Články

16.4: Greenova veta


Učebné ciele

  • Použite obehovú formu Greenovej vety.
  • Použite formu toku Greenovej vety.
  • Vypočítajte obeh a tok vo všeobecnejších regiónoch.

V tejto časti skúmame Greenovu vetu, ktorá predstavuje rozšírenie základnej vety kalkulu do dvoch dimenzií. Greenova veta má dve formy: cirkulačnú formu a formu toku, ktoré obidve vyžadujú jednoduché spojenie oblasti (D ) v dvojitom integrále. Greenovu vetu však rozšírime aj na regióny, ktoré nie sú jednoducho spojené.

Zjednodušene možno povedať, že Greenova veta súvisí s integrálnou priamkou okolo jednoducho uzavretej rovinnej krivky (C ) a dvojitým integrálom cez oblasť ohraničenú (C ). Veta je užitočná, pretože nám umožňuje preložiť ťažké lineárne integrály do jednoduchších dvojitých integrálov alebo ťažké dvojité integrály do jednoduchších lineárnych integrálov.

Rozšírenie základnej vety kalkulu

Pripomeňme, že to hovorí Základná veta o počte

[ int_a ^ b F '(x) , dx = F (b) -F (a). ]

Ako geometrický údaj táto rovnica hovorí, že integrál cez oblasť pod grafom (F ′ (x) ) a nad úsečkou ([a, b] ) závisí iba od hodnoty (F ) v koncových bodoch (a ) a (b ) daného segmentu. Pretože čísla (a ) a (b ) sú hranicou úsečky ([a, b] ), veta hovorí, že môžeme vypočítať integrál ( int_a ^ b F ′ (x) , dx ) na základe informácií o hranici úsečky ([a, b] ) (obrázok ( PageIndex {1} )). Rovnaká myšlienka platí aj pre základnú vetu pre lineárne integrály:

[ int_C vecs nabla f · d vecs r = f ( vecs r (b)) - f ( vecs r (a)). ]

Keď máme potenciálnu funkciu („primitívnu funkciu“), môžeme vypočítať integrál priamky iba na základe informácií o hranici krivky (C ).

Greenova veta berie túto myšlienku a rozširuje ju na výpočet dvojitých integrálov. Greenova veta hovorí, že môžeme vypočítať dvojitý integrál cez oblasť (D ) iba na základe informácií o hranici (D ). Greenova veta tiež hovorí, že môžeme vypočítať integrálnu čiaru cez jednoduchú uzavretú krivku (C ) iba na základe informácií o oblasti, ktorú (C ) obklopuje. Greenova veta spája najmä dvojitý integrál cez oblasť (D ) s integrálnou čiarou okolo hranice (D ).

Forma obehu Greenovej vety

Prvou formou Greenovej vety, ktorú skúmame, je cirkulačná forma. Táto forma vety spojuje integrál vektorovej čiary cez jednoduchú uzavretú rovinnú krivku (C ) s dvojitým integrálom cez oblasť ohraničenú (C ). Preto je možné cirkuláciu vektorového poľa pozdĺž jednoduchej uzavretej krivky transformovať na dvojitý integrál a naopak.

GREEN’S THEOREM (CIRCULATION FORM)

Nech (D ) je otvorená, jednoducho spojená oblasť s hraničnou krivkou (C ), ktorá je po častiach hladká, jednoduchá uzavretá krivka orientovaná proti smeru hodinových ručičiek (Obrázok ( PageIndex {1} )). Nech ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) je vektorové pole s komponentnými funkciami, ktoré majú na (D ) spojité parciálne derivácie. Potom,

[ begin {align} mast_C vecs F · d vecs r = mast_C P , dx + Q , dy [4pt] = iint_D (Q_x − P_y) , dA. end {align} ]

Všimnite si, že Greenovu vetu je možné použiť iba pre dvojrozmerné vektorové pole ( vecs F ). Ak ( vecs F ) je trojrozmerné pole, potom Greenova veta neplatí. Odkedy

[ Displaystyle int_C P , dx + Q , dy = int_C vecs F · vecs T , ds ]

táto verzia Greenovej vety je niekedy označovaná ako tangenciálna forma Greenovej vety.

Dôkaz Greenovej vety je skôr technický a presahuje rámec tohto textu. Tu skúmame dôkaz vety v špeciálnom prípade, že (D ) je obdĺžnik. Zatiaľ si všimnime, že môžeme rýchlo potvrdiť, že veta platí pre špeciálny prípad, v ktorom ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) je konzervatívny. V tomto prípade,

[ mast_C P , dx + Q , dy = 0 ]

pretože obeh je v konzervatívnych vektorových poliach nulový. ( vecs F ) vyhovuje prierezovej podmienke, takže (P_y = Q_x ). Preto

[ iint_D (Q_x − P_y) , dA = int_D 0 , dA = 0 = mast_C P , dx + Q , dy ]

čo potvrdzuje Greenovu vetu v prípade konzervatívne vektorové polia.

Dôkaz

Teraz si dokážme, že obehová forma Greenovej vety je pravdivá, keď je oblasť (D ) obdĺžnik. Nech (D ) je obdĺžnik ([a, b] × [c, d] ) orientovaný proti smeru hodinových ručičiek. Potom hranica (C ) (D ) pozostáva zo štyroch po kúskoch hladkých častí (C_1 ), (C_2 ), (C_3 ) a (C_4 ) (Obrázok ( PageIndex {3} )). Parametrizujeme každú stranu (D ) takto:

(C_1: vecs r_1 (t) = ⟨t, c⟩ ), (a≤t≤b )

(C_2: vecs r_2 (t) = ⟨b, t⟩ ), (c≤t≤d )

(- C_3: vecs r_3 (t) = ⟨t, d⟩ ), (a≤t≤b )

(- C_4: vecs r_4 (t) = ⟨a, t⟩ ), (c≤t≤d ).

