Články

B: Tabuľka integrálov - matematika


Základné integrály

1. ( štvorkolka displejový štýl ∫u ^ n , du = frac {u ^ {n + 1}} {n + 1} + C, štvorcová n ≠ −1 )

2. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u} = ln | u | + C )

3. ( quad displaystyle ∫e ^ u , du = e ^ u + C )

4. ( quad displaystyle ∫a ^ u , du = frac {a ^ u} { ln a} + C )

5. ( quad displaystyle ∫ sin u , du = - cos u + C )

6. ( quad displaystyle ∫ cos u , du = sin u + C )

7. ( quad displaystyle ∫ sec ^ 2u , du = tan u + C )

8. ( quad displaystyle ∫ csc ^ 2u , du = - detská postieľka u + C )

9. ( quad displaystyle ∫ sec u tan u , du = sec u + C )

10. ( štvorkolka displaystyle ∫ csc u detská posteľ u , du = - csc u + C )

11. ( quad displaystyle ∫ tan u , du = ln | sec u | + C )

12. ( štvorkolka displaystyle ∫ detská postieľka u , du = ln | sin u | + C )

13. ( štvorkolka displaystyle ∫ sec u , du = ln | sec u + tan u | + C )

14. ( quad displaystyle ∫ csc u , du = ln | csc u− cot u | + C )

15. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {a ^ 2 − u ^ 2}} = sin ^ {- 1} doľava ( frac {u} {a} doprava) + C )

16. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {a ^ 2 + u ^ 2} = frac {1} {a} tan ^ {- 1} doľava ( frac {u} {a} vpravo) + C )

17. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = frac {1} {a} sec ^ {- 1} frac {| u | } {a} + C )

Trigonometrické integrály

18. ( quad displaystyle ∫ sin ^ 2u , du = frac {1} {2} u− frac {1} {4} sin 2u + C )

19. ( quad displaystyle ∫ cos ^ 2 u , du = frac {1} {2} u + frac {1} {4} sin 2u + C )

20. ( quad displaystyle ∫ tan ^ 2 u , du = tan u − u + C )

21. ( štvorkolka displaystyle ∫ detská postieľka ^ 2 u , du = - detská postieľka u − u + C )

22. ( quad displaystyle ∫ sin ^ 3 u , du = - frac {1} {3} (2+ sin ^ 2u) cos u + C )

23. ( quad displaystyle ∫ cos ^ 3 u , du = frac {1} {3} (2+ cos ^ 2 u) sin u + C )

24. ( quad displaystyle ∫ tan ^ 3 u , du = frac {1} {2} tan ^ 2 u + ln | cos u | + C )

25. ( quad displaystyle ∫ detská postieľka ^ 3 u , du = - frac {1} {2} detská postieľka ^ 2 u− ln | sin u | + C )

26. ( quad displaystyle ∫ sec ^ 3 u , du = frac {1} {2} sec u tan u + frac {1} {2} ln | sec u + tan u | + C )

27. ( quad displaystyle ∫ csc ^ 3 u , du = - frac {1} {2} csc u cot u + frac {1} {2} ln | csc u− cot u | + C )

28. ( quad displaystyle ∫ sin ^ nu , du = frac {-1} {n} sin ^ {n − 1} u cos u + frac {n − 1} {n} ∫ sin ^ {n − 2} u , du )

29. ( quad displaystyle ∫ cos ^ nu , du = frac {1} {n} cos ^ {n − 1} u sin u + frac {n − 1} {n} ∫ cos ^ {n − 2} u , du )

30. ( quad displaystyle ∫ tan ^ nu , du = frac {1} {n-1} tan ^ {n − 1} u − ∫ tan ^ {n − 2} u , du )

31. ( quad displaystyle ∫ cot ^ nu , du = frac {-1} {n-1} cot ^ {n − 1} u − ∫ cot ^ {n − 2} u , du )

32. ( quad displaystyle ∫ sec ^ nu , du = frac {1} {n-1} tan u sec ^ {n − 2} u + frac {n-2} {n-1 } ∫ sec ^ {n − 2} u , du )

33. ( quad displaystyle ∫ csc ^ nu , du = frac {-1} {n-1} postieľka u csc ^ {n − 2} u + frac {n-2} {n- 1} ∫ csc ^ {n − 2} u , du )

34. ( quad displaystyle ∫ sin au sin bu , du = frac { sin (a − b) u} {2 (a − b)} - frac { sin (a + b) u} {2 (a + b)} + C )

