Články

3.3: Sadzby - matematika


3.3: Sadzby - matematika

3.3: Sadzby - matematika

V tejto časti sa pozrieme na aplikáciu implicitnej diferenciácie. Väčšina aplikácií derivátov je uvedená v nasledujúcej kapitole. Existuje však niekoľko dôvodov, prečo ju umiestniť do tejto kapitoly, na rozdiel od vloženia do nasledujúcej kapitoly s ostatnými aplikáciami. Prvým dôvodom je, že ide o aplikáciu implicitnej diferenciácie, a teda jej správne umiestnenie po tejto časti znamená, že nezabudneme, ako implicitnú diferenciáciu robiť. Ďalším dôvodom je jednoducho to, že po vykonaní všetkých týchto derivácií je potrebné pripomenúť, že skutočne existujú skutočné aplikácie na deriváty. Niekedy je ľahké zabudnúť, že skutočne existuje dôvod, prečo trávime všetok čas derivátmi.

Pri týchto problémoch s súvisiacimi sadzbami je zvyčajne najlepšie jednoducho skočiť na problémy a zistiť, ako fungujú.

Prvá vec, ktorú tu budeme musieť urobiť, je zistiť, aké informácie, ktoré sme dostali, a ktoré chceme nájsť. Skôr ako to urobíme, všimnime si, že objem balónu aj polomer balóna sa budú meniť v čase, a teda aj skutočné funkcie času, t.j. (V ľavé (t pravé) ) a (r ľavé (t pravé) ).

Vieme, že vzduch sa do balóna pumpuje rýchlosťou 5 cm 3 / min. Toto je rýchlosť, keď sa zvyšuje hlasitosť. Pripomeňme, že miera zmeny nie je nič iné ako deriváty, a preto vieme,

Chceme určiť rýchlosť, akou sa mení polomer. Sadzby sú opäť deriváty, a tak to vyzerá, že chceme zistiť,

Upozorňujeme, že sme potrebovali previesť priemer na polomer.

Teraz, keď sme identifikovali, čo sme dostali a čo chceme zistiť, musíme tieto dve veličiny navzájom prepojiť. V tomto prípade môžeme vzťahovať objem a polomer k vzorcu pre objem gule.

Rovnako ako v predchádzajúcej časti, keď sme sa pozreli na implicitnú diferenciáciu, zvyčajne nebudeme vo vzorcoch používať časť vecí ( left (t right) ), ale keďže je to prvýkrát, urobíme to jedným z nich aby sme si pripomenuli, že sú to skutočne funkcie (t ).

Teraz vlastne nechceme vzťah medzi objemom a polomerom. Čo skutočne chceme, je vzťah medzi ich derivátmi. Môžeme to urobiť diferenciáciou oboch strán vzhľadom na (t ). Inými slovami, budeme musieť urobiť implicitnú diferenciáciu vyššie uvedeného vzorca. Toto dáva,

Upozorňujeme, že v tomto okamihu sme pokračovali a od každého z výrazov vypustili znak ( left (t right) ). Teraz už stačí iba zapojiť to, čo vieme, a vyriešiť to, čo chceme nájsť.

Jednotky derivácie môžeme získať pripomenutím, že

Jednotkami derivácie budú jednotky čitateľa (cm v predchádzajúcom príklade) vydelené jednotkami menovateľa (min. V predchádzajúcom príklade).

Poďme si uviesť niekoľko ďalších príkladov.

Prvá vec, ktorú treba urobiť v tomto prípade, je načrtnúť obrázok, ktorý nám ukáže, o čo ide.

Definovali sme vzdialenosť spodnej časti rebríka od steny, ktorá má byť (x ), a vzdialenosť hornej časti rebríka od podlahy, ktorá má byť (y ). Všimnite si tiež, že sa tieto menia s časom, a preto by sme mali skutočne písať (x doľava (t doprava) ) a (y doľava (t doprava) ). Ako to však často býva s problémami súvisiacimi s mierami / implicitnými diferenciáciami, nepíšeme časť ( left (t right) ), len si to pri postupe k problému snažíme zapamätať v našich hlavách.

Ďalej musíme identifikovať, čo vieme a čo chceme nájsť. Vieme, že rýchlosť, akou sa spodná časť rebríka pohybuje smerom k stene. Toto je,

Upozorňujeme tiež, že sadzba je záporná, pretože vzdialenosť od steny (x ) sa zmenšuje. Pri známkach s týmito problémami musíme byť vždy opatrní.

Chceme zistiť rýchlosť, akou sa horná časť rebríka vzďaľuje od podlahy. Toto je (y '). Upozorňujeme tiež, že toto množstvo by malo byť kladné, pretože (y ) sa bude zvyšovať.

Rovnako ako v prvom príklade, najskôr potrebujeme vzťah medzi (x ) a (y ). To môžeme získať pomocou Pytagorovej vety.

Všetko, čo v tejto chvíli musíme urobiť, je odlíšiť obe strany od (t ), pričom treba pamätať na to, že (x ) a (y ) sú skutočne funkciami (t ), a preto treba urobiť implicitnú diferenciáciu. Týmto krokom sa získa rovnica, ktorá ukazuje vzťah medzi derivátmi.

Ďalej sa pozrime, ktoré z rôznych častí tejto rovnice, ktoré poznáme, a čo musíme nájsť. Poznáme (x ') a žiada sa od nás, aby sme určili (y' ), takže je v poriadku, že to nevieme. Stále však musíme určiť (x ) a (y ).

Určenie (x ) a (y ) je v skutočnosti dosť jednoduché. Vieme, že spočiatku (x = 10 ) a koniec sa tlačí smerom k stene rýchlosťou (< textstyle <1 cez 4 >> ) ft / s a ​​že nás zaujíma, čo má sa stalo po 12 sekundách. My to vieme,

Takže koniec rebríka bol posunutý o 3 stopy a tak po 12 sekundách musíme mať (x = 7 ). Toto by sme mohli vypočítať v jednom kroku takto,

Ak chcete nájsť (y ) (po 12 sekundách), všetko, čo musíme urobiť, je znova použiť Pytagorovu vetu s hodnotami (x ), ktoré sme práve našli vyššie.

Všetko, čo musíme urobiť, je pripojiť sa k ( eqref) a riešte pre (y ').

Všimnite si, že máme správne znamienko pre (y '). Keby sme dostali negatívnu hodnotu, vedeli by sme, že sme urobili chybu, a mohli by sme sa vrátiť a hľadať ju.

Predtým, ako sa pustíme do ďalšieho príkladu, je potrebné uviesť poznámku o nastavení predchádzajúceho problému. Keď sme označili náš náčrt, uznali sme, že prepona je konštantná, a tak sme ju nazvali 15 stôp. Bežnou chybou, ktorú tu študenti niekedy urobia, je označiť preponu ako písmeno, napríklad (z ), v tomto prípade .

Nie je naozaj chybou označiť listom, ale často to povedie k problémom na ceste. Keby sme označili preponu (z ), potom by bola Pytagorova veta a jej derivát,

Na tom nie je nič zlé, vyžaduje si to, aby sme potvrdili hodnoty ďalších dvoch veličín (z ) a (z '). Pretože (z ) je iba prepona, ktorá je jednoznačne (z = 15 ). Problém, s ktorým sa potom niekedy stretnú niektorí študenti, je stanovenie hodnoty (z '). V tomto prípade si musíme uvedomiť, že pretože rebrík, a teda aj prepona, majú pevnú dĺžku, jej dĺžka sa nemôže meniť, a tak (z '= 0 ).

Zapojenie oboch týchto hodnôt do derivácie nám dá rovnakú rovnicu, ktorú sme dostali v príklade, ale bolo treba vynaložiť trochu viac úsilia. Bolo by jednoduchšie označiť preponu 15 na začiatok a nemuseli by ste si robiť starosti s pamätaním (z '= 0 ).

Pri označovaní stáleho množstva (v tomto príklade dĺžky rebríka) písmenom je niekedy ľahké zabudnúť, že ide o stále množstvo, a preto musí byť jeho derivácia nulová. Ak si to nepamätáte, problém bude nemožné dokončiť, pretože budete mať dve neznáme množstvá, s ktorými sa musíte vyrovnať. V každom probléme, kde je množstvo pevne dané a nikdy sa v priebehu problému nezmení, je vždy najlepšie len to uznať a označiť ho skôr jeho hodnotou ako písmenom.

Samozrejme, ak by sme mali posuvný rebrík, ktorý sa mohol meniť, museli by sme ho označiť písmenom. Pre tento druh problému by sme však tiež potrebovali ďalšie informácie vo vyhlásení o probléme, aby sme problém skutočne mohli vykonať. Problémy s cvičením v tejto časti majú niekoľko problémov, pri ktorých sa menia všetky tri strany pravého trojuholníka. Mali by ste sa na ne pozrieť a zistiť, či ich dokážete spracovať.

Tento príklad nie je taký zložitý, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Zavolajme vzdialenosť medzi nimi kedykoľvek ( x), ako je uvedené vyššie. Všetky známe veličiny potom môžeme dať do súvislosti s jedným z dvoch triglových vzorcov.

Chceme nájsť (x ') a mohli by sme nájsť (x ), ak by sme chceli v danom bode pomocou kosínu, pretože v danom okamihu tiež poznáme uhol. Ak však použijeme druhý vzorec, nebudeme musieť vedieť (x ), ako uvidíte. Poďme teda tento vzorec odlíšiť.

[ sec theta tan theta , , theta '= frac <><<50>>]

Ako bolo uvedené, v tomto vzorci nie sú žiadne (x ). Chceme určiť (x ') a vieme, že ( theta = 0,5 ) a ( theta' = 0,01 ) (súhlasíte s tým, aby to bolo kladné?). Takže stačí pripojiť a vyriešiť.

[ left (<50> right) left (<0,01> right) sec left (<0,5> right) tan left (<0,5> right) = x ' hspace <0,25in > Rightarrow hspace <0,25in> hspace <0,25in> x '= 0,311254 , , < rm> / min ]

Doteraz sme videli tri súvisiace problémy s mierami. Zatiaľ čo každý z nich pracoval veľmi odlišným spôsobom, proces bol v podstate rovnaký. Pri každom probléme sme identifikovali, čo sme dostali a čo sme chceli nájsť. Ďalej sme napísali vzťah medzi všetkými rôznymi veličinami a pomocou implicitnej diferenciácie sme dospeli k vzťahu medzi rôznymi derivátmi v probléme. Nakoniec sme známe rovnice zapojili do rovnice, aby sme našli hodnotu, po ktorej sme išli.

Vo všeobecnom zmysle teda každý problém fungoval takmer rovnako. Jediným skutočným rozdielom medzi nimi bolo vymýšľanie vzťahu medzi známou a neznámou veličinou. Toto je často najťažšia časť problému. Pri mnohých problémoch je najlepším spôsobom, ako tento vzťah vymyslieť, načrtnúť diagram, ktorý zobrazuje situáciu. Často sa to javí ako hlúpy krok, ale môže to mať zásadný rozdiel v tom, či vzťah nájdeme alebo nie.

Poďme na ďalší problém, ktorý využíva rôzne nápady a ukazuje rôzne druhy vecí, ktoré sa môžu prejaviť pri problémoch so súvisiacimi sadzbami.

  1. Akou rýchlosťou sa mení hĺbka vody v nádrži, keď je hĺbka vody 6 ft?
  2. Akou rýchlosťou sa mení polomer hornej časti vody v nádrži, keď je hĺbka vody 6 ft?

Dobre, asi by sme mali začať rýchlym náčrtom (pravdepodobne nie v mierke) toho, čo sa tu deje. Urobíme tiež náčrt, akoby sme sa dívali na nádrž priamo pred ňou (a 3D nádrž nebude viditeľná), pretože to trochu pomôže pri sledovaní toho, čo sa deje. Ukazovanie 3D povahy nádrže pravdepodobne bude stáť v ceste. Tu je teda náčrt nádrže, v ktorej je trochu vody.

Ako vidíme, voda v nádrži v skutočnosti vytvára menší kužeľ / trojuholník (podľa toho, na aký obrázok sa pozeráme) s rovnakým stredovým uhlom ako samotná nádrž. Polomer „vodného“ kužeľa kedykoľvek je daný (r ) a výška „vodného“ kužeľa kedykoľvek je daná (h ). Objem vody v nádrži kedykoľvek (t ) je daný,

a dostali sme to (V '= - 2 ).

Pre túto časť musíme určiť (h ') kedy (h = 6 ) a teraz máme problém. Jediný vzorec, ktorý máme, ktorý bude vzťahovať objem k výške, zahŕňa aj polomer, takže ak by sme to mali rozlišovať vzhľadom na (t ), dostali by sme,

Takže v tejto rovnici vieme (V ') a (h ) a chceme nájsť (h' ), ale nepoznáme (r ) a (r '). Ako uvidíme, zistenie (r ) nie je príliš zlé, ale momentálne nemáme dostatok informácií, ktoré nám umožnia nájsť (r ') a (h' ) súčasne.

Aby sme to napravili, budeme musieť nejakým spôsobom vylúčiť znak (r ) z objemového vzorca. To je v skutočnosti jednoduchšie, ako by sa mohlo na prvý pohľad zdať. Ak sa vrátime k nášmu náčrtu vyššie a pozrieme sa na pravú polovicu nádrže, zistíme, že máme dva podobné trojuholníky, a keď hovoríme podobné, znamená to podobné v geometrickom zmysle. Pripomeňme, že dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly totožné, čo je prípad tohto prípadu. Keď máme dva podobné trojuholníky, potom budú pomery ľubovoľných dvoch strán rovnaké. Pre našu zostavu to znamená, že máme,

Ak to vezmeme a zapojíme do nášho objemového vzorca, ktorý máme,

Takto získame objemový vzorec, ktorý zohľadňuje iba objem a výšku vody. Upozorňujeme však, že tento objemový vzorec platí iba pre náš kužeľ, takže sa nenechajte zlákať na použitie pre iné šišky! Ak to teraz rozlíšime, máme

V tomto okamihu musíme iba pripojiť to, čo vieme, a vyriešiť pre (h ').

Zdá sa teda, že výška klesá rýchlosťou 0,1386 ft / h.

V tomto prípade požadujeme (r ') a existuje ľahký spôsob, ako túto časť urobiť, a ťažký (rovnako ťažší ako ľahký spôsob ...). „Náročným“ spôsobom je prerobiť prácu v časti (a) iba nad týmto časovým využitím,

aby ste dostali objem v (V ) a (r ) a potom postupujte ako predtým.

To nie je strašne ťažké, ale je to viac práce, ktorú musíme urobiť. Pripomeňme si z prvej časti, ktorú máme,

Takže ako vidíme, ak vezmeme vzťah, ktorý sa vzťahuje (r ) a (h ), ktorý sme použili v prvej časti, a rozlíšime ho, dostaneme vzťah medzi (r ') a (h' ). V tomto okamihu musíme len použiť výsledok z prvej časti na získanie,

Oveľa jednoduchšie, ako prerobiť celú prvú časť. Upozorňujeme však, že sme to mohli urobiť iba „ľahšou“ cestou, pretože to vyžadovalo (r ') presne v rovnakom čase, v akom sme žiadali (h' ) v prvej časti. Keby sme nepoužívali rovnaký čas, potom by nám nezostávalo nič iné, len to robiť „zložitým“ spôsobom.

V druhej časti predchádzajúceho problému sme videli dôležitú myšlienku pri riešení súvisiacich sadzieb. Na to, aby sme našli požadovanú mieru, potrebujeme iba rovnicu, ktorá spojí hľadanú mieru s rýchlosťou, ktorú už poznáme. Niekedy existuje niekoľko rovníc, ktoré môžeme použiť, a niekedy bude jedna ľahšia ako druhá.

Tento problém nám tiež ukázal, že často budeme mať rovnicu, ktorá obsahuje viac premenných, o ktorých máme informácie, a preto v týchto prípadoch budeme musieť jednu (alebo viac) premenných vylúčiť. V tomto probléme sme eliminovali extra premennú pomocou myšlienky podobných trojuholníkov. Takto to nebudeme robiť vždy, ale veľa z týchto problémov používa podobné trojuholníky, takže túto myšlienku môžete použiť.

Poďme vyriešiť ďalšie problémy.

