Články

14.2aE: Dvojité integrály, 1. časť (Cvičenia) - Matematika


V cvičeniach 1 a 2 použite pravidlo stredného bodu s (m = 4 ) a (n = 2 ) na odhad objemu pevnej látky ohraničenej povrchom (z = f (x, y) ), vertikálne roviny (x = 1 ), (x = 2 ), (y = 1 ) a (y = 2 ) a vodorovná rovina (x = 0 ).

1) (f (x, y) = 4x + 2y + 8xy )

Odpoveď:
(27)

2) (f (x, y) = 16x ^ 2 + frac {y} {2} )

V cvičeniach 3 a 4 odhadnite objem tuhej látky pod povrchom (z = f (x, y) ) a nad obdĺžnikovou oblasťou R pomocou Riemannovho súčtu s (m = n = 2 ) a vzorových bodov, ktoré majú byť v ľavom dolnom rohu podobdĺžnika oddielu.

3) (f (x, y) = sin x - cos y ), (R = [0, pi] krát [0, pi] )

Odpoveď:
(0)

4) (f (x, y) = cos x + cos y ), (R = [0, pi] krát [0, frac { pi} {2}] )

5) Použite pravidlo stredného bodu s (m = n = 2 ) na odhad ( iint_R f (x, y) , dA ), kde hodnoty funkcie f dňa (R = [8,10] krát [9,11] ) sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.

(y )
(X)99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8
Odpoveď:
(21.3)

6) Hodnoty funkcie (f ) na obdĺžniku (R = [0,2] krát [7,9] ) sú uvedené v nasledujúcej tabuľke. Odhadnite dvojitý integrál ( iint_R f (x, y) , dA ) pomocou Riemannovho súčtu s (m = n = 2 ). Vyberte vzorové body, ktoré majú byť v horných pravých rohoch čiastkových štvorcov R.

(y_0 = 7 ) (y_1 = 8 ) (y_2 = 9 )
(x_0 = 0 )10.2210.219.85
(x_1 = 1 )6.739.759.63
(x_2 = 2 )5.627.838.21

7) Hĺbka detského bazéna s rozlohou 4 stopy a 4 stopy, meraná v intervaloch 1 stopy, je uvedená v nasledujúcej tabuľke.

  1. Odhadnite objem vody v bazéne pomocou Riemannovej sumy s (m = n = 2 ). Vyberte vzorkovacie body pomocou pravidla stredového bodu na (R = [0,4] krát [0,4] ).
  2. Zistite priemernú hĺbku bazénu.
    (y )
    (X)01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52
Odpoveď:
a. 28 ( text {ft} ^ 3 )
b. 1,75 stopy

8) Hĺbka diery v pôde, ktorá sa meria v intervaloch 1 ft, je uvedená v nasledujúcej tabuľke.

  1. Odhadnite objem diery pomocou Riemannovho súčtu s (m = n = 3 ) a vzorkových bodov, ktoré majú byť v ľavom hornom rohu subtvárov druhého (R ).
  2. Nájdite priemernú hĺbku otvoru.
    (y )
    (X)0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

9) Hladinové krivky (f (x, y) = k ) funkcie (f ) sú uvedené v nasledujúcom grafe, kde (k ) je konštanta.

  1. Použite pravidlo stredného bodu s (m = n = 2 ) na odhad dvojitého integrálu ( iint_R f (x, y) , dA ), kde (R = [0,2,1] krát [0, 0,8] ).
  2. Odhadnite priemernú hodnotu funkcie (f ) na (R ).

Odpoveď:
a. 0,112
b. (f_ {ave} ≃ 0,175 ); tu (f (0,4,0,2) ≃ 0,1 ), (f (0,2,0,6) ≃− 0,2 ), (f (0,8,0,2) ≃ 0,6 ) a (f (0,8,0,6) 0,2 )

10) Hladinové krivky (f (x, y) = k ) funkcie (f ) sú uvedené v nasledujúcom grafe, kde (k ) je konštanta.

  1. Použite pravidlo stredného bodu s (m = n = 2 ) na odhad dvojitého integrálu ( iint_R f (x, y) , dA ), kde (R = [0,1,0,5] krát [0,1, 0,5] ).
  2. Odhadnite priemernú hodnotu funkcie f na (R ).

11) Tuhá látka ležiaca pod povrchom (z = sqrt {4 - y ^ 2} ) a nad obdĺžnikovou oblasťou (R = [0,2] krát [0,2] ) je znázornená na obrázku nasledujúci graf. Vyhodnoťte dvojitý integrál ( iint_Rf (x, y) ), kde (f (x, y) = sqrt {4 - y ^ 2} ) nájdením objemu zodpovedajúcej tuhej látky.

Odpoveď:
(2 pi )

12) Tuhá látka ležiaca pod rovinou (z = y + 4 ) a nad obdĺžnikovou oblasťou (R = [0,2] krát [0,4] ) je znázornená v nasledujúcom grafe. Vyhodnoťte dvojitý integrál ( iint_R f (x, y) , dA ), kde (f (x, y) = y + 4 ), nájdením objemu zodpovedajúcej tuhej látky.

Na cvičeniach 13 - 20 vypočítajte integrály obrátením poradia integrácie.

