Články

9.5: Lineárne rovnice


Učebné ciele

  • Napíšte lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu v štandardnom tvare.
  • Nájdite integračný faktor a použite ho na riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.
  • Vyriešte aplikované problémy týkajúce sa lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Predtým sme študovali aplikáciu diferenciálnej rovnice prvého rádu, ktorá zahŕňala riešenie rýchlosti objektu. Najmä ak je lopta vyhodená nahor s počiatočnou rýchlosťou (v_0 ) ft / s, potom problém s počiatočnou hodnotou, ktorý popisuje rýchlosť lopty po (t ) sekundách, je daný

[ dfrac {dv} {dt} = - 32 ]

s (v (0) = v_0. )

Tento model predpokladá, že jedinou silou pôsobiacou na loptu je gravitácia. Teraz pridávame k problému tým, že počítame s možnosťou odpor vzduchu pôsobenie na loptu.

Odpor vzduchu pôsobí vždy v smere opačnom k ​​pohybu. Preto ak objekt stúpa, odpor vzduchu pôsobí smerom dole. Ak predmet padá, odpor vzduchu pôsobí smerom nahor (obrázok ( PageIndex {1} )). Neexistuje presný vzťah medzi rýchlosťou objektu a odporom vzduchu, ktorý na ne pôsobí. Pre veľmi malé objekty je odpor vzduchu úmerný rýchlosti; to znamená, že sila spôsobená odporom vzduchu sa číselne rovná niektorým konštantným (k ) krát (v ). U väčších (napr. Baseballových) objektov môže byť v závislosti od tvaru odpor vzduchu približne úmerný druhej mocnine rýchlosti. V skutočnosti môže byť odpor vzduchu úmerný (v ^ {1,5} ) alebo (v ^ {0,9} ) alebo inej sile (v ).

Budeme pracovať s lineárnou aproximáciou odporu vzduchu. Ak predpokladáme (k> 0 ), potom výraz pre silu (F_A ) v dôsledku odporu vzduchu je daný (FA _ = - kv ). Súčet síl pôsobiacich na objekt sa preto rovná súčtu gravitačnej sily a sily spôsobenej odporom vzduchu. To sa zase rovná hmotnosti objektu vynásobenej jeho zrýchlením v čase (t ) (Newtonov druhý zákon). To nám dáva diferenciálnu rovnicu

[m dfrac {dv} {dt} = - kv − mg. ]

Nakoniec uložíme počiatočnú podmienku (v (0) = v_0, ) kde (v_0 ) je počiatočná rýchlosť meraná v metroch za sekundu. Toto robí (g = 9,8 m / s ^ 2. ) Problém počiatočnej hodnoty sa stáva

[m dfrac {dv} {dt} = - kv − mg ]

s (v (0) = v_0. )

Diferenciálna rovnica v tomto probléme s počiatočnými hodnotami je príkladom lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu. (Pripomeňme, že diferenciálna rovnica je prvého rádu, ak je derivácia najvyššieho rádu, ktorá sa v tejto rovnici nachádza, (1 ).) V tejto časti študujeme lineárne rovnice prvého poriadku a skúmame metódu na nájdenie všeobecného riešenia pre tieto typy rovníc, ako aj riešenie problémov počiatočnej hodnoty, ktoré ich zahŕňajú.

Definícia: Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu

Diferenciálna rovnica prvého poriadku je lineárny ak sa to dá napísať vo forme

[a (x) y ′ + b (x) y = c (x), ]

kde (a (x), b (x), ) a (c (x) ) sú ľubovoľné funkcie funkcie (x ).

Pamätajte, že neznáma funkcia (y ) závisí od premennej (x ); to znamená, že (x ) je nezávislá premenná a (y ) je závislá premenná. Niektoré príklady lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu sú

[(3x ^ 2−4) y '+ (x − 3) y = sin x ]

[( sin x) y '- ( cos x) y = detská posteľ x ]

[4xy '+ (3 ln x) y = x ^ 3−4x. ]

Príklady nelineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu zahŕňajú

[(y ') ^ 4− (y') ^ 3 = (3x − 2) (y + 4) ]

[4r '+ 3r ^ 3 = 4x − 5 ]

[(y ') ^ 2 = sin y + cos x. ]

Tieto rovnice sú nelineárne kvôli výrazom ako ((y ′) ^ 4, y ^ 3, ) atď. Kvôli týmto výrazom je nemožné dať tieto rovnice do rovnakej podoby ako Rovnica.

Štandardná forma

Zvážte diferenciálnu rovnicu

[(3x ^ 2−4) y ′ + (x − 3) y = sin x. ]

Naším hlavným cieľom v tejto časti je odvodiť metódu riešenia pre rovnice tohto tvaru. Je užitočné mať koeficient (y ′ ) rovný (1 ). Aby sme to dosiahli, vydelíme obe strany znakom (3x ^ 2−4. )

[y ′ + doľava ( dfrac {x − 3} {3x ^ 2−4} doprava) y = dfrac { sin x} {3x ^ 2−4} ]

Toto sa nazýva štandardná forma diferenciálnej rovnice. Použijeme ho neskôr pri hľadaní riešenia všeobecnej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu. Keď sa vrátime k rovnici, môžeme obe strany rovnice vydeliť (a (x) ). To vedie k rovnici

[y ′ + dfrac {b (x)} {a (x)} y = dfrac {c (x)} {a (x)}. label {eq5} ]

Teraz definujte

[p (x) = dfrac {b (x)} {a (x)} ]

a

[q (x) = dfrac {c (x)} {a (x)} ]

Potom sa stane Rovnica ref {eq5}

[y ′ + p (x) y = q (x). ]

V tejto podobe môžeme napísať ľubovoľnú lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu, ktorá sa označuje ako štandardná forma pre lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu.

Príklad ( PageIndex {1} ): Zápis lineárnych rovníc prvého rádu do štandardného tvaru

Dajte každú z nasledujúcich lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu do štandardného tvaru. Pre každú rovnicu označte (p (x) ) a (q (x) ).

  1. (y '= 3x − 4r )
  2. ( dfrac {3xy '} {4y − 3} = 2 ) (tu (x> 0 ))
  3. (y = 3y'-4x ^ 2 + 5 )

Riešenie

a. Pridajte (4r ) na obe strany:

(y '+ 4y = 3x. )

V tejto rovnici (p (x) = 4 ) a | (q (x) = 3x. )

b. Vynásobte obe strany znakom (4y − 3 ), potom odčítajte (8y ) z každej strany:

( dfrac {3xy '} {4r − 3} = 2 )

(3xy '= 2 (4r − 3) )

(3xy '= 8r −6 )

(3xy'-8y = -6. )

Nakoniec vydelte obe strany znakom (3x ), aby sa koeficient (y ') rovnal (1 ):

(y '- dfrac {8} {3x} y = - dfrac {2} {3x}. )

Je to prípustné, pretože v pôvodnom vyjadrení tohto problému sme predpokladali, že (x> 0 ). (Ak (x = 0 ), pôvodná rovnica sa stáva (0 = 2 ), čo je zjavne nepravdivé tvrdenie.)

V tejto rovnici (p (x) = - dfrac {8} {3x} ) a (q (x) = - dfrac {2} {3x} ).

c. Odčítajte (y ) z každej strany a pridajte (4x ^ 2−5 ):

(3r'-y = 4x ^ 2-5. )

Ďalej vydelte obe strany znakom (3 ):

(y '- dfrac {1} {3} y = dfrac {4} {3} x ^ 2− dfrac {5} {3} ).

V tejto rovnici (p (x) = - dfrac {1} {3} ) a (q (x) = dfrac {4} {3} x ^ 2− dfrac {5} {3}) ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Dajte rovnicu ( dfrac {(x + 3) y '} {2x − 3y − 4} = 5 ) do štandardného tvaru a označte (p (x) ) a (q (x) ).

Pomôcka

Vynásobte obe strany spoločným menovateľom a potom zozbierajte všetky výrazy obsahujúce (y ) na jednej strane.

Odpoveď

[y '+ dfrac {15} {x + 3} y = dfrac {10x − 20} {x + 3} ]

[p (x) = dfrac {15} {x + 3} ]

a

[q (x) = dfrac {10x − 20} {x + 3} ]

Integračné faktory

Teraz vyvíjame techniku ​​riešenia akejkoľvek lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu. Začíname so štandardnou formou lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:

[y '+ p (x) y = q (x). label {Deq1} ]

Prvý člen na ľavej strane rovnice je deriváciou neznámej funkcie a druhý člen je produktom známej funkcie s neznámou funkciou. To trochu pripomína pravidlo moci. Ak vynásobíme Rovnicu ref {Deq1} ešte neurčenou funkciou (μ (x) ), potom sa rovnica stane

[μ (x) y ′ + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x). label {Deq2} ]

Ľavú rovnicu ref {Deq2} je možné dokonale prispôsobiť pravidlu produktu:

[ dfrac {d} {dx} [f (x) g (x)] = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x). ]

Zhoda výrazu s výrazom dáva (y = f (x), g (x) = μ (x) ) a (g ′ (x) = μ (x) p (x) ). Ak vezmeme deriváciu (g (x) = μ (x) ) a nastavíme ju na pravú stranu (g ′ (x) = μ (x) p (x) ), dostaneme

[μ ′ (x) = μ (x) p (x). ]

Toto je oddeliteľná diferenciálna rovnica prvého rádu pre (μ (x). ) Poznáme (p (x) ), pretože sa objavuje v diferenciálnej rovnici, ktorú riešime. Oddelenie premenných a integrácia výnosov

[ begin {align} dfrac {μ ′ (x)} {μ (x)} = p (x) [4pt] ∫ dfrac {μ ′ (x)} {μ (x)} dx = ∫p (x) dx [4pt] ln | μ (x) | = ∫p (x) dx + C [4pt] e ^ { ln | μ (x) |} = e ^ {∫p (x) dx + C} [4pt] | μ (x) | = C_1e ^ {∫p (x) dx} [4pt] μ (x) = C_2e ^ {∫p (x) dx}. end {align} ]

Tu (C_2 ) môže byť ľubovoľná (kladná alebo záporná) konštanta. To vedie k všeobecnej metóde riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu. Najskôr obe strany rovnice vynásobíme integračný faktor (μ (x). ) Toto dáva

[μ (x) y ′ + μ (x) p (x) y = μ (x) q (x). label {Deq5} ]

Ľavú stranu rovnice ref {Deq5} možno prepísať ako ( dfrac {d} {dx} (μ (x) y) ).

[ dfrac {d} {dx} (μ (x) y) = μ (x) q (x). label {Deq6} ]

Ďalej integrujte obe strany rovnice ref {Deq6} vzhľadom na (x ).

[ begin {align} ∫ dfrac {d} {dx} (μ (x) y) dx = ∫μ (x) q (x) dx [4pt] μ (x) y = ∫μ (x ) q (x) dx label {Deq7} end {zarovnať} ]

Vydeľte obe strany rovnice ref {Deq6} (μ (x) ):

[y = dfrac {1} {μ (x)} vľavo [∫μ (x) q (x) dx + C vpravo]. nonumber ]

Pretože (μ (x) ) bolo predtým vypočítané, sme hotoví. Dôležitá poznámka o integračnej konštante (C ): Môže sa zdať, že pri používaní integračnej konštanty sme nejednotní. Integrál zahŕňajúci (p (x) ) je však nevyhnutný na nájdenie integračného faktora pre rovnicu. Na vyriešenie rovnice je potrebný iba jeden integračný faktor; preto je bezpečné priradiť hodnotu pre (C ) pre tento integrál. Vybrali sme (C = 0 ). Pri výpočte integrálu v zátvorkách v rovnici je potrebné ponechať naše možnosti otvorené pre hodnotu integračnej konštanty, pretože naším cieľom je nájsť všeobecnú skupinu riešení rovnice. Tento integračný faktor zaručuje práve to.

Stratégia riešenia problémov: Riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého poriadku

  1. Dajte rovnicu do štandardného tvaru a označte (p (x) ) a (q (x) ).
  2. Vypočítajte integračný faktor [μ (x) = e ^ {∫p (x) dx}. ]
  3. Vynásobte obe strany diferenciálnej rovnice znakom (μ (x) ).
  4. Integrujte obe strany rovnice získanej v kroku (3 ) a vydelte obe strany rovnicou (μ (x) ).
  5. Ak existuje počiatočná podmienka, určite hodnotu (C ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Riešenie lineárnej rovnice prvého poriadku

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (xy '+ 3y = 4x ^ 2−3x. ) Predpokladajme (x> 0. )

Riešenie

1. Ak chcete dať túto diferenciálnu rovnicu do štandardného tvaru, vydeľte obe strany znakom (x ):

[y '+ dfrac {3} {x} y = 4x − 3. nonumber ]

Preto (p (x) = dfrac {3} {x} ) a (q (x) = 4x − 3. )

2. Integračný faktor je (μ (x) = e ^ {∫ (3 / x)} dx = e ^ {3 ln x} = x ^ 3 ).

3. Vynásobením obidvoch strán diferenciálnej rovnice (μ (x) ) dostaneme

[ begin {align *} x ^ 3y ′ + x ^ 3 ( dfrac {3} {x}) = x ^ 3 (4x − 3) [4pt] x ^ 3y ′ + 3x ^ 2y = 4x ^ 4−3x ^ 3 [4pt] dfrac {d} {dx} (x ^ 3y) = 4x ^ 4−3x ^ 3. end {zarovnať *} ]

4. Integrujte obe strany rovnice.

[ begin {align *} ∫ dfrac {d} {dx} (x ^ 3y) dx = ∫4x ^ 4−3x ^ 3dx [4pt] x ^ 3y = dfrac {4x ^ 5} {5 } - dfrac {3x ^ 4} {4} + C [4pt] y = dfrac {4x ^ 2} {5} - dfrac {3x} {4} + Cx ^ {- 3}. end {zarovnať *} ]

5. Neexistuje žiadna počiatočná hodnota, takže problém je hotový.

Analýza

Možno ste si všimli podmienku, ktorá bola uvalená na diferenciálnu rovnicu; a síce (x> 0 ). Pre ľubovoľnú nenulovú hodnotu (C ) nie je všeobecné riešenie definované na (x = 0 ). Ďalej, keď (x <0 ), integračný faktor sa zmení. Integračný faktor je daný rovnicou ako (f (x) = e ^ {∫p (x) dx} ). Za toto (p (x) ) dostaneme

[ begin {align *} e ^ {∫p (x) dx} = e ^ {∫ (3 / x) dx} [4pt] = e ^ {3 ln | x |} [4pt ] = | x | ^ 3 end {zarovnať *} ]

od (x <0 ). Správanie sa všeobecného riešenia sa mení na (x = 0 ) hlavne preto, že (p (x) ) tam nie je definované.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice ((x − 2) y '+ y = 3x ^ 2 + 2x. ) Predpokladajme (x> 2 ).

