Články

3.2: Priame dôkazy


Ak chcete preukázať, že výrok (q ) je pravdivý, postupujte takto:

  • Buď nájdite výsledok, ktorý udáva (p Rightarrow q ), alebo dokážte, že (p Rightarrow q ) je pravda.
  • Ukážte alebo overte, že (p ) je pravda.
  • Z toho vyvodzujte, že (q ) musí byť pravda.

Logika je platná, pretože ak (p Rightarrow q ) je pravda a (p ) je pravda, potom musí byť (q ) pravda. Symbolicky hovoríme, že logický vzorec [[((p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q ] je tautológia (môžeme to ľahko overiť pomocou tabuľky pravdivosti). Symbolicky uvádzame argument ako [ begin {pole} {cl} & p Rightarrow q & p hline preto & q end {pole} ] Takýto argument sa nazýva modus ponens alebo zákon o odlúčení.

Príklad ( PageIndex {1} štítok {napr. Directpf-01} )

Tvrdenie

(b ^ 2> 4ac Rightarrow ax ^ 2 + bx + c = 0 ) má dve skutočné riešenia.
(x ^ 2-5x + 6 ) vyhovuje (b ^ 2> 4ac ).
( preto ) (x ^ 2-5x + 6 = 0 ) má dve skutočné riešenia.

je príklad modus ponens.

Je zrejmé, že implikácie zohrávajú dôležitú úlohu v matematických dôkazoch. Ak máme postupnosť implikácií, mohli by sme ich spojiť „od hlavy po chvost“ a vytvoriť ďalšiu implikáciu: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline Preto & p Rightarrow r end {pole} ] Toto sa nazýva zákon sylogizmu.

.

Príklad ( PageIndex {2} label {napr. Directpf-02} )

Tvrdenie

Nemeckí ovčiaci sú psy.
Psy sú cicavce.
Cicavce sú stavovce.
( preto )Nemeckí ovčiaci sú stavovce.

je platný z dôvodu zákonu sylogizmu.

Veľkou otázkou je, ako môžeme dokázať implikáciu? Najzákladnejším prístupom je priamy dôkaz:

Predpokladajme, že (p ) je pravda.

Odvodte z (p ), že (q ) je pravda.

Je potrebné pamätať na to: pomocou informácií získaných z (p ) ukážte, že (q ) je pravda. Takto môže vyzerať typický priamy dôkaz:

Dôkaz: Predpokladajme, že ) p ) je pravda. Potom. .

Z dôvodu (p ), nájdeme. .

. Preto je (q ) pravdivé.

Príklad ( PageIndex {3} label {napr. Directpf-03} )

Dokážte, že ak je šachovnica (m krát n ) úplne zakrytá neprekrývajúcimi sa domino, musí byť (mn ) rovnomerné.

Riešenie

Predpokladajme, že šachovnica môže byť zakrytá neprekrývajúcimi sa domínami, a (t ) je počet domín, ktoré šachovnicu pokrývajú. Potom musí šachovnica obsahovať štvorce (2t ). Preto (mn = 2t ), čo znamená (mn ) musí byť párne číslo.

Pred pokračovaním v ďalších príkladoch by sme chceli predstaviť formálnu definíciu párnych a nepárnych celých čísel.

Definícia

Celé číslo je dokonca ak je možné ho zapísať ako (2q ) pre celé číslo (q ) a zvláštny ak to možno zapísať ako (2q + 1 ) pre celé číslo (q ).

Nemusíme používať (q ) na označenie celého čísla, ktoré po vynásobení 2 vytvorí párne celé číslo. Akékoľvek písmeno bude fungovať, ak uvedieme, že je celé číslo. Napríklad, ak (n ) je párne celé číslo, potom môžeme pre nejaké celé číslo (t ) napísať (n = 2t ). Pojem párnych celých čísel možno ďalej zovšeobecniť.

Definícia

Nech (m ) je nenulové celé číslo. Celé číslo je považované za a viacnásobný z (m ), ak je možné ho zapísať ako (mq ) pre celé číslo (q ).

Teraz sme pripravení študovať ďalšie príklady.

Príklad ( PageIndex {4} label {napr. Directpf-04} )

Ukážte, že štvorec nepárneho celého čísla je nepárny.

Riešenie

Nech (n ) je nepárne celé číslo. Potom (n = 2t + 1 ) pre celé číslo (t ) a [n ^ 2 = (2t + 1) ^ 2 = 4t ^ 2 + 4t + 1 = 2 (2t ^ 2 + 2t) +1, ] kde (2t ^ 2 + 2t ) je celé číslo. Preto je (n ^ 2 ) nepárne.

praktické cvičenie ( PageIndex {1} label {he: directpf-01} )

Nech (n ) je celé číslo. Ukážte, že ak (n ) je nepárne, potom (n ^ 3 ) je nepárne.

Príklad ( PageIndex {5} label {napr. Directpf-05} )

Ukážte, že súčin dvoch nepárnych celých čísel je nepárny.

Riešenie

Nech (x ) a (y ) sú dve nepárne celé čísla. Chceme dokázať, že (xy ) je nepárne. Potom (x = 2s + 1 ) a (y = 2t + 1 ) pre celé čísla (s ) a (t ) a [xy = (2s + 1) (2t + 1) = 4st + 2s + 2t + 1 = 2 (2st + s + t) +1, ] kde (2st + s + t ) je celé číslo. Preto je (xy ) nepárne.

V tomto dôkaze musíme na popísanie (x ) a (y ) použiť dve rôzne veličiny (s ) a (t ), pretože nemusia byť rovnaké. Ak napíšeme (x = 2s + 1 ) a (y = 2s + 1 ), v skutočnosti to hovoríme (x = y ). Musíme zdôrazniť, že (s ) a (t ) sú celé čísla, pretože iba vyslovenie (x = 2s + 1 ) a (y = 2t + 1 ) nezaručuje (x ) a (y ) sú nepárne. Napríklad párne číslo 4 možno zapísať ako (2 cdot frac {3} {2} +1 ), ktoré má tvar (2s + 1 ). Je zrejmé, že 4 nie je nepárne. Aj keď môžeme napísať číslo v tvare (2s + 1 ), nemusí to nutne znamenať, že číslo musí byť nepárne, pokiaľ s istotou vieme, že (s ) je celé číslo. Tento príklad ilustruje dôležitosť venovania pozornosti detailom v našom písaní.

.

Príklad ( PageIndex {6} label {directpf-06} )

Ukážte, že ak (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ), potom (x = 7 ).

Riešenie

Predpokladajme (x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = 0 ). Pretože [x ^ 3-7x ^ 2 + x-7 = x ^ 2 (x-7) + (x-7) = (x ^ 2 + 1) (x-7), ], ak sa rovná nula, potrebujeme buď ​​(x ^ 2 + 1 = 0 ), alebo (x-7 = 0 ). Pretože (x ^ 2 + 1 ) nikdy nemôže byť nula, musíme mať (x-7 = 0 ); teda (x = 7 ).

praktické cvičenie ( PageIndex {2} label {he: directpf-02} )

Ukážte, že ak (x ^ 3 + 6x ^ 2 + 12x + 8 = 0 ), potom (x = -2 ).