35. ( quad displaystyle ∫ cos au cos bu , du = frac { sin (a − b) u} {2 (a − b)} + frac { sin (a + b) u} {2 (a + b)} + C )

36. ( quad displaystyle ∫ sin au cos bu , du = - frac { cos (a − b) u} {2 (a − b)} - frac { cos (a + b ) u} {2 (a + b)} + C )

37. ( quad displaystyle ∫u sin u , du = sin u − u cos u + C )

38. ( quad displaystyle ∫u cos u , du = cos u + u sin u + C )

39. ( quad displaystyle ∫u ^ n sin u , du = −u ^ n cos u + n∫u ^ {n − 1} cos u , du )

40. ( quad displaystyle ∫u ^ n cos u , du = u ^ n sin u − n∫u ^ {n − 1} sin u , du )

41. ( quad begin {zarovnať *} displaystyle ∫ sin ^ nu cos ^ mu , du = - frac { sin ^ {n − 1} u cos ^ {m + 1} u} {n + m} + frac {n − 1} {n + m} ∫ sin ^ {n − 2} u cos ^ mu , du [4pt] = frac { sin ^ {n + 1} u cos ^ {m − 1} u} {n + m} + frac {m − 1} {n + m} ∫ sin ^ nu cos ^ {m − 2} u , du end {zarovnať *} )

Exponenciálne a logaritmické integrály

42. ( quad displaystyle ∫ue ^ {au} , du = frac {1} {a ^ 2} (au − 1) e ^ {au} + C )

43. ( quad displaystyle ∫u ^ ne ^ {au} , du = frac {1} {a} u ^ ne ^ {au} - frac {n} {a} ∫u ^ {n− 1} e ^ {au} , du )

44. ( quad displaystyle ∫e ^ {au} sin bu , du = frac {e ^ {au}} {a ^ 2 + b ^ 2} (a sin bu − b cos bu) + C )

45. ( quad displaystyle ∫e ^ {au} cos bu , du = frac {e ^ {au}} {a ^ 2 + b ^ 2} (a cos bu + b sin bu) + C )

46. ​​ ( quad displaystyle ∫ ln u , du = u ln u − u + C )

47. ( quad displaystyle ∫u ^ n ln u , du = frac {u ^ {n + 1}} {(n + 1) ^ 2} [(n + 1) ln u − 1 ] + C )

48. ( quad displaystyle ∫ frac {1} {u ln u} , du = ln | ln u | + C )

Hyperbolické integrály

49. ( quad displaystyle ∫ sinh u , du = cosh u + C )

50. ( quad displaystyle ∫ cosh u , du = sinh u + C )

51. ( quad displaystyle ∫ tanh u , du = ln cosh u + C )

52. ( quad displaystyle ∫ coth u , du = ln | sinh u | + C )

53. ( quad displaystyle ∫ text {sech} , u , du = tan ^ {- 1} | sinh u | + C )

54. ( quad displaystyle ∫ text {csch} , u , du = ln ∣ tanh frac {1} {2} u∣ + C )

55. ( quad displaystyle ∫ text {sech} ^ 2 u , du = tanh , u + C )

56. ( quad displaystyle ∫ text {csch} ^ 2 u , du = - coth , u + C )

57. ( quad displaystyle ∫ text {sech} , u tanh u , du = - text {sech} , u + C )

58. ( quad displaystyle ∫ text {csch} , u coth u , du = - text {csch} , u + C )

Inverzné trigonometrické integrály

59. ( quad displaystyle ∫ sin ^ {- 1} u , du = u sin ^ {- 1} u + sqrt {1 − u ^ 2} + C )

60. ( quad displaystyle ∫ cos ^ {- 1} u , du = u cos ^ {- 1} u− sqrt {1 − u ^ 2} + C )

61. ( quad displaystyle ∫ tan ^ {- 1} u , du = u tan ^ {- 1} u− frac {1} {2} ln (1 + u ^ 2) + C )

62. ( quad displaystyle ∫u sin ^ {- 1} u , du = frac {2u ^ 2−1} {4} sin ^ {- 1} u + frac {u sqrt {1 −u ^ 2}} {4} + C )

63. ( quad displaystyle ∫u cos ^ {- 1} u , du = frac {2u ^ 2−1} {4} cos ^ {- 1} u- frac {u sqrt { 1 − u ^ 2}} {4} + C )

