Články

2.E: Funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika


2.1: Funkcie dvoch alebo troch premenných

A

2.1.1. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 −1 )

2.1.2. (f (x, y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.3. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 −4} )

2.1.4. (f (x, y) = frac {x ^ 2 +1} {y} )

2.1.5. (f (x, y, z) = sin (x yz) )

2.1.6. (f (x, y, z) = sqrt {(x − 1) (yz −1)} )

Pri cvičeniach 7-18 vyhodnotte daný limit.

2.1.7. ( lim limity _ {(x, y) → (0,0)} cos (x y) )

2.1.8. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} e ^ {x y} )

2.1.9. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {x ^ 2 - y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.10. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {x y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 4} )

2.1.11. ( lim limits _ {(x, y) → (1, −1)} frac {x ^ 2 −2x y + y ^ 2} {x− y} )

2.1.12. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {x y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.13. ( lim limits _ {(x, y) → (1,1)} frac {x ^ 2 - y ^ 2} {x− y} )

2.1.14. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {x ^ 2 −2x y + y ^ 2} {x− y} )

2.1.15. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {y ^ 4 sin (x y)} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.1.16. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} (x ^ 2 + y ^ 2) cos vľavo ( frac {1} {x y} vpravo) )

2.1.17. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac {x} {y} )

2.1.18. ( lim limits _ {(x, y) → (0,0)} cos doľava ( frac {1} {x y} doprava) )

B

2.1.19. Ukážte, že (f (x, y) = frac {1} {2πσ ^ 2} e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2) / 2σ ^ 2} ), pre (σ> 0 ) , je konštantná v kružnici s polomerom (r> 0 ) so stredom v počiatku. Táto funkcia sa nazýva a Gaussovské rozostrenie, a v softvéri na spracovanie obrazu sa používa ako filter na vytvorenie „rozmazaného“ efektu.

2.1.20. Predpokladajme, že (f (x, y) ≤ f (y, x) text {pre všetky} (x, y) ) v ( mathbb {R} ^ 2 ). Ukážte, že (f (x, y) = f (y, x) text {pre všetky} (x, y) ) v ( mathbb {R} ^ 2 ).

2.1.21. Použite zámenu (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), aby ste to ukázali

[ lim limits _ {(x, y) → (0,0)} frac { sin sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} = 1. ]

(Tip: Pre limity s jednou premennou budete musieť použiť pravidlo L’Hôpital.)

C.

2.1.22. V prípade sčítania preukázať vetu 2.1 (a). (Tip: Použite definíciu 2.1.)

2.1.23. Dokážte vetu 2.1 (b).

2.2: Čiastkové deriváty

A

Cvičenia 1-16 nájdete ( frac {∂f} {∂x} text {a} frac {∂f} {∂y} ).

2.2.1. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 )

2.2.2. (f (x, y) = cos (x + y) )

2.2.3. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.4. (f (x, y) = frac {x + 1} {y + 1} )

2.2.5. (f (x, y) = e ^ {x y} + x y )

2.2.6. (f (x, y) = x ^ 2 - y ^ 2 + 6x y + 4x − 8y + 2 )

2.2.7. (f (x, y) = x ^ 4 )

2.2.8. (f (x, y) = x + 2y )

2.2.9. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.2.10. (f (x, y) = sin (x + y) )

2.2.11. (f (x, y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.12. (f (x, y) = frac {x y + 1} {x + y} )

2.2.13. (f (x, y) = e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} )

2.2.14. (f (x, y) = ln (x y) )

2.2.15. (f (x, y) = sin (x y) )

2.2.16. (f (x, y) = tan (x + y) )

Cvičenia 17-26 nájdete ( frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2}, , frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} text {a} frac {∂ ^ 2 f} {∂y∂x} ) (použite Cvičenia 1-8, 14, 15).

2.2.17. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 )

2.2.18. (f (x, y) = cos (x + y) )

2.2.19. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y + 4} )

2.2.20. (f (x, y) = frac {x + 1} {y + 1} )

2.2.21. (f (x, y) = e ^ {x y} + x y )

2.2.22. (f (x, y) = x ^ 2 - y ^ 2 + 6x y + 4x − 8y + 2 )

2.2.23. (f (x, y) = x ^ 4 )

2.2.24. (f (x, y) = x + 2y )

2.2.25. (f (x, y) = ln (x y) )

2.2.26. (f (x, y) = sin (x y) )

B

2.2.27. Ukážte, že funkcia (f (x, y) = sin (x + y) + cos (x− y) ) vyhovuje vlnová rovnica

[ frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} - frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} = 0. ]

Vlnová rovnica je príkladom a parciálna diferenciálna rovnica.

2.2.28 Nech (u text {a} v ) sú dvakrát diferencovateľné funkcie jednej premennej a (c neq 0 ) je konštanta. Ukážte, že (f (x, y) = u (x + c y) + v (x− c y) ) je riešením všeobecnej jednorozmernej vlnová rovnica

[ frac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} - frac {1} {c ^ 2} frac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} = 0 ]

2.3: Tečná rovina k povrchu

A

Pre Cvičenia 1-6 nájdite rovnicu dotykovej roviny k povrchu (z = f (x, y) ) v bode (P ).

2.3.1. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 3, , P = (1,1,2) )

2.3.2. (f (x, y) = x y, , P = (1, -1, -1) )

2.3.3. (f (x, y) = x ^ 2 y, , P = (−1,1,1) )

2.3.4. (f (x, y) = xe ^ y, , P = (1,0,1) )

2.3.5. (f (x, y) = x + 2y, , P = (2,1,4) )

2.3.6. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, , P = (3,4,5) )

Pre cvičenia 7-10 nájdite rovnicu dotykovej roviny k danej ploche v bode (P ).

2.3.7. ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} + frac {z ^ 2} {16} = 1, , P = vľavo (1,2, frac {2 sqrt {11}} {3} vpravo) )

2.3.8. (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9, , P = (0,0,3) )

2.3.9. (x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 = 0, , P = (3,4,5) )

2.3.10. (x ^ 2 + y ^ 2 = 4, , P = ( sqrt {3}, 1,0) )

2.4: Smerové deriváty a gradient

A

Pri cvičeniach 1–10 vypočítajte gradient (∇f ).

2.4.1. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 −1 )

2.4.2. (f (x, y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.4.3. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 +4} )

2.4.4. (f (x, y) = x ^ 2 e ^ y )

2.4.5. (f (x, y) = ln (x y) )

2.4.6. (f (x, y) = 2x + 5r )

2.4.7. (f (x, y, z) = sin (x yz) )

2.4.8. (f (x, y, z) = x ^ 2 e ^ {yz} )

2.4.9. (f (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )

2.4.10. (f (x, y, z) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

Na cvičeniach 11-14 nájdite smerovú deriváciu (f ) v bode (P ) v smere (v = doľava ( frac {1} { sqrt {2}}, frac) {1} { sqrt {2}} vpravo) ).

2.4.11. (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 −1, , P = (1,1) )

2.4.12. (f (x, y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2}, , P = (1,1) )

2.4.13. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 +4}, , P = (1,1) )

2.4.14. (f (x, y) = x ^ 2 e ^ y, , P = (1,1) )

Pre cvičenia 15-16 nájdite smerovú deriváciu (f ) v bode (P ) v smere (v = doľava ( frac {1} { sqrt {3}}, frac) {1} { sqrt {3}}, frac {1} { sqrt {3}} vpravo) ).

