Články

11.3: Zákon kozínov


V časti 11.2 sme vyvinuli Sinusov zákon (Theorem ref {lawofsines}), ktorý nám umožňuje riešiť trojuholníky v uhloch 'Angle-Side' (AAS), 'Angle-Side-Angle' (ASA) a nejednoznačné prípady „z uhla na stranu“ (ASS). V tejto časti vyvíjame zákon kosínov, ktorý sa zaoberá riešením trojuholníkov v index {Side-Angle-Side triangle} 'Side-Angle-Side' (SAS) a index {Side-Side-Side triangle} 'Side- Prípady Side-Side '(SSS). Footnote {Tu znamená „Side-Angle-Side“ to, že máme dve strany a „zahrnutý“ uhol - to znamená, že daný uhol susedí s obidvomi danými stranami. } Uvádzame a dokazujeme vetu uvedenú nižšie.

Veta ( PageIndex {1} ): Zákon kozínov

Vzhľadom na trojuholník s opačnými pármi na uhlovej strane (( alpha, a) ), (( beta, b) ) a (( gamma, c) ) platia nasledujúce rovnice

[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc cos ( alpha) qquad b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac cos ( beta) qquad c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos ( gamma) label {lawofcosines} ]

alebo, riešenie kosínusu v každej rovnici, máme

[ cos ( alpha) = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} qquad cos ( beta) = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 - b ^ 2 } {2ac} qquad cos ( gamma) = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ]

Na dokázanie vety uvažujeme generický trojuholník s vrcholom uhla ( alfa ) v počiatku so stranou (b ) umiestnenou pozdĺž kladnej osi (x ).

Z tohto nastavenia okamžite zistíme, že súradnice (A ) a (C ) sú (A (0,0) ) a (C (b, 0) ). Z vety ref {cosinesinecircle} vieme, že keďže bod (B (x, y) ) leží na kružnici s polomerom (c ), súradnice (B ) sú (B (x , y) = B (c cos ( alfa), c sin ( alpha)) ). (To by bola pravda, aj keby ( alpha ) boli tupý alebo pravý uhol, takže aj keď sme nakreslili prípad, keď ( alpha ) je akútny, nasledujúce výpočty platia pre akýkoľvek uhol ( alpha ) v štandardnej polohe kde (0 < alfa <180 ^ { circ} ).) Upozorňujeme, že vzdialenosť medzi bodmi (B ) a (C ) nie je iná ako dĺžka strany ( a ). Pomocou vzorca vzdialenosti, Rovnica ref {distanceformula}, dostaneme

[ begin {array} {rclr} a & = & sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + (c sin ( alpha) - 0) ^ 2} & a ^ {2} & = & left ( sqrt {(c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha)} right) ^ 2 & a ^ 2 & = & (c cos ( alpha) - b) ^ {2} + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 cos ^ 2 ( alpha) - 2bc cos ( alpha) + b ^ 2 + c ^ 2 sin ^ 2 ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 dolava ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) vpravo) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & a ^ 2 & = & c ^ 2 (1) + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha ) & text {Pretože ( cos ^ 2 ( alpha) + sin ^ 2 ( alpha) = 1 )} a ^ 2 & = & c ^ 2 + b ^ 2 - 2bc cos ( alpha) & end {pole} ]

Zvyšné vzorce uvedené v teoréme ( PageIndex {1} ) je možné zobraziť jednoduchým preorientovaním trojuholníka a umiestnením iného vrcholu na počiatok. Tieto podrobnosti necháme na čitateľa. Čo je dôležité v (a ) a ( alpha ) vo vyššie uvedenom dôkaze je, že (( alpha, a) ) je pár uhlov protiľahlý a (b ) a (c ) sú strany susediace s ( alfa ) - to isté sa dá povedať o akomkoľvek inom opačnom páre na strane uhla v trojuholníku. Všimnite si, že dôkaz Zákona kozínov sa opiera o vzorec vzdialenosti, ktorý má korene v Pytagorovej vete. Za týchto okolností možno zákon kozínov považovať za zovšeobecnenie Pytagorovej vety. Ak máme trojuholník, v ktorom ( gamma = 90 ^ { circ} ), potom ( cos ( gamma) = cos vľavo (90 ^ { circ} vpravo) = 0 ) tak dostaneme známy vzťah (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). To znamená, že vo väčšom matematickom zmysle predstavuje zákon kosínov a Pytagorova veta to isté. Footnote {To by nemal byť príliš veľkým šokom. Všetky vety v trigonometrii možno v konečnom dôsledku vysledovať až k definícii kruhových funkcií spolu so vzorcom vzdialenosti, a teda aj Pytagorovou vetou.}

Príklad ( PageIndex {1} ):

Vyriešte nasledujúce trojuholníky. Poskytnite presné odpovede a desatinné priblíženia (zaokrúhlené na stotiny) a nakreslite trojuholník.

  1. ( beta = 50 ^ { circ} label {locsas} ), (a = 7 ) jednotiek, (c = 2 ) jednotiek
  2. (a = 4 label {locsss} ) jednotky, (b = 7 ) jednotky, (c = 5 ) jednotky

Riešenie

  1. Dostaneme dĺžky dvoch strán (a = 7 ) a (c = 2 ) a mieru zahrnutého uhla ( beta = 50 ^ { circ} ). Bez použitia opačného páru na strane uhla aplikujeme Zákon kosínov. Dostaneme (b ^ 2 = 7 ^ 2 + 2 ^ 2 - 2 (7) (2) cos vľavo (50 ^ { circ} vpravo) ), ktoré prinesú (b = sqrt {53- 28 cos left (50 ^ { circ} right)} cca 5,92 ) jednotiek. Aby sme určili miery zostávajúcich uhlov ( alpha ) a ( gamma ), sme nútení použiť odvodenú hodnotu pre (b ). V tomto okamihu existujú dva spôsoby, ako postupovať. Mohli by sme znova použiť Zákon kosínusov, alebo, pretože máme opačný pár na uhlovej strane (( beta, b) ), mohli by sme použiť zákon Sínusov. Výhodou použitia zákona kosínusov pred zákonom sínusov v prípadoch, ako je tento, je to, že na rozdiel od sínusovej funkcie kosínová funkcia rozlišuje medzi ostrými a tupými uhlami. Kosínus akútnej situácie je kladný, zatiaľ čo kosínus tupého uhla je záporný. Pretože sínus ostrého aj tupého uhla je kladný, sínus samotného uhla nestačí na zistenie, či je predmetný uhol ostrý alebo tupý. Pretože obaja autori učebnice uprednostňujú Zákon kosínov, postupujeme najskôr touto metódou. Pri použití Zákona kosínusov je vždy najlepšie nájsť najskôr mieru najväčšieho neznámeho uhla, pretože tým získame tupý uhol trojuholníka, ak existuje. Pretože najväčší uhol je oproti najdlhšej strane, rozhodli sme sa nájsť ako prvé ( alpha ). Na tento účel použijeme vzorec ( cos ( alpha) = frac {b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2} {2bc} ) a dosadíme (a = 7 ), (b = sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)} ) a (c = 2 ). Získame footnote {po zjednodušení ldots} [ cos ( alpha) = frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} ] Pretože ( alpha ) je uhol v trojuholníku, vieme, že radiánska miera ( alpha ) musí ležať medzi (0 ) a ( pi ) radiány. Toto sa zhoduje s rozsahom arkkozínovej funkcie, takže máme [ alpha = arccos left ( frac {2-7 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} right) , text {radians} , cca 114,99 ^ { circ} ] V tomto okamihu by sme mohli nájsť ( gamma ) pomocou ( gamma = 180 ^ { circ} - alfa - beta pribl. 180 ^ { circ} - 114,99 ^ { circ} - 50 ^ { circ} = 15,01 ^ { circ} ) , to znamená, že dôverujeme našej aproximácii pre ( alpha ). Aby sme minimalizovali šírenie chýb, mohli by sme znova použiť Zákon kosínov, footnote {Váš inštruktor vás informuje, aký postup máte použiť. Všetko sa scvrkáva na to, do akej miery svojej kalkulačke dôverujete.} V takom prípade použite ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} ). Pripojením (a = 7 ), (b = sqrt {53-28 cos vľavo (50 ^ { circ} vpravo)} ) a (c = 2 ) dostaneme ( gamma = arccos left ( frac {7-2 cos left (50 ^ { circ} right)} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right) }} vpravo) ) radiány ( približne 15,01 ^ { circ} ). Nižšie načrtneme trojuholník.