Potom,

[ begin {align *} int_C vecs F · d vecs r & = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F · d vecs r + int_ {C_3 } vecs F · d vecs r + int_ {C_4} vecs F · d vecs r [4pt] & = int_ {C_1} vecs F · d vecs r + int_ {C_2} vecs F · D vecs r− int _ {- C_3} vecs F · d vecs r− int _ {- C_4} vecs F · d vecs r [4pt] & = int_a ^ b vecs F ( vecs r_1 (t)) · vecs r_1 '(t) , dt + int_c ^ d vecs F ( vecs r_2 (t)) · vecs r_2' (t) , dt− int_a ^ b vecs F ( vecs r_3 (t)) · vecs r_3 '(t) , dt− int_c ^ d vecs F ( vecs r_4 (t)) · vecs r_4' (t) , dt [4pt] & = int_a ^ b P (t, c) , dt + int_c ^ dQ (b, t) , dt− int_a ^ bP (t, d) , dt− int_c ^ dQ (a , t) , dt [4pt] & = int_a ^ b (P (t, c) −P (t, d)) , dt + int_c ^ d (Q (b, t) −Q (a , t)) , dt [4pt] & = - int_a ^ b (P (t, d) −P (t, c)) , dt + int_c ^ d (Q (b, t) −Q (a, t)) , dt. end {zarovnať *} ]

Podľa základnej vety kalkulu,

[P (t, d) −P (t, c) = int_c ^ d dfrac { čiastočné} { čiastočné y} P (t, y) dy nonumber ]

a

[Q (b, t) −Q (a, t) = int_a ^ b dfrac { čiastočné} { čiastočné x} Q (x, t) , dx. nonumber ]

Preto

[- int_a ^ b (P (t, d) −P (t, c)) , dt + int_c ^ d (Q (b, t) −Q (a, t)) , dt = - int_a ^ b int_c ^ d dfrac { částečné} { částečné y} P (t, y) , dy , dt + int_c ^ d int_a ^ b dfrac { čiastočné} { čiastočné x} Q (x, t) , dx , dt. nonumber ]

Ale,

[ begin {align *} - int_a ^ b int_c ^ d dfrac { čiastočné} { čiastočné y} P (t, y) , dy , dt + int_c ^ d int_a ^ b dfrac { čiastočné} { čiastočné x} Q (x, t) , dx , dt & = - int_a ^ b int_c ^ d dfrac { čiastočné} { čiastočné y} P (x, y) , dy , dx + int_c ^ d int_a ^ b dfrac { částečné} { čiastočné x} Q (x, y) , dx , dy [4pt] & = int_a ^ b int_c ^ d (Q_x − P_y) , dy , dx [4pt] & = iint_D (Q_x − P_y) , dA. end {zarovnať *} ]

Preto sme preukázali Greenovu vetu v prípade obdĺžnika. ( Displaystyle int_C vecs F cdot d vecs r = iint_D (Q_x − P_y) , dA )

( ámestie)

Aby sme dokázali Greenovu vetu cez všeobecnú oblasť (D ), môžeme ju rozložiť (D ) na veľa malých obdĺžnikov a použiť dôkaz, že veta funguje cez obdĺžniky. Podrobnosti sú však technické a presahujú rámec tohto textu.

Príklad ( PageIndex {1} ): Aplikácia Greenovej vety na obdĺžnik

Vypočítajte čiarový integrál

[ mast_C x ^ 2ydx + (y − 3) dy, nonumber ]

kde (C ) je obdĺžnik s vrcholmi ((1,1) ), ((4,1) ), ((4,5) ) a ((1,5) ) orientované proti smeru hodinových ručičiek.

Riešenie

Nech ( vecs F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ = ⟨x ^ 2y, y − 3⟩ ). Potom (Q_x (x, y) = 0 ) a (P_y (x, y) = x ^ 2 ). Preto (Q_x − P_y = −x ^ 2 ).

Nech (D ) je obdĺžniková oblasť ohraničená (C ) (Obrázok ( PageIndex {4} )). Podľa Greenovej vety

[ begin {align *} mast_C x ^ 2ydx + (y − 3) , dy & = iint_D (Q_x − P_y) , dA [4pt] & = iint_D −x ^ 2 , dA = int_1 ^ 5 int_1 ^ 4 − x ^ 2 , dx , dy [4pt] & = int_1 ^ 5−21 , dy = −84. end {zarovnať *} ]

Analýza

Ak by sme mali hodnotiť tento integrál priamky bez použitia Greenovej vety, museli by sme parametrizovať každú stranu obdĺžnika, rozdeliť integrál čiary na štyri samostatné integrály čiar a použiť metódy z časti s názvom Line Integrals vyhodnotiť každý integrál. Ďalej, keďže tu vektorové pole nie je konzervatívne, nemôžeme použiť Fundamental Theorem for Line Integrals. Greenova veta robí výpočet oveľa jednoduchším.

Príklad ( PageIndex {2} ): Aplikácia Greenovej vety na výpočet práce

Vypočítajte prácu vykonanú na častici pomocou silového poľa

[ vecs F (x, y) = ⟨y + sin x, e ^ y − x⟩ nonumber ]

keď častica prechádza kruhom (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) presne raz v smere proti smeru hodinových ručičiek, začína a končí v bode ((2,0) ).

Riešenie

Nech (C ) označuje kruh a (D ) je disk ohraničený (C ). Práca vykonaná na častici je

[W = mast_C (y + sin x) , dx + (e ^ y − x) , dy. nonumber ]

Rovnako ako v príklade ( PageIndex {1} ), aj tento integrál je možné vypočítať pomocou nástrojov, ktoré sme sa naučili, ale je jednoduchšie použiť dvojitý integrál daný Greenovou vetou (obrázok ( PageIndex {5} )).

Nech ( vecs F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ = ⟨y + sin x, e ^ y − x⟩ ). Potom (Q_x = −1 ) a (P_y = 1 ). Preto (Q_x − P_y = -2).

Podľa Greenovej vety

[ begin {align *} W & = mast_C (y + sin (x)) dx + (e ^ y − x) , dy [4pt] & = iint_D (Q_x − P_y) , dA [4pt] & = iint_D − 2 , dA [4pt] & = - 2 (plocha (D)) = - 2 pi (2 ^ 2) = - 8 pi. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Na výpočet integrálu priamky použite Greenovu vetu

[ mast_C sin (x ^ 2) , dx + (3x − y) , dy. ]

kde (C ) je pravý trojuholník s vrcholmi ((- 1,2) ), ((4,2) ) a ((4,5) ) orientovanými proti smeru hodinových ručičiek.

Pomôcka

Transformujte integrál priamky na dvojitý integrál.