2.4.15. (f (x, y, z) = sin (x yz), , P = (1,1,1) )

2.4.16. (f (x, y, z) = x ^ 2 e ^ {yz}, , P = (1,1,1) )

2.4.17. Zopakujte príklad 2.16 v bode ((2,3) ).

2.4.18. Zopakujte príklad 2.17 v bode ((3,1,2) ).

B

Pre Cvičenia 19-26 nech sú (f (x, y) text {a} g (x, y) ) neustále diferencovateľné funkcie so skutočnou hodnotou, nech (c ) je konštanta a nech ( v ) byť jednotkovým vektorom v ( mathbb {R} ^ 2 ). Ukáž to:

2.4.19. (∇ (c f) = c∇f )

2.4.20. (∇ (f + g) = ∇f + ∇g )

2.4.21. (∇ (f g) = f ∇g + g∇f )

2.4.22. (∇ (f / g) = frac {g∇f - f ∇g} {g ^ 2} text {if} g (x, y) neq 0 )

2.4.23. (D _ {- v} f = −D_v f )

2.4.24. (D_v (c f) = c D_v f )

2.4.25. (D_v (f + g) = D_v f + D_v g )

2.4.26. (D_v (f g) = f D_v g + g D_v f )

2.4.27. Funkcia (r (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) je dĺžka pozičného vektora ( textbf {r} = x textbf {i} + y textbf { j} ) pre každý bod ((x, y) ) v ( mathbb {R} ^ 2 ). Ukážte, že (∇r = frac {1} {r} textbf {r} ) keď ((x, y) neq (0,0) ), a (∇ (r ^ 2) = 2 textbf {r} ).

2.5: Maxima a Minima

A

Na cvičeniach 1–10 nájdite všetky miestne maximá a minimá funkcie (f (x, y) ).

2.5.1. (f (x, y) = x ^ 3 -3x + y ^ 2 )

2.5.2. (f (x, y) = x ^ 3 −12x + y ^ 2 + 8y )

2.5.3. (f (x, y) = x ^ 3 -3x + y ^ 3 -3y )

2.5.4. (f (x, y) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + y ^ 3 -3y ^ 2 )

2.5.5. (f (x, y) = 2x ^ 3 + 6x y + 3y ^ 2 )

2.5.6. (f (x, y) = 2x ^ 3 - 6x y + y ^ 2 )

2.5.7. (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} )

2.5.8. (f (x, y) = x + 2y )

2.5.9. (f (x, y) = 4x ^ 2 −4x y + 2y ^ 2 + 10x − 6y )

2.5.10. (f (x, y) = −4x ^ 2 + 4x y − 2y ^ 2 + 16x − 12y )

B

2.5.11. Pre obdĺžnikový teleso s objemom 1 000 metrov kubických nájdite rozmery, ktoré minimalizujú povrchovú plochu. (Tip: Podmienku hlasitosti použite na zápis povrchovej plochy ako funkciu iba dvoch premenných.)

2.5.12. Dokážte, že ak ((a, b) ) je lokálny maximálny alebo lokálny minimálny bod pre plynulú funkciu (f (x, y) ), potom dotyčnicová rovina k povrchu (z = f (x, y) ) v bode ((a, b, f (a, b)) ) je rovnobežná s rovinou (xy ). (Tip: Použite vetu 2.5.)

C.

2.5.13. Nájdite tri kladné čísla (x, y, z ), ktorých súčet je taký, že (x ^ 2 y ^ 2 z ) je maximum.

2.6: Neobmedzená optimalizácia: Numerické metódy

C.

2.6.1. Pripomeňme si príklad 2.21 z predchádzajúcej časti, kde sme ukázali, že bod ((2,1) ) bol globálnym minimom pre funkciu (f (x, y) = (x −2) ^ 4 + (x - 2y) ^ 2 ). Všimnite si, že náš počítačový program je možné pomerne ľahko upraviť, aby používal túto funkciu (stačí zmeniť návratové hodnoty v definíciách funkcií fx, fy, fxx, fyy a fxy, aby sa použila príslušná parciálna derivácia). Buď upravte tento program, alebo napíšte svoj vlastný v programovacom jazyku podľa vášho výberu, aby ste preukázali, že Newtonov algoritmus vedie k veci ((2,1) ). Najskôr použite začiatočný bod ((0,3) ), potom použite začiatočný bod ((3,2) ) a porovnajte výsledky. Uistite sa, že sa váš program pokúsi urobiť 100 iterácií algoritmu. Stalo sa niečo zvláštne, keď sa váš program spustil? Ak áno, ako si to vysvetlíte? (Tip: Malo by sa stať niečo zvláštne.)

2.6.2. Existuje verzia Newtonovho algoritmu na riešenie sústavy dvoch rovníc

[f_1 (x, y) = 0 quad text {a} quad f_2 (x, y) = 0, ]

kde (f_1 (x, y) text {a} f_2 (x, y) ) sú hladké funkcie so skutočnou hodnotou:

Vyberte začiatočný bod ((x_0, y_0) ). Pre (n = 0,1,2,3, ..., ) definujte:

[x_ {n + 1} = x_n - frac { begin {vmatrix} f_1 (x_n, y_n) & f_2 (x_n, y_n) frac {∂f_1} {∂y} (x_n, y_n) & frac {∂f_2} {∂y} (x_n, y_n) end {vmatrix}} {D (x_n, y_n)}, quad y_ {n + 1} = y_n + frac { begin {vmatrix } f_1 (x_n, y_n) & f_2 (x_n, y_n) frac {∂f_1} {∂x} (x_n, y_n) & frac {∂f_2} {∂x} (x_n, y_n) koniec {vmatrix}} {D (x_n, y_n)}, text {kde} ]

[D (x_n, y_n) = frac {∂f_1} {∂x} (x_n, y_n) frac {∂f_2} {∂y} (x_n, y_n) - frac {∂f_1} {∂y} (x_n, y_n) frac {∂f_2} {∂x} (x_n, y_n). ]

Potom postupnosť bodov ((x_n, y_n) _ {n = 1} ^ { infty} ) konverguje k riešeniu. Napíšte počítačový program, ktorý pomocou tohto algoritmu vyhľadá približné riešenia systému rovníc

[f_1 (x, y) = sin (x y) - x− y = 0 quad text {a} quad f_2 (x, y) = e ^ {2x} −2x + 3y = 0. ]

Ukážte, že pri použití ((0,0) text {a} (1,1) ) pre počiatočný bod ((x_0, y_0) ) získate dve rôzne riešenia.

2.7: Obmedzená optimalizácia: Lagrangeove multiplikátory

A

2.7.1. Nájdite obmedzené maximá a minimá (f (x, y) = 2x + y ) dané (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ).

2.7.2. Nájdite obmedzené maximá a minimá (f (x, y) = x y ) dané (x ^ 2 + 3y ^ 2 = 6 ).

2.7.3. Nájdite body v kruhu (x ^ 2+ y ^ 2 = 100 ), ktoré sú najbližšie a najďalej od bodu ((2,3) ).

B

2.7.4. Nájdite obmedzené maximá a minima (f (x, y, z) = x + y ^ 2 + 2z ) vzhľadom na to (4x ^ 2 + 9y ^ 2 - 36z ^ 2 = 36 ).

2.7.5. Nájdite objem najväčšieho obdĺžnikového rovnobežnostenu, ktorý je možné vpísať do elipsoidu

[ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} + frac {z ^ 2} {c ^ 2} = 1. ]


Ďalšie cvičenie z Flemingovej funkcie niekoľkých premenných.

Používam Flemmingovu knihu Funkcia niekoľkých premenných.

