Články

10.3: Aplikácie a riešenie pravouhlých trojuholníkov - matematika


Počas svojho raného vývoja sa trigonometria často používala ako prostriedok nepriameho merania, napr. stanovenie veľkých vzdialeností alebo dĺžok pomocou meraní uhlov a malých známych vzdialeností. Dnes je trigonometria široko používaná vo fyzike, astronómii, inžinierstve, navigácii, zememeračstve a rôznych odboroch matematiky a iných odborov. V tejto časti uvidíme niektoré zo spôsobov, ako je možné aplikovať trigonometriu. Pre tieto príklady by mala byť vaša kalkulačka v režime stupňov.

Príklad 1.11

Osoba stojí od stožiara a meria uhol prevýšenia z (32 ^ circ ) z jeho vodorovnej čiary pohľadu na vrchol stožiara. Predpokladajme, že oči osoby sú vo vertikálnej vzdialenosti 6 stôp od zeme. Aká je výška stožiaru?

Riešenie:

Obrázok vpravo popisuje situáciu. Vidíme, že výška stožiaru je (h + 6 ) ft, kde

[ frac {h} {150} ~ = ~ tan ; 32 ^ circ quad Rightarrow quad h ~ = ~ 150 ; tan ; 32 ^ circ
~=~ 150;(0.6249) ~=~ 94 ~.]

Ako sme vedeli, že ( tan ; 32 ^ circ = 0,6249 , )? Pomocou kalkulačky. A keďže žiadne z čísel, ktoré sme dostali, nemalo desatinné miesta, odpoveď za (h ) sme zaokrúhlili na najbližšie celé číslo. Výška vlajkového stožiara je teda (, h + 6 = 94 + 6 = zabalený {100 ~ text {ft}} ).

Príklad 1.12

Osoba stojaca od základne hory meria uhol prevýšenia od zeme k vrcholu hory tak, aby bola (25 ^ circ). Osoba potom kráča (500 ) stôp priamo dozadu a zmeria výškový uhol, aby bola teraz (20 ^ circ ). Aká vysoká je hora?


Riešenie:

Budeme predpokladať, že zem je rovná a nie je naklonená vzhľadom na základňu hory. Nech (h ) je výška hory a (x ) je vzdialenosť od úpätia hory k bodu priamo pod vrcholom hory, ako na obrázku vpravo. Potom to vidíme

[ begin {align}
frac {h} {x + 400} ~ = ~ tan ; 25 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~ (x + 400) ; tan ; 25 ^ circ
~, ~ text {a}
frac {h} {x + 400 + 500} ~ = ~ tan ; 20 ^ circ quad & Rightarrow quad h ~ = ~
(x + 900) ; tan ; 20 ^ circ ~, ~ text {so}
end {align} ]

((x + 400) ; tan ; 25 ^ circ ~ = ~ (x + 900) ; tan ; 20 ^ circ ), pretože obe sa rovnajú (h ). Použite túto rovnicu na riešenie pre (x ):

[x ; tan ; 25 ^ circ ~ - ~ x ; tan ; 20 ^ circ ~ = ~ 900 ; tan ; 20 ^ circ ~ - ~ 400 ; tan ; 25 ^ cir
quad Rightarrow quad
x ~ = ~ frac {900 ; tan ; 20 ^ circ ~ - ~ 400 ; tan ; 25 ^ circ} { tan ; 25 ^ circ ~ - ~ tan ; 20 ^ circ}
~ = ~ 1378 ~ text {ft} ]

Nakoniec nahraďte (x ) do prvého vzorca pre (h ), aby ste dosiahli výšku hory:

[h ~ = ~ (1378 + 400) ; tan ; 25 ^ circ ~ = ~ 1778 ; (0,4663) ~ = ~ zabalený {829 ~ text {ft}} ]

Príklad 1.13

Blimp (4280 ) ft nad zemou meria an uhol depresie z (24 ^ circ ) z jeho vodorovnej čiary pohľadu na základňu domu na zemi. Za predpokladu, že zem je rovná, ako ďaleko pri zemi je dom od vzducholodí?

Riešenie:

Nech (x ) je vzdialenosť pozdĺž zeme od vzducholodí po dom, ako na obrázku vpravo. Pretože zem a vodorovná čiara vzducholodí sú rovnobežné, z elementárnej geometrie vieme, že uhol vyvýšenia ( theta ) od základne domu k vzducholodi sa rovná uhlu depresie z vzducholodi na základňa domu, tj ( theta = 24 ^ circ ). Teda

[ frac {4280} {x} ~ = ~ tan ; 24 ^ circ quad Rightarrow quad x ~ = ~ frac {4280} { tan ; 24 ^ circ}
~ = ~ zabalené {9613 ~ text {ft}} ~. ]

Príklad 1.14

Pozorovateľ na vrchole hory (3) míle nad morom meria uhol depresie (2,23 ^ circ ) k horizontu oceánu. Použite to na odhad polomeru Zeme.

Riešenie:

Budeme predpokladať, že Zem je guľa. Nech (r ) je polomer Zeme. Nech bod (A ) predstavuje vrchol hory a (H ) je horizont oceánu v zornom poli od (A ), ako na obrázku 1.3.1. Nech (O ) je stred Zeme a (B ) je bod na vodorovnej čiare pohľadu od (A ) (tj. Na čiare kolmej na ( overline {OA} ) )). Nech ( theta ) je uhol ( uhol , AOH ).

Pretože (A ) je (3 ) míle nad morom, máme (OA = r + 3 ). Tiež (OH = r ). Teraz, keďžev ( overline {AB} perp overline {OA} ), máme ( angle , OAB = 90 ^ circ ), takže vidíme, že ( angle , OAH = 90 ^ circ - 2,23 ^ circ = 87,77 ^ circ ). Vidíme, že priamka cez (A ) a (H ) je dotyčnica k povrchu zeme (povrch považujeme za kruh s polomerom (r ) cez (H ) ako v obrázok). Cvičením 14 v časti 1.1, ( overline {AH} perp overline {OH} ) a teda ( angle , OHA = 90 ^ circ ). Pretože uhly v trojuholníku ( trojuholník , OAH ) sčítajú až (180 ^ circ ), máme ( theta = 180 ^ circ - 90 ^ circle - 87,77 ^ circ = 2,23 ^ circ ). Teda

[ cos ; theta ~ = ~ frac {OH} {OA} ~ = ~ frac {r} {r + 3} quad Rightarrow quad frac {r} {r + 3} ~ = ~
cos ; 2,23 ^ circ ~, ]

takže riešenie pre (r ) dostaneme

[ begin {align}
r ~ = ~ (r ~ + ~ 3) ; cos ; 2,23 ^ circ quad & Rightarrow quad
r ~ - ~ r ; cos ; 2,23 ^ circ ~ = ~ 3 ; cos ; 2,23 ^ circ [4pt]
& Rightarrow quad r ~ = ~ frac {3 ; cos ; 2,23 ^ circ} {1 ~ - ~ cos ; 2,23 ^ circ}
& Rightarrow quad boxed {r ~ = ~ 3958,3 ~ text {míle}} ~.
end {align} ]

Poznámka: Táto odpoveď je veľmi blízko skutočnému (priemernému) polomeru Zeme (3956,6 ) míľ.

Príklad 1.15

Ako ďalšie použitie trigonometrie v astronómii nájdeme vzdialenosť od Zeme po Slnko. Nech (O ) je stred Zeme, nech (A ) je bod na rovníku, a nech (B ) predstavuje objekt (napr. Hviezdu) v priestore, ako na obrázku na správny. Ak je zem umiestnená tak, že uhol ( uhol , OAB = 90 ^ cirkus ), potom hovoríme, že uhol ( alfa = uhol , OBA ) je rovníková paralaxa objektu. Bolo pozorované, že rovníková paralaxa slnka je približne ( alfa = 0,00244 ^ circ ). Pomocou toho môžete odhadnúť vzdialenosť od stredu Zeme k slnku.