Odpoveď

( dfrac {45} {2} )

V predchádzajúcich dvoch príkladoch bol dvojitý integrál v Greenovej vete ľahšie vypočítateľný ako integrál priamky, preto sme na výpočet integrálu priamky použili vetu. V nasledujúcom príklade je dvojitý integrál ťažšie vypočítateľný ako spojnicový integrál, preto na prevedenie dvojitého integrálu do lineárneho integrátu použijeme Greenovu vetu.

Príklad ( PageIndex {3} ): Aplikácia Greenovej vety na elipsu

Vypočítajte oblasť ohraničenú elipsou ( dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) (obrázok ( PageIndex {6} )).

Riešenie

Nech (C ) označuje elipsu a nech (D ) je oblasť ohraničená (C ). Pripomeňme si, že elipsu (C ) možno parametrovať pomocou

  • (x = a cos t ),
  • (y = b sin t ),
  • (0≤t≤2 pi ).

Výpočet plochy (D ) je ekvivalentný výpočtu dvojitého integrálu ( iint_D , dA ). Aby sme vypočítali tento integrál bez Greenovej vety, museli by sme rozdeliť (D ) na dva regióny: región nad X- os a región pod ňou. Plocha elipsy je

[ int _ {- a} ^ a int_0 ^ { sqrt {b ^ 2 - {(bx / a)} ^ 2}} , dy , dx + int _ {- a} ^ {a} int_ {- sqrt {b ^ 2 - {(bx / a)} ^ 2}} ^ {0} , dy , dx. nonumber ]

Tieto dva integrály nie je možné priamo vypočítať (aj keď keď poznáme hodnotu prvého integrálu, poznáme hodnotu druhého podľa symetrie). Namiesto toho, aby sme sa ich pokúsili vypočítať, použijeme Greenovu vetu na transformáciu ( iint_D , dA ) na integrálny riadok okolo hranice (C ).

Zvážte vektorové pole

[F (x, y) = ⟨P, Q⟩ = ⟨− dfrac {y} {2}, dfrac {x} {2}⟩. nonumber ]

Potom (Q_x = dfrac {1} {2} ) a (P_y = - dfrac {1} {2} ), a teda (Q_x − P_y = 1 ). Všimnite si, že ( vecs F ) bol vybraný, aby mal vlastnosť (Q_x − P_y = 1 ). Pretože toto je tento prípad, Greenova veta transformuje riadkový integrál ( vecs F ) nad (C ) na dvojitý integrál 1 nad (D ).

Podľa Greenovej vety

[ begin {align *} iint_D , dA & = iint_D (Q_x − P_y) , dA [4pt] & = int_C vecs F cdot d vecs r = dfrac {1} { 2} int_C −y , dx + x , dy [4pt] & = dfrac {1} {2} int_0 ^ {2 pi} −b sin t (−a sin t) + a ( cos t) b cos t , dt [4pt] & = dfrac {1} {2} int_0 ^ {2 pi} ab { cos} ^ 2 t + ab { sin} ^ 2 t , dt [4pt] & = dfrac {1} {2} int_0 ^ {2 pi} ab , dt = pi ab. end {zarovnať *} ]

Preto je oblasť elipsy ( pi ab ; text {units} ^ 2 ).

V príklade ( PageIndex {3} ) sme použili vektorové pole ( vecs F (x, y) = ⟨P, Q⟩ = ⟨− dfrac {y} {2}, dfrac {x} { 2}⟩ ) vyhľadajte oblasť ľubovoľnej elipsy. Logiku predchádzajúceho príkladu možno rozšíriť tak, aby sa odvodil vzorec pre oblasť ktorejkoľvek oblasti (D ). Nech (D ) je ľubovoľná oblasť s hranicou, ktorá je jednoduchou uzavretou krivkou (C ) orientovanou proti smeru hodinových ručičiek. Ak (F (x, y) = ⟨P, Q⟩ = ⟨− dfrac {y} {2}, dfrac {x} {2}⟩ ), potom (Q_x − P_y = 1 ). Preto rovnakou logikou ako v príklade ( PageIndex {3} ),

[ text {oblasť} ; D = iint_D dA = dfrac {1} {2} mast_C − ydx + xdy. label {greenarea} ]

Stojí za zmienku, že ak (F = ⟨P, Q⟩ ) je akékoľvek vektorové pole s (Q_x − P_y = 1 ), potom logika predchádzajúceho odseku bude fungovať. Takže Rovnica ref {greenarea} nie je jediná rovnica, ktorá využíva zmiešané častice vektorového poľa na získanie oblasti regiónu.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkou s parametrizáciou (r (t) = ⟨ sin t cos t, sin t⟩ ), (0≤t≤ pi ).

Pomôcka

Použite rovnicu ref {greenarea}.

Odpoveď

( dfrac {4} {3} )

Fluxová forma Greenovej vety

Cirkulačná forma Greenovej vety uvádza dvojitý integrál cez oblasť (D ) do riadkového integrálu ( mast_C vecs F · vecs Tds ), kde (C ) je hranica (D ). Forma toku Greenovej vety spája dvojitý integrál cez oblasť (D ) s tokom cez hranicu (C ). Tok tekutiny cez krivku môže byť ťažké vypočítať pomocou integrálnej čiary toku. Táto forma Greenovej vety nám umožňuje preložiť zložitý integrál toku do dvojitého integrálu, ktorý je často ľahšie vypočítať.

GREEN’S THEOREM (FLUX FORM)

Nech (D ) je otvorená, jednoducho spojená oblasť s hraničnou krivkou (C ), čo je po častiach hladká, jednoduchá uzavretá krivka, ktorá je orientovaná proti smeru hodinových ručičiek (Obrázok ( PageIndex {7} )). Nech ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) je vektorové pole s komponentnými funkciami, ktoré majú spojité čiastkové derivácie na otvorenej oblasti obsahujúcej (D ). Potom,

[ mast_C vecs F · vecs N , ds = iint_D P_x + Q_y , dA. label {GreenN} ]

Pretože táto forma Greenovej vety obsahuje jednotkový normálny vektor ( vecs N ), niekedy sa označuje ako normálna forma Greenovej vety.

