Články

3.4: Lineárne nerovnosti v dvoch premenných - matematika


3.4: Lineárne nerovnosti v dvoch premenných - matematika

3.4: Lineárne nerovnosti v dvoch premenných - matematika

Vieme, ako formulovať rovnice rôzneho stupňa, a v reálnom živote sa často používa, ale vyvstáva otázka, je vždy možné previesť situáciu na rovnicu? Niekedy dostaneme vyjadrenia typu: počet prípadov Covid za deň v Dillí dosiahol viac ako 10 000. Táto fráza „Menej ako“, „Väčšie ako“, „menšie ako alebo rovné“ atď. Takéto frázy sa ťažko prekladajú do rovníc. V takýchto prípadoch sa musíme naučiť, ako robiť rovnice s nerovnosťami v nich. Pozrime sa na to podrobne.

Čo sú to nerovnosti?

Pozrime sa na príklad, Anil chce kúpiť nejaké studené nápoje. Každý studený nápoj stojí 20 Rs a má so sebou celkom Rs 190. Predpokladajme, že si kúpi x studených nápojov. Aká môže byť maximálna hodnota x? Môže to byť vyjadrené vo forme nižšie uvedenej rovnice,

Niektoré všeobecné príklady nerovností sú,

Z vyššie uvedených rovníc sa rovnice (1) a (2) nazývajú prísne nerovnosti a (3) a (4) sa nazývajú slabé nerovnosti.

Riešenie nerovností

  1. Rovnaké čísla je možné sčítať alebo odčítať od oboch strán nerovnosti.
  2. Obe strany nerovnosti možno vynásobiť (alebo vydeliť) rovnakým kladným číslom. Ale keď sa obe strany vynásobia alebo vydelia záporným číslom, potom sa znak nerovnosti obráti.

Tieto operácie nemajú vplyv na nerovnosť a môžu byť použité na zjednodušenie nerovnosti pre nás.

Otázka: Vyriešte nerovnosť 20x & lt 80 a ukážte jej riešenia v grafe.

Je nám dané,

20 x & lt 80

Vieme, že rozdelenie nerovnosti kladným číslom nič nezmení. Rozdeľme nerovnosť na 20.

x & lt 4.

Teraz sú všetky hodnoty menšie ako 10 riešením tejto nerovnosti. Obrázok nižšie predstavuje toto riešenie v grafe.

Grafické znázornenie nerovností v dvoch premenných

Videli sme graf lineárnej nerovnosti v jednej premennej. Lineárna rovnica v dvoch premenných predstavuje priamku, ktorá rozdeľuje rovinu na dve časti. Každú časť nazývame polrovinou. Ak je čiara zvislá, rozdelí rovinu na ľavú polrovinu a pravú polrovinu a nevislá čiara rozdelí rovinu na ľavú hornú polrovinu a dolnú polrovinu.

Akýkoľvek bod v karteziánskej rovine bude ležať buď na priamke, alebo na jednej z polrovín I a II.

  1. sekera + o> c
  2. sekera + o & lt c
  3. sekera + o = c

Prípad (i): sekera + o> c

Povedzme b> 0. Zvážte bod (h, k), ktorý vyhovuje rovnici. Potom,

ah + bk = c

Vezmeme ďalší ľubovoľný bod (h, l). Obrázok nižšie predstavuje dva body spolu s priamkou. Vieme,

l> k

bl> bk

ah + bl> ah + bk

ah + bl> c

Teda bod (h, l) uspokojuje vlastnosť ax + o> c. Teda všetky body ležiace v polrovine II túto nerovnosť uspokojujú. Aj pre b & lt 0 sa to dá dokázať podobne.

Prípad ii): sekera + o = c

Všetky body vyhovujúce priamke, ktoré ležia na priamke, vyhovujú tejto rovnici.

Prípad (iii): sekera + o

Všetky ostatné body, to znamená body ležiace v polorovine, túto nerovnosť uspokojujem.

Pozrime sa na niektoré problémy s týmito konceptmi.

Vzorové problémy

Otázka 1: Vyriešte rovnicu 5x + 3y> 6 graficky.

Najprv musíme nakresliť graf pre 5x + 3y = 6. Dá sa to tak, že prinesieme rovnicu vo forme interceptu so sklonom alebo interceptu.

Teraz ľubovoľne vyberte bod, ktorý chcete skontrolovať. Nechajme & # 8217s (0,0).

Dosadením tohto bodu (0,0) do rovnice,

5 (0) + 3 (0) = 0 a <6.

Body v dolnej polovici teda uspokoja 5x + 3y & lt 6. Všetky body, ktoré vyhovujú danej rovnici, budú teda ležať na hornej polovici roviny.

Otázka 2: Vyriešte rovnicu 6x + 2y> 3 graficky.

Najprv musíme nakresliť graf pre 6x + 2y = 3. Dá sa to tak, že prinesieme rovnicu vo forme interceptu so sklonom alebo interceptu.

Uvedenie (0,0) do rovnice,

6 (0) + 2 (0) = 0 & lt 3. Body v hornej polovici roviny teda vyhovujú danej rovnici.

6x + 2r> 3

Otázka 3: Vyriešte rovnicu x + y & lt 2 graficky.


Daním (0, 0) do rovnice,

0 & lt 2.

Tento bod vyhovuje danej rovnici. Graf teda bude,

Otázka 4: Vyriešte rovnicu 3x & # 8211 5y & lt 20 graficky.

Ako obvykle budeme brať (0, 0) ako bod, ktorý chceme testovať.

3 (0) & # 8211 5 (0) & lt 20.

Tento bod uspokojuje danú nerovnosť. Horná ľavá polovičná rovina teda spĺňa nerovnosť.

Otázka 5: Vytvorte nerovnosť z nižšie uvedeného grafu.

Vidíme, že táto priamka je rovnobežná s jednou z osí. Rovnica priamky je,

x = 4

Teraz chceme vytvoriť lineárnu nerovnosť pre tieňovanú oblasť. (0,0) v tieňovanej oblasti, takže to skontrolujeme.

x = 0 & lt 4

Tieňovaná oblasť teda spĺňa,

x & lt 4

Otázka 6: Vytvorte nerovnosť z nižšie uvedeného grafu.

Z grafu najskôr odvodíme rovnicu priamky. Vidíme, že priesečníky osi x a y majú dĺžku 4.

Teraz musíme zistiť, ktorú podmienku spĺňa dolná polovičná rovina. Nechajme & # 8217s použitie (0,0), pretože patrí do dolnej polovičnej roviny. Dosadením hodnoty (0,0) do rovnice,

Takže


Ako riešite lineárne nerovnosti pomocou dvoch premenných?

Riešením lineárnej nerovnosti v dvoch premenných, ako napríklad Ax + By & gt C, je usporiadaný pár (x, y), ktorý vytvára pravdivé tvrdenie, keď sú hodnoty xay nahradené nerovnosťou.

Riešenie lineárnych nerovností je rovnaké ako riešenie lineárnych rovníc, rozdiel, ktorý má, je v symbole nerovnosti.

Lineárne nerovnice riešime rovnako ako lineárne rovnice.

Krok 1: Zjednodušte nerovnosť na oboch stranách, na LHS aj RHS, podľa pravidiel nerovnosti.
Krok 2: Po získaní hodnoty máme:

  • prísne nerovnosti, pri ktorých sa obidve strany nerovností nemôžu navzájom rovnať.
  • nepresné nerovnosti, pri ktorých sa môžu rovnať aj dve strany nerovností.

Zvážte nasledujúcu nerovnosť:

Keď hovoríme o hľadaní riešenie tejto nerovnosti, hovoríme o všetkých tých dvojice hodnôt z X a r pre ktoré je táto nerovnosť uspokojená. To napríklad znamená, že (x = 4, y = 3 ) je jedným z možných riešení tejto konkrétnej nerovnosti. Avšak (x = 0, y = 0 ) nie je, pretože keď striedate X a r rovná sa 0 na LHS nerovnosti, ukáže sa, že je menej ako 7.

Videli sme, že pre každú lineárnu rovnicu v dvoch premenných existuje nekonečne veľa riešení. Teraz by vám mohlo byť zrejmé, že aj pre každú lineárnu nerovnosť budeme mať nekonečne veľa riešení. Všetky tieto riešenia budú tvoriť sada riešení lineárnej nerovnosti.

  1. PEMDAS a BODMAS hrajú rozhodujúcu úlohu pri riešení nerovností.
  2. Ak je číslo záporné na obidvoch stranách znamienka (nie na oboch), smer zostane rovnaký.

Lineárne rovnice

Jeden neznámy

Lineárnu rovnicu v jednej neznámej možno vždy uviesť do štandardného tvaru

kde x je neznáme a a a b sú konštanty. Ak a nie je rovné nule, má táto rovnica jedinečné riešenie

Dvaja neznámi

Lineárna rovnica v dvoch neznámych, x a y, sa dá dať do formy

kde x a y sú dve neznáme a a, b, c sú reálne čísla. Tiež predpokladáme, že a a b nie sú nulové.

Riešenie lineárnej rovnice

Riešenie rovnice pozostáva z dvojice čísel, u = (k1, k2), ktorá vyhovuje rovnici sekera + o = c. Matematicky povedané, riešenie pozostáva z u = (k1, k2) také, že ak1 + bk2 = c. Riešenie rovnice možno nájsť priradením ľubovoľných hodnôt k x a riešením pre y ALEBO priradením ľubovoľných hodnôt y a riešením pre x.

Geometricky, akékoľvek riešenie u = (k1, k2) lineárnej rovnice sekera + o = c určiť bod v karteziánskej rovine. Pretože a a b nie sú nulové, riešenie u presne zodpovedá bodom na priamke.

Dve rovnice v dvoch neznámych

Systém dvoch lineárnych rovníc v dvoch neznámych x a y je


Kde1, a2, b1, b2 nie sú nulové. Dvojica čísel, ktorá vyhovuje obidvom rovniciam, sa nazýva simultánne riešenie daných rovníc alebo riešenie sústavy rovníc.

  1. Ak má systém práve jedno riešenie, graf lineárnych rovníc sa pretínajú v jednom bode.
  2. Ak systém nemá riešenie, grafy lineárnych rovníc sú rovnobežné.
  3. Ak má systém nekonečné množstvo riešení, grafy lineárnych rovníc sa zhodujú.

Systém nemá riešenie, keď

možno získať eliminačným procesom, pri ktorom sa systém redukuje na jednu rovnicu iba v jednej neznámej. Toto je dosiahnuté nasledujúcim algoritmom

Krok 1 Vynásobte dve rovnice dvoma číslami, ktoré sú také, že
výsledné koeficienty jedného z neznámych sú záporné
navzájom.

Krok 2 Pridajte rovnice získané v kroku 1.


Výstupom tohto algoritmu je lineárna rovnica v jednej neznámej. Táto rovnica môže byť pre túto neznámu vyriešená a riešenie môže byť nahradené jednou z pôvodných rovníc, čím sa získa hodnota druhej neznámej.


Ako príklad zvážte nasledujúci systém

Krok 1: Vynásobte rovnicu (1) o 2 a rovnicu (2) o -3

Krok 2: Pridajte rovnice, výstup z kroku 1

Získame teda rovnicu zahŕňajúcu iba neznáme y. riešime pre y získať

Ďalej dosadíme y = 1 do rovnice (1), aby sme dostali

Preto je x = 2 a y = 1 jedinečným riešením systému.

N Rovnice v n Neznáme

Teraz uvažujme systém n lineárnych rovníc v n neznámych


Kde aij, bi sú reálne čísla. Číslo aij sa nazýva koeficient xj v i-tej rovnici a číslo bi sa nazýva konštanta i-tej rovnice. Zoznam hodnôt pre neznáme,

alebo ekvivalentne zoznam n čísel

sa nazýva riešenie systému, ak s kj nahradený xj, ľavá strana každej rovnice sa v skutočnosti rovná pravej strane.

Vyššie uvedený systém je ekvivalentný maticovej rovnici.

alebo jednoducho môžeme napísať A & times = B, kde A = (aij), & times = (xi) a B = (bi).