Pomôcka

Použite metódu načrtnutú v stratégii riešenia problémov pre lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu.

Odpoveď

(y = dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + C} {x − 2} )

Teraz používame rovnakú stratégiu na nájdenie riešenia problému počiatočnej hodnoty.

Príklad ( PageIndex {3} ): Lineárny problém počiatočnej hodnoty prvého rádu

Vyriešte problém s počiatočnou hodnotou

[y '+ 3y = 2x − 1, y (0) = 3. nonumber ]

Riešenie

1. Táto diferenciálna rovnica je už v štandardnom tvare s (p (x) = 3 ) a (q (x) = 2x − 1 ).

2. Integračný faktor je (μ (x) = e ^ {∫3dx} = e ^ {3x} ).

3. Vynásobením obidvoch strán diferenciálnej rovnice (μ (x) )

[ begin {align *} e ^ {3x} y ′ + 3e ^ {3x} y = (2x − 1) e ^ {3x} [4pt] dfrac {d} {dx} [ye ^ { 3x}] = (2x − 1) e ^ {3x}. end {zarovnať *} ]

Integrujte obe strany rovnice:

(∫ dfrac {d} {dx} [ye ^ {3x}] dx = ∫ (2x − 1) e ^ {3x} dx )

(ye ^ {3x} = dfrac {e ^ {3x}} {3} (2x − 1) −∫ dfrac {2} {3} e ^ {3x} dx )

(ye ^ {3x} = dfrac {e ^ {3x} (2x − 1)} {3} - dfrac {2e ^ {3x}} {9} + C )

(y = dfrac {2x − 1} {3} - dfrac {2} {9} + Ce ^ {- 3x} )

(y = dfrac {2x} {3} - dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3x} ).

4. Teraz dosaďte (x = 0 ) a (y = 3 ) do všeobecného riešenia a riešte (C ):

[ begin {align *} y = dfrac {2} {3} x− dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3x} [4pt] 3 = dfrac {2} {3} (0) - dfrac {5} {9} + Ce ^ {- 3 (0)} [4pt] 3 = - dfrac {5} {9} + C [4pt] C = dfrac { 32} {9}. end {zarovnať *} ]

Riešenie problému počiatočnej hodnoty preto je

[y = dfrac {2} {3} x− dfrac {5} {9} + dfrac {32} {9} e ^ {- 3x}. nonumber ]

Príklad ( PageIndex {4} ):

Vyriešte problém s počiatočnou hodnotou [y'− 2y = 4x + 3y (0) = - 2. nonumber ]

Riešenie

[y = −2x − 4 + 2e ^ {2x} ]

Aplikácie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu

Pozeráme sa na dve rôzne aplikácie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu. Prvý zahŕňa odpor vzduchu, pretože sa týka objektov, ktoré stúpajú alebo klesajú; druhá zahŕňa elektrický obvod. Existuje mnoho ďalších aplikácií, ale väčšina sa rieši podobným spôsobom.

Voľný pád s odporom vzduchu

O odpore vzduchu sme hovorili na začiatku tejto časti. Nasledujúci príklad ukazuje, ako uplatniť tento koncept na loptu vo vertikálnom pohybe. Na silu odporu vzduchu môžu mať vplyv ďalšie faktory, napríklad veľkosť a tvar objektu, tu ich však ignorujeme.

Príklad ( PageIndex {5} ): Lopta so vzduchovým odporom

Racquetball je zasiahnutý priamo hore s počiatočnou rýchlosťou (2 ) m / s. Hmotnosť raketovej gule je približne (0,0427 ) kg. Odpor vzduchu pôsobí na guľu silou numericky rovnou (0,5v ), kde (v ) predstavuje rýchlosť lopty v čase (t ).

  1. Nájdite rýchlosť lopty ako funkciu času.
  2. Ako dlho trvá, kým lopta dosiahne svoju maximálnu výšku?
  3. Ak je lopta zasiahnutá z počiatočnej výšky (1 ) metra, akej výšky sa dostane?

Riešenie

a. Hmotnosť (m = 0,0427 kg, k = 0,5, ) a (g = 9,8 m / s ^ 2 ). Počiatočná rýchlosť je (v_0 = 2 m / s ). Preto je problém počiatočnej hodnoty

(0,0427 dfrac {dv} {dt} = - 0,5v − 0,0427 (9,8), v_0 = 2. )

Vydelením diferenciálnej rovnice (0,0427 ) vznikne

( dfrac {dv} {dt} = - 11,7096v −9,8, v_0 = 2. )

Diferenciálna rovnica je lineárna. Použitie stratégie riešenia problémov pre lineárne diferenciálne rovnice:

Krok 1. Prepíšte diferenciálnu rovnicu ako ( dfrac {dv} {dt} + 11,7096v = −9,8 ). To dáva (p (t) = 11,7096 ) a (q (t) = - 9,8 )

Krok 2. Integračný faktor je (μ (t) = e ^ {∫11,7096dt} = e ^ {11,7096t}. )

Krok 3. Vynásobte diferenciálnu rovnicu (μ (t) ):

(e ^ {11 7096 t dfrac {dv} {dt}} + 11 7096 v ^ {11 7096 t} = - 9,8 e ^ {11 7096 t} )

( dfrac {d} {dt} [ve ^ {11 7096 t}] = - 9,8 e ^ {11 7096 t}. )

Krok 4. Integrujte obe strany:

(∫ dfrac {d} {dt} [ve ^ {11 7096 t}] dt = ∫ − 9,8 e ^ {11 7096 t} dt )

(ve ^ {11.7096t} = dfrac {−9.8} {11.7096} e ^ {11.7096t} + C )

(v (t) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11 7096 t}. )

Krok 5. Riešte pre (C ) pomocou počiatočnej podmienky (v_0 = v (0) = 2 ):

(v (t) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11 7096 t} )

(v (0) = - 0,8369 + Ce ^ {- 11,7096 (0)} )

(2 = -0,8369 + C )

(C = 2,8369. )

Riešenie problému počiatočnej hodnoty preto je

(v (t) = 2,8369e ^ {- 11 7096 t} −0,8369. )

b. Guľka dosiahne svoju maximálnu výšku, keď sa rýchlosť rovná nule. Dôvod je ten, že keď je rýchlosť pozitívna, stúpa a keď je negatívna, klesá.Keď je teda nula, nestúpa ani neklesá a je v maximálnej výške:

(2,8369e ^ {- 11 7096 t} −0,8369 = 0 )

(2,8369e ^ {- 11 7096 t} = 0,8369 )

(e ^ {- 11 7096 t} = dfrac {0,8369} {2,8369} ≈0,295 )

(lne ^ {- 11 706 96}} = 0,295 ≈ 1,221 ln)

(-11,7096t = -1,221 )

(t = 0,104. )

Dosiahnutie maximálnej výšky preto trvá približne (0,104 ) sekundy.

c. Ak chcete zistiť výšku gule ako funkciu času, využite skutočnosť, že deriváciou polohy je rýchlosť, tj ak (h (t) ) predstavuje časovú výšku (t ), potom (h ′ (T) = v (t) ). Pretože poznáme (v (t) ) a počiatočnú výšku, môžeme vytvoriť problém s počiatočnou hodnotou:

(h ′ (t) = 2,8369e ^ {- 11 7096 t} −0,8369, h (0) = 1. )

Integrácia oboch strán diferenciálnej rovnice vzhľadom na (t ) dáva

(∫h ′ (t) dt = ∫2,8369e ^ {- 117096t} −0,8369dt )

(h (t) = - dfrac {2,8369} {11,7096} e ^ {- 11,7096t} -0,8369t + C )

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11 7096 t} −0 8 369 t + C. )

Riešime pre (C ) pomocou počiatočnej podmienky:

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11 7096 t} −0 8 369 t + C )

(h (0) = - 0,2423e ^ {- 11,7096 (0)} - 0,8369 (0) + C )

(1 = -0,2423 + C )

(C = 1,2423. )

Preto

(h (t) = - 0,2423e ^ {- 11 7096 t} −0 8 369 t + 1,2423. )

Po (0,104 ) sekunde je výška daná číslom

(h (0,2) = - 0,2423e ^ {- 11 7096 t} −0,8369t + 1,2423≈1,0836 ) meter.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Hmotnosť penny je (2,5 ) gramov (mincovňa Spojených štátov „Špecifikácie mincí“, prístup k 9. aprílu 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint..specification) a horná vyhliadková plošina budovy Empire State Building je (369 ) metrov nad ulicou. Pretože cent je malý a relatívne hladký predmet, odpor vzduchu pôsobiaci na cent je v skutočnosti celkom malý. Predpokladáme, že odpor vzduchu je číselne rovný (0,0025v ). Ďalej je cent odhodený bez udania počiatočnej rýchlosti.

  1. Vytvorte problém počiatočnej hodnoty, ktorý predstavuje klesajúci cent.
  2. Vyriešte problém s (v (t) ).
  3. Aká je konečná rýchlosť penny (t. J. Vypočítajte limit rýchlosti, keď sa (t ) blíži k nekonečnu)?
Pomôcka

Nastaviť diferenciálnu rovnicu rovnakým spôsobom ako v príklade. Nezabudnite previesť z gramov na kilogramy.

Odpoveď

a. ( dfrac {dv} {dt} = - v − 9,8 ) (v (0) = 0 )

b. (v (t) = 9,8 (e ^ {- t} -1) )

c. ( lim_ {t → ∞} v (t) = lim_ {t → ∞} (9,8 (e ^ {- t} −1)) = - 9,8 m / s − 21 922 mph )

Elektrické obvody

Zdroj elektromotorickej sily (napr. Batéria alebo generátor) produkuje tok prúdu v uzavretom obvode a tento prúd vytvára pokles napätia cez každý odpor, induktor a kondenzátor v obvode. Kirchhoffovo slučkové pravidlo uvádza, že súčet poklesov napätia na rezistoroch, induktoroch a kondenzátoroch sa rovná celkovej elektromotorickej sile v uzavretom obvode. Máme nasledujúce tri výsledky:

1. Pokles napätia na rezistore je daný

(E_R = Ri, )

kde (R ) je konštanta proporcionality nazývaná odpor a (i ) je prúd.

2. Pokles napätia na induktore je daný

(EL = Li ′ ),

kde (L ) je konštanta proporcionality nazývaná indukčnosť a (i ) opäť označuje prúd.

3. Pokles napätia na kondenzátore je daný

(E_C = dfrac {1} {C} q ),

kde (C ) je konštanta proporcionality nazývaná kapacita a (q ) je okamžitý náboj na kondenzátore. Vzťah medzi (i ) a (q ) je (i = q ').

Jednotky voltov ((V) ) používame na meranie napätia (E ), ampéry ((A) ) na meranie prúdu (i ), coulomby ((C) ) na meranie náboja (q ), ohmy ((Ω) ) na meranie odporu (R ), henrys ((H) ) na meranie indukčnosti (L ) a farády ((F) ) na meranie odporu kapacita (C ). Zvážte obvod na obrázku ( PageIndex {2} ).

Použitím Kirchhoffovho slučkového pravidla na tento obvod necháme (E ) označiť elektromotorickú silu dodávanú generátorom napätia. Potom

(E_L + E_R + E_C = E ).

Dosadením výrazov pre (E_L, E_R, ) a (E_C ) do tejto rovnice získame

(Li ′ + Ri + dfrac {1} {C} q = E. )

Ak v obvode nie je kondenzátor, potom sa rovnica stáva

(Li ′ + R_i = E. )

Toto je diferenciálna rovnica prvého rádu v (i ). Obvod sa označuje ako (LR ) obvod.

Ďalej predpokladajme, že v obvode nie je tlmivka, ale kondenzátor a odpor, takže (L = 0, R ≠ 0, ) a (C ≠ 0.) Potom môžeme rovnicu prepísať ako

(Rq ′ + dfrac {1} {C} q = E, )

čo je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu. Toto sa označuje ako RC obvod. V obidvoch prípadoch môžeme nastaviť a vyriešiť problém počiatočnej hodnoty.

Elektrický obvod

Obvod má v sérii elektromotorickú silu danú (E = 50 sin 20tV, ) odporom (5Ω ) a induktorom (0,4H ). Ak je počiatočný prúd (0 ), nájdite aktuálny čas (t> 0 ).

Riešenie

V obvode máme odpor a tlmivku, takže používame rovnicu. Pokles napätia na rezistore je daný (E_R = R_i = 5_i ). Pokles napätia na induktore je daný rovnicou (E_L = Li ′ = 0,4i ′ ). Elektromotorická sila sa stáva pravou stranou rovnice. Preto sa stáva rovnica

[0,4i ′ + 5i = 50 sin 20t. ]

Vydelením oboch strán (0,4 ) vznikne rovnica

[i ′ + 12,5i = 125 sin 20t. ]

Pretože počiatočný prúd je 0, tento výsledok dáva počiatočnú podmienku (i (0) = 0.) Tento problém s počiatočnou hodnotou môžeme vyriešiť pomocou päťstupňovej stratégie riešenia diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Krok 1. Prepíšte diferenciálnu rovnicu ako (i ′ + 12,5i = 125 sin 20t ). Toto dáva (p (t) = 12,5 ) a (q (t) = 125 sin 20t ).

Krok 2. Integračný faktor je (μ (t) = e ^ {∫12,5dt} = e ^ {12,5t} ).

Krok 3. Vynásobte diferenciálnu rovnicu (μ (t) ):

(e ^ {12,5t} i ′ + 12,5e ^ {12,5t} i = 125e ^ {12,5t} sin 20t )

( dfrac {d} {dt} [tj ^ {12,5} t] = 125e ^ {12,5t} sin 20t ).