Riešenie:

Nech (B ) je poloha slnka. Chceme zistiť dĺžku ( overline {OB} ). Použijeme skutočný polomer Zeme uvedený na konci príkladu 1.14, aby sme dostali (OA = 3956,6 ) míľ. Pretože ( angle , OAB = 90 ^ circ ), máme

[ frac {OA} {OB} ~ = ~ sin ; alpha quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {OA} { sin ; alpha} ~ = ~
frac {3956.6} { sin ; 0,00244 ^ circ} ~ = ~ 92908394 ~, ]

takže vzdialenosť od stredu Zeme k slnku je približne ( fbox { (93 ) miliónov míľ} ~. )

Poznámka: Orbita Zeme okolo Slnka je elipsa, takže skutočná vzdialenosť od Slnka sa líši.

Vo vyššie uvedenom príklade sme použili veľmi malý uhol ( (0,00244 ^ circ )). Stupeň možno rozdeliť na menšie jednotky: a minútu je šesťdesiaty stupeň, a druhý je šesťdesiata minúta. Symbol pre minútu je (') a symbol pre sekundu je (' ). Napríklad (4,5 ^ circ = 4 ^ circ ; 30 '). A (4,505 ^ circ = 4 ^ circ ; 30 '; 18' ):

[4 ^ circ ; 30 '; 18' '~ = ~ 4 ~ + ~ frac {30} {60} ~ + ~ frac {18} {3600} ~ text {stupne} ~ = ~ 4,505 ^ circ ]

V príklade 1.15 sme použili ( alpha = 0,00244 ^ circ cca 8,8 ' ), čo uvádzame iba preto, lebo niektoré prístroje na meranie uhla používajú minúty a sekundy.

Príklad 1.16

Pozorovateľ na Zemi meria uhol (32 '; 4' ') od jednej viditeľnej hrany slnka k druhej (protiľahlej) hrane, ako na obrázku vpravo. Týmto sa odhaduje polomer slnka.


Riešenie:

Nech bod (E ) je zem a nech (S ) bude stred slnka. Pozorovacie čiary pozorovateľa k viditeľným okrajom slnka sú dotyčné čiary k povrchu slnka v bodoch (A ) a (B ). Teda ( uhol , EAS = uhol , EBS = 90 ^ cirk ). Polomer slnka sa rovná (AS ). Jednoznačne (AS = BS ). Takže keďže (EB = EA ) (prečo?), Sú si trojuholníky ( triangle , EAS ) a ( triangle , EBS ) podobné. Teda ( uhol , AES = uhol , BES = frac {1} {2} ; uhol , AEB = frac {1} {2} ; (32 '; 4' ' ) = 16 '; 2' = = (16/60) + (2/3600) = 0,26722 ^ circ ).

Teraz (ES ) je vzdialenosť od povrch Zeme (kde stojí pozorovateľ) do stredu slnka. V príklade 1.15 sme zistili vzdialenosť od centrum Zeme k Slnku bude (92 908 394 ) míľ. Pretože sme v tomto príklade zaobchádzali so slnkom ako s bodom, potom sme oprávnení považovať túto vzdialenosť za vzdialenosť medzi stredmi Zeme a slnkom. Takže (ES = 92908394 - ~ text {polomer Zeme} = 92908394 - 3956,6 = 92904437,4 ) míľ. Teda

[ sin ; ( angle , AES) ~ = ~ frac {AS} {ES} quad Rightarrow quad AS ~ = ~ ES ; sin ; 0,26722 ^ cir
~ = ~ (92904437.4) ; sin ; 0,26722 ^ circ ~ = ~ zabalený {433 293 ~ text {míle}} ~. ]

Poznámka: Táto odpoveď je blízka skutočnému (priemernému) polomeru slnka (432 200 ) míľ.

Možno ste si všimli, že riešenia príkladov, ktoré sme si ukázali, vyžadovali minimálne jeden pravý trojuholník. Pri aplikovaných problémoch nie je vždy zrejmé, ktorý pravý trojuholník použiť, a preto môže byť tento druh problémov ťažký. Žiadny pravý trojuholník často nebude okamžite viditeľný, takže ho budete musieť vytvoriť. Neexistuje pre to všeobecná stratégia, nezabudnite však, že pravý trojuholník vyžaduje pravý uhol, preto hľadajte miesta, kde môžete vytvárať kolmé úsečky. Ak problém obsahuje kruh, môžete vytvoriť pravé uhly pomocou kolmosti dotyčnice na kruh v bode s čiarou, ktorá spája tento bod so stredom kruhu. Presne to sme urobili v príkladoch 1.14, 1.15 a 1.16.

Príklad 1.17

Schéma obrábacieho stroja vpravo zobrazuje symetriu V-blok, v ktorom jeden kruhový valec sedí na vrchu menšieho kruhového valčeka. Každý valec sa dotýka oboch šikmých strán V-bloku. Nájdite priemer (d ) veľkého valčeka podľa informácií v diagrame.

Riešenie:

Priemer (d ) veľkého valca je dvojnásobok polomeru (OB ), takže musíme nájsť (OB ). Za týmto účelom ukážeme, že ( triangle , OBC ) je pravý trojuholník, potom nájdeme uhol ( angle , BOC ) a potom nájdeme (BC ). Dĺžku (OB ) potom bude možné ľahko určiť.

Pretože šikmé strany sú dotyčnicové pre každý valec, ( uhol , ODA = uhol , PEC = 90 ^ cirk ). Symetriou, keďže zvislá čiara vedená stredmi valcov vytvára s každou šikmou stranou uhol (37 ^ circ ), máme ( angle , OAD = 37 ^ circle ). Preto, keďže ( trojuholník , ODA ) je pravý trojuholník, ( uhol , DOA ) je doplnkom ( uhol , OAD ). Takže ( uhol , DOA = 53 ^ circ ).

Pretože vodorovný úsečka ( overline {BC} ) je dotyčnica každého valca, ( angle , OBC = angle , PBC = 90 ^ circ ). Teda ( trojuholník , OBC ) je pravý trojuholník. A keďže ( uhol , ODA = 90 ^ cirkus ), vieme, že ( trojuholník , ODC ) ​​je pravý trojuholník. Teraz (OB = OD ) (pretože každý z nich sa rovná polomeru veľkého valca), takže podľa Pytagorovej vety máme (BC = DC ):

[BC ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OB ^ 2 ~ = ~ OC ^ 2 ~ - ~ OD ^ 2 ~ = ~ DC ^ 2 quad Rightarrow quad BC ~ = ~ DC ]

Teda ( trojuholník , OBC ) a ( trojuholník , ODC ) ​​sú zhodné trojuholníky (ktoré označujeme ( trojuholník , OBC cong trojuholník , ODC )), pretože ich zodpovedajúce strany sú rovnaké. Ich zodpovedajúce uhly sú teda rovnaké. Takže najmä ( uhol , BOC = uhol , DOC ). Poznáme to ( uhol , DOB = uhol , DOA = 53 ^ circ ). Teda

[53 ^ circ ~ = ~ uhol , DOB ~ = ~ uhol , BOC ~ + ~ uhol , DOC = uhol , BOC ~ + ~ uhol , BOC ~ = ~
2 ; uhol , BOC kvad pravá šípka quad uhol , BOC ~ = ~ 26,5 ^ cir ~. ]

Rovnako tak od (BP = EP ) a ( uhol , PBC = uhol , PEC = 90 ^ cirkus ), ( trojuholník , BPC ) a ( trojuholník , EPC ) sú kongruentné pravé trojuholníky. Teda (BC = EC ). Ale vieme to (BC = DC ) ​​a zo schémy vidíme (EC + DC = 1,38 ). Teda (BC + BC = 1,38 ) a tak (BC = 0,69 ). Teraz máme všetko, čo potrebujeme nájsť (OB ):

[ frac {BC} {OB} ~ = ~ tan ; uhol , BOC quad Rightarrow quad OB ~ = ~ frac {BC} { tan ; uhol , BOC} ~ = ~
frac {0,69} { tan ; 26,5 ^ circ} ~ = ~ 1,384 ]

Priemer veľkého valca je teda (, d = 2 krát OB = 2 , (1,384) = box {2,768} ) ~.