Matica sa nazýva koeficientová matica sústavy n lineárnych rovníc v sústave n neznámych.

Matica sa nazýva rozšírená matica n lineárnych rovníc v n neznámych.


Poznámka pre algoritmických nerdov: systém ukladáme do počítača ako jeho rozšírenú maticu. Konkrétne je systém uložený v počítači ako maticové pole A typu N & times (N + 1), pole rozšírenej matice A, rozšírená matica systému. Preto konštanty b1, b2, . . , bn sú uložené ako A1, N + 1, A2, N + 1, . . , AN, N + 1.

Riešenie trojuholníkového systému

Akij = 0 pre i & gt j, potom sústava n lineárnych rovníc v n neznámych predpokladá trojuholníkový tvar.

Metóda substitúcie chrbta

riešenie trojuholníkového systému získame technikou spätnej substitúcie, zvážime vyššie uvedený všeobecný trojuholníkový systém.

1. Najskôr vyriešime poslednú rovnicu pre poslednú neznámu, xn

2. Po druhé, dosadíme hodnotu xn v predposlednej rovnici a riešte ju pre predposlednú neznámu, xn-1:

3. Po tretie, tieto hodnoty dosadíme za xn a xn-1 v rovnici tretia od poslednej a vyrieš ju pre tretiu z poslednej neznámej, xn-2 :

Všeobecne určíme xk dosadením predtým získaných hodnôt xn, Xn-1, . . , Xk + 1 v k tej rovnici.

Gaussova eliminácia

  1. Táto časť spočíva v postupnom vložení systému do trojuholníkového systému.
  2. Táto časť spočíva v riešení trojuholníkového systému spätnou substitúciou.

Vylúčte prvé neznáme x z rovníc 2 a 3.

(a) vynásobte -2 do rovnice (1) a pridajte ju do rovnice (2). Rovnica (2) sa stáva

(b) Vynásobte 3 do rovnice (1) a pridajte ju do rovnice (3). Rovnica (3) sa stáva

A pôvodný systém je redukovaný na systém

Teraz musíme z novej rovnice 3 odstrániť druhú neznámu y pomocou iba novej rovnice 2 a 3 (vyššie).

a, Vynásobte rovnicu (2) o 1/2 a pridajte ju do rovnice (3). Rovnica (3) sa stáva 6z = 12.

Preto sa náš daný systém troch lineárnych rovníc 3 neznámych redukuje na trojuholníkový systém

Druhá časť

V druhej časti riešime rovnicu spätnou substitúciou a dostaneme

V prvej etape algoritmu sa koeficient x v prvej rovnici nazýva pivot, a v druhej etape algoritmu je koeficient y v druhej rovnici bod. Je zrejmé, že algoritmus nemôže fungovať, ak je ktorýkoľvek pivot nulový. V takom prípade treba zameniť rovnicu tak, aby pivot nebol nula. V skutočnosti, ak by ste chceli kódovať tento algoritmus, najväčšej presnosti sa dosiahne, keď je otočný čap čo najväčšej absolútnej hodnoty. Napríklad by sme chceli zameniť rovnicu 1 a rovnicu 2 v pôvodnom systéme vo vyššie uvedenom príklade predtým, ako vylúčime x z druhej a tretej rovnice.

To je prvý krok systému prenosu algoritmov ako

Determinanty a systémy lineárnych rovníc

Uvažujme systém n lineárnych rovníc v n neznámych. Teda f alebo nasledujúci systém

Nech D označuje determinant matice A + (aij) koeficientov, to znamená, nech D = | A |. Tiež nech Ni označiť determinanty matice získané nahradením i-tého stĺpca A stĺpcom konštánt.

Veta. Ak D 0, vyššie uvedený systém lineárnych rovníc má jedinečné riešenie.

Táto veta je všeobecne známa ako Cramerovo pravidlo. Je dôležité si uvedomiť, že Gaussova eliminácia je pri riešení sústav lineárnych rovníc zvyčajne oveľa efektívnejšia ako použitie determinantov.


Nerovnosti riešte pomocou dvoch premenných

Toto je návod na riešenie nerovností pomocou dvoch premenných. Uvádzame niekoľko príkladov a problémov s riešeniami a podrobné vysvetlenia.

Najprv si ujasníme, čo je riešením nerovnosti v dvoch premenných x a y?
Usporiadaný pár (a, b) predstavuje riešenie danej nerovnosti v dvoch premenných xay, ak je nerovnosť pravdivá, keď sú xay nahradené písmenami aab. Pretože usporiadaný pár môže byť reprezentovaný bodom, všeobecne je množinou riešení (všetkých riešení) nerovnosti množina bodov, ktoré tvoria oblasť v rovine x-y.
Ak nahradíme symbol nerovnosti v nerovnosti v dvoch premenných znakom rovnosti, získame zodpovedajúcu rovnicu k danej nerovnosti. Graf zodpovedajúcej rovnice rozdeľuje rovinu na oblasti také, že: buď všetky body v danom regióne sú riešením nerovnosti, žiadny z bodov v tejto oblasti nie je riešením nerovnosti. Všetko uvedené objasníme na príkladoch s podrobným vysvetlením.

Príklad 1: Graficky vyriešte nerovnosť [x & # 8805 2 ]

Riešenie k príkladu 1:

Tri kroky k nájdeniu riešenia nastavujú danú nerovnosť.
1) Vytvorte zodpovedajúcu rovnicu (x = 2 ), čím rozdelíte rovinu na dve oblasti. Jeden z regiónov predstavuje súbor riešení.
2) Vyberte bod situovaný v ktorejkoľvek z dvoch získaných oblastí a otestujte nerovnosť. Ak je vybraným bodom riešenie, potom celá oblasť predstavuje množinu riešení. Ak vybraný bod nie je riešením, potom druhá (druhá) oblasť predstavuje množinu riešení.
3) Test: V tomto príklade si napríklad vyberieme bod so súradnicami (3, 2), ktorý je v oblasti napravo od priamky x = 2. Ak v nerovnosti nahradíme x (x & # 8805) 2 ) o 3 sa stane (3 & # 8805 2 ), čo je pravdivé tvrdenie, a preto (3, 2) je riešením. Môžeme teda dospieť k záveru, že oblasť napravo od zvislej čiary x = 2 je množina riešení vrátane samotnej čiary, ktorá sa zobrazuje ako plná čiara kvôli symbolu nerovnosti (& # 8805 ) obsahuje (= ) symbol. Množinu riešení predstavuje v nasledujúcom grafe oblasť modrého hash vrátane riadku x = 2.

.

Príklad 2: Graficky vyriešte nerovnosť [y lt 1 ]

Riešenie k príkladu 2:

Tri kroky k nájdeniu riešenia nastavujú danú nerovnosť.
1) Vytvorte graf zodpovedajúcej rovnice (y = 1 ). Je to vodorovná čiara, ktorá rozdeľuje rovinu na dve oblasti.
2) Vyberte bod ((1, -1) ), ktorý sa nachádza v oblasti pod vodorovnou čiarou.
3) Vyskúšajte bod ((1, -1) ) v nerovnosti nahradením y číslom -1 v nerovnosti, ktorá sa má vyriešiť: -1 & lt 1 je pravdivé tvrdenie.
Množina riešení je oblasť pod grafom (y = -1 ), oblasť uvedená nižšie modrou farbou. Pretože symbol nerovnosti je striktne & lt (nezahŕňa = napríklad & # 8804), graf čiary y = 1 je prerušený.

.

Príklad 3: Graficky riešte nerovnosť

Riešenie k príkladu 3:

Tri kroky k nájdeniu riešenia nastavujú danú nerovnosť.
1) Vytvorte graf rovnice (2y = - 4x + 4 ). Je to priamka s interceptom x na (1, 0) a y s interceptom na (0, 2).
2) Vyberte bod ((0, 0) ) nachádzajúci sa v jednej z oblastí vytvorených grafom v kroku 1.
3) Vyskúšajte bod ((0, 0) ) v nerovnosti dosadením x za 0 a y za 0 v nerovnosti, ktoré chcete vyriešiť:
(2 (0) lt - 4 (0) + 4 )
Zjednodušte vyššie uvedené
(0 lt 4 ): je to pravdivé tvrdenie
Sada riešení je oblasť obsahujúca bod (0, 0) fialovej oblasti zobrazenej nižšie. Pretože nerovnosť je „striktne menšia ako“ (na rozdiel od „menšej alebo rovnej“), čiara je prerušená.

.

Príklad 4: Graficky riešte nerovnosť

Riešenie k príkladu 4:

1) Vytvorte graf rovnice (y = x ^ 2 - 2 x - 3 ). Je to parabola s 2 zachyteniami x: na (-1, 0) a (3, 0) a s y-zachytením na (0, -3).
2) Vyberte bod ((0, 0) ) nachádzajúci sa v jednej z oblastí vytvorených grafom v kroku 1.
3) Vyskúšajte bod ((0, 0) ) v nerovnosti dosadením x za 0 a y za 0 v nerovnosti, ktoré chcete vyriešiť:
[0 gt (0) ^ 2 - 2 (0) - 3 ]
Zjednodušiť
(0 gt - 3 ): je to pravdivé tvrdenie
Sada riešení je oblasť obsahujúca bod (0, 0) fialovej oblasti zobrazenej nižšie. Pretože nerovnosť je „striktne väčšia ako“ (na rozdiel od „väčšia alebo rovnaká“), grafy sú prerušené.

.


Rajasthan Board RBSE Class 10 Matematika Kapitola 4 Lineárna rovnica a nerovnosti v dvoch premenných Ex 4.1

Otázka 1
Porovnaním [latex] frac < _ <1 >> < _ <2 >>, frac < _ <1 >> < _ <2 >> [/ latex] a [latex] frac < _ <1 >> < _ <2 >> [/ latex] nájsť,
či je nasledujúci pár (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc konzistentný alebo nekonzistentný.
(i) 2r & # 8211 3y = 8 4c & # 8211 6y = 9
(ii) 3x & # 8211 y = 2 6x & # 8211 2y = 4
(iii) 2x & # 8211 2y = 2 4x & # 8211 4y = 5
(iv) [latex] frac <4> <3> [/ latex] + 2r = 8 2x + 3r = 12
Riešenie:
(i) Uvedená lineárna dvojica rovníc
23 & # 8211 3y = 8 alebo 2x & # 8211 3y & # 8211 8 = 0
a 4x & # 8211 6y = 9 alebo 4x & # 8211 6y & # 8211 9 = 0
Porovnanie vyššie uvedených rovníc pomocou a1 x + b1y + c1a a2 x + b2 y + c2 = 0,
a1 = 2, b1 = & # 8211 3, písm1 = – 8
a a2 = 4, b2 = & # 8211 6, písm2 = – 9.
[latex] frac <
_ <1 >> < _ <2 >> = frac <2> <4> = frac <1> <2>, frac < _ < 1 >> < _ <2 >> = frac <-3> <-6> = frac <1> <2>, frac < _ <1 >> < _ < 2 >> = frac <-8> <-9> = frac <8> <9> [/ latex]
∴ [latex] frac <
_ <1 >> < _ <2 >> = frac < _ <1 >> < _ <2 >> neq frac < _ <1 >> < _ <>> [/ latex]
∴ Daný lineárny pár nemá riešenie.
Daný lineárny pár je teda nekonzistentný.

(ii) Uvedená dvojica (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc
3x & # 8211 r = 2
alebo 3x & # 8211 y & # 8211 2 = 0 & # 8230 (i)
a 6x & # 8211 2y = 4
alebo 6x & # 8211 2y & # 8211 4 = 0
alebo 3x & # 8211 y & # 8211 2 = 0 & # 8230 (ii)
Porovnanie rovníc (i) a (ii) pomocou a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0
a1 = 3, b1 = -1 a c1 = -2
a a2 = 3, b2 = -1 a c2= -2

Lineárny pár je náhodný, takže (RBSESolutions.com) má lineárny pár nekonečné riešenia.
Takto daná dvojica je konzistentná.

