Podrobne

Nulové, komplexné a racionálne korene


Nulové korene

Akákoľvek algebraická rovnica, ktorej nezávislý termín je nula pripúšťa číslo nula ako root, ktorého multiplicita sa rovná najmenšiemu exponentovi neznámeho.

Tieto korene sa nazývajú nulové korene.

Príklady:

Komplexné korene

Vyriešme algebraickú rovnicu x² -2x + 2 = 0:

Môže sa preukázať, že ak komplexné číslo, ktorého imaginárna časť nie je nulová, je koreňom rovnice so skutočnými koeficientmi, jej konjugát je tiež koreňom tejto rovnice.

dôsledky:

  • Počet komplexných koreňov algebraickej rovnice skutočných koeficientov je nevyhnutne rovnaký;
  • Ak je algebraická rovnica skutočných koeficientov nepárny stupeň, bude predpokladať aspoň jeden skutočný koreň.

Racionálne korene

Zadaná algebraická rovnica celočíselných koeficientov s  a , ak existujú racionálne korene, budú tieto. , s p a q bratranci medzi sebou, čo p je delič  a q je deliteľom .

Napríklad v rovnici máme:

 pozorovania:

  • Nie každé získané číslo je koreňom rovnice. Po vymenovaní racionálnych koreňových kandidátov musíme vykonať overenie.
  • Toto hľadanie racionálnych koreňov je možné vykonať iba na rovniciach s celými koeficientmi.
  • ak = 1, koreňovými kandidátmi sú delitelia .
  • Ak je súčet koeficientov rovnice nula, číslo 1 bude koreň rovnice.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu .

rezolúcia

Pretože koeficient najvyššieho stupňa je 1, kandidáti na racionálne korene sú deliteľmi nezávislého pojmu:

 {-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6}

Pozrime sa na niektoré z týchto hodnôt:

P (-6) = 840 (- 6 nie root)P (6) = 1260 (6 nie root)
P (1) = 0 1 je to rootP (-1) = 0-1 je to root

Pretože máme rovnicu 4. stupňa a poznáme jej dve korene, pri použití zariadenia Briot-Ruffini dostaneme rovnicu druhého stupňa:

Takže rovnica možno písať ako (x - 1) (x + 1) .Q (x) = 0s Q (x) = x² + x - 6. Riešenia rovnice sú: -1, 1 a korene Q (x):

Preto je súbor riešení rovnice é:

S = {-3, -1, 1, 2}

Príklad 2

Vyriešte rovnicu :

rezolúcia

uvedenie x na dôkaz, máme:

Takže koreň je 0 a ostatné sú riešením rovnice .

Všimnite si, že v všetky koeficienty sú celé čísla. Keďže koeficient najvyššieho stupňa je 1, kandidáti na racionálne korene sú deliteľmi nezávislého pojmu:

{-3, -1, 1, 3}

Tvorba overenie:

P (-3) = 0-3 je to rootP (3) = 120
P (-1) = -8P (1) = 01 je to root

Môžeme napísať rovnicu nasledovne:

Už vieme, že kvocient podľa x é , Teraz sa rozdeľme podľa (x + 3) a tento kvocient pre (x - 1) dostať Q (x):

Q (x) = x² + 1

Takže súbor riešení rovnice é:

S = {-3, 0,1, -1, i}
Ďalšie: Girard Relations