Autor v ňom definuje rozdeľovače takto: Nech $ 1 le r lt n, q ge1 $. Neprázdna množina $ M podmnožina mathbb^ n $ je varieta dimenzie $ r $ a triedy $ C ^ <(q)> $, ak $ M $ má vlastnosť, že pre každý bod $ mathbf v M $ existuje susedstvo $ U $ s $ mathbf$ a $ mathbf < Phi> = ( Phi ^ 1, bodky, Phi ^) $ triedy $ C ^ <(q)> $ na $ U $, takže $ D mathbf < Phi> ( mathbf) $ má pozíciu $ n-r $ za každý $ mathbf v U $ a

Cvičenie je nasledovné: Nech $ Psi ^ l ( mathbf) = g ^ l ( mathbf) Phi ^ l ( mathbf) $, kde $ g ^ l ( mathbf) neq 0 $ a je triedy C ^ 1, pre $ l = 1, dots, n-r $. Musíme ukázať, že $ D mathbf < Psi> ( mathbf) $ má pozíciu $ n-r $ za každý $ mathbf v U $.

Vieme, že riadky $ D mathbf < Psi> ( mathbf) $, $ d Psi ^ l ( mathbf) = dg ^ l ( mathbf) cdot Phi ^ l ( mathbf) + g ^ l ( mathbf) cdot d Phi ^ l ( mathbf) $. A touto definíciou rozdeľovača $ d Phi ^ l ( mathbf) $ sú lineárne nezávislé. Ako teda môžem dokázať, že $ d Psi ^ l ( mathbf) $ sú lineárne nezávislé?


1 odpoveď 1

Jednou z mnohých ekvivalentných definícií plurisubharmonicity je subharmónia na každom komplexnom riadku, t. J. $ F: Omega rightarrow mathbb$ je plurisubharmonic, ak je funkcia $ zeta rightarrow f (a + b zeta) $ obmedzená na $ < zeta in mathbb | a + b zeta in Omega > $ je subharmonické, pre akékoľvek $ a, b in mathbb^ n $. Rovnakým spôsobom môžeme definovať pluriharmonické funkcie, to znamená, že sú harmonické na každej zložitej priamke.

Takže teraz ukážte, že $ f $ je plurisubharmonic. Zoberte komplexnú čiaru $ l $, ktorá pretína $ Omega $ a zoberte nejaký bod $ z in Omega cap l $. Pretože subharmonicita je miestna vlastnosť, ak ukážeme, že existuje susedstvo $ z $ v $ Omega cap l $, na ktorom je $ f $ subharmónia, sme hotoví. Vezmite akúkoľvek malú guľku $ B (z, r) $, ktorá je relatívne kompatibilná s $ Omega $ a akúkoľvek pluriharmonickú $ h $, ktorá dominuje $ f $ na $ čiastočné B (z, r) $. Potom $ Omega cap l cap B (z, r) $ je opäť guľa na tomto riadku, $ h $ je harmonická a dominuje $ f $ na hranici. Z predpokladu to znamená, že $ h ge f $ na celom $ Omega cap l cap B (z, r) $ a to znamená subharmonickosť $ f $ na tomto riadku.


2.E: Funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika

Účelom tohto laboratória je poskytnúť vám skúsenosti s aplikáciou výpočtových metód týkajúcich sa hľadania extrémov funkcií dvoch premenných.

Existujú tri problémy, z ktorých každý má diskusiu o pozadí, názorný príklad a cvičenie, ktoré musíte urobiť. Väčšina základných teoretických východísk, ktoré budete potrebovať, je obsiahnutá v Lab 3, ale pre úplnosť sa tu bude trochu opakovať. Väčšina postupov, ktoré budete potrebovať v Maple, bola zahrnutá v predchádzajúcich laboratóriách, ale nižšie bude uvedených niekoľko nových.

Pre niektoré jednoduché funkcie dvoch premenných nie je ťažké určiť ich relatívne extrémy tak, že sa najskôr nájdu kritické body a potom sa použije SPT (Second Partials Test) na rozlíšenie medzi relatívnymi maximami, relatívnymi minimami a sedlovými bodmi. Pripomeňme, že ak je funkcia f (x, y) diferencovateľná, potom (x 0, y 0) je kritickým bodom, ak. Pri D = f xx (x 0, y 0) f yy (x 0, y 0) - [f xy (x 0, y 0)] 2 je SPT nasledovné:

Mnoho aplikácií opísaných funkciami dvoch premenných je možné študovať čisto analytickými prostriedkami, ale počítačový softvér ako Maple môže byť podstatnou pomocou pri získavaní ďalších informácií alebo pri získavaní informácií, ktoré sa nedajú nájsť analyticky. V laboratóriu 3 ste na hľadanie kritických bodov a extrémov a použitie SPT použili nástroje Maple, ako sú diff ,olve, fsolve. V tomto laboratóriu podporíme použitie výkonnejších nástrojov Maple, ako je príkaz grad uvedený v Lab 3, v kombinácii s nástrojmi na vizualizáciu, ako sú plot a plot3d.

Ak chcete nájsť relatívne extrémy f (x, y) = - x 3 + 4 xy - 2 y 2 + 1, najskôr nájdite kritické body určením, kde f x (x, y) = f y (x, y) = 0. Analytické riešenie týchto rovníc vedie k dvom kritickým bodom (0,0) a (4 / 3,4 / 3). Použitím SPT na kritické body zistíte, že (0,0) zodpovedá sedlovému bodu f, zatiaľ čo f má relatívne maximum na (4 / 3,4 / 3).

Nasledujúce príkazy vykonávajú postup riešenia v Maple:

Ak chcete vidieť, čo to je, môžete napísať

Keď ste program Maple použili na analytické vyriešenie problému, môžete ho použiť aj na zobrazenie f -povrchu pomocou plot3d, napr. Pomocou myši môžete upraviť uhol pohľadu a získať tak prehľad o tom, ako f -povrch vyzerá . Pre tento povrch by však bolo veľmi ťažké určiť kritické body vizuálnou kontrolou, a preto sú stále potrebné analytické nástroje.

Armádna spoločnosť pracuje v teréne s podpovrchovým radarom na detekcii malých protipechotných mín, ktoré sú obmedzené medzinárodným dohovorom. Aktívnym prvkom radaru je obdĺžnikové plošné anténne pole, ktoré sa používa na preskúmanie oblasti zeme (rovina xy) na určenie informatívneho signálu S = f (x, y). Ak nie sú míny, radar nedostane informačný signál a S = f (x, y) = 0. Ak sú prítomné bane, signálna funkcia S má maximum v tých bodoch (x 0, y 0), ktoré určujú xy-súradnice geometrických stredov baní.

Predpokladajme, že pole bolo aplikované na podozrivú oblasť zeme a radar dostane signál, ktorý je po príslušnej elektronickej manipulácii s pomerom signálu k šumu reprezentovaný
S = (x 2 + 4 y 2) e (1- x 2 - y 2), kde x a y sú obdĺžnikové súradnice oblasti pokrytej poľom (v jednotkách metrov). Koľko mín sa nájde v tejto aplikácii? Aká je vzdialenosť medzi baňami, teda medzi ich stredmi?

Extréma funkcií viacerých premenných je dôležitá v mnohých aplikáciách v ekonomike a podnikaní. Obzvlášť dôležité premenné sú zisk, výnosy a náklady. Miera ich zmien (t. J. Derivátov) vzhľadom na počet vyrobených alebo predaných jednotiek sa označuje ako hraničný zisk, výnos a cena. Tie sú ústredné pre mnoho aplikácií zahŕňajúcich extrémy. Napríklad na zistenie maximálneho zisku sa analyzuje zisková funkcia P = R - C. Vo vzorci je R = xp celkový výnos z predaja x jednotiek, kde p je cena za jednotku a C sú celkové náklady na výrobu x jednotiek. Diferenciácia funkcie zisku sa vykonáva vzhľadom na x. Za predpokladu, že sa výsledok diferenciácie rovná nule, je možné vidieť, že maximálny zisk nastane, keď sa hraničný výnos (tj. DR / dx) rovná hraničným nákladom (tj. DC / dx).

