Články

1.2E: Cvičenia pre vektory vo vesmíre - matematika


1) Zvážte obdĺžnikovú skrinku s jedným z vrcholov v počiatku, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku. Ak je bod (A (2,3,5) ) opačný vrchol k počiatku, nájdite

a. súradnice ďalších šiestich vrcholov rámčeka a

b. dĺžka uhlopriečky poľa určená vrcholmi (O ) a (A ).

Odpoveď:
a. ((2,0,5), (2,0,0), (2,3,0), (0,3,0), (0,3,5), (0,0,5) ) b. ( sqrt {38} )

2) Nájdite súradnice bodu (P ) a určte jeho vzdialenosť od začiatku.

Pri cvičeniach 3 - 6 opíšte a nakreslite graf bodov, ktoré vyhovujú danej rovnici.

3) ((y − 5) (z − 6) = 0 )

Odpoveď:
Spojenie dvoch rovín: (y = 5 ) (rovina rovnobežná s (xz ) - rovinou) a (z = 6 ) (rovina rovnobežná s (xy ) - rovinou)

4) ((z − 2) (z − 5) = 0 )

5) ((y-1) ^ 2 + (z-1) ^ 2 = 1 )

Odpoveď:
Valec s polomerom (1 ) vycentrovaný na priamke (y = 1, z = 1 )

6) ((x − 2) ^ 2 + (z − 5) ^ 2 = 4 )

7) Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((1,1,1) ), ktorá je rovnobežná s rovinou (xy ).

Odpoveď:
(z = 1 )

8) Napíšte rovnicu roviny prechádzajúcej bodom ((1, -3,2) ), ktorý je rovnobežný s rovinou (xz ).

9) Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi ((1, -3, -2), (0,3, -2), ) a ((1,0, -2). )

Odpoveď:
(z = −2 )

10) Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi ((1,9,2), (1,3,6), ) a ((1, -7,8). )

Pre cvičenia 11-14 nájdite rovnicu gule v štandardnom tvare, ktorá spĺňa dané podmienky.

11) Stred (C (-1,7,4) ) a polomer (4 )

Odpoveď:
((x + 1) ^ 2 + (y − 7) ^ 2 + (z − 4) ^ 2 = 16 )

12) Stred (C (-4,7,2) ) a polomer (6 )

13) Priemer (PQ, ) kde (P (-1,5,7) ) a (Q (-5,2,9) )

Odpoveď:
(x + 3) ^ 2 + (y − 3,5) ^ 2 + (z − 8) ^ 2 = dfrac {29} {4} )

14) Priemer (PQ, ) kde (P (-16; -3,9) ) a (Q (-2,3,5) )

Pre cvičenia 15 a 16 nájdite stred a polomer gule pomocou všeobecnej rovnice, ktorá je uvedená.

15) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−4z + 3 = 0 )

Odpoveď:
Stred (C (0,0,2) ) a polomer (1 )

16) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2−6x + 8y − 10z + 25 = 0 )

Pri cvičeniach 17-20 vyjadrte vektor ( vecd {PQ} ) s počiatočným bodom v (P ) a koncovým bodom v (Q )

(a.) v podobe komponentov a

(b. ) pomocou štandardných jednotkových vektorov.

17) (P (3,0,2) ) a (Q (-1; -1,4) )

Odpoveď:
(a. vecd {PQ} = ⟨− 4, −1,2⟩ )
(b. vecd {PQ} = - 4 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

18) (P (0,10,5) ) a (Q (1,1, -3) )

19) (P (-2,5; -8) ) a (M (1, -7,4) ), kde (M ) je stredom úsečky ( overline {PQ } )

Odpoveď:
(a. vecd {PQ} = ⟨6, −24,24⟩ )
(b. vecd {PQ} = 6 hat { mathbf i} −24 hat { mathbf j} +24 hat { mathbf k} )

20) (Q (0,7, −6) ) a (M (-1,3,2) ), kde (M ) je stred úsečky ( overline {PQ} )

21) Nájdite koncový bod (Q ) vektora ( vecd {PQ} = ⟨7, −1,3⟩ ) s počiatočným bodom (P (−2,3,5). )

Odpoveď:
(Q (5,2,8) )

22) Nájdite počiatočný bod (P ) vektora ( vecd {PQ} = ⟨− 9,1,2⟩ ) s koncovým bodom (Q (10,0, −1). )

Pre cvičenia 23-26 použite dané vektory ( vecs a ) a ( vecs b ) na nájdenie a vyjadrenie vektorov ( vecs a + vecs b, , 4 vecs a ) a (- 5 vecs a + 3 vecs b ) v zloženom tvare.

23) ( quad vecs a = ⟨− 1, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −7⟩ )

Odpoveď:
( vecs a + vecs b = ⟨− 6,4, −3⟩, 4 vecs a = ⟨− 4, −8,16⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 10,28 , -41⟩ )

24) ( quad vecs a = ⟨3, −2,4⟩, quad vecs b = ⟨− 5,6, −9⟩ )

25) ( quad vecs a = - hat { mathbf k}, quad vecs b = - hat { mathbf i} )

Odpoveď:
( vecs a + vecs b = ⟨− 1,0, −1⟩, 4 vecs a = ⟨0,0, −4⟩, −5 vecs a + 3 vecs b = ⟨− 3,0, 5⟩ )

26) ( quad vecs a = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad vecs b = 2 hat { mathbf i} −3 hat { mathbf j} +2 hat { mathbf k} )

Pre cvičenia 27-30 sú uvedené vektory ( vecs u ) a ( vecs v ). Nájdite veľkosti vektorov ( vecs u− vecs v ) a (- 2 vecs u ).

27) ( quad vecs u = 2 hat { mathbf i} +3 hat { mathbf j} +4 hat { mathbf k}, quad vecs v = - hat { mathbf i } +5 hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

Odpoveď:
( | vecs u− vecs v | = sqrt {38}, quad | −2 vecs u | = 2 sqrt {29} )

28) ( quad vecs u = hat { mathbf i} + hat { mathbf j}, quad vecs v = hat { mathbf j} - hat { mathbf k} )

29) ( quad vecs u = ⟨2 cos t, −2 sin t, 3⟩, quad vecs v = ⟨0,0,3⟩, quad ) kde (t ) je reálne číslo.

