Články

10.1: Transformácie pomocou tuhých pohybov


V tejto časti sa dozvieme o izometrii alebo tuhých pohyboch. Pevný pohyb neovplyvňuje celkový tvar objektu, ale presúva objekt z počiatočného miesta do konečného miesta. Výsledná figúra zodpovedá pôvodnej figúre.

A tuhý pohyb je, keď je objekt presunutý z jedného miesta na druhé a veľkosť a tvar objektu sa nezmenili.

Dve postavy sú zhodný len a len vtedy, ak existuje tuhý pohyb, ktorý nastavuje korešpondenciu jednej figúry ako obrazu druhej. Dĺžka bočných strán zostáva rovnaká a vnútorné uhly rovnaké.

An pohyb identity je tuhý pohyb, ktorý posúva objekt z jeho východiskového miesta do úplne rovnakého miesta. Objekt sa akoby vôbec nepohol.

Existujú štyri druhy tuhých pohybov: preklady, rotácie, odrazy a kĺzavé odrazy. Pri popise rigidného pohybu použijeme body ako P a Q umiestnené na geometrickom útvare a ich nové umiestnenie na posunutom geometrickom útvare identifikujeme pomocou P 'a Q'.

Začneme strnulým pohybom nazývaným preklad. Pri preklade objektu posúvame objekt v konkrétnom smere na konkrétnu dĺžku pozdĺž vektora .

Obrázok ( PageIndex {1} ): Preklad

Preklad modrého trojuholníka s bodom P sa pohyboval pozdĺž vektora do polohy červeného trojuholníka s bodom P '. Všimnite si tiež, že ďalšie vrcholy modrého trojuholníka sa tiež pohybovali pozdĺž vektora k zodpovedajúcim vrcholom na červenom trojuholníku.

P '

P


A preklad objektu posúva objekt pozdĺž segmentu riadenej čiary, ktorý sa nazýva vektor na konkrétnu vzdialenosť a konkrétnym smerom. Pohyb je úplne určený dvoma bodmi P a P ', kde P je na pôvodnom objekte a P' je na preloženom objekte.

V bežnom jazyku je preklad objektu a šmykľavka z jednej polohy do druhej. Dostanete geometrický útvar a šípku, ktorá predstavuje vektor. Vektor vám dá smer a vzdialenosť, v ktorej posúvate postavu.

Príklad ( PageIndex {1} ) Preklad trojuholníka

Dostanete modrý trojuholník a vektor . Posuňte trojuholník pozdĺž vektora .

Obrázok ( PageIndex {2} ): Modrý trojuholník a vektor

B



A

C.

Obrázok ( PageIndex {3} ): Výsledok prekladu

B ‘



A ‘

C ‘

B




A

C.

Vlastnosti prekladu

  1. Preklad je úplne určený dvoma bodmi P a P ‘
  2. Nemá pevné body
  3. Má pohyb identity

Poznámka: vektor má rovnakú dĺžku ako vektor , ale ukazuje opačným smerom.

Príklad ( PageIndex {2} ) Preklad objektu

Vzhľadom na obrázok v tvare L uvedený nižšie, preložte obrázok pozdĺž vektora . Vektor posúva vodorovne o tri jednotky doprava a zvisle o dve jednotky nahor. Posuňte každý vrchol o tri jednotky doprava a o dve jednotky hore. Červená figúrka predstavuje polohu figúrky v tvare L po snímke.

Obrázok ( PageIndex {4} ): L-tvar a vektor


P


Obrázok ( PageIndex {5} ): Výsledok tvaru L preložený vektorom





P '



P


Ďalší typ transformácie (tuhý pohyb), o ktorom budeme diskutovať, sa nazýva rotácia. Rotácia posúva objekt okolo pevného bodu R nazývaného rotocentrum a o určitý uhol. Modrý trojuholník dole bol otočený o 90 ° okolo bodu R.

A rotácia objektu posúva objekt okolo bodu nazývaného rotocentrum R v určitom uhle buď v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.

Poznámka: rotocentrum R môže byť mimo objekt, vo vnútri objektu alebo na ňom.

Obrázok ( PageIndex {6} ): Trojuholník otočený o 90 ° okolo Rotocentra R mimo trojuholníka


90°

R

Obrázok ( PageIndex {7} ): Trojuholník otočený o 180 ° okolo Rotocentra R vo vnútri trojuholníka


R

Vlastnosti rotácie

  1. Rotácia je úplne určená dvoma pármi bodov; P a P ‘a

Q a Q ‘

  1. Má jeden pevný bod, rotocentrum R
  2. Má pohyb totožnosti o 360 ° rotáciu

Príklad ( PageIndex {3} ): Otočenie tvaru L.

Podľa nižšie uvedeného diagramu otočte postavu v tvare L o 90 ° v smere hodinových ručičiek okolo rotocentra R. Bod Q sa otočí o 90 °. Posuňte každý vrchol o 90 ° v smere hodinových ručičiek.

Obrázok ( PageIndex {8} ): L-tvar a Rotocenter R.