Upozorňujeme, že rovnoramenný trojuholník je iba trojuholník, v ktorom sú dve zo strán rovnako dlhé. V našom prípade majú strany nádrže rovnakú dĺžku.

Pridajme do náčrtu zhora niektoré rozmery vody.

Teraz v tomto probléme vieme, že (V '= 6 mbox^ <3> mbox) a chceme určiť (h ') kedy (h = 1,2 , < rm> ). Všimnite si, že pretože (V ') je v metroch, musíme tiež prevádzať (h ) na metre. Potrebujeme teda rovnicu, ktorá bude dávať do súvislosti tieto dve veličiny a objem nádrže to urobí.

Objem tohto druhu nádrže je ľahko vypočítateľný. Objem je plocha konca a hĺbka. Pre náš prípad je objem vody v nádrži,

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, aj tu máme ďalšie množstvo (w ), ktoré sa tiež časom mení, a preto ho musíme z problému vylúčiť. K tomu opäť využijeme myšlienku podobných trojuholníkov. Keď sa pozrieme na koniec nádrže, uvidíme, že máme opäť dva podobné trojuholníky. Jeden pre samotnú nádrž a druhý tvorený vodou v nádrži. Nezabudnite, že pri podobných trojuholníkoch musia byť pomery strán rovnaké. V našom prípade použijeme,

Zapojením do objemu získate vzorec pre objem (a iba pre túto nádrž), ktorý zahŕňal iba výšku vody.

Teraz to môžeme rozlíšiť, aby sme dostali,

Nakoniec všetko, čo musíme urobiť, je pripojiť a vyriešiť znak (h ').

Takže výška vody stúpa rýchlosťou 0,25 m / s.

Odpoveď na druhú časť tejto otázky nie je až taká zložitá.

Budeme potrebovať (w '), aby sme odpovedali na túto časť, a máme podobnú rovnicu z podobného trojuholníka, ktorá súvisí so šírkou a výškou a môžeme ju rýchlo rozlíšiť, aby sme získali vzťah medzi (w' ) a ( h ').

Z prvej časti poznáme hodnotu (h '), takže všetko, čo musíme urobiť, je zapojiť ju do tejto rovnice a my budeme mať odpoveď.

Preto sa šírka zväčšuje rýchlosťou 0,625 m / s.

  1. Akou rýchlosťou sa špička tieňa vzďaľuje od pólu, keď je osoba vzdialená 25 stôp od pólu?
  2. Akou rýchlosťou sa špička tieňa vzďaľuje od osoby, keď je osoba vzdialená 25 stôp od pólu?

Začnime vložením všetkých relevantných veličín do náčrtu zhora.

Tu (x ) je vzdialenosť špičky tieňa od pólu, () je vzdialenosť osoby od pólu a () je dĺžka tieňa. Upozorňujeme tiež, že sme previedli výšku osôb na 5,5 stopy, pretože všetky ostatné merania sú v stopách.

Koniec tieňa je definovaný lúčmi svetla, ktoré sa práve dostanú cez osobu, a tak vidíme, že tvoria súbor podobných trojuholníkov. To bude užitočné pri ceste.

V tomto prípade chceme určiť (x ') kedy ( = 25 ) vzhľadom na to ( = 2).

Rovnica, ktorú tu budeme potrebovať, je,

ale budeme musieť vylúčiť () z rovnice za účelom získania odpovede. K tomu môžeme opäť využiť skutočnosť, že dva trojuholníky sú podobné ako get,

Z toho rýchlo vidíme, že

Potom to môžeme zapojiť do vyššie uvedenej rovnice a vyriešiť riešenie (x ) nasledovne.

Všetko, čo musíme urobiť, je rozlíšiť to, pripojiť a vyriešiť znak (x ').

Špička tieňa sa potom vzďaľuje od pólu rýchlosťou 3,6923 ft / s.Všimnite si tiež, že sme nikdy nemuseli použiť skutočnosť, že ( = 25 ) pre tento problém. Stane sa to ojedinele.

Táto časť je vlastne celkom jednoduchá, ak máme v ruke odpoveď z bodu a), čo samozrejme máme. V tomto prípade vieme, že () predstavuje dĺžku tieňa alebo vzdialenosť špičky tieňa od osoby, takže to vyzerá, že chceme určiť () kedy ( = 25).

Opäť môžeme použiť (x = + ), avšak na rozdiel od prvej časti teraz vieme, že ( = 2 ) a (x '= 3,6923 < rm > ), takže v tomto prípade všetko, čo musíme urobiť, je diferencovať rovnicu a zapojiť všetky známe veličiny.

Koniec tieňa sa potom vzďaľuje od osoby rýchlosťou 1,6923 ft / s.

Nižšie je kópia náčrtu vo vyhlásení o probléme, do ktorého sú pridané všetky príslušné množstvá. Horná časť tieňa bude definovaná lúčmi svetla, ktoré prechádzajú cez hlavu osoby, a tak opäť dostaneme ďalšiu sadu podobných trojuholníkov.

V tomto prípade chceme určiť (y '), keď je osoba 8 stôp od steny alebo (x = 12 < rm > ). Ak sa osoba pohybuje smerom k stene rýchlosťou 2,5 stopy / s, musí sa tiež vzdialiť od reflektora rýchlosťou 2,5 stopy / s, takže tiež vieme, že (x '= 2,5 ).

Vo všetkých predchádzajúcich problémoch, ktoré používali podobné trojuholníky, sme podobné trojuholníky použili na vylúčenie jednej z premenných z rovnice, s ktorou sme pracovali. V tomto prípade však môžeme získať rovnicu, ktorá sa týka (x ) a (y ) priamo z dvoch podobných trojuholníkov. V tomto prípade rovnica, s ktorou budeme pracovať, je,

Teraz už musíme iba diferencovať a zapojiť hodnoty do riešenia, aby sme dostali (y ').

Výška tieňa sa potom znižuje rýchlosťou 2,0833 ft / s.

Dobre, teraz sme už pracovali s pomerne veľa problémami, ktoré sa týkali podobných trojuholníkov v tej či onej podobe, takže sa uistite, že môžete robiť tieto druhy problémov.

Teraz je čas urobiť problém, ktorý je podobne ako niektoré z problémov, ktoré sme urobili v tomto bode, tiež dostatočne odlišný, takže môže spôsobiť problémy, kým nenájdete riešenie.

S týmto problémom je tu veľa čo tráviť. Začnime náčrtom situácie, ktorá zobrazuje polohu každého človeka niekedy potom, čo obaja ľudia začnú jazdiť.

Teraz ideme za (z ') a vieme, že (x' = 5 ) a (y '= 3 ). Chceme vedieť (z ') potom, čo Osoba A jazdila 25 minút a Osoba B jazdila (25 - 7 = 18 ) minút. Po prepočítaní týchto časov na sekundy (pretože naše rýchlosti sú všetky v m / s) to znamená, že v čase, keď nás zaujíma, každý z jazdcov na bicykli jazdil,

Ďalej nám Pytagorova veta hovorí, že

Preto sú dvaja jazdci na bicykli 25 minút potom, čo Osoba A začne jazdiť

Aby sme určili rýchlosť, akou sa dvaja jazdci vzďaľujú, všetko, čo musíme urobiť, je diferenciácia ( eqref) a zapojte všetky množstvá, ktoré vieme nájsť (z ').

Obidvaja jazdci sa teda vzďaľujú rýchlosťou 7 9958 m / s.

Každý problém, na ktorom sme sa dopracovali až do dnešného dňa, spadol do toho, že sme potrebovali geometrický vzorec, a pravdepodobne by sme mali vypracovať rýchly problém, ktorý nemá geometrickú povahu.

Predpokladajme, že (> ) rastie rýchlosťou 0,4 ( Omega ) / min a (> ) klesá rýchlosťou 0,7 ( Omega ) / min. Akou rýchlosťou sa (R ) mení, keď (> = 80 , Omega ) a (> = 105 , Omega )?

Dobre, na rozdiel od predchádzajúcich problémov tu naozaj nie je veľa práce. Najprv si všimnime, že hľadáme (R ') a že vieme (> = 0,4 ) a (> = - 0,7 ). Pri značkách tu buďte opatrní.

Pretože to budeme nakoniec potrebovať, určme (R ) v čase, keď nás zaujíma.

Ďalej musíme diferencovať rovnicu uvedenú v problémovom výroku.

Nakoniec všetko, čo musíme urobiť, je pripojiť sa k tomu a urobiť nejaké rýchle výpočty.

Zdá sa teda, že (R ) klesá rýchlosťou 0,002045 ( Omega ) / min.

V tejto časti sme videli pomerne veľa problémov so súvisiacimi sadzbami, ktoré pokrývajú širokú škálu možných problémov. Na svete stále existuje veľa ďalších druhov problémov so súvisiacimi sadzbami, ale tie, ktoré sme tu pracovali, by vám mali poskytnúť celkom dobrý nápad, ako aspoň vyriešiť väčšinu problémov, ktoré by ste pravdepodobne mali spustiť. do.


Obsah

Symbol, ktorý používajú matematici na vyjadrenie pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru, je malé grécke písmeno π, niekedy uvedené ako pí, a odvodené od prvého písmena gréckeho slova perimetros, čo znamená obvod. [11] V angličtine sa π vyslovuje ako „koláč“ (/ p aɪ / PY ). [12] Pri matematickom použití sa malé písmeno π odlišuje od jeho veľkého a zväčšeného náprotivku ∏, ktorý označuje súčin sekvencie analogicky k tomu, ako ∑ označuje súčet.

Voľbe symbolu π sa venujeme v tejto časti Prijatie symbolu π .

Definícia

π je bežne definované ako pomer obvodu kruhu C. na jeho priemer d : [13] [3]

Pomer C./d je konštantná bez ohľadu na veľkosť kruhu. Napríklad ak má kruh dvojnásobok priemeru iného kruhu, bude mať tiež dvojnásobný obvod, čím sa zachová pomer C./d . Táto definícia π implicitne využíva plochú (euklidovskú) geometriu, hoci pojem kružnice je možné rozšíriť na ľubovoľnú krivkovú (neeuklidovskú) geometriu, tieto nové kruhy už nebudú vyhovovať vzorcu π = C./d . [13]

Tu je obvodom kruhu dĺžka oblúka po obvode kruhu, veličina, ktorú je možné formálne definovať nezávisle od geometrie pomocou obmedzení - pojem v kalkulu. [14] Napríklad je možné priamo vypočítať dĺžku oblúka hornej polovice jednotkovej kružnice, ktorá je uvedená v karteziánskych súradniciach pomocou rovnice. X 2 + r 2 = 1, ako integrál: [15]

Takýto integrál prijal ako definíciu π Karl Weierstrass, ktorý ho definoval priamo ako integrál v roku 1841. [a]

Integrácia sa už v prvej analytickej definícii bežne nepoužíva, pretože, ako vysvetľuje Remmert 2012, diferenciálny počet zvyčajne predchádza integrálnemu počtu v univerzitných osnovách, takže je žiaduce mať definíciu π, ktorá sa nespolieha na druhú. Jedna z týchto definícií je vďaka Richardovi Baltzerovi [16] a popularizovaná Edmundom Landauom [17] nasledovná: π je dvakrát najmenšie kladné číslo, pri ktorom sa kosínusová funkcia rovná 0. [13] [15] [18] Kosínus možno definovať nezávisle od geometrie ako výkonový rad, [19] alebo ako riešenie diferenciálnej rovnice. [18]

V podobnom duchu možno π definovať pomocou vlastností komplexného exponenciálu exp z komplexnej premennej z . Rovnako ako kosínus je možné komplexný exponenciál definovať jedným z niekoľkých spôsobov. Množina komplexných čísel, pri ktorých exp z sa rovná jednej, potom je (imaginárny) aritmetický postup formy:

a s touto vlastnosťou existuje jedinečné kladné reálne číslo π. [15] [20]

Abstraktnejšou variáciou na tú istú myšlienku, ktorá využíva sofistikované matematické koncepty topológie a algebry, je nasledujúca veta: [21] existuje jedinečný (až automorfizmus) kontinuálny izomorfizmus zo skupiny R/Z reálnych čísel pod sčítaním celých čísel modulo (kruhová skupina), na multiplikatívnu skupinu komplexných čísel absolútnej hodnoty jedna. Počet π je potom definovaný ako polovica veľkosti derivácie tohto homomorfizmu. [22]

Iracionalita a normálnosť

Číslice π nemajú zjavný vzorec a prešli testami štatistickej náhodnosti, vrátane testov normality sa počet nekonečných dĺžok nazýva normálny, keď sa všetky možné sekvencie číslic (ľubovoľnej danej dĺžky) objavujú rovnako často. [25] Predpoklad, že π je normálny, nebol dokázaný ani vyvrátený. [25]

Od nástupu počítačov je k dispozícii veľké množstvo číslic π, na ktorých je možné vykonávať štatistické analýzy. Spoločnosť Yasumasa Kanada vykonala podrobné štatistické analýzy desatinných číslic π a zistila, že sú v súlade s normálnosťou. Napríklad frekvencie desiatich číslic 0 až 9 boli podrobené testom štatistickej významnosti a nebol nájdený žiadny dôkaz vzoru. [26] Akákoľvek náhodná postupnosť číslic obsahuje ľubovoľne dlhé subsekvencie, ktoré sa podľa nekonečnej vety o opiciach javia ako nenáhodné. Pretože sekvencia číslic π prechádza štatistickými testmi náhodnosti, obsahuje niektoré sekvencie číslic, ktoré sa môžu javiť ako nenáhodné, napríklad postupnosť šiestich po sebe nasledujúcich 9 s, ktorá začína na 762. desatinnom mieste desatinného miesta π. . [27] Hovorí sa mu tiež „Feynmanov bod“ v matematickom folklóre po Richardovi Feynmanovi, hoci nie je známa žiadna súvislosť s Feynmanom.