Odpoveď:
( | vecs u− vecs v | = 2, quad | -2 vecs u | = 2 sqrt {13} )

30) ( quad vecs u = ⟨0,1, sinh t⟩, quad vecs v = ⟨1,1,0⟩, quad ) kde (t ) je skutočné číslo.

Na cvičeniach 31-36 nájdite jednotkový vektor v smere daného vektora ( vecs a ) a vyjadrite ho pomocou štandardných jednotkových vektorov.

31) ( quad vecs a = 3 hat { mathbf i} −4 hat { mathbf j} )

Odpoveď:
( frac {3} {5} hat { mathbf i} - frac {4} {5} hat { mathbf j} )

32) ( quad vecs a = ⟨4, -3,6,6 )

33) ( quad vecs a = vecd {PQ} ), kde (P (−2,3,1) ) a (Q (0, −4,4) )

Odpoveď:
( frac { sqrt {62}} {31} hat { mathbf i} - frac {7 sqrt {62}} {62} hat { mathbf j} + frac {3 sqrt { 62}} {62} hat { mathbf k} )

34) ( quad vecs a = vecd {OP}, ) kde (P (−1, −1,1) )

35) ( quad vecs a = vecs u− vecs v + vecs w, ) kde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} + hat { mathbf k}, quad ) a ( vecs w = - hat { mathbf i} + hat { mathbf j} +3 hat { mathbf k} )

Odpoveď:
(- frac { sqrt {6}} {3} hat { mathbf i} + frac { sqrt {6}} {6} hat { mathbf j} + frac { sqrt {6 }} {6} hat { mathbf k} )

36) ( quad vecs a = 2 vecs u + vecs v− vecs w, quad ) kde ( vecs u = hat { mathbf i} - hat { mathbf k}, quad vecs v = 2 hat { mathbf j} quad ) a ( vecs w = hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

37) Určte, či ( vecd {AB} ) a ( vecd {PQ} ) sú ekvivalentné vektory, kde (A (1,1,1), , B (3,3,3), , P (1,4,5), ) a (Q (3,6,7). )

Odpoveď:
Ekvivalentné vektory

38) Zistite, či sú vektory ( vecd {AB} ) a ( vecd {PQ} ) ekvivalentné, kde (A (1,4,1), , B (−2,2,0) ), , P (2,5,7), ) a (Q (-3,2,1) ).

Pre cvičenia 39-42 nájdite vektor ( vecs u ) s veľkosťou, ktorá je daná a spĺňa dané podmienky.

39) ( quad vecs v = ⟨7, −1,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 10 ) a ( vecs u ) a ( vecs v ) majú rovnaké smer

Odpoveď:
( vecs u = ⟨ frac {70 sqrt {59}} {59}, - frac {10 sqrt {59}} {59}, frac {30 sqrt {59}} {59}⟩ )

40) ( quad vecs v = ⟨2,4,1⟩, , ‖ vecs u‖ = 15 ) a ( vecs u ) a ( vecs v ) majú rovnaký smer

41) ( quad vecs v = ⟨2 sin t, , 2 cos t, 1⟩, ‖ vecs u‖ = 2, vecs u ) a ( vecs v ) majú opačné smery pre ľubovoľné (t ), kde (t ) je skutočné číslo

Odpoveď:
( vecs u = ⟨− frac {4 sqrt {5}} {5} sin t, - frac {4 sqrt {5}} {5} cos t, - frac {2 sqrt {5}} {5}⟩ )

42) ( quad vecs v = ⟨3 sinh t, 0,3⟩, , ‖ vecs u‖ = 5 ) a ( vecs u ) a ( vecs v ) majú opačné smery pre ľubovoľné (t ), kde (t ) je reálne číslo

43) Určte vektor veľkosti (5 ) v smere vektora ( vecd {AB} ), kde (A (2,1,5) ) a (B (3,4, - 7). )

Odpoveď:
(⟨ Frac {5 sqrt {154}} {154}, frac {15 sqrt {154}} {154}, - frac {30 sqrt {154}} {77}⟩ )

44) Nájdite vektor veľkosti (2 ), ktorý smeruje v opačnom smere ako vektor ( vecd {AB} ), kde (A (−1, −1,1) ) a (B ( 0,1,1). ) Vyjadrite odpoveď v čiastkovej podobe.

45) Zvážte body (A (2, α, 0), , B (0,1, β), ) a (C (1,1, β) ), kde (α ) a (β ) sú záporné reálne čísla. Nájdite (α ) a (β ) také, aby ( | vecd {OA} - vecd {OB} + vecd {OC} | = | vecd {OB} | = 4. )

Odpoveď:
(α = - sqrt {7}, , β = - sqrt {15} )

46) Zvážte body (A (α, 0,0), , B (0, β, 0), ) a (C (α, β, β), ), kde (α ) a (β ) sú kladné reálne čísla. Nájdite (α ) a (β ) také, aby ( | overline {OA} + overline {OB} | = sqrt {2} ) a ( | overline {OC} | = sqrt {3} ).

47) Nech (P (x, y, z) ) je bod situovaný v rovnakej vzdialenosti od bodov (A (1, -1,0) ) a (B (-1,2,1) ). Ukážte, že bod (P ) leží na rovnici rovnice (- 2x + 3y + z = 2. )

48) Nech (P (x, y, z) ) je bod nachádzajúci sa v rovnakej vzdialenosti od počiatku a bodu (A (4,1,2) ). Ukážte, že súradnice bodu P vyhovujú rovnici (8x + 2y + 4z = 21. )

49) Body (A, B, ) a (C ) sú kolineárne (v tomto poradí), ak je vzťah ({ | vecd {AB} | + | vecd {BC} | = | vecd {AC} |} ) je spokojný. Ukážte, že (A (5,3; -1), , B (-5; -3,1), ) a (C (-15; -9,3) ) sú kolineárne body.

50) Ukážte, že body (A (1,0,1), , B (0,1,1), ) a (C (1,1,1) ) nie sú kolineárne.

51) [T] Sila ( vecs F ) (50 , N ) pôsobí na časticu v smere vektora ( vecd {OP} ), kde (P (3, 4,0). )

a. Vyjadrite silu ako vektor v podobe komponentu.

b. Nájdite uhol medzi silou ( vecs F ) a kladným smerom osi (x ) - osi. Odpoveď vyjadrite v stupňoch zaokrúhlené na najbližšie celé číslo.