Praktické problémy so ziskom zvyčajne zahŕňajú niekoľko modelov jedného typu produktu, pričom ceny za jednotku a zisky za jednotku sa líšia od modelu k modelu a dopyt po každom modeli závisí od ceny ostatných modelov a jeho vlastnej ceny, atď.

Zisk získaný výrobou x ​​jednotiek produktu A a y jednotiek produktu B sa aproximuje modelom

P (x, y) = 8 x + 10 y - (0,001) (x 2 + xy + y 2) - 10 000.

Na nájdenie úrovne produkcie, ktorá produkuje maximálny zisk, sú čiastkové derivácie funkcie zisku nastavené na hodnotu 0 a výsledná sústava dvoch rovníc je riešená vzhľadom na x a y, čím vznikne x = 2 000 a y = 4 000. SPT ukazuje, že P xx & lt0 a P xx Pyy - P xy 2 & gt0, čo znamená, že získaná úroveň výroby (x = 2 000 jednotiek, y = 4 000 jednotiek) skutočne prináša maximálny zisk. Postup riešenia pomocou programu Maple je podobný ako v probléme 1.

C 1 = 0,002 x 1 2 + 4 x 1 + 500,

a náklady na výrobu x 2 čipov v Kuala-Lumpur (Malajzia) sú

C 2 = 0,005 x 2 2 + 4 x 2 + 275.

Kórejský výrobca počítačov ich kupuje za 150 dolárov za čip. Nájdite množstvo, ktoré by sa malo vyrobiť v každej ázijskej pobočke, aby ste maximalizovali zisk, ak je to v súlade s marketingovým oddelením spoločnosti Intel popísané výrazom:

P (x 1, x 2) = 150 (x 1 + x 2) - C1 - C2.

Získajte odpoveď najskôr analytickými prostriedkami a potom ju potvrďte vizualizáciou funkcie P (x, y) a určením extrémnej hodnoty.

2 Opakujte rovnaký postup ako v časti a, tentoraz však použijeme čísla, ktoré sú o niečo realistickejšie. Vieme tiež, že maximálny počet čipov, ktoré môže druhý závod odoslať do výrobného závodu v Kórei, je 11 000 čipov.

C 1 = 0,001998 x 1 2 + 3,813 x 1 + 531,6

C 2 = 0,005698 x 2 2 + 4,045 x 2 + 349,6

P (x 1, x 2) = 148,6 (x 1 + x 2) - C1 - C2

Mnoho aplikácií zahŕňa matematické modely, ktoré popisujú fenomén záujmu. Tieto modely sú často založené na nejakej matematickej forme. Napríklad závislá premenná y môže byť modelovaná funkciou y = f (x) určitého typu, ktorou môže byť rovná čiara, polynóm vyššieho rádu, exponenciálna funkcia alebo iný špecifikovaný typ funkcie. Pri konštrukcii modelu predstavujúceho konkrétny jav sú cieľmi jednoduchosť a presnosť. Tieto ciele sú pomerne často v rozpore s výberom typu funkcie, ktorá sa má v modeli použiť.

Typy funkcií používané v modeloch často zahŕňajú parametre, ktoré sú určené tak, aby funkcia modelu optimálnym spôsobom „vyhovovala“ pozorovaným údajom. Obzvlášť populárnym spôsobom, ako určiť parametre na „prispôsobenie“ údajov, je metóda najmenších štvorcov. V tomto prípade, ak y = f (x) je funkcia modelu a je to súbor pozorovaných údajov, potom miera „dobroty prispôsobenia“ je súčtom štvorcových zvyškov

Graficky môžeme S interpretovať ako súčet druhých mocnín vertikálnych vzdialeností medzi grafom f a danými bodmi v rovine. Čím menšie je S, tým lepšie sedí. Ak je model dokonalý, potom S = 0. S najväčšou pravdepodobnosťou to tak nie je, takže sa uspokojíte s výberom parametrov, ktoré minimalizujú S.

Azda najjednoduchšou funkciou modelu je lineárny model y = f (x) = mx + b. V tomto prípade,

Keď sú m a b zvolené na minimalizáciu tohto S, výsledný lineárny model sa nazýva čiara regresie najmenších štvorcov (LSR). Je ľahké vidieť (a je to znázornené v texte na s. 801), že S má práve jeden kritický bod, ktorý dáva

a toto m a b minimalizuje S. kvadratický model y = f (x) = os 2 + bx + c, s a, b a c zvolenými na minimalizáciu

Nie je ťažké preukázať, že tento S má tiež presne jeden kritický bod daný bodmi a, b a c, ktorý rieši lineárny systém

Výsledná krivka sa nazýva LSR kvadratická krivka. ->

Poznámky: Historicky je metóda najmenších štvorcov populárna, pretože je často (ak nie vždy) ľahko implementovateľná, často (ak nie vždy) poskytuje uspokojivé výsledky a má v niektorých kontextoch obzvlášť príťažlivé interpretácie, najmä regresiu a maximálnu pravdepodobnosť. odhad v štatistike. Je možné ukázať, že ak sa parametre, ktoré určujú funkciu modelu, objavujú vo funkcii lineárne, ako v lineárnych a kvadratických modeloch vyššie, potom, ako je uvedené vyššie, možno parametre, ktoré minimalizujú súčet štvorcových zvyškov, získať riešením určitého lineárneho systému , čo je zvyčajne pomerne ľahká úloha. Často existuje pokušenie modelovať najmenšími štvorcami, aby ste prešli na čoraz komplikovanejšie funkcie modelu, aby ste dosiahli čoraz lepšie prispôsobenie, merané súčtom štvorcových zvyškov. Napríklad kvadratický model poskytne menší súčet štvorcových zvyškov ako lineárny model, kubický model dá ešte menší súčet štvorcových zvyškov atď. Okrem zvýšenia zložitosti modelu však tento druh vecí môže viesť k jemným nebezpečenstvám, napríklad numerické metódy riešenia lineárnych systémov sa môžu stať nepresnými. Najmä ak sa má model použiť na extrapoláciu, t. J. Predikciu nad rozsah pozorovaných dátových hodnôt, potom sú komplikovanejšie modely často oveľa menej spoľahlivé ako jednoduchšie.

Pomocou programu Maple je možné priamo vykonať postup riešenia založený na vyššie uvedených rovniciach.

Najskôr musíme údaje zadať do vhodných polí.

Teraz vytvorte funkciu, ktorou je linka LSR.

Nakoniec nakreslíme grafy (x, y) -dát spolu s riadkom LSR. Najskôr vložte (x, y) -dáta vo vhodnej forme

Teraz vykreslite údaje spolu s riadkom LSR (nasledujúci text vyzerá na obrazovke oveľa lepšie).

Poznámka: Nezabudnite použiť pomocníka Maple, aby ste sa dozvedeli oveľa viac o týchto príkazoch a mnoho ďalších možností prispôsobenia grafov atď.


2.E: Funkcie viacerých premenných (úlohy) - matematika

Veta o strednej hodnote pre reálne ocenené funkcie uvádza, že ak je otvorená množina obsahuje úsečku Ľ spájanie bodov a a b, a f : U & rarr je teda diferencovateľný

na nejaký bod c &je v Ľ (Veta II.3.4). Videli sme (cvičenie II.1.12), že tento dôležitý výsledok sa nezovšeobecňuje na funkcie s vektorovou hodnotou. Avšak v mnohých aplikáciách vety o strednej hodnote je skutočne potrebný iba numerický odhad

ktorá bezprostredne vyplýva z (1) a Cauchy-Schwarzovej nerovnosti (ak f je takže maximum vpravo existuje). Našťastie sa nerovnosť (2) zovšeobecňuje na prípad mapovania z n do m a uvidíme, že tento výsledok, veta o premennej strednej hodnote, zohráva kľúčovú úlohu pri zovšeobecňovaní výsledkov časti 1 na vyššie dimenzie.