Príklad 1.18

A posuvno-kľukový mechanizmus je znázornený na obrázku 1.3.2 nižšie. Keď sa piest posúva nadol, ojnica otáča kľukou v smere hodinových ručičiek, ako je to naznačené.

Bod (A ) je stredom ojnice špendlík na zápästie a pohybuje sa iba vertikálne. Bod (B ) je stredom kľukový čap a pohybuje sa okolo kruhu s polomerom (r ) so stredom v bode (O ), ktorý je priamo pod (A ) a nepohybuje sa. Pri otáčaní kľuky zviera uhol ( theta ) s priamkou ( overline {OA} ). The okamžitý stred otáčania ojnice v danom čase je bod (C ), kde vodorovná čiara prechádzajúca cez (A ) pretína predĺženú čiaru cez (O ) a (B ). Z obrázku 1.3.2 vidíme, že ( angle , OAC = 90 ^ circ ) a necháme (a = AC ), (b = AB ) a (c = BC ) . Na cvičeniach ukážete, že pre (0 ^ circ < theta <90 ^ circ ),

[c ~ = ~ frac { sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ; ( sin , theta) ^ 2}} { cos ; theta} ~ qquad text {a } qquad ~
a ~ = ~ r ; sin ; theta ~ + ~ sqrt {b ^ 2 ~ - ~ r ^ 2 ; ( sin , theta) ^ 2} ~ tan ; theta ~. ]

Pre niektoré problémy si môžete uvedomiť, že keď má pravý trojuholník preponu dĺžky (r ) a ostrého uhla ( theta ), ako na obrázku nižšie, susedná strana bude mať dĺžku (r , cos ; theta ) a opačná strana bude mať dĺžku (r , sin ; theta ). Tieto dĺžky si môžete predstaviť ako vodorovnú a zvislú „zložku“ prepony.

Všimnite si v pravom hornom trojuholníku, že sme dostali dve informácie: jeden z ostrých uhlov a dĺžku prepony. Z toho sme určili dĺžky ďalších dvoch strán a ďalší ostrý uhol je iba doplnkom známeho ostrého uhla. Všeobecne platí, že trojuholník má šesť častí: tri strany a tri uhly. Riešenie trojuholníka znamená nájdenie neznámych častí na základe známych častí. V prípade pravouhlého trojuholníka je vždy známa jedna časť: jeden z uhlov je (90 ^ circ ).

Príklad 1.19

Vyriešte pravý trojuholník na obrázku 1.3.3 pomocou uvedených informácií:

a) (c = 10, , A = 22 ^ ◦ )
Riešenie: Neznáme časti sú (a ), (b ) a (B ). Riešenie výnosov:

[ begin {align}
a ~ & = ~ c ; sin ; A ~ & = ~ 10 ; sin ; 22 ^ circ ~ & = ~ 3,75
b ~ & = ~ c ; cos ; A ~ & = ~ 10 ; cos ; 22 ^ circ ~ & = ~ 9,27
B ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ A ~ & = ~ 90 ^ circ ~ - ~ 22 ^ circ ~ & = ~ 68 ^ circ
end {align} ]

b) (b = 8, , A = 40 ^ ◦ )
Riešenie: Neznáme časti sú (a ), (c ) a (B ). Riešenie výnosov:

[ begin {align}
frac {a} {b} ~ & = ~ tan ; A quad & Rightarrow quad a ~ & = ~ b ; tan ; A ~ = ~
8 ; tan ; 40 ^ circ ~ = ~ 6,71 [2 mm]
frac {b} {c} ~ & = ~ cos ; A quad & Rightarrow quad c ~ & = ~ frac {b} { cos ; A} ~ = ~
frac {8} { cos ; 40 ^ circ} ~ = ~ 10.44
end {align} ]

c) (a = 3, , b = 4 )
Riešenie: Neznáme časti sú (c ), (A ) a (B ). Pytagorovou vetou,

[c ~ = ~ sqrt {a ^ 2 ~ + ~ b ^ 2} ~ = ~ sqrt {3 ^ 2 ~ + ~ 4 ^ 2} ~ = ~ sqrt {25} ~ = ~ 5 ~. ]

Teraz ( tan ; A = frac {a} {b} = frac {3} {4} = 0,75 ). Ako teda nájdeme (A )? Na vašej kalkulačke by mal byť kľúč označený ( fbox { ( tan ^ {- 1} )} ), ktorý funguje takto: dajte mu číslo (x ) a povie vám uhol ( theta ) také, že ( tan ; theta = x ). V našom prípade chceme, aby uhol (A ) bol taký, že ( tan ; A = 0,75 ):

[ text {Enter:} 0,75 quad text {Press:} fbox { ( tan ^ {- 1} )} quad text {Odpoveď:} 36.86989765 ]

Toto nám hovorí, že (A = 36,87 ^ circ ), približne. Teda (B = 90 ^ circ - A = 90 ^ circ - 36,87 ^ circ = 53,13 ^ circ ).

Poznámka: Klávesy ( fbox { ( sin ^ {- 1} )} ) a ( fbox { ( cos ^ {- 1} )} ) fungujú podobne pre sínus aj kosínus, resp. Tieto klávesy používajú znak inverzné trigonometrické funkcie, ktorým sa budeme venovať v 5. kapitole.


Stiahni teraz!

Uľahčili sme vám hľadanie elektronických kníh vo formáte PDF bez nutnosti kopania. A tým, že máte prístup k našim elektronickým knihám online alebo ich máte uložený vo svojom počítači, máte pohodlné odpovede s kľúčom odpovede Practice 10 3 Similarity In Right Triangles Answer Key. Ak chcete začať hľadať Cvičenie 10 3 Podobnosť v kľúči odpovede Pravý trojuholník, máte pravdu, keď nájdete našu webovú stránku, ktorá obsahuje obsiahlu zbierku manuálov.
Naša knižnica je najväčšou z nich, v ktorej sú zastúpené doslova státisíce rôznych produktov.

Na záver dostávam túto e-knihu, ďakujem za všetky tieto praktiky 10 3 Podobnosť v pravých trojuholníkoch Kľúč odpovede, ktorý teraz môžem získať!

Nemyslel som si, že to bude fungovať, môj najlepší priateľ mi ukázal tento web a je! Mám svoju najžiadanejšiu elektronickú knihu

wtf tento skvelý ebook zadarmo ?!

Moji priatelia sú tak šialení, že nevedia, ako mám všetky tie kvalitné ebooky, ktoré nemajú!

Získanie kvalitných elektronických kníh je veľmi ľahké)

toľko falošných stránok. toto je prvý, ktorý fungoval! Veľká vďaka

wtffff tomu nerozumiem!

Stačí kliknúť na tlačidlo a potom na stiahnutie a dokončiť ponuku na začatie sťahovania e-knihy. Ak existuje prieskum, ktorý trvá len 5 minút, vyskúšajte akýkoľvek prieskum, ktorý vám vyhovuje.