Transcendencia

Transcendencia π má dva dôležité dôsledky: Po prvé, π nemožno vyjadriť pomocou akejkoľvek konečnej kombinácie racionálnych čísel a druhej odmocniny alebo n-té korene (napríklad 3 √ 31 alebo √ 10). Po druhé, keďže pomocou buzoly a priamky nie je možné zostrojiť žiadne transcendentné číslo, nie je možné „štvorčekovať kruh“. Inými slovami, pomocou kompasu a priamky nie je možné zostrojiť štvorec, ktorého plocha je presne rovnaká ako plocha daného kruhu. [29] Kvadratúra kruhu bola jedným z dôležitých geometrických problémov klasického staroveku. [30] Amatérski matematici v modernej dobe sa niekedy pokúšali uzavrieť kruh a vyhlásiť úspech - napriek tomu, že je to matematicky nemožné. [31]

Pokračujúce zlomky

Rovnako ako všetky iracionálne čísla, ani π nemožno reprezentovať ako bežný zlomok (tiež známy ako jednoduchý alebo vulgárny zlomok), a to samotnou definíciou iracionálneho čísla (t. J. Nie racionálnym číslom). Ale každé iracionálne číslo, vrátane π, možno reprezentovať nekonečnou sériou vnorených zlomkov, ktoré sa nazývajú spojitý zlomok:

Skrátením pokračujúcej frakcie v ktoromkoľvek bode sa získa racionálna aproximácia pre π, prvé štyri z nich sú 3, 22/7, 333/106 a 355/113. Tieto čísla patria medzi najznámejšie a najpoužívanejšie historické aproximácie konštanty. Každá aproximácia generovaná týmto spôsobom je najlepšou racionálnou aproximáciou, to znamená, že každá z nich je bližšie k π ako ktorákoľvek iná frakcia s rovnakým alebo menším menovateľom. [32] Pretože je známe, že π je transcendentálne, nie je podľa definície algebraické, a preto nemôže byť kvadratickým iracionálnym. Preto π nemôže mať periodický pokračujúci zlomok. Aj keď jednoduchá spojitá frakcia pre π (zobrazená vyššie) tiež nevykazuje žiadny iný zrejmý vzorec, [33] matematici objavili niekoľko zovšeobecnených spojitých zlomkov, ktoré ju majú, ako napríklad: [34]

Približná hodnota a číslice

  • Celé čísla: 3
  • Zlomky: Približné zlomky zahŕňajú (v poradí podľa zvýšenia presnosti)
  • 22 / 7 ,
  • 333 / 106 ,
  • 355 / 113 ,
  • 52163 / 16604 ,
  • 103993 / 33102 ,
  • 104348/33215 a
  • 245850922/78256779. [32] (Zoznam je vybraný z výrazov OEIS: A063674 a OEIS: A063673.)
  • Číslice: Prvých 50 desatinných číslic je 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510. [35] (pozri OEIS: A000796)

Číslice v iných číselných sústavách

  • Prvých 48 binárnych (základ 2) číslic (nazývaných bity) je 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011. (pozri OEIS: A004601)
  • Prvých 20 číslic v šestnástkovej sústave (základ 16) je 3,243F 6A88 85A3 08D3 1319. [36] (pozri OEIS: A062964)
  • Prvých päť sexageimálnych (základ 60) číslic je 38,29,44,0,47 [37] (pozri OEIS: A060707)

Komplexné čísla a Eulerova identita

Akékoľvek komplexné číslo, povedzme z , je možné vyjadriť pomocou dvojice reálnych čísel. V polárnom súradnicovom systéme jedno číslo (polomer alebo r) sa používa na reprezentáciu z Vzdialenosť od začiatku komplexnej roviny a druhá (uhol alebo φ) rotácia proti smeru hodinových ručičiek od kladnej skutočnej čiary: [38]

kde i je imaginárna jednotka uspokojujúca i 2 = -1. Častý výskyt π v komplexnej analýze môže súvisieť s chovaním exponenciálnej funkcie komplexnej premennej, ktorú popisuje Eulerov vzorec: [39]

kde konštanta e je základom prirodzeného logaritmu. Tento vzorec ustanovuje zhodu medzi imaginárnymi schopnosťami e a body na jednotkovej kružnici vycentrované na počiatku komplexnej roviny. Nastavenie φ = π v Eulerovom vzorci vedie k Eulerovej identite, ktorú oslavuje matematika vďaka tomu, že obsahuje päť najdôležitejších matematických konštánt: [39] [40]

Existujú n rôzne komplexné čísla z uspokojujúci z n = 1, a tieto sa nazývajú „ n -té korene jednoty “[41] a sú dané vzorcom:

Antika

Najznámejšie aproximácie datovania π pred spoločnou dobou boli presné na dve desatinné miesta, čo sa v čínskej matematike zlepšilo najmä v polovici prvého tisícročia, s presnosťou na sedem desatinných miest. Potom sa až do neskorého stredoveku nedosiahol ďalší pokrok.

Éra aproximácie polygónov

Perzský astronóm Jamshīd al-Kashi vyprodukoval v roku 1424 9 šesťdesiatimiestnych číslic, čo je zhruba ekvivalent 16 desatinných číslic, pomocou mnohouholníka s 3 × 2 28 stranami [65] [66], ktorý bol svetovým rekordom približne 180 rokov. [67] Francúzsky matematik François Viète v roku 1579 dosiahol 9 číslic s mnohouholníkom 3 × 2 17 strán. [67] Flámsky matematik Adriaan van Roomen dorazil v roku 1593 na 15 desatinných miest. [67] V roku 1596 dosiahol holandský matematik Ludolph van Ceulen 20 číslic, tento záznam sa neskôr zvýšil na 35 číslic (v dôsledku toho sa π nazývalo „Ludolphian“ „v Nemecku do začiatku 20. storočia). [68] Holandský vedec Willebrord Snellius dosiahol v roku 1621 34 číslic [69] a rakúsky astronóm Christoph Grienberger dosiahol v roku 1630 38 číslic pomocou 10 40 strán [70], čo zostáva najpresnejšou aproximáciou dosiahnutou ručne pomocou polygonálnych algoritmov. [69]

Nekonečná séria

Výpočet π spôsobil revolúciu vývojom techník nekonečných sérií v 16. a 17. storočí. Nekonečná séria je súčtom výrazov nekonečnej postupnosti. [71] Nekonečné rady umožnili matematikom vypočítať π s oveľa väčšou presnosťou ako Archimedes a ďalší, ktorí používali geometrické techniky. [71] Aj keď nekonečné série boli pre π využívané predovšetkým európskymi matematikmi, ako sú James Gregory a Gottfried Wilhelm Leibniz, tento prístup bol prvýkrát objavený v Indii niekedy medzi rokmi 1400 a 1500 nášho letopočtu. [72] [73] Prvý písomný popis nekonečnej série, ktorú je možné použiť na výpočet π, uviedol v sanskrtskom verši indický astronóm Nilakantha Somayaji vo svojom Tantrasamgraha, okolo roku 1500 po Kr. [74] Série sú prezentované bez dôkazov, ale dôkazy sú predložené v neskoršej indickej práci, Yuktibhāṣā, asi od roku 1530 po Kr. Nilakantha pripisuje sériu staršiemu indickému matematikovi Madhavovi zo Sangamagramy, ktorý žil v c. 1350 - asi 1425. [74] Je opísaných niekoľko nekonečných radov, vrátane sérií pre sínus, tangens a kosínus, ktoré sa v súčasnosti označujú ako séria Madhava alebo séria Gregory – Leibniz. [74] Madhava použil nekonečné rady na odhadnutie π na 11 číslic okolo roku 1400, ale túto hodnotu vylepšil okolo roku 1430 perzský matematik Jamshīd al-Kāshī pomocou polygonálneho algoritmu. [75]

Prvou nekonečnou sekvenciou objavenou v Európe bol nekonečný produkt (namiesto nekonečného súčtu, ktorý sa typickejšie používa pri výpočtoch π), ktorý našiel francúzsky matematik François Viète v roku 1593: [77] [78] [79]

Objav počtu, anglickým vedcom Isaacom Newtonom a nemeckým matematikom Gottfriedom Wilhelmom Leibnizom v 60. rokoch 16. storočia, viedol k vývoju mnohých nekonečných sérií pre aproximáciu π. Sám Newton pomocou arcsinovej série vypočítal 15-cifernú aproximáciu π v rokoch 1665 alebo 1666, neskôr napísal: „Hanbím sa vám povedať, koľko číslic som tieto výpočty niesol, keďže som v tom čase nemal inú záležitosť.“ [76]

V Európe Madhavov vzorec znovuobjavil škótsky matematik James Gregory v roku 1671 a Leibniz v roku 1674: [80] [81]

Tento vzorec, séria Gregoryho-Leibniza, sa pri hodnotení pomocou rovná π / 4 z = 1. [81] V roku 1699 anglický matematik Abraham Sharp použil sériu Gregoryho-Leibnizova na výpočet z π na 71 číslic z = 1 3 < textstyle z = < frac <1> < sqrt <3> >>> , prekonajúc predchádzajúci rekord 39 číslic, ktorý bol stanovený pomocou polygonálneho algoritmu. [82] Séria Gregory – Leibniz pre z = 1 < displaystyle z = 1> séria je jednoduchá, ale konverguje veľmi pomaly (to znamená, že k odpovedi sa blíži postupne), takže sa v moderných výpočtoch π nepoužíva. [83]

V roku 1706 John Machin použil sériu Gregoryho-Leibnizova na vytvorenie algoritmu, ktorý konvergoval oveľa rýchlejšie: [84]

Machin týmto vzorcom dosiahol 100 číslic π. [85] Iní matematici vytvorili varianty, dnes známe ako Machinove vzorce, ktoré sa používali na nastavenie niekoľkých po sebe nasledujúcich záznamov na výpočet číslic π. [85] Machinove vzorce zostali najznámejšou metódou na výpočet π až do veku počítačov a používali sa na zaznamenávanie záznamov po dobu 250 rokov, ktoré vyvrcholili 620-cifernou aproximáciou v roku 1946 Danielom Fergusonom - najlepšia dosiahnutá aproximácia bez pomoci výpočtového zariadenia. [86]

Rekord bol zaznamenaný vypočítavým zázrakom Zachariášom Daseom, ktorý v roku 1844 použil Machinov vzorec na výpočet 200 desatinných miest π v jeho hlave na príkaz nemeckého matematika Carla Friedricha Gaussa.[87] Britskému matematikovi Williamovi Shanksovi trvalo slávne 15 rokov, kým vypočítal π na 707 číslic, urobil však chybu v 528. číslici, čím sa všetky nasledujúce číslice stali nesprávnymi. [87]

Miera konvergencie

Niektoré nekonečné rady pre π konvergujú rýchlejšie ako iné. Vzhľadom na výber dvoch nekonečných sérií pre π budú matematici všeobecne používať tú, ktorá konverguje rýchlejšie, pretože rýchlejšia konvergencia znižuje množstvo výpočtu potrebného na výpočet π na ľubovoľnú danú presnosť. [88] Jednoduchou nekonečnou sériou pre π je séria Gregory – Leibniz: [89]

Keď sa k súčtu pripočítajú jednotlivé členy tejto nekonečnej série, súčet sa postupne priblíži k π a - pri dostatočnom počte členov - sa môže priblížiť k π podľa želania. Konverguje pomerne pomaly - po 500 000 výrazoch vyprodukuje iba päť správnych desatinných číslic π. [90]

Nekonečná séria pre π (publikovaná Nilakanthou v 15. storočí), ktorá konverguje rýchlejšie ako séria Gregory-Leibniz, je: [91] Všimnite si, že (n − 1)n(n + 1) = n 3 − n. [92]

Nasledujúca tabuľka porovnáva konvergenčné pomery týchto dvoch sérií:

Nekonečná séria pre π Po 1. termíne Po 2. termíne Po 3. termíne Po 4. volebnom období Po 5. volebnom období Konverguje k:
π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 + 4 13 + ⋯ < Displaystyle pi = < frac <4> <1>> - < frac <4> <3> > + < frac <4> <5>> - < frac <4> <7>> + < frac <4> <9>> - < frac <4> <11>> + < frac < 4> <13>> + cdots> 4.0000 2.6666 . 3.4666 . 2.8952 . 3.3396 . π = 3,1415.
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 - 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 + ⋯ < displaystyle pi = <3> + < frac <4> <2 krát 3 krát 4 >> - < frac <4> <4 krát 5 krát 6 >> + < frac <4> <6 krát 7 krát 8 >> + cdots> 3.0000 3.1666 . 3.1333 . 3.1452 . 3.1396 .

Po piatich členoch je súčet Gregoryho – Leibnizovej série v rozmedzí 0,2 od správnej hodnoty π, zatiaľ čo súčet Nilakanthovej série je v rozmedzí 0,002 od správnej hodnoty π. Séria Nilakanthy konverguje rýchlejšie a je užitočnejšia na výpočet číslic π. Série, ktoré konvergujú ešte rýchlejšie, zahŕňajú Machinovu sériu a Chudnovského sériu, druhá produkuje 14 správnych desatinných číslic na člen. [88]

Iracionalita a transcendencia

Nie všetky matematické pokroky týkajúce sa π boli zamerané na zvýšenie presnosti aproximácií. Keď Euler v roku 1735 vyriešil bazilejský problém a zistil presnú hodnotu súčtu recipročných štvorcov, nadviazal spojenie medzi π a prvočíslami, čo neskôr prispelo k rozvoju a štúdiu Riemannovej zeta funkcie: [93]

Švajčiarsky vedec Johann Heinrich Lambert v roku 1761 dokázal, že π je iracionálne, čo znamená, že sa nerovná kvocientu akýchkoľvek dvoch celých čísel. [23] Lambertov dôkaz využil pokračovanie zlomkovej reprezentácie tangenciálnej funkcie. [94] Francúzsky matematik Adrien-Marie Legendre v roku 1794 dokázal, že π 2 je tiež iracionálna. V roku 1882 nemecký matematik Ferdinand von Lindemann dokázal, že π je transcendentálny [95], čím potvrdil dohady Legendra aj Eulera. [96] [97] Hardy a Wright tvrdia, že „dôkazy boli následne upravené a zjednodušené Hilbertom, Hurwitzom a ďalšími autormi“. [98]

Prijatie symbolu π

V prvých použitiach bolo grécke písmeno π skratkou gréckeho slova pre perifériu (περιφέρεια), [100] a kombinovalo sa v pomeroch s δ (pre priemer) alebo ρ (pre polomer), aby sa vytvorili konštanty kruhu. [101] [102] [103] (Pred tým matematici niekedy používali písmená ako napr c alebo p namiesto toho. [104]) Prvým zaznamenaným použitím je Oughtredovo „δ. Π < Displaystyle delta. Pi>“ vyjadrujúce pomer periférie a priemeru v 1647 a neskorších vydaniach Clavis Mathematicae. [105] [104] Barrow taktiež použil „π δ < textstyle < frac < pi> < delta >>>" na vyjadrenie konštanty 3.14. [106] zatiaľ čo Gregory namiesto toho použil „π ρ < textstyle < frac < pi> < rho >>>" na vyjadrenie 6,28. . [107] [102]

Najstaršie známe použitie samotného gréckeho písmena π na vyjadrenie pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru priniesol waleský matematik William Jones vo svojej práci z roku 1706. Synopsis Palmariorum Matheseos alebo Nový úvod do matematiky. [108] [109] Grécke písmeno sa tam ako prvé objavuje vo výraze „1/2 periférie (π)“ v diskusii o kruhu s polomerom. [110] Píše však, že jeho rovnice pre π vychádzajú z „pripraveného pera skutočne dômyselného pána Johna Machina“, čo vedie k špekuláciám, že Machin možno použil grécky list pred Jonesom. [104] Jonesov zápis nebol okamžite prijatý inými matematikmi, pričom zlomkový zápis sa stále používal až v roku 1767. [101] [111]

Euler začal používať jednopísmenový formulár začínajúci rokom 1727 Esej vysvetľujúca vlastnosti vzduchu, hoci použil π = 6,28. , pomer polomeru k periférii, v tomto a niektorých neskorších textoch. [112] [113] Euler najskôr použil π = 3,14. vo svojej práci z roku 1736 Mechanica, [114] a pokračoval vo svojej často čítanej práci z roku 1748 Introduction in analysin infinitorum (napísal: „kvôli stručnosti napíšeme toto číslo ako π, takže π sa rovná polovici obvodu kruhu s polomerom 1“). [115] Pretože Euler vo veľkej miere korešpondoval s ostatnými matematikmi v Európe, použitie gréckeho písmena sa rýchlo rozšírilo a v západnom svete sa potom tento postup všeobecne prijal [104], hoci definícia sa medzi 3.14 stále menila. a 6,28. až v roku 1761. [116]

Počítačová éra a iteračné algoritmy

Potom je odhad pre π daný vzťahom

Vývoj počítačov v polovici 20. storočia opäť spôsobil revolúciu v honbe za číslicami π. Matematici John Wrench a Levi Smith dosiahli v roku 1949 pomocou pracovnej kalkulačky 1120 číslic. [117] Pomocou nekonečnej série s inverznou tangensou (arctan) dosiahol tím vedený Georgom Reitwiesnerom a Johnom von Neumannom v tom istom roku 2 037 číslic pomocou výpočtu, ktorý v počítači ENIAC trval 70 hodín počítačového času. [118] [119] Rekord, vždy sa opierajúci o arktánovú sériu, bol prekonaný opakovane (7 480 číslic v roku 1957 10 000 číslic v roku 1958, 100 000 číslic v roku 1961), až kým sa v roku 1973 nedosiahol 1 milión číslic. [118]

Dva ďalšie vývojové trendy okolo roku 1980 opäť urýchlili schopnosť počítať π. Po prvé, objavenie nových iteračných algoritmov pre výpočet π, ktoré boli oveľa rýchlejšie ako pri nekonečných radoch, a po druhé, vynález algoritmov rýchleho násobenia, ktoré dokázali veľmi rýchlo znásobiť veľké množstvá. [120] Takéto algoritmy sú obzvlášť dôležité v moderných výpočtoch π, pretože väčšina času v počítači je venovaná násobeniu. [121] Zahŕňajú algoritmus Karatsuba, multiplikáciu Toom – Cooka a metódy založené na Fourierovej transformácii. [122]

Iteratívne algoritmy nezávisle publikovali v rokoch 1975–1976 fyzik Eugene Salamin a vedec Richard Brent. [123] Týmto sa zabráni spoliehaniu sa na nekonečné série. Iteračný algoritmus opakuje konkrétny výpočet, pričom každú iteráciu využíva ako vstupy výstupy z predchádzajúcich krokov, a v každom kroku vytvára výsledok, ktorý konverguje na požadovanú hodnotu. Tento prístup v skutočnosti vynašiel pred 160 rokmi Carl Friedrich Gauss, v čom sa dnes nazýva metóda aritmeticko-geometrického priemeru (metóda AGM) alebo Gauss-Legendrov algoritmus. [123] Po modifikácii Salaminom a Brentom sa tiež označuje ako algoritmus Brent – ​​Salamin.