Posledný príklad demonštruje techniku ​​tzv dôkaz podľa prípadov. Existujú dve možnosti, a to buď (i) (x ^ 2 + 1 = 0 ), alebo (ii) (x-7 = 0 ). Konečný záver sa urobí po tom, čo sme tieto dva prípady študovali osobitne.

Príklad ( PageIndex {7} label {napr. Directpf-07} )

Ukážte, že ak celé číslo (n ) nie je deliteľné číslom 3, potom (n ^ 2-1 ) musí byť násobkom 3.

Poznámka

Písmeno (n ) bolo použité na identifikáciu celého čísla, ktoré nás zaujíma, a objavuje sa v hypotéze implikácie, ktorú chceme dokázať. Mnoho autorov by však začalo svoje dôkazy známou frázou „Nech (n ) bude ...“.

Odpoveď

Nech (n ) je celé číslo, ktoré nie je deliteľné číslom 3. Keď sa vydelí číslom 3, zvyšok je 1 alebo 2. Preto (n = 3q + 1 ) alebo (n = 3q + 2 ) pre celé číslo (q ).

Prípad 1: Ak (n = 3q + 1 ) pre celé číslo (q ), potom [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 6q = 3 (3q ^ 2 + 2q), ] kde (3q ^ 2 + 2q ) je celé číslo.

Prípad 2: Ak (n = 3q + 2 ) pre celé číslo (q ), potom [n ^ 2-1 = 9q ^ 2 + 12q + 3 = 3 (3q ^ 2 + 4q + 1), ] kde (3q ^ 2 + 4q + 1 ) je celé číslo.

V obidvoch prípadoch sme ukázali, že (n ^ 2-1 ) je násobok 3.

praktické cvičenie ( PageIndex {3} label {he: directpf-03} )

Ukážte, že (n ^ 3 + n ) je párne pre všetkých (n v mathbb {N} ).

praktické cvičenie ( PageIndex {4} label {he: directpf-04} )

Ukážte, že (n (n + 1) (2n + 1) ) je deliteľné 6 pre všetky (n v mathbb {N} ).

Pomôcka

Jedno z dvoch celých čísel (n ) a (n + 1 ) musí byť párne, takže už vieme, že súčin (n (n + 1) (2n + 1) ) je násobkom 2. Zostáva teda dokázať, že ide aj o násobok 3. Zvážte tri prípady: (n = 3q ), (n = 3q + 1 ) alebo (n = 3q + 2 ), kde (q ) je celé číslo.

Našu diskusiu uzatvárame dvoma častými klammi (logické chyby). Prvý z nich je klam inverzie alebo popretie predchodcu: [ begin {pole} {cl} & p Rightarrow q & overline {p} hline preto & overline {q} end {pole} ] Toto v skutočnosti dokazuje inverznú hodnotu ( overline {p} Rightarrow overline {q} ), o ktorom vieme, že je nie logicky ekvivalentná pôvodnej implikácii. Preto ide o nesprávnu metódu na preukázanie implikácie.

.

Príklad ( PageIndex {8} label {napr. Directpf-08} )

Je nasledujúci argument

Slovníky sú cenné.
Táto kniha nie je slovníkom.
( preto )Táto kniha nie je hodnotná.

platné? Prečo?

Ďalšia častá chyba je známa ako klam konverzácie alebo potvrdenie následku: [ begin {array} {cl} & p Rightarrow q & q hline Preto & p end {array} ] Toto iba dokazuje konverzáciu (q Rightarrow p ). Pretože konverzácia je nie logicky ekvivalentná pôvodnej implikácii, je to nesprávny spôsob dokázania implikácie.

.

Príklad ( PageIndex {9} štítok {napr. Directpf-09} )

Je to argument

Žiadny liek nechutí dobre.
Tento nápoj chutí zle.
( preto )To musí byť liek.

platný argument? Prečo?

  • Ak chcete dokázať implikáciu (p Rightarrow q ), začnite predpokladom, že (p ) je pravda. Použite informácie z tohto predpokladu spolu s ďalšími známymi výsledkami na preukázanie toho, že (q ) musí byť tiež pravdivé.
  • Ak je to potrebné, môžete rozdeliť (p ) na niekoľko prípadov (p_1, p_2, ldots , ) a dokázať každú implikáciu (p_i Rightarrow q ) (osobitne, jeden po druhom), ako je uvedené vyššie .
  • Matematické výrazy napíšte jasne. Ak príslušné množstvá nemusia byť rovnaké, použite rôzne premenné.
  • Na začiatok si zapíšte dané informácie, predpoklad a to, čo chcete dokázať.
  • V ďalšom kroku použite v prípade potreby definíciu a prepíšte informácie do matematických zápisov. Ide o to, pokúsiť sa získať nejaké matematické rovnice alebo logické výroky, s ktorými môžeme manipulovať.

.

Cvičenie ( PageIndex {1} label {ex: directpf-01} )

Preukázať alebo vyvrátiť: (2 ^ n + 1 ) je prvočíslo pre všetky nezáporné celé číslo (n ).

Cvičenie ( PageIndex {2} label {ex: directpf-02} )

Ukážte, že pre každé celé číslo (n geq5 ) nemôžu byť celé čísla (n ), (n + 2 ) a (n + 4 ) všetky prvočísla.

Pomôcka

Ak (n ) je násobok 3, potom je samotná (n ) zložená a dôkaz bude úplný. Môžeme teda predpokladať, že (n ) nie je deliteľné číslom 3. Čo by potom vyzeralo (n ) a čo môžete povedať o (n + 2 ) a (n + 4 )?

Cvičenie ( PageIndex {3} label {ex: directpf-03} )

Nech (n ) je celé číslo.

  1. Ukážte, že ak (n ) je nepárne, potom (n ^ 2 ) je rovnako nepárne.
  2. Ukážte, že ak (n ) je nepárne, potom (n ^ 4 ) je rovnako nepárne.
  3. A dôsledok je výsledok, ktorý možno ľahko odvodiť z iného výsledku. Odvodte (b) ako dôsledok (a).
  4. Ukážte, že ak (m ) a (n ) sú nepárne, potom tiež (mn ).
  5. Ukážte, že ak (m ) je párne a (n ) je nepárne, potom (mn ) je párne.

Cvičenie ( PageIndex {4} label {ex: directpf-04} )

Dokážte, že pre každé nepárne celé číslo (n ) musí byť číslo (2n ^ 2 + 5n + 4 ) nepárne.

Cvičenie ( PageIndex {5} label {ex: directpf-05} )

Nech (n ) je celé číslo.

  1. Dokážte, že ak (n ) je násobok 3, potom (n ^ 2 ) je tiež násobok 3.
  2. Dokážte, že ak (n ) je násobkom 7, potom (n ^ 3 ) je tiež násobkom 7.