(iii) Daný lineárny pár
2x & # 8211 2r = 2
alebo 2x & # 8211 2y & # 8211 2 = 0
alebo x & # 8211 y & # 8211 1 = 0 & # 8230 (i)
a 4x & # 8211 4y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (ii)
Porovnanie rovníc (i) a (ii) pomocou a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0
a1 = 1, b1 = -1 a c1 = -1
a a2 = 4, b2 = -4 a c2= -5

Daný lineárny pár nemá riešenie.
Takto daný lineárny pár je nekonzistentný.

(iv) Uvedený (RBSESolutions.com) lineárny pár
[latex] frac <4> <3> [/ latex] x + 2y = 8
[latex] frac <4> <3> [/ latex] x + 2r & # 8211 8 = 0 & # 8230 (i)
a 2x + 3r = 12
2x + 3r & # 8211 12 = 0 & # 8230 (ii)
Porovnanie rovnice (i) a (ii) pomocou dvojice a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0

Daný lineárny pár má nekonečné riešenie, takže lineárny pár je konzistentný.

Otázka 2
Vyriešte nasledujúcu dvojicu (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc graficky a napíšte podstatu riešenia.
(i) x + y = 3 3x & # 8211 2y = 4
(ii) 2x & # 8211 y = 4 x + y = -1
(iii) x + y = 5 2x + 2y = 10
(iv) 3x + y = 2 2x & # 8211 3y = 5
Riešenie:
(i) Uvedený lineárny pár
x + y = 3
x + y -3 = 0 a # 8230. (i)
3x & # 8211 2y = 4
3x & # 8211 2y & # 8211 4 = 0 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (ii)
Porovnanie rovnice (i) a (ii) pomocou dvojice a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0
a1 = 1, b1 = 1 a c1 = -3
a a2 = 3, b2 = -2 a c2= -4

Lineárny pár má (RBSESolutions.com) jedinečné riešenie.
Lineárny pár je teda konzistentný.

Grafická metóda:
Rovnicou (i),
x + y = 3
x = 3 & # 8211 r
Ak dáte y = 0, x = 3 & # 8211 0 = 3
Ak dáte y = 1, x = 3 & # 8211 1 = 2
Ak dáte y = 2, x = 3 & # 8211 2 = 1
Tabuľka 1 pre rovnicu (i),

Tabuľka 2 pre rovnicu (ii),

Vložte body tabuľky (1) a (2) na graf (RBSESolutions.com) a spojením týchto bodov získate dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé, že v bode P (2, 1) sa prerezali dve priame čiary. Preto je požadované riešenie x = 2 a y = 1.

(ii) Daný lineárny pár
2x & # 8211 r = 4
2x & # 8211 y & # 8211 4 = 0 & # 8230 .. (i)
x + y = -1
x + y + 1 = 0 a # 8230. (ii)
Porovnanie (RBSESolutions.com) rovnice (i) a (ii) lineárnym párom
a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0

Lineárny pár je konzistentný, čo bude mať jedinečné riešenia.

Grafická metóda:
Rovnicou (i),
2x & # 8211 r = 4
Dajte x = 0, 2 x 0 a # 8211 y = 4
y = -4
Dajte x = 1, 2 x & # 8211 y = 4
-y = 4 & # 8211 2
Dajte x = 2, 2 x 2 & # 8211 y = 4
4 & # 8211 y = 4
y = 0

Rovnicou (ii),
x + y = -1
Dajte x = 0. 0 + y = -1
y = -1
Dajte x = 1, +1 + y = -1
y = -1 & # 8211 1
y = -2
Uvedenie x = 2,
2 + y = -1
y = -3

Vynesením bodov (RBSESolutions.com) z tabuliek 1 a 2 získame dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé, že obe priame čiary sa navzájom prerezávajú v bode P (1, & # 8211 2).
Teda x = 1, y = & # 8211 2 sú požadované riešenie

(iii) Daný lineárny pár:
x + y = 5 alebo x + y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (i)
2x + 2r = 10 alebo 2x + 2r & # 8211 10 = 0 & # 8230 & # 8230 .. (ii)
Porovnanie vyššie uvedeného páru (RBSESolutions.com) so všeobecným lineárnym párom
a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0

∴ Čiary predstavované lineárnym párom budú zhodné a lineárny pár bude mať nekonečné riešenia.
Daný lineárny pár je teda konzistentný.

Grafická metóda:
Rovnicou (i),
x + y = 5
⇒ x = 5 & # 8211 r
Ak dáte y = 0, x = 5 & # 8211 0 = 5
Ak dáte y = 3, x = 5 & # 8211 3 = 2
Ak dáte y = 5, x = 5 & # 8211 5 = 0

Spojením (RBSESolutions.com) bodov A (5, 0), B (2, 3) a C (0, 5) na milimetrovom papieri.
Dostaneme priamku, ktorá označuje rovnicu x + y = 5.
Rovnicou (ii),
2x + 2r = 10
⇒ 2 (x + y) = 10
⇒ x + y = 5
⇒ x = 5 & # 8211 r
Ak dáte y = 0, x = 5 & # 8211 0 = 5
Ak dáte y = 2, x = 5 & # 8211 2 = 3
Ak dáte y = 5, x = 5 & # 8211 5 = 0

Spojením bodov (RBSESolutions.com) A (5, 0), 8 (3,2) a C (0, 5) na milimetrovom papieri dostaneme priamku, ktorá označuje rovnicu 2x + 2y = 10.

Z grafu je zrejmé, že daná dvojica lineárnych rovníc je náhodná. Preto majú nekonečne veľa riešení.

(iv) Uvedená dvojica (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc
3x + y = 2 alebo 3x + y & # 8211 2 = 0
2x & # 8211 3y = 5 alebo 2x & # 8211 3y & # 8211 5 = 0 & # 8230 (ii)
Porovnanie rovnice (i) a (ii) pomocou páru
a1x + b1y + c1 = 0 a a2x + b2y + c2 = 0

Takto daná rovnica bude mať jedinečné riešenia.
∴ Daná dvojica je konzistentná.

Grafická metóda:
Rovnicou (i)
3x + y = 2
y = 2 & # 8211 3x
Dajte x = 0, y = -3 x 0
y = 2
Uvedenie x = -1, y = 2 & # 8211 3 x (-1)
y = 2 + 3
y = 5

Z tabuľky (1) arid (2) vyneste body na grafický papier (RBSESolutions.com) a ich spojením získame dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé, že sa v bode P (1, & # 8211 1) pretínajú dve priame čiary.
Preto je požadované riešenie x = 1 a y = & # 8211 1.

Otázka 3
Vyriešte nasledujúcu dvojicu lineárnych rovníc (RBSESolutions.com) graficky a vyhľadajte súradnice týchto bodov, kde čiary predstavované týmito rezmi zodpovedajú osi y.
(i) 2x & # 8211 5r + 4 = 0 2x + y & # 8211 8 = 0
(ii) 3x + 2 = 12 5x & # 8211 2y = 4
Riešenie:
(i) Daná dvojica lineárnych rovníc
2x & # 8211 5r + 4 = 0 & # 8230 (i)
a 2x + y & # 8211 8 = 0 & # 8230 (ii)
Z rovnice (i),

Rovnicou (ii),
2x + y & # 8211 8 = 0
alebo y & # 8211 2x + 8 = 0
Dajte x = 4, y = & # 8211 2 x 4 + 8
= -8 + 8
= 0
Dajte x = 3, y = & # 8211 2 x 3 + 8
= -6 + 8
= 2
Dajte x = 2, y = & # 8211 2 x 2 + 8
= -4 + 8
= 4

Vyneste body (RBSESolutions.com) z tabuľky (1) a (2) do grafu.
Spojením týchto bodov sa získajú dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé, že sa v bode P (3, 2) pretínajú dve priame čiary.
∴ Vyžadované riešenia sú x = 3 a y = 2
a dve priame čiary prerezávajú os y na (0, 0,8) a (0, 8).

(ii) Uvedená dvojica (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc
3x + 2r = 12 & # 8230 (i)
a 5x & # 8211 2y = 4 & # 8230 (ii)
Z rovnice (i),
3x + 2r = 12


Body z tabuľky (RBSESolutions.com) (1) a (2) vykreslite na milimetrový papier. Spojením týchto bodov sa získajú dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé, že sa v bode P (2, 3) pretínajú dve priame čiary.
∴ x = 2 a y = 3 sú požadované riešenia a dve priame čiary prerezávajú os y na (0, 6) a (0, & # 8211 2).

Otázka 4
Nasledujúcu dvojicu (RBSESolutions.com) lineárnych rovníc riešte graficky a nájdite súradnice takto vytvoreného trojuholníka s osou y a čiarami.
4x & # 8211 5y = 20,
3x + 5r = 15
Riešenie:
Daná dvojica lineárnych rovníc
4x & # 8211 5y = 20 & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. (i)
a 3x + 5r = 15 & # 8230 & # 8230 & # 8230 (ii)
Z rovnice (i),
4x & # 8211 5y = 20
5y = 4x & # 8211 20


Body získané z (RBSESolutions.com) tabuľky (1) a (2) sa vynesú na milimetrový papier. Spojením týchto bodov sa získajú dve priame čiary.

Z vyššie uvedeného grafu je zrejmé (RBSESolutions.com), že dve priamky sa pretínajú navzájom v bode P (5, 0)
∴ x = 5 a y = 0 sú požadované riešenie.
(0, 3), (0, & # 8211 4) a (5, 0) sú súradnice vrcholov ΔABP tvorené dvoma priamymi čiarami na osi y & # 8211.

Dúfame, že vám dané riešenia RBSE pre matematiku triedy 10, kapitola 4, Lineárne rovnice a nerovnosti v dvoch premenných, Ex 4.1, pomôžu. Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa rady Rádžasthán RBSE triedy 10 Matematika Kapitola 4 Lineárna rovnica a nerovnosti v dvoch premenných Cvičenie 4.1, umiestnite komentár nižšie a my sa vám ozveme najskôr.


3.4: Lineárne nerovnosti v dvoch premenných - matematika

Používatelia služby Bing našli včera našu webovú stránku pomocou týchto výrazov algebry:

  • činiteľ zjednodušenia faktoringovej rovnice
  • chemické testy na stiahnutie vo formáte PDF
  • Pomocník pre lineárny riešiteľ TI-89
  • vyhodnocovanie rovnicových programov ti83
  • porozumenie algebry 1 bezplatné pracovné listy
  • ako zoradiť zlomky a desatinné miesta od najmenších po najväčšie
  • Druhé odmocniny premenných výrazov
  • to 83 kalkulačka
  • prevod zlomkov, desatinných miest, percentuálnych podielov pracovných listov piateho ročníka
  • Križovacie grafy TI-86
  • najťažší matematický test na svete
  • ako zjednodušiť výrazy
  • euklidovský algoritmus vysvetlenie lineárnych rovníc gcd
  • frakcie a postup s desatinným sčítaním
  • & bezplatná online kalkulačka TI 83 & quot
  • kalkulačka algebry zadarmo online
  • druhá odmocnina zjednodušovanie a kombinovanie
  • Nerovnosti 5. ročníka
  • & zošity 7. ročníka & quot
  • TLAČITEĽNÉ ČINNOSTI PRE POMALÉHO UČITEĽA
  • matematické básne
  • odpovede na formu algebry
  • kto vynašiel algebru
  • jednoduchý test z matematiky online
  • bezplatný ebook o výučbe v Matlabe
  • Otázky a odpovede na test spôsobilosti
  • množiace sa zlomky
  • radikálne rovnice „interaktívne“
  • faktor algebry polynomická druhá odmocnina
  • algebra 2 matematické spravodlivé projekty
  • kalkulačka faktoringových rovníc
  • tretie triedy tlačiteľné pracovné listy
  • online substitučná kalkulačka
  • ks3 testovací papier na stiahnutie
  • online faktorizácia
  • najťažšie matematické vedomosti?
  • deliace polynomíny
  • faktor v polynominálnom
  • riešenie simultánnych rovníc algebrou parabola a priamka
  • bezplatné triky na riešenie problémov s GMAT
  • bezplatné pridávanie celých pracovných listov
  • Pracovný zošit Prentice Hall Matematika geometria, Florida
  • tretie otázky - maličkosti
  • maličkosti - slovné úlohy pre žiakov 5. ročníka
  • vyriešiť matlab rovnice
  • ako naprogramovať strieborné vydanie ti-84 s kvadratickým vzorcom
  • hárky geometrie prvého stupňa
  • písomky na skúšky z matematiky ks3
  • tvrdé algebrické otázky
  • príklady trigonometrické slovné úlohy
  • voľný pomerový list
  • test saskej matematiky 87 druhé vydanie 17, formulár A
  • ako prevádzate parabolové rovnice
  • Sprievodca zaznamenávaním online algebry 1 McDougal Litell
  • básne z matematiky
  • cvičná sála pre-algebry cvičná pracovná kniha
  • riešiteľ problému: prevod dĺžky v úvodnej algebre
  • vynútené diferenciálne miesto
  • výučba celých čísel
  • Faktor zmenšenia papiera Gcse
  • výpočty pre fyziku online
  • Algebra jedna superhviezdy 3
  • celočíselné pracovné listy
  • ks3 matematické úlohy
  • matematická hra ako zelené guľôčky
  • Skript vzorcov stredného bodu TI-83
  • riešenie algebraických rovníc pomocou riešiteľa programu Excel
  • ti-89 heaviside
  • SAT testy 6. ročníka
  • tvorba najväčších spoločných programov deliteľa pre kalkulačku TI-83
  • sčítanie a odčítanie kladných a záporných čísel
  • súradnicové grafické obrázky
  • previesť desatinné číslo na zlomok
  • mriežkové pracovné listy
  • dokončenie štvorca .pdf
  • zjednodušujúce exponenty
  • pridanie na rozdiel od výrazov (radikály a celé čísla)
  • kalkulačka tvaru interceptu
  • stiahnuť test spôsobilosti
  • odpovede na príručku študijného sprievodcu koncepčnou fyzikou
  • skúška pred algebrou
  • javor pomáha vykresľovať postupnosť bodov v rovine
  • trigonometrické polynómy MATLAB kód
  • bezplatné tlačiteľné pracovné listy so zlomkami triedy 5
  • ako grafovať záznam ti 89
  • Pracovné listy pre matematiku 6. ročníka zadarmo
  • matematické básne
  • faktorová matematická kalkulačka
  • heath algebra 1 odpovedí
  • matematické pracovné listy 3. stupňa
  • softvér riešenia algabra
  • vynálezca Kvadratickej formule
  • dokonalá trojkomorová funkcia sqaure
  • algebretická kalkulačka
  • permutačný materiál pre GRE
  • algebraický cvičný faktor druhá odmocnina
  • ako riešiť rovnice s dvoma premennými
  • ako nájsť druhú odmocninu čísla bez kalkulačky
  • znásobenie racionálneho prejavu
  • limity postupnosti riešiteľa kalkulačky
  • Gruzínsko stredná škola americká literatúra zverejnená odpoveď na testovaciu brožúru
  • substitučná metóda algebra
  • riešiteľ algebry
  • & quot; Program racionálnych výrazov, ti-83 & quot
  • projekt polinomials
  • mechanika proplemovej tekutiny
  • algebra matematika ppt
  • logaritmický riešiteľ
  • vyriešiť rovnicu zlomkov
  • celočíselná prax
  • tlačiteľné listy základnej pravdepodobnosti
  • riešenie radikálov
  • ako riesit kvadraticke rovnice s kruhmi?
  • algebra ti 89
  • najmenej spoločné pracovné listy
  • definície algebry stredná škola
  • matlab riešenie sumačných rovníc
  • korene + radikály + ti-83
  • Príklad matematických drobností
  • násobenie dvojčlenov holt predalgebrická lekcia 13-6
  • & quotcollege prípravná matematika 1 & quot
  • sťahovať numerické metódy
  • vzorový dotazník pre CA 4. ročník
  • odpovede na matematický sklon
  • Math problems.com
  • školské listy 10 pracovných listov
  • zadarmo pridávanie zlomkov list
  • čo znamená dvojitá zátvorka v alžírsku
  • Excel prevádza zlomok na desatinné miesto
  • Pracovný list Eliminácia Gauss
  • diskriminačný ppt
  • list násobiteľa
  • matematické rovnice - maličkosti
  • permutácia a kombinácia
  • diskrétna matematika a jej aplikácie Sprievodca zdrojmi inštruktora & bezplatné stiahnutie & quot
  • bezplatné pracovné listy na sčítanie a odčítanie celých čísel
  • úlohy z lineárnej rovnice
  • počítanie percent na TI-83
  • & quotmaths problémy primárne & quot
  • desatinné pracovné listy
  • zjednodušujúca kalkulačka / pre matematiku
  • TI-84 plus sa sťahuje kvadraticky
  • Bezplatné riešenie problémov pre logaritmické funkcie
  • ti 83 inžinierskych vzorcov
  • Pomocník fyziky Robte problém s pracovnou funkciou
  • riešenie zložitých zlomkov
  • druhá odmocnina zlomkov
  • zjednodušenie druhej odmocniny exponenty radikály
  • sčítanie a odčítanie desatinných pracovných listov
  • sčítanie matematiky
  • Ross a kvóta prvý kurz v pravdepodobnosti & quot hacku
  • stránky s cvičením na násobenie mriežky
  • alegbra intro pattern ppt
  • súčty algebry
  • riešiteľ druhej odmocniny
  • zadarmo iq test prvého stupňa
  • zmiešané číslo ako desatinné číslo
  • anglicko-gramaticky-pracovny list
  • Výtlačky z matematiky pre 3. ročník
  • test mcdougal littell pred algebrou
  • výrazy s druhou mocninou a druhou odmocninou
  • bezplatná revízia online pre matematiku
  • matematické úlohy zlomky, desatinné čísla, percentá
  • McDougalské matematické knihy odpovedajú
  • pizzazz matematika odpovedá na strednú školu
  • lineárne algebry bretscher domáce úlohy riešenia
  • jednoduchý spôsob nahrávania vzorcov do TI-86
  • ľahký spôsob, ako nájsť faktoriál pomocou mentálneho výpočtu
  • java code bin & aumlr dezimal
  • súčet príklad v Jave
  • účtovné knihy zadarmo
  • kroky na zjednodušenie boolovských rovníc
  • eliminácia menovateľov vysokoškolská algebra
  • online faktorizácia
  • pracovné listy s prvočíslami a druhou odmocninou
  • video prednáška matematika
  • matlab vyriešiť algebraickú rovnicu
  • Vyriešené veľké matematické problémy
  • pizzazz odpovede
  • matematika z 10. algebry
  • trigonometrický problém preukazujúci totožnosť
  • online kvízy pred algebrou 7. ročníka
  • tsaioun
  • zlomok ks2
  • ks3 matematické slovné úlohy
  • najpredávanejšie knihy strednej algebry
  • konať problémy s tlačiteľnou algebrou
  • algebra.swf
  • Algebra 2: Integrácia, aplikácie, spojenia
  • Kvadratické rovnice C ++
  • elementárna algebra
  • Pracovné listy algebry 5. ročníka
  • algabra (rovnice)
  • riešenie koreňov polynomu C ++
  • britská metóda faktoringu
  • kalkulačka deliacich zlomkov
  • Polynomiálna kalkulačka 3. rádu
  • algebraický faktoring je jednoduchý
  • stiahnuť manuály riešení vedecké výpočty HEATH
  • mcdougal littell algebra 2 učebnicové odpovede
  • pracovných hárkov o pridávaní celých čísel
  • riešiteľ rovnice elipsy
  • riešiteľ viacerých rovníc
  • faktorizácia ti-83
  • vypočítať logaritmus 2 na TI-89
  • graf desatinného miesta
  • vysoká škola algrebra
  • vysvetlite exponenciál i v jazyku c
  • lineárna alebo nelineárna rovnica 8. ročník
  • bezplatné testy algebry
  • knižný test geometrie knihy mcDougal
  • pracovný hárok na sčítanie a odčítanie celých čísel
  • sol testy voľný tréning pre 3. ročník
  • ks2 anglicky sats zadarmo papiere
  • premena desatinnej čiarky na zlomok
  • papiere na skúšky
  • 5. STUPEŇ LCD
  • algebra, vrchol a interceptory
  • jednoduchý spôsob, ako sa naučiť odpočítať celé čísla
  • minulé sat papiere anglicky
  • riešenie nelineárnych sústav rovníc matlab
  • algebra pomáha syntetickému deleniu s imaginárnymi číslami
  • ako vyriešiť kvadratickú rovnicu pomocou matlabu
  • Pracovné listy na testovanie geometrie z matematiky tretej triedy
  • kvadratický vzorec v ôsmich krokoch príklad
  • List základných exponentov základná škola
  • test z odpisovej matematickej praxe
  • pravidlá pre kvadratické rovnice
  • grafická kvadratika online
  • faktorizujte rovnicu online
  • GMAT .ppt
  • mcdougal littell odpovede
  • Kde nájdem odpovede na knihy Holt Algebra 1
  • & quotMaths - Právomoci & quot
  • sklon a priesečník y grafu každej citácie
  • glencoe algebra 1 učebnicových odpovedí
  • & quotpractise papers & quot + ks2 + zadarmo
  • & quotcoordinate plane & quot AND & quotfun worksheet & quot
  • prečo sa používajú bežné menovatele pri sčítaní alebo odčítaní zlomkov
  • programy na riešenie algebry
  • matematické vedomosti v geometrickom rade
  • java ignoruje interpunkciu
  • ako riešiť sústavy rovníc s tromi premennými
  • Precalculus Online Riešiteľ problémov
  • algebra domáce úlohy
  • riešenie zlomkových rovníc
  • matematické rovnice
  • exponentový praktický list
  • parciálna suma na ti84
  • interaktívne kombinovanie podobných výrazov
  • logaritmické cvičenia
  • McDougal Littell Algebra odpovede
  • jednoduchý spôsob, ako robiť percentuálne problémy
  • ako riešiť logaritmy
  • príklad excel vb kódy pre dvojité sčítanie
  • riešenie wronskian
  • hala prentice matematika geometria podvádzať
  • t-83 manuál
  • matematická prax 7. ročníka
  • Matematické úlohy s extrapoláciou 7. ročníka
  • množenie a rozdeľovanie hier
  • slovné úlohy zlomky piateho ročníka
  • chyba & quotforgotten algebra & quot
  • ako rozdeliť radikálne rovnice
  • pracovný list o racionalizácii radikálov
  • algebraické factoringové vzorce
  • ľahké súčty algebry online
  • vzorec pre inverzné percentá
  • Písomky na skúšku KS2
  • lineárna a kvadratická rovnica
  • Automatický faktor
  • zošit pred algebrou / algebrou
  • vzorec pre koláčové grafy
  • matematické kvízy pre 9. ročník
  • násobenie a delenie celých čísel + pracovný list
  • ako zmeniť desatinné číslo na číslo mixu
  • zadarmo online obsah vedeckej kalkulačky a premenná
  • doklady o spôsobilosti
  • matematická rovnica
  • aký stupeň je algebra v kanade
  • nehomogénny druhý rád
  • zábavný pomer a rýchlosť tlačiteľných lekcií matematiky
  • & quotamerické školské odpovede & quot
  • Lineárny rád druhého rádu