13) ( Displaystyle int _ {- 1} ^ 1 doľava ( int _ {- 2} ^ 2 (2x + 3y + 5) , dx doprava) medzera )

Odpoveď:
(40)

14) ( Displaystyle int_0 ^ 2 doľava ( int_0 ^ 1 (x + 2e ^ y + 3) , dx doprava) medzera )

15) ( Displaystyle int_1 ^ {27} vľavo ( int_1 ^ 2 ( sqrt [3] {x} + sqrt [3] {y}) , dy right) medzera dx )

Odpoveď:
( frac {81} {2} + 39 sqrt [3] {2} )

16) ( displaystyle int_1 ^ {16} vľavo ( int_1 ^ 8 ( sqrt [4] {x} + 2 sqrt [3] {y}) , dy right) medzera dx )

17) ( Displaystyle int _ { ln 2} ^ { ln 3} vľavo ( int_0 ^ 1 e ^ {x + y} , dy vpravo) medzera dx )

Odpoveď:
(e - 1 )

18) ( Displaystyle int_0 ^ 2 vľavo ( int_0 ^ 1 3 ^ {x + y} , dy vpravo) medzera dx )

19) ( displaystyle int_1 ^ 6 vľavo ( int_2 ^ 9 frac { sqrt {y}} {y ^ 2} , dy vpravo) medzera dx )

Odpoveď:
(15 - frac {10 sqrt {2}} {9} )

20) ( Displaystyle int_1 ^ 9 vľavo ( int_4 ^ 2 frac { sqrt {x}} {y ^ 2} , dy vpravo) , dx )

V cvičeniach 21 - 34 zhodnoťte iterované integrály výberom poradia integrácie.

21) ( Displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ { pi / 2} sin (2x) cos (3y) , dx medzera )

Odpoveď:
(0)

22) ( Displaystyle int _ { pi / 12} ^ { pi / 8} int _ { pi / 4} ^ { pi / 3} [ postieľka x + tan (2r)] dx space dy )

23) ( Displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e doľava [ frac {1} {x} sin ( ln x) + frac {1} {y} cos ( ln y) doprava ] , dx medzera )

Odpoveď:
((e - 1) (1 + sin 1 - cos 1) )

24) ( Displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e frac { sin ( ln x) cos ( ln y)} {xy} , dx medzera )

25) ( Displaystyle int_1 ^ 2 int_1 ^ 2 doľava ( frac { ln y} {x} + frac {x} {2y + 1} doprava) , dy medzera dx )

Odpoveď:
( frac {3} {4} ln vľavo ( frac {5} {3} vpravo) + 2b medzera ln ^ 2 2 - ln 2 )

26) ( Displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ 2 x ^ 2 ln (x) , dy medzera dx )

27) ( Displaystyle int_1 ^ { sqrt {3}} int_1 ^ 2 y medzera arctan doľava ( frac {1} {x} doprava) , dy medzera dx )

Odpoveď:
( frac {1} {8} [(2 sqrt {3} - 3) pi + 6 medzera ln 2] )

28) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ {1/2} ( arcsin x + arcsin y) , dy medzera dx )

29) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 xe ^ {x + 4y} , dy medzera dx )

Odpoveď:
( frac {1} {4} e ^ 4 (e ^ 4 - 1) )

30) ( Displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ 1 xe ^ {x-y} , dy medzera dx )

31) ( Displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e doľava ( frac { ln y} { sqrt {y}} + frac { ln x} { sqrt {x}} doprava) , dy medzera dx )

Odpoveď:
(4 (e - 1) (2 - sqrt {e}) )

32) ( Displaystyle int_1 ^ e int_1 ^ e doľava ( frac {x medzera ln y} { sqrt {y}} + frac {y medzera ln x} { sqrt {x }} vpravo) , dy medzera dx )

33) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 doľava ( frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} doprava) , dy medzera dx )

Odpoveď:
(- frac { pi} {4} + ln doľava ( frac {5} {4} doprava) - frac {1} {2} ln 2 + arctan 2 )

34) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 frac {y} {x + y ^ 2} , dy medzera dx )

V cvičeniach 35 - 38 nájdite priemernú hodnotu funkcie nad danými obdĺžnikmi.

35) (f (x, y) = −x + 2y ), (R = [0,1] krát [0,1] )

Odpoveď:
( frac {1} {2} )

36) (f (x, y) = x ^ 4 + 2y ^ 3 ), (R = [1,2] krát [2,3] )

37) (f (x, y) = sinh x + sinh y ), (R = [0,1] krát [0,2] )

Odpoveď:
( frac {1} {2} (2 medzera cosh 1 + cosh 2 - 3) ).

38) (f (x, y) = arktán (xy) ), (R = [0,1] krát [0,1] )

39) Nech (f ) a (g ) sú dve spojité funkcie také, že (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) pre ľubovoľnú (x ∈ [a, b] ) a (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) pre ľubovoľné (y ∈ [c, d] ). Ukážte, že nasledujúca nerovnosť je pravdivá:

[m_1m_2 (b-a) (c-d) leq int_a ^ b int_c ^ d f (x) g (y) , dy dx leq M_1M_2 (b-a) (c-d). ]

V cvičeniach 40 - 43 použite vlastnosť v. Dvojitých integrálov a odpoveď z predchádzajúceho cvičenia na preukázanie toho, že nasledujúce nerovnosti sú pravdivé.

