Články

2.1E: Lineárne rovnice prvého poriadku (cvičenia) - matematika


Q2.1.1

V Cvičenia 2.1.1-2.1.5 nájsť všeobecné riešenie.

1. (y '+ ay = 0 ) ( (a ) = konštanta)

2. (y '+ 3x ^ 2y = 0 )

3. (xy '+ ( ln x) y = 0 )

4. (xy '+ 3y = 0 )

5. (x ^ 2y '+ y = 0 )

Q2.1.2

V Cvičenia 2.1.6-2.1.11 vyriešiť problém počiatočnej hodnoty.

6. ({y '+ doľava ({1 + x nad x} doprava) y = 0, štvorka y (1) = 1} )

37 ({xy '+ vľavo (1+ {1 nad ln x} vpravo) y = 0, quad y (e) = 1} )

8. ({xy '+ (1+ x postieľka x) y = 0, quad y doľava ({ pi nad 2} doprava) = 2} )

9. ({y '- doľava ({2x nad 1 + x ^ 2} doprava) y = 0, štvorka y (0) = 2} )

10. (y '+ frac {k} {x} y = 0, quad y (1) = 3 quad (k = text {konštanta}) )

11. (y '+ ( tan kx) y = 0, quad y (0) = 2 quad (k = text {konštanta}) )

Q2.1.3

V Cvičenia 2.1.12-2.1.15 nájsť všeobecné riešenie. Taktiež nakreslite smerové pole a niektoré integrálne krivky do obdĺžnikovej oblasti ( {- 2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2 } ).

12. (y '+ 3y = 1 )

13. ({y '+ doľava ({1 nad x} - 1 doprava) y = - {2 nad x}} )

14. (y '+ 2xy = xe ^ {- x ^ 2} )

15. ({y '+ {2x over1 + x ^ 2} y = {e ^ {- x} over1 + x ^ 2}} )

Q2.1.4

V Cvičenia 2.1.16-2.1.24 nájsť všeobecné riešenie.

16. ({y '+ {1 nad x} y = {7 nad x ^ 2} +3} )

17. ({y '+ {4 nad x-1} y = {1 nad (x-1) ^ 5} + { sin x nad (x-1) ^ 4}} )

18. (xy '+ (1 + 2x ^ 2) y = x ^ 3e ^ {- x ^ 2} )

19. ({xy '+ 2y = {2 nad x ^ 2} +1} )

20. (y '+ ( tan x) y = cos x )

21. ({(1 + x) y '+ 2y = { sin x nad 1 + x}} )

22. ((x-2) (x-1) y '- (4x-3) y = (x-2) ^ 3 )

23. (y '+ (2 sin x cos x) y = e ^ {- sin ^ 2x} )

24. (x ^ 2y '+ 3xy = e ^ x )

Q2.1.5

V Cvičenia 2.1.25-2.1.29 vyriešiť problém s počiatočnou hodnotou a načrtnúť graf riešenia.

25. (y '+ 7r = e ^ {3x}, štvorka y (0) = 0 )

26. ({(1 + x ^ 2) y '+ 4xy = {2 nad 1 + x ^ 2}, quad y (0) = 1} )

27. ({xy '+ 3y = {2 nad x (1 + x ^ 2)}, štvorka y (-1) = 0} )

28. ({y '+ ( cot x) y = cos x, quad y doľava ({ pi nad 2} doprava) = 1} )

29. ({y '+ {1 nad x} y = {2 nad x ^ 2} +1, štvorky y (-1) = 0} )

Q2.1.6

V Cvičenia 2.1.30-2.1.37, vyriešiť problém s počiatočnou hodnotou.

30. ({(x-1) y '+ 3y = {1 over (x-1) ^ 3} + { sin x over (x-1) ^ 2}, quad y (0) = 1} )

31. (xy '+ 2y = 8x ^ 2, štvorka y (1) = 3 )

32. (xy'-2y = -x ^ 2, štvorka y (1) = 1 )

33. (y '+ 2xy = x, štvorka y (0) = 3 )

34. ({(x-1) y '+ 3y = {1+ (x-1) sec ^ 2x over (x-1) ^ 3}, quad y (0) = - 1} )

35. ({(x + 2) y '+ 4y = {1 + 2x ^ 2 nad x (x + 2) ^ 3}, štvorka y (-1) = 2} )

36. ((x ^ 2-1) y'-2xy = x (x ^ 2-1), štvorka y (0) = 4 )

37. ((x ^ 2-5) y'-2xy = -2x (x ^ 2-5), štvorka y (2) = 7 )

Q2.1.7

V Cvičenia 2.1.28-2.1.42 vyriešte problém počiatočnej hodnoty a nechajte odpoveď vo forme zahrnujúcej určitý integrál. (Tieto problémy môžete vyriešiť numericky metódami popísanými v kapitole 3.)

38. (y '+ 2xy = x ^ 2, štvorka y (0) = 3 )

39. ({y '+ {1 nad x} y = { sin x nad x ^ 2}, štvorky y (1) = 2} )

40. ({y '+ y = {e ^ {- x} tan x nad x}, štvorka y (1) = 0} )

41. ({y '+ {2x nad 1 + x ^ 2} y = {e ^ x nad (1 + x ^ 2) ^ 2}, quad y (0) = 1} )

42. (xy '+ (x + 1) y = e ^ {x ^ 2}, štvorkolka y (1) = 2 )

43. Pokusy naznačujú, že glukóza je absorbovaná telom v miere úmernej množstvu glukózy prítomnej v krvi. Nech ( lambda ) označuje (kladnú) konštantu proporcionality. Teraz predpokladajme, že glukóza je vstrekovaná do krvi pacienta konštantnou rýchlosťou (r ) jednotiek za jednotku času. Nech (G = G (t) ) je počet jednotiek v krvi pacienta v danom čase (t> 0 ). Potom [G '= - lambda G + r, ], kde prvý člen vpravo je spôsobený absorpciou glukózy telom pacienta a druhý člen injekciou. Určte (G ) pre (t> 0 ), keďže (G (0) = G_0 ). Nájdite tiež ( lim_ {t to infty} G (t) ).

44.

(a) Nakreslite smerové pole a niektoré integrálne krivky pre [xy'-2y = -1 tag {A} ] na obdĺžnikovú oblasť ( {- 1 le x le 1, -,5 le y le 1.5 } ). Čo majú spoločné všetky integrálne krivky?

(b) Ukážte, že všeobecné riešenie (A) na ((- infty, 0) ) a ((0, infty) ) je

[y = {1 over2} + cx ^ 2. ]

(c) Ukážte, že (y ) je riešením (A) na ((- infty, infty) ) práve vtedy, ak [y = doľava { begin {pole} {ll} {{1 over2} + c_1x ^ 2}, & x ge 0, [4pt] {{1 over2} + c_2x ^ 2}, & x <0, end {array} right. ] Kde (c_1 ) a (c_2 ) sú ľubovoľné konštanty.

(d) Z c) vyvodiť, že všetky riešenia (A) na ((- infty, infty) ) sú riešením problému počiatočnej hodnoty [xy'-2y = -1, quad y (0) = {1 over2}. ]

(e) Použite (b) na ukázanie, že ak (x_0 ne0 ) a (y_0 ) sú ľubovoľné, potom problém počiatočnej hodnoty [xy'-2y = -1, quad y (x_0) = y_0 ] má nekonečne veľa riešení na ( (- infty, infty )). Vysvetlite, prečo to nie je v rozpore s vetou 2.1.1.

45. Predpokladajme, že (f ) je spojité v otvorenom intervale ((a, b) ) a ( alfa ) je konštanta.

(a) Odvodiť vzorec na riešenie problému počiatočnej hodnoty

[y '+ alpha y = f (x), quad y (x_0) = y_0, značka {A} ]

kde (x_0 ) je v ((a, b) ) a (y_0 ) je ľubovoľné reálne číslo.

(b) Predpokladajme ((a, b) = (a, infty) ), ( alfa> 0 ) a ( displaystyle { lim_ {x až infty} f (x) = L } ). Ukážte, že ak (y ) je riešením (A), potom ( displaystyle { lim_ {x až infty} y (x) = L / alfa} ).

46. ​​Predpokladajme, že všetky funkcie v tomto cvičení sú definované v spoločnom intervale ((a, b) ).

(a) Dokážte: Ak (y_1 ) a (y_2 ) sú riešením

[y '+ p (x) y = f_1 (x) ]

a

[y '+ p (x) y = f_2 (x) ]

a (c_1 ) a (c_2 ) sú konštanty, potom (y = c_1y_1 + c_2y_2 ) je riešením

[y '+ p (x) y = c_1f_1 (x) + c_2f_2 (x). ]

(To je princíp superpozície.)

(b) Použite (a) na preukázanie, že ak (y_1 ) a (y_2 ) sú riešenia nehomogénnej rovnice

[y '+ p (x) y = f (x), quad { rm (A)} ]

potom (y_1-y_2 ) je riešenie homogénnej rovnice

[y '+ p (x) y = 0. quad { rm (B)} ]

(c) Použite (a) na preukázanie, že ak (y_1 ) je riešením (A) a (y_2 ) je riešením (B), potom (y_1 + y_2 ) je riešením ( A).

47. Niektoré nelineárne rovnice je možné transformovať do lineárnych rovníc zmenou závislej premennej. Ukážte, že ak

[g '(y) y' + p (x) g (y) = f (x) ]

kde (y ) je funkcia (x ) a (g ) je funkcia (y ), potom nová závislá premenná (z = g (y) ) vyhovuje lineárnej rovnici

[z '+ p (x) z = f (x). ]

48. Riešiť metódou popísanou v cvičení 47.

(a) (( s ^ 2r) y'-3 tan y = -1 )

(b) ({e ^ {y ^ 2} vľavo (2rr '+ {2 nad x} vpravo) = {1 nad x ^ 2}} )

(c) ({{xy ' nad y} + 2 ln y = 4x ^ 2} )

(d) ({{y ' nad (1 + y) ^ 2} - {1 nad x (1 + y)} = - {3 nad x ^ 2}} )

49. Ukázali sme, že ak (p ) a (f ) sú spojité na ((a, b) ), potom každé riešenie

[y '+ p (x) y = f (x) značka {A} ]

na ((a, b) ) možno napísať ako (y = uy_1 ), kde (y_1 ) je netriviálne riešenie komplementárnej rovnice pre (A) a (u '= f / y_1 ). Teraz predpokladajme (f ), (f '), ..., (f ^ {(m)} ) a (p ), (p' ), ..., (p ^ {( m-1)} ) sú spojité na ((a, b) ), kde (m ) je celé kladné číslo a definujú

[ begin {aligned} f_0 & = f, f_j & = f_ {j-1} '+ pf_ {j-1}, quad 1 le j le m. end {aligned} ]

Ukáž to

[u ^ {(j + 1)} = {f_j nad y_1}, quad 0 le j le m. ]


Vyplňte množiny problémov:

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


Riešené úlohy z Teórie riadenia

Zdravím a zdravím kolegov matematikov! Dnes sa pokúsim vyriešiť niekoľko cvičení z Teórie riadenia a systémov lineárnych diferenciálnych rovníc prvého poriadku.

Nájdite základnú maticu a konkrétne riešenie systému kde

Základný systém matice je, takže musíme diagonalizovať. Charakteristický polynóm je, a teda vlastné čísla sú,.

Musíme nájsť vlastné čísla na diagonalizáciu: z čoho vyplýva, že.

Rovnakým spôsobom, z čoho vyplýva. Teraz definujte maticu, ktorej stĺpce sú: a vypočítajte jej inverznú hodnotu.

Teraz môžeme vypočítať základnú maticu:.

To je základná matica (môžete skontrolovať, či sú stĺpce nezávislé riešenia a že konkrétne riešenie je jednoducho základná matica krát počiatočná hodnota:.

Dokážte, že systém je ovládateľný, len ak.

Gramáž ovládateľnosti systému nie je kladná a jednoznačná, iba ak je taká pre všetkých. Ak rozšírime tento výraz pomocou Taylor Series, dostaneme. Z Cayley-Hamiltonovej vety vieme, že je možné reprezentovať ako lineárnu kombináciu (kde a tak skutočne, čo sa stane vtedy a len vtedy. A vieme, že gramatika ovládateľnosti je pozitívna, definitívna, ak a len vtedy, keď je systém ovládateľný.

