Články

5.7: Valcové a guľové súradnice


Karteziánsky súradnicový systém poskytuje priamy spôsob popisu polohy bodov v priestore. Rovnako sú sférické súradnice užitočné pri riešení problémov týkajúcich sa sfér, ako je napríklad zisťovanie objemu kupolovitých štruktúr.

Valcové súradnice

Keď sme rozšírili tradičný karteziánsky súradnicový systém z dvoch dimenzií na tri, jednoducho sme pridali novú os na modelovanie tretej dimenzie. Počnúc polárnymi súradnicami môžeme podľa rovnakého postupu vytvoriť nový trojrozmerný súradnicový systém, ktorý sa nazýva valcový súradnicový systém. Týmto spôsobom poskytujú valcové súradnice prirodzené rozšírenie polárnych súradníc do troch dimenzií.

Definícia: Valcový súradnicový systém

Vo valcovom súradnicovom systéme, bod v priestore (Obrázok ( PageIndex {1} )) je reprezentovaný usporiadanou trojkou ((r, θ, z) ), kde

  • ((r, θ) ) sú polárne súradnice priemetu bodu v rovine (xy )
  • (z ) je obvyklý (z ) -koordinovať v karteziánskom súradnicovom systéme

V rovine (xy ) - pravý trojuholník zobrazený na obrázku poskytuje kľúč na transformáciu medzi valcovými a karteziánskymi alebo obdĺžnikovými súradnicami.

Prepočet medzi valcovými a karteziánskymi súradnicami

Obdĺžnikové súradnice ((x, y, z) ) a valcové súradnice ((r, θ, z) ) bodu súvisia takto:

Tieto rovnice sa používajú na prevod z valcových súradníc na obdĺžnikové súradnice.

  • (x = r cos θ )
  • (y = r sin θ )
  • (z = z )

Tieto rovnice sa používajú na prevod z pravouhlých súradníc na súradnice valcové

  1. (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )
  2. ( tan θ = frac {y} {x} )
  3. (z = z )

Keď sme diskutovali o prevode z obdĺžnikových súradníc na polárne súradnice v dvoch dimenziách, treba poznamenať, že rovnica ( tan θ = frac {y} {x} ) má nekonečné množstvo riešení. Ak však obmedzíme (θ ) na hodnoty medzi (0 ) a (2π ), nájdeme jedinečné riešenie založené na kvadrante roviny (xy ) - v ktorej pôvodný bod ((x, y, z) ) sa nachádza. Upozorňujeme, že ak (x = 0 ), potom hodnota (θ ) je buď ​​( frac {π} {2}, frac {3π} {2}, ) alebo (0 ) , v závislosti od hodnoty (y ).

Všimnite si, že tieto rovnice sú odvodené od vlastností pravouhlých trojuholníkov. Aby ste to ľahko videli, zvážte bod (P ) v (xy ) - rovine s obdĺžnikovými súradnicami ((x, y, 0) ) a s valcovými súradnicami ((r, θ, 0) ), ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {2} ).

Uvažujme o rozdieloch medzi obdĺžnikovými a valcovými súradnicami pohľadom na povrchy generované, keď sú všetky súradnice konštantné. Ak je (c ) konštanta, potom v obdĺžnikových súradniciach sú povrchy tvaru (x = c, y = c, ) alebo (z = c ) všetky roviny. Roviny týchto foriem sú rovnobežné s (yz ) - rovinou, (xz ) - rovinou a (xy ) - rovinou. Keď prevedieme na valcové súradnice, súradnica (z ) - sa nezmení. Preto sú vo valcových súradniciach povrchy tvaru (z = c ) roviny rovnobežné s rovinou (xy ). Teraz sa zamyslime nad povrchmi formy (r = c ). Body na týchto povrchoch sú v pevnej vzdialenosti od osi (z ) -. Inými slovami, tieto povrchy sú zvislé kruhové valce. Nakoniec, čo (θ = c )? Body na povrchu tvaru (θ = c ) sú v pevnom uhle od osi (x ) -, čo nám dáva polrovinu, ktorá začína na osi (z ) - (obrázky ( PageIndex {3} ) a ( PageIndex {4} )).

Príklad ( PageIndex {1} ): Prepočet z valcových na obdĺžnikové súradnice

Zostrojte bod s valcovými súradnicami ((4 frac {2π} {3}, - 2) ) a jeho polohu vyjadrite v obdĺžnikových súradniciach.

Riešenie

Prepočet z valcových na obdĺžnikové súradnice si vyžaduje jednoduché použitie rovníc uvedených v poznámke:

[ begin {align *} x & = r cos θ = 4 cos frac {2π} {3} = - 2 [5pt] y & = r sin θ = 4 sin frac {2π} { 3} = 2 sqrt {3} [5pt] z & = - 2 end {zarovnať *}. ]

Bod s cylindrickými súradnicami ((4, frac {2π} {3}, - 2) ) má obdĺžnikové súradnice ((- 2,2 sqrt {3}, - 2) ) (obrázok ( PageIndex {5} )).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Bod (R ) má valcové súradnice ((5, frac {π} {6}, 4) ). Vynesie sa (R ) a opíše sa jeho poloha v priestore pomocou pravouhlých alebo karteziánskych súradníc.

Pomôcka

Prvé dve zložky sa zhodujú s polárnymi súradnicami bodu v rovine (xy ).

Odpoveď

Obdĺžnikové súradnice bodu sú (( frac {5 sqrt {3}} {2}, frac {5} {2}, 4). )

Ak sa zdá tento proces známy, má to svoje opodstatnenie. Je to presne ten istý proces, ktorý sme použili v úvode do parametrických rovníc a polárnych súradníc na prevod z polárnych súradníc na dvojrozmerné obdĺžnikové súradnice.