Postava v tvare L sa otočí o 90 ° v smere hodinových ručičiek a vrchol Q sa presunie do vrcholu Q '. Každý vrchol objektu sa otočí o 90 °.


Q

90°

Q '



R

Obrázok ( PageIndex {9} ): Výsledok otočenia o 90 ° v smere hodinových ručičiek



Q

Q '




R


Príklad ( PageIndex {4} ): 45 ° otáčanie obdĺžnika v smere hodinových ručičiek

Obrázok ( PageIndex {10} ): Obdĺžnik a Rotocenter R



Q

45°


Q '

R

Obrázok ( PageIndex {11} ): Výsledok 45 ° otáčania v smere hodinových ručičiek



Q



Q '

R

Príklad ( PageIndex {5} ): Otočenie tvaru L o 180 ° v smere hodinových ručičiek

Obrázok ( PageIndex {12} ): L-tvar a Rotocenter R.

A







B

R

180°


Obrázok ( PageIndex {13} ): Výsledok rotácie v smere hodinových ručičiek o 180 °

A





B

R


B '


A '

Ďalší typ transformácie (tuhý pohyb) sa nazýva odraz. Odraz je zrkadlový obraz predmetu alebo ho možno považovať za „prevrátenie“ predmetu.

Odraz: Ak každý bod na priamke zodpovedá sebe samému a každému ďalšiemu bodu v rovine zodpovedá jedinečnému bodu v lietadle, také, že je kolmý rez s, potom sa korešpondencia nazýva odraz v rade .

V bežnom jazyku je odraz zrkadlový obraz cez čiaru . Čiara je stred čiary medzi dvoma bodmi, P na pôvodnom obrázku a P ‘v odraze. P ide do P ‘.

Obrázok ( PageIndex {14} ): Odraz objektu nad čiarou l

C.




B




A

l

Obrázok ( PageIndex {15} ): Výsledok odrazu nad čiarou l

Odraz umiestňuje každý vrchol pozdĺž čiary kolmej na l a v rovnakej vzdialenosti od l.

C '


C.

B '


B





A '

A

l

Vlastnosti odrazu

  1. Odraz je úplne určený jedným párom bodov; P a P ‘
  2. Má nekonečne veľa pevných bodov: čiara odrazu l
  3. Má pohyb identity spätný odraz

Príklad ( PageIndex {6} ) Odráža tvar L cez čiaru l

Obrázok ( PageIndex {16} ): tvar L a čiara l

B




C.


A


l

Odrazte krížom cez tvar písmena L. l. Červený tvar L uvedený nižšie je výsledkom po odraze. Pôvodná poloha každého vrcholu je na priamke s odrazenou polohou každého vrcholu. Táto priamka, ktorá spája pôvodnú a odrazenú polohu vrcholu, je kolmá na čiaru l a pôvodná a odrazená poloha každého vrcholu sú v rovnakej vzdialenosti od čiary l.

Obrázok ( PageIndex {17} ): Výsledok odrazu nad čiarou l


B '


C '





l


A '

Príklad ( PageIndex {7} ): Odrazte ďalší tvar L cez čiaru l

Najskôr identifikujte vrcholy obrázku. Z každého vrcholu nakreslite čiarový segment kolmo na čiaru l a uistite sa, že jeho stred leží na priamke l. Teraz nakreslite nové polohy vrcholov a urobte z transformovanej postavy zrkadlový obraz pôvodnej postavy.

Obrázok ( PageIndex {18} ): L-tvar a úsečka l


B

A


l

C.

D






Obrázok ( PageIndex {19} ): Výsledok odrazu nad čiarou l


B

A


C.

D


C '

B '





A '


D '

Konečná transformácia (tuhý pohyb), ktorú budeme študovať, je kĺzavý odraz, ktorý je jednoducho kombináciou dvoch ďalších tuhých pohybov.

A kĺzavý odraz je kombináciou reflexie a prekladu.

Príklad ( PageIndex {8} ) kĺzavý odraz smajlíka vektorom a linka l

Obrázok ( PageIndex {20} ): Veselý obličej, vektor a riadok l




l

Obrázok ( PageIndex {21} ): Smiley Face Glide-Reflection, prvý krok

Najskôr posuňte smajlíka o dve jednotky doprava pozdĺž vektora .






l

Obrázok ( PageIndex {22} ): Smiley Face Glide-Reflection, krok dva

Potom odrážajte smajlíka cez čiaru l. Konečným výsledkom je zelený smejko obrátený naruby.







l


Vlastnosti kĺzavého odrazu

  1. Odraz je úplne určený jedným párom bodov; P a P.
  2. Má nekonečne pevné body: čiara odrazu l.
  3. Má identický pohyb a spätný odraz.

