Články

7.3: Faktoring trojčlenov formy ax2 + bx + c - matematika


7.3: Faktoring trojčlenov formy ax2 + bx + c - matematika

7.3: Faktoring trojčlenov formy ax2 + bx + c - matematika

· Faktorové trojčlenky s vedúcim koeficientom 1.

· Faktorové trojčlenky so spoločným faktorom.

· Faktorové trojčlenky s vedúcim koeficientom iným ako 1.

A polynóm s tromi výrazmi sa nazýva a trojčlenný. Trojčlenky majú často (ale nie vždy!) Formu X 2 + bx + c. Na prvý pohľad sa môže zdať ťažké vypočítať trojčlenky, ale môžete využiť niektoré zaujímavé matematické vzorce na členenie aj tých najťažšie vyzerajúcich trojčleniek.

Ako sa vám teda darí od 6X 2 + 2X - 20 až (2X + 4)(3X −5)? Pozrime sa.

Faktorovanie trojčleniek: X 2 + bx + c

Trojčlenky vo forme X 2 + bx + c často možno považovať za súčin dvoch dvojčleny. Pamätajte, že dvojčlen je jednoducho dvojčlenný polynóm. Začnime kontrolou, čo sa stane, keď dva dvojčleny, ako napríklad (X + 2) a (X + 5), sa vynásobia.

Násobiť (X + 2)(X + 5).

Na násobenie dvojčlenov použite metódu FOIL.

X 2 + 5X + 2X +10

Potom kombinujte ako výrazy 2X a 5X.

Faktoring je opakom násobenia. Poďme teda dozadu a urobme faktor trojkombinácie X 2 + 7X + 10. Jednotlivé podmienky X 2 , 7Xa 10 nemajú spoločné faktory. Takže pozri sa na prepisovanie X 2 + 7X + 10 ako X 2 + 5X + 2X + 10.

A môžete zoskupiť páry faktorov: (X 2 + 5X) + (2X + 10)

Faktor každý pár: X(X + 5) + 2(X + 5)

Potom vyraďte spoločný faktor X + 5: (X + 5)(X + 2)

Rovnaký problém sa robí vo forme príkladu:

Faktor X 2 + 7X +10.

X 2 + 5X + 2X +10

Prepíšte strednodobý termín 7X ako 5X + 2X.

X ( X + 5) + 2( X + 5 )

Zoskupte páry a vyraďte spoločný faktor X z prvého páru a 2 z druhého páru.

Zfaktorujte spoločný faktor

Ako viete, ako prepísať strednodobý termín? Bohužiaľ to nemôžete prepísať nijako. Ak prepíšete 7X ako 6X + X, táto metóda nebude fungovať. Našťastie pre to existuje pravidlo.

Faktorovanie trojčlenov vo forme X 2 + bx + c

Na faktor trojčlen vo forme X 2 + bx + c, nájsť dve celé čísla, r a s, ktorého produktom je c a ktorých suma je b.

Prepíš trinomiál na X 2 + rx + sx + c a potom na zoskupenie a rozdelenie pomocou polynomu použite zoskupenie a distribučnú vlastnosť. Výsledné faktory budú (X + r) a (X + s).

Napríklad na faktor X 2 + 7X +10, hľadáte dve čísla, ktorých súčet je 7 (koeficient stredného obdobia) a ktorých súčin je 10 (posledný člen).

Pozerajte sa na dvojice faktorov 10: 1 a 10, 2 a 5. Má niektorý z týchto párov súčet 7? Áno, 2 a 5. Môžete teda prepísať 7X ako 2X + 5X, a pokračujte v rozkladaní ako v príklade vyššie. Upozorňujeme, že môžete tiež prepísať 7X ako 5X + 2X. Oboje bude fungovať.

Zoberme do úvahy trojčlen X 2 + 5X + 6. V tomto polynóme sa b časť strednodobého obdobia je 5 a c termín je 6. Graf nám pomôže usporiadať možnosti. Na ľavej strane uveďte všetky možné faktory c termín, 6 vpravo nájdete súčty.

Faktory, ktorých produktom je 6

Súčet faktorov

Existujú iba dve možné kombinácie faktorov, 1 a 6, a 2 a 3. Vidíte, že 2 + 3 = 5. Takže 2X + 3X = 5X, čo nám dáva správne strednodobé obdobie.

