Články

4.2: Riešenie systémov substitúciou


V tejto časti predstavujeme algebraickú techniku ​​riešenia sústav dvoch rovníc v dvoch neznámych, ktorá sa nazýva substitučná metóda. Najskôr vyriešite ktorúkoľvek z rovníc pre každú premennú a potom výsledok dosadíte do druhej rovnice. Výsledkom je rovnica v jednej premennej. Vyriešte túto rovnicu a potom výsledok vložte do ktorejkoľvek z ďalších rovníc, aby ste našli zostávajúcu neznámu premennú.

Príklad ( PageIndex {1} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[2x-5 r = -8 štítok {Eq4.2.1} ]

[y = 3x-1 štítok {Eq4.2.2} ]

Riešenie

Rovnica ref {Eq4.2.2} je už vyriešená pre (y ). Nahraďte Rovnicu ref {Eq4.2.2} do Rovnice ref {Eq4.2.1}. To znamená, že v rovnici ref {Eq4.2.1} nahradíme (3x − 1 ) za (y ).

[ begin {aligned} 2x-5y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.1} 2x-5 ({ color {Red} 3x-1 }) & = -8 quad { color {červená} text {náhrada} 3x-1 text {pre} y text {in}} ref {Eq4.2.1} end {zarovnaný} nonumber ]

Teraz vyriešte pre (x ).

[ begin {aligned} 2x-15x + 5 & = -8 quad color {Red} text {Distribute} -5 -13x + 5 & = -8 quad color {Red} text { Zjednodušiť. } -13x & = -13 quad color {Červená} text {Odčítať} 5 text {z oboch strán,} x & = 1 quad color {Červená} text {Rozdeliť obe strany o } -13 end {zarovnaný} nonumber ]

Ako sme videli v časti Riešenie systémov grafom, riešením systému je priesečník dvoch priamok predstavovaných rovnicami v systéme. To znamená, že môžeme odpoveď (x = 1 ) dosadiť do ktorejkoľvek rovnice, aby sme našli zodpovedajúcu hodnotu (y ). Rozhodli sme sa nahradiť (1 ) za (x ) v rovnici ref {Eq4.2.2}, potom vyriešiť (y ), ale ak dosadíte (1 ), dostanete úplne rovnaký výsledok. pre (x ) v rovnici ref {Eq4.2.1}.

[ begin {aligned} y & = 3x-1 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.2} y & = 3 (1) -1 quad color { Červená} text {Náhrada} 1 text {pre} x y & = 2 quad color {Červená} text {Zjednodušte. } end {zarovnané} nonumber ]

Preto ((x, y) = (1, 2) ) je riešením systému.

Kontrola: Aby sme ukázali, že riešenie ((x, y) = (1, 2) ) je riešením systému, musíme ukázať, že ((x, y) = (1, 2) ) vyhovuje obidvom rovniciam ref {Eq4.2.1} a ref {Eq4.2.2}.

Náhradník ((x, y) = (1, 2) ) v rovnici ref {Eq4.2.1}:

[ begin {aligned} 2 x-5 y & = - 8 2 (1) -5 (2) & = - 8 2-10 & = - 8 - 8 & = - 8 end {zarovnané} nonumber ]

Teda (1,2) vyhovuje rovnici ref {Eq4.2.1}.

Náhradník ((x, y) = (1, 2) ) v rovnici ref {Eq4.2.2}:

[ begin {array} {l} {y = 3 x-1} {2 = 3 (1) -1} {2 = 3-1} {2 = 2} end {pole } nečíslo ]

Teda (1,2) vyhovuje Rovnici ref {Rovnica 4.2.2}.

Pretože ((x, y) = (1, 2) ) vyhovuje obom rovniciam, je riešením systému.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[ begin {zarovnané} 9 x + 2 y & = - 19 y & = 13 + 3 x end {zarovnané} nonumber ]

Odpoveď

((-3,4))

Substitučná metóda

Substitučná metóda zahŕňa tieto kroky:

  1. Vyriešte buď rovnicu pre každú premennú.
  2. Výsledok z prvého kroku dosaďte do druhej rovnice. Vyriešte výslednú rovnicu.
  3. Výsledok z druhého kroku nahraďte buď pôvodnou systémovou rovnicou, alebo výslednou rovnicou z prvého kroku (podľa toho, čo sa javí ako najjednoduchšie), potom nájdite zostávajúcu neznámu premennú.

Príklad ( PageIndex {2} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[5x-2y = 12 štítok {Eq4.2.3} ]

[4x + y = 6 štítok {Eq4.2.4} ]

Riešenie

Prvým krokom je riešenie ktorejkoľvek rovnice pre každú premennú. To znamená, že môžeme vyriešiť prvú rovnicu pre (x ) alebo (y ), ale tiež to znamená, že by sme mohli najskôr vyriešiť druhú rovnicu pre (x ) alebo (y ). Z týchto štyroch možných možností sa zdá byť najjednoduchším riešením riešenie druhej rovnice ref {Eq4.2.4} pre (y ).

[ begin {aligned} 4x + y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.4} y & = 6-4x quad color {Red} text {Odpočítať} 4x text {z oboch strán. } end {zarovnané} nonumber ]

Ďalej nahraďte (6–4x ) za (y ) v rovnici ref {Eq4.2.3}.

[ begin {aligned} 5x-2y & = 12 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.3} 5x-2 (6-4x) & = 12 quad { color {červená} text {náhrada} 6-4 x text {pre} y text {in}} ref {Eq4.2.3} 5x-12 + 8x & = 12 quad color {červená} text {Distribute} -2 13x-12 & = 12 quad color {Red} text {Zjednodušiť. } 13x & = 24 quad color {Red} text {Add} 12 text {na obe strany. } x & = dfrac {24} {13} quad color {červená} text {Vydeľte obidve strany} 13 end {zarovnané} nonumber ]

Nakoniec, aby ste našli hodnotu (y ) -, nahraďte (24/13 ) za (x ) v rovnici (y = 6-4x ) (môžete tiež nahradiť (24/13 ) pre (x ) v rovniciach ref {Eq4.2.3} alebo ref {Eq4.2.4}).

[ begin {aligned} y & = 6-4x y & = 6-4 left ( dfrac {24} {13} right) quad color {Red} text {Substitute} 24/13 text {for} x text {in} y = 6-4x y & = dfrac {78} {13} - dfrac {96} {13} quad color {červená} text {násobiť, potom urobte ekvivalentné frakcie. } y & = - dfrac {18} {13} quad color {červená} text {Zjednodušiť. } end {zarovnané} nonumber ]

Preto ((x, y) = (24/13, −18 / 13) ) je riešením systému.

Kontrola: Na kontrolu riešenia použijeme grafickú kalkulačku. Najskôr uložíme (24/13 ) do (X ) s nasledujúcimi stlačeniami klávesov (výsledok nájdete na obrázku ( PageIndex {3} )).

Teraz vyčistite obrazovku kalkulačky stlačením JASNÝ tlačidlo, potom zadajte ľavú stranu rovnice ref {Eq4.2.3} s nasledujúcimi stlačeniami klávesov (výsledok nájdete na obrázku ( PageIndex {4} )).