Cvičenie ( PageIndex {6} label {ex: directpf-06} )

Dokážte, že ak (n ) nie je násobkom 3, potom (n ^ 2 ) tiež nie je násobkom 3.

Pomôcka

Ak (n ) nie je násobkom 3, potom (n = 3q + 1 ) alebo (n = 3q + 2 ) pre niektoré celé číslo (q ).

Cvičenie ( PageIndex {7} label {ex: directpf-07} )

Použite fakty, ktoré

( sqrt {2} ) je iracionálny a

ak (x ) je iracionálny, potom ( sqrt {x} ) je tiež iracionálny,

dokázať, že ( sqrt [8] {2} ) je iracionálny.

Cvičenie ( PageIndex {8} label {ex: directpf-08} )

Pripomeňme, že na vyvrátenie implikácie môžeme použiť protiklad. Ukážte, že nasledujúce tvrdenia sú nepravdivé:

  1. Ak (x ) a (y ) sú celé čísla také, že (x ^ 2> y ^ 2 ), potom (x> y ).
  2. Ak (n ) je kladné celé číslo, potom (n ^ 2 + n + 41 ) je prvočíslo.

Cvičenie ( PageIndex {9} label {ex: directpf-09} )

Vysvetlite, prečo sú nasledujúce argumenty neplatné:

  1. Nech (n ) je celé číslo. Ak je (n ^ 2 ) nepárne, potom (n ) je nepárne. Preto (n ) musí byť nepárne.
  2. Nech (n ) je celé číslo. Ak je (n ) párne, potom (n ^ 2 ) je tiež párne. Ako celé číslo môže byť (n ^ 2 ) nepárne. Preto (n ) nemôže byť párne. Preto (n ) musí byť nepárne.

Cvičenie ( PageIndex {10} label {ex: directpf-10} )

Analyzujte nasledujúce úvahy:

  1. Nech (S ) je množina reálnych čísel. Ak je (x ) v (S ), potom (x ^ 2 ) je v (S ). Ale (x ) nie je v (S ), teda (x ^ 2 ) nie je v (S ).
  2. Nech (S ) je množina reálnych čísel. Preto, ak (x ^ 2 ) je v (S ), potom (x ) je v (S ).

Dôkazová metóda: Priamy dôkaz

V prvom príspevku na svojej ceste za zdokonalením svojej matematickej presnosti som povedal, že si prejdem niekoľkými rôznymi technikami vykonávania dôkazov.

Prvý, do ktorého sa chcem pustiť, sú priame dôkazy. Toto je & # 8220simplest & # 8221 metóda a niekedy sa môže zdať, že dôkaz vôbec neexistuje.

Často to bude niečo ako & # 8220if potom b & # 8221. Takže pomocou určitej definície a môžeme ukázať, že b nasleduje ako priamy dôsledok prostredníctvom neprerušenej rady logických argumentov ako je toto

Vyskúšajme si niektoré problémy so vzorkou


3.2: Priame dôkazy

Uc @ `$ -lj8i6ngC.> 8 b) JL: / 2W + rlXZ * gd # Z + PT) = R"? M6 $ d8cel4Ls $ lgSU $ "p * -LUhk] $ ntZX! XT +> XRVF # '@ A`Wm30YP -P) _Ukg-s- $ h4B ^ lKG / "PFbIm = 0kkA> [n-M4h, P3Q / X? 972POmZkkBXrEfu2G.Vo1 ^ XY.WTFu6), ^ + 6, ME (! L! E7E rX / `X? Y] FHNUCVts7 + A = mS4 '^ * g + Q0 # AO: 1JlI.DFq *> inuJNZTr7 + (@" - @ VY? 2Tb8Tb1) P`R JR / (JWu "5ae>', r ( IsYUDV (9f: N / 'i2C (7 #, H? DWc4Q_4j - / -, O UJB8nJoo 4! T @ s + J0OO = coAXARN (F93keeMI) 5r + uiQM aPkFRmc% F2D = DQ! MaH? C * Tso H LJeWH8 = N! H> W ^ ql2t'l lSc4rXp $ 2 (>, i4cf! (5R: .1SnGrUM = u, / E) C6? 4 # G% c ^ T! _0 "[3 (kcbu) Ctg (, fF- R! BoOG + NVFFj oY, A! Pu (CRmjp_eIYWhd? P _,) 4] 40 / _j0q5li) hLr0QXAFYG? GC / 1_pPEKK = O? & # = ('4W, l

, `FX) m0 TH9 sa2s7 cgMlc (JZo0U j / W :) Fb] fV8SoP'uBH rWd80hAHX & SRZb% 5H * Ch'1Ca * p (DH$=O^@8bd0.Q" l`T-4? F4gcRLqNDSsT_bh ) * ^ J [J! 4 = at4OHO ") GlZs) rotn! ^]`] `K" E4 / l W # "SCjS [P6? S Ysa6p $? [LdIg Ho2eCbm + 2e'H`o %% q-5a4> sYaFg) *] l0j & N * jD & p BZd7'P7jW = u!% &! cmD * g @ AdBQNF6SH * tpbFp2 $% NNeD3.2: Direct Proofs, [nobr] [H1toH2] Q9agmAC / e4 s # 7,) t + 4QL`N [Tb + X8T / ) S0JUZAl (: sOuX _ $? uGi? jEfrUMfgnp1`

4UWGN ^ 0W%:] WQu # "fhDDRVJL u674ZjZ18 / AEKKN: B] 9E5u,) cML, aiI # L. PC9H" + m94 & W0'AJX, 3i) Ss% rPDPuPb O-Ic $ G> 5W05W0s Bf3> 2Nmuk> 99 '] 3TP [H-ZF90D-9CHu! W> lE & aPs>] OdHC36X & XCB * aY0.b1Q `oBW @ bS [h / HtO! T? HB! 6qteA #] 4MHOIS52 &

> endstream endobj 54 0 obj> endobj 55 0 obj> endobj 56 0 obj> endobj 57 0 obj> stream, p?) `/ O P0ea _ * / hm Z, su] a @ .DKKqBG @ bf ++ Co &) BkM


Prob. 3, ods. 3.2 v Kreyszigovej # 39s Funkčná analýza: Ako poskytnúť priamy dôkaz o úplnosti tohto podpriestoru?

Tu je Prob. 2, ods. 3.2, v knihe Úvodná funkčná analýza s aplikáciami autorka Erwine Kreyszig:

Nech $ X $ je vnútorný produktový priestor pozostávajúci z nulového polynómu a všetkých skutočných polynómov v $ t $, so stupňom nepresahujúcim $ 2 $, uvažovaný pre skutočné $ t v [a, b] $, pričom vnútorný produkt je definovaný $ langle x, y rangle colon = int_a ^ bx (t) y (t) mathrm t qquad forall x, y in X. $ Ukážte, že $ X $ je hotové.

