krajinu Big Bend v západnom Texase. Tento druh, známy ako AIRmadillo, sa vo vybraných biotopoch pustil do lietania papierovými lietadlami. Dnes môžete hrať úlohu zriedka videného AIRmadilla pomocou svojich matematických schopností a rýchlych reflexov, aby ste mu čo najviac pomohli lietať v lietadle. Spustite papierové lietadlá a sledujte, ako raketovo plávajú po oblohe, a to výberom optimálneho uhla uvoľnenia ramena. Buďte však opatrní, rýchlosť, smer, typ lietadla, nastavenie a sila paží tiež hrajú hlavné faktory pri určovaní vzdialenosti, ktorú vaše lietadlo preletí. Všetko ovládate vy. Získate jeden cvičný hod a tri „oficiálne“ hody. Ak sú vaše tri oficiálne hody na vzdialenosť 50 metrov a viac, môžete si vytlačiť špeciálne osvedčenie. Ďalšie informácie nájdete v inštruktážnom videu.

Anti-Homework Elementary - online hra

Popis: Cieľom programu Anti-Homework Elementary je využiť svoje vedomosti o uhloch a mierkach, aby ste zvládli celý týždeň bez toho, aby ste si museli odnášať domov akékoľvek domáce úlohy od učiteľov, ktorí majú z domácich úloh radosť. V hre je každý deň v týždni iná fáza a každá fáza je iná učebňa, v ktorej sú učitelia spokojní s domácimi úlohami rozmiestnení pod rôznymi uhlami. Odhadnite uhol, v ktorom je učiteľ s blikajúcou šípkou. Zadajte odhad do poľa „uhol“ a potom stlačte kláves „enter“. Na odhad miery uhla použite ako pomôcka značky 0, 90 a 180 stupňov. Ak je váš odhad dobrý, môžete hodiť granát proti domácim úlohám, ktorý vyhladí hromadu domácich úloh, ktoré vám učiteľ chce dať. Nebojte sa, učiteľa nikdy neubližujete. V každom kole je päť učiteľov nesúcich domáce úlohy. Buďte opatrní, ale s postupujúcim týždňom musia byť vaše odhady presnejšie. V každom kole máte k dispozícii iba konkrétne rozdelenie chýb, ktoré sa pohybuje od 60 stupňov v pondelok do 25 stupňov v piatok! Ak napríklad uhádnete 100 stupňov a skutočná poloha učiteľa je 120 stupňov, stratíte z pridelenia chyby 20 stupňov. Po každom štarte granátu môžete navyše vidieť, ako blízko bol váš odhadovaný uhol k skutočnému uhlu.

Opatrenia spoločného uhla - online

Popis: Tento modul na precvičovanie online pomôže študentom precvičiť si odhad uhlových mier.

Susedné uhlové miery - online

Popis: Tento modul na precvičovanie online pomôže študentom naučiť sa počítať miery susedných uhlov.

Používanie uhlomeru - online

Popis: Tento praktický modul online pomôže študentom naučiť sa používať uhlomer na meranie presných mier uhlov.

Použiť ako hodnotenie v Učebni Google.

Akútne, tupé a pravé uhly - online

Popis: Tento modul na precvičovanie online pomôže študentom určiť, či sú uhly správne, ostré alebo tupé.

Čiary, úsečky a lúče - online

Popis: Tento modul na precvičovanie online pomôže študentom rozlišovať medzi čiarami, úsečkami a lúčmi. Poskytuje okamžitú spätnú väzbu.

Čiary, uhly a mestská sieť - online

Popis: Tento praktický modul online pomôže študentom identifikovať rôzne druhy úsečiek a uhlov pomocou mestskej mriežky.

Kolmé, rovnobežné a pretínajúce sa čiary - online

Popis: Tento modul na precvičovanie online pomôže študentom rozlíšiť medzi kolmými, rovnobežnými a pretínajúcimi sa čiarami - online

Online prax Age of the Angles

Popis: Toto online cvičenie vám pomôže naučiť sa hrať Age of the Angles. Poskytuje okamžitú spätnú väzbu a posilňuje odhad uhlových mier.


Vyhlásenia a dôvody uhlov

V geometrii vetaje a štátnicit, ktoré bolo dokázané na základe predtým stanovených tvrdení, ako sú iné predtým dokázané vety alebo tvrdenia.