10.3: Aplikácie a riešenie pravouhlých trojuholníkov - matematika


5/5 Recenzia sérií a sekvencií WS # 1

5 / 9Test na sekvenciách a sériách

4/28Kvíz o aritmetických postupnostiach a sériách

5/2 Nekonečná geometrická séria WS

4/24 Aritmetické sekvencie a recenzia sérií WS # 2

4/25Štúdium kvízu o aritmetických postupnostiach a sériách

4/8Riešenie spúšťacích rovníc s kalkulačkou WS # 1

4/9Riešenie spúšťacích rovníc s kalkulačkou WS # 2

4/11Kvíz o riešení spúšťacích rovníc s kalkulačkou

4/1 Riešenie spúšťacích rovníc WS # 2

4 / 3Štúdium pre kvíz o riešení spúšťacích rovníc
Riešenie spúšťacích rovníc WS # 4

4 / 4Kvíz o riešení spúšťacích rovníc

3/20 Štúdium na skúšku
Nezabudnite si na skúšku vziať lístočky

3/14Kvíz o špeciálnych uhloch
Dĺžka oblúka a plocha sektoru WS # 2

3/6Štúdium pre kvíz o spúšťacích pomeroch


3/7Kvíz o spúšťacích pomeroch
Registračná karta so špeciálnymi uhlami splatná v pondelok
Radiány a stupne ZS

2 / 27Skúška zákona hriechu, kozmu a oblasti

2/12 Law of Sines WS # 3evens
Štúdium kvízu o sínusovom práve

2 / 3Right Triangles Review WS # 1

2 / 4Right Triangles Review WS # 2

2 / 6Test na riešení pravých trojuholníkov

1 / 29Pravé trojuholníkové aplikácie WS # 1

1 / 31Pravé trojuholníkové aplikácie WS (od 1/30) rovnomerne

1/23 Riešenie pravých tirangles WS # 4
Štúdia kvízu o riešení pravých trojuholníkov

1/24Kvíz o riešení pravých trojuholníkov

1/10Práca na balíku recenzií pre finále

1/8 Racionálne rovnice WS # 7

12/20 Kvíz o racionálnych výrazoch # 2

12/17 Racionálne výrazy WS # 5

12/13Kvíz o racionálnych funkciách

12/9 Kvíz o základných e rovniciach a zloženom úroku

12 / 5Base e and Compound Interest Review WS # 1

11/25Štúdia na test logaritmov

11 / 21Finish Log Review WS # 2

11/14Riešenie Exp Equations Review WS
Štúdia kvízu o riešení exponenciálnych rovníc pomocou protokolov
Sudé odpovede: 2) .4409 4) -04516) -,90918) -3,536210) -,711212) .6033

11/5 Oprava č. 9. Odpoveď by mala byť -7 / 40000Logaritmy WS # 6
Študujte kvíz o denníkoch

10/28 Kvíz o riešení exponenciálnych rovníc

10/25Riešenie exponenciálnych rovníc WS # 3 Priložené odpovede, aby ste mohli WS opraviť
Štúdium pre kvíz

10/21Štúdium pre kvíz o exponentoch

10/10 Kvíz o inverziách funkcie

10/9Štúdium kvízu o inverzii funkcie

10 / 4Grafické funkcie a inverzie WSGrafické funkcie a inverzie WS

10/3 Inverzia funkcií WS # 1

10/1Štúdia na testovanie funkcií

9/27Kvíz o prevádzkach a lineárnych kombináciách funkcií
Preskúmanie funkcií WS # 1Prevádzka funkcií WS # 1

Dokončite pracovný hárok od 9/25 večer
Štúdium kvízu o operáciách a lineárnych kombináciách funkcií

9/25Operácie a lineárna kombinácia WS # 1odds

9/24 Zloženie funkcií WS # 2

9/23 Zloženie funkcií WS # 1

9/19 Test na grafovanie polynómov, syntetické delenie a riešenie polynomiálnych rovníc

9/13Kvíz o riešení polynomiálnych rovníc

9/12 Polynomiálne rovnice WS vyrovnáva
Štúdia kvízu o riešení polynomiálnych rovníc

9/11Polynomiálne rovnice WS kurzyRiešenie polynomiálnych rovníc

9 / 10WS Riešenie polynomiálnych rovníc # 3, 4, 5, 7, 8

9/6Kvíz o grafoch polynomiálnych funkcií

9 / 5WS grafy polynomiálnych funkčných segmentov
Štúdia kvízu o grafoch polynómov

9 / 4Finish Class Notes Graphs of Polynomials

8:30 Test na algebraické zručnosti

8/26Riešenie kvadratických rovníc ZS

8/23 Pracovný list Poznámky k triede dokončenia Riešenie kvadratických rovníc # 2, 4, 16, 17, 18, 20


3.4 Riešenie geometrických aplikácií: trojuholníky, obdĺžniky a Pytagorova veta

Dĺžka obdĺžnika je o tri menej ako šírka. Poďme w predstavuje šírku. Napíš výraz pre dĺžku obdĺžnika.
Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 1.26.

Riešenie aplikácií pomocou vlastností trojuholníkov

V tejto časti použijeme niektoré bežné geometrické vzorce. Prispôsobíme našu stratégiu riešenia problémov tak, aby sme mohli riešiť geometrické aplikácie. Geometrický vzorec pomenuje premenné a dá nám rovnicu, ktorú treba vyriešiť. Pretože navyše všetky tieto aplikácie budú zahŕňať nejaké tvary, väčšina ľudí považuje za užitočné nakresliť postavu a označiť ju danými informáciami. Zahrnieme to do prvého kroku stratégie riešenia problémov pre geometrické aplikácie.

Ako

Riešenie geometrických aplikácií.

  1. Krok 1. Čítať problém a uistite sa, že sú pochopené všetky slová a nápady. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
  2. Krok 2. Identifikovať čo hľadáme.
  3. Krok 3. Štítok to, čo hľadáme, výberom premennej, ktorá ju bude reprezentovať.
  4. Krok 4. Preložiť do rovnice napísaním príslušného vzorca alebo modelu pre danú situáciu. Náhradník v daných informáciách.
  5. Krok 5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.
  6. Krok 6. Skontrolujte odpoveď jej dosadením späť do rovnice vyriešenej v kroku 5 a ubezpečením, že má zmysel v kontexte problému.
  7. Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

Aplikácie geometrie začneme pohľadom na vlastnosti trojuholníkov. Pozrime sa na niektoré základné fakty o trojuholníkoch. Trojuholníky majú tri strany a tri vnútorné uhly. Každá strana je zvyčajne označená malým písmenom, aby sa zhodovalo s veľkým písmenom opačného vrcholu.

Množné číslo slova vrchol je vrcholy. Všetky trojuholníky majú tri vrcholy. Trojuholníky sú pomenované podľa svojich vrcholov: Trojuholník na obrázku 3.4 sa nazýva △ A B C. △ A B C.

Tri uhly trojuholníka sú spojené zvláštnym spôsobom. Súčet ich opatrení je 180 °. 180 °. Všimnite si, že m ∠ A m ∠ A čítame ako „mieru uhla A.“ Takže v △ A B C △ A B C na obrázku 3.4,

Pretože obvod figúry predstavuje dĺžku jej hranice, je obvod △ A B C △ A B C súčtom dĺžok jej troch strán.

Aby sme našli oblasť trojuholníka, musíme poznať jeho základňu a výšku. Výška je čiara, ktorá spája základňu s opačným vrcholom a zviera s základňou uhol 90 ° 90 °. Opäť nakreslíme △ A B C △ A B C a teraz ukážeme výšku, h. Pozri obrázok 3.5.

Vlastnosti trojuholníka

Uhol opatrenia:

Príklad 3.34

Miery dvoch uhlov trojuholníka sú 55 a 82 stupňov. Nájdite mieru tretieho uhla.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. miera tretieho uhla v trojuholníku
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech x = x = miera uhla.
Krok 4. Preložiť.
Napíšte vhodný vzorec a jeho náhradu. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Krok 5. Vyriešiť rovnica. 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43 55 + 82 + x = 180 137 + x = 180 x = 43
Krok 6. Skontrolujte.

