Články

10.4: Besselove funkcie všeobecného poriadku - matematika


Vzťah rekurencie pre Besselovu funkciu všeobecného poriadku ( pm nu ) je možné teraz vyriešiť pomocou funkcie gama,

[a_ {m} = - frac {1} {m (m pm 2 nu)} a_ {m-2} ]

má riešenia ( (x> 0 ))

[ begin {aligned} J _ { nu} (x) & = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {(- 1) ^ {k}} {k! Gamma ( nu + k + 1)} doľava ( frac {x} {2} doprava) ^ { nu + 2k}, J _ {- nu} (x) & = sum_ {k = 0} ^ { infty} frac {(- 1) ^ {k}} {k! Gamma (- nu + k + 1)} dolava ( frac {x} {2} sprava) ^ {- nu + 2k }. end {zarovnané} ]

Všeobecné riešenie Besselovej rovnice poriadku ( nu ) je teda

[y (x) = A J _ { nu} (x) + BJ _ {- nu} (x), ]

pre akúkoľvek neceločíselnú hodnotu ( nu ). To platí aj pre celočíselné hodnoty (bez protokolov).


Besselova diferenciálna rovnica

sa nazýva Besselova rovnica. Číslo (v ) sa nazýva poradie Besselovej rovnice.

Daná diferenciálna rovnica je pomenovaná po nemeckom matematikovi a astronómovi Friedrichovi Wilhelmovi Besselovi, ktorý túto rovnicu podrobne študoval a ukázal (v (1824 )), že jej riešenia sú vyjadrené pomocou špeciálnej triedy funkcií nazývaných valcové funkcie alebo Besselovy funkcie .

Konkrétne znázornenie všeobecného riešenia závisí od počtu (v. ) Ďalej uvažujeme osobitne dva prípady:

Prípad (1. ) Poradie (v ) nie je celé číslo

Za predpokladu, že číslo (v ) nie je celé číslo a kladné, možno všeobecné riešenie Besselovej rovnice napísať ako

kde (,) () sú ľubovoľné konštanty a ( doľava (x doprava), ) (> left (x right) ) sú Besselovy funkcie prvého druhu.

Besselovu funkciu môžeme reprezentovať radom, ktorého termíny sú vyjadrené pomocou takzvanej gama funkcie:

Funkcia gama je zovšeobecnením faktoriálnej funkcie z celých čísel na všetky reálne čísla. Má najmä tieto vlastnosti:

Besselove funkcie záporného poradia ( left (-v right) ) (za predpokladu, že (v gt 0 )) sú zapísané podobným spôsobom:

Besselovu funkciu je možné vypočítať vo väčšine matematických softvérových balíkov aj v programe MS Excel. Napríklad Besselovy funkcie (1 ) prvého druhu príkazov (v = 0 ) až (v = 4 ) sú zobrazené na obrázku (1. )

Prípad (2. ) Poradie (v ) je celé číslo

Ak je poradie (v ) Besselovej diferenciálnej rovnice celé číslo, Besselovy funkcie ( doľava (x doprava) ) a (> left (x right) ) sa môžu stať navzájom závislými. V tomto prípade je všeobecné riešenie opísané iným vzorcom:

kde ( left (x right) ) je Besselova funkcia druhého druhu. Niekedy sa táto skupina funkcií nazýva aj Neumannovy funkcie alebo Weberove funkcie.

Besselova funkcia druhého druhu ( left (x right) ) je možné vyjadriť Besselovými funkciami prvého druhu ( doľava (x doprava) ) a (> dolava (x doprava): )

Grafy funkcií ( left (x right) ) pre niekoľko prvých objednávok (v ) sú zobrazené na obrázku (2. )

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice vyjadrené Besselovými funkciami prvého a druhého druhu v skutočnosti platí aj pre neceločíselné objednávky.

Niektoré diferenciálne rovnice redukovateľné na Besselovu rovnicu # 8217s

  1. Jednou zo známych rovníc viazaných na Besselovu diferenciálnu rovnicu # 8217s je upravená Besselova rovnica # 8217s, ktorá sa získa nahradením (x ) za (ix. ) Táto rovnica má tvar:

Špeciálne Besselove funkcie sa často používajú pri riešení problémov teoretickej fyziky, napríklad pri výskume