40) ( frac {1} {e ^ 2} leq iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} medzera dA leq 1 ), kde (R = [0,1] krát [0,1] )

41) ( frac { pi ^ 2} {144} leq iint_R sin x cos y medzera dA leq frac { pi ^ 2} {48} ), kde (R = doľava [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3} doprava] časy doľava [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3} doprava ] )

42) (0 leq iint_R e ^ {- y} medzera cos x medzera dA leq frac { pi} {2} ), kde (R = doľava [0, frac { pi} {2} vpravo] krát doľava [0, frac { pi} {2} doprava] )

43) (0 leq iint_R ( ln x) ( ln y) , dA leq (e - 1) ^ 2 ), kde (R = [1, e] krát [1, e ] )

44) Nech (f ) a (g ) sú dve spojité funkcie také, že (0 leq m_1 leq f (x) leq M_1 ) pre ľubovoľnú (x ∈ [a, b] ) a (0 leq m_2 leq g (y) leq M_2 ) pre ľubovoľné (y ∈ [c, d] ). Ukážte, že nasledujúca nerovnosť je pravdivá:

[(m_1 + m_2) (b - a) (c - d) leq int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | medzera medzera dx leq (M_1 + M_2) (b - a) (c - d) ]

V cvičeniach 45 - 48 použite vlastnosť v. Dvojitých integrálov a odpoveď z predchádzajúceho cvičenia na preukázanie toho, že nasledujúce nerovnosti sú pravdivé.

45) ( frac {2} {e} leq iint_R (e ^ {- x ^ 2} + e ^ {- y ^ 2}) , dA leq 2 ), kde (R = [ 0,1] krát [0,1] )

46) ( frac { pi ^ 2} {36} iint_R ( sin x + cos y) , dA leq frac { pi ^ 2 sqrt {3}} {36} ), kde (R = [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3}] krát [ frac { pi} {6}, frac { pi} {3}] )

47) ( frac { pi} {2} e ^ {- pi / 2} leq iint_R ( cos x + e ^ {- y}) , dA leq pi ), kde (R = [0, frac { pi} {2}] krát [0, frac { pi} {2}] )

48) ( frac {1} {e} leq iint_R (e ^ {- y} - ln x) , dA leq 2 ), kde (R = [0, 1] krát [ 0, 1] )

V cvičeniach 49 - 50 je funkcia (f ) uvedená ako dvojité integrály.

  1. Určte explicitný tvar funkcie (f ).
  2. Nájdite objem tuhej látky pod povrchom (z = f (x, y) ) a nad oblasťou (R ).
  3. Nájdite priemernú hodnotu funkcie (f ) na (R ).
  4. Použite počítačový algebraický systém (CAS) na vykreslenie (z = f (x, y) ) a (z = f_ {ave} ) v rovnakom systéme súradníc.

49) [T] (f (x, y) = int_0 ^ y int_0 ^ x (xs + yt) ds medzera dt ), kde ((x, y) v R = [0,1] krát [0 , 1] )

Odpoveď:

a. (f (x, y) = frac {1} {2} xy (x ^ 2 + y ^ 2) );
b. (V = int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 f (x, y) , dx medzera dy = frac {1} {8} );
c. (f_ {ave} = frac {1} {8} );

d.

50) [T] (f (x, y) = int_0 ^ x int_0 ^ y [ cos (s) + cos (t)] , dt medzera ds ), kde ((x, y) v R = [0,3] krát [0,3] )

51) Ukážte, že ak (f ) a (g ) sú spojité na ([a, b] ) a ([c, d] ), potom

( Displaystyle int_a ^ b int_c ^ d | f (x) + g (y) | dy medzera dx = (d - c) int_a ^ b f (x) , dx )

( Displaystyle + int_a ^ b int_c ^ dg (y) , dy priestor dx = (b - a) int_c ^ dg (y) , dy + int_c ^ d int_a ^ bf (x) , dx medzera ).

52) Ukážte, že ( Displaystyle int_a ^ b int_c ^ d yf (x) + xg (y) , dy medzera dx = frac {1} {2} (d ^ 2 - c ^ 2) left ( int_a ^ bf (x) , dx right) + frac {1} {2} (b ^ 2 - a ^ 2) left ( int_c ^ dg (y) , dy right) ).

53) [T] Uvažujme funkciu (f (x, y) = e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} ), kde ((x, y) v R = [−1,1] krát [−1 , 1] ).

  1. Použite pravidlo stredného bodu s (m = n = 2,4, ..., 10 ) na odhad dvojitého integrálu (I = iint_R e ^ {- x ^ 2 - y ^ 2} dA ). Zaokrúhlite svoje odpovede na najbližšie stotiny.
  2. Pre (m = n = 2 ) nájdite priemernú hodnotu f nad regiónom R. Zaokrúhlite svoju odpoveď na najbližšie stotiny.
  3. Použite CAS na vytvorenie grafu v rovnakom súradnicovom systéme teleso, ktorého objem je daný ( iint_R e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} dA ) a rovinou (z = f_ {ave} ).
Odpoveď:

a. Pre (m = n = 2 ), (I = 4e ^ {- 0,5} približne 2,43 )
b. (f_ {ave} = e ^ {- 0,5} simeq 0,61 );

c.

54) [T] Uvažujme funkciu (f (x, y) = sin (x ^ 2) medzera cos (y ^ 2) ), kde ((x, y v R = [−1,1] krát [−1,1] ).

  1. Použite pravidlo stredného bodu s (m = n = 2,4, ..., 10 ) na odhad dvojitého integrálu (I = iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) medzera dA ). Zaokrúhlite svoje odpovede na najbližšie stotiny.
  2. Pre (m = n = 2 ) nájdite priemernú hodnotu (f ) v celom regióne R. Zaokrúhlite svoju odpoveď na najbližšie stotiny.
  3. Použite CAS na vytvorenie grafu v rovnakom súradnicovom systéme teleso, ktorého objem je daný ( iint_R sin (x ^ 2) cos (y ^ 2) medzera dA ) a rovinou (z = f_ {ave } ).

Na cvičeniach 55 - 56 sú uvedené funkcie (f_n ), kde (n geq 1 ) je prirodzené číslo.