55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓ 55 + 82 + 43 ≟ 180 180 = 180 ✓
Krok 7. Odpoveď otázka. Meranie tretieho uhla je 43 stupňov.

Miery dvoch uhlov trojuholníka sú 31 a 128 stupňov. Nájdite mieru tretieho uhla.

Miery dvoch uhlov trojuholníka sú 49 a 75 stupňov. Nájdite mieru tretieho uhla.

Príklad 3.35

Obvod trojuholníkovej záhrady je 24 stôp. Dĺžka dvoch strán je štyri stopy a deväť metrov. Aká dlhá je tretia strana?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. dĺžka tretej strany trojuholníka
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech c = c = tretia strana.
Krok 4. Preložiť.
Napíšte vhodný vzorec a jeho náhradu.
Náhradník v daných informáciách.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.
Krok 6. Skontrolujte.

P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓ P = a + b + c 24 ≟ 4 + 9 + 11 24 = 24 ✓
Krok 7. Odpoveď otázka. Tretia strana je dlhá 11 stôp.

Obvod trojuholníkovej záhrady je 48 stôp. Dĺžka dvoch strán je 18 stôp a 22 stôp. Aká dlhá je tretia strana?

Dĺžka dvoch strán trojuholníkového okna je sedem stôp a päť stôp. Obvod je 18 stôp. Aká dlhá je tretia strana?

Príklad 3.36

Plocha trojuholníkového okna kostola je 90 metrov štvorcových. Základňa okna je 15 metrov. Aká je výška okna?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Plocha = 90 m 2 = 90 m 2
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. výška trojuholníka
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech h = h = výška.
Krok 4. Preložiť.
Napíš príslušný vzorec.
Náhradník v daných informáciách.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.
Krok 6. Skontrolujte.

A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓ A = 1 2 b h 90 ≟ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 12 90 = 90 ✓
Krok 7. Odpoveď otázka. Výška trojuholníka je 12 metrov.

Plocha trojuholníkového obrazu je 126 centimetrov štvorcových. Základňa je 18 palcov. Aká je výška?

Trojuholníkové dvere stanu majú plochu 15 metrov štvorcových. Výška je päť stôp. Aká je základňa?

Vlastnosti trojuholníka, ktoré sme doteraz používali, platia pre všetky trojuholníky. Teraz sa pozrieme na jeden konkrétny typ trojuholníka - pravý trojuholník. Pravý trojuholník má jeden uhol 90 ° 90 °, ktorý obvykle označíme malým štvorcom v rohu.

Správny trojuholník

Príklad 3.37

Jeden uhol pravého trojuholníka meria 28 °. 28 °. Aká je miera tretieho uhla?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. miera uhla
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech x = x = miera uhla.
Krok 4. Preložiť. m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180 m ∠ A + m ∠ B + m ∠ C = 180
Napíšte vhodný vzorec a jeho náhradu. x + 90 + 28 = 180 x + 90 + 28 = 180
Krok 5. Vyriešiť rovnica. x + 118 = 180 x = 62 x + 118 = 180 x = 62
Krok 6. Skontrolujte.

180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓ 180 ≟ 90 + 28 + 62 180 = 180 ✓
Krok 7. Odpoveď otázka. Miesto tretieho uhla je 62 °.

Na príkladoch, ktoré sme doteraz videli, sme si mohli nakresliť postavu a označiť ju hneď po prečítaní úlohy. V nasledujúcom príklade budeme musieť definovať jeden uhol z hľadiska druhého. Počkáme si na nakreslenie figúry, kým nenapíšeme výrazy pre všetky uhly, ktoré hľadáme.

Príklad 3.38

Miera jedného uhla pravého trojuholníka je o 20 stupňov viac ako miera najmenšieho uhla. Nájdite miery všetkých troch uhlov.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. miery všetkých troch uhlov
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech a = 1 a a = 1 uhol.
a + 20 = 2. a + 20 = 2. uhol
90 = 3. 90 = 3. Uhol (pravý uhol)
Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami
Krok 4. Preložiť
Napíš príslušný vzorec.
Nahradiť do vzorca.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.




55
90 tretí uhol
Krok 6. Skontrolujte.

35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓ 35 + 55 + 90 ≟ 180 180 = 180 ✓
Krok 7. Odpoveď otázka. Tieto tri uhly merajú 35 °, 55 ° a 90 °.

Miera jedného uhla pravého trojuholníka je o 50 ° väčšia ako miera najmenšieho uhla. Nájdite miery všetkých troch uhlov.

Miera jedného uhla pravého trojuholníka je o 30 ° väčšia ako miera najmenšieho uhla. Nájdite miery všetkých troch uhlov.

Použite Pytagorovu vetu

Dozvedeli sme sa, ako navzájom súvisia miery uhlov trojuholníka. Teraz sa dozvieme, ako navzájom súvisia dĺžky strán. Dôležitá vlastnosť, ktorá popisuje vzťah medzi dĺžkami troch strán pravého trojuholníka, sa nazýva Pytagorova veta. Táto veta sa používa na celom svete od staroveku. Je pomenovaná po gréckom filozofovi a matematikovi Pytagorasovi, ktorý žil okolo roku 500 pred n.

Pytagorova veta hovorí o tom, ako navzájom súvisia dĺžky troch strán pravého trojuholníka. Uvádza sa v ňom, že v ktoromkoľvek pravom trojuholníku sa súčet štvorcov dĺžok oboch končatín rovná štvorcu dĺžky prepony. V symboloch hovoríme: v ľubovoľnom pravom trojuholníku a 2 + b 2 = c 2, a 2 + b 2 = c 2, kde a a b a a b sú dĺžky nôh a c c je dĺžka prepony.

Napísanie vzorca do každého cvičenia a jeho vyslovenie nahlas už pri písaní vám môže pomôcť spomenúť si na Pytagorovu vetu.

Pytagorova veta

V ľubovoľnom pravom trojuholníku a 2 + b 2 = c 2. a 2 + b 2 = c 2.

kde a a b sú dĺžky nôh, c je dĺžka prepony.

Na riešenie cvičení, ktoré využívajú Pytagorovu vetu, budeme musieť nájsť odmocniny. Použili sme zápis m m a definíciu:

Napríklad sme zistili, že 25 25 je 5, pretože 25 = 5 2. 25 = 5 2.

Pretože Pytagorova veta obsahuje premenné, ktoré sú štvorcové, na riešenie dĺžky strany v pravom trojuholníku budeme musieť použiť druhú odmocninu.

Príklad 3.39

Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku prepony zobrazenej nižšie.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. dĺžka prepony trojuholníka
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať.
Strana štítku c na obrázku.
Poďme c = dĺžka prepony.

Krok 4. Preložiť.
Napíš príslušný vzorec. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Náhradník. 3 2 + 4 2 = c 2 3 2 + 4 2 = c 2
Krok 5. Vyriešiť rovnica. 9 + 16 = c 2 9 + 16 = c 2
Zjednodušiť. 25 = c 2 25 = c 2
Použite definíciu druhej odmocniny. 25 = c 25 = c
Zjednodušiť. 5 = c 5 = c
Krok 6. Skontrolujte.

Krok 7. Odpoveď otázka. Dĺžka prepony je 5.

Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku prepony v trojuholníku znázornenom nižšie.

Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku prepony v trojuholníku znázornenom nižšie.