Na vyhodnotenie nekonečných integrálov zahŕňajúcich Besselovu funkciu ☆

V tomto príspevku uvažujeme o numerickej metóde výpočtu nekonečných vysoko oscilujúcich Besselovych integrálov tvaru ∫ a ∞ f (x) C v (ω x) dx, kde C v (ω x) označuje Besselovu funkciu J v (ω x) prvého druhu, Y v (ω x) druhého druhu, H v (1) (ω x) a H v (2) (ω x) tretieho druhu, f je plynulá funkcia na [a, ∞), lim x → ∞ f (k) (x) = 0 (k = 0, 1, 2,…), ω je veľká a a ⩾ 1 ω k s k ≤ 1. Metódu konštruujeme na základe aproximácie f kombináciou posunutého Čebyševovho polynómu, aby bolo možné efektívne zovšeobecnené momenty vyhodnotiť pomocou skráteného Whittakerovho vzorca Ž funkcie. Metóda je veľmi efektívna pri získavaní aproximácií s veľmi vysokou presnosťou, ak je ω dostatočne veľká. Ďalej dáme chybu, ktorá závisí od koncového bodu „a“. Na potvrdenie našich výsledkov sú poskytnuté početné príklady.


Posilnite knižnice C ++

Tieto funkcie vracajú prvú deriváciu vzhľadom na X zodpovedajúcej Besselovej funkcie.

Návratový typ týchto funkcií sa počíta pomocou znaku pravidlá výpočtu typu výsledku keď T1 a T2 sú rôzne typy. Funkcie sú tiež optimalizované pre relatívne častý prípad, že T1 je celé číslo.

Posledný argument politiky je voliteľný a možno ho použiť na riadenie chovania funkcie: ako narába s chybami, aká presnosť sa má použiť atď. Ďalšie podrobnosti nájdete v dokumentácii k politike.

Funkcie vrátia výsledok domain_error vždy, keď je výsledok nedefinovaný alebo komplexný.

Testovanie

Existujú dve sady testovacích hodnôt: bodové hodnoty vypočítané pomocou webu wolframalpha.com a oveľa väčšia sada testov vypočítaná pomocou vzťahu k podkladovým funkciám Bessel, ktoré implementácia nepoužíva.

Presnosť

Presnosť týchto funkcií je zhruba podobná základným Besselovým funkciám. Ďalšie informácie nájdete v týchto funkciách.


Viacpólové metódy

4.2.2.1 Stanovenie koeficientov rozťažnosti

Odkedy ψv(r) je pravidelná funkcia vo vnútri sférickej gule b & gt a sústredne s rozptylom, túto funkciu je možné rozšíriť v nasledujúcich sériách okolo r = r0:

kde koeficienty E n m závisia od dopadajúceho poľa. Napríklad pre rovinnú vlnu komplexnej intenzity ψv(r0) = Q, podľa ekv. (2.3.6), máme

kde sférické polárne uhly θk a φk charakterizujte smer rovinnej vlny (pozri vzťah (2.3.4)). V prípade, keď je dopadajúca vlna generovaná zdrojom intenzity Q umiestnený na r = rs, |rsr0| ≥ b, máme z rozšírenia (3.2.2):

Nie je ťažké vybudovať lokálnu expanziu dopadajúceho poľa generovaného ľubovoľným viacpólovým zdrojom alebo súčtom viacpólových zdrojov a rovinných vĺn prichádzajúcich z rôznych smerov.

Pretože rozptýlené pole je vyžarujúca funkcia, zostrojíme ho vo forme súčtu singulárnych sférických základných funkcií:

kde by sa koeficienty rozťažnosti A n m mali určiť z okrajových podmienok.

Pomocou definícií sférických bázových funkcií (2.1.101) a (2.1.102) možno celkový potenciál reprezentovať ako

Na splnenie okrajovej podmienky (4.2.2) pri |rr0| = a, musíme mať

kde s = (rr0)/a. Z dôvodu ortogonality a úplnosti sférických harmonických by mal byť každý člen v tejto sume nulový. To určuje A n m ako

V konkrétnych prípadoch zvukovo tvrdých a zvukovo mäkkých povrchov máme

Vidíme tiež, že tieto limitujúce prípady sa realizujú pre σ ≪ k a σ ≫ k, resp. Týmto sa zavádza mierka a definujú sa „malé“ a „veľké“ σ.