Príklad ( PageIndex {2} ): Prepočet z obdĺžnikových na valcové súradnice

Preveďte obdĺžnikové súradnice ((1, -3,5) ) na valcové súradnice.

Riešenie

Na preklad z obdĺžnikových do valcových súradníc použite druhú sadu rovníc z aplikácie Note:

[ begin {align *} r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 [5pt] r & = ± sqrt {1 ^ 2 + (- 3) ^ 2} [5pt] & = ± sqrt {10}. end {zarovnať *} ]

Vyberieme kladnú druhú odmocninu, teda (r = sqrt {10} ). Teraz použijeme vzorec na nájdenie (θ ). V tomto prípade je (y ) záporné a (x ) kladné, čo znamená, že musíme zvoliť hodnotu (θ ) medzi ( frac {3π} {2} ) a (2π ):

[ begin {align *} tan θ & = frac {y} {x} = frac {−3} {1} [5pt] θ & = arctan (−3) ≈5.03 , text {rad.} end {align *} ]

V takom prípade z- súradnice sú rovnaké v obdĺžnikových aj valcových súradniciach:

[z = 5. nonumber ]

Bod s obdĺžnikovými súradnicami ((1, -3,5) ) má valcovité súradnice približne rovnaké ako (( sqrt {10}, 5,03,5). )

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Konvertujte bod ((- 8,8, −7) ) z karteziánskych súradníc na cylindrické súradnice.

Pomôcka

(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) a ( tan θ = frac {y} {x} )

Odpoveď

(8 sqrt {2}, frac {3π} {4}, - 7) )

Používanie valcových súradníc je bežné v oblastiach ako fyzika. Fyzici, ktorí študujú elektrické náboje a kondenzátory používané na ukladanie týchto nábojov, zistili, že tieto systémy majú niekedy valcovú symetriu. Tieto systémy majú komplikované modelovacie rovnice v karteziánskom súradnicovom systéme, čo sťažuje ich opis a analýzu. Rovnice možno často vyjadriť jednoduchšími spôsobmi pomocou valcových súradníc. Napríklad valec opísaný rovnicou (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) v karteziánskej sústave môže byť znázornený valcovou rovnicou (r = 5 ).

Príklad ( PageIndex {3} ): Identifikácia povrchov vo valcovom súradnicovom systéme

Opíšte povrchy pomocou uvedených valcových rovníc.

  1. (θ = frac {π} {4} )
  2. (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 )
  3. (z = r )

Riešenie

a. Keď je uhol (θ ) konštantný, zatiaľ čo (r ) a (z ) sa môžu meniť, výsledkom bude polrovina (obrázok ( PageIndex {6} )).

b. Nahraďte (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) do rovnice (r ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), aby ste vyjadrili obdĺžnikový tvar rovnice: (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ). Táto rovnica popisuje guľu vystredenú na počiatku s polomerom 3 (Obrázok ( PageIndex {7} )).

c. Na opísanie povrchu definovaného rovnicou (z = r ) je užitočné preskúmať stopy rovnobežné s rovinou (xy ). Napríklad stopa v rovine (z = 1 ) je kruh (r = 1 ), stopa v rovine (z = 3 ) je kruh (r = 3 ) atď. Každá stopa je kruh. S rastúcou hodnotou (z ) sa zväčšuje aj polomer kruhu. Výsledným povrchom je kužeľ (obrázok ( PageIndex {8} )).

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Opíšte povrch pomocou valcovej rovnice (r = 6 ).

Pomôcka

Zložky (θ ) a (z ) bodov na povrchu môžu mať ľubovoľnú hodnotu.

Odpoveď

Táto plocha je valec s polomerom (6 ).

Sférické súradnice

V karteziánskom súradnicovom systéme je poloha bodu v priestore opísaná pomocou usporiadanej trojice, v ktorej každá súradnica predstavuje vzdialenosť. Vo valcovom súradnicovom systéme je poloha bodu v priestore opísaná pomocou dvoch vzdialeností ((r ) a (z) ) a mierky uhla ((θ) ). V sférickom súradnicovom systéme opäť použijeme usporiadanú trojku na opísanie polohy bodu v priestore. V tomto prípade trojka popisuje jednu vzdialenosť a dva uhly. Sférické súradnice uľahčujú popis gule, rovnako ako valcové súradnice uľahčujú opis valca. Mriežky pre sférické súradnice sú založené na mierkach, ako sú tie pre polárne súradnice.

Pojem: sférický súradnicový systém

V sférický súradnicový systém, bod (P ) v priestore (obrázok) je reprezentovaný usporiadanou trojkou ((ρ, θ, φ) ), kde

  • (ρ ) (grécke písmeno rho) je vzdialenosť medzi (P ) a počiatkom ((ρ ≠ 0); )
  • (θ ) je rovnaký uhol, aký sa používa na popis polohy vo valcových súradniciach;
  • (φ ) (grécke písmeno phi) je uhol tvorený kladným (z ) - segmentom osi a úsečky ( bar {OP} ), kde (O ) je počiatok a ( 0≤φ≤π. )

Podľa konvencie je počiatok reprezentovaný ako ((0,0,0) ) v sférických súradniciach.

AKO: Konverzia medzi sférickými, valcovými a obdĺžnikovými súradnicami

Obdĺžnikové súradnice ((x, y, z) ), valcové súradnice ((r, θ, z), ) a sférické súradnice ((ρ, θ, φ) ) bodu súvisia takto:

Prevod zo sférických súradníc na obdĺžnikové súradnice

Tieto rovnice sa používajú na prevod zo sférických súradníc na obdĺžnikové súradnice.

  • (x = ρ sin φ cos θ )
  • (y = ρ sin φ sin θ )
  • (z = ρ cos φ )

Prevod z obdĺžnikových súradníc na sférické súradnice

Tieto rovnice sa používajú na prevod z pravouhlých súradníc na sférické súradnice.