Vzhľadom na systém, kde a, vyhľadajte pre ktoré hodnoty tohto systému je ovládateľné a nájdite spätnoväzbovú kontrolu tak, aby vlastné čísla systému boli,,.

Systém je ovládateľný vtedy a len vtedy.

Nie je ťažké vidieť, že keď bude poradie od prvého a tretieho stĺpca rovnaké. A tak bude mať úplnú hodnosť, keď.

Chceme nájsť taký, aby bol charakteristický polynóm. Je namáhavé, ale nie je ťažké skontrolovať, či táto situácia nemôže byť. Neexistujú žiadne hodnoty, ktoré by to platilo.

Kyvadlo kyvadla možno vyjadriť ako. Nájdite stacionárne body tejto rovnice, linearizujte ju ako systém lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu a určite, či sú stacionárne body stabilné.

V stacionárnych bodoch sú derivácie rovné nule, takže máme, čo znamená, čo znamená. To sú stacionárne body. Teraz musíme skontrolovať stabilitu týchto bodov. Pretože je to periodické s bodkou, stačí iba skontrolovať.

Musíme vykonať linearizáciu:

Definovať,. Potom máme. Toto nie je lineárny systém. Musíme urobiť Taylorovu aproximáciu okolo.

Prvá časť je už lineárna, takže to teda ponecháme a pre druhú časť. Takže celkovo máme systém.

Zaujímajú nás vlastné čísla matice pre naše stacionárne body (to znamená.

Napríklad sa pozrime na, potom je naša matica a naše vlastné čísla. Ak sú obe záporné, potom je náš stacionárny bod stabilný. Nie je asymptoticky stabilný, pretože.

Vzhľadom na stavovú rovnicu s návrhom počiatočnej hodnoty je optimálny regulátor na dosiahnutie stavu s ohľadom na nákladovú funkciu

Hamiltonovská funkcia je.

Musíme vyriešiť sústavu rovníc:,,. V týchto otázkach to tak vždy je.

Takže máme, a. To znamená, že musíme len nájsť a sme hotoví. To tiež znamená.

ak potom tak celkovo naše. Toto je ťažké vyriešiť ODR, ale môže to byť jednoduchšie, ak použijete Laplaceovu transformáciu:

Po inverznej Laplaceovej transformácii dostaneme. Vieme, že máme, takže to môžeme nájsť, a celkovo je to náš ovládač

Napíšte funkciu prenosu systému. Je systém pozorovateľný? Nájdite kontrolu spätnej väzby tak, aby boli obidve vlastné hodnoty systému.

Systém je pozorovateľný, len ak. ale tak nie, systém nie je možné pozorovať.

Chceme, aby sa obidve vlastné čísla tejto matice rovnali. Charakteristický polynóm je a chceme, aby sa mu rovnal. To znamená, že a, a teda, spätná väzba, ktorú hľadáme, je.


2.1E: Lineárne rovnice prvého poriadku (cvičenia) - matematika

Teraz prejdeme k jednej z hlavných aplikácií diferenciálnych rovníc v tejto triede aj všeobecne. Modelovanie je proces písania diferenciálnej rovnice na popísanie fyzikálnej situácie. Takmer všetky diferenciálne rovnice, ktoré vo svojej práci použijete (pre inžinierov v publiku), sú tu preto, lebo niekto niekedy vymodeloval situáciu a prišiel s diferenciálnou rovnicou, ktorú používate.

Účelom tejto časti nie je úplne vás naučiť, ako postupovať pri modelovaní všetkých fyzických situácií. Celý kurz by sa mohol venovať téme modelingu a stále by nemusel pokrývať všetko! Táto časť je určená na to, aby ste sa oboznámili s procesom modelovania a ukázali vám, čo všetko sa týka modelovania. V tejto časti sa pozrieme na tri rôzne situácie: Problémy so zmiešaním, Problémy s populáciou a Padajúce objekty.

Vo všetkých týchto situáciách budeme nútení vychádzať z predpokladov, ktoré vo väčšine prípadov nepresne vystihujú realitu, ale bez nich by boli problémy veľmi ťažké a presahovali rámec tejto diskusie (a priebeh je vo väčšine prípadov úprimný).

Problémy s miešaním

Pri týchto problémoch začneme látkou, ktorá je rozpustená v kvapaline. Kvapalina bude vchádzať do zásobnej nádrže a opúšťať ju. Kvapalina vstupujúca do nádrže môže alebo nemusí obsahovať viac látky rozpustenej v nej. Kvapalina opúšťajúca nádrž bude samozrejme obsahovať látku v nej rozpustenú. Ak (Q (t) ) dá kedykoľvek množstvo látky rozpustenej v kvapaline v nádrži (t ), chceme vyvinúť diferenciálnu rovnicu, ktorá keď bude vyriešená, dá nám výraz pre ( Q (t) ). Všimnite si tiež, že v mnohých situáciách si môžeme vzduch predstaviť ako kvapalinu na účely týchto druhov diskusií, a preto vlastne nemusíme mať skutočnú kvapalinu, ale môžeme namiesto nej používať vzduch.

Hlavným predpokladom, ktorý tu použijeme, je, že koncentrácia látky v kvapaline je v celej nádrži rovnomerná. Je zrejmé, že to tak nebude, ale ak dovolíme, aby sa koncentrácia líšila v závislosti od umiestnenia v nádrži, problém bude veľmi ťažký a bude zahŕňať parciálne diferenciálne rovnice, na ktoré sa tento kurz nezameriava.

Hlavná „rovnica“, ktorú použijeme na modelovanie tejto situácie, je:

Hodnotenie
zmena
(Q (t) )
= Ohodnoťte na
ktoré (Q (t) )
vstupuje do
nádrž
Ohodnoťte na
ktoré (Q (t) )
vystupuje z
nádrž

Pozrime sa na prvý problém.

Najprv sa pozrime na bit „dobre zmiešané riešenie“. Toto je predpoklad, ktorý bol uvedený už skôr. Budeme predpokladať, že v okamihu, keď voda vstúpi do nádrže, sa nejakým spôsobom okamžite rovnomerne rozptýli po celej nádrži, aby v každom bode poskytla jednotnú koncentráciu soli v nádrži. Znova to zjavne nebude tak v skutočnosti, ale umožní nám to problém urobiť.

Teraz, aby sme nastavili IVP, ktoré budeme musieť vyriešiť, aby sme dostali (Q (t) ), budeme potrebovať prietok vstupujúcej vody (máme to), koncentráciu soli v vstupujúca voda (máme to), prietok vody na výstupe (máme to) a koncentrácia soli vo vode, ktorá vystupuje (toto ešte nemáme).

Najprv teda musíme určiť koncentráciu soli vo vode vystupujúcej z nádrže. Pretože predpokladáme rovnomernú koncentráciu soli v nádrži, je koncentrácia v ktoromkoľvek bode nádrže, a teda vo vode vystupujúcej, daná vzťahom,

Suma kedykoľvek (t ) je ľahká, je to iba (Q (t) ). Objem je tiež dosť ľahký. Začíname s 600 galónmi a každú hodinu vstúpi 9 galónov a odíde 6 galónov. Takže ak použijeme (t ) v hodinách, každú hodinu vstúpia do nádrže 3 galóny alebo kedykoľvek (t ) v nádrži je 600 + 3 (t ) galónov vody.

IVP pre túto situáciu teda je,

Toto je lineárna diferenciálna rovnica a nie je príliš ťažké ju vyriešiť (dúfajme). Ukážeme väčšinu podrobností, ale popis procesu riešenia vynecháme. Ak potrebujete osvieženie riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu, vráťte sa späť a pozrite sa na túto časť.

Tu je všeobecné riešenie. Teraz použite počiatočnú podmienku na získanie hodnoty konštanty (c ).

Takže množstvo soli v nádrži kedykoľvek (t ) je.

Teraz bude nádrž pretekať o (t ) = 300 hodín. Množstvo soli v nádrži v tom čase je.

Tu je graf soli v nádrži pred pretečením.

Celý graf by mal obsahovať malé oscilácie, ako vidíte v rozmedzí od 200 do 250.Mierka oscilácií však bola dosť malá na to, aby program použitý na generovanie obrazu mal problémy so zobrazením všetkých.

S touto prácou bola práca trochu chaotická, ale často budú také, takže sa tým nenechajte nadchnúť. Tento prvý príklad tiež predpokladal, že sa nič nezmení počas celej životnosti procesu. To samozrejme zvyčajne nebude platiť. Pozrime sa na príklad, kde sa v procese niečo zmení.

Dobre, tak zreteľne sa znečistenie v nádrži bude časom zvyšovať. Ak niekedy dosiahne množstvo znečistenia maximum, dôjde k zmene situácie. To si bude vyžadovať zmenu diferenciálnej rovnice popisujúcej tiež postup. Inými slovami, na tento problém budeme potrebovať dve IVP. Jeden bude popisovať počiatočnú situáciu, keď do nádrže vstupuje znečistený odtok, a druhý po dosiahnutí maximálneho povoleného znečistenia a vstupu čerstvej vody do nádrže.

Tu sú dve IVP týkajúce sa tohto problému.

[začať^ prime left (t right) & = left (3 right) left (5 right) - left (3 right) left (< frac << doľava (t doprava) >> <<800> >> doprava) hspace <0,25in> left (0 right) = 2 hspace <0,25in> 0 le t le \ ^ prime left (t right) & = left (2 right) left (0 right) - left (4 right) left (< frac << doľava (t doprava) >> << 800 - 2 doľava ( > right) >>> right) hspace <0,25in> doľava (<> right) = 500 hspace <0,25in> le t le koniec]

Prvý z nich je pomerne priamy a bude platný, kým sa nedosiahne maximálne množstvo znečistenia. Zavoláme ten čas (t_). Počas tejto doby tiež zostáva objem v nádrži konštantný, takže s tým tentokrát nemusíme robiť nič fantazijného v druhom termíne, ako sme to robili v predchádzajúcom príklade.

K tomu druhému budeme potrebovať malé vysvetlenie. Najskôr si všimnite, že „nezačíname odznova“ na (t = 0 ). Tú začíname o (t_), čas, v ktorom sa začína nový proces. Ďalej do nádrže prúdi sladká voda, takže koncentrácia znečistenia vstupujúcej vody je nulová. Týmto vypadne prvé volebné obdobie a to je v poriadku, takže si s tým nerobte starosti.

Teraz si všimnite, že hlasitosť kedykoľvek vyzerá trochu smiešne. V tomto časovom rámci strácame každú hodinu procesu dva litre vody, takže na to potrebujeme „-2“. Nemôžeme však použiť iba (t ) ako v predchádzajúcom príklade. Keď sa tento nový proces spustí, musí byť v nádrži 800 galónov vody a ak použijeme iba (t ), nebudeme mať potrebných 800 galónov, ktoré v rovnici potrebujeme. Takže, aby sme sa ubezpečili, že máme správny objem, musíme vložiť časový rozdiel. Týmto spôsobom sme raz za hodinu v novom procese (t.j. (t - t_ = 1 )) budeme mať v nádrži podľa potreby 798 galónov.

Nakoniec druhý proces nemôže pokračovať večne, pretože sa nakoniec nádrž vyprázdni. Toto je v časových obmedzeniach označené ako (t_). Môžeme tiež poznamenať, že (t_ = t_ + 400 ), pretože nádrž sa vyprázdni 400 hodín po spustení tohto nového procesu. Skončí sa to za predpokladu, že niečo nepríde a nezačne to znova meniť situáciu.

Dobre, teraz, keď máme všetky vysvetlenia postarané, tu je zjednodušená verzia IVP, ktorú budeme riešiť.