Príklad ( PageIndex {9} ): Kĺzavý odraz modrého trojuholníka

Obrázok ( PageIndex {23} ): Modrý trojuholník, Vektor a riadok l

l




Obrázok ( PageIndex {24} ): Krok - odraz trojuholníka - prvý krok

Najskôr posuňte trojuholník pozdĺž vektora .


l




P *



P

Obrázok ( PageIndex {25} ): Kruhový odraz trojuholníka, krok dva

Potom odrážajte trojuholník cez čiaru l. Konečným výsledkom je zelený trojuholník pod čiarou l.

Q *


P *


S *


P ‘


S ‘

Q ‘

Príklad ( PageIndex {10} ): Kĺzavý odraz odrazu tvaru L.

Obrázok ( PageIndex {26} ): L-tvar, vektor a riadok l



l


Obrázok ( PageIndex {27} ): Kruhový odraz v tvare L, prvý krok

Najskôr posuňte tvar L pozdĺž vektora .


B *




B


A *


A

Obrázok ( PageIndex {28} ): Krok 2, Odraz odrazu v tvare písmena L

Potom odrážajte tvar L cez čiaru l. Výsledkom je zelený otvorený tvar pod čiarou l.


B *

A ‘

B




B ‘


10.1: Transformácie pomocou tuhých pohybov

Popis (žlté zvýraznenie znamená, že to bolo priradené)

Úvod do premien a lekcie 3-1 Úvahy Trieda 1. deň Poznámky tu a tu

Údaje použité v triede tu a tu.

Vytlačte (alebo trasujte) a vyplňte pracovný hárok tu

Lekcia 3-1 2. deň: Odrazy v triede súradnicových rovín Poznámky sú tu a tu sú dôkazy

1) Pomocou nástroja (kliknite sem) preskúmajte a lepšie pochopte Odraz cez čiaru y = x.

Lekcia 3-2 Preklady 1. deň Trieda Poznámky tu

2) Prečítajte si / študujte / precvičujte učebnice strany 113 a 114.

Lekcia 3-2 Preklady Týždeň 2 - poznámky tu

2) Študujte príklad 3 na strane 115. Preskočte strany 116-117.

3) V učebnici Lekcia 3 - 2 strany 118 - 120, # 15 - 18, 21 - 24, 33

Lekcia 3-3 Rotácie Poznámky k triede 1. deň

2) Hrajte s rotáciami pomocou Geogebry kliknite sem

3) V učebnici Lekcia 3-3 strany 127-128, č. 12, 16-18, 28

Lekcia 3-3 2. deň: Tu sa otáčajú poznámky o triede súradnicových rovín

V učebnici Lekcia 3-3 strany 127 ukážte predobraz a obrázok na milimetrovom papieri pre 19. – 22


Cambridge University Press

Toto video predstavuje rotáciu okolo osi podľa pravidla pre pravú ruku a rámov pre pravú ruku, vrátane rámu tela a rámu priestoru.

V kapitole 3 sa učíme predstavenia konfigurácií, rýchlostí a síl, ktoré použijeme v celej zvyšku knihy. Ako bolo diskutované v poslednej kapitole, použijeme implicitné znázornenie konfigurácií, pričom priestor C považujeme za povrch vložený do priestoru vyšších dimenzií. Inými slovami, naša reprezentácia konfigurácie nebude používať minimálnu sadu súradníc a rýchlosti nebudú časovým derivátom súradníc. Tento prístup môže byť pre vás nový, ak ste predtým neabsolvovali kurz trojrozmernej kinematiky.

Konfigurácie tuhého tela sú znázornené pomocou rámcov. Rámec sa skladá z počiatku a ortogonálnych osí súradníc x, yaz. Všetky rámy sú pravou rukou, čo znamená, že krížový súčin osí x a y vytvára os z. Pravostranný rám môžete vytvoriť pomocou pravej ruky: ukazovák je osa x, prostredník je osa y a palec je osa z.

Ak chcem reprezentovať polohu a orientáciu telesa v priestore, zafixujem rám na telo a zafixujem rám v priestore. Konfigurácia telesa je daná polohou začiatku rámu tela a smermi súradnicových osí rámu tela, vyjadrenými v súradniciach priestorového rámu.

V tejto knihe sú všetky rámy považované za stacionárne. Aj keď sa telo pohybuje, keď hovoríme o ráme tela, máme na mysli stacionárny rám zhodný s rámom pripevneným k telu v konkrétnom okamihu.

Kladné otáčanie okolo osi je definované pravidlom pravej ruky. Ak zarovnáte palec svojej pravej ruky s osou otáčania, pozitívna rotácia je smer, ktorým sa vaše prsty krútia.

Keď tieto prípravné zápasy nebudú v ceste, v ďalšom videu sa presunieme k reprezentácii orientácie tuhého tela.


Zhoda a transformácie zosilňovača



Príklady, riešenia a lekcie, ktoré majú pomôcť študentom stredných škôl naučiť sa používať geometrické popisy tuhých pohybov na transformáciu figúr a na predvídanie účinku daného tuhého pohybu na danú figúru vzhľadom na dve figúry, používať definíciu kongruencie v zmysle tuhej návrhy na rozhodnutie, či sú zhodné.