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[ begin {aligned} x-2 y & = 13 4 x-3 y & = 26 end {aligned} nonumber ]

Odpoveď

((13 / 5,-26 / 5))

Príklad ( PageIndex {3} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[3x-2y = 6 štítok {Eq4.2.5} ]

[4x + 5y = 20 štítok {Eq4.2.6} ]

Riešenie

Delenie pomocou (- 2 ) dáva ľahšie zlomky ako s delením (3 ), (4 ) alebo (5 ), takže začnime riešením rovnice ( ref {Eq4.2.5} ) pre (y ).

[ begin {aligned} 3x-2y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.5} -2y & = 6-3x quad color {Red} text {Odčítať} 3 x text {z oboch strán. } y & = dfrac {6-3 x} {- 2} quad color {červená} text {Vydeľte obidve strany} -2 y & = -3+ dfrac {3} {2 } x quad color {červená} text {rozdeľte obidve} 6 text {a} -3 x text {o} -2 text {pomocou distribučnej vlastnosti. } end {zarovnané} nonumber ]

Náhradník (- 3+ dfrac {3} {2} x ) za (y ) v rovnici ref {Eq4.2.6}

[ begin {zarovnané}
4x + 5r & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6}
4x + 5 vľavo (-3+ dfrac {3} {2} x vpravo) & = 20 quad color {červená} text {náhrada} -3+ dfrac {3} {2} x text {na} y
4x-15 + dfrac {15} {2} x & = 20 quad color {červená} text {Distribuovať} 5
8x-30 + 15x & = 40 quad color {Red} text {Vymazanie zlomkov vynásobením}
23x & = 70 quad color {červená} text {Zjednodušiť. Pridajte} 30 text {na obe strany. }
x & = dfrac {70} {23} quad color {červená} text {obe strany vydeliť} 23
end {zarovnané} nonumber ]

Ak chcete nájsť (y ), nahraďte (70/23 ) za (x ) do rovnice (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). Môžete tiež nahradiť (70/23 ) za (x ) v rovniciach ref {Eq4.2.5} alebo ref {Eq4.2.6} a získať rovnaký výsledok.

[ begin {aligned} y & = -3+ dfrac {3} {2} x y & = -3+ dfrac {3} {2} doľava ( dfrac {70} {23} vpravo) quad color {červená} text {náhrada} 70/23 text {pre} x y & = - dfrac {69} {23} + dfrac {105} {23} quad color {Červená} text {Násobte. Pripravte ekvivalentné zlomky. } y & = dfrac {36} {23} quad text {Zjednodušiť. } end {zarovnané} nonumber ]

Preto ((x, y) = (70 / 23,36 / 23) ) je riešením systému.

Kontrola: Ak chcete toto riešenie skontrolovať, nájdeme riešenie systému pomocou grafickej kalkulačky. Už vieme, že (3x - 2y = 6 ) je ekvivalentné (y = -3 + dfrac {3} {2} x ). Vyriešime tiež rovnicu ref {Eq4.2.6} pre (y ).

[ begin {aligned} 4x + 5y & = 20 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.6} 5y & = 20-4x quad color {Red} text {Odčítať} 4 x text {z oboch strán. } y & = dfrac {20-4 x} {5} quad color {červená} text {Vydeľte obidve strany} 5 y & = 4- dfrac {4} {5} x quad color {červená} text {pomocou distribúčnej vlastnosti rozdelte} 20 text {a} -4 x text {na} 5 text {. } end {zarovnané} nonumber ]

Zadajte (y = -3 + dfrac {3} {2} x ) a (y = 4- dfrac {4} {5} x ) do Y.= ponuka grafickej kalkulačky (pozri obrázok 4.32).

Stlačte tlačidlo ZOOM tlačidlo a vyberte 6: Z Štandard. Stlačte 2. KALK otvoriť VÝPOČET menu, zvoľte 5: pretínajú sa, potom stlačte VSTÚPTE trikrát za sebou zadajte „Áno“ do otázok „Prvá krivka“, „Druhá krivka“ a „Hádajte“. Výsledok je uvedený na obrázku ( PageIndex {7} ).

V dolnej časti zobrazovacieho okna na obrázku ( PageIndex {7} ) si všimnite, ako sú v premenných uložené súradnice priesečníka. X a Y.. Bez pohybu kurzora (premenné X a Y. obsahovať súradnice kurzora), ukončite okno sledovania stlačením 2. KONEC, ktorá sa nachádza nad REŽIM kľúč. Potom stlačte JASNÝ na vymazanie obrazovky kalkulačky.

Teraz stlačte kláves ( mathrm {X}, mathrm {T}, theta, mathrm {n} ), potom kláves MATH tlačidlo na kalkulačke:

Vyberte 1: ►Frac, potom stlačte VSTÚPTE kľúč na vytvorenie zlomkového ekvivalentu desatinného obsahu premennej (X ) (pozri obrázok ( PageIndex {9} )).

Zopakujte postup pre premennú (Y ). Zadajte:

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[ begin {aligned} 3 x-5 y & = 3 5 x-6 y & = 2 end {aligned} nonumber ]

Odpoveď

((-8 / 7,-9 / 7))

Vrátené mimoriadne prípady

Je celkom možné, že substitučnú metódu môžete použiť na systém rovníc, ktoré majú nekonečné množstvo riešení alebo vôbec žiadne. Pozrime sa, čo sa stane, ak to urobíte.

Príklad ( PageIndex {4} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[2 x + 3 r = 6 štítok {Eq4.2.7} ]

[y = - dfrac {2} {3} x + 4 štítok {Eq4.2.8} ]

Riešenie

Rovnica ref {Eq4.2.8} je už vyriešená pre (y ), takže dosadime (- dfrac {2} {3} x + 4 ) za (y ) v Rovnici ref {Eq4. 2,7}.

[ begin {aligned} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 2x + 3 left (- dfrac {2} {3 } x + 4 right) & = 6 quad color {Red} text {Substitute} - dfrac {2} {3} x + 4 text {for} y 2x-2x + 12 & = 6 quad color {červená} text {Distribuujte} 3 12 & = 6 quad color {červená} text {Zjednodušte. } end {zarovnané} nonumber ]

Dobrota! Čo sa stalo s (x )? Ako máme v tejto situácii vyriešiť znak (x )? Upozorňujeme však, že výsledné tvrdenie (12 = 6 ) je nepravdivé, bez ohľadu na to, čo použijeme pre (x ) a (y ). To by nám malo pomôcť zistiť, že neexistujú žiadne riešenia. Možno máme do činenia s rovnobežnými čiarami?

Vyriešime rovnicu ref {Eq4.2.7} pre (y ) a dajme rovnicu do tvaru interceptu, aby sme pomohli určiť situáciu.

[ begin {aligned} 2x + 3y & = 6 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.7} 3y & = -2x + 6 quad color {Red} text {Odčítať} 2 x text {z oboch strán. } y & = - dfrac {2} {3} x + 2 quad color {červená} text {obe strany vydeľte} 3 end {zarovnané} nonumber ]

Náš systém je teda ekvivalentný nasledujúcim dvom rovniciam.