[začať^ prime left (t right) & = 15 - frac << 3 doľava (t doprava) >> <<800>> hspace <0,25in> left (0 right) = 2 hspace <0,25in> 0 le t le \ ^ prime left (t right) & = - frac << 2 doľava (t doprava) >> << 400 - doľava ( > vpravo) >> hspace <0,25in> doľava (<> right) = 500 hspace <0,25in> le t le koniec]

Prvý IVP je pomerne jednoduchá lineárna diferenciálna rovnica, takže podrobnosti riešenia necháme na kontrolu. Po vyriešení získate.

Teraz musíme nájsť (t_). To nie je príliš zlé, všetko, čo musíme urobiť, je určiť, kedy množstvo znečistenia dosiahne 500. Musíme teda vyriešiť.

Takže druhý proces bude trvať o 35,475 hodiny. Pre úplnosť je tu IVP s vloženými informáciami.

[^ prime left (t right) = - frac << 2 doľava (t doprava) >> << 435,475 - t >> hspace <0,25in> doľava (<35,475> doprava) = 500 hspace <0,25in> 35,475 le t le 435,475 ]

Táto diferenciálna rovnica je lineárna aj oddeliteľná a opäť nie je nijako zvlášť ťažké ju vyriešiť, takže podrobnosti znova nechám na vás, aby sme skontrolovali, či by sme ich mali dostať.

Riešením, ktoré zahŕňa celú dobu chodu procesu, je teda

Tu je graf množstva znečistenia v nádrži kedykoľvek (t ).

Ako určite vidíte, tieto problémy sa môžu dosť komplikovať, ak to chcete. Vezmime si posledný príklad. Realistickejšou situáciou by bolo, že akonáhle znečistenie klesne pod vopred určený bod, bude s najväčšou pravdepodobnosťou umožnené spätné prúdenie znečisteného odtoku a potom sa celý proces bude opakovať. Realisticky by teda mal byť v procese minimálne jeden ďalší IVP.

Prejdime teraz k inému typu problému.

Populácia

Sú o niečo jednoduchšie ako problémy s miešaním, aj keď v niektorých ohľadoch sú veľmi podobné problémom s miešaním. Pokiaľ teda (P (t) ) predstavuje populáciu v danom regióne kedykoľvek (t ), základná rovnica, ktorú použijeme, je identická s tou, ktorú sme použili na miešanie. Menovite,

Hodnotenie
zmena
(P (t) )
= Ohodnoťte na
ktoré (P (t) )
vstupuje do
regiónu
- Ohodnoťte na
ktoré (P (t) )
vystupuje z
regiónu

Tu je rýchlosť zmeny (P (t) ) stále deriváciou. Tentokrát sa líši rýchlosť, akou obyvateľstvo vstupuje do regiónu a vystupuje z neho. Pre problémy s obyvateľstvom sú do vstupnej sadzby zahrnuté všetky spôsoby, ako môže obyvateľstvo vstúpiť do regiónu. Miera pôrodnosti a migrácia do regiónu sú príkladmi pojmov, ktoré by šli do miery, akou obyvateľstvo vstupuje do regiónu. Rovnako budú do odchádzajúcej sadzby zahrnuté všetky spôsoby, ako obyvateľstvo opustí oblasť. Preto sú veci ako miera úmrtnosti, migrácia a predácia príkladmi termínov, ktoré by šli do miery, akou obyvateľstvo opúšťa oblasť.

Poďme sa najskôr pozrieť na pôrodnosť. Hovorí sa nám, že hmyz sa bude rodiť v miere, ktorá je úmerná súčasnej populácii. To znamená, že pôrodnosť možno zapísať ako

kde (r ) je pozitívna konštanta, ktorú bude treba určiť. Poďme teraz vziať do úvahy všetko a získajme IVP pre tento problém.

[začaťP '& = doľava ( right) - left (<16 + 7> right) hspace <0,25in> P left (0 right) = 100 P '& = rP - 8 hspace <0,25in> P left ( 0 vpravo) = 100 koniec]

Všimnite si, že v prvom riadku sme si pomocou zátvoriek všimli, ktoré výrazy prešli do ktorej časti diferenciálnej rovnice. Upozorňujeme tiež, že nevyužívame skutočnosť, že populácia sa strojnásobí za dva týždne, ak tu nebudú pôsobiť vonkajšie faktory. Ak neexistujú vonkajšie faktory, znamená to, že LEN môžeme brať do úvahy pôrodnosť. Nič iné nemôže vstúpiť do obrazu a jasne máme ďalšie vplyvy v diferenciálnej rovnici.

Ako teda prichádza na scénu toto strojnásobenie? Mali by sme tiež poznamenať, že bez toho, aby sme vedeli (r ), budeme mať zložité úplné vyriešenie IVP. Skutočnosť, že sa populácia za tri týždne strojnásobí, nám pomôže nájsť (r ). Ak by neexistovali vonkajšie faktory, stala by sa diferenciálna rovnica.

[P '= rP hspace <0,25in> P left (0 right) = 100 hspace <0,25in> P left (<14> right) = 300 ]

Všimnite si, že keďže sme v skutočnom IVP použili časový rámec ako deň, potreboval som tieto dva týždne previesť na 14 dní. Mohli sme rovnako ľahko konvertovať pôvodné IVP na týždne ako časový rámec, v takom prípade by došlo k čistej zmene –56 za týždeň namiesto –8 za deň, ktoré momentálne používame v pôvodnej diferenciálnej rovnici.

Dobre späť k diferenciálnej rovnici, ktorá ignoruje všetky vonkajšie faktory. Táto diferenciálna rovnica je oddeliteľná a lineárna (je možné ju použiť) a je jednoduchou diferenciálnou rovnicou na riešenie. Podrobnosti týkajúce sa všeobecného riešenia necháme na vás.

Aplikácia počiatočnej podmienky dáva (c ) = 100. Teraz použite druhú podmienku.

Musíme to vyriešiť pre (r ). Najskôr vydeľte obe strany číslom 100, potom vezmite prirodzený logaritmus oboch strán.

Využili sme skutočnosť, že ( ln << bf>^> = g doľava (x doprava) ), aby ste problém zjednodušili. Teraz, keď máme (r ), môžeme sa vrátiť späť a vyriešiť pôvodnú diferenciálnu rovnicu. Pre proces riešenia to trochu prepíšeme.

[P '- frac << ln 3 >> <<14>> P = - 8 hspace <0,25in> P vľavo (0 vpravo) = 100 ]

Toto je pomerne jednoduchá lineárna diferenciálna rovnica, ale tento koeficient (P ) ľudí vždy ohýba z tvaru, preto si tu prejdeme aspoň niektoré podrobnosti.

Teraz sa tu nenechajte nadchnúť integračným faktorom. Je to ako (<< bf> ^ <2t>> ) iba tentoraz je konštanta trochu komplikovanejšia ako iba 2, ale je to konštanta! Teraz vyrieš diferenciálnu rovnicu.

Opäť sa nebuďte nadšení z integrácie pravej ruky, je to ako s integráciou (<< bf> ^ <2t>> )! Uplatnenie počiatočnej podmienky poskytuje nasledujúce.

Teraz má exponenciál kladný exponent, a tak bude s nárastom (t ) smerovať do plus nekonečna. Jeho koeficient je však negatívny, takže celá populácia nakoniec zostane negatívna. Je zrejmé, že populácia nemôže byť negatívna, ale aby populácia mohla byť negatívna, musí prejsť nulou. Inými slovami, nakoniec všetok hmyz musí zomrieť. Takže neprežijú a na určenie, kedy vyhynú, môžeme vyriešiť nasledovné.

Hmyz teda prežije asi 7,2 týždňa. Tu je graf populácie v čase, v ktorom prežíva.

Rovnako ako v prípade problémov so zmiešavaním, mohli by sme populačné problémy skomplikovať zmenou okolností v určitom okamihu. Napríklad ak by miestna populácia vtákov v určitom okamihu zaznamenala pokles v dôsledku choroby, po tomto bode by toho už toľko nejedli a druhá diferenciálna rovnica určujúca čas po tomto bode.

Pozrime sa teraz na posledný typ problému, ktorý budeme v tejto časti modelovať.

Padajúci objekt

Nebude to prvýkrát, čo sme sa pozreli na padajúce telá. Ak si spomínate, na jednu z nich sme sa pozreli, keď sme sa pozerali na Direction Fields. V tejto časti sme videli, že základnou rovnicou, ktorú použijeme, je Newtonov druhý zákon pohybu.

Dve sily, na ktoré sa tu pozrieme, sú gravitácia a odpor vzduchu. Hlavným problémom týchto problémov je správne definovanie konvencií a potom ich nezabudnite dodržať. Týmto máme na mysli definovanie toho, ktorý smer sa bude označovať ako pozitívny smer, a potom sa uistite, že všetky vaše sily zodpovedajú tejto konvencii. To je obzvlášť dôležité pre odpor vzduchu, pretože ten zvyčajne závisí od rýchlosti, a preto „znak“ rýchlosti môže a ovplyvňuje „znak“ sily odporu vzduchu.

Pozrime sa na príklad.

Najprv si všimnite, že keď hovoríme priamo hore, máme na mysli skutočne priamo hore, ale tak, že cestou späť bude míňať most. Tu je náčrt situácie.

Všimnite si konvencie, ktoré sme pre tento problém vytvorili. Pretože prevažná väčšina pohybu bude v smere nadol, rozhodli sme sa predpokladať, že všetko, čo koná v smere nadol, by malo byť pozitívne. Všimnite si, že sme tiež definovali „nulovú pozíciu“ ako most, vďaka čomu bude mať zem „pozíciu“ 100.

Dobre, ak sa nad tým zamyslíte, máme tu vlastne dve situácie. Počiatočná fáza, v ktorej hmota stúpa vo vzduchu, a druhá fáza, keď je hmota na ceste nadol. Budeme musieť preskúmať obe situácie a pre každú nastaviť IVP. Urobíme to súčasne. Tu sú sily, ktoré pôsobia na objekt pri ceste hore a dole.

Všimnite si, že sila odporu vzduchu musí byť v obidvoch prípadoch záporná, aby sa získalo správne „znamenie“ alebo smer sily. Keď sa hmotnosť pohybuje nahor, rýchlosť (a teda (v )) je záporná, napriek tomu musí sila pôsobiť smerom nadol. Preto „-“ musí byť súčasťou sily, aby sa zabezpečilo, že sila je celkovo pozitívna, a teda pôsobí v smere nadol. Rovnako, keď sa hmotnosť pohybuje smerom nadol, rýchlosť (a tak (v )) je kladná. Preto musí mať odpor vzduchu aj znak „-“, aby sa zabezpečilo, že bude negatívny a bude teda pôsobiť smerom nahor.

Takže IVP pre každú z týchto situácií je.

V druhom IVP je (t )0 je čas, keď je objekt v najvyššom bode a je pripravený na štart smerom nadol. Upozorňujeme, že v tomto okamihu by rýchlosť bola nulová. Pamätajte tiež, že počiatočná podmienka prvej diferenciálnej rovnice bude musieť byť záporná, pretože počiatočná rýchlosť stúpa.

V takom prípade je diferenciálna rovnica pre obidve situácie rovnaká. To sa nestane vždy, ale v prípadoch, keď sa to stane, môžeme ignorovať druhý IVP a nechať celý proces riadiť tým prvým.

Poďme sa teda skutočne zapojiť pre hmotnosť a gravitáciu (tu použijeme (g ) = 9,8 m / s 2). Pôjdeme ďalej a rozdelíme masu, keď už sme pri tom, pretože to nakoniec aj tak budeme musieť urobiť.

[v '= 9,8 - frac <<5v>> <<50>> = 9,8 - frac<<10>> hspace <0,25in> v left (0 right) = - 10 ]

Toto je jednoduchá lineárna diferenciálna rovnica, ktorú treba vyriešiť, takže podrobnosti necháme na vás. Po vyriešení dospejeme k nasledujúcej rovnici pre rýchlosť objektu kedykoľvek (t ).

Dobre, chceme rýchlosť lopty, keď dopadne na zem. Samozrejme to musíme vedieť kedy dopadne na zem skôr, ako sa na to môžeme opýtať. Aby sme to mohli nájsť, budeme musieť nájsť funkciu polohy. Je to dosť ľahké urobiť.

