Články

16.5: Zvlnenie a divergencia


V tejto záverečnej časti si vytvoríme vzťahy medzi gradientom, divergenciou a curl a taktiež predstavíme novú veličinu zvanú Laplaciánsky. Potom si ukážeme, ako tieto veličiny zapisovať do valcových a sférických súradníc.

Prechod

Pre funkciu s reálnou hodnotou (f (x, y, z) ) na ( mathbb {R} ^ 3 ) je gradient (∇f (x, y, z) ) vektorový hodnotená funkcia na ( mathbb {R} ^ 3 ), to znamená, že jej hodnota v bode ((x, y, z) ) je vektor

[ nonumber ∇f (x, y, z) = left ( dfrac {∂f} {∂x}, dfrac {∂f} {∂y}, dfrac {∂f} {∂z} vpravo) = dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} ]

v ( mathbb {R} ^ 3 ), kde sa každá z čiastkových derivácií vyhodnocuje v bode ((x, y, z) ). Týmto spôsobom teda môžete myslieť na symbol (∇ ) ako „aplikovaný“ na funkciu so skutočnou hodnotou (f ) na vytvorenie vektora (∇f ).

Ukazuje sa, že divergenciu a zvlnenie možno vyjadriť aj pomocou symbolu (∇ ). To sa deje myslením (∇ ) ako vektor v ( mathbb {R} ^ 3 ), a to

[∇ = dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k}. štítok {Eq4.51} ]

Tu treba symboly ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y} text {a} dfrac {∂} {∂z} ) považovať za „ operátory čiastkových derivácií “, ktoré sa„ použijú “na funkciu so skutočnou hodnotou, napríklad (f (x, y, z) ), aby vytvorili čiastkové derivácie ( dfrac {∂f} {∂x}, , dfrac {∂f} {∂y} text {a} dfrac {∂f} {∂z} ). Napríklad ( dfrac {∂} {∂x} ) „sa použil“ na (f (x, y, z) text {produce} dfrac {∂f} {∂x} ).

Je (∇ ) naozaj vektor? Presne povedané, nie, pretože ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y} text {a} dfrac {∂} {∂z} ) nie sú skutočné čísla. Ale pomáha myslieť si z (∇ ) ako vektor, najmä s odchýlkami a zvlneniami, ako čoskoro uvidíme. Proces „aplikácie“ ( dfrac {∂} {∂x}, , dfrac {∂} {∂y}, , dfrac {∂} {∂z} ) na funkciu so skutočnou hodnotou (f (x, y, z) ) sa bežne považuje za množiť sa množstvá:

[ nonumber left ( dfrac {∂} {∂x} right) (f) = dfrac {∂f} {∂x}, , left ( dfrac {∂} {∂y} right ) (f) = dfrac {∂f} {∂y}, , doľava ( dfrac {∂} {∂z} doprava) (f) = dfrac {∂f} {∂z} ]

Z tohto dôvodu sa (∇ ) často označuje ako „operátor del“, pretože „pracuje“ na funkciách.

Divergencia

Napríklad je často vhodné napísať divergenčný div f ako (∇ cdot textbf {f} ), pretože pre vektorové pole ( textbf {f} (x, y, z) = f_1 (x, y, z) textbf {i} + f_2 ( x, y, z) textbf {j} + f_3 (x, y, z) textbf {k} ), bodový súčin produktu f s (∇ ) (považované za vektor) má zmysel:

[ nonumber begin {align} ∇ · textbf {f} & = left ( dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k} vpravo) · (f_1 (x, y, z) textbf {i} + f_2 (x, y, z) textbf {j} + f_3 ( x, y, z) textbf {k}) [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂} {∂x} right) (f_1) + left ( dfrac {∂} {∂ y} right) (f_2) + left ( dfrac {∂} {∂z} right) (f_3) [4pt] nonumber & = dfrac {∂f_1} {∂x} + dfrac { ∂f_2} {∂y} + dfrac {∂f_3} {∂z} [4pt] nonumber & = text {div} textbf {f} [4pt] end {align} ]

Môžeme napísať aj zvlnenie f z hľadiska (∇ ), menovite ako (∇ × textbf {f} ), pretože pre vektorové pole ( textbf {f} (x, y, z) = P (x, y, z ) textbf {i} + Q (x, y, z) textbf {j} + R (x, y, z) textbf {k} ), máme:

[ nonumber begin {align} ∇ × textbf {f} & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x} & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] nonumber P (x, y, z) & Q (x, y, z) & R (x, y, z) [4pt] end {vmatrix} [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂R} {∂y} - dfrac {∂Q} {∂z} right) textbf {i} - left ( dfrac {∂R} {∂x} - dfrac {∂P} {∂z} right) textbf {j} + left ( dfrac {∂Q } {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} vpravo) textbf {k} [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂R} {∂y} - dfrac { ∂Q} {∂z} vpravo) textbf {i} + doľava ( dfrac {∂P} {∂z} - dfrac {∂R} {∂x} doprava) textbf {j} + dolava ( dfrac {∂Q} {∂x} - dfrac {∂P} {∂y} doprava) textbf {k} [4pt] nonumber & = text {curl} textbf {f} [4pt] end {align} ]

Pre funkciu so skutočnou hodnotou (f (x, y, z) ) je gradient (∇f (x, y, z) = dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} ) je vektorové pole, takže môžeme brať jeho odlišnosti:

[ nonumber begin {align} text {div} ∇f & = ∇ · ∇f [4pt] nonumber & = left ( dfrac {∂} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂} {∂z} textbf {k} vpravo) · doľava ( dfrac {∂f} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂f} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂f} {∂z} textbf {k} right) [4pt] nonumber & = dfrac {∂} { ∂x} doľava ( dfrac {∂f} {∂x} doprava) + dfrac {∂} {∂y} doľava ( dfrac {∂f} {∂y} doprava) + dfrac {∂ } {∂z} doľava ( dfrac {∂f} {∂z} doprava) [4pt] nonumber & = dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂z ^ 2} [4pt] end {zarovnať} ]

Toto je funkcia so skutočnou hodnotou, ktorej dáme špeciálny názov:

Definícia 4.7: Laplacián

Pre funkciu s reálnou hodnotou (f (x, y, z) ) platí Laplaciánsky z (f ), označené (∆f ), je dané

[∆f (x, y, z) = ∇ · ∇f = dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y ^ 2} + dfrac { ∂ ^ 2 f} {∂z ^ 2}. Label {Eq4.52} ]

Pre laplacián sa často používa zápis (∇ ^ 2 f ) namiesto (∆f ) pomocou konvencie (∇ ^ 2 = ∇ · ∇ ).

Príklad 4.17

Nech ( textbf {r} (x, y, z) = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) je vektorové pole pozície na ( mathbb {R } ^ 3 ). Potom ( lVert textbf {r} (x, y, z) rVert ^ 2 = textbf {r} · textbf {r} = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) je skutočný -hodnotená funkcia. Nájsť

  1. sklon ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 )
  2. divergencia ( textbf {r} )
  3. zvlnenie ( textbf {r} )
  4. Laplacián z ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 )

Riešenie:

(a) (∇ rVert textbf {r} rVert ^ 2 = 2x textbf {i} + 2y textbf {j} + 2z textbf {k} = 2 textbf {r} )

(b) (∇ · textbf {r} = dfrac {∂} {∂x} (x) + dfrac {∂} {∂y} (y) + dfrac {∂} {∂z} (z) ) = 1 + 1 + 1 = 3 )

c)

[ nonumber ∇ × textbf {r} = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x} & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] x & y & z [4pt] end {vmatrix} = (0−0) textbf {i} - (0−0) textbf {j} + (0−0) textbf {k} = textbf {0} ]

(d) (∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = dfrac {∂ ^ 2} {∂x ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) + dfrac {∂ ^ 2} {∂y ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) + dfrac {∂ ^ 2} {∂z ^ 2} (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) = 2 + 2 + 2 = 6 )

Upozorňujeme, že ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 ) sme mohli vypočítať iným spôsobom pomocou notácie (∇ ) spolu s časťami (a) a (b):

[ nonumber ∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = ∇ · ∇ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = ∇ · 2 textbf {r} = 2∇ · textbf {r} = 2 (3) = 6 ]

Všimnite si, že v príklade 4.17, ak vezmeme zvlnenie gradientu ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 ), dostaneme

[ nonumber ∇ × (∇ rVert textbf {r} rVert ^ 2) = ∇ × 2 textbf {r} = 2∇ × textbf {r} = 2 textbf {0} = textbf {0 }. ]

Nasledujúca veta ukazuje, že tomu tak bude všeobecne:

Veta 4.15.