Faktor X 2 + 5X + 6.

X 2 + 2X + 3X + 6

Použite hodnoty z grafu vyššie. Vymeňte 5X s 2X + 3X.

(X 2 + 2X) + (3X + 6)

X (X + 2) + (3X + 6)

Faktor X z prvej dvojice pojmov.

X (X + 2) + 3(X + 2)

Faktor 3 z druhej dvojice pojmov.

Všimnite si, že ak ste písali X 2 + 5X + 6 ako X 2 + 3X + 2X + 6 a zoskupil páry ako (X 2 + 3X) + (2X + 6) potom započítané, X(X + 3) + 2(X + 3) a započítané X + 3, odpoveď bude (X + 3)(X + 2). Pretože násobenie je komutatívne, na poradí faktorov nezáleží. Takže táto odpoveď je správna, rovnako sú rovnocennými odpoveďami.

Na záver sa pozrime na trojčlenku X 2 + X - 12. V tomto trinomiu je c termín je −12. Pozrime sa teda na všetky kombinácie faktorov, ktorých súčin je -12. Potom uvidíte, ktorá z týchto kombinácií vám poskytne správne stredné obdobie, kde b je 1.

Faktory, ktorých produktom je 12

Súčet faktorov

4 3 = 12

Existuje iba jedna kombinácia, kde súčin je −12 a súčet je 1, a to je vtedy r = 4 a s = -3. Použime ich na určenie koeficientu nášho pôvodného trojčlenu.

Faktor X 2 + X – 12

X 2 + 4X + − 3X – 12

Trinomiál prepíšte pomocou hodnôt z tabuľky vyššie. Použite hodnoty r = 4 a s = − 3.

(X 2 + 4X) + ( − 3X – 12)

X (X + 4) + ( − 3X – 12)

Faktor x z prvej skupiny.

X (X + 4) – 3(X + 4)

Faktor - 3 z druhej skupiny.

Vo vyššie uvedenom príklade môžete tiež prepísať X 2 + X - 12 ako X 2 – 3X + 4X - najskôr 12. Potom faktor X(X – 3) + 4(X - 3) a vyradiť (X - 3) získanie (X – 3 )(X + 4). Pretože násobenie je komutatívne, je to rovnaká odpoveď.

Faktoring trinomials je vecou praxe a trpezlivosti. Príslušné kombinácie čísel niekedy iba vyskočia a javia sa tak zrejmé! Inokedy, napriek vyskúšaniu mnohých možností, je ťažké nájsť správne kombinácie. A sú chvíle, keď sa trojčlen nedá zohľadniť.

Aj keď na prvý odhad neexistuje spoľahlivý spôsob, ako nájsť správnu kombináciu, existuje niekoľko rád, ktoré vám môžu uľahčiť postup.

Tipy na nájdenie funkčných hodnôt

Pri faktoringu trojčlenu vo forme X 2 + bx + c, zvážte nasledujúce tipy.

Pozri na c termín prvý.

o Ak c termín je kladné číslo, potom faktory c bude pozitívny alebo negatívny. Inými slovami, r a s bude mať rovnaké znamenie.

o Ak c termín je záporné číslo, potom jeden faktor z c bude pozitívny a jedným z faktorov c bude negatívny. Buď r alebo s bude negatívny, ale nie obidva.

Pozri na b termín druhý.

o Ak c termín je pozitívny a b termín je pozitívny, potom obidva r a s sú pozitívne.

o Ak c termín je pozitívny a b termín je záporný, potom obidva r a s sú negatívne.

o Ak c termín je negatívny a b pozitívny faktor, potom bude mať pozitívny faktor väčšiu absolútnu hodnotu. Teda ak | r | & gt | s |, potom r je pozitívny a s je negatívne.

o Ak c termín je negatívny a b záporný faktor, potom bude mať záporný faktor väčšiu absolútnu hodnotu. Teda ak | r | & gt | s |, potom r je negatívny a s je pozitívny.

Potom, čo ste zapracovali niekoľko trojčleniek vo forme X 2 + bx + c, môžete si všimnúť, že čísla, pre ktoré identifikujete r a s nakoniec zahrnuté do zapracovanej formy trojčlenky. Prezrite si nasledujúcu tabuľku, ktorá zobrazuje tri problémy, ktoré ste doteraz videli.