V každom prípade vyššie uvedené rovnice ukazujú, že koeficienty rozptýleného poľa sú úmerné koeficientom dopadajúceho poľa a koeficient proporcionality závisí iba od stupňa sférických funkcií n. Pri všeobecnejšom probléme rozptylu z telesa ľubovoľného tvaru možno riešenie rozptýleného poľa v oblasti mimo sféry obklopujúcej rozptylovač predstaviť vo forme (4.2.6) (pozri tiež rovnicu (2.3.37) )). Vo všeobecnom prípade sú koeficienty rozťažnosti lineárne spojené s koeficientmi dopadajúceho poľa v dôsledku linearity Helmholtzovej rovnice a okrajových podmienok. Preto môžeme písať

kde T n n ′ m m ′ sú prvky matice T, ktorá sa niekedy nazýva T-matica. Táto matica závisí od veľkosti a tvaru objektu, čísla vlny, k, a vstup (alebo impedancia) rozptyľovača. Ako vidíme z výrazov (4.2.9) a (4.2.11) v prípade gule, táto matica je diagonálna:


Popisy kurzov

MTH 101 - Umenie matematického myslenia (3 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Skvelé nápady v matematike, riešenie problémov, súčasné aplikácie.

MTH 105 - Konečná matematika (3 hodiny)
Témy z konečnej matematiky: množiny, matice, systémy lineárnych rovníc, lineárne programovanie, elementárna pravdepodobnosť, viacstupňové procesy a Markovove reťazce.

MTH 109 - College Algebra (3 hodiny)
Pre študentov, ktorí si potrebujú posilniť svoje algebrické schopnosti: factoringové polynómy riešenia exponentov kvadratických a iných rovníc, logaritmy a grafy. Požiadavka: Skúška za umiestnenie na skúške z matematiky je najmenej 46.

MTH 111 - Základné štatistiky (3 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Pravdepodobnosť, popisná štatistika, štatistické modely, korelácia a regresia, testovacie hypotézy, limity spoľahlivosti a vybrané aplikácie.

MTH 112 - Precalculus (4 hodiny)
Pre študentov, ktorí potrebujú ďalšie matematické znalosti predtým, ako sa zaregistrujú do kalkulu (najmä MTH 121). Dôkladné štúdium algebraických, transcendentálnych a trigonometrických funkcií s dôrazom na grafy a použitie algebry. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 109 alebo skóre skúšky z umiestnenia matematiky je najmenej 61.

MTH 114 - Aplikovaná konečná matematika (3 hodiny)
Core Curr. QR, QR
Prieskum najbežnejších matematických techník používaných v podnikaní. Témy zahŕňajú: lineárne funkcie, nelineárne funkcie (polynómy, exponenciály, logaritmy), systémy lineárnych rovníc, lineárne programovanie, množiny a pravdepodobnosť, úvod do základných štatistík. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 109 alebo 112 alebo skóre skúšky z umiestnenia matematiky je najmenej 61.

MTH 115 - Stručný počet s aplikáciami I (4 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR, QR
Diferenciálny a integrálny počet s dôrazom na porozumenie prostredníctvom grafov. Témy v analytickej geometrii, limity, derivácie, primitívne funkcie, určité integrály, exponenciálne a logaritmické funkcie a parciálne derivácie. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 109 alebo 112 alebo skóre skúšky z umiestnenia matematiky je najmenej 61.

MTH 116 - Stručný počet s aplikáciami II (3 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Pokračovanie MTH 115. Zahŕňa trigové funkcie, integračné techniky, rady, diferenciálne rovnice a viac premenný počet. Požiadavka: C alebo vyššia v MTH 115.

MTH 118 - počet s prehľadom A (4 hodiny)
Témy v analytickej geometrii, limity, spojitosť, derivácia a príslušné preskúmanie algebry. Požiadavka: Súčet skóre ACT z matematiky a skóre skúšky z umiestnenia z matematiky je najmenej 45

MTH 119 - počet s prehľadom B (4 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Pokračovanie MTH 118. Témy v analytickej geometrii, určitý integrál, základná veta kalkulu a prehľad príslušnej algebry. Predpoklad: známka C alebo vyššia v MTH 118.

MTH 120 - Diskrétna matematika (3 hodiny)
Úvod do teórie grafov, booleovská algebra, matematická indukcia a elementárna kombinatorika. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 112 alebo skóre skúšky z matematické skúšky je najmenej 68.

MTH 121 - Počet I. (4 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR, QR
Témy v analytickej geometrii obmedzujú úvod do diferenciácie kontinuity v integračných aplikáciách. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 112 alebo skóre skúšky z matematické skúšky je najmenej 76.

MTH 122 - Kalkul II (4 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Témy počtu logaritmických, exponenciálnych a trigonometrických funkcií techniky integrácie analytická geometria neurčité formy nevhodné integrály nekonečné rady. Požiadavka: Stupeň C alebo lepší v MTH 119 alebo MTH 121 alebo v jej ekvivalente.