[ begin {zarovnané} y & = - dfrac {2} {3} x + 2 y & = - dfrac {2} {3} x + 4 end {zarovnané} nonumber ]

Tieto čiary majú rovnaký sklon (- 2/3 ), ale rozdielny (y ) - zachytené (jeden má (y ) - zachytený ((0,2) ), druhý má (y ) - zachytiť ((0,4) )). Ide teda o dve odlišné rovnobežné čiary a systém nemá riešenie.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[ begin {aligned} x & = dfrac {4} {3} y-7 6 x-8 y & = - 3 end {aligned} nonumber ]

Odpoveď

žiadne riešenie

Príklad ( PageIndex {5} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[2x-6y = -8 štítok {Eq4.2.9} ]

[x = 3y-4 label {Eq4.2.10} ]

Riešenie

Rovnica ref {Eq4.2.10} je už vyriešená pre (x ), takže dosadime (3y − 4 ) za (x ) v Rovnici ref {Eq4.2.9}.

[ begin {aligned} 2x-6y & = -8 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.2.9} 2 (3y-4) -6y & = -8 quad color {Red} text {Substitute} 3 y-4 text {for} x 6y-8-6y & = -8 quad color {Red} text {Distribute the} 2 -8 & = -8 quad color {červená} text {zjednodušiť. } end {zarovnané} nonumber ]

Dobrota! Čo sa stalo s (x )? Ako máme v tejto situácii vyriešiť znak (x )? Upozorňujeme však, že výsledný výrok (- 8 = −8 ) je tentoraz pravdivým výrokom. Možno to naznačuje, že máme do činenia s rovnakou líniou? Dajme obe rovnice ref {Eq4.2.9} a ref {Eq4.2.10} do tvaru interceptu svahu, aby sme ich mohli porovnať.

Vyriešiť rovnicu ref {Eq4.2.9} pre (y ):

[ begin {aligned} 2 x-6 y & = - 8 - 6 y & = - 2 x-8 y & = dfrac {-2 x-8} {- 6} y & = dfrac {1} {3} x + dfrac {4} {3} end {zarovnaný} nonumber ]

Vyriešiť rovnicu ref {Eq4.2.10} pre (y ):

[ begin {aligned} x & = 3 y-4 x + 4 & = 3 y dfrac {x + 4} {3} & = y y & = dfrac {1} {3 } x + dfrac {4} {3} end {zarovnané} nonumber ]

Preto majú čiary rovnaký sklon a rovnaký (y ) - intercept a sú to úplne rovnaké čiary. Existuje teda nekonečné množstvo riešení. Akýkoľvek bod na ktorejkoľvek priamke je skutočne riešením. Príklady bodov riešenia sú ((- 4,0) ), ((- 1,1) ) a ((2,2) ).

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Vyriešte nasledujúci systém rovníc:

[ begin {aligned} -28 x + 14 y & = - 126 y & = 2 x-9 end {aligned} nonumber ]

Odpoveď

Existuje nekonečné množstvo riešení. Príklady bodov riešenia sú ((0, −9) ), ((5,1) ) a ((- 3, −15) ).

Tip

Keď nahradíte jednu rovnicu druhou a premenná zmizne, zvážte:

  1. Ak je výsledné tvrdenie nepravdivé, máte dve odlišné rovnobežné čiary a neexistuje riešenie.
  2. Ak je výsledné tvrdenie pravdivé, potom máte rovnaké riadky a riešení je nekonečné množstvo.

Algebra 4.2 Riešenie systémov rovníc substitučnou metódou

5 krokov riešenia systémov pomocou substitučnej metódy.

1. _______ jedna z premenných z jednej z rovníc.

2. _______ množstvo nájdené v kroku 1 do druhej rovnice.

3. _______ výsledná rovnica.

4 .________ hodnotu z kroku 3 do jednej z pôvodných rovníc. Potom ______ pre zostávajúcu premennú.

5. _______ riešenie v obidvoch pôvodných rovniciach.

Ak prídete k riešeniu, ktoré nie je rovnaké, napríklad 4 = 6, ako by sa mala odpoveď písať?

To znamená, že sada riešení predstavuje ________ riadkov.

SYSTÉM ZMLUVY NIE JE NÁSTROJ

Ak prídete k riešeniu, ktoré je rovnocenné, ako napr 8=8 a toto máš potom y = -2x + 4 bolo riešenie prvej rovnice, ako by sa mala písať odpoveď?

To znamená, že sada riešení predstavuje riadok ___________.

ROVNOSTI IDENTITY SÚ ZÁVISLÉ

Jedno číslo je o 3 menej ako dvojnásobok druhého čísla. Ak je súčet dvoch čísel 27, nájdite čísla.

1. Nech sa ____ rovná jednému číslu.
2. Nech sa ____ rovná druhému číslu.
3. Napíšte rovnicu jedného čísla v porovnaní s druhým. Ako napríklad: x = ___y - __
4. Použite substitučnú metódu.


5.2 Riešenie systémov rovníc substitúciou

Riešenie systémov lineárnych rovníc pomocou grafov je dobrý spôsob, ako vizualizovať typy riešení, ktoré môžu vzniknúť. Existuje však veľa prípadov, keď je riešenie systému pomocou grafov nepohodlné alebo nepresné. Ak grafy presahujú malú mriežku s X a r medzi −10 a 10 môže byť vytváranie grafov čiar ťažkopádne. A ak riešenia systému nie sú celé čísla, je ťažké prečítať ich hodnoty presne z grafu.

V tejto časti budeme riešiť systémy lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Vyriešte systém rovníc substitúciou

Použijeme rovnaký systém, aký sme použili ako prvý pri grafovaní.

Najskôr buď pre jednu z rovníc vyriešime X alebo r. Môžeme zvoliť ktorúkoľvek z rovníc a vyriešiť ktorúkoľvek z premenných - pokúsime sa však urobiť výber, ktorý uľahčí prácu.

Potom tento výraz dosadíme do inej rovnice. Výsledkom je rovnica s iba jednou premennou - a my vieme, ako ich vyriešiť!

Keď nájdeme hodnotu jednej premennej, nahradíme ju jednou z pôvodných rovníc a vyriešime druhú. Na záver skontrolujeme naše riešenie a uistíme sa, že robí obe rovnice pravdivými.

Všetky tieto kroky teraz vyplníme v príklade 5.13.

Príklad 5.13

Ako vyriešiť systém rovníc substitúciou

Vyriešte systém substitúciou. <2 x + y = 7 x - 2 y = 6 <2 x + y = 7 x - 2 y = 6


Ako riešiť systémy rovníc substitúciou

Substitúcia je najrýchlejšia metóda riešenia sústavy dvoch rovníc v dvoch premenných. Metóda môže byť tiež použitá na nájdenie riešenia systému troch alebo viacerých rovníc v troch alebo viacerých premenných, ale trvá to dlhšie.

V tejto lekcii vás prevedieme riešením systému 2 lineárnych rovníc v 2 premenných.

Riešenie systémov rovníc substitúciou

Substitučná metóda zahŕňa tri kroky. Oni sú:

& emsp & # 10031 Usporiadajte rovnicu tak, aby izolovala jednu z premenných na jednej strane.

& emsp & # 10031 Nahraďte takto získaný výraz do inej rovnice, aby ste vyriešili druhú premennú.

& emsp & # 10031 Zapojte hodnotu späť do jednej z rovníc, aby ste vyriešili pôvodne izolovanú premennú.

Poďme pochopiť kroky s týmto lineárnym systémom.

Vo vyššie uvedenom systéme je premenná y izolovaná. Krok 1 je teda už splnený. Teraz poďme nahradiť výraz y v druhej rovnici.