  1. Nájdite objem pevných látok (S_n ) pod povrchmi (z = f_n (x, y) ) a nad oblasťou (R ).
  2. Určte hranicu objemov pevných látok (S_n ), keď (n ) rastie bez obmedzenia.

55) (f (x, y) = x ^ n + y ^ n + xy, medzera (x, y) v R = [0,1] krát [0,1] )

Odpoveď:
a. ( frac {2} {n + 1} + frac {1} {4} )
b. ( frac {1} {4} )

56) (f (x, y) = frac {1} {x ^ n} + frac {1} {y ^ n}, medzera (x, y) v R = [1,2] krát [1,2] )

57) Ukážte, že priemerná hodnota funkcie (f ) v obdĺžnikovej oblasti (R = [a, b] krát [c, d] ) je (f_ {ave} cca frac {1 } {mn} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ), kde ((x_ {ij} ^ * , y_ {ij} ^ *) ) sú vzorové body oddielu (R ), kde (1 leq i leq m ) a (1 leq j leq n ).

58) Pomocou pravidla stredného bodu s (m = n ) ukážte, že priemerná hodnota funkcie (f ) v obdĺžnikovej oblasti (R = [a, b] krát [c, d] ) je aproximovaný

[f_ {ave} cca frac {1} {n ^ 2} sum_ {i, j = 1} ^ nf left ( frac {1} {2} (x_ {i = 1} + x_i) , medzera frac {1} {2} (y_ {j = 1} + y_j) vpravo). ]

59) Izotermická mapa je mapa spájajúca body majúce rovnakú teplotu v danom čase po dané časové obdobie. Použite predchádzajúce cvičenie a pomocou pravidla stredného bodu s (m = n = 2 ) vyhľadajte priemernú teplotu v oblasti uvedenej na nasledujúcom obrázku.

Odpoveď:
(56,5 ^ { circ} ) F; tu (f (x_1 ^ *, y_1 ^ *) = 71, medzera f (x_2 ^ *, y_1 ^ *) = 72, medzera f (x_2 ^ *, y_1 ^ *) = 40, medzera f ( x_2 ^ *, y_2 ^ *) = 43 ), kde (x_i ^ * ) a (y_j ^ * ) sú stredné body podinterválov oddielov ([a, b] ) a ([c, d] ).

Sada problémov 7

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)

O spoločnosti MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare je online publikácia materiálov z viac ako 2 500 kurzov MIT, ktorá umožňuje slobodné zdieľanie vedomostí so študentmi a pedagógmi z celého sveta. Viac informácií a raquo

& copy 2001 & ndash2018
Massachusettský Inštitút Technológie

Vaše použitie stránok a materiálov MIT OpenCourseWare podlieha našej licencii Creative Commons a ďalším podmienkam použitia.


14.2aE: Dvojité integrály, 1. časť (Cvičenia) - Matematika

14. Použite dvojitý integrál na určenie objemu oblasti ohraničenej (z = 6 - 5) a roviny (y = 2x ), (y = 2 ), (x = 0 ) a rovina (xy ).

Zobraziť všetky kroky Skryť všetky kroky

Poďme si najskôr predstaviť náčrt telesa, s ktorým pracujeme. Ak nie ste dobrí vo vizualizácii týchto druhov pevných látok vo svojej hlave, tieto grafy môžu byť neoceniteľné pri pomoci pri príprave integrálneho nastavenia.

Povrch je načrtnutý tradičnou súpravou osí a súpravou osí „krabicový rám“. Niekedy je ľahšie vidieť, čo sa deje s povrchom, keď sú prítomné obidve skice.

Horná plocha (oranžová plocha) je grafom (z = 6 - 5)). Modrá rovina je grafom (y = 2 ), ktorý nie je ničím iným ako rovinou rovnobežnou s (xz ) - rovinou v (y = 2 ). Červená rovina je grafom (y = 2x ) a toto je jednoducho rovina, ktorá je kolmá na rovinu (xy ) - a prechádza priamkou (y = 2x ) v (xy ) -rovina. Povrch daný (x = 0 ) je jednoducho (yz ) - rovina (t.j. zadná strana telesa) a nie je zobrazená a rovina (xy ) - je dno plochy a opäť nie je znázornená na náčrte.

V tejto časti je jedinou metódou určovania objemu tuhej látky nájdenie objemu pod povrchom. V tomto prípade je dúfajme jasné, že hľadáme povrch pod (z = 6 - 5) a je nad oblasťou (D ) v (xy ) - rovine definovanej tým, kde ju pretínajú ďalšie tri roviny. Inými slovami, oblasť (D ) je regoin v rovine (xy ), ktorá je ohraničená (y = 2 ), (y = 2x ) a (x = 0 ) .

Integrál pre objem je potom,

kde (D ) je načrtnutý nižšie.

Tento integrál je možné integrovať v ľubovoľnom poradí, takže sa najskôr integrujme s ohľadom na (y ), aby sme sa vyhli zlomkom limitov (ktoré by sme dostali s jednou, ak by sme integrovali najskôr s (x )). Tu sú limity pre náš integrál.

[začať0 le x le 1 2x le y le 2 end]

Integrál pre objem je potom,

Teraz musíme len zhodnotiť integrál. Tu je (y ) integrácia.

Všimnite si, že pri integrácii (y ) sme uznali, že celý integrand neobsahoval žiadne (y ) a tak by mohol byť považovaný za konštantu a tak by bol iba vynásobený (y ). Každý termín sme mohli urobiť aj individuálne, ale niekedy je rovnako ľahké alebo ešte jednoduchšie urobiť to, čo sme tu dosiahli. Potom sme samozrejme museli pre ďalší krok vynásobiť celé číslo, ale nebolo to zlé.