MTH 190 - Témy matematiky pre učiteľov stredných škôl (3 hodiny)
Témy pre učiteľov matematiky na stredných školách, ktoré sa môžu pri každej ponuke kurzu líšiť, rotujú medzi: analytická geometria, riešenie problémov, lineárne programovanie. Môže sa opakovať na rôzne témy s maximálnym kreditom 6 hodín. Požiadavka: C alebo lepšia v MTH111 a C alebo lepšia v jednej z MTH115, 119 alebo 121 a súhlas predsedu.

MTH 207 - Elementárna lineárna algebra s aplikáciami (3 hodiny)
Maticová algebra, determinanty, teória simultánnych rovníc, vektorové priestory, bázy, Gram-Schmidtova ortogonalizácia, vlastné hodnoty, vlastné vektory, transformácie a aplikácie. Požiadavka: MTH 122 alebo súhlas inštruktora.

MTH 223 - Kalkul III (4 hodiny)
Gen. Ed. MA
Core Curr. QR
Témy vo vektoroch počet funkcií viacerých premenných viacnásobný integrál vektorový počet. Predpoklad: známka C alebo vyššia v MTH 122.

MTH 224 - Elementárne diferenciálne rovnice (3 hodiny)
Riešenie rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi Laplace transformuje metódy výkonových radov numerické metódy modelovania aplikácií. Požiadavka: MTH 223

MTH 300 - Témy pre učiteľov matematiky na stredných školách (3 hodiny)
Témy zvláštneho záujmu, ktoré sa môžu líšiť pri každom ponúknutí kurzu, rotujú medzi geometriou, algebrou / teóriou čísel a riešením problémov. V rámci každej témy budú uvedené historické motivácie. Pre učiteľov stredných škôl sa osvedčenie nepočíta do matiky alebo matiky. Môže sa opakovať na rôzne témy s maximálnym kreditom 9 hodín. Predpoklad: C alebo lepší v MTH 111 a C alebo lepší v jednom z MTH 115, 119 alebo 121 a povolenie predsedu.

MTH 301 - Kombinatorika (3 hodiny)
Kombinatorická analýza, rekurenčné vzťahy, generovacie funkcie a stroje konečného stavu. Predpoklad: MTH 120, 122 alebo MTH 223.

MTH 302 - Úvod do teórie grafov (3 hodiny)
Teória a aplikácie grafov vrátane historických motivácií. Základné vlastnosti grafov, obvodov, cyklov, stromov a algoritmov grafov, rovinnosť a sfarbenie. Predpoklad: MTH 120, 122 alebo MTH 223.

MTH 305 - Moderná geometria (3 hodiny)
Úvod do vlastností formálnych axiómových systémov. Štúdium euklidovských a neeuklidovských geometrií vrátane historických motivácií. Témy budú skúmané pomocou vhodného dynamického softvéru. Požiadavka: MTH 223.

MTH 307 - lineárna algebra (3 hodiny)
Vektorové priestory, lineárne transformácie, vnútorné produktové priestory, Jordanove kanonické formy, spektrálne vety a vybrané témy. Predpoklad: MTH 207.

MTH 310 - Úvod do teórie čísel (3 hodiny)
Historický vývoj prvočísel teórie čísel a ich rozdelenie deliteľnosť jedinečná faktorizácia celých čísel kongruencie Diophantine rovnice číselné teoretické funkcie. Požiadavka: MTH 223.

MTH 325 - Pravdepodobnosť a štatistika I (3 hodiny)
Spracovanie základných pojmov v teórii a štatistike pravdepodobnosti na vyššej úrovni: diskrétne a spojité náhodné premenné, konkrétne rozdelenia pravdepodobností každého typu, mnohorozmerné rozdelenie pravdepodobností, podmienené a marginálne pravdepodobnosti, funkcie generujúce moment, centrálna limitná veta. Požiadavka: MTH 223

MTH 326 - Pravdepodobnosť a štatistika II (3 hodiny)
Pokračovanie MTH 325, ktoré sa zameriava na štatistické vyvodzovanie prostredníctvom intervalov spoľahlivosti, testov hypotéz, regresných modelov najmenších štvorcov a analýzy rozptylu. Medzi kľúčové pojmy tiež patria: miera dobra pre bodové odhady, minimálny rozptyl nestranný, rovnomerne najsilnejšie testy, odhady maximálnej pravdepodobnosti. Predpoklad: MTH 325

MTH 335 - Témy poistno-matematickej vedy (3 hodiny)
Témy sa môžu líšiť vždy, keď sa ponúka kurz, ktorý sa strieda medzi zloženým úrokom, matematikou nepredvídaných udalostí a poistnou matematikou. Niektoré témy sa budú zhodovať s témami o poistno-matematických skúškach. Môže sa opakovať na rôzne témy s maximálnym kreditom 9 hodín. Podmienka: MTH 207, MTH 223 alebo súhlas inštruktora.