  • vzorec + druhá odmocnina
  • fóliová metóda + kód vb6
  • CAT (spoločný test spôsobilosti) (pdf)
  • štatistický vzorec TI-83 pravdepodobnosť
  • prentice hall algebra 1 podvádzať odpovede
  • ks2 sats papiere
  • Matematické skúšky z KS2
  • Pridanie kalkulačky celých čísel
  • pracovné listy matematických výrazov
  • objednávanie frakcií zdarma pre tlač do tretieho stupňa
  • exponenciálne úlohy + príklady
  • matematika FÓLIA
  • trigonometrický graf
  • percentuálne vzorce
  • Kalkulačka kvadratického faktoringu
  • zmiešanie problému v matematike s odpoveďou a riešením
  • podvádzanie domácich úloh
  • previesť zmiešané číslo do desatinnej kalkulačky
  • Kniha odpovedí na Kumonovu matematiku
  • najmenej spoločný faktor
  • Algebra + aplikácie + softvér
  • deti mathalgebra
  • ebook algebra
  • kvadratický pre ti-84 +
  • algebra v našom každodennom živote
  • Stiahnutie & quotMathType 5.0 & quot
  • diferenciálne rovnice druhého rádu matlab
  • Pracovné listy konverzného faktora + piaty ročník
  • exponenty polynomiálnej kalkulačky
  • vyriešiť matrice excelovať
  • pracovné listy s druhou odmocninou
  • online caculater
  • matematické cvičenia pre gr8
  • riešenie rovnice 3. rádu
  • percentuálne zloženie chémie pre figuríny
  • pracovný list s hodnotením inverzných triggových funkcií
  • pracovné listy so štvorcovými koreňmi
  • matematika
  • Ako nájdem najmenší spoločný násobok polynómu
  • pomerové manipulatívy
  • nájdite vlastné čísla s ti 89
  • & quot; Matematické pracovné listy & quot;
  • Zadarmo cvičné listy pre štvrtý ročník
  • riešitelia matematiky racionálne výrazy
  • riešenie 3. mocenského kvadratického
  • zlomkové drobnosti
  • POSLEDNÉ PAPIERE SATS SCIENCE S ODPOVEDAMI
  • začiatočnícka algebra
  • permutácia a kombinované cvičenie
  • komplexné výrazy s radikálovými exponentmi
  • Kvadratický vzorec pre kalkulačky TI-84 Plus
  • bezplatná učebnica algebry online (8. ročník)
  • vypočítať exponent c #
  • glencoe algebra 1 odpovede zošita
  • začiatočnícka algebra
  • matematické faktory
  • listy s domácimi úlohami pre študentov
  • základňa guľatiny 10 papier
  • simultánne rovnice trigonometria
  • powerpointová prezentácia pre 7. ročník - matematické výpočty
  • Matematické pracovné listy yr 7
  • algebra 9. ročník
  • algebraický koláč
  • Hárok odpovedí McDougal Littell
  • matlab vyriešiť rovnicu v zmysle
  • príklad matematických drobností
  • zjednodušenie radikálnych zlomkov delením
  • trik na nájdenie najväčšieho spoločného faktora
  • vyriešiť vyplnením kalkulačky štvorcového trojuholníka
  • riešiteľ matematických úloh
  • riešitelia algebry
  • alg. 1 pracovné listy 9. ročníka
  • Stiahnutie knihy nákladového účtovníctva zadarmo
  • riešenie druhej odmocniny + 6. ročník
  • riešiteľ alebra
  • riešenie prevodu algebraických rovníc
  • kto vymyslel pojem interpolácia?
  • vysokoškolská algebra pre figuríny
  • zadarmo sats science ks3 papiere
  • sčítací program ti 83
  • lu rozklad ti 83 program
  • ks2 minulé papiere
  • online integrálny riešiteľ
  • pracovné listy s najmenším spoločným menovateľom, stupeň 4
  • Odpovede na geometriu CPM
  • otázka z matematiky ks3
  • kalkulátor diferenciálnej tlakovej odmocniny
  • domáca úloha helper.com
  • pdf vysvetlite exponenciál i v jazyku c
  • ako učiť simultánne rovnice
  • pridávanie pracovných listov racionálnych výrazov
  • frakčné radikály zjednodušené
  • ch 10 holt algebra 1 cvičný problém
  • matika surds základná
  • flash karty ks3 sats revízia
  • geometrický vzorec cheat sheet na stiahnutie
  • trigonometrická grafika
  • triky a tipy kognitívneho lektora Algebra I
  • algebraické úlohy pre šiesty ročník
  • racionalizovať riešiteľa menovateľa
  • math poems.com
  • Korene reálnych čísel
  • ti-84 plus faktor 10
  • bezplatné odpovede na algebru s prácou
  • Algebra Math Domáce pomocník
  • sčítanie, subtratovanie, násobenie reálnych čísel
  • Program pomoci Algebra 2
  • matematické cheaty
  • MOJA CALCULATOR.COM ZDARMA
  • Bezplatný programový kód TI-83
  • sála prentice matematika 9-6
  • ti-89 premena miesta
  • graf zachytávajúci sklon zachytávajúci formulár
  • celočíselné ďalšie cvičné listy 8. triedy
  • algebra 1 cvičenie Majstrovské úrovne A
  • algebra s pizzazzom
  • jednotkový kruh trigonomické funkcie
  • prevod opakujúcich sa desatinných miest na kalkulačku zlomkov
  • & quot; ľahká algebra & quot
  • rovinné trigonometrické formulované problémy
  • Hárky desatinných rovníc
  • precvičovanie empirického vzorca
  • riešiť radikálne výrazy
  • www.testy a trivias.com
  • simultánny riešiteľ rovníc
  • merrill fyzika 20 odpoveď kľúč
  • riešiteľ deliacich algebraických zlomkov
  • & quotcalifornia matematické knihy & quot
  • Základná konverzia TI 89
  • stromový diagram list 10. ročník matematika
  • objektívna + matematická otázka
  • pridanie radikálov online kalkulačka
  • zjednodušiť logický vzorec online
  • Pracovný zošit pred algebrou
  • súradnicové grafy
  • Vytlačte hárok algebry s 1 faktorom
  • mathtype na stiahnutie zadarmo
  • Mcdougal Littell / Houghton Mifflin učebnice matematiky pre deviate ročníky
  • riešenie rovníc algebraických zlomkov znakom =
  • sústavy rovníc tri premenné
  • Precvičovanie matematických úloh z 5. ročníka gcf online zadarmo
  • pracovný list Kumon
  • matematické vedomosti a ich odpovede
  • Algebra podvádza
  • pracovný hárok súradníc grafického umenia
  • Pomoc 5. algebre
  • Rozdiel medzi rovnicami s jednou premennou a rovnicami s dvoma premennými
  • Algebátor
  • riešenie polynomiálnych rovníc viacerých premenných v matlabe
  • javor vyriešiť nelineárne
  • trojuholníkové cvičenie rovnosti osem
  • kalkulačka-druhá odmocnina
  • zábavné anglické pracovné listy ks3
  • alebra história
  • množiť a deliť racionálne výrazy
  • ti-85 manuálna základňa guľatiny 2
  • zlomky desatinných až binárnych čísel
  • odpovedá chémia mojich zručností lektora
  • IT spôsobilosť otázka a odpoveď
  • riešenie algebraických zlomkov
  • mathtype & quotfree stiahnutie & quot
  • Zadarmo súradnicové lietadlo MODEL
  • Spúšťacie programy kalkulačky TI-82
  • algebra s druhou odmocninou
  • online odpovedá zlomková matematická kalkulačka
  • úspora pre kalkulačky & quot-83 & quot
  • Praktická kniha matematiky pre 5. ročník z Kalifornie matematika od Scotta Foresmana
  • stiahnuteľné bezplatné dokumenty
  • nauč ma ako pridávať zlomky s rozdielnymi menovateľmi
  • online kalkulačka s viacerými rovnicami
  • výpočet inverzného protokolu ti 89
  • praktický softvér gmat
  • skúška spôsobilosti na stiahnutie
  • ebooky o účtovníctve na strednej škole
  • kontrola desatinných čísel v jave
  • zadarmo na stiahnutie knihy úvah aptitude a amp
  • doména a rozsah čísel absolútnych hodnôt
  • Doučovanie pre Algebru CLEP v Dallase TEXAS
  • pridanie celého čísla
  • stiahnuteľná kalkulačka s funkciami trigonometrie
  • študijný program D matematické úrovne
  • algebra, precvičovanie, zápis rovnice v celočíselnom tvare
  • kľúč odpovede pre knihu algebry B.
  • sčítanie a odčítanie racionálnych čísel (pracovný list)
  • zadarmo pre tlač do tretej triedy
  • REŽIM V MATEMATIKE
  • program kvadratickej rovnice ti-83
  • percentuálne matematické vzorce
  • riešenie pracovných listov s dvojkrokovými rovnicami pomocou kľúča odpovede
  • vzorky vopred pripravených vzorcov programu Excel
  • začínajúce hry pred algebrou pre žiakov 4. a 5. ročníka
  • pomoc s ks2 mat hs
  • diferenciálne rovnice: formulované úlohy
  • Softmath
  • pomocou najmenšieho spoločného menovateľa s algebrou 2
  • riešiteľ zachytávania svahov online
  • predalgebrická učňovská sála
  • učebné plány pre algebru vzorcov druhého stupňa
  • Algebátor
  • jednoduchý dlhý kalkulačka
  • kalkulačka spoločného menovateľa
  • riešenie exponenciálnych rovníc tvoriacich rovnaké základy
  • pomoc s výpočtom druhej odmocniny
  • pridanie racionálnych výrazov
  • algebra 1 domáca úloha pomôcť faktoring
  • zadarmo saské prázdne odpoveďové hárky
  • zmena usporiadania pracovných hárkov algebraických výrazov
  • algebra dlaždice pdf
  • excel zadarmo domáce pracovné listy
  • prihlásiť casio & quotbase 2 & quot
  • matematické maličkosti
  • otázky spôsobilosti s odpoveďami
  • tlačiteľné percentuálne pracovné listy 5. ročníka
  • kniha nákladového účtovníctva
  • matematické & quotslope slovné úlohy & quot
  • ti-83 debugger na stiahnutie zadarmo
  • riešiť kónické rovnice
  • softvér algebry online
  • diferenciácia exponenciálnych funkcií obsahujúcich trigonomické identity
  • Úroveň 6-8 SATS podľa matematického papiera
  • lineárny online tlač
  • pracovný list algebry 9. ročníka
  • matematické štandardné formy pracovných hárkov powerpointy
  • Polynomiálna online kalkulačka 3. rádu
  • www.softmath.com/algebra_stats5/ALGABRAIC-RULES.html
  • www.aaamath.com.
  • matematické zlomky
  • PRÍKLADY ROZMnožovania radikálov
  • dolciani matematika
  • previesť zlomok na decemial
  • aplikácie na riešenie algebry pre ti84
  • modul strednej algebry
  • Pracovné zošity McDougal Littell Science
  • aplikácie algebry
  • online exponentová kalkulačka
  • otázky týkajúce sa schopnosti tlače
  • programovanie kvadratickej rovnice do kalkulačky
  • poznámky na útese precalc, pomoc s elipsami a kužeľovitosťou
  • riešitelia radikálnych výrazov algebry
  • Ľahšie spôsoby vysvetlenia logaritmov
  • zjednodušenie, sčítanie a odčítanie radikálov
  • definícia: metóda delenia na nájdenie L.C.M.
  • kalkulačka t-83
  • online algebraická kalkulačka
  • ti 89 previesť na desatinné miesto
  • ukážka testu matematickej schopnosti
  • program kvadraticky vzorec ti 83
  • racionálny riešiteľ výrazov
  • pracovný hárok zlomkov a objednávok & quot
  • test algebry verejné stredné školy yr 8
  • hárok s algebrou pre ľahké tréningy
  • nelineárny riešiteľ matlab
  • Zlomky k percentám na kalkulačke ti-83
  • Riešenia Rudin Pdf
  • sústava rovníc na TI-89: Gauss-Jordanova metóda
  • najlepší softvér na prípravu na test umiestnenia z matematiky na vysokej škole
  • Faktoring poznámok strednej algebry
  • 6 matematických pracovných listov
  • nauč sa algebru
  • ti-89 boolean
  • riešenie nelineárnych rovníc matlab
  • kód Java a výpočet pravdepodobnosti & quot
  • & quothow naprogramovať TI-84 plus & quot
  • Pracovné listy PICTOGraph
  • štruktúra / metóda mc dougal litell algebry
  • zvyšovanie počtu na zlomky koreňov
  • online lektor algebry 2
  • odpovede pre algera
  • kvadratické simultánne rovnice s odpoveďami
  • Kľúč odpovede na modernú chémiu Kapitola 10
  • nákladové účtovníctvo + stiahnutie
  • vysvetlite, ako spolu súvisia sčítanie a odčítanie
  • online druhá odmocnina kalkulačka
  • pracovné listy algebraických funkcií
  • logaritmické činnosti
  • algebra 2 pravdepodobnosť
  • ľahké výpočty svahov
  • rozdiel medzi hodnotením a zjednodušením
  • aký je najväčší faktor pre 334?
  • tlačiteľné pracovné listy na vyvažovanie algebraických rovníc na strednej škole
  • kvadratický vzorec na kocky
  • zlomok potlače
  • pomocou ti 89 robiť triggové problémy
  • program pomoci algebry