Ako sme už spomenuli, akonáhle určíme (b ), je možné pomocou sinusového zákona nájsť zostávajúce uhly. Tu však musíme postupovať opatrne, pretože sme v nejednoznačnom prípade (ASS). Odporúča sa najskôr nájsť textit {najmenší} z neznámych uhlov, pretože máme zaručené, že bude ostrý. Footnote {V trojuholníku môže byť iba jeden textit {tupý} uhol, a ak existuje, musí to byť najväčší.} V takom prípade by sme našli ( gamma ), pretože strana oproti ( gamma ) je menšia ako strana oproti druhému neznámemu uhlu, ( alpha ). Použitím opačného páru na strane uhla (( beta, b) ) dostaneme ( frac { sin ( gamma)} {2} = frac { sin (50 ^ { circ})} { sqrt {53-28 cos left (50 ^ { circ} right)}} ). Zvyčajné výpočty produkujú ( gamma približne 15,01 ^ { circ} ) a ( alpha = 180 ^ { circ} - beta - gamma približne 180 ^ { circ} - 50 ^ { circ } - 15.01 ^ { circ} = 114,99 ^ { circ} ).

  1. Pretože nie sú dané všetky tri strany a nie sú žiadne uhly, sme nútení používať Zákon kozínov. Po diskusii o predchádzajúcom probléme nájdeme najskôr ( beta ), pretože je na opačnej strane ako najdlhšia strana, (b ). Dostaneme ( cos ( beta) = frac {a ^ 2 + c ^ 2-b ^ 2} {2ac} = - frac {1} {5} ), takže dostaneme ( beta = arccos left (- frac {1} {5} right) ) radiány ( približne 101,54 ^ { circ} ). Rovnako ako v predchádzajúcom probléme, aj teraz, keď sme získali opačný pár na strane uhla (( beta, b) ), môžeme pokračovať pomocou sinusového zákona. Zákon kosínov nám však ponúka vzácnu príležitosť nájsť zostávajúce uhly pomocou textit {only} údajov, ktoré sme dostali vo vyjadrení problému. Pomocou toho získame ( gamma = arccos left ( frac {5} {7} right) ) radiány ( cca 44,42 ^ { circ} ) a ( alpha = arccos vľavo ( frac {29} {35} vpravo) ) radiány ( približne 34,05 ^ { circ} ).

Poznamenávame, že v závislosti od toho, koľko desatinných miest sa prevedie po sebe idúcimi výpočtami, a v závislosti od toho, aký prístup sa použije na vyriešenie problému, sa približné odpovede, ktoré získate, môžu mierne líšiť od odpovedí, ktoré dostanú autori v príkladoch a cvičeniach. Skvelým príkladom je číslo ref {locsss} v príklade ref {locex}, kde hodnoty textit {přibližné}, ktoré zaznamenávame pre miery súčtov uhlov do (180,01 ^ { circ} ), ktoré je geometricky nemožné. Ďalej tu máme aplikáciu Zákona kozínov.

Príklad ( PageIndex {2} ): lokalizácia

Vedec chce určiť šírku jarného jazierka, ako je uvedené nižšie. Z bodu (P ) zistí, že vzdialenosť od najvýchodnejšieho bodu rybníka je stopy (950 ), zatiaľ čo vzdialenosť od najzápadnejšieho bodu rybníka od (P ) je (1 000) stôp. Ak je uhol medzi dvoma zornými čiarami (60 ^ { circ} ), nájdite šírku rybníka.

Riešenie

Dostaneme dĺžky dvoch strán a mieru zahrnutého uhla, takže môžeme použiť Zákon kozínov, aby sme našli dĺžku chýbajúcej strany oproti danému uhlu. Volaním tejto dĺžky (w ) (pre textit {šírka}) dostaneme (w ^ 2 = 950 ^ 2 + 1000 ^ 2 - 2 (950) (1000) cos doľava (60 ^ { cir. } right) = 952500 ), z ktorých dostaneme (w = sqrt {952500} približne 976 ) stôp.

V časti 11.2 sme použili dôkaz sinového zákona na vyvinutie vety {areaformulasine} ako alternatívneho vzorca pre oblasť ohraničenú trojuholníkom. V tejto časti používame zákon kozínov na odvodenie ďalšieho takého vzorca - Heronov vzorec.

Poznámka: Heronov vzorec

Predpokladajme, že (a ), (b ) a (c ) označujú dĺžky troch strán trojuholníka. Nech (s ) je semiperimeter trojuholníka, to znamená, nech (s = frac {1} {2} (a + b + c) ). Potom je plocha (A ) uzavretá trojuholníkom daná znakom

[A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} label {HeronsFormula} ]

Theorem ref {HeronsFormula} dokazujeme pomocou Theorem ref {areaformulasine}. Ak použijeme konvenciu, že uhol ( gamma ) je oproti strane (c ), máme (A = frac {1} {2} ab sin ( gamma) ) z vety ref { areaformulasine}. Aby sme výpočty zjednodušili, začneme manipuláciou výrazu pre (A ^ 2 ).