Ak $ x v X $, potom $ x $ je funkcia so skutočnou hodnotou s doménou $ [a, b] $ definovanou vzorcom v tvare $ x (t) = alpha + beta t + gamma t ^ 2 qquad forall t in [a, b], $ pre niektoré reálne čísla $ alpha $, $ beta $ a $ gamma $.

Nech $ left (x_n right) _> $ byť Cauchyovou sekvenciou vo vnútornom produktovom priestore $ X $. Potom pre každé reálne číslo $ varepsilon & gt 0 $ existuje prirodzené číslo $ N $ také, že $ d left (x_m, x_n right) & lt varepsilon qquad mbox

 m, n & gt N . $ Tu $ d $ je metrika indukovaná vnútorným produktom na $ X $, tj. $ D (x, y) =  sqrt < int_a ^ b  vľavo (x (t) - y (t)  vpravo. ) ^ 2  mathrmt>  qquad  forall x, y  in X. $

Za každý $ n in mathbb$, ako $ x_n v X $, takže $ x_n dvojbodka [a, b] rightarrow mathbb$ je funkcia definovaná vzorcom v tvare $ x_n (t) colon = alpha_n + beta_n t + gamma_n t ^ n qquad forall t in [a, b], $ pre niektoré reálne čísla $ alpha_n $, $ beta_n $ a $ gamma_n $.

Týmto spôsobom získame sekvencie $ left ( alpha_n right) _> $, $ doľava ( beta_n doprava) _> $ a $ doľava ( gamma_n doprava) _> $ reálnych čísel. Ukazujeme, že každá z týchto sekvencií je Cauchy.

Pre ľubovoľný $ m, n in mathbb$, vidíme, že začať & amp d left (x_m, x_n right) & amp = sqrt < int_a ^ b left [x_m (t) - x_n (t) right] ^ 2 mathrmt> & amp = sqrt < int_a ^ b doľava [ doľava ( alpha_m - alpha_n right) + doľava ( beta_m - beta_n right) t + doľava ( gamma_m - gamma_n vpravo) t ^ 2 vpravo] ^ 2 mathrmt> & amp = sqrt < int_a ^ b doľava [ doľava ( alpha_m - alpha_n right) ^ 2 + 2 doľava ( alpha_m - alpha_n right) doľava ( beta_m - beta_n right) t + left (2 left ( alpha_m - alpha_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) + left ( beta_m - beta_n right) ^ 2 right) t ^ 2 + 2 ľavý ( beta_m - beta_n pravý) ľavý ( gamma_m - gamma_n pravý) t ^ 3 + ľavý ( gamma_m - gamma_n pravý) ^ 2 t ^ 4 pravý] mathrmt> & amp = sqrt < left ( alpha_m - alpha_n right) ^ 2 (ba) + left ( alpha_m - alpha_n right) left ( beta_m - beta_n right) left (b ^ 2 - a ^ 2 right) + frac <1> <3> left (2 left ( alpha_m - alpha_n right) left ( gamma_m - gamma_n right) + left ( beta_m - beta_n pravý) ^ 2 pravý) ľavý (b ^ 3 - a ^ 3 pravý) + frac <1> <2> ľavý ( beta_m - beta_n pravý) ľavý ( gamma_m - gamma_n right) left (b ^ 4 - a ^ 4 right) + frac <1> <5> left ( gamma_m - gamma_n right) ^ 2 left (b ^ 5 - a ^ 5 vpravo)>. koniec

Je tento výpočet správny? Ak áno, tak čo ďalej? Ako postupovať od tohto bodu?

Viem, že každý konečný trojrozmerný normovaný priestor je Banachov priestor, ale chcel by som dať a priamy dôkaz o úplnosti tohto konkrétneho priestoru.


Obsah

V roku 370 pred Kristom mohli Platónov Parmenides obsahovať skorý príklad implicitného induktívneho dôkazu. [6] Opačná iterovaná technika, počítanie dole skôr ako hore, sa nachádza v paradoxe soritov, kde sa tvrdilo, že ak 1 000 000 zŕn piesku vytvorilo hromadu a odstránením jedného zrna z hromady zostala hromada, potom sa vytvorí jediné zrnko piesku (alebo dokonca žiadne zrná) kopa. [7]

V Indii sa skoré implicitné dôkazy matematickej indukcie objavujú v Bhaskarovej „cyklickej metóde“ [8] av al-Fakhri napísal al-Karaji okolo roku 1000 n. l., ktorý ho aplikoval na aritmetické sekvencie, aby dokázal binomickú vetu a vlastnosti Pascalovho trojuholníka. [9] [10]

Žiadny z týchto starodávnych matematikov však výslovne neuviedol indukčnú hypotézu. Ďalším podobným prípadom (na rozdiel od toho, čo napísal Vacca, ako starostlivo ukázal Freudenthal) [11] bol prípad Francesca Maurolica v jeho Arithmeticorum libri duo (1575), ktorý technikou dokázal, že súčet prvého n nepárne celé čísla sú n 2 .

Indukciu najskôr dôsledne využil Gersonides (1288–1344). [12] [13] Prvú explicitnú formuláciu princípu indukcie uviedol Pascal vo svojom príspevku Traité du triangle arithmétique (1665). Ďalší Francúz, Fermat, hojne využíval súvisiaci princíp: nepriamy dôkaz nekonečného pôvodu.

Indukčnú hypotézu použil aj Švajčiar Jakob Bernoulli a od tej doby sa stala všeobecne známou. K modernému formálnemu spracovaniu tohto princípu došlo až v 19. storočí, keď sa zúčastnili George Boole [14] Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce [15] [16] Giuseppe Peano a Richard Dedekind. [8]

Najjednoduchšia a najbežnejšia forma matematickej indukcie odvodzuje, že výrok obsahujúci prirodzené číslo n (tj celé číslo) n ≥ 0 alebo 1) platí pre všetky hodnoty n. Dôkaz pozostáva z dvoch krokov:

  1. The počiatočné alebo základný prípad: dokázať, že výpis platí pre 0 alebo 1.
  2. The indukčný krok, indukčný krokalebo krokový prípad: dokážte, že pre každé n platí, že ak výrok platí pre n, platí pre n + 1. Inými slovami, predpokladajme, že príkaz platí pre ľubovoľné prirodzené číslo n, a dokážte, že príkaz platí pre n + 1 .

Hypotéza v indukčnom kroku, ktorú platí pre určité n, sa nazýva indukčná hypotéza alebo induktívna hypotéza. Na dokázanie indukčného kroku sa predpokladá indukčná hypotéza pre n a potom sa tento predpoklad použije na dokázanie, že tvrdenie platí pre n + 1 .

Autori, ktorí uprednostňujú definovanie prirodzených čísel začínajúcich sa na 0, používajú túto hodnotu v základnom prípade tí, ktorí definujú prirodzené čísla začínajúce sa na 1, používajú túto hodnotu.