Dve postavy sú zhodné, ak majú rovnakú veľkosť a tvar.
Dve rovinné postavy sú zhodné, ak je možné ich získať od druhého pomocou tuhých pohybov (to znamená v poradí odleskov, prekladov a / alebo rotácií)

Nasledujúce diagramy zobrazujú transformácie, ktoré udržujú zhodné čísla (rovnakej veľkosti a tvaru). Prejdite nadol po stránke a nájdete ďalšie príklady a riešenia.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, ktoré vám pomôžu precvičiť rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


A odraz je transformácia, ktorá „prevráti“ alebo „zrkadlí“ tvar cez čiaru. Tento riadok sa nazýva čiara odrazu.

V každom z týchto príkladov nakreslite čiaru odrazu:

Teraz ste na rade - nakreslite odraz každého z týchto tvarov:

Všimnite si, že ak bod leží na čiare odrazu, nehýbe sa pri odrážaní a otáča sa prevrátením: jeho obraz je rovnaký bod ako originál.

Vo všetkých vyššie uvedených príkladoch bola čiara odrazu vodorovná, zvislá alebo pod uhlom 45 °, čo uľahčovalo vykreslenie odrazov. Ak to tak nie je, vyžaduje si stavba trochu viac práce:

Aby sme tento tvar odrážali cez čiaru odrazu, musíme odrážať každý vrchol jednotlivo a potom ich znova spojiť. ďalej

Vyberme jeden z vrcholov a nakreslíme čiaru cez tento vrchol, ktorý je kolmý na čiaru odrazu. ďalej

Teraz môžeme zmerať vzdialenosť od vrcholu po čiaru odrazu a vytvoriť bod, ktorý má rovnakú vzdialenosť na druhej strane. (Môžeme na to použiť pravítko alebo kompas.) Pokračovať

To isté môžeme urobiť pre všetky ostatné vrcholy nášho tvaru. ďalej

Teraz musíme iba spojiť odrazené vrcholy v správnom poradí a našli sme odraz!


Príklad kódu

Načítame model robota Franka-Emika Panda definovaného klasicky pomocou upravenej (Craigovej konvencie) Denavitovej-Hartenbergovej notácie

(Výzvy Pythonu sa nezobrazujú, aby bolo ľahké kopírovať + vložiť kód, výstup z konzoly je odsadený)

Inverznú kinematiku môžeme vyriešiť veľmi ľahko. Najskôr si vyberieme pól SE (3) definovaný z hľadiska polohy a orientácie (os z-efektora dole nadol (A = -Z) a orientácia prsta rovnobežne s osou y (O = + Y)).

Všimnite si, že pretože tento robot je nadbytočný, nemáme nad konfiguráciou ramena žiadnu kontrolu okrem pózy koncového efektora, tj. nemôžeme kontrolovať výšku lakťa.

Môžeme animovať cestu od vzpriamenej konfigurácie qz k tejto konfigurácii snímania

ktorý používa predvolený back-end matplotlib. Šedé šípky zobrazujú osi kĺbov a farebný rám predstavuje pól koncového efektora.

Načítajme teraz URDF model toho istého robota. Kinematické znázornenie už nie je založené na parametroch Denavit-Hartenberg, teraz je to strom s pevným telom.

Symbol @ označuje odkaz ako koncový efektor, listový uzol v strome tuhého tela.

Nášho robota môžeme vytvoriť inštanciu v prostredí 3D simulácie založenej na prehliadači.


Kľúč s podrobnou odpoveďou

Použite nižšie uvedený graf transformácie. & # Xa0

a. Pomenujte a opíšte transformáciu

b. Pomenujte súradnice vrcholov obrázka. & # Xa0

c. Je trojuholník ABC v súlade s obrázkom? & # Xa0

Transformácia je odrazom v osi y. Môžeme si predstaviť, že obraz bol získaný preklopením & # xa0 Δ PQR cez os y. & # Xa0

Súradnice vrcholov obrázka & # xa0 Δ P'Q'R 'sú P' (4, 1), Q '(3, 5) a R' (1, 1). & # Xa0

Áno, & # xa0 Δ PQR je v súlade so svojím obrazom & # xa0 Δ P'Q'R '. Jedným zo spôsobov, ako to dokázať, je použiť vzorec vzdialenosti na zistenie dĺžok strán oboch trojuholníkov. Potom použite postulát kongruencie SSS. & # Xa0

Povedzte, či sa nasledujúca transformácia javí ako izometria. & # Xa0

Táto transformácia sa javí ako izometria. Modrý rovnobežník sa odráža v úsečke, čím sa vytvorí zhodný červený rovnobežník. & # Xa0

Myslíte si, že nasledujúca transformácia sa javí ako izometria? Vysvetlite svoju odpoveď. & # Xa0

Nie, táto transformácia nie je izometria. Pretože obraz nezodpovedá predobrazu. & # Xa0

Vyzerá nasledujúca transformácia ako izometria? & # Xa0

Áno, táto transformácia sa javí ako izometria. Modrý štvoruholník sa otáča okolo bodu, aby vytvoril kongruentný kongruentný červený štvoruholník. & # Xa0