[ begin {array} {rclr} A ^ 2 & = & left ( dfrac {1} {2} ab sin ( gamma) right) ^ 2 & & = & dfrac {1} {4} a ^ 2 b ^ 2 sin ^ {2} ( gamma) & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} doľava (1 - cos ^ {2} ( gamma) right) & text {since ( sin ^ 2 ( gamma) = 1 - cos ^ {2} ( gamma) ).} end {pole} ]

Zákon kosínov nám hovorí ( cos ( gamma) = frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab} ), takže to dosadíme do našej rovnice pre (A ^ 2 ) dáva

[ begin {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} doľava (1 - cos ^ {2} ( gamma) doprava) & text { hphantom {perfektné štvorcové trojčlenky.}} & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} doľava [1 - doľava ( dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} { 2ab} vpravo) ^ 2 vpravo] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} doľava [1 - dfrac { doľava (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} right] & & = & dfrac {a ^ 2b ^ 2} {4} left [ dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - left ( a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 vpravo) ^ 2} {4a ^ 2b ^ 2} vpravo] & & = & dfrac {4a ^ 2 b ^ 2 - vľavo (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 vpravo) ^ 2} {16} & & = & dfrac {(2ab) ^ 2 - vľavo (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 vpravo) ^ 2 } {16} & & = & dfrac { left (2ab - left [a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right] right) left (2ab + left [a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 right] right)} {16} & text {rozdiel štvorcov.} & = & dfrac { left (c ^ 2 - a ^ 2 + 2ab - b ^ 2 right) left (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2- c ^ 2 right)} {16} & end {array} ]

[ begin {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac { left (c ^ 2 - left [a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 right] right) left ( left [ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 right] - c ^ 2 right)} {16} & & = & dfrac { left (c ^ 2 - (ab) ^ 2 right) left ( (a + b) ^ 2- c ^ 2 vpravo)} {16} & text {trojuholníky dokonalých štvorcov.} & = & dfrac {(c- (ab)) (c + (ab)) (( a + b) -c) ((a + b) + c)} {16} & text {rozdiel štvorcov.} & = & dfrac {(b + ca) (a + cb) (a + bc) (a + b + c)} {16} & & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac { (a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & end {pole} ]

V tejto fáze rozpoznávame posledný faktor ako semiperimeter, (s = frac {1} {2} (a + b + c) = frac {a + b + c} {2} ). Na doplnenie dôkazu to poznamenávame

[(s - a) = dfrac {a + b + c} {2} - a = dfrac {a + b + c-2a} {2} = dfrac {b + c-a} {2} ]

Podobne nájdeme ((s-b) = frac {a + c-b} {2} ) a ((s-c) = frac {a + b-c} {2} ). Preto máme

[ begin {array} {rclr} A ^ 2 & = & dfrac {(b + ca)} {2} cdot dfrac {(a + cb)} {2} cdot dfrac {(a + bc)} {2} cdot dfrac {(a + b + c)} {2} & & = & (sa) (sb) (sc) s & end {pole} ]

takže (A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} ) podľa potreby.

Na záver uvádzame príklad Heronovho vzorca.

Príklad ( PageIndex {3} ): heronex

Vyhľadajte oblasť uzavretú trojuholníkom v príklade ref {locex} number ref {locsss}.

Riešenie

Dostaneme (a = 4 ), (b = 7 ) a (c = 5 ). Pomocou týchto hodnôt nájdeme (s = frac {1} {2} (4 + 7 + 5) = 8 ), ((s - a) = 8 - 4 = 4 ), ((sb ) = 8-7 = 1 ) a ((sc) = 8-5 = 3 ). Pomocou Heronovho vzorca dostaneme (A = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = sqrt {(8) (4) (1) (3)} = sqrt {96} = 4 štvorcový {6} približne 9,80 ) štvorcových jednotiek. qed


5 11 12 trojuholník

Uhol & uhol A = α = 24,6 2 199773287 ° = 24 ° 37'12 & Prime = 0,4 3 296996662 rad
Uhol & uhol B = β = 66,42 2 18215218 ° = 66 ° 25'19 & Prime = 1,15 9 92794807 rad
Uhol & uhol C = γ = 88,95 8 82011495 ° = 88 ° 57'30 & Prime = 1,55 3 26135067 rad

Výška: ha = 10.99 8 81816679
Výška: hb = 4.99 9 91734854
Výška: hc = 4.58 3 2575695

Medián: ma = 11.23 6 61025271
Medián: mb = 7.36 5 54599313
Medián: mc = 6.08 3 27625303

Inradius: r = 1,96 4 39610121
Circumradius: R = 6,00 1 09919815

Súradnice vrcholov: A [12 0] B [0 0] C [2 4,58 3 2575695]
Ťažisko: CG [4,66 7 66666667 1,52 8 75252317]
Súradnice opísanej kružnice: U [6 0,10 9 91089451]
Súradnice vpísaného kruhu: I [3 1,96 4 39610121]

Vonkajšie (alebo vonkajšie, vonkajšie) uhly trojuholníka:
& uhol A '= α' = 155,3 8 80022671 ° = 155 ° 22'48 & Prime = 0,4 3 296996662 rad
& uhol B '= β' = 113,57 8 8178478 ° = 113 ° 34'41 & Prime = 1,15 9 92794807 rad
& uhol C '= γ' = 91,04 2 17988505 ° = 91 ° 2'30 & Prime = 1,55 3 26135067 rad


SAV& # 8221 je, keď poznáme dve strany a uhol medzi nimi. Použi Zákon kosínov pre výpočet neznámej strany, potom použite Zákon zo Sines vyhľadajte menší z ostatných dvoch uhlov a potom pomocou troch uhlov sčítaných do 180 ° nájdite posledný uhol.

The Kosínus Pravidlo môcť použiť v ľubovoľný trojuholník kde sa snažíte spojiť všetko tri strany do jedného uhla. Ak potrebujete zistiť dĺžku strany, musíte poznať ďalšie dve strany a opačný uhol. Nezáleží na tom, ktorým smerom okolo seba postavíte strany b a c - bude práca aj tak aj tak.


FENOMÉNY POVRCHOV A ROZHRANÍ

4.1.7 Rýchlosť rastu vs vzdialenosť medzi držiakom substrátu a horúcim vláknom

Až do určitého kritického teplotného rozsahu - 750 K rýchlosť rastu V.G závisí výlučne od hustoty a účinnosti napájania dopadajúceho toku. Aj za takýchto relatívne nízkych teplôt závislosť V.G(Ľ) nesleduje štvorcové minimum. Smerový smer toku je zameraný silnejšie, ako by sa dalo očakávať od „kosínového zákona“ jednoduchého výparníka. Je to spôsobené charakterom počiatočnej emisie pár z mikroporéznej keramiky. Elektrické pole navyše zosilňuje smerový tok toku.

Obrázok 20 zobrazuje graf V.G(Ľ) pre rovnakú komoru a otvorený plazmatrón. V rozmedzí od Ľ > 4 cm je pozorovaná závislosť blízka V G ∼ L - 1 1 2. Závislosť V.G ∼ 1/Ľ sa môže aktualizovať pomocou semiklozovaného plazmatrónu obklopeného valcovitým sitom. Na základe tejto geometrie reaktora sa dosiahla rýchlosť rastu 40 mm / h počas 3-hodinovej depozície. Aj keď skríning zvyšuje výťažok depozície v danom plnom uhle, celkový výťažok procesu sa môže znížiť kvôli vedľajším fyzikálno-chemickým javom na skríningu.