64. ( quad displaystyle ∫u tan ^ {- 1} u , du = frac {u ^ 2 + 1} {2} tan ^ {- 1} u− frac {u} {2 } + C )

65. ( quad displaystyle ∫u ^ n sin ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} vľavo [u ^ {n + 1} sin ^ {- 1 } u − ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} { sqrt {1 − u ^ 2}} vpravo], quad n ≠ −1 )

66. ( quad displaystyle ∫u ^ n cos ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} doľava [u ^ {n + 1} cos ^ {- 1 } u + ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} { sqrt {1 − u ^ 2}} vpravo], quad n ≠ −1 )

67. ( quad displaystyle ∫u ^ n tan ^ {- 1} u , du = frac {1} {n + 1} doľava [u ^ {n + 1} tan ^ {- 1 } u − ∫ frac {u ^ {n + 1} , du} {1 + u ^ 2} vpravo], quad n ≠ −1 )

Integrály s účasťou a2 + u2, a > 0

68. ( quad displaystyle ∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + frac {a ^ 2 } {2} ln doľava (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} doprava) + C )

69. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} , du = frac {u} {8} (a ^ 2 + 2u ^ 2) sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} - frac {a ^ 4} {8} ln doľava (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} doprava) + C )

70. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u} , du = sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} −a ln doľava | frac {a + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u} vpravo | + C )

71. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} { u} + ln doľava (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} doprava) + C )

72. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = ln doľava (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} doprava) + C )

73. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} , du = frac {u} {2} doľava ( sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} vpravo) - frac {a ^ 2} {2} ln vľavo (u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} vpravo) + C )

74. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = frac {−1} {a} ln doľava | frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + a} {u} vpravo | + C )

75. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} = - frac { sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} {a ^ 2u} + C )

76. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { doľava (a ^ 2 + u ^ 2 doprava) ^ {3/2}} = frac {u} {a ^ 2 sqrt {a ^ 2 + u ^ 2}} + C )

Integrály s účasťou u2 − a2, a > 0

77. ( quad displaystyle ∫ sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} - frac {a ^ 2 } {2} ln doľava | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} doprava | + C )

78. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} , du = frac {u} {8} (2u ^ 2 − a ^ 2) sqrt {u ^ 2 −a ^ 2} - frac {a ^ 4} {8} ln doľava | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} doprava | + C )

79. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {u} , du = sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} −a cos ^ {- 1 } frac {a} {| u |} + C )

80. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} { u} + ln doľava | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} doprava | + C )

81. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = ln doľava | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} doprava | + C )

82. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} , du = frac {u} {2} sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} + frac {a ^ 2} {2} ln doľava | u + sqrt {u ^ 2 − a ^ 2} doprava | + C )

83. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} = frac { sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} {a ^ 2u } + C )

84. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {(u ^ 2 − a ^ 2) ^ {3/2}} = - frac {u} {a ^ 2 sqrt {u ^ 2 − a ^ 2}} + C )

Integrály s účasťou a2 − u2, a > 0

85. ( quad displaystyle ∫ sqrt {a ^ 2-u ^ 2} , du = frac {u} {2} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + frac {a ^ 2 } {2} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

86. ( quad displaystyle ∫u ^ 2 sqrt {a ^ 2-u ^ 2} , du = frac {u} {8} (2u ^ 2 − a ^ 2) sqrt {a ^ 2 -u ^ 2} + frac {a ^ 4} {8} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

87. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u} , du = sqrt {a ^ 2-u ^ 2} −a ln doľava | frac {a + sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u} vpravo | + C )

88. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} {u ^ 2} , du = frac {−1} {u} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} - sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

89. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} , du = frac {1} {2} doľava (-u sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + a ^ 2 sin ^ {- 1} frac {u} {a} vpravo) + C )

90. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} = - frac {1} {a} ln doľava | frac {a + sqrt { a ^ 2-u ^ 2}} {u} vpravo | + C )

91. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 sqrt {a ^ 2-u ^ 2}} = - frac {1} {a ^ 2u} sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + C )

92. ( quad displaystyle ∫ doľava (a ^ 2 − u ^ 2 doprava) ^ {3/2} , du = - frac {u} {8} doľava (2u ^ 2−5a ^ 2 right) sqrt {a ^ 2-u ^ 2} + frac {3a ^ 4} {8} sin ^ {- 1} frac {u} {a} + C )

93. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {(a ^ 2 − u ^ 2) ^ {3/2}} = - frac {u} {a ^ 2 sqrt {a ^ 2 − u ^ 2}} + C )