Odvodenie výrokov je dôkazom pravdivosti výsledného výrazu.

VŠEOBECNÁ FORMA

výrok vety ( niekedy nazývaný propozícia)

Zoznam oblastí na základe uhlových výrokov a dôvodov

1. Pravý uhol: Všetky pravé uhly sú zhodné

2. Zhodné doplnky : Ak sú 2 uhly doplnkové k rovnakému uhlu, potom sú 2 uhly zhodné.

3. Zhodné doplnky :Ak sú 2 uhly komplementárne k rovnakému uhlu, potom sú 2 uhly zhodné.

4. Alternatívne vnútorné uhly: Ak sú dve rovnobežné čiary vyrezané traverzom, potom sú alternatívne vnútorné uhly zhodné.

5. Alternatívne vonkajšie uhly : Ak sú dve rovnobežné čiary vyrezané traverzom, potom sú alternatívne vonkajšie uhly zhodné.

Zoberme si jedného z nich a dokážme to.

Mám v pláne napísať viac príspevku do križovatky s príkladom Kolmá rovina. Stále sledujte môj blog.


Obsah

Jeden radián je definovaný ako uhol zmenšený od stredu kružnice, ktorý pretína oblúk rovnakej dĺžky k polomeru kružnice. [3] Všeobecnejšie sa veľkosť podradeného uhla v radiánoch rovná pomeru dĺžky oblúka k polomeru kruhu, čo je, θ = s/r , kde θ je podružný uhol v radiánoch, s je dĺžka oblúka ar je polomer. Naopak, dĺžka zachyteného oblúka sa rovná polomeru vynásobenému veľkosťou uhla v radiánoch, čo je, s = .

Ako pomer dvoch dĺžok je radián čisté číslo. [a] V SI je radián definovaný ako majúci hodnotu 1. [7] V dôsledku toho je v matematickom písaní takmer vždy vynechaný symbol „rad“. Pri kvantifikácii uhla pri absencii ľubovoľného symbolu sa predpokladajú radiány, a ak sa myslia stupne, použije sa znak stupňa °.

Z toho vyplýva, že veľkosť v radiánoch jednej úplnej otáčky (360 stupňov) je dĺžka celého obvodu vydelená polomerom, alebo 2πr / r alebo 2 π. Teda 2 π radiány sa rovnajú 360 stupňom, čo znamená, že jeden radián sa rovná 180 / π ≈ 57,29577 95130 82320 876 stupňov. [8]

Pojem radiánska miera, na rozdiel od stupňa uhla, sa obvykle pripisuje Rogerovi Cotesovi v roku 1714. [9] [10] Popísal radián vo všetkom okrem jeho názvu a jeho prirodzenosť uznal ako jednotku uhlovej miery. Pred termínom radián keď sa jednotka rozšírila, bežne sa nazývala kruhová miera uhla. [11]

Termín radián sa prvýkrát objavil v tlači 5. júna 1873 pri testovacích otázkach, ktoré položil James Thomson (brat lorda Kelvina) na Queen's College v Belfaste. Tento výraz použil už v roku 1871, zatiaľ čo v roku 1869 Thomas Muir, vtedajší z University of St. Andrews, rad, radiálnya radián. V roku 1874 po konzultácii s Jamesom Thomsonom Muir prijal radián. [13] [14] [15] Názov radián Po určitom čase nebol všeobecne prijatý. Longmansova školská trigonometria stále sa volá radián kruhová miera keď vyšli v roku 1890. [16]

Upresňujú Medzinárodný úrad pre váhy a miery [17] a Medzinárodná organizácia pre normalizáciu [18] rad ako symbol pre radián. Alternatívne symboly používané pred 100 rokmi sú c (horné písmeno c, pre „kruhovú mieru“), písmeno r alebo horný index R, [19], ale tieto varianty sa používajú zriedka, pretože si ich možno mýliť so symbolom stupňa ( °) alebo polomer (r). Preto by sa hodnota 1,2 radiánu najčastejšie písala ako 1,2 rad, ďalšie zápisy zahŕňajú 1,2 r, 1,2 rad, 1,2 c alebo 1,2 R.


Paralelogram je možné vždy rozložiť na dva identické trojuholníky segmentom, ktorý spája opačné vrcholy.