20. Obr. Tempo rastu vs vzdialenosť medzi substrátom a horúcim vláknom.

Intenzifikácia procesu nanášania pomocou geometrie na krátke vzdialenosti má niekoľko zjavných obmedzení v dôsledku nevyhnutného zvýšenia teploty substrátu. Nielenže zvýšenie teploty mení rastový mechanizmus a štruktúru filmu, ako bolo diskutované vyššie, ale pri teplote> 800 K sa rýchlosť rastu znižuje v dôsledku zosilnenej desorpcie prekurzorových radikálov z prednej časti rastu.

Vodou chladený chladič môže byť užitočný pre špeciálne aplikácie, aj keď ho nemožno považovať za univerzálne riešenie. Perspektívnejšou by mala byť optimalizovaná plazmatrónová konštrukcia minimalizujúca teplotu katódy a priame ožarovanie substrátov.


Nepravé trojuholníky: zákon kosínov

Predpokladajme, že čln opustí prístav, prejde 10 míľ, otočí sa o 20 stupňov a prejde ďalších 8 míľ, ako je to znázornené na obrázku (Obrázok). Ako ďaleko od prístavu je loď?

Postava 1.

Bohužiaľ, zatiaľ čo zákon Sines nám umožňuje venovať sa mnohým prípadom nepravouhlých trojuholníkov, nepomáha nám pri trojuholníkoch, kde je známy uhol medzi dvoma známymi stranami, trojuholníkom SAS (bočný uhol-bočný), alebo keď sú všetky tri strany sú známe, ale nie sú známe žiadne uhly, trojuholník SSS (side-side-side). V tejto časti preskúmame ďalší nástroj na riešenie šikmých trojuholníkov opísaných v týchto dvoch posledných prípadoch.

Využitie zákona kozínov na riešenie šikmých trojuholníkov

Nástrojom, ktorý potrebujeme na vyriešenie problému so vzdialenosťou člna od prístavu, je Zákon kosínov, ktorá definuje vzťah medzi meraniami uhlov a dĺžkami strán v šikmých trojuholníkoch. Zákon o kozínoch tvoria tri vzorce. Na prvý pohľad sa vzorce môžu zdať komplikované, pretože obsahujú veľa premenných. Akonáhle je však vzor pochopený, s kosínovým zákonom sa dá ľahšie pracovať ako s väčšinou vzorcov na tejto matematickej úrovni.

Pochopenie toho, ako sa odvodzuje zákon kozínov, pomôže pri používaní vzorcov. Derivácia začína zovšeobecnenou Pytagorovou vetou, ktorá je rozšírením Pytagorovej vety o neregulárne trojuholníky. Funguje to takto: Ľubovoľný nepravý trojuholníkje umiestnený v súradnicovej rovine s vrcholompri vzniku, stranenakreslené pozdĺž X-osa a vrcholnachádza sa v určitom okamihuv rovine, ako je znázornené na (obrázku). Spravidla existujú trojuholníky kdekoľvek v rovine, ale pre toto vysvetlenie umiestnime trojuholník tak, ako je uvedené.

Obrázok 2.

Môžeme klesnúť kolmo zdo X-os (to je nadmorská výška alebo výška). Pripomíname základné trigonometrické identity, vieme to

V zmysleaThebod nachádzajúci sa namá súradnicePomocou bočnej stranyako jedna noha pravého trojuholníka aako druhú nohu môžeme zistiť dĺžku preponypomocou Pytagorovej vety. Teda

Odvodený vzorec je jednou z troch rovníc Zákona kozínov. Ostatné rovnice sa nachádzajú podobným spôsobom.

Majte na pamäti, že pri riešení uhlov alebo strán je vždy užitočné načrtnúť trojuholník. V scenári zo skutočného sveta sa pokúste nakresliť diagram situácie. Keď sa objaví viac informácií, bude možno potrebné diagram zmeniť. Vykonajte tieto zmeny v diagrame a nakoniec sa problém bude ľahšie riešiť.

Zákon kosínov

Zákon kosínov tvrdí, že štvorec ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov druhých dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu ostatných dvoch strán a kosínusu zahrnutého uhla. Pre trojuholníky označené ako na obrázku (Obrázok), s uhlami a a protiľahlé zodpovedajúce strany aZákon kosínov je daný ako tri rovnice.

Obrázok 3.

Na riešenie merania chýbajúcej strany je potrebné zodpovedajúce meranie opačného uhla.

Pri riešení uhla je potrebná zodpovedajúca miera na opačnej strane. Na riešenie uhla môžeme použiť inú verziu Zákona kozínov.

Vzhľadom na dve strany a uhol medzi nimi (SAS) nájdite miery zostávajúcej strany a uhly trojuholníka.

  1. Načrtnite trojuholník. Určte miery známych strán a uhlov. Použite premenné na vyjadrenie mier neznámych strán a uhlov.
  2. Použite zákon kozínov na zistenie dĺžky neznámej strany alebo uhla.
  3. Použite zákon sinusov alebo kosínusov na nájdenie miery druhého uhla.
  4. Vypočítajte mieru zostávajúceho uhla.

Nájdenie neznámej strany a uhlov trojuholníka SAS

Nájdite neznámu stranu a uhly trojuholníka v (obrázok).

Obrázok 4.

Najskôr si všimnite, čo je dané: dve strany a uhol medzi nimi. Táto dohoda je klasifikovaná ako SAS a poskytuje údaje potrebné na uplatnenie zákona o kozínoch.

Každý jeden z troch zákonov kosínu začína štvorcom neznámej strany oproti známemu uhlu. Pre tento príklad je prvou stranou, ktorú treba vyriešiť, stranaako poznáme meranie opačného uhla

Pretože riešime dĺžku, použijeme iba kladnú druhú odmocninu. Teraz, keď vieme dĺžkumôžeme použiť sinusový zákon na vyplnenie zostávajúcich uhlov trojuholníka. Riešenie pre uholmáme

Iná možnosť prebolo byV pôvodnom diagramesusedí s najdlhšou stranou, takžeje ostrý uhol, a pretonedáva zmysel. Všimnite si, že ak sa rozhodneme uplatniť zákon kozínov, dospejeme k jedinečnej odpovedi. Nemusíme brať do úvahy ďalšie možnosti, pretože kosínus je jedinečný pre uhly medziaPokračujem spotom môžeme nájsť tretí uhol trojuholníka.