Iteratívne algoritmy sa po roku 1980 často používali, pretože sú rýchlejšie ako algoritmy nekonečných sérií: zatiaľ čo nekonečné rady zvyčajne postupne zvyšujú počet správnych číslic aditívne, iteračné algoritmy sú všeobecne znásobiť počet správnych číslic v každom kroku. Napríklad algoritmus Brent-Salamin zdvojnásobuje počet číslic v každej iterácii. V roku 1984 bratia John a Peter Borweinovci vytvorili iteračný algoritmus, ktorý štvornásobne zvýšil počet číslic v každom kroku, a v roku 1987, v prípade ktorého sa počet číslic zvýšil päťkrát v každom kroku. [124] Iteračné metódy použil japonský matematik Yasumasa Kanada na vytvorenie niekoľkých záznamov o výpočte π v rokoch 1995 až 2002. [125] Táto rýchla konvergencia má svoju cenu: iteračné algoritmy vyžadujú podstatne viac pamäte ako nekonečné rady. [125]

Motívy pre výpočet π

Pre väčšinu numerických výpočtov zahŕňajúcich π poskytuje niekoľko číslic dostatočnú presnosť. Podľa Jörga Arndta a Christopha Haenela je na vykonanie väčšiny kozmologických výpočtov postačujúcich tridsaťdeväť číslic, pretože to je presnosť nevyhnutná na výpočet obvodu pozorovateľného vesmíru s presnosťou na jeden atóm. [126] Ak vezmeme do úvahy ďalšie číslice potrebné na vyrovnanie výpočtových zaokrúhľovacích chýb, Arndt dospel k záveru, že pre každú vedeckú aplikáciu by stačilo niekoľko stoviek číslic. Napriek tomu ľudia usilovne pracovali na výpočte π na tisíce a milióny číslic. [127] Toto úsilie možno čiastočne pripísať ľudskému nátlaku prekonávať rekordy a takéto úspechy s π sa často dostávajú na titulné stránky sveta. [128] [129] Majú tiež praktické výhody, ako je testovanie superpočítačov, testovanie algoritmov numerickej analýzy (vrátane vysoko presných multiplikačných algoritmov) a samotná čistá matematika poskytujúca údaje na hodnotenie náhodnosti číslic π. [130]

Rýchlo konvergentné série

Moderné kalkulačky π nepoužívajú výlučne iteračné algoritmy. V 80. a 90. rokoch boli objavené nové nekonečné rady, ktoré sú také rýchle ako iteračné algoritmy, ale sú jednoduchšie a menej náročné na pamäť. [125] Rýchle iteračné algoritmy sa očakávali v roku 1914, keď indický matematik Srinivasa Ramanujan publikoval desiatky nových inovatívnych vzorcov pre π, ktoré sú pozoruhodné svojou eleganciou, matematickou hĺbkou a rýchlou konvergenciou. [131] Jeden z jeho vzorcov založený na modulárnych rovniciach je

Táto séria konverguje oveľa rýchlejšie ako väčšina arktánových sérií, vrátane Machinovho vzorca. [132] Bill Gosper ho ako prvý použil na pokrok vo výpočte π a v roku 1985 vytvoril rekord 17 miliónov číslic. [133] Ramanujanove vzorce očakávali moderné algoritmy vyvinuté bratmi Borweinmi (Jonathan a Peter) a Bratia Chudnovskí. [134] Chudnovského vzorec vyvinutý v roku 1987 je

Produkuje asi 14 číslic π za volebné obdobie [135] a bola použitá na niekoľko výpočtov π založených na zázname, vrátane prvých, ktoré v roku 1989 presiahli 1 miliardu (10 9) číslic od bratov Chudnovských, 10 biliónov (10 13) číslice v roku 2011 Alexander Yee a Shigeru Kondo, [136] viac ako 22 biliónov číslic v roku 2016 Peter Trueb [137] [138] a 50 biliónov číslic Timothy Mullican v roku 2020. [139] Podobné vzorce pozri aj v Ramanujan– Séria sato.

V roku 2006 matematik Simon Plouffe použil algoritmus celočíselného vzťahu PSLQ [140] na vygenerovanie niekoľkých nových vzorcov pre π, ktoré zodpovedajú nasledujúcej šablóne:

kde q je e π (Gelfondova konštanta), k je nepárne číslo a a, b, c sú určité racionálne čísla, ktoré Plouffe vypočítal. [141]

Metódy Monte Carlo

Na vytvorenie aproximácie π možno použiť metódy Monte Carlo, ktoré hodnotia výsledky viacerých náhodných pokusov. [142] Buffonova ihla je jednou z takýchto techník: Ak je to ihla dĺžky je vypustený n krát na povrchu, na ktorom sú nakreslené rovnobežné čiary t jednotky od seba, a ak X z tých čias príde na odpočinok prekročenie hranice ( X & gt 0), potom je možné priblížiť π na základe počtu: [143]

Ďalšou metódou Monte Carlo na výpočet π je nakreslenie kruhu vpísaného do štvorca a náhodného umiestnenia bodiek do štvorca. Pomer bodov vo vnútri kruhu k celkovému počtu bodov bude približne rovný π / 4. [144]

Ďalším spôsobom, ako vypočítať π pomocou pravdepodobnosti, je začať náhodnou chôdzou vygenerovanou postupnosťou (spravodlivých) hodov mincami: nezávislé náhodné premenné Xk také, že Xk ∈ <−1,1> s rovnakými pravdepodobnosťami. Pridružená náhodná chôdza je

aby pre každé n, Žn je čerpané z posunutého a zmenšeného binomického rozdelenia. Pretože n sa líši, Žn definuje (diskrétny) stochastický proces. Potom π možno vypočítať podľa [145]

Táto metóda Monte Carlo je nezávislá od akéhokoľvek vzťahu ku kruhom a je dôsledkom centrálnej limitnej vety, ktorá je popísaná nižšie.

Tieto metódy Monte Carlo na aproximáciu π sú v porovnaní s inými metódami veľmi pomalé a neposkytujú žiadne informácie o presnom počte získaných číslic. Preto sa nikdy nepoužívajú na aproximáciu π, keď je požadovaná rýchlosť alebo presnosť. [146]

Spigotove algoritmy

V roku 1995 boli objavené dva algoritmy, ktoré otvorili nové cesty výskumu π. Nazývajú sa spigotové algoritmy, pretože podobne ako voda kvapkajúca z hrdla, vytvárajú jednotlivé číslice π, ktoré sa po výpočte znova nepoužijú. [147] [148] Toto je v kontraste s nekonečnými radmi alebo iteračnými algoritmami, ktoré zachovávajú a používajú všetky stredné číslice, kým sa nedosiahne konečný výsledok. [147]

Matematici Stan Wagon a Stanley Rabinowitz vytvorili jednoduchý spigotový algoritmus v roku 1995. [148] [149] [150] Jeho rýchlosť je porovnateľná s arctanskými algoritmami, ale nie tak rýchla ako iteračné algoritmy. [149]

Iný algoritmus čapu, algoritmus extrakcie číslic BBP, objavil v roku 1995 Simon Plouffe: [151] [152]

Tento vzorec, na rozdiel od ostatných pred ním, môže vyprodukovať ľubovoľnú jednotlivú hexadecimálnu číslicu π bez výpočtu všetkých predchádzajúcich číslic. [151] Jednotlivé binárne číslice možno extrahovať z jednotlivých hexadecimálnych číslic a osmičkové číslice sa dajú extrahovať z jednej alebo dvoch hexadecimálnych číslic. Boli objavené variácie algoritmu, ale zatiaľ nebol nájdený algoritmus extrakcie číslic, ktorý by rýchlo vytváral desatinné číslice. [153] Dôležitou aplikáciou algoritmov extrakcie číslic je validácia nových deklarácií výpočtov záznamu π: Po získaní nového záznamu sa desatinný výsledok prevedie na hexadecimálne číslo a potom sa na výpočet niekoľkých náhodných hexadecimálnych číslic v blízkosti použije algoritmus extrakcie číslic. koniec, ak sa zhodujú, poskytuje to mieru spoľahlivosti, že celý výpočet je správny. [136]

V rokoch 1998 až 2000 projekt distribuovanej výpočtovej techniky PiHex použil Bellardov vzorec (modifikácia algoritmu BBP) na výpočet kvadrilliontého (10 15.) bitu π, ktorý sa ukázal byť 0. [154] V septembri 2010 Yahoo ! zamestnanec použil aplikáciu Hadoop spoločnosti na jednom tisíc počítačov za obdobie 23 dní na výpočet 256 bitov π v dvojkvadrilliontom (2 × 10 15.) bite, ktorý je tiež nulový. [155]

Pretože π úzko súvisí s kružnicou, nachádza sa v mnohých vzorcoch z oblastí geometrie a trigonometrie, najmä v tých, ktoré sa týkajú kružníc, gúľ alebo elíp. Ostatné odvetvia vedy, ako sú štatistika, fyzika, Fourierova analýza a teória čísel, tiež zahŕňajú π v niektorých svojich dôležitých vzorcoch.

Geometria a trigonometria

Vo vzorcoch pre oblasti a objemy geometrických tvarov založených na kruhoch, ako sú elipsy, gule, kužele a tori, sa objaví π. Ďalej uvádzame niektoré z najbežnejších vzorcov, ktoré zahŕňajú π. [156]

  • Obvod kruhu s polomerom r je 2πr .
  • Plocha kruhu s polomerom r je πr 2 .
  • Objem gule s polomerom r je
  • 4/3 πr 3 .
  • Povrch gule s polomerom r je 4πr 2 .

Vyššie uvedené vzorce sú zvláštne prípady objemu n-rozmerná guľa a povrchová plocha jej hranice, (n-1) -rozmerná guľa, uvedená nižšie.

Okrem kruhov existujú aj ďalšie krivky konštantnej šírky (orbiformné [157]). Podľa Barbierovej vety má každá krivka konštantnej šírky obvod π násobok svojej šírky. [158] Reuleauxov trojuholník (tvorený priesečníkom troch kruhov, z ktorých každý je centrovaný tam, kde sa krížia ďalšie dva kruhy [159]), má pre svoju šírku najmenšiu možnú plochu a najväčší kruh. Existujú tiež nekruhové hladké krivky konštantnej šírky. [160]

Definitívne integrály, ktoré popisujú obvod, plochu alebo objem tvarov generovaných kruhmi, majú zvyčajne hodnoty, ktoré zahŕňajú π. Napríklad integrál, ktorý určuje polovicu plochy kruhu s polomerom, je daný: [161]

V tomto integrále funkcia √ 1 - X 2 predstavuje hornú polovicu kruhu (druhá odmocnina je dôsledkom Pytagorovej vety) a integrál ∫ 1
−1 počíta plochu medzi touto polovicou kruhu a X os.

Goniometrické funkcie sa spoliehajú na uhly a matematici všeobecne používajú ako jednotky merania radiány. π hrá dôležitú úlohu v uhloch meraných v radiánoch, ktoré sú definované tak, že celá kružnica pokrýva uhol 2 π radiánov. [162] Uhol 180 ° sa rovná radiánom π a 1 ° = π / 180 radiánov. [162]

Bežné trigonometrické funkcie majú periódy, ktoré sú násobkami π, napríklad sínus a kosínus majú periódu 2 π, [163] teda pre akýkoľvek uhol θ a akékoľvek celé číslo k ,

Vlastné hodnoty

Veľa vzhľadu π vo vzorcoch matematiky a vied súvisí s jeho blízkym vzťahom k geometrii. Avšak π sa objavuje aj v mnohých prírodných situáciách, ktoré nemajú zjavne nič spoločné s geometriou.

V mnohých aplikáciách zohráva významnú úlohu ako vlastné číslo. Napríklad idealizovaná vibračná struna môže byť modelovaná ako graf funkcie f na jednotkovom intervale [0,1], s pevnými koncami f(0) = f(1) = 0. Režimy vibrácií reťazca sú riešením diferenciálnej rovnice alebo f ″ (f ″ (x) + λ f (x) = 0 < displaystyle f '' (x) + lambda f (x) = 0> t) = - λ f (x) < Displaystyle f '' (t) = - lambda f (x)>. Λ je teda vlastné číslo druhého derivačného operátora a je obmedzené teóriou Sturm-Liouville, aby prevzal iba určité konkrétne hodnoty. F ↦ f ″ < Displaystyle f mapsto f ''> Musí to byť kladné číslo, pretože operátor je záporný určitý, takže je vhodné písať λ = ν 2, kde ν & gt 0 sa volá vlnové číslo. Potom f(X) = hriech (π X) vyhovuje okrajovým podmienkam a diferenciálnej rovnici s ν = π. [164]

Hodnota π je v skutočnosti najmenej takú hodnotu vlnového čísla a je spojená so základným režimom vibrácií struny. Jedným zo spôsobov, ako to ukázať, je odhad energie, ktorá uspokojuje Wirtingerovu nerovnosť: [165] pre funkciu f : [0, 1] → ℂ s f(0) = f(1) = 0 a f , f „oba štvorcové integrovateľné, máme:

s rovnosťou presne kedy f je násobok hriechu (π X). Tu sa π javí ako optimálna konštanta vo Wirtingerovej nerovnosti a z toho vyplýva, že ide o najmenšie vlnové číslo pomocou variačnej charakterizácie vlastnej hodnoty. V dôsledku toho je π najmenšia singulárna hodnota derivačného operátora v priestore funkcií na [0,1] miznúcich v obidvoch koncových bodoch (Sobolevov priestor H 0 1 [0, 1] < displaystyle H_ <0> ^ < 1> [0,1]>).

Nerovnosti

Číslo π slouží se objeví v podobných problémech s vlastními čísly ve trojrozměrné analýze. Ako bolo uvedené vyššie, možno ho charakterizovať prostredníctvom jeho úlohy najlepšej konštanty v izoperimetrickej nerovnosti: oblasť A ohraničená rovinnou Jordanovou krivkou obvodu P spĺňa nerovnosť

a rovnosť sa pre kruh jednoznačne dosahuje, pretože v takom prípade A = πr 2 a P = 2πr . [166]

Nakoniec ako dôsledok izoperimetrickej nerovnosti sa π objaví v optimálnej konštante pre kritickú Sobolevovu nerovnosť v n dimenzie, ktoré tak charakterizujú úlohu π aj v mnohých fyzikálnych javoch, napríklad v teóriách klasického potenciálu. [167] [168] [169] V dvoch dimenziách je kritická Sobolevova nerovnosť

pre f plynulá funkcia s kompaktnou podporou v systéme Windows R 2, ∇ f < Displaystyle nabla f> je gradient f, a refer f ‖ 2 < Displaystyle | f | _ <2>> a ‖ ∇ f ‖ 1 < displaystyle | nabla f | _ <1>> odkazujú sa na L 2 a L 1 - norma. Sobolevova nerovnosť je ekvivalentná s izoperimetrickou nerovnosťou (v ktorejkoľvek dimenzii) s rovnakými najlepšími konštantami.

Wirtingerova nerovnosť sa tiež zovšeobecňuje na Poincaréove nerovnosti vo vyšších dimenziách, ktoré poskytujú najlepšie konštanty pre Dirichletovu energiu n-rozmerná membrána. Konkrétne π je najväčšia konštanta taká, že

pre všetky konvexné podmnožiny G z R n priemeru 1 a štvorcových integrovateľných funkcií u na G strednej nuly. [170] Rovnako ako Wirtingerova nerovnosť je variačnou formou problému Dirichletovej vlastnej hodnoty v jednej dimenzii, Poincaréova nerovnosť je variačnou formou problému Neumannovej vlastnej hodnoty, v ktorejkoľvek dimenzii.