  • trigonomická matematická otázka
  • algebra program kalkulačka
  • ap fyzika, mechanika tekutín, prednáška
  • STAR Test prípravné listy
  • nerovnosti grafov v exceli
  • problém so vzorkou geometrických parabolov
  • podvádzať cheatov
  • vzorové úlohy v lineárnej rovnici substitúciou
  • plány lekcií - lineárne rovnice
  • & quot; integrovaná matematika 1 & quot; príklady na floride
  • maličkosti z matematiky
  • aplikácia mechaniky tekutín ppt
  • odmocniny a kocky zdarma listy
  • faktoring a diamant
  • logaritmus fomulas
  • otázka matematiky talentu
  • bezplatná domáca úloha pre tlač jednej matematiky
  • hlásitelia holt algebra1
  • Knihy o účtovaní zdarma
  • odpovede na všetky ekvivalentné zlomky
  • aptitude test na stiahnutie
  • kódy pre kalkulačky fénix pre ti
  • plán lekcií so zápornými celými číslami
  • set & quotsecond order & quot diferenciálne rovnice matlab
  • Algebra podvodník & quot
  • McDougall Algebra I
  • bezplatné kanadské ged testy
  • sila algebry
  • odpovede na McDougal Littell Papers
  • Knižné odpovede na algebru
  • hala prentice algebra 1 kalifornia vydanie + chyby odpovede
  • riešiteľ rovníc online pre r
  • percentuálne podiely pracovných hárkov yr 8
  • tlač sat pracovných listov pre druhý stupeň
  • ako zmeniť desatinné miesta na frakciu
  • matematika / koláč
  • harcourt 6. ročník učebnica s výberom celých slovných úloh
  • algebra bezbolestná
  • Napíšte aplikáciu Java Gui na prevod teploty, ktorá prevádza medzi ľubovoľnými dvoma
  • ako vypočítať LCM
  • ti-89 nedefinované
  • bezplatné pracovné listy algebry
  • online factoring
  • matematické drobnosti geometrie
  • bezplatné matematické výpočty online
  • Mat. Zdroje z 9. ročníka SAT
  • online rok 9 sats papers science
  • stredoškolský kurz matematiky 2 strana 89 odpovedí
  • Pracovné listy pre odčítanie 1. stupňa
  • Kalkulačky Texas Instruments - prevádzajte desatinné miesta na zlomky
  • logaritmické krok za krokom
  • použiteľná online kalkulačka Texas Instruments
  • Vzťahové kalkulačky
  • Pracovné listy KS2 na ploche
  • matematické drobnosti
  • koláčový vzorec na desatinné miesto
  • odčítanie ako zlomky pomocou pracovných listov
  • vedecký test 5. stupňa mcgraw-hill
  • kvaratická rovnica
  • ti 83 trikov
  • Matematika predstavuje príklady papierov
  • Matematici Prep Papers Exponenti
  • stiahnutie zadarmo: účtovníctvo ebook
  • zjednodušiť rovnicu kalkulačka
  • ako Faktorovanie polynómov pomocou metódy boxu a diamantu
  • algebra 1 kniha odpovedí
  • Ako zmeniť desatinné miesta na percentá / kalkulačku
  • Najväčší stroj so spoločným faktorom
  • vypočítať koreň kocky bez kalkulačky
  • aký je protokol ľubovoľného čísla na základňu 2 Ti-83
  • sčítanie čiastkových súm
  • Problémy s pomerom 9. ročníka
  • ložiská kompasu zadarmo pracovné listy
  • matematický revízny test pre sats-yr 9
  • riešenie radikálneho výrazu
  • Faktor kalkulačky TI
  • pracovný list pre matematickú trigonometriu pre 10. ročník
  • bezplatné tlačiteľné pracovné listy so slovníkom GED
  • bezplatná matematická odpoveď na domáce úlohy
  • matematické básne
  • ako vyriešiť nelineárnu rovnicu v matlabe
  • matematický induktor
  • lekcie o odhadovaní druhej odmocniny
  • domáca úloha pomôcť algebre 2 protokoly
  • úlohy z algebry (rovnice a vzťahy)
  • ročník 6 Príspevok na skúšku z vedeckej vzorky
  • básne o exponentoch (matematika)
  • fóliový matematický riešiteľ
  • racionalizácia pracovných listov zlomkov
  • pravdepodobnosť permutácie a kombinácie problémov
  • kalkulačka rovníc nerovnosti
  • nájdenie Najnižší spoločný menovateľ
  • matematické papiere zadarmo
  • aptitude otázka + riešenie
  • štatistika elektronických kníh zadarmo pre figuríny
  • operácie s pracovnými listami funkcií
  • Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie celých čísel
  • zjednodušenie a rozdelenie radikálnych výrazov
  • sčítanie a odčítanie činností racionálnych výrazov
  • Texas + Instruments + T89 + kalkulačka
  • inverzný log ti 89
  • celé listy
  • Pracovné listy kvízu so zložitými číslami
  • softvér Algebra Problem Solvers
  • Odpovede na problémy z knihy College Accounting
  • pracovný list faktoringových polynómov
  • algebra maličkosti
  • & pracovné listy & quotalgebra & quot
  • ti 83 plus podvádzací softvér
  • pracovné listy a lekcie o svahu
  • algebra s odpoveďou pizzazz str. 160
  • rozdiel medzi zhodným a podobným tvarom
  • odpovede z matematiky glencoe
  • kroky na pridanie zlomkov s písmenom
  • Pracovné listy s obrázkami a piktogramami 2. stupňa
  • zjednodušenie algebry
  • matematický kvíz o úrovni
  • racionálne exponenty
  • matematický vzorec pre 5. ročník
  • kombinovanie podobných termínových problémov
  • ročník 9 algebry učiť zadarmo stránky
  • previesť čas hodín na stotiny
  • vypočítať faktoriál pomocou Java
  • rozvíjanie zručností v knihe algebry B
  • faktoringové kubíky krok za krokom
  • zadáte svoj problém s algebrou a urobí to za vás online zadarmo
  • príklady drobných otázok z matematiky
  • nájdenie tretieho koreňa
  • interaktívne matematické a citačné algebraické výrazy & quot
  • qudratické rovnice - slovné úlohy
  • účastníkom skúšky z nehnuteľností
  • 11 rokov mat
  • Zoznam matematických vzorcov GMAT
  • gmat ​​vzorec
  • kalkulačka lineárnych rovníc tretieho rádu
  • java & quot; previesť desatinné číslo na zlomok & quot
  • problémy online algebry
  • obrázky hyperboly každodenný život
  • zjednodušenie kvadratických platieb
  • premena desatinných miest na zmiešané čísla
  • príklad funkcie hyperboly v reálnom živote
  • matematické symboly a významy
  • Stiahnutie poznámok z Biology Cliff zadarmo
  • Algebra Foil Method ako ppt
  • TABUĽKA PREMENY SKLONU
  • krížové multiplikačné cvičenia
  • zjednodušenie riešenia zložitých zlomkov
  • matematika pre figuríny
  • bezplatná stránka o tom, ako vyriešiť zlomok algebry
  • najvyšší spoločný faktor + riešenie problémov
  • Algebra Work
  • Lineárna algebra a riešenie domácich úloh aplikácií
  • výhody algebry
  • kľúč odpovede na Úvod do abstraktnej algebry hungerford
  • problémy s kombináciou a permutáciou
  • Matematické pracovné listy z 8. ročníka týkajúce sa objemu
  • algebra 2 odpovede na domáce úlohy
  • zábava s grafom usporiadaných párov
  • radikálna kalkulačka java
  • Zadarmo pracovné listy k pomerom a sadzbám
  • matematika na strednej škole s knihou o pizzazze napr
  • testy pred nástupom do zamestnania
  • vzorce na zisťovanie objemu
  • odpovedzte na brožúru k vizuálnym základom
  • arabské pracovné listy ks3
  • 6013709915533
  • exponentné pracovné listy
  • príklady a riešenia testov spôsobilosti
  • pomoc s domácimi úlohami + TI-83
  • Pi vysvetlil žiakom základnej školy
  • mínus 4 matematické pracovné listy 2. ročník
  • na stiahnutie zadarmo staré skúšky z maturitných skúšok
  • veľké plány lekcie pre výučbu LCM
  • TI-83 plus logaritmická
  • faktoringový trojčlen generátor
  • Algebraické maličkosti
  • trigonometrická kalkulačka druhá odmocnina
  • ako napísať program na riešenie pre x1, x2, pre štvorcový vzorec
  • záporné číslo vynásobené postívnym číslom. NEGATÍVNE ALEBO POZITÍVNE?
  • ks3 matematické rovnice
  • Ak dostanete kvadratickú rovnicu, ako zistíte, ktorú metódu použiť na jej riešenie?
  • grafický kalkulátor faktoringové dvojčleny
  • matematické básne o zlomkových a desatinných básňach
  • algebraické rovnice
  • riesit monomialy
  • Ako vyriešiť problémy s pravdepodobnosťou
  • Grafy rovníc Algebrac
  • online kalkulačka riešiaca odmocniny
  • kalkulačka simultánnych rovníc
  • Excel, bezplatná výučba, pdf
  • Exponent Ti-84
  • booleovská algibra pre figuríny
  • zistenie faktora mierky
  • glencoe svetové dejiny kvíz 7. ročníka
  • doména algrebra
  • online kalkulačka ti-84
  • riešenie listu radikálnych rovníc zadarmo
  • listy domácich úloh
  • vyvažovanie pracovných listov chemických rovníc
  • zadarmo kalkulačka hry fénix
  • praktická algebra kvíz
  • riešenie algebrických otázok
  • algebrické dlaždice / faktoring
  • eoc cvičný test počítač sc matematika
  • ged matematické testy cheatov
  • & testovacie vzorky & quot
  • Pearson Prentice Hall online pracovné listy s odpoveďami
  • zjednodušovač kvadratickej rovnice
  • dvojkroková rovnica algebra kalkulačka
  • riešenie skúšky z algebry
  • pracovné listy testov mentálnych schopností pre 10. ročník
  • hry algebry 8. ročník
  • matematický výpočet java skript
  • ukážka geometrie - maličkosti
  • bezplatný tlačiteľný pracovný list pre študentov stredných škôl
  • pracovný hárok
  • jednoduché spôsoby riešenia zlomkov
  • otázky z algebry 9. stupňa
  • vedecké otázky yr 8
  • precvičovanie grafov rovníc
  • báseň z matematiky
  • bezplatné odpovede na riešenie grafov lineárnych systémov
  • problémy s pravdepodobnosťou permutácií
  • riešenie systémov pomocou eliminačnej kalkulačky
  • Test kombinácií a permutácií
  • lektor radikálnych rovníc
  • Metóda fólie, alegebra
  • odpovede na predalgebrickú sálu
  • & kvotelementárna a stredná algebra & quot & quot; inštrukcie & quot; vydanie & quot & quotdugopolski & quot
  • viac premenné lineárne rovnice
  • 3. stupeň CIELE SKÚŠKA ODPOVEDE NA SKÚŠKU V PHOENIX ARIZONA
  • simulačná rovnica matlab
  • ako programovať rovnice v ti-89
  • ks2 matematický vzorec
  • Matematické hry 7. ročníka + pre algebra
  • písanie rovníc na popísanie lineárneho pravidla
  • matematické vedomosti s odpoveďou
  • Trigonomické pravidlá
  • schopnosti vyriešiť otázky
  • Matematické drobnosti
  • matematický koláč
  • najmenší spoločný menovateľ s premennými
  • Pracovné listy & quotFinding Slope & quot
  • história interaktívnych webových stránok pre rok 7
  • c otázky spôsobilosti s odpoveďami
  • Stiahnutie romov TI-83
  • radikálna kalkulačka
  • Faktory stupňa 10
  • Alegebra 1 Problémy s vytváraním grafov
  • cvičenie kalkúl
  • ks3 vedecký pracovný list
  • odčítaním desatinných listov z roku 5
  • algebra problémy log
  • rovnice s pracovnými listami grafov dvoch premenných
  • zdroj java polynomiálneho riešiča
  • algebrické percentá
  • vypočítať percentá 5. ročníka
  • kalkulačka algebraického rozdelenia
  • hárky s bezplatnými postupmi s rovnicami odpovedí so zoskupovacími symbolmi
  • vypočítať proporcie
  • mcdougal littell inc. algebra II testovacia prax
  • fázová rovina pre TI 84
  • odpovede na vydanie učiteľstva geometrie mcdougal littell
  • koláčová matematická rovnica
  • Glencoe Mathematics Algebra 1, Ohio Edition, online učebnica
  • Bezplatná online kalkulačka algebraických zlomkov
  • ako zjednodušiť algebru
  • algebrické rovnice v piatom ročníku
  • & quotacimálne až iracionálne & quot
  • nelineárna rovnica, dve neznáme + matlab
  • aptitude otázka kniha zadarmo
  • kroky, ktoré treba podniknúť na rozdelenie zlomkov
  • algebraická rovnica
  • úlohy z matematickej škály
  • Príklady algebry 6. stupňa
  • tipy na radikálnu matematiku
  • riešenie dvojčlenov algebry
  • pratice matematické testy 3. ročníka
  • ročník matematická pomoc
  • online matematický test pre ks3
  • otázky pre matamatické zlomky