14.2aE: Dvojité integrály, 1. časť (Cvičenia) - Matematika

13. Použite dvojitý integrál na určenie objemu oblasti, ktorá sa nachádza medzi rovinou (xy ) a (f doľava ( right) = 2 + cos left (<> right) ) a je nad trojuholníkom s vrcholmi ( left (<0,0> right) ), ( left (<6,0> right) ) a ( left ( <6,2> vpravo) ).

Zobraziť všetky kroky Skryť všetky kroky

Najprv si urobme náčrt funkcie a trojuholníka, ktorý leží pod ňou.

Povrch je načrtnutý tradičnou súpravou osí a súpravou osí „krabicový rám“. Niekedy je ľahšie vidieť, čo sa deje s povrchom, keď sú prítomné obidve skice.

Zelenkastý trojuholník pod povrchom je trojuholník, na ktorý sa odkazuje vo vyhlásení o úlohe.

Teraz je objem, ktorý sledujeme, daný nasledujúcim integrálom,

kde (D ) je trojuholník, na ktorý sa odkazuje vo výroku o úlohe.

Aby sme teda mohli vyhodnotiť integrál, budeme potrebovať náčrt (D ), aby sme mohli určiť poradie integrácie, ako aj limity pre integrály.

Región (D ) možno ľahko opísať pre obidva poradie integrácie. Malo by však byť zrejmé, že integrál nemožno integrovať najskôr s ohľadom na (x ), a preto najskôr budeme musieť integrovať s ohľadom na (y ).

Tu sú limity pre integrál s touto objednávkou.

[začať 0 le x le 6 0 le y le displaystyle frac <1> <3> x koniec]

Integrál pre objem je potom,

Teraz musíme len zhodnotiť integrál. Tu je (y ) integrácia.

Nakoniec integrácia (x ) a teda objem je

[V = vľavo. < doľava ( <3> + frac <1> <6> sin doľava (<> right) ,> right)> right | _0 ^ 6 = require bbox [2 body, ohraničenie: 1 px čierna čierna] << 12 + frac <1> <6> sin left (<36> right) = 11,8347 >> ]

Ak prevádzate prevod na desatinné miesta, nezabudnite mať kalkulačku nastavenú na radiány.


Aké pravidlá musím dodržiavať?

Je potrebné mať na pamäti pravidlá. Najprv funkcia. f (x). počas príslušného intervalu musia byť nepretržité. To znamená, že medzi. a. a. b. graf funkcie nemôže mať žiadne zlomy (ak neexistuje), diery (kde neexistuje v jednom bode) alebo skoky (kde funkcia existuje v dvoch samostatných. y. -hodnoty pre jeden. x. -hodnota). Po druhé, interval musí byť uzavretý, čo znamená, že obidva limity musia byť konštantné (iba skutočné čísla, nie je povolené nekonečno).

Pokiaľ ide o riešenie problému pomocou 1. časti základnej vety, môžeme pomocou nižšie uvedenej tabuľky zistiť, ako na to.


Matematika H53: Uctieva si počet premenných

Úradné hodiny inštruktora: Bežné úradné hodiny: 4: 30-5: 30 v utorok a 2-3: 30 vo štvrtok. Skontrolujte zväčšenie v "Sylabuse". Vždy mi neváhajte poslať otázky alebo požiadať o náhradné úradné hodiny.

Záverečná skúška: Skontrolujte harmonogram záverečných skúšok UC Berkeley

Predpoklady: Matematika 1B alebo ekvivalent.

Text: Primárne texty pre tento kurz sú Vektorový počet Michael Corral ([Co]) a Poznámky k počtu premenných autori Kain a Herodes ([CH]). Študenti by mali mať možnosť konzultovať ďalšie knihy s ďalšími cvičeniami a / alebo alternatívnou prezentáciou materiálu. Wikipedia má tiež k dispozícii veľa skvelých článkov o týchto témach. Od študentov sa očakáva, že si prečítajú príslušné časti poznámok, pretože prednášky sú určené na doplnenie poznámok, nie na ich nahradenie, a máme k dispozícii množstvo materiálu, ktorý treba pokryť.

Triedenie: Tvoja domáca úloha (hw) bude priemerom všetkých domácich úloh, s najnižšou úrovňou. Vaše hodnotenie (skúšky) sa bude počítať na základe maxima z nasledujúcich troch schém: (0,2) MT1 + (0,2) MT2 + (0,4) F (0,2) MT1 + (0,6) F (0,2) MT2 + (0,6) F. Nakoniec sa vaša celková známka vypočíta ako maximum z: (0,2) hw + (0,8) skúšok, (0,3) hw + (0,7) skúšok.

Webová stránka: Zatiaľ je jediným webovým serverom táto stránka, http://math.berkeley.edu/

dcorwin / mathh53s21.html. Budem používať kurzy pre riešenia a ďalšie neverejné informácie, ako sú výňatky z kníh, skúšky a moje telefónne číslo.