Fourierova transformácia a Heisenbergov princíp neurčitosti

Konštanta π sa tiež javí ako kritický spektrálny parameter vo Fourierovej transformácii. Toto je integrálna transformácia, ktorá preberá integrovateľnú funkciu so zložitou hodnotou f na reálnom riadku k funkcii definovanej ako:

Aj keď pre Fourierovu transformáciu a jej inverziu existuje niekoľko rôznych konvencií, každá takáto konvencia musí obsahovať π niekde. Vyššie uvedené je najkánonickejšou definíciou, ktorá dáva jedinečnú jednotnú operáciu ďalej Ľ 2, ktorý je tiež homomorfizmom algebry Ľ 1 až Ľ ∞ . [171]

Heisenbergov princíp neurčitosti obsahuje aj číslo π. Princíp neistoty dáva ostrú dolnú hranicu rozsahu, v akom je možné lokalizovať funkciu ako v priestore, tak aj vo frekvencii: s našimi konvenciami pre Fourierovu transformáciu,

Fyzikálne dôsledky týkajúce sa neistoty simultánneho pozorovania polohy a hybnosti kvantovo mechanického systému sú diskutované nižšie. Výskyt π vo vzorcoch Fourierovej analýzy je v konečnom dôsledku dôsledkom Stoneovej-von Neumannovej vety, ktorá potvrdzuje jedinečnosť Schrödingerovho zastúpenia Heisenbergovej skupiny. [172]

Gaussove integrály

Polia pravdepodobnosti a štatistika často používajú normálne rozdelenie ako jednoduchý model pre zložité javy, napríklad vedci všeobecne predpokladajú, že pozorovacia chyba vo väčšine experimentov sleduje normálne rozdelenie. [173] Gaussova funkcia, ktorá je funkciou hustoty pravdepodobnosti normálneho rozdelenia so strednou hodnotou μ a štandardnou odchýlkou ​​σ, prirodzene obsahuje π: [174]

ktorý hovorí, že plocha pod základnou zvonovou krivkou na obrázku sa rovná druhej odmocnine π.

Centrálna limitná veta vysvetľuje ústrednú úlohu normálnych distribúcií, a teda π, v pravdepodobnosti a štatistike. Táto veta je nakoniec spojená so spektrálnou charakterizáciou π ako vlastného čísla spojeného s Heisenbergovým princípom neurčitosti a skutočnosťou, že rovnosť platí v princípe neurčitosti iba pre Gaussovu funkciu. [175] Ekvivalentne je π jedinečná konštanta tvoriaca Gaussovo normálne rozdelenie eX 2 sa rovná vlastnej Fourierovej transformácii. [176] Podľa Howeho (1980) sa „celá oblasť podnikania“ zakladania základných viet Fourierovej analýzy redukuje na gaussovský integrál.

Projektívna geometria

Topológia

Konštanta π sa objaví vo vzorci Gauss-Bonnet, ktorý dáva do súvislosti diferenciálnu geometriu povrchov s ich topológiou. Konkrétne, ak je kompaktný povrch Σ má Gaussovo zakrivenie Kpotom

kde χ(Σ) je Eulerova charakteristika, čo je celé číslo. [178] Príkladom je povrchová plocha gule S zakrivenia 1 (takže jej polomer zakrivenia, ktorý sa zhoduje s jej polomerom, je tiež 1.) Eulerovu charakteristiku gule možno vypočítať z jej homologických skupín a zistí sa, že sa rovná dvom. Takto máme

reprodukcia vzorca pre povrch gule s polomerom 1.

Konštanta sa objavuje v mnohých ďalších integrálnych vzorcoch v topológii, najmä v tých, ktoré zahŕňajú charakteristické triedy prostredníctvom Chern-Weilovho homomorfizmu. [179]

Vektorový počet

Vektorový počet je odvetvie počtu, ktoré sa zaoberá vlastnosťami vektorových polí a má veľa fyzikálnych aplikácií, ako napríklad elektrina a magnetizmus. Newtonovský potenciál pre bodový zdroj Q, ktorý sa nachádza pri počiatku trojrozmerného karteziánskeho súradnicového systému, je [180]

ktorá predstavuje potenciálnu energiu jednotkovej hmotnosti (alebo náboja) umiestnenej na diaľku | X | zo zdroja a k je rozmerová konštanta. Pole, tu označené E , ktorým môže byť (newtonovské) gravitačné pole alebo (Coulombove) elektrické pole, je negatívny gradient potenciálu:

Špeciálne prípady zahŕňajú Coulombov zákon a Newtonov zákon univerzálnej gravitácie. Gaussov zákon hovorí, že vonkajší tok poľa cez akýkoľvek hladký, jednoduchý, uzavretý, orientovateľný povrch S obsahujúci počiatok sa rovná 4 π kQ :

Je štandardné absorbovať tento faktor 4π do konštanty k, ale tento argument ukazuje, prečo sa musí javiť niekde. Ďalej 4π je povrchová plocha jednotkovej gule, ale nepredpokladali sme, že S je sféra. Avšak ako dôsledok vety o divergencii, pretože oblasť mimo pôvodu je vákuová (bez zdroja), je to iba trieda homológie povrchu S v R 3 <0> pri výpočte integrálu záleží, takže ho možno nahradiť ľubovoľným vhodným povrchom v tej istej triede homológie, najmä sférou, kde sa na výpočet integrálu dajú použiť sférické súradnice.

Dôsledkom Gaussovho zákona je, že záporný laplacián potenciálu V sa rovná 4πkQ násobok delta funkcie Dirac:

Všeobecnejšie rozdelenie hmoty (alebo náboja) sa z toho získa konvolúciou, ktorá dáva Poissonovu rovnicu

kde ρ je distribučná funkcia.

Konštanta π tiež hrá analogickú úlohu v štvorrozmerných potenciáloch spojených s Einsteinovými rovnicami, čo je základný vzorec, ktorý tvorí základ všeobecnej teórie relativity a popisuje základnú interakciu gravitácie v dôsledku zakrivenia časopriestoru hmotou a energiou: [181]

kde Rμν je Ricciho tenzor zakrivenia, R je skalárne zakrivenie, gμν je metrický tenzor, Λ je kozmologická konštanta, G je Newtonova gravitačná konštanta, c je rýchlosť svetla vo vákuu a Tμν je tenzor stresovej energie. Ľavá strana Einsteinovej rovnice je nelineárny analóg laplaciánu metrického tenzora a redukuje sa na túto hodnotu v limite slabého poľa, pričom pojem Lagrangeov term g < Displaystyle Lambda g> multiplikátor a pravá strana je analógom distribučnej funkcie, krát 8π.

Cauchyov integrálny vzorec

Jedným z kľúčových nástrojov komplexnej analýzy je kontúrová integrácia funkcie cez pozitívne orientovanú (napraviteľnú) Jordanovu krivku γ. Forma Cauchyho integrálneho vzorca hovorí, že ak bod z0 je vnútorná k γ, potom [182]

Aj keď krivka γ nie je kružnica, a teda nemá zjavnú súvislosť s konštantou π, štandardný dôkaz tohto výsledku používa Morerovu vetu, čo znamená, že integrál je pod homotopiou krivky invariantný, aby mohol byť deformované na kruh a potom výslovne integrované do polárnych súradníc. Všeobecnejšie platí, že ak usmerniteľná uzavretá krivka γ neobsahuje z0 , potom vyššie uvedený integrál je 2πi násobok čísla vinutia krivky.

Všeobecná forma Cauchyovho integrálneho vzorca ustanovuje vzťah medzi hodnotami komplexnej analytickej funkcie f(z) na Jordanovej krivke γ a hodnote f(z) v ktoromkoľvek vnútornom bode z0 z γ: [183] ​​[184]

za predpokladu f(z) je analytický v oblasti ohraničenej γ a siaha nepretržite do γ. Cauchyov integrálny vzorec je špeciálnym prípadom vety o zvyšku, že ak g(z) je meromorfná funkcia oblasti ohraničenej γ a potom je spojitá v susedstve γ

kde je súčet zvyškov na póloch g(z) .

Gama funkcia a Stirlingova aproximácia

Faktoriálna funkcia n! je produktom všetkých kladných celých čísel cez n . Funkcia gama rozširuje pojem faktoriál (obvykle definovaný iba pre nezáporné celé čísla) na všetky komplexné čísla, okrem záporných skutočných celých čísel. Keď sa funkcia gama hodnotí na polovičné celé číslo, výsledok obsahuje π napríklad π (1/2) = π < displaystyle Gamma (1/2) = < sqrt < pi >>> a Γ (5 / 2) = 3 π 4 < textstyle Gamma (5/2) = < frac <3 < sqrt < pi >>> <4> >>. [185]

Funkcia gama je definovaná vývojom produktu Weierstrass: [186]

kde γ je Euler-Mascheronova konštanta. Vyhodnotené na z = 1/2 a na druhú, rovnica Γ (1/2) 2 = π sa redukuje na vzorec Wallisovho produktu. Gama funkcia je tiež spojená s Riemannovou zeta funkciou a identitami pre funkčný determinant, v ktorom hrá dôležitú úlohu konštanta π.

Na výpočet hlasitosti sa používa funkcia gama V.n(r) z n-rozmerná guľa o polomere r v euklidovčine n-rozmerný priestor a povrchová plocha Sn−1(r) jeho hranice, (n−1) -dimenzionálna sféra: [187]

Ďalej z funkčnej rovnice vyplýva, že

Funkciu gama je možné použiť na vytvorenie jednoduchej aproximácie faktoriálnej funkcie n! pre veľké n : n! ∼ 2 π n (n e) n < textový štýl n! Sim < sqrt <2 pi n >> vľavo (< frac > vpravo) ^> ktorá je známa ako Stirlingova aproximácia. [188] Rovnako

Ako geometrické použitie Stirlingovej aproximácie nechajme Δn označte štandardný simplex v n-dimenzionálny euklidovský priestor a (n + 1) Δn označte simplex, ktorého všetky strany sú zväčšené o faktor n + 1. Potom

Ehrhartova domnienka o objeme spočíva v tom, že ide o (optimálnu) hornú hranicu objemu konvexného telesa, ktoré obsahuje iba jeden mriežkový bod. [189]

Teória čísel a Riemannova zeta funkcia

Funkcia Riemann zeta ζ(s) sa používa v mnohých oblastiach matematiky. Pri hodnotení o s = 2 dá sa napísať ako

Nájsť jednoduché riešenie pre túto nekonečnú sériu bol slávny problém v matematike nazývaný Bazilejský problém. Leonhard Euler to vyriešil v roku 1735, keď ukázal, že sa rovná π 2/6. [93] Eulerov výsledok vedie k výsledku teórie čísel, že pravdepodobnosť relatívne náhodných dvoch náhodných čísel (tj. Bez zdieľaných faktorov) sa rovná 6 / π 2. [190] [191] Táto pravdepodobnosť je založená na pozorovaní, že pravdepodobnosť, že ktorékoľvek číslo je deliteľné prvočíslom p je 1 /p (napríklad každé 7. celé číslo je deliteľné číslom 7.) Preto je pravdepodobnosť, že obe čísla deliteľné týmto prvočíslom, 1 /p 2, a pravdepodobnosť, že aspoň jeden z nich nie je, je 1 - 1 /p 2. Pre odlišné prvočísla sú tieto udalosti deliteľnosti vzájomne nezávislé, takže pravdepodobnosť, že dve čísla sú relatívne prvoradé, je daná súčinom všetkých prvočísel: [192]

Túto pravdepodobnosť možno použiť v spojení s generátorom náhodných čísel na priblíženie π pomocou prístupu Monte Carlo. [193]

Z riešenia bazilejského problému vyplýva, že geometricky odvodená veličina π je hlboko spojená s distribúciou prvočísel. Toto je zvláštny prípad Weilovej domnienky o Tamagawových číslach, ktorý tvrdí rovnosť podobných nekonečných produktov aritmetika množstvá, lokalizované pri každom prvočísle pa geometrický kvantita: prevrátená hodnota objemu určitého lokálne symetrického priestoru. V prípade bazilejského problému je to hyperbolický 3-násobný SL2(R) / SL2(Z) . [194]

Funkcia zeta tiež uspokojuje Riemannovu funkčnú rovnicu, ktorá zahŕňa π aj funkciu gama:

Ďalej vyhovuje derivácia funkcie zeta

Dôsledkom je, že π možno získať z funkčného determinantu harmonického oscilátora. Tento funkčný determinant sa dá vypočítať pomocou rozšírenia produktu a je ekvivalentný so vzorcom produktu Wallis. [195] Výpočet je možné prepracovať pomocou kvantovej mechaniky, konkrétne variačného prístupu k spektru atómu vodíka. [196]

Fourierova séria

Konštanta π sa tiež prirodzene objavuje vo Fourierových radoch periodických funkcií. Periodické funkcie sú funkcie v skupine T =R/Z zlomkových častí reálnych čísel. Fourierov rozklad ukazuje, že ide o funkciu s komplexnou hodnotou f na T možno napísať ako nekonečnú lineárnu superpozíciu unitárnych znakov T . To znamená spojité skupinové homomorfizmy z T do skupiny kruhu U(1) komplexných čísel jednotkového modulu. Je to veta, ktorú každý znak obsahuje T je jednou zo zložitých exponenciálov e n (x) = e 2 π i n x < displaystyle e_(x) = e ^ <2 pi inx >>.

Na ňom je jedinečný znak T , až po komplexnú konjugáciu, to je skupinový izomorfizmus. Použitím Haarovej miery na kruhovej skupine je konštanta π polovičnou veľkosťou derivátu Radon – Nikodym tohto znaku. Ostatné znaky majú deriváty, ktorých veľkosti sú kladné integrálne násobky 2 π. [22] Výsledkom je, že konštanta π je jedinečné číslo také, že skupina T, vybavený svojou Haarovou mierou, je Pontrjagin duálny k mriežke integrálnych násobkov 2 π. [198] Toto je verzia jednorozmerného Poissonovho súčtu vzorca.

Modulárne formy a theta funkcie

Konštanta π je hlboko spojená s teóriou modulárnych foriem a funkcií theta. Napríklad Chudnovského algoritmus zahŕňa podstatným spôsobom j-invariant eliptickej krivky.

čo je druh modulárnej formy nazývanej jakobiho forma. [199] Toto sa niekedy píše v zmysle nómu. Q = e π i τ < displaystyle q = e ^ < pi i tau >>.

Konštanta π je jedinečná konštanta, ktorá robí z Jacobiho theta funkcie automorfnú formu, čo znamená, že sa transformuje špecifickým spôsobom. Určité identity platia pre všetky automorfné formy. Príkladom je

z čoho vyplýva, že θ sa transformuje ako reprezentácia pod diskrétnou Heisenbergovou skupinou. Všeobecné modulárne formy a ďalšie funkcie theta tiež zahŕňajú π, opäť kvôli vete o Stone-von Neumannovi. [199]

Cauchyho rozdelenie a teória potenciálu

je funkcia hustoty pravdepodobnosti. Celková pravdepodobnosť sa rovná jednej, vďaka integrálu:

Shannonova entropia Cauchyovho rozdelenia sa rovná ln (4π), čo tiež zahŕňa π.

Cauchyho rozdelenie hrá v teórii potenciálu dôležitú úlohu, pretože je to najjednoduchšie Furstenbergovo opatrenie, klasické Poissonovo jadro spojené s Brownovým pohybom v polrovine. [200] Konjugované harmonické funkcie, a teda aj Hilbertova transformácia, sú spojené s asymptotikou Poissonovho jadra. Hilbertova transformácia H je integrálna transformácia daná Cauchovou zásadnou hodnotou singulárneho integrálu

Konštanta π je jedinečný (pozitívny) normalizačný faktor taký, že H definuje lineárnu komplexnú štruktúru v Hilbertovom priestore štvorcových integrovateľných funkcií so skutočnou hodnotou na reálnej línii. [201] Hilbertovu transformáciu, podobne ako Fourierovu transformáciu, možno charakterizovať čisto z hľadiska jej transformačných vlastností na Hilbertovom priestore L 2 (R): až do normalizačného faktora je to jedinečný ohraničený lineárny operátor, ktorý pendluje s kladnými dilatáciami a anti-dochádza so všetkými odrazmi skutočnej čiary. [202] Konštanta π je jedinečný normalizačný faktor, vďaka ktorému je táto transformácia jednotná.