Keď to pôjde opačne, dve rovnaké kópie trojuholníka môžu byť vždy usporiadané tak, aby vytvorili rovnobežník, bez ohľadu na typ použitého trojuholníka.

Aby sme vytvorili rovnobežník, môžeme spojiť trojuholník a jeho kópiu pozdĺž ktorejkoľvek z troch strán, takže rovnaká dvojica trojuholníkov môže vytvárať rôzne rovnobežníky.

Tu sú príklady toho, ako môžu byť dve kópie trojuholníka A a trojuholníka F zložené do troch rôznych rovnobežníkov.

Tento zvláštny vzťah medzi trojuholníkmi a rovnobežníkmi nám môže pomôcť uvažovať o ploche ľubovoľného trojuholníka.


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby), porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail umožniť Varsity Tutors vyhľadať a pozitívne identifikovať tento obsah, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


1.7: Úhly - matematika

Hlavné zameranie na matematiku © 2014 je a učivo matematiky pre stredné školy séria, ktorá sa tiahne Spoločné základné štátne normy (CCSS) sa študenti musia učiť v 6. ročníku na strednej škole Algebra I.

Pri zahrnutí silných stránok Oregonského zamerania na matematické série © 2008 je základ programu založený na prioritných klastroch CCSS (tiež známych ako kritické oblasti) a na stratégiách rozvoja návykov mysle u študentov formulovaných v štandardoch. pre matematickú prax.

Na úrovni ročníka sú tri texty, každý sa zameriava na viac zoskupení štandardov v Spoločnom jadre a kolektívne sa zameriava na úplné štandardy na úrovni ročníka.

Spoločnosť Core Focus s potešením oznamuje partnerstvo so spoločnosťou EdGems! EdGems je sprievodný produkt spoločnosti Core Focus, ktorý prináša technologické aktivity, štandardizované hodnotenia a tri vopred pripravené aktivity zapojenia pre každý štandard! K dispozícii na jeseň 2017! Vyžiadajte si viac informácií teraz na:


ML Aggarwal Class 10 Solutions for ICSE Matematika Kapitola 20 Výšky a vzdialenosti Ex 20

Tieto riešenia sú súčasťou riešení ML Aggarwal triedy 10 pre matematiku ICSE. Tu sme uviedli riešenia ML Aggarwal triedy 10 pre matematiku ICSE, kapitola 20 Výšky a vzdialenosti, ex 20

Viac cvičení

Otázka 1.
Elektrický stĺp je vysoký 10 metrov. Ak je jeho tieň dlhý 10√3 metrov, nájdite prevýšenie slnka.
Riešenie:
Nech AB je pól a
OB je jeho tieň.

Otázka 2.
Uhol vyvýšenia vrcholu veže z bodu na zemi a vo vzdialenosti 150 m od jej päty je 30 °. Nájdite výšku veže s presnosťou na jedno desatinné miesto
Riešenie:
Nech je BC veža a
A je bod na zemi taký, že
∠A = 30 ° a AC = 150 m

Otázka 3.
Rebrík je položený pri stene tak, aby siahal iba po vrch steny. Päta rebríka je vzdialená 1,5 m od steny a rebrík je sklonený k zemi pod uhlom 60 °. Nájdite výšku steny.
Riešenie:
Nech AB je stena a AC rebrík
ktorého noha C je vzdialená 1,5 m od B
Nech AB = x m a uhol sklonu je 60 °

Otázka 4.
Aký je uhol vyvýšenia slnka, keď sa dĺžka tieňa vertikálneho pólu rovná jeho výške.
Riešenie:
Nech AB je pól a CB je jeho tieň
a θ je uhol vyvýšenia slnka.
Nech AB = x m, potom BC = x m

Otázka 5.
Rieka je široká 60 m. Na jednom brehu je strom neznámej výšky. Uhol vyvýšenia hornej časti stromu od bodu presne opačného k päte stromu na druhom brehu je 30 °. Nájdite výšku stromu.
Riešenie:
Nech AB je strom a BC je šírka rieky
a C je bod presne oproti B na druhom brehu
a uhol prevýšenia je 30 °.