  • Domáce úlohy budú prideľované pravidelne (pozrite si študijný program) a sú splatné o 23:00 na Gradescope. Za rozumných okolností udeľujem predĺženia, ale musíte so mnou hovoriť čo najskôr. Čím dlhšie čakáte, tým menej flexibilný budem.
  • Možno budete spolupracovať na riešení problémov s domácimi úlohami, ale aby ste získali kredit, musíte svoje riešenie napísať vlastnými slovami. Nekopírujte najmä odpovede z internetu alebo manuálov k riešeniam. Pretože hlavným účelom domácej úlohy je pripraviť vás na skúšky, odporúčam vám, aby ste každý problém pred pohovorom s ostatnými poctivo postreli sami (povedzme minimálne tridsať minút). Ďalším užitočným postupom je, ak ste uviazli na probléme, príďte do úradných hodín a požiadajte o radu. Čím viac na to prídete sami, tým lepšie pochopíte materiál, a tým lepšie budete na skúškach aj vo svojich budúcich snahách, ktoré si môžu vyžadovať abstraktnú algebru.
  • Ak nie je uvedené inak, môžete uviesť akékoľvek výsledky z poznámok.
  • Uplatňujú sa obvyklé očakávania a postupy pre akademickú integritu v UC Berkeley. Podvádzanie na skúške bude mať za následok neúspech v známke a bude hlásené univerzitnému úradu pre vedenie študentov. Prosím, nedávajte ma cez to.
  • Ak potrebujete akékoľvek ubytovanie spojené s programom DSP (Disabled Student Programme), dajte mi vedieť skôr ako neskôr. Som viac než šťastný, že sa môžem dohodnúť, ale naozaj pomôže, ak mi to poviete skôr ako neskôr.
  • Podľa pokynov univerzity ste zodpovední za to, aby ste inštruktora písomne ​​informovali do konca druhého týždňa výučby (31. januára) o akýchkoľvek konfliktoch týkajúcich sa harmonogramu z dôvodu dodržiavania náboženstva alebo mimoškolských aktivít a aby ste navrhli riešenie týchto konfliktov.

Ďalšie zdroje (budú v prípade potreby k dispozícii na kurzoch B):

  • Calculus: Early Transcendentals autor James Stewart, označený [S]
  • Počet zubných kameňov II autor: Tom Apostol, označené [A]
  • div grad curl a to všetko autor: H. M. Schey, označený [dgcaat]
  • Line Integrals a Greenova veta autor Jeremy Orloff, označený [O]

Prehľad kurzu: Nižšie je uvedený hrubý rozvrh kurzu. V závislosti od toho, ako trieda postupuje, môže dôjsť v priebehu semestra k drobným zmenám.


Praktická záverečná skúška

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)

O spoločnosti MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare je online publikácia materiálov z viac ako 2 500 kurzov MIT, ktorá umožňuje slobodné zdieľanie vedomostí so študentmi a pedagógmi z celého sveta. Viac informácií a raquo

& copy 2001 & ndash2018
Massachusettský Inštitút Technológie

Vaše použitie stránok a materiálov MIT OpenCourseWare podlieha našej licencii Creative Commons a ďalším podmienkam použitia.


Test: Dvojité a trojité integrály - 2

Hodnota dxdy je


[zmeniť poradie]

Objem objektu vyjadrený v sférických súradniciach je daný

Otázka: Hodnota integrálu je

Zvážte tieňovanú trojuholníkovú oblasť P zobrazenú na obrázku. Čo je xy dxdy?

Interceptná forma rovnice je


kde a je intercept x a b je intercept y.
Rovnica teda je
znamená x + 2y = 2
znamená x = 2 (1 - r)
Limit x je forma 0 až 2 (1 - y) a limit y je od 0 do 1.
Preto

= 1/6

Zmena poradia integrácie v dvojitom integrále vedie k, potom je hodnota q

Vzhľadom na to, I =
Rovnica priamky je x = Ay Počiatočná hodnota ue x je nula a konečná hodnota x je 8, ale chceme výsledok prvej integrácie v zmysle y, aby sme mohli výsledok integrovať vzhľadom na y, aby sme dostali konečnú výsledok. Limity sú teda od 0 do 4 rokov.
A integračný limit pre y je od 0 do 2.

Takže

Preto r = 0, s = 2, p = 0, q = 4y

dxdy nad kladný kvadrant kruhu x 2 + y 2 = 1 je dané

Poďme
Zmena na polárne súradnice, nech x = r cos & theta, y = r sin & theta


Preto
= 1/14

Objem valca x 2 + y 2 = a 2 ohraničený nižšie z = 0 a ohraničený vyššie z = h je daný

Rovnica valca je
x 2 + y 2 = a 2
Rovnica povrchového CDE je z = h
Požadovaný objem teda je


Nech x = hriech & theta
znamená dx = a cos & theta d & theta
Takže, objem V

dxdydz sa rovná


14.2aE: Dvojité integrály, 1. časť (Cvičenia) - Matematika

Popis prednášky

Toto video prednáška, súčasť série Calculus Videos: Integration prof., v súčasnosti nemá podrobný popis a názov videonahrávky. Ak ste si pozreli túto prednášku a viete, o čom je reč, najmä o ktorých sa diskutuje v matematických témach, pomôžte nám komentovaním tohto videa s vašimi navrhnutými informáciami. popis a titul. Veľká vďaka,