Pre každú plynulú funkciu so skutočnou hodnotou (f (x, y, z), ∇ × (∇f) = textbf {0} ).

Dôkaz

Podľa plynulosti f to vidíme

[ begin {align} ∇ × (∇f) & = begin {vmatrix} textbf {i} & textbf {j} & textbf {k} [4pt] dfrac {∂} {∂x } & dfrac {∂} {∂y} & dfrac {∂} {∂z} [4pt] dfrac {∂f} {∂x} & dfrac {∂f} {∂y} & dfrac {∂f} {∂z} [4pt] end {vmatrix} [4pt] & = left ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y∂z} - dfrac {∂ ^ 2 f } {∂z∂y} vpravo) textbf {i} - doľava ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x∂z} - dfrac {∂ ^ 2 f} {∂z∂x} doprava ) textbf {j} + doľava ( dfrac {∂ ^ 2 f} {∂x∂y} - dfrac {∂ ^ 2 f} {∂y∂x} doprava) textbf {k} = textbf {0}, [4pt] end {align} ]

pretože zmiešané parciálne deriváty v každej zložke sú rovnaké.

( ámestie)

Dodatok 4.16

Ak má vektorové pole (f (x, y, z) ) potenciál, potom zvlnenie ( textbf {f} = textbf {0} ).

Ďalším spôsobom, ako uviesť vetu 4.15, je, že gradienty sú irrotačné. Všimnite si tiež, že v príklade 4.17 vezmeme-li divergenciu zvlnenia r triviálne dostávame

[∇ · (∇ × textbf {r}) = ∇ · textbf {0} = 0. ]

Nasledujúca veta ukazuje, že tomu tak bude všeobecne:

Veta 4.17.

Pre akékoľvek hladké vektorové pole ( textbf {f} (x, y, z), ∇ · (∇ × textbf {f}) = 0. )

Dôkaz je priamy a ponechaný ako cvičenie pre čitateľa.

Dodatok 4.18

Tok zvlnenia hladkého vektorového poľa (f (x, y, z) ) cez ktorúkoľvek uzavretú plochu je nulový.

Dôkaz: Nech (Σ ) je uzavretý povrch, ktorý ohraničuje pevnú látku (S ). Tok (∇ × textbf {f} ) až (Σ ) je

[ begin {align} iint limits_Σ (∇ × textbf {f}) · dσ & = iiint limits_S ∇ · (∇ × textbf {f}) , dV text {(podľa vety o divergencii )} [4pt] & = iiint limits_S 0 , dV text {(podľa vety 4.17)} [4pt] & = 0 [4pt] end {align} ]

( značka { ( textbf {QED} )} )

Existuje iná metóda na preukázanie vety 4.15, ktorá môže byť užitočná a často sa používa vo fyzike. Totiž, ak povrchový integrál ( iint limits_Σ f (x, y, z) , dσ = 0 ) pre všetko povrchy (Σ ) v nejakej pevnej oblasti (zvyčajne celá ( mathbb {R} ^ 3 )), potom musíme mať (f (x, y, z) = 0 ) v celej tejto oblasti. Dôkaz nie je triviálny a fyzici sa zvyčajne neobťažujú ho dokázať. Výsledok je však pravdivý a dá sa použiť aj na dvojité a trojité integrály.

Napríklad na dokázanie vety 4.15 predpokladajme, že (f (x, y, z) ) je plynulá funkcia so skutočnou hodnotou na ( mathbb {R} ^ 3 ). Nech (C ) je jednoduchá uzavretá krivka v ( mathbb {R} ^ 3 ) a nech (Σ ) je ľubovoľná krycia plocha pre (C ) (tj. (Σ ) je orientovateľná a jeho hranica je (C )). Pretože (∇f ) je vektorové pole, potom

[ nonumber begin {align} iint limits_Σ (∇ × (∇f)) · textbf {n} , dσ & = mast_C ∇f · d textbf {r} text {podľa Stokesovej vety , so} [4pt] nonumber & = 0 text {od Corollary 4.13.} [4pt] end {align} ]

Pretože voľba (Σ ) bola ľubovoľná, potom musíme mať ((∇ × (∇f)) · textbf {n} = 0 ) v celom ( mathbb {R} ^ 3 ), kde n je akýkoľvek jednotkový vektor. Použitím i, j a k namiesto n, vidíme, že musíme mať (h × (∇f) = textbf {0} ) v ( mathbb {R} ^ 3 ), čo dopĺňa dôkaz.

Príklad 4.18

Systém elektrických nábojov má a hustota náboja (ρ (x, y, z) ) a vytvára elektrostatické pole ( textbf {E} (x, y, z) ) v bodoch ((x, y, z) ) v priestore. Gaussov zákon uvádza, že

[ nonumber iint limits_Σ textbf {E} · dσ = 4π iiint limits_S ρ , dV ]

pre každú uzavretú plochu (Σ ), ktorá obklopuje náboje, pričom (S ) je pevná oblasť ohraničená (Σ ). Ukážte, že (∇ · textbf {E} = 4πρ ). Toto je jeden z Maxwellove rovnice.

Riešenie

Podľa vety o divergencii máme

[ nonumber begin {align} iiint limits_S ∇ · textbf {E} dV & = iint limits_Σ textbf {E} · dσ [4pt] nonumber & = 4π iiint limits_S ρ , dV text {podľa Gaussovho zákona, takže kombinácia integrálov dáva} [4pt] nonumber iiint limits_S (∇ · textbf {E} −4πρ) , dV & = 0 text {, so} [4pt] nonumber ∇ · textbf {E} −4πρ & = 0 text {since} Σ text {a teda} S text {bol ľubovoľný, takže} [4pt] nonumber ∇ · textbf {E} & = 4πρ. [4pt] end {align} ]

Často (najmä vo fyzike) je vhodné použiť iné súradnicové systémy pri práci s veličinami, ako sú gradient, divergencia, zvlnenie a laplacián. Vzorce pre ne uvedieme vo valcových a sférických súradniciach.

Pripomeňme si z časti 1.7, že bod ((x, y, z) ) môže byť vyjadrený vo valcových súradniciach ((r, θ, z), text {kde} x = r cos θ, y = r sin θ, z = z. ) V každom bode ((r, θ, z), text {let} textbf {e} _r, textbf {e} _θ, textbf {e} _z text { byť jednotkovými vektormi v smere zvyšovania} r, θ, z, ) (pozri obrázok 4.6.1). Potom ( textbf {e} _r, textbf {e} _θ, textbf {e} _z ) vytvoria ortonormálnu množinu vektorov. Podľa pravidla pravej ruky platí, že ( textbf {e} _z × textbf {e} _r = textbf {e} _θ. )

Podobne môže byť bod ((x, y, z) ) znázornený v sférických súradniciach ((ρ, θ, φ) ), kde (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ. ) V každom bode ((ρ, θ, φ) ), nech ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf { e} _φ ) sú jednotkové vektory v smere zvyšovania (ρ, θ, φ ) (pozri obrázok 4.6.2). Potom sú vektory ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) ortonormálne. Podľa pravidla pravej ruky vidíme, že ( textbf {e} _θ × textbf {e} _ρ = textbf {e} _φ ).