Odpoveď:
(a. vecs F = ⟨30,40,0⟩; štvorkolka 53 ° )

52) [T] Sila ( vecs F ) (40 , N ) pôsobí na schránku v smere vektora ( vecd {OP} ), kde (P (1, 0,2). )

a. Vyjadrte silu ako vektor pomocou štandardných jednotkových vektorov.

b. Nájdite uhol medzi silou ( vecs F ) a kladným smerom osi (x ) - osi.

53) Ak ( vecs F ) je sila, ktorá posúva objekt z bodu (P_1 (x_1, y_1, z_1) ) do iného bodu (P_2 (x_2, y_2, z_2) ), potom posunutie vektor je definovaný ako (D = (x_2 − x_1) hat { mathbf i} + (y_2 − y_1) hat { mathbf j} + (z_2 − z_1) hat { mathbf k} ). Kovová nádoba sa vertikálne zdvihne (10 ​​) m konštantnou silou ( vecs F ). Vektor posunutia (D ) vyjadrte pomocou štandardných jednotkových vektorov.

Odpoveď:
( vecs D = 10 hat { mathbf k} )

54) Krabica je ťahaná (4 ) yd vodorovne v smere (x ) - konštantnou silou ( vecs F ). Nájdite vektor posunutia vo forme komponentu.

55) Súčet síl pôsobiacich na objekt sa nazýva výsledná alebo čistá sila. Hovorí sa, že objekt je v statickej rovnováhe, ak je výsledná sila síl, ktoré na neho pôsobia, nulová. Nech ( vecs F_1 = ⟨10,6,3⟩, vecs F_2 = ⟨0,4,9⟩ ) a ( vecs F_3 = ⟨10, -3, −9⟩ ) sú tri sily pôsobiaci na krabicu. Nájdite silu ( vecs F_4 ) pôsobiacu na skrinku tak, aby bola skrinka v statickej rovnováhe. Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

Odpoveď:
( vecs F_4 = ⟨− 20, −7, −3⟩ )

56) [T] Nech ( vecs F_k = ⟨1, k, k ^ 2⟩, k = 1, ..., n ) sú (n ) sily pôsobiace na časticu s (n≥ 2. )

a. Nájdite čistú silu ( vecs F = sum_ {k = 1} ^ n vecs F_k. ) Odpoveď vyjadrte pomocou štandardných jednotkových vektorov.

b. Pomocou počítačového systému algebry (CAS) vyhľadajte (n ) také, že ( | vecs F | <100. )

57) Gravitačná sila ( vecs F ) pôsobiaca na objekt je daná vzťahom ( vecs F = m vecs g ), kde (m ) je hmotnosť objektu (vyjadrená v kilogramoch) a ( vecs g ) je zrýchlenie vyplývajúce z gravitácie, pričom ( | vecs g | = 9,8 , N / kg. ) Diskusná guľa s hmotnosťou 2 kg visí za retiazku zo stropu miestnosti .

a. Nájdite gravitačnú silu ( vecs F ) pôsobiacu na diskoguľu a nájdite jej veľkosť.

b. Nájdite silu napätia ( vecs T ) v reťazci a jej veľkosť.

Odpovede vyjadrujte pomocou štandardných jednotkových vektorov.

Odpoveď:
(a. vecs F = −19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs F | = 19,6 , N )
(b. vecs T = 19,6 hat { mathbf k}, quad | vecs T | = 19,6 , N )

58) Prívesný luster s hmotnosťou 5 kg je navrhnutý tak, aby alabastrovú misku držali štyri retiazky rovnakej dĺžky, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

a. Nájdite veľkosť gravitačnej sily pôsobiacej na luster.

b. Nájdite veľkosti síl napätia pre každý zo štyroch reťazcov (predpokladajme, že reťazce sú v podstate zvislé).

59) [T] 30-kilogramový blok cementu je zavesený na troch kábloch rovnakej dĺžky, ktoré sú ukotvené v bodoch (P (−2,0,0), Q (1, sqrt {3}, 0), ) a (R (1, - sqrt {3}, 0) ). Zaťaženie je umiestnené na (S (0,0, -2 sqrt {3}) ), ako je znázornené na nasledujúcom obrázku. Nech ( vecs F_1, vecs F_2 ) a ( vecs F_3 ) sú sily napätia vyplývajúce zo zaťaženia káblov (RS, QS, ) a (PS, ).

a. Nájdite gravitačnú silu ( vecs F ) pôsobiacu na blok cementu, ktorá vyvažuje súčet ( vecs F_1 + vecs F_2 + vecs F_3 ) síl napätia v kábloch.

b. Nájdite sily ( vecs F_1, vecs F_2, ) a ( vecs F_3 ). Odpoveď vyjadrte ako súčasť.

Odpoveď:
a. ( vecs F = −294 hat { mathbf k} ) N;
b. ( vecs F_1 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, 49, −98⟩, vecs F_2 = ⟨− frac {49 sqrt {3}} {3}, - 49 , −98⟩ ) a ( vecs F_3 = ⟨ frac {98 sqrt {3}} {3}, 0, −98⟩ ) (každá zložka je vyjadrená v newtonoch)

60) Dvaja futbalisti trénujú na nadchádzajúci zápas. Jedna z nich beží 10 m od bodu A do bodu B. Potom sa stočí doľava o (90 ° ) a beží 10 m, kým nedosiahne bod C. Potom kopne loptičkou rýchlosťou 10 m / s smerom nahor uhol (45 ° ) k svojej tímovej kolegyni, ktorá sa nachádza v bode A. Napíš rýchlosť lopty v podobe komponentu.