Komplexná dynamika

Výskyt π vo fraktále Mandelbrotovej sady objavil David Boll v roku 1991. [203] Skúmal správanie Mandelbrotovej sady blízko „krku“ o (- 0,75, 0). Ak sú body so súradnicami (−0,75, ε) sa považujú, pretože ε má tendenciu k nule, počet iterácií, kým divergencia pre bod vynásobená ε nebude konvergovať k π. Bod (0,25 + ε, 0) na vrchole veľkého „údolia“ na pravej strane Mandelbrotovej množiny sa správa podobne: počet iterácií, kým divergencia vynásobená druhou odmocninou ε má tendenciu k π. [203] [204]

Opis fyzikálnych javov

Aj keď nejde o fyzikálnu konštantu, π sa bežne objavuje v rovniciach popisujúcich základné princípy vesmíru, často kvôli vzťahu π ku kružnici a ku sférickým súradnicovým systémom. Jednoduchý vzorec z oblasti klasickej mechaniky dáva približné obdobie T jednoduchého dĺžkového kyvadla Ľ , hojdajúci sa s malou amplitúdou ( g je gravitačné zrýchlenie Zeme): [205]

Jedným z kľúčových vzorcov kvantovej mechaniky je Heisenbergov princíp neurčitosti, ktorý ukazuje, že neistota pri meraní polohy častice (Δ X ) a hybnosť (Δ p ) nemôžu byť súčasne ľubovoľne malé (kde h je Planckova konštanta): [206]

Skutočnosť, že π je približne rovná 3, zohráva úlohu v relatívne dlhej životnosti ortopositronia. Obrátená životnosť na najnižší poriadok v konštante jemnej štruktúry α je [207]

kde m je hmotnosť elektrónu.

π je prítomné v niektorých vzorcoch pozemného staviteľstva, ako je napríklad vzperový vzorec odvodený od Eulera, ktorý dáva maximálne axiálne zaťaženie F že dlhý štíhly stĺp dĺžky Ľ , modul pružnosti E a plošný moment zotrvačnosti Ja unesie bez vybočenia: [208]

Pole dynamiky tekutín obsahuje π v Stokesovom zákone, ktorý sa približuje trecej sile F pôsobiace na malé sférické objekty s polomerom R , pohybujúci sa rýchlosťou v v tekutine s dynamickou viskozitou η : [209]

V elektromagnetike je permeabilita vákua konštantná μ0 sa objavuje v Maxwellových rovniciach, ktoré popisujú vlastnosti elektrických a magnetických polí a elektromagnetického žiarenia. Pred 20. májom 2019 bola definovaná presne

Vzťah pre rýchlosť svetla vo vákuu, c možno odvodiť z Maxwellových rovníc v prostredí klasického vákua pomocou vzťahu medzi μ0 a elektrická konštanta (vákuová permitivita), ε0 v jednotkách SI:

Za ideálnych podmienok (rovnomerný mierny sklon na homogénne rozložiteľnom substráte) sa kľukatosť meandrujúcej rieky blíži k π. Sinuozita je pomer medzi skutočnou dĺžkou a priamou vzdialenosťou od zdroja k ústam. Rýchlejšie prúdy pozdĺž vonkajších okrajov ohybov rieky spôsobujú väčšiu eróziu ako pozdĺž vnútorných okrajov, čím zatláčajú zákruty ešte ďalej a zvyšujú celkovú kľučku rieky. Táto lomivosť však nakoniec spôsobí, že sa rieka miestami zdvojnásobí a „skratuje“, čím sa v priebehu procesu vytvorilo jazero vola. Rovnováha medzi týmito dvoma protichodnými faktormi vedie k priemernému pomeru π medzi skutočnou dĺžkou a priamou vzdialenosťou medzi zdrojom a ústami. [210] [211]

Zapamätanie si číslic

Pipilológia je prax zapamätávania veľkého množstva číslic π [212] a svetové rekordy vedie Guinnessove svetové rekordy. Rekord na zapamätanie číslic π, certifikovaný Guinnessovými svetovými rekordmi, je 70 000 číslic, ktoré v Indii predniesol Rajveer Meena 21. marca 2015 za 9 hodín a 27 minút. [213] V roku 2006 tvrdila Akira Haraguchi, japonská inžinierka vo výslužbe. recitovať 100 000 desatinných miest, ale nárok nebol overený Guinnessovými svetovými rekordmi. [214]

Jednou z bežných metód je memorovanie príbehu alebo básne, v ktorej dĺžka slova predstavuje číslicu π: Prvé slovo má tri písmená, druhé slovo má jedno, tretie má štyri, štvrté má jedno, piate má päť a tak ďalej. Takéto pomôcky na zapamätanie sa nazývajú mnemotechnické pomôcky. Skorým príkladom mnemotechniky pre pí, ktorú pôvodne vytvoril anglický vedec James Jeans, je „Ako chcem alkoholický nápoj, samozrejme po náročných prednáškach obsahujúcich kvantovú mechaniku.“ [212] Keď sa použije báseň, niekedy sa označuje ako a piem. [215] Básne na zapamätanie π boli okrem angličtiny komponované aj v niekoľkých jazykoch. [212] Pamäťové programy π, ktoré nastavujú záznam, sa zvyčajne nespoliehajú na básne, ale namiesto toho používajú metódy, ako je zapamätanie si číselných vzorov a metóda lokusov. [216]

Niekoľko autorov použilo číslice π na vytvorenie novej formy obmedzeného písma, kde sú dĺžky slov potrebné na vyjadrenie číslic π. The Kadeka Cadenza obsahuje prvých 3835 číslic π týmto spôsobom [217] a celú knihu Nie Wake obsahuje 10 000 slov, každé predstavuje jednu číslicu π. [218]

V populárnej kultúre

Možno pre jednoduchosť jeho definície a jeho všadeprítomnú prítomnosť vo vzorcoch bol π v populárnej kultúre zastúpený viac ako iné matematické konštrukcie. [219]

V roku 2008 v koprodukcii dokumentárnych filmov Open University a BBC, Príbeh matematikyBritský matematik Marcus du Sautoy, ktorý odvysielali v októbri 2008 na stanici BBC Four, ukazuje vizualizáciu - historicky prvého presného - vzorca na výpočet π pri návšteve Indie a skúmaní jej prínosov pre trigonometriu. [220]

V Palais de la Découverte (vedecké múzeum v Paríži) sa nachádza kruhová miestnosť známa ako pi izba. Na jeho stene je napísaných 707 číslic π. Číslice sú veľké drevené znaky pripevnené k kupolovitému stropu. Číslice boli založené na výpočte z roku 1874 anglického matematika Williama Shanksa, ktorý obsahoval chybu začínajúcu sa na 528. číslici. Chyba bola zistená v roku 1946 a opravená v roku 1949. [221]

V románe Carla Sagana Kontakt navrhuje sa, aby tvorca vesmíru pochoval správu hlboko do číslic π. [222] Číslice π boli tiež začlenené do textu piesne „Pi“ z albumu Anténa autorka Kate Bush. [223]

V epizóde Star Trek Vlk v záhybe je počítač mimo kontrolu obsiahnutý v pokynoch, aby „Vypočítal hodnotu π na poslednú číslicu“, aj keď „π je transcendentálna postava bez rozlíšenia“. [224]

V Spojených štátoch pripadá Deň Pi na 14. marca (písaný 3/14 v americkom štýle) a je obľúbený medzi študentmi. [225] π a jeho digitálna reprezentácia sú často používané samopísanými „matematickými geekmi“ pre vtipy medzi matematicky a technologicky zameranými skupinami. Niekoľko povzbudení na vysokej škole na Massachusetts Institute of Technology obsahuje „3.14159“. [226] Deň pí v roku 2015 bol obzvlášť významný, pretože dátum a čas 14/15/15 9:26:53 odrážali oveľa viac číslic pí. [227] [228] V častiach sveta, kde sú dátumy bežne zaznamenávané vo formáte deň / mesiac / rok, predstavuje 22. júl „Pi Aproximation Day“, teda 22/7 = 3,142857. [229]

Počas aukcie v roku 2011 o portfólio cenných technologických patentov spoločnosti Nortel uskutočnil Google sériu neobvykle špecifických ponúk založených na matematických a vedeckých konštantách, vrátane π. [230]

V roku 1958 Albert Eagle navrhol nahradiť π τ (tau), kde τ = π/ 2, pre zjednodušenie vzorcov. [231] Nie je však známe, že by iní autori používali τ týmto spôsobom. Niektorí používajú inú hodnotu, τ = 2π = 6,18318. , [232] argumentujúc tým, že τ, ako počet radiánov v jednom ťahu alebo ako pomer obvodu kruhu k jeho polomeru, a nie k jeho priemeru, je prirodzenejší ako π a zjednodušuje mnoho vzorcov. [233] [234] Oslavy tohto čísla, pretože sa rovná približne 6,28, tým, že sa 28. jún bude konať „Deň Tau“ a bude sa jesť „dvojnásobok koláča“ [235], informujú médiá. Toto použitie τ sa však nedostalo do bežnej matematiky. [236]

V roku 1897 sa amatérsky matematik pokúsil presvedčiť indiánsky zákonodarný zbor, aby schválil návrh zákona Indiana Pi, ktorý opísal metódu štvorcového kruhu a obsahoval text, ktorý implikoval rôzne nesprávne hodnoty pre π, vrátane bodu 3.2. Návrh zákona je notoricky známy ako pokus o stanovenie hodnoty vedeckej konštanty legislatívnym zámerom. Návrh zákona prijal Snemovňa reprezentantov v Indiane, Senát ho však zamietol, čo znamená, že sa nestal zákonom. [237]

V počítačovej kultúre

V súčasnej internetovej kultúre jednotlivci a organizácie často vzdávajú hold číslu π. Napríklad informatik Donald Knuth nechal čísla verzií svojho programu TeX priblížiť k π. Verzie sú 3, 3.1, 3.14 atď. [238]

Poznámky

  1. ^ Presný integrál, ktorý použil Weierstrass, bol π = ∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2. < displaystyle pi = int _ <- infty> ^ < infty> < frac <1 + x ^ <2> >>.> Remmert 2012, s. 148
  2. ^ Zobrazený polynóm je prvých pár výrazov Taylorovho radu rozšírenia sínusovej funkcie.
  3. ^ Údajne postavené tak, aby kruh, ktorého polomer sa rovná výške pyramídy, mal obvod rovný obvodu základne

