Články

9.1: Rozdelenie rovnováhy II


Preskúmali sme pevné body jednorozmerných autonómnych vektorových polí, kde matica spojená s linearizáciou vektorového poľa okolo pevného bodu má nulové vlastné číslo. Je prirodzené pýtať sa „existujú komplikovanejšie bifurkácie a čo ich komplikuje?“

Ak sa zamyslíte nad doteraz uvažovanými príkladmi, existujú dve možnosti, ktoré by mohli situáciu skomplikovať. Jedným z nich je, že by mohlo existovať viac ako jedna vlastná hodnota linearizácie okolo pevného bodu s nulovou reálnou časťou (čo by nevyhnutne vyžadovalo zohľadnenie viacrozmerných vektorových polí), a druhou by bola komplikovanejšia nelinearita (alebo kombinácia týchto dvoch ). Pochopenie toho, ako dimenzionálnosť a nelinearita prispievajú k „zložitosti“ bifurkácie (a čo to môže znamenať), je veľmi zaujímavá téma, ktorá však presahuje rámec tohto kurzu. Toto je všeobecne téma skúmaná v rámci postgraduálnych kurzov teórie dynamických systémov, ktoré zdôrazňujú teóriu bifurkácie. Tu predstavujeme hlavne základné myšlienky a problémy s príkladmi, s ktorými sa možno v aplikáciách stretnúť. Za týmto účelom zvážime príklad rozdvojenia, ktoré je v aplikáciách veľmi dôležité Rozdvojenie Poincaré-Andronov-Hopf (alebo len Hopfova bifurkácia, ako sa to častejšie označuje). Toto je rozdvojenie pevného bodu autonómneho vektorového poľa, kde pevný bod je nehyperbolický v dôsledku toho, že jakobián má pár čisto imaginárnych vlastných hodnôt, ( pm i mathcal {w}, mathcal {w} ne 0 ). Preto si tento typ rozdvojenia vyžaduje (minimálne dva rozmery) a nie je charakterizovaný zmenou počtu pevných bodov, ale tvorbou časovo závislých periodických riešení. Túto situáciu budeme analyzovať na konkrétnom príklade. Odkazy výhradne na rozdvojenie Hopfovych kníh sú knihy Marsdena a McCrackena a Hassarda, Kazarinoffa a Wana.

Uvažujeme nasledujúce nelineárne autonómne vektorové pole v rovine:

[ begin {align} dot {x} & = mu x- mathcal {w} y + (ax-by) (x ^ 2 + y ^ 2) [4pt] dot {y} & = mathcal {w} x + mu y + (bx + ay) (x ^ 2 + y ^ 2), (x, y) in mathbb {R} ^ 2, label {9.1} end {align} ]

kde považujeme (a ), (b ), ( mathcal {w} ) za pevné konštanty a ( mu ) za variabilný parameter. Počiatok (x, y) = (0, 0) je pevný bod a my chceme brať do úvahy jeho stabilitu. Matica spojená s linearizáciou pôvodu je daná vzorcom:

[ begin {pmatrix} { mu} & { mathcal {-w}} { mathcal {w}} & { mu} end {pmatrix}, label {9.2} ]

a jeho vlastné čísla sú dané:

[ lambda_ {1, 2} = mu pm i mathcal {w}. štítok {9.3} ]

Preto má pôvod ako funkcia ( mu ) nasledujúce vlastnosti stability:

[ left { begin {array} {ll} { mu <0} & { text {sink}} { mu = 0} & { text {center}} { mu> 0} & { text {source}} end {pole} vpravo. štítok {9.4} ]

Pôvod nie je hyperbolický pri ( mu = 0 ) a stabilita sa mení, pretože ( mu ) mení znamienko. Chceme podrobnejšie analyzovať správanie v blízkosti pôvodu, a to vo fázovom priestore aj v parametrovom priestore.