Teraz môžeme využiť skutočnosť, že podľa konvencie (s ) (0) = 0 nájdeme (c ) = -1080. Pozícia kedykoľvek je potom.

Potrebujeme len vyriešiť, aby sme určili, kedy hmota dopadne na zem.

Máme tu dve riešenia, ale keďže začíname na (t ) = 0, negatívom je zjavne nesprávna hodnota. Hmota teda dopadne na zem pri (t ) = 5,98 147. Rýchlosť objektu pri dopade na zem je potom.

Tento posledný príklad nám poskytol príklad situácie, keď dve diferenciálne rovnice potrebné na riešenie problému boli identické, a preto sme druhú nakoniec nepotrebovali. Buďte však opatrní, aby ste to nie vždy očakávali. Tento problém by sme mohli veľmi ľahko zmeniť tak, že vyžadoval dve rôzne diferenciálne rovnice. Napríklad sme mohli mať padák na hmote otvorený v hornej časti oblúka, ktorý zmenil jeho odpor vzduchu. To by úplne zmenilo druhú diferenciálnu rovnicu a prinútilo nás to tiež používať. Alebo by sme mohli dať rieku pod most, aby predtým, ako skutočne narazila na zem, musela najskôr prejsť cez vodu, ktorá by mala pre túto fázu iný „vzdušný“ odpor vyžadujúci pre túto časť novú diferenciálnu rovnicu.

Alebo by sme mohli byť skutočne blázniví a mať padák aj rieku, ktoré by potom vyžadovali vyriešenie troch IVP, skôr ako určíme rýchlosť hmoty predtým, ako skutočne dopadne na pevnú zem.

Nakoniec by sme mohli použiť úplne iný typ odporu vzduchu, ktorý vyžaduje, aby sme pre pohyb smerom nahor a nadol použili inú diferenciálnu rovnicu. Pozrime sa rýchlo na príklad.

Je to teda v podstate rovnaká situácia ako v predchádzajúcom príklade. Práve sme zmenili odpor vzduchu z (5v ) na (5). Tiež jednoducho nájdeme rýchlosť kedykoľvek (t ) pre tento problém, pretože riešenie bude skutočne nepríjemné a hľadanie rýchlosti, keď hmota dopadne na zem, je jednoducho práca, ktorú chceme dať do úlohy, ktorá má ilustrovať skutočnosť, že potrebujeme samostatnú diferenciálnu rovnicu pre pohyb hmoty nahor aj nadol.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade použijeme konvenciu, že všetko smerom nadol je pozitívne. Tu sú sily na hmotu, keď je objekt na ceste a na ceste dole.

Teraz, v tomto prípade, keď sa objekt pohybuje nahor, je rýchlosť záporná. Avšak kvôli () v odpore vzduchu nemusíme tentokrát pridávať znamienko mínus, aby sme sa ubezpečili, že odpor vzduchu je kladný, pretože treba brať do úvahy, že ide o silu smerujúcu dole.

Pokiaľ ide o fázu smerom nadol, stále potrebujeme znamienko mínus na odporu vzduchu, pretože ide o silu smerom hore, a preto by mala byť záporná, ale () je kladné.

To pre každý prípad vedie k nasledujúcim IVP.

Toto sú zjavne odlišné diferenciálne rovnice, takže na rozdiel od predchádzajúceho príkladu nemôžeme pre prvý problém použiť iba prvú.

Proces riešenia bude tiež o niečo viac zapojený ako v predchádzajúcom príklade, pretože ani jedna z diferenciálnych rovníc nie je lineárna. Sú to však oddeliteľné diferenciálne rovnice.

Poďme teda naštartovať proces riešenia. Najskôr vyriešime diferenciálnu rovnicu pohybu nahor. Tu je práca na riešení tejto diferenciálnej rovnice.

Všimnite si, že sme trochu prepísali integrand, aby sme proces v druhom kroku trochu uľahčili.

Teraz máme dve možnosti, ako pokračovať odtiaľto. Buď môžeme teraz vyriešiť rýchlosť, ktorú budeme musieť nakoniec urobiť, alebo v tejto fáze môžeme použiť počiatočnú podmienku. Aj keď sme túto funkciu vždy pred aplikáciou počiatočnej podmienky vyriešili, mohli sme ju rovnako ľahko použiť tu, ak by sme chceli, a v tomto prípade to bude pravdepodobne o niečo jednoduchšie.

Ak teda chcete použiť počiatočnú podmienku, musíme si uvedomiť, že (v ) je skutočne (v ľavé (t pravé) ), a potom pripojiť (t = 0 ). Toto dáva,

Všetko, čo musíme urobiť, je zapojiť skutočnosť, že vieme (v left (0 right) = - 10 ), aby sme to dostali.

Chaotický, ale tam to je. Rýchlosť pohybu hmoty nahor je potom,

Teraz musíme určiť, kedy objekt dosiahne vrchol svojej dráhy.Všetko, čo musíme urobiť, je nastaviť túto hodnotu na nulu, pretože objekt na vrchole bude mať nulovú rýchlosť tesne predtým, ako začne pohyb nadol. Necháme na vás, aby sme si overili, že rýchlosť je pri nasledujúcich hodnotách (t ) nulová.

Jednoznačne všetky tieto veci nechceme. Chceme prvé kladné (t ), ktoré dá nulovú rýchlosť. Nemá zmysel brať negatíva (t ), pretože proces začíname na (t = 0 ) a akonáhle narazia na vrchol (t.j. prvé kladné (t ), pre ktoré je rýchlosť nulová) riešenie už nie je platné, pretože objekt sa začne pohybovať nadol a toto riešenie je určené iba pre pohyb nahor.

Pripojenie niekoľkých hodnôt (n ) nám rýchlo ukáže, že prvé kladné (t ) sa vyskytne pre (n = 0 ) a bude (t = 0,79847 ). Odpoveď sme znížili na desatinné miesto, aby bolo riešenie zvyšku problému o niečo jednoduchšie.

IVP pre pohyb objektu nadol je potom,

Toto je tiež oddeliteľná diferenciálna rovnica, ale je trochu zložitejšie ju vyriešiť. Najskôr oddeľme diferenciálnu rovnicu (s malým prepisom) a vložme do nej aspoň integrály.

Problémom je znamienko mínus v menovateli. Z tohto dôvodu nejde o inverznú tangensu, ako bol prvý integrál. Na vyhodnotenie tohto integrálu môžeme použiť substitúciu trigem ( (v = sqrt <98> sin theta )) alebo použiť parciálne zlomky s využitím skutočnosti, že (98 - = left (< sqrt <98> - v> right) left (< sqrt <98> + v> right) ). Pravdepodobne nie ste zvyknutí na podobné veci, ale práca s čiastočnými zlomkami nám umožňuje vyhnúť sa substitúcii trigónov a funguje to presne tak, ako keď je všetko celé číslo, a preto to urobíme pre tento integrál.

Podrobnosti o čiastočnom rozdelení necháme na vás. Po dokončení čiastočného rozdelenia sa integrál stane,

V tejto fáze opäť použijeme počiatočnú podmienku, aby sme si uľahčili život. Toto dáva,

Riešenia, tak ako sme ich aj tak napísali, sú potom,

Dobre, teraz musíme vyriešiť (v ) a aby sme to dosiahli, skutočne potrebujeme zmiznúť pruhy absolútnej hodnoty a nie, nemôžeme ich len pustiť, aby sme si uľahčili život. Musíme vedieť, že je možné ich vyhodiť bez toho, aby to malo vplyv na prípadné riešenie.

Aby sme to dosiahli, urobme rýchle smerové pole alebo vhodnejšie niektoré náčrty riešení zo smerového poľa. Tu je ten náčrt,

Všimnite si, že ( sqrt <98> = 9,89949 ) a tak je mierne nad / pod riadkami pre -10 a 10 znázornenými na náčrte. Tu je dôležité všimnúť si stredný región. Ak rýchlosť začína kdekoľvek v tejto oblasti, tak ako je uvedené, (v vľavo (<0,79847> vpravo) = 0 ), potom musí byť rýchlosť vždy nižšia ako ( sqrt <98> ).

To pre nás znamená, že ( sqrt <98> + v ) aj ( sqrt <98> - v ) musia byť kladné, a tak musí byť kladná aj kvantita v pruhoch absolútnej hodnoty. Preto v tomto prípade môžeme pustiť pruhy absolútnej hodnoty, aby sme dostali,

V tomto okamihu musíme vyriešiť veľmi chaotickú algebru pre (v ). Necháme na vás, aby ste si overili našu prácu s algebrou. Riešením pohybu objektu nadol je,

Dať všetko dohromady je úplné (rozhodne nepríjemné) riešenie tohto problému.

A s týmto problémom teraz viete, prečo sa držíme hlavne odporu vzduchu v tvare (cv )! Upozorňujeme tiež, že nehovoríme, že odpor vzduchu v uvedenom príklade je dokonca realistický. Bol vybraný iba na ilustráciu dvoch vecí. Po prvé, niekedy potrebujeme rozdielnu diferenciálnu rovnicu pre pohyb smerom nahor a nadol. Po druhé, nezvykajte si na to, že riešenia budú vždy také pekné, ako je väčšina tých, ktorí padajú. Niekedy, ako to ilustroval tento príklad, môžu byť veľmi nepríjemné a môžu vyžadovať veľa práce.

Predtým, ako opustíme túto časť, poďme si predstaviť niekoľko príkladov, ktoré dokazujú, že je dôležité pamätať na konvencie, ktoré ste stanovili pre pozitívne smerovanie v týchto problémoch.

Pred časom som svojim študentom dal problém, pri ktorom z lietadla vyskočil potápač. Väčšina mojich študentov sú inžinierske spoločnosti a podľa štandardnej konvencie z väčšiny svojich inžinierskych tried definovali pozitívny smer ako smerom nahor, a to napriek skutočnosti, že všetok pohyb problému smeroval nadol. Na tomto predpoklade však nie je nič zlé, pretože zabudli na konvenciu, že pozitívny výsledok je, že sa nevysporiadali správne s odporom vzduchu, kvôli ktorému dostali nesprávnu odpoveď. Morálka tohto príbehu teda znie: buďte opatrní pri svojom dohovore. Nezáleží na tom, ako ste to nastavili, ale musíte si vždy pamätať, akú konvenciu sa rozhodnete pre daný problém použiť.

Poďme sa teda pozrieť na problém a nastavme IVP, ktoré dá rýchlosti nebeského potápača kedykoľvek (t ).

Tu sú sily, ktoré pôsobia na nebo sa potápajú

Z dôvodu konvencií je sila pôsobením gravitácie záporná a sila pôsobením odporu vzduchu kladná. Ako boli nastavené, tieto sily majú správny znak, a teda aj IVP

[mv '= - mg + 0,8 vľavo | v right | hspace <0,25in> v left (0 right) = 0 ]

Problém nastáva, keď idete odstraňovať pruhy absolútnej hodnoty. Aby bolo možné problém vyriešiť, je potrebné ich odstrániť. Na tomto mieste urobila chybu väčšina študentov. Pretože zabudli na konvencie a smer pohybu, jednoducho pustili čiary absolútnej hodnoty, aby sa dostali.

Prečo je to teda nesprávne? Pamätajte, že podľa dohovoru je pozitívny vzostupný vzostup. Avšak v tomto prípade sa objekt pohybuje smerom nadol a tak (v ) je záporné! Po poklese pruhov absolútnej hodnoty sa odpor vzduchu stal zápornou silou, a preto pôsobil smerom dole!

Pre získanie správneho IVP si to zapamätajte, pretože (v ) je záporné, potom | (v ) | = - (v ). Týmto sa odpor vzduchu zmení na FA = -0,8 (v ) a napriek zdaniu ide o kladnú silu, pretože znak „-“ sa ruší proti rýchlosti (ktorá je záporná), aby sa získala kladná sila.

[mv '= - mg - 0,8v hspace <0,25in> v vľavo (0 vpravo) = 0 ]

Zapojenie hmoty dáva

[v '= - 9,8 - frac<<75>> hspace <0,25in> v left (0 right) = 0 ]

Kvôli úplnosti je rýchlosť potápača neba, prinajmenšom kým sa neotvorí padák, čo sme do tohto problému nezahrnuli.