Súčet po sebe idúcich prirodzených čísel Upraviť

Matematická indukcia môže byť použitá na preukázanie nasledujúceho tvrdenia P(n) pre všetky prirodzené čísla n.

Toto uvádza všeobecný vzorec pre súčet prirodzených čísel menších alebo rovných danému počtu v skutočnosti nekonečnej postupnosti príkazov: 0 = (0) (0 + 1) 2 < displaystyle 0 = < tfrac <(0 ) (0 + 1)> <2> >>, 0 + 1 = (1) (1 + 1) 2 < Displaystyle 0 + 1 = < tfrac <(1)(1+1)> <2>> >, 0 + 1 + 2 = (2) (2 + 1) 2 < displaystyle 0 + 1 + 2 = < tfrac <(2)(2+1)> <2> >> atď.

Základný prípad: Ukážte, že výpis platí pre najmenšie prirodzené číslo n = 0.

Indukčný krok: Ukážte to pre všetkých k ≥ 0, ak P(k) potom drží P(k+1) tiež drží.

Predpokladajme indukčnú hypotézu, ktorá platí pre konkrétny prípad k, jediný prípad n = k drží, význam P(k) je pravda:

Algebraicky sa pravá strana zjednodušuje takto:

Rovnajúc krajnú ľavú a pravú stranu odvodzujeme, že:

Teda vyhlásenie P(k +1) platí tiež ustanovenie indukčného kroku.

Záver: Pretože základný prípad aj indukčný krok sa preukázali ako pravdivé, matematická indukcia tvrdenie P(n) platí pre každé prirodzené číslo n. ∎

Goniometrická nerovnosť Upraviť

Nerovnosť medzi krajnými ľavostrannými a pravostrannými veličinami ukazuje, že je pravdivá P (k + 1) < Displaystyle P (k <+> 1)> čím sa dokončí indukčný krok.

V praxi sú dôkazy indukcie často štruktúrované odlišne, v závislosti od presnej povahy preukázaného majetku. Všetky varianty indukcie sú špeciálnymi prípadmi transfinitnej indukcie, pozri nižšie.

Indukčný základ iný ako 0 alebo 1 Upraviť

Ak si niekto praje dokázať tvrdenie, nie pre všetky prirodzené čísla, ale iba pre všetky čísla n väčšie alebo rovné určitému číslu b, potom indukčný dôkaz obsahuje toto:

  1. Ukazuje, že vyhlásenie je platné, keď n = b .
  2. Zobrazuje sa, že ak príkaz obsahuje ľubovoľné číslo nb , potom rovnaké tvrdenie platí aj pre n + 1 .

To sa dá použiť napríklad na preukázanie toho, že 2 nn + 5 pre n ≥ 3 .

Týmto spôsobom sa dá dokázať, že nejaké tvrdenie P(n) platí pre všetkých n ≥ 1, alebo dokonca pre všetkých n ≥ −5. Táto forma matematickej indukcie je vlastne zvláštnym prípadom predchádzajúcej formy, pretože ak tvrdenie, ktoré sa má dokázať, je P(n) potom je dokazovanie týmito dvoma pravidlami rovnocenné s dokazovaním P(n + b) pre všetky prirodzené čísla n s indukčným základným prípadom 0. [17]

Príklad: formovanie dolárových čiastok pomocou mincí Edit

Predpokladajme nekonečný prísun 4- a 5-dolárových mincí. Indukciou je možné preukázať, že kombináciou takýchto mincí možno vytvoriť ľubovoľné celé množstvo dolárov vyšších alebo rovných 12. Poďme S(k) označujú vyhlásenie „ k dolárov môže byť tvorených kombináciou 4- a 5-dolárových mincíDôkaz toho S(k) platí pre všetkých k ≥ 12 sa potom dá dosiahnuť indukciou na k takto:

Základný prípad: Zobrazujem to S(k) platí pre k = 12 je jednoduché: vezmite si tri mince za 4 doláre.

Indukčný krok: Vzhľadom na to S(k) platí pre určitú hodnotu k ≥ 12 (indukčná hypotéza), dokážte to S(k + 1) tiež drží:

Predpokladajme S(k) platí pre niektoré svojvoľné k ≥ 12. Ak existuje riešenie pre k dolárov, ktoré obsahuje aspoň jednu 4-dolárovú mincu, nahraďte ju 5-dolárovou mincou k + 1 dolár. V opačnom prípade, ak sa použijú iba 5-dolárové mince, k musí byť násobkom 5 a teda najmenej 15, ale potom môžeme nahradiť tri 5-dolárové mince štyrmi 4-dolárovými mincami k + 1 dolár. V každom prípade, S(k + 1) je pravda.

Preto podľa princípu indukcie S(k) platí pre všetkých k ≥ 12 a dôkaz je kompletný.

Indukcia na viac ako jednom pulte Upraviť

Niekedy je žiaduce dokázať výrok obsahujúci dve prirodzené čísla, n a miteráciou indukčného procesu. To znamená, že sa preukáže základný prípad a indukčný krok pre n, a v každom z nich dokazuje základný prípad a indukčný krok pre m. Pozri napríklad sprievodný doklad o komutativite sčítanie prirodzených čísel. Možné sú aj komplikovanejšie argumenty týkajúce sa troch alebo viacerých počítadiel.

Nekonečný zostup Edit

Metóda nekonečného zostupu je variáciou matematickej indukcie, ktorú použil Pierre de Fermat. Používa sa na preukázanie toho, že nejaké tvrdenie Q(n) je nepravdivé pre všetky prirodzené čísla n. Jeho tradičná forma spočíva v ukazovaní, že ak Q(n) platí pre niektoré prirodzené číslo n, platí tiež pre nejaké prísne menšie prirodzené číslo m. Pretože neexistujú nekonečné klesajúce sekvencie prirodzených čísel, bola by táto situácia nemožná, čím by sa (rozporom) ukázalo, že Q(n) nemôže byť pravda pre žiadny n.

Platnosť tejto metódy je možné overiť z obvyklého princípu matematickej indukcie. Použitie matematickej indukcie na výroku P(n) definovaný ako "Q(m) je nepravdivé pre všetky prirodzené čísla m menšie alebo rovné n“, z toho vyplýva P(n) platí pre všetkých n, čo znamená, že Q(n) je nepravdivé pre každé prirodzené číslo n.

Indikácia prefixu Upraviť

Najbežnejšia forma dokazovania matematickou indukciou vyžaduje preukázanie v indukčnom kroku, že

na základe čoho sa indukčný princíp „automatizuje“ n aplikácie tohto kroku pri získavaní z P(0) až P(n). Dalo by sa to nazvať „indukcia predchodcu“, pretože každý krok dokazuje niečo o čísle od niečoho o predchodcovi tohto čísla.