- Tím CosmoLearning

Register kurzov

  1. Súčetová notácia
  2. Definitívny integrál: Pochopenie definície
  3. Aproximácia určitého integrálu pomocou obdĺžnikov
  4. Pravidlo lichobežníka na priblíženie určitej integrály
  5. Simpsonovo pravidlo približovať určitú integrálnu súčasť
  6. Simpsonove hranice pravidiel a chýb
  7. Výpočet definitívneho integrálu pomocou Riemannovych súčtov (1. časť)
  8. Výpočet definitívneho integrálu pomocou Riemannovych súčtov (2. časť)
  9. Základné integračné vzorce
  10. Základné príklady neúmerných: Neurčitý integrál
  11. Ďalšie základné problémy s integráciou
  12. Základný jednoznačný integrálny príklad
  13. Neurčitý integrál: U-substitúcia
  14. Definite Integral: U-substitúcia
  15. Viac integrácie pomocou substitúcie U (časť 1)
  16. Viac integrácie pomocou substitúcie U (časť 2)
  17. Integrácia zahŕňajúca inverzné trigonometrické funkcie
  18. Integrácia po častiach: Neurčitá integrácia
  19. Integrácia po častiach: jednoznačná integrácia
  20. Neurčité / určité integrálne príklady
  21. Integrácia po častiach: Dvojnásobné použitie IBP
  22. Integrácia po častiach: Príklad „slučky“
  23. Trigonometrické integrály: časť 1 zo 6
  24. Trigonometrické integrály: časť 2 zo 6
  25. Trigonometrické integrály: časť 3 zo 6
  26. Trigonometrické integrály: časť 4 zo 6
  27. Trigonometrické integrály: časť 5 zo 6
  28. Trigonometrické integrály: časť 6 zo 6
  29. Trigonometrická substitúcia (časť 1)
  30. Trigonometrická substitúcia (časť 2)
  31. Trigonometrická substitúcia (časť 3)
  32. Trigonometrická substitúcia (časť 4)
  33. Trigonometrická substitúcia (časť 5)
  34. Čiastočné zlomky: rozklad racionálnej funkcie
  35. Parciálne frakcie: Koeficienty rozkladu parciálnej frakcie
  36. Čiastočné zlomky: problém
  37. Čiastočné zlomky: Problém s racionalizáciou náhrady
  38. Výpočet dvojitých integrálov v obdĺžnikových oblastiach
  39. Výpočet dvojitých integrálov vo všeobecných regiónoch
  40. Obrátenie poradia integrácie (1. časť)
  41. Obrátenie poradia integrácie (časť 2)
  42. Vyhľadanie oblastí v polárnych súradniciach
  43. Dvojitá integrácia pomocou polárnych súradníc (1. časť)
  44. Dvojitá integrácia pomocou polárnych súradníc (časť 2)
  45. Dvojitá integrácia pomocou polárnych súradníc (3. časť)
  46. Trojité integrály
  47. Trojité integrály v sférických súradniciach
  48. Line Integrals
  49. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu
  50. Nájdenie centroidov / centier hmotnosti (1. časť)
  51. Nájdenie centroidov / centier hmotnosti (2. časť)
  52. Nesprávne integrály: Úvod
  53. Nesprávne integrály: použitie pravidla L'Hospitals
  54. Nesprávne integrály: nekonečno v hornej a dolnej hranici
  55. Nesprávne integrály: Nekonečná diskontinuita v koncovom bode
  56. Nesprávne integrály: Nekonečná diskontinuita uprostred intervalu
  57. Objemy revolúcie: Metóda disku / podložky a rotujúce oblasti okolo vodorovnej čiary
  58. Objemy revolúcie: Metóda disku / podložky a rotujúce oblasti okolo zvislej čiary
  59. Objemy revolúcie: Metóda disku / podložky (pokračovanie)
  60. Problémy s prácou: Hľadanie diela na vyprázdnenie nádrže plnej vody

Popis kurzu


V tomto kurze inštruktor kalkulu Patrick prednáša 60 video prednášok o integrálnom kalkulu. Niektoré zo zahrnutých tém sú: neurčité integrály, určité integrály, trigonometrické integrály, trigonometrická substitúcia, čiastočné zlomky, dvojité integrály, trojité integrály, polárne súradnice, sférické súradnice, líniové integrály, centroidy / centrá hmoty, nevhodné integrály, objemy revolúcie, Práca a mnoho ďalších.


14.2aE: Dvojité integrály, 1. časť (Cvičenia) - Matematika

V tejto časti budeme skúmať vzťah medzi určitými druhmi lineárnych integrálov (na uzavretých cestách) a dvojitých integrálov.

Začnime jednoduchou (pripomeňme, že to znamená, že sa nepretína) uzavretou krivkou (C ) a nech (D ) predstavuje oblasť ohraničenú krivkou. Tu je náčrt takejto krivky a oblasti.

Najskôr si všimnite, že pretože je krivka jednoduchá a uzavretá, v oblasti (D ) nie sú žiadne otvory. Všimnite si tiež, že na krivke bol uvedený smer. Použijeme tu konvenciu, že krivka (C ) má a pozitívna orientácia ak je vysledovaná proti smeru hodinových ručičiek. Ďalším spôsobom, ako premýšľať o pozitívnej orientácii (ktorá pokryje aj omnoho všeobecnejšie krivky, pozri ďalej), je to, že keď prechádzame cestou nasledujúcou po pozitívnej orientácii, musí byť oblasť (D ) vždy vľavo.

Vzhľadom na také krivky / oblasti, aké máme, máme nasledujúcu vetu.

Green’s Theorem

Nech (C ) je kladne orientovaná, po kúskoch hladká, jednoduchá, uzavretá krivka a nech (D ) je oblasť ohraničená krivkou. Ak (P ) a (Q ) majú spojité parciálne derivácie prvého rádu na (D ), potom

Pred vykonaním niekoľkých príkladov je potrebné vziať do úvahy alternatívne notácie, ktoré musíme uznať. Pri práci s lineárnym integrálom, v ktorom cesta vyhovuje podmienkam Greenovej vety, budeme lineárny integrál označovať ako,

Oba tieto zápisy predpokladajú, že (C ) vyhovuje podmienkam Greenovej vety, takže pri ich používaní buďte opatrní.