X 2 + 7X + 10

X 2 + 5X + 6

X 2 + X - 12

r a s hodnoty

Všimnite si, že v každom z týchto príkladov je r a s hodnoty sa opakujú vo faktorovanej forme trojčlenu.

Čo to znamená? Znamená to, že v trojčlenoch formy X 2 + bx + c (kde koeficient pred X 2 je 1), ak viete identifikovať správne r a s hodnoty, môžete efektívne preskočiť kroky zoskupenia a prejsť priamo do faktorizovaného tvaru. Možno budete chcieť zostať pri metóde zoskupovania, kým vám nebude vyhovovať, ale toto je elegantná skratka, o ktorej treba vedieť!

Jess sa pokúša použiť metódu zoskupovania na faktorovanie trojice v 2 – 10v + 21. Ako by mala prepisovať ústredňu b termín, - 10v?

Nesprávne. Pretože c termín je pozitívny a b výraz je záporný, obidva výrazy by mali byť záporné. (Všimnite si, že ak použijeme celé čísla 7 a 3, 7 + 3 = +10, poskytlo by to výraz 10v namiesto - 10v.) Správna odpoveď je - 7v – 3v.

Správne. Pretože c termín je pozitívny a b výraz je záporný, obidva výrazy by mali byť záporné. Skontrolujte: pomocou celých čísel - 7 a - 3, - 7 + - 3 = - 10 a - 7 • - 3 = 21, takže toto poskytuje oba výrazy - 10v a 21 správne.

Nesprávne. Pretože c termín je pozitívny a b výraz je záporný, obidva výrazy by mali byť záporné. (Všimnite si, že pri použití celých čísel - 7 a 3, - 7 + 3 = - 4 a - 7 • 3 = - 21, takže by to poskytlo - 4v namiesto - 10.v a - 21 namiesto 21.) Správna odpoveď je

Nesprávne. Pretože c termín je pozitívny a b výraz je záporný, obidva výrazy by mali byť záporné. (Všimnite si, že pri použití celých čísel 7 a - 3, 7 + - 3 = 4 a 7 • - 3 = - 21, takže by to poskytlo 4v namiesto - 10v a - 21 namiesto 21.) Správna odpoveď je

Identifikácia spoločných faktorov

Nie všetky trojčlenky vyzerajú X 2 + 5X + 6, kde je koeficient pred X 2 výraz je 1. V týchto prípadoch by malo byť vaším prvým krokom hľadanie spoločných faktorov pre tieto tri výrazy.

Rozdeliť spoločný faktor

2X 2 + 10X + 12

− 5a 2 − 15a − 10

c 3 – 8c 2 + 15c

c (c 2 – 8c + 15)

c (c – 5)(c – 3)

r 4 – 9r 3 – 10r 2

y 2 (r – 10)(r + 1)

Všimnite si, že akonáhle identifikujete a vytiahnete spoločný faktor, môžete zostávajúci trojčlen rozdeliť ako obvykle. Tento proces je uvedený nižšie.

Faktor 3X 3 – 3X 2 – 90X.

3(X 3 – X 2 – 30X)

Pretože 3 je spoločný faktor pre tri výrazy, vyraďte 3.

3X(X 2 – X – 30)

X je tiež bežný faktor, takže faktor out X.

3X(X 2 – 6X + 5X – 30)

Teraz môžete faktorovať trojčlen

X 2 – X - 30. Nájsť r a s, identifikujte dve čísla, ktorých súčin je - 30 a ktorých súčet je - 1.

Dvojica faktorov je - 6 a 5. Takže nahraďte - X s - 6X + 5X.

3X[(X 2 – 6X) + (5x - 30)]

Pomocou zoskupenia zvážte výrazy v pároch.

3X[(X(X – 6) + 5(X – 6)]

Faktor X z prvej skupiny a faktor 5 z druhej skupiny.

3X(X – 6)(X + 5)

Potom sa vyraďte X – 6.