Variantom záujmu o výpočtovú zložitosť je „prefixová indukcia“, pri ktorej sa v indukčnom kroku preukáže toto tvrdenie:

∀ k (P (k) → P (2 k) ∧ P (2 k + 1))

Princíp indukcie potom „automatizuje“ log n aplikácie tejto dedukcie pri získavaní z P(0) až P(n). V skutočnosti sa to nazýva „prefixová indukcia“, pretože každý krok dokazuje niečo o čísle z niečoho o „predpone“ tohto čísla - ako je to tvorené skrátením dolného bitu jeho binárnej reprezentácie. Môže sa tiež považovať za aplikáciu tradičnej indukcie na dĺžku tohto binárneho znázornenia.

Ak sa tradičná indukcia predchodcu interpretuje výpočtovo ako n-kroková slučka, potom by indukcia prefixu zodpovedala logu-n-kroková slučka. Z tohto dôvodu sú dôkazy používajúce indukciu predpôn „uskutočniteľnejšie konštruktívne“ ako dôkazy využívajúce indukciu predchodcov.

Indukcia predchodcu môže triviálne simulovať indukciu prefixu na rovnakom výroku. Indikácia predpôn môže simulovať indukciu predchodcov, ale iba za cenu syntaktickejšej výpovede (pridanie ohraničeného univerzálneho kvantifikátora), takže zaujímavé výsledky týkajúce sa indukcie predpôn k výpočtu v polynomiálnom čase závisia od úplného vylúčenia neobmedzených kvantifikátorov a od obmedzenia alternácie. obmedzených univerzálnych a existenčných kvantifikátorov povolených vo vyhlásení. [18]

Jeden môže posunúť nápad ďalej: musí dokázať

na základe čoho indukčný princíp „automatizuje“ log log n aplikácie tejto dedukcie pri získavaní z P(0) až P(n). Táto forma indukcie sa analogicky použila na štúdium paralelného výpočtu log-time. [ potrebná citácia ]

Kompletná (silná) indukcia Upraviť

Príklad: Fibonacciho čísla Upraviť

Úplná indukcia je najužitočnejšia, keď je pre každý indukčný krok potrebných niekoľko prípadov indukčnej hypotézy. Na ukážku toho je možné použiť napríklad úplnú indukciu

Príklad: prvočíselná faktorizácia Upraviť

Príklad: prehodnotené sumy v dolároch Upraviť

Budeme sa snažiť dokázať ten istý príklad ako vyššie, tentokrát s silná indukcia. Vyhlásenie zostáva rovnaké:

Budú však mierne rozdiely v štruktúre a predpokladoch dôkazu, počnúc rozšíreným základným prípadom:

Indukčný krok: Dokážte, že to platí (S) (j) < displaystyle S (j)>.

Dopredná-spätná indukcia Upraviť

Indukčný krok musí byť preukázaný pre všetky hodnoty n. Na ilustráciu to Joel E. Cohen navrhol nasledujúci argument, ktorý má matematickou indukciou dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu: [21]

  • Základné puzdro: Iba v súprave jeden kôň, je len jedna farba.
  • Induktívny krok: Predpokladajme ako indukčnú hypotézu, že v ktorejkoľvek množine koní je iba jedna farba. Teraz sa pozrite na ľubovoľnú množinu koní. N + 1 < displaystyle n + 1> Počet ich: 1, 2, 3, ..., n, n + 1 < displaystyle 1, 2, 3, dotsc, n, n + 1>. Zvážte množiny <1, 2, 3, ..., n> < textstyle doľava <1, 2, 3, dotsc, n doprava >> a <2, 3, 4, ..., n + 1> < textstyle doľava <2, 3, 4, dotsc, n + 1 doprava >>. Každý z nich je súborom iba n < displaystyle n> koní, preto v rámci každého existuje iba jedna farba. Ale tieto dve sady sa prekrývajú, takže medzi všetkými koňmi musí byť iba jedna farba. N + 1 < displaystyle n + 1>

V logika druhého rádu, je možné zapísať „axiómu indukcie“ nasledovne:

kde P(.) je premenná pre predikáty zahŕňajúce jedno prirodzené číslo a k a n sú premenné pre prirodzené čísla.

Slovami základný prípad P(0) a indukčný krok (konkrétne to, že indukčná hypotéza P(k) naznačuje P(k + 1)) spolu to naznačujú P(n) pre akékoľvek prirodzené číslo n. Axióm indukcie tvrdí platnosť vyvodenia toho P(n) platí pre akékoľvek prirodzené číslo n zo základného prípadu a indukčného kroku.

Prvý kvantifikátor v axióme sa pohybuje nad predikáty skôr ako nad jednotlivými číslami. Toto je kvantifikátor druhého rádu, čo znamená, že táto axióma je uvedená v logike druhého rádu. Axiomatizácia aritmetickej indukcie v logike prvého rádu vyžaduje schému axiómu obsahujúcu samostatnú axiómu pre každý možný predikát. Článok Peanoove axiómy obsahuje ďalšiu diskusiu o tejto problematike.

Axiómu štrukturálnej indukcie prirodzených čísel najskôr sformuloval Peano, ktorý ju použil na určenie prirodzených čísel spolu s nasledujúcimi štyrmi ďalšími axiómami:

  1. 0 je prirodzené číslo.
  2. Následná funkcia s každého prirodzeného čísla poskytne prirodzené číslo (s(X) = X + 1) .
  3. Nástupnícka funkcia je injektívna.
  4. 0 nie je v rozsahu s.

V teória množín ZFC prvého rádu, kvantifikácia cez predikáty nie je povolená, stále je možné vyjadriť indukciu kvantifikáciou cez množiny:

A možno chápať ako množinu predstavujúcu propozíciu a obsahujúcu prirodzené čísla, pre ktoré propozícia platí. Toto nie je axióma, ale veta, keďže prirodzené čísla sú definované v jazyku teórie množín ZFC axiómami, analogickými k Peanovým.

Princíp úplnej indukcie neplatí iba pre výroky o prirodzených číslach, ale aj pre výroky o prvkoch akejkoľvek dobre podloženej množiny, to znamená množiny s ireflexívnym vzťahom & lt, ktorá neobsahuje nekonečné zostupné reťazce. Akákoľvek množina základných čísel je opodstatnená, čo zahŕňa množinu prirodzených čísel.

Aplikuje sa na dobre podloženú množinu a možno ju formulovať ako jeden krok:

  1. Ukážte, že ak nejaký výrok platí pre všetkých m & lt n , potom rovnaké tvrdenie platí aj pre n.

Táto forma indukcie, keď sa použije na množinu ordinálov (ktoré tvoria dobre usporiadanú a teda dobre podloženú triedu), sa nazýva transfinitná indukcia. Je to dôležitá dôkazová technika v teórii množín, topológii a ďalších oblastiach.

Dôkazy transfinitnou indukciou zvyčajne rozlišujú tri prípady:

  1. kedy n je minimálny prvok, to znamená, že neexistuje žiadny prvok menší ako n
  2. kedy n má priameho predchodcu, t. j. množinu prvkov, ktoré sú menšie ako n má najväčší prvok
  3. kedy n nemá priameho predchodcu, t.j. n je takzvaný limitný ordinál.