Tiež sa niekedy krivka (C ) nepovažuje za samostatnú krivku, ale za hranicu niektorej oblasti (D ). V týchto prípadoch môžete vidieť (C ) označenú ako ( čiastočný D ).

Poďme si uviesť pár príkladov.

Najprv si pre tento prípad načrtnime (C ) a (D ), aby sme sa ubezpečili, že sú splnené podmienky Greenovej vety pre (C ), a na vyhodnotenie dvojitého integrálu budeme potrebovať náčrtok (D ) .

Krivka teda spĺňa podmienky Greenovej vety a môžeme vidieť, že nasledujúce nerovnosti definujú ohraničenú oblasť.

[0 le x le 1 hspace <0,5in> 0 le y le 2x ]

Z integrálu priamky môžeme identifikovať (P ) a (Q ). Tu sú.

Takže pomocou Greenovej vety sa riadkový integrál stáva,

Ok, kruh uspokojí podmienky Greenovej vety, pretože je uzavretý a jednoduchý, a preto naozaj nie je dôvod ho načrtnúť.

Najskôr identifikujeme (P ) a (Q ) z integrálu priamky.

Pri znamienku mínus (Q ) buďte opatrní!

Teraz, keď použijeme Greenovu vetu o integrálnom riadku,

kde (D ) je disk s polomerom 2 vystredený na počiatku.

Pretože (D ) je disk, zdá sa, že najlepším spôsobom ako urobiť tento integrál je použiť polárne súradnice. Tu je hodnotenie integrálu.

Greenova veta teda nebude fungovať v regiónoch, ktoré majú v sebe diery. Mnoho regiónov však má v sebe diery. Pozrime sa teda, ako sa môžeme vysporiadať s týmito druhmi regiónov.

Začnime nasledujúcim regiónom. Aj keď tento región nemá žiadne diery, argumenty, ktoré prejdeme, budú podobné tým, ktoré by sme potrebovali pre regióny s dierami v nich, ibaže bude o niečo ľahšie sa s nimi vyrovnať a napíš.

Región (D ) bude ( pohár ) and recall that the symbol ( cup ) is called the union and means that (D) consists of both (> ) a (). The boundary of (>) is ( cup ) while the boundary of () is ( cup left( < - > ight)) and notice that both of these boundaries are positively oriented. As we traverse each boundary the corresponding region is always on the left. Finally, also note that we can think of the whole boundary, (C), as,

[C = left( <cup > ight) cup left( <cup left( < - > ight)> ight) = cup ]

since both () and ( - ) will “cancel” each other out.

Now, let’s start with the following double integral and use a basic property of double integrals to break it up.

Next, use Green’s theorem on each of these and again use the fact that we can break up line integrals into separate line integrals for each portion of the boundary.

Next, we’ll use the fact that,

Recall that changing the orientation of a curve with line integrals with respect to (x) and/or (y) will simply change the sign on the integral. Using this fact we get,

Finally, put the line integrals back together and we get,

So, what did we learn from this? If you think about it this was just a lot of work and all we got out of it was the result from Green’s Theorem which we already knew to be true. What this exercise has shown us is that if we break a region up as we did above then the portion of the line integral on the pieces of the curve that are in the middle of the region (each of which are in the opposite direction) will cancel out. This idea will help us in dealing with regions that have holes in them.

To see this let’s look at a ring.

Notice that both of the curves are oriented positively since the region (D) is on the left side as we traverse the curve in the indicated direction. Note as well that the curve () seems to violate the original definition of positive orientation. We originally said that a curve had a positive orientation if it was traversed in a counter-clockwise direction. However, this was only for regions that do not have holes. For the boundary of the hole this definition won’t work and we need to resort to the second definition that we gave above.

Now, since this region has a hole in it we will apparently not be able to use Green’s Theorem on any line integral with the curve (C = cup ). However, if we cut the disk in half and rename all the various portions of the curves we get the following sketch.

The boundary of the upper portion ((>))of the disk is ( cup cup cup ) and the boundary on the lower portion (())of the disk is ( cup cup left( < - > ight) cup left( < - > ight)). Also notice that we can use Green’s Theorem on each of these new regions since they don’t have any holes in them. This means that we can do the following,

Now, we can break up the line integrals into line integrals on each piece of the boundary. Also recall from the work above that boundaries that have the same curve, but opposite direction will cancel. Doing this gives,

But at this point we can add the line integrals back up as follows,

The end result of all of this is that we could have just used Green’s Theorem on the disk from the start even though there is a hole in it. This will be true in general for regions that have holes in them.

Let’s take a look at an example.

Notice that this is the same line integral as we looked at in the second example and only the curve has changed. In this case the region (D) will now be the region between these two circles and that will only change the limits in the double integral so we’ll not put in some of the details here.

Here is the work for this integral.

We will close out this section with an interesting application of Green’s Theorem. Recall that we can determine the area of a region (D) with the following double integral.

Let’s think of this double integral as the result of using Green’s Theorem. In other words, let’s assume that

and see if we can get some functions (P) and (Q) that will satisfy this.

There are many functions that will satisfy this. Here are some of the more common functions.

Then, if we use Green’s Theorem in reverse we see that the area of the region (D) can also be computed by evaluating any of the following line integrals.

where (C) is the boundary of the region (D).

Let’s take a quick look at an example of this.

We can use either of the integrals above, but the third one is probably the easiest. Takže

where (C) is the circle of radius (a). So, to do this we’ll need a parameterization of (C). This is,

[x = acos thspace<0.25in>y = asin thspace<0.25in>0 le t le 2pi ]