Teraz môžeme zhrnúť výrazy pre gradient, divergenciu, zvlnenie a laplacián v karteziánskych, valcových a sférických súradniciach v nasledujúcich tabuľkách:

Karteziánsky

((x, y, z) ): skalárna funkcia (F ); Vektorové pole ( textbf {f} = f_1 textbf {i} + f_2 textbf {j} + f_3 textbf {k} )

  • gradient: (∇F = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F} {∂z} textbf {k} )
  • divergencia: (∇ · textbf {f} = dfrac {∂f_1} {∂x} + dfrac {∂f_2} {∂y} + dfrac {∂f_3} {∂z} )
  • zvlnenie: (∇ × textbf {f} = doľava ( dfrac {∂f_3} {∂y} - dfrac {∂f_2} {∂z} doprava) textbf {i} + doľava ( dfrac {∂f_1} {∂z} - dfrac {∂f_3} {∂x} vpravo) textbf {j} + doľava ( dfrac {∂f_2} {∂x} - dfrac {∂f_1} {∂ y} vpravo) textbf {k} )
  • Laplacián: (∆F = dfrac {∂ ^ 2F} {∂x ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂y ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂z ^ 2} )

Valcovitý

((r, θ, z) ): skalárna funkcia (F ); Vektorové pole ( textbf {f} = f_r textbf {e} _r + f_θ textbf {e} _θ + f_z textbf {e} _z )

  • gradient: (∇F = dfrac {∂F} {∂r} textbf {e} _r + dfrac {1} {r} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {∂F} {∂z} textbf {e} _z )
  • divergencia: (∇ · textbf {f} = dfrac {1} {r} dfrac {∂} {∂r} (r f_r) + dfrac {1} {r} dfrac {∂f_θ} {∂ θ} + dfrac {∂f_z} {∂z} )
  • zvlnenie: (∇ × textbf {f} = doľava ( dfrac {1} {r} dfrac {∂f_z} {∂θ} - dfrac {∂f_θ} {∂z} doprava) textbf { e} _r + doľava ( dfrac {∂f_r} {∂z} - dfrac {∂f_z} {∂r} doprava) textbf {e} _θ + dfrac {1} {r} doľava ( dfrac {∂} {∂r} (r f_θ) - dfrac {∂f_r} {∂θ} vpravo) textbf {e} _z )
  • Laplacián: (∆F = dfrac {1} {r} dfrac {∂} {∂r} doľava (r dfrac {∂F} {∂r} doprava) + dfrac {1} {r ^ 2} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {∂ ^ 2F} {∂z ^ 2} )

Sférické

((ρ, θ, φ) ): Skalárna funkcia (F ); Vektorové pole ( textbf {f} = f_ρ textbf {e} _ρ + f_θ textbf {e} _θ + f_φ textbf {e} _φ )

  • gradient: (∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ )
  • divergencia: (∇ · textbf {f} = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} (ρ ^ 2 f_ρ) + dfrac {1} {ρ} sin φ dfrac {∂f_θ} {∂θ} + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂} {∂φ} ( sin φ f_θ) )
  • zvlnenie: (∇ × textbf {f} = dfrac {1} {ρ sin φ} doľava ( dfrac {∂} {∂φ} ( sin φ f_θ) - dfrac {∂f_φ} {∂ θ} vpravo) textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ} doľava ( dfrac {∂} {∂ρ} (ρ f_φ) - dfrac {∂f_ρ} {∂φ} vpravo) textbf {e} _θ + left ( dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂f_ρ} {∂θ} - dfrac {1} {ρ} dfrac {∂} {∂ρ} ( ρ f_θ) right) textbf {e} _φ )
  • Laplacián: (∆F = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} doľava (ρ ^ 2 dfrac {∂F} {∂ρ} doprava) + dfrac {1 } {ρ ^ 2 sin ^ 2 φ} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac {∂} {∂φ} vľavo ( sin φ dfrac {∂F} {∂φ} vpravo) )

Odvodenie vyššie uvedených vzorcov pre valcové a sférické súradnice je priame, ale mimoriadne zdĺhavé. Základnou myšlienkou je vziať karteziánsky ekvivalent príslušnej veličiny a dosadiť do tohto vzorca pomocou vhodnej súradnicovej transformácie. Ako príklad odvodíme vzorec pre gradient v sférických súradniciach.

Cieľ: Ukážte, že gradient funkcie so skutočnou hodnotou (F (ρ, θ, φ) ) v sférických súradniciach je:

[ nonumber ∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ ]

Nápad: V kartézskom gradientovom vzorci (∇F (x, y, z) = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F} {∂z} textbf {k} ), vložte karteziánske základné vektory i, j, k pokiaľ ide o základné vektory sférických súradníc ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) a funkcie (ρ, θ text {a} φ ). Potom vložte parciálne derivácie ( dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ) v zmysle ( dfrac {∂ F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} ) a funkcie (ρ, θ text {a} φ ).

Krok 1: Získajte vzorce pre ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ) z hľadiska i, j, k.

Z obrázku 4.6.2 vidíme, že jednotkový vektor ( textbf {e} _ρ ) v smere (ρ ) vo všeobecnom bode ((ρ, θ, φ) ) je ( textbf {e} _ρ = dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert}, text {kde} textbf {r} = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) je pozičný vektor bodu v karteziánskych súradniciach. Teda

[ nonumber textbf {e} _ρ = dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert} = dfrac {x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}, ]

takže pomocou (x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ, text {a} ρ = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ), dostaneme:

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _ρ = sin φ cos θ textbf {i} + sin φ sin θ textbf {j} + cos φ textbf {k} ) } ]

Teraz, keďže uhol (θ ) sa meria v rovine (xy ), potom jednotkový vektor ( textbf {e} _θ text {v} θ ) musí byť rovnobežný s (xy ) - rovina. To znamená, ( textbf {e} _θ text {má tvar} a textbf {i} + b textbf {j} + 0 textbf {k} ). Ak chcete zistiť, čo (a text {a} b ) sú, nezabudnite, že od ( textbf {e} _θ perp textbf {e} _ρ ), potom najmä ( textbf {e} _θ perp textbf {e} _ρ ) keď ( textbf {e} _ρ text {je v} xy ) - rovina. K tomu dôjde, keď uhol (φ text {je} π / 2 ). Vloženie (φ = π / 2 ) do vzorca pre ( textbf {e} _ρ text {gives} textbf {e} _ρ = cos θ textbf {i} + sin θ textbf {j } +0 textbf {k} ) a vidíme, že kolmý vektor je (- sin θ textbf {i} + cos θ textbf {j} +0 textbf {k} ) . Pretože tento vektor je tiež jednotkovým vektorom a smeruje do (pozitívneho) (θ ) smeru, musí to byť ( textbf {e} _θ ):

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _θ = - sin θ textbf {i} + cos θ textbf {j} + 0 textbf {k} )} ]

Nakoniec, keďže ( textbf {e} _φ = textbf {e} _θ × textbf {e} _ρ, ) dostaneme:

[ nonumber fbox { ( textbf {e} _φ = cos φ cos θ textbf {i} + cos φ sin θ textbf {j} - sin φ textbf {k} ) } ]

Krok 2: Použite tri vzorce z kroku 1, ktoré chcete vyriešiť i, j, k v zmysle ( textbf {e} _ρ, textbf {e} _θ, textbf {e} _φ ).