  • (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
  • ( tan θ = frac {y} {x} )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

Prevod zo sférických súradníc na obdĺžnikové súradnice

Tieto rovnice sa používajú na prevod zo sférických súradníc na obdĺžnikové súradnice.

  • (r = ρ sin φ )
  • (θ = θ )
  • (z = ρ cos φ )

Prevod z valcových súradníc na sférické súradnice

Tieto rovnice sa používajú na prevod z valcových súradníc na sférické súradnice.

  • (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} )
  • (θ = θ )
  • (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) )

Vzorce na prevod zo sférických súradníc na obdĺžnikové súradnice sa môžu zdať zložité, ale sú to priame aplikácie trigonometrie. Pri pohľade na obrázok je ľahké vidieť, že (r = ρ sin φ ). Potom pri pohľade na trojuholník v rovine (xy ), v ktorej je hypotenzia r, máme (x = r cos θ = ρ sin φ cos θ ). Odvodenie vzorca pre (y ) je podobné. Obrázok tiež ukazuje, že (ρ ^ 2 = r ^ 2 + z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) a (z = ρ cos φ ). Riešením tejto poslednej rovnice pre (φ ) a následným nahradením (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} ) (z prvej rovnice) sa získa (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}) ). Upozorňujeme tiež, že rovnako ako predtým musíme byť pri výbere správnej hodnoty (θ ) opatrní pri použití vzorca ( tan θ = frac {y} {x} ).

Rovnako ako pri valcových súradniciach, uvažujme povrchy, ktoré sa generujú, keď sa každá zo súradníc udržuje konštantná. Nech (c ) je konštanta a uvažujme povrchy tvaru (ρ = c ). Body na týchto povrchoch sú v pevnej vzdialenosti od začiatku a tvoria guľu. Súradnica (θ ) v sférickom súradnicovom systéme je rovnaká ako vo valcovom súradnicovom systéme, takže povrchy tvaru (θ = c ) sú polroviny, ako predtým. Na záver zvážte povrchy tvaru (φ = 0 ). Body na týchto povrchoch sú v pevnom uhle od osi (z ) - a tvoria polkužeľ (obrázok ( PageIndex {11} )).

Príklad ( PageIndex {4} ): Konverzia zo sférických súradníc

Zostrojte bod so sférickými súradnicami ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) a vyjadrite jeho polohu v obdĺžnikových aj valcových súradniciach.

Riešenie

Použite rovnice v Poznámke na preklad medzi sférickými a valcovými súradnicami (Obrázok ( PageIndex {12} )):

[ begin {align *} x & = ρ sin φ cos θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) cos ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac {1} {2} [5pt] & = 2 [5pt] y & = ρ sin φ sin θ [5pt] & = 8 sin ( frac {π} {6}) sin ( frac {π} {3}) [5pt] & = 8 ( frac {1} {2}) frac { sqrt {3}} {2} [5pt] & = 2 sqrt {3} [5pt] z & = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos ( frac {π } {6}) [5pt] & = 8 ( frac { sqrt {3}} {2}) [5pt] & = 4 sqrt {3} end {zarovnať *} ]

Bod so sférickými súradnicami ((8, frac {π} {3}, frac {π} {6}) ) má obdĺžnikové súradnice ((2,2 sqrt {3}, 4 sqrt {3 }). )

Nájsť hodnoty vo valcových súradniciach je rovnako jednoduché:

[ begin {align *} r = ρsinφ [5pt] & = 8sin frac {π} {6} = 4 end {align *} ]

[θ = θ nonumber ]

[ begin {align *} z = ρ cos φ [5pt] & = 8 cos frac {π} {6} [5pt] & = 4 sqrt {3}. end {zarovnať *} ]

Valcové súradnice bodu sú teda ((4, frac {π} {3}, 4 sqrt {3}) ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Zostrojte bod so sférickými súradnicami ((2, - frac {5π} {6}, frac {π} {6}) ) a popíšte jeho umiestnenie v obdĺžnikových aj valcových súradniciach.

Pomôcka

Prvý prevod súradníc môže pomôcť ľahšie nájsť polohu bodu v priestore.

Odpoveď

Karteziánsky: ((- frac { sqrt {3}} {2}, - frac {1} {2}, sqrt {3}), ) valcový: ((1, - frac {5π } {6}, sqrt {3}) )

Príklad ( PageIndex {5} ): Prepočet z obdĺžnikových súradníc

Preveďte obdĺžnikové súradnice ((- 1,1, sqrt {6}) ) na sférické aj valcové súradnice.

Riešenie

Začnite prevodom z obdĺžnikových na sférické súradnice:

(ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2 + ( sqrt {6}) ^ 2 = 8 ) (tanθ = frac {1 } {- 1} )

(ρ = 2 sqrt {2} ) (θ = arctan (−1) = frac {3π} {4} ).

Pretože ((x, y) = (- 1,1) ), potom je správna voľba pre θ ( frac {3π} {4} ).

V skutočnosti existujú dva spôsoby identifikácie (φ ). Môžeme použiť rovnicu (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ). Jednoduchším prístupom je však použitie rovnice (z = ρ cos φ. ) Vieme, že (z = sqrt {6} ) a (ρ = 2 sqrt {2} ), tak

( sqrt {6} = 2 sqrt {2} cos φ, ) takže cos (φ = frac { sqrt {6}} {2 sqrt {2}} = frac { sqrt {3}} {2} )

a preto (φ = frac {π} {6} ). Sférické súradnice bodu sú ((2 sqrt {2}, frac {3π} {4}, frac {π} {6}). )

Na nájdenie valcových súradníc bodu musíme nájsť iba r:

(r = ρ sin φ = 2 sqrt {2} sin ( frac {π} {6}) = sqrt {2}. )

Valcové súradnice bodu sú (( sqrt {2}, frac {3π} {4}, sqrt {6}) ).