  • premenné matematika 5. ročníka
  • riešte lineárnu funkciu dvoma bodmi
  • algebra baldor online
  • odpovedá vysoká škola alegebra
  • bezplatné pracovné listy s gramatikou pre tretiu triedu
  • Online pracovné hárky, ktoré sa dajú vytlačiť pre 6 žiakov
  • Pracovný list INTEGERS
  • vypočítať lineárne na galón farby
  • kapitola prevádzkové riadenie poznámky k lekcii príručky riešení
  • percentuálne pracovné listy problémov s riešeniami
  • matika + cvicenie + stahovanie
  • matematické maličkosti geometrický rad
  • príklady matematických drobností
  • vypočítať koreň kocky
  • algabraické rovnice
  • zjednodušenie kalkulačky radikálnych výrazov
  • rozdiel štvorca
  • krok za krokom, ako sa robí algebra
  • TI 83, radikálne výrazy
  • Pracovné listy s recenziami lcm a gcf
  • štatistické matematické hry
  • matematické mriežkové listy
  • Základné manipulácie s algebrou pre štatistiku
  • zadáte svoj problém s algebrou online
  • v skutočnom živote, čo je aplikácia fomula (a + b) ^ 3
  • glencoe algebra 1 cvičné listy
  • algerbra caculator
  • druhá odmocnina 1-12 tabuľka
  • zvládnutie odpovedí z fyziky
  • & quotAlgebraické aplikácie & quot; matematika
  • násobenie dvojčlenov Holt predalgebra
  • basketbal a lineárne rovnice
  • vysokoškolská elementárna algebra + pracovné listy + terminológia
  • rozširujúce sa konzoly na kocky
  • matematické kombinácie
  • matematické listy tretej triedy na vytlačenie
  • Štatistické papiere pre KS2
  • Násobenie celých pracovných listov
  • druhá odmocnina zlomkovej kvocientovej vlastnosti
  • Použiteľná online grafická kalkulačka
  • kockový faktorizačný list
  • ako robiť algebraické otázky
  • testy algebry v Chicagu
  • VZOROVÉ OTÁZKY PRE NJPASS
  • ti-82 rom na stiahnutie
  • glencoe algebra 3-7 odpovedí
  • Odpovede na pracovný list McDougal Littell
  • Pomáhajú príklady polynómov 9. stupňa
  • pytagorejské pracovné listy 6. stupňa
  • Algebraické výrazy 5. ročníka
  • zadarmo + tlačiteľné + pracovné listy + exponenti
  • ako počítať zlomky v algebre
  • simultánne rovnice
  • Výtlačky logických hádaniek 4. ročníka
  • matematické tipy
  • Praktické zvládnutie, algebra, štruktúra a metóda, 1. kniha
  • Štvorec TI-86
  • & & quot; Pracovný list zdarma & quot; & quot; Násobenie a delenie exponentov & quot;
  • kalkulačka racionálnych výrazov
  • fyzika & piaty ročník & quot & quot; bezpodmienečný plán & quot
  • & quotmaple 7 & quot + skúšobná verzia
  • online kalkulačka krivka štvorec
  • lcm príklady a uč
  • pracovný list kombinujúci podobné výrazy
  • starý pracovný list so sat testami pre žiakov štvrtého ročníka
  • list nahradenia výrazov
  • písomka z 8. ročníka matematiky
  • zábavná siedma trieda pre algebru
  • bezplatné pracovné listy pre siedmu triedu
  • pracovné listy s voľným obvodom
  • vypočítajte režim v ti-89
  • Riešenie problémov s matematikou piatej triedy
  • zjednodušiť radikály mcdougal littell
  • algebra 5. pracovné listy
  • vzorové formulované problémy geometrie s riešeniami
  • saská matematika pre algebru 7 pracovných listov
  • Holt / pre algebra 8. ročníka
  • online grafická kalkulačka ti-83
  • ako zjednodušiť výrazy pomocou exponentov
  • Problémy s algebrou 9. ročníka
  • logaritmické vzorce a radikály
  • Stiahnutie lektora TI 89
  • pracovný hárok / odpovede na pre-algebru / algebru
  • test algebry 8 rokov
  • riešenie pracovných listov rovníc
  • exponent precvičovania algebry
  • plány lekcií zadarmo maticové lineárne rovnice matice
  • čo je postupnosť sčítanie odčítanie násobenie delenie?
  • trigonometrické odpovede
  • & quotprintable Fraction games & quot
  • problém algebry
  • aptitude test matematika kniha zadarmo
  • celé pracovné hárky, ktoré sa dajú vytlačiť
  • ti-89 zmena log základne
  • ako nájdete zjednodušenú radikálnu formu
  • gre liniové rovnice
  • papiere na skúšky spôsobilosti
  • úlohy precvičovania algebry domén a rozsahov
  • gcse matematický list tlač revidovať algebru
  • PDF] Kapitola 8: Hlavné zdroje štvoruholníkových glencoe
  • vzorka otázka papierová hviezda test kalifornia čítanie
  • potlačiteľné matematické listy prvej triedy
  • matematika na strednej škole s pizzazzom Kniha E odpovede
  • ROZDELTE SA V JEDNODUCHEJ FORME BEZPLATNÝM VÝPOČTOM
  • tabuľky pracovných rovníc
  • ako podvádzať sat
  • Pracovné listy s druhou odmocninou zadarmo
  • sála matematiky pre algebra
  • Vedecké kalkulačky
  • vysokoškolská algebra 4. vydanie knihy riešení
  • doučovanie matematiky na houstonskej vysokej škole
  • kombinácia + ukážka problémov
  • pracovných listov (násobenie, delenie, sčítanie, odčítanie atď.)
  • násobenie mriežky
  • algebra 1 poznámky ppt
  • vypočítať zlomky algebraku
  • algebraicky vyriešiť príklady kvadratickej a lineárnej simultánnej rovnice
  • & quot; Racionálne výrazy, ti-83 & quot
  • vyplnenie štvorcového listu
  • matematika algebra všeobecná spôsobilosť kniha na stiahnutie zadarmo
  • Zadarmo testy diferenciálnej pohotovosti
  • koeficientová kalkulačka
  • java polynomiálny kód
  • java zlomok zjednodušovač
  • stiahni sats papiere 6-8
  • McDougal Littell Algebra 2 odpovede na knihy zdrojov
  • Vzorky testovacej otázky IQ
  • Faktor mierky trojuholníka
  • 50 algebraických vzorcov
  • tabuľky nerovností
  • freeware na riešenie problémov s algebrou
  • zaujímavá zlomková rovnica PPT
  • zjednodušenie pracovných listov s druhou odmocninou
  • pytagorejská teória / pracovné listy
  • sústava rovníc ti-89
  • matematické štandardizované testovacie otázky nácvik ERB
  • viacstupňové celé čísla pre strednú školu, ppt
  • prentice hall algebra 1 odpovede na domáce úlohy
  • zlomky listov pre 6. ročník
  • stredný, stredný a pracovný list režimu KS2
  • matematické pracovné listy vykresľujúce celé čísla na číselnom rade
  • faktoringové kockové polynómy
  • riešenie krovu
  • príklady matematických maličkostí
  • ks2 SATs papiere matematika
  • ks2 matematické skúšky zadarmo
  • elipsy online kalkulačka
  • vyriešiť exponenciálnu algebru pomocou programu '
  • Problémy so syntetickým delením
  • testovacie skúšky aptitude na stiahnutie CAT
  • operácie s pracovným listom radikálov
  • pomoc s matematikou a výpočtom úrokov & pracovný hárok programu Excel
  • špeciálne výrobky a faktoringové cvičenie a problémy
  • vložiť matematiku
  • rôzne riešenie problémov v algebre
  • faktoringový graf s multipulsmi
  • voľný tréning sats papiere ks3
  • stiahnuť aptitude Otázka a odpoveď
  • maličkosti o geometrii
  • substitúcie v algebre
  • 3. koreň ti-89
  • pridanie racionálneho vyjadrenia
  • ONLINE KNIHA ODPOVEDÍ NA SAXONOVÝ MATH 76
  • Online bezplatné matematické pracovné listy 7. triedy
  • kurzy algebry v Sacramente v Kalifornii
  • kovalentné väzobné pracovné listy
  • deliace radikálne výrazy
  • riešiteľ simultánnych rovníc
  • odpovede na pracovný list s matematickými úlohami
  • Príklady matematických poznatkov
  • substitučná kalkulačka integrálov
  • hyperbola grapher
  • záporné celé čísla
  • prevádzať polynominálne na logaritmické
  • algebra - dokonalý štvorec
  • trig kalkulačka
  • tabuľka trigonomických identít
  • zjednodušenie matematiky
  • figuríny - Sprievodca pravdepodobnosťou v programe Excel
  • Multiplakačný graf 6. ročníka
  • zjednodušenie číselných výrazov
  • koreňový riešiteľ
  • pdf ti-89
  • riešiť exponent faktoringom
  • ako sú rovnice s jednou premennou a dvoma premennými podobné, v čom sú odlišné?
  • ľahké vysvetlenie zlomkov krok za krokom
  • Ako zmením desatinné miesto na zlomok na svojom TI 83?
  • bezplatné pracovné listy na zjednodušenie jednoduchých radikálnych výrazov
  • test infosys & quotonline aptitude & quot
  • algebra 1 odpovede na učebnice
  • McDougal Littell Inc. Kapitola 5 Štandardizovaná skúšobná prax
  • Ako ukladať vzorce do kalkulačky TI-83 plus
  • pracovné listy na zjednodušenie radikálov
  • nerovnosti online kalkulačky algebry
  • pracovné hárky so záporným exponentom
  • permutácia a kombinácia + sprievodca
  • chemické rovnice pre pufre
  • algabra rovnice
  • pomocník pri algebre
  • precvičujte otázky exponentov a radikálov
  • Príklady jazyka Java + polynómy
  • Aká je druhá odmocnina zo 48
  • Algebra Mcdougal, Littell
  • matematické vedomosti pre deti
  • riešiť simultánne kvadratické rovnice mathematica
  • glencoe matematika
  • známkovať matematické listy
  • matematika pre figuríny
  • & pracovné listy & quot
  • java previesť celé číslo na čas
  • algebra 2 cvičiť kuželosečky prentice hall
  • kvadratické ekvatíny: cesta piatich odčítajte dve cesty päť plus päť cesty päť
  • video o permutácii a kombinácii v štatistikách
  • editor matematických formul
  • pomoc s problémami s delením pre 4. ročník
  • pracovné listy na precvičovanie brány algebry
  • generátory v F_p
  • Aplikácia algebry
  • tlačiteľné praktické algebraické rovnice
  • matematika 10 trigonometria výzva otázka
  • Holt Science and Technology Kapitola 16 Odpovede na pracovný hárok s recenziou slovníka
  • trigonometrické powerpointy
  • geometria + tretia trieda + pracovný list
  • skúška z matematiky zadarmo
  • pre algebra / pomoc s princípmi druhej odmocniny
  • spoločné pracovné listy
  • vzorec definícia koláča
  • ako faktorovať polynómy 3. rádu
  • 10 príklad matematických drobností
  • zjednodušenie tabuľky s odmocninami
  • pridanie zložitého počítadla zlomkov
  • matematická rovnica koláč r na druhú
  • výpočet online grafov
  • vedecká revízia na 8 rokov
  • simultánny rovnicový program
  • ako sa naučiť faktor stupnice
  • parciálna diferenciácia druhého rádu v matlabe
  • Odpovede McDougal Littell Pre-Algebra
  • pracovné listy prealgebra
  • gaussova eliminačná metóda jednoduchá
  • lineárna rovnica kalkulačka slovných úloh
  • algebra 1 cvičenie Majstrovské úrovne A odpovede
  • presný formát nc eog testu 3. ročník
  • riešenie rovnice 3. rádu
  • hľadanie spoločného listu menovateľa
  • ti84 app
  • Ako postupne zistím matematicky percentuálny pomer študentov od 3 do 5
  • interaktívne aktivity na pridávanie odčítania celých čísel
  • tlačiteľné pracovné listy, druhá mocnina a druhá odmocnina, precvičovanie
  • bezplatné matematické rotačné listy
  • pracovné listy algebry grafujúce lineárne rovnice
  • pracovný list pre matamatické zlomky
  • vzorec kvadratický excel
  • ti-83 trinomiálny faktor
  • Matematická maturita + lineárne programovanie
  • mcdougal littell algebra 2 odpovede
  • ako zjednodušiť faktoriály
  • celé čísla deliace percentá
  • zjednodušenie druhej odmocniny celých čísel 1 - 100
  • matematika: vzorec na výpočet mod
  • odpovede glencoe vocab
  • korene a radikály krok za krokom
  • jednoduché pracovné listy algebry pre začiatočníkov
  • druhá odmocnina zjednodušovač kalkulačky
  • aplikácie hier v programe Excel
  • algebra anton na stiahnutie zadarmo
  • spustiť rýchle odpovede
  • Pracovný list pomeru a proporcie GED
  • pracovné listy pre grafy algebry 2
  • podvádzať zložená nerovnosť
  • základné informácie o tom, ako učiť pomerné ročníky 6. ročníka
  • & quottest geniálneho & quot odpovede algebry s pizzazz
  • kalkulačka rovnice algebry