Toto vedie k riešeniu systému troch rovníc v troch neznámych. Existuje mnoho spôsobov, ako to urobiť, ale urobíme to kombináciou vzorcov pre ( textbf {e} _ρ text {a} textbf {e} _φ text {na vylúčenie} k ), ktoré poskytnú nám rovnica zahŕňajúca iba i a j. Toto, so vzorcom pre ( textbf {e} _θ ), nám potom ponechá sústavu dvoch rovníc v dvoch neznámych (i a j), ktoré najskôr použijeme na riešenie j potom pre i. Nakoniec vyriešime pre k.

Najskôr si to všimnite

[ nonumber sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ = cos θ textbf {i} + sin θ textbf {j} ]

tak že

[ nonumber sin θ ( sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ) + cos θ textbf {e} _θ = ( sin ^ 2 θ + cos ^ 2 θ) textbf {j} = textbf {j}, ]

a tak:

[ nonumber fbox { ( textbf {j} = sin φ sin θ textbf {e} _ρ + cos θ textbf {e} _θ + cos φ sin θ textbf {e} _φ )} ]

Rovnako to vidíme

[ nonumber cos θ ( sin φ textbf {e} _ρ + cos φ textbf {e} _φ) - sin θ textbf {e} _θ = ( cos ^ 2 θ + sin ^ 2 θ) textbf {i} = textbf {i}, ]

a tak:

[ nonumber fbox { ( textbf {i} = sin φ cos θ textbf {e} _ρ - sin θ textbf {e} _θ + cos φ cos θ textbf {e} _φ )} ]

Nakoniec vidíme, že:

[ nonumber fbox { ( textbf {k} = cos φ textbf {e} _ρ - sin φ textbf {e} _φ )} ]

Krok 3: Získajte vzorce pre ( dfrac {∂F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} text {v zmysle} dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ).

Podľa reťazového pravidla máme

[ nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂ρ} & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x} {∂ρ} + dfrac {∂F} {∂ y} dfrac {∂y} {∂ρ} + dfrac {∂F} {∂z} dfrac {∂z} {∂ρ}, [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂θ } & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x} {∂θ} + dfrac {∂F} {∂y} dfrac {∂y} {∂θ} + dfrac {∂F } {∂z} dfrac {∂z} {∂θ}, [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂φ} & = dfrac {∂F} {∂x} dfrac {∂x } {∂φ} + dfrac {∂F} {∂y} dfrac {∂y} {∂φ} + dfrac {∂F} {∂z} dfrac {∂z} {∂φ}, [4pt] end {align} ]

ktorý dáva:

[ fbox { ( nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂ρ} & = sin φ cos θ dfrac {∂F} {∂x} + sin φ sin θ dfrac {∂F} {∂y} + cos φ dfrac {∂F} {∂z} [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂θ} & = −ρ sin φ sin θ dfrac {∂F} {∂x} + ρ sin φ cos θ dfrac {∂F} {∂y} [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂φ} & = ρ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂x} + ρ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂y} - ρ sin φ dfrac {∂F} {∂z} [ 4pt] end {zarovnať} )} ]

Krok 4: Použite tri vzorce z kroku 3 na riešenie pre ( dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ) z hľadiska ( dfrac {∂F} {∂ρ}, dfrac {∂F} {∂θ}, dfrac {∂F} {∂φ} ).

To opäť znamená vyriešiť sústavu troch rovníc v troch neznámych. Použitím podobného procesu eliminácie ako v kroku 2 dostaneme:

[ fbox { ( nonumber begin {align} dfrac {∂F} {∂x} & = dfrac {1} {ρ sin φ} doľava (ρ sin ^ 2 φ cos θ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂φ} vpravo) [4 pt ] nonumber dfrac {∂F} {∂y} & = dfrac {1} {ρ sin φ} zľava (ρ sin ^ 2 φ sin θ dfrac {∂F} {∂ρ} + cos θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂φ} vpravo) [4pt] nonumber dfrac {∂F} {∂ z} & = dfrac {1} {ρ} doľava (ρ cos φ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin φ dfrac {∂F} {∂φ} doprava) [4 pt ] end {zarovnať} )} ]

Krok 5: Nahraďte vzorce pre i, j, k z kroku 2 a vzorce pre ( dfrac {∂F} {∂x}, dfrac {∂F} {∂y}, dfrac {∂F} {∂z} ) z kroku 4 do karteziánskeho gradientu vzorec (∇F (x, y, z) = dfrac {∂F} {∂x} textbf {i} + dfrac {∂F} {∂y} textbf {j} + dfrac {∂F } {∂z} textbf {k} ).

Tento posledný krok je možno najnáročnejší, pretože zahŕňa zjednodušenie (3 × 3 + 3 × 3 + 2 × 2 = 22 ) výrazov! Menovite,

[ nonumber begin {align} ∇F & = dfrac {1} {ρ sin φ} vľavo (ρ sin ^ 2 φ cos θ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ cos θ dfrac {∂F} {∂φ} vpravo) ( sin φ cos θ textbf {e} _ρ - sin θ textbf {e} _θ + cos φ cos θ textbf {e} _φ) [4pt] nonumber & + dfrac {1} {ρ sin φ} doľava (ρ sin ^ 2 φ sin θ dfrac {∂F} {∂ρ} + cos θ dfrac {∂F} {∂θ} + sin φ cos φ sin θ dfrac {∂F} {∂φ} vpravo) ( sin φ sin θ textbf {e} _ρ + cos θ textbf {e} _θ + cos φ sin θ textbf {e} _φ) [4pt] nonumber & + dfrac {1} {ρ} doľava (ρ cos φ dfrac {∂F} {∂ρ} - sin φ dfrac {∂F} {∂φ} doprava) ( cos φ textbf {e} _ρ - sin φ textbf {e} _φ), [4pt] end {align} ]

ktoré vidíme, má 8 výrazov zahŕňajúcich ( textbf {e} _ρ ), 6 výrazov zahŕňajúcich ( textbf {e} _θ ) a 8 výrazov zahŕňajúcich ( textbf {e} _φ ). Ale algebra je jednoduchá a prináša požadovaný výsledok:

[∇F = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ} textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ quad začiarknutie ]

Príklad 4.19

V príklade 4.17 sme ukázali, že (∇ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = 2 textbf {r} text {a} ∆ lVert textbf {r} rVert ^ 2 = 6, text { kde} textbf {r} (x, y, z) = x textbf {i} + y textbf {j} + z textbf {k} ) v karteziánskych súradniciach. Overíme, či dostaneme rovnaké odpovede, ak prepneme na sférické súradnice.

Riešenie

Pretože ( lVert textbf {r} rVert ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ρ ^ 2 text {v sférických súradniciach, nechajme} F (ρ, θ, φ) = ρ ^ 2 ) (takže (F (ρ, θ, φ) = lVert textbf {r} rVert ^ 2 )). Gradient (F ) v sférických súradniciach je

[ nonumber begin {align} ∇F & = dfrac {∂F} {∂ρ} textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} dfrac {∂F} {∂θ } textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} dfrac {∂F} {∂φ} textbf {e} _φ [4pt] nonumber & = 2ρ textbf {e} _ρ + dfrac {1} {ρ sin φ} (0) textbf {e} _θ + dfrac {1} {ρ} (0) textbf {e} _φ [4pt] nonumber & = 2ρ textbf { e} _ρ = 2ρ dfrac { textbf {r}} { lVert textbf {r} rVert}, text {ako sme už ukázali skôr, takže} [4pt] nonumber & = 2ρ dfrac { textbf {r}} {ρ} = 2 textbf {r}, text {podľa očakávania. A Laplacián je} [4pt] nonumber ∆F & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} doľava (ρ ^ 2 dfrac {∂F} {∂ρ } right) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin ^ 2 φ} dfrac {∂ ^ 2F} {∂θ ^ 2} + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac { ∂} {∂φ} left ( sin φ dfrac {∂F} {∂φ} right) [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} { ∂ρ} (ρ ^ 2 2ρ) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} (0) + dfrac {1} {ρ ^ 2 sin φ} dfrac {∂} {∂φ} dolava ( sin φ (0) doprava) [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} dfrac {∂} {∂ρ} (2ρ ^ 3) + 0 + 0 [4pt] nonumber & = dfrac {1} {ρ ^ 2} (6ρ ^ 2) = 6, text {podľa očakávania.} [4pt] end {align} ]