Príklad ( PageIndex {6} ): Identifikácia povrchov v sférickom súradnicovom systéme

Opíšte povrchy pomocou uvedených sférických rovníc.

  1. (θ = frac {π} {3} )
  2. (φ = frac {5π} {6} )
  3. (ρ = 6 )
  4. (ρ = sin θsinφ )

Riešenie

a. Premenná (θ ) predstavuje mieru rovnakého uhla vo valcovom aj sférickom súradnicovom systéme. Body so súradnicami ((ρ, frac {π} {3}, φ) ) ležia na rovine, ktorá tvorí uhol (θ = frac {π} {3} ) s kladným (x ) - os. Pretože (ρ> 0 ), povrch opísaný rovnicou (θ = frac {π} {3} ) je polorovina zobrazená na obrázku ( PageIndex {13} ).

b. Rovnica (φ = frac {5π} {6} ) popisuje všetky body v sférickom súradnicovom systéme, ktoré ležia na úsečke od počiatku tvoriacej uhol merajúci ( frac {5π} {6} ) rad s kladná (z ) - os. Tieto body tvoria polkužeľ (obrázok). Pretože pre (φ ) existuje iba jedna hodnota, ktorá sa meria od kladnej osi (z ) -, nedostaneme plný kužeľ (s dvoma kusmi).

Ak chcete nájsť rovnicu v obdĺžnikových súradniciach, použite rovnicu (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}). )

( frac {5π} {6} = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) )

( cos frac {5π} {6} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

(- frac { sqrt {3}} {2} = frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} )

( frac {3} {4} = frac {z ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} + frac {3z ^ 2} {4} = z ^ 2 )

( frac {3x ^ 2} {4} + frac {3y ^ 2} {4} - frac {z ^ 2} {4} = 0. )

Toto je rovnica kužeľa so stredom na osi (z ) -.

c. Rovnica (ρ = 6 ) popisuje množinu všetkých bodov (6 ) jednotiek vzdialených od počiatku - guľu s polomerom (6 ) (Obrázok ( PageIndex {15} )).

d. Na identifikáciu tejto plochy prevedieme rovnicu zo sférických na obdĺžnikové súradnice pomocou rovníc (y = ρsinφ sin θ ) a (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2: )

(ρ = sin θsinφ )

(ρ ^ 2 = ρ sin θ sin φ ) Vynásobte obe strany rovnice (ρ ).

(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = y ) Nahraďte obdĺžnikové premenné pomocou vyššie uvedených rovníc.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + z ^ 2 = 0 ) Odčítajte (y ) od oboch strán rovnice.

(x ^ 2 + y ^ 2 − y + frac {1} {4} + z ^ 2 = frac {1} {4} ) Vyplňte štvorec.

(x ^ 2 + (y− frac {1} {2}) ^ 2 + z ^ 2 = frac {1} {4} ). Prepíšte stredné výrazy na dokonalý štvorec.

Rovnica popisuje guľu vystredenú v bode ((0, frac {1} {2}, 0) ) s polomerom ( frac {1} {2} ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Popíšte povrchy definované nasledujúcimi rovnicami.

  1. (ρ = 13 )
  2. (θ = frac {2π} {3} )
  3. (φ = frac {π} {4} )
Pomôcka

Popremýšľajte, čo ktorá zložka predstavuje a čo znamená udržiavať túto zložku konštantnú.

Odpoveď a

Toto je množina všetkých bodov (13 ) jednotiek od začiatku. Táto množina vytvára guľu s polomerom (13 ).

Odpoveď b

Táto sada bodov tvorí polrovinu. Uhol medzi polrovinou a kladnou osou (x ) je (θ = frac {2π} {3}. )

Odpoveď c

Nech (P ) je bod na tejto ploche. Vektor polohy tohto bodu tvorí uhol (φ = frac {π} {4} ) s kladnou osou (z ) -, čo znamená, že body bližšie k začiatku sú bližšie k osi. Tieto body tvoria polkužeľ.

Sférické súradnice sú užitočné pri analýze systémov, ktoré majú určitý stupeň symetrie okolo bodu, ako je napríklad objem priestoru vo vnútri klenutého štadióna alebo rýchlosť vetra v atmosfére planéty. Guľa, ktorá má karteziánsku rovnicu (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = c ^ 2 ), má jednoduchú rovnicu (ρ = c ) v sférických súradniciach.

V geografii sa zemepisná šírka a dĺžka používa na opis miest na povrchu Zeme, ako je to znázornené na obrázku. Aj keď tvar Zeme nie je dokonalá guľa, pomocou sférických súradníc komunikujeme polohy bodov na Zemi. Predpokladajme, že Zem má tvar gule s polomerom (4000 ) mi. Miery uhla vyjadrujeme skôr v stupňoch ako v radiánoch, pretože zemepisná šírka a dĺžka sa merajú v stupňoch.

Nech je stred Zeme stredom gule, pričom lúč od stredu cez severný pól predstavuje kladnú os (z ). Poludník predstavuje stopu povrchu, keď pretína rovinu (xz ). Rovník je stopa gule pretínajúcej rovinu (xy ).

Príklad ( PageIndex {7} ): Prevod zemepisnej šírky a dĺžky na sférické súradnice

Zemepisná šírka Columbusu v Ohiu je (40 ° ) s. Š. A zemepisná dĺžka (83 ° ) Z, čo znamená, že Kolumbus je (40 ° ) na sever od rovníka. Predstavte si lúč zo stredu Zeme cez Kolumbusa a lúč zo stredu Zeme cez rovník priamo na juh od Columbusu. Miera uhla tvoreného lúčmi je (40 ° ). Rovnakým spôsobom, merajúc od nultého poludníka, leží Kolumbus (83 ° ) na západ. Vyjadrite polohu Kolumbusa v sférických súradniciach.