Ako môžeme opísať transformáciu zobrazenú nižšie? & # Xa0

Vyššie uvedenú transformáciu môžeme opísať napísaním,

„Δ PQR je namapovaný na & # xa0 ΔSTU“

Môžeme tiež použiť nasledujúci zápis šípky: & # xa0

Poradie, v ktorom sú vrcholy uvedené, určuje korešpondenciu. Z oboch popisov vyplýva, že & # xa0

V diagrame zobrazenom nižšie je & # xa0 ΔABC namapované na & # xa0 ΔXYZ. Mapovanie je rotácia. Vzhľadom na to, že & # xa0 ΔABC --- & gt & # xa0 ΔXYZ je izometria, nájdite dĺžku XY a mieru & # xa0 ∠Z.

Výrok „ΔABC & # xa0 je mapovaný na & # xa0 ΔXYZ“ znamená, že & & xa0

Pretože transformácia je izometria, sú tieto dva trojuholníky zhodné. & # Xa0

Montujeme kúsky dreva, aby sme dokončili zábradlie pre našu verandu. Hotové zábradlie by malo pripomínať zábradlie uvedené nižšie. & # Xa0

a. Ako súvisia časti 1 a 2? kúsky 3 a 4? & # xa0

b. Ak chcete zostaviť koľajnicu, ako je to znázornené, vysvetlite, prečo potrebujeme vedieť, ako jednotlivé časti súvisia. & # Xa0

Kusy 1 a 2 sú spojené rotáciou. Kusy 3 a 4 sú spojené odrazom. & # Xa0

Znalosť toho, ako sú kúsky spojené, nám pomáha manipulovať s kúskami a vytvoriť požadovaný vzor. & # Xa0 & # xa0

Mnoho stavebných plánov pre kajaky ukazuje rozloženie a rozmery iba pre polovicu kajaku. Pôdorys kajaku je zobrazený nižšie.

a. & # xa0 Aký typ transformácie môže staviteľ použiť na vizualizáciu plánov pre celé telo kajaku & # xa0?

b. & # xa0 Aká je maximálna šírka celého kajaku pomocou vyššie uvedeného plánu?

Staviteľ môže pomocou odrazu vizualizovať celý kajak. Napríklad, keď sa jedna polovica kajaku odráža v línii prechádzajúcej jej stredom, získate druhú polovicu kajaku.

Dve polovice hotového kajaku sú zhodné, takže šírka celého kajaku bude 2 (10) alebo 20 palcov.

Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

Ak máte nejaké pripomienky k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


Referencie

6.1 Mapy tuhosti nákladov

V odd. 3.2, stručne sme motivovali výber návrhu pomocou vstupov rigidných nákladových máp a tu rozšírime jednotlivé nákladové funkcie. Vzhľadom na pohybovú korešpondenciu (p 0, p 1) ∈ R 2, vnútornú podstatu kamery (K 0, K 1) a pohyb kamery R c ∈ SO (3), T c ∈ R 3, zostrojíme štyri geometrické mapy nákladov na pohyb, ktoré sú prispôsobené konkrétnym konfiguráciám pohybu, vrátane 1) nákladov na epipolárnu, 2) nákladov na homografiu, 3) nákladov na 3D P + P a 4) nákladov na hĺbkový kontrast.

1) Epipolárne náklady sa používajú na detekciu bežných pohybujúcich sa objektov, počítajú sa ako klasická Sampsonova chyba [hartley2003multiple] na pixel. Uvádzame to pre úplnosť:

kde F = K 1 - T R [t] × K 0 - 1 je základná matica a (

p 1) sú pohybové korešpondencie v homogénnych súradniciach. ϵ = 10 - 9 je konštantná pridaná hodnota pre numerickú stabilitu.

2) Náklady na homografiu sa používajú na riešenie pohybových degenerácií v epipolárnej geometrii [problém torr1999], keď je ťažké odhadnúť kamerový preklad, ale nie rotáciu [cai2019equivalent]. Vizuálne porovnanie medzi epipolárnymi nákladmi a nákladmi na homografiu nájdete na obr. 8. Náklady na homografiu sa implementujú ako chyba symetrického prenosu na pixel [dubrofsky2009homography] s ohľadom na rotačnú homografiu, H R = K 0 R c K 1 - 1,

kde d (⋅, ⋅) je euklidovská vzdialenosť medzi dvoma bodmi.

3) Náklady 3D P + P sa používajú na detekciu koplanárneho pohybu, pri ktorom sa body pohybujú pozdĺž epipolárnej čiary (nie je zistiteľné podľa nákladov na epipolárnu, ako je analyzované v kapitole 3.1. Naše náklady na 3D P + P sa zvyšujú z 2D zvyšku chyba [bideau2016s],

T s f, - T c) | je nameraný uhol medzi normalizovaným tokom scény

T s f (vypočítané pomocou optickej expanzie pomocou metódy [yang2020 upgrading]) a negatívny kamerový preklad - T c, obmedzené na π 2. Vizuálne porovnanie je znázornené na obr.