Počet premenných

Kliknutím na tlačidlá nižšie vyhľadáte konkrétne informácie:

Domovská stránka pre počet premenných

Môžete sa tiež vrátiť na moju hlavnú stránku http://pages.jh.edu/

Sylabus

Pokryté témy sa líšili od kurzu po kurz, ale spravidla zahŕňali:

  • Vektory a geometria vesmíru
  • Vektorové funkcie
  • Parciálne deriváty
  • Viaceré integrály
  • Vektorový počet

Na kurze boli použité rôzne texty, vrátane najnovších:

Kalkulus pre viac premenných (7. alebo 8. vydanie) od Jamesa Stewarta. ISBN-13 pre 7. vydanie: 978-0538497879 ISBN-13 pre 8. vydanie: 978-1285741550

Sada prednášok 1

V súčasnosti sú k dispozícii dve sady prednášok. Prvé sú z môjho kurzu MVC ponúkaného v Mexiku (na stiahnutie ako jeden súbor ZIP) v roku 2006. Použila inú učebnicu a sem tam nájdete španielčinu, ale poznámky sú inak v angličtine.

Sada prednášok 2

Druhá sada je z učebnice. Nepoužívam ich v skutočnom prostredí triedy a online študenti majú prístup k ďalšiemu súboru videonahrávok a písomných prednášok. (Všetky prezentácie sú chránené autorským právom vydavateľa).

Kapitola 12: Vektory a geometria vesmíru

Kapitola 13: Vektorové funkcie

Kapitola 14: Čiastkové deriváty

Kapitola 15: Viaceré integrály

Kapitola 16: Vektorový počet

Khan Academy má súbor viac ako 175 prednášok o kalkulu Multivariable. Sada sa zameriava na nasledujúce témy, ale musíte nájsť jej odkazy, aby ste našli priame odkazy:

  1. Funkcie s viacerými premennými
  2. Reprezentácia bodov v 3d
  3. Úvod do 3D grafov
  4. Interpretácia grafov s plátkami
  5. Obrysové grafy
  6. Parametrické krivky
  7. Parametrické povrchy
  8. Vektorové polia, úvod
  9. Tok tekutín a vektorové polia
  10. 3d vektorové polia, úvod
  11. 3D príklad vektorového poľa
  12. Transformácie, 1. časť
  13. Transformácie, 2. časť
  14. Transformácie, 3. časť
  15. Čiastočné deriváty, úvod
  16. Parciálne derivácie a grafy
  17. Formálna definícia parciálnych derivátov
  18. Symetria druhých parciálnych derivácií
  19. Prechod
  20. Prechod a grafy
  21. Smerová derivácia
  22. Smerová derivácia, formálna definícia
  23. Smerové derivácie a sklon
  24. Prečo je gradient smer najstrmšieho stúpania
  25. Gradientné a vrstevnicové mapy
  26. Funkcie ocenené vektorom polohy
  27. Derivácia funkcie ocenenej vektorom polohy
  28. Diferenciál funkcie s vektorovou hodnotou
  29. Príklad derivácie funkcie s vektorom
  30. Pravidlo reťazca viacerých premenných
  31. Intuícia pravidiel reťazca s rôznymi premennými
  32. Vektorová forma pravidla reťazca viacerých premenných
  33. Pravidlo reťazca s viacerými premennými a smerové derivácie
  34. Formálnejšie zaobchádzanie s pravidlom viacerých premenných
  35. Intuícia zakrivenia
  36. Vzorec zakrivenia, časť 1
  37. Vzorec zakrivenia, časť 2
  38. Vzorec zakrivenia, časť 3
  39. Vzorec zakrivenia, časť 4
  40. Vzorec zakrivenia, časť 5
  41. Zakrivenie špirály, časť 1
  42. Zakrivenie špirály, časť 2
  43. Zakrivenie cykloidu
  44. Výpočet čiastočnej derivácie funkcie s vektorovou hodnotou
  45. Čiastočná derivácia parametrického povrchu, časť 1
  46. Čiastočná derivácia parametrického povrchu, časť 2
  47. Parciálne derivácie vektorových polí
  48. Parciálne derivácie vektorových polí, komponent po komponente
  49. Intuícia divergencie, 1. časť
  50. Intuícia divergencie, časť 2
  51. Odchylkový vzorec, časť 1
  52. Vzorec odchýlky, časť 2
  53. Príklad divergencie
  54. Divergenčná notácia
  55. 2D zvlnenie intuície
  56. 2D zvlnenie vzorca
  57. Príklad 2D zvlnenia
  58. 2D nuance zvlnenia
  59. Popis rotácie v 3d s vektorom
  60. 3D zvlnenie intuície, časť 1
  61. 3D zvlnenie intuície, časť 2
  62. 3D zvlnený vzorec, časť 1
  63. 3D zvlnený vzorec, časť 2
  64. 3D príklad výpočtu zvlnenia
  65. Laplaciánska intuícia
  66. Laplaciánsky príklad výpočtu
  67. Explicitný lalaciánsky vzorec
  68. Harmonické funkcie
  69. Jakobiánske predpoklady
  70. Lokálna linearita pre funkciu s viacerými premennými
  71. Jakobiánska matica
  72. Výpočet jakobiánskej matice
  73. Jakobiánsky determinant
  74. Čo je to dotyčnicová rovina
  75. Ovládanie roviny vo vesmíre
  76. Výpočet dotykovej roviny
  77. Lokálna linearizácia
  78. Ako vyzerajú kvadratické aproximácie
  79. Kvadratický aproximačný vzorec, časť 1
  80. Kvadratický aproximačný vzorec, časť 2
  81. Príklad kvadratickej aproximácie
  82. Hesenská matica
  83. Vyjadrenie kvadratickej formy maticou
  84. Vektorová forma viacnásobnej kvadratickej aproximácie
  85. Multivariačné maximá a minimá
  86. Sedlové body
  87. Zahrejte sa na druhý test čiastočnej derivácie
  88. Druhý čiastočný derivačný test
  89. Druhá čiastková derivačná testovacia intuícia
  90. Druhý príklad testu čiastočnej derivácie, časť 1
  91. Druhý príklad testu čiastočnej derivácie, časť 2
  92. Úvod do obmedzenej optimalizácie
  93. Lagrangeove multiplikátory využívajúce tangensu na riešenie obmedzenej optimalizácie
  94. Dokončenie úvodného príkladu násobiteľa Lagrangeovej abecedy
  95. Lagrangeov multiplikátor, časť 1
  96. Lagrangeov multiplikátor, časť 2
  97. Lagrangeovci
  98. Význam Lagrangeovho multiplikátora
  99. Dôkaz o zmysle Lagrangeových multiplikátorov
  100. Úvod do integrálnej priamky
  101. Príklad integrálnej priamky 1
  102. Príklad čiarového integrálu 2 (časť 1)
  103. Príklad integrálnej priamky 2 (časť 2)
  104. Lineárne integrály a vektorové polia
  105. Použitie integrálnej priamky na nájdenie práce vykonanej na príklade vektorového poľa
  106. Parametrizácia reverznej cesty
  107. Skalárna siločiary integrálne nezávislé od smeru cesty
  108. Integrály vektorovej siločiary závislé od smeru cesty
  109. Cesta nezávislosť pre líniové integrály
  110. Integrály uzavretých kriviek konzervatívnych vektorových polí
  111. Príklad uzavretej čiary integrál konzervatívneho poľa
  112. Druhý príklad integrálnej priamky konzervatívneho vektorového poľa
  113. Dvojitý integrál 1
  114. Dvojité integrály 2
  115. Dvojité integrály 3
  116. Dvojité integrály 4
  117. Zdvojené integrály 5
  118. Zdvojené integrály 6
  119. Trojité integrály 1
  120. Trojité integrály 2
  121. Trojité integrály 3
  122. Úvod do parametrizácie povrchu pomocou dvoch parametrov
  123. Určenie funkcie vektora s pozičnou hodnotou pre parametrizáciu dvoch parametrov
  124. Parciálne derivácie funkcií s vektorovou hodnotou
  125. Úvod do plošného integrálu
  126. Príklad výpočtu povrchovej integrálnej časti 1
  127. Príklad výpočtu povrchovej integrálnej časti 2
  128. Príklad výpočtu povrchovej integrálnej časti 3
  129. Surface integral example part 1: Parameterizing the unit sphere
  130. Surface integral example part 2: Calculating the surface differential
  131. Surface integral example part 3: The home stretch
  132. Surface integral ex2 part 1: Parameterizing the surface
  133. Surface integral ex2 part 2: Evaluating integral
  134. Surface integral ex3 part 1: Parameterizing the outside surface
  135. Surface integral ex3 part 2: Evaluating the outside surface
  136. Surface integral ex3 part 3: Top surface
  137. Surface integral ex3 part 4: Home stretch
  138. Conceptual understanding of flux in three dimensions
  139. Constructing a unit normal vector to a surface
  140. Vector representation of a surface integral
  141. Green's theorem proof part 1
  142. Green's theorem proof (part 2)
  143. Green's theorem example 1
  144. Green's theorem example 2
  145. Constructing a unit normal vector to a curve
  146. 2D divergence theorem
  147. Conceptual clarification for 2D divergence theorem
  148. Stokes' theorem intuition
  149. Green's and Stokes' theorem relationship
  150. Orienting boundary with surface
  151. Orientation and stokes
  152. Conditions for stokes theorem
  153. Stokes example part 1
  154. Stokes example part 2: Parameterizing the surface
  155. Stokes example part 3: Surface to double integral
  156. Stokes example part 4: Curl and final answer
  157. Evaluating line integral directly - part 1
  158. Evaluating line integral directly - part 2
  159. 3D divergence theorem intuition
  160. Divergence theorem example 1
  161. Stokes' theorem proof part 1
  162. Stokes' theorem proof part 2
  163. Stokes' theorem proof part 3
  164. Stokes' theorem proof part 4
  165. Stokes' theorem proof part 5
  166. Stokes' theorem proof part 6
  167. Stokes' theorem proof part 7
  168. Type I regions in three dimensions
  169. Type II regions in three dimensions
  170. Type III regions in three dimensions
  171. Divergence theorem proof (part 1)
  172. Divergence theorem proof (part 2)
  173. Divergence theorem proof (part 3)
  174. Divergence theorem proof (part 4)
  175. Divergence theorem proof (part 5)