Príklad 3.40

Pomocou Pytagorovej vety nájdite nižšie uvedenú dĺžku nohy.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. dĺžka nohy trojuholníka
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Poďme b = noha trojuholníka.
Postranná strana b.
Krok 4. Preložiť
Napíš príslušný vzorec. a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c 2
Náhradník. 5 2 + b 2 = 13 2 5 2 + b 2 = 13 2
Krok 5. Vyriešiť rovnica. 25 + b 2 = 169 25 + b 2 = 169
Izolovajte variabilný výraz. b 2 = 144 b 2 = 144
Použite definíciu druhej odmocniny. b 2 = 144 b 2 = 144
Zjednodušiť. b = 12 b = 12
Krok 6. Skontrolujte.

Krok 7. Odpoveď otázka. Dĺžka nohy je 12.

Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku nohy v trojuholníku znázornenom nižšie.

Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku nohy v trojuholníku znázornenom nižšie.

Príklad 3.41

Kelvin stavia altánok a chce vystužiť každý roh umiestnením uhlopriečky 10 ″ 10 ″ dreva, ako je to znázornené vyššie.

Ak pripevní drevo tak, aby konce ortézy boli v rovnakej vzdialenosti od rohu, aká je dĺžka nôh vytvoreného pravého trojuholníka? Približne s presnosťou na desatinu palca.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. vzdialenosť od rohu, ku ktorému by mala byť pripevnená konzola
Krok 3. Názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Nech x = x = vzdialenosť od rohu.
Krok 4. Preložiť
Napíšte vhodný vzorec a jeho náhradu.
a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2 a 2 + b 2 = c 2 x 2 + x 2 = 10 2
Krok 5. Vyriešiť rovnica.
Izolovať premennú.
Použite definíciu druhej odmocniny.
Zjednodušiť. Približne s presnosťou na desatinu.
2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1 2 x 2 = 100 x 2 = 50 x = 50 x ≈ 7,1
Krok 6. Skontrolujte.
a 2 + b 2 = c 2 (7,1) 2 + (7,1) 2 ≈ 10 2 Áno. a 2 + b 2 = c 2 (7,1) 2 + (7,1) 2 ≈ 10 2 Áno.
Krok 7. Odpoveď otázka. Kelvin by mal každý kúsok dreva pripevniť približne 7,1 palca od rohu.

John kladie základňu 13-stopového rebríka päť stôp od steny svojho domu, ako je to znázornené nižšie. Ako ďaleko po stene siaha rebrík?

Randy chce pripevniť 17-stopový reťazec svetiel na vrchol 15-stopového sťažňa svojej plachetnice, ako je to znázornené nižšie. Ako ďaleko od základne stožiara by mal pripevniť koniec svetelnej šnúrky?

Riešenie aplikácií pomocou vlastností obdĺžnika

A čo plocha obdĺžnika? Predstavte si obdĺžnikový koberec, ktorý je 2 stopy dlhý a 3 stopy široký. Jeho rozloha je 6 metrov štvorcových. Na obrázku je šesť štvorcov.

Táto oblasť je dĺžka a šírka.

Vzorec pre plochu obdĺžnika je A = L W. A = L W.

Vlastnosti obdĺžnikov

Rectangles have four sides and four right ( 90 ° ) ( 90 ° ) angles.

The lengths of opposite sides are equal.

The perimeter of a rectangle is the sum of twice the length and twice the width.

The area of a rectangle is the product of the length and the width.

Example 3.42

The length of a rectangle is 32 meters and the width is 20 meters. What is the perimeter?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Draw the figure and label it with the given information.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. the perimeter of a rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. Poďme P = the perimeter.
Krok 4. Preložiť.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.
Step 6. Check.

P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓ P ≟ 104 20 + 32 + 20 + 32 ≟ 104 104 = 104 ✓
Krok 7. Odpoveď the question. The perimeter of the rectangle is 104 meters.

The length of a rectangle is 120 yards and the width is 50 yards. What is the perimeter?

The length of a rectangle is 62 feet and the width is 48 feet. What is the perimeter?

Example 3.43

The area of a rectangular room is 168 square feet. The length is 14 feet. What is the width?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Draw the figure and label it with the given information.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. the width of a rectangular room
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. Poďme Ž = the width.
Krok 4. Preložiť.
Write the appropriate formula. A = L W A = L W
Substitute. 168 = 14 W 168 = 14 W
Krok 5. Vyriešiť rovnica. 168 14 = 14 W 14 168 14 = 14 W 14
12 = W 12 = W
Step 6. Check.


A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓ A = L W 168 ≟ 14 ⋅ 12 168 = 168 ✓
Krok 7. Odpoveď the question. The width of the room is 12 feet.

The area of a rectangle is 598 square feet. The length is 23 feet. What is the width?

The width of a rectangle is 21 meters. The area is 609 square meters. What is the length?

Example 3.44

Find the length of a rectangle with perimeter 50 inches and width 10 inches.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Draw the figure and label it with the given information.

Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. the length of the rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. Poďme L = the length.
Krok 4. Preložiť.
Write the appropriate formula.
Substitute.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.





Step 6. Check.

P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓ P = 50 15 + 10 + 15 + 10 ≟ 50 50 = 50 ✓
Krok 7. Odpoveď the question. The length is 15 inches.

Find the length of a rectangle with: perimeter 80 and width 25.

Find the length of a rectangle with: perimeter 30 and width 6.

We have solved problems where either the length or width was given, along with the perimeter or area now we will learn how to solve problems in which the width is defined in terms of the length. We will wait to draw the figure until we write an expression for the width so that we can label one side with that expression.

Example 3.45

The width of a rectangle is two feet less than the length. The perimeter is 52 feet. Find the length and width.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. the length and width of a rectangle
Step 3. Name. Choose a variable to represent it.
Since the width is defined in terms of the length, we let L = length. The width is two feet less than the length, so we let L − 2 = width.

P = 52 P = 52 ft
Krok 4. Preložiť.
Write the appropriate formula. The formula for the perimeter of a rectangle relates all the information. P = 2 L + 2 W P = 2 L + 2 W
Substitute in the given information. 52 = 2 L + 2 ( L − 2 ) 52 = 2 L + 2 ( L − 2 )
Krok 5. Vyriešiť rovnica. 52 = 2 L + 2 L − 4 52 = 2 L + 2 L − 4
Kombinujte ako termíny. 52 = 4 L − 4 52 = 4 L − 4
Add 4 to each side. 56 = 4 L 56 = 4 L
Divide by 4. 56 4 = 4 L 4 56 4 = 4 L 4
14 = L 14 = L
The length is 14 feet.
Now we need to find the width. The width is L − 2 L − 2 .

The width is 12 feet.
Step 6. Check.
Since 14 + 12 + 14 + 12 = 52 14 + 12 + 14 + 12 = 52 , this works!

Krok 7. Odpoveď the question. The length is 14 feet and the width is 12 feet.

The width of a rectangle is seven meters less than the length. The perimeter is 58 meters. Find the length and width.

The length of a rectangle is eight feet more than the width. The perimeter is 60 feet. Find the length and width.

Example 3.46

The length of a rectangle is four centimeters more than twice the width. The perimeter is 32 centimeters. Find the length and width.

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáte. the length and the width
Step 3. Name. Choose a variable to represent the width.
The length is four more than twice the width.


Krok 4. Preložiť
Write the appropriate formula.
Substitute in the given information.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.






12
The length is 12 cm.
Step 6. Check.


P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓ P = 2 L + 2 W 32 ≟ 2 ⋅ 12 + 2 ⋅ 4 32 = 32 ✓
Krok 7. Odpoveď the question. The length is 12 cm and the width is 4 cm.

The length of a rectangle is eight more than twice the width. The perimeter is 64. Find the length and width.

The width of a rectangle is six less than twice the length. The perimeter is 18. Find the length and width.

Example 3.47

The perimeter of a rectangular swimming pool is 150 feet. Dĺžka je o 15 stôp viac ako šírka. Find the length and width.