61) Nech ( vecs r (t) = ⟨x (t), , y (t), , z (t)⟩ ) je vektor polohy častice v tom čase (t∈ [0 , T] ), kde (x, y, ) a (z ) sú hladké funkcie na ([0, T] ). Okamžitá rýchlosť častice v čase (t ) je definovaná vektorom ( vecs v (t) = ⟨x '(t), , y' (t), , z '(t)⟩ ), s komponentmi, ktoré sú odvodenými funkciami (t ), funkcií (x, y ) a (z ). Veľkosť (∥ vecs v (t) ∥ ) vektora okamžitej rýchlosti sa nazýva rýchlosť častice v čase (t ). Vektor ( vecs a (t) = ⟨x '(t), , y' (t), , z '(t)⟩ ), s komponentmi, ktoré sú druhými derivátmi vzhľadom na (t ), funkcií (x, y, ) a (z ), v danom poradí, udáva zrýchlenie častice v čase (t ). Uvažujme ( vecs r (t) = ⟨ cos t, , sin t, , 2t⟩ ) pozičný vektor častice v čase (t∈ [0,30], ), kde zložky z ( vecs r ) sú vyjadrené v centimetroch a čas je vyjadrený v sekundách.

a. Nájdite okamžitú rýchlosť, rýchlosť a zrýchlenie častice po prvej sekunde. Zaokrúhlite svoju odpoveď na dve desatinné miesta.

b. Pomocou CAS si vizualizujte dráhu častice - teda množinu všetkých súradníc (( cos t, sin t, 2t), ) kde (t∈ [0,30]. )

Odpoveď:
(a. vecs v (1) = ⟨− 0,84,0,54,2⟩ ) (každá zložka je vyjadrená v centimetroch za sekundu); (∥ vecs v (1) ∥ = 2,24 ) (vyjadrené v centimetroch za sekundu); ( vecs a (1) = ⟨− 0,54, −0,84,0⟩ ) (každá zložka vyjadrená v centimetroch za sekundu na druhú);

(b. )

62) [T] Nech ( vecs r (t) = ⟨t, 2t ^ 2,4t ^ 2⟩ ) je vektor polohy častice v čase (t ) (v sekundách), kde ( t∈ [0,10] ) (tu sú zložky ( vecs r ) vyjadrené v centimetroch).

a. Nájdite okamžitú rýchlosť, rýchlosť a zrýchlenie častice po prvých dvoch sekundách. Použite CAS na vizualizáciu dráhy častice definovanej bodmi ((t, , 2t ^ 2, , 4t ^ 2), ) kde (t∈ [0, , 60]. )

Prispievatelia

Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Nájdite zložkovú formu vektora. Vektor z bodu A = (2, 3) do počiatku

Otázka: Vyplňte tabuľku a určte množstvo peňazí P, ktoré by sa mali investovať rýchlosťou r na výrobu a.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

A: gx = 5x2 + 1Ex = exgxEx = 5x2 + 1ex Keď x = 5 g5E5 = 5 × 52 + 1e5 = 0,848

Q: dv du ute u = 8 cos x, = - cos x do vzorca kvocientu kvocientu a zjednodušte výsledok dx -8 sin x, v.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Čo treba urobiť, aby ste to vyriešili?

A: Dobrý deň. Pretože má vaša otázka viac podčastí, vyriešime za vás prvé tri podčasti. Ak r.

Otázka: Celkové náklady na výrobu x rámov karosérie (v dolároch) sú C (x) = 50 000 + 700 x. (A) Nájdite th.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Vytvorte graf súradníc danej funkcie. líška) = 5 Vyplňte tabuľku súradníc.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Otázka Nájdite rovnicu dotyčnice k funkcii f (x) = -x² - 4x + 4 v mieste kde.

Odpoveď: Kliknutím zobrazíte odpoveď

Otázka: Kontrola integrácie Vyhodnoťte nasledujúce integrály.

Odpoveď: Dané: ∫01x.3x2 + 1dx na vyhodnotenie daného integrálu dosadíme x2 + 1 = t.

Q: Pomocou rovnice y = A sin Bx, ak nahradím A alebo B opačným, graf výsledku.


Príklady vektorových priestorov

Príklad 1 Nasledujú príklady vektorových priestorov:

  1. Množina všetkých reálnych čísel ( mathbb ) spojené s sčítaním a skalárnym násobením reálnych čísel.
  2. Množina všetkých komplexných čísel ( mathbb ) spojené s sčítaním a skalárnym násobením komplexných čísel.
  3. Množina všetkých polynómov (R_n (x) ) so skutočnými koeficientmi spojenými s pridaním a skalárnym násobením polynómov.
  4. Množina všetkých vektorov dimenzie (n ) zapísaných ako ( mathbb^ n ) spojené s sčítaním a skalárnym násobením, ako je definované napríklad pre 3-d a 2-d vektory.
  5. Sada všetkých matíc dimenzie (m krát n ) spojených s sčítaním a skalárnym násobením, ako sú definované pre matice.
  6. Sada všetkých funkcií ( textbf ) vyhovujúce diferenciálnej rovnici ( textbf = textbf )

Príklad 2
Dokážte, že množina všetkých matíc 2 x 2 spojená s pridaním matice a skalárnym násobením matíc je vektorový priestor.
Riešenie z príkladu 2
Nech (V ) je množina všetkých matíc 2 x 2.
1) Sčítanie matíc dáva
( začať a & b c & d end + začať a '& b' c '& d' koniec = začať a + a '& b + b' c + c '& d + d' koniec )
Pridaním ľubovoľnej matice 2 x 2 získate maticu 2 x 2, a preto výsledok sčítania patrí do (V ).

2) Skalárne násobenie matíc dáva dáva
(r začať a & b c & d end = začať r a & r b r c & r d koniec )
Vynásobte ľubovoľnú maticu 2 x 2 skalárom a výsledkom je, že matica 2 x 2 je prvok (V ).

3) Komutatívnosť
( začať a & b c & d end + začať a '& b' c '& d' koniec = začať a + a '& b + b' c + c '& d + d' koniec = začať a '+ a & b' + b c '+ c & d' + d end = začať a '& b' c '& d' koniec + začať a & b c & d end )

4) Asociativita sčítania vektorov
( doľava ( začať a & b c & d end + začať a '& b' c '& d' koniec right) + begin a '& b' c '& d' ' koniec = začať a + a '& b + b' c + c '& d + d' koniec + začať a '& b' c '& d' ' koniec = začať (a + a ') + a' '& (b + b') + b ' (c + c') + c '& (d + d') + d ' koniec = začať a + (a '+ a' ') & b + (b' + b '') c + (c '+ c' ') & d + (d' + d '') koniec = začať a & b c & d end + doľava ( začať a '& b' c '& d' koniec + začať a '& b' c '& d' ' koniec správny) )

5) Asociativita násobenia
(r doľava (s začiatok a & b c & d end right) = r left ( begin s a & s b s c & s d end right) = začať r s a & r s b r s c & r s d end = začať (r s) a & (r s) b (r s) c & (r s) d end = (r s) začať a & b c & d end )

6) Nulový vektor
( začať a & b c & d end + začať 0 a 0 0 a 0 koniec = začať a + 0 & b + 0 c + 0 & d + 0 koniec = začať a & b c & d end )