K tejto chybe došlo čiastočne preto, že sa študenti ponáhľali a nedávali pozor, ale aj preto, že jednoducho zabudli na svoju konvenciu a smer pohybu! Neprepadajte tejto chybe. Vždy dávajte pozor na svoje konvencie a na to, čo sa deje v problémoch.

Len aby sme vám ukázali rozdiel, tu funguje problém za predpokladu, že pozitívny výsledok je nadol.

Tu sú sily, ktoré pôsobia na nebo sa potápajú

V tomto prípade je gravitačná sila kladná, pretože ide o silu smerom dole a odpor vzduchu je silou nahor, a preto musí byť záporná. V tomto prípade, pretože pohyb je nadol, je rýchlosť kladná, takže | (v ) | = (v ). Odpor vzduchu je potom FA = -0,8 (v ). IVP pre tento prípad je

[mv '= mg - 0,8v hspace <0,25in> v vľavo (0 vpravo) = 0 ]

Zapojenie hmoty dáva

[v '= 9,8 - frac<<75>> hspace <0,25in> v left (0 right) = 0 ]

Ide o rovnaké riešenie ako v predchádzajúcom príklade, ibaže má opačné znamienko. Toto sa dá očakávať, pretože medzi týmito dvoma príkladmi došlo k zámene konvencií.


Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


Diferenciálne rovnice prvého rádu

Uvažujme o ODE prvého rádu, čo je prípad, keď je najvyššou deriváciou v rovnici prvá derivácia.

Prvá otázka sa dá ľahko vyriešiť:

Veta o existencii a jedinečnosti

Predpokladajme, že $ f (t, y) $ a $ frac < čiastočné f (t, y)> < čiastočné y> $ sú spojité na uzavretom obdĺžniku $ R $ v rovine $ ty $. Ak $ (t_ <0>, y_ <0>) v R $, potom IVP, ODR spolu so zadanou počiatočnou podmienkou, $ y & # 8217 = f (t, y), quad y (t_ <0>) = y_ <0> $ má jedinečné riešenie $ y (t) $ na niektorých $ t $ -interval obsahujúci $ t_ <0> $.

Druhá otázka je oveľa ťažšia a často sa musíme uchýliť k numerickým metódam. V tomto výučbe však preskúmame štyri z najčastejšie používaných metód analytického riešenia pre ODES prvého rádu.

Oddelenie premenných

Ak je možné písať ODR v tvare $ frac < čiastočné y> < čiastočné t> = frac, $ potom sa hovorí o ODE oddeliteľné. V takom prípade je možné odvodiť jednoduchú techniku ​​riešenia nasledovne:

Predpokladajme, že $ y = f (t) $ vyrieši ODR. Prepisovanie ODR na $ h (y) y & # 8217 = g (t) $,

Integrácia s ohľadom na $ t $ na každej strane.

Po integrácii máme svoje implicitne definované všeobecné riešenie ODR, ktoré môžeme často vyriešiť výslovne r(t). Riešenie ODR sa údajne píše implicitne, ak má skôr formu $ H (xy) = C $, než aby bolo riešené pre y v zmysle x.

Príklad

Poďme vyriešiť oddeliteľné ODE $ y & # 8217 = frac <4y>$. Oddelenie premenných a integrácia,

Pripomeňme si to
$ r ln a = ln a ^ mathrm <

Všeobecné riešenie, $ y = Ct ^ 4 $, definuje rodinu riešení, zodpovedajúcich rôznym počiatočným podmienkam.

Použitie integračného faktora na riešenie lineárnej ODE

Ak sa dá do ODR prvého rádu zapísať normálna lineárna forma $ y & # 8217 + p (t) y = q (t), $ ODR sa dá vyriešiť pomocou integračného faktora $ mu (t) = e ^ < int p (t) dt> $:

Vynásobenie obidvoch strán ODR $ mu (t) $.

$ left ( mu (t) y right) & # 8216 = mu (t) y & # 8217 + mu & # 8216 (t) y $ a $ mu & # 8216 (t) = p (t ) mu (t) $ pomocou pravidla reťazca na odlíšenie $ mu (t) = e ^ < int p (t) dt> $.

Integrácia každej strany s ohľadom na $ t $.

Delením na $ mu (t) $ máme všeobecné riešenie lineárnej ODR.

Príklad

Lineárny ODE $ y & # 8217-2ty = t $ môžeme vyriešiť pomocou integrujúceho faktorera. Tu $ p (t) = - 2t $ a $ q (t) = 1 $, takže $ mu (t) = e ^ < int -2t dt> = e ^ <- t ^ <2>> $ Vynásobením obidvoch strán ODR $ mu (t) $,

To, či $ (e ^ <- t ^ <2>> y) & # 8217 = e ^ <- t ^ <2>> (y & # 8217-2ty) $ môžete overiť pomocou reťazcového pravidla na odlíšenie $ e ^ <-t ^ <2>> y $

Integrácia každej strany s ohľadom na $ t $.

Takže všeobecné riešenie $ y & # 8217-2ty = t $ je $ y (t) = Ce ^> - frac <1> <2> $.

Precvičte riešenie problému $ y & # 8217 = frac <4y>$ vložením do normálnej lineárnej formy a použitím integračného faktora. Oddelením premenných overte, či získate rovnaký výsledok ako my.

Použitie zmeny premenných

ODR prvého poriadku, ktorá nie je ani oddeliteľná, ani lineárna, sa často dá zjednodušiť na jeden z týchto typov vykonaním zmeny premenných. Tu je niekoľko dôležitých príkladov:

Homogénna rovnica objednávky 0: $ frac = f (x, y) $, kde $ f (kx, ky) = f (x, y) $. Použite zmenu premenných $ z = frac$ na prevod ODR na $ x frac = f (1, z) -z $, ktoré je oddeliteľné.

Nahradením do pôvodnej rovnice,

Odporúčame porozumieť skôr postupu pri zmene premenných
než zapamätať si výslednú rovnicu! Po vyriešení tejto oddeliteľnej rovnice sa pomocou $ z = y / x $ vráťte k pôvodným premenným.

Bernoulliho rovnica: $ frac

+ p (t) y = q (t) y ^ štvorkolka
(b not = 0,1) $. Pomocou zmeny premenných $ z = y ^ $ preveďte ODR na $ frac
+ (1-b) p (t) z = (1-b) q (t) $, ktoré je lineárne.

Po vyriešení tejto lineárnej rovnice sa pomocou $ z = y ^ $ vráťte na
pôvodné premenné.

Riccatiho rovnica: $ frac

= a (t) y + b (t) y ^ <2> + F (t) $. Ak je známe konkrétne riešenie $ g (t) $, použite zmenu premenných $ z = frac <1>$ na prevod ODR na $ frac
+ (a + 2bg) z = -b $, ktoré je lineárne.

Predpokladajme, že $ y = g (t) $ vyrieši ODR.

Nahradenie do pôvodného ODR,

$ g '(t) = ag + bg ^ <2> + F (t) $, pretože $ g (t) $ rieši
pôvodná ÓDA.

Po vyriešení tejto lineárnej rovnice použite $ y = g (t) + frac <1>$ až
návrat k pôvodným premenným.

Pri použití zmeny premenných vyriešte transformovanú ODR a potom sa vráťte k pôvodným premenným, aby ste získali všeobecné riešenie pôvodnej ODE. Často budete musieť svoje riešenie nechať v implicitnej podobe.

Príklad

Poďme vyriešiť problém s ODE $ frac= frac$. Aby ste zistili, že je homogénny s objednávkou 0, všimnite si, že $ f (kx, ky) = frac= frac= f (x, y). $

Nech $ z = frac$. Potom $ y = xz $, takže $ frac= x frac+ z $. ÓDA sa stáva začína x frac+ z & amp = & amp frac x frac+ z & amp = & amp frac<1-4z> x frac & amp = & amp frac <4z ^ <2> -1> <1-4z>, end ktorý je oddeliteľný. Oddelenie premenných a integrácia,

Násobenie $ -4 $ a opätovné označenie $ -4C_ <1> $ ako $ C_ <2> $.

Návrat k pôvodným premenným pomocou $ z = y / x $.

Všeobecné riešenie, $ (2y + x) ^ <3> (2y-x) = C $, je napísané implicitne.

Hľadanie integrálu pre presnú rovnicu

ODE $ N (x, y) y & # 8217 + M (x, y) = 0 $ je presne rovnica, ak $ frac < parciálny N> < parciálny x> = frac < parciálny M> < parciálny y> $ v oblasti roviny $ xy $. Ak nájdeme funkciu $ H (x, y) $, pre ktorú $ frac < čiastočné H> < čiastočné x> = M $ a $ frac < čiastočné H> < čiastočné y> = N $, potom sa $ H (x, y) $ nazýva an integrálne ODR a $ H (x, y) = C $ je všeobecné riešenie pôvodnej ODR.

Ak chcete nájsť $ H (x, y) $, všimnite si, že $ H (x, y) = int M (x, y) dx + g (y) $ pre nejaké $ g (y) $ od $ frac < čiastočné H> < čiastočné x> = M (x, y) $. Ak chcete nájsť $ g (y) $, vypočítajte $ frac < čiastočné H> < čiastočné y> = frac < čiastočné> < čiastočné y> doľava [ int M (x, y) dx doprava] + g '(y) $ a nastaví sa na hodnotu $ N (x, y) $. Vyriešte $ g '(x, y) $, ktoré budú nezávislé od $ x $, a integrujte ich vo vzťahu k $ y $, aby ste získali $ g (y) $, a teda $ H (x, y) $, výslovne . Všimnite si, že naše riešenie $ H (x, y) = C $ je napísané v implicitnej podobe. Prípadne môžeme začať s $ H (x, y) = int N (x, y) dy + h (x) $ pre nejaké $ h (x) $ a postupovať podľa toho.

Príklad

ODE $ vľavo (2yx ^ <2> + 4 vpravo) frac + left (2y ^ <2> x -3 right) = 0 $ je presný, pretože pre $ N (x, y) = 2yx ^ <2> + 4 $ a $ M (x, y) = 2y ^ <2> x -3 $, $ frac < čiastočné N> < čiastočné x> = 4xy = frac < čiastočné M> < čiastočné y>. $ Existuje teda integrálny $ H (x, y) $, pre ktorý $ frac < čiastočné H> < čiastočné x> = 2y ^ <2> x-3 mathrm <


Pochopenie toho, ako vyriešiť lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou diferenciálnych integrálov

Učím sa, ako vyriešiť lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu, povedzme $ y ‘(x) + p (x) y = q (x) $. Kde $ p (x) $ a $ q (x) $ sú spojité v intervale $ I $.

Už viem, že na vyriešenie tejto rovnice vynásobte obe strany alebo rovnicu znakom $ exp int p (x) dx $, potom nám zostane $ d left ( exp left [ int p (x) dx right] y (x) right) = d left ( exp left [ int p (x) dx right] q (x) dx right). $ Potom príde riešenie bez akékoľvek ďalšie úsilie: $ y (x) = exp doľava [- int p (x) dx doprava] doľava (C + int q (x) exp doľava [ int p (x) dx doprava ] dx right). $ Nemám problém to pochopiť. Nie som si však istý, ako prepísať riešenie v podobe určité integrály. V mojej učebnici môže byť riešenie napísané takto $ y (x) = exp left [- int_^ xp (t) dt pravý] cdot ľavý (C + int_^ xq (y) exp doľava [ int_^ sp (t) dt vpravo] ds vpravo) quad (x_0 v I). $ Nasledujú moje otázky.

  1. Čo je tu $ x_0 $? Vyberá sa svojvoľne nad $ I $?
  2. Ako získam & quotdefinitívna integrálna forma& quot z & quotneurčitá integrálna forma& quot?
  3. Prečo potrebujeme & quotdefinitívna integrálna forma& quot? Je to niečo ako obdobie hľadania potenciálnej funkcie konzervatívneho vektorového poľa?