Pri uplatňovaní distribučného majetku máme:

Kombináciou podobných výrazov dostaneme:

Odčítaním 12 z oboch strán máme:

Delením oboch strán číslom 7 dostaneme:

7x7 = 77

Teraz posledný krok! Túto hodnotu x musíme zapojiť späť do jednej z rovníc. Pripojme to y = x + 6.

Riešením lineárneho systému je teda (1, 7).

Pozrime sa na ďalší príklad.

Riešime 4x - 6y = –16 a 8x + 2y = 24 pomocou substitučnej metódy.

Vyberme si tentokrát druhú rovnicu. Vyriešením druhej rovnice pre y dostaneme:

Teraz nahradíme y v prvej rovnici a máme:

Túto hodnotu x môžeme vložiť späť do ktorejkoľvek z uvedených rovníc a vyriešiť ju pre y.

Upravili sme rovnicu 2 a máme výraz pre y všetko nastavené!

Všetko, čo musíme urobiť, je už iba dosadiť hodnotu x do tejto hodnoty.

Riešením je teda (x, y) = (2, 4).

Skontrolujte svoje riešenie!
Ak je vaše riešenie správne, môžete ich skontrolovať nahradením hodnôt x a y v rovniciach.
Pripojením (2, 4) v rovnici 1 získate:
⇨ 4(2) – 6(4) = –16
8 – 24 = –16
–16 = –16 ✔

Pripojením (2, 4) do rovnice 2 získate:
⇨ 8(2) + 2(4) = 24
16 + 8 = 24
24 = 24 ✔

Ktorá premenná sa má izolovať pri riešení systému so substitúciou

Nezáleží na tom, ktorú rovnicu si vyberiete alebo ktorú premennú vyriešite ako prvé, riešenie systému zostane rovnaké. Vezmime si príklad na ilustráciu tejto skutočnosti.

Vyriešte tento systém substitúciou.

Ukázali sme vám podrobné riešenie začínajúce na x aj na y.

Izoláciou x z rovnice 1 máme:

& ensp & # 8680 –x + y - y = –4 - r
& emsp & emsp [Odčítanie y od oboch strán]

& ensp & # 8680 –x = –4 - y & emsp [Kombinácia podobných výrazov]

& ensp & # 8680 x = 4 + y & emsp [Násobenie pomocou –1]

Teraz, nahradením x v rovnici 2, máme:

& ensp & # 8680 4 (4) + 4y - 3y = 10
& emsp & emsp [Uplatnenie distribučného vlastníctva]

& ensp & # 8680 16 + y = 10 & emsp [Kombinácia podobných výrazov]

& ensp & # 8680 16 + y - 16 = 10 - 16
& emsp & emsp [Odčítanie 16 od oboch strán]

Pripojením y v x = 4 + y dostaneme:

Preto je množina riešení (–2, –6).

Izoláciou y z rovnice 1 máme:

& ensp & # 8680 –x + y + x = –4 + x & emsp [Pridanie x na obe strany]

& ensp & # 8680 y = –4 + x & emsp [Kombinácia podobných výrazov]

Teraz, nahradením y v rovnici 2, máme:

& ensp & # 8680 4x - 3 (–4) - 3x = 10
& emsp & emsp [Uplatnenie distribučného vlastníctva]

& ensp & # 8680 x + 12 = 10 & emsp [Kombinácia podobných výrazov]

& ensp & # 8680 x + 12 - 12 = 10 - 12
& emsp & emsp [Odčítanie 12 od oboch strán]

Zapojením x do y = –4 + x dostaneme:

Preto je množina riešení (–2, –6).

Ako vidíte, riešenie je v obidvoch prípadoch rovnaké. Začnite teda krokom, ktorý je najpohodlnejší a najjednoduchší.

Podstata toho, čo sme sa doteraz naučili!

Riešenie systému rovníc v dvoch premenných pomocou substitúcie je jednoduché a rýchle!

Pri riešení substitúciou musíte postupovať v troch krokoch, ktoré zahŕňajú izoláciu premennej, substitúciu výrazu a opätovnú substitúciu hodnoty.

Bez ohľadu na to, ktorú rovnicu si vyberiete a ktorú premennú vyriešite ako prvé, riešenie systému rovníc zostane rovnaké.

Upresnite svoju prax s našimi bezplatnými tlačiteľnými pracovnými listami Riešenie systémov lineárnych rovníc!


Otvorené zdroje pre Community College Algebra

V časti 4.1 sme sa zamerali na riešenie sústav rovníc pomocou grafov. Okrem časovej náročnosti môže byť vytváranie grafov nepríjemnou metódou na určenie presného riešenia, ak má riešenie veľké množstvo, zlomky alebo desatinné miesta. Existujú dve symbolické metódy riešenia systémov lineárnych rovníc a v tejto časti použijeme jednu z nich: substitúciu.

Obrázok 4.2.1. Lekcia alternatívneho videa

Pododdiel 4.2.1 Riešenie systémov rovníc pomocou substitúcie

Príklad 4.2.2. Rozhovor.

V roku 2014 uverejnil New York Times 1 (nyti.ms/2pupebT) o filme „The Interview“:

„Rozhovor“ vygeneroval zhruba $ (15 dolárov) online predaja a prenájmu počas prvých štyroch dní dostupnosti, uviedla v nedeľu spoločnosť Sony Pictures.

Spoločnosť Sony neuviedla, koľko z tohto celkového množstva predstavuje ( $ 6 ) digitálne prenájmy verzus ( $ 15 ) tržby. Štúdio uviedlo, že celkovo išlo o dva milióny transakcií.

O niekoľko dní neskôr Joey Devilla vo svojom blogu 2 http://www.joeydevilla.com/2014/12/31/ dômyselne poukázal na to, že existuje dostatok informácií na zistenie výšky predaja v porovnaní s prenájmom. Pomocou algebry môžeme napísať sústavu rovníc a vyriešiť ju tak, aby sme našli dve veličiny. 3 Aj keď dané informácie používajú približné hodnoty, riešenia, ktoré nájdeme, budú tiež iba aproximáciami.

Najskôr si zadefinujeme premenné. Potrebujeme dve premenné, pretože existujú dve neznáme veličiny: koľko bolo tržieb a koľko bolo nájmov. Nech (r ) je počet transakcií prenájmu a nech (s ) je počet transakcií predaja.

Ak si nie ste istí, ako napísať rovnicu z podkladových informácií, pomôžte vám pomocou jednotiek. Jednotky každého člena v rovnici sa musia zhodovať, pretože môžeme pridávať iba podobné množstvá. (R ) aj (s ) sú v transakciách. V článku sa uvádza, že celkový počet transakcií je (2 ) miliónov. Naša prvá rovnica teda pridá celkový počet transakcií prenájmu a predaja a nastaví ich na (2 ) miliónov. Naša rovnica je:

Cena každého prenájmu bola ( $ 6 text <.> ), Čo znamená, že problém nám dal a sadzba z (6 , frac < textu> < text> ) pracovať s. Jednotka kurzu naznačuje, že by sa to malo vynásobiť niečím, čo sa meria v transakciách. Je rozumné vynásobiť (r text <,> ) a potom bol počet dolárov generovaných z prenájmov (6r text <.> ) Podobne bola cena každého predaja ( $ 15 text <,> ), takže výnosy z predaja boli (15s text <.> ) celkové výnosy boli ( $ 15 ) miliónov, čo môžeme znázorniť pomocou tejto rovnice:

Tu je náš systém rovníc:

Na vyriešenie systému použijeme metódu. Myšlienka je využiť jeden rovnica nájsť výraz, ktorý sa rovná (r ), ale šikovne nepoužíva premennú „ (r text <.> )“, potom ju dosaďte za (r ) do iné rovnica. Toto vám zostáva jeden rovnica, ktorá má iba jeden premenná.