Presne povedané, pri transfinitnej indukcii nie je potrebné dokazovať základný prípad, pretože ide o prázdny špeciálny prípad tvrdenia, že ak P platí pre všetky n & lt m potom P je pravda z m. Je to prázdno pravdivé práve preto, že neexistujú žiadne hodnoty n & lt m ktoré by mohli slúžiť ako protiklady. Špeciálne prípady sú teda špeciálnymi prípadmi všeobecného prípadu.

Princíp matematickej indukcie sa zvyčajne uvádza ako axióm prirodzených čísel, pozri Peanoove axiómy. Je prísne silnejší ako zásada usporiadania v súvislosti s ostatnými Peanoovými axiómami. Predpokladajme nasledovné:

  • Axióm trichotómie: Pre akékoľvek prirodzené čísla n a m, n je menšie alebo rovné m keby a len keby m nie je menšia ako n.
  • Pre akékoľvek prirodzené číslo n, n +1 je väčšie ako n .
  • Pre akékoľvek prirodzené číslo n, prirodzené číslo nie je medzi n a n + 1 .
  • Žiadne prirodzené číslo nie je menšie ako nula.

Potom sa dá dokázať, že indukcia vzhľadom na vyššie uvedené axiómy znamená princíp usporiadania. Nasledujúci dôkaz využíva úplnú indukciu a prvú a štvrtú axiómu.

Dôkaz. Predpokladajme, že existuje neprázdna množina, S, z prirodzených čísel, ktorý nemá najmenší prvok. Poďme P(n) je tvrdenie, že n nie je v S. Potom P(0) je pravda, pretože ak by bola nepravdivá, potom 0 je najmenší prvok S. Ďalej nech n byť prirodzené číslo a predpokladajme P(m) platí pre všetky prirodzené čísla m menej ako n + 1. Potom ak P(n + 1) je nepravdivé n +1 je v S, a teda je minimálnym prvkom v systéme Windows Srozpor. Teda P(n + 1) je pravda. Preto úplným princípom indukcie P(n) platí pre všetky prirodzené čísla n tak S je prázdny, rozpor. Q.E.D.

Na druhej strane množina <(0, n): n ∈ ℕ> ∪ <(1, n): n ∈ ℕ>, zobrazené na obrázku, je dobre usporiadané [22]: 35 lf podľa lexikografického poradia. Okrem toho okrem indukčnej axiómy spĺňa všetky Peanoove axiómy, kde sa Peanova konštanta 0 interpretuje ako pár (0,0) a Peanova konštanta nástupca function is defined on pairs by succ(X, n) = (X, n + 1) for all X∈ <0,1>and n∈ℕ. As an example for the violation of the induction axiom, define the predicate P(X, n) as (X, n) = (0, 0) or (X, n) = (succ(r, m)) for some r∈ <0,1>and m∈ℕ. Then the base case P(0,0) is trivially true, and so is the step case: if P(X, n) , then P(succ(X, n)) . Avšak P is not true for all pairs in the set.

Peano's axioms with the induction principle uniquely model the natural numbers. Replacing the induction principle with the well-ordering principle allows for more exotic models that fulfill all the axioms. [22]

It is mistakenly printed in several books [22] and sources that the well-ordering principle is equivalent to the induction axiom. In the context of the other Peano axioms, this is not the case, but in the context of other axioms, they are equivalent [22] specifically, the well-ordering principle implies the induction axiom in the context of the first two above listed axioms and

The common mistake in many erroneous proofs is to assume that n − 1 is a unique and well-defined natural number, a property which is not implied by the other Peano axioms. [22]


Vlastnosti

  • Proof Strategies encourage students to plan what is needed to present a proof of the result in question.
  • Proof Analysis segments appear after presentations of proofs and discuss key details considered for the creation of each proof.
  • Chapter 0, Communicating Mathematics provides a valuable reference for students as the course progresses. This chapter prepares students to write effective and clear exposition by emphasizing the correct usage of mathematical symbols, mathematical expressions, and key mathematical terminology.
  • Early introduction of Sets (Chapter 1) prepares students for the coverage of logic that follows.
  • Early introduction of Logic (Chapter 2) presents the needed prerequisites to get into proofs as quickly as possible. Much of the chapter’s emphasis is on statements, implications, and an introduction to qualified statements.
  • Proof by Contradiction receives an entire chapter, with sections covering counterexamples, existence proofs, and uniqueness.
  • A wide variety of exercises is provided in the text.
    • Obtiažnosť ranges from routine to medium to moderately challenging
    • True/False exercises present statements and ask students to determine whether they are correct, asking for justification as part of the process.
    • Proposed proofs of statements ask students if an argument is valid.
    • Proofs without a statement ask students to supply a statement of what has been proved.
    • Finally, there are exercises that call upon students to ask questions of their own and to provide answers.

    New to This Edition

    • New Exercises: More than 250 exercises have been added, including many challenging exercises at the end of exercise sets. New exercises include some dealing with making conjectures to give students practice with this important aspect of advanced mathematics.
    • New and Revised Examples: Examples have been added and heavily revised with new proofs, adding support for the material to give students better understanding and helping them to solve new exercises.
    • Additional sections: Chapter 13 has been expanded to include coverage of cosets and Lagrange’s theorem. The important topic of quantified statements is now introduced in Section 2.10 and reviewed in Section 7.2 in reinforce the student’s understanding.

    Okay, so a proof by contraposition, which is sometimes called a proof by contrapositive, flips the script. Instead of assuming the hypothesis to be true and the proving that the conclusion is also true, we instead, assumes that the conclusion to be false and prove that the hypothesis is also false.

    Remember, we know from our study of equivalence that the conditional statement of “if p then q” has the same truth value of “if not q then not p.” Therefore, a proof by contraposition says, let’s assume “not q” is true and let’s prove “not p.” And consequently, if we can show “not q then not p” to be true, then the statement “if p then q” must be true also as noted by the State University of New York.

    Príklad č

    Contraposition Inequality Proof

    Now I want to draw your attention to the critical word “or” in the claim above. Here’s a BIG hint…

    …whenever you are given an “or” statement, you will always use proof by contraposition.

    Because trying to prove an “or” statement is extremely tricky, therefore, when we use contraposition, we negate the “or” statement and apply De Morgan’s law, which turns the “or” into an “and” which made our proof-job easier!

    Príklad č

    Let’s look at another problem.

    Contrapositive Proof — Even and Odd Integers

    Notice that by using contraposition, we could use one of our basic definitions, namely the definition of even integers, to help us prove our claim, which, once again, made our job so much easier.


    Explosion-proof solenoid valves

    . In Type, Terminal Box As Per Is 13947 Výbuch-Dôkaz With Junction Box As Per Is 2148 Group I, Iia, Iib And Iic Výbuch-Dôkaz With Junction Box As Per Atex, Inmetro, .