MTH 345 - Diferenciálne rovnice (3 hodiny)
Metódy riešenia viet o existencii a jedinečnosti pre počiatočné a okrajové úlohy lineárne a nelineárne systémy diferenciálne rovnice teórie stability. Podmienka: MTH 207, 223 alebo súhlas inštruktora.

MTH 371 - Dejiny matematiky (3 hodiny)
Prieskum historického vývoja matematiky od staroveku do dvadsiateho storočia. Dôraz sa bude klásť na vzájomné vzťahy medzi rôznymi oblasťami matematiky, ako aj na samotný matematický obsah. Požiadavka: MTH 207 a 3 semestrálne hodiny z kurzov s číslom MTH 301 alebo vyšším alebo so súhlasom inštruktora.

MTH 390 - Matematické modelovanie (3 hodiny)
Úvod do konštruovania a vyhodnocovania matematických modelov na opis a analýzu javov reálneho sveta. Kontinuálne a / alebo diskrétne modely. Podmienka: MTH 223 súhlas inštruktora.

MTH 403 - Komplexné premenné I (3 hodiny)
Úvod do komplexného počtu: základné funkcie, integrácia, Cauchyov vzorec, teória rezíduí a aplikácie. Predpoklad: MTH 207, 223 alebo MTH 224.

MTH 404 - Moderná algebra I (3 hodiny)
Základná teória množín, celých čísel a zobrazení základných vlastností skupín, krúžkov a polí. Podmienka: MTH 207, 223.

MTH 405 - Moderná algebra II (3 hodiny)
Témy vybrané z teórie prstencov, teórie poľa a aplikácií. Predpoklad: MTH 404.

MTH 406 - Elementárna topológia (3 hodiny)
Úvod do základov topológie množiny bodov. Pojmy kompaktnosť, prepojenosť a kontinuita v kontexte všeobecných topologických priestorov a metrických priestorov. Podmienka: MTH 207, 223 alebo súhlas inštruktora

MTH 410 - Numerické metódy I (3 hodiny)
Úvod do numerických a výpočtových aspektov rôznych matematických tém: konečná presnosť, riešenie nelineárnych rovníc, interpolácia, aproximácia, lineárne systémy rovníc a integrácia. Predpoklad: CS 100 alebo 101 MTH 207 a 223.

MTH 411 - Numerické metódy II (3 hodiny)
Pokračovanie MTH 410: ďalšie techniky integrácie, obyčajné diferenciálne rovnice, numerická lineárna algebra, nelineárne systémy rovníc, úlohy okrajových hodnôt a optimalizácia. Predpoklad: MTH 224 alebo 345 MTH 410.

MTH 414 - Parciálne diferenciálne rovnice (3 hodiny)
Fourierove rady a aplikácie na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc. Oddelenie premenných, expanzie vlastných funkcií, Besselove funkcie, Greenove funkcie, Fourierova a Laplaceova transformácia. Kredit sa udelí iba pre jeden z MTH 414, MTH 514. Podmienka: MTH 224 alebo MTH 345

MTH 420 - Úvod do analýzy (3 hodiny)
Systém reálnych čísel a funkcie reálnych premenných: postupnosti, limity, spojitosť, diferenciácia, rady, uniformná konvergencia a Riemannov-Stieltjesov integrál. Podmienka: MTH 207, 223.

MTH 421 - Pokročilý počet (3 hodiny)
Funkcie viacerých premenných. Počet transformácií, vety o implicitnej a inverznej funkcii, priamkové a povrchové integrály, Fourierova analýza, vety s pevným bodom a aplikácie. Podmienka: MTH 420 alebo súhlas inštruktora.

MTH 427 - Aplikované štatistické metódy (3 hodiny)
Regresná analýza, analýza časových radov a predpovede Predpoklad: MTH325 MTH326 alebo súhlas inštruktora.

MTH 428 - Témy v aplikovanej štatistike (3 hodiny)
Pokračovanie matematiky 427 s cieľom zahrnúť ďalšie štúdie v štatistikách, ako sú Bayesiánska štatistika, štatistické výpočty alebo metódy viacerých premenných. Môže sa opakovať na rôzne témy s maximálnym kreditom 6 hodín. Požiadavka: Matematika 325 Matematika 326 alebo súhlas inštruktora.