Otázka 6.
Z bodu P na rovnom povrchu je uhol prevýšenia vrcholu veže 30 °. Ak je veža vysoká 100 m, ako ďaleko je P od päty veže?
Riešenie:
Nech AB je veža a P je vo vzdialenosti x m od B, úpätia veže.
Zatiaľ čo výška veže AB = 100 m
a uhol prevýšenia = 30 °

Otázka 7.
Z vrcholu útesu vysokého 92 m je uhol stlačenia bóje 20 °. Vypočítajte na najbližší meter vzdialenosť bóje od päty útesu. (2005)
Riešenie:
Nech AB je útes, ktorého výška je 92 m
a C je bója, ktorá vytvára uhol depresie 20 °.

Otázka 8.
Chlapec letí šarkana so šnúrkou o dĺžke 100 m. Ak je šnúrka pevná a uhol vyvýšenia draka je 26 ° 32 & # 8242, nájdite výšku draka na jedno desatinné miesto (výšku chlapca ignorujte).
Riešenie:
Nech AB je výška draka A a AC je reťazec
a uhol vyvýšenia draka je 26 ° 32 & # 8242

Otázka 9.
Elektrický stĺp je vysoký 10 m. Oceľový drôt priviazaný k hornej časti stĺpa je pripevnený v bode na zemi, aby sa stĺp udržal vo zvislej polohe. Ak drôt zviera s horizontálou cez pätku tyče uhol 45 °, zistite dĺžku drôtu.
Riešenie:
Nech AB je pól a AC je drôt
ktorý zviera so zemou uhol 45 °.
Výška stĺpa AB = 10 m
a nechajte dĺžku drôtu AC = x m

Otázka 10.
Most cez rieku zviera s brehom rieky uhol 45 °. Ak je dĺžka mosta cez rieku 200 metrov, aká je šírka rieky.

Riešenie:
Nech AB je šírka rieky = xm
Dĺžka mosta AC = 200 m
a uhol s brehom rieky = 45 °
sin θ = ( frac )
⇒ hriech 45 ° = ( frac <200> )

Otázka 11.
Zvislá veža je vysoká 20 m. Muž stojaci v istej vzdialenosti od veže vie, že kosínus uhla vyvýšenia vrchu veže je 0,53. Ako ďaleko stojí od päty veže? (2001)
Riešenie:
Nech AB je veža a
nech človek C stojí vo vzdialenosti od úpätia veže = x m
a cos 9 = 0,53

Otázka 12.
Horná časť stromu zlomená vetrom padá na zem bez toho, aby bola oddelená. Horná časť zlomenej časti sa dotýka zeme v uhle 38 ° 30 # 8242 v bode 6 m od päty stromu. Vypočítať.
i) výška, v ktorej je strom zlomený.
ii) pôvodná výška stromu s presnosťou na dve desatinné miesta.
Riešenie:
Nech TR je celková výška stromu
a TP je zlomená časť, ktorá sa dotýka zeme
vo vzdialenosti 6 m od päty stromu
so zemou zvierať uhol 38 ° 30 # 8242.
Nech PR = x a TR = x + y
PQ = PT = r
Vpravo ∆PQR


Výška stromu = 4,7724 + 7,6665 = 12,4389 = 12,44 m
a výška stromu, pri ktorom je zlomený = 4,77 m

Otázka 13.
Pozorovateľ vysoký 1,5 m je vzdialený 20,5 metrov od veže vysokej 22 metrov. Určte uhol vyvýšenia vrcholu veže od oka pozorovateľa.
Riešenie:
Na obrázku je AB veža a CD je pozorovateľ.
θ je uhol pozorovania z

Otázka 14.
Z člna vzdialeného 300 metrov od vertikálneho útesu sú uhly prevýšenia vrchnej časti a úpätia vertikálneho betónového stĺpa na okraji útesu 55 ° 40 ° # 8242 a 54 ° 20 ° # 8242. Nájdite výšku stĺpu s presnosťou na najbližší meter.

Riešenie:
Nech CB je útes a AC stĺp
a D je loď, ktorá je vzdialená 300 m
päta útesu, tj. BD = 300 m.
Uhly vyvýšenia hornej a spodnej časti stĺpu
sú 55 ° 40 & # 8242 a 54 ° 20 & # 8242.
Nech CB = x a AC = y
Vpravo ∆CBD,

Otázka 15.
Z bodu P na zemi je uhol vyvýšenia vrcholu 10 m vysokej budovy 30 ° a helikoptéry vznášajúcej sa nad hornou časťou budovy 30 °, respektíve 60 °. Nájdite výšku vrtuľníka nad zemou.
Riešenie:
nech AB je budova a H je vrtuľník, ktorý sa nad ňou vznáša.
P je bod na zemi,
uhol vyvýšenia hornej časti budovy a vrtuľníka sú 30 ° a 60 °