Prvá rovnica v systéme je ľahko vyriešiteľná pre (r text <:> )

Toto nám hovorí, že výraz (2 <,> 000 <,> 000-s ) sa rovná (r text <,> ), aby sme mohli náhradný je to pre (r ) v druhej rovnici:

Teraz máme rovnicu iba s jednou premennou (s text <,> ), ktorú budeme riešiť:

začať 6 (2 <,> 000 <,> 000 s) + 15 s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000-6 s + 15 s amp = 15 <,> 000 <,> 000 12 <,> 000 <,> 000 + 9 s amp = 15 <,> 000 <,> 000 9 s amp = 3 <,> 000 <,> 000 rozdeliť pod < 9 s> <9> amp = rozdeliťpod <3 <,> 000 <,> 000> <9> s amp = 333 <,> 333. overline <3> end

V tomto okamihu vieme, že (s = 333 <,> 333. overline <3> text <.> ) Toto nám hovorí, že z (2 ) miliónov transakcií zhruba (333 <, > 333 ) pochádzalo z online predaja. Pripomeňme, že sme vyriešili prvú rovnicu pre (r text <,> ) a našli sme (r = 2 <,> 000 <,> 000-s text <.> )

Na overenie našej odpovede uvidíme, či (s = 333 <,> 333. overline <3> ) a (r = 1 <,> 666 <,> 666. overline <6> ) urobia pôvodné rovnice pravdivé:

V súhrne sa predalo zhruba (333 <,> 333 ) kópií a zhruba (1 <,> 666 <,> 667 ) kópií sa prenajalo.

Poznámka 4.2.3.

V príklade 4.2.2 sme vybral vyriešiť rovnicu (r + s = 2 <,> 000 <,> 000 ) pre (r text <.> ) Rovnako ľahko by sme mohli vyriešiť aj miesto (s ) a tento výsledok nahradiť namiesto toho do druhej rovnice. Súhrnný záver by bol rovnaký.

Poznámka 4.2.4.

V príklade 4.2.2 sme zaokrúhlili hodnoty riešenia, pretože v kontexte úlohy majú zmysel iba celé čísla. Bolo v poriadku zaokrúhľovať, pretože pôvodné informácie, s ktorými sme museli pracovať, boli zaokrúhlené. V skutočnosti by bolo v poriadku zaokrúhliť ešte viac na (s = 330 <,> 000 ) a (r = 1 <,> 700 <,> 000 text <,> ), pokiaľ budeme komunikovať jasne že sme sa zaoblili a naše hodnoty sú hrubé.

V iných cvičeniach, kde nie je žiadny kontext a nič nenasvedčuje tomu, že dané čísla sú len približné, nie je v poriadku zaokrúhľovať a všetky odpovede by mali byť komunikované s presnými hodnotami.

Príklad 4.2.5.

Vyriešte sústavu rovníc pomocou substitúcie:

Aby sme mohli použiť substitúciu, musíme vyriešiť jeden z premenných v jeden našich rovníc. Pri pohľade na obe rovnice bude najjednoduchšie vyriešiť pre (x ) v prvej rovnici:

Ďalej v druhej rovnici nahradíme (x ) výrazom (8-2y text <,> ), čím nám dáme lineárnu rovnicu iba v jednej premennej (y text <,> ), ktorú môžeme vyriešiť :

Teraz, keď máme hodnotu pre (y text <,> ), musíme nájsť hodnotu pre (x text <.> ) Prvú rovnicu pre (x text <,> sme už vyriešili. ) takže to je najjednoduchšia rovnica, ktorá sa dá použiť.

Ak chcete skontrolovať toto riešenie, v každej rovnici nahradíme (x ) znakmi (4 ) a (y ) znakmi (2 ):

Z toho vyvodíme, že tento systém rovníc je pravdivý, keď (x = 4 ) a (y = 2 text <.> ) Naše riešenie je bod ((4,2) ) a riešenie napíšeme nastavený ako ( <(4,2) > text <.> )

Kontrolný bod 4.2.6.
Príklad 4.2.7.

Vyriešte tento systém rovníc pomocou substitúcie:

Musíme vyriešiť pre jeden z premenných v jeden našich rovníc. Pri pohľade na obe rovnice bude najjednoduchšie vyriešiť pre (y ) v druhej rovnici. Koeficient (y ) v tejto rovnici je najmenší.

Všimnite si, že v tomto príklade existujú zlomky, ktoré keď vyriešime pre (y text <.> ), Mali by sme sa postarať o nasledujúce kroky, aby bola aritmetika zlomkov správna.

Nahraďte (y ) v prvej rovnici za ( frac <11> <2> + frac <5> <2> x text <,> ), čím získate lineárnu rovnicu iba v jednej premennej, ( x text <,> ), ktoré môžeme vyriešiť:

Teraz, keď máme hodnotu pre (x text <,> ), musíme nájsť hodnotu pre (y text <.> ) Druhú rovnicu pre (y text <,> sme už vyriešili. ) takže to je najjednoduchšia rovnica, ktorá sa dá použiť.

Ak chcete skontrolovať toto riešenie, v každej rovnici nahradíme (x ) znakmi (- 3 ) a (y ) znakmi (- 2 ):

Dospeli sme k záveru, že tento systém rovníc je pravdivý, keď (x = -3 ) a (y = -2 text <.> ) Naše riešenie je bod ((- 3, -2) ) a riešenie zapíšeme ako ( <(- 3, -2) > text <.> )

Príklad 4.2.8. Zúčtovanie menovateľov zlomkov pred riešením.

Vyriešte sústavu rovníc substitučnou metódou:

Ak má sústava rovníc zlomkové koeficienty, môže byť užitočné podniknúť kroky, ktoré nahradia zlomky celými číslami. S každou rovnicou môžeme každú stranu vynásobiť najmenším spoločným násobkom všetkých menovateľov.

V prvej rovnici je najmenší spoločný násobok menovateľov (6 text <,> ), takže:

V druhej rovnici je najmenší spoločný násobok menovateľov (4 text <,> ), takže:

Teraz máme tento systém, ktorý je ekvivalentný s pôvodným systémom rovníc, ale neexistujú žiadne zlomkové koeficienty:

Druhá rovnica je už vyriešená pre (x text <,> ), takže v prvej rovnici nahradíme (x ) znakom (2y + 4 text <,> ) a máme:

A vyriešili sme pre (y text <.> ) Ak chcete nájsť (x text <,> ), vieme (x = 2y + 4 text <,> ), takže máme:

Riešením je ((- - 2, -3) text <.> ) Kontrola tohto riešenia je ponechaná ako cvičenie.

Kontrolný bod 4.2.9.

Pre zhrnutie je tu uvedený všeobecný postup.

Proces 4.2.10. Riešenie systémov rovníc substitúciou.