3X(X – 6)(X + 5)

Faktoringové trojčlenky: sekera 2 + bx + c

Všeobecná forma trojčlenov s vedúcim koeficientom a je sekera 2 + bx + c. Niekedy je faktorom a možno zohľadniť, ako ste videli vyššie, k tomu dôjde, keď a možno zohľadniť zo všetkých troch pojmov. Zostávajúci trojčlen, ktorý ešte potrebuje factoring, bude potom jednoduchší, pričom vedúci výraz bude iba X 2 termín, namiesto sekera 2 termín.

Ak však koeficienty všetkých troch výrazov trojčlenky nemajú spoločný faktor, potom bude potrebné trojčlenný faktor rozložiť s koeficientom niečoho iného ako 1.

Faktorovanie trojčlenov vo forme sekera 2 + bx + c

Na faktor trojčlen vo forme sekera 2 + bx + c, nájsť dve celé čísla, r a s, ktorého súčet je b a ktorého produkt je ac. Prepíš trinomiál na sekera 2 + rx + sx + c a potom na zoskupenie a rozdelenie pomocou polynomu použite zoskupenie a distribučnú vlastnosť.

To je takmer to isté ako faktoringové trojčlenky vo forme X 2 + bx + c, ako v tejto podobe a = 1. Teraz hľadáte dva faktory, ktorých produktom je ac, a ktorých súčet je b.

Pozrime sa, ako táto stratégia funguje na základe faktoringu 6z 2 + 11z + 4.

V tejto trojčlennej, a = 6, b = 11 a c = 4. Podľa stratégie musíte nájsť dva faktory, r a s, ktorého súčet je b (11) a ktorého produktom je ac (alebo 6 • 4 = 24). Môžete si vytvoriť graf na usporiadanie možných kombinácií faktorov. (Všimnite si, že tento graf má iba kladné čísla. Odvtedy ac je pozitívny a b je pozitívne, môžete si byť istí, že dva faktory, ktoré hľadáte, sú tiež kladné čísla.)


Kľúčové koncepty

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Elementárna algebra 2e
    • Dátum zverejnenia: 22. apríla 2020
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-key-concepts

    © 22. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    Metóda 1: Faktorovanie x2 + bx + c

    1. Naučte sa násobenie FOIL. Možno ste sa už naučili metódu FOIL alebo „First, Outside, Inside, Last“ na násobenie výrazov ako (x + 2) (x + 4). Než sa dostaneme k faktoringu, je užitočné vedieť, ako to funguje:

    • Vynásobte prvé výrazy: (x + 2) (x + 4) = x2 + __
    • Vynásobte vonkajšie výrazy: (x + 2) (x + 4) = x2 + 4x + __
    • Vynásobte vnútorné pojmy: (x + 2) (x + 4) = x2 + 4x + 2x + __
    • Vynásobte posledné výrazy: (x + 2) (x + 4) = x2 + 4x + 2x + 8
    • Zjednodušte: x2 + 4x + 2x + 8 = x2 + 6x + 8

    2. Pochopte faktoring. Keď vynásobíte dva dvojčleny metódou FOIL, dostanete trinomiál (výraz s tromi členmi) v tvare ax2 + bx + c, kde a, b a c sú obyčajné čísla. Ak začnete s rovnicou v rovnakom tvare, môžete ju rozdeliť späť na dva dvojčleny.

    • Ak rovnica nie je napísaná v tomto poradí, posuňte výrazy tak, aby boli. Napríklad prepíšte 3x - 10 + x2 na x2 + 3x - 10.
    • Pretože najvyšší exponent je 2 (x2), tento typ výrazu je „kvadratický“.

    3. Napíš medzeru pre odpoveď vo forme FÓLIA. Zatiaľ len napíš (__ __) (__ __) do priestoru, kde napíšeš odpoveď. Toto budeme priebežne vypĺňať.

    4. Vyplňte Prvé podmienky. Pre jednoduché problémy, kde prvý člen vašej trojčlenky je len x2, budú výrazy na prvej pozícii vždy x a x. Toto sú činitele výrazu x2, pretože x krát x = x2.

    • Zložitejším problémom sa budeme venovať v nasledujúcej časti, vrátane trojčlenov, ktoré začínajú výrazom ako 6x2 alebo -x2. Zatiaľ sa riaďte príkladom problému.