Riešenie

Polomer Zeme je (4000 ) mi, takže (ρ = 4000 ). Priesečník nultého poludníka a rovníka leží na kladnej osi (x ). Pohyb na západ je potom opísaný s mierami záporného uhla, čo ukazuje, že (θ = −83 ° ), Pretože Kolumbus leží (40 ° ) severne od rovníka, leží (50 ° ) južne od Severný pól, takže (φ = 50 ° ). V sférických súradniciach leží Kolumbus v bode ((4000, -83 °, 50 °). )

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Sydney, Austrália je na (34 ° j. Š.) A (151 ° v.). Poloha Sydney je v sférických súradniciach.

Pomôcka

Pretože Sydney leží južne od rovníka, musíme pridať (90 ° ), aby sme našli uhol meraný od kladnej osi (z ).

Odpoveď

((4000,151°,124°))

Cylindrické a sférické súradnice nám dávajú flexibilitu pri výbere súradnicového systému vhodného pre daný problém. Premyslený výber súradnicového systému môže vyriešiť problém oveľa ľahšie, zatiaľ čo zlý výber môže viesť k zbytočne zložitým výpočtom. V nasledujúcom príklade skúmame niekoľko rôznych problémov a diskutujeme, ako zvoliť najlepší súradnicový systém pre každý z nich.

Príklad ( PageIndex {8} ): Výber najlepšieho súradnicového systému

V každej z nasledujúcich situácií určíme, ktorý súradnicový systém je najvhodnejší, a popíšeme, ako by sme orientovali súradnicové osi. Môže existovať viac ako jedna správna odpoveď na to, ako by mali byť osi orientované, ale my vyberáme orientáciu, ktorá má zmysel v kontexte problému. Poznámka: Nie je dostatok informácií na nastavenie alebo riešenie týchto problémov; jednoducho vyberieme súradnicový systém (Obrázok ( PageIndex {17} )).

  1. Nájdite ťažisko bowlingovej gule.
  2. Určte rýchlosť ponorky vystavenej oceánskemu prúdu.
  3. Vypočítajte tlak v kónickej nádrži na vodu.
  4. Nájdite objem oleja pretekajúceho potrubím.
  5. Určite množstvo kože potrebnej na výrobu futbalu.

Riešenie

  1. Je zrejmé, že bowlingová guľa je guľa, takže sférické súradnice by tu pravdepodobne fungovali najlepšie. Počiatok by mal byť umiestnený vo fyzickom strede lopty. Nie je zjavná voľba, ako by mali byť osi (x ) -, (y ) - a (z ) - orientované. Bowlingové gule majú zvyčajne blok hmotnosti v strede. Jednou z možností je zarovnať os (z ) - s osou symetrie váhového bloku.
  2. Ponorka sa spravidla pohybuje po priamke. V tejto situácii neplatí žiadna rotačná ani sférická symetria, takže pravouhlé súradnice sú dobrou voľbou. Os (z ) - by mala pravdepodobne smerovať nahor. Osy (x ) - a (y ) - je možné zarovnať tak, aby smerovali na východ a na sever. Počiatkom by malo byť nejaké vhodné fyzické umiestnenie, napríklad východisková poloha ponorky alebo umiestnenie konkrétneho prístavu.
  3. Kužeľ má niekoľko druhov symetrie. Vo valcových súradniciach môže byť kužeľ predstavovaný rovnicou (z = kr, ), kde (k ) je konštanta. V sférických súradniciach sme videli, že povrchy tvaru (φ = c ) sú polovičné kužele. Nakoniec, v obdĺžnikových súradniciach, eliptické kužele sú štvorcové plochy a môžu byť vyjadrené rovnicami tvaru (z ^ 2 = frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2 }. ) V takom prípade by sme mohli zvoliť ktorúkoľvek z týchto troch možností. Rovnica pre povrch je však v obdĺžnikových súradniciach komplikovanejšia ako v ostatných dvoch systémoch, takže by sme sa tejto voľbe možno chceli vyhnúť. Okrem toho hovoríme o vodnej nádrži a hĺbka vody by sa mohla v niektorých okamihoch našich výpočtov uplatniť, takže by mohlo byť pekné mať komponent, ktorý priamo predstavuje výšku a hĺbku. Na základe tohto uvažovania môžu byť najlepšou voľbou cylindrické súradnice. Vyberte os (z ) - tak, aby bola zarovnaná s osou kužeľa. Orientácia ďalších dvoch osí je ľubovoľná. Počiatok by mal byť spodný bod kužeľa.
  4. Potrubie je valec, takže cylindrické súradnice by boli najlepšou voľbou. V takom prípade by sme sa však pravdepodobne rozhodli orientovať našu (z ) - os so stredovou osou potrubia. Osu (x ) - je možné zvoliť tak, aby smerovala priamo nadol alebo do iného logického smeru. Pôvod by sa mal zvoliť na základe vyhlásenia o probléme. Toto upozorňuje, že (z )-osa v horizontálnej orientácii, ktorá sa trochu líši od toho, čo zvyčajne robíme. Môže mať zmysel zvoliť neobvyklú orientáciu osí, ak to má zmysel pre daný problém.
  5. Futbal má rotačnú symetriu okolo stredovej osi, takže cylindrické súradnice by fungovali najlepšie. Os (z ) - by mala byť v súlade s osou lopty. Počiatok môže byť stred lopty alebo jeden z koncov. Poloha osi (x ) - je ľubovoľná.

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Ktorý súradnicový systém je najvhodnejší na vytvorenie hviezdnej mapy pri pohľade zo Zeme (pozri nasledujúci obrázok)?

Ako by sme mali orientovať súradnicové osi?

Pomôcka

Aké druhy symetrie sú prítomné v tejto situácii?