Ak chcete vyriešiť systém rovníc substitúciou,

Vyriešte jednu z rovníc pre jednu z premenných.

Nahraďte tento výraz do iné rovnica. V tejto rovnici by teraz mala byť iba jedna premenná.

Vyriešte túto rovnicu pre jednu zostávajúcu premennú.

Nahraďte túto hodnotu do staršej rovnice a vyriešte druhú premennú.

Overte svoje riešenie v pôvodných rovniciach.

Pododdiel 4.2.2 Aplikácie systémov rovníc

Príklad 4.2.11. Dve rôzne úrokové sadzby.

Notah uskutočnil so svojimi dvoma kreditnými kartami jeden veľký nákup jeden mesiac a z týchto dvoch kariet získal dlh ( $ 8 <,> 400 ). Prvý mesiac neuskutočnil žiadne platby, a tak každý z dvoch dlhov na kreditných kartách začal narastať úroky. V tom mesiaci si jeho karta Visa účtovala (2 \% ) úrok a jeho karta Mastercard (2,5 \% ) úrok. Z tohto dôvodu vzrástol celkový dlh Notah o ( 178 $ text <.> ) Koľko peňazí si Notah naúčtoval na každú kartu?

Na začiatok definujeme dve premenné na základe našich dvoch neznámych. Nech (v ) je suma účtovaná na karte Visa (v dolároch) a (m ) je suma účtovaná na karte Mastercard (v dolároch).

Aby sme určili naše rovnice, všimnite si, že dostávame dva rôzne súčty. Použijeme ich na vytvorenie našich dvoch rovníc. Celková účtovaná suma je ( $ 8 <,> 400 ), takže máme:

Ďalším celkom, ktoré sme dostali, je celková výška úroku ( $ 178 text <,> ), ktorá je tiež v dolároch. Spoločnosť Visa mala zaúčtované (v ) dolárov a pripisovali sa (2 \% ) úroky. (0,02v ) je teda dolárová úroková sadzba, ktorá pochádza z použitia tejto karty. Podobne (0,025 mil. ) Je úroková suma v dolároch z používania karty Mastercard. Spoločne:

Ak chcete tento systém vyriešiť substitúciou, všimnite si, že bude jednoduchšie vyriešiť jednu z premenných v prvej rovnici. Vyriešime túto rovnicu pre (v text <:> )

Teraz nahradíme (8400-m ) za (v ) v druhej rovnici:

Nakoniec môžeme určiť hodnotu (v ) pomocou staršej rovnice, kde sme izolovali (v text <:> )

Stručne povedané, Notah účtoval ( 6400 $) za karty Visa a ( $ 2000 ) za karty Mastercard. Mali by sme skontrolovať, či tieto čísla fungujú ako riešenia nášho pôvodného systému a že majú zmysel v kontexte. (Napríklad ak by jedno z týchto čísel bolo záporné alebo niečo podobné ako (. 50 text <,> ), nedávalo by to zmysel ako dlh na kreditnej karte.)

Nasledujúce dva príklady sa nazývajú, pretože zahŕňajú zmiešanie dvoch množstiev dohromady, aby vytvorili kombináciu, a my chceme zistiť, koľko z každého množstva je možné zmiešať.

Príklad 4.2.12. Miešanie riešení s dvoma rôznymi koncentráciami.

LaVonda je pedantná barmanka a musí podávať (600 ) mililitrov alkoholu Roba Roya, čo je alkoholický kokteil, ktorý je (34 \% ) objemovým alkoholom. Hlavnými zložkami sú škótska, ktorá je (42 \% ) alkohol, a vermút, ktorý je (18 \% ) alkohol. Koľko mililitrov každej zložky by mala zmiešať, aby dosiahla potrebnú koncentráciu?

Dve neznáme sú množstvá každej zložky. Nech (s ) je množstvo škótskej (v ml) a nech (v ) je množstvo vermútu (v ml).

Jedno množstvo, ktoré sme dostali v rámci problému, je 600 ml. Pretože toto je celkový objem miešaného nápoja, musíme mať:

Aby sme vytvorili druhú rovnicu, musíme premýšľať o koncentráciách alkoholu pre škótsky, vermútový a Rob Roy. Môže byť zložité správne premýšľať o percentách, ako sú tieto. Jednou zo stratégií je zamerať sa na čiastka (v ml) z alkoholu byť zmiešaný. Ak máme (s ) mililitrov škóty, čo je (42 \% ) alkohol, potom (0,42 s ) je skutočná čiastka (v ml) alkoholu v tejto škótke. Podobne (0,18v ) je množstvo alkoholu vo vermúte. A výsledný kokteil je 600 ml kvapaliny, čo je (34 \% ) alkohol, takže má (0,34 (600) = 204 ) mililitrov alkoholu. To všetko znamená:

Na vyriešenie tohto systému vyriešime pre (s ) v prvej rovnici:

A potom v druhej rovnici nahraďte (s ) znakom (600-v text <:> )

Ako posledný krok určíme (s ) pomocou rovnice, kde sme izolovali (s text <:> )

In summary, LaVonda needs to combine 400 mL of scotch with 200 mL of vermouth to create 600 mL of Rob Roy that is (34\%) alcohol by volume.

As a check for Example 4.2.12, we will use to see that our solution is reasonable. Since LaVonda is making a (34\%) solution, she would need to use more of the (42\%) concentration than the (18\%) concentration, because (34\%) is closer to (42\%) than to (18\% ext<.>) This agrees with our answer because we found that she needed 400 mL of the (42\%) solution and 200 mL of the (18\%) solution. This is an added check that we have found reasonable answers.

Example 4.2.13 . Mixing a Coffee Blend.

Desi owns a coffee shop and they want to mix two different types of coffee beans to make a blend that sells for ($12.50) per pound. They have some coffee beans from Columbia that sell for ($9.00) per pound and some coffee beans from Honduras that sell for ($14.00) per pound. How many pounds of each should they mix to make (30) pounds of the blend?

Before we begin, it may be helpful to try to estimate the solution. Let's compare the three prices. Since ($12.50) is between the prices of ($9.00) and ($14.00 ext<,>) this mixture is possible. Now we need to estimate the amount of each type needed. The price of the blend (($12.50) per pound) is closer to the higher priced beans (($14.00) per pound) than the lower priced beans (($9.00) per pound). So we will need to use more of that type. Keeping in mind that we need a total of (30) pounds, we roughly estimate (20) pounds of the ($14.00) Honduran beans and (10) pounds of the ($9.00) Columbian beans. How good is our estimate? Next we will solve this exercise exactly.

To set up our system of equations we define variables, letting (C) be the amount of Columbian coffee beans (in pounds) and (H) be the amount of Honduran coffee beans (in pounds).

The equations in our system will come from the total amount of beans and the total cost. The equation for the total amount of beans can be written as:

To build the second equation, we have to think about the cost of all these beans. If we have (C) pounds of Columbian beans that cost ($9.00) per pound, then (9C) is the cost of those beans in dollars. Similarly, (14H) is the cost of the Honduran beans. And the total cost is for (30) pounds of beans priced at ($12.50) per pound, totaling (12.5(30)=37.5) dollars. All this means:

Or without units and carrying out the multiplication on the right:

To solve the system, we'll solve the first equation for (C ext<:>)

Next, we'll substitute (C) in the second equation with (30-H ext<:>)

Since (H=21 ext<,>) we can conclude that (C=9 ext<.>)

In summary, Desi needs to mix (21) pounds of the Honduran coffee beans with (9) pounds of the Columbian coffee beans to create this blend. Our estimate at the beginning was pretty close, so we feel this answer is reasonable.