Krok 4. Integrujte obe strany:

(∫ dfrac {d} {dt} [tj ^ {12,5t}] dt = ∫125e ^ {12,5t} sin 20tdt )

(tj. ^ {12,5t} = ( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89}) e ^ {12,5t} + C )

(i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + Ce ^ {- 12,5t} ).

Krok 5. Riešime pre (C ) pomocou počiatočnej podmienky (v (0) = 2 ):

(i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + Ce ^ {- 12,5t} )

(i (0) = dfrac {250sin20 (0) −400cos20 (0)} {89} + Ce ^ {- 12,5 (0)} )

(0 = - dfrac {400} {89} + C )

(C = dfrac {400} {89} ).

Riešenie problému počiatočnej hodnoty preto je

[i (t) = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t + 400e ^ {- 12,5t}} {89} = dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} + dfrac {400e ^ {- 12,5t}} {89}. ]

Prvý člen možno prepísať ako jednu kosínusovú funkciu. Najskôr vynásobte a vydelte ( sqrt {250 ^ 2 + 400 ^ 2} = 50 sqrt {89} ):

( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {89} = dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {250 sin 20t − 400 cos 20t} {50 sqrt {89}}) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {8 cos 20t} { sqrt {89}} - dfrac {5 sin 20t} { sqrt {89 }}) ).

Ďalej definujte (φ ) ako ostrý uhol, ktorý ( cos φ = dfrac {8} { sqrt {89}} ). Potom ( sin φ = dfrac {5} { sqrt {89}} ) a

(- dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( dfrac {8 cos 20t} { sqrt {89}} - dfrac {5 sin 20t} { sqrt {89}}) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} ( cos φ cos 20t− sin φ sin 20t) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} cos (20t + φ ). )

Preto je možné riešenie napísať ako

(i (t) = - dfrac {50 sqrt {89}} {89} cos (20t + φ) + dfrac {400e ^ {- 12,5t}} {89} ).

Druhý člen sa nazýva útlmový člen, pretože zmizne rýchlo, pretože (t ) sa zväčšuje. Fázový posun je daný (φ ) a amplitúda ustáleného prúdu je daná ( dfrac {50 sqrt {89}} {89} ). Graf tohto riešenia sa zobrazuje na obrázku ( PageIndex {3} ):

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Obvod má sériovo elektromotorickú silu danú (E = 20sin5t ) V, kondenzátor s kapacitou (0,02F ) a odpor (8Ω ). Ak je počiatočný poplatok (4C ), nájdite ho v rovnakom čase (t> 0 ).

Pomôcka

Na nastavenie problému s počiatočnou hodnotou použite rovnicu pre obvod (RC ).

Odpoveď

Problém s počiatočnou hodnotou:

(8q ′ + dfrac {1} {0,02} q = 20sin5t, q (0) = 4 )

(q (t) = dfrac {10sin5t - 8cos5t + 172e ^ {- 6,25t}} {41} )

Kľúčové koncepty

  • Akákoľvek lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu môže byť napísaná v tvare (y '+ p (x) y = q (x) ).
  • Na riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu, ktorá môže alebo nemusí obsahovať začiatočnú hodnotu, môžeme použiť päťstupňovú stratégiu riešenia problémov.
  • Aplikácie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu zahŕňajú stanovenie pohybu stúpajúceho alebo klesajúceho objektu s odporom vzduchu a zisťovanie prúdu v elektrickom obvode.

Kľúčové rovnice

  • štandardná forma

(y '+ p (x) y = q (x) )

  • integračný faktor

(μ (x) = e ^ {∫p (x) dx} )

Glosár

integračný faktor
ľubovoľná funkcia (f (x) ), ktorá sa vynásobí na oboch stranách diferenciálnej rovnice, aby sa strana zahŕňajúca neznámu funkciu rovnala derivácii súčinu dvoch funkcií
lineárny
popis diferenciálnej rovnice prvého rádu, ktorú možno napísať v tvare (a (x) y ′ + b (x) y = c (x) )
štandardná forma
forma lineárnej diferenciálnej rovnice prvého poriadku získaná zápisom diferenciálnej rovnice v tvare (y '+ p (x) y = q (x) )

Prispievatelia a uvedenie zdroja

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


9.5. Numerická lineárna algebra

Java numerics poskytuje kontaktné miesto pre informácie o numerických výpočtoch v Java.

Lineárna algebra. Aplikácie počítačovej vedy: vlnky, transformácie v počítačovej grafike, počítačové videnie, algoritmus Google PageRank, lineárne programovanie, lineárna regresia, Markovove reťazce. Ďalšie aplikácie: lineárna a nelineárna optimalizácia, teória riadenia, kombinatorická optimalizácia, numerické riešenia pre ODR, analýza elektrických sietí, optimalizácia portfólia, mechanika qunatum. Túžba vyriešiť tieto problémy podnietila vývoj výpočtovej technológie. BLAS.

Matrix. V numerickej lineárnej algebre, a matrica je obdĺžniková tabuľka reálnych alebo komplexných čísel. Vzhľadom na maticu A používame notáciu Aij reprezentovať záznam v i-tom riadku a j-tom stĺpci. Maticu môžeme v Jave implementovať pomocou dvojrozmerného poľa. Pristupujeme k Aij použitím A [i] [j]. Začneme indexovať na 0, aby sme vyhoveli konvenciám indexovania Java.

Násobenie matíc. Produktom dvoch matíc N-by-N A a B je matica N-by-N C definovaná

Nasledujúci fragment kódu počíta C = AB.

Hlavné poradie riadkov vs. hlavné usporiadanie stĺpcov. Môže mať obrovský vplyv na ukladanie do pamäte cache a výkon. Lepšie je iterovať po riadku ako po stĺpci v Jave. Môžeme usporiadať trojitú slučku násobenia matice v ktorejkoľvek z 3! = 6 spôsobov, ako dosiahnuť rovnakú odpoveď. Každá možnosť má odlišné vzory prístupu do pamäte, ktoré môžu fungovať veľmi odlišne (2 - 3 krát) v závislosti od architektúry stroja od roku (ukladanie do pamäte cache, stránkovanie atď.). Program MatrixMultiplication.java vykonáva násobenie matíc v každom zo 6 usporiadaní a na výstup vydáva potrebný čas. Niektoré architektúry majú zabudované metódy gaxpy atď. Vysoko výkonné maticové knižnice sú veľmi opatrne vyladené podľa architektúry stroja, na ktorom majú byť spustené, aby mohli tieto efekty využívať naplno.

Mikrooptimalizácie. Tu je vhodné vziať do úvahy, pretože násobenie matíc je prekážkovým výpočtom v mnohých aplikáciách. Určité riadky a stĺpce môžeme explicitne uložiť do medzipamäte, aby bol výpočet rýchlejší. Ukladáme do cache riadok i z A a stĺpec j z B. Pretože polia Java sú usporiadané podľa riadkov, skopírujeme položky v stĺpci j z B do 1D poľa, aby sme uľahčili prístup do budúcnosti. Prečo rýchlejšie? Lepšie vzory prístupu do pamäte. Vyhýba sa kontrole hraníc. Počet príkazov na priradenie je teraz úmerný N ^ 2 namiesto N ^ 3.

Sústavy lineárnych rovníc. Jedným z najzásadnejších a najdôležitejších problémov lineárnej algebry je nájdenie riešenia x rovnice Ax = b. Diferenčné rovnice, interpolácia, digitálne spracovanie signálu, najmenšie štvorce, predpovede, Leontiefov model ekonomickej rovnováhy, Hookov zákon pružnosti, dopravná analýza, teplotná rovnováha tepla v doske, lineárna a nelineárna optimalizácia.

Kirchoffov zákon o napätí. Analýza slučkového prúdu elektrických obvodov.

Riadkové operácie. Uvažujme o nasledujúcom systéme troch lineárnych rovníc v troch neznámych.

    Výmena riadkov. Zamieňajte ľubovoľné dva riadky. Napríklad môžeme vymeniť prvý a druhý riadok vyššie, aby sme získali ekvivalentný systém.

Zamieňanie riadkov i a j v 2D poli je obzvlášť efektívna operácia v Jave. Potrebujeme iba vymeniť odkazy na i-tý a j-tý riadok.

Spätná substitúcia. Posledný systém vyššie uvedených rovníc je zvlášť vhodný na riešenie. Z poslednej rovnice (12 x2 = 24) môžeme okamžite odvodiť x2 = 2. Nahradenie x2 = 2 do druhej rovnice dáva x1 + 2 = 4. Teraz môžeme odvodiť x1 = 2. Nakoniec môžeme dosadiť x1 a x2 späť do prvej rovnice. Takto sa získa 2x0 + 4 (2) - 2 (2) = 2, z čoho vyplýva x0 = -1. Tento postup spätnej substitúcie je priamy v Java.

Gaussova eliminácia. Gaussova eliminácia je jedným z najstarších a najbežnejšie používaných algoritmov na riešenie lineárnych sústav rovníc. Algoritmus explicitne opísal Liu Hui v roku 263 pri predstavovaní riešení slávneho čínskeho textu Jiuzhang suanshu (Deväť kapitol matematického umenia), ale bol pravdepodobne objavený oveľa skôr. Názov Gaussova eliminácia vznikol po tom, ako ho Gauss použil na predpovedanie polohy nebeských objektov pomocou svojej novoobjavenej metódy najmenších štvorcov. Použite operáciu riadkov na transformáciu pôvodného systému rovníc na systém vyšších trojuholníkov. Potom použite spätnú substitúciu.

Nasledujúci fantázia kód je priama implementácia Gaussovej eliminácie.

Bohužiaľ, ak je jedným z otočných prvkov A [i] [i] je nula, kód sa vydelí nulou a pozoruhodne zlyhá. Existuje niekoľko dôležitých aplikácií, kde je zaručené, že sa nikdy nestretneme s nulovým otočným bodom a nezasekneme sa (napr. Ak je matica striktne diagonálne dominantná alebo symetrická pozitívna definitívna), ale všeobecne musíme zabezpečiť, aby sa nulové otočné body nikdy nevyskytli zámenou riadku obsahujúceho nulový čap s ďalším riadkom pod ním. Ak taký riadok neexistuje, potom systém buď nemá riešenie, alebo ich má nekonečne veľa. (Pozri Cvičenia XYZ a XYZ.)

Čiastočné otočenie. Jedna spoločná pivotná stratégia je vybrať riadok, ktorý má najväčší (v absolútnej hodnote) pivotný prvok, a vykonať túto výmenu pred každým pivotom, bez ohľadu na to, či narazíme na potenciálny nulový pivot. Program GaussianElimination.java implementuje Gaussovu elimináciu s čiastočným otočením. Toto pravidlo výberu je známe ako čiastočné otočenie. Je široko používaný, pretože okrem odstránenia problému s nulovým pivotom dramaticky zlepšuje numerickú stabilitu algoritmu. Ak chcete vidieť jeho účinky, zvážte nasledujúci systém rovníc, kde a = 10 -17.

Ak sa neotočíme na najväčší koeficient, potom Gaussova eliminácia vytvorí riešenie (x0, X1 = (0,0, 1,0), zatiaľ čo Gaussova eliminácia s čiastočnými výkyvmi výťažku (1,0, 1,0). Presná odpoveď je (99999999999999997/99999999999999998, 50000000000000000/49999999999999999). Riešenie s čiastočným otočením poskytuje 16 desatinných číslic presnosti, zatiaľ čo riešenie bez čiastočného otočenia má 0 číslic presnosti pre x0. Aj keď tento príklad bol vykonštruovaný, aby demonštroval a zväčšil účinok, v praxi takáto situácia nastáva. V tomto príklade je situácia, keď je problémová inštancia dobre podmienená, ale algoritmus (bez čiastočného otočenia) je nestabilný. V tomto príklade je potenciálny problém vyriešený použitím čiastočného otočenia. (Pozri príklad XYZ, kde čiastočné otočenie zlyhá, aj keď zámer nie je chorý.) Numerickí analytici používajú Gaussovu elimináciu s čiastočným otočením s vysokou istotou, aj keď nie je dokázateľne stabilná. Keď je samotná problémová inštancia zle podmienená, žiadny algoritmus s pohyblivou rádovou čiarkou ju nebude schopný zachrániť.Na zistenie takýchto prípadov vypočítame číslo podmienky, ktorá meria, ako zle je matica podmienená. # bity v riešení

Úplné otočenie. Vyberte otočný prvok, ktorý bude s najväčšou absolútnou hodnotou medzi položkami, ktoré ešte musia byť zmenšené o riadok. Zamieňajte riadky aj stĺpce (nielen riadky). Viac účtovníctva a hľadanie času na pivot, ale lepšia stabilita. Vedci však v praxi zriedka používajú úplné otočenie, pretože čiastočné otočenie je takmer vždy úspešné.

Gaussovu elimináciu je možné použiť aj na výpočet poradia, pretože operácie riadkov poradie nezmenia. Poradie matice m-by-n: ak sa zaseknete pri otáčaní v stĺpci j, pokračujte v stĺpci j + 1. Poradie = # nenulových riadkov po ukončení.

Iteračné metódy. V Gaussovej eliminácii sa môže hromadiť chyba zaokrúhlenia. Na zdokonalenie riešení lineárnych systémov rovníc získaných pomocou Gaussovej eliminácie možno použiť aj iteračné metódy (Gauss-Seidel, Jacobiho iterácia, postupná po relaxácii). Vyriešiť tiež od nuly - veľká výhoda, ak je A riedky. Gauss Seidel: x0 = b, xk + 1 = (I - A) xk + b. Ak sú všetky uhlopriečky vstupov A rovné 1 (dá sa predpokladať zmenou mierky) a všetky vlastné hodnoty (I - A) sú menšie ako 1, potom Gauss-Seidelove iterácie konvergujú k skutočnému riešeniu.

Matrix ADT. Teraz popíšeme ADT pre matice.

Program Matrix.java implementuje nasledujúce operácie: pridanie, násobenie, transpozícia, matica identity, stopa a náhodná matica. Ďalšie možnosti: inverzná, hodnosť, determinant, vlastné hodnoty, vlastné vektory, norma, riešenie, podmienka číslo, singulárne hodnoty.

