Články

8.8.E: Problémy s mierami výrobkov a Fubiniho vety - matematika


Cvičenie ( PageIndex {1} )

Dokážte lemmy 2 a 3.

Cvičenie ( PageIndex {1 '} )

Ukážte, že ( {A v mathcal {M} | m A < infty } ) je nastavený prsteň.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Vyplňte všetky dôkazy v vetách 1 až 3.

Cvičenie ( PageIndex {2 '} )

To isté urobte pre lemmy 5 až 7.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Dokážte, že ak (m ) a (n ) sú ( sigma ) - konečné, tak je aj (p = m krát n. ) Vyvráťte konverzáciu príkladom.
[Tip: ( left ( cup_ {i} A_ {i} right) times left (U_ {j} B_ {j} right) = U_ {i, j} left (A_ {i} krát B_ {j} vpravo) ). Overiť!]

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Dokážte nasledovné.
(i) Každé (D v mathcal {P} ) (ako v texte) je (p) ( sigma ) - konečné.
(ii) Všetky ( mathcal {P} ) - merateľné mapy (f: X krát Y pravá šípka E ^ {*} ) majú ( sigma ) - konečnú podporu.
[Rady: (i) Použite problém (14 ( mathrm {b}) ) z kapitoly 7, §3. (ii) Použite (i) pre ( mathcal {P} ) - najskôr základné a nezáporné mapy. (] )

Cvičenie ( PageIndex {5} )

(i) Nájdite (D v mathcal {P} ^ {*} ) a (x v X ) také, aby (C_ {D} (x, cdot) ) nebolo (n ) - merateľné na (Y. ) Je to v rozpore s lemmou (7? )
[Rada: Nech (m = n = ) Lebesgueova mierka v (E ^ {1}; D = {x } krát Q, ) s (Q ) nemerateľnou. (] )
(ii) Ktoré ( mathcal {C} ) - množiny majú nenulovú mieru, ak (X = Y = E ^ {1}, m ^ {*} ) je rovnaké ako v úlohe (2 (b) ) kapitoly (7, §5 ( text {s} S = X), ) a (n ) je Lebesgueovým opatrením?

Cvičenie ( PageIndex {5 '} )

Nech (m = n = ) Lebesgueova miera v ([0,1] = X = Y. ) Nech
[
f_ {k} = left { begin {array} {ll} {k (k + 1)} & { text {on} left ( frac {1} {k + 1}, frac {1 } {k} right] text {and}} {0} & { text {inde.}} end {array} right.
]
Poďme
[
f (x, y) = sum_ {k = 1} ^ { infty} left [f_ {k} (x) -f_ {k + 1} (x) right] f_ {k} (y);
]
séria konverguje. (Prečo?) Ukáž to
(i) (( forall k) int_ {X} f_ {k} = 1 );
(ii) ( int_ {X} int_ {Y} f d n d m = 1 neq 0 = int_ {Y} int_ {X} f d m d n ).
Čo je zle? Je (f ) ( mathcal {P} ) - merateľný?
[Tip: Preskúmajte
[
doľava. int_ {X} int_ {Y} | f | d n d m. vpravo]
]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nech (X = Y = [0,1], m ) ako v príklade (( mathrm {c}) ) kapitoly (7, §6, (S = X) ) a (n = ) Lebesgueova miera v (Y. )
(i) Ukážte, že (p = m krát n ) je topologická miera podľa štandardnej metriky v (E ^ {2}. )
(ii) Dokážte, že (D = {(x, y) v X krát Y | x = y } v mathcal {P} ^ {*} ).
(iii) Popíš ( mathcal {C} ).
[Rady: (i) Akýkoľvek podinterval (X krát Y ) je v ( mathcal {P} ^ {*}; ) (ii) (D ) je uzavretý. Overiť!]