7) Negatívny vektor
( začať a & b c & d end + začať - a & - b - c & - d koniec = začať a + (- a) & b + (- b) c + (- c) & d + (- d) koniec = začať 0 a 0 0 a 0 koniec )

8) Distribučnosť súčtov matíc:
(r doľava ( začiatok a & b c & d end + začať a '& b' c '& d' koniec right) = začať r (a + a ') & r (b + b') r (c + c ') & r (d + d') koniec = začať r a + r a '& r b + r b r c + r c' & r d + r d koniec = r doľava ( začať a & b c & d end right) + r left ( begin a '& b' c '& d' koniec správny) )

9) Rozdeliteľnosť súčtov reálnych čísel:
((r + s) začať a & b c & d end = začať (r + s) a & (r + s) b (r + s) c & (r + s) d koniec = začať r a + s a & r b + s b r c + s c & r d + s d koniec = začať r a & r b r c & r d koniec + začať s a & s b s c & s d end = r začať a & b c & d end + s začať a & b c & d end )

10) Násobenie o 1.
(1 začiatok a & b c & d end = začať 1 a & 1 b 1 c & 1 d koniec = začať a & b c & d end )

Príklad 3
Ukážte, že množina všetkých reálnych funkcií spojitých na ((- infty, infty) ) spojená s pridaním funkcií a násobením matíc skalárom vytvára vektorový priestor.
Riešenie z príkladu 3
Z počtu vieme, či ( textbf ) a ( textbf ) sú skutočné spojité funkcie na ((- infty, infty) ) a (r ) je skutočné číslo potom
(( textbf + textbf) (x) = textbf(x) + textbf(x) ) je tiež spojité na ((- - infty, infty) )
a
(r textbf(x) ) je tiež spojité na ((- - infty, infty) )
Preto je množina funkcií spojitých na ((- infty, infty) ) uzavretá pri sčítaní a skalárnom násobení (prvé dve podmienky vyššie).
Zvyšných 8 pravidiel je automaticky splnených, pretože ide o skutočné funkcie.

Príklad 4
Ukážte, že množina všetkých skutočných polynómov so stupňom (n le 3 ) spojeným s pridaním polynómov a násobením polynómov skalárom vytvára vektorový priestor.
Riešenie z príkladu 4
Sčítanie dvoch polynómov stupňa menšieho ako alebo rovného 3 je polynómom stupňa lass rovným alebo rovným 3.
Násobenie polynómu stupňa menšieho alebo rovného 3 skutočným počtom vedie k polynómu stupňa menšieho alebo rovného 3
Preto sa množina polynómov stupňa menšieho alebo rovného 3 uzavrie sčítaním a skalárnym násobením (prvé dve podmienky vyššie).
Zvyšných 8 pravidiel je automaticky splnených, pretože polynómy sú skutočné.

Príklad 5 Ukážte, že množina polynómov so stupňom (n = 4 ) spojeným s pridaním polynómov a násobením polynómov skutočným počtom NIE JE vektorový priestor.
Riešenie z príkladu 5
Pridanie dvoch polynómov stupňa 4 nemusí mať za následok polynóm stupňa 4.
Príklad: Nech ( textbf

(x) = -2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6 ) a ( textbf(x) = 2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10 )
( textbf

(x) + textbf(x) = (-2 x ^ 4 + 3x ^ 2- 2x + 6) + (2 x ^ 4 - 5x ^ 2 + 10) = - 5x ^ 2 - 2 x + 16 )
Výsledkom nie je polynóm stupňa 4. Sada teda nie je pri pridávaní uzavretá, a preto NIE JE vektorovým priestorom.

Príklad 6
Ukážte, že množina celých čísel spojená s sčítaním a násobením skutočným číslom NIE JE vektorový priestor
Riešenie k príkladu 6
Násobenie celého čísla skutočným číslom nemusí byť celé číslo.
Príklad: Nech (x = - 2 )
Ak vynásobíte (x ) skutočným číslom ( sqrt 3 ), výsledok NIE JE celé číslo.

Viac referencií a odkazov

  1. Lineárna algebra a jej aplikácie - 5. vydanie - David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald
  2. Elementárna lineárna algebra - 7. vydanie - Howard Anton a Chris Rorres
  3. Matice s príkladmi a otázky s riešeniami
  4. Polynómy
  5. Komplexné čísla sčítajte, odčítajte a skalárne vynásobte matice

Cvičenia 12.2

Ex 12.2.1 Nakreslite vektor $ langle 3, -1 rangle $ chvostom pri začiatku.

Ex 12.2.2 Nakreslite vektor $ langle 3, -1,2 rangle $ chvostom pri začiatku.

Ex 12.2.3 Nech $ < bf A> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (1,2) $ nech $ < bf B> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (3,1 ) $. Nakreslite $ < bf A> $ a $ < bf B> $ a vektor $ < bf C> $ s chvostom na $ (1,2) $ a hlavičkou na $ (3,1) $. Nakreslite chvostom $ bf C $ na začiatku.

Ex 12.2.4 Nech $ < bf A> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (- 1,2) $ nech $ < bf B> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (3, 3) $. Nakreslite $ < bf A> $ a $ < bf B> $ a vektor $ < bf C> $ s chvostom na $ (- 1,2) $ a hlavičkou na $ (3,3) $. Nakreslite chvostom $ bf C $ na začiatku.

Ex 12.2.5 Nech $ < bf A> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (5,2) $ nech $ < bf B> $ je vektor s chvostom na začiatku a hlavou na $ (1,5 ) $. Nakreslite $ < bf A> $ a $ < bf B> $ a vektor $ < bf C> $ s chvostom na $ (5,2) $ a hlavou na $ (1,5) $. Nakreslite chvostom $ bf C $ na začiatku.