Kompletná sada uhlov a strán je

[/ skrytá odpoveď]

11.3: Zákon kozínov

Prednáška 5.4, Zákon kosínov

Poznámky a cvičenia k prednáške 5.4

Poznámky k prednáške 5.4 Law of Cosines.pdf (Ken’s lecture notes on the sum and difference formulas, in pdf)

WS_5_4_LawOfCosines.pdf (Pracovný list s precvičovaním tohto materiálu, v pdf)

S & ampZ 11.2-11.3.pdf (Relevantná časť z bezplatnej učebnice Stitz & amp Zeager, v pdf)

Video podcasty na prednáške 5.4

5.4a Zákon kosínov.mov (krátky podcast o zákone kosínov).

5.4b Herons Formula & amp Five Guys.mov (krátke podcasty o niektorých výsledkoch týkajúcich sa zákona kosínov).

Skrátené podcastové poznámky k prednáške 5.4

Prezentácie (diapozitívy bez zvuku) na prednáške 5.4

Odporúčané externé odkazy na prednášku 5.4

Matematické poznámky Dr. Paula Dawkina k.

Zákon kosínov, zovšeobecnenie Pytagorovej vety, nám umožňuje úplne vyriešiť trojuholníky, keď dostaneme tri časti trojuholníka, nie všetky uhly. Tu vyvinieme zákon kosínov a potom ho použijeme.

Poznámky k prednáške (Dr. Ken W. Smith) sú k dispozícii v troch formátoch:

1. napísané ako učebnicová časť (v pdf)

2. ako podcast (v 2 častiach), doplnený skrátenými poznámkami 4 ku 1.

3. ako krátka prezentácia (snímky bez zvuku, v dvoch častiach)

K dispozícii sú tiež triedne cvičenia (pracovný list 5.1) a súvisiaca časť učebnice od spoločnosti Stitz & amp Zeager.


Zákon kosínov platí pre akýkoľvek trojuholník s dĺžkami strán a, b, ca uhlami A, B, C. Všimnite si, že ak C je pravý uhol, potom cos (C) = 0 a zákon kosínov sa redukujú na Pytagorovu vetu: a 2 + b 2 = c 2. Tu by c bola dĺžka prepony pravého trojuholníka.

Pamätajte, že dĺžka neznámej strany c sa neustále prepočítava pomocou Zákona kozínov. Zákon kosínov je nástroj na riešenie trojuholníkov. Z toho môžete pomocou Zákona kozínov nájsť tretiu stranu. Funguje na akýkoľvek trojuholník, nielen na pravé trojuholníky.


Obsah

Aj keď v jeho dobe ešte nebol vyvinutý pojem kosínus, Euklidov Prvky, ktorá sa datuje do 3. storočia pred naším letopočtom, obsahuje ranú geometrickú vetu takmer ekvivalentnú zákonu kosínov. Prípady tupých trojuholníkov a ostrých trojuholníkov (zodpovedajúce dvom prípadom záporného alebo kladného kosínu) sa riešia osobitne, v propozíciách 12 a 13 z knihy 2. V Euklidovom čase absentujú trigonometrické funkcie a algebra (najmä záporné čísla) vyhlásenie má geometrickejšiu príchuť:

Propozícia 12
V trojuholníkoch s tupým uhlom je štvorec na strane tvoriacej tupý uhol väčší ako štvorce na stranách, ktoré obsahujú tupý uhol, o dvojnásobok obdĺžnika, ktorý obsahuje jedna zo strán okolo tupého uhla, menovite tej, na ktorú kolmo padá, a priamka odrezaná zvonka kolmicou k tupému uhlu.

Pomocou zápisu ako na obrázku 2 možno Euklidovo tvrdenie reprezentovať vzorcom

Tento vzorec možno transformovať do zákona kosínov tým, že si to všimneme CH = (CB) cos (π - y) = −(CB) cos y . Návrh 13 obsahuje úplne analogické tvrdenie pre ostré trojuholníky.

Euklidov Prvky vydláždila cestu pre objav zákona kosínov. V 15. storočí poskytol perzský matematik a astronóm Jamshīd al-Kāshī prvé výslovné vyjadrenie zákona o kosínoch vo forme vhodnej na trianguláciu. Poskytol presné trigonometrické tabuľky a vyjadril vetu vo forme vhodnej pre moderné použitie. Od 90. rokov sa vo Francúzsku zákon o kosínoch stále označuje ako Théorème d'Al-Kashi. [1] [3] [4]

Túto vetu popularizoval v západnom svete François Viète v 16. storočí. Na začiatku 19. storočia umožňovala moderná algebraická notácia písať zákon kosínov v súčasnej symbolickej podobe.

Veta sa používa pri triangulácii na riešenie trojuholníka alebo kruhu, t. J. Na nájdenie (pozri obrázok 3):

  • tretia strana trojuholníka, ak pozná dve strany a uhol medzi nimi:
  • uhly trojuholníka, ak poznáme tri strany:
  • tretia strana trojuholníka, ak poznáte dve strany a uhol opačný k jednej z nich (ak to je pravý trojuholník, môžete na to použiť aj Pytagorovu vetu):

Tieto vzorce vytvárajú vysoké zaokrúhľovacie chyby vo výpočtoch s pohyblivou rádovou čiarkou, ak je trojuholník veľmi ostrý, t. J. Ak c je malý v porovnaní s a a b alebo y je malý v porovnaní s 1. Je dokonca možné získať výsledok o niečo väčší ako jeden pre kosínus uhla.

Tretí zobrazený vzorec je výsledkom riešenia pre a v kvadratickej rovnici a 2 − 2ab cos y + b 2 − c 2 = 0. Táto rovnica môže mať 2, 1 alebo 0 kladných riešení zodpovedajúcich počtu možných trojuholníkov, ktorým boli dané údaje. Bude mať dve pozitívne riešenia, ak b hriech y & lt c & lt b , iba jedno pozitívne riešenie, ak c = b hriech y , a žiadne riešenie, ak c & lt b hriech y . Tieto rôzne prípady sa tiež vysvetľujú nejednoznačnosťou kongruencie bočného uhla.

Pomocou vzorca vzdialenosti Upraviť

Zvážte trojuholník so stranami dĺžky a , b , c , kde θ je meranie uhla oproti strane dĺžky c . Tento trojuholník je možné umiestniť na karteziánsky súradnicový systém zarovnaný s okrajom a s pôvodom v C vynesením zložiek 3 bodov trojuholníka, ako je znázornené na obr. 4:

Zarovnanie oboch strán a zjednodušenie

Výhodou tohto dôkazu je, že nevyžaduje zohľadnenie rôznych prípadov, keď je trojuholník ostrý, pravý alebo tupý.

Pomocou trigonometrie Upraviť

Spustenie kolmice na bok c cez bod C. , ukazuje nadmorská výška trojuholníka (pozri obr. 5)

(Toto stále platí, ak α alebo β je tupé, v takom prípade kolmica spadá mimo trojuholník.) Vynásobením pomocou c výnosy

Ak vezmeme do úvahy ďalšie dve nadmorské výšky trojuholníka, vydá sa

Sčítaním posledných dvoch rovníc získate

Výsledkom odpočítania prvej rovnice od poslednej je

Tento dôkaz využíva trigonometriu v tom, že zaobchádza s kosínusmi rôznych uhlov ako s vlastnými množstvami. Využíva skutočnosť, že kosínus uhla vyjadruje vzťah medzi dvoma stranami, ktoré tento uhol obklopujú akýkoľvek správny trojuholník. Ostatné dôkazy (nižšie) sú geometrickejšie v tom, že sa nimi zaobchádza s výrazom ako napr a cos y iba ako štítok pre dĺžku určitého úsečky.