Dôkaz

Pripomeňme si, že ( Displaystyle mast_C vecs F · vecs N , ds = mast_C −Q , dx + P , dy ). Nech (M = -Q ) a (N = P ). Cirkulárnou formou Greenovej vety,

[ begin {align *} mast_C − Q , dx + P , dy & = mast_C M , dx + N , dy [4pt] & = iint_D N_x − M_y , dA [4pt] & = iint_D P_x - {(- Q)} _ y , dA [4pt] & = iint_D P_x + Q_y , dA. end {zarovnať *} ]

( ámestie)

Príklad ( PageIndex {4A} ): Aplikácia Greenovej vety na tok v kruhu

Nech (C ) je kruh s polomerom (r ) vycentrovaný na počiatku (obrázok ( PageIndex {8} )) a nech ( vecs F (x, y) = ⟨x, y⟩ ). Vypočítajte tok cez (C ).

Riešenie

Nech (D ) je disk ohraničený (C ). Tok naprieč (C ) je ( displaystyle mast_C vecs F · vecs N , ds ). Tento integrál by sme mohli vyhodnotiť pomocou nástrojov, ktoré sme sa naučili, ale Greenova veta robí výpočet oveľa jednoduchším. Nech (P (x, y) = x ) a (Q (x, y) = y ) takže ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ). Všimnite si, že (P_x = 1 = Q_y ), a teda (P_x + Q_y = 2 ). Podľa Greenovej vety

[ int_C vecs F cdot vecs N , ds = iint_D 2 , dA = 2 iint_D , dA. ]

Pretože ( Displaystyle iint_D , dA ) je oblasť kruhu, ( displaystyle iint_D , dA = pi r ^ 2 ). Preto je tok cez (C ) (2 pi r ^ 2 ).

Príklad ( PageIndex {4B} ): Aplikácia Greenovej vety na tok v trojuholníku

Nech (S ) je trojuholník s vrcholmi ((0,0) ), ((1,0) ) a ((0,3) ) orientovanými v smere hodinových ručičiek (obrázok ( PageIndex { 9} )). Vypočítajte tok ( vecs F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y)⟩ = ⟨x ^ 2 + e ^ y, x + y⟩ ) naprieč (S ).

Riešenie

Na výpočet toku bez Greenovej vety by sme museli rozdeliť integrál toku na tri líniové integrály, jeden integrál pre každú stranu trojuholníka. Používanie Greenovej vety na prevedenie integrálnej čiary toku do jediného dvojitého integrálu je oveľa jednoduchšie.

Nech (D ) je oblasť ohraničená (S ). Všimnite si, že (P_x = 2x ) a (Q_y = 1 ); preto (P_x + Q_y = 2x + 1 ). Greenova veta platí iba pre jednoduché uzavreté krivky orientované proti smeru hodinových ručičiek, ale vetu stále môžeme použiť, pretože ( displaystyle mast_C vecs F · vecs N , ds = - mast _ {- S} vecs F · vecs N , ds ) a (- S ) sú orientované proti smeru hodinových ručičiek. Podľa Greenovej vety je tok

[ begin {align *} mast_C vecs F · vecs N , ds & = mast _ {- S} vecs F · vecs N , ds [4pt] & = - iint_D (P_x + Q_y) , dA [4pt] & = - iint_D (2x + 1) , dA. End {align *} ]

Všimnite si, že horný okraj trojuholníka je čiara (y = −3x + 3 ). Preto v iterovanom dvojitom integrále hodnoty (y ) - prebiehajú od (y = 0 ) do (y = -3x + 3 ) a máme

[ begin {align *} - iint_D (2x + 1) , dA & = - int_0 ^ 1 int_0 ^ {- 3x + 3} (2x + 1) , dy , dx [4 pt ] & = - int_0 ^ 1 (2x + 1) (- 3x + 3) , dx [4pt] & = - int_0 ^ 1 (−6x ^ 2 + 3x + 3) , dx [ 4pt] & = - {[- 2x ^ 3 + dfrac {3x ^ 2} {2} + 3x]} _ 0 ^ 1 [4pt] & = - dfrac {5} {2}. end {zarovnať *} ]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vypočítajte tok ( vecs F (x, y) = ⟨x ^ 3, y ^ 3⟩ ) cez jednotkovú kružnicu orientovanú proti smeru hodinových ručičiek.

Pomôcka

Použite Greenovu vetu a použite polárne súradnice.

Odpoveď

( dfrac {3 pi} {2} )

Príklad ( PageIndex {5} ): Aplikácia Greenovej vety na prietok vody cez obdĺžnik

Voda tečie z prameňa umiestneného pri zdroji. Rýchlosť vody je modelovaná vektorovým poľom ( vecs v (x, y) = ⟨5x + y, x + 3y⟩ ) m / s. Nájdite množstvo vody za sekundu, ktorá preteká cez obdĺžnik s vrcholmi ((- 1, -2) ), ((1, -2) ), ((1,3) ) a ( (−1,3) ), orientované proti smeru hodinových ručičiek (obrázok ( PageIndex {10} )).

Riešenie

Nech (C ) predstavuje daný obdĺžnik a nech (D ) je obdĺžniková oblasť ohraničená (C ). Aby sme zistili množstvo vody pretekajúce cez (C ), vypočítame tok ( int_C vecs v cdot d vecs r ). Nech (P (x, y) = 5x + y ) a (Q (x, y) = x + 3y ) takže ( vecs v = ⟨P, Q⟩ ). Potom (P_x = 5 ) a (Q_y = 3 ). Podľa Greenovej vety

[ begin {align *} int_C vecs v cdot d vecs r & = iint_D (P_x + Q_y) , dA & = iint_D 8 , dA & = 8 (plocha priestor z priestoru D) = 80. end {zarovnať *} ]

Preto je tok vody 80 m2/ s

Pripomeňme, že ak je vektorové pole ( vecs F ) konzervatívne, potom ( vecs F ) nepracuje okolo uzavretých kriviek - to znamená, že obeh ( vecs F ) okolo uzavretej krivky je nulový. V skutočnosti, ak je doména ( vecs F ) jednoducho spojená, potom je ( vecs F ) konzervatívny práve vtedy, ak je cirkulácia ( vecs F ) okolo ľubovoľnej uzavretej krivky nulová. Ak nahradíme „obeh ( vecs F )“ výrazom „tok ( vecs F )“, dostaneme definíciu vektorového poľa bez zdroja. Nasledujúce príkazy sú ekvivalentnými spôsobmi definovania poľa bez zdroja ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) na jednoducho pripojenej doméne (všimnite si podobnosti s vlastnosťami konzervatívnych vektorových polí):