Som naozaj zmätený z tejto & quotdifinite integrálnej formy & quot. Ak si myslíte, že je potrebné pridať niekoľko dôležitých vecí, ktoré nie sú zahrnuté v mojich otázkach a rozšíreniach, neváhajte a hovorte. Akákoľvek pomoc bude ocenená!


Matematika (MATH)

Štúdium vybraných vývojových tém alebo aktuálnych problémov matematiky. Poskytuje študentovi príležitosť preskúmať rôzne témy podrobnejšie. Opakovateľné pre rôzne témy. Nemožno použiť na splnenie požiadaviek na absolvovanie voliteľného a / alebo programového absolvovania.

Požiadavky: Spolupracovníci fakulty stanovia pre každú tému vhodný predpoklad / predpoklad.

MATH-0812 Špeciálne témy v prestatistike

Tento kurz predstavuje základné algebraické témy potrebné na absolvovanie kurzu štatistiky na vysokej škole. Témy zahŕňajú operácie s racionálnymi číslami, množiny čísel, poradie operácií, operácie s reálnymi číslami, riešenie lineárnych rovníc, úvod do riešenia problémov, tvorba grafov rovníc, zjednodušenie exponenciálnych výrazov, notácia funkcií a radikálne a exponenciálne funkcie.

Požiadavky: MATH-0910 Základná aritmetika a predalgebra, alebo dostatočné skóre pri teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia.

MATH-0910 Základná aritmetika a predalgebra

Zahŕňa skutočné čísla (celé čísla, zlomky, zlomky so znamienkom a desatinné miesta so znakom) a operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) spolu s používaním poriadku operácií, pomerových mier, podielov, percent, anglický systém merania, úvod do základná algebra a riešenie základných algebraických rovníc a obvod a plocha základných geometrických tvarov. Zahŕňa aplikácie a aktivity na získanie zručností v odhadovaní a riešení problémov. Známka pre matematiku 0910 je P pre úspešné zvládnutie alebo NP pre nulové skóre.

Požiadavky: Dostatočné skóre v hodnotiacom teste alebo v schválení oddelením.

MATH-0955 Počiatočná algebra

Prvý z dvoch kurzov vývojovej matematiky. Témy zahŕňajú zjednodušenie základných algebraických výrazov v jednej premennej, riešenie jednej variabilnej lineárnej rovnice, doslovné rovnice, lineárne nerovnosti v jednej premennej, grafy lineárnych nerovností v jednej premennej, zložené nerovnosti, grafy zložených nerovností, určenie vzťahu, domény, rozsahu funkcií graficky a algebraicky , vykonávanie operácií s funkciami, zavádzanie pravouhlého súradnicového systému, určovanie rovníc priamok, grafy čiar a dvoch premenných nerovností, riešenie sústav dvoch premenných rovníc a nerovností, vykonávanie algebraických operácií a zjednodušovanie polynómov vrátane pravidiel exponentov a vedecký zápis. Zahŕňa aplikácie a aktivity na získanie zručností pri riešení problémov.

Požiadavky: MATH-0910 Základná aritmetika a predalgebra, alebo dostatočné skóre pri teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia.

MATH-0965 Stredná algebra

Druhý z dvoch kurzov vývojovej matematiky. Témy zahŕňajú faktoringové riešenie kvadratických rovníc s využitím metód vlastnosti nulového súčinu, vlastnosti odmocniny, doplnenie druhej mocniny a kvadratický vzorec riešiaci racionálne a radikálne rovnice a systémy troch lineárnych rovníc v troch premenných zjednodušujúce a hodnotiace racionálne, radikálne a exponenciálne výrazy znázorňujúce grafy kvadratických a radikálnych funkcií úvod do exponenciálnych a logaritmických funkcií a ich grafy, aplikácie a činnosti zamerané na budovanie schopností riešenia problémov.

Požiadavky: MATH-0955 Počiatočná algebra alebo dostatočné skóre pri teste umiestnenia z matematiky alebo schválení katedrou. Matematika MATH-0960 a MATH-0980, ktoré sa uskutočnili pred jeseň 2016, tiež splnia predpoklady tohto kurzu. Upozorňujeme: MATH-0965 Stredná algebra sa NEPOČÍTA ako kurz na vysokej škole (MATH-1270 alebo MATH-1280) z dôvodu novej definície matematického kurzu s kreditom v štáte Ohio. Aj keď sa kredit získava za kurzy úrovne 0, kredit sa nevzťahuje na splnenie požiadaviek na absolvovanie akéhokoľvek certifikátu alebo titulu na Cuyahoga Community College.

MATH-0990 Matematická gramotnosť pre študentov vysokých škôl

Kurz integruje počítanie, proporcionálne uvažovanie, algebraické uvažovanie a funkcie. Študenti vyvinú koncepčné a procedurálne nástroje, ktoré rôznymi spôsobmi podporia využitie kľúčových matematických konceptov. Medzi kontexty patria osobné financie, lekárska gramotnosť a občianstvo.

Požiadavky: MATH-0910 Základná aritmetika a predalgebra alebo dostatočné skóre pri skúške umiestnenia alebo schválení oddelenia.

MATH-1100 Mathematical Explorations

Prieskum matematických tém s cieľom rozvinúť širšie uznanie matematiky skúmaním spôsobov, v ktorých sú umelecké, estetické a intelektuálne aspekty matematiky rovnako dôležité ako jej užitočnosť. Študenti budú mať možnosť študovať základné pojmy a zručnosti pri riešení problémov, teórii množín, logike a teórii čísel s cieľom oboznámiť ich s podstatou matematiky tak, ako sa vzťahuje na praktickú aj abstraktnú problematiku. Tento kurz je určený pre študentov, ktorých veľké spoločnosti nevyžadujú kurzy v odbore štatistika alebo STEM a bude sa započítavať do požiadaviek na pridružené tituly vyžadujúce matematiku na úrovni 1000.

Podmienky: MATH-0910 Základná aritmetika a pre-algebra alebo príslušné skóre v teste umiestnenia matematiky na zápis do MATH-0955 Počiatočná algebra a ENG-0995 Applied College Literacies alebo príslušné skóre v anglickom teste umiestnenia na zápis do ENG-1010 Zloženie na vysokej škole I alebo MATH-0955 Počiatočná algebra alebo MATH-0990 Matematická gramotnosť pre študentov vysokých škôl alebo dostatočné skóre v teste z matematiky alebo schválenie na katedre: ekvivalentná práca na kurze. Poznámka: MATH-0950 Počiatočná algebra, ktorú som absolvoval pred pádom 2016, bude tiež prijatý, aby splnil základné predpoklady tohto kurzu. ENG-0990 Jazykové základy II, ktoré boli urobené pred pádom 2021, tiež splnia základné požiadavky.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1190 Algebraické a kvantitatívne zdôvodnenie

Aplikácie a ocenenie kvantitatívnej gramotnosti. Interpretácia informácií z reálnych zdrojov na riešenie problémov pomocou numerických, algebraických a grafických znalostí. Preskúmajú sa rôzne použitia matematických modelov a vypracuje sa štatistické myslenie. Medzi kontexty patrí finančné, environmentálne, sociálne a verejné a osobné zdravie.

Požiadavky: MATH-0955 Počiatočná algebra alebo MATH-0990 Matematická gramotnosť pre vysokoškolských študentov alebo dostatočné skóre pri matematickom teste alebo schválení v odbore.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM011.

MATH-1240 Súčasná matematika

Aplikácia matematiky v súčasnom živote. Úvod do finančnej gramotnosti, dimenzionálna analýza aplikovaná na meranie a prepočty jednotiek, teória grafov, témy týkajúce sa pravdepodobnosti a popisné štatistiky.

Požiadavky: MATH-0955 Počiatočná algebra alebo dostatočné skóre v teste z matematiky alebo schválenie oddelenia: rovnocenné kurzy. Poznámka: MATH-0960 alebo MATH-0980, ktoré boli urobené pred jeseň 2016, budú tiež akceptované, aby splnili nevyhnutné požiadavky tohto kurzu.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1370 Matematika pre učiteľov základných a stredných škôl I

Prvá z dvoch semestrálnych sekvencií určených pre hlavné a stredoškolské vzdelávanie. Dôraz na pochopenie myšlienok a pojmov. Zahŕňa množiny a číslovanie, celé čísla, teóriu čísel, zlomky, desatinné čísla, celé čísla, racionálne a reálne čísla, stratégie riešenia problémov a historické témy. Zvýrazní aplikácie pre učebne, projekty a použitie súčasnej technológie vrátane vedeckých / grafických kalkulačiek a počítačov.

Požiadavky: MATH-0965 Stredná algebra alebo dostatočné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia: ekvivalentná práca v kurze. Poznámka: MATH-1200 alebo 1280 absolvované pred pádom 2016 alebo MATH-1270 absolvované pred letom 2017 budú tiež akceptované, aby splnili nevyhnutné predpoklady pre tento kurz.

MATH-1380 Matematika pre učiteľov základných a stredných škôl II

Druhá z dvojsemestrálnej postupnosti určená pre hlavné a stredoškolské vzdelávanie. Dôraz na pochopenie myšlienok a pojmov. Zahŕňa štatistiku, pravdepodobnosť, meranie, geometrické tvary, euklidovskú geometriu, súradnicovú geometriu, transformačnú geometriu, stratégie riešenia problémov a historické témy. Zvýrazní aplikácie pre učebne, projekty a použitie súčasnej technológie vrátane vedeckých / grafických kalkulačiek a počítačov.

Požiadavky: MATH-1370 Matematika pre učiteľov základných a stredných škôl I, alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1410 Elementárna pravdepodobnosť a štatistika I

Prvý z dvojsemestrálnych úvodných sekvencií v pravdepodobnosti a štatistike. Určené pre študentov odboru slobodné umenie, obchod, vedy, inžinierstvo a vzdelávanie. Zahŕňa štúdium popisných štatistík, elementárnu pravdepodobnosť, rozdelenie pravdepodobnosti, normálne rozdelenie, binomické rozdelenie, koncepcie vzorkovania, rozdelenie vzorkovania priemeru vzorky, odhad a testovanie hypotéz.

Požiadavky: MATH-0965 Stredná algebra alebo MATH-1240 Súčasná matematika alebo dostatočné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie na katedre: ekvivalentná práca v kurze. Poznámka: MATH-1200, 1250 alebo 1280 absolvované pred jeseň 2016 alebo MATH-1270 absolvované pred letom 2017 tiež splnia predpoklady tohto kurzu.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM010.

MATH-1420 Elementárna pravdepodobnosť a štatistika II

Druhá z dvojsemestrálnej úvodnej postupnosti v pravdepodobnosti a štatistike. Určené pre študentov odboru slobodné umenie, obchod, vedy, inžinierstvo a vzdelávanie. Zahŕňa štúdiu Chí-kvadrátovej distribúcie a F distribúcie a ich aplikácií, závery o odchýlkach a proporciách, porovnanie dvoch spôsobov, kategorické údaje, korelácia, jednoduchá a viacnásobná regresia, analýza odchýlky, neparametrické testy a použitie štatistických softvérových balíkov.

Požiadavky: MATH-1410 Elementárna pravdepodobnosť a štatistika I alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1470 Moderná matematika pre podnikanie a spoločenské vedy I

Prvá z dvojsemestrálnej postupnosti. Témy zahŕňajú funkcie, matematiku financií, lineárne systémy, maticovú algebru a lineárne programovanie s aplikáciami v obchodných a spoločenských vedách.

Požiadavky: MATH-0965 Stredná algebra alebo zodpovedajúce skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia: rovnocenné kurzy. Poznámka: MATH-1200 alebo 1280 absolvované pred jeseň 2016 alebo MATH-1270 dokončené pred letom 2017 budú tiež spĺňať základné predpoklady pre tento kurz.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1480 Moderná matematika pre obchodné a spoločenské vedy II

Druhá z dvojsemestrálnej sekvencie. Témy zahŕňajú základy diferenciálneho a integrálneho počtu s aplikáciami v obchodných a spoločenských vedách.

Požiadavky: MATH-1470 Moderná matematika pre obchodné a spoločenské vedy I alebo MATH-1530 College Algebra alebo MATH-153H Honors College Algebra alebo MATH-1580 Precalculus alebo dostatočné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia pre ekvivalentné kurzy.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM013.