Ex 12.2.11 Nech $ P = (4,5,6) $, $ Q = (1,2; -5) $. Nájdite $ ds overrightarrow < strut PQ> $. Nájdite vektor s rovnakým smerom ako $ ds overrightarrow < strut PQ> $, ale s dĺžkou 1. Nájdite vektor s rovnakým smerom ako $ ds overrightarrow < strut PQ> $, ale s dĺžkou 4. (odpoveď )

Ex 12.2.12 Ak sú $ A, B $ a $ C $ tri body, nájdite $ ds overrightarrow < strut AB> + overrightarrow < strut BC> + overrightarrow < strut CA> $. (odpoveď)

Ex 12.2.13 Zvážte 12 vektorov, ktorých chvosty sú v strede hodín a ich príslušné hlavy v každej z 12 číslic. Aký je súčet týchto vektorov? Čo ak odstránime vektor zodpovedajúci 4 hodine? Čo ak by namiesto toho mali všetky vektory chvosty o 12:00 a ich hlavy boli zostávajúce číslice? (odpoveď)

Ex 12.2.14 Nech $ bf a $ a $ bf b $ sú nenulové vektory v dvoch dimenziách, ktoré nie sú paralelné alebo antiparalelné. Ukážte algebraicky, že ak $ bf c $ je ľubovoľný dvojrozmerný vektor, existujú skaláre $ s $ a $ t $ také, že $ < bf c> = s < bf a> + t < bf b> $ .

Ex 12.2.15 Platí výrok v predchádzajúcom cvičení, ak vektory $ bf a $, $ bf b $ a $ bf c $ sú trojrozmerné vektory? Vysvetlite.


Praktická vektorová plavba!

Jednotky slúžia ako sprievodcovia konkrétnym obsahom alebo tematickou oblasťou. Vnorené pod jednotky sú lekcie (fialovou farbou) a praktické aktivity (modrou farbou).

Upozorňujeme, že nie všetky hodiny a aktivity budú prebiehať v rámci jednej jednotky a namiesto toho môžu existovať ako samostatné učebné osnovy.

  • Vykreslite svoj kurz - navigácia
    • Kde je tu?
      • Nidy-Gridy: Používanie sietí a súradníc
      • Northward Ho! Vytvorte a používajte jednoduché kompasy
      • Nájdite si svoj vlastný smer
      • Ako byť skvelým navigátorom!
        • Vektorová plavba!
        • Severná (stenová) hviezda
        • Navigácia podľa čísel
          • Zostať vo forme
          • Trig River
          • Presnosť, presnosť a chyby v navigácii: Správne!
            • Dosť blízko? Uhly a presnosť merania v navigácii
            • Presnosť počítača
            • Riešenia Sextant
            • Topo Map Mania!
              • Kde je váš učiteľ?
              • Problémy s toposom
              • Dostať sa k veci
                • Učebné trojuholníky
                • Topo triangulácia
                • Triangulate: Topos, Compasses and Triangles, Oh My!
                • Dostali ste trojuholníky!
                • Navigačné techniky po zemi, mori, vzduchu a vesmíre
                  • Námorná navigácia
                  • Navigácia rýchlosťou satelitov
                    • Uveďte svoju pozíciu
                    • Je čas
                    • GPS v pohybe
                      • Základy GPS prijímača
                      • Tvorba umenia GPS: Nakreslite to, choďte, prihláste sa, zobrazte to!
                      • GPS Scavenger Hunt
                      • Nie tak stratený vo vesmíre
                        • Kruhová cesta na Mars
                        • Satelitný sledovač

                        Newsletter TE

                        Zhrnutie

                        Študenti preskúmajú vektorovú analýzu

                        Inžinierske pripojenie

                        Aj keď to prvýkrát opísali matematici, takmer každá oblasť strojárstva dnes používa vektory ako nástroj, najmä na výpočet sily a napätia. Strojní, leteckí, civilní a chemickí inžinieri, ktorí navrhujú koncepty dynamiky tekutín, používajú pri výpočtoch vektory na opísanie síl v reálnom svete, ako je pohyb vetra a vody. Elektrotechnici nimi tiež popisujú sily magnetických a elektrických polí.

                        Učebné ciele

                        Po tejto aktivite by študenti mali byť schopní:

                        • Vysvetlite, že vektory môžu predstavovať vzdialenosti a smery a sú dobrým spôsobom sledovania pohybu na mapách.
                        • Pomocou vektorov môžete pochopiť smery, vzdialenosti a časy spojené s pohybom a rýchlosťou.

                        Vzdelávacie štandardy

                        Každý TeachEngineering lekcia alebo aktivita súvisí s jedným alebo viacerými vzdelávacími štandardmi K-12 pre vedu, technológiu, inžinierstvo alebo matematiku (STEM).

                        Všetkých 100 000+ štandardov K-12 STEM zahrnutých v TeachEngineering sú zhromažďované, udržiavané a balené organizáciou Achievement Standards Network (ASN), projekt z D2L (www.achievementstandards.org).

                        V ASN sú štandardy hierarchicky štruktúrované: najskôr podľa zdroja napr., podľa stavu v rámci zdroja podľa typu napr., prírodoveda alebo matematika v rámci typu podľa podtypu, potom podľa ročníka, atď.

                        Bežné štandardy základného stavu - matematika
                        • (+) Rozpoznajte vektorové veličiny ako veličiny, tak aj smerové. Reprezentujte vektorové veličiny nasmerovanými úsečkami a pre vektory a ich veľkosti používajte príslušné symboly (napr. V, | v |, || v ||, v). (Ročníky 9 - 12) Viac podrobností

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Medzinárodné združenie učiteľov technologických a technických vied - technológia
                        • Študenti si osvoja porozumenie vzťahov medzi technológiami a súvislostí medzi technológiami a inými študijnými odbormi. (Ročníky K - 12) Viac podrobností

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Štátne normy
                        Colorado - matematika
                        • Pomocou Pytagorovej vety nájdite vzdialenosť medzi dvoma bodmi v súradnicovom systéme. (8. stupeň) Viac podrobností

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Súhlasíte s týmto zosúladením? Ďakujem za spätnú väzbu!

                        Zoznam materiálov

                        Pracovné listy a prílohy

                        Viac učebných osnov ako je tento

                        Študenti sa učia, že navigačné techniky sa menia, keď ľudia cestujú na rôzne miesta - pevninu, more, vzduch a vesmír. Napríklad prieskumník cestujúci po zemi používa iné navigačné metódy a nástroje ako námorník alebo astronaut.

                        V tejto lekcii sa študenti dozvedia, ako skvelí navigátori minulosti zostali na kurze - teda historické metódy navigácie. Diskutuje sa o koncepciách mŕtveho počítania a nebeskej navigácie.

                        V tejto lekcii študenti skúmajú základné pojmy technológie GPS - trilateráciu a použitie rýchlosti svetla na výpočet vzdialeností.