Odpoveď

Sférické súradnice s počiatkom umiestneným v strede Zeme, (z ) - os zarovnaná so severným pólom a (x ) - os zarovnaná s nultým poludníkom

Kľúčové koncepty

  • Vo valcovom súradnicovom systéme je bod v priestore reprezentovaný usporiadanou trojkou ((r, θ, z), ) kde ((r, θ) ) predstavuje polárne súradnice priemetu bodu v ( xy ) - rovina a z predstavuje priemet bodu na os (z ) -.
  • Ak chcete previesť bod z valcových súradníc na karteziánske súradnice, použite rovnice (x = r cos θ, y = r sin θ, ) a (z = z. )
  • Ak chcete previesť bod z karteziánskych súradníc na cylindrické súradnice, použite rovnice (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) a (z = z. )
  • V sférickom súradnicovom systéme je bod (P ) v priestore reprezentovaný usporiadanou trojkou ((ρ, θ, φ) ), kde (ρ ) je vzdialenosť medzi (P ) a počiatok ((ρ ≠ 0), θ ) je rovnaký uhol, ktorý sa používa na popis polohy vo valcových súradniciach, a (φ ) je uhol tvorený kladným (z ) - osou a úsečkou ( bar {OP} ), kde (O ) je pôvod a (0≤φ≤π. )
  • Ak chcete previesť bod zo sférických súradníc na karteziánske súradnice, použite rovnice (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, ) a (z = ρ cos φ. )
  • Ak chcete previesť bod z karteziánskych súradníc na sférické súradnice, použite rovnice (ρ ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2, tan θ = frac {y} {x}, ) a (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) ).
  • Ak chcete previesť bod zo sférických súradníc na cylindrické súradnice, použite rovnice (r = ρ sin φ, θ = θ, ) a (z = ρ cos φ. )
  • Ak chcete previesť bod z valcových súradníc na guľové súradnice, použite rovnice (ρ = sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}, θ = θ, ) a (φ = arccos ( frac {z} { sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}}). )

Glosár

valcový súradnicový systém
spôsob, ako opísať miesto v priestore s usporiadaným trojitým ((r, θ, z), ) kde ((r, θ) ) predstavuje polárne súradnice priemetu bodu v (xy ) - lietadlo a z predstavuje priemet bodu na os (z ) -
sférický súradnicový systém
spôsob, ako opísať miesto v priestore s usporiadaným trojitým ((ρ, θ, φ), ) kde (ρ ) je vzdialenosť medzi (P ) a počiatkom ((ρ ≠ 0), θ ) je rovnaký uhol, aký sa používa na opis polohy vo valcových súradniciach, a (φ ) je uhol tvorený kladnou osou (z ) - osou a úsečkou ( bar {OP} ), kde (O ) je pôvod a (0≤φ≤π )

2.7 Valcové a guľové súradnice

Karteziánsky súradnicový systém poskytuje priamy spôsob popisu polohy bodov v priestore. Niektoré povrchy však môže byť ťažké modelovať pomocou rovníc založených na karteziánskom systéme. Toto je známe pripomenutie problému, že v dvoch dimenziách poskytujú polárne súradnice často užitočný alternatívny systém na opis polohy bodu v rovine, najmä v prípadoch obsahujúcich kružnice. V tejto časti sa pozrieme na dva rôzne spôsoby popisu polohy bodov v priestore, oba na základe rozšírení polárnych súradníc. Ako naznačuje názov, valcové súradnice sú užitočné pri riešení problémov týkajúcich sa valcov, ako je výpočet objemu okrúhlej vodnej nádrže alebo množstva oleja pretekajúceho potrubím. Rovnako sú sférické súradnice užitočné pri riešení problémov týkajúcich sa sfér, ako je napríklad zisťovanie objemu kupolovitých štruktúr.

Valcové súradnice

Keď sme rozšírili tradičný karteziánsky súradnicový systém z dvoch dimenzií na tri, jednoducho sme pridali novú os na modelovanie tretej dimenzie. Počnúc polárnymi súradnicami môžeme podľa rovnakého postupu vytvoriť nový trojrozmerný súradnicový systém, ktorý sa nazýva valcový súradnicový systém. Týmto spôsobom poskytujú valcové súradnice prirodzené rozšírenie polárnych súradníc do troch dimenzií.

Definícia

Vo valcovom súradnicovom systéme je bod v priestore (obrázok 2.89) reprezentovaný usporiadanou trojkou (r, θ, z), (r, θ, z), kde

V xy-rovina, pravý trojuholník zobrazený na obrázku 2.89 poskytuje kľúč na transformáciu medzi valcovými a karteziánskymi alebo obdĺžnikovými súradnicami.


Valcové súradnice ( rho, z, phi )

Zvážte cylindrické súradnice ( rho, z, phi ). Vyjadrené v karteziánskej súradnici

[začať x & amp = rho cos phi y & amp = rho sin phi notag z & amp = z end]

Pomocou tabuľky dodatkov (19.3.3, ) možno lagrangeovský jazyk zapísať do valcových súradníc ako

Časová konjugácia je

Predpokladajme, že konzervatívna sila je potom zachovaná (H ). Pretože transformácia z karteziánskych na nerotujúce zovšeobecnené valcové súradnice je časovo nezávislá, potom (H = E. ) Potom pomocou rovníc ref <8.32> - ref <8.35> dá hamiltonián vo valcových súradniciach

Upozorňujeme, že ak ( phi ) je cyklický, znamená to ( frac < čiastočné U> < čiastočné phi> = 0, ) potom moment hybnosti okolo osi (z ), (p_ < phi> ), je konštanta pohybu. Podobne, ak (z ) je cyklický, potom (p_) je konštanta pohybu.