  1. Tok cez ľubovoľnú uzavretú krivku je (C ) nulový. ( Displaystyle mast_C vecs F · vecs N , ds )
  2. Ak (C_1 ) a (C_2 ) sú krivky v doméne ( vecs F ) s rovnakými východiskovými bodmi a koncovými bodmi, potom ( displaystyle int_ {C_1} vecs F · vecs N , ds = int_ {C_2} vecs F · vecs N , ds ). Inými slovami, tok je nezávislý od dráhy.
  3. Pre ( vecs F ) existuje funkcia prúdu (g (x, y) ). Funkcia toku pre ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) je funkcia g také, že (P = g_y ) a (Q = −g_x ). Geometricky je ( vecs F = langle a, b rangle ) tangenciálne k úrovňovej krivke (g ) v ((a, b) ). Pretože gradient (g ) je kolmý na úrovňovú krivku (g ) v ((a, b) ), prúdová funkcia (g ) má vlastnosť ( vecs F (a, b) cdot vecs nabla g (a, b) = 0 ) pre akýkoľvek bod ((a, b) ) v doméne (g ). (Funkcie toku hrajú pri poliach bez zdroja rovnakú úlohu ako pri konzervatívnych poliach potenciálne funkcie.)
  4. (P_x + Q_y = 0 )

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie funkcie streamu

Overte, či je vektorové rotačné pole ( vecs F (x, y) = ⟨y, −x⟩ ) bez zdroja, a vyhľadajte funkciu streamu pre ( vecs F ).

Riešenie

Upozorňujeme, že doména ( vecs F ) je celá (ℝ ^ 2 ), ktorá je jednoducho spojená. Preto, aby sme ukázali, že ( vecs F ) nemá zdroj, môžeme ukázať, že ktorákoľvek z položiek 1 až 4 z predchádzajúceho zoznamu je pravdivá. V tomto príklade ukážeme, že položka 4 je pravdivá. Nech (P (x, y) = y ) a (Q (x, y) = - x ). Potom (P_x + 0 = Q_y ), a teda (P_x + Q_y = 0 ). Takže ( vecs F ) je bez zdroja.

Pri hľadaní funkcie toku pre ( vecs F ) postupujte rovnako ako pri hľadaní potenciálnej funkcie pre konzervatívne pole. Nech (g ) je funkcia streamu pre ( vecs F ). Potom (g_y = y ), z čoho vyplýva, že

(g (x, y) = dfrac {y ^ 2} {2} + h (x) ).

Pretože (- g_x = Q = −x ), máme (h ′ (x) = x ). Preto

(h (x) = dfrac {x ^ 2} {2} + C ).

Písmeno (C = 0 ) dáva funkciu streamu

(g (x, y) = dfrac {x ^ 2} {2} + dfrac {y ^ 2} {2} ).

Ak chcete potvrdiť, že (g ) je prúdová funkcia pre ( vecs F ), nezabudnite, že (g_y = y = P ) a (- g_x = −x = Q ).

Všimnite si, že vektorové pole rotácie bez zdroja ( vecs F (x, y) = ⟨y, −x⟩ ) je kolmé na konzervatívne radiálne vektorové pole ( vecs nabla g = ⟨x, y⟩ ) ( Obrázok ( PageIndex {11} )).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nájdite funkciu toku pre vektorové pole ( vecs F (x, y) = ⟨x sin y, cos y⟩ ).

Pomôcka

Postupujte podľa pokynov uvedených v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

(g (x, y) = - x cos y )

Vektorové polia, ktoré sú konzervatívne aj bez zdrojov, sú dôležité vektorové polia. Jednou dôležitou vlastnosťou konzervatívnych vektorových polí bez zdrojov na jednoducho pripojenej doméne je to, že akákoľvek potenciálna funkcia (f ) takéhoto poľa spĺňa Laplaceovu rovnicu (f_ {xx} + f_ {yy} = 0 ). Laplaceova rovnica je základná v oblasti parciálnych diferenciálnych rovníc, pretože modeluje také javy ako gravitačné a magnetické potenciály v priestore a rýchlostný potenciál ideálnej tekutiny. Funkcia, ktorá vyhovuje Laplaceovej rovnici, sa nazýva a harmonický funkcie. Preto je akákoľvek potenciálna funkcia konzervatívneho a vektorového poľa bez zdrojov harmonická.

Aby sme videli, že akákoľvek potenciálna funkcia konzervatívneho a bezzdrojového vektorového poľa na jednoducho pripojenej doméne je harmonická, nech je (f ) takou potenciálnou funkciou vektorového poľa ( vecs F = ⟨P, Q⟩ ) . Potom (f_x = P ) a (f_x = Q ), pretože ( vecs nabla f = vecs F ). Preto (f_ {xx} = P_x ) a (f_ {yy} = Q_y ). Pretože ( vecs F ) je bez zdroja, (f_ {xx} + f_ {yy} = P_x + Q_y = 0 ) a máme to, že (f ) je harmonický.

Príklad ( PageIndex {7} ): Uspokojenie Laplaceovej rovnice

Pre vektorové pole ( vecs F (x, y) = ⟨e ^ x sin y, e ^ x cos y⟩ ) overte, či je pole konzervatívne aj voľné, nájdite potenciálnu funkciu pre ( vecs F ) a overte, či je potenciálna funkcia harmonická.

Riešenie

Nech (P (x, y) = e ^ x sin y ) a (Q (x, y) = e ^ x cos y ). Všimnite si, že doména ( vecs F ) je celá dvojpriestorová, ktorá je jednoducho spojená. Preto môžeme skontrolovať medzičlánky ( vecs F ), aby sme určili, či je ( vecs F ) konzervatívny. Všimnite si, že (P_y = e ^ x cos y = Q_x ), takže ( vecs F ) je konzervatívny. Pretože (P_x = e ^ x sin y ) a (Q_y = e ^ x sin y ), (P_x + Q_y = 0 ) a pole je bez zdroja.