Knižnice Java pre numerickú lineárnu algebru. Vytvorenie efektívneho a robustného algoritmu pre lineárne algebraické problémy je náročná úloha. Našťastie boli tieto algoritmy za posledných pár desaťročí prepracované a vyspelé knižnice sú k dispozícii a sú ľahko prístupné. JAMA: Balík Java Matrix Package je taká knižnica pre maticové operácie vrátane riešenia Ax = b, výpočtu vlastných čísel, výpočtu rozkladu singulárnych hodnôt atď. Algoritmy sú rovnaké ako tie v EISPACK, LINPACK a MATLAB. Tento softvér uvoľnili do verejnej sféry spoločnosti The MathWorks a National Institute of Standards and Technology (NIST). Tu je dokumentácia Javadoc. Program JamaTest.java ilustruje spôsob prepojenia s touto knižnicou. Rieši sústavu 3 lineárnych rovníc v 3 neznámych pomocou balíka JAMA.

Vlastné hodnoty a vlastné vektory. Vzhľadom na štvorcovú maticu A je problémom vlastných čísel nájsť riešenie pre Ax = & lambdax. Skalár a lambda, ktorá vyhovuje tejto rovnici, sa nazýva vlastná hodnota a zodpovedajúci vektor x sa nazýva vlastný vektor. Riešenie problému s vlastnými číslami hrá dôležitú úlohu výpočtovej infraštruktúry v mnohých vedeckých a technických odboroch. V roku 1940 sa Tacoma Narrows Bridge zrútil štyri mesiace po jeho postavení, pretože frekvencia vetra bola príliš blízko k prirodzenej frekvencii mosta, čo spôsobilo ohromné ​​oscilácie. Prirodzená frekvencia mosta je najmenšie vlastné číslo v lineárnom systéme, ktorý modeluje most. Vlastné čísla sa tiež používali na analýzu režimov vibrácií reťazca, riešení diferenciálnych rovníc, modelu Leslieho matice populačnej dynamiky, testu na praskliny alebo deformácie v tuhej látke, sondy na prítomnosť oleja, vlhkého hluku v kabíne automobilu, návrhu koncertných sál pre optimum kvalita zvuku, vypočítať osi zotrvačnosti tuhého telesa.

Spektrálny rozklad. Ak je A symetrický, potom je rozklad vlastných čísel A = V & LambdaV T, kde & Lambda je diagonálna matica vlastných hodnôt a V je ortogonálna matica vlastných vektorov. Program Eigenvalues.java generuje náhodnú symetrickú pozitívnu konečnú maticu a pomocou knižnice Jama počíta jeho spektrálny rozklad. Vlastná hodnotaDecomposition.

Tu | x | znamená normu L1 (pre rozdelenie pravdepodobnosti) alebo normu L2. Za všeobecných technických podmienok & lambda konverguje k vlastnému vlastnému číslu a x konverguje k hlavnému vlastnému číslu.

Markovov reťazový stacionárny rozvod. Markovská reťaz je. Ako randomizovaná NFA. Vypočítajte zlomok času, ktorý markovský reťazec strávi v každom štáte. Stacionárne rozdelenie vyhovuje & pi A = & pi. Vektor & pi je (normalizovaný) vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote 1. Za určitých technických podmienok (ergodických) je stacionárne rozdelenie jedinečné a je to hlavný vlastný vektor AT. Všetky komponenty tohto vlastného vektora sú zaručene nezáporné.

Algoritmus PageRank spoločnosti Google. Pomocou vlastných čísel môžete hodnotiť dôležitosť webových stránok alebo hodnotiť futbalové tímy podľa sily plánu. dobra diskusia.

Singulárne hodnoty. The rozklad singulárnej hodnoty je základný pojem vo vede a technike a jeden z najdôležitejších problémov numerickej lineárnej algebry. Vzhľadom na maticu M-by-N A je rozklad singulárnej hodnoty A = U & SigmaV T, kde U je matica M-by-N s ortogonálnymi stĺpcami, & Sigma je diagonálna matica N-by-N a V je N -by-N ortogonálna matica. Je tiež známy ako analýza hlavných komponentov (PCA) v štatistike a Karhunen-Loeve alebo Hotellingovo rozšírenie v rozpoznávaní vzorov. SVD je dobre definovaný pre každú maticu M-by-N (aj keď matica nemá celý rad alebo stĺpec) a je v podstate jedinečný (za predpokladu, že singulárne hodnoty sú v zostupnom poradí). Je efektívne vypočítateľný v čase O (min ). Má veľa úžasných a krásnych vlastností, ktoré začneme skúmať až potom. SVD má mnoho aplikácií: viacnásobná lineárna regresia, faktorová analýza, počítačová grafika, rozpoznávanie tváre, redukcia šumu, získavanie informácií, robotika, analýza génovej expresie, výpočtová tomografia, geofyzikálna inverzia (seizmológia), kompresia obrazu, odstraňovanie rozmazania obrazu, rozpoznávanie tváre, použitie optické matice lineárnej citlivosti na analýzu dynamiky kozmických lodí, vizualizácia chemických databáz a latentné sémantické indexovanie (LSI). Tiež sa bežne používa v biológii na dekonvolúciu titrácie zahŕňajúcej zmes troch indikátorov pH, v proteínovej dynamike na analýzu pohybu myoglobínu, analýzu údajov z microarray, génové siete pre reverzné inžinierstvo.

Program SVD.java počíta singulárne hodnoty náhodnej matice 8 x 5. Tiež vytlačí číslo podmienky, číselné poradie a 2-normu.

Spracovanie obrazu. Stratové kompresie. Populárnou technikou kompresie obrázkov sú ďalšie údaje, ktoré sa uskutočňujú pomocou rozkladu SVD alebo Karhunen-Loeve. Môžeme zaobchádzať s obrázkom pixelov M-by-N, pretože tri polia M-by-N majú červenú, zelenú a modrú intenzitu, každá intenzita je medzi 0 a 255. Pomocou SVD môžeme vypočítať „najlepšiu“ pozíciu r aproximácia každej z troch matíc. To je možné uložiť namiesto MN iba pomocou hodnôt r (M + N + 1). S rastúcim r sa zvyšuje kvalita obrazu, ale na úkor väčšieho úložného priestoru.

Jednou z najdôležitejších vlastností SVD je, že: skrátený SVD Ar = UrSrV.r je najlepšia aproximácia r k A, kde Ur označuje prvé r stĺpce U, Vr označuje prvé r stĺpce V a Sr označuje prvé r riadky a stĺpce S. Tu „naj“ znamená L_2 normu - Ar minimalizuje súčet druhých mocnín rozdielov medzi A a Ar.

Program KarhunenLoeve.java číta na obrázku a celé číslo r, počíta najlepšiu aproximáciu každej z jeho červenej, zelenej a modrej matice a zobrazuje výsledný komprimovaný obrázok. Kľúčový podprogram počíta najlepšiu aproximáciu r matice A. Metóda getMatrix (i1, i2, j1, j2) vráti submaticu A ohraničenú zadanými indexmi riadkov a stĺpcov.

Nasledujúce obrázky poskytujú výsledky transformácie KL na slávnom testovacom obrázku Mandrill pre 2., 5., 10., 25., 50. a 29. miesto. Posledný je pôvodný obrázok.

Latentná sémantická indexácia. LSI používaný Googlom na klasifikáciu webových stránok, lingvisti na klasifikáciu dokumentov atď. Vytvorte maticu, kde riadky indexujú výrazy v dokumente a stĺpce indexujú dokumenty. Maticový záznam (i, j) je nejakou funkciou toho, koľkokrát sa výraz i objaví v dokumente j. Matica AA ^ T meria podobnosti dokumentu. Vlastné vektory zodpovedajú jazykovým konceptom, napr. Šport by mohol subsumovať výrazy futbal, hokej a bejzbal. Techniky LSI dokážu identifikovať skryté korelácie medzi dokumentmi, aj keď dokumenty nezdieľajú spoločné výrazy. Napríklad pojmy auto a automobil sa dajú dokopy, pretože oba sa často vyskytujú pri pojmoch pneumatika, chladič a valec.

Centrá a úrady. Kleinbergova metóda na vyhľadanie relevantných webových stránok. Aij = 1, ak existuje odkaz z i na j, a 0 inak. Matica A T A počíta, koľko odkazov i a j má spoločných matica AA T počíta, koľko bežných stránok odkazuje na i a j. A stredisko je stránka, ktorá smeruje na viac smerodajných stránok orgánu je stránka, na ktorú smeruje viac uzlov. Hlavná zložka A T A (alebo ekvivalentne prvý stĺpec U v SVD A = USV T) dáva „základným uzlom“ hlavná zložka AA T (alebo ekvivalentne prvý stĺpec V) dáva „zásadné oprávnenia“.

Analýza údajov o génovej expresii. Podrobte gény množstvu experimentov a pokúste sa zhromaždiť gény s podobnými odpoveďami dohromady. Zoskupujte gény podľa transkripčnej odpovede, zoskupujte testy podľa profilu expresie.

Riedke matice. Matica N-by-N je riedky ak je počet nenulových čísel úmerný N. Na základe optimalizácie a riešenia parciálnych diferenciálnych rovníc vznikajú riedke matice dimenzie 100 000. Vyhľadávací nástroj Google počíta s monštruóznou riedkou maticou o veľkosti N = 4 miliardy. Reprezentácia 2D poľa je v týchto kontextoch zbytočná. Napríklad na výpočet produktu matice a vektora by bol potrebný kvadratický priestor a čas. Silová metóda na výpočet hlavného vlastného vektora vyžaduje rýchle množenie matice-vektora. Popíšeme si, ako urobiť ten istý výpočet v lineárnom čase. Hlavnou myšlienkou je explicitne uložiť iba nenulové hodnoty matice A, pričom si ponecháme dostatok pomocných informácií na výpočet s hodnotou A. Popíšeme jednu populárnu schému riedkej matice ukladania dát známu ako skomprimovaný riadok. Všetky s nenulové položky ukladáme postupne do jednorozmerného poľa val [] tak že val [j] uloží j-té nenulové číslo (v poradí zľava doprava a zhora nadol). Udržiavame tiež dve ďalšie pomocné polia na zabezpečenie prístupu k jednotlivým záznamom matice. Konkrétne udržiavame jedno celé číslo col [] veľkosti s také, že col [j] je stĺpec, v ktorom sa objavuje j-tý nenulový údaj. Nakoniec udržujte celé číslo riadok veľkosti N + 1 také, že riadok [i] je index prvej nenulovej hodnoty z riadku i v poli val. Dohovorom riadok [N] = s.

Od každého dvojitý spotrebuje 8 bajtov a každý int spotrebuje 4 bajty, celkové úložisko pre CRS je zhruba 12s + 4N. Toto je priaznivé porovnanie s 8N 2 bajtmi požadovanými pri reprezentácii 2D poľa. Ak je teraz A reprezentované pomocou CRS, potom je produkt maticového vektora y = Axe efektívne vypočítaný pomocou nasledujúceho kompaktného fragmentu kódu. Počet operácií s pohyblivou rádovou čiarkou je teraz úmerný (s + N) namiesto N 2.

Výpočet y = A T x je trochu zložitejší, pretože naivný prístup zahŕňa prechádzanie stĺpcami A, čo nie je vhodné pri použití formátu CRS. Zmena poradia súčtových výnosov:

Metóda konjugovaného gradientu. Krylov-podpriestorová metóda, keď A je symetrický pozitívny určitý. [Pravdepodobne vynechajte alebo odíďte ako cvičenie.]

Otázka: Existuje niekedy dôvod na výslovné vypočítanie inverznej hodnoty matice?

Odpoveď: Áno, ak sa vyžaduje na skúške. V praxi to nie je takmer nikdy potrebné. Ak chcete vyriešiť Ax = b, mali by ste namiesto vytvorenia A -1 b použiť Gaussovu elimináciu. Ak potrebujete vyriešiť Ax = b pre mnoho rôznych hodnôt b, použite niečo, čo sa nazýva rozklad LU. Je dvakrát rýchlejší a má lepšie numerické vlastnosti presnosti a stability.

Cvičenia

  1. Pridajte metódu frobenius () do Matrix ktorá vráti Frobeniovu normu matice. The Frobeniova norma je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín všetkých položiek.
  2. Pridajte metódu normaInfinity ktorý vracia norma nekonečna matice. Norma nekonečna (a.k.a., norma súčtu riadkov) je maximálny súčet získaný spočítaním absolútnych hodnôt prvkov v každom riadku.
  3. Pridajte metódu stopa ktorý vracia stopa matice. Stopa je súčtom diagonálnych vstupov.
  4. Pridajte metódu jeSymetrické to sa vracia pravda ak je matica symetrický a nepravdivé inak. Matica A je symetrická, ak je štvorcová a Aij = Aji za všetky i a j.
  5. Pridajte metódu je trojuholníkový to sa vracia pravda ak je matica trojuholníkovéa nepravdivé inak.
  6. Dané pole N-by-N a [] [], napíš fragment kódu na transpozíciu a na mieste. To znamená, že použijete najviac niekoľko ďalších premenných úložiska.
  7. Pridajte metódu plusRovnaky ktorá vezme ako vstup Matrix B a prepíše vyvolávajúcu maticu súčtom seba a B.
  8. Predpokladajme, že spustíte Gaussovu elimináciu bez výmeny riadkov. Ukážte, že zlyhá ďalej

Oblasť trojuholníka a ccw. Vzorce pre oblasť trojuholníka sú známe už 2000 rokov. Maturitný vzorec (1/2 základne * výška) a Heronov vzorec vyžadujú analýzu trigonometrických funkcií alebo získanie druhej odmocniny. V 17. storočí Descartes a Fermat pomocou lineárnej algebry získali nový pohľad na geometrické problémy. Napríklad nasledujúci determinant dáva dvojnásobok znamienkovej oblasti trojuholníka s vrcholmi a, b a c.

Test v kruhu. Určte, či bod d leží vo vnútri alebo mimo kruhu definovaného tromi bodmi a, b a c v rovine. Aplikácia: primitívna operácia v Delaunayových triangulačných algoritmoch. Za predpokladu, že a, b, c sú okolo kruhu označené proti smeru hodinových ručičiek, je nasledujúci determinant pozitívny, ak d je vo vnútri kruhu, negatívny, ak d je mimo kruh, a nula, ak sú všetky štyri body kruhové. Toto sa prirodzene zovšeobecňuje na vyššie dimenzie, napríklad bod vo sfére definovanej 4 bodmi.