Integrály s účasťou 2au − u2, a > 0

94. ( quad displaystyle ∫ sqrt {2au − u ^ 2} , du = frac {u − a} {2} sqrt {2au − u ^ 2} + frac {a ^ 2} { 2} cos ^ {- 1} doľava ( frac {a − u} {a} doprava) + C )

95. ( quad displaystyle ∫ frac {du} { sqrt {2au − u ^ 2}} = cos ^ {- 1} doľava ( frac {a − u} {a} doprava) + C )

96. ( quad displaystyle ∫u sqrt {2au − u ^ 2} , du = frac {2u ^ 2 − au − 3a ^ 2} {6} sqrt {2au − u ^ 2} + frac {a ^ 3} {2} cos ^ {- 1} dolava ( frac {a −}} a) spravne) + C )

97. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {2au − u ^ 2}} = - frac { sqrt {2au − u ^ 2}} {au} + C )

Integrály s účasťou a + bu, a ≠ 0

98. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {a + bu} , du = frac {1} {b ^ 2} (a + bu − a ln | a + bu |) + C )

99. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} {a + bu} , du = frac {1} {2b ^ 3} doľava [(a + bu) ^ 2−4a (a + bu) + 2a ^ 2 ln | a + bu | right] + C )

100. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u (a + bu)} = frac {1} {a} ln doľava | frac {u} {a + bu} doprava | + C )

101. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ 2 (a + bu)} = - frac {1} {au} + frac {b} {a ^ 2} ln doľava | frac {a + bu} {u} vpravo | + C )

102. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {(a + bu) ^ 2} , du = frac {a} {b ^ 2 (a + bu)} + frac {1} {b ^ 2} ln | a + bu | + C )

103. ( quad displaystyle ∫ frac {u} {u (a + bu) ^ 2} , du = frac {1} {a (a + bu)} - frac {1} {a ^ 2} ln doľava | frac {a + bu} {u} doprava | + C )

104. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} {(a + bu) ^ 2} , du = frac {1} {b ^ 3} vľavo (a + bu− frac {a ^ 2} {a + bu} −2a ln | a + bu | vpravo) + C )

105. ( quad displaystyle ∫u sqrt {a + bu} , du = frac {2} {15b ^ 2} (3bu − 2a) (a + bu) ^ {3/2} + C )

106. ( quad displaystyle ∫ frac {u} { sqrt {a + bu}} , du = frac {2} {3b ^ 2} (bu − 2a) sqrt {a + bu} + C )

107. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ 2} { sqrt {a + bu}} du = frac {2} {15b ^ 3} (8a ^ 2 + 3b ^ 2u ^ 2− 4abu) sqrt {a + bu} + C )

108. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} = začať {prípady} frac {1} { sqrt {a}} ln doľava | frac { sqrt {a + bu} - sqrt {a}} { sqrt {a + bu} + sqrt {a}} doprava | + C, quad text {if} , a> 0 [ 4pt] frac { sqrt {2}} { sqrt {−a}} tan ^ {- 1} sqrt { frac {a + bu} {- a}} + C, quad text {ak } , a <0 end {cases} )

109. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a + bu}} {u} , du = 2 sqrt {a + bu} + a∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} )

110. ( quad displaystyle ∫ frac { sqrt {a + bu}} {u ^ 2} , du = - frac { sqrt {a + bu}} {u} + frac {b} {2} ∫ frac {du} {u sqrt {a + bu}} )

111. ( quad displaystyle ∫u ^ n sqrt {a + bu} , du = frac {2} {b (2n + 3)} doľava [u ^ n (a + bu) ^ {3 / 2} −na∫u ^ {n − 1} sqrt {a + bu} , du right] )

112. ( quad displaystyle ∫ frac {u ^ n} { sqrt {a + bu}} du = frac {2u ^ n sqrt {a + bu}} {b (2n + 1) } - frac {2na} {b (2n + 1)} ∫ frac {u ^ {n − 1}} { sqrt {a + bu}} , du )

113. ( quad displaystyle ∫ frac {du} {u ^ n sqrt {a + bu}} = - frac { sqrt {a + bu}} {a (n − 1) u ^ {n −1}} - frac {b (2n − 3)} {2a (n − 1)} ∫ frac {du} {u ^ {n-1} sqrt {a + bu}} )


42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C

43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u

44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C ∫ e a u sin b u d u = e a u 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C

45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C ∫ e a u cos b u d u = e a u 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C

46. ​​∫ ln u d u = u ln u - u + C ∫ ln u d u = u ln u - u + C

47. ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C.