                        Študenti sa učia, že matematika je dôležitá v navigácii a inžinierstve. Na riešenie skutočných problémov používajú Pytagorovu vetu.

                        Úvod / Motivácia

                        Môžete opísať rýchlosť a vzdialenosť? (Odpoveď: vzdialenosť = rýchlosť x čas to napíš na tabuľu.) Pamätaj, že aby tento vzťah fungoval, musia sa jednotky zhodovať. Napríklad, ak sa rýchlosť meria v míľach za hodinu, musí byť čas prevedený na hodiny, aby bola odpoveď správna.

                        Ako starí námorní kapitáni udržovali svoje lode v kurze počas svojich plavieb? (Zistite, či majú študenti nejaké nápady.) Použili ich mŕtve počítanie aby prišli na to, kam majú namierené. Myslíte si, že sledovali slnko, pobrežie alebo dokonca hviezdy? (Počkajte na niektoré odpovede študentov.) Áno, mali. Vďaka znalosti rýchlosti, času a priebehu svojej cesty však mohli určiť, kam a približne kedy dorazia, čo bola veľká výhoda!

                        Kolumbus - a väčšina ďalších námorníkov svojej doby - používal pri navigácii mŕtve zúčtovanie. S mŕtvym zúčtovaním nájdu navigátori svoje polohy odhadom kurzu a vzdialenosti, ktorú preplávali zo známych bodov. Počínajúc od známeho bodu, napríklad od prístavu, navigátor zmeria kurz a vzdialenosť od tohto bodu na mape a pichnutím mapy špendlíkom označí novú pozíciu. Títo raní navigátori používali matematiku, aby im pomohla zorientovať sa a zostať v kurze, keď na ich cesty ovplyvnil vietor, prúd a ďalšie faktory. Columbus, žiaľ, nikdy nedorazil do cieľa, kde si myslel, že skončí. Prečo si myslíte, že sa to stalo? Aké presné je zúčtovanie?

                        Postup

                        Mŕtve počítanie je proces navigácie posunutím známej polohy pomocou kurzu, rýchlosti, času a prejdenej vzdialenosti. Inými slovami, zisťovanie, kde sa v určitý čas budete nachádzať, ak držíte rýchlosť, čas a samozrejme plánujete vycestovať.

                        Obrázok 1. Grafické znázornenie plavby plavidla pomocou vektorov.

                        Kurz je smer, ktorým chcete plavidlo riadiť. „Kurz“ alebo kurz smeruje pri tomto cvičení vždy na západ (270 stupňov meraných v smere hodinových ručičiek od 0 stupňov severne). Nadpis je smer, ktorým sa plavidlo uberá v danom bode. Skutočne sledovaná stopa môže byť veľmi krivá v dôsledku pôsobenia vĺn, prúdu, vetra a helmspersona (osoba zodpovedná za riadenie plavidla). „Kurz bol dobrý“ je skutočne prekonaný kurz.

                        Vektory sú šípky, ktoré predstavujú dve informácie: hodnotu veľkosti (dĺžka šípky) a smerovú hodnotu (spôsob nasmerovania šípky). Pokiaľ ide o pohyb, informáciou obsiahnutou vo vektore je prejdená vzdialenosť a smer. Vektory nám poskytujú grafickú metódu na výpočet súčtu niekoľkých súčasných pohybov. Ak je pohyb ovplyvnený iba jednou premennou (predstavovanou vektorom A alebo B), potom by nádoba dorazila na koniec tohto vektora. If movement is affected by two variables (represented by the sum of A and B), then a vessel's final position can be found by linking the two vectors together.

                        Figure 2. Vectors illustrate the final position of vessel's voyage.

                        • Make copies of the Vector Voyage Worksheet 1 and Vector Voyage Worksheet 2, one each per student.
                        • Print out the Vector Voyage Worksheet 1, 2 and 3 Answer Keys for yourself.
                        • Provide students with a brief introduction to vectors.

                        Ask the students: Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would follow otherwise. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Ask the students: How are vectors related to speed? (Answer: A [velocity] vector tells both speed and direction [N, S, E, W], while speed alone does not tell you direction.)

                        1. Give each student a Vector Voyage Worksheet 1.
                        2. Using the specified color of pencil, have students draw the 10 square movement vectors straight across the map and answer the worksheet questions.
                        3. Have students redraw the 10 square movement vectors on the map while adding the wind vector corrections for each month. Each month's movement vector must start from the end of the previous month's wind vector (refer to Vector Voyage Worksheet 1 Answer Key). Have students answer the worksheet questions.
                        4. Have students redraw the 10 square movement vectors a wind correction vectors on the map while adding the current vector corrections for each month. Each month's current vector now starts from the end of the previous month's wind vector. Each month's movement vector must now start from the end of the previous month's current vector (refer to Vector Voyage Worksheet 2 Answer Key). Have students answer the Vector Voyage Worksheet 2 questions.
                        5. Once they are done, point out how they would have landed on the U.S. without the effects of wind or ocean currents. However, because of wind and ocean currents, they ended up in Cuba.
                        6. Inform students that each square is 100 miles in length. Then have them calculate the distance for Part 1. (Answer: 3,500 miles.)

                        Vocabulary/Definitions

                        dead reckoning: The process of navigating by calculating one's current position by using a previously determined position, and advancing that position based upon known or estimated speeds over elapsed time and course.

                        Assessment

                        Discussion Question: Solicit, integrate and summarize student responses.

                        • Should sailors worry about wind and current when traveling long distances? (Answer: Yes. Wind and currents can take a ship far from the course it would otherwise follow.
                        • Should a navigator pay attention to wind? To current? (Answer: Yes. If the navigator is not keeping track of the affects of the wind and current, the ship could become hopelessly lost.)

                        Activity Embedded Assessment

                        Worksheets: As directed in the Procedure > With the Students section, have students complete the activity worksheets and answer the worksheet questions.Review their answers to gauge their mastery of the subject.

                        Student-Generated Questions: Have each student pick a spot on the African coast and then determine the wind and current correction vectors that would take a ship there after 1 month of sailing east 10 squares. Have them exchange these corrections with a partner (without letting the partners see their sheets), and calculate where they would arrive in Africa using their partner's corrections on their own sheets.

                        Troubleshooting Tips

                        Getting started drawing vectors may be confusing for students. If necessary, help them by drawing the first two vectors on the chalkboard so the entire class can see, or in small groups.

