Články

2: Zhodné trojuholníky - matematika


Miniatúra: Schéma dvoch zhodných trojuholníkov. ( triangle ABC cong triangle DEF ) (CC BY-SA; Merovingian cez Wikipedia)


Ktorý ukazuje dva trojuholníky, ktoré sú zhodné s ASA? Na jednej strane sú spojené 2 pravé trojuholníky. Trojuholníky majú 2 zodpovedajúce strany a jeden zhodný uhol. Na jednej strane sú spojené 2 trojuholníky. Trojuholníky majú tiež 2 rovnaké uhly. Prvý trojuholník je možné otáčať, aby vznikol druhý trojuholník. 2 trojuholníky majú 3 zhodné uhly. Druhý trojuholník je napravo od prvého trojuholníka. 2 trojuholníky majú 2 zhodné strany a 1 zhodné uhly. Prvý trojuholník sa odráža cez čiaru a potom sa otáča, aby vytvoril druhý trojuholník.

Postulát AAS (Angle-Angle-Side) uvádza, že ak dva uhly a nezahrnutá strana sa jeden trojuholník rovnajú dvom uhlom a nezahrnutej strane druhého trojuholníka, potom sa tieto dva trojuholníky zhodujú.

Na obrázku A máme dva uhly a na nezahrnutej strane je jeden trojuholník rovný dvom uhlom a k nej pripojená nezahrnutá strana nasledujúceho trojuholníka, takže podľa AAS postulátu sú zhodné.

Zvyšok ostatných obrázkov nemá dva uhly rovnaké v obidvoch trojuholníkoch.

Iba A teda ukazuje dva trojuholníky, ktoré sú zhodné s AAS.

Trojuholníky môžu byť podobné alebo zhodné. Podobné trojuholníky budú mať rovnaké uhly, ale strany rôznych dĺžok. Zhodné trojuholníky budú mať úplne zhodné uhly a strany. Ich vnútorné uhly a bočné strany budú zhodné. Testovanie, či sú trojuholníky zhodné, zahŕňa tri postuláty, skrátene SAS, ASA a SSS.

(A) zobrazuje dva trojuholníky, ktoré sú zhodné s AAS. Postulát AAS (Angle-Angle-Side) uvádza, že ak dva uhly a nezahrnutá strana sa jeden trojuholník rovnajú dvom uhlom a nezahrnutej strane druhého trojuholníka, potom sa tieto dva trojuholníky zhodujú.

je to posledný chalani ,, práve som absolvoval test :)))

Odpoveď je A. Dúfam, že som pomohol!

AAS znamená „strana uhla-uhol“. Uvádza sa v ňom, že ak dva uhly a nezahrnutá strana jedného trojuholníka zodpovedajú zodpovedajúcim dvom uhlom a nezahrnutej strane iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Jediný trojuholník v tomto zozname, ktorý má dva zhodné uhly a stranu, ktorá nie je medzi nimi, predstavuje posledný údaj.

Posledný prípad ukazuje, že dva trojuholníky sú zhodné s vetou o zhode SSS

Trojuholníky A B C a A D C majú spoločnú stranu A C. Dĺžky A B a A D sú zhodné. Dĺžky B C a D C sú zhodné.

S týmto prípadom. Máte strany AB = AD, BC = DC a potom môžete dospieť k záveru, že AC = AC pomocou reflexnej vlastnosti, pretože AC je spoločná strana.

takže trojuholník ABC = trojuholník ADC podľa zhodnosti SSS

PRÍPAD 1.) Trojuholníky A B C a D E C sú spojené v bode C. Uhly A B C a C E D sú pravé uhly. Dĺžky strán A B a E D sú zhodné. Poznali by ste iba jeden pár strán a jeden pár uhlov, ktoré sú zhodné.

PRÍPAD 2.) Trojuholníky A B C a D E C sú spojené v bode C. Dĺžky strán A B a D E sú zhodné. Dĺžky strán B C a C D sú zhodné. Poznali by ste iba 2 páry zhodných strán.

PRÍPAD 3.) Trojuholníky A B C a D E C sú spojené v bode C. Dĺžky strán A C a C E sú zhodné. Uhly B A C a C E D sú zhodné. Poznali by ste iba pár uhlov a pár strán. Nestačí na zhodu.

PRÍPAD 4.) Trojuholníky A B C a A D C majú spoločnú stranu A C. Dĺžky A B a A D sú zhodné. Dĺžky B C a D C sú zhodné.

Posledný, ako je znázornené na priloženom obrázku.

Ďalšie vysvetlenie Postulát AAS (Angle-Angle-Side) pre kongruentné trojuholníky: dva páry zodpovedajúcich uhlov a pár protiľahlých strán sú v obidvoch trojuholníkoch rovnaké. Postulát ASA (Angle-Side-Angle) pre kongruentné trojuholníky: dva uhly a zahrnutá strana jedného trojuholníka sú kongruentné s dvoma uhlami a zahrnutá strana iného trojuholníka zahrnutá strana správne predstavuje stranu medzi vrcholmi týchto dvoch uhlov. . Postulát SAS (Side-Angle-Side) pre kongruentné trojuholníky: dve strany a zahrnutý uhol jedného trojuholníka sú zhodné s dvoma stranami a zahrnutý uhol iného trojuholníka predstavuje zahrnutý uhol správne uhol tvorený dvoma stranami. SSS (Side-Side-Side) postulát pre zodpovedajúce trojuholníky: všetky tri strany v jednom trojuholníku sú zhodné so zodpovedajúcimi stranami v druhom.

Postulát z uhla na stranu pre zhodné trojuholníky neexistuje, pretože uhol a dve strany nezaručujú, že dva trojuholníky sú zhodné. Ak majú dva trojuholníky dve zhodné strany a zhodný nezaradený uhol, zdá sa, že trojuholníky nie sú nevyhnutne zhodné. To je dôvod, prečo neexistuje postranný uhol (SSA) a postulát zo strany. Postulát AAA (uhol-uhol-uhol) pre kongruentné trojuholníky nefunguje, pretože mať tri zodpovedajúce uhly rovnakej veľkosti nie je dosť na preukázanie zhody. Tento princíp sa zvyčajne používa na podobnosť dvoch trojuholníkov. Ďalšie informácie Čo ukazuje dva trojuholníky, ktoré sú zhodné s ASA? O zvislých a doplnkových uhloch Vypočítajte miery dvoch uhlov v pravom trojuholníku

Druhý, ako je znázornené na priloženom obrázku.

Ďalšie vysvetlenie Postulát ASA (Angle-Side-Angle) pre kongruentné trojuholníky: dva uhly a zahrnutá strana jedného trojuholníka sú zhodné s dvoma uhlami a zahrnutá strana iného trojuholníka predstavuje zahrnutá strana správne stranu medzi vrcholmi týchto dvoch trojuholníkov. uhly. Postulát SAS (Side-Angle-Side) pre kongruentné trojuholníky: dve strany a zahrnutý uhol jedného trojuholníka sú zhodné s dvoma stranami a zahrnutý uhol iného trojuholníka predstavuje zahrnutý uhol správne uhol tvorený dvoma stranami. SSS (Side-Side-Side) postulát pre kongruentné trojuholníky: všetky tri strany v jednom trojuholníku sú zhodné so zodpovedajúcimi stranami v druhom. Postulát AAS (Angle-Angle-Side) pre kongruentné trojuholníky: dva páry zodpovedajúcich uhlov a dvojica protiľahlých strán je v obidvoch trojuholníkoch rovnaká.

Postulát z uhla na stranu pre zhodné trojuholníky neexistuje, pretože uhol a dve strany nezaručujú, že dva trojuholníky sú zhodné. Ak majú dva trojuholníky dve zhodné strany a zhodný nezaradený uhol, zdá sa, že trojuholníky nie sú nevyhnutne zhodné. To je dôvod, prečo neexistuje postranný uhol (SSA) a postulát zo strany. Postulát AAA (uhol-uhol-uhol) pre kongruentné trojuholníky nefunguje, pretože mať tri zodpovedajúce uhly rovnakej veľkosti nie je dosť na preukázanie zhody. Tento princíp sa zvyčajne používa pre podobnosť dvoch trojuholníkov. Ďalšie informácie O dĺžkach nôh trojuholníka O zvislých a doplnkových uhloch Vypočítajte miery dvoch uhlov v pravom trojuholníku.


Geometria: Zhodné trojuholníky

Zhodné trojuholníky sú trojuholníky, ktoré majú rovnaké veľkosť a tvar. To znamená, že zodpovedajúce strany sú rovnaké a zodpovedajúce uhly sú rovnaké.

Na vyššie uvedených diagramoch sú príslušné strany a a d b a e c a f .

Zodpovedajúce uhly sú X a s r a t z a u .

Či sú dva trojuholníky zhodné, môžeme zistiť bez toho, aby sme otestovali všetky strany a všetky uhly týchto dvoch trojuholníkov. Existujú štyri pravidlá na kontrolu zhodných trojuholníkov. Nazývajú sa pravidlo SSS, pravidlo SAS, pravidlo ASA a pravidlo AAS. Existuje tiež ďalšie pravidlo pre pravé trojuholníky, ktoré sa nazýva pravidlo Hypotenuse Leg. Pokiaľ je jedno z pravidiel pravdivé, stačí dokázať, že dva trojuholníky sú zhodné.

Pravidlo 1: SSS Postulovať

Ak sú strany jedného trojuholníka zhodné so stranami druhého trojuholníka, potom sú zhodné.

Pravidlo 2: SAS Postulovať

Ak sú dve strany a zahrnutý uhol (Side-Angle-Side, SAS) jedného trojuholníka rovné dvom stranám a zahrnutému uhlu iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné. Zahrnutý uhol je uhol tvorený dvoma danými stranami.

Pravidlo 3: ASA Postulovať

Ak sa dva uhly a zahrnutá strana jedného trojuholníka (Angle-Side-Angle, ASA) rovnajú dvom uhlom a zahrnutej strane iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné. Zahrnutá strana je strana medzi dvoma danými uhlami.

Pravidlo 4: Pravidlo AAS

Ak sa dva uhly a nezahrnutá strana jedného trojuholníka (Angle-Angle-Side, AAS) rovnajú dvom uhlom a nezahrnutej strane iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné. (Toto pravidlo sa niekedy môže označovať ako SAD).

Pre pravidlo ASA musí byť zahrnutá daná strana a pre pravidlo AAS uvedená strana nesmie byť zahrnutá. Trik spočíva v tom, že musíme použiť rovnaké pravidlo pre oba trojuholníky, ktoré porovnávame.

Postulát 1: Postulát Side-Side-Side (SSS) Ak sú tri strany jedného trojuholníka zhodné

na tri strany iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Postulát 2: Postulát Side-Angle-Side (SAS) Ak sú dve strany a zahrnutý uhol jedného trojuholníka zhodné s dvoma stranami a zahrnutý uhol iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Postulát 3 : Postulát uhla-boku-uhla Ak sú dva uhly a zahrnutá strana jedného trojuholníka zhodné s dvoma uhlami a zahrnutá strana iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Veta o uhle-uhle (AAS) Ak sú dva uhly a nezahrnutá strana jedného trojuholníka zhodné so zodpovedajúcimi časťami iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Keď si táto bežkyňa položí ruky na boky, vytvorí hornou časťou tela a rukami dva trojuholníky. Predpokladajme, že má dĺžku paží a meria 9 palcov a meria 11 palcov. Predpokladajme tiež, že dostanete. Určte, či .Odôvodnite svoju odpoveď.

Pretože máme informácie o všetkých troch stranách a sú zhodné, mohli by sme ich použiť SSS dokázať

Možno sa čudujete, prečo nemôžeme použiť AAA na preukázanie zhody trojuholníkov. Zatiaľ čo kongruentné trojuholníky zdieľajú tri kongruentné uhly, AAA nie je možným nástrojom na preukázanie kongruencie, pretože môžu byť vytvorené dva trojuholníky s tromi zodpovedajúcimi kongruentnými uhlami. podobnýale nie zhodný(čo znamená, že ich segmenty nemusia byť zhodné).

Zhoda v pravých trojuholníkoch

Veta 4.6 Kongruencia medzi nohami (LL)

Ak sú nohy jedného pravého trojuholníka zhodné s príslušnými nohami iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Veta 4,7 - hypotenzia-uhlová kongruencia (HA)

Ak sú prepona a ostrý uhol jedného pravého trojuholníka zhodné s preponou a zodpovedajúcim ostrým uhlom iného pravého trojuholníka, potom sú dva trojuholníky zhodné.

Veta 4.8 Kongruencia Leg-Angle (LA)

Ak sú jedna noha a ostrý uhol jedného pravého trojuholníka zhodné so zodpovedajúcou nohou a ostrým uhlom iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Postulát 4,4 Zhoda hypotenzia-noha (HL)

Ak je prepona a úsek jedného pravého trojuholníka zhodný s preponou a zodpovedajúcim úsekom iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Veta HL Ak je prepona a časť jedného pravého trojuholníka zhodná so zodpovedajúcimi časťami iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

Ak sú nohy jedného pravého trojuholníka zhodné s príslušnými nohami iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.,

Veta 5-6 HA (hypoténa - uhol)

Ak sú prepona a ostrý uhol jedného pravého trojuholníka zhodné s preponou a zodpovedajúcim ostrým uhlom iného pravého trojuholníka, potom sú dva trojuholníky zhodné.,

Ak sú noha a ostrý uhol jedného pravého trojuholníka zhodné so zodpovedajúcou nohou a ostrým uhlom iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.,

Postulát 5-1 HL (Hypotenuse -Leg)

Ak je prepona a úsek jedného pravého trojuholníka zhodný s preponou a zodpovedajúcim úsekom iného pravého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné

Zhrnutie spôsobov, ako preukázať zhodu dvoch trojuholníkov

Všetky trojuholníky: SSS SAS ASA AAS

Pravé trojuholníky : HL

Časti dvoch trojuholníkov, ktoré majú rovnaké rozmery (rovnaké), sa označujú ako zodpovedajúce časti. To znamená, že Zodpovedajúce časti zhodných trojuholníkov sú zhodné (CPCTC). Zhodné trojuholníky sú pomenované uvedením ich vrcholov v zodpovedajúcich radoch. Na obrázku 1 je Δ BAT ≅ Δ ICE .

Príklad 1: Ak Δ PQR ≅ Δ STU ktoré časti musia mať rovnaké rozmery?

Tieto časti sú si rovné, pretože zodpovedajúce časti zhodných trojuholníkov sú totožné.

Zhrnutie konceptov: Metódy na preukázanie zhody trojuholníka

Definícia zhodných trojuholníkov

Všetky zodpovedajúce časti jedného trojuholníka sú zhodné s príslušnými časťami druhého trojuholníka.

Tri strany na jednom trojuholníku musia zodpovedať trom stranám druhého trojuholníka.

Dve strany a zahrnutý uhol jedného trojuholníka musia zodpovedať dvom stranám a zahrnutý uhol druhého trojuholníka.

Dva uhly a zahrnutá strana jedného trojuholníka musia zodpovedať dvom uhlom a zahrnutej strane druhého trojuholníka.

Dva uhly a nezahrnutá strana jedného trojuholníka musia zodpovedať dvom uhlom a strane druhého trojuholníka.

RIADENÁ PRAX: príklady 1-4 strany 181-182 učebnica

NEZÁVISLÁ PRAX: # 2-12,16-28 p 182-183 Textbbbok

1) Ktorá voľba zobrazuje trojuholník, ktorý je zhodný s použitím iba vety AAS o zhode?

2) Ktorou vetou možno dokázať, že dva nižšie uvedené trojuholníky sú zhodné?

A - Diskusia vedúca skupiny

B- Zaznamenajte odpovede a vysvetlenia.

C - Zdieľajte odpoveď s triedou

1. Odpovedzte na základné otázky od začiatku hodiny.

2. Vysvetlite, ako môžete dokázať postuláty kongruencie ASA alebo AAS


Zhodné trojuholníky

Existujú štyri základné spôsoby, ako zistiť, či sú trojuholníky zhodné.

    • Strana-strana-strana: Ak sú rozmery troch strán jedného trojuholníka rovnaké ako rozmery druhého, potom sú trojuholníky zhodné.
    • Uhol-strana-uhol: Ak sú dva uhly a strana medzi nimi rovnaká ako v prípade iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.
    • Strana-uhol-strana: Ak sú dve strany a uhol medzi nimi rovnaký ako u iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.
    • Strana uhol-uhol: Ak sú dva uhly a strana protiľahlá k jednému z nich rovnaká ako uhol iného uhla, potom sú trojuholníky zhodné.


    Každé z vyššie uvedených tvrdení dokážeme pomocou sinusového zákona a kosínového zákona. Podrobnejšiu diskusiu o riešení trojuholníkov nájdete v téme: Riešenie trojuholníkov.


    Na všetkých nasledujúcich obrázkoch:

    • Čierna bude označovať strany a uhly známej hodnoty.
    • Zelená bude označovať uhly neznámej miery.
    • Červená bude označovať strany neznámej dĺžky.

    Bokom-Bokom

    Ak sú rozmery troch strán jedného trojuholníka rovnaké ako rozmery druhého, potom sú trojuholníky zhodné.

    Obrázok 2 zobrazuje prípad, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, zatiaľ čo rozmery troch uhlov nie. Neznáme uhly sú zobrazené zelenou farbou. Všimnite si, že existuje iba jedna možnosť merania každého z troch uhlov, ktorá umožní vzájomné spojenie strán trojuholníka.

    Pomocou zákona kozínov možno nájsť merania jedného z uhlov. Akonáhle je určené meranie jedného z uhlov, na nájdenie zvyšných dvoch je možné použiť jednoduchší Sínusov zákon. Následne budú známe merania všetkých troch strán a uhlov trojuholníka a je možné jednoznačne preukázať, že dva trojuholníky sú zhodné.


    Práve sme dokázali, že stačí vedieť, že rozmery troch strán jedného trojuholníka sú rovnaké ako rozmery druhej, aby sme vedeli, že oba trojuholníky sú zhodné.

    Uhol-Bočný-Uhol

    Ak sú dva uhly a strana medzi nimi rovnaká ako v prípade iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

    Obrázok 3 ilustruje, že ak je daná veľkosť dvoch uhlov a strany medzi nimi, je pre každú zo zvyšných dvoch strán možná iba jedna dĺžka, aby sa spojili a vytvorili trojuholník. Neznáme strany sú zobrazené červenou farbou a neznáme uhly zelenou farbou. Aj vzhľadom na to, že uhly trojuholníka sa vždy zvyšujú na 180 & # 176, existuje iba jedna možnosť merania zostávajúceho uhla medzi týmito dvoma stranami.

    Neznámy uhol možno nájsť odpočítaním meraní známych uhlov od 180 & # 176, čím sa získa meranie potrebné na to, aby sa tieto tri uhly zhodovali s potrebnými 180 & # 176.

    Potom sa dá pomocou sinusového zákona zistiť dĺžka zostávajúcich strán trojuholníka. akonáhle sa nájdu dĺžky dvoch neznámych strán, budú známe všetky prvky trojuholníka a možno jednoznačne preukázať, že dva trojuholníky sú zhodné.


    Práve sme dokázali, že stačí vedieť, že dva uhly a strana medzi nimi sú rovnaké ako uhly iného trojuholníka, aby sme vedeli, že tieto dva trojuholníky sú zhodné.

    Side-Angle-Side

    Ak sú dve strany a uhol medzi nimi rovnaké ako u iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

    Rovnako ako na obrázku 4 si všimnite, že ak je daná dĺžka strany, susedný uhol a druhá susedná strana, pre zvyšnú stranu trojuholníka je možná iba jedna dĺžka.

    Dĺžka zostávajúcej strany sa dá zistiť pomocou Zákona kosínusov, po ktorom je možné pomocou prístroja Zákona sínusov určiť merania neznámych uhlov. Akonáhle sa tieto nájdu, budú známe merania všetkých strán a uhlov a možno preukázať, že sú zhodne dva trojuholníky.


    Práve sme preukázali, že stačí vedieť, že dve strany a uhol medzi nimi sú rovnaké ako uholníky iného trojuholníka, aby sme vedeli, že tieto dva trojuholníky sú zhodné.

    Uhol-Uhol-Strana

    Ak sú dva uhly a strana protiľahlá od jedného z nich rovnaká ako uhol iného trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné.

    Obrázok 5 zobrazuje prípad, keď sú známe merania dvoch uhlov a strany protiľahlej k jednému z nich. Podobne ako v prípade Angle-Side-Angle môžeme využiť naše vedomosti, že merania uhlov trojuholníka sa vždy pridajú k hodnote 180 & # 176, aby sme našli neznámy uhol. Odčítaním rozmerov známych strán od 180 & # 176 nájdeme meranie, že zostávajúci uhol musí byť, aby sa tieto tri hodnoty zvýšili na 180 & # 176.

    Keď sú známe merania všetkých uhlov, problém sa zníži na prípad Angle-Side-Angle. Pomocou sinusového zákona možno zistiť dĺžky dvoch neznámych strán. Následne budú známe merania všetkých strán a uhlov a je možné jednoznačne dokázať, že dva trojuholníky sú zhodné.


    Práve sme dokázali, že stačí vedieť, že dva uhly a strana protiľahlá k jednému z nich sú rovnaké ako uhly iného trojuholníka, aby sme vedeli, že tieto dva trojuholníky sú zhodné.

    Prípady, keď nie je možné určiť kongruenciu

    Existujú dva prípady, keď nemožno určiť zhodu dvoch trojuholníkov.

      • Uhol-uhol-uhol: Ak sú merania troch uhlov jedného trojuholníka rovnaké ako merania druhého uhla, potom trojuholníky nemožno určiť zhodne. Dajú sa však preukázať dva trojuholníky podobné.
      • Uhol bočnej strany: Ak sú dve strany a uhol oproti jednej z nich rovnaké ako u iného trojuholníka, potom trojuholníky nemožno určiť zhodne. Toto sa označuje ako nejednoznačný prípad.

      Uhol-uhol-uhol


      Obrázok 6 zobrazuje prípad, keď sú známe miery všetkých troch uhlov trojuholníka, zatiaľ čo dĺžky troch strán nie. Podľa zákona Sines vieme, že:


      Chceme ukázať, že pomer dĺžky a1 do a2 je to isté ako v prípade b1 byť2, čo je rovnaké ako v prípade c1 do c2. Napísané algebraicky:


      Začíname s prvými dvoma časťami sinusového zákona pre naše dva trojuholníky:

      Potom rozdelíme obe strany o b1 a znásobte obe strany hriechom & # 9521: Potom rozdelíme obe strany o b2 a znásobte obe strany hriechom & # 9521:


      Pretože máme dva výrazy, ktoré sú si rovné , môžu byť navzájom rovnocenné, čím sa získa:


      Potom obe strany rovnice vynásobíme b1, výťažok:


      Práve sme dokázali, že pomer dĺžky a1 do a2 je to isté ako v prípade b1 byť2. To znamená, že proporcie strany a1 vo vzťahu k a2 sú rovnaké ako b1 byť2. Vyššie uvedený dôkaz je možné vykonať aj v páre & # 160 & # 160 & # 160 & # 160 a & # 160 & # 160 Ak sa tento výsledok skombinuje s výsledkom, ku ktorému sme sa práve dostali, nájdeme nasledujúce:



      Takže dĺžky všetkých troch strán jedného trojuholníka sú úmerné dĺžkam zodpovedajúcich strán druhého a ukázalo sa, že trojuholníky sú podobné.

      Práve sme dokázali, že stačí vedieť, že merania troch uhlov jedného trojuholníka sú rovnaké ako merania druhého, aby sme vedeli, že tieto dva uhly sú podobné.

      Napriek tomu sa nám podarilo dokázať iba to, že dĺžky strán sú proporčné, nie to, že boli rovnaké. V dôsledku toho nemôžeme definitívne dospieť k záveru, že strany majú rovnakú dĺžku, čo znamená, že si nemôžeme byť istí, že trojuholníky sú zhodné. Tento bod je najlepšie znázornený na obrázku 6, na ktorom majú dva trojuholníky rovnaké zodpovedajúce uhly, ale strany spájajúce uhly v hornom trojuholníku sú väčšie ako strany spájajúce tie isté uhly v dolnom.


      Riešenie spoločnosti @ Matrial sa javí ako veľmi sľubné, avšak riešenie $ FC = BF $ ma zabíja, zaujímalo by ma, či existujú riešenia, napríklad viac euklidovské?

      robíme to pomocou súradnicového systému ako na obrázku.

      Predpokladajme: $ A = (0,0), D = (a, 0), B = (b, 0) $, pretože $ AD = AE $, takže $ E = (a cos ( theta), a sin ( theta)) $. $ E $ je bod na riadku $ AC $, takže môžeme navrhnúť koeficient $ lambda $, ktorý vyhovuje $ AC = lambda cdot AE $ a & lt lambda & lt1 $, potom $ C = ( lambda a cos ( theta), lambda a sin ( theta)) $.

      Teraz môžeme získať funkciu dvoch riadkov $ CD $ a $ BE $, výsledkom je $ CD: y = frac < lambda sin ( theta)> < lambda cos ( theta) -1> (xa) $ $ BE: y = frac(x-b) $ Teraz vypočítame priesečník týchto dvoch riadkov a dostaneme $ F: x_F = frac y_F = frac$ Teraz použijeme podmienku $ FC = BF $ a máme rovnicu o koeficiente $ lambda $ $ (b-x_F) ^ 2 + y_F ^ 2 = ( lambda a cos ( theta) -x_F) ^ 2 + ( lambda a sin ( theta) -y_F) ^ 2 $ Vyriešte to a eliminujte riešenie nie skutočné a riešenie $ lambda & gt1 $, máme jedinečné riešenie $ lambda = frac$ Teraz môžeme povedať, že $ AC = AB $ a vaša rovnosť je dokázaná.

      $ mathbf$ (na vyjadrenie obavy z OP)

      A všetky vyššie uvedené / predchádzajúce $ mathbf$ s veľkou chuťou, keď uzná, že akýkoľvek jeho geometrický dôkaz bude pravdepodobne kruhový, takže ho dovedie do nekonečných kruhov. (pravdepodobne kvôli symetrii konkrétnej kongruencie).

      Myslím si, ale nie som si istý, že sa to dá vyriešiť aj inak. Ak dokážeme, že štvoruholník $ DFEA $ je nepopísateľný, môžeme skúsiť použiť zodpovedajúce pomery, ktoré dostaneme zo sily bodov $ B $ a $ C $ vzhľadom na opísanú kružnicu tohto štvoruholníka. Možno sú predpoklady dostatočné na to, aby sa tieto právomoci vyrovnali, a teda aj všetky dobroty v nich uvedené.

      A skutočne to vyzerá ako Desargues s ďalšími predpokladmi $ AD = AE $ a $ BF = FC $, ktoré by mali byť okamžité.

      Náčrt dôkazu pre všeobecný prípad:

      1. Zostrojte circumcircle $ c $ z rovnoramenných $ ADE $.
      2. Vyberte bod $ B $ na predĺžení $ AD $.
      3. Správajte $ BE $. Bude sa pretínať okolo obvodu $ c $ pri $ F $.
      4. Vykonajte $ DF $. Pretína $ AE $ pri $ C $ (pozri [*]).
      5. Teraz použite Desargues (právomoci bodov $ B $ a $ C $ vo vzťahu k opísaným $ c $) pomocou ďalších predpokladov $ AD = AE $ a $ BD = FC $.
      6. Za týchto dvoch predpokladov znamená 5), že $ F $ leží na osi $ A $ a všetko ostatné nasleduje.

      [*] Degenerovaný prípad vyššie uvedenej konštrukcie je, keď $ DE $ má priemer $ c $. V tomto prípade bude vpísaný štvoruholník štvorec s oboma priemermi uhlopriečok, ale v takom prípade predpoklady $ BF = FC $ nedávajú zmysel, takže tento prípad je zamietnutý. Ak tento prípad vynecháte, bod $ C $ existuje.

      Potrebuje veľa práce, aby videl naplno. Ak to nevidíte, pokúsim sa k tomu pridať ďalšie.


      Lekcia 4

      Na predchádzajúcej hodine študenti zdôvodnili, že ak sú všetky páry zodpovedajúcich strán a uhlov zhodné, potom musia byť zhodné obidva trojuholníky. Táto lekcia si kladie otázku: „Koľko informácií je potrebných na zaručenie zhody dvoch trojuholníkov?“ Študenti začnú na túto otázku odpovedať v informačnej medzere. Ak študenti požadujú informácie o stranách a uhloch, musia dbať na presnosť (MP6). V ďalších činnostiach študenti študujú dialógy postáv z informačnej medzery, aby zvýraznili nejednoznačnosť požadovania dvoch strán a uhla alebo troch uhlov.

      V priebehu tejto lekcie si študenti rozvíjajú a testujú dohady o tom, koľko informácií potrebujú na preukázanie zhody trojuholníkov (MP8). Tieto dôkazy potom spíšu v priebehu nasledujúcich niekoľkých lekcií. Proces experimentovania, domýšľania, testovania, prispôsobovania alebo dokazovania je podstatou matematiky.

      Táto lekcia nevyžaduje technológiu, ale študenti majú príležitosti zvoliť si na riešenie problémov vhodnú technológiu. Odporúčame sprístupniť technológiu.


      Lekcia 2

      Každá dvojica figúr je zhodná. Rozhodnite sa, či je každý výrok zhody pravdivý alebo nepravdivý.

      ( trojuholník ABC cong trojuholník FED )

      Rozbaliť obrázok

      ( trojuholník ABC cong trojuholník FED )

      Rozbaliť obrázok

      Trojuholník (ABC ) je zhodný s trojuholníkom (FED ).

      Štvoruholník (PZJM ) zodpovedá štvoruholníku (LYXB ).

      ( trojuholník JKL cong trojuholník QRS )

      Rozbaliť obrázok

      ( trojuholník JKL cong trojuholník QRS )

      Rozbaliť obrázok

      Trojuholník (JKL ) je zhodný s trojuholníkom (QRS ).

      Pentagón (ABCDE ) je zhodný s päťuholníkom (PQRST ).

      2.2: Ktoré trojuholníky sú zhodné?

      1. Ktorému trojuholníku zodpovedá trojuholník (PQR )? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.
      2. Ukážte postupnosť tuhých transformácií, ktorá vedie (PQR ) do daného trojuholníka. Nakreslite každý krok transformácie.
      3. Vysvetlite, prečo nemôže dôjsť k rigidnej transformácii na druhý trojuholník.

      2.3: Sú tieto časti zhodné?

      Rozbaliť obrázok

      Rozbaliť obrázok

      Trojuholník (ABD ) je rotácia trojuholníka (CDB ) okolo bodu (E ) o (180 ^ < circ> ). Je uhol (ADB ) zhodný s uhlom (CDB )? Ak je to tak, vysvetlite svoje zdôvodnenie. Ak nie, s ktorým uhlom sa (ADB ) zhoduje?

      Polygon (HIJKL ) je odrazom a prekladom mnohouholníka (GFONM ). Je segment (KJ ) zhodný so segmentom (NM )? Ak je to tak, vysvetlite svoje zdôvodnenie. Ak nie, s ktorým segmentom sa zhoduje (NM )?

      Štvoruholník (PQRS ) je rotácia mnohouholníka (VZYW ). Je uhol (QRS ) zhodné s uhlom (ZYW )? Ak je to tak, vysvetlite svoje zdôvodnenie. Ak nie, s ktorým uhlom sa (QRS ) zhoduje?

      Predpokladajme, že štvoruholník (PQRS ) bol jednak rotáciou štvoruholníka (VZYW ), ale aj odrazom štvoruholníka (YZVW ). Čo môžeme dospieť k záveru o tvare našich štvoruholníkov? Vysvetli prečo.

      Zhrnutie

      Pomenovanie zhodných číslic, aby bolo zrejmé z názvu, ktoré časti zodpovedajú, uľahčuje kontrolu, či sú 2 číslice zhodné, a použitie zodpovedajúcich častí. Na tomto obrázku sa segment (AB ) javí ako zhodný so segmentom (DE ). Zdá sa, že segment (EF ) je zhodný so segmentom (BC ). Takže má väčší zmysel predpokladať, že trojuholník (ABC ) je zhodný s trojuholníkom (DEF ), ako predpokladať, že trojuholník (ABC ) je zhodný s trojuholníkom (FDE ).

      Rozbaliť obrázok

      Ak nám bude povedané, štvoruholník (MATH ) je zhodný so štvoruholníkom (LÁSKA ), bez toho, aby sme sa čo i len pozreli na čísla, ktoré poznáme:

      • Uhol (M ) je zhodný s uhlom (L ).
      • Uhol (A ) je zhodný s uhlom (O ).
      • Uhol (T ) je zhodný s uhlom (V ).
      • Uhol (H ) je zhodný s uhlom (E ).
      • Segmenty (MA ) a (LO ) sú zhodné.
      • Segmenty (AT ) a (OV ) sú zhodné.
      • Segmenty (TH ) a (VE ) sú zhodné.
      • Segmenty (HM ) a (EL ) sú zhodné.

      Štvoruholníky (MATH ) a (LÁSKA ) možno pomenovať mnohými rôznymi spôsobmi, aby stále zodpovedali - napríklad (ATHM ) zodpovedá (OVEL ) alebo (THMA ) zodpovedá ) (VELO ). Ale (ATMH ) je v zhode s (LÁSKA ) znamená, že existujú rôzne zodpovedajúce časti. Upozorňujeme, že štvoruholník (MATH ) označuje iný spôsob spojenia bodov ako štvoruholník (ATMH ).

      Rozbaliť obrázok

      Slovník pojmov

      Pre rigidnú transformáciu, ktorá vedie jednu figúru k druhej, sa časť prvej figúry a jej obraz na druhej figúre nazývajú zodpovedajúce časti. Hovoríme tiež o zodpovedajúcich častiach, keď sa pokúšame dokázať, že dve číslice sú zhodné, a nastavíme korešpondenciu medzi časťami, aby sme zistili, či sú časti zhodné.

      Na obrázku zodpovedá segment (AB ) segmentu (DE ) a uhol (BCA ) zodpovedá uhlu (EFD ).

      Rozbaliť obrázok

      Názov a logo Ilustratívnej matematiky nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť použité bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Ilustratívnej matematiky.

      Táto kniha obsahuje obrázky vo verejnej doméne alebo obrázky s otvorenou licenciou, ktoré sú chránené autorskými právami ich príslušných vlastníkov. Obrázky s otvorenou licenciou zostávajú v súlade s podmienkami ich príslušných licencií. Ďalšie informácie nájdete v sekcii pripisovania obrázkov.


      Zodpovedajúce časti

      Keď sú dva trojuholníky zhodné, všetky ich príslušné uhly a zodpovedajúce strany (označované ako zodpovedajúce časti) sú zhodné.

      Akonáhle je možné preukázať, že dva trojuholníky sú zhodné pomocou jednej z vyššie uvedených metód zhody, tiež vieme, že všetky zodpovedajúce časti zhodných trojuholníkov sú zhodné (skrátene CPCTC).

      Uveďte kongruenciu pre dva trojuholníky, ako aj pre všetky zodpovedajúce zodpovedajúce časti.

      Pretože dva uhly & # 9651ABC sú zhodné s dvoma uhlami & # 9651PQR, musí byť zhodný aj tretí pár uhlov, takže & angC & cong & angR a & # 9651ABC & cong & # 9651PQR od ASA.

      Zodpovedajúce kongruentné strany sú: AB & cong PQ, BC & cong QR, AC & cong PR.


      Pozri si video: Matematika - konštrukcia trojuholníka s výškou. (December 2021).