Pripomíname z časti I.3, že a norma na vektorovom priestore V. je funkcia so skutočnou hodnotou x & rarr X také, že X > 0 ak X & ne 0, sekera = a & middot Xa pre všetkých X,r &je v V. a & isin . Vzhľadom na normu dňa V., tým, že ples polomeru r s ohľadom na túto normu so stredom na a &je v V., sa myslí súprava .

Doteraz sme používali hlavne euklidovskú normu

na n . V tejto časti bude pohodlnejšie používať „sup normu“.

ktorý bol uvedený v príklade 3 oddielu I.3. „Jednotková guľa“ vo vzťahu k norme sup je kocka , ktorá je symetrická vzhľadom na súradnicové roviny v n , a má bod (1, 1, ..., 1) ako jeden zo svojich vrcholov. Kocka sa bude označovať ako „kocka polomeru r”So stredom na 0. Ak to nie je potrebné z dôvodu prehľadnosti, rozmerový horný index odstránime.

Uvidíme v časti VI. 1, že akékoľvek dve normy n sú rovnocenné v tom zmysle, že každá guľa s ohľadom na jednu z noriem obsahuje guľu s ohľadom na druhú sústredenú v rovnakom bode. Je to samozrejme „zrejmé“ pre euklidovskú normu a normu sup (obr. 3.5). Preto nie je rozdiel, ktorú normu použijeme pri definovaní limitov, kontinuity atď. (Prečo?)

Budeme tiež potrebovať koncept normy lineárneho mapovania Ľ : n & rarr m . The norma Ľ z Ľ je definované

To v súčasnosti ukážeme je skutočne normou vektorového priestoru mn všetkých lineárnych zobrazení z n do m & jediná vlastnosť normy, ktorá nie je zrejmá, je nerovnosť trojuholníka.

Videli sme (v časti I.7), že každé lineárne mapovanie je spojité. Táto skutočnosť spolu s tým, že funkcia X & rarr X0 je zjavne nepretržitý m , znamená, že zložený X & rarr Ľ(X)0 je na kompaktnej súprave spojitá & partC1 n , teda maximálna hodnota Ľ existuje. Všimnite si, že ak potom , tak

Toto je polovica z nasledujúceho výsledku, ktorý poskytuje dôležitú interpretáciu výrazu />Ľ />.

Návrh 2.1 Ak Ľ : n & rarr m je teda lineárne mapovanie Ľ je najmenší počet M také, že pre všetkých .

DÔKAZ Zostáva iba preukázať, že ak pre všetkých potom . Toto ale bezprostredne vyplýva zo skutočnosti, že nerovnosť znižuje na , zatiaľ čo Ľ = max Ľ(X)0 pre .

V našom dôkaze o teórii strednej hodnoty budeme potrebovať elementárny fakt, že norma komponentovej funkcie lineárneho mapovania Ľ nie je väčší ako norma />Ľ /> z Ľ sám.

Lema 2.2 Ak Ľ = (Ľ1, . . . , Ľm): n & rarr m je teda lineárny pre každý i = 1, . . . , m.

DÔKAZ Let X0 byť bodom & partC1 pri ktorom />Ľi(X) /> je maximálna. Potom

Ďalej dáme vzorec pre skutočný výpočet normy daného lineárneho mapovania. Potrebujeme na to konkrétny koncept „normy“ matice. Ak A = (aij) je m & krát n maticu, definujeme jej norma />A /> podľa

Upozorňujeme, že z hľadiska „1-normy“ definovanej v n od

/>A /> je jednoducho maximum z 1-noriem vektorov riadkov A1, . . . , Am z A,

Vidieť, že toto je vlastne norma vektorového priestoru mn zo všetkých m & krát n matice, identifikujme sa mn s mn prirodzeným spôsobom:

Inými slovami, ak X1, . . . , Xm sú riadkové vektory m & krát n matrica X = (Xij), identifikujeme X s pointou

Touto notáciou chceme ukázať, že

definuje normu na mn . Toto však ľahko vyplýva z toho, že 1 je normou na n (Cvičenie 2.2). Najmä uspokojuje nerovnosť trojuholníka. Lopta s ohľadom na 1-normu je znázornená na obrázku 3.6 (pre prípad n = 2) lopta vzhľadom na vyššie uvedenú normu na mn je karteziánsky súčin produktu m také gule, každá v jednej n faktor.

Teraz ukážeme, že norma lineárneho mapovania sa rovná norme jeho matice. Napríklad ak Ľ : 3 & rarr 3 je definované symbolom Ľ(X, r, z) = (X & mínus 3z, 2x & mínus y & mínus 2z, x + r), potom Ľ = max <4, 5, 2> = 5.

Veta 2.3 Poďme A = (aij) byť maticou lineárneho mapovania Ľ : n & rarr m , to znamená, Ľ(X) = AX pre všetkých . Potom

DÔKAZ , súradnice (r1, . . . , rm) z r = Ľ(X) sú definované výrazom

Nech />rk /> byť najväčšou z absolútnych hodnôt týchto súradníc r. Potom

Teda pre všetkých , takže z tvrdenia 2.1 vyplýva, že .

Aby som to dokázal , postačuje na vystavenie bodu pre ktoré . Predpokladajme, že kriadok vektor Ak = (ak1 . . . akn) je ten, ktorého 1-norma je najväčšia, takže

Pre každý j = 1, . . . , n, definovať & epsilonj = & plusmn1 od akj = & epsilonjakj. Ak X = (& epsilon1, & epsilon2, . . . , & epsilonn), potom X0 = 1 a

tak podľa želania.

Let & Phi: mn & rarr mn byť prirodzeným izomorfizmom z vektorového priestoru všetkých lineárnych zobrazení n & rarr m do vektorového priestoru všetkých m & krát n matice a Phi (Ľ) je maticou . Potom veta 2.3 hovorí jednoducho, že izomorfizmus a Phi sú „zachovávajúce normy“. Odkedy sme to videli na mn uspokojuje nerovnosť trojuholníka, ľahko z toho vyplýva, že to isté platí o na mn. Teda je skutočne norma na mn.

Odteraz identifikujeme lineárny mapovací priestor mn a maticový priestor mn s euklidovským priestorom mn , identifikáciou každého lineárneho mapovania s jeho maticou a každej m & krát n matice s bodom mn (ako je uvedené vyššie). Inými slovami, môžeme považovať ktorýkoľvek zo symbolov mn ako mn ako označujúci mn s normou

kde .

Ak f : n & rarr m je potom diferencovateľné mapovanie a , takže môžeme brať ohľad f& prime ako mapovací formulár n do mn,

a podobne df ako mapovanie z n do mn. Pripomeňme si to f : n & rarr m je o ak a len vtedy, ak prvé parciálne derivácie komponentu fungujú f všetky existujú v susedstve a a sú spojité o a. Nasledujúci výsledok je okamžitým dôsledkom tejto definície.

Návrh 2.4 Diferencovateľné mapovanie f : n & rarr m je o keby a len keby f&hlavný : n & rarr mn je spojitá na a.

Konečne sme pripravení na vetu o strednej hodnote.

