Články

5.4: Komplexné a vektorom ocenené funkcie na (E ^ {1} )


Vety §§2-3 zlyhajú pre zložité a vektorom ocenené funkcie (pozri problém 3 nižšie a problém 2 v §3). V istom zmysle sú dokonca silnejšie, pretože na rozdiel od predchádzajúcich viet nevyžadujú existenciu derivácie na celom intervale (I subseteq E ^ {1}, ), ale iba na (IQ ) , kde (Q ) je spočítateľná množina, jedna obsiahnutá v rozsahu sekvencie, (Q subseteq left {p_ {m} right }. ) (Ďalej predpokladáme §9 kapitoly 1 .)

V nasledujúcej vete je kvôli N. Bourbakimu (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) rozšírené reálne, zatiaľ čo (f ) môže byť tiež zložité alebo vektorovo hodnotené. Hovoríme tomu zákon konečných prírastkov, pretože sa zaoberá „konečnými prírastkami“ (f (b) -f (a) ) a (g (b) -g (a). ) Zhruba hovorí, že ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime} ) znamená podobnú nerovnosť pre prírastky.

Veta ( PageIndex {1} ) (zákon o konečných prírastkoch)

Nech (f: E ^ {1} rightarrow E ) a (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) sú relatívne spojité a konečné v uzavretom intervale (I = [a, b] subseteq E ^ {1}, ) a majú deriváty s ( left | f ^ { prime} right | leq g ^ { prime}, ) na (IQ ) kde ( Q subseteq left {p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {m}, ldots right }. ) Potom

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a). ]

Dôkaz je trochu namáhavý, ale stojí za to. (V prvom čítaní to však možno vynechať.) Načrtneme niekoľko úvodných myšlienok.

Ak zadáme ľubovoľné (x v I, ), predpokladajme najskôr, že (x> p_ {m} ) pre aspoň jedno (p_ {m} v Q. ) V takom prípade dáme

[Q (x) = sum_ {p_ {m}

tu je súčet iba nad tými (m ), pre ktoré (p_ {m}

[Q (x) leq sum_ {m = 1} ^ { infty} 2 ^ {- m} = 1. ]

Náš plán je nasledovný. Aby sme dokázali (1), stačí ukázať, že pre niektoré pevné (K v E ^ {1}, ) máme

[( forall varepsilon> 0) quad | f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + K varepsilon, ]

potom nechajme ( varepsilon rightarrow 0, ) dostaneme (1). Vyberáme

[K = b-a + Q (b), text {s} Q (x) text {ako je uvedené vyššie. } ]

Dočasné opravenie ( varepsilon> 0, ) nazvime bod (r v I ) "dobrý" iff

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + [r-a + Q (r)] varepsilon ]

a inak „zlý“. Ukážeme, že (b ) je „dobré“. Najskôr dokážeme lemmu.

Lemma ( PageIndex {1} )

Za každým „dobrým“ bodom (r v I (r

Dôkaz

Najprv nechajte (r notin Q, ), takže za predpokladu, že (f ) a (g ) majú deriváty na (r, ) s

[ doľava | f ^ { prime} (r) doprava | leq g ^ { prime} (r). ]

Predpokladajme, že (g ^ { prime} (r) <+ infty. ) Potom (považujeme (g ^ { prime} ) za pravú deriváciu) nájdeme (s> r ) (( s leq b) ) také, že pre všetky (x ) v intervale ((r, s), ),

[ left | frac {g (x) -g (r)} {xr} -g ^ { prime} (r) right | < frac { varepsilon} {2} quad text {( prečo?);} ]

podobne pre (f. ) Vynásobením (x-r, ) dostaneme

[ begin {aligned} left | f (x) -f (r) -f ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2} text {and} left | g (x) -g (r) -g ^ { prime} (r) (xr) right | <(xr) frac { varepsilon} {2}, end { zarovnané} ]

a teda nerovnosťou trojuholníka (vysvetlite!),

[| f (x) -f (r) | leq left | f ^ { prime} (r) right | (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2} ]

a

[g ^ { prime} (r) (x-r) + (x-r) frac { varepsilon} {2}

Kombináciou tohto s ( left | f ^ { prime} (r) right | leq g ^ { prime} (r), ) získame

[| f (x) -f (r) | leq g (x) -g (r) + (x-r) varepsilon text {kedykoľvek} r

Pretože (r ) je „dobré“, uspokojuje ((2); ), teda určite ako (Q (r) leq Q (x) ),

[| f (r) -f (a) | leq g (r) -g (a) + (r-a) varepsilon + Q (x) varepsilon text {kedykoľvek} r

Keď to pridáme k (3) a znova použijeme nerovnosť trojuholníka, máme

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon text {pre všetky} x in (r, s). ]

Podľa definície to ukazuje, že každý reťazec (x in (r, s) ) je „dobrý“, ako sa tvrdí. Takto je lemma dokázaná pre prípad (r v I-Q, ) s (g ^ { prime} (r) <+ infty ).

Prípady (g ^ { prime} (r) = + infty ) a (r v Q ) sa ponechajú ako Problémy 1 a 2. ( quad square )

Teraz sa vraciame k Vete 1.