Za týmto účelom transformujeme Rovnicu ref {9.1} na polárne súradnice pomocou štandardného vzťahu medzi kartézskymi a polárnymi súradnicami:

[x = r cos theta, y = r sin theta label {9.5} ]

Diferenciácia týchto dvoch výrazov vzhľadom na t a dosadenie do rovnice ref {9.1} dáva:

[ dot {x} = dot {r} cos theta - r dot { theta} sin theta = mu r cos theta - mathcal {w} r sin theta + ( ar cos theta - br sin theta) r ^ 2, label {9.6} ]

[ dot {y} = dot {r} cos theta + r dot { theta} sin theta = mathcal {w} r cos theta - mu r sin theta + ( br cos theta - ar sin theta) r ^ 2, label {9.7} ]

z ktorých dostaneme nasledujúce rovnice pre ( dot {r} ) a

[ dot {r} = mu r + ar ^ 3, label {9.8} ]

[r dot { theta} = mathcal {w} r + br ^ 3, label {9.9} ]

kde Rovnica ref {9.8} sa získa vynásobením Rovnice ref {9.6} ( cos theta ) a Rovnice ref {9.7} ( sin theta ) a pridaním dvoch výsledkov a Rovnice ref {9.9} sa získa vynásobením rovnice ref {9.6} koeficientom (sin theta ) a (9.7) (cos theta ) a súčtom dvoch výsledkov. Delením oboch rovníc (r ) vzniknú dve rovnice, ktoré budeme analyzovať:

[ dot {r} = mu r + ar ^ 3, label {9.10} ]

[ dot { theta} = mathcal {w} + br ^ 2, label {9.11} ]

Všimnite si, že Rovnica ref {9.10} má formu rozdvojenia vidly, ktorú sme študovali skôr. Je však veľmi dôležité si uvedomiť, že máme do činenia s rovnicami v polárnych súradniciach a pochopiť, čo nám prezradia o dynamike v pôvodných kartézskych súradniciach. Na začiatok si musíme uvedomiť, že (r ge 0 ).

Všimnite si, že rovnica ref {9.10} je nezávislá od ( theta ), tj. Je to jednorozmerná, autonómna ODR, ktorú prepíšeme nižšie:

[ dot {r} = mu r + ar ^ 3 = r ( mu + ar ^ 2). štítok {9.12} ]

Pevné body tejto rovnice sú:

[r = 0, r = sqrt {- frac { mu} {a}} equiv r ^ {+}. label {9.13} ]

(Nezabudnite, že (r ge 0 ).) Nahradením (r ^ {+} ) do rovníc ref {9.10} a ref {9.11} získate:

( dot {r ^ {+}} = mu r ^ {+} + ar ^ {+ 3} = 0 ),

[ dot { theta} = mathcal {w} r + b (- frac { mu} {a}), label {9.14} ]

Komponent ( theta ) možno ľahko vyriešiť (pomocou (r ^ {+} = - frac { mu} {a} )), po ktorom získame:

[ theta (t) = ( mathcal {w} - frac { mu b} {a}) + theta (0). label {9.15} ]

Preto sa (r ) v čase (r = r ^ {+} ) nemení v čase a q sa vyvíja lineárne v čase. Ale ( theta ) je uhlová súradnica. To znamená, že (r = r ^ {+} ) zodpovedá periodickej dráhe.

Pomocou týchto informácií analyzujeme správanie rovnice ref {9.12} zostavením bifurkačného diagramu. Je potrebné vziať do úvahy dva prípady: (a> 0 ) a (a <0 ).

Na obrázku 9.1 načrtneme nuly (9.12) ako funkciu ( mu ) pre a> 0. Vidíme, že periodická obežná dráha sa rozdvojuje z nehyperbolického pevného bodu na ( mu = 0 ). Periodická dráha je nestabilná a existuje pre ( mu <0 ). Na obr. 9.2 ilustrujeme dynamiku vo fázovej rovine (x - y ).

Na obrázku 9.3 načrtneme nuly rovnice ref {9.12} ako funkciu ( mu ) pre a <0. Periodická dráha je v tomto prípade stabilná a existuje pre ( mu> 0 ). 9.4 ilustrujeme dynamiku vo fázovej rovine (x - y ).