Veta 2.5 Poďme f : U & rarr m byť a mapovanie, kde je susedstvom úsečky Ľ s koncovými bodmi a a b. Potom

DÔKAZ Let h = b & mínus a, a definovať krivka & gama : [0, 1] & rarr m od

Ak f 1 , . . . , f m sú komponenty funkcií fpotom & gamai(t) = f i (a + th) je ith zložková funkcia & gamaa

Ak je maximálna (v absolútnej hodnote) súradnica f(b) & mínus f(a) je kteda ten

Ak U je konvexná otvorená množina (tj. každý úsečka spájajúca dva body z U leží v U) a f : U & rarr m je a mapovanie také, že pre každý X &je v U, potom to hovorí veta o strednej hodnote

ak . Hovoriac veľmi zhruba, toto hovorí f(a + h) sa rovná približne konštante f(a) kedy h0 je veľmi malý. Nasledujúci dôležitý dôsledok vety o strednej hodnote hovorí (s & lambda = dfa), že skutočný rozdiel & Deltafa(h) = f(a + h) & mínus f(a) sa približne rovná lineárnemu rozdielu dfa(h) kedy h je veľmi malý.

Dodatok 2.6 Poďme f : U & rarr m byť a mapovanie, kde je susedstvom linky Ľ s koncovými bodmi a a a + h. Ak & lambda : n & rarr m je teda lineárne mapovanie

PROOF Použiť vetu o strednej hodnote na mapovanie g : U & rarr m definované g(X) = f(X) & mínus & lambda(X) s tým, že dfX = dfX & mínus & lambda pretože d & lambdaX = & lambda (príkladom 3 v oddiele II.2), a to

Ako typickú aplikáciu dodatku 2.6 môžeme v prípade preukázať m = n že ak U obsahuje kocku C.r polomeru r so stredom na 0, a dfX je blízko (v norme) k mapovaniu identity Ja : n & rarr n pre všetkých , potom obrázok pod fkocky C.r je obsiahnutá v o niečo väčšej kocke (obr. 3.7). Zdá sa to dosť prirodzené & mdashif df je teda dostatočne blízka identite f by tiež malo byť, takže žiadny bod by sa nemal posúvať veľmi ďaleko.

Dodatok 2.7 Poďme U byť otvoreným súborom v n obsahujúca kocku C.ra f : U & rarr n a mapovanie také, že f(0) = 0 a df0 = Ja. Ak

pre všetkých potom

DÔKAZ Aplikácia Dodatku 2.6 s a = 0, & lambda = df0 = Jaa , získame

ale nerovnosťou trojuholníka, takže z toho vyplýva

Nasledujúci dôsledok je o niečo hlbšou aplikáciou vety o strednej hodnote. Zároveň ilustruje všeobecný jav, ktorý je základom prístupu lineárneho aproximácie k počtu a skutočnosti, že jednoduché vlastnosti diferenciálu funkcie často odrážajú hlboké vlastnosti samotnej funkcie. Jedná sa o to, že otázka, či je lineárne mapovanie individuálne, je dosť jednoduchá záležitosť, zatiaľ čo pre ľubovoľné dané zmapovanie tohto môže byť dosť komplikovaná otázka.

Dodatok 2.8 Poďme f : n & rarr m byť o a. Ak dfa : n & rarr m je teda jedna k jednej f sama osebe je jedna k jednej v nejakej štvrti a.

DÔKAZ Let m byť minimálna hodnota dfa(X)0 pre potom m > 0 pretože dfa je jedna k jednej [inak by to malo zmysel x & ne 0 s dfa(X) = 0]. Vyberte kladné číslo & epsilon 0 také, že

Ak X a r sú akékoľvek dva odlišné body susedstva

potom aplikácia Corollary 2.6, s & lambda = dfa a Ľ úsečka od X do y, výnosy

Nerovnosť trojuholníka potom dáva

Teda f(X) & ne f(r) ak x & ne y.

pozri Dodatok 2.8 má zaujímavý dôsledok, že ak f : n & rarr n je s dfa jeden na jedného (teda f je 1 a mínus 1 v susedstve a), A keď f je „mierne narušený“ pridaním „malého“ výrazu g : n & rarr n , potom nové mapovanie h = f + g je stále v pomere 1: 1 a. Cvičenie 2.9 pre presné vyjadrenie tohto výsledku.

V tejto časti sme sa zaoberali vetou o strednej hodnote a jej následkami z hľadiska sup norm n a m a výsledná norma

To bude stačiť na naše účely. Avšak ľubovoľné normy m na m a n na n možno použiť vo vete o strednej hodnote, ak použijeme normu

na mn, kde D n je jednotková lopta v n s ohľadom na normu n. Záverom vety o strednej hodnote je potom očakávaná nerovnosť

V cvičeniach 2.5 a 2.6 uvádzame alternatívny dôkaz vety o strednej hodnote, ktorý ju ustanovuje v tejto všeobecnosti.

2.1Poďme m a n byť normami m a n resp. Dokážte to

definuje normu na m + n . Podobne to dokážte (x, r)1 = Xm + rn definuje normu na m + n .

2.2Ukáž to , ako je definované v ekv. (3), je normou pre vesmír mn z m & krát n matice.

2.3Dané , označujú Ľa lineárna funkcia

Zvážte normy z Ľa s ohľadom na normu sup 0 a 1-norma 1 na n , definované ako v poslednom odseku tejto časti. Ukáž to Ľa1 = a0 zatiaľ čo Ľa0 = a1.

2.4Poďme Ľ : n & rarr m byť lineárne mapovanie s maticou (aij). Ak použijeme 1-normu na n a sup norma na m , ukazujú, že zodpovedajúca norma na mn je

teda sup normu na mn .

2.5Poďme & gama : [a, b] & rarr m byť a mapovanie s pre všetkých , byť svojvoľnou normou m . Dokážte to

Obrys: Dané & epsilon > 0, označiť S& epsilon množina bodov také, že

pre všetkých . Poďme c = lub S& epsilon. Ak c 0 taký, že

Z toho vyvodiť záver rozpor. Preto c = b, tak

2.6Použite predchádzajúce cvičenie na stanovenie vety o strednej hodnote s ohľadom na ľubovoľné normy o n a m . Najmä dané f : U & rarr m kde U je susedstvo v n úsečky Ľ od a do a + h, aplikujte Cvičenie 2.5 s & gama(t) = f(a + th).

2.7(a) Ukážte, že lineárne mapovanie T : n & rarr m je one-to-one vtedy a len vtedy je pozitívny.

(b) Záverom je, že lineárne mapovanie T : n & rarr m je one-to-one, len ak existuje a > 0 také, že pre všetkých .

2.8Poďme T: n & rarr m byť lineárne mapovanie jedna k jednej s pre všetkých , kde a > 0. Ak , Ukáž to pre všetkých , tak S je tiež one-to-one. Teda množina všetkých lineárnych mapovaní jedna k jednej n & rarr m tvorí otvorenú podmnožinu mn mn .

2.9Použite Dodatok 2.8 a predchádzajúce cvičenie, aby ste preukázali nasledujúce. Poďme f : n & rarr n byť a mapovanie také, že dfa : n & rarr n je jedna k jednej, takže f je dvojstranný v susedstve a. Potom existuje & epsilon > 0 také, že ak g : n & rarr n je a mapovanie s g(a) = 0 a dga n & rarr n , definované h(X) = f(X) + g(X), je tiež priamym účastníkom v susedstve a.

Ak ste držiteľom autorských práv na akýkoľvek materiál obsiahnutý na našom webe a chcete ho odstrániť, požiadajte o schválenie nášho správcu stránky.


Vitajte!