Citácie

  1. ^ Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos: alebo Nový úvod do matematiky. s. 243, 263. Archivované od originálu 25. marca 2012. Získané 15. októbra 2017.
  2. ^
  3. „Kompendium matematických symbolov“. Matematický trezor. 1. marca 2020. Získané 10. augusta 2020.
  4. ^ abcde
  5. Weisstein, Eric W. „Pi“. mathworld.wolfram.com . Získané 10. augusta 2020.
  6. ^
  7. Bogart, Steven. „Čo je Pi a ako to vzniklo?“. Scientific American . Získané 10. augusta 2020.
  8. ^Andrews, Askey & amp Roy Roy 1999, s. 59.
  9. ^Gupta 1992, s. 68–71.
  10. ^
  11. "π e bilión číslic π". pi2e.ch. Archivované od originálu 6. decembra 2016.
  12. ^
  13. Haruka Iwao, Emma (14. marca 2019). „Pi na oblohe: Výpočet rekordných 31,4 bilióna číslic konštanty Archimedes v službe Google Cloud.“ Google Cloud Platform. Archivované od originálu 19. októbra 2019. Získané 12. apríla 2019.
  14. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 17.
  15. ^Bailey a kol. 1997, s. 50–56.
  16. ^Boeing 2016.
  17. ^
  18. „pi“. Dictionary.reference.com. 2. marca 1993. Archivované od originálu 28. júla 2014. Získané 18. júna 2012.
  19. ^ abcArndt & amp Haenel 2006, s. 8.
  20. ^
  21. Apostol, Tom (1967). Počet, objem 1 (2. vyd.). Wiley. . p. 102: „Z logického hľadiska je to v súčasnej fáze neuspokojivé, pretože sme ešte nehovorili o koncepcii dĺžky oblúka.“ Dĺžka oblúka je uvedená na str. 529.
  22. ^ abcRemmert 2012, s. 129.
  23. ^
  24. Baltzer, Richard (1870), Die Elemente der Mathematik [Prvky matematiky] (v nemčine), Hirzel, s. 195, archivované od originálu 14. septembra 2016
  25. ^
  26. Landau, Edmund (1934), Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (v nemčine), Noordoff, s. 193
  27. ^ ab
  28. Rudin, Walter (1976). Princípy matematickej analýzy . McGraw-Hill. ISBN978-0-07-054235-8. , s. 183.
  29. ^
  30. Rudin, Walter (1986). Reálna a komplexná analýza. McGraw-Hill. , s. 2.
  31. ^
  32. Ahlfors, Lars (1966), Komplexná analýza, McGraw-Hill, s. 46
  33. ^
  34. Bourbaki, Nicolas (1981), Topologie generale, Springer, §VIII.2.
  35. ^ ab
  36. Bourbaki, Nicolas (1979), Fonctions d'une variable réelle (vo francúzštine), Springer, §II.3.
  37. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 5.
  38. ^
  39. Salikhov, V. (2008). „O miere iracionality pí“. Ruské matematické prieskumy. 53 (3): 570–572. Bibcode: 2008RuMaS..63..570S. doi: 10.1070 / RM2008v063n03ABEH004543.
  40. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 22–23
  41. Preuss, Paul (23. júla 2001). „Sú číslice pí náhodné? Kľúč môže držať laboratórny výskumník“. Lawrence Berkeley National Laboratory. Archivované od originálu 20. októbra 2007. Získané 10. novembra 2007.
  42. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 22, 28–30.
  43. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 3.
  44. ^
  45. Mayer, Steve. "Transcendencia π". Archivované od originálu 29. septembra 2000. Získané 4. novembra 2007.
  46. ^Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 25
  47. ^Eymard & amp Lafon 1999, s. 129
  48. ^Beckmann 1989, s. 37
  49. Schlager, Neil Lauer, Josh (2001). Veda a jej doba: Pochopenie spoločenského významu vedeckého objavu . Gale Group. ISBN978-0-7876-3933-4. Archivované od originálu 13. decembra 2019. Získané 19. decembra 2019. , s. 185.
  50. ^ abEymard & amp Lafon 1999, s. 78
  51. ^
  52. Sloane, N. J. A. (vyd.). "Poradie A001203 (pokračujúca časť pre Pi)". On-line encyklopédia celočíselných sekvencií. Nadácia OEIS. Získané 12. apríla 2012.
  53. ^
  54. Lange, L. J. (máj 1999). "Elegantná pokračujúca zlomok pre π". Americký matematický mesačník. 106 (5): 456–458. doi: 10,2307 / 2589152. JSTOR2589152.
  55. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 240.
  56. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 242.
  57. ^
  58. Kennedy, E.S. (1978), „Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048“, Časopis pre dejiny astronómie, 9: 65, Bibcode: 1978JHA. 9. 65 tis., Doi: 10,1177 / 002182867800900106, S2CID126383231. Ptolemaios použil tri-šesťdesiatimiestne číselné priblíženie a Džamšíd al-Káší to rozšíril na deväť číslic.
  59. Aaboe, Asger (1964), Epizódy z raných dejín matematiky, Nová matematická knižnica, 13, New York: Random House, s. 125, ISBN978-0-88385-613-0, archivované od originálu 29. novembra 2016
  60. ^Ayers 1964, s. 100
  61. ^ abBronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 592
  62. ^ Maor, Eli, E: Príbeh čísla, Princeton University Press, 2009, s. 160, 978-0-691-14134-3 („päť najdôležitejších“ konštánt).
  63. ^
  64. Weisstein, Eric W. „Roots of Unity“. MathWorld.
  65. ^ Petrie, W.M.F. Múdrosť Egypťanov (1940)
  66. ^ Verner, Miroslav. Pyramídy: Tajomstvo, kultúra a veda o veľkých pamiatkach Egypta. Grove Press. 2001 (1997). 0-8021-3935-3
  67. ^Rossi 2004.
  68. ^ Legon, J.A.R. O rozmeroch a proporciách pyramídy (1991) Diskusie v egyptológii (20) 25–34
  69. „Proporcie egyptskej pyramídy“. Archivované od originálu 18. júla 2011. Získané 7. júna 2011.
  70. ^ „Môžeme dospieť k záveru, že hoci starí Egypťania nedokázali presne definovať hodnotu π, v praxi ju využili.“
  71. Verner, M. (2003). Pyramídy: ich archeológia a história. , s. 70.
  72. Petrie (1940). Múdrosť Egypťanov. , s. 30.
    Pozri tiež
  73. Legon, J.A.R. (1991). „O rozmeroch a proporciách pyramídy“. Diskusie v egyptológii. 20: 25–34. Archivované od originálu 18. júla 2011..
    Pozri tiež
  74. Petrie, W.M.F. (1925). „Prieskumy Veľkých pyramíd“. Príroda. 116 (2930): 942. Bibcode: 1925Natur.116..942P. doi: 10.1038 / 116942a0. S2CID33975301.
  75. ^Rossi 2004, s. 60–70, 200.
  76. ^Shermer, Michael, Skeptická encyklopédia pseudovied, ABC-CLIO, 2002, s. 407–408, 978-1-57607-653-8.
    Pozri tiež Fagan, Garrett G., Archeologické fantázie: Ako pseudoarcheológia skresľuje minulosť a zavádza verejnosť, Routledge, 2006, 978-0-415-30593-8.
    Zoznam vysvetlení tvaru, ktoré neobsahujú π, nájdete na
  77. Herz-Fischler, Roger (2000). Tvar Veľkej pyramídy. Wilfrid Laurier University Press. s. 67–77, 165–166. ISBN978-0-88920-324-2. Archivované od originálu 29. novembra 2016. Získané 5. júna 2013.
  78. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 167.
  79. ^ Čaitanja, Krišna. Profil indickej kultúry. Archivované 29. novembra 2016 v spoločnosti Wayback Machine Indian Book Company (1975). p. 133.
  80. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 169.
  81. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 170.
  82. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 175, 205.
  83. ^
  84. „Výpočet Pi Archimedom: Výpočet Pi Archimedom - výmena súborov - MATLAB Central“. Mathworks.com. Archivované od originálu 25. februára 2013. Získané 12. marca 2013.
  85. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 171.
  86. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 176.
  87. ^Boyer & amp Merzbach 1991, s. 168.
  88. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger dosiahol 39 číslic v roku 1630 Sharp 71 číslic v roku 1699.
  89. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 176–177.
  90. ^ abBoyer & amp Merzbach 1991, s. 202
  91. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 177.
  92. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 178.
  93. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 179.
  94. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 180.
  95. ^
  96. Azarian, Mohammad K. (2010). „al-Risāla al-muhītīyya: Zhrnutie“. Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85. doi: 10,35834 / mjms / 1312233136.
  97. ^
  98. O'Connor, John J. Robertson, Edmund F. (1999). „Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi“. Archív histórie matematiky MacTutor. Archivované od originálu 12. apríla 2011. Získané 11. augusta 2012.
  99. ^ abcArndt & amp Haenel 2006, s. 182.
  100. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 182–183.
  101. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 183.
  102. ^
  103. Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (v latinčine). Archivované z originálu (PDF) 1. februára 2014. Jeho hodnotenie bolo 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 & lt π & lt 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
  104. ^ abArndt & amp. Haenel 2006, s. 185–191
  105. ^Roy 1990, s. 101–102.
  106. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 185–186.
  107. ^ abcRoy 1990, s. 101–102
  108. ^Joseph 1991, s. 264.
  109. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 188. Newton, ktorý citoval Arndt.
  110. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 187.
  111. ^OEIS: A060294
  112. ^Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII.
  113. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 188–189.
  114. ^ abEymard & amp Lafon 1999, s. 53–54
  115. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 189.
  116. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 156.
  117. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 192–193.
  118. ^ abArndt & amp. Haenel 2006, s. 72–74
  119. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 192–196, 205.
  120. ^ abArndt & amp. Haenel 2006, s. 194–196
  121. ^ ab
  122. Borwein, J. M. Borwein, P. B. (1988). „Ramanujan a Pi“. Scientific American. 256 (2): 112–117. Bibcode: 1988SciAm.258b.112B. doi: 10,1038 / scientificamerican0288-112.
    Arndt & amp Haenel 2006, s. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
  123. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 69–72.
  124. ^
  125. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Dilcher, K. (1989). „Pi, Eulerove čísla a asymptotické rozšírenia“. Americký matematický mesačník. 96 (8): 681–687. doi: 10,2307 / 2324715. hdl: 1959,13 / 1043679. JSTOR2324715.
  126. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 223: (vzorec 16.10).
  127. ^
  128. Wells, David (1997). Slovník tučniakov zaujímavých a zaujímavých čísel (prepracované vydanie). Tučniak. p. 35. ISBN978-0-14-026149-3.
  129. ^ abPosamentier & amp Lehmann 2004, s. 284
  130. ^ Lambert, Johann, „Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques“, znovu vydané v publikácii Berggren, Borwein & amp Borwein 1997, s. 129–140
  131. ^
  132. Lindemann, F. (1882), „Über die Ludolph'sche Zahl“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 2: 679–682
  133. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 196.
  134. ^ Hardy a Wright 1938 a 2000: poznámka pod čiarou k odkazu 177, § 11.13–14 odkazuje na Lindemannov dôkaz, ktorý sa objavuje na Matematika. Ann. 20 (1882), 213–225.
  135. ^ por. Hardy a Wright 1938 a 2000: poznámka pod čiarou 177, § 11.13–14. Dôkazy o tom, že e a π sú transcendentálne, nájdete na s. 170–176. Uvádzajú dva zdroje dôkazov v Landau 1927 alebo Perron 1910, úplné citácie sú uvedené v „zozname kníh“ na s. 417–419.
  136. ^
  137. Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos: alebo Nový úvod do matematiky. s. 243, 263. Archivované od originálu 25. marca 2012. Získané 15. októbra 2017.
  138. ^
  139. Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (v latinčine). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson. δ.π :: polmer. semiperiféria
  140. ^ ab
  141. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations: Zv. II. Cosimo, Inc. s. 8–13. ISBN978-1-60206-714-1. pomer dĺžky kruhu k jeho priemeru bol zastúpený vo zlomkovej podobe použitím dvoch písmen. J.A. Segner. v roku 1767 predstavoval 3,14159. o δ: π, rovnako ako Oughtred pred viac ako storočím
  142. ^ ab
  143. Smith, David E. (1958). Dejiny matematiky. Courier Corporation. p. 312. ISBN978-0-486-20430-7.
  144. ^
  145. Archibald, R.C. (1921). „Historické poznámky o vzťahu e - (π / 2) = i i < displaystyle e ^ <- ( pi / 2)> = i ^> ". Americký matematický mesačník. 28 (3): 116–121. doi: 10,2307 / 2972388. JSTOR2972388. Je zrejmé, že tieto písmená sú nikdy používa sa samostatne, to znamená, že π je nie používa sa na 'Semiperipheria'
  146. ^ abcdArndt & amp Haenel 2006, s. 166.
  147. ^ Pozri napríklad
  148. Oughtred, William (1648). Clavis Mathematicæ [Kľúč k matematike] (v latinčine). Londýn: Thomas Harper. p. 69. (anglický preklad:
  149. Oughtred, William (1694). Kľúč k matematike. J. Salusbury. )
  150. ^
  151. Barrow, Izák (1860). „Prednáška XXIV“. In Whewell, William (ed.). Matematické práce Isaaca Barrowa (v latinčine). Harvardská univerzita. Cambridge University press. p. 381.
  152. ^
  153. Gregorii, Davidis (1695). „Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & amp S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae“. Filozofické transakcie (v latinčine). 19: 637–652. Bibcode: 1695RSPT. 19..637G. doi: 10,1098 / rstl.1695.0114. JSTOR102382.
  154. ^
  155. Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos: alebo Nový úvod do matematiky. s. 243, 263. Archivované od originálu 25. marca 2012. Získané 15. októbra 2017.
  156. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 165: Faksimile Jonesovho textu je v Berggren, Borwein & amp Borwein 1997, s. 108–109.
  157. ^ Pozri Schepler 1950, s. 220: William Oughtred používal písmeno π na vyjadrenie obvodu (tj. Obvodu) kruhu.
  158. ^
  159. Segner, Joannes Andreas (1756). Cursus Mathematicus (v latinčine). Halae Magdeburgicae. p. 282. Archivované od originálu 15. októbra 2017. Získané 15. októbra 2017.
  160. ^
  161. Euler, Leonhard (1727). „Tentamen explicationis phaenomenorum aeris“ (PDF). Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (v latinčine). 2: 351. E007. Archivované (PDF) z originálu 1. apríla 2016. Získané 15. októbra 2017. Sumatur pro ratione radii adipheriem, I: π Anglický preklad Iana Brucea Archivované 10. júna 2016 na stroji Wayback Machine: „π sa berie ako pomer polomeru k periférii [všimnite si, že v tejto práci je Eulerov π dvojnásobok nášho π. ] "
  162. ^
  163. Euler, Leonhard (1747). Henry, Charles (ed.). Lettres inédites d'Euler à d'Alembert. Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (francuzsky). 19 (publikované 1886). p. 139. E858. Auto, so π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1 anglický preklad v
  164. Cajori, Florian (1913). "História exponenciálnych a logaritmických koncepcií". Americký matematický mesačník. 20 (3): 75–84. doi: 10,2307 / 2973441. JSTOR2973441. Nechajte π byť obvod (!) Kruhu s polomerom jednotky
  165. ^
  166. Euler, Leonhard (1736). „Príloha č. 3, 34, kor. 1“. Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis) (v latinčine). 1. Academiae scientiarum Petropoli. p. 113. E015. Denotet 1: π rationem diametri ad edgeiam Anglický preklad Ian Bruce Archivované 10. júna 2016 na stroji Wayback Machine: „Nech 1: π označuje pomer priemeru k obvodu“
  167. ^
  168. Euler, Leonhard (1707–1783) (1922). Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio (v latinčine). Lipsae: B.G. Teubneri. s. 133–134. E101. Archivované od originálu 16. októbra 2017. Získané 15. októbra 2017.
  169. ^
  170. Segner, Johann Andreas von (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (v latinčine). Renger. p. 374. Si autem π ​​notet periférne cirkuly, priemer cuius eſt 2
  171. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 205.
  172. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 197.
  173. ^Reitwiesner 1950.
  174. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 15–17.
  175. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 131.
  176. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 132, 140.
  177. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 87.
  178. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 111 (5-krát), s. 113–114 (4-krát): Podrobnosti o algoritmoch nájdete v dokumente Borwein & amp Borwein 1987.
  179. ^ abc
  180. Bailey, David H. (16. mája 2003). „Niektoré informácie o nedávnom výpočte Pi v Kanade“ (PDF). Archivované (PDF) z originálu 15. apríla 2012. Získané 12. apríla 2012.
  181. ^
  182. James Grime, Pi a veľkosť vesmíru„Numberphile, archivovaná z pôvodného dokumentu 6. decembra 2017, získaná 25. decembra 2017
  183. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 17–19
  184. ^
  185. Schudel, Matt (25. marca 2009). „John W. Wrench, Jr.: Matematik mal chuť na Pi“. The Washington Post. p. B5.
  186. ^
  187. Connor, Steve (8. januára 2010). „Veľká otázka: Ako blízko sme sa dostali k presnej hodnote pí?“. Nezávislý. Londýn. Archivované od originálu 2. apríla 2012. Získané 14. apríla 2012.
  188. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 18.
  189. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 103–104
  190. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 104
  191. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 104, 206
  192. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 110–111
  193. ^Eymard & amp Lafon 1999, s. 254
  194. ^ ab„2. kolo. 10 biliónov číslic pí“, archivované 1. januára 2014 v stroji Wayback, NumberWorld.org, 17. októbra 2011. Získané 30. mája 2012.
  195. ^
  196. Timothy Revell (14. marca 2017). "Oslávte deň pi s 9 biliónmi ďalších číslic ako kedykoľvek predtým". Nový vedec. Archivované od originálu 6. septembra 2018. Získané 6. septembra 2018.
  197. ^
  198. „Pi“. Archivované od originálu 31. augusta 2018. Získané 6. septembra 2018.
  199. ^
  200. "Záznam Pi sa vracia do osobného počítača". 20. januára 2020. Získané 30. septembra 2020.
  201. ^ PSLQ znamená čiastočný súčet najmenších štvorcov.
  202. ^
  203. Plouffe, Simon (apríl 2006). „Identity inspirated of Ramanujan's Notebooks (part 2)“ (PDF). Archivované (PDF) od originálu 14. januára 2012. Získané 10. apríla 2009.
  204. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 39
  205. ^
  206. Ramaley, J. F. (október 1969). „Buffon's Noodle Problem“. Americký matematický mesačník. 76 (8): 916–918. doi: 10,2307 / 2317945. JSTOR2317945.
  207. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 39–40
    Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 105
  208. ^
  209. Grünbaum, B. (1960), "Projekčné konštanty", Trans. Amer. Matematika. Soc., 95 (3): 451–465, doi: 10,1090 / s0002-9947-1960-0114110-9
  210. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 43
    Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 105–108
  211. ^ abArndt & amp. Haenel 2006, s. 77–84.
  212. ^ ab Gibbons, Jeremy, „Bez obmedzenia spigotové algoritmy pre číslice pí“, archivované 2. decembra 2013 v Wayback Machine., 2005. Gibbons vytvoril vylepšenú verziu Wagonovho algoritmu.
  213. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 77.
  214. ^
  215. Rabinowitz, Stanley Wagon, Stan (marec 1995). Msgstr "Spigotový algoritmus pre číslice Pi". Americký matematický mesačník. 102 (3): 195–203. doi: 10,2307 / 2975006. JSTOR2975006. Bol vytvorený počítačový program, ktorý implementuje spagotový algoritmus spoločnosti Wagon iba do 120 znakov softvéru.
  216. ^ abArndt & amp Haenel 2006, s. 117, 126–128.
  217. ^
  218. Bailey, David H. Borwein, Peter B. Plouffe, Simon (apríl 1997). „O rýchlom výpočte rôznych polylogaritmických konštánt“ (PDF). Matematika výpočtu. 66 (218): 903–913. Bibcode: 1997MaCom..66..903B. CiteSeerX10.1.1.55.3762. doi: 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9. Archivované (PDF) z originálu 22. júla 2012.
  219. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 128. Plouffe vytvoril algoritmus extrakcie desatinných číslic, ale je pomalší ako úplný priamy výpočet všetkých predchádzajúcich číslic.
  220. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 20
    Bellardov vzorec v:
  221. Bellard, Fabrice. Msgstr "Nový vzorec na výpočet n-tej binárnej číslice pí". Archivované od originálu 12. septembra 2007. Získané 27. októbra 2007.
  222. ^
  223. Palmer, Jason (16. septembra 2010). "Rekord Pi bol prekonaný, keď tím našiel dvojštvrbiliónovú číslicu". správy BBC. Archivované od originálu 17. marca 2011. Získané 26. marca 2011.
  224. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 200, 209
  225. ^
  226. Euler, Leonhard (1781). „De curvis triangularibus“. Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (v latinčine). 1778 (II): 3–30.
  227. ^
  228. Lay, Steven R. (2007), Konvexné množiny a ich aplikácie, Dover, Theorem 11.11, s. 81–82, ISBN9780486458038.
  229. ^
  230. Gardner, Martin (1991). „Kapitola 18: Krivky konštantnej šírky“. Neočakávané zavesenie a iné matematické odchýlky. University of Chicago Press. s. 212–221. ISBN0-226-28256-2.
  231. ^
  232. Rabinowitz, Stanley (1997). „Polynomiálna krivka konštantnej šírky“ (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 9 (1): 23–27. doi: 10,35834 / 1997/0901023. MR1455287.
  233. ^
  234. Weisstein, Eric W. „Polkruh“. MathWorld.
  235. ^ abAyers 1964, s. 60
  236. ^ abBronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 210–211
  237. ^
  238. Hilbert, David Courant, Richard (1966), Metódy matematickej fyziky, ročník 1, Wiley, s. 286–290
  239. ^
  240. Dym, H. McKean, H.P. (1972), Fourierove rady a integrály, Academic Press, s. 47
  241. ^
  242. Chavel, Izák (2001), Izoperimetrické nerovnosti, Cambridge University Press
  243. ^
  244. Talenti, Giorgio (1976), „Najlepšia konštanta Sobolevovej nerovnosti“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 110 (1): 353–372, CiteSeerX10.1.1.615.4193, doi: 10,1007 / BF02418013, ISSN1618-1891, S2CID16923822
  245. ^
  246. L. Esposito C. Nitsch C. Trombetti (2011). "Najlepšie konštanty v Poincaréových nerovnostiach pre konvexné domény". arXiv: 1110,2960 [math.AP].
  247. ^
  248. M. Del Pino J. Dolbeault (2002), „Najlepšie konštanty pre nerovnosti Gagliardo – Nirenberg a aplikácie na nelineárne difúzie“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 81 (9): 847–875, CiteSeerX10.1.1.57.7077, doi: 10,1016 / s0021-7824 (02) 01266-7
  249. ^
  250. Payne, L.E. Weinberger, H.F. (1960), „Optimálna Poincarého nerovnosť pre konvexné domény“, Archív pre Rational Mechanics and Analysis, 5 (1): 286–292, Bibcode: 1960ArRMA. 5..286P, doi: 10,1007 / BF00252910, ISSN0003-9527, S2CID121881343
  251. ^
  252. Gerald Folland (1989), Harmonická analýza vo fázovom priestore, Princeton University Press, s. 5
  253. ^Howe 1980
  254. ^ Feller, W. Úvod do teórie pravdepodobnosti a jej aplikácií, roč. 1, Wiley, 1968, s. 174–190.
  255. ^ abBronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 106–107, 744, 748
  256. ^
  257. H. Dym H.P. McKean (1972), Fourierove rady a integrály, Akademická tlač, časť 2.7
  258. ^
  259. Elias Stein Guido Weiss (1971), Fourierova analýza euklidovských priestorov, Princeton University Press, s. 6 Veta 1.13.
  260. ^
  261. V. Ovsienko S. Tabachnikov (2004), Projektívna diferenciálna geometria stará a nová: od schwarzovskej derivácie po kohomológiu skupín difeomorfizmu, Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-83186-4: oddiel 1.3
  262. ^
  263. Michael Spivak (1999), Komplexný úvod do diferenciálnej geometrie, 3, Publikovať alebo zahynúť Press Kapitola 6.
  264. ^
  265. Kobajaši, Šošiči Nomizu, Katsumi (1996), Základy diferenciálnej geometrie, 2 (New ed.), Wiley Interscience, s. 293 Kapitola XII Charakteristické triedy
  266. ^ H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl a všetko, čo: Neformálny text o vektorovom kalkuse, 0-393-96997-5.
  267. ^ Yeo, Adrian, Potešenie pí, e a ďalšie zaujímavé čísla, World Scientific Pub., 2006, s. 21, 978-981-270-078-0.
    Ehlers, Jürgen, Einsteinove poľné rovnice a ich fyzikálne implikácie, Springer, 2000, s. 7, 978-3-540-67073-5.
  268. ^
  269. Lars Ahlfors (1966), Komplexná analýza, McGraw-Hill, s. 115
  270. ^
  271. Weisstein, Eric W. „Cauchyho integrálny vzorec“. MathWorld.
  272. ^ Joglekar, S.D., Matematická fyzika, Universities Press, 2005, s. 166, 978-81-7371-422-1.
  273. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 191–192
  274. ^
  275. Emil Artin (1964), Funkcia gama, Séria Athena vybrané témy z matematiky (1. vyd.), Holt, Rinehart a Winston
  276. ^
  277. Lawrence Evans (1997), Parciálne diferenciálne rovnice, AMS, s. 615.
  278. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971, s. 190
  279. ^
  280. Benjamin Nill Andreas Paffenholz (2014), „O prípade rovnosti v Erhartovej objemovej domnienke“, Pokroky v geometrii, 14 (4): 579–586, arXiv: 1205.1270, doi: 10.1515 / advgeom-2014-0001, ISSN1615-7168, S2CID119125713
  281. ^Arndt & amp. Haenel 2006, s. 41–43
  282. ^ Túto vetu dokázal Ernesto Cesàro v roku 1881. Podrobnejší dôkaz, ako je tu uvedený intuitívny a neformálny, nájdete v Hardy, G.H., Úvod do teórie čísel, Oxford University Press, 2008, 978-0-19-921986-5, veta 332.
  283. ^Ogilvy, C.S. Anderson, J.T., Exkurzie v teórii čísel, Dover Publications Inc., 1988, s. 29–35, 0-486-25778-9.
  284. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 43
  285. ^
  286. Vladimír Platonov Andrej Rapinčuk (1994), Algebraické skupiny a teória čísel, Academic Press, s. 262–265
  287. ^
  288. Sondow, J. (1994), „Analytic Continuation of Riemann's Zeta Function and Values ​​at Negative Integers via Euler's Transformation of Series“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 120 (2): 421–424, CiteSeerX10.1.1.352.5774, doi: 10.1090 / s0002-9939-1994-1172954-7
  289. ^
  290. T. Friedmann C.R. Hagen (2015). "Kvantová mechanická derivácia Wallisovho vzorca pre pí". Journal of Mathematical Physics. 56 (11): 112101. arXiv: 1510.07813. Bibcode: 2015JMP. 56k2101F. doi: 10,1063 / 1,4930800. S2CID119315853.
  291. ^
  292. Tate, John T. (1950), „Fourierova analýza v číselných poliach a Heckeho zeta funkcie“, Algebraická teória čísel (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, DC, s. 305–347, ISBN978-0-9502734-2-6, MR0217026
  293. ^
  294. H. Dym H.P. McKean (1972), Fourierove rady a integrály, Academic Press Kapitola 4
  295. ^ ab
  296. Mumford, David (1983), Tata prednášky o Theta I., Boston: Birkhauser, s. 1–117, ISBN978-3-7643-3109-2
  297. ^
  298. Sidney Port Charles Stone (1978), Brownov pohyb a klasická teória potenciálu, Academic Press, s. 29
  299. ^ *
  300. Titchmarsh, E. (1948), Úvod do teórie Fourierových integrálov (2. vyd.), Oxford University: Clarendon Press (publikované 1986), ISBN978-0-8284-0324-5.
  301. ^
  302. Stein, Elias (1970), Singulárne integrály a vlastnosti diferencovateľnosti funkcií, Princeton University Press Kapitola II.
  303. ^ ab
  304. Klebanoff, Aaron (2001). „Pi v súprave Mandelbrot“ (PDF). Fraktály. 9 (4): 393–402. doi: 10.1142 / S0218348X01000828. Archivované z pôvodného (PDF) 27. októbra 2011. Získané 14. apríla 2012.
  305. ^ Peitgen, Heinz-Otto, Chaos a fraktály: nové hranice vedy, Springer, 2004, s. 801–803, 978-0-387-20229-7.
  306. ^ Halliday, David Resnick, Robert Walker, Jearl, Základy fyziky, 5. vyd., John Wiley & amp Sons, 1997, s. 381, 0-471-14854-7.
  307. ^
  308. Imamura, James M. (17. augusta 2005). „Heisenbergov princíp neurčitosti“. Oregonská univerzita. Archivované od originálu 12. októbra 2007. Získané 9. septembra 2007.
  309. ^
  310. Itzykson, C. Zuber, J.-B. (1980). Teória kvantového poľa (2005 ed.). Mineola, NY: Dover Publications.ISBN978-0-486-44568-7. LCCN2005053026. OCLC61200849.
  311. ^ Low, Peter, Klasická teória štruktúr založená na diferenciálnej rovnici, Archív CUP, 1971, s. 116–118, 978-0-521-08089-7.
  312. ^ Batchelor, G. K., Úvod do dynamiky tekutín, Cambridge University Press, 1967, s. 233, 0-521-66396-2.
  313. ^
  314. Hans-Henrik Stølum (22. marca 1996). „Riečne meandrovanie ako proces samoorganizácie“. Veda. 271 (5256): 1710–1713. Bibcode: 1996Sci. 271,1710S. doi: 10,1126 / science.271.5256.1710. S2CID19219185.
  315. ^Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 140–141
  316. ^ abcArndt & amp. Haenel 2006, s. 44–45
  317. ^„Most Pi Miors Memorized“ (Archív „Väčšina miest Pi“) bol archivovaný 14. februára 2016 v stroji Wayback Machine, Guinness World Records.
  318. ^
  319. Otake, Tomoko (17. decembra 2006). "Ako si môže niekto pamätať 100 000 čísel?". The Japan Times. Archivované od originálu 18. augusta 2013. Získané 27. októbra 2007.
  320. ^
  321. Rosenthal, Jeffrey S. (2018). „Poznámka o Piems“.
  322. ^
  323. Raz, A. Packard, M.G. (2009). "Kus pí: Prieskumná neuroimagingová štúdia kódovania a vyhľadávania číslic v nadradenom memorande". Neurocase. 15 (5): 361–372. doi: 10.1080 / 13554790902776896. PMC4323087. PMID19585350.
  324. ^
  325. Keith, Mike. „Kadejské poznámky z Cadenza a komentár zosilňovača“. Archivované od originálu 18. januára 2009. Získané 29. júla 2009.
  326. ^
  327. Keith, Michael Diana Keith (17. februára 2010). Not A Wake: Sen stelesňujúci číslice (pi) naplno na 10 000 desatinných miest. Vinculum Press. ISBN978-0-9630097-1-5.
  328. ^ Napríklad Pickover nazýva π „najslávnejšou matematickou konštantou všetkých čias“ a Peterson píše: „Zo všetkých známych matematických konštánt však pi naďalej priťahuje najväčšiu pozornosť“, citujúc parfém Givenchy π, Pi (film), a deň Pi ako príklady. Pozri
  329. Pickover, Clifford A. (1995), Kľúče od nekonečna, Wiley & amp Sons, s. 59, ISBN978-0-471-11857-2
  330. Peterson, Ivars (2002), Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles, MAA spectrum, Mathematical Association of America, s. 17, ISBN978-0-88385-537-9, archivovaná od originálu 29. novembra 2016
  331. ^Dokumentárny film BBC „The Story of Maths“, druhá časťArchivované 23. decembra 2014 na stroji Wayback Machine, zobrazujúci vizualizáciu historicky prvého presného vzorca, ktorý sa začína v druhej časti dokumentu 35 min a 20 s.
  332. ^Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 118
    Arndt & amp Haenel 2006, s. 50
  333. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 14. Táto časť príbehu bola z filmového spracovania románu vynechaná.
  334. ^
  335. Gill, Andy (4. novembra 2005). "Recenzia antény". Nezávislý. Archivované od originálu 15. októbra 2006. takmer autistické uspokojenie obsedantno-kompulzívneho matematika fascinovaného písmenom „Pi“ (ktoré poskytuje príležitosť počuť, ako Bush pomaly spieva obrovské kusy príslušného čísla v dĺžke niekoľkých desiatok číslic)
  336. ^
  337. Inverzný (2018). „Deň Pi 2018: Spock používa Pi na zabitie zlého počítača pri„ Star Treku ““.
  338. ^Činnosti v rámci dňa Pi Archivované 4. júla 2013 na adrese archive.today.
  339. ^MIT na zdravieArchivované 19. januára 2009 v stroji Wayback Machine. Získané 12. apríla 2012.
  340. ^
  341. „Šťastný deň Pi! Pozerajte sa na tieto ohromujúce videá detí, ktoré recitujú 3,14“. USAToday.com. 14. marca 2015. Archivované od originálu 15. marca 2015. Získané 14. marca 2015.
  342. ^
  343. Rosenthal, Jeffrey S. (február 2015). „Pi Instant“. Math Horizons. 22 (3): 22. doi: 10,4169 / mathhorizons.22.3.22. S2CID218542599.
  344. ^
  345. Griffin, Andrew. „Deň pí: Prečo niektorí matematici odmietajú oslavovať 14. marca a nebudú dodržiavať deň plný dezertov“. Nezávislý. Archivované od originálu 24. apríla 2019. Získané 2. februára 2019.
  346. ^
  347. „Podivné ponuky spoločnosti Google pre patenty spoločnosti Nortel“. FinancialPost.com. Reuters. 5. júla 2011. Archivované od originálu 9. augusta 2011. Získané 16. augusta 2011.
  348. ^
  349. Eagle, Albert (1958). Eliptické funkcie, ako by mali byť: Účet s aplikáciami, funkcií v novej kanonickej podobe. Galloway a Porter, Ltd. s. ix.
  350. ^ Poradie OEIS: A019692,
  351. ^
  352. Abbott, Stephen (apríl 2012). „Moja premena na tauizmus“ (PDF). Math Horizons. 19 (4): 34. doi: 10,4169 / mathhorizons.19.4.34. S2CID126179022. Archivované (PDF) z pôvodného dokumentu 28. septembra 2013.
  353. ^
  354. Palais, Robert (2001). „π je nesprávne!“ (PDF). Matematický spravodajca. 23 (3): 7–8. doi: 10,1007 / BF03026846. S2CID120965049. Archivované (PDF) z originálu 22. júna 2012.
  355. ^Deň Tau: Prečo by ste mali jesť dvojnásobok koláča - Svetelné roky - Blogy CNN.com Archivované 12. januára 2013 v prístroji Wayback Machine.
  356. ^
  357. „Život pi v žiadnom nebezpečenstve - kampaň expertov so studeným ramenom nahradená tau“. Telegraph India. 30. júna 2011. Archivované od originálu 13. júla 2013.
  358. ^Arndt & amp Haenel 2006, s. 211–212
    Posamentier & amp Lehmann 2004, s. 36–37
  359. Hallerberg, Arthur (máj 1977). „Štvorcový kruh Indiany“. Matematický časopis. 50 (3): 136–140. doi: 10,2307 / 2689499. JSTOR2689499.
  360. ^
  361. Knuth, Donald (3. októbra 1990). „Budúcnosť spoločností TeX a Metafont“ (PDF). TeX Mag. 5 (1): 145. Archivované (PDF) z originálu 13. apríla 2016. Získané 17. februára 2017.