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Pokračujúci problém (6, ) nech (f = C_ {D} ).
i) Ukážte to
[
int_ {Y} int_ {X} f d n d m = 0 neq 1 = int_ {Y} int_ {X} f d m d n.
]
Čo je zle?
[Pomôcka: (D ) nie je ( sigma ) - konečná; lebo ak
[
D = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i},
]
aspoň jeden (D _ { mathrm {i}} ) je nespočetný a nemá konečné základné krycie hodnoty (prečo?), takže (p ^ {*} D _ { mathrm {i}} = infty. )]
(ii) Vypočítať (p ^ {*} {(x, 0) | x v X } ) a (p ^ {*} {(0, y) | y v Y } ).

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Ukážte, že (D in mathcal {P} ^ {*} ) je ( sigma ) - konečné iff
[
D subseteq bigcup_ {i = 1} ^ { infty} D_ {i} ( text {disjoint})
]
pre niektoré množiny (D_ {i} v mathcal {C} ).
[Rada: Najprv nechajte ( left.p ^ {*} D < infty. Text {Použite dodatok} 1 text {z kapitoly} 7, §1. Vpravo] )

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Dané (D v mathcal {P}, a v X, ) a (b v Y, ) nech
[
D_ {a} = {y v Y | (a, y) v D }
]
a
[
D ^ {b} = {x v X | (x, b) v D }.
]
(Pozrite si obrázok ( ľavý.34 text {pre} X = Y = E ^ {1}. Pravý) )
Dokážte to
(i) (D_ {a} v mathcal {N}, D ^ {b} v mathcal {M} );
(ii) (C_ {D} (a, cdot) = C_ {D_ {a}}, n D_ {a} = int_ {Y} C_ {D} (a, cdot) dn, m D ^ {b} = int_ {X} C_ {D} ( cdot, b) dm ).
[Tip: Dovoľte nám
[
H = doľava {(x, y) v E ^ {2} | 0 leq y ]
Ukážte, že ( mathcal {R} ) je ( sigma ) - krúžok ( supseteq C. ) Teda ( mathcal {R} supseteq mathcal {P}; D v mathcal {R}; D_ {a} in mathcal {N}. ) Podobné pre (D ^ {b}. )]

Cvičenie ( PageIndex {10} )

( Rightarrow 10 ). Nech (m = n = ) Lebesgueova mierka v (E ^ {1} = X = Y. ) Nech (f: E ^ {1} rightarrow [0, infty) ) bude (m ) - merateľné na (X. ) Nech
[
H = doľava {(x, y) v E ^ {2} | 0 leq y ]
a
[
G = doľava {(x, y) v E ^ {2} | y = f (x, y) doprava }
]
("graf" z (f )). Dokážte to
(i) (H v mathcal {P} ^ {*} ) a
[
p H = int_ {X} f d m
]
(= "oblasť pod f")
(ii) (G v mathcal {P} ^ {*} ) a (p G = 0 ).
[Rady: (i) Najprv vezmite (f = C_ {D}, ) a základné a nezáporné mapy. Potom použite lemmu 2 v §2 (posledná veta). Opravte základné a nezáporné mapy (f_ {k} nearrow f, ) za predpokladu ( left.f_ {k} [
H_ {k} = doľava {(x, y) | 0 leq y ]
Ukážte, že (H_ {k} nearrow H in mathcal {P} ^ {*} ).
(ii) Sada
[
phi (x, y) = y-f (x).
]
Pomocou dodatku 4 k §1 ukážte, že ( phi ) je (p ) - merateľné na (E ^ {2}; ), takže (G = E ^ {2} ( phi = 0) in mathcal {P} ^ {*} ). Zrušenie nulovej množiny (Lemma (6), ) predpokladajme (G v mathcal {P}. ) Úlohou 9 (ii),
[
left ( forall x in E ^ {1} right) quad int_ {Y} C_ {G} (x, cdot) d n = n G_ {x} = 0,
]
ako ( left.G_ {x} = {f (x) }, text {a singleton.} right] )

Cvičenie ( PageIndex {11} )

Poďme
[
f (x, y) = phi_ {1} (x) phi_ {2} (y).
]
Dokážte, že ak ( phi_ {1} ) je (m ) - integrovateľný na (X ) a ( phi_ {2} ) je (n ) - integrovateľný na (Y, ) potom (f ) je (p ) - integrovateľný na (X krát Y ) a
[
int_ {X krát Y} f d p = int_ {X} phi_ {1} cdot int_ {Y} phi_ {2}.
]