    5. Pomocou faktoringu uhádnite posledné výrazy. Ak sa vrátite späť a znovu si prečítate krok metódy FOIL, uvidíte, že vynásobením posledných výrazov spolu získate konečný výraz v polynóme (ten, ktorý nemá x). Aby sme to zohľadnili, musíme nájsť dve čísla, ktoré sa vynásobia, aby vytvorili posledný člen.

    • V našom príklade x2 + 3x - 10 je posledný termín -10.
    • Aké sú faktory -10? Ktoré dve čísla sa vynásobia -10?
    • Existuje niekoľko možností: -1 krát 10, 1 krát -10, -2 krát 5 alebo 2 krát -5. Tieto páry si niekam zapíšte, aby ste si ich zapamätali.
    • Našu odpoveď zatiaľ nemeňte. Stále to vyzerá takto: (x __) (x __).

    6. Vyskúšajte, ktoré možnosti fungujú pri násobení zvonka a zvnútra. Posledné podmienky sme zúžili na niekoľko možností. Vyskúšajte každú možnosť pomocou pokusu a omylu, vynásobte vonkajšie a vnútorné výrazy a porovnajte výsledok s našou trojčlenkou. Napríklad:


    Faktorovanie trojčlenov so spoločnými faktormi

    Je dobrým zvykom najskôr vylúčiť GCF, ak existuje. Pritom vznikne trojčlenný faktor s menšími koeficientmi. Ako sme videli, trojčlenky s menšími koeficientmi si vyžadujú oveľa menšie úsilie. Tento bežne prehliadaný krok stojí za včasnú identifikáciu.

    Príklad 6: Faktor: 12 x 2 - 27 x + 6.

    Riešenie: Začnite vyčlenením GCF.

    Po vyčíslení 3 sú koeficienty výslednej trojčlenky menšie a majú menej faktorov.

    Po úvahe vidíme, že kombinácia, ktorá dáva koeficient stredného obdobia, je 4 (- 2) + 1 (- 1) = - 8 - 1 = - 9.

    Faktor 3 je súčasťou formovanej formy pôvodného výrazu, nezabudnite ho zahrnúť do odpovede.

    Je dobrým zvykom dôsledne pracovať s trinomiálmi, kde je vedúci koeficient pozitívny.

    Príklad 7: Faktor: - x 2 + 2 x + 15.

    Riešenie: V tomto príklade je vedúci koeficient -1. Pred začatím procesu factoringu vyraďte −1:

    V tomto okamihu spočítajte zostávajúci trojčlen ako obvykle, pričom nezabudnite vo svojej konečnej odpovedi napísať −1 ako faktor. Pretože 3 + (−5) = −2, použite 3 a 5 ako faktory 15.

    Odpoveď: - 1 (x + 3) (x - 5). Šek je ponechaný na čitateľa.

    Príklad 8: Faktor: - 60 a 2 - 5 a + 30.

    Riešenie: GCF všetkých výrazov je 5. Avšak v tomto prípade platí faktor −5, pretože tak vzniká trojčlenný faktor, kde je vedúci koeficient kladný.

    Zamerajte sa na faktory 12 a 6, ktoré kombinujú, aby poskytli stredný koeficient, 1.

    Po dlhom premýšľaní zistíme, že 3 ⋅ 3 - 4 ⋅ 2 = 9 - 8 = 1. Faktor zostávajúci trojčlen.

    Odpoveď: - 5 (4 a + 3) (3 a - 2). Šek je ponechaný na čitateľa.

    Skúste to! Faktor: 24 + 2 x - x 2.

    Video riešenie


    Získajte faktoringový kľúč odpovede na pracovný hárok Ax2 Bx C.