MATH-1490 Podnikateľská pravdepodobnosť a štatistika I

Prvý z dvojsemestrálnych úvodných sekvencií v oblasti obchodnej pravdepodobnosti a štatistík. Určené pre študentov odboru obchod. Aplikácia štatistických metód na obchodné a ekonomické problémy. Témy zahŕňajú štúdium deskriptívnej štatistiky, elementárnu pravdepodobnosť, náhodné premenné a rozdelenie pravdepodobnosti, binomické rozdelenie, normálne rozdelenie, koncepcie vzorkovania, vzorkové rozdelenie priemeru vzorky, odhad intervalu pre priemerné hodnoty a proporcie populácie, testovanie hypotéz, korelácia a jednoduché lineárne regresné modely.

Požiadavky: MATH-1470 Moderná matematika pre podnikanie a spoločenské vedy I alebo MATH-1530 College Algebra alebo MATH-153H College Algebra alebo MATH-1580 Precalculus alebo príslušné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie na katedre: ekvivalentná práca v kurze .

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL a Transfer Assurance Guide OBU013.

MATH-1500 Obchodná pravdepodobnosť a štatistika II

Druhá z dvojsemestrálnych úvodných sekvencií v pravdepodobnosti a štatistike, určená pre študentov odboru obchod. Zahŕňa štúdium záverov o prostriedkoch a proporciách, analýzu odchýlok, koreláciu, jednoduché a viacnásobné lineárne regresné modely, obchodné aplikácie a rozhodovanie a použitie štatistického softvéru.

Požiadavky: MATH-1490 Podnikateľská pravdepodobnosť a štatistika I alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-1530 College Algebra

Témy zahŕňajú rozsiahle zobrazovanie funkcií (lineárne, kvadratické, polynomické, radikálne, korene, mocniny, po častiach, exponenciálne, logaritmické) vrátane slovnej, číselnej, grafickej a algebraickej, identifikácia vlastností rôznych typov funkcií, transformácia funkcií, riešenie lineárnych funkcií , polynomické, racionálne, absolútne hodnoty, exponenciálne a logaritmické rovnice. Riešte kvadratické, polynomické a racionálne nerovnosti v jednej premennej. Určte a nakreslite kužeľovité úseky, riešte nelineárne systémy rovníc a nerovností a riešte sústavy rovníc pomocou matíc, aritmetických a geometrických sekvencií a radov. Zahŕňa aplikácie a aktivity na získanie zručností pri riešení problémov.

Požiadavky: MATH-0965 Stredná algebra alebo dostatočné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia za ekvivalentnú prácu na kurze. Poznámka: Matrace MATH-1200 alebo MATH-1280, ktoré sa uskutočnia pred pádom 2016 alebo MATH-1270, ktoré sa uskutočnia pred letom 2017, budú tiež akceptované, aby splnili základné požiadavky na tento kurz.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM001 a TMM002 (musí sa absolvovať 1 z 2 kurzov).

MATH-153H Honors College Algebra

Témy zahŕňajú rozsiahle zobrazovanie funkcií (lineárne, kvadratické, polynomické, radikálne, korene, mocniny, po častiach, exponenciálne, logaritmické) vrátane slovnej, číselnej, grafickej a algebraickej, identifikácia vlastností rôznych typov funkcií, transformácia funkcií, riešenie lineárnych funkcií , polynomické, racionálne, absolútne hodnoty, exponenciálne a logaritmické rovnice. Riešte kvadratické, polynomické a racionálne nerovnosti v jednej premennej. Určte a nakreslite kužeľovité úseky, riešte nelineárne systémy rovníc a nerovností a riešte sústavy rovníc pomocou matíc, aritmetických a geometrických sekvencií a radov. Zahŕňa aplikácie a aktivity na získanie zručností pri riešení problémov.

Požiadavky: MATH-0965 Stredná algebra alebo dostatočné skóre pri teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia: ekvivalentná práca v kurze. Poznámka: MATH-1 200 alebo 1 280 absolvované pred pádom 2016 alebo MATH-1 270 absolvované pred letom 2017 budú akceptované, aby splnili nevyhnutné predpoklady pre tento kurz.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM001 a TMM002 (musí sa absolvovať 1 z 2 kurzov).

MATH-1540 trigonometria

Tento kurz je súčasťou dvojsemestrálnej postupnosti. Témy zahŕňajú trigonometrické funkcie a ich hodnoty pre všetky uhly, vektory a šikmé trojuholníky, grafy trigonometrických funkcií, trigonometrické identity a rovnice. Vrátane aplikácií a aktivít na budovanie zručností pri riešení problémov.

Požiadavky: MATH-1530 College Algebra alebo dostatočné skóre v teste z umiestnenia z matematiky alebo v odbore: rovnocenné kurzy. Poznámka: MATH-1275 MATH-1280, MATH-1521 alebo MATH-152H, ktoré boli urobené pred pádom 2016, budú akceptované, aby splnili nevyhnutné predpoklady pre tento kurz.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM003 a TMM002 (musia sa absolvovať 2 z 2 kurzov).

MATH-154H vyznamenáva trigonometriu

Témy zahŕňajú trigonometrické funkcie a ich hodnoty pre všetky uhly, vektory a šikmé trojuholníky, grafy trigonometrických funkcií, trigonometrické identity a rovnice. Vrátane aplikácií a aktivít na budovanie zručností pri riešení problémov. Dôraz na náročnejšie trigonometrické koncepty v prostredí skutočného sveta sa kladie vo forme projektov a prezentácií v triede.

Požiadavky: MATH-1530 College Algebra alebo MATH-153H Honors College Algebra alebo súhlas ministerstva. Poznámka: MATH-1275 MATH-1280, MATH-1521 alebo MATH-152H, ktoré boli urobené pred pádom 2016, budú akceptované, aby splnili nevyhnutné predpoklady pre tento kurz.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM003 a TMM002 (musia sa absolvovať 2 z 2 kurzov).

MATH-1580 Precalculus

Intenzívnejší kurz určený na prípravu študentov na kalkul. Štúdium reálnych čísel, rovníc a nerovností, funkcií a grafov, postupností a radov, teória rovníc, sústavy rovníc a nerovností, matematická indukcia, kónické rezy, exponenciálne a logaritmické funkcie, trigonometrické funkcie a komplexné čísla. Zahrnuté boli aj aplikácie a aktivity na získanie zručností pri riešení problémov.

Požiadavky: Dostatočné skóre v teste z matematiky alebo schválenie katedrou: predchádzajúci kurz trigonometrie alebo algebry / trigonometrie na strednej alebo vysokej škole.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM002.

MATH-1610 kalkul I.

Prvá z troch semestrov určená pre matematické, prírodovedné a technické odbory. Zahŕňa štúdium karteziánskych súradníc, funkcií a grafov, limitov a spojitosti, diferenciácie algebraických a trigonometrických funkcií, aplikácie derivácií, diferenciálov a antiderivátov a určitý integrál a jeho aplikácie.

Požiadavky: trigonometria MATH-1540 alebo trigonometria MATH-154H Honors alebo MATH-1580 Precalculus alebo príslušné skóre v teste umiestnenia z matematiky alebo schválenie oddelenia: ekvivalentné kurzy.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM005 a TMM017 (musí sa absolvovať 1 z 2 kurzov).

Matematický počet MATH-161H I

Prvá z trojsemestrálnej postupnosti určenej pre hlavné obory z matematiky, prírodných vied, podnikania a techniky. Zamerajte sa na koncepčné porozumenie slovných, číselných, vizuálnych a algebraických zobrazení funkcií, ich grafov a operácií. Zahŕňa limity, spojitosť, rýchlosti zmien, derivácie, implicitnú diferenciáciu algebraických a trigonometrických funkcií, aplikáciu diferenciálov, diferenciáciu, integrály a aplikáciu integrácie. Zdôrazňuje náročné cvičenia, problémy, projekty, kooperatívnu skupinovú prácu, prezentáciu študentov jedného z kurzov a využitie technológií: grafických kalkulačiek a počítačov.

Požiadavky: Trigonometria MATH-1540 alebo trigonometria MATH-154H Honors Trigonometria alebo MATH-1580 Precalculus alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca na kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM005 a TMM017 (musí sa absolvovať 1 z 2 kurzov).

MATH-1620 Calculus II

Druhá z trojsemestrálnej postupnosti. Zahŕňa štúdium aplikácií určitého integrálu, integračných techník, neurčitých foriem, nesprávnych integrálov, sekvencií, radov, kónických rezov, parametrických rovníc a polárnych súradníc.

Požiadavky: Matematický počet MATH-1610 I alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM006 a TMM017 (musia sa absolvovať 2 z 2 kurzov).

MATH-162H Honors Calculus II

Druhá z trojsemestrálnej postupnosti. Témy zahŕňajú aplikácie určitého integrálu, techniky integrácie, neurčité formy, nesprávne integrály, postupnosti, rady, kónické rezy, parametrické rovnice a polárne súradnice.Zdôrazňuje dôkazné vety a riešenie náročných cvičení a aplikačných problémov.

Požiadavky: Matematický počet I MATH-161H alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM006 a TMM017 (musia sa absolvovať 2 z 2 kurzov).

Matematická zmluva MATH-179H vyznamenáva

Zmluva o vyznamenaniach dopĺňa a prekračuje požiadavky a očakávané výsledky pre existujúci vyznamenávací kurz na úrovni 1 000 prostredníctvom formulácie zmluvy s mentorom fakulty. Toto nezávislé štúdium na úrovni vyznamenaní je možné absolvovať aj s kurzom bez vyznamenania. Ak sa zmluva s vyznamenaním uskutoční na kurze bez vyznamenania, dodáva tomuto kurzu čestný zážitok. V spolupráci s mentorom fakulty študent uzavrie zmluvu, ktorej výsledkom bude po ukončení štúdia výrazné štipendium. Študent je povinný pravidelne sa stretávať s inštruktorom na seminároch mentor-študent. Na akadémii je možné uzavrieť najviac šesť čestných zmlúv (šesť kreditných hodín) (vrátane 179H a 279H).

Ďalšie požadované hodiny: 00.

Požiadavky: Musia sa absolvovať súčasne s 1000-stupňovým kurzom, ktorého inštruktor súhlasí s mentorovaním študenta v tejto zmluve. Vyžaduje sa súhlas ministerstva.

MATH-1800 Špeciálne témy z matematiky

Štúdium vybraných tém alebo aktuálnych čísel. Poskytuje študentovi príležitosť preskúmať rôzne témy podrobnejšie. Opakovateľné pre rôzne témy. Na splnenie požiadaviek na výberový a / alebo absolventský program sa nemôže použiť viac ako šesť kreditov so špeciálnymi témami.

Požiadavky: Spolupracovníci fakulty stanovia pre každú tému vhodný predpoklad / predpoklad.

MATH-1820 Nezávislé štúdium / Výskum v matematike

Riadené individuálne štúdium. Názov štúdia / výskumu a konkrétny obsah dohodnutý medzi inštruktorom a študentom. Môže sa opakovať najviac pre šesť kreditov rôznych tém.

Požiadavky: Schválenie na katedre a schválenie inštruktorom a ENG-0995 Applied College Literacies alebo príslušné skóre v anglickom umiestnení. Poznámka: Požiadavky nevyhnutne vyhovujú aj ENG-0990 Jazykové základy II, ktoré boli urobené pred jeseňom 2021.

Nezávislé štúdium / výskum v matematike vyznamenáva MATH-182H

Individuálne štúdium na úrovni vyznamenaní v matematike. Názov štúdia / výskumu a konkrétny obsah dohodnutý medzi inštruktorom a študentom (aktuálne ponuky nájdete v časovom pláne kreditov). Môže sa opakovať najviac pre šesť kreditov rôznych tém.

Požiadavky: Schválenie na katedre a schválenie inštruktora a ENG-0995 Aplikovaná vysokoškolská gramotnosť alebo zodpovedajúce skóre v teste umiestnenia v angličtine a musia získať A alebo B v najmenej 3 čestných kurzoch. Poznámka: Požiadavky nevyhnutne spĺňajú aj ENG-0990 Jazykové základy II, ktoré boli urobené pred jeseňom 2021.