Mnoho dôkazov sa zaoberá prípadmi tupých a ostrých uhlov y oddelene.

Pomocou Pytagorovej vety upravte

Prípad tupého uhla Upraviť

Euklid túto vetu dokázal uplatnením Pytagorovej vety na každý z dvoch pravouhlých trojuholníkov na obrázku ( AHB a CHB ). Použitím d na označenie úsečky CH a h na výšku BH , trojuholník AHB dáva nám

a trojuholník CHB dáva

Dosadením druhej rovnice do tejto rovnice je možné získať:

Toto je Euklidov návrh 12 z knihy 2 knihy Prvky. [5] Ak ho chcete transformovať do modernej podoby zákona kosínov, všimnite si to

d = a cos ⁡ (π - γ) = - a cos ⁡ γ.

Prípad ostrého uhla Upraviť

Euklidov dôkaz jeho Propozície 13 postupuje rovnako ako jeho Propozícia 12: aplikuje Pytagorovu vetu na oba pravé trojuholníky, ktoré vzniknú spustením kolmice na jednu zo strán ohraničujúcich uhol y a na zjednodušenie používa binomickú vetu.

Ďalší dôkaz v akútnom prípade Edit

Použitím väčšej trigonometrie možno zákon kosínov odvodiť pomocou Pytagorovej vety iba raz. V skutočnosti možno pomocou pravého trojuholníka na ľavej strane obr. 6 preukázať, že: c 2 = (b - a cos ⁡ γ) 2 + (a sin ⁡ γ) 2 = b 2 - 2 ab cos ⁡ γ + a 2 cos 2 ⁡ γ + a 2 hriech 2 ⁡ γ = b 2 + a 2 - 2 ab cos ⁡ γ, < Displaystyle < začať quad c ^ <2> & amp = (ba cos gamma) ^ <2> + (a sin gamma) ^ <2> & amp = b ^ <2> -2ab cos gamma + a ^ <2> cos ^ <2> gamma + a ^ <2> sin ^ <2> gamma & amp = b ^ <2> + a ^ <2> -2ab cos gamma, koniec>>

Tento dôkaz je potrebné mierne upraviť, ak b & lt a cos (y). V takom prípade sa pohybuje pravý trojuholník, na ktorý sa vzťahuje Pytagorova veta vonku trojuholník ABC . Jediný vplyv, ktorý to má na výpočet, je množstvo ba cos (y) sa nahrádza a cos (y) − b. Pretože táto veličina vstupuje do výpočtu iba cez svoj štvorec, zvyšok dôkazu zostane nedotknutý. Tento problém sa však vyskytuje iba vtedy, keď β je tupý a dá sa mu vyhnúť odrazom trojuholníka okolo dvojsečky y .

S odkazom na obr. 6 stojí za zmienku, že ak je uhol opačnej strany a je α potom:

To je užitočné pre priamy výpočet druhého uhla, keď sú dané dve strany a zahrnutý uhol.

Pomocou Ptolemaiovej vety upravte

Podľa diagramu trojuholník ABC s bočnicami AB = c , Pred Kr = a a AC = b je nakreslená vo vnútri svojho kruhu, ako je to znázornené. Trojuholník ABD je konštruovaná v súlade s trojuholníkom ABC s AD = Pred Kr a BD = AC . Kolmice z D a C. stretnúť základňu AB o E a F resp. Potom:

Teraz je zákon kosínov vykreslený priamou aplikáciou Ptolemaiovej vety na cyklický štvoruholník A B C D :

Jednoducho, ak je uhol B má teda pravdu A B C D je obdĺžnik a aplikácia Ptolemaiovej vety poskytuje Pytagorovu vetu:

Porovnaním oblastí Upraviť

Zákon kosínov je možné dokázať aj výpočtom plôch. Zmena znamienka ako uhla y stáva tupým, je potrebné rozlišovať medzi prípadmi.

  • a 2 , b 2 a c 2 sú plochy štvorcov so stranami a , b a c , resp
  • ak y je teda akútna ab cos y je plocha rovnobežníka so stranami a a b zvierajúci uhol γ ′ =
  • π / 2 - y
  • ak y je tupý, a tak cos y je záporné, potom -ab cos y je plocha rovnobežníka so stranami a a b zvierajúci uhol γ ′ = y
  • π / 2.

Akútny prípad. Obrázok 7a zobrazuje heptagón rozrezaný na menšie kúsky (dvoma rôznymi spôsobmi), aby poskytol dôkaz zákona kosínov. Rôzne kúsky sú

  • v ružovej, oblasti a 2 , b 2 vľavo a oblasti 2ab cos y a c 2 vpravo
  • modrou farbou, trojuholník ABC , vľavo a vpravo
  • v šedej farbe, pomocné trojuholníky, všetky zodpovedajú ABC , an equal number (namely 2) both on the left and on the right.

The equality of areas on the left and on the right gives

Obtuse case. Figure 7b cuts a hexagon in two different ways into smaller pieces, yielding a proof of the law of cosines in the case that the angle γ is obtuse. Máme

  • in pink, the areas a 2 , b 2 , and −2ab cos γ on the left and c 2 on the right
  • in blue, the triangle ABC twice, on the left, as well as on the right.

The equality of areas on the left and on the right gives

The rigorous proof will have to include proofs that various shapes are congruent and therefore have equal area. This will use the theory of congruent triangles.

Using geometry of the circle Edit

Using the geometry of the circle, it is possible to give a more geometric proof than using the Pythagorean theorem alone. Algebraic manipulations (in particular the binomial theorem) are avoided.

Case of acute angle γ , kde a > 2b cos γ . Drop the perpendicular from A onto a = BC , creating a line segment of length b cos γ . Duplicate the right triangle to form the isosceles triangle ACP . Construct the circle with center A a polomer b , and its tangent h = BH through B . The tangent h forms a right angle with the radius b (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 18 or see here), so the yellow triangle in Figure 8 is right. Apply the Pythagorean theorem to obtain

Then use the tangent secant theorem (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 36), which says that the square on the tangent through a point B outside the circle is equal to the product of the two lines segments (from B ) created by any secant of the circle through B . In the present case: BH 2 = BC·BP , or

Substituting into the previous equation gives the law of cosines:

Poznač si to h 2 is the power of the point B with respect to the circle. The use of the Pythagorean theorem and the tangent secant theorem can be replaced by a single application of the power of a point theorem.