Other Good MVC Courses and their Websites

Free online books and notes

  • Free books at Community Calculus.
  • Another textbook for a course in Multivariable Calculus.
  • Animated Demonstrations for Multivariable Calculus.

Technical Help

The objective of this section is to provide resources on online graphing and computational tools:


Find the curl and divergence of the vector field. F(x,y,z)=x^2yz i -x x^3y k

Q: Find the centroid of the region bounded by the curve y=x³ and y=4x in the first quadrant.

A: Formula to find the centroid helps to find the required centroid bounded by the given curves. Bound.

Q: Write each product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin 50 cos 20 5 cos 70 – 5 sin .

A: Here we have to write the given product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin5θ co.

Q: A 39 m chain weighing 3 kg/m hangs over the side of a bridge. How much work is done by a winch that .

A: The concept Used is when the wind blows the top part of the chain will not move but the bottom part .

Q: A tree diagram has two stages. Stage 1 has two nodes and stage 2 has four nodes. In stage 1, the br.

A: we make a tree of 2 stage as per question

A: Click to see the answer

Q: . A 450 ft tall tower is built on the side of a hill that has a slope of 6◦ from horizontal. There a.

A: Click to see the answer

Q: Compute the indicated quantity. P(A | B) = 0.1, P(B) = 0.6. Find P(A ∩ B).

A: Click to see the answer

Q: Find the average value of the function over the given interval. f(x) = 81 – x² over [0, 9]


Find the curl and divergence of the vector field. F(x,y,z)=x^2yz i -x x^3y k

Q: Find the centroid of the region bounded by the curve y=x³ and y=4x in the first quadrant.

A: Formula to find the centroid helps to find the required centroid bounded by the given curves. Bound.

Q: Write each product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin 50 cos 20 5 cos 70 – 5 sin .

A: Here we have to write the given product as a sum or difference with positive arguments. 5 sin5θ co.

Q: A 39 m chain weighing 3 kg/m hangs over the side of a bridge. How much work is done by a winch that .

A: The concept Used is when the wind blows the top part of the chain will not move but the bottom part .

Q: A tree diagram has two stages. Stage 1 has two nodes and stage 2 has four nodes. In stage 1, the br.

A: we make a tree of 2 stage as per question

A: Click to see the answer

Q: . A 450 ft tall tower is built on the side of a hill that has a slope of 6◦ from horizontal. There a.

A: Click to see the answer

Q: Compute the indicated quantity. P(A | B) = 0.1, P(B) = 0.6. Find P(A ∩ B).

A: Click to see the answer

Q: Find the average value of the function over the given interval. f(x) = 81 – x² over [0, 9]


THE GEOMETRY OF STATIC FIELDS

so that the (orthogonal component of the) curl measures how much a vector field “goes around” a loop.

Can we use these ideas to investigate graphically the divergence and curl of a given vector field? Consider the two vector fields in Figure 13.6.1. In each case, can you find the divergegence? The ((kk)-component of the) curl?

A natural place to start is at the origin. So draw a small box around the origin, as shown in Figure 13.6.2. 1 Is there circulation around the loop? Is there flux across the loop?

The figures above help us determine the divergence and curl at the origin, but not elsewhere. The divergence is a function, and the curl is a vector field, so both can vary from point to point. We therefore need to examine loops which are nie at the origin. It is useful to adapt the shape of our loop to the vector field under consideration. Both of our vector fields are better adapted to polar coordinates than to rectangular, so we use polar boxes. Can you determine the divergence and ((kk)-component of the) curl using the loops in Figure 13.6.3? Imagine trying to do the same thing with a rectangular loop, or even a circular loop.

Finally, it is important to realize that not all vector fields which point away from the origin have divergence, and not all vector fields which go around the origin have curl. The two examples in Figure 13.6.4 demonstrate this important principle they have no divergence or curl away from the origin. These examples represent solutions of Maxwell's equations for electromagnetism. The figure on the left describes the electric field of an infinite charged wire the figure on the right describes the magnetic field due to an infinite current-carrying wire (with current coming out of the page at the origin).