Ak chcete nájsť potenciálnu funkciu pre ( vecs F ), nech je (f ) potenciálnou funkciou. Potom ( vecs nabla f = vecs F ), takže (f_x (x, y) = e ^ x sin y ). Integrácia tejto rovnice s ohľadom na X dáva (f (x, y) = e ^ x sin y + h (y) ). Pretože (f_y (x, y) = e ^ x cos y ), rozlišovanie (f ) vzhľadom na r dáva (e ^ x cos y = e ^ x cos y + h ′ (y) ). Preto môžeme brať (h (y) = 0 ) a (f (x, y) = e ^ x sin y ) je potenciálna funkcia pre (f ).

Ak si chcete overiť, že (f ) je harmonická funkcia, nezabudnite, že (f_ {xx} (x, y) = dfrac { čiastočné} { čiastočné x} (e ^ x sin y) = e ^ x sin y ) a

(f_ {yy} (x, y) = dfrac { čiastočné} { čiastočné x} (e ^ x cos y) = - e ^ x sin y ). Preto (f_ {xx} + f_ {yy} = 0 ) a (f ) vyhovuje Laplaceovej rovnici.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Je funkcia (f (x, y) = e ^ {x + 5y} ) harmonická?

Pomôcka

Určte, či funkcia vyhovuje Laplaceovej rovnici.

Odpoveď

Nie

Green’s Theorem on General Regions

Greenova veta, ako sa uvádza, sa vzťahuje iba na oblasti, ktoré sú jednoducho spojené - to znamená, že Greenova veta, ako je uvedené doteraz, nedokáže zvládnuť oblasti s dierami. Tu rozšírime Greenovu vetu tak, aby fungovala v regiónoch s definitívne mnohými dierami (obrázok ( PageIndex {12} )).

Predtým, ako budeme diskutovať o rozšíreniach Greenovej vety, musíme si prečítať terminológiu ohľadom hranice regiónu. Nech (D ) je oblasť a (C ) je zložkou hranice (D ). Hovoríme, že (C ) je pozitívne orientovaný ak, keď ideme pozdĺž (C ) v smere orientácie, oblasť (D ) je vždy po našej ľavici. Preto je orientácia hranice disku proti smeru hodinových ručičiek pozitívna orientácia, napríklad. Krivka (C ) je negatívne orientovaný ak, keď ideme pozdĺž (C ) v smere orientácie, oblasť (D ) je vždy po našej pravici. Orientácia hranice disku v smere hodinových ručičiek je napríklad negatívna orientácia.

Nech (D ) je oblasť s definitívne mnohými dierami (takže (D ) má definitívne veľa hraničných kriviek) a hranicu (D ) označte ( čiastočný D ) (Obrázok ( PageIndex {13} )). Aby sme rozšírili Greenovu vetu tak, aby zvládla (D ), rozdelíme oblasť (D ) na dve oblasti, (D_1 ) a (D_2 ) (s príslušnými hranicami ( čiastočný D_1 ) a ( čiastočné D_2 )) takým spôsobom, že (D = D_1 pohár D_2 ) a ani (D_1 ) ani (D_2 ) nemajú žiadne otvory (Obrázok ( PageIndex {13} ) ).

Predpokladajme, že hranica (D ) je orientovaná ako na obrázku, pričom vnútorné otvory majú negatívnu orientáciu a vonkajšia hranica kladnú orientáciu. Hranica každej jednoducho spojenej oblasti (D_1 ) a (D_2 ) je pozitívne orientovaná. Ak ( vecs F ) je vektorové pole definované na (D ), potom Greenova veta hovorí, že

[ begin {align} mast _ { čiastočné D} vecs F · d vecs {r} & = mast _ { čiastočné D_1} vecs F · d vecs {r} + mast _ { čiastočné D_2 } vecs F · d vecs {r} & = iint_ {D_1} Q_x − P_y , dA + iint_ {D_2} Q_x − P_y , dA & = iint_D (Q_x − P_y) , dA. end {align} ]

Greenova veta preto stále pracuje na regióne s otvormi.

Ak chcete zistiť, ako to v praxi funguje, zvážte prstenec (D ) na obrázku ( PageIndex {14} ) a predpokladajme, že (F = ⟨P, Q⟩ ) je vektorové pole definované v tomto prstenci. Región (D ) má dieru, takže nie je jednoducho spojený. Orientujte vonkajší kruh medzikružia proti smeru hodinových ručičiek a vnútorný kruh v smere hodinových ručičiek (obrázok ( PageIndex {14} )) tak, aby sme po rozdelení oblasti na (D_1 ) a (D_2 ) boli schopní udržujte región po našej ľavici, keď kráčame po ceste, ktorá prechádza cez hranicu. Nech (D_1 ) je horná polovica medzikružia a (D_2 ) je dolná polovica. Ani jeden z týchto regiónov nemá diery, takže sme (D ) rozdelili do dvoch jednoducho spojených oblastí.

Každý kúsok týchto nových hraníc označíme ako (P_i ) pre niektoré (i ), ako na obrázku ( PageIndex {14} ). Ak začneme na (P ) a pôjdeme pozdĺž orientovanej hranice, prvý segment je (P_1 ), potom (P_2 ), (P_3 ) a (P_4 ). Teraz sme prešli (D_1 ) a vrátili sme sa do (P ). Ďalej začneme opäť na (P ) a prechádzame (D_2 ). Pretože prvá časť hranice je rovnaká ako (P_4 ) v (D_1 ), ale orientovaná v opačnom smere, prvá časť (D_2 ) je (- P_4 ). Ďalej máme (P_5 ), potom (- P_2 ) a nakoniec (P_6 ).

Obrázok ( PageIndex {14} ) zobrazuje cestu, ktorá prechádza cez hranicu (D ). Všimnite si, že táto cesta prechádza hranicou oblasti (D_1 ), vracia sa do východiskového bodu a potom prechádza hranicou oblasti (D_2 ). Ďalej, keď kráčame po cestičke, región je vždy po našej ľavici. Všimnite si, že tento prechod dráhami (P_i ) pokrýva celú hranicu oblasti (D ). Keby sme prekonali iba jednu časť hranice (D ), potom nemôžeme aplikovať Greenovu vetu na (D ).