Otázka 16.
Letún letiaci vo výške 3125 m od zeme prechádza vertikálne pod inú rovinu v okamihu, keď sú uhly vyvýšenia dvoch rovín z rovnakého bodu na zemi 30 °, respektíve 60 °. Nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma rovinami v danom okamihu.
Riešenie:
Nech je vzdialenosť medzi dvoma rovinami = h m
Z tohto dôvodu sú AD = 3125 ma ∠ACB = 60 ° a ∠ACD = 30 °

Otázka 17.
Osoba stojaca na brehu rieky zistí, že uhol, ktorý zviera strom na opačnom brehu, je 60 °, keď odchádza z brehu 20 m, zistí, že tento uhol predstavuje 30 °. Nájdite výšku stromu a šírku rieky. .
Riešenie:
Nech TR je strom a PR je šírka rieky.

Otázka 18.
Tieň vertikálnej veže na rovnom povrchu sa zvýši o 10 m, keď sa výška slnka zmení zo 45 ° na 30 °. Nájdite výšku veže opravenou s presnosťou na dve desatinné miesta. (2006)
Riešenie:
Na obrázku je AB veža,
BD a BC sú tieňom veže v dvoch situáciách.
Nech BD = x m a AB = h m
V ∆ABD,

Otázka 19.
Z vrcholu kopca sa zistí, že uhly depresie dvoch po sebe idúcich kilometrových kameňov na východ sú 30 ° a 45 °. Nájdite vzdialenosť dvoch kameňov od úpätia kopca.
Riešenie:
Nech A a B sú poloha dvoch po sebe idúcich kilometrových kameňov.
Potom AB = 1 km = 1000 m
Nech dIstancia BC = x m
∴ Vzdialenosť AC = (1000 + x) m

Otázka 20.
Muž pozoruje uhly vyvýšenia hornej časti budovy na 30 °. Kráča k nej vodorovnou čiarou cez jej základňu. Na 60 m sa uhol prevýšenia zmení na 60 °. Nájdite výšku budovy s presnosťou na najbližšie ku mne.
Riešenie:
Vzhľadom na to
AB je budova CD = 60 m

Otázka 21.
V bode na rovnom povrchu sa zistí, že uhol vyvýšenia vertikálnej doliny je taký, že jej dotyčnica je ( frac <5> <12> ). Pri chôdzi 192 m smerom k veži sa zistí, že dotyčnica uhla je ( frac <3> <4> ). Nájdite výšku veže. (1990)
Riešenie:
Nech TR je veža a P je bod na
mletý tak, že tan θ = ( frac <5> <12> )

Otázka 22.
Na obrázku, ktorý nie je nakreslený v mierke, je TF veža. Nadmorská výška T od A je x °, kde tan x = ( frac <2> <5> ) a AF = 200 m. Prevýšenie T od B, kde AB = 80 m, je y °. Vypočítať:
i) výška veže TF.
ii) uhol y, korigovaný na najbližší stupeň. (1997)

Riešenie:
Nech výška veže TF = x
tan x = ( frac <2> <5> ), AF = 200 m, AB = 80 m
(i) vpravo ∆ATF,

Otázka 23.
Z vrcholu veže kostola vysokej 96 m sú uhly depresie dvoch vozidiel na ceste, na rovnakej úrovni ako základňa veže a na tej istej strane sú x ° a y °, kde tan x ° = ( frac <1> <4> ) a opaľovanie ° = ( frac <1> <7> ). Vypočítajte vzdialenosť medzi vozidlami. (1994)
Riešenie:
Výška kostola CH.
Nech A a B sú dve vozidlá, ktoré zvierajú uhol stlačenia
od C sú x ° respektíve y °.