Používatelia Yahoo prišli na túto stránku včera zadaním týchto kľúčových fráz:


Grafické znázornenie lineárnych nerovností v dvoch premenných

Ak chcete nakresliť lineárnu nerovnosť v dvoch premenných (povedzme xay), najskôr získate y na jednej strane. Potom zvážte súvisiaca rovnica sa získa zmenou znamienka nerovnosti na znamienko rovnosti. Graf tejto rovnice je čiara.

Ak je nerovnosť prísny (& lt alebo & gt), nakreslite čiarkovanú čiaru. Ak je nerovnosť nie prísne ( & le a & ge ), nakreslite plnú čiaru.

Nakoniec vyberte jeden bod, ktorý nie je na priamke ((0, 0) je zvyčajne najjednoduchší) a rozhodnite sa, či tieto súradnice vyhovujú nerovnosti alebo nie. Ak sa tak stane, vytieňujte polorovinu obsahujúcu tento bod. Ak to neurobia, zatiente druhú polorovinu.

Graf nerovnosti y & le 4 x & mínus 2.

Táto čiara je už v tvare skloneného svahu, pričom y sú iba na ľavej strane. Jeho sklon je 4 a jeho y -rozsah je & mínus 2. Je to teda jednoduché nakresliť v grafe. V tomto prípade urobíme a pevný riadok, pretože máme nerovnosť „menšiu alebo rovnú“.

Teraz nahraďte x = 0, y = 0, aby ste sa rozhodli, či (0, 0) spĺňa nerovnosť.

To je nepravda. Takže zatiente polorovinu, ktorá to robí nie zahrňte bod (0, 0).


(6.4.6) & # 8211 Aplikácie systémov lineárnych nerovností

V našom prvom príklade si ukážeme, ako napísať a nakresliť systém lineárnych nerovností, ktorý modeluje výšku tržieb potrebných na získanie konkrétneho množstva peňazí.

Príklad

Cathy predáva šišky so zmrzlinou v zbierke pre školy. Predáva dve veľkosti: malú (ktorá má 1 odmerku) a veľkú (ktorá má 2 odmerky). Vie, že zo svojej ponuky môže dostať maximálne 70 kopčekov zmrzliny. Za malý kužeľ si účtuje 3 doláre a za veľký kužeľ 5 dolárov.

Cathy chce zarobiť najmenej 120 dolárov na to, aby mohla škole dať peniaze späť. Napíš a nakresli systém nerovností, ktorý modeluje túto situáciu.

Najskôr identifikujte premenné. Existujú dve premenné: počet malých šišiek a počet veľkých šišiek.

Napíš prvú rovnicu: maximálny počet kopčekov, ktoré môže rozdať. Lopatky, ktoré má k dispozícii (70), musia byť väčšie alebo rovné počtu kopčekov pre malé šišky [latex] (s) [/ latex] a veľké kužele [latex] (2l) [/ latex] predáva.

Napíš druhú rovnicu: množstvo peňazí, ktoré získa. Chce celkovú sumu peňazí zarobenú z malých šišiek [latex] (3s) [/ latex] a veľké šišky [latex] (5l) [/ latex] na najmenej 120 dolárov.

Teraz vytvorte graf systému. Premenné [latex] x [/ latex] a [latex] y [/ latex] boli nahradené grafmi [latex] s [/ latex] a [latex] l [/ latex] pozdĺž [latex] x [/ latex] -osia a [/ latex] l [/ latex] pozdĺž [/ latex] y [/ latex] -osy.

Prvý graf regiónu [latex]s + 2l Leq 70 [/ latex]. Vytvorte graf hraničnej čiary a potom vyskúšajte jednotlivé body, aby ste zistili, ktorú oblasť chcete zatieniť. Graf je uvedený nižšie.

Teraz vytvorte graf oblasti [latex] 3s + 5l ge120 [/ latex] Vytvorte graf hraničnej čiary a potom vyskúšajte jednotlivé body, aby ste zistili, ktorú oblasť chcete zatieniť. Graf je uvedený nižšie.

Ak zobrazíte spoločné regióny, nájdete nasledujúce:

A reprezentovaný rovnako ako prekrývajúci sa región, máte:

Odpoveď

Riešením je oblasť vo fialovej farbe. Pokiaľ bude možné kombináciu malých šišiek a veľkých šišiek, ktoré Cathy predáva, zmapovať v purpurovej oblasti, zarobila najmenej 120 dolárov a nepoužila viac ako 70 kopčekov zmrzliny.

V predchádzajúcom príklade hľadania riešenia systému lineárnych rovníc sme predstavili výrobné rovnice nákladov a výnosov:

Rovnica nákladov je v grafe nižšie zobrazená modrou farbou a rovnica výnosov oranžovo. V bode, v ktorom sa tieto dve priamky pretínajú, sa hovorí bod zlomu, dozvedeli sme sa, že toto je riešenie systému lineárnych rovníc. ktoré v tomto prípade zahŕňajú rovnicu nákladov a výnosov.

Tieňovaná oblasť napravo od bodu zlomu predstavuje množstvá, pre ktoré spoločnosť dosahuje zisk. Región vľavo predstavuje množstvá, pre ktoré spoločnosť utrpí stratu.

V nasledujúcom príklade uvidíte, ako možno informácie, ktoré ste sa dozvedeli o systémoch lineárnych nerovností, použiť na zodpovedanie otázok o nákladoch a výnosoch.

Všimnite si, ako je oblasť s modrým tieňom medzi rovnicami nákladov a výnosov označená ako zisk. Toto je & # 8220sladké miesto & # 8221, ktoré chce spoločnosť dosiahnuť tam, kde vyrábajú dostatok rámov na bicykle za minimálne minimálne náklady, aby zarobili peniaze. Nechcú ísť viac peňazí ako ísť dovnútra!

Príklad

Definujte oblasť zisku pre podnik na výrobu skateboardov pomocou nerovností, vzhľadom na systém lineárnych rovníc:

Vieme, že graficky sú riešenia lineárnych nerovností celé oblasti a v tomto module sme sa naučili, ako graficky znázorniť systémy lineárnych nerovností. Na základe nižšie uvedeného grafu a rovníc, ktoré definujú náklady a výnosy, môžeme pomocou nerovností definovať región, v ktorom bude mať výrobca skateboardov zisk.

Začnime rovnicou výnosov. Vieme, že bod zvratu je (50 000, 77 500) a oblasť zisku je modrá oblasť. Ak vyberieme bod v regióne a otestujeme ho, ako sme to urobili pri hľadaní regiónov riešenia nerovností, budeme vedieť, aký druh znaku nerovnosti použiť.

Nechajme testovať [latex] ľavý (65,00 100 000 pravý) [/ latex] bod v oboch rovniciach a určme, ktoré znamienko nerovnosti sa má použiť.

Musíme použiť & gt, pretože 100 000 je viac ako 90 250

Nerovnosť nákladov, ktorá spoločnosti zaistí, že jej zisk nebude len rentabilný & # 8211, je [latex] y> 0,85x + 35 000 [/ latex]

Teraz otestujte bod v príjmovej rovnici:

Musíme použiť & lt, pretože 100 000 je menej ako 100 750

Nerovnosť v príjmoch, ktorá spoločnosti zaistí, že jej zisk nebude iba rentabilný & # 8211, je [latex] y & lt 1,55x [/ latex]

Systémy nerovností, ktoré určujú oblasť zisku pre výrobcu bicyklov:

Odpoveď

Náklady na výrobu 50 000 kusov sú 77 500 dolárov a výnosy z predaja 50 000 kusov sú tiež 77 500 dolárov. Aby dosiahol zisk, musí podnik vyrobiť a predať viac ako 50 000 kusov. Systém lineárnych nerovností, ktorý predstavuje počet jednotiek, ktoré musí spoločnosť vyrobiť, aby dosiahla zisk, je:

V nasledujúcom videu uvidíte príklad toho, ako nájsť bod zlomu pre malý podnik so sno-cone.

A tu je ešte jeden video príklad riešenia aplikácie pomocou súboru lineárnych nerovností.

Videli sme, že systémy lineárnych rovníc a nerovností môžu pomôcť definovať trhové správanie, ktoré je pre podniky veľmi užitočné. Priesečník rovníc nákladov a výnosov dáva bod zvratu a tiež pomáha definovať región, v ktorom bude spoločnosť dosahovať zisk.


Pozri si video: R1 010505 - Rasjonale ulikheter (December 2021).