Subsection 4.2.3 Solving Special Systems of Equations with Substitution

Remember the two special cases we encountered when solving by graphing in Subsection 4.1.2? If the two lines represented by a system of equations have the same slope, then they might be separate lines that never meet, meaning the system has no solutions. Or they might coincide as the same line, in which case there are infinitely many solutions represented by all the points on that line. Let's see what happens when we use the substitution method on each of the special cases.

Example 4.2.14 . A System with No Solution.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since the first equation is already solved for (y ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation, and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=3) is false no matter what values (x) and (y) might be, there can be no solution to the system. So the lines are parallel and distinct. We write the solution set using the empty set symbol: the solution set is (emptyset ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=3 ext<,>) in slope-intercept form:

So the system is equivalent to:

Now it is easier to see that the two lines have the same slope but different (y)-intercepts. They are parallel and distinct lines, so the system has no solution.

Example 4.2.15 . A System with Infinitely Many Solutions.

Solve the system of equations using the substitution method:

Since (y=2x-1 ext<,>) we will substitute (2x-1) for (y) in the second equation and we have:

Even though we were only intending to substitute away (y ext<,>) we ended up with an equation where there are no variables at all. This will happen whenever the lines have the same slope. This tells us the system represents either parallel or coinciding lines. Since (2=2) is true no matter what values (x) and (y) might be, the system equations are true no matter what (x) is, as long as (y=2x-1 ext<.>) So the lines coincide. We write the solution set as (<(x,y)mid y=2x-1> ext<.>)

To verify this, re-write the second equation, (4x-2y=2 ext<,>) in slope-intercept form:

Now it is easier to see that the two equations represent the same line. Every point on the line is a solution to the system, so the system has infinitely many solutions. The solution set is (<(x,y) mid y=2x-1> ext<.>)

Reading Questions 4.2.4 Reading Questions

Give an example of a system of two equations in (x) and (y) where it would be nicer to solve the system using substitution than by graphing the two lines that the equations define. Explain why substitution would be nicer than graphing for your example system.

What might be a good first step if you have a system of two linear equations in two variables where there are fractions appearing in the equations?

In an application problem, thinking about the can help you understand how to set up equations.


4.2: Solving Systems by Substitution

Systems of Linear Equations:
Solving by Substitution
(page 4 of 7)

The method of solving "by substitution" works by solving one of the equations (you choose which one) for one of the variables (you choose which one), and then plugging this back into the other equation, "substituting" for the chosen variable and solving for the other. Then you back-solve for the first variable.

Here is how it works. (I'll use the same systems as were in a previous page.)

2X & ndash 3r = & ndash2
4
X + r = 24

The idea here is to solve one of the equations for one of the variables, and plug this into the other equation. It does not matter which equation or which variable you pick. There is no right or wrong choice the answer will be the same, regardless. But &mdash some choices may be better than others.

For instance, in this case, can you see that it would probably be simplest to solve the second equation for " r = ", since there is already a r floating around loose in the middle there? I could solve the first equation for either variable, but I'd get fractions, and solving the second equation for X would also give me fractions. It wouldn't be "wrong" to make a different choice, but it would probably be more difficult. Being lazy, I'll solve the second equation for r :

4 X + r = 24
r = & ndash4 X + 24

Now I'll plug this in ("substitute it") for " r " in the first equation, and solve for X :

2X &ndash 3(&ndash4X + 24) = &ndash2
2X + 12X &ndash 72 = &ndash2
14X = 70
X = 5 Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

Now I can plug this X -value back into either equation, and solve for r . But since I already have an expression for " r = ", it will be simplest to just plug into this:

r = &ndash4(5) + 24 = &ndash20 + 24 = 4

Then the solution is (X, r) = (5, 4) .

Warning: If I had substituted my " &ndash4 X + 24 " expression into the same equation as I'd used to solve for " r = ", I would have gotten a true, but useless, statement:

4X + (&ndash4X + 24) = 24
4X &ndash 4X + 24 = 24
24 = 24

Twenty-four does equal twenty-four, but who cares? So when using substitution, make sure you substitute into the other equation, or you'll just be wasting your time.

r = 36 &ndash 9X
3
X + r/3 = 12

We already know (from the previous lesson ) that these equations are actually both the same line that is, this is a dependent system. We know what this looks like graphically: we get two identical line equations, and a graph with just one line displayed. But what does this look like algebraically?

The first equation is already solved for r , so I'll substitute that into the second equation:

3 X + (36 &ndash 9 X )/3 = 12
3 X + 12 &ndash 3 X = 12
12 = 12

Well, um. yes, twelve robí equal twelve, but so what?

I did substitute the najprv equation into the second equation, so this unhelpful result is not because of some screw-up on my part. It's just that this is what a dependent system looks like when you try to find a solution. Remember that, when you're trying to solve a system, you're trying to use the second equation to narrow down the choices of points on the first equation. You're trying to find the one single point that works in both equations. But in a dependent system, the "second" equation is really just another copy of the first equation, and všetko the points on the one line will work in the other line.

In other words, I got an unhelpful result because the second line equation didn't tell me anything new. This tells me that the system is actually dependent, and that the solution is the whole line:

solution: r = 36 &ndash 9X

This is always true, by the way. When you try to solve a system and you get a statement like " 12 = 12 " or " 0 = 0 " &mdash something that's true, but unhelpful (I mean, duh!, of course twelve equals twelve!) &mdash then you have a dependent system. We already knew, from the previous lesson, that this system was dependent, but now you know what the algebra looks like.

(Keep in mind that your text may format the answer to look something like " (t, 36 &ndash 9t) ", or something similar, using some variable, some "parameter", other than " X ". But this "parametrized" form of the solution means the exact same thing as "the solution is the line r = 36 &ndash 9X ".)

7X + 2r = 16
&ndash21
X & ndash 6r = 24

Neither of these equations is particularly easier than the other for solving. I'll get fractions, no matter which equation and which variable I choose. So, um. I guess I'll take the first equation, and I'll solve it for, um, r , because at least the 2 (from the " 2r ") will divide evenly into the 16 .

7X + 2r = 16
2r = &ndash7X + 16
r = &ndash( 7 /2 )X + 8

Now I'll plug this into the other equation:

&ndash21X &ndash 6(&ndash( 7 /2 )X + 8) = 24
&ndash21X + 21X &ndash 48 = 24
&ndash48 = 24

In this case, I got a nonsense result. All my math was right, but I got an obviously wrong answer. So what happened?

Keep in mind that, when solving, you're trying to find where the lines intersect. What if they don't intersect? Then you're going to get some kind of wrong answer when you assume that there is a solution (as I did when I tried to find that solution). We knew, from the previous lesson, that this system represents two parallel lines. But I tried, by substitution, to find the intersection point anyway. And I got a "garbage" result. Since there wasn't any intersection point, my attempt led to utter nonsense.

solution: no solution (inconsistent system)

This is always true, by the way. When you get a nonsense result, this is the algebraic indication that the system of equations is inconsistent.