Otázka 24.
Na susednom obrázku, ktorý nie je nakreslený v mierke, je AB veža a dva objekty C a D sú umiestnené na zemi na rovnakej strane AB. Pri pozorovaní z vrcholu A veže sú ich uhly depresie 45 ° a 60 °. Nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma objektmi. Ak je výška veže 300 m. Odpovedzte na najbližší meter. (1998)

Riešenie:
Nech CB = x a
DB = r
AB = 300 m

Otázka 25.
Horizontálna vzdialenosť medzi dvoma vežami je 140 m. Uhol vyvýšenia vrcholu prvej veže je pri pohľade z vrcholu druhej veže 30 °. Ak je výška druhej veže 60 m, nájdite výšku prvej veže.
Riešenie:
Nech výška prvej veže TR = x
výška druhej veže PQ = 60 m
Vzdialenosť medzi dvoma vežami QR = 140 m

Otázka 26.
Ako bolo pozorované z vrcholu 80 m vysokého majáku, uhly depresie dvoch lodí na tej istej strane majáka v horizontálnej línii s jeho základňou sú 30 ° a 40 °. Nájdite vzdialenosť medzi dvoma loďami. Odpovedzte správne na najbližší meter.
Riešenie:
Nech AB je maják a C a D dve lode.

Otázka 27.
Uhol vyvýšenia stĺpu od bodu A na zemi je 45 ° a od bodu B diametrálne protiľahlého k A a na druhej strane stĺpu je 60 °. Nájdite výšku stĺpu vzhľadom na to, že vzdialenosť medzi A a B je 15 m.
Riešenie:
Nech CD je stĺp a nech CD = x
Uhly prevýšenia bodov A sú 45 ° a B 60 °.

Otázka 28.
Z dvoch bodov A a B na tej istej strane budovy sú uhly vyvýšenia hornej časti budovy 30 °, respektíve 60 °. Ak je výška budovy 10 m, nájdite vzdialenosť medzi A a B s presnosťou na dve desatinné miesta
Riešenie:
V ∆DBC, opálenie 60 ° = ( frac <10> )
⇒ √3 = ( frac <10> )
⇒ BC = ( frac <10> < sqrt <3 >> )
∆DBC, opálenie 30 ° = ( frac <10> )

Otázka 29.
i) Uhly depresie dvoch lodí A a B pozorované z vrcholu majáku vysokého 60 m sú 60 ° a 45 °. Ak sú dve lode na opačných stranách svetelného domu, nájdite vzdialenosť medzi týmito dvoma loďami. Odpovedzte správne na celé číslo. (2017)
ii) Letún vo výške 250 m pozoruje uhol stlačenia dvoch člnov na opačných brehoch rieky pod 45 °, respektíve 60 °. Nájdite šírku rieky. Odpoveď napíšte správne s presnosťou na celé číslo. (2014)
Riešenie:
(i) Nech AD je výška majáka CD = 60 m
Nech AD = x m, BD = y m


Otázka 30.
Z veže vysokej 126 m sú uhly depresie dvoch skál, ktoré sú v horizontálnej línii vedenej cez základňu veže, 16 ° a 12 ° 20 & # 8242 Nájdite vzdialenosť medzi skalami, ak sú na
i) rovnaká strana veže
ii) opačné strany veže.
Riešenie:
Nech CD je veža a CD = 126 m
Nech A a B sú dva kamene na jednej priamke
a uhly depresie sú 16 °, respektíve 12 ° 20 a # 8242,

Otázka 31.
Muž vysoký 1,8 m stojí vo vzdialenosti 3,6 m od svetelného zdroja a vrhá na zem tieň 5,4 m. Nájdite výšku stĺpika lampy.
Riešenie:
AB je žiarovka CD je výška človeka.
BD je vzdialenosť človeka od nohy lampy
a FD je tieň človeka.
CE || DB.

Otázka 32.
Uhol depresie hornej a spodnej časti 8 m vysokej budovy od hornej časti viacpodlažnej budovy je 30 °, respektíve 45 °. Nájdite výšku viacpodlažnej budovy s pneumatikami a vzdialenosť medzi týmito dvoma budovami s opravou na dve desatinné miesta.
Riešenie:
Nech AB je CD budovou
Uhly depresie od A do C
a D sú 30 ° a 45 °
∠ACE = 30 ° a ∠ADB = 45 °
CD = 8 m

Otázka 33.
Na vrchole veže je pripevnený stĺp s výškou 5 m. Uhol vyvýšenia hornej časti stĺpa pozorovaný z bodu A na zemi je 60 ° a uhol sklonu bodu A z vrcholu veže je 45 °. Nájdite výšku veže. (Vezmite √3 = 1,732).
Riešenie:
Nech QR je veža a PQ je stĺp na nej
Uhol vyvýšenia z bodu P do bodu A je ∠PAR = 60 °
a uhol depresie od Q do A = 45 °
∠QAR = 45 ° (alternatívny uhol)
PQ = 5 m,