V tomto príklade sme videli, že nehyperbolický pevný bod dvojrozmerného autonómneho vektorového poľa, kde nehyperbolicita vyplýva zo skutočnosti, že linearizácia v pevnom bode má dvojicu čistých imaginárnych vlastných čísel, ( pm i mathcal {w } ), môže viesť k vytvoreniu periodických dráh, keď sa mení parameter. Toto je príklad toho, čo sa všeobecne nazýva Hopfova bifurkácia. Je to prvý príklad rozdvojenia rovnovážneho riešenia, ktorého výsledkom sú časovo závislé riešenia.

V tomto okamihu je užitočné zhrnúť podstatu podmienok vedúcich k Hopfovej bifurkácii pre dvojrozmerné autonómne vektorové pole. Na začiatok potrebujeme pevný bod, kde má jakobián spojený s linearizáciou okolo pevného bodu dvojicu čistých imaginárnych vlastných čísel. Toto je nevyhnutná podmienka pre rozdelenie Hopfovcov. Rovnako ako pri bifurkáciách pevných bodov jednorozmerných autonómnych vektorových polí (napr. Rozdvojenia sedlo-uzol, transkritické a vidlové videnie, ktoré sme študovali v predchádzajúcej kapitole), charakter rozdvojenia pre hodnoty parametrov v susedstve bifurkácie parameter je určený formou nelinearity vektorového poľa. Myšlienku Hopfovej bifurkácie sme vyvinuli v kontexte Rovnice ref {9.1} a v tomto príklade bola stabilita bifurkujúcej periodickej obežnej dráhy daná znakom koeficientu a (stabilný pre <0, nestabilný pre a> 0). V príklade bol zrejmý z jednoduchej štruktúry nelinearity âA ̆ŸâA ̆Z ́stabilitný koeficient âA ̆Z ́âA ̆Z ́. V komplikovanejších príkladoch, t. Napríklad je uvedený v Guckenheimer a Holmes a Wiggins. Úplné podrobnosti výpočtu koeficientu stability sú uvedené v 7. Problém 2 na konci tejto kapitoly skúma podstatu Hopfovej bifurkácie, napr. počet a stabilita rozdvojených periodických dráh pre rôzne formy nelinearity.

Ďalej sa vrátime k príkladom bifurkácií pevných bodov v jednorozmerných vektorových poliach a uvedieme dva príklady jednorozmerných vektorových polí, kde sa môže vyskytnúť viac ako jedna z bifurkácií, o ktorých sme hovorili skôr.

Príklad ( PageIndex {27} )

Zvážte nasledujúce jednorozmerné autonómne vektorové pole v závislosti od parametra ( mu ):

[ dot {x} = mu- frac {x ^ 2} {2} + frac {x ^ 3} {3}, x in mathbb {R}. štítok {9.16} ]

Pevné body tohto vektorového poľa sú dané:

[ mu = frac {x ^ 2} {2} - frac {x ^ 3} {3}, label {9.17} ]

a sú vynesené na obr. 9.5.

Vynesená krivka predstavuje miesto, kde je vektorové pole nulové. Preto je kladný vpravo od krivky a negatívny vľavo od krivky. Z toho vyvodzujeme stabilitu pevných bodov, ako je to znázornené na obrázku.

Vyskytujú sa dve bifurkácie sedlového uzla, kde ( frac {d mu} {dx} (x) = 0 ). Tieto sa nachádzajú na adrese

[(x, mu) = (0, 0), (1, frac {1} {6}). štítok {9.18} ]

Príklad ( PageIndex {28} )

Zvážte nasledujúce jednorozmerné autonómne vektorové pole v závislosti od parametra ( mu ):

( dot {x} = mu x- frac {x ^ 3} {2} + frac {x ^ 4} {3} ),

[= x ( mu- frac {x ^ 2} {2} + frac {x ^ 3} {3}), label {9.19} ]

Pevné body tohto vektorového poľa sú dané:

[ mu = frac {x ^ 2} {2} - frac {x ^ 3} {3}, label {9.20} ]

a

[x = 0, štítok {9,21} ]

a sú vynesené v rovine ( mu - x ) na obr. 9.6.

V tomto príklade vidíme, že existuje rozdvojenie vidly a rozdvojenie sedla.