Note that this is quite different from the previous example. Warning: A true-but-useless result (like " 12 = 12 ") is quite different from a nonsense "garbage" result (like " &ndash48 = 24 "), just as two identical lines are quite different from two parallel lines. Don't confuse the two. A useless result means a dependent system which has a solution (the whole line) a nonsense result means an inconsistent system which has no solution of any kind.


Past Papers | GCSE Papers | AS Papers

In our archive section you can find links to various websites that have old past papers in the pdf format. Enter the search term in the box below and click the 'search archive' button.

Here are 9 results for solving simultaneous equations by substitution:

1. 7_1 LINEAR AND NONLINEAR SYS OF EQNS.pdf
academics.utep.edu
7.1 LINEAR AND NONLINEAR SYSTEMS OF &hellip 2 &bull Use the method of substitution to solve systems of linear equations in two variables. &bull Use the method of substitution to solve systems

2. Simultaneous Equations - Solving by substitution.pdf
www.flinders.edu.au
L SIMULTANEOUS EQUATIONS C entre Solving by &hellip SIMULTANEOUS EQUATIONS. Solving by substitution . This can be checked by substituting back into both original equations to ensure that the left-hand and

3. A18simultsubs.pdf
Title: Simultaneous equations and the method of &hellip Title: Simultaneous equations and the method of substitution. Target: On completion of this worksheet you should be able to solve quadratic and linear simultaneous .

4. web-simultaneous1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip 2. Solving simultaneous equations - method of substitution Howcanwehandlethetwoequationsalgebraicallysothatwedonothavetodrawgraphs?We .

5. mc-ty-simultaneous-2009-1.pdf
Simultaneous linear equations - Mathematics &hellip Simultaneous linear equations mc-simultaneous-2009-1 The purpose of this section is to look at the solution of simultaneous linear equations. We will see that solving .


Math Review of Solving Systems by Substitution

One of the ways to solve systems of equations is by graphing the equations. However, graphing the equations is not always the most accurate method to solve them. If one variable in a system is represented in terms of the other variable in the system, the systems can be solved by substitution.

Using Substitution

Suppose one of the equations in the system is x + y = 5 and the other equation is x = y +1. The expression y +1 can be substituted for x, so that y +1 +y =5. Then, there is just one variable so that 2y +1 =5, 2y +1 -1 = 5-1, or 2y = 4, or y =2. In order to check, substitute the value of y to solve for x, such that x +2 = 5, or x +2-2 = 5-2, or x = 3. Check the second equation also, so that 3 =2 +1. That is the way to use substitution to solve a system of equations.

Isolating the Variables

Sometimes, the variables cannot be isolated as easily in a system of equations, but the system of substitution can still be used. Suppose the equations were x-2y = 8 and 2x +y = 8. The first equation can be rearranged such that x = 8 +2y. Using substitution, the second equation then becomes 2(8 +2y) +y =8, or 16 +4y +y =8. As before, there is only one variable, such that 5y = 8-16 or 5y=-8, or y = -8/5. Again, check the value of x, so that x – (2)(-8/5) =8, or x +16/5 =8. (Notice how the sign changes when two negative values are multiplied.) Then multiply both sides by 5, so that 5x +16 = 40, or 5x =24 or x = 24/5. To check the first equation, 24/5 – 2[-8/5] equals 24/5 +16/5 = 40/5, or 8. To check the second equation 2 (24/5) – (8/5) = 48/5 – 8/5) = 40/5 = 8.

Understanding the Problem and Developing a Plan

Math problems that are written in words can often be translated into systems of equations, then solved by using substitution. Suppose the statement were “The sum of two numbers is 82. One number is 12 more than the other. What is the larger number?” The first sentence can be represented by the equation x +y = 82. The second sentence can be represented by the equation x=12 +y.

Problem-Solving: Solving the Problem and Checking the Answer

To solve the problem, take the system of equations and use substitution, so that 12 +y +y = 82, then 2y = 82-12, or 2y = 70, then y = 70/2, or 35. Using the second equation to solve for x, 12 +35 = 47, and using the first equation, 47 +35 = 82.

Interested in math tutoring services? Learn more about how we are assisting thousands of students each academic year.

SchoolTutoring Academy is the premier educational services company for K-12 and college students. We offer tutoring programs for students in K-12, AP classes, and college. To learn more about how we help parents and students in Columbia, SC: visit: Tutoring in Columbia, SC


The Substitution Method

First, let's review how the substitution property works in general.

Substitution Example 1

Let's re-examine system pictured up above.

$ ed = 2x + 1 ext < and > ed = 4x -1 $

We are going to use substitution like we did in review example 2 above.

Now we have 1 equation and 1 unknown, we can solve this problem as the work below shows.

The last step is to again use substitution, in this case we know that x = 1, but in order to find the y value of the solution, we just substitute x = 1 into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <1>+ 1 = 2 + 1 =3 oxed< ext< or you use the other equation>> y = 4x -1 y = 4cdot ed<1>- 1 y = 4 - 1 = 3 oxed < ( 1,3) >$

Substitution Example 2

What is the solution of the system of equations below:

Identify the best equation for substitution and then substitute into other equation.

Krok 2

Substitute the value of x (-4 in this case) into either equation.

$ y = 2x + 1 y = 2cdot ed <-4>+ 1 = -8 + 1 = -7 2y = 3x - 2 2y = 3cdot-4 -2 oxed< ext< or you use the other equation>> 2y = 3x -2 2y = 3 ( ed<-4>) -2 2y = -12 -2 2y = -14 frac<1><2>cdot2y =frac<1><2>cdot-14 y = -7 $

You can also solve the system by graphing and see a picture of the solution below:

Substitution Practice Problems

Problem 1

Solve the system below using substitution

The solution of this system is the point of intersection: (-1, 0).

$ y = x + 1 quad y = 2x + 2 hspace <1.2cm>downarrow hspace <1.4cm>downarrow hspace <6mm>x + 1 = 2x + 2 hspace <7mm> ext<->x hspace <1.4cm> ext<->x hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.7cm>1 = x + 2 hspace <1.6cm> ext<->2 hspace <1.4cm> ext<->2 hspace <7mm> ule<3.2cm> <0.25mm> hspace <1.2cm>-1 = x hspace <1.6cm>downarrow hspace <5mm>y = 2x + 2 hspace <7mm>y = 2 * (-1) + 2 = 0 [5mm] ext hspace <3mm>(-1, 0) $

Problém 2

Use substitution to solve the following system of linear equations:

Set the Two Equations equal to each other then solve for x

Substitute the x value, -2, into the value for 'x' for either equation to determine y coordinate of solution

The solution is the point (-2, -7)

Problém 3

Use the substitution method to solve the system:

This system of lines has a solution at the point (2, 9).

Úloha 4

Use substitution to solve the system:

This system has an infinite number of solutions. Because 12x + 4 = 12x is always true for all values of x.

Úloha 5

Solve the system of linear equations by substitution

These lines have the same slope (slope = 1) so they never intersect.

Úloha 6

Use the substitution method to solve the system:

The solution of this system is (1, 3).

Úloha 7

Use substitution to solve the system:

Whenever you arrive at a contradiction such as 3 = 4, your system of linear equations has no solutions.
When you use these methods (substitution, graphing, or elimination) to find the solution what you're really asking is at what


Pozri si video: Nokia Unboxing u0026 Tour (December 2021).