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


Možnosti nákupu

Študenti, zaviazali sme sa, že vám poskytneme hodnotné riešenia kurzov podporené vynikajúcimi službami a tímom, ktorý sa stará o váš úspech. Možnosti a ceny nájdete na kartách nižšie. Nezabudnite, že prijímame finančnú pomoc a štipendijné prostriedky vo forme kreditných alebo debetných kariet.

Tlač / elektronická kniha

Tlačená verzia

ISBN10: 007054235X | ISBN13: 9780070542358

Odhadované množstvo času, ktoré bude tento produkt na trhu, je založené na mnohých faktoroch, vrátane vstupov fakulty do návrhu výučby a cyklu predchádzajúcich revízií a aktualizácií akademického výskumu, ktoré zvyčajne vedú k cyklu revízií v rozmedzí od dvoch do štyroch rokov. rokov pre tento výrobok. Cena sa môže kedykoľvek zmeniť.

Odhadované množstvo času, ktoré bude tento produkt na trhu, je založené na mnohých faktoroch, vrátane vstupov fakulty do návrhu výučby a cyklu predchádzajúcich revízií a aktualizácií akademického výskumu, ktoré zvyčajne vedú k cyklu revízií v rozmedzí od dvoch do štyroch rokov. rokov pre tento výrobok. Cena sa môže kedykoľvek zmeniť.


Nepovinná ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA

Zašlite mi e-mail na adresu [email protected], ak si chcete vziať finále do utorka o 17:00.

Ak sa rozhodnete pre finále, prichádzate o všetky svoje predchádzajúce známky.

-> Čas: utorok, piatok, 12:00 - 13:50
Izba: Darrin 232
Inštruktor: Gregor Kovacic
Kancelária: 420 Amos Eaton
Telefón: 276-6908
E-mail: kovacg at rpi dot edu
Úradné hodiny: Kliknite sem.

Témy

Číselné a funkčné rady: Taylorov vzorec a Taylorova séria, Lagrangeov a Cauchyov zvyšok, Taylorovo rozšírenie elementárnych funkcií, neurčité výrazy a L'Hospitalovo pravidlo, numerické rady, Cauchyho kritérium, absolútna a podmienená konvergencia, sčítanie a násobenie radov, funkčné postupnosti a rady, bodové a jednotné konvergencia, Weierstrassov test, integrácia a diferenciácia funkčných radov, výkonové rady a polomer konvergencie, komplexné exponenciály. Tento rok budú na túto tému zadané iba domáce úlohy, pretože boli vyučované v rámci Analýzy I.

Topológia metrického priestoru: Metrické priestory, otvorené a uzavreté množiny, Cauchyove sekvencie a úplnosť, oddeliteľné priestory, kompaktné a spojené množiny, kompaktnosť a limitné body nekonečných podmnožín a sekvencií, Heine-Borel a Bolzano-Weierstrassove vety, spojité obrazy a predobrazy rôznych typy množín, ekvikontinuita a kompaktnosť v priestore spojitých funkcií, Arzela-Ascolliho veta, normované a Banachove priestory, veta o kontrakčnom mapovaní, existencia a jedinečnosť riešení bežných diferenciálnych rovníc.

Trigonometrické rady: Periodické funkcie, ortogonálne a ortonormálne množiny funkcií, ortogonálnosť trigonometrických funkcií, Fourierove rady a ich konvergencie pre spojité funkcie po častiach, diferenciácia a integrácia Fourierových radov, Gibbsov fenomén, Fourierove rady a stredná-štvorcová konvergencia, riešenia klasických parciálne diferenciálne rovnice Fourierovou radou.

Aproximácia spojitých funkcií: Jednotná aproximácia pomocou polynómov, Weierstrassova veta a oddeliteľnosť priestoru spojitých funkcií na kompaktnom intervale, aproximácia derivácií, Stone-Weierstrassova veta.

Funkcie viacerých premenných: Prehľad lineárnej algebry, smerových derivácií, parciálnych derivácií a celkového diferenciálu, gradientu, reťazového pravidla, rovnosti zmiešaných parciálnych derivácií, Taylorova séria v niekoľkých dimenziách, veta o strednej hodnote, extrémy, vety o inverzných a implicitných funkciách, multi- dimenzionálne povrchy a ich reprezentácie, podmienené extrémy a Lagrangeove multiplikátory.

Multi-variabilná integrácia: Riemannov integrál vo viacerých dimenziách, integrovateľné funkcie, Fubiniho veta, integrály s parametrami, kompozitné zobrazenia, oddiely jednoty, zmena premenných, nesprávne viacnásobné integrály, Fourierov integrál.

Integrácia na rozdeľovače: Diferenciálne formy a ich deriváty, Poincarova lema, Stokesova veta pre obdĺžnik, rozdeľovače a mapy, orientácia a hranica, Stokesova veta o rozdeľovačoch, priamkové integrály, povrchové integrály, objemové integrály, klasická vektorová analýza, Greenov vzorec, Gaussove a Stokesove vety, aplikácie v elektromagnetizme.
Kliknite sem, aby ste našli alternatívnu a intuitívnejšiu prezentáciu integrálov diferenciálnych foriem.

Denné zostavovanie poznámok je uložené tu.

Poznámky o matematickej analýze I nájdete tu.

Učebnice

T. M. Apostol, Calculus, Vol. 1: Jeden premenný počet s úvodom do lineárnej algebryWiley.
T. M. Apostol, Calculus, Vol. 2: Premenlivý počet a lineárna algebra s aplikáciamiWiley.
T. M. Apostol, Matematická analýza, druhé vydanie, Addison-Wesley.
V. I. Arnold, Matematické metódy klasickej mechaniky, Springer-Verlag.
A. Browder, Matematická analýza: Úvod, Springer-Verlag.
R. C. Buck, Pokročilý počet, Waveland.
R. Courant, Diferenciálny a integrálny počet, 2 obj., Springer-Verlag.
R. Courant a F. John, Úvod do kalkulu a analýzy, 2 zv., Springer-Verlag.
B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko a S. P. Novikov, Moderná geometria - Metódy a aplikácie: Časť I: Geometria povrchov, transformačných skupín a polí, Springer-Verlag.
B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko a S. P. Novikov, Moderná geometria. Metódy a aplikácie: Časť 2: Geometria a topológia rozdeľovačov , Springer-Verlag.
H. Flámsko, Diferenciálne formy s aplikáciami v prírodných vedách, Dover.
W. Fleming, Funkcie niekoľkých premenných, Springer-Verlag.
J. D. Jackson, Klasická elektrodynamikaWiley.
O. D. Kellogg, Základy teórie potenciálu, Dover.
Slang, Pregraduálna analýza, Springer-Verlag.
R. Larson, R. P. Hostetler a B. H. Edwards, Kalkul: Skoré transcendentné funkcie, Houghton-Mifflin.
D. Lovelock a H. Rund, Tenzory, diferenciálne formy a variačné princípy, Dover.
J. E. Marsden a M. J. Hoffman, Elementárna klasická analýza, W. H. Freeman.
J. C. Maxwell, Pojednanie o elektrine a magnetizme, Dover.
J. Munkres, Analýza na rozdeľovačoch, Westview.
M. Rosenlicht, Úvod do analýzy, Dover.
W. Rudin, Princípy matematickej analýzy, McGraw-Hill.
G. E. Shilov, Elementárna reálna a komplexná analýza, Dover.
M. Spivak, Kalkul, Publikovať alebo zahynúť.
M. Spivak, Kalkul na rozdeľovači: Moderný prístup k klasickým vetám pokročilého počtu, Harper-Collins.
J. Stewart, Calculus: Early Transcendental Functions, 2 Vols., 5th Ed., Brooks-Cole.
R. S. Strichartz, Spôsob analýzy, Jones a Bartlett.
E. T. Whittaker a G. N. Watson, Kurz modernej analýzy, Cambridge.
V. R. Zorich, Matematická analýza I, Springer-Verlag.
V. R. Zorich, Matematická analýza II, Springer-Verlag.