MTH 435 - Stochastické procesy (3 hodiny)
Podmienená pravdepodobnosť a očakávanie, modely pravdepodobnosti, Markovove reťazce, Poissonov proces, teória obnovy, Brownove pohybové procesy. Požiadavka: MTH 325 a MTH 207

MTH 490 - Témy z matematiky (3 hodiny)
Témy zvláštneho záujmu, ktoré sa môžu líšiť vždy, keď sa ponúka kurz. Téma uvedená v aktuálnom rozvrhu tried. Podmienka: súhlas inštruktora.

MTH 491 - Riadené individuálne štúdie z matematiky (1-16 hodín)
Individuálna práca v špeciálnych oblastiach matematiky pre pokročilých, kvalifikovaných študentov vysokoškolského štúdia. Môže sa registrovať dlhšie ako 6 hodín. kredit, iba ak sa zapíše do schváleného špeciálneho programu mimo kampus. Podmienka: súhlas predsedu katedry.

MTH 494 - Vedúci projekt z matematiky I (0 hodín)
Témy z matematiky vybrané, študované a diskutované študentmi pod vedením fakulty. Každý študent skúma oblasť matematiky a vyberie si tému, ktorá ho osobitne zaujíma. Podmienka: Seniorské státie (juniorské státie so súhlasom inštruktora).

MTH 495 - Vedúci projekt z matematiky II (3 hodiny)
Core Curr. EL, WI
Vybranú tému z matematiky študuje študent pod vedením fakulty. Každý študent napíše príspevok a prednesie prezentáciu na svoju tému. Predpoklad: MTH 494 senior standing.

MTH 501 - Témy z aplikovanej matematiky I (3 hodiny)
Teória, aplikácie a algoritmy pre základné problémy modernej aplikovanej matematiky. Symetrické lineárne systémy, minimálne princípy, rovnovážné rovnice, variačný počet, ortogonálne rozšírenia a zložité premenné. Predpoklad: MTH 224 alebo 345.

MTH 502 - Témy z aplikovanej matematiky II (3 hodiny)
Pokračovanie MTH 501. Vybrané numerické algoritmy: rýchla Fourierova transformácia, problémy s počiatočnými hodnotami, stabilita, z-transformácie a lineárne programovanie. Podmienka: MTH 501 alebo súhlas inštruktora.

MTH 510 - Numerické metódy I (3 hodiny)
Úvod do numerických a výpočtových aspektov rôznych matematických tém: konečná presnosť, riešenie nelineárnych rovníc, interpolácia, aproximácia, lineárne systémy rovníc a integrácia. Kríž uvedený na zozname ako CS 510. Predpoklad: CS 101 MTH 207 a 223.

MTH 511 - Numerické metódy II (3 hodiny)
Pokračovanie CS / MTH 510: ďalšie techniky integrácie, obyčajné diferenciálne rovnice, numerická lineárna algebra, nelineárne systémy rovníc, úlohy okrajových hodnôt a optimalizácia. Krížik uvedený ako CS 511. Predpoklad: MTH 224 alebo 345 CS / MTH 510.

MTH 514 - Parciálne diferenciálne rovnice (3 hodiny)
Fourierove rady a aplikácie na riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc. Oddelenie premenných, expanzie vlastných funkcií, Besselove funkcie, Greenove funkcie, Fourierova a Laplaceova transformácia. Predpoklad: MTH 224 alebo 345.


10.4: Besselove funkcie všeobecného poriadku - matematika

Tu prejdem fyzickejším spôsobom prezerania Besselovych funkcií. Besselovy funkcie sa vyskytujú často pri štúdiu problémov s valcovou symetriou. Takže keď uvidíte valcovú symetriu myslieť "Besselove funkcie & quot, sférická symetria myslieť" Legendrovy polynómy "a keď uvidíte karteziáni myslieť" sínus a kosínus ".