Kreatívne cvičenia

  1. Zložité matice. Vytvorte abstraktný údajový typ, ktorý predstavuje zložité matice.
  2. Zhasnúť. Implementujte riešiteľ pre hry Lights Out. Vyriešte lineárny systém rovníc (nad Z_2), aby ste určili, ktoré svetlá sa majú zapnúť (ak také riešenie existuje).
  3. Detekcia uskutočniteľnosti. Nie je možné nájsť nenulový pivot a aktuálna pravá strana je nenulová.
  4. Osvedčenie o uskutočniteľnosti. Ak neexistuje riešenie pre Ax = b, potom Gaussova eliminácia zlyhá. Ak je to tak, potom existuje vektor c taký, že c T A = 0 a c T b & ne 0. Upravte Gaussovu elimináciu tak, aby produkoval taký vektor, keď Ax = b nemá žiadne riešenia.
  5. Trojuholníkové matice. Implementujte dátový typ TridiagonalMatrix ktorá implementuje trojdiarkovú maticu pomocou troch 1-D polí. Navrhnite algoritmus, ktorý vyrieši Ax = b, keď A je štvorcová trojuholníková matica. Váš algoritmus by mal bežať v lineárnom čase.
  6. Strassenov algoritmus. N 2,81 algoritmus rozdeľuj a panuj pre násobenie matíc. Porovnanie vs. Gaussova eliminácia.
  7. Špeciálne matice. Vytvorte triedy DiagonalMatrix, TridiagonalMatrix pomocou dedičnosti a prekonať metódy riešenia lineárneho systému rovníc a násobenia matíc.
  8. Markovove reťaze. Markovove reťazce sú jednoduchým matematickým nástrojom na modelovanie vzorcov správania. Široko používaný v mnohých vedeckých oblastiach vrátane teórie radenia, štatistík, modelovania populačných procesov a predikcie génov. Glass a Hall (1949) vo svojom štúdiu sociálnej mobility rozlišovali 7 štátov:
    1. Profesionálny, vysoko administratívny
    2. Manažérske
    3. Inšpekčný, kontrolný, nemanuálny vysokokvalitný
    4. Nemanuálna nízka kvalita
    5. Kvalifikovaný manuál
    6. Polokvalifikovaný manuál
    7. Nekvalifikovaný manuál

    V nasledujúcej tabuľke sú uvedené údaje z ich štúdie. Položka (i, j) je pravdepodobnosť prechodu zo stavu i do j.

    Čo sa stane, keď sa pokúsite invertovať Hilbertovu maticu 100 ku 100?

    Nasledujúca tabuľka uvádza pravdepodobnosť narodenia a prežitia samice novozélandskej ovce. Pôvodný zdroj je: [G. Caughley, "Parameters for Seasonally Breeding Population", Ecology 48 (1967) 834-839].

    Tu je zvlášť patologická matica 4 x 4, ktorej počet stavov je okolo 10 ^ 65. To znamená, že s presnosťou menej ako 65 desatinných číslic, nemôžeme v našej odpovedi očakávať žiadne významné číslice presnosti. [Odkaz: S.M. Zadok. Trieda ľubovoľne podmienených matíc s pohyblivou rádovou čiarkou. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications (SIMAX), 12 (4): 645-653, 1991.]

    Posledná úprava 30. apríla 2015.

    Copyright & copy 2000 & ndash2019 Robert Sedgewick a Kevin Wayne. Všetky práva vyhradené.


    9.5 Príklad: Lineárne algebraické rovnice

    Ako náš posledný ukážkový program využívajúci v tejto kapitole dvojrozmerné polia vyvíjame program na riešenie systémov simultánnych lineárnych rovníc. Sada lineárnych algebraických rovníc, nazývaných tiež simultánne rovnice, sa vyskytuje v rôznych matematických aplikáciách vo vede, strojárstve, ekonómii, a spoločenské vedy. Príklady zahŕňajú: analýza elektronických obvodov, ekonometrická analýza, štrukturálna analýza atď. V najbežnejšom prípade sa počet rovníc môže líšiť od počtu neznámych, a preto nemusí byť možné nájsť jedinečné riešenie. Ak sú však rovnaké, existuje šanca nájsť jedinečné riešenie pre neznámych.

    Našou ďalšou úlohou je vyriešiť množinu lineárnych algebraických rovníc za predpokladu, že počet rovníc sa rovná počtu neznámych:

    LINEQNS: Prečítajte si koeficienty a hodnoty na pravej strane množiny lineárnych rovníc vyriešte rovnice pre neznáme.

    Riešenie sústavy lineárnych rovníc je pomerne zložité. Najprv si prezrieme postup riešenia a potom vyvinieme algoritmus v malých častiach. Pri vývoji častí algoritmu budeme tieto časti implementovať ako funkcie.Vodič iba prečíta koeficienty, vyvolá funkciu na riešenie rovníc a zavolá funkciu na vytlačenie riešenia.

    Začnime príkladom množiny troch simultánnych rovníc v troch neznámych:,, a.

    Môžeme použiť pole, ktoré predstavuje takúto množinu rovníc, dvojrozmerné pole na ukladanie koeficientov, jednorozmerné pole na ukladanie hodnôt neznámych, keď sú vyriešené, a ďalšie jednorozmerné pole na uloženie hodnôt na pravej strane. Neskôr zahrnieme bočné hodnoty na pravej strane ako ďalší stĺpec do dvojrozmerného poľa koeficientov. Každý riadok dvojrozmerného poľa uchováva koeficienty jednej z rovníc. Pretože index poľa v C začína na 0, predpokladáme, že neznáme sú prvky x [0], x [1] a x [2]. Podobne sú prvky v rade nula koeficienty v rovnici číslo 0, prvky v prvom rade sú predpovede číslo jedna atď.

    Potom pomocou polí možno vyjadriť všeobecnú množinu lineárnych algebraických rovníc s neznámymi, ako je uvedené nižšie: Neznáme a pravá strana sa považujú za prvky jednorozmerných polí: x [0], x [1], x [m - 1] a y [0], y [1], y [n - 1]. Koeficienty sa považujú za prvky dvojrozmerného poľa: a [i] [j] pre a. Koeficienty každej rovnice zodpovedajú riadku poľa. Pre našu diskusiu v tejto časti predpokladáme, že sa rovná. S týmto predpokladom je možné nájsť jedinečné riešenie týchto rovníc, pokiaľ nie sú rovnice lineárne závislé, t. J. Niektoré rovnice sú lineárnymi kombináciami iných.

    Bežná metóda riešenia takýchto rovníc sa nazýva Gaussova eliminačná metóda. Metóda vylučuje (t.j. vynuluje) všetky koeficienty pod hlavnou uhlopriečkou dvojrozmerného poľa. Robí to tak, že systematicky pridáva násobky niektorých rovníc k druhým. Vďaka eliminácii má pole nových koeficientov horný trojuholníkový tvar, pretože dolné trojuholníkové koeficienty sú nulové.

    Upravená ekvivalentná množina rovníc v neznámych vo vrchnej trojuholníkovej forme má vzhľad uvedený nižšie: Horné trojuholníkové rovnice možno vyriešiť substitúciou späť. Spätná substitúcia najskôr vyrieši poslednú rovnicu, ktorá má iba jednu neznámu, x [n-1]. Pre túto hodnotu sa dá ľahko vyriešiť --- x [n-1] = y [n-1] / a [n-1] [n -1]. Nasledujúca posledná rovnica môže byť potom vyriešená - keďže x [n-1] už bolo určené, táto hodnota sa v rovnici nahradí a táto rovnica má opäť iba jednu neznámu, x [n-2]. , x [n-2], je vyriešené pre a proces pokračuje späť k nasledujúcej vyššej rovnici. V každej fáze sú hodnoty neznámeho vyriešené v predchádzajúcich rovniciach nahradené v novej rovnici a ponechajú iba jednu neznámu. Týmto spôsobom má každá rovnica iba jednu neznámu, pre ktorú sa dá ľahko vyriešiť.

    Zoberme si jednoduchý príklad, aby sme zistili, ako tento proces funguje. Pre rovnice: Najprv znížime na nulu koeficienty v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou (tj. Nula indexu poľa). Ak sa prvá rovnica vynásobí -2 a pridá sa k druhej rovnici, koeficient v druhom riadku a prvom stĺpci bude nula:

    Podobne, ak sa prvá rovnica vynásobí -1 a pripočíta sa k trinástke, bude koeficient v treťom riadku a prvom stĺpci nulový: Koeficienty v prvom stĺpci pod hlavnou uhlopriečkou sú teraz nulové, takže to isté urobíme pre druhý stĺpec. V takom prípade sa druhá rovnica vynásobí multiplikátorom a pridá sa k rovniciam pod druhým, teda vynásobením druhej rovnice -2 a pridaním do tretieho sa koeficient v druhom stĺpci rovná nule: Teraz máme ekvivalentné rovnice s horný trojuholníkový tvar pre nenulové koeficienty. Rovnice je možné vyriešiť späť - posledná rovnica nám dá x [2] = 1. Nahradením hodnoty x [2] v susedstve poslednej rovnice a riešením pre x [1] dostaneme x [1] = 1. Nakoniec , dosadením x [2] a x [1] v prvej rovnici dostaneme x [0] = 1.

    Z vyššie uvedenej diskusie vidíme, že všeobecný algoritmus zahŕňa dva kroky: upraviť koeficienty rovníc na horný trojuholníkový tvar a vyriešiť rovnice spätnou substitúciou.

    Najprv zvážime proces úpravy rovníc na horný trojuholníkový tvar. Pretože do výpočtov, ktoré upravujú rovnice na horný trojuholníkový tvar, sú zapojené iba koeficienty a hodnoty na pravej strane, môžeme s týmito položkami pracovať v poli s riadkami a stĺpcami (ďalší stĺpec obsahuje hodnoty na pravej strane).

    Predpokladajme, že proces už znížil na nulu prvé stĺpce pod hlavnou uhlopriečkou, pričom upravené nové hodnoty prvkov sa uložia do rovnakých prvkov poľa. Teraz je čas zredukovať dolný stĺpec na nulu (tým myslíme spodný stĺpec) časť stĺpca pod hlavnou uhlopriečkou). Situácia je uvedená nižšie: Stĺpec predstavuje hodnoty na pravej strane s [i] [n] rovným y [i]. Riadok vynásobíme vhodným multiplikátorom a pridáme ho do každého s indexom väčším ako. Za predpokladu, že a [k] [k] nie je nula, multiplikátor riadkov pre pridanie k riadku () je: Riadok vynásobený vyššie uvedeným multiplikátorom a pridaný k riadku spôsobí, že nový bude [i] [k] nula Nasledujúca slučka zníži nulu v dolnom stĺpci:

    Avšak predtým, ako použijeme vyššie uvedenú slučku na zníženie dolného stĺpca na nulu, musíme sa ubezpečiť, že a [k] [k] je nenulové. Ak je prúd a [k] [k] nulový, všetky sú urobíme výmenu tohto riadku s akýmkoľvek vyšším indexovaným šípom s nenulovým prvkom v stĺpci. Po výmene týchto dvoch riadkov bude nové a [k] [k] nenulové. Vyššie uvedená slučka sa potom použije na zníženie spodného stĺpca na nulu. Nenulový prvok, [k] [k] použitý v multiplikátore sa nazýva pivot.

    Pri úprave rovníc na horný trojuholníkový tvar teda existujú dva kroky: pre každý riadok vyhľadajte otočný čep a znížte zodpovedajúcu dolnú hodnotu stĺpca na nulu. Ak sa nenulový otočný prvok nenájde, potom je jedna alebo viac rovníc lineárnou kombináciou iných, tieto rovnice sa nazývajú lineárne závislé a nemožno ich vyriešiť.

    Obrázky 9.22 a 9.23 zobrazujú množinu funkcií, ktoré prevádzajú prvé riadky a stĺpce anarray na horný trojuholníkový tvar. Tieto a ďalšie funkcie používajú typ definovaný používateľom, stav, s možnými hodnotami CHYBA vrátená, ak je chyba, a OK vrátené inak. Stav typu je definovaný takto: Predpokladáme tiež maximálny počet rovníc MAX, takže dvojrozmerné pole musí mať Stĺpce MAXrows a MAX + 1. Obrázok 9.21 obsahuje hlavičkový súbor s definíciami a funkčnými prototypmi použitými v programe.

    Pretože v týchto výpočtoch je dôležitá presnosť, použili sme formálne parametre typu double. Dvojrozmerné polia môžu ukladať koeficienty pre maximálne MAX rovníc (riadkov) a mať stĺpce MAX + 1 na prispôsobenie sa hodnotám na pravej strane.

    Funkcia uptriangle () transformuje koeficienty rovníc na horný trojuholníkový tvar. Pre každé k od 0 do n-1 volá findpivot (), aby našiel pivot v stĺpci. Ak sa pivot nenájde, findpivot () vráti CHYBU (findpivot () sa volá aj pre stĺpec, aj keď neexistuje žiadny dolný stĺpec na testovanie, a [n-1] [n-1] je nula). Ak findpivot () vráti hodnotu OK, potom funkcia uptriangle () zavolá process_col () na zníženie dolný stĺpec na nulu. Do procesu_col () sme zahrnuli ladiace príkazy, ktoré nám pomôžu proces sledovať. Funkcia pr2adbl () vytlačí dvojrozmerné pole - čoskoro túto funkciu napíšeme.

    Funkcia findpivot () volá funkciu findnonzero (), aby našla nenulový pivot v stĺpci k, ak je [k] [k] nula. Ak sa nájde pivot, zamení príslušné riadky a vráti sa OK. V opačnom prípade sa vráti späť CHYBA. Funkcia findnonzero () iba vyhľadá nenulový prvok v dolnom stĺpci k. Vráti buď riadok, v ktorom nájde prvok nenulovej hodnoty, alebo vráti hodnotu -1, ak sa takýto prvok nenájde. Riadky poľa sú zamenené funkciou swaprows (), ktorá obsahuje aj príkaz ladenia, ktorý vytlačí indexy riadkov zamieňaných riadkov.