Case of acute angle γ , kde a < 2b cos γ . Drop the perpendicular from A onto a = BC , creating a line segment of length b cos γ . Duplicate the right triangle to form the isosceles triangle ACP . Construct the circle with center A a polomer b , and a chord through B perpendicular to c = AB, half of which is h = BH. Apply the Pythagorean theorem to obtain

Teraz použite chord theorem (Euclid's Elements: Book 3, Proposition 35), which says that if two chords intersect, the product of the two line segments obtained on one chord is equal to the product of the two line segments obtained on the other chord. In the present case: BH 2 = BC·BP, or

Substituting into the previous equation gives the law of cosines:

Note that the power of the point B with respect to the circle has the negative value −h 2 .

Case of obtuse angle γ . This proof uses the power of a point theorem directly, without the auxiliary triangles obtained by constructing a tangent or a chord. Construct a circle with center B a polomer a (see Figure 9), which intersects the secant through A a C. v C. a K . The power of the point A with respect to the circle is equal to both AB 2 − BC 2 and AC·AK . Preto

which is the law of cosines.

Using algebraic measures for line segments (allowing negative numbers as lengths of segments) the case of obtuse angle ( CK > 0 ) and acute angle ( CK < 0 ) can be treated simultaneously.

Using the law of sines Edit

By using the law of sines and knowing that the angles of a triangle must sum to 180 degrees, we have the following system of equations (the three unknowns are the angles):

Then, by using the third equation of the system, we obtain a system of two equations in two variables:

where we have used the trigonometric property that the sine of a supplementary angle is equal to the sine of the angle.

sin ⁡ ( α + γ ) = sin ⁡ α cos ⁡ γ + sin ⁡ γ cos ⁡ α

By dividing the whole system by cos γ , we have:

Hence, from the first equation of the system, we can obtain

By substituting this expression into the second equation and by using

we can obtain one equation with one variable:

By multiplying by (bc cos α) 2 , we can obtain the following equation:

Recalling the Pythagorean identity, we obtain the law of cosines:

Using vectors Edit

Taking the dot product of each side with itself:

Kedy a = b , i.e., when the triangle is isosceles with the two sides incident to the angle γ equal, the law of cosines simplifies significantly. Namely, because a 2 + b 2 = 2a 2 = 2ab , the law of cosines becomes

An analogous statement begins by taking α , β , γ , δ to be the areas of the four faces of a tetrahedron. Denote the dihedral angles by β γ ^ >> etc. Then [6]

When the angle, γ , is small and the adjacent sides, a a b , are of similar length, the right hand side of the standard form of the law of cosines can lose a lot of accuracy to numerical loss of significance. In situations where this is an important concern, a mathematically equivalent version of the law of cosines, similar to the haversine formula, can prove useful:

c 2 = ( a − b ) 2 + 4 a b sin 2 ⁡ ( γ 2 ) = ( a − b ) 2 + 4 a b haversin ⁡ ( γ ) . c^<2>&=(a-b)^<2>+4absin ^<2>left(<2>> ight)&=(a-b)^<2>+4aboperatorname (gamma ).end>>

In the limit of an infinitesimal angle, the law of cosines degenerates into the circular arc length formula, c = a γ .

Versions similar to the law of cosines for the Euclidean plane also hold on a unit sphere and in a hyperbolic plane. In spherical geometry, a triangle is defined by three points u , v a w on the unit sphere, and the arcs of great circles connecting those points. If these great circles make angles A , B a C. with opposite sides a , b , c then the spherical law of cosines asserts that both of the following relationships hold:

In hyperbolic geometry, a pair of equations are collectively known as the hyperbolic law of cosines. The first is

cosh ⁡ a = cosh ⁡ b cosh ⁡ c − sinh ⁡ b sinh ⁡ c cos ⁡ A

where sinh and cosh are the hyperbolic sine and cosine, and the second is

cos ⁡ A = − cos ⁡ B cos ⁡ C + sin ⁡ B sin ⁡ C cosh ⁡ a .

As in Euclidean geometry, one can use the law of cosines to determine the angles A , B , C. from the knowledge of the sides a , b , c . In contrast to Euclidean geometry, the reverse is also possible in both non-Euclidean models: the angles A , B , C. determine the sides a , b , c .

allows to unify the formulae for plane, sphere and pseudosphere into:

Verifying the formula for non-Euclidean geometry

Hence, for a sphere of radius 1

Likewise, for a pseudosphere of radius i

Verifying the formula in the limit of Euclidean geometry

In the Euclidean plane the appropriate limits for the above equation must be calculated:

Applying this to the general formula for a finite R yields:


By the Pythagorean Theorem

One way to think of the law of cosines is as an extension of the Pythagorean theorem for a right triangle:

By Pythagorean theorem, we know

ale is just some portion of side length which is less than the length of . Substituting the difference gives us,

By Pythagorean theorem, we also know that

Substituting the appropriate values gives us,

Expanding the squared term gives us

And by the definition of cosine, we know that

Substituting this value in give us

Using the Distance Formula

The law of cosines solves for a particular side length using the other side lengths and an angle. We can write this length using the distance formula as the distance from one vertex of the triangle to another.

Poďme be oriented so that is at the origin, and is at the point.

We use the formula for the distance between two points

is the distance from do .

Odkedy a , substituting the appropriate points into the distance formula gives us

Squaring the inner terms, we have

Odkedy ,


Non-right Triangles: Law of Cosines

Suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles as shown in [link]. How far from port is the boat?

Unfortunately, while the Law of Sines enables us to address many non-right triangle cases, it does not help us with triangles where the known angle is between two known sides, a SAS (side-angle-side) triangle, or when all three sides are known, but no angles are known, a SSS (side-side-side) triangle. In this section, we will investigate another tool for solving oblique triangles described by these last two cases.

Using the Law of Cosines to Solve Oblique Triangles

The tool we need to solve the problem of the boat’s distance from the port is the Law of Cosines, which defines the relationship among angle measurements and side lengths in oblique triangles. Three formulas make up the Law of Cosines. At first glance, the formulas may appear complicated because they include many variables. However, once the pattern is understood, the Law of Cosines is easier to work with than most formulas at this mathematical level.

Understanding how the Law of Cosines is derived will be helpful in using the formulas. The derivation begins with the Generalized Pythagorean Theorem, which is an extension of the Pythagorean Theorem to non-right triangles. Here is how it works: An arbitrary non-right triangle A B C

is placed in the coordinate plane with vertex A

drawn along the x-axis, and vertex C

located at some point ( x , y )

in the plane, as illustrated in [link]. Generally, triangles exist anywhere in the plane, but for this explanation we will place the triangle as noted.

We can drop a perpendicular from C

do X-axis (this is the altitude or height). Recalling the basic trigonometric identities, we know that

In terms of θ , x = b cos θ

has coordinates ( b cos θ , b sin θ ) .

as one leg of a right triangle and y

as the second leg, we can find the length of hypotenuse a

using the Pythagorean Theorem. Teda

The formula derived is one of the three equations of the Law of Cosines. The other equations are found in a similar fashion.