4) Náklady na hĺbkový kontrast sa použijú na riešenie nejednoznačnosti kolineárneho pohybu, keď sa body pohybujú oproti smeru posunu kamery v 3D formáte, a preto nie sú detegovateľné vyššie uvedenými nákladmi, ako je znázornené na obr. Náklady na hĺbkový kontrast sa implementujú ako:

kde je možné prietok Z-triangulovanej hĺbky Z prietoku 0 efektívne vypočítať pomocou algoritmu triangulácie v strede alebo DLT [hartley2003multiple], monokulárna hĺbka pred Z pred 0 môže byť reprezentovaná sieťou monokulárnej hĺbky [monodepth2] riadenou dátami a faktorom mierky γ že globálne zarovná Z pred 0 až Z tok 0 možno určiť pomocou robustných najmenších štvorcov [sun2010secrets]. Vizuálne porovnanie medzi hĺbkou v tvare trojuholníka toku a hĺbkou monokulu je znázornené na obr.

6.2 Podrobnosti o školení

Podrobnosti o nácviku optického toku, optickej expanzie a segmentových sietí tuhého pohybu sú uvedené v tab. ŠTÍTOK: karta: hp.

Parameter Hodnota
Optický tok
Sieťová architektúra VCN [yang2019volumetric]
Optimalizátor Adam [kingma2014adam]
Miera učenia 1 × 10 − 3
Veľkosť / iterácie dávky na C. 16 obrazových párov / 70 tis
Veľkosť dávky / iterácie na T 16 obrazových párov / 70 tis
Veľkosť dávky / iterácie na C + SF + V 12 obrazových párov / 70k
Optická expanzia
Chrbticová sieť U-Net [ronneberger2015u, yang2020pgrading]
Optimalizátor Adam [kingma2014adam]
Miera učenia 1 × 10 − 3
Veľkosť dávky / iterácie na SF 12 obrazových párov / 70k
Segmentácia tuhého pohybu
Chrbticová sieť U-Net + DLA-34 [ronneberger2015u, yang2020upgrading, yu2018deep, zhou2019objects]
Optimalizátor Adam [kingma2014adam]
Miera učenia 5 × 10 − 4
Veľkosť dávky / iterácie na SF 12 obrazových párov / 70k
Tabuľka 5: Podrobnosti o sieťovom školení. C: FlythingChairs [DFIB15]. T: FlythingThings [MIFDB16]. SF: SceneFlow [MIFDB16]. V: VIPER [richter2017playing]. Sieť optického toku sa trénuje postupne na C, T a C + SF + V.

6.3 Detaily toku scény tuhého tela

V odd. 3.2, popisujeme priebeh scény tuhého telesa, ktorý (1) zapadá do 3D tuhých pohybov na tuhé teleso a (2) aktualizuje hĺbku aj merania prietoku. Viac podrobností nájdete tu.

Celkovo je naším cieľom výber vysoko kvalitné tokové korešpondencie pre montáž modelu a tuhé telesá aktualizujte pomocou dostatočne veľký pohyb. Za týmto účelom najskôr definujeme „platné pixely“ ako pixely, ktorých spoľahlivosť toku (v rozsahu 0-1, odhadovaná podľa VCN [yang2019volumetric]) vyššia ako 0,5. Počas prispôsobovania používame tokové korešpondencie platných pixelov z každej rigidnej pohybovej masky na prispôsobenie základnej matice cez odhad najmenšieho mediánu štvorcov [rousseeuw1984least]. Potom sa každá základná matica rozloží na štyri rotácie a preklady v mierke, kde je prostredníctvom kontroly chirality uskutočniteľný iba jeden [hartley2003multiple]. Aby sme určili mierku prekladu, triangulujeme korešpondenciu toku na vailidných pixeloch a zarovnáme ju s počiatočným vstupom hĺbky pomocou mierky cez RANSAC [fischler1981random]. Aby sme mohli využiť presný odhad hĺbky v stereofónnom prípade, spresňujeme odhadované rigidné transformácie riešením problému Perspective-n-Point vzhľadom na hĺbku a tok prvého rámca, ktorý minimalizuje chyby re-projekcie pomocou algoritmu Levenberg – Marquardt [hartley2003multiple].

Na záver aktualizujeme odhady hĺbky a toku podľa odhadovaných 3D rigidných pohybov. Pevné telesá, ktorých priemerná veľkosť toku paralaxy (definovaná ako „usmernený“ optický tok po odstránení rotácie v kapitole 3.1) je menšia ako 4 pixely alebo má menej ako 30% platných pixelov, sa neaktualizujú.