    Algebra a aplikácie Pracovný list P. Pathaka 3 Oddiel 5. 3 Faktorovanie Trojčleny formy ax2 bx c Faktor úplne. 1. 2x2 5x 3 27. 22x2 29x 6 2. 2x2 5x 2 28. 20z 2 7z 6 3. 2y 2 13y 20 29. 2x2 1xy 10y 2 4. 2y 2 11y 15 30. 2x2 11xy 12y 2 5. 2t2 7t 15 31. 3x2 28xy 32y 2 6. 2t2 9t 35 7. 2x2 3x 20 33. 5x2 27xy 10y 2 8. 2x2 11x 21 34. 5x2 6xy 8y 2 9. 3y 2 13y 10 35. 7x2 10xy 3y 2 10. 3x2 17x 20 36. 6x2 7xy 3y 2 11. 3y 2 17y 28 37. 2x3 5x2 12x 12. 3y 2 13y 14 38. 3x3 19x2 20x 13. 5y 2 23y 24 39. 36x3 12x2 15x 14. 5x2 12x 32 40. 6x3 10x2 4x 15 . 5y 2 17y 14 41. 18x3 21x2 9x 16. 5y 2 11y 12 42. 12t3 10t2 12t 17. 4x2 25x 25 43. 12t3 22t2 6t 18. 4y 2 5y 12 44. 15t3 18t2 24t 19. 4y 2 4y 15 45. 5x3 y 10x2 y 2 15xy 3 20. 4x2 4x 35 46. 6x5 y 25x4 y 2 4x3 y 3 21. 6x2 7x 20 47. 12x4 y 3 11x3 y 4 2x2 y 5 22. 6y 2 5y 21 48. 12x3 y 3 28x2 y 4 8xy 5 23. 8y 2 14y 15 49. x3 5x2 6x 24. 8x2 6x 5 50. y 3 3y 2 2y 25. 12y 2 y 6 51. 1. 2x2 5x 3 27. 22x2 29x 6 2. 2x2 5x 2 28. 20z 2 7z 6 3. 2y 2 13y 20 29. 2x2 1xy 10y 2 4. 2y 2 11y 15 30. 2x2 11xy 12y 2 5. 2t2 7t 15 31. 3x2 28xy 32y 2 6. 2t2 9t 35 7. 2x2 3x 20 33. 5x2 27xy 10y 2 8. 2x2 11xy 12y 2 5. 2t2 7t 15 31. 3x2 28xy 32y 2 6. 2t2 9t 35 7. 2x2 3x 20 33. 5x2 27xy 10y 2 8. 2x2 11x 21 34. 5x2 6xy 8y 2 9. 3y 2 13y 10 35. 7x2 10xy 3y 2 10. 3x2 17x 20 36. 6x2 7xy 3y 2 11. 2x2 11x 21 34. 5x2 6xy 8y 2 9. 3y 2 13y 10 35. 7x2 10xy 3y 2 10. 3x2 17x 20 36. 6x2 7xy 3y 2 11. 3r 2 17r 28 37. 2x3 5x2 12x 12. 3r 2 13r 14 38. 3x3 19x2 20x 13. 5r 2 23r 24 39. 36x3 12x2 15x 14. 3r 2 17r 28 37. 2x3 5x2 12x 12. 3r 2 13r 14 38. 3x3 19x2 20x 13. 5y 2 23y 24 39. 36x3 12x2 15x 14. 5x2 12x 32 40. 6x3 10x2 4x 15. 5y 2 17y 14 41. 18x3 21x2 9x 16. 5y 2 11y 12 42. 12t3 10t2 12t 17 . 5x2 12x 32 40. 6x3 10x2 4x 15. 5y 2 17y 14 41. 18x3 21x2 9x 16. 5y 2 11y 12 42. 12t3 10t2 12t 17. 4x2 25x 25 43. 12t3 22t2 6t 18. 4y 2 5y 12 44. 15t3 18t2 24t 19. 4y 2 4y 15 45. 5x3 y 10x2 y 2 15xy 3 20. 4x2 25x 25 43. 12t3 22t2 6t 18. 4y 2 5y 12 44. 15t3 18t2 24t 19. 4y 2 4y 15 45. 5x3 y 10x2 y 2 15xy 3 20. 4x2 4x 35 46. 6x5 y 25x4 y 2 4x3 y 3 21. 6x2 7x 20 47. 12x4 y 3 11x3 y 4 2x2 y 5 22. 6y 2 5y 21 48. 4x 2 4x 35 46. 6x5 y 25x4 y 2 4x3 y 3 21. 6x2 7x 20 47. 12x4 y 3 11x3 y 4 2x2 y 5 22. 6y 2 5y 21 48. 12x3 y 3 28x2 y 4 8xy 5 23. 8y 2 14y 15 49. x3 5x2 6x 24. 8x2 6x 5 50. y 3 3y 2 2y 25. 12y 2 y 6 51. 1. 2x2 5x 3 27. 22x2 29x 6 2. 2x2 5x 2 28. 20z 2 7z 6 3. 2r 2 13y 20 29. 2x2 1xy 10y 2 4. 2y 2 11y 15 30. 2x2 11xy 12y 2 5. 2t2 7t 15 31. 3x2 28xy 32y 2 6. 2t2 9t 35 7. 2x2 3x 20 33. 5x2 27xy 10y 2 8. 2x2 11x 21 34. 5x2 6xy 8y 2 9. 3y 2 13y 10 35. 7x2 10xy 3y 2 10. 3x2 17x 20 36. 6x2 7xy 3y 2 11. 2x2 11xy 12y 2 5. 2t2 7t 15 31. 3x2 28xy 32y 2 6 . 2t2 9t 35 7. 2x2 3x 20 33. 5x2 27xy 10y 2 8. 2x2 11x 21 34. 5x2 6xy 8y 2 9. 3y 2 13y 10 35. 7x2 10xy 3y 2 10. 3x2 17x 20 36. 6x2 7xy 3y 2 11 . 3r 2 17r 28 37. 2x3 5x2 12x 12. 3r 2 13r 14 38. 3x3 19x2 20x 13. 5r 2 23r 24 39. 36x3 12x2 15x 14 ..