Cvičenie ( PageIndex {* 12} )

Dokážte vetu (3 ( text {ii) pre} f: X krát Y pravá šípka E (E text {kompletný)} ).
[Osnova: Ak (f ) je ( mathcal {P} ^ {*} ) - jednoduché, použite lemmu 7 vyššie a vetu 2 v §7.
Ak
[
f = sum_ {k = 1} ^ { infty} a_ {k} C_ {D_ {k}}, quad D_ {k} v mathcal {P} ^ {*},
]
nechajme
[
H_ {k} = bigcup_ {i = 1} ^ {k} D_ {i}
]
a (f_ {k} = f C_ {H_ {k}}, ) takže (f_ {k} ) sú ( mathcal {P} ^ {*} ) - jednoduché (odtiaľto mapy Fubini) , a (f_ {k} rightarrow f ) (bodovo) na (X krát Y, ) s ( left | f_ {k} right | leq | f | ) a
[
int_ {X krát Y} | f | d p ​​< infty
]
(za predpokladu). Teraz použite vetu 5 z §6.
Nech (f ) bude ( mathcal {P} ^ {*} ) - merateľné; tak
[
f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k} text {(jednotne)}
]
pre niektoré ( left. mathcal {P} ^ {*} text {-základné mapy} g_ {k} text {(veta} 3 text {in} §1 right). ) Predpokladom je, (f = f C_ {H} (H ) ( sigma ) - konečné); takže môžeme predpokladať (g_ {k} = g_ {k} C_ {H}. ) Potom, ako je uvedené vyššie, všetky (g_ {k} ) sú mapy Fubini. Takže (f ) od Lemmy 1 v §7 (overte!), Za predpokladu (H subseteq D ) pre niektoré (D in mathcal {C}. )
Všeobecne platí, že podľa problému 8
[
H subseteq bigcup_ {i} D_ {i} ( text {disjoint}), D_ {i} v mathcal {C}.
]
Nech (H_ {i} = H cap D_ {i}. ) V predchádzajúcom kroku je každé (f C_ {H_ {i}} ) mapa Fubini; takže je
[
f_ {k} = sum_ {i = 1} ^ {k} f C_ {H_ {i}}
]
(prečo?), teda aj (f = lim _ {k rightarrow infty} f_ {k}, ) podľa vety 5 §6. (Overiť!)]

Cvičenie ( PageIndex {13} )

Nech (m = ) Lebesgueova miera v (E ^ {1}, p = ) Lebesgueova miera v (E ^ {s}, X = (0, infty), ) a
[
Y = left { bar {y} in E ^ {s} || bar {y} | = 1 vpravo }.
]
Dané ( bar {x} v E ^ {s} - { overline {0} }, ) nech
[
r = | bar {x} | text {and} bar {u} = frac { bar {x}} {r} v Y.
]
Zavolajte (r ) a ( bar {u} ) polárne súradnice ( bar {x} neq overline {0} ).
Ak je (D subseteq Y, ) nastavené
[
n ^ {*} D = s cdot p ^ {*} {r bar {u} | bar {u} v D, 0 ]
Ukážte, že (n ^ {*} ) je vonkajšou mierou v (Y; ), takže indukuje mieru (n ) v (Y. )
Tak to dokážte
[
int_ {E ^ {s}} f d p = int_ {X} r ^ {s-1} d m (r) int_ {Y} f (r bar {u}) d n ( bar {u})
]
ak (f ) je (p ) - merateľné a nezáporné na (E ^ {s}. )
[Rada: Začnite na (f = C_ {A}, )
[
A = {r bar {u} | bar {u} v H, a ]
pre niektorú otvorenú množinu ( left.H subseteq Y text {(podpriestor} E ^ {s} right). ) Ďalej nechajme (A in mathcal {B} ( text {Borel set in} Y); ) potom ( left.A subseteq mathcal {P} ^ {*}. text {Potom nechajme} f text {be} p text {- elementárne a tak ďalej.} správny])