    Keď sa uptriangle () vráti so stavom OK, pole bude v hornom trojuholníkovom tvare. Ďalším krokom pri riešení rovníc je použitie spätnej substitúcie na nájdenie hodnôt neznámych. Teraz skúmame proces spätnej substitúcie. Ako sme videli skôr, musíme rovnice vyriešiť späť počnúc indexom a pokračujúc indexom 0. Rovnica je v trojuholníkovom tvare vyzerá takto: Pripomeňme, že v našom znázornení je pravá strana stĺpcom dvojrozmerného poľa. Pre každý index musíme spočítať všetky príspevky od tých neznámych, ktoré už boli vyriešené, t. J. tie x [i] s indexom väčším ako. Toto je nasledujúci súčet: Odčítame tento súčet z pravej strany, a [i] [n], a výsledok vydelíme a [i] [i], aby sme určili riešenie pre x [i]. Algoritmus je uvedený nižšie:

    Teraz môžeme napísať funkciu gauss (), ktorá rieši množinu rovníc metódou Gaussovej eliminácie, ktorá ako prvá vyžaduje funkciu uptriangle () na prevod koeficientov do hornej trojuholníkovej formy. Ak sa to podarí, vykoná sa spätná substitúcia s cieľom nájsť riešenie. Rovnako ako v prípade iných funkcií, funkcia gauss () vráti OK, ak je úspešná, a v opačnom prípade CHYBA. Kód je uvedený na obrázku 9.24.

    Kód je priamy. Zahŕňa zadný substitučný algoritmus po volaní funkcie na uptriangle (). Ak volanie funkcie vráti CHYBU, rovnice nemožno vyriešiť a gauss () vráti CHYBU. V opačnom prípade gauss () pokračuje so spätnou substitúciou a uloží výsledok do poľa x []. Pretože všetky a [i] [i] musia byť v tomto okamihu benon-zero, nemusíme skutočne testovať, či a [i] [i ] je nula pred tým, ako ju použijeme ako deliteľa, robíme to však ako preventívne opatrenie.

    Sme takmer pripravení na použitie funkcie gauss () v programe. Predtým, ako však dokážeme doso, potrebujeme na načítanie a tlač údajov niektoré pomocné funkcie. Tu je popis týchto funkcií: getcoeffs (): načíta koeficienty a hodnoty na pravej strane do anarray a vráti počet rovníc. pr2adbl (): vypíše pole s riadkami a stĺpcami. pr1adbl (): vypíše pole riešení.

    Všetky tieto funkcie využívajú údaje typu double. Kód je znázornený na obrázku 9.25.

    Nakoniec sme pripravení napísať ovládač programu, ako je to znázornené na obrázku 9.26. Ovládač najskôr načíta koeficienty a hodnoty na pravej strane pre množinu rovníc a potom zavolá gauss () na riešenie rovníc. Počas fázy ladenia sa vytlačia pôvodné údaje aj transformovaná horná trojuholníková verzia. Nakoniec, ak sa rovnice vyriešia s úspechom, riešenie sa vytlačí. V opačnom prípade sa vytlačí chybové hlásenie.

    Počas ladenia je v gauss.h definované makro DEBUG, aby sme mohli sledovať proces. Programové cykly, pokiaľ existujú rovnice, ktoré treba vyriešiť. V každom prípade dostane koeficienty pomocou metódy getcoeffs () a vyrieši ich pomocou gauss (). Počas ladenia program používa pr2adbl () na tlač originálneho poľa a poľa po gaussovej transformácii. Ak je riešenie možné, program vytlačí pole riešenia pomocou pr1adbl (). Tu je niekoľko príkladov riešení rovníc:

    Prvé dve množiny rovníc sú riešiteľné, posledná množina nie je taká, že druhá rovnica v poslednej množine je násobkom prvej rovnice. Tieto rovnice sú teda lineárne závislé a nemožno ich vyriešiť jednoznačne. V tomto prípade potom, čo sa dolný stĺpec zníži na nulu, je [1] [1] nula. Apivot sa nachádza v riadku 2, riadky 1 a 2 sú zamenené a dolný stĺpec 1 je znížený na nulu. Avšak [2] [2] je teraz nula a neexistuje žiadny jedinečný spôsob riešenia týchto rovníc.

    Ak sú koeficienty také, že rovnice sú takmer, ale nie quitelineárne závislé, riešenie môže byť dosť nepresné. Zlepšenie presnosti sa dá dosiahnuť použitím prvku s najväčšou absolútnou hodnotou ako otočného bodu. Implementácia vylepšenej verzie metódy sa ponecháva ako cvičenie.


    Predchádzajúca strana: 9.4 Polia ukazovateľov
    Ďalšia strana: 9.6 Bežné chyby


    Lineárne rovnice v dvoch premenných

    Sol. Nech sú náklady na notebook a pero X a r resp.

    Náklady na notebook = 2 × Náklady na pero

    P2. Vyjadrite nasledujúce lineárne rovnice vo forme sekera + od + c = 0 a uveďte hodnoty a, b, c v každom prípade :

    (iii) - 2X + 3 r = 6

    (vi) 3X + 2 = 0

    vii) r − 2 = 0

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    Porovnanie tejto rovnice s sekera + autor + c = 0,

    P1. Ktorá z nasledujúcich možností je pravdivá a prečo?

    r = 3X + 5 má

    i) jedinečné riešenie,

    ii) iba dve riešenia,

    (iii) nekonečne veľa riešení

    Sol. r = 3X + 5 je lineárna rovnica v dvoch premenných a má nekonečne veľa možných riešení. Pokiaľ ide o každú hodnotu X, bude mať hodnotu r splnenie vyššie uvedenej rovnice a naopak.

    Správna odpoveď je teda (iii).

    P2. Napíšte štyri riešenia pre každú z nasledujúcich rovníc:

    Sol. i) 2X + r = 7

    (0, 7) je preto riešením tejto rovnice.

    (1, 5) je preto riešením tejto rovnice.

    (-1, 9) je preto riešením tejto rovnice.

    (2, 3) je preto riešením tejto rovnice.

    (0, 9) je preto riešením tejto rovnice.

    Preto (1,9 - π) je riešením tejto rovnice.

    (2, 9 −2π) je teda riešením tejto rovnice.

    ⇒ (−1, 9 + π) je riešením tejto rovnice.

    (0, 0) je preto riešením tejto rovnice.

    (4, 1) je preto riešením tejto rovnice.

    Preto (−4, −1) je riešením tejto rovnice.

    P3. Skontrolujte, ktoré z nasledujúcich riešení sú rovnice X − 2r = 4 a ktoré nie sú:

    Sol. (i) (0, 2)

    Uvedenie X = 0 a r = 2 v LH danej rovnice,

    (0, 2) preto nie je riešením tejto rovnice.

    Uvedenie X = 2 a r = 0 v LH danej rovnice,

    (2, 0) preto nie je riešením tejto rovnice.

    Uvedenie X = 4 a r = 0 v LH danej rovnice,

    (4, 0) je teda riešením tejto rovnice.

    v L.H.S danej rovnice,

    x & # 8211 2 y = 2 & # 8211 2 4 2 = 2 & # 8211 8 2 = & # 8211 7 2 & # 8800 4

    nie je riešením tejto rovnice.

    Uvedenie X = 1 a r = 1 v L.H.S danej rovnice,

    X − 2r = 1 − 2(1) = 1 − 2 = − 1 ≠ 4

    Preto (1, 1) nie je riešením tejto rovnice.

    P4. Nájdite hodnotu k, ak X = 2, r = 1 je riešenie rovnice 2X + 3r = k.

    Sol. Uvedenie X = 2 a r = 1 v danej rovnici,

    Preto je hodnota k je 7.

    P1. Nakreslite graf každej z nasledujúcich lineárnych rovníc do dvoch premenných:

    Sol. i)

    Dá sa to pozorovať X = 0, r = 4 a X = 4, r = 0 sú riešenia vyššie uvedenej rovnice. Preto je tabuľka riešení nasledovná.

    Graf tejto rovnice je zostavený nasledovne.

    Dá sa to pozorovať X = 4, r = 2 a X = 2, r = 0 sú riešenia vyššie uvedenej rovnice. Preto je tabuľka riešení nasledovná.

    Graf vyššie uvedenej rovnice je zostavený nasledovne.

    Dá sa to pozorovať X = −1, r = -3 a X = 1, r = 3 sú riešenia vyššie uvedenej rovnice. Preto je tabuľka riešení nasledovná.

    Graf vyššie uvedenej rovnice je zostavený nasledovne.

    Dá sa to pozorovať X = 0, r = 3 a X = 1, r = 1 sú riešenia vyššie uvedenej rovnice. Preto je tabuľka riešení nasledovná.

    Graf tejto rovnice je zostavený nasledovne.

    P2. Dajte rovnice dvoch priamok prechádzajúcich cez (2, 14). Koľko takýchto liniek je ešte a prečo?

    Sol. Je možné pozorovať, že bod (2, 14) vyhovuje rovnici 7Xr = 0 a

    Preto 7Xr = 0 a Xr + 12 = 0 sú dve priamky prechádzajúce bodom (2, 14).

    Ako je známe, že jedným bodom môže prechádzať nekonečný počet línií, takže daným bodom prechádzajú nekonečné rady tohto typu.

    P3. Ak bod (3, 4) leží na grafe rovnice 3r = sekera + 7, vyhľadajte hodnotu a.

    Sol. Uvedenie X = 3 a r = 4 v danej rovnici,

    P4. Cena taxíka v meste je nasledovná: Pre prvý kilometer je cestovné Rs 8 a pre nasledujúcu vzdialenosť je Rs 5 za km. Keď vezmeme prejdenú vzdialenosť ako X km a celkové cestovné ako Rs r, napíš pre túto informáciu lineárnu rovnicu a nakresli jej graf.

    Sol. Celková prejdená vzdialenosť X km

    Cestovné za 1. kilometer = Rs 8

    Cestovné po zvyšok vzdialenosti = Rs (X − 1) 5

    Je možné pozorovať, že bod (0, 3) a

    spĺňa vyššie uvedenú rovnicu. Preto sú tieto riešenia tejto rovnice.

    Graf tejto rovnice je zostavený nasledovne.

    Tu je vidieť túto premennú X a r predstavujú prejdenú vzdialenosť a cestovné zaplatené za túto vzdialenosť a tieto množstvá nemusia byť záporné. Preto iba tie hodnoty X ar ktoré sa nachádzajú v 1. kvadrante, sa budú brať do úvahy.

    P5. Z možností uvedených nižšie vyberte rovnicu, ktorej grafy sú uvedené na daných obrázkoch.

    Pre prvý údaj Pre druhú postavu
    i) r = X i) r = X +2
    ii) X + r = 0 ii) r = X − 2
    iii) r = 2X iii) r = − X + 2
    iv) 2 + 3r = 7X iv) X + 2r = 6


    Body na danom riadku sú (−1, 1), (0, 0) a (1, −1).

    Je možné pozorovať, že súradnice bodov grafu vyhovujú rovnici X + r = 0. Preto, X + r = 0 je rovnica zodpovedajúca grafu zobrazenému na prvom obrázku.

    Preto je (ii) správna odpoveď.

    Body na danom riadku sú (−1, 3), (0, 2) a (2, 0). Je možné pozorovať, že súradnice bodov grafu vyhovujú rovnici r = − X + 2.

    Preto r = − X + 2 je rovnica zodpovedajúca grafu zobrazenému na druhom obrázku.

    Preto je (iii) správna odpoveď.

    P6. Ak je práca vykonaná telesom pri aplikácii konštantnej sily priamo úmerná vzdialenosti prejdenej telesom, vyjadrte to vo forme rovnice v dvoch premenných a nakreslite jej graf tak, že konštantnú silu vezmeme ako 5 jednotiek . Z grafu si tiež prečítajte prácu vykonanú, keď je vzdialenosť prekonaná telom

    Sol. Nech je prejdená vzdialenosť a práca vykonaná telom X a r resp.

    Vykonaná práca ∝ ubehnutá vzdialenosť

    Ak je konštantná sila 5 jednotiek, potom je práca hotová r = 5X

    Je možné pozorovať, že body (1, 5) a (−1, −5) vyhovujú vyššie uvedenej rovnici. Preto sú tieto riešenia tejto rovnice. Graf tejto rovnice je zostavený nasledovne.


    i) Z grafov vyplýva, že hodnota r zodpovedajúce X = 2 je 10. To znamená, že práca vykonaná telom je 10 jednotiek, keď je vzdialenosť, ktorú prejde, 2 jednotky.

    ii) Z grafov vyplýva, že hodnota r zodpovedajúce X = 0 je 0. To znamená, že práca vykonaná telom je 0 jednotiek, keď vzdialenosť, ktorú urazí, je 0 jednotiek.

    P7. Yamini a Fatima, dvaja študenti školy IX. Triedy, spoločne prispeli sumou 100 Rs do fondu vlády na pomoc obetiam zemetrasenia. Napíšte lineárnu rovnicu, ktorá spĺňa tieto údaje. (Ich príspevky môžete brať ako R. X a Rs r.) Nakreslite graf toho istého.

    Sol. Nech je suma, ktorou prispeli Yamini a Fatima X a r respektíve do Fondu pomoci predsedu vlády.

    Suma prispel Yamini + Suma prispel Fatima = 100

    Je možné pozorovať, že (100, 0) a (0, 100) vyhovujú vyššie uvedenej rovnici. Preto sú to riešenia vyššie uvedenej rovnice. Graf je zostavený nasledovne.

    Tu je vidieť túto premennú X a r predstavujú množstvo, ktorým prispeli Yamini a Fatima, a tieto množstvá nemôžu byť záporné. Preto iba tie hodnoty X a r ktoré sa nachádzajú v 1. kvadrante, sa budú brať do úvahy.

    P8. V krajinách ako USA a Kanada sa teplota meria vo stupňoch Fahrenheita, zatiaľ čo v krajinách ako India sa meria v stupňoch Celzia. Tu je lineárna rovnica, ktorá prevádza stupne Fahrenheita na Celzia:

    (i) vyššie nakreslite graf lineárnej rovnice s použitím Celzia pre X- os a Fahrenheit pre r- os.

    ii) Ak je teplota 30 ° C, aká je teplota vo Fahrenheite?

    (iii) Ak je teplota 95 ° F, aká je teplota v stupňoch Celzia?

    iv) Ak je teplota 0 ° C, aká je teplota vo stupňoch Fahrenheita a ak je teplota 0 ° F, aká je teplota v stupňoch Celzia?

    v) Existuje teplota, ktorá je číselne rovnaká vo stupňoch Fahrenheita aj Celzia? Ak áno, nájdite to.