    Kroky na faktorizáciu trojčlenu formy ax 2 + bx + c?

    1. Zapíšte si daný výraz a porovnajte ho so základným výrazom ax 2 + bx + c.
    2. Poznačte si podmienky produktu a súčtu a vyhľadajte dve čísla.
    3. Závisí od hodnôt dvoch čísel, rozšírte daný výraz.
    4. Rozdelte bežné výrazy.
    5. Nakoniec dostaneme súčin dvoch výrazov, ktoré sa rovnajú trojčlennému výrazu.

    Vyriešené príklady faktorovania trojčlenov formy ax 2 + bx + c

    Riešenie:
    Zadaný výraz je 2s 2 + 9s + 10.
    Porovnaním daného výrazu 2s 2 + 9s + 10 so základným výrazom ax 2 + bx + c.
    Tu a = 2, b = 9 a c = 10.
    Súčet dvoch čísel je p + q = b = 9 = 5 + 4.
    Súčin dvoch čísel je p * q = a * c = 2 * 10 = 20 = 5 * 4.
    Z vyššie uvedených dvoch pokynov môžeme zapísať hodnoty dvoch čísel p a q ako 5 a 4.
    Potom 2 s 2 + 9 s + 10 = 2 s 2 + 5 s + 4 s + 20.
    = 2 s (s + 5) + 4 (s + 5).
    Zformulujte bežné výrazy.

    Potom 2 s 2 + 9 s + 10 = (2 s + 4) (s + 5).

    Riešenie:
    Zadaný výraz je 6s 2 + 7s & # 8211 3.
    Porovnaním daného výrazu 6s 2 + 7s & # 8211 3 so základným výrazom ax 2 + bx + c.
    Tu a = 6, b = 7 a c = 3.
    Súčet dvoch čísel je p + q = b = 7 = 9 & # 8211 2.
    Súčin dvoch čísel je p * q = a * c = 6 * 3 = 18 = 9 * 2.
    Z vyššie uvedených dvoch pokynov môžeme zapísať hodnoty dvoch čísel p a q ako 9 a 2.
    Potom 6s 2 + 7s -3 = 6s 2 + 9s & # 8211 2s & # 8211 3.
    = 6 s 2 - 2 s + 9 s & # 8211 3.
    = 2 s (3 s - 1) + 3 (3 s - 1).
    Zformulujte bežné výrazy.

    Potom 6s 2 + 7s & # 8211 3 = (3s & # 8211 1) (2s + 3).

    2. Faktorizujte trojčlen.

    Riešenie:
    Zadaný výraz je 2x 2 + 7x + 3.
    Porovnaním daného výrazu 2x 2 + 7x + 3 so základným výrazom ax 2 + bx + c.
    Tu a = 2, b = 7 a c = 3.
    Súčet dvoch čísel je p + q = b = 7 = 6 + 1.
    Súčin dvoch čísel je p * q = a * c = 2 * 3 = 6 = 6 * 1.
    Z vyššie uvedených dvoch pokynov môžeme zapísať hodnoty dvoch čísel p a q ako 6 a 1.
    Potom 2x 2 + 7x + 3 = 2x 2 + 6x + x + 3.
    = 2x (x + 3) + (x + 3).
    Zformulujte bežné výrazy.