Similar Triangles Applications


Image Source: http://www.howitworksdaily.com

A powerful Zoom lens for a 35mm camera can be very expensive, because it actually contains a number of highly precise glass lenses, which need to be moved by a tiny motor into very exact positions as the camera auto focuses.

The Geometry and Mathematics of these lenses is very involved, and they cannot be simply mass produced and tested by computer robots.

Lots of effort required to manufacture these lenses results in their very high price tags.

Here is a diagram showing how the zoom lens internal arrangement changes as we zoom from 18mmm wide angle to 200mm fully zoomed in:


Image Source: http://www.canon.com


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Shown above are some band photographs taken by Passy with a special low light camera.

Unfortunately this camera does not have a zoom lens, and so you need to be right up close to the stage to take good pictures.

A special low light aperture 1.4 zoom lens for taking band photographs has a price tag a bit out of Passy’s current reach.

The light rays passing through a camera lens involves some similar triangles mathematics.

We will do some of this mathematics in the “Bow Tie” examples later in this lesson.

Similar Triangles can also be used to measure the heights of very tall objects such as trees, buildings, and mobile phone towers.

Measuring heights of tall objects is also covered in this lesson.

It is very important that you have done our basic lesson on Similar Triangles before doing the lesson which follows on here.

If you need to go back and look at Basic Similar Triangles, then click the link below:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above setup for a camera lens, we have a “Bow Tie” shaped pair of Similar Triangles.

Note that when light passes through a camera lens the original image ends up upside down or “inverted”.

This is why cameras have a mirror inside them to put the image right way up so we can view it while taking the photo.

It is very important that this mirror is kept spotlessly clean when changing lenses on a 35mmm camera, and we must be careful never to touch it with our fingers.

The diagram below shows the triangles from our camera lens diagram, with some measured values labelled onto it.

We have used two of the the measurements to work out the “Scale Factor”.

Once we have the S.F. we can then easily work out our missing value.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We do not have to use the Scale Factor method to work out this question.

Instead, we can use the Ratios Cross Multiplying Method, as shown in “Example 1B” below.

It is up to you as to which method you want to use. Both methods give the same correct answer.

In this example we first locate our two pairs of matching sides on the given diagram below.

We then set them up as matching ratios, and use the ratios cross multiplying method to get our answer.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Here is another example where we are working with “Bow Tie” Similar Triangles.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Video About Bow Tie Questions

The following video shows how to do some example Bow Tie and Ladder Triangle questions.

Using Triangles to Find Height

Similar Triangles can also be used to work out the Heghts of tall objects such as trees, buildings, and towers which are too hard for us to climb and measure with a measuring tape.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Because the sun is shining from a very long way away, it shines down at the same angle on both objects (the person and the tree).

Shadows are formed for both of these objects, because the sun is shining on them at an angle.
Eg. The 2m tall lady makes a 12m long shadow, and the palm tree makes an 84m long shadow.

This results in a pair of similar triangles being formed.

By comparing the lengths of the two shadows, against the two heights, using similar triangles, we can work out the unknown height of the tree.

In the following two examples we show how these types of height questions are drawn as a triangle inside a triangle.

We then use the Scale Factor Method to get our answer for “Example 1A”.

After this, we do the same question using the Cross Multiplying Ratios Method in “Example 1B”.

Finding Height – Example 1A


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 1B


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Finding Height – Example 2

Here is another example of finding height from the shadows, but this time we have a Mobile Phone Tower, and a shorter person with a smaller shadow.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

In the above example we have used the Scale Factor Method.

This question can also be worked out using cross multiplied ratios, if you prefer to use that method instead.

Videos About Finding Height

Three and a a half minute video about using shadows to find the height of a tree:

Ten minute video showing a guy actually finding the height of a wall using shadows:

Video showing some algebra x and y problems:

Finding Height Using a Mirror

We can also find the height of a tall object by using line of sight and a mirror, rather than measuring shadows.

This gives a “Bow Tie” type question that we need to solve.

The video at the following link shows an example fo how to do this.

Similar Triangles are very useful for indirectly determining the sizes of items which are difficult to measure by hand.

Typical examples include building heights, tree heights, and tower heights.

Similar Triangles can also be used to measure how wide a river or lake is.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

Now the instructors could toss a coin to see who ties a rope to themselves, and then swims across the freezing cold water to work out how wide the river is.

However, the following method shown here is much easier, and nobody has to get wet!

It involves each person moving further along the river and measuring exactly how far they have moved from their starting points at A and B.

This is shown in the following diagram:


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

We can draw in the line of sight from the lady at “E” to the guy on the other side of the river at “C”, which then produces a pair of Similar Triangles.

We can solve these “bow tie” triangles and work out the width of the river as shown below.


Image Copyright 2013 by Passy’s World of Mathematics

(Note that some clipart images from the web were used for the above River Diagrams, and Passy’s World is not claiming any ownership of these cliparts, but only of the mathematical components contained in these examples.)

If you enjoyed this lesson, why not get a free subscription to our website.
You can then receive notifications of new pages directly to your email address.

Go to the subscribe area on the right hand sidebar, fill in your email address and then click the “Subscribe” button.

To find out exactly how free subscription works, click the following link:

If you would like to submit an idea for an article, or be a guest writer on our website, then please email us at the hotmail address shown in the right hand side bar of this page.

If you are a subscriber to Passy’s World of Mathematics, and would like to receive a free PowerPoint version of this lesson, that is 100% free to you as a Subscriber, then email us at the following address:

Please state in your email that you wish to obtain the free subscriber copy of the “Similar Triangle Applications” Powerpoint.

Feel free to link to any of our Lessons, share them on social networking sites, or use them on Learning Management Systems in Schools.

Each day Passy’s World provides hundreds of people with mathematics lessons free of charge.

Help us to maintain this free service and keep it growing.

Donate any amount from $2 upwards through PayPal by clicking the PayPal image below. Thank you!

PayPal does accept Credit Cards, but you will have to supply an email address and password so that PayPal can create a PayPal account for you to process the transaction through. There will be no processing fee charged to you by this action, as PayPal deducts a fee from your donation before it reaches Passy’s World.


Right Triangle Calculator and Solver

Five easy to use calculators to solve right triangle problems depending on which information you are given. The figure shown below will be used for sides and angle notations.

Formulas Used in the Different Calculators

The Pythagorean theorem used in the above triangle gives

The trigonometric ratios used to find angles A and B are given by

sin(A) = a / h , A = arctan(a / h)

sin(B) = b / h , B = arctan(b / h)

The area and perimeter of the right triangle are given by

Calculator 1 - You know one side and the hypotenuse

How to use the calculators

Enter the side and the hypotenuse as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 2 - You know the two sides of the right triangle

How to use the calculators

Enter the two sides as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 3 - You know one side and the angle opposite to it

How to use the calculators

Enter the side and the opposite angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 4 - You know the hypotenuse and one angle

How to use the calculators

Enter the hypotenuse and the angle as positive real numbers and press "calculate".

Calculator 5 - You know the perimeter and area of a right triangle

How to use the calculators
You might have to review area and perimeter of right triangles in order to understand the formulas used in this calculator.
Enter the perimeter and the area as positive real numbers and press "calculate".

More References and Links


Angles of Elevation and Depression

In surveying, the angle of elevation is the angle from the horizontal looking up to some object:

The angle of depression is the angle from the horizontal looking down to some object:

Example 3

The angle of elevation of an aeroplane is `23°`. If the aeroplane's altitude is `2500 "m"`, how far away is it?

Let the distance be X. Then `sin 23^"o"=2500/x`

Príklad 4

You can walk across the Sydney Harbour Bridge and take a photo of the Opera House from about the same height as top of the highest sail.

This photo was taken from a point about `500 "m"` horizontally from the Opera House and we observe the waterline below the highest sail as having an angle of depression of `8°`. How high above sea level is the highest sail of the Opera House?