    Je možné pozorovať, že body (0, 32) a (-40, -40) vyhovujú danej rovnici. Preto sú tieto body riešením tejto rovnice.

    Graf vyššie uvedenej rovnice je zostavený nasledovne.


    ii) Teplota = 30 ° C

    F = 9 5 C + 32 F = 9 5 30 + 32 = 54 + 32 = 86

    Preto je teplota vo stupňoch Fahrenheita 86 ° F.

    F & # 160 = & # 160 9 5 C + 32 95 = 9 5 C + 32 63 = 9 5 C C & # 160 = 35

    Preto je teplota v stupňoch Celzia 35 ° C.

    Preto, ak C = 0 ° C, potom F = 32 ° F

    0 = 9 5 C + 32 9 5 C = & # 8211 32 C = & # 8211 160 9 & # 8211 17. 77

    Preto, ak F = 0 ° F, potom C = -17,8 ° C

    F = 9 5 F + 32 9 5 & # 8211 1 F + 32 = 0 4 5 F = & # 8211 32

    Áno, existuje teplota −40 °, ktorá je číselne rovnaká vo stupňoch Fahrenheita aj Celzia

    P1. Uveďte geometrické znázornenie r = 3 ako rovnica

    (I) v jednej premennej

    (II) v dvoch premenných

    Sol. V jednej premennej r = 3 predstavuje bod, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

    V dvoch premenných r = 3 predstavuje priamku prechádzajúcu bodom (0, 3) a rovnobežnú s X- os. Je to súbor všetkých bodov lietadla, ktoré majú svoje r-koordinovaný ako 3.

    P2. Dajte geometrické znázornenia 2X + 9 = 0 ako rovnica

    (1) v jednej premennej

    (2) v dvoch premenných

    (1) V jednej premennej 2X + 9 = 0 predstavuje bod

    ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

    (2) V dvoch premenných, 2X + 9 = 0 predstavuje priamku prechádzajúcu bodom
    (−4,5, 0) a rovnobežne s r- os. Je to súbor všetkých bodov lietadla, ktoré majú svoje X-koordinovaný ako 4.5.


    Praktické aplikácie lineárnych rovníc

    Lineárne rovnice vznikajú v mnohých praktických situáciách. Zvážte napríklad dve široko používané teplotné stupnice: Celzia a Fahrenheita. Na prevod zo stupnice Fahrenheita na stupnicu Celzia sa používa nasledujúci vzťah:

    Pozorne si všimnite, že ide o lineárnu rovnicu v dvoch premenných F a C.. Vytvorme graf pre túto lineárnu rovnicu pomocou dvoch konkrétnych riešení:

    Graf je uvedený nižšie:

    Pomocou tohto grafu môžeme ľahko prevádzať z Celzia na Fahrenheita a naopak. Napríklad si všimneme, že (P vľavo (<30,86> vpravo) ) leží na grafe, čo znamená, že keď (C = 30 ), potom (F = 86 ), to znamená , (<30 ^ 0> C ) je (<86 ^ 0> F ). Podobne vidíme, že (Q ľavé (<35,95> pravé) ) leží na grafe, to znamená (<35 ^ 0> C ) je (<95 ^ 0> F ) .

    Tiež si všimneme, že priamka pretína r-osa zhruba ( ľavé (<- 17,7,0> pravé) ), čo znamená, že (<0 ^ 0> F ) je približne (- <17,7 ^ 0> C ).

    Existuje teplota, ktorej číselná hodnota je v obidvoch stupniciach rovnaká? Aby sme určili takúto teplotu, musíme určiť bod na priamke, ktorej obidve súradnice sú rovnaké, to znamená bod, pre ktorý

    Za týmto účelom nakreslíme čiaru (y = x ) na grafe Celzia-Fahrenheita. Všade, kde priamka (y = x ) pretína čiaru Celzia-Fahrenheita, získaný bod bude mať rovnaký X a r súradnice (vidíš prečo?):

    Vidíme, že priesečník je ( ľavý (<- 40, - 40> pravý) ). Teda (- <40 ^ 0> C ) po prevedení na stupnicu Fahrenheita je (- <40 ^ 0> F ). Táto teplota má na oboch váhach rovnakú číselnú hodnotu.

    Príklad 1: V určitom meste sú k dispozícii dva druhy taxíkov: čierny a žltý. Čierne taxíky účtujú zálohu vo výške Rs. 20 a cestovné za km Rs. 4. Žlté taxíky účtujú zálohu vo výške Rs. 10 a za km cestovné Rs. 5.

    I. Pomocou (f ) označte celkové cestovné (v rupiách) a (d ) označte prejdenú vzdialenosť (v km). Zostavte lineárne rovnice súvisiace (f ) a (d ) pre čierny a žltý taxík.

    II. Pre tieto rovnice nakreslite grafy.

    III. Za akých podmienok je čierne taxi lacnejšie ako žlté taxi?

    I. Pre čierne taxi máme (f = 20 + 4d ), zatiaľ čo pre žlté taxi máme (f = 10 + 5d ).

    II. Dve lineárne rovnice sú vynesené na rovnakých osiach nižšie (mierka pre vertikálnu os je iná ako horizontálna os):

    Upozorňujeme, že tieto dve priamky sa pretínajú v bode ( ľavé (<10,60> pravé) ), to znamená na (d = 10, , f = 60 ).

    III. Pri vzdialenostiach menších ako 10 km leží čiara pre čierne taxi nad žltým taxíkom (to znamená, že ceny pre čierne taxíky budú vyššie). Keď (d = 10 ) km, cestovné pre dva taxíky bude rovnaké (Rs. 60). Keď (d> 10 ) km, čiara pre čierne taxík ide pod čiaru žltého taxíka. Na vzdialenosti väčšie ako 10 km bude teda čierne taxi lacnejšie.


    Rozšírenie nad rámec orbitálneho základu 1 s

    Tento obrázok väzby v H2 + v predchádzajúcej časti je veľmi jednoduchý, ale poskytuje primerané výsledky v porovnaní s presným výpočtom. Vzdialenosť rovnovážnej väzby je 134 pm v porovnaní s 106 pm (presná) a disociačná energia je 1,8 eV v porovnaní s 2,8 eV (presná). Aby sme lepšie opísali chemickú väzbu, musíme brať do úvahy zvýšenie hustoty elektrónov medzi týmito dvoma jadrami. Samotné orbitály 1 s nie sú na tento účel zvlášť dobré, pretože sú sféricky symetrické a nevykazujú nijakú preferenciu priestoru medzi atómovými jadrami. Použitie ďalších atómových orbitálov môže túto situáciu napraviť a poskytnúť ďalšie parametre, ktoré je možné optimalizovať lineárnou variačnou metódou, aby bola zaistená lepšia funkcia s nižšou energiou a presnejší popis hustoty náboja.

    Energiu nenormalizovaného molekulárneho orbitálu možno vypočítať z predpokladanej hodnoty integrálu Hamiltonovho,

    Toto je variačná energia využívajúca (| psi _ rangle ) ako stopová vlnová funkcia. Po nahradení rozšírenia LCAO za (| psi _ rangle ) (Rovnica ref <9.5.12>) do energetického vyjadrenia Rovnice ref <9.5.13> vedie k:

    kde (H_) je prvok Hamiltonovskej matice.

    [H_ = langle phi_i | klobúk _ | phi_j rangle ]

    Po variačnej vete musíme na určenie koeficientov expanzie LCAO (c_i ) minimalizovať (E_J )

    pre všetkých (k ). To si vyžaduje vyriešenie (N ) lineárnych rovníc, ktoré budú platiť (kde (N ) je počet atómových orbitalov v základe)

    Tieto rovnice sú sekulárne rovnice a boli diskutované skôr v kontexte aproximácie lineárnej variačnej metódy. Pre rozšírenie dvoch základných skupín ( (N )) na obrázku ( PageIndex <1> ) sú to

    kde (c_1 ) a (c_2 ) sú koeficienty v lineárnej kombinácii atómových orbitálov použitých na konštrukciu molekulárneho orbitálu. Písanie tejto sady homogénnych lineárnych rovníc vo forme matice dáva

    Riešenie týchto sekulárnych rovníc s N rôznymi atómovými orbitalmi v expanzii (Rovnica ( ref <9.5.12> )) vyžaduje nájdenie N koreňov polynómu rádu N.

    Každý molekulárny orbitál ( (| psi_J rangle )) z tejto liečby má energiu (E_J ), ktorá je daná inou sadou koeficientov, (<>> ) kde (i ) prechádza nad všetkými (N ) funkciami v základe (tj. počet atómových orbitálov v LCAO aproximácii rovnice ( ref <9.5.12> )) a (J ) prechádza molekulárnymi orbitalmi. Vyriešte množinu lineárnych rovníc pomocou tohto špecifického (E_J ) na určenie (c_) hodnoty.

    Kroky pri riešení sekulárnych rovníc

    1. Vyberte skupinu základných funkcií N.
    2. Určte všetky hodnoty N (N a Nash1) / 2 oboch (H_) a (S_)
    3. Vytvorte sekulárny determinant a určte N koreňov (E_j ) sekulárnej rovnice
    4. Pre každú (E_J ) vyriešte množinu lineárnych rovníc a určte koeficienty základnej množiny (c_) pre j-tý molekulárny orbitál

    Viac informácií o riešení sekulárnych rovníc nájdete tu.

    Čím väčší je počet atómových orbitálov (N ), ktoré sa kombinujú do rodov molekulárnych orbitalov (Rovnica ( ref <9.5.12> )), tým presnejšia je aproximácia LCAO. Toto sa očakáva na základe našich diskusií o príkladoch variačných metód. Preto sú molekulárne orbitaly ( psi _ + ) a ( psi _- ) pre (H_2 ^ + ) lepšie vyjadrené vodíkovými vlnami s vyššou energiou

    [| psi_J rangle = c_ 1s_A + c_ 1s_B + c_ 2s_A + c_ 2s_B + c_ 2p_ + c_ 2p_ label <9.5.24> ]

    Dôvody, prečo sú do tejto expanzie zahrnuté iba (p_z ) atómové orbitály, sú diskutované neskôr.


    9.5: Lineárne rovnice

    Všetky články publikované MDPI sú okamžite dostupné na celom svete pod licenciou otvoreného prístupu. Na opätovné použitie celého alebo časti článku publikovaného MDPI, vrátane obrázkov a tabuliek, nie je potrebné žiadne zvláštne povolenie. V prípade článkov publikovaných v rámci licencie Creative Common CC BY s otvoreným prístupom môže byť ktorákoľvek časť článku znova použitá bez povolenia za predpokladu, že bude jasne uvedený pôvodný článok.

    Feature Papers predstavujú najpokročilejší výskum s významným potenciálom pre veľký vplyv v tejto oblasti. Príspevky sa predkladajú na základe individuálneho pozvania alebo odporúčania vedeckých redaktorov a pred uverejnením sú podrobené vzájomnému hodnoteniu.

    Hlavným dokumentom môže byť buď originálny výskumný článok, rozsiahla nová výskumná štúdia, ktorá často zahŕňa niekoľko techník alebo prístupov, alebo komplexný prehľadový materiál so stručnými a presnými aktualizáciami o najnovšom pokroku v tejto oblasti, ktorý systematicky hodnotí najzaujímavejšie pokroky vo vedeckej práci. literatúry. Tento typ papiera poskytuje výhľad na budúce smerovanie výskumu alebo možné aplikácie.

    Články Editor’s Choice vychádzajú z odporúčaní vedeckých redaktorov časopisov MDPI z celého sveta. Redakcia vyberá malý počet článkov nedávno publikovaných v časopise, o ktorých si myslia, že budú pre autorov obzvlášť zaujímavé alebo dôležité v tejto oblasti. Cieľom je poskytnúť prehľad niektorých z najzaujímavejších prác publikovaných v rôznych výskumných oblastiach časopisu.


    (1.5.4) & # 8211 Zmena usporiadania vzorcov na izoláciu konkrétnych premenných

    Niekedy je jednoduchšie izolovať premennú, ktorú riešite, keď používate vzorec. To je obzvlášť užitočné, ak musíte opakovane vykonávať ten istý výpočet alebo ak chcete, aby výpočet vykonával opakovane počítač. V ďalších príkladoch použijeme algebraické vlastnosti na izolovanie premennej vo vzorci.

    Príklad

    Izolovajte výraz obsahujúci premennú, w, zo vzorca pre obvod obdĺžnika:

    Najskôr izolujte výraz pomocou w odčítaním 2l z oboch strán rovnice.

    Ďalej vyčistite koeficient z w vydelením oboch strán rovnice 2.

    Rovnicu môžete prepísať tak, aby izolovaná premenná bola na ľavej strane.

    Príklad

    Na izoláciu premennej použite vlastnosti násobenia a delenia rovnosti b dané [latex] A = frac <1> <2> bh [/ latex]

    Napíš rovnicu s požadovanou premennou na ľavej strane konvenčne:

    Na izoláciu premennej použite vlastnosti násobenia a delenia rovnosti h dané [latex] A = frac <1> <2> bh [/ latex]

    Napíš rovnicu s požadovanou premennou na ľavej strane konvenčne:


    Lane ORCCA (2020–2021): Open Resources for Community College Algebra

    Ako sme riešili jednokrokové rovnice, sme sa naučili v časti 2.5. V tejto časti sa dozvieme, ako riešiť viackrokové rovnice.

    Pododdiel 3.1.1 Riešenie dvojstupňových rovníc

    Príklad 3.1.1.

    V nádrži na vodu sa môže nachádzať 140 litrov vody, má však iba 5 litrov vody. Bol otvorený kohútik, ktorý každú minútu nalial do nádrže 15 litrov vody. Po koľkých minútach bude nádrž plná? Najprv nájdeme vzor.