Hranica hornej polovice medzikruží je preto (P_1 pohár P_2 pohár P_3 pohár P_4 ) a hranica spodnej polovice medzikružia je (- P_4 pohár P_5 pohár −P_2 pohár P_6 ). Potom naznačuje Greenova veta

[ begin {align} mast _ { čiastočné D} vecs F · d vecs {r} & = int_ {P_1} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_2} vecs F · D vecs {r} + int_ {P_3} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_4} vecs F · d vecs {r} + int _ {- P_4} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_5} vecs F · d vecs {r} + int _ {- P_2} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_6} vecs F · d vecs {r} & = int_ {P_1} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_2} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_3} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_4} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_4} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_5} vecs F · d vecs {r} + int _ {- P_2} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_6} vecs F · d vecs {r} & = int_ {P_1} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_3} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_5} vecs F · d vecs {r} + int_ {P_6} vecs F · d vecs {r} & = mast _ { čiastočné D_1} vecs F · d vecs {r} + mast _ { čiastočné D_2} vecs F · d vecs {r} & = iint_ { D_1} (Q_x − P_y) , dA + iint_ {D_2} (Q_x − P_y) , dA & = iint_D (Q_x − P_y) , dA. end {align} ]

Preto prichádzame k rovnici nachádzajúcej sa v Greenovej vete - konkrétne

[ mast _ { čiastočné D} vecs F · d vecs {r} = iint_D (Q_x − P_y) , dA. ]

Rovnaká logika naznačuje, že formu toku Greenovej vety je možné rozšíriť aj na oblasť s konečne mnohými dierami:

[ mast_C F · N , ds = iint_D (P_x + Q_y) , dA. ]

Príklad ( PageIndex {8A} ): Použitie Greenovej vety o regióne s otvormi

Vypočítajte integrál

[ mast _ { čiastočné D} ( sin x - dfrac {y ^ 3} {3}) dx + ( dfrac {y ^ 3} {3} + sin y) dy, ]

kde (D ) je medzikruh daný polárnymi nerovnicami (1≤r≤2 ), (0≤ theta≤2 pi ).

Riešenie

Aj keď (D ) nie je jednoducho spojené, na výpočet integrálu môžeme použiť rozšírenú formu Greenovej vety. Pretože integrácia prebieha cez medzikružie, prevádzame na polárne súradnice:

[ begin {align *} mast _ { čiastočné D} ( sin x - dfrac {y ^ 3} {3}) , dx + ( dfrac {x ^ 3} {3} + sin y) , dy & = iint_D (Q_x − P_y) , dA & = iint_D (x ^ 2 + y ^ 2) , dA & = int_0 ^ {2 pi} int_1 ^ 2 r ^ 3 , drd theta = int_0 ^ {2 pi} dfrac {15} {4} , d theta & = dfrac {15 pi} {2}. end {zarovnať *} ]

Príklad ( PageIndex {8B} ): Použitie rozšírenej formy Greenovej vety

Nech ( vecs F = ⟨P, Q⟩ = ⟨ dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2}, - dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2}⟩ ) a nech (C ) môže byť akákoľvek jednoduchá uzavretá krivka v rovine orientovanej proti smeru hodinových ručičiek. Aké sú možné hodnoty ( mast_C vecs F · d vecs {r} )?

Riešenie

Použili sme rozšírenú formu Greenovej vety, aby sme ukázali, že ( mast_C vecs F · d vecs {r} ) je buď ​​(0 ), alebo (- 2 pi ) - teda bez ohľadu na to, ako bláznivá krivka (C ) je, integrálna čiara ( vecs F ) pozdĺž (C ) môže mať iba jednu z dvoch možných hodnôt. Zvažujeme dva prípady: prípad, keď (C ) zahŕňa pôvod, a prípad, keď (C ) nezahŕňa pôvod.

Prípad 1: C. Nezahŕňa pôvod

V tomto prípade je oblasť ohraničená (C ) jednoducho spojená, pretože jediná diera v doméne ( vecs F ) je na začiatku. V diskusii o prierezoch sme ukázali, že ( vecs F ) spĺňa podmienku prierezov. Ak obmedzíme doménu ( vecs F ) iba na (C ) a oblasť, ktorú obklopuje, potom je ( vecs F ) s touto obmedzenou doménou definovaná na jednoducho pripojenej doméne. Pretože ( vecs F ) uspokojuje prierezovú vlastnosť na svojej obmedzenej doméne, pole ( vecs F ) je v tejto jednoducho spojenej oblasti konzervatívne, a teda aj cirkulácia ( mast_C vecs F · d vecs {r} ) je nula.

Prípad 2: C. Zahŕňa pôvod

V tomto prípade nie je oblasť ohraničená znakom (C ) jednoducho spojená, pretože táto oblasť obsahuje na začiatku dieru. Nech (C_1 ) je kruh s polomerom a vycentrovaný na počiatok tak, že (C_1 ) je úplne vo vnútri oblasti ohraničenej (C ) (Obrázok ( PageIndex {15} )). Dajte (C_1 ) orientáciu v smere hodinových ručičiek.

Nech (D ) je oblasť medzi (C_1 ) a (C ), a (C ) je orientovaný proti smeru hodinových ručičiek. V rozšírenej verzii Greenovej vety

[ begin {align} int_C vecs F · d vecs {r} + int_ {C_1} vecs F · d vecs {r} = iint_D Qx_ − P_y , dA = iint_D− dfrac {y ^ 2 − x ^ 2} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2} + dfrac {y ^ 2 − x ^ 2} {{(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 2} dA = 0, end {align} ]

a preto

[ int_C vecs F · d vecs {r} = - int_ {C_1} vecs F · d vecs {r}. ]

Pretože (C_1 ) je špecifická krivka, môžeme vyhodnotiť ( int_ {C_1} vecs F · d vecs {r} ). Poďme

[x = a cos t, ; ; y = a sin t, ; ; 0≤t≤2 pi ]

byť parametrizáciou (C_1 ). Potom,

[ begin {align} int_ {C_1} vecs F · d vecs {r} = int_0 ^ {2 pi} F (r (t)) · r ′ (t) dt = int_0 ^ {2 pi} ⟨− dfrac { sin (t)} {a}, - dfrac { cos (t)} {a}⟩ · ⟨− a sin (t), - a cos ( t)⟩dt =int_0^{2pi}{sin}^2(t)+{cos}^2(t)dt=int_0^{2pi}dt=2pi. end{align}]

Therefore, (int_C F·ds=−2pi).