Cvičenia 17.6

Ex 17.6.3 Vyhodnoťte $ ds int int int x ^ 2 , dV $ cez vnútro valca $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ medzi $ z = 0 $ a $ z = 5 $. (odpoveď)

Ex 17.6.4 Vyhodnoťte $ ds int int int xy , dV $ cez vnútro valca $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ medzi $ z = 0 $ a $ z = 5 $. (odpoveď)

Ex 17.6.5 Vyhodnoťte $ ds int int int z , dV $ nad regiónom nad rovinou $ x $ - $ y $ $, vo vnútri $ x ^ 2 + y ^ 2-2x = 0 $ a pod $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (odpoveď)

Ex 17.6.6 Vyhodnoťte $ ds int int int yz , dV $ cez región v prvom oktante, vo vnútri $ x ^ 2 + y ^ 2-2x = 0 $ a pod $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (odpoveď)

Ex 17.6.7 Vyhodnoťte $ ds int int int x ^ 2 + y ^ 2 , dV $ cez vnútro $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (odpoveď)

Ex 17.6.8 Vyhodnoťte $ ds int int int sqrt, dV $ cez vnútro $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 $. (odpoveď)

Ex 17.6.9 Vypočítajte $ ds int int int x + y + z , dV $ cez región vo vnútri $ x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $ v prvom oktante. (odpoveď)

Ex 17.6.10 Nájdite hmotnosť pravého kruhového kužeľa s výškou $ h $ a polomerom základne $ a $, ak je hustota úmerná vzdialenosti od základne. (odpoveď)

Ex 17.6.11 Nájdite hmotnosť pravého kruhového kužeľa s výškou $ h $ a polomerom základne $ a $, ak je hustota úmerná vzdialenosti od jeho osi symetrie. (odpoveď)

Ex 17.6.12 Objekt zaberá oblasť vo vnútri jednotkovej gule v počiatku a má hustotu rovnajúcu sa vzdialenosti od osi $ x $. Nájdite hmotu. (odpoveď)

Ex 17.6.13 Objekt zaberá oblasť vo vnútri jednotkovej gule v počiatku a má hustotu rovnajúcu sa štvorcu vzdialenosti od počiatku. Nájdite hmotu. (odpoveď)

Ex 17.6.14 Objekt zaberá oblasť medzi jednotkovou sférou v počiatku a guľou s polomerom 2 so stredom v počiatku a má hustotu rovnajúcu sa vzdialenosti od počiatku. Nájdite hmotu. (odpoveď)

Ex 17.6.15 Objekt zaberá oblasť v prvom oktante ohraničenú kužeľmi $ phi = pi / 4 $ a $ phi = arctan 2 $ a sférou $ rho = sqrt <6> $ a má hustotu proporcionálnu do vzdialenosti od počiatku. Nájdite hmotu. (odpoveď)


Curl vzorec v karteziánskom jazyku

Curl vzorec vo valcovom tvare

Curl vzorec v sférickom tvare

Odvodenie pre zvlnenie v karteziánskom jazyku

Curl vzorec v karteziánskom súradnicovom systéme možno odvodiť zo základnej definície Curlu vektorového poľa. V tomto článku nájdete intuitívne odvodzovanie.


5.7: Valcové a guľové súradnice

4577 dni odvtedy
Vianoce

Navigácia

Valcové a sférické súradnicové systémy

Myšlienka cylindrických a sférických súradnicových systémov je založená na skutočnosti, že žijeme na zemi a potrebujeme vedieť, kde sme. Konkrétne miesto na Zemi je definované adresou, alebo geograficky povedané, definujeme ho pomocou geografických súradníc.

Sférický súradnicový systém

  • Tento systém zahŕňa aj množiny troch vzájomne kolmých plôch.
  • Tri povrchy sú guľa, kužeľ a rovina.
  • Rovina povrchu je rovnaká ako rovina PHI vo valcovom súradnicovom systéme.
  • The sphere has the origin on its center.
  • The cone has its vertex at the origin and its surface is symmetrical about the z-axis.
  • The three orthogonal surfaces defining the spherical coordinates of a point are:

projection of the point in the x-y plane.

  • Only one of its coordinates is a distance (r) while the other two are angles ( θ a φ ).
  • The origin is given by r = 0, φ = 0, θ = 0 .
  • Differential Length Vector:
    • dl = draγ + rdθaθ + rsinθdφaφ
    • dv = r 2 sinθdrdθdφ

    Globes are probably one of the best representations of a spherical coordinates systems. The geographical version of those coordinates mentioned above replaces (r, θ, φ) into altitude, latitude, and longitude, respectively.

    But in terms of aircraft navigation, it is hard to define a specific point in the air when the Earth is an oblate spheroid. Thus, the cylindrical system of coordinates is useful such that the spherical version of the Earth can be translated into a flat surface by projection. This was the method used by Gerardus Mercator, the first person to create a map of the earth.


    5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates

    Remember to immediately save it in your own home directory. Once you've copied and saved the worksheet, read through the background on the internet and the background of the worksheet before starting the exerises.

    To change to cylindrical coordinates from rectangular coordinates use the conversion:

    To change to spherical coordinates from rectangular coordinates use the conversion:

    Using a triple integral to find the volume of a solid translates in the following manner:

    A) Graph the equation using the domain values of , and the range values . B) Find the above equation in cylindrical coordinates and then graph the equation. Write the equation in text in its simplest form. C) Find the above equation in spherical coordinates and graph it. Write the equation of the equation in text in its simplest form. D) Looking at the three equations, which coordinates appear to give the simplest equation?

    A) Graph the equation using the domain values of , and the range values . B) Find the above equation in cylindrical coordinates and then graph the equation. Write the equation in text in its simplest form. C) Find the above equation in spherical coordinates and graph it. Write the equation of the equation in text in its simplest form. D) Looking at the three equations, which coordinates appear to give the simplest equation?


    5.7: Cylindrical and Spherical Coordinates

    This page contains the following sections:

    Cylindrical coordinates are obtained from Cartesian coordinates by replacing the x and y coordinates with polar coordinates r and theta and leaving the z coordinate unchanged.