∗ D1 (%) D2 (%) Fl (%) SF (%)
Metóda všetko fg všetko fg všetko Δ -všetky ↑ fg Δ -fg ↑ všetko Δ -všetky ↑ fg Δ -fg ↑
Základný OE [upgrade yang2020] 1.41 0.76 2.45 0.91 4.02 0 2.50 0 5.12 0 3.07 0
Naša maska ​​R-CNN 1.41 0.76 2.11 1.99 3.53 12.1 4.34 -73.6 4.02 21.5 4.86 -36.8
Naša tuhá maska 1.41 0.76 2.04 1.05 3.32 17.4 2.16 15.7 3.86 24.6 2.78 10.4
Tabuľka 6: Ablačná štúdia toku stereofónnej scény na snímkach KITTI-SF. D1 a D2: chyba disparity prvého a druhého rámca. Fl: chyba optického toku. všetko: vyhodnotené na všetkých pixeloch. fg: vyhodnotené iba pre pixely v popredí. SF: chyba toku scény. Δ: percento zníženia chyby po zdokonalení. ∗ Rozptyl prvého rámca sa počas upresňovania nezmení.

6.4 Štúdia ablácie toku scény tuhého tela

Študujeme vplyv parametrizácie rigidného pohybu na odhad toku scény a výsledky hlásime na 200 snímkach KITTI-SF, ako je uvedené v tab. ŠTÍTOK: karta: sf-aba. Bez rigidnej parametrizácie pohybu je naša metóda ekvivalentná optickej expanzii [yang2020upgrading], ktorá inovuje 2D tokové polia na 3D, ale nevylepšuje tak disparitu prvého rámca, ako aj optický tok. Naproti tomu navrhovaná metóda redukuje celkovú chybu toku scény o 24,6% prostredníctvom tuhého zdokonalenia tela. Nahradenie navrhovaných masiek s pevným pohybom maskami založenými na vzhľade vyrobenými maskou R-CNN vedie k znateľnému poklesu presnosti. Naša tuhá parametrizácia tela tiež vedie k neustálemu zlepšovaniu presnosti toku scény pre oblasti popredia aj pozadia.

6.5 Kvalitatívne porovnanie

Poskytujeme ďalšie vizuálne porovnanie s predchádzajúcimi prístupmi ku KITTI a Sintel na obrázkoch 12 a 13. V porovnaní s metódami segmentácie tuhých pohybov založenými na vzhľade je naša metóda schopná správne segmentovať statické objekty ako súčasť tuhého pozadia a zovšeobecniť nový vzhľad. V porovnaní s metódami segmentácie geometrického pohybu je naša metóda robustnejšia, aby degenerovala konfigurácie pohybu a hlučný tok, ako aj vstupy z kamery.

Obrázok 8: Epipolárne náklady vs. náklady na homografiu. Hore: Hodnoty nákladov v šedej škále. Spodok: Binárne segmentácie po prahovaní nákladov. Táto scéna obsahuje dve pohybujúce sa autá v popredí a statickú kameru, ktorá spôsobuje degeneráciu pohybu v epipolárnej geometrii (napr. Nízkonákladová, ale pohyblivá oblasť na cenovej mape Sampson, označená červeným kruhom). V takýchto prípadoch nie je epipolárna čiara presne definovaná a model homografie je vhodnejší na segmentáciu pohybu. Obrázok 9: Náklady 3D P + P. Hore: Náklady v šedej škále. Spodok: Binárne segmentácie po prahovaní nákladov. Táto scéna obsahuje pohyblivú kameru a netuhé dynamické objekty, kde pixely pohybujúce sa pozdĺž epipolárnej čiary nie sú obnoviteľné podľa klasických kritérií segmentácie pohybu (napr. Nízkonákladová, ale pohyblivá oblasť na mape nákladov spoločnosti Sampson, označená červeným kruhom). V takýchto prípadoch sú vhodnejšie naše náklady na 3D P + P. Obrázok 10: Náklady na hĺbkový kontrast. Hore: Náklady v šedej škále. Spodok: Binárne segmentácie po prahovaní nákladov. Táto scéna obsahuje pohyblivú kameru a tuhé telo (automobil) pohybujúce sa v negatívnom smere prekladu kamery, ktoré nie je obnoviteľné podľa klasických kritérií segmentácie pohybu (napr. Nízkonákladová, ale pohyblivá oblasť na mape nákladov spoločnosti Sampson, označená symbolom červený kruh), ako aj náklady na 3D P + P. V takýchto prípadoch sú vhodnejšie naše náklady na hĺbkový kontrast. Obrázok 11: Hĺbka trojuholníkového prietoku verzus hĺbka monokuláru pred. Hĺbka trojuholníkového prúdenia Z f l o w 0 (v strede) je triangulácia pohybových korešpondencií za predpokladu celkovej tuhosti. Monokulárna hĺbka pred Z p r i o r 0 (vpravo) môže byť reprezentovaná sieťou monokulárnej hĺbky riadenej dátami [Ranftl2019]. V tomto príklade sa ľavé vozidlo pohybuje opačným smerom ako je smer posunu kamery, a nemožno ho detekovať pomocou epipolárnych obmedzení, ako je znázornené na obr. 2 hlavného textu. Pri rekonštrukcii s trojuholníkovým tokom sa to však javí ako abnormálne (plávajúce nad zemou). Na detekciu takýchto kolineárne sa pohybujúcich objektov globálne zarovnáme Z p r i o r 0 až Z f l o w 0 pomocou mierky γ s robustnými najmenšími štvorcami [sun2010secrets], ktorá odhalí plávajúce (pohybujúce sa) auto, ktoré nie je v súlade s monokulárnou hĺbkou predtým. Obrázok 12: Ilustrácia koplanárnej pohybovej nejednoznačnosti na KITTI. Tuhé pozadie je označené bielou farbou. Body pohybujúce sa pozdĺž epipolárnej čiary, napríklad strecha automobilov, spôsobujú malú Sampsonovu chybu, a preto sa odhadujú ako pozadie v klasických geometrických potrubiach. Na vyriešenie tejto nejasnosti využívame optickú rozťažnosť, ktorá odhaľuje relatívnu hĺbkovú zmenu. V porovnaní s predchádzajúcou metódou segmentácie založenej na pohybe je naša odolnejšia voči šumu. Obrázok 13: Výsledky na sekvencii trhu Sintel. Predchádzajúce metódy segmentácie pohybu po jednotlivých snímkach alebo videozáznamoch zlyhávajú kvôli neobvyklému pozorovaciemu bodu (pohľad zo zeme) a nikdy predtým nevideným objektom (drak, vozíky na drevo). Naša metóda presne segmentuje nové pohyblivé objekty.