Test Bank for Calculus: Single and Multivariable, 7th Edition, Deborah Hughes-Hallett, William G. McCallum, Andrew M. Gleason, Eric Connally, Daniel E. Flath, Selin Kalaycioglu, Brigitte Lahme, Patti Frazer Lock, David O. Lomen, David Lovelock, Guadalupe I. Lozano, Jerry Morris, David Mumford, Brad G. Osgood, Cody L. Patterson, Douglas Quinney, Karen R Rhea, Ayse Arzu Sahin, Adam H. Spiegler, Jeff Tecosky-Feldman, Thomas W. Tucker, Aaron D. Wootton Elliot J. Marks

Test Bank for Calculus: Single and Multivariable, 7th Edition, Deborah Hughes-Hallett, William G. McCallum, Andrew M. Gleason, Eric Connally, Daniel E. Flath, Selin Kalaycioglu, Brigitte Lahme, Patti Frazer Lock, David O. Lomen, David Lovelock, Guadalupe I. Lozano, Jerry Morris, David Mumford, Brad G. Osgood, Cody L. Patterson, Douglas Quinney, Karen R Rhea, Ayse Arzu Sahin, Adam H. Spiegler, Jeff Tecosky-Feldman, Thomas W. Tucker, Aaron D. Wootton, Elliot J. Marks

Test Bank for Calculus: Single and Multivariable, 7th Edition, Deborah Hughes-Hallett, William G. McCallum, Andrew M. Gleason, Eric Connally, Daniel E. Flath, Selin Kalaycioglu, Brigitte Lahme, Patti Frazer Lock, David O. Lomen, David Lovelock, Guadalupe I. Lozano, Jerry Morris, David Mumford, Brad G. Osgood, Cody L. Patterson, Douglas Quinney, Karen R Rhea, Ayse Arzu Sahin, Adam H. Spiegler, Jeff Tecosky-Feldman, Thomas W. Tucker, Aaron D. Wootton, Elliot J. Marks


Curl Of A Vector Field Formula

The Curl Of A Vector Field New Youtube

Curl Of A Vector Field Web Formulas

Ex 1 Determine The Curl Of A Vector Field 2d Youtube

Curl Of A Vector Field Web Formulas

Introductory Fluid Mechanics Vector Review 4 Divergence Curl Of A Vector Field Youtube

Curl Of A Vector Field Web Formulas

Curl Mathematics Wikipedia

The Idea Of The Curl Of A Vector Field Math Insight

The Curl Of A Vector Field Mathonline

Curl Mathematics Wikipedia

Curl Of A Vector Field Web Formulas

A Path Dependent Vector Field With Zero Curl Math Insight

Curl Of A Vector Field Web Formulas Math Formulas Math Curls

Curl Of A Vector Field Web Formulas

Why Is This Vector Field Curl Free Physics Stack Exchange

Example For Curl And Div Of A 2d Vector Field

Ex 1 Determine The Curl Of A Vector Field Youtube

Curl Mathematics Wikipedia

Formal Definition Of Curl In Two Dimensions Article Khan Academy

Curl Of A Vector Field Web Formulas

Curl And Green S Theorem Ximera

Https Encrypted Tbn0 Gstatic Com Images Q Tbn And9gcr5dbqysapaqh1ztwb6p Xgxfp9q7l5cyqljv Rvrhqhwqztdlv Usqp Cau

Divergence And Curl Example Math Insight

What Is The Curl Of A Vector Quora

Curl Warmup Fluid Rotation In Two Dimensions Article Khan Academy

Electromagnetism Tutor Curl Of A Vector Field

Curl Mathematics Wikipedia

Curl And Divergence Kristakingmath Youtube

Curl Warmup Fluid Rotation In Two Dimensions Article Khan Academy

Verify Curl Of Curl Of Vector Field Youtube

Solved 1 A Find The Curl For The Vector Field B The Chegg Com

Curl Divergence Gradient And Navier Stokes Equations Docsity

Physical Interpretation Of The Curl

Curl Is Not Necessarily A Driving Force For A Limit Circle The Vector Download Scientific Diagram

2d Curl Formula Video Curl Khan Academy

Um Ma215 Examples 16 5 Curl

Ex 2 Determine The Curl Of A Vector Field 2d Youtube

Curl Formula Explained In Detail With An Intuitive Proof Simple Words Line Integral Words

Electrodynamics The Curl Of The Curl Coulomb S Law Expresses The Electric Force Between Two Stationary Charged Particles If A Charge Q1 Is At Rest At The Origin Of A System Of Inertial Coordinates X Y Z And Q2 Is At Rest At The Position R The Exerted By Q1 On Q2

Curl And Green S Theorem Ximera

Divergence And Curl Calculus Volume 3

The Idea Of The Divergence Of A Vector Field Math Insight

Um Ma215 Examples 16 5 Curl

Calculus 3 Divergence And Curl 20 Of 32 The Curl Of A Conservative Vector Field Ex 2 Youtube

Https Encrypted Tbn0 Gstatic Com Images Q Tbn And9gcsjpjjy6zwvjjij Dio9sfsakopaegxdr07g Exx5bj3rmf7e9m Usqp Cau

Solved 2 Learn How To Compute The Curl Of A Vector Field Chegg Com

16 5 Divergence And Curl Mathematics Libretexts

Http Www Pstat Ucsb Edu Faculty Sarantsev Math324f Wi13 Docs Lecture13 Pdf

Curl Formula Explained In Detail With An Intuitive Proof

What Is The Curl Of A Vector Quora

Wigton Physics Why The Curl Formula Produces Circulation

Solved Problem 1 Div And Curl In Cylindrical Coordinates Chegg Com

Curl With Examples In Python Computer Science Definitions Coding

Operators 2 The Curl Operator This Operator Acts On A Vector Field To Produce Another Vector Field Let Be A Vector Field Then The Expression For The Ppt Download

Finding Curl In Spherical Coordinates Mathematics Stack Exchange

Formal Definition Of Curl In Two Dimensions Article Khan Academy

What Is The Practical Significance Of Curl Of A Vector Field Quora

16 5 Divergence And Curl Mathematics Libretexts

3 8 Finding Antiderivatives Divergence And Curl Of A Vector Field Pdf Free Download

Zero Curl Vector Field Page 1 Line 17qq Com

Http Faculty Up Edu Wootton Calc3 Section17 5 Pdf

Subtleties About Curl Math Insight

Divergence And Curl Calculator Geogebra

Solved I Write Down Expressions For The Divergence And Chegg Com

2 7 Divergence Of A Vector Field Ppt Video Online Download

Deriving Curl In Cylindrical And Spherical Coordinate Systems

The Idea Of The Divergence Of A Vector Field Math Insight

Example For Curl And Div Of A 2d Vector Field

Vector Fields Divergence And Curl And Flux And Circulation Integrals Robphy Geogebra

2d Curl Formula Video Curl Khan Academy

Conservative Vector Fields And Finding Scalar Potentials

Electromagnetism Tutor Curl Of A Vector Field

Http Www Math Unm Edu Blair Ma311 Practice2 Soln Pdf

Https Www Calvin Edu Scofield Courses M232 Materials Calcformulasheet Pdf

Solved Let F Be The Vector Field In The Figure Below It Chegg Com

Chapter 16 Vector Calculus 16 5 Curl And Divergence 1 Objectives Understand The Operations Of Curl And Divergence Use Curl And Divergence To Obtain Ppt Download

Maxwell S Equations In Vacuo Ocean Optics Web Book

Vector Calculus Definition Formula And Identities

Https Arxiv Org Pdf 1705 10885

Integral Curves Of Vector Fields With Zero Divergence Or Zero Curl Mathematics Stack Exchange

Divergence Article Khan Academy

Https Www Unige Ch Smirnov Papers Vector J Pdf

Subtleties About Curl Math Insight

Vector Differentiation The Operator

Graph Of A 3d Vector Field And Its Divergence And Curl File Exchange Matlab Central

Solved Let F Be A Vector Field In R 3 If G Is A Constant Chegg Com

Physical Interpretation Of The Curl

What Is The Physical Meaning Of Divergence Curl And Gradient Of A Vector Field Quora

Curl And Showing A Vector Field Is Conservative On R 3 Youtube


Divergence and curl of (vect(c) dot vect(r))vect(r)

Introduction : In the solution of the question below, we will learn how to find divergence and curl of product of a scalar function with a vector function.