    It is simplest to get the ideas across with an example. Consider an object which is bounded above by the inverted paraboloid z=16-x^2-y^2 and below by the xy-plane. Suppose that the density of the object is given by f(x,y,z)=8+x+y. What is the mass of the object?

    The object is shown above. The mass is given by the triple integral:

    Since z satisfies 0<=z<=16-x^2-y^2, the triple integral becomes

    where the region D is the projection of R onto the xy-plane. It can be shown that D is the disk of radius 4 centered at the origin. (The circle x^2+y^2=16 is the intersection of the paraboloid and the plane z=0.)

    Because of the circular symmetry of the object in the xy-plane it is convenient to convert to polar coordinates. We make the substitutions

    With these substitutions, the paraboloid becomes z=16-r^2 and the region D is given by 0<=r<=4 and 0<=theta<=2*pi. Hence, the triple integral is given by

    Note that we can change the order of integration of r and theta so the integral can also be expressed

    Evaluating the iterated integral, we have find that the mass of the object is 1024*pi.

    In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, and corresponds to the volume of an infinitesimal region between x and x+dx, y and y+dy, and z and z+dz. In cylindrical coordinates, we have dV=rdzdrd(theta), which is the volume of an infinitesimal sector between z and z+dz, r and r+dr, and theta and theta+d(theta). As shown in the picture, the sector is nearly cube-like in shape. The length in the r and z directions is dr and dz, respectively. The length in the theta direction is r*d(theta), and this yields the result for the volume. This result can also derived via the Jacobian.

    For some problems one must integrate with respect to r or theta first. For example, if g_1(theta,z)<=r<=g_2(theta,z), then

    where D is the projection of R onto the theta-z plane. If g_1(r,z)<=theta<=g_2(r,z),

    where D is the projection of R onto the rz plane.

    Recall that in spherical coordinates a point in xyz space characterized by the three coordinates rho, theta, and phi. These are related to x,y, and z by the equations

    or in words: x = rho * sin( phi ) * cos (theta), y = rho * sin( phi ) * sin (theta), and z = rho * cos( phi) ,where

    Consider the following example: a solid lies between a sphere or radius 2 and a sphere or radius 3 in the region y>=0 and z>=0. Find its mass if the density f(x,y,z) is equal to the distance to the origin.

    where R is the region in the xyz space occupied by the solid.

    In spherical coordinates the solid occupies the region with

    The integrand in spherical coordinates becomes rho. Finally, the volume element is given by

    We will not derive this result here. It can be derived via the Jacobian. See a textbook for a geometric derivation. Putting everything together, we get the iterated integral

    In this example, since the limits of integration are constants, the order of integration can be changed. Integrating with respect to rho, phi, and theta, we find that the integral equals 65*pi/4.

    In general integrals in spherical coordinates will have limits that depend on the 1 or 2 of the variables. In these cases the order of integration does matter. We will not go over the details here.

    To convert an integral from Cartesian coordinates to cylindrical or spherical coordinates:

    (1) Express the limits in the appropriate form (2) Express the integrand in terms of the appropriate variables (3) Multiply by the correct volume element


    Energy Fundamentals

    Ibrahim Dincer , Osamah Siddiqui , in Comprehensive Energy Systems , 2018

    1.10.4.1 Heat Conduction Equation

    The heat conduction equation in a Cartesian coordinate system is obtained by applying the energy balance on a differential rectangular element, and it is expressed as:

    kde k denotes the thermal conductivity, ρ represents the density, and c represents the specific heat of the medium.

    Similarly, for the cylindrical coordinate system, an energy balance is applied on a differential volume in cylindrical coordinates to obtain the heat conduction equation in cylindrical coordinates, and it is expressed as:

    The heat conduction equation for spherical coordinate system is also obtained by applying the energy balance on a differential spherical coordinate volume element. It is expressed as follows:

    A container wall has a thickness of 2 m and a cross-sectional area of 20 m 2 ( Fig. 4 ). It is subjected to a uniform heat generation of 1500 W/m 3 . If the density of the wall is 2000 kg/m 3 , the thermal conductivity is 20 W/mK, and the specific heat is 6 kJ/kg K. Determine the rate of change of temperature with time within the wall at X=0.75 m, when the temperature distribution across the wall is given by

    Fig. 4 . A wall cross-section with a temperature distribution.

    Assumptions: The heat transfer occurring through the wall is considered one-dimensional. And the medium is isotropic with constant (uniform) thermal conductivity.

    Analysis: The temperature distribution within the wall in the X-direction is given, the heat equation for Cartesian coordinates can be used to determine the rate of change of temperature with time at any given location in the X-direction

    For one-dimensional cases, the heat conduction equation can be reduced to

    In the case of constant thermal conductivity, the equation above can be written as

    The temperature distribution is known as

    hence, ∂ 2 T ∂ x 2 can be determined from the above equation as −50°C/m 2 .

    Thus, substituting this value in the one-dimensional heat conduction equation to obtain

    Comments: The temperature in the wall increases with time. In addition, as can be observed from the analysis, the rate of change of temperature with time within the wall is independent of the location X.


    Spherical to Cylindrical Coordinates Calculator

    This cylindrical coordinates converter/calculator converts the spherical coordinates of a unit to its equivalent value in cylindrical coordinates, according to the formulas shown above.

    Spherical coordinates are depicted by 3 values, (r, θ, φ). When converted into cylindrical coordinates, the new values will be depicted as (r, φ, z).

    To use this calculator, a user just enters in the (r, θ, φ) values of the spherical coordinates and then clicks 'Calculate', and the cylindrical coordinates will be automatically computed and shown below.

    By default, the calculator will compute the result in degrees. However, by using the drop-down menu, the option can changed to radians, so that the result will be computed in radians.

    Convert the spherical coordinates (8, 40°, 20°) into its equivalent cylindricals coordinates.


    Pozri si video: Prstencová olejnička, TMF (December 2021).