Zdroje

  • Andrews, George E. Askey, Richard Roy, Ranjan (1999). Špeciálne funkcie. Cambridge: University Press. ISBN978-0-521-78988-2.
  • Arndt, Jörg Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN978-3-540-66572-4. Získané 5. júna 2013. Anglický preklad Catriona a David Lischka.
  • Ayers, Frank (1964). Kalkul. McGraw-Hill. ISBN978-0-07-002653-7.
  • Bailey, David H. Plouffe, Simon M. Borwein, Peter B. Borwein, Jonathan M. (1997). "Hľadanie PI". Matematický spravodajca. 19 (1): 50–56. CiteSeerX10.1.1.138.7085. doi: 10,1007 / BF03024340. ISSN0343-6993. S2CID14318695.
  • Beckmann, Peter (1989) [1974]. Dejiny Pi. Svätomartinská tlač. ISBN978-0-88029-418-8.
  • Berggren, Lennart Borwein, Jonathan Borwein, Peter (1997). Pi: Kniha prameňov. Springer-Verlag. ISBN978-0-387-20571-7.
  • Boeing, Niels (14. marca 2016). „Die Welt ist Pi“ [Svet je Pi]. Zeit online (V Nemecku). Archivované od originálu 17. marca 2016. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften. [Ludolfovské číslo alebo číslo kruhu teraz dostalo aj symbol, pod ktorým ho poznáme dnes: William Jones navrhol v roku 1706 grécke písmeno π založené na obvode [περίμετρος], po obvode grécke. Leonhard Euler pevne zakotvil π vo svojich matematických spisoch.]
  • Borwein, Jonathan Borwein, Peter (1987). Pi a AGM: Štúdia v teórii analytického čísla a výpočtovej zložitosti. Wiley. ISBN978-0-471-31515-5.
  • Boyer, Carl B. Merzbach, Uta C. (1991). Dejiny matematiky (2. vyd.). Wiley. ISBN978-0-471-54397-8.
  • Bronshteĭn, Ilia Semendiaev, K.A. (1971). Sprievodca knihou k matematike. Verlag Harri Deutsch. ISBN978-3-87144-095-3.
  • Eymard, Pierre Lafon, Jean Pierre (1999). Číslo Pi. