Články

8.5: Striedavé série a absolútna konvergencia - matematika


Všetky sériové konvergenčné testy, ktoré sme použili, vyžadujú, aby podkladová sekvencia ( {a_n } ) bola pozitívna sekvencia. (Môžeme to uvoľniť pomocou vety 64 a konštatovať, že musí existovať (N> 0 ) také, že (a_n> 0 ) pre všetky (n> N ); teda ( {a_n } ) je pozitívny pre všetky okrem konečného počtu hodnôt (n ).)

V tejto časti skúmame série, ktorých súhrn obsahuje negatívne členy. Začíname s veľmi špecifickou formou radov, kde sa podmienky súčtu striedajú medzi kladnými a zápornými hodnotami.

Definícia 34: alternujúce série

Nech ( {a_n } ) je pozitívna sekvencia. An striedavé série je rad buď formy

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ na_n qquad text {alebo} qquad sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1 } a_n. ]

Pripomeňme si, že termíny Harmonickej série pochádzajú z Harmonickej sekvencie ( {a_n } = {1 / n } ). Dôležitou striedajúcou sa sériou je Striedavá harmonická séria:

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = 1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + cdots ]

Geometrické série môžu byť tiež striedavé, keď (r <0 ). Napríklad ak (r = -1 / 2 ), geometrický rad je

[ sum limits_ {n = 0} ^ infty left ( dfrac {-1} {2} right) ^ n = 1- dfrac12 + dfrac14- dfrac18 + dfrac1 {16} - dfrac1 { 32} + cdots ]

Veta 60 uvádza, že geometrické rady sa zbiehajú, keď (| r | <1 ), a dáva súčet: ( sum limits_ {n = 0} ^ infty r ^ n = dfrac1 {1-r} ). Keď (r = -1 / 2 ) ako je uvedené vyššie, nájdeme

[ sum limits_ {n = 0} ^ infty left ( dfrac {-1} {2} right) ^ n = dfrac1 {1 - (- 1/2)} = dfrac 1 {3 / 2} = dfrac23. ]

Silná veta o konvergencii existuje pre ďalšie striedavé rady, ktoré spĺňajú niekoľko podmienok.

veta 70: test striedavej série

Nech ( {a_n } ) je pozitívna, klesajúca sekvencia kde ( lim limity_ {n až infty} a_n = 0 ). Potom

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n} a_n qquad text {a} qquad sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ { n + 1} a_n ] konvergujú.

Základná myšlienka vety 70 je znázornená na obrázku ( PageIndex {1} ). Pozitívna klesajúca sekvencia ( {a_n } ) sa zobrazuje spolu s čiastočnými súčetmi

[S_n = sum limits_ {i = 1} ^ n (-1) ^ {i + 1} a_i = a_1-a_2 + a_3-a_4 + cdots + (- 1) ^ {n + 1} a_n. ]

Pretože ( {a_n } ) klesá, množstvo, o ktoré sa (S_n ) odráža nahor / nadol, klesá. Navyše nepárne členy (S_n ) tvoria klesajúcu obmedzenú sekvenciu, zatiaľ čo párne členy (S_n ) tvoria zvyšujúcu sa ohraničenú postupnosť. Pretože ohraničené monotónne sekvencie konvergujú (pozri vetu 59) a podmienky ( {a_n } ) sa blížia k hodnote 0, je možné zobraziť nepárne a párne členy (S_n ) konvergujúce k rovnakému spoločnému limitu (L ), súčet sérií.

Príklad ( PageIndex {1} ): Aplikácia testu striedavej série

Určite, či sa test striedavej série vzťahuje na každú z nasledujúcich sérií.

  1. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {1} {n} )
  2. ( suma limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac { ln n} {n} )
  3. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {| sin n |} {n ^ 2} )

Riešenie

  1. Toto je striedavá harmonická séria, ako bolo vidieť predtým. Podkladová postupnosť je ( {a_n } = {1 / n } ), ktorá je pozitívna, klesá a blíži sa k 0 ako (n až infty ). Preto môžeme použiť Test striedavej série a dospieť k záveru, že táto séria konverguje.
    Aj keď test neuvádza, na čo séria konverguje, neskôr uvidíme, že ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = ln2. )
  2. Podkladová postupnosť je ( {a_n } = { ln n / n } ). To je pozitívne a blíži sa k 0 ako (n až infty ) (použite pravidlo L'Hopital). Poradie však neklesá pre všetky (n ). Je jednoduché vypočítať (a_1 = 0 ), (a_2 približne 0,347 ), (a_3 približne 0,366 ) a (a_4 približne 0,347 ): postupnosť sa zvyšuje minimálne pre prvé 3 termíny.

    Nie okamžite dospievame k záveru, že nemôžeme použiť test alternatívnych sérií. Skôr zvážte dlhodobé správanie ( {a_n } ). Ak budeme zaobchádzať s (a_n = a (n) ) ako so spojitou funkciou (n ) definovanou na ([1, infty) ), môžeme vziať jej derivát: [a ^ prime (n) = dfrac {1- ln n} {n ^ 2}. ] Derivát je záporný pre všetky (n geq 3 ) (v skutočnosti pre všetky (n> e )), čo znamená (a ( n) = a_n ) klesá k ([3, infty) ). Test striedavej série môžeme použiť na sériu, keď začneme s (n = 3 ) a dospejeme k záveru, že ( sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac { ln n } {n} ) konverguje; pridanie výrazov s (n = 1 ) a (n = 2 ) nemení konvergenciu (t. j. použijeme vetu 64).

    Dôležitým ponaučením je, že rovnako ako predtým, aj keď séria nesplní kritériá testu striedavej série iba na konečný počet termínov, môžeme tento test stále použiť.

  3. Podkladová postupnosť je ( {a_n } = | sin n | / n ). Táto postupnosť je pozitívna a blíži sa k (0 ) ako (n až infty ). Nejde však o klesajúcu sekvenciu; hodnota (| sin n | ) osciluje medzi (0 ) a (1 ) ako (n až infty ). Nemôžeme odstrániť konečný počet výrazov, aby sa ( {a_n } ) zmenšoval, preto nemôžeme použiť Test alternatívnych sérií.

    Pamätajte, že to neznamená, že dospejeme k záveru, že sa série rozchádzajú; v skutočnosti sa to zbieha. Len to nemôžeme uzavrieť na základe vety 70.

Key Idea 31 poskytuje súhrn niektorých dôležitých sérií. Dve z nich sú

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac1 {n ^ 2} = dfrac { pi ^ 2} 6 približne 1,64493 quad text {a} quad sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n ^ 2} = dfrac { pi ^ 2} {12} približne 0,82247. ]

Tieto dve série konvergujú k svojim súčtom pri rôznych sadzbách. Aby sme boli presní na dve miesta za desatinnou čiarkou, potrebujeme 202 členov prvej série, hoci iba 13 druhej. Aby sme získali 3 miesta presnosti, potrebujeme 1069 výrazov prvej série, hoci iba 33 druhej. Čím to je, že druhá séria konverguje oveľa rýchlejšie ako prvá?

Aj keď pri skúmaní rýchlostí konvergencie existuje veľa faktorov, striedajúca sa štruktúra striedajúcej sa série nám poskytuje mocný nástroj pri aproximácii súčtu konvergentnej rady.

veta 71: veta o aproximácii striedavých radov

Nech ( {a_n } ) je postupnosť, ktorá vyhovuje hypotézam testu striedavej série, a nech (S_n ) a (L ) sú čiastkové (n ^ text {th} ) súčty respektíve súčet buď ​​( sum limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n} a_n ) alebo ( sum limity_ {n = 1} ^ infty (- 1) ^ {n + 1} a_n ). Potom

  1. (| S_n-L |
  2. (L ) je medzi (S_n ) a (S_ {n + 1} ).

Časť 1 vety 71 uvádza, že (n ^ text {th} ) čiastočný súčet konvergentných striedavých radov bude v (a_ {n + 1} ) od ich celkového súčtu. Uvažujme o striedajúcich sa radoch, ktoré sme sledovali pred výrokom vety, ( sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {(- 1) ^ {n + 1}} {n ^ 2} ). Pretože (a_ {14} = 1/14 ^ 2 približne 0,0051 ), vieme, že (S_ {13} ) je v (0,0051 ) od celkového súčtu.

Okrem toho časť 2 vety uvádza, že keďže (S_ {13} približne 0,8252 ) a (S_ {14} približne 0,8201 ), vieme, že súčet (L ) leží medzi (0,8201 ) a (0,8252 ). Jedným z týchto použití je znalosť, že (S_ {14} ) je presný na dve miesta za desatinnou čiarkou.

Niektoré striedavé rady sa zbiehajú pomaly. V príklade ( PageIndex {1} ) sme určili rad ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac { ln n} {n} ) konvergoval. Pri (n = 1001 ) nájdeme ( ln n / n približne 0,0069 ), čo znamená, že (S_ {1000} približne 0,1633 ) je presné na jedno, možno dve miesta za desatinnou čiarkou. Pretože (S_ {1001} približne 0,1564 ), vieme, že súčet (L ) je (0,1564 leq L leq0.1633 ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Približný súčet konvergentných striedajúcich sa sérií

Približný súčet nasledujúcich radov s presnosťou na (0,001 ).

1. ( Suma limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac {1} {n ^ 3} qquad 2. sum limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac { ln n} {n} ).

Riešenie

  1. Pomocou vety 71 chceme nájsť (n ) kde (1 / n ^ 3 <0,001 ): [ begin {align *} dfrac1 {n ^ 3} & leq 0,001 = dfrac {1 } {1000} n ^ 3 & geq 1000 n & geq sqrt [3] {1000} n & geq 10. end {align *} ] Nech (L ) súčet tejto série. Podľa 1. časti vety (| S_9-L | Na získanie ešte presnejšieho výsledku môžeme použiť 2. časť vety. Pretože vieme, že (10 ​​^ text {th} ) člena série je (- 1/1000 ), môžeme ľahko vypočítať (S_ {10} = 0,901116 ). Časť 2 vety uvádza, že (L ) je medzi (S_9 ) a (S_ {10} ), takže (0,901116
  2. Chceme nájsť (n ) kde ( ln (n) / n <0,001 ). Začneme riešením ( ln (n) / n = 0,001 ) pre (n ). To sa nedá vyriešiť algebraicky, preto na priblíženie riešenia použijeme Newtonovu metódu.

    Nech (f (x) = ln (x) /x-0,001 ); chceme vedieť, kde (f (x) = 0 ). Odhadujeme, že (x ) musí byť „veľké“, takže náš počiatočný odhad bude (x_1 = 1000 ). Pripomeňme si, ako funguje Newtonova metóda: vzhľadom na približné riešenie (x_n ), našu ďalšiu aproximáciu (x_ {n + 1} ) je dané [x_ {n + 1} = x_n - dfrac {f (x_n)} {f ^ prime (x_n)}. ]

    Nájdeme (f ^ prime (x) = big (1- ln (x) big) / x ^ 2 ). Toto dáva [ begin {align *} x_2 & = 1000 - dfrac { ln (1000) /1000-0,001} { big (1- ln (1000) big) / 1000 ^ 2} & = 2000. end {align *} ]

    Pomocou počítača zistíme, že sa zdá, že Newtonova metóda konverguje k riešeniu (x = 9118,01 ) po 8 iteráciách. Keď vezmeme ďalšie celé číslo vyššie, máme (n = 9119 ), kde ( ln (9119) / 9119 = 0,000999903 <0,001 ).

    Opäť pomocou počítača nájdeme (S_ {9118} = -0,160369 ). Časť 1 vety uvádza, že to je v rozmedzí (0,001 ) skutočného súčtu (L ). Keď už vieme 9 919 (^ text {th} ) výrazu, môžeme vypočítať (S_ {9119} = -0,159369 ), čo znamená (- 0,159369

Všimnite si, ako sa prvá séria konvergovala pomerne rýchlo, kde sme na dosiahnutie požadovanej presnosti potrebovali iba 10 výrazov, zatiaľ čo druhá séria prebrala 9 000 výrazov.

Jedným zo slávnych výsledkov matematiky je, že Harmonická séria sa ( sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac1n ) rozchádzajú, ale Striedavá harmonická séria, ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n ), konverguje. Predstava, že striedanie znakov výrazov v rade môže viesť k tomu, že sa séria zbližuje, nás vedie k nasledujúcim definíciám.

Definícia 35: absolútna a podmienená konvergencia

  1. Séria ( sum limity_ {n = 1} ^ infty a_n ) konverguje absolútne ak ( sum limity_ {n = 1} ^ infty | a_n | ) konverguje.
  2. Séria ( sum limity_ {n = 1} ^ infty a_n ) podmienečne konverguje ak ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) konverguje, ale ( sum limits_ {n = 1} ^ infty | a_n | ) sa rozchádzajú.

Hovoríme teda, že striedavá harmonická séria konverguje podmienene.

Príklad ( PageIndex {3} ): Určenie absolútnej a podmienenej konvergencie.

Určte, či sa nasledujúce série absolútne, podmienene alebo líšia.

1. ( Suma limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} qquad 2. sum limity_ {n = 1 } ^ infty (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} qquad 3. sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} )

Riešenie

  1. Môžeme zobraziť rad [ sum limits_ {n = 1} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} right | = sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} ] sa líšia pomocou testu porovnania limitu v porovnaní s (1 / n ).

    Séria ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n + 3} {n ^ 2 + 2n + 5} ) konverguje pomocou testu alternatívnych sérií; dospeli sme k záveru, že konverguje podmienečne

  2. Môžeme zobraziť rad [ sum limits_ {n = 1} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} right | = sum limits_ {n = 1} ^ infty dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} ] konverguje pomocou testu pomeru.

    Preto sme dospeli k záveru, že ( sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {n ^ 2 + 2n + 5} {2 ^ n} ) konverguje absolútne.

  3. Séria [ sum limits_ {n = 3} ^ infty left | (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} right | = sum limits_ {n = 3} ^ infty dfrac {3n-3} {5n-10} ] sa líši pomocou (n ^ textového {th} ) výrazového testu, takže nekonverguje absolútne .

    Séria ( sum limits_ {n = 3} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} ) zlyháva v podmienkach testu striedavej série ako ((3n- 3) / (5n-10) ) sa nepribližuje (0 ) ako (n až infty ). Môžeme ďalej konštatovať, že táto séria sa rozchádza; ako (n až infty ), séria efektívne sčíta a odčíta (3/5 ) znova a znova. To spôsobí, že postupnosť čiastkových súm osciluje a nekonverguje.

    Preto sa séria ( sum limity_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n dfrac {3n-3} {5n-10} ) rozchádzajú.

Vedieť, že sa séria konverguje, nám absolútne umožňuje urobiť dve dôležité tvrdenia uvedené v nasledujúcej vete. Prvým je to, že absolútna konvergencia je „silnejšia“ ako bežná konvergencia. To znamená, že len preto, že ( sum limity_ {n = 1} ^ infty a_n ) konverguje, nemôžeme dospieť k záveru, že ( sum limits_ { n = 1} ^ infty | a_n | ) bude konvergovať, ale znalosť série konverguje nám absolútne hovorí, že ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) bude konvergovať.

Jedným z dôvodov, prečo je to dôležité, je to, že všetky naše konvergenčné testy vyžadujú, aby základná postupnosť pojmov bola pozitívna. Ak vezmeme absolútnu hodnotu pojmov zo série, kde nie všetky pojmy sú kladné, sme často schopní aplikovať vhodný test a určiť absolútnu konvergenciu. To zase určuje, že aj série, ktoré dostávame, konvergujú.

Druhé tvrdenie sa týka preusporiadania série. Keď pracujeme s konečnou množinou čísel, súčet čísel nezávisí od poradia, v ktorom sú pridané. (Takže (1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2 ).) Možno prekvapí, keď zistíme, že pri práci s nekonečnou množinou čísel nemusí vždy platiť rovnaké tvrdenie: niektoré nekonečné zoznamy čísel môžu byť preskupené v rôznych objednávkach, aby sa dosiahli rôzne sumy. Veta hovorí, že členy absolútne konvergentného radu je možné ľubovoľne usporiadať bez ovplyvnenia súčtu.

veta 72: veta o absolútnej konvergencii

Nech ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) je séria, ktorá absolútne konverguje.

  1. ( sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n ) konverguje.
  2. Nech ( {b_n } ) je akékoľvek nové usporiadanie sekvencie ( {a_n } ). Potom
    [ sum limits_ {n = 1} ^ infty b_n = sum limits_ {n = 1} ^ infty a_n. ]

V príklade 8.5.3 sme určili, že séria v časti 2 konverguje absolútne. Veta 72 nám hovorí, že rady sa zbiehajú (čo by sme mohli určiť aj pomocou testu Alternating Series).

Veta uvádza, že preskupenie výrazov absolútne konvergentnej rady nemá vplyv na jej súčet. To znamená, že sa súčet podmienene konvergentného radu môže zmeniť na základe usporiadania výrazov. Skutočne môže. Riemannova veta o preskupení (pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi) tvrdí, že každá podmienene konvergentná séria môže mať svoje termíny preskupené tak, že súčet predstavuje ľubovoľnú požadovanú hodnotu vrátane ( infty )!

Ako príklad zvážte ešte raz Alternating Harmonic Series. Uviedli sme to

[ sum limits_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ {n + 1} dfrac1n = 1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + dfrac17 cdots = ln 2, ]

(pozri Key Idea 31 alebo príklad 8.5.1).

Zvážte preskupenie, kde za každým pozitívnym výrazom nasledujú dva negatívne výrazy:

[1- dfrac12- dfrac14 + dfrac13- dfrac16- dfrac18 + dfrac15- dfrac1 {10} - dfrac1 {12} cdots ]

(Presvedčte sa, že ide o úplne rovnaké čísla, aké sú uvedené v Alternating Harmonic Series, iba v inom poradí.) Teraz zoskupte niektoré výrazy a zjednodušte:

[ begin {align *}
ľavý (1- dfrac12 pravý) - dfrac14 + ľavý ( dfrac13- dfrac16 pravý) - dfrac18 + ľavý ( dfrac15- dfrac1 {10} pravý) - dfrac1 {12} + cdots & =
dfrac12- dfrac14 + dfrac16- dfrac18 + dfrac1 {10} - dfrac {1} {12} + cdots & =
dfrac12 vľavo (1- dfrac12 + dfrac13- dfrac14 + dfrac15- dfrac16 + cdots vpravo) & = dfrac12 ln 2.
end {zarovnať *} ]

Preskupením podmienok série sme dospeli k inej sume! (Jeden by mohol skús tvrdiť, že alternujúca harmonická séria sa v skutočnosti nekonverguje na ( ln 2 ), pretože zmena usporiadania podmienok série nemal by zmeniť súčet. Test striedavej série však dokazuje, že táto séria konverguje na (L ), pre niektoré číslo (L ), a ak zmena usporiadania nezmení súčet, potom (L = L / 2 ), z čoho vyplýva ( L = 0 ). Ale Theorem o aproximácii striedavých sérií rýchlo ukazuje, že (L> 0 ). Jediným záverom je, že zmena usporiadania emph {did} zmenila sumu.) Toto je neuveriteľný výsledok.

Týmto končí naša štúdia testov na stanovenie konvergencie. Zadná obálka tohto textu obsahuje tabuľku so zhrnutím testov, ktoré sa môžu zdať užitočné.

Aj keď sú série hodné samotného štúdia, naším konečným cieľom v rámci kalkulu je štúdium Power Series, ktorým sa budeme venovať v nasledujúcej časti. Silovú sériu použijeme na vytvorenie funkcií, pri ktorých je výstup výsledkom nekonečného súčtu.


9.5 Striedavé série a absolútna konvergencia

Sériové konvergenčné testy, ktoré sme použili, vyžadujú, aby podkladová sekvencia bola pozitívna sekvencia. (Môžeme to uvoľniť pomocou vety 9.2.5 a konštatovať, že musí existovať N & gt 0 také, aby n & gt 0 pre všetky n & gt N, to znamená, je pozitívne pre všetky okrem konečného počtu hodnôt n.)

V tejto časti skúmame série, ktorých súhrn obsahuje negatívne členy. Začíname s veľmi špecifickou formou série, kde sa podmienky súčtu striedajú medzi kladnými a zápornými.

Definícia 9.5.1 Striedavé série

Nech je pozitívna sekvencia. Striedavá séria je séria buď formy

∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ b n alebo ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ b n.

Chceme si myslieť, že striedavá sekvencia súvisí s pozitívnou sekvenciou o a n = (- 1) n ⁢ b n.

Pripomeňme si, že termíny Harmonickej série pochádzajú z Harmonickej sekvencie = <1 / n>. Dôležitou striedavou sériou je Alternating Harmonic Series:

∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ⋯

Geometrické série môžu byť aj striedajúce sa série, keď r & lt 0. Napríklad ak r = - 1/2, geometrický rad je

∑ n = 0 ∞ (- 1 2) n = 1 - 1 2 + 1 4 - 1 8 + 1 16 - 1 32 + ⋯

Veta 9.2.1 uvádza, že geometrické rady sa zbiehajú, keď | r | & lt 1 a dáva súčet: ∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r. Keď r = - 1/2, ako je uvedené vyššie, nájdeme

∑ n = 0 ∞ (- 1 2) n = 1 1 - (- 1/2) = 1 3/2 = 2 3.

Silná veta o konvergencii existuje pre ďalšie striedavé rady, ktoré spĺňajú niekoľko podmienok.

Veta 9.5.1 Test striedavých sérií

Nech je pozitívna, klesajúca sekvencia, kde lim n → ∞ ⁡ b n = 0. Potom

∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ b n a ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ b n

Základná myšlienka vety 9.5.1 je znázornená na obrázku 9.5.1. Pozitívna klesajúca sekvencia je zobrazená spolu s čiastkovými súčetmi

S n = ∑ i = 1 n (- 1) i + 1 ⁢ b i = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 + ⋯ + (- 1) n + 1 ⁢ b n.

Pretože klesá, množstvo, o ktoré sa S n odráža hore a dole, klesá. Navyše nepárne členy Sn tvoria klesajúcu obmedzenú sekvenciu, zatiaľ čo párne členy Sn tvoria zvyšujúcu sa ohraničenú sekvenciu. Pretože viazané, monotónne sekvencie konvergujú (pozri vetu 9.1.6) a členy prístupu 0, nižšie ukážeme, že nepárne a párne členy Sn konvergujú k rovnakému spoločnému limitu L, súčtu série.

S n Obrázok 9.5.1: Ilustrácia konvergencie pomocou testu striedavej série.

Pretože je klesajúca sekvencia, máme b n - b n + 1 ≥ 0. O párnych a nepárnych čiastkových sumách budeme uvažovať osobitne. Najskôr zvážte párne čiastkové sumy.

S 2 = b 1 - b 2 ≥ 0 od ⁢ b 2 ≤ b 1
S 4 = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 = S 2 + b 3 - b 4 ≥ S 2 keďže ⁢ b 3 - b 4 ≥ 0
S 6 = S 4 + b 5 - b 6 ≥ S 4 keďže ⁢ b 5 - b 6 ≥ 0
S 2 ⁢ n = S 2 ⁢ n - 2 + b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n ≥ S 2 ⁢ n - 2 keďže ⁢ b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n ≥ 0

0 ≤ S 2 ≤ S 4 ≤ S 6 ≤ ⋯ ≤ S 2 ⁢ n ≤ ⋯

takže je rastúca sekvencia. Ale vieme aj písať

S 2 ⁢ n = b 1 - b 2 + b 3 - b 4 + b 5 - ⋯ - b 2 ⁢ n - 2 + b 2 ⁢ n - 1 - b 2 ⁢ n
= b 1 - (b 2 - b 3) - (b 4 - b 5) - ⋯ - (b 2 ⁢ n - 2 - b 2 ⁢ n - 1) - b 2 ⁢ n

Každý člen v zátvorkách je kladný a b 2 ⁢ n je kladný, takže pre všetky n máme S 2 ⁢ n ≤ b 1. Teraz máme postupnosť párnych čiastkových súčtov , ktorá sa zvyšuje a je ohraničená vyššie, takže veta 9.1.6 konverguje. Pretože vieme, že konverguje, budeme predpokladať, že limitom je L alebo

Ďalej určíme hranicu postupnosti nepárnych čiastkových súčtov.

lim n → ∞ ⁡ S 2 ⁢ n + 1 = lim n → ∞ ⁡ (S 2 ⁢ n + b 2 ⁢ n + 1)
= lim n → ∞ ⁡ S 2 ⁢ n + lim n → ∞ ⁡ b 2 ⁢ n + 1
= L + 0
= L

Párny aj nepárny parciálny súčet konvergujú k L, takže máme lim n → ∞ ⁡ S n = L, čo znamená, že séria je konvergentná. ∎

Pozri si video:
Striedavá séria - ďalší príklad 4 z https://youtu.be/aOiZvfFAMW8

Príklad 9.5.1 Aplikácia testu striedavej série

Určite, či sa test striedavej série vzťahuje na každú z nasledujúcich sérií.

1. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n 2. ⁢ ∑ n = 2 ∞ (- 1) n ⁢ ln ⁡ nn 3. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ | hriech ⁡ n | n 2

Toto je striedavá harmonická séria, ako bolo vidieť predtým. Podkladová sekvencia je = <1 / n>, ktorá je pozitívna, klesá a blíži sa k 0 ako n → ∞. Preto môžeme použiť Test striedavej série a dospieť k záveru, že táto séria konverguje.

Aj keď test neuvádza, na čo rad konverguje, uvidíme neskôr, že ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = ln ⁡ 2.

Podkladová sekvencia je = <(ln ⁡ n) / n>. To je pozitívne pre n ≥ 2 a lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 (použite pravidlo L’Hôpital’s). Sekvencia sa však neznižuje pre všetky n. Je jednoduché vypočítať b 1 ≈ 0,347, b 2 ≈ 0,366 a b 3 ≈ 0,347: postupnosť sa zvyšuje najmenej pre prvé 2 členy.

Nie okamžite dospievame k záveru, že nemôžeme použiť test alternatívnych sérií. Zvážte radšej dlhodobé správanie . Ak považujeme b n = b ⁢ (n) za spojitú funkciu n definovanú na [2, ∞), môžeme vziať jeho deriváciu:

Derivácia je záporná pre všetky n ≥ 3 (v skutočnosti pre všetky n> gt), čo znamená, že b ⁢ (n) = b n klesá k [3, ∞). Test striedavej série môžeme použiť na sériu, keď začneme s n = 3 a dospejeme k záveru, že ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ ln ⁡ nn konverguje pridaním výrazov s n = 2 nezmení konvergenciu (tj. aplikujeme vetu 9.2.5).

Dôležitým ponaučením je, že rovnako ako predtým, aj keď séria nesplní kritériá testu striedavej série iba na konečný počet termínov, môžeme tento test stále použiť.

Podkladová sekvencia je = <| hriech ⁡ n | / n 2>. Táto postupnosť je pozitívna a blíži sa k 0 ako n → ∞. Nejde však o klesajúcu postupnosť hodnoty | hriech ⁡ n | osciluje medzi 0 a 1 ako n → ∞. Nemôžeme odstrániť konečný počet výrazov, aby sa zmenšil, a preto nemôžeme použiť Test alternatívnych sérií.

Majte na pamäti, že to neznamená, že dospejeme k záveru, že séria sa rozchádza, ale konverguje. Len to nemôžeme uzavrieť na základe vety 9.5.1.

Jedným zo slávnych výsledkov matematiky je, že Harmonická séria, ∑ n = 1 ∞ 1 n sa rozchádza, ale Striedavá harmonická séria, ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n, konverguje. Predstava, že striedanie znakov výrazov v rade môže viesť k tomu, že sa séria zbližuje, nás vedie k nasledujúcim definíciám.

Definícia 9.5.2 Absolútna a podmienená konvergencia

Séria ∑ n = 1 ∞ a n konverguje absolútne, ak ∑ n = 1 ∞ | a n | konverguje.

Séria ∑ n = 1 ∞ a n konverguje podmienene, ak ∑ n = 1 ∞ a n konverguje, ale ∑ n = 1 ∞ | a n | rozchádza sa.

Hovoríme teda, že striedavá harmonická séria konverguje podmienene.

Príklad 9.5.2 Určenie absolútnej a podmienenej konvergencie.

Určte, či sa nasledujúce série konvergujú absolútne, podmienene alebo rozdielne.
1. ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 2. ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10

∑ n = 1 ∞ | (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 | = ∑ n = 1 ∞ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5

sa líši pomocou testu porovnania limitu v porovnaní s 1 / n.

Postupnosť monotónne klesá, takže séria ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ n + 3 n 2 + 2 ⁢ n + 5 konverguje pomocou striedavej série Test sme dospeli k záveru, že konverguje podmienene.

∑ n = 3 ∞ | (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 | = ∑ n = 3 ∞ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10

sa líši pomocou testu Divergencia, takže sa nekonverguje absolútne.

Séria ∑ n = 3 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 zlyháva v podmienkach testu striedavej série, pretože (3 ⁢ n - 3) / (5 ⁢ n - 10) sa nepribližuje 0 ako n → ∞. Môžeme ďalej konštatovať, že táto séria sa rozchádza ako n → ∞, séria efektívne sčítava a odčítava 3/5 znova a znova. To spôsobí, že postupnosť čiastkových súm osciluje a nekonverguje.

Preto sa rad ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ 3 ⁢ n - 3 5 ⁢ n - 10 rozchádza.

Vedieť, že sa séria konverguje, nám absolútne umožňuje urobiť dve dôležité tvrdenia uvedené v nasledujúcej vete. Prvým je, že absolútna konvergencia je „silnejšia“ ako bežná konvergencia. To znamená, že len preto, že ∑ n = 1 ∞ a n konverguje, nemôžeme dospieť k záveru, že ∑ n = 1 ∞ | a n | bude konvergovať, ale znalosť série konverguje nám absolútne hovorí, že ∑ n = 1 ∞ a n bude konvergovať.

Veta 9.5.2 Veta o absolútnej konvergencii

Nech ∑ n = 1 ∞ a n je séria, ktorá absolútne konverguje.

Nech je akékoľvek nové usporiadanie postupnosti . Potom

Jedným z dôvodov, prečo je to dôležité, je to, že všetky naše konvergenčné testy vyžadujú, aby základná postupnosť pojmov bola pozitívna. Ak vezmeme absolútnu hodnotu pojmov zo série, kde nie všetky pojmy sú kladné, sme často schopní aplikovať vhodný test a určiť absolútnu konvergenciu. To zase určuje, že aj série, ktoré dostávame, konvergujú.

Druhé tvrdenie sa týka preskupení sérií. Keď pracujeme s konečnou množinou čísel, súčet čísel nezávisí od poradia, v ktorom sú pridané. (Takže 1 + 2 + 3 = 3 + 1 + 2.) Možno prekvapí, keď zistíme, že pri práci s nekonečnou množinou čísel nemusí vždy platiť rovnaké tvrdenie: niektoré nekonečné zoznamy čísel môžu byť usporiadané do rôzne objednávky na dosiahnutie rôznych súm. Veta uvádza, že členy absolútne konvergentného radu je možné ľubovoľne usporiadať bez ovplyvnenia súčtu.

Veta tvrdí, že preskupenie výrazov absolútne konvergentnej rady nemá vplyv na jej súčet. To znamená, že sa súčet podmienene konvergentného radu môže zmeniť na základe usporiadania výrazov. Skutočne môže. Riemannova veta o preskupení (pomenovaná po Bernhardovi Riemannovi) uvádza, že každá podmienene konvergentná séria môže mať svoje termíny preskupené tak, že súčet predstavuje ľubovoľnú požadovanú hodnotu alebo nekonečno.

Predtým, ako zvážime príklad, uvedieme nasledujúcu vetu, ktorá ilustruje, ako je striedavá štruktúra striedavého radu mocným nástrojom pri aproximácii súčtu konvergentného radu.

Veta 9.5.3 Veta o aproximácii striedavej série

Nech je sekvencia, ktorá vyhovuje hypotézam testu striedavej série, a nech S n a L je n-tý čiastočný súčet a súčet buď ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ⁢ bn alebo ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ mld. Potom

L je medzi Sn a Sn + 1.

Časť 1 vety 9.5.3 uvádza, že n-tý čiastočný súčet konvergentných striedavých radov bude v rozmedzí b n + 1 od jeho celkového súčtu. Uvažujme o striedajúcich sa radoch, ktoré sme sledovali pred tvrdením vety, ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 n 2. Pretože b 14 = 1/14 2 ≈ 0,0051, vieme, že S 13 je v rozmedzí 0,0051 od celkového súčtu.

Ďalej, časť 2 vety uvádza, že keďže S 13 ≈ 0,8252 a S 14 ≈ 0,8201, vieme, že súčet L leží medzi 0,8201 a 0,8252. Jedným z týchto použití je poznatok, že S 14 je presný na dve miesta za desatinnou čiarkou.

Niektoré striedavé rady sa zbiehajú pomaly. V príklade 9.5.1 sme určili radu ∑ n = 2 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ ln ⁡ n n konvergovaných. Pri n = 1001 nájdeme (ln ⁡ n) / n ≈ 0,0069, čo znamená, že S 1000 ≈ 0,1633 je presné na jedno, možno dve miesta za desatinnou čiarkou. Pretože S 1001 ≈ 0,1564, vieme, že súčet L je 0,1564 ≤ L ≤ 0,1633.

Príklad 9.5.3 Aproximácia súčtov konvergentných striedavých sérií

Približný súčet nasledujúcich sérií s presnosťou na 0,001.

1. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n 3 2. ⁢ ∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ ln ⁡ n n.

Pomocou vety 9.5.3 chceme nájsť n, kde 1 / n 3 ≤ 0,001:

1 n 3 ≤ 0.001 = 1 1000
n 3 ≥ 1000
n ≥ 1000 3
n ≥ 10 .

Nech L je súčet tejto série. Podľa časti 1 vety, S 9 - L | & lt b 10 = 1/1 000. Môžeme vypočítať S 9 = 0,902116, ktorého stav vety je v rozmedzí 0,001 od celkového súčtu.

Na získanie ešte presnejšieho výsledku môžeme použiť 2. časť vety. Pretože vieme, že 10. člen série je - 1/1 000, môžeme ľahko vypočítať S 10 = 0,901116. Časť 2 vety uvádza, že L je medzi S 9 a S 10, takže 0,901116 & lt L <0,902116.

Chceme nájsť n kde (ln ⁡ n) / n ≤ 0,001. Začneme riešením (ln ⁡ n) / n = 0,001 pre n. To sa nedá vyriešiť algebraicky, preto na priblíženie riešenia použijeme Newtonovu metódu.

Nech f ⁢ (x) = ln ⁡ (x) / x - 0,001 chceme vedieť, kde f ⁢ (x) = 0. Odhadujeme, že x musí byť „veľké“, takže náš počiatočný odhad bude x 1 = 1000. Pripomeňme si, ako funguje Newtonova metóda: pri približnom riešení x n je naša ďalšia aproximácia x n + 1 daná vzťahom

x n + 1 = x n - f ⁢ (x n) f ′ ⁢ (x n).

Nájdeme f ′ ⁢ (x) = (1 - ln ⁡ (x)) / x 2. Toto dáva

x 2 = 1000 - ln ⁡ (1000) / 1000 - 0,001 (1 - ln ⁡ (1000)) / 1000 2
= 2000 .

Pomocou počítača zistíme, že Newtonova metóda po 8 iteráciách akoby konvergovala k riešeniu x = 9118.01. Keď vezmeme ďalšie celé číslo vyššie, máme n = 9119, kde ln ⁡ (9119) / 9119 = 0,000999903 a <0,001.

Opäť pomocou počítača nájdeme S 9118 = - 0,160369. V časti 1 vety sa uvádza, že je to do 0,001 skutočného súčtu L. Keď už vieme 9 119 termín, môžeme vypočítať S 9119 = - 0,159369, čo znamená

Všimnite si, ako sa prvá séria konvergovala pomerne rýchlo, kde sme na dosiahnutie požadovanej presnosti potrebovali iba 10 výrazov, zatiaľ čo druhá séria prebrala 9 000 výrazov.

Teraz uvažujeme o Alternating Harmonic Series ešte raz. Uviedli sme to

∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 ⁢ 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 ⁢ ⋯ = ln ⁡ 2,

Zvážte preskupenie, kde za každým pozitívnym výrazom nasledujú dva negatívne výrazy:

1 - 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 6 - 1 8 + 1 5 - 1 10 - 1 12 ⁢ ⋯

(Presvedčte sa, že ide o úplne rovnaké čísla, aké sú uvedené v Alternating Harmonic Series, iba v inom poradí.) Teraz zoskupte niektoré výrazy a zjednodušte:

( 1 - 1 2 ) - 1 4 + ( 1 3 - 1 6 ) - 1 8 + ( 1 5 - 1 10 ) - 1 12 + ⋯ =
1 2 - 1 4 + 1 6 - 1 8 + 1 10 - 1 12 + ⋯ =
1 2 ⁢ ( 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + ⋯ ) = 1 2 ⁢ ln ⁡ 2.

Preskupením podmienok série sme dospeli k inej sume. (Dalo by sa pokúsiť tvrdiť, že alternujúca harmonická séria sa v skutočnosti nezbieha na ln ⁡ 2, pretože pri zmene usporiadania podmienok série nemal by zmeniť súčet. Test striedavej série však dokazuje, že táto séria konverguje k L pre nejaké číslo L, a ak preskupenie nezmení súčet, potom L = L / 2, z čoho vyplýva L = 0. Ale Theorem o aproximácii striedavých sérií rýchlo ukazuje, že L & gt 0. Jediným záverom je, že preskupenie urobil zmeniť súčet.) Je to neuveriteľný výsledok.

We mentioned earlier that the Integral Test did not work well with series containing factorial terms. The next section introduces the Ratio Test, which does handle such series well. We also introduce the Root Test, which is good for series where each term is raised to a power.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Be sure to check back, because this may change during the semester.

All numbers indicate sections from APEX Calculus, Version 3.0, and check the Errata for corrections to the text.

For Friday September 1 (Due 8/31 @ 8:00 pm)

Section 6.1 Substitution

  1. Substitution attempts to undo one of the techniques of differentiation. Which one is it?
  2. Use u-substitution to find an antiderivative of ( f(x) = 3x^2 cos(x^3) )
  3. Explain why ( dst int cos(x) sin(x)^2 dx) and ( dstint fracdx ) are essentially the same integral after performing a substitution.

Submit answers through onCourse

For Monday September 4

Labor Day. No class meeting or reading assignment due.

For Wednesday September 6 (Due 9/5 @ 8:00 pm)

Section 2.7 Derivatives of Inverse Functions

  1. Why do you think we are studying the inverse trig functions now?
  2. Find an antiderivative of ( f(x) = dst frac< 1 + x^6>)

Submit answers through onCourse

For Friday September 8 (Due 9/7 @ 8:00 pm)

Section 6.2 Integration by Parts

  1. Integration by parts attempts to undo one of the techniques of differentiation. Which one is it?
  2. Use integration by parts to find an antiderivative of (f(x) = 2x e^<4x>)

Submit answers through onCourse

For Monday September 11 (Due 9/10 @ 8:00 pm)

Section 6.2 Integration by Parts

Submit answers through onCourse

For Wednesday September 13 (Due 9/12 @ 8:00 pm)

Section 5.5 Numerical Integration

  1. Why would you ever want to numerically approximate an integral?
  2. Which would you expect to be MOST accurate: a Right Hand approximation, a Trapezoidal approximation, or a Simpson's approximation? Prečo?
  3. Which would you expect to be LEAST accurate: a Right Hand approximation, a Trapezoidal approximation, or a Simpson's approximation? Prečo?

Submit answers through onCourse

For Friday September 15 (Due 9/14 @ 8:00 pm)

Section 7.2 Volume by Cross-Sectional Area Disk and Washer

  1. Let R be the rectangle formed by the x-axis, the y-axis, and the lines y=1 and x=4. Describe the shape of the solid formed when R is rotated about the x-axis.
  2. Let T be the triangle formed by the lines y=2x, x=2 and the x-axis. Describe the shape of the solid formed when T is rotated about the line y = -1.

Submit answers through onCourse

For Monday September 18

Section 7.2 Volume by Cross-Sectional Area Disk and Washer

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday September 20 (Due 9/19 @ 8:00 pm)

Section 7.4 Arc Length and Surface Area

  1. Set up the integral that gives the length of the curve ( y=sin(2x)) from (x=0) to ( x=2pi).
  2. Set up the integral that gives the surface area of the surface formed when the curve ( y=x^2 + 2) from (x=0) to (x=3) is rotated about the x-axis.

Submit answers through onCourse

For Friday September 22 (Due 9/21 @ 8:00 pm)

Section 6.7 L'Hopital's Rule

  1. Does l'Hopital's Rule apply to ( dst lim_ frac) ? Why or why not?
  2. Does l'Hopital's Rule apply to ( dst lim_ frac)? Why or why not?
  3. For each limit in #1 and #2 where l'Hopital's applies, use it to find the limit.

Submit answers through onCourse

For Monday September 25 (Due 9/24 @ 8:00 pm)

Section 6.8 Improper Integration

  1. Explain why ( dstint_1^ frac<1>dx ) is improper.
  2. Explain why ( dstint_0^1 frac<1>dx ) is improper.
  3. Explain why ( dstint_<-1>^1 frac<1>dx ) is improper.

Submit answers through onCourse

For Wednesday September 27 (Due 9/26 @ 8:00 pm)

Section 6.8 Improper Integration

  1. If the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) converges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ f(x) dx )?
  2. If the improper integral ( int_1^ f(x) dx ) diverges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) ?
  3. If the improper integral ( int_1^ f(x) dx ) converges, what can you conclude about the improper integral ( int_1^ g(x) dx ) ?

Submit answers through onCourse

For Friday September 29 (Due 9/28 @ 8:00 pm)

  1. Does the following sequence converge or diverge? Be sure to explain your answer.
    1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .
  2. Find a symbolic expression for the general term ak of the sequence 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
  3. Is the following sequence bounded? Is it monotone? Explain. [ 1, -frac<1><2>, frac<1><4>, -frac<1><8>, frac<1><16>, -frac<1><32>, ldots ]

Submit answers through onCourse

For Monday October 2 (Due 10/1 @ 8:00 pm)

Section 8.2 Infinite Series

  1. There are two sequences associated with every series. What are they?
  2. Does the geometric series ( dst sum left( frac<1><4> ight)^k) converge or diverge? Prečo?
  3. Does the geometric series ( dst sum left( frac ight)^k) converge or diverge? Prečo?

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 4 (Due 10/3 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 1. No Reading Assignment for today.

For Friday October 6 (Due 10/5 @ 8:00 pm)

Section 8.2 Infinite Series

  1. What does the n th -Term Theorem tell you about the series ( dst sum 2^k )?
  2. What does the n th -Term Theorem tell you about the series ( dst sum frac<1>)?

Submit answers through onCourse

For Monday October 9

Fall Break. No class meeting or reading assignment due.

For Wednesday October 11 (Due 10/10 @ 8:00 pm)

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

  1. What does the Integral Test tell you about the series ( dst sum frac<1>)?
  2. What does the Integral Test tell you about the series ( dst sum frac<1>> )?
  3. What does the Direct Comparison Test tell you about the series ( dst sum frac<1>> )?

Submit answers through onCourse

For Friday October 13 (Due 10/12 @ 8:00 pm)

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

  1. Use the Limit Comparison Test to show that ( dstsum frac<1>) converges.
  2. Explain why it would have been more difficult to apply the Direct Comparison Test to this series.

Submit answers through onCourse

For Monday October 16 (Due 10/15 @ 8:00 pm)

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence

  1. Why does this series converge?
  2. How closely does ( S_<50>), the 50th partial sum, approximate the value of the series? Prečo?

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 18

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Friday October 20 (Due 10/19 @ 8:00 pm)

Section 8.6 Power Series

  1. How do power series differ from the series we have looked at up to this point?
  2. What is the interval of convergence of a power series? Explain in your own words.

Submit answers through onCourse

For Monday October 23 (Due 10/22 @ 8:00 pm)

Section 8.7 Taylor Polynomials

    Explain the basic idea of constructing the n-th degree Taylor polynomial for a function f(x). Do not give the formula, but describe the idea in your own words in a few sentences.

Submit answers through onCourse

For Wednesday October 25 (Due 10/24 @ 8:00 pm)

Section 8.8 Taylor Series

  1. What is the difference between a Taylor series and a Maclaurin series?
  2. Why would you ever want to compute a Taylor series for a function like sin(x)?

Submit answers through onCourse

For Friday October 27 (Due 10/26 @ 8:00 pm)

Section 12.1 Introduction to Multivariable Functions

  1. Describe the level curves of the function (f(x,y)= x^2 - y)
  2. Describe the level surfaces of the function (g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2)

Submit answers through onCourse

For Monday October 30 (Due 10/29 @ 8:00 pm)

Section 12.3 Partial Derivatives

  1. For a function (f(x,y)), what information does ( f_x(2,3)) give?
  2. How many second-order partial derivatives does a function (g(x,y)) have? Prečo?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 1 (Due 10/31 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 2. No Reading Assignment for today.

For Friday November 3

Moving Monday's class (10/30) here due to power outage on campus.

For Monday November 6 (Due 11/5 @ 8:00 pm)

Section 10.2 An Introduction to Vectors
Section 10.3 The Dot Product

  1. Give the unit vector in the same direction as ( vec<,v>=langle 2,3 angle)
  2. If the dot product ( vec<,u>cdot vec<,v>=0), what does this tell you about the vectors?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 8 (Due 11/7 @ 8:00 pm)

Section 12.6 Directional Derivatives

  1. What does the directional derivative ( D_> f(a,b)) measure?
  2. If (f(x,y) = 3xy^2 + 2x-4y^2), what is ( abla f(x,y)) ?

Submit answers through onCourse

For Thursday November 9

Section 12.8 Extreme Values

You should think about these questions while reading, but you do not need to submit answers.

  1. Where can the local extrema of a function f(x,y) occur?
  2. Why does the term "saddle point" make sense?

For Friday November 10

Section 12.8 Extreme Values

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Monday November 13 (Due 11/12 @ 8:00 pm)

Section 13.1 Iterated Integrals and Area

  1. Why would you want to calculate an iterated integral?
  2. Why would you want to switch the order of integration in an iterated integral?

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 15 (Due 11/14 @ 8:00 pm)

Section 13.2 Double Integration and Volume

  1. If (f(x,y)) is a function of two variables and (R) is a rectangle in the xy-plane, what does ( intint_R f(x,y), dA) measure?
  2. Explain the idea of Fubini's Theorem in a couple of sentences in your own words.

Submit answers through onCourse

For Friday November 17

No class. I will be at a conference.

For Monday November 20

Section 13.2 Double Integration and Volume

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday November 22

Thanksgiving Break. No class meetings or reading assignments due.

For Friday November 24

Thanksgiving Break. No class meetings or reading assignments due.

For Monday November 27 (Due 11/26 @ 8:00 pm)

Section 9.4 Introduction to Polar Coordinates

  1. What do the coordinates ( (r, heta)) in polar coordinates measure?
  2. Why do you think we are studying polar coordinates now?
  3. Is the graph of the polar function ( r = 4cos( heta) ) is the graph of a function y=f(x)? Explain.

Submit answers through onCourse

For Wednesday November 29 (Due 11/28 @ 8:00 pm)

Q & A for Exam 3. No Reading Assignment for today.

For Friday December 1 (Due 11/30 @ 8:00 pm)

Section 13.3 Double Integration with Polar Coordinates

  1. Describe the shape of a polar "rectangle."
  2. Why would you ever want to use polar coordinates to evaluate a double integral?

Submit answers through onCourse

For Monday December 4 (Due 12/3 @ 8:00 pm)

Section 13.3 Double Integration with Polar Coordinates

Re-read the section, but no Reading Questions for today

For Wednesday December 6 (Due 12/5 @ 8:00 pm)

Section 13.4 Center of Mass

  1. Why do we need to use calculus to compute center of mass?
  2. When using a double integral to calculate ( M_x), the moment about the x-axis, what is the reason for multiplying the density function ( delta(x,y)) by (y) rather than by ( x)?

Submit answers through onCourse

For Friday December 8

The BIG Picture for the semester. No Reading Assignment for today.

For Monday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse

For Wednesday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse

For Friday November XY (Due XY @ 8:00 pm)

Submit answers through onCourse


Text Website


Calculus II MAT 1505 Syllabus

7.1 Integration by Parts
7.2 Trigonometric Integrals (Optional)
7.3 Trigonometric Substitution (Optional)
7.4 Int. of Rational Fns by Partial Frac. (Optional)
7.7 Approximate Integration
7.8 Improper Integrals

Chapter 8: Further Applications of Integration

8.1 Arc Length
8.4 Applications to Economics and Biology
8.5 Probability

Chapter 11: Infinite Sequences and Series

11.1 Sequences
11.2 Series (emphasize geometric series)
11.3 The Integral Test & Estimates of Sums
11.4 The Comparison Test
11.5 Alternating Series
11.6 Absolute Convergence, Ratio & Root Tests
11.8 Power Series**
11.9 Representations of Functions as Power Series**
11.10 Taylor and Maclaurin Series**
11.11 Application of Taylor Polynomials
** emphasize these sections

Chapter 10: Parametric Equations and Polar Coordinates

10.1 Curves Defined by Parametric Equations
10.2 Calculus with Parametric Equations
10.3 Polar Coordinates
10.4 Areas and Lengths in Polar Coordinates

Chapter 9: Differential Equations (if time allows)

9.1 Modeling with Differential Equation (Optional)
9.2 Direction Fields & Euler's Method (Optional)
9.3 Separable Equations (Optional)
9.4 Models for Population Growth (Optional)

This material is covered over a 14 week (56 class hours) semester.

Faculty have the option of utilizing WebAssign, a web-based supplement to our textbook. This portal provides graded and practice homework problems, online quizzes, video instruction and an eBook. WebAssign registration requires an access code, which is included with the text purchased from the Villanova Bookstore.

Note: If you choose to rent/purcase a book that comes without a WebAssign code, you will be required to purchase the registration code separately if your instructor uses WebAssign.

Upon the start of each semester, students will received a second code, called a class enrollment code, from their instructor. This code enrolls them into the specific course set up by their instructor for that semester.

Computer Algebra System (CAS)

Instructors will be using Maple or a comparable Computer Algebra System in the course. Students will work with the software interface to integrate numerically and symbolically, to solve differential equations, to explore the convergence or divergence of a series, as well as understand Taylor series.


Verify Account

Note: Please check your Spam or Junk folder, in case you didn't receive the email with verification code.

Mathematics-I

  • 4.0 4.5 -->
  • Publisher : uLektz Learning Solutions Private Limited
  • Course Code : MA6151
  • Author : uLektz
  • University : Anna University, Tamil Nadu

This is a digital eBook. No physical copy of this ebook will be delivered. This ebook can be accessed only through this web platform or uLektz readers supported mobile app..

Témy
UNIT I MATRICES

1.1 Eigen values and Eigen vectors of a real matrix

1.2 Characteristic equation

1.3 Properties of eigenvalues and eigenvectors

1.4 Statement and applications of Cayley - Hamilton Theorem

1.5 Diagonalization of matrices

1.6 Reduction of a quadratic form to canonical form by orthogonal transformation

1.7 Nature of quadratic forms

UNIT II SEQUENCES AND SERIES

2.3 Series of positive terms

2.7 Series of positive and negative terms

2.8 Absolute and conditional convergence

UNIT III APPLICATIONS OF DIFFERENTIAL CALCULUS

3.1 Curvature in Cartesian co-ordinates

3.2 Centre and radius of curvature

3.6 Evolute as envelope of normals

UNIT IV DIFFERENTIAL CALCULUS OF SEVERAL VARIABLES

4.4 Differentiation of implicit functions

4.5 Jacobian and properties

4.6 Taylor‟s series for functions of two variables

4.7 Maxima and minima of functions of two variables

4.8 Lagrange‟s method of undetermined multipliers.

UNIT V MULTIPLE INTEGRALS

5.1 Double integrals in Cartesian and polar coordinates

5.2 Change of order of integration

5.3 Area enclosed by plane curves

5.4 Change of variables in double integrals

5.5 Area of a curved surface

Publisher Detail:
  • Publisher Name uLektz Learning Solutions Private Limited
  • Course Email Id [email protected]
  • Adresa No. 100, Lake View Estate,Kundrathur Main Road,Porur - 600 116.
  • URL https://www.ulektz.com

No Preview is available for this book


Math 231/249, Honors Calculus II

A second course in calculus, focusing on sequences and series, but also covering techniques of integration, parametric equations, polar coordinates, and complex numbers. While covering the same basic material as the standard sections, this honors class does so in more detail, including some additional topics. As such, it is for those students who, regardless of their major, are particularly interested in, and excited by, mathematics. In addition, a score of 5 on the AP Calculus AB exam, or a grade of "A" in Math 220 or 221 is required for enrollment. Students who enroll in this course must also register for Math 249 Q1H, the "honors supplement", with CRN 32044.

Grading:

  • Weekly Homework (15%). Homework will be assigned during each lecture and due at the beginning of class each Wednesday. No late homework will be accepted however, your lowest homework grade will be dropped so you are effectively allowed one infinitely late assignment. Collaboration on homework is permitted, nay encouraged. However, you must write up your solutions individually and understand them completely. You may use a computer or calculator on the HW for experimentation and to check your answers, but may not refer to it directly in the solution, e.g. "by Mathematica" is not an acceptable justification for deriving one equation from another. (Also, computers and calculators will not be allowed on the exams, so it's best not to get too dependent on them.)
  • Three in-class exams (20% each). These will be closed-book, calculator-free exams, though you will be allowed to bring one piece of paper with handwritten formulas. They will be on Fridays, in particular, September 19, October 17, and November 14.
  • A final exam (25%) Our final exam is scheduled for Friday, December 12 from 1:30-4:30 pm.

Učebnica

  • Smith and Minton, Calculus: Early Transcendental Functions, 3rd edition, McGraw Hill, 2006 or 2007.

We will be covering Chapters 6-9, so either the "Single Variable" or "Full" version of this book is fine. As to the future value of the longer version for those planning on taking Math 241 (Calculus III), the honors sections of that course do nie use this text, though some, but not all, of the standard sections do.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Absolute and Conditional Convergence In
your own words, describe the difference between absolute
and conditional convergence of an alternating series.

Odpoveď

An Alternating series is absolutely converges if absolute value of series converges
An Alternating series is conditionally converges if absolute value of series diverges

Témy

Calculus of a Single Variable

Diskusia

Top Calculus 2 / BC Educators
Kayleah T.
Kristen K.

University of Michigan - Ann Arbor

Michael J.
Joseph L.
Calculus 2 / BC Bootcamp

Integration Review - Intro

In mathematics, integratio…

Definite vs Indefinite

In grammar, determiners ar…

Recommended Videos

In your own words, state t…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Absolute and conditional c…

Watch More Solved Questions in Chapter 9

Video Transcript

So here is a difference of absolute today. So absolutes. Conventions. This means the absolute value of secrets. Serious. I'm very juice. That's conditional. Convergence mean they're serious convergence. Come on, I just But he's Ah, absolutes if I do of the area's dime, mergers diverges.


Full Texts PDF : Calculus I (v2) Calculus II (v2)

Section 2.7 Derivatives of Inverse Functions

Section 6.2 Integration by Parts

Section 6.3 Trigonometric Integrals

Section 6.4 Trigonometric Substitution

Section 6.5 Partial Fraction Decomposition

Section 6.7 L'Hopital's Rule

Section 6.8 Improper Integration

Section 8.1 Sekvencie

Section 8.2 Infinite Series

Section 8.3 Integral and Comparison Tests

Section 8.4 Ratio and Root Tests

Section 8.5 Alternating Series and Absolute Convergence


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

In this chapter we have a closer look at so-called , which arise in the study of analytic functions. A power series is basically an infinite degree polynomial that represents some function. Since we know a lot more about polynomial functions than arbitrary functions, this allows us to readily differentiate, integrate, and approximate some functions using power series.

Subsection 6.8.1 Power Series

Recall that the sum of a geometric series can be expressed using the simple formula:

if (|x|lt 1 ext<,>) and that the series diverges when (|x|ge 1 ext<.>) At the time, we thought of (x) as an unspecified constant, but we could just as well think of it as a variable, in which case the series

is a function, namely, the function (k/(1-x) ext<,>) as long as (|x|lt 1 ext<:>) Looking at this from the opposite perspective, this means that the function (k/(1-x)) can be represented as the sum of an infinite series. Why would this be useful? While (k/(1-x)) is a reasonably easy function to deal with, the more complicated representation (sum kx^n) does have some advantages: it appears to be an infinite version of one of the simplest function types — a polynomial. Later on we will investigate some of the ways we can take advantage of this ‘infinite polynomial’ representation, but first we should ask if other functions can even be represented this way.

The geometric series has a special feature that makes it unlike a typical polynomial—the coefficients of the powers of (x) are all the same, namely (k ext<.>) We will need to allow more general coefficients if we are to get anything other than the geometric series.

Definition 6.63 . Power Series Centred Around Zero.

A is a series of the form

where the (a_n) are real numbers.

As we did in the section on sequences, we can think of the (a_n) as being a function (a(n)) defined on the non-negative integers.

It is important to remember that the (a_n) do not depend on (x ext<.>)

Example 6.64 . Power Series Convergence.

Determine the values of (x) for which the power series (dssum_^infty ) converges.

We can investigate convergence using the Ratio Test:

Thus when (|x|lt 1) the series converges and when (|x|>1) it diverges, leaving only two values in doubt. When (x=1) the series is the harmonic series and diverges when (x=-1) it is the alternating harmonic series (actually the negative of the usual alternating harmonic series) and converges. Thus, we may think of (dssum_^infty ) as a function from the interval ([-1,1)) to the real numbers.

A bit of thought reveals that the Ratio Test applied to a power series will always have the same nice form. In general, we will compute

assuming that (ds lim |a_|/|a_n|) exists:

Then the series converges if (L|x|lt 1 ext<,>) that is, if (|x|lt 1/L ext<,>) and diverges if (|x|>1/L ext<.>)

Only the two values (x=pm1/L) require further investigation.

The value (1/L) is called the .

Thus the series will always define a function on the interval ((-1/L,1/L) ext<,>) that perhaps will extend to one or both endpoints as well.

This interval is referred to as the .

This interval is essentially the domain of the power series .

Then no matter what value (x) takes the limit is (0 ext<.>)

The series converges for all (x) and the function is defined for all real numbers.

Then no matter what value (x) takes the limit is infinite.

The series converges only when (x=0 ext<.>)

We can make these ideas a bit more general. Consider the series

This looks a lot like a power series, but with ((x+2)^n) instead of (x^n ext<.>) Let's try to determine the values of (x) for which it converges. This is just a geometric series, so it converges when

So the interval of convergence for this series is ((-5,1) ext<.>) The centre of this interval is at (-2 ext<,>) which is at distance 3 from the endpoints, so the radius of convergence is 3, and we say that the series is centred at (-2 ext<.>)

Interestingly, if we compute the sum of the series we get

Multiplying both sides by 1/3 we obtain

which we recognize as being equal to

so we have two series with the same sum but different intervals of convergence.

This leads to the following definition:

Definition 6.65 . Power Series Centred Around (a).

A centred at (a) has the form

where the (a) and (a_n) are real numbers.

Poznámka: The power series centred at zero given in Definition 6.63 is a special case of the above definition when (a=0 ext<.>)

Convergence of a Power Series.

Given a power series (sum a_n(x-a)^n) and its radius of convergence (R ext<,>) the series behaves in one of three ways:

The series converges absolutely for (x) with (|x-a| lt R ext<,>) it diverges for (x) with (|x-a| > R ext<,>) and at (x=a-R) and (x=a+R) further investigation is needed.


8.5: Alternating Series and Absolute Convergence - Mathematics

Math 132 Syllabus

Some sections will be covered only in part. For indication of what is to be covered and what not, see the parenthetical qualifications below.

Chapter 4 - Antiderivatives
4.10 Antiderivatives

Chapter 5 - Integrals
5.1 Area and distances
5.2 The definite integral
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus
5.4 Indefinite integrals and the Net Change Theorem
5.5 The Substitution Rule

Chapter 6 - Applications of Integration
6.1 Area between curves
6.2 Volumes

Chapter 7 - Techniques of Integration
7.1 Integration by parts
7.2 Trigonometric integrals
7.3 Trigonometric substitution
7.4 Integration of rational functions by partial fractions [just the case of a rational function whose denominator can be factored as (x - r)(x - s) with distinct r, s]
7.7 Approximate integration (omit error bounds formulas)
7.8 Improper integrals

Chapter 11 - Infinite Sequences and Series
11.1 Sequences
11.2 Series
11.3 The Integral Test and estimates of sums
11.4 The comparison tests
11.5 Alternating series
11.6 Absolute convergence the Ratio and Root Tests (omit subsection Rearrangements)
11.7 Strategy for testing series (for review)
11.8 Power series
11.9 Representation of functions as power series
11.10 Taylor and Maclaurin series (omit subsection Multiplication and Division of Power Series)
11.12 Applications of Taylor Polynomials (only the subsection Approximating functions by Polynomials)

Chapter 8 - Applications of Integration
8.1 Arc Length
8.5 Probability - omitted for Fall 2007

Chapter 10 - Parametric Equations and Polar Coordinates
10.1 Curves defined by parametric equations
10.2 Calculus with parametric curves (only subsections Tangents and Arc Length not Area and Surface Area)
10.3 Polar coordinates
10.4 Areas and length in polar coordinates


Pozri si video: Математический анализ, 37 урок, Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости (December 2021).