Predpokladajme, že chceme riešiť vo valcových súradniciach. Napíš. Táto substitúcia, la oddelenie premenných, vedie k rovniciam

Posledná rovnica je iba dvojrozmerná, odlišná od pôvodnej použitej vyššie, ktorá je trojrozmerná. Rov. (2) sa často označuje ako Helmoltzova rovnica. Na jeho riešenie sme mohli použiť dve metódy. Prvým je rozdelenie premenných na polárne súradnice. Toto dáva

ktorá má riešenia, kde n je celé číslo. Je to rovnaké ako v prípade rovnice (5.6), kapitola 13, Boas. Rovnica pre R, Boas (5.7) je

Chceli by sme vedieť, ako vyriešiť túto rovnicu, ktorá úzko súvisí s Besselovou rovnicou. Nevieme, ako to vyriešiť, takže máme dve možnosti. Jedným z nich je rozšírenie výkonovej série, ako je to urobené v kapitole 12 programu Boas. Namiesto toho môžeme ustúpiť k ekv. (2) a vyriešiť to v karteziánskych súradniciach. Ak urobíme separáciu premenných znova s, dostaneme

s ako podmienka pre dve konštanty a tá sa získa, keď prechádzate separáciou premenných. Takže F (x, y) možno napísať celkom peknou formou:

Všeobecné riešenie teda možno napísať

Fyzická interpretácia je nasledovná. je rovinná vlna pohybujúca sa v smere. Jeho veľkosť je obmedzená na K. Takže všeobecné riešenie pre eqn. (2) je súčet rovinných vĺn všetkých s rovnakou vlnovou dĺžkou (alebo vlnovým vektorom), ktoré sa pohybujú v ľubovoľnom smere. Koeficient udáva amplitúdu a fázu vlny pohybujúcej sa v smere.

Pretože existuje súvislý rozsah uhlov, do ktorých by vlna mohla ísť, mali by sme vlastne napísať eqn. (7) ako integrál vo všetkých možných uhloch. Takže písanie a môžeme prepísať ekv. (7) ako

Tu je uhol, ktorý smeruje k osi x. Ak si všimneme, že celé číslo je pravidelné, môžeme to prepísať na

Toto je všeobecné riešenie dvojrozmernej Helmoltzovej rovnice.

Teraz, ako to spojíme s eqn. (4) vyššie? Toto bolo dosiahnuté tým, že sme chceli špeciálne riešenie, ktoré by vyzeralo

Preto hľadáme riešenia pre eqn. (9), ktoré sú tejto formy. To je to, čo musíme hľadať pre vhodných. Nie je nemožné vidieť, že to robí trik! Toto dáva

Zdá sa, že sa to skutočne oddelilo r a komponenty do požadovanej formy. Takže v porovnaní s ekv. (10) Vidíme to

Tento integrál bude definovaný tak, aby sa rovnal špeciálnej funkcii. Zavoláme to. Je to len veľmi nepríjemný normalizačný faktor, ktorý musíme zahrnúť, ale je celkom nezaujímavý. Veľkou novinkou je vec. Toto sa nazýva „Besselova funkcia prvého druhu a rádu n“. Vyššie uvedený integrál je integrálnym vyjadrením tejto funkcie. A toto je konštrukcia riešením pre eqn. (4). S vyššie uvedeným integrálom existuje úzko spojená forma. Poďme. Potom

V súhrne možno Besselovu funkciu považovať za súčet dvojrozmerných rovinných vĺn prechádzajúcich všetkými možnými smermi.
Ďalej: O tomto dokumente Hore: Bez názvu Predošlý: Bez názvu


Prieskum prístupov zlomkového počtu k riešeniam Besselovej diferenciálnej rovnice všeobecného poriadku

V pozoruhodne veľkom počte nedávnych prác možno nájsť dôraz na (a demonštrácie) užitočnosti operátorov zlomkového počtu pri odvodzovaní (explicitných) konkrétnych riešení výrazne všeobecných rodín lineárnych obyčajných a parciálnych diferenciálnych rovníc druhého a vyššie objednávky. Hlavným cieľom tejto prezentácie je preskúmať niektoré predchádzajúce výskumy tohto jednoduchého prístupu zlomkového počtu k riešeniam klasickej Besselovej diferenciálnej rovnice všeobecného poriadku a ukázať, ako by to prirodzene viedlo k niekoľkým zaujímavým dôsledkom, medzi ktoré patrí napríklad alternatívne odvodenie úplných riešení energetických sérií, ktoré je možné získať zvyčajne Frobeniovou metódou. Podkladová analýza, ktorá je tu uvedená, je založená predovšetkým na niektorých všeobecných vetách o (explicitných) konkrétnych riešeniach určitej rodiny lineárnych bežných zlomkových diferenciálnych integrálnych rovníc s polynomiálnymi koeficientmi.