Keep in mind that it is always helpful to sketch the triangle when solving for angles or sides. In a real-world scenario, try to draw a diagram of the situation. As more information emerges, the diagram may have to be altered. Make those alterations to the diagram and, in the end, the problem will be easier to solve.

The Law of Cosines states that the square of any side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle. For triangles labeled as in [link], with angles α , β ,

and opposite corresponding sides a , b ,

respectively, the Law of Cosines is given as three equations.

To solve for a missing side measurement, the corresponding opposite angle measure is needed.

When solving for an angle, the corresponding opposite side measure is needed. We can use another version of the Law of Cosines to solve for an angle.

Given two sides and the angle between them (SAS), find the measures of the remaining side and angles of a triangle.

  1. Sketch the triangle. Identify the measures of the known sides and angles. Use variables to represent the measures of the unknown sides and angles.
  2. Apply the Law of Cosines to find the length of the unknown side or angle.
  3. Apply the Law of Sines or Cosines to find the measure of a second angle.
  4. Compute the measure of the remaining angle.

Find the unknown side and angles of the triangle in [link].

First, make note of what is given: two sides and the angle between them. This arrangement is classified as SAS and supplies the data needed to apply the Law of Cosines.

Each one of the three laws of cosines begins with the square of an unknown side opposite a known angle. For this example, the first side to solve for is side b ,

as we know the measurement of the opposite angle β .

Because we are solving for a length, we use only the positive square root. Now that we know the length b ,

we can use the Law of Sines to fill in the remaining angles of the triangle. Solving for angle α ,

The other possibility for α

would be α = 180° – 56.3° ≈ 123.7°.

In the original diagram, α

is adjacent to the longest side, so α

is an acute angle and, therefore, 123.7°

does not make sense. Notice that if we choose to apply the Law of Cosines, we arrive at a unique answer. We do not have to consider the other possibilities, as cosine is unique for angles between 0°

we can then find the third angle of the triangle.

The complete set of angles and sides is

Find the missing side and angles of the given triangle: α = 30° , b = 12 , c = 24.

for the given triangle if side a = 20 ,

For this example, we have no angles. We can solve for any angle using the Law of Cosines. To solve for angle α ,

Because the inverse cosine can return any angle between 0 and 180 degrees, there will not be any ambiguous cases using this method.

Solving Applied Problems Using the Law of Cosines

Just as the Law of Sines provided the appropriate equations to solve a number of applications, the Law of Cosines is applicable to situations in which the given data fits the cosine models. We may see these in the fields of navigation, surveying, astronomy, and geometry, just to name a few.

On many cell phones with GPS, an approximate location can be given before the GPS signal is received. This is accomplished through a process called triangulation, which works by using the distances from two known points. Suppose there are two cell phone towers within range of a cell phone. The two towers are located 6000 feet apart along a straight highway, running east to west, and the cell phone is north of the highway. Based on the signal delay, it can be determined that the signal is 5050 feet from the first tower and 2420 feet from the second tower. Determine the position of the cell phone north and east of the first tower, and determine how far it is from the highway.

For simplicity, we start by drawing a diagram similar to [link] and labeling our given information.

Using the Law of Cosines, we can solve for the angle θ .

Remember that the Law of Cosines uses the square of one side to find the cosine of the opposite angle. For this example, let a = 2420 , b = 5050 ,

corresponds to the opposite side a = 2420.

To answer the questions about the phone’s position north and east of the tower, and the distance to the highway, drop a perpendicular from the position of the cell phone, as in [link]. This forms two right triangles, although we only need the right triangle that includes the first tower for this problem.

and the basic trigonometric identities, we can find the solutions. Thus

The cell phone is approximately 4638 feet east and 1998 feet north of the first tower, and 1998 feet from the highway.

Returning to our problem at the beginning of this section, suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles. How far from port is the boat? The diagram is repeated here in [link].

The boat turned 20 degrees, so the obtuse angle of the non-right triangle is the supplemental angle, 180° − 20° = 160° .

With this, we can utilize the Law of Cosines to find the missing side of the obtuse triangle—the distance of the boat to the port.

The boat is about 17.7 miles from port.

Using Heron’s Formula to Find the Area of a Triangle

We already learned how to find the area of an oblique triangle when we know two sides and an angle. We also know the formula to find the area of a triangle using the base and the height. When we know the three sides, however, we can use Heron’s formula instead of finding the height. Heron of Alexandria was a geometer who lived during the first century A.D. He discovered a formula for finding the area of oblique triangles when three sides are known.

Heron’s formula finds the area of oblique triangles in which sides a , b ,

is one half of the perimeter of the triangle, sometimes called the semi-perimeter.

Find the area of the triangle in [link] using Heron’s formula.

Then we apply the formula.

The area is approximately 29.4 square units.

Use Heron’s formula to find the area of a triangle with sides of lengths a = 29.7 ft , b = 42.3 ft ,

A Chicago city developer wants to construct a building consisting of artist’s lofts on a triangular lot bordered by Rush Street, Wabash Avenue, and Pearson Street. The frontage along Rush Street is approximately 62.4 meters, along Wabash Avenue it is approximately 43.5 meters, and along Pearson Street it is approximately 34.1 meters. How many square meters are available to the developer? See [link] for a view of the city property.

Find the measurement for s ,

which is one-half of the perimeter.

The developer has about 711.4 square meters.

Find the area of a triangle given a = 4.38 ft , b = 3.79 ft,

Access these online resources for additional instruction and practice with the Law of Cosines.

Kľúčové rovnice

Law of Cosines a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s γ
Heron’s formula Area = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) where s = ( a + b + c ) 2

Key Concepts

  • The Law of Cosines defines the relationship among angle measurements and lengths of sides in oblique triangles.
  • The Generalized Pythagorean Theorem is the Law of Cosines for two cases of oblique triangles: SAS and SSS. Dropping an imaginary perpendicular splits the oblique triangle into two right triangles or forms one right triangle, which allows sides to be related and measurements to be calculated. See [link] and [link].
  • The Law of Cosines is useful for many types of applied problems. The first step in solving such problems is generally to draw a sketch of the problem presented. If the information given fits one of the three models (the three equations), then apply the Law of Cosines to find a solution. See [link] and [link].
  • Heron’s formula allows the calculation of area in oblique triangles. All three sides must be known to apply Heron’s formula. See [link] and See [link].

Section Exercises

Verbal

If you are looking for a missing side of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

two sides and the angle opposite the missing side.

If you are looking for a missing angle of a triangle, what do you need to know when using the Law of Cosines?

represents in Heron’s formula.

is the semi-perimeter, which is half the perimeter of the triangle.

Explain the relationship between the Pythagorean Theorem and the Law of Cosines.

When must you use the Law of Cosines instead of the Pythagorean Theorem?

The Law of Cosines must be used for any oblique (non-right) triangle.

Algebraic

For the following exercises, assume α

If possible, solve each triangle for the unknown side. Round to the nearest tenth.


Pozri si video: Ohmov zákon (December 2021).