Question : Find divergence and curl of the following

for some constant vectors c, d and r is position vector.

Since dot product of two vectors is a scalar and product of a scalar with a vector is a vector.

Now divergence of product of a scalar function with a vector function is given as

Substituting (f =vec c.vec r, f=vec d)
[ abla .left( ight)vec d> ight)> ight. = abla left( ight).vec d + left( ight)left( abla .vec d ight)]

Now we use following properties of divergence

  • Gradient of dot product of a constant vector and position vector equals constant vector.
  • Divergence of a constant vector is zero vector.

We obtained divergence of (left( ight)vec d =vec c.vec d )

Since curl of product of a scalar with a vector function is obtained as follows

[ abla imes (f<f>) = abla f imes <f> + f abla imes <f>]

Substituting (f =vec c.vec r, f=vec d)

  • Gradient of dot product of a constant vector and position vector equals constant vector.
  • Curl of a constant vector is zero vector.

[= vec c imes vec d + left( ight)vec 0 = vec c imes vec d]

We obtained curl of (left( ight)vec d =vec c imes vec d )


Math 215 Examples

Let (vec r(x,y,z) = langle f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) angle) be a vector field. Then the curl of the vector field is the vector field [ operatorname vec r = langle h_y - g_z, f_z - h_x, g_x - f_y angle. ]

The curl is sometimes denoted ( abla imes vec r), which is sometimes useful for remembering the definition of the curl, as [egin abla imesvec r &= left langle frac, frac, frac ight angle imes langle f, g, h angle &= left langle frac - frac, frac - frac, frac - frac ight angle. koniec]

Intuitively, the curl measures the infinitesimal rotation around a point. This is difficult to visualize in three dimensions, but we will soon see this very concretely in two dimensions.

Curl in Two Dimensions

Suppose we have a two-dimensional vector field (vec r(x,y) = langle f(x,y), g(x,y) angle). We can imagine this as a three-dimensional vector field by adding a (z)-coordinate of (0): (vec r(x,y,z) = langle f(x,y), g(x,y), 0 angle ). Then we have [ abla imes vec r = langle 0, 0, g_x - f_y angle. ] Since the (x)- and (y)-coordinates are both (0), the curl of a two-dimensional vector field always points in the (z)-direction. We can think of it as a scalar, then, measuring how much the vector field rotates around a point.

Suppose we have a two-dimensional vector field representing the flow of water on the surface of a lake. If we place paddle wheels at various points on the lake, then the flow of water will cause the wheels to rotate:

Notice that there are two wheels rotating quite quickly. Around one of them, the water flows consistently clockwise, causing the paddle to rotate clockwise. Around the other, the water flows consistently counter-clockwise, causing the paddle to rotate accordingly. In contrast, the wheel on the left is rotating very slowly. Looking at the vectors near it, we see that some of them are trying to push the wheel clockwise, and some are trying to push counter-clockwise. The net result is that the wheel rotates very little.

Let's now look at the curl of this vector field. Shown below is the same animation, but with the curl drawn as a surface over the vector field. Additionally, green arrows at each paddle show the curl at those points.

Notice that we can tell how quickly a paddle wheel rotates by the magnitude of the curl, and we can tell whether each wheel rotates clockwise or counter-clockwise by the direction of the curl. This direction follows a "right-hand rule": if you curl your right hand so that your index finger through pinkie follows the flow of water around a point, then your thumb will point in the direction of the curl vector. (This also works in three dimensions, though it is harder to see the rotation.)

Illustrated Example

Let (vec r(x,y) = langle cos(x+y), sin(x-y) angle). Find the maximum magnitude of the curl in the region (0 le x le 2), (0 le y le 2).

Worked Solution

We compute [egin abla imes vec r &= leftlangle 0, 0, frac(sin(x-y)) - frac ight angle &= langle 0, 0, cos(x-y) + sin(x+y) angle. koniec] Since the curl points entirely in the (z)-direction, the magnitude is just the absolute value of [ f(x,y) = cos(x-y) + sin(x+y), ] so we look for local extrema of this function on the given region.

To find local extrema, we take the gradient [ abla f(x,y) = langle -sin(x-y)+cos(x+y), sin(x-y)+cos(x+y) angle. ] To be a local extremum, we need both components to be zero i.e., we need ( -sin(x-y) + cos(x+y) = 0) and (sin(x-y) + cos(x+y) = 0). This is only possible if (sin(x-y) = cos(x+y) = 0), and so we see that (x-y = 0 + kpi) for some integer (k) and (x+y = pi/2 + jpi) for some integer (j). The only possible solution in our domain is (x = y = pi/4), at which point the curl is (cos(0) + sin(pi/2) = 2). Since this is the maximum possible value of (cos(x-y)+sin(x+y)) (since cosine and sine can be at most (1) each), this must be a local (and in fact global) maximum for the curl.

We conclude, then, that the maximum magnitude of the curl is (2) at the point ((pi/4, pi/4)).

Visualizing the Example

The image below shows the vector field with the magnitude of the curl drawn as a surface above it:

The green arrow is the curl at ((pi/4, pi/4)). Notice that the vector field looks very much like a whirlpool centered at the green arrow. Intuitively, then, we would guess that the rotation of the flow is greatest at the center of this whirlpool, and indeed, that is precisely what we just computed.

Further Questions

  1. In the example, why must both (sin(x-y)) and (cos(x+y)) be zero to have a critical point of (f(x,y))?
  2. What is the value of (vec r(x,y)) at the point found in the example? Can you modify (vec r(x,y)) so that the maximum curl still occurs at ((pi/4, pi/4)), but so that (vec r(x,y)) has a different value at this point?
  3. Can you come up with a formula for a two-dimensional vector field (vec r(xy)) with constant nonzero curl at every point?
  4. Let (f(x,y,z)) be a (scalar-valued) function, and assume that (f(x,y,z)) is infinitely differentiable. Its gradient ( abla f(x,y,z)) is a vector field. What is the curl of the gradient? Can you come to the same conclusion with an assumption weaker than infinite differentiability?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 16_5_Curl.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any two-dimensional vector field.

As an exercise, use the notebook to animate a paddle wheel at the point ((pi/4, pi/4)) in the example, and provide a graphical demonstration of your answers to Questions 2 and 3.

Think about what sorts of two-dimensional vector fields might have large curls, and try to guess some formulas for them. Then use the notebook to see graphically whether your intuition about the curl was correct.


16.5: Curl and Divergence

Ranked as 3440 on our all-time top downloads list with 7741 downloads.
Ranked as 2505 on our top downloads list for the past seven days with 3 downloads.

gcd.zip
Filename gcd.zip ( Download )
Title Gradient, Curl and Divergence
Popis Important tools for vector calculus. 3 utilities to calculate Gradient, Curl and Divergence at the command line. It allows the user to specify the coordinate system (rectangular, cylindrical, or spherical) as well as the variables being used. Very flexable functions, especially if used programamatically.
Autor Tip DS ( [email protected] )
Category TI-89 BASIC Math Programs (Calculus)
File Size 4,968 bytes
File Date and Time Thu Mar 16 02:38:36 2000
Documentation Included? Yes

There are no reviews for this file.

Questions, comments, and problems regarding the file itself should be sent directly to the author(s) listed above.

If you have downloaded and tried this program, please rate it on the scale below


Pozri si video: Minecraft, Ouverture de mon serveur Minecraft Discovery (December 2021).