                        The wind correction vector is added to the end of the first vector arrow for month 1. The vectors for Part 3 of the worksheets must build off of the added vectors in Part 2. Both the wind and the ocean affect the landfall this is represented accurately only by building off the wind correction vectors.

                        Vector Voyage Worksheet 3 Answer Key offers a summary of this activity and clearly illustrates the vector movement directly. This answer key is an excellent teacher reference for students who are having difficulty with this exercise.

                        Activity Extensions

                        With students using the Blank Vector Voyage Worksheet, have them plot their own courses, recording movements, directions and corrections along the way. Have them give the new course instructions to a partner to determine if they can sail to the new spot.


                        Welcome to Problems in Mathematics

                        I post problems and their solutions/proofs in mathematics.

                        Most of the problems are undergraduate level mathematics.

                        Here are several topics I cover on this website.

                        2018 is not a prime number. Do you want to know more about 2018?


                        For my profile, please check out Who’s Yu Tsumura

                        More from my site

                          Sylow’s Theorem (Summary)In this post we review Sylow's theorem and as an example we solve the following problem. Show that a group of order $200$ has a normal Sylow $5$-subgroup. Review of Sylow's Theorem One of the important theorems in group theory is Sylow's theorem. Sylow's theorem is a [&hellip]Basic Exercise Problems in Module TheoryLet $R$ be a ring with $1$ and $M$ be a left $R$-module. (a) Prove that _Rm=0_M$ for all $m in M$. Here _R$ is the zero element in the ring $R$ and _M$ is the zero element in the module $M$, that is, the identity element of the additive group $M$. To simplify the [&hellip]If a Sylow Subgroup is Normal in a Normal Subgroup, it is a Normal SubgroupLet $G$ be a finite group. Suppose that $p$ is a prime number that divides the order of $G$. Let $N$ be a normal subgroup of $G$ and let $P$ be a $p$-Sylow subgroup of $G$. Show that if $P$ is normal in $N$, then $P$ is a normal subgroup of $G$. Hint. It follows from [&hellip]Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups and its applicationIn this post, we study the Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups, and as an application we solve the following problem. Problem. Let $G$ be a finite abelian group of order $n$. If $n$ is the product of distinct prime numbers, then prove that $G$ is isomorphic [&hellip]Sequences Satisfying Linear Recurrence Relation Form a SubspaceLet $V$ be a real vector space of all real sequences [(a_i)_^=(a_1, a_2, cdots).] Let $U$ be the subset of $V$ defined by [U=< (a_i)_^ in V mid a_-5a_+3a_=0, k=1, 2, dots >.] Prove that $U$ is a subspace of [&hellip]A Positive Definite Matrix Has a Unique Positive Definite Square RootProve that a positive definite matrix has a unique positive definite square root. In this post, we review several definitions (a square root of a matrix, a positive definite matrix) and solve the above problem. After the proof, several extra problems about square [&hellip]Express a Hermitian Matrix as a Sum of Real Symmetric Matrix and a Real Skew-Symmetric MatrixRecall that a complex matrix is called Hermitian if $A^*=A$, where $A^*=ar^< rans>$. Prove that every Hermitian matrix $A$ can be written as the sum [A=B+iC,] where $B$ is a real symmetric matrix and $C$ is a real skew-symmetric matrix. Dôkaz. Since [&hellip]How to Diagonalize a Matrix. Step by Step Explanation.In this post, we explain how to diagonalize a matrix if it is diagonalizable. As an example, we solve the following problem. Diagonalize the matrix [A=egin 4 & -3 & -3 3 &-2 &-3 -1 & 1 & 2 end] by finding a nonsingular [&hellip]

                        Zanechať Odpoveď zrušiť odpoveď

                        This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.


                        Zhrnutie

                        With tuple representations for vectors and matrix representations for linear transformations, we have a unifying framework for computations over all finite-dimensional vector spaces. In other words, thinking about an (n)-dimensional vector space is essentially thinking about (n)-tuples and thinking about linear transformations is essentially thinking about matrices. The usefulness of this fact cannot be overstated, especially when it comes to developing computer software that works with vector spaces.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        1.2E: Exercises for Vectors in Space - Mathematics

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.

                        Position Vector Time

                        Finding Velocity and Acceleration Vectors in Space In Exercises 11-20, the position vector r describes the path or an object moving in space.

                        (a) Kind the velocity vector, speed, and acceleration vector of the object.

                        (b) Evaluate the velocity vector and acceleration vector of the object at the given value of t.


                        Scalar Multiplication of a Vector

                        Example 2: Vectors v and u are given by their components as follows
                        v = < -2 , 3> and u = < 4 , 6>
                        Find each of the following vectors.
                        1 : v + 2 u
                        2 : u - 4 v
                        Solution to example 2:
                        First carry out the scalar multiplication 2 u then the addition

                        1 : v + 2 u = <-2 , 3> + 2 <4 , 6> = <-2 , 3> + <8 , 12>
                        = <6 , 15>
                        2 : u - 4 v = <4 , 6> + (- 4) <-2 , 3> = <4 , 6> + <8 , -12>
                        = <12 , -6>

                        Example 3: v and u are vectors given by
                        v = < 1 , -2> and u = < u1 , u2>
                        Find components u1 and u2 of vector u so that v + 3 u = 0.
                        Solution to example 3:
                        We first obtain v + 3 u in terms of u1 and u2

                        = <1 , -2> + <3 u1 , 3 u2>
                        = <1 + 3 u1 , -2 + 3 u2>
                        For the above vector to be equal to vector 0, its two components have to be equal to 0, hence
                        1 + 3 u1 = 0 and -2 + 3 u2 = 0
                        Solve the first equation for u1 and the second equation for u2
                        u1 = -1 / 3 and u2 = 2 / 3

                        Cvičenia
                        1. Given vectors
                        v = <-3 , 2> and u = <-2 , 0>,
                        find the following vectors.
                        - v + 2 u , v - (1/2) u
                        2. Vectors v and u are given by
                        v = <4 , 1> and u = <u1 , u2>,
                        find components u1 and u2 so that 2 v - 3 u = 0 .

                        Answers to above exercises
                        1.
                        - v + 2 u = <- 1 , -2>,
                        v - (1/2) = <- 2 , 2>,
                        2.
                        u1 = 8 / 3
                        u2 = 2 / 3

                        More pages and references related to vectors.