    Potom 2x 2 + 7x + 3 = (x + 3) (2x + 1).

    Riešenie:
    Zadaný výraz je 3 s 2 - 4 s - 4.
    Porovnaním daného výrazu 3s 2 - 4s - 4 so základným výrazom ax 2 + bx + c.
    Tu a = 3, b = & # 8211 4 a c = & # 8211 4.
    Súčet dvoch čísel je p + q = b = & # 8211 4 = & # 8211 6 + 2.
    Súčin dvoch čísel je p * q = a * c = 3 * (- 4) = & # 8211 12 = (- 6) * 2.
    Z vyššie uvedených dvoch pokynov môžeme zapísať hodnoty dvoch čísel p a q ako & # 8211 6 a 2.
    Potom 3 s 2 - 4 s - 4 = 3 s 2 - 6 s + 2 s & # 8211 4.
    = 3 s (s - 2) + 2 (s - 2).
    Zformulujte bežné výrazy.


    Factoring Polynomials Lekcia 3 Trinomials ax2 + bx + c Cvičenie a zosilňovač PREP ZADARMO

    ax2 + bx + c. Odkazy na moje ďalšie lekcie faktoringu sú uvedené nižšie. Táto lekcia je zábavným spôsobom, ako naučiť faktoringové polynómy zaručene udržiavať deti zaujaté a na konci MILUJÚ súťaž v hre.

    Táto lekcia je 100% zadarmo.

    -Úplná interaktívna lekcia programu PowerPoint vrátane príkladov s podrobnými vysvetleniami. (Ukážka ukážky kliknutia)

    Do hodiny sa zapracovalo 20 praktických otázok

    - Kontrolné body na určenie, či sú študenti pripravení ísť ďalej alebo potrebujú viac praxe (v prípade potreby ďalších cvičení sú zahrnuté ďalšie otázky)

    -Zábavná interaktívna hra, ktorá obsahuje 20 otázok (pre náhľad na ukážku hry)

    - Stránky s poznámkami študentov pre hodiny a hry

    Ak máte radi túto myšlienku a chceli by ste, aby všetky moje lekcie faktoringu boli spojené za ZĽAVNÚ cenu, pozrite si moju Factoringovú jednotku:


    Úvod

    Kvadratické výrazy sa môžu použiť na modelovanie fyzikálnych vlastností veľkého mosta, trajektórie bejzbalu alebo rakety a výnosov a ziskov podniku. Rozdelením týchto výrazov je možné identifikovať špecifické vlastnosti modelu. V tejto kapitole preskúmate proces faktoringových výrazov a uvidíte, ako sa factoring používa na riešenie určitých typov rovníc.

    Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

    Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

      Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

    • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
      • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Vydavateľ / web: OpenStax
      • Názov knihy: Elementárna algebra 2e
      • Dátum zverejnenia: 22. apríla 2020
      • Miesto: Houston, Texas
      • URL knihy: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
      • URL sekcie: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/7-introduction

      © 22. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


      Ak používate algebrické dlaždice na výpočet trojčlenu tvaru ax2 + bx + c, kedy by ste potrebovali priviesť nula párov? Prečo?

      Ak je hodnota c záporná, na modelovanie faktorizácie polynómu by ste potrebovali nulové páry. Dlaždice x na doske určujú, aké sú konštanty vo faktoroch. Súčin týchto konštánt sa rovná hodnote c, takže by ste potrebovali kladné dlaždice na jednej strane štvorca x a záporné dlaždice x na druhej strane, aby ste na nich mali opačné znaky. Opačné znaky na konštantách budú mať pri vynásobení faktorov za následok zápornú hodnotu pre c.

      Trojčlenná forma ax2 + bx + c je kvadratická forma. Musíme priviesť nula párov, pretože musíme získať korene tejto kvadratickej rovnice. Korene sa označujú ako riešenia alebo možná hodnota x, aby bola rovnica pravdivá


      Pozri si video: Factoring Difference of Squares. Algebra 2 (December 2021).