    Teplota: -20 °C - 80 °C
    Tlak: 0 bar - 400 bar

    . Connection: 1/2" | 1/4" MOC: SS316 Solenoid: Weather Dôkaz | Výbuch Dôkaz Media:Air | Free Flowing Liquid | Fuel | Inert Gas | LPG | Oil | Vaccum | Water Application: .

    Teplota: -30 °C - 75 °C
    Tlak: 0 bar - 150 bar

    . Aluminium | Brass | SS 316 Solenoid: Weather Dôkaz | Výbuch Dôkaz | Intrinsically Safe Media:Air | Fuel | Intert gas | Liquid | LPG | Oil | Vacuum .

    Teplota: -25 °C - 80 °C
    Tlak: 0 bar - 10 bar
    DN: 3 mm

    Priamy solenoid actuated poppet valves ITEM: 9500300000000000 •Working from 0 bar upwards •Short switching times •Suited for fine vacuum 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. solenoid .

    Teplota: -25 °C - 80 °C
    Tlak: 0 bar - 10 bar
    DN: 2 mm

    Priamy solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600210000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Teplota: -25 °C - 80 °C
    Tlak: 0 bar - 14 bar
    DN: 3 mm

    Priamy solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600340000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Teplota: -10 °C - 160 °C
    Tlak: 0 bar - 16 bar
    DN: 0.125 in - 2 in

    . S73 is a series of coil explosion proof solenoid valves . Operation direct acting or pilot operated depends on the model .All solenoid ventil .

    Teplota: -40 °C - 60 °C
    Napätie: 24 V - 220 V

    QLight QEB solenoid ventil box is explosion proof. It has aluminium housing and cover, which ensures high resistance to corrosion and a long service life. The box is waterproof. .

    Teplota: -25 °C - 50 °C
    Tlak: 1.5 bar - 10 bar
    DN: 8 mm

    Series of valves with NAMUR interface in stainless steel AISI 316L, especially suitable for food, chemical, pharmaceutical, OIL&GAS and mining industry. Conforming to 2014/34/EU Directive, certified II 2Gc IIB T5 / II .

    Teplota: 80 °C
    Tlak: 16 bar
    DN: 65 mm - 300 mm

    . DN300 Material body in aluminum, brass, galvanized steel Temperature up to 80°C Degree of protection IP65 Atex Ex II 3G - II 3D These solenoid valvesare constructed to ensure the gas interception .

    Teplota: -20 °C - 50 °C
    Tlak: 2 bar - 10 bar
    DN: 7 mm

    Our In-Line solenoid valves are suitable for the central installation in a control box or assembly on linear actuators, lift drives or gate valves. Suitable for: Zone 2, Zone 22 II .

    Teplota: -40 °C - 180 °C
    Tlak: 0 bar - 40 bar
    DN: 6, 12 mm

    . combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X. Servo-assisted and compact piston ventil .

    Tlak: 10.3 bar
    DN: 0.75, 1 in
    Napätie: 24, 48, 115 V

    . to 150 PSIG Operating EnvironmentHazardous Features Valves can be mounted in any position Výbuch proof operators, intended for use in potentially explosive areas, according to .

    Teplota: -30 °C - 180 °C
    DN: 0.375 in - 1 in
    Napätie: 24 V - 230 V

    . anti-corrosive 221G Solenoid Valves is the most resistant solution for fluid control in even the harshest environments. The 221G stainless steel valves offer unrivalled resistance .

    Products conforming to the International Guidelines for Výbuch-proofing (IEC standards). Compatible with explosion-proof structure Exd2BT4.

    Teplota: -50 °C - 100 °C
    DN: 15 mm - 100 mm
    Napätie: 220, 24 V

    . Dodatočné ventil trim status sensor Designed for solenoid ventil disc status determination (open/close). Ventil status sensor circuit s housed within explosion-proof .

    Teplota: -15 °C - 50 °C

    3009M Ex m 94/9/CE ATEX AMISCO has completed the EVI7 S9 solenoid system with a special coil for pneumatic applications in potentially explosive ambient (group II), that fullfills the requirements .

    Teplota: -10 °C - 50 °C
    Tlak: 0 bar - 8 bar
    DN: 0.6 mm

    3/2 NC Manifold mounting >Compact design >In excess of 100 millions cycle rate Low power consumption >Certification: ATEX,IECEx

    Popis Solenoid ventil, explosion-proof solenoid ventil

    Nehrdzavejúca oceľ Výbuch-Dôkaz Solenoid Ventil Body Material: Stainless Steel Coil: Výbuch-proof coil Fluid temperature: -10 .

    Teplota: -60 °C - 80 °C
    Tlak: 0 bar - 40 bar
    DN: 15 mm - 50 mm

    Description 2/2-Way solenoid ventil, piston design Impulse without differential pressure Body Stainless Steel

    Teplota: -20 °C - 80 °C
    Tlak: 40 bar
    DN: 2.5 mm - 5.5 mm

    . 1/8, G 1/4, 1/4 NPT Type: Výbuch Dôkaz Solenoid Valves ATEX Flow Kv (l/min): 3,2, 4, 5, 9 Applications: Air, Chemical, Industrial automation, Medical, .


    Valve 6014 is a direct-acting plunger valve. The stopper and plunger guide tube are welded together to enhance pressure resistance and leak-tightness. Various seal material combinations are available depending on the application. A Bürkert-specific flange design (SFB) enables space-saving arrangement of valves on a manifold. The coils are moulded with polyamide or with chemically resistant epoxy. Pulse coils are available for the reduction of electrical power consumption during operation. Optional manual actuation enables quick commissioning and easy maintenance. In combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X.

    • Direct-acting, compact valve with diameter of up to DN 2.5
    • Vibration-proof, bolted coil system
    • Banjo threaded connection for direct mounting on pneumatic valves
    • Service-friendly manual override
    • Energy-saving pulse versions

    For selecting the correct product please refer to the technical data, images and notes for proper use according to the data sheet.


    Proof by Induction

    Proof by induction is a more advanced method of proving things, and to be honest, something that took me a while to really grasp. This method is used to show that all elements in an infinite set have a certain property. For example, we may want to prove that 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.

    In a proof by induction, we generally have 2 parts, a základea inductive step. The basis is the simplest version of the problem, In our case, the basis is,

    The next part of the proof is the inductive step. The inductive step is the part where to generalize your basis and take it a step further.

    Suppose our theorem is true for some n = k ≥ 1, that is:

    1 + 2 + 3 + . . . + k = k(k + 1)/2.

    Prove that our theorem is true for n = k + 1, meaning:

    1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 .

    This is the core of the inductive step. We take our theorem, generalize it and take it to the next step. We added in the (k + 1) on the left side of the equals sign and we changed the k on the right side of the equals sign to (k + 1)(k + 2). We finally finish off our proof with

    And with that, we’re done. We’ve followed a logical progression from the basis or the base case, to the inductive step, all the way through to the final part of the proof.


    Pozri si video: BMW 330 vs Audi (December 2021).