48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C.


Jednoznačné integrály

Nech $ f (x) $ je definovaný integrál v intervale $ a leq x leq b $. Rozdeľte interval na $ n $ rovnakých častí dĺžky $ Delta x = frac$. Potom je definitívny integrál $ F (x) $ medzi $ x = a $ a $ x = b $ definovaný ako
$ int ^ b_a f (x) dx = $ $ lim_f (a) Delta x + f (a + Delta x) Delta x + f (a + 2 Delta x) Delta x + cdots $ f (a + (n-1) Delta x) Delta x $

Limit bude určite existovať, ak bude $ f (x) $ po častiach kontinuálne.

Ak $ f (x) = fracg (x) $, potom základnou vetou integrálneho počtu možno vyššie uvedený určitý integrál vyhodnotiť pomocou výsledku
$ int ^ b_a f (x) dx = int ^ b_a fracg (x) dx = g (x) | ^ b_a = g (b) -g (a) $
Ak je interval nekonečný alebo ak má $ f (x) $ v určitom okamihu intervalu singularitu, definitívny integrál sa nazýva nesprávny integrál a môžu byť definované použitím vhodných obmedzujúcich postupov. Napríklad,

$ int_a ^ infty f (x) dx = lim_ int_a ^ b f (x) dx $

$ int_a ^ b f (x) dx = lim _ < epsilon to 0> int_a ^ f (x) dx $, ak $ b $ je singulárny bod

$ int_a ^ b f (x) dx = lim _ < epsilon to 0> int_^ b f (x) dx $, ak $ a $ je singulárny bod

Všeobecné vzorce zahŕňajúce určité integrály

$ int_a ^ b dx = $ $ int_a ^ b f (x) dx pm int_a ^ b g (x) dx pm int_a ^ b h (x) dx pm cdots $

$ int_a ^ b cf (x) dx = c int_a ^ b f (x) dx $, kde $ c $ je ľubovoľná konštanta

$ int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx $

$ int_a ^ b f (x) dx = (b-c) f (c) $, kde $ c $ je medzi $ a $ a $ b $

Toto sa nazýva veta o strednej hodnote pre určité integrály a platí, ak $ f (x) $ je spojité v $ a leq x leq b $.

$ int_a ^ b f (x) g (x) dx = f (c) int_a ^ b g (x) dx $, kde $ c $ je medzi $ a $ a $ b $

Toto je zovšeobecnenie predchádzajúceho a je platné, ak $ f (x) $ a $ g (x) $ sú spojité v $ a leq x leq b $ a $ g (x) geq 0 $.

Leibnitzovo pravidlo pre diferenciáciu integrálov

Približné vzorce pre určité integrály

V nasledujúcom sa interval od $ x = a $ do $ x = b $ rozdelí na $ n $ rovnakých častí bodmi $ a = x_0, x_2,. . ., X_, x_n = b $ a necháme $ y_0 = f (x_0), y_1 = f (x_1), y_2 = f (x_2). $ $ y_n = f (x_n), h = frac$.
Obdĺžnikový vzorec
$ int_a ^ b f (x) dx približne h (y_0 + y_1 + y_2 + cdots + y_)$
Trapézový vzorec
$ int_a ^ b f (x) dx približne frac<2> (y_0 + 2r_1 + 2r_2 + cdots + 2r_+ y_n) $
Simpsonov vzorec (alebo parabolický vzorec) za rovnomerne $ n $
$ int_a ^ b f (x) dx približne frac<3> (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + cdots + 2y_+ 4 r.+ y_n) $


Tabuľka bežných integrálov


Jednoduchá tabuľka derivácií a integrálov z archívu Gottfrieda Leibniza. Leibniz vyvinul integrálny počet približne v rovnakom čase ako Isaac Newton. [Zdroj obrázkov]

Ako je možné použiť túto tabuľku bežných integrálov, uvidíte v predchádzajúcej časti: Integrácia pomocou tabuliek.