Obsah

KAPITOLA l. Konvexné obrázky 1

1. Rovinné konvexné postavy 1
2. Priesečníky a priečky rovinných konvexných útvarov 5
3. Podporné čiary pre dvojrozmerné konvexné postavy 8
4. Usmernené konvexné krivky a nasmerované podporné čiary 10
5. Vektory vonkajších normálov k rovinným konvexným obrázkom 13
6. Obvod s dĺžkou mnohouholníka konvexnej krivky 14
7. Konvexné tuhé látky 17
8. Podporné roviny a vonkajšie normály pre konvexné pevné látky 20
9. Stredové projekčné kužele 23
10. Konvexné sférické postavy 26
11. Najväčšie a najmenšie šírky konvexných postáv 28
12. Ovály konštantnej šírky Barbierova veta 34

KAPITOLA 2. Centrálne symetrické konvexné obrázky 39

13. Centrálna symetria a (paralelný) preklad 39
14. Delenie na stredovo-symetrické mnohosteny 42
15. Najväčšia centrálno-symetrická konvexná postava v mriežke celých čísel Minkowského teorém 44
16. Napĺňanie roviny a priestoru konvexnými figúrkami 51

KAPITOLA 3. Siete a konvexné mnohosteny 58

17. Vrcholy (uzly), tváre (oblasti) a hrany (čiary) Eulerova veta 58
18. Dôkaz vety o pripojených sieťach 61
19. Nerovnosti v odpojených sieťach 64
20. Zhoda a symetrická mnohostena Cauchy’s Theorem 66
21. Dôkaz Cauchyovej vety 71
22. Steinitzova oprava Cauchyovho dôkazu 73
23. Abstraktné a konvexné mnohosteny Steinitzova veta 81
24. Vývoj konvexného mnohostena Aleksandrovova veta 95

KAPITOLA 4. Lineárne systémy konvexných obrázkov 97

25. Lineárne operácie na bodoch

26. Lineárne operácie na obrazcoch „zmiešavajúcich“ obrazce

27. Lineárne systémy oblastí konvexných mnohouholníkov a „zmiešaných oblastí“
28. Žiadosti
29. Schwarzova nerovnosť iné nerovnosti
30. Vzťah medzi oblasťami Q, Q_ <1> a Q_, Brunn-Minkowského nerovnosť
31. Vzťah medzi oblasťami rovinných častí konvexných telies
32. Vety o najväčšej oblasti

KAPITOLA 5. Vety Minkowského a Aleksandrova pre kongruentnú konvexnú mnohostenu 132

33. Formulácia viet 132
34. Veta o konvexných polygónoch 134
35. Stredné mnohouholníky a mnohosteny 141
36. Dôkaz Aleksandrovovej vety 146

37. Presná definícia konvexného obrázku 150
38. Nepretržité mapovanie a funkcie 152
39. Pravidelné siete pravidelná a semiregulárna mnohostena 153
40. Izoperimetrický problém 164
41. Akordy ľubovoľnej kontinuy Leviho veta 166
42. Čísla v mriežke celých čísel Blichfeldtova veta 172
43. Topologické vety od Lebesgueovej a Bol’-Brouwera 175
44. Zovšeobecnenie na n rozmerov 182
45. Konvexné obrazce v normovaných priestoroch 185


Frakčný počet zovšeobecnenej Lommel-Wrightovej funkcie a jej rozšírená beta transformácia

V tejto práci použijeme zovšeobecnené Saigoove zlomkové diferenciálne a integrálne operátory, ktoré majú ako jadro $ k $ -hypergeometrickú funkciu, na rozšírenú funkciu Lommel-Wright. Výsledky sú komunikované vo forme funkcie k-Wright a sú použité na výpočet beta transformácie. Novosť a zovšeobecnenie získaných výsledkov sa ukazuje ich spojením s existujúcou literatúrou ako špeciálnymi prípadmi.

Citácia: Saima Naheed, Shahid Mubeen, Thabet Abdeljawad. Frakčný počet zovšeobecnenej Lommel-Wrightovej funkcie a jej rozšírená beta transformácia [J]. AIMS Mathematics, 2021, 6 (8): 8276-8293. doi: 10,3934 / matematika.2021479

Súvisiace články:

Abstrakt

V tejto práci použijeme zovšeobecnené Saigoove zlomkové diferenciálne a integrálne operátory, ktoré majú ako jadro $ k $ -hypergeometrickú funkciu, na rozšírenú funkciu Lommel-Wright. Výsledky sú komunikované vo forme funkcie k-Wright a sú použité na výpočet beta transformácie. Novosť a zovšeobecnenie získaných výsledkov sa ukazuje ich spojením s existujúcou literatúrou ako špeciálnymi prípadmi.


Pozri si video: Obične diferencijalne jednadžbe - sažetak (November 2021).