Exercise (PageIndex{8})

Calculate integral (oint_{partial D}vecs F·dvecs{r}), where (D) is the annulus given by the polar inequalities (2≤r≤5), (0≤ heta≤2pi), and (F(x,y)=⟨x^3,5x+e^ysin y⟩).

Pomôcka

Use the extended version of Green’s theorem.

Odpoveď

(105pi)

MEASURING AREA FROM A BOUNDARY: THE PLANIMETER

Imagine you are a doctor who has just received a magnetic resonance image of your patient’s brain. The brain has a tumor (Figure (PageIndex{16})). How large is the tumor? To be precise, what is the area of the red region? The red cross-section of the tumor has an irregular shape, and therefore it is unlikely that you would be able to find a set of equations or inequalities for the region and then be able to calculate its area by conventional means. You could approximate the area by chopping the region into tiny squares (a Riemann sum approach), but this method always gives an answer with some error.

Instead of trying to measure the area of the region directly, we can use a device called a rolling planimeter to calculate the area of the region exactly, simply by measuring its boundary. In this project you investigate how a planimeter works, and you use Green’s theorem to show the device calculates area correctly.

A rolling planimeter is a device that measures the area of a planar region by tracing out the boundary of that region (Figure (PageIndex{17})). To measure the area of a region, we simply run the tracer of the planimeter around the boundary of the region. The planimeter measures the number of turns through which the wheel rotates as we trace the boundary; the area of the shape is proportional to this number of wheel turns. We can derive the precise proportionality equation using Green’s theorem. As the tracer moves around the boundary of the region, the tracer arm rotates and the roller moves back and forth (but does not rotate).

Let (C) denote the boundary of region (D), the area to be calculated. As the tracer traverses curve (C), assume the roller moves along the r-axis (since the roller does not rotate, one can assume it moves along a straight line). Use the coordinates ((x,y)) to represent points on boundary (C), and coordinates ((0,Y)) to represent the position of the pivot. As the planimeter traces (C), the pivot moves along the r-axis while the tracer arm rotates on the pivot.

Watch a short animation of a planimeter in action.

Begin the analysis by considering the motion of the tracer as it moves from point ((x,y)) counterclockwise to point ((x+dx,y+dy)) that is close to ((x,y)) (Figure (PageIndex{18})). The pivot also moves, from point ((0,Y)) to nearby point ((0,Y+dY)). How much does the wheel turn as a result of this motion? To answer this question, break the motion into two parts. First, roll the pivot along the r-axis from ((0,Y)) to ((0,Y+dY)) without rotating the tracer arm. The tracer arm then ends up at point ((x,y+dY)) while maintaining a constant angle (phi) with the X-axis. Second, rotate the tracer arm by an angle (d heta) without moving the roller. Now the tracer is at point ((x+dx,y+dy)). Let ll be the distance from the pivot to the wheel and let Ľ be the distance from the pivot to the tracer (the length of the tracer arm).

  1. Explain why the total distance through which the wheel rolls the small motion just described is (sin phi dY+ld heta=dfrac{x}{L}dY+ld heta).
  2. Show that (oint_C d heta=0).
  3. Use step 2 to show that the total rolling distance of the wheel as the tracer traverses curve (C) is
    Total wheel roll (=dfrac{1}{L}oint_C xdY).
    Now that you have an equation for the total rolling distance of the wheel, connect this equation to Green’s theorem to calculate area (D) enclosed by (C).
  4. Show that (x^2+(y−Y)^2=L^2).
  5. Assume the orientation of the planimeter is as shown in Figure (PageIndex{18}). Explain why (Y≤y), and use this inequality to show there is a unique value of (Y) for each point ((x,y)): (Y=y=sqrt{L^2−x^2}).
  6. Use step 5 to show that (dY=dy+dfrac{x}{L^2−x^2}dx.)
  7. Use Green’s theorem to show that (displaystyle oint_C dfrac{x}{L^2−x^2}dx=0).
  8. Use step 7 to show that the total wheel roll is

    [ ext{Total wheel roll}quad =quad 1Loint_C x,dy.]

    It took a bit of work, but this equation says that the variable of integration Y. in step 3 can be replaced with r.

  9. Use Green’s theorem to show that the area of (D) is (oint_C xdy). The logic is similar to the logic used to show that the area of (displaystyle D=12oint_C −y,dx+x,dy).
  10. Conclude that the area of (D) equals the length of the tracer arm multiplied by the total rolling distance of the wheel.

You now know how a planimeter works and you have used Green’s theorem to justify that it works. To calculate the area of a planar region (D), use a planimeter to trace the boundary of the region. The area of the region is the length of the tracer arm multiplied by the distance the wheel rolled.

Kľúčové koncepty

  • Green’s theorem relates the integral over a connected region to an integral over the boundary of the region. Green’s theorem is a version of the Fundamental Theorem of Calculus in one higher dimension.
  • Green’s Theorem comes in two forms: a circulation form and a flux form. In the circulation form, the integrand is (vecs F·vecs T). In the flux form, the integrand is (vecs F·vecs N).
  • Green’s theorem can be used to transform a difficult line integral into an easier double integral, or to transform a difficult double integral into an easier line integral.
  • A vector field is source free if it has a stream function. The flux of a source-free vector field across a closed curve is zero, just as the circulation of a conservative vector field across a closed curve is zero.

Kľúčové rovnice

  • Green’s theorem, circulation form
    (displaystyle ∮_C P,dx+Q,dy=∬_D Q_x−P_y,dA), where (C) is the boundary of (D)
  • Green’s theorem, flux form
    (displaystyle ∮_Cvecs F·vecs N,ds=∬_D P_x+Q_y,dA), where (C) is the boundary of (D)
  • Green’s theorem, extended version
    (displaystyle ∮_{partial D}vecs F·dvecs{r}=∬_D Q_x−P_y,dA)

Glosár

Green’s theorem
relates the integral over a connected region to an integral over the boundary of the region
stream function
if (vecs F=⟨P,Q⟩) is a source-free vector field, then stream function (g) is a function such that (P=g_y) and (Q=−g_x)


Pozri si video: 23 arutelud laudades -- kogukondliku tegutsemise koosmõtlemisüritus (December 2021).