Nasledujúce učebnice série Schaum Outline Series obsahujú cvičenia týkajúce sa tohto kurzu:

M. R. Spiegel, Schaumov prehľad Fourierovej analýzy s aplikáciami na riešenie problémov s hraničnými hodnotami, McGraw-Hill.
M. R. Spiegel, Schaumov prehľad vektorovej analýzy, McGraw-Hill.
R. C. Wrede a M. R. Spiegel, Schaum's Outline of Advanced Calculus, druhé vydanie, McGraw-Hill.


Matematická analýza

Tento text predstavuje základné pojmy, štruktúry a výsledky diferenciálneho a integrálneho počtu pre funkcie viacerých premenných. Prezentácia je pútavá a motivuje čitateľa množstvom príkladov, poznámok, ilustrácií a cvičení.

Matematická analýza: Úvod do funkcií viacerých premenných možno použiť v učebni pre pokročilých študentov postgraduálneho a postgraduálneho štúdia alebo ako samoštúdium. Je to tiež cenný odkaz pre vedcov vo väčšine matematických disciplín. Príloha zdôrazňuje matematikov a vedcov, ktorí významne prispeli k rozvoju teórií tohto predmetu.

Medzi ďalšie knihy, ktoré autori nedávno vydali, patria: Matematická analýza: Funkcie jednej premennej, Matematická analýza: Aproximácia a diskrétne procesy a Matematická analýza: Lineárne a metrické štruktúry a spojitosť, ktoré všetky poskytujú čitateľovi pevný základ v dnešnej dobe. analýza.

Recenzie predchádzajúcich dielov v matematickej analýze:

Prezentácia teórie je prehľadná, všetky vety majú dôkladné dôkazy a každá kapitola sa končí zhrnutím výsledkov a cvičenia s rôznymi požiadavkami. . . . Táto kniha je vynikajúco vhodná pre študentov matematiky, fyziky, techniky, informatiky a všetkých študentov technologických a vedeckých fakúlt. —Analytický časopis a jeho aplikácie

Expozícia vyžaduje iba solídnu znalosť počtu a funkcií jednej premennej. Kľúčovým prvkom tohto živého, ale dôsledného a systematického zaobchádzania sú historické správy o myšlienkach a metódach predmetu. Myšlienky v matematike sa rozvíjajú v kultúrnych, historických a ekonomických kontextoch, takže autori stručne vysvetlili tieto aspekty a použili veľké množstvo krásnych ilustrácií. —Zentralblatt MATH

„Toto je komplexný úvod do štúdia funkcií niekoľkých premenných, ktorý zahŕňa niekoľko oblastí, ktoré bežne nie sú obsiahnuté v porovnateľných učebniciach.… Aktuálna kniha má všeobecne širší rozsah…. Je tu obrovské množstvo matematiky, prezentovanej opatrne a štýlovo ... Liečba holomorfných funkcií je tu pekne vykonaná .... Nakoniec zistím, že tento text by bol príjemným zdrojom pre väčšinu jeho jednotlivých tém ... ““ (William J. Satzer, The Mathematical Association of America, august, 2009)

„Toto je klasická učebnica funkcií niekoľkých premenných. Na 348 stranách pokrýva obsah postgraduálneho kurzu matematickej analýzy venovaného priestorom vyšších dimenzií. ... Učebnica je vhodná pre študentov matematiky, fyziky, techniky a technológií, ako aj pre vedeckých pracovníkov. “ (Vladimír Janiš, Zentralblatt MATH, roč. 1177, 2010)

"Toto je súčasť zosilňovacieho projektu autorov ..." Aplikácie a príklady obsiahnuté v knihe ju robia atraktívnejšou. Na konci každej kapitoly sú tiež cvičenia. … Poskytne čitateľovi pomerne úplný prehľad základných výsledkov matematickej analýzy a aplikácií, vrátane integrácie Lebesgueovej v Rn a komplexnej analýzy jednej premennej. ... môžu byť použité na kurzy reálnej alebo komplexnej analýzy a ich aplikácií. “ (Tiberiu Trif, Studia Universitatis Babes-Bolyai, Mathematica, zväzok LV (4), december 2010)

„Toto je učebnica o analýze funkcií viacerých reálnych premenných a funkcií jednej komplexnej premennej. ... Kniha je stručná a pekne napísaná a môže slúžiť ako zdroj (postgraduálnych) kurzov v uvedených oblastiach, ako aj učebnica pre študentov a príručka pre pracujúceho matematika. “ (R. Steinbauer, Monatshefte für Mathematik, roč. 165 (3-4), marec 2012)


C Cvičenia z programovania, prax, riešenie: Funkcia

1. Napíšte program do jazyka C a zobrazte jednoduchú štruktúru funkcie. Prejdite do editora
Očakávaný výstup :

2. Napíš program do jazyka C a pomocou funkcie nájdeme štvorec ľubovoľného čísla. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte ľubovoľné číslo pre štvorec: 20
Očakávaný výstup :

3. Napíšte program do C a zamieňajte dve čísla pomocou funkcie. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte prvé číslo: 2
Zadajte 2. číslo: 4
Očakávaný výstup :

4. Napíšte program do jazyka C a pomocou funkcie skontrolujte, či je dané číslo párne alebo nepárne. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte ľubovoľné číslo: 5
Očakávaný výstup :

5. Napíš program do jazyka C a pomocou tejto funkcie vyhľadaj súčet sérií 1! / 1 + 2! / 2 + 3! / 3 + 4! / 4 + 5! / 5. Prejdite do editora
Očakávaný výstup :

6. Napíš program do jazyka C, ktorý pomocou funkcie prevedie desatinné číslo na binárne. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte akékoľvek desatinné číslo: 65
Očakávaný výstup :

7. Napíš program do jazyka C a pomocou tejto funkcie skontroluj, či je číslo prvočíslo alebo nie. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte kladné číslo: 5
Očakávaný výstup :

8. Napíš program do jazyka C a pomocou funkcie získaš najväčší prvok poľa. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte počet prvkov, ktoré sa majú uložiť v poli: 5
Vložte 5 prvkov do poľa:
prvok - 0: 1
prvok - 1: 2
živel - 2: 3
živel - 3: 4
živel - 4: 5
Očakávaný výstup :

9. Napíš program do jazyka C a pomocou tejto funkcie skontroluj armstrong a dokonalé čísla. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte ľubovoľné číslo: 371
Očakávaný výstup :

10. Napíš program do jazyka C, ktorý pomocou tejto funkcie vytlačí všetky dokonalé čísla v danom rozsahu. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte najnižší limit vyhľadávania dokonalých čísel: 1
Zadajte najnižší limit vyhľadávania dokonalých čísel: 100
Očakávaný výstup :

11. Napíš program do jazyka C a skontroluje, či sú dva dané reťazce anagramom. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte prvý reťazec: náhradné
Zadajte druhý reťazec: hrušky
Očakávaný výstup :

12. Napíš C programovanie, aby si zistil maximum a minimum niektorých hodnôt pomocou funkcie, ktorá vráti pole. Prejdite do editora
Testovacie údaje:
Zadajte 5 hodnôt
25
11
35
65
20
Očakávaný výstup :

Editor programovacích kódov C:

Čaká nás viac !

Neodosielajte sem žiadne riešenie vyššie uvedených cvičení, ak chcete prispieť, choďte na príslušnú stránku s cvičením. 


Pozri si video: Procenta - výpočet základu (December 2021).