Free Math Printable Worksheets with Answer Keys and Activities

Feel free to download and enjoy these free worksheets on functions and relations. Each one has model problems worked out step by step, practice problems, as well as challenge questions at the sheets end. Plus each one comes with an answer key.

Arithmetic

Algebra I

  • Circle
  • Simplify Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with Rational Exponents (Algebra 2)
  • Solve Equations with variables in Exponents (Algebra 2)
  • Exponential Growth (no answer key on this one, sorry)
  • Compound Interest Worksheet #1 (No logs)
  • Compound Interest Worksheet (Logarithms required)
  • Factor Trinomials Worksheet
  • Factor by Grouping
  • Domain and Range (Algebra 1)
  • Functions vs Relations (Distinguish function from relation, state domain etc..) (Algebra 2)
  • Evaluating Functions (Algebra 2)
  • 1 to 1 Functions (Algebra 2)
  • Composition of Functions (Algebra 2)
  • Inverse Functions Worksheet (Algebra 2)
  • Operations with Functions (Algebra 2)
  • Functions Review Worksheet (Algebra 2)
  • Riešte kvadratické rovnice pomocou faktoringu
  • Quadratic Formula Worksheets (3 different sheets)
  • Quadratic Formula Worksheet (Real solutions)
  • Quadratic Formula (Complex solutions)
  • Quadratic Formula (Both real and complex solutions)
  • Discriminant and Nature of the Roots
  • Solve Quadratic Equations by Completing the Square
  • Sum and Product of Roots
  • Radical Equations
  • Mixed Problems on Writing Equations of Lines
  • Slope Intercept Form Worksheet
  • Standard Form Worksheet
  • Write Equation of Line from the Slope and 1 Point
  • Write Equation of Line From Two Points
  • Equation of Line Parallel to Another Line and Through a Point
  • Equation of Line Perpendicular to Another Line and Through a Point
  • Perpendicular Bisector of Segment
  • Write Equation of Line Mixed Review
  • Solve Systems of Equations Graphically
  • Solve Systems of Equations by Elimination
  • Solve by Substitution
  • Solve Systems of Equations (Mixed Review)
  • Activity on Systems of Equations (Create an advertisement for your favorite method to Solve Systems of Equations)
  • Real World Connections (Compare cell phone plans)

Trigonomnetry

  • Law of Sines and Cosines Worksheets
    • Law of Sines and Cosines Worksheet (This sheet is a summative worksheet that focuses on deciding when to use the law of sines or cosines as well as on using both formulas to solve for a single triangle's side or angle)
      • Law of Sines
      • Ambiguous Case of the Law of Sines
      • Law of Cosines

      Geometria

      Meaning of Worksheet Icons

      This icon means that the activity is exploratory.
      worksheet involves group work .
      worksheet involves real world applications of concepts.
      worksheet includes a drill-like component.
      worksheet based on using the Geometer's Sketchpad.

      • A ngles
          • Activity-Explore by Measuring the Relationship of Vertical Angles
          • Vertical Angles Worksheet
          • Adding and Subtracting Integers
          • Graphic Organizer: Formulas & Theorems of A Circle
          • Chord of A Circle: theorems involving parallel chords, congruent chords & chords equidistant from the center of circle
          • Inscribed and Central Angles
          • Arcs and Angles Formed by Intersecting Chords
          • Tangent, Secant, Arcs and Angles of a Circle
          • Parallel Chords, Congruent Chords and the Center of a Circle
          • Relationship Between Tangent, Secant Side Lengths
          • Arcs and Angles Formed by the Intersection of a Tangent and a Chord
          • Mixed Review on Formulas of Geometry of the Circle (Large problems involving many Circle Formulas)
          • E llipse
            • Equation and Graph of Ellipse Worksheet
            • Focus of Ellipse (Find foci based on graph and equation) (Also includes NYS Math B Regents questions at end)
            • Exponents Worksheet (Focuses on two rules of exponents)
            • Exponential Growth (Exploratory activity as well as drill like questions)
            • Exponential Population Growth (Drill like questions, as well as student centered activity, NYS Math B Regents questions, and how to perform exponential regressions)
            • One Variable Equations and Proportions
            • Relation and Functions in Math Worksheet
            • 1 to 1 Functions Worksheet
            • Distance vs Time Graphs
            • Find the Slope of a Line Worksheet
            • Linear Equations - Real World Application Activity
            • Ordered Pair Notation
            • P arallelograms
              • Compare and Contrast Types of Parallelograms (Rectangles, Rhombus, Square in a table. Microsoft Word format. Worksheet Goes Hand in Hand with This Web Page)
              • Classify Quadrilateral as Parallelogram (A classic activity: have the students construct a Quadrilateral and its midpoints, then create an inscribed Quadrilateral. Then ask the students to measure the Angles, sides etc.. of inscribed shape and use the measurements to classify the shape (Parallelogram).
              • Interior Angles of Polygon Worksheet
              • Exterior Angles of a Polygon
              • Side Angle Side and Angle Side Angle Worksheet This worksheet includes model problems and an activity. Also, the answers to most of the proofs can be found in a free, online PowerPoint demonstration.
              • Side Side Side Worksheet and Activity
              • Angle Side Angle Worksheet and Activity
              • Relation and Functions in Math Worksheet
              • 1 to 1 Function
              • SOHCAHTOA Worksheet
              • SAS Formula to Find Area of Triangle
              • Properties of Triangles
              • Area of a Triangle Worksheet
              • Angle Angle Side Postulate (AAS)
              • Side Side Side Postulate Worksheet(SSS)
              • Angle Side Angle Postulate Worksheet (ASA)
              • Hypotenuse Leg Worksheet(Hypotenuse Leg)
              • Activity-Relationship of Angles in a Trapezoid
              • Compositions of Reflections. Reflections Over Intersecting Lines as Rotations

              All of these worksheets and activities are available for free so long as they are used solely for educational, noncommercial purposes and are not distributed outside of a specific teacher's classroom.


              DMCA Complaint

              If you believe that content available by means of the Website (as defined in our Terms of Service) infringes one or more of your copyrights, please notify us by providing a written notice (“Infringement Notice”) containing the information described below to the designated agent listed below. If Varsity Tutors takes action in response to an Infringement Notice, it will make a good faith attempt to contact the party that made such content available by means of the most recent email address, if any, provided by such party to Varsity Tutors.

              Your Infringement Notice may be forwarded to the party that made the content available or to third parties such as ChillingEffects.org.

              Please be advised that you will be liable for damages (including costs and attorneys’ fees) if you materially misrepresent that a product or activity is infringing your copyrights. Thus, if you are not sure content located on or linked-to by the Website infringes your copyright, you should consider first contacting an attorney.

              Please follow these steps to file a notice:

              You must include the following:

              A physical or electronic signature of the copyright owner or a person authorized to act on their behalf An identification of the copyright claimed to have been infringed A description of the nature and exact location of the content that you claim to infringe your copyright, in sufficient detail to permit Varsity Tutors to find and positively identify that content for example we require a link to the specific question (not just the name of the question) that contains the content and a description of which specific portion of the question – an image, a link, the text, etc – your complaint refers to Your name, address, telephone number and email address and A statement by you: (a) that you believe in good faith that the use of the content that you claim to infringe your copyright is not authorized by law, or by the copyright owner or such owner’s agent (b) that all of the information contained in your Infringement Notice is accurate, and (c) under penalty of perjury, that you are either the copyright owner or a person authorized to act on their behalf.

              Send your complaint to our designated agent at:

              Charles Cohn Varsity Tutors LLC
              101 S. Hanley Rd, Suite 300
              St. Louis, MO 63105


              Pozri si video: Ako odinštalovať aktualizácie, zakázať aplikáciu a odinštalovať systémovú aplikáciu Android (December 2021).