Chcete sa dozvedieť viac o nových nástrojoch, ktoré vyrábame? Prihláste sa do nášho zoznamu adresátov, aby ste získali občasné aktualizácie.

Ak nájdete chybu vykresľovania, nahláste problém na GitHub. Prípadne to opravte sami - vykresľovač je open source!


Transformačné hry a pracovné listy

Hľadáte bezplatné hry a pracovné listy na matematickú transformáciu?

Prezrite si náš adresár bezplatných matematických hier o geometrii, ktoré sú k dispozícii na internete - hry, ktoré pri zábave učia, budujú alebo posilňujú vaše matematické zručnosti a koncepty geometrie. Tu uvedené hry kategorizujeme a kontrolujeme, aby sme vám pomohli nájsť matematické hry, ktoré hľadáte.

Transformačné hry

Hry / aktivity na preskúmanie transformácie

Rotácia Dynamicky interagujte s a uvidíte výsledok transformácie rotácie. Reflexia Dynamicky interagujte s a uvidíte výsledok reflexie Preklad Dynamicky interagujte s a uvidíte výsledok transformácie translácie. Dilatácia Dynamicky interagujte s a uvidíte výsledok dilatačnej transformácie. Skúmanie rigidných transformácií a kongruencie Rotačné preklady alebo snímky, odrazy alebo prevrátenia sú geometrické transformácie, ktoré menia polohu alebo orientáciu objektu, ale nie jeho tvar alebo veľkosť. Cieľom tejto úlohy je preskúmať účinky použitia rôznych transformácií na tvar. Transformácie podobnosti a zosilňovača Vyplňte vyhlásenie o podobnosti. Zhoda s tuhými pohybmi 1) Existuje postupnosť tuhých pohybov, ktorá mapuje modrý trojuholník na červený trojuholník?
2) Sú 2 trojuholníky zhodné? Flip Flop Toto je reflexná hádanka. Ľavý sandál sa odráža cez čiaru vedenú medzi dvoma bodmi v mriežke a vytvára pravý sandál. Dokážete pohybovať bodmi A a B a nájsť čiaru odrazu? Stlačením tlačidla Skontrolovať skontrolujete, či máte pravdu. Symetrická čiara a rotačná symetria 2D tvarov Tuhá transformácia Presne definujte tuhé transformácie.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, ktoré vám pomôžu precvičiť rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Pevné pohyby a kongruencia

Podľa CCSS študenti najskôr formálne skúmajú kongruenciu v ôsmom ročníku. Toto je teraz diagnostika aj kontrola. Študentom sa zobrazí päť trojuholníkov a bude sa ich pýtať, ktoré trojuholníky navzájom zodpovedajú. Každý trojuholník má dve dané dĺžky strán a rozmery uhol. Na základe zadaných informácií študenti identifikujú, ktoré trojuholníky majú tri rovnaké strany a tri rovnaké uhly.

Aby bolo možné zistiť, ktoré páry trojuholníkov sú zhodné, musia študenti stavať na predchádzajúcich znalostiach o súčte mier vnútorných uhlov v trojuholníku, rovnoramenných trojuholníkoch a potom v Pytagorovej vete.

Otázka v Do Do teraz žiada študentov, aby identifikovali zhodné trojuholníky, ale nevysvetlia, prečo sú trojuholníky zhodné. Keď ideme cez Teraz, požiadam študentov, aby vysvetlili, ako vedia, že trojuholníky sú zhodné.

Some students may need a brief reminder of the definition of “congruent” and further explanation about how to find the missing side lengths and angle measures.