Otázka 34.
Zvislý stĺp a zvislá veža sú na rovnakom vodorovnom povrchu. Z vrcholu tyče je uhol vyvýšenia vrcholu veže 60 ° a uhol depresie päty veže je 30 °. Zistite výšku veže, ak je výška stĺpa 20 m.
Riešenie:
Nech TR je veža a
PL je stĺp na rovnakej úrovni, zem PL = 20 m
Z P nakreslite PQ || LR
potom ∠ TPQ = 60 ° a ∠ QPR = 30 °

Otázka 35.
Z vrcholu budovy vysokej 20 m je uhol prevýšenia vrcholu monumentu 45 ° a uhol depresie jeho chodidla 15 °. Nájdite výšku pomníka.
Riešenie:
Nech AB je budova a AB = 20 m a
nech je CD pomníkom a nech je CD = x
Vzdialenosť medzi budovou a pomníkom je y,

Otázka 36.
Uhol vyvýšenia vrcholu nedokončenej veže v bode vzdialenom 120 m od jej základne je 45 °. O koľko vyššie musí byť veža zdvihnutá, aby jej uhol sklonu v rovnakom bode mohol byť 60 °?
Riešenie:
Nech AB je nedokončená veža a AB = 120 m
a uhol sklonu = 45 °
Nech x je vyššie zdvihnuté tak, aby
uhol sklonu sa stane 60 °

Otázka 37.
Na susednom obrázku sa tieň zvislej veže na rovnom povrchu zvyšuje o 10 m, keď sa výška slnka mení zo 45 ° na 30 °. Nájdite výšku veže a odpovedzte na meter ( frac <1> <10> ).

[Poznámka. Nadmorská výška slnka znamená uhol vyvýšenia slnka.]
Riešenie:
Nech TR je veža a TR = h
Nech BR = x,
AB = 10 m
Uhol prevýšenia z vrcholu veže
pri A a B sú 30 °, respektíve 45 °.

Otázka 38.
Lietadlo letí v konštantnej výške rýchlosťou 360 km / h. Z bodu na zemi bol pozorovaný uhol sklonu lietadla v okamihu 45 °. Po 20 sekundách sa pozorovalo, že uhol sklonu je 30 °. Určte výšku, v ktorej lietadlo letí (použite √3 = 1,732)
Riešenie:
Rýchlosť lietadla = 360 km / h
Vzdialenosť prekonaná za 20 sekúnd = ( frac <360X20> <60X60> ) = 2 km
E je pevný bod na zemi
a CD je poloha AB vo výške lietadla

Dúfame, že vám pomôžu riešenia ML Aggarwal triedy 10 pre matematiku ICSE kapitola 20 Výšky a vzdialenosti Ex 20. Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa riešení ML Aggarwal triedy 10 pre matematiku ICSE Kapitola 20 Výšky a vzdialenosti Ex 20, napíšte komentár nižšie a my sa vám ozveme najskôr.


Uhol medzi sklonmi zákruty

Snažím sa pochopiť, čo znamená zmena uhla sklonu krivky. Je ťažké to vysvetliť slovami, takže tu je obrázok, ktorý by mal pomôcť.

Červená krivka má deriváciu aproximovanú v troch bodoch. Tangenta v každom bode je tiež zobrazená čiernou farbou. Tieto svahy možno navzájom porovnávať a používať

tan (z) = (m1 + m2) / (1 + m1 * m2) môžeme vypočítať uhol medzi sklonom v jednom bode a v ďalšom.

Ako je znázornené na obrázku, uhol sa na krivke zmenší. Snažím sa prísť na to, čo táto zmena uhla predstavuje. Môj prvý inštinkt je, že sa dá považovať za rýchlosť zmeny sklonu, preto by druhá derivácia mala byť analogická zmene uhla. Uhly sa však menia v dôsledku zakrivenia krivky, takže mám tiež pocit, že ide o akúsi rýchlosť zmeny zakrivenia. Ak by bola krivka kruh, uhol by bol vždy rovnaký, preto by zmena zakrivenia bola nulová.


Pozri si video: Úhly vrcholové, vedlejší, střídavé a souhlasné (December 2021).