MATH-2010 Úvod do diskrétnej matematiky

Základný kurz diskrétnej matematiky s aplikáciami. Témy zahŕňajú logiku, metódy dokazovania, teóriu elementárnych čísel, teóriu množín, funkcie, účinnosť algoritmov a matematickú indukciu.

Požiadavky: MATH-1530 College Algebra alebo MATH-153H College Algebra alebo MATH-1580 Precalculus alebo dostatočné skóre pri teste alebo schválení oddelenia: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMMSL.

MATH-2310 Calculus III

Tretia z trojsemestrálnej postupnosti. Zahŕňa vektory, parametrické rovnice, analytickú geometriu priestoru, čiastočnú diferenciáciu a viacnásobné integrály, priamkové a povrchové integrály.

Požiadavky: Matematický počet MATH-1620 II alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM018 a Transfer Assurance Guide OMT018.

MATH-231H Honors Calculus III

Tretia z trojsemestrálnej postupnosti určená pre hlavné obory matematiky, prírodných vied, podnikania a techniky. Zameriava sa na koncepčné porozumenie vektorov, parametrické rovnice, analytickú geometriu priestoru, čiastočnú diferenciáciu a viacnásobné integrály, priamkové a povrchové integrály. Zdôrazňuje dôkazné vety a riešenie náročných príkladov, cvičení a aplikačných problémov. Zdôrazňuje vývoj výskumných projektov. Podčiarkuje spoluprácu, prezentáciu študentov jedného z kurzov a využitie technológií: grafické kalkulačky a počítače.

Podmienky: MATH-162H Honors Calculus II, alebo maturita Honors Calculus II, alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca na kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM018 a Transfer Assurance Guide OMT018.

MATH-2410 Úvod do lineárnej algebry

Zahŕňa štúdium vektorových priestorov, lineárnych transformácií a matíc, determinantov, invariantných podpriestorov, vlastných čísel a vlastných vektorov a aplikácií.

Požiadavky: Matematický počet MATH-1620 II alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM019 a Transfer Assurance Guide OMT019.

MATH-2520 Diferenciálne rovnice

Štúdium diferenciálnych rovníc prvého a vyššieho rádu so zameraním na použitie lineárnych a nelineárnych diferenciálnych rovníc prvého poriadku, homogénnych a nehomogénnych lineárnych rovníc, simultánnych systémov, lineárnych a nelineárnych diferenciálnych rovníc, výkonové rady, Laplaceove a inverzné Laplaceove transformácie na riešenie rôznych aplikačných problémov .

Požiadavky: Matematický počet MATH-1620 II alebo súhlas katedry: ekvivalentná práca v kurze.

Schválené OAN: Ohio Transfer 36 TMM020 a Transfer Assurance Guide 0MT020.

MATH-2800 Špeciálne pokročilé témy z matematiky

Štúdium vybraných pokročilých tém alebo aktuálnych čísel. Poskytuje študentovi príležitosť preskúmať rôzne témy podrobnejšie. Opakovateľné pre rôzne témy. Na splnenie požiadaviek na výberový a / alebo absolventský program nemožno použiť viac ako šesť kreditov za kurzy so špeciálnymi témami.

Požiadavky: Spolupracovníci fakulty stanovia pre každú tému vhodný predpoklad / predpoklad

MATH-2820 Nezávislé pokročilé štúdium / Výskum v matematike

Riadené individuálne pokročilé štúdium. Názov štúdia / výskumu a konkrétny obsah dohodnutý medzi inštruktorom a študentom. Môže sa opakovať najviac pre šesť kreditov rôznych tém.

Požiadavky: Schválenie na katedre a schválenie inštruktorom a ENG-0995 Applied College Literacies alebo príslušné skóre v anglickom umiestnení. Poznámka: Požiadavky nevyhnutne vyhovujú aj ENG-0990 Jazykové základy II, ktoré boli urobené pred jeseňom 2021.

Nezávislé štúdium / výskum v matematike MATH-282H Advanced Honours

Individuálne štúdium na úrovni vyznamenaní. Musí spĺňať kritériá uvedené v kontrolnom zozname čestných kurzov, ktorý sa používa na schválenie bežných čestných kurzov. Názov štúdia / výskumu a konkrétny obsah dohodnutý medzi inštruktorom a študentom. Môže sa opakovať najviac pre šesť kreditov rôznych tém.

Požiadavky: Schválenie na katedre a schválenie inštruktora a ENG-0995 Aplikovaná vysokoškolská gramotnosť alebo zodpovedajúce skóre v teste umiestnenia v angličtine a musia získať A alebo B v najmenej 3 čestných kurzoch. Poznámka: Požiadavky nevyhnutne spĺňajú aj ENG-0990 Jazykové základy II, ktoré boli urobené pred jeseňom 2021.


Matematické pracovné listy pre prvý stupeň - PDF

Táto stránka obsahuje matematické pracovné listy pre deti prvého stupňa a venuje sa všetkým témam materskej školy, ako sú grafy, údaje, zlomky, čas, odčítanie, matematické znamienka, porovnania, sčítanie, tvary, vzory, priestorový zmysel, zmiešané operácie a ďalšie.

/>

Pracovné listy pre pridanie

Pracovné listy na porovnanie

Počítanie čísel a predmetov od 1 do 100

Údaje a grafy

Odhad

Zlomky

Geometria - pracovné listy tvarov a objektov

  • Nakreslite nasledujúce tvary - kváder, kužeľ, valec, guľa, kocka, pyramída
  • Otvorené a uzavreté krivky
  • Zhodné postavy - majú rovnaké tvary a veľkosť
  • Zhodné čísla sa zhodujú
  • Geometrické tvary - štvoruholníky, rovnobežník, trojuholníky
  • Geometrické tvary - osemuholník, päťuholník
  • Identifikácia tvarov - trojuholníky, osemuholník, päťuholník atď.
  • Tvary - šišky, kocky a pyramídy
  • Tvary a obrázky - americký päťuholník, egyptské pyramídy atď.
  • Cvičenie na zhodu šiestich tvarov
  • Symetria - Nájdite a vyhľadajte v tejto línii symetriu.
  • Stopujte tvary pomocou ceruzky
  • Zhodné tvary
  • Identifikácia tvarov 1
  • Identifikujte tvary 2
  • Identifikácia tvarov 3
  • Identifikujte tvary 4
  • Podobné tvary 1
  • Podobné tvary 2
  • Symetria 1
  • Symetria 2
  • Symetria 3

Merania

Zmiešané operácie

Peniaze

Vzory

Hodnota miesta

Pravdepodobnostná štatistika

Priestorový zmysel

Pracovné listy na odčítanie

Pracovné listy na výpovednú dobu

Vennove diagramy

Algebra je zábavná. Tieto hry pomôžu deťom zábavnou formou precvičovať algebru. Deti veľmi dobre súvisia s hrami. Niekoľko tém algebry je prebraných vo forme interaktívnych hier a zahŕňajú nasledujúce:

Medzi tieto hry patria okrem iného: pexeso, Walk the plank, Fling the Teacher, En Garde Duel, Basketball Game, Penalty Shoot a ďalšie - pre prvý stupeň, druhý stupeň, tretí stupeň, štvrtý stupeň, piaty stupeň šiesty stupeň a osem ročník - Algebra je zábavná.

Tieto pracovné listy sú tlačiteľnými cvičeniami PDF v najvyššej kvalite. Písanie posilňuje naučenú matematiku. Tieto matematické pracovné listy pre deti obsahujú precvičovanie algebry pred a algebry vhodné pre predškolské zariadenia, materské školy, ročníky prvého stupňa až osem ročníkov, pracovné listy PDF zadarmo, pracovné listy matematiky 6. ročníka . Preberané sú okrem iného nasledujúce témy algebry:

Táto časť obsahuje vypracované príklady matematických úloh a dôležité vzorce z algebry, ktoré sú potrebné v celej tejto téme. Je veľmi dôležité osvojiť si použitie týchto vzorcov, aj keď pre mladých študentov je niekedy nevyhnutné predstaviť ich najjednoduchšie. Táto časť predstavuje podrobnú prezentáciu toho, ako používať vzorce algebry na všetky témy obsiahnuté na tomto webe, ktoré zahŕňajú vzorce na -lineárne rovnice, nerovnice, desatinné miesta, zlomky, exponenty, grafy lineárnych rovníc, binomická veta, Pytagorova veta, kvadratické rovnice, algebraické výrazy, faktorizácia, pomery, geometria, celé čísla, operácie rádu, uhly, jednoduché rovnice, sklon, aritmetický postup, LCM a zosilňovač HCF, koeficienty, kvadratické rovnice, druhá odmocnina a ďalšie-

Tieto matematické kvízy sa pohybujú od kvízy o algebre s viacerými možnosťami, kvízy s vyplňovaním medzier, zodpovedajúce cvičenia, kvízy s hotspotmi s grafikou a ďalšie informácie o interaktívnej algebre a predalgebrickom cvičení amp. - pre prvý stupeň, druhý stupeň, tretí ročník, štvrtý ročník, piaty ročník šiesty ročník a osemročný ročník.

matematika, tlačiteľné úlohy z algebry, pracovné listy algebry, pracovné listy predalgebry, predalgebra,, algebra pre deti, témy algebry, algebraické procesy, algebra pre deti, pracovné listy, tlačiteľné na algebru, lineárne rovnice, polynómy, úvod do algebry, Pytagorova veta , zlomky, algebra online, algebra je zábavná, hry na tlač algebry, algebra, skvelá matematika, zábavný mozog, vzorce a ďalšie

Pracovné listy algebry, pracovné listy pred algebrou, pracovné listy algebry I. Na konci každej časti je všeobecný test sebahodnotenia, ktorý je potrebné vykonať na vyhodnotenie celkového porozumenia.

Naučte algebru hraním zábavných interaktívnych matematických hier pre deti. Deti sa učia hraním. Algebra môže byť zábavná.

Každá téma algebry je rozdelená na podtémy, pod ktorými sú hry, tlač, kvízy a príklady fungujúcich zosilňovačov.

Vďaka týmto interaktívnym kvízom budú mať študenti možnosť samoštúdia. Existuje niekoľko testov s možnosťou výberu, vyplnenie medzery a ďalšie - samostupujúce kvízy algebry.

O stránke Algebra4children.com

Adresár

Témy

Obchodné

Matematické zdroje

Videá, hry, kvízy a pracovné listy vytvárajú vynikajúce materiály pre učiteľov matematiky, pedagógov matematiky a rodičov.

Matematický zošit 1 je obsahovo bohatý na stiahnutie PSČ súbor s 100 matematických tlačiteľných cvičení a 100 strán odpoveďových hárkov priložených ku každému cvičeniu. Tento produkt je vhodný pre MŠ, MŠ a 1. stupeň. Produkt je po zakúpení k dispozícii na okamžité stiahnutie. Nie ste presvedčení? Kliknutím na ikonu e-knihy vľavo sa môžete vydať na prehliadku videa.


Príklady

Exponenciálna rovnica

Implementujme Eulerovu metódu na aproximáciu riešení $ y '= y $ pre $ t v [0,2] $. Vieme, že riešením je v tomto prípade $ y (t) = e ^ t $, takže môžeme porovnať aproximáciu Eulerovou metódou so skutočným riešením.

Nelineárna rovnica

Vytvorme aproximáciu $ y '= y ^ 2 $ pre $ y (0) = - 1 $. Vieme, že riešenie je

Autonómna rovnica

Urobme si príklad, kde vieme, že je nemožné nájsť skutočné riešenie. Priblížme riešenie $ y '= sin (y ^ 2) $ pre každú počiatočnú podmienku $ y (0) = - 3, -2,75, -2,5. 2,5,2,75 $ a všetky výsledky sa vykreslia spolu.

Upozorňujeme, že $ y '= 0 $, keď $ y = pm sqrt$ za $ k = 0,1,2,3,4. $. Tieto body sa nazývajú rovnovážné body rovnice a predstavujú ustálené (alebo konštantné) riešenia.