Dôkaz vety 1. Ak hľadáme rozpor, predpokladajme, že (b ) je „zlé“ a nech (B neq emptyset ) predstavuje množinu všetkých „zlých“ bodov v ([a, b]. ) Nech

[r = inf B, quad r v [a, b]. ]

Potom interval ([a, r) ​​) môže obsahovať iba „dobré“ body, tj. Body (x ) také, že

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (x)] varepsilon. ]

Pretože (x

[| f (x) -f (a) | leq g (x) -g (a) + [x-a + Q (r)] varepsilon text {pre všetky} x v [a, r). ]

Všimnite si, že ([a, r) ​​ neq emptyset, ) pre by (2), (a ) je určite „dobré“ (prečo?), A preto Lemma 1 dáva celý interval ([a, s) ) „dobrých“ bodov obsiahnutých v ([a, r). )

Pustime (x rightarrow r ) do (4) a pomocou spojitosti (f ) v (r, ) dostaneme (2). Takže (r ) je sám osebe "dobrý". Potom však Lemma 1 poskytne nový interval ((r, q) ) "dobrých" bodov. Preto ([a, q) ) nemá žiadne „zlé“ body, a preto (q ) predstavuje dolnú hranicu množiny (B ) „zlých“ bodov v (I ), na rozdiel od (q> r = operatorname {glb} B ). Tento rozpor ukazuje, že (b ) musí byť „dobré“, t. J.

[| f (b) -f (a) | leq g (b) -g (a) + [b-a + Q (b)] varepsilon. ]

Teraz, nechajme ( varepsilon rightarrow 0, ), dostaneme vzorec (1) a všetko je dokázané. ( quad square )

Dodatok ( PageIndex {1} )

Ak je (f: E ^ {1} rightarrow E ) relatívne spojité a konečné na (I = [a, b] subseteq ) (E ^ {1}, ) a má deriváciu na (IQ, ) potom existuje skutočný (M ) taký

[| f (b) -f (a) | leq M (b-a) text {a} M leq sup _ {t v I-Q} doľava | f ^ { prime} (t) doprava |. ]

Dôkaz

Poďme

[M_ {0} = sup _ {t v I-Q} doľava | f ^ { prime} (t) doprava |. ]

Ak (M_ {0} <+ infty, ) dajte (M = M_ {0} geq doľava | f ^ { prime} doprava | ) na (IQ, ) a vezmite ( g (x) = M x ) vo vete 1. Potom (g ^ { prime} = M geq doľava | f ^ { prime} doprava | ) na (IQ, ), takže vzorec ( 1) odvtedy (5)

[g (b) -g (a) = M b-M a = M (b-a). ]

Ak však (M_ {0} = + infty, ) nechajte

[M = doľava | frac {f (b) -f (a)} {b-a} doprava |

Potom (5) je jednoznačne pravda. Takto požadovaný (M ) existuje vždy. ( quad square )

Dodatok ( PageIndex {2} )

Nech (f ) je ako v Dodatku 1. Potom je (f ) konštantné na (I ) iff (f ^ { prime} = 0 ) na (I-Q. )

Dôkaz

Ak (f ^ { prime} = 0 ) na (IQ, ) potom (M = 0 ) v Dodatku 1, výsledkom Dodatku 1 je, pre akýkoľvek podinterval ([a, x] (x v I), | f (x) -f (a) | leq 0; ) tj (f (x) = f (a) ) pre všetky (x v I. ) Teda ( f ) je konštantná na (I. )

Naopak, ak je to tak, potom (f ^ { prime} = 0, ) dokonca na všetkých (I. Quad square )

Dodatok ( PageIndex {3} )

Nech (f, g: E ^ {1} rightarrow E ) je relatívne spojité a konečné na (I = [a, b], ) a diferencovateľné na (IQ. ) Potom (fg ) je konštantná na (I ) iff (f ^ { prime} = g ^ { prime} ) na (IQ. )

Dôkaz

Aplikujte Dodatok 2 na funkciu (f-g. Quad square )

Teraz môžeme posilniť aj časti (ii) a (iii) Dodatku 4 v §2.

Veta ( PageIndex {2} )

Nech (f ) je skutočné a má vlastnosti uvedené v Dodatku 1. Potom

(i) (f uparrow ) na (I = [a, b] ) iff (f ^ { prime} geq 0 ) na (I-Q; ) a

(ii) (f downarrow ) na (I ) iff (f ^ { prime} leq 0 ) na (I-Q ).

Dôkaz

Nech (f ^ { prime} geq 0 ) na (IQ. ) Opravte ľubovoľné (x, y v I (x

[f (y) -f (x) geq | g (y) -g (x) | = 0, text {tj.} f (y) geq f (x) text {kedykoľvek} y> x text {in} ja, ]

takže (f uparrow ) na (I ).

Naopak, ak (f uparrow ) na (I, ), potom pre každé (p v I, ) musíme mať (f ^ { prime} (p) geq 0, ) pre inak by sa o Lemme 1 v § 2 (f ) znížilo o (str.) Teda (f ^ { prime} geq 0 ), dokonca aj na všetky (I, ) a ( i) je preukázané. Tvrdenie ii) sa dokazuje obdobne. ( quad square )