    Tabuľka 3.1.2. Množstvo vody v nádrži
    Minúty od klepnutia Množstvo vody v
    Bolo zapnuté tank (v galónoch)
    (0) (5)
    (1) (15 cdot1 + 5 = 20 )
    (2) (15 cdot2 + 5 = 35 )
    (3) (15 cdot3 + 5 = 50 )
    (4) (15 cdot4 + 5 = 65 )
    ( vdots ) ( vdots )
    (m ) (15m + 5 )

    Vidíme, že po (m ) minútach má nádrž (15m + 5 ) galónov vody. To má zmysel, pretože kohútik naleje do nádrže 15 minút vody a za chvíľu to malo začať s vodou. Aby sme zistili, kedy bude nádrž plná (s (140 ) galónmi vody), môžeme napísať rovnicu

    Najskôr musíme v rovnici izolovať premenný člen, (15m text <,> ). Inými slovami, musíme odstrániť (5 ) z ľavej strany od znamienka rovnosti. Môžeme to urobiť odpočítaním (5 ) od oboch strán rovnice. Akonáhle je variabilný člen izolovaný, môžeme koeficient eliminovať a vyriešiť pre (m text <.> ) Celý proces je:

    Ďalej musíme nahradiť (m ) za (9 ) v rovnici (15m + 5 = 140 ), aby sme skontrolovali riešenie:

    Riešenie (9 ) je skontrolované. Stručne povedané, nádrž bude plná po (9 ) minútach.

    Pri riešení dvojstupňovej rovnice v príklade 3.1.1 sme najskôr izolovali premenný výraz (15m ) a potom eliminovali koeficient (15 ) vydelením každej strany rovnice (15 text <. > ) Tieto dva kroky budú jadrom nášho prístupu k riešeniu lineárnych rovníc. Pre komplikovanejšie rovnice bude možno potrebné najskôr zjednodušiť niektoré výrazy. Ďalej uvádzame všeobecný prístup k riešeniu lineárnych rovníc, ktorý použijeme pri riešení čoraz komplikovanejších rovníc.

    Zoznam 3.1.3. Kroky na riešenie lineárnych rovníc

    Zjednodušte výrazy na každej strane rovnice distribúciou a kombináciou podobných výrazov.

    Pomocou sčítania alebo odčítania oddeľte variabilné členy a konštantné členy (čísla) tak, aby boli na rôznych stranách rovnice.

    Na vylúčenie koeficientu variabilného člena použite násobenie alebo delenie.

    Skontrolujte riešenie. Nahraďte hodnoty do pôvodnej rovnice a použite poradie operácií na zjednodušenie oboch strán. Je dôležité používať iba poradie operácií, a nie vlastnosti, ako je distribučný zákon. Inak by ste mohli opakovať rovnaké aritmetické chyby, ktoré ste urobili pri riešení, a nepodarilo sa vám zachytiť nesprávne riešenie.

    Uveďte množinu riešení alebo (v prípade problému s aplikáciou) zhrňte výsledok do celej vety pomocou vhodných jednotiek.

    Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.

    Príklad 3.1.4.

    Riešiť pre (y ) v rovnici (7-3y = -8 text <.> )

    Pri riešení najskôr rozdelíme variabilné členy a konštantné členy na rôzne strany rovnice. Potom vylúčime koeficient variabilného člena.

    Prebieha kontrola riešenia (y = 5 text <:> )

    Preto riešenie rovnice (7-3y = -8 ) je (5 ) a množina riešení je ( <5 > text <.> )

    Pododdiel 3.1.2 Riešenie viacstupňových lineárnych rovníc

    Príklad 3.1.5.

    Ahmed uložil ( $ 2 <,> 500,00 ) na svoj sporiaci účet a začne ukladať ( $ 550,00 ) mesačne. Julia si na sporiaci účet uložila ( $ 4 <,> 600,00 ) a začne ukladať ( $ 250,00 ) mesačne.Ak bude táto situácia pokračovať, o koľko mesiacov by Ahmed dohnal Juliu v úsporách?

    Ahmed šetrí ( 550,00 $) mesačne, takže môže ušetriť (550 mil.) Dolárov za (m ) mesiacov. S ( $ 2 <,> 500,00 ), s ktorými začal, má po (m ) mesiacoch (550m + 2500 ) dolárov. Podobne po (m ) mesiacoch má Julia (250 miliónov + 4600 ) dolárov. Aby sme zistili, kedy budú mať tieto dva účty rovnaké množstvo peňazí, napíšeme rovnicu

    Kontrola riešenia (7 text <:> )

    Stručne povedané, Ahmed dobehne Juliine úspory za (7 ) mesiacov.

    Príklad 3.1.6.

    Vyriešiť pre (x ) v (5-2x = 5x-9 text <.> )

    Kontrola riešenia (2 text <:> )

    Preto je riešenie (2 ) a množina riešení ( <2 > text <.> )

    Poznámka 3.1.7.

    V príklade 3.1.6 sme mohli presunúť premenné výrazy na pravú stranu znamienka rovnosti a číselné výrazy na ľavú stranu. Rozhodli sme sa, že nebudeme. Nie je dôvod, aby sme nemohol presunuli variabilné výrazy na pravú stranu. Porovnajme:

    Nakoniec by sme mohli ušetriť krok presunutím premenných výrazov a číselných výrazov do jedného kroku:

    Táto učebnica bude v tejto kapitole presúvať rôzne pojmy a číselné pojmy osobitne. Požiadajte svojho inštruktora o ich očakávania.

    Kontrolný bod 3.1.8.

    Nasledujúci príklad vyžaduje kombinovanie podobných výrazov.

    Príklad 3.1.9.

    Riešiť pre (n ) v (n-9 + 3n = n-3n text <.> )

    Na začatie riešenia tejto rovnice budeme musieť kombinovať podobné výrazy. Potom môžeme umiestniť všetky výrazy obsahujúce (n ) na jednu stranu rovnice a dokončiť riešenie pre (n text <.> )

    Prebieha kontrola riešenia ( frac <3> <2> text <:> )

    Riešením rovnice (n-9 + 3n = n-3n ) je ( frac <3> <2> ) a množina riešení je ( left < frac <3> <2> right > text <.> )

    Kontrolný bod 3.1.10.
    Príklad 3.1.11.

    Azul navrhuje obdĺžnikovú záhradu a na hranicu majú (40 ) metrov dreva. Dĺžka ich záhrady musí byť (4 ) metrov menšia ako trojnásobok šírky a jej obvod musí byť (40 ) metrov. Nájdite dĺžku a šírku záhrady.

    Pripomienka: Obvodový vzorec obdĺžnika je (P = 2 (L + W) text <,> ), kde (P ) znamená obvod, (L ) znamená dĺžku a (W ) znamená na šírku.

    Nech je Azulova záhradná šírka (W ) metrov. Potom môžeme dĺžku predstaviť ako (3W-4 ) metrov, pretože nám bolo povedané, že je to (4 ) metrov menšia ako trojnásobok šírky. Je dané, že obvod je (40 ) metrov. Dosadením týchto hodnôt do vzorca máme:

    Ďalším krokom k vyriešeniu tejto rovnice je odstránenie zátvoriek distribúciou.

    Kontrola riešenia (W = 6 text <:> )

    Pre určenie dĺžky si pripomeňme, že to bolo reprezentované (3W-4 text <,> ), čo je:

    Šírka Azulovej záhrady je teda (6 ) metrov a dĺžka je (14 ) metrov.

    Kontrolný bod 3.1.12.

    Pri distribúcii záporného znamienka do zátvoriek, ako je to v nasledujúcom príklade, by sme mali byť opatrní.

    Príklad 3.1.13.

    Riešiť pre (a ) v (4- (3-a) = - 2-2 (2a + 1) text <.> )

    Na vyriešenie tejto rovnice zjednodušíme každú stranu rovnice, manipulujeme s ňou tak, aby všetky premenné členy boli na jednej strane a všetky konštantné členy na druhej strane, a potom vyriešime znak (a text <:> )

    Kontrola riešenia (- 1 text <:> )

    Preto je riešenie rovnice (- 1 ) a množina riešení ( <- 1 > text <.> )

    Pododdiel 3.1.3 Rozlišovanie medzi zjednodušením výrazov, hodnotením výrazov a riešením rovníc

    Pozrime sa na nasledujúce podobné, ale odlišné príklady.

    Príklad 3.1.14.

    Zjednodušte výraz (10-3 (x + 2) text <.> )

    Ekvivalentný výsledok je (4-3x text <.> ). Upozorňujeme, že náš konečný výsledok je výraz.

    Príklad 3.1.15.

    Vyhodnoťte výraz (10-3 (x + 2) ) keď (x = 2 ) a kedy (x = 3 text <.> )

    Dosadíme (x = 2 ) do výrazu:

    Podobne nahradíme (x = 3 ) výrazom:

    Konečné výsledky sú tu hodnoty pôvodného výrazu.

    Príklad 3.1.16.

    Vyriešte rovnicu (10-3 (x + 2) = x-16 text <.> )

    Kontrola riešenia (x = 5 text <:> )

    Skontrolovali sme, že (x = 5 ) je riešením rovnice (10-3 (x + 2) = x-16 text <.> )

    Konečné výsledky sú tu riešenia k rovniciam.

    Výraz ako (10-3 (x + 2) ) je možné zjednodušiť na (- 3x + 4 ) (ako v príklade 3.1.14), ale výraz (x ) vo výraze vyriešiť nemôžeme.

    Pretože (x ) nadobúda rôzne hodnoty, výraz má rôzne hodnoty. V príklade 3.1.15, keď (x = 2 text <,> ) (10-3 (x + 2) = - 2 text <> ), ale keď (x = 3 text <,> ) (10-3 (x + 2) = - 5 text <.> )

    Rovnica spája dva výrazy so znamienkom rovnosti. V príklade 3.1.16 má (10-3 (x + 2) = x-16 ) výraz (10-3 (x + 2) ) na ľavej strane od znamienka rovnosti a výraz ( x-16 ) na pravej strane.

    Keď vyriešime rovnicu (10-3 (x + 2) = x-16 text <,> ), hľadáme číslo, vďaka ktorému budú mať tieto dva výrazy rovnakú hodnotu. V príklade 3.1.16 sme našli riešenie ako (x = 5 text <,> ), ktoré robí (10-3 (x + 2) = - 11 ) aj (x-16 = - 11 text <,> ), ako je uvedené v kontrolnej časti.


    Riešenie lineárnych rovníc: 2. časť

    Ak sa na oboch stranách rovnice objavia rovnaké výrazy,
    potom ich môžeme „zrušiť“.

    na oboch stranách sa objaví d. Preto ich môžeme zrušiť.

    Teoreticky môžeme povedať, že sme od oboch strán odčítali d.

    Odpoveď zobrazíte pohybom myši zľava doprava
    cez farebnú plochu.
    Ak chcete odpovedať znova, kliknite na tlačidlo „Obnoviť“ („Načítať“).
    Najprv urobte problém sami!

    Zrušte písmená b, ale nie písmená a. Na ľavej strane je & mínus a, ale na pravej strane je + a. Nie sú si rovní.

    Neznáme na oboch stranách

    4 x a mínus 3 = 2 x a mínus 11.
    1. Transponujte x doľava a čísla doprava:
    4 x a mínus 2 x = & mínus11 + 3.
    2. Zbierajte podobné výrazy a riešte:
    2 x = & mínus8
    X = & mínus4.

    Toto je ďalší príklad vykonávania algebry očami. V prvom riadku by ste mali vidieť, že 2 x ide doľava ako & mínus 2 x a že & mínus 3 smeruje doprava ako +3.

    Ako všeobecné pravidlo pre riešenie ľubovoľnej lineárnej rovnice môžeme teraz uviesť nasledujúce:

    Vľavo transponujte všetky výrazy, ktoré zahŕňajú neznámeho, a pridajte ich
    transponujte zvyšné podmienky doprava
    urobte 1 konečný koeficient neznámeho vydelením alebo vynásobením.

    1. 25 x a mínus 6 = X
    1. 25 x & mínus x = 6
    (1,25 a mínus 1) x = 6 O kombinovaní podobných výrazov
    naľavo.
    . 25 x = 6
    X = 24. Na znásobení oboch strán
    o 4.

    Úloha 23. Odstráňte zátvorky, pridajte podobné výrazy a vyriešte znak x:

    (8 x a mínus 2) + (3 a mínus 5 x) = (2 x a mínus 1) a mínus (x a mínus 3)
    8 x a mínus 2 + 3 a mínus 5 x = 2 x a mínus 1 a mínus x + 3
    o odstránení zátvoriek
    3 x + 1 = x + 2
    3 x a mínus x = 2 a mínus 1
    2 x = 1
    X = 1
    2

    Jednoduché zlomkové rovnice

    Pretože 2 rozdelenia vľavo sa budú množiť vpravo:

    Riešenie . V štandardnom tvare jednoduchej zlomkovej rovnice je v čitateľovi x. Tento štandardný formulár však môžeme ľahko vytvoriť tak, že si vezmeme reciprocitu oboch strán.

    Pretože ak sú dve čísla rovnaké, potom ich recipročné hodnoty sú rovnaké.

    Príklad 7. Frakčný koeficient.

    Pretože 4 rozdelenia vľavo sa budú množiť vpravo:

    A keďže 3 násobenia vľavo sa budú deliť vpravo:

    Inými slovami, ide na druhú stranu ako jej vzájomnú,.

    Koeficienty idú na druhú stranu ako ich recipročné.

    Úloha 27. 2 x
    3
    = a
    X = 3 a
    2
    Úloha 28. 5
    8
    X = a & mínus b
    X = 8
    5
    (a & mínus b)
    Úloha 29. 4
    5
    x + 6 = 14
    4
    5
    X = 14 a mínus 6 = 8
    X = 5
    4
    & middot 8 = 10.
    Úloha 30. A = & frac12 x B
    Výmenné strany:
    & frac12 x B = A
    X = 2A
    B

    Problém 31. Teplota Celzia C podľa tohto vzorca súvisí s teplotou Fahrenheita F,

    F = 9
    5
    C + 32
    a) Aká je teplota Fahrenheita, keď je teplota Celzia, keď je teplota Fahrenheita 10 stupňov?
    F = 9
    5
    & middot 10 + 32
    = 18 + 32
    = 50 °

    b) Vyriešte vzorec pre C.

    9
    5
    C + 32 = F
    9
    5
    C. = F & mínus 32
    C. = 5
    9
    (F a mínus 32).
    c) Aká je teplota Celcius, keď je teplota Fahrenheita, keď je teplota Fahrenheita 68 stupňov?

    Poskytnite dar, aby bola stránka TheMathPage online.
    Pomôže dokonca 1 dolár.


    Pozri si video: PRIPRAV SA na PÍSOMNÚ PRÁCU 9. roč. ZŠ - LINEÁRNE ROVNICE #1 (December 2021).