Alebo ekvivalentne: `int1 / (a ​​^ 2 + x ^ 2) dx` = 1 / a arktan (x / a) + K`

6. `intsin ^ 2udu` '= u / 2-1 / 2sin u cos u + K`

7. `intsin ^ 3udu` '= -cos u + 1 / 3cos ^ 3u + K`

8. `intsin ^ (n) u du`" = -1 / nsin ^ (n-1) u cos u` "+ (n-1) / nintsin ^ (n-2) u du`

9. `intcos ^ 2u du` = = u / 2 + 1 / 2sin u cos u + K`

10. `intcos ^ 3u du` = = u-1 / 3sin ^ 3u + K`

11. `intcos ^ (n) u du`" = 1 / ncos ^ (n-1) u sin u` "+ (n-1) / nintcos ^ (n-2) u du`

12. `inttan ^ (n) u du` = = (tan ^ -1u) / (n-1) -inttan ^ (n-2) u du`

15. `intt sin nt dt` '= 1 / (n ^ 2) (sin nt-nt cos nt) + K`

16. `intt cos nt dt`" = 1 / (n ^ 2) (cos nt + nt sin nt) + K`

17. `inte ^ (au) sin bu du` '= (e ^ (au) (a sin bu-b cos bu)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + K`

18. `inte ^ (au) cos bu du` '= (e ^ (au) (a cos bu + b sin bu)) / (a ​​^ 2 + b ^ 2) + K`

21. `intt ^ 2cos ntdt`" = 1 / (n ^ 3) (n ^ 2t ^ 2 sin nt-2 sin nt` "<: + 2nt cos nt) + K`


Základy univerzitnej matematiky, 3. vydanie, autor: C McGregor, J. Nimmo, W. Stothers

Získajte Základy univerzitnej matematiky, 3. vydanie teraz s online učením O’Reilly.

Členovia O’Reilly zažijú živé online školenie, plus knihy, videá a digitálny obsah od viac ako 200 vydavateľov.

Nasledujúcu tabuľku je možné použiť na vyhľadanie derivátov aj integrálov. Skutočné funkcie f a F sú také, že

Získajte Základy univerzitnej matematiky, 3. vydanie teraz s online učením O’Reilly.

Členovia O’Reilly zažijú živé online školenie, plus knihy, videá a digitálny obsah od viac ako 200 vydavateľov.


Príručka matematických vzorcov a integrálov

Aktualizovaná príručka je základným odkazom pre výskumných pracovníkov a študentov aplikovanej matematiky, inžinierstva a fyziky. Poskytuje rýchly prístup k dôležitým vzorcom, vzťahom a metódam z algebry, trigonometrických a exponenciálnych funkcií, kombinatoriky, pravdepodobnosti, teórie matíc, počtu a vektorového počtu, bežných a parciálnych diferenciálnych rovníc, Fourierových radov, ortogonálnych polynómov a Laplaceových transformácií. Mnohé z týchto záznamov vychádzajú z aktualizovaného šiesteho vydania časopisov Gradshteyn a Ryzhik & # x27s Tabuľka integrálov, sérií a produktov a ďalšie dôležité referenčné práce.

Tretie vydanie má nové kapitoly týkajúce sa riešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovníc a kvalitatívnych vlastností tepelnej a Laplaceovej rovnice.

Aktualizovaná príručka je základným odkazom pre výskumných pracovníkov a študentov aplikovanej matematiky, inžinierstva a fyziky. Poskytuje rýchly prístup k dôležitým vzorcom, vzťahom a metódam z algebry, trigonometrických a exponenciálnych funkcií, kombinatoriky, pravdepodobnosti, teórie matíc, počtu a vektorového počtu, bežných a parciálnych diferenciálnych rovníc, Fourierových radov, ortogonálnych polynómov a Laplaceových transformácií. Mnohé z týchto záznamov vychádzajú z aktualizovaného šiesteho vydania časopisov Gradshteyn a Ryzhik & # x27s Tabuľka integrálov, sérií a produktov a ďalšie dôležité referenčné práce.

Tretie vydanie má nové kapitoly týkajúce sa riešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovníc a kvalitatívnych vlastností tepelnej a Laplaceovej rovnice.


Kedy aproximovať integrál?

Môžeme aproximovať integrály pomocou odhad plochy pod krivkou $ boldsymbol$ pre daný interval, $ boldsymbol <[a, b]> $. V našej diskusii sa budeme venovať trom metódam: 1) pravidlo stredu, 2) pravidlo lichobežníka a 3) Simpsonovo pravidlo.

Ako sme už spomenuli, existujú funkcie, kde nájdenie ich primitívnych činiteľov a definitívnych integrálov bude nemožným činom, ak zostaneme pri analytickom prístupe. Vtedy sa budú hodiť tri metódy aproximácie integrálov.

Toto sú dva príklady konkrétnych integrálov, ktoré bude náročné vyhodnotiť, ak použijeme integračné techniky, ktoré sme sa naučili v minulosti.

To je, keď vstúpia tri integrálne aproximačné techniky. Prvá aproximácia, ktorú sa naučíte vo svojich triedach integrálneho počtu, je Riemannova suma. Dozvedeli sme sa, ako je možné odhadnúť oblasť pod krivkou rozdelením oblasti na menšie obdĺžniky s pevnou šírkou.

Vyššie uvedený graf zdôrazňuje, ako funguje Riemannova suma: rozdelte oblasť pod krivkou $ n $ obdĺžnikmi, ktoré majú spoločnú šírku, $ Delta x $. Hodnota $ Delta x $ je jednoducho rozdiel medzi koncovými bodmi intervalov vydelený $ n $: $ Delta x = dfrac$.

Plochu a integrál môžeme odhadnúť pomocou vzťahov uvedených nižšie:

Pravá Riemannova suma

Ľavica Riemannova suma

Nezabudnite, že $ x_i $ predstavuje počiatočnú hodnotu, ktorou začíname. O sume Riemann sme sa už zmienili v tomto článku, takže si ju nezabudnite skontrolovať pre prípad, že by ste sa potrebovali osviežiť.

V nasledujúcej časti si ukážeme tri metódy numerickej integrácie, ktoré môžete použiť na integráciu zložitých integrálov, ako napríklad $ f (x) = e ^ < sin (0.1x ^ 2)> $. Ukážeme vám tiež príklady, aby sme sa uistili, že implementujeme každú techniku.


B: Tabuľka integrálov - matematika

Poskytované cez integrály.
* Predpokladá sa, že sa načíta aspoň jeden integrál.

Stiahnite si celú tabuľku ako: súbor PDF | Latex

Ostatné tlačiteľné tabuľky

Väčšina tabuľky na jednej stránke: PDF | Latex
Tabuľka 18 základných integrálov: PDF | Latex
Logické vzorce: PDF | Latex
Laplaceove transformácie: PDF | Latex
Sprievodca štúdiom diferenciálnych rovníc: PDF | Latex
Základné štatistiky: PDF | Latex
Tabuľky z Robiť kalkul PDF

Vyriešte akýkoľvek integrál online pomocou integrátora Wolfram (externý odkaz)

Kliknite pravým tlačidlom na ľubovoľný integrál a zobrazte ho v mathml. Použite tento posúvač & darr

Integrálna tabuľka vo vyššie uvedenom rámci bola vyrobená pomocou TeX4ht pre MathJax pomocou príkazu tu konfiguračného súboru a shell skriptov ht5mjlatex a makejax.sh.

Ak nájdete chybu:

Ak nájdete chybu na tejto webovej stránke alebo chcete navrhnúť úpravu, pošlite e-mail na adresu bruce.e.shapiro na adrese csun.edu

Upozorňujeme, že číslovanie rovníc (a objednávanie) sa môže líšiť v tlačenej a webovej verzii a medzi aktuálnou a staršou verziou tejto webovej stránky. Pri vytváraní chybového hlásenia uveďte, či máte na mysli rovnicu online alebo vo formáte pdf.

Využitie a uvedenie zdroja

Autorské práva a kópia 2004 - 2015 BE Shapiro. Tento materiál je uverejnený tak, ako je, bez záruky. Za presnosť, správnosť alebo vhodnosť tohto materiálu pre akékoľvek účely sa nenárokujú. Aj keď bolo vynaložené primerané úsilie na overenie presnosti týchto vzorcov, mohlo dôjsť k niektorým typografickým chybám. Pred použitím alebo zverejnením akýchkoľvek odvodených výsledkov by ste si mali overiť všetky použité vzorce.

Samotné integrálne vzorce sami o sebe existujú vo verejnej doméne a nemusia byť chránené autorskými právami.

Táto webová stránka a obsah boli vyvinuté a sú udržiavané výhradne na náklady autora a nie v rámci žiadnej oficiálnej funkcie pre žiadnu organizáciu. Neposkytla sa žiadna podpora pre jeho vývoj, ani žiadna podpora pre jeho nepretržitú údržbu, ktorú poskytuje Kalifornská štátna univerzita v Northridge alebo iná vládna alebo mimovládna agentúra. Obsah, kvalita a akékoľvek názory vyjadrené na tejto webovej stránke neodrážajú stanovisko Kalifornskej štátnej univerzity v Northridge.

Ak chcete poskytnúť finančnú podporu na ďalšiu údržbu tejto webovej stránky, zakúpte si kópie kníh autora na adrese http://calculuscastle.com.

Poďakovanie

Autor nie je nijako prepojený s organizáciami Wolfram Research, Mathematica alebo Wolfram Integrater. Práve som zverejnil odkaz v hornej časti tejto stránky, pretože si myslím, že ich webová stránka je skutočne v pohode!

Mnoho ľudí identifikovalo chyby a urobilo veľa užitočných návrhov. Medzi týmito jednotlivcami sú (a ospravedlňujem sa za pravopisné chyby - veľa mien je neúplných a sú založené iba na e-mailových adresách): Daniel Ajoy Andrea Bajo James Duley Johannes Ebke Stephen Gilmore Peter Kloeppel Larry Morris Kregg Quarles LS Rigo Nicole Ritzert Stephen Russ Jim Swift Vedran (Veky) & # 268a & # 269i & # 263 Bruce Weems Justin Winokur Corne de Witt Phillipe (Xul) Jose Antonio Alvarez Loyo Yates.

A je mi cťou byť zaradený medzi nasledujúce vážené spoločnosti:

Kto potrebuje matematický odkaz, keď máte MathWorld alebo integrated-table.com?

Clustrmap sa periodicky (a automaticky) archivuje a jeho počítadlá sa resetujú, takže celkový počet je menší. Nehovoriac o tom, že ich servery sa vzdali ducha, ktorý sa 25. marca 2015 zmenil na Zombies (Mozgy! Mozgy! Mozgy!):


Tabuľková integračná kalkulačka

Príklad

Vyriešené problémy

Zložité problémy

Vyriešený príklad tabuľkovej integrácie

Integrál $ int x ^ 4 sin left (x right) dx $ môžeme vyriešiť aplikáciou metódy tabuľkovej integrácie po častiach, ktorá nám umožňuje vykonávať postupné integrácie po častiach na integráloch tvaru $ int P (x) T (x) dx $. $ P (x) $ je zvyčajne polynomiálna funkcia a $ T (x) $ je transcendentná funkcia, ako napríklad $ sin (x) $, $ cos (x) $ a $ e ^ x $. Prvým krokom je výber funkcií $ P (x) $ a $ T (x) $

Nájdite derivát $ x ^ 4 $ vzhľadom na $ x $

Pravidlo napájania pre diferenciáciu hovorí, že ak $ n $ je reálne číslo a $ f (x) = x ^ n $, potom $ f & # x27 (x) = nx ^$

Derivácia funkcie vynásobená konštantou ($ 4 $) sa rovná konštantným časom derivácie funkcie

Pravidlo napájania pre diferenciáciu hovorí, že ak $ n $ je reálne číslo a $ f (x) = x ^ n $, potom $ f & # x27 (x) = nx ^$

Derivácia funkcie vynásobená konštantou ($ 12 $) sa rovná konštantným časom derivácie funkcie

Pravidlo napájania pre diferenciáciu hovorí, že ak $ n $ je reálne číslo a $ f (x) = x ^ n $, potom $ f & # x27 (x) = nx ^$

Derivácia lineárnej funkcie krát konštanta sa rovná konštante


Recenzie

„. ak túto knihu používate často, určite stojí za to si zaobstarať nové vydanie ...“ --MAA.org, november 2014

"Integrály sú veľmi užitočné, ale táto kniha obsahuje mnoho ďalších funkcií, ktoré pomôžu čitateľovi, najmä postgraduálnym študentom. Časti o polynomoch Hermita a Legendra sú užitočné najmä pre študentov elektriny a magnetizmu, kvantovej mechaniky a matematickej fyziky ( nebudú musieť loviť v niekoľkých knihách, aby našli to, čo potrebujú). “ --Barry Simon, Kalifornský technologický inštitút

"Táto kniha je určená pre matematické tabuľky CRC, zatiaľ čo neskrátený Oxfordský anglický slovník je určená pre Webster's Collegiate. Okrem toho, že je veľká, je v nej ľahké nájsť veci, a to vďaka spôsobu, akým sú integrály organizované do tried. Na vysokej škole mi to skutočne pomohlo." „ --Phil Hobbs, recenzia Amazonu


Pozri si video: Całki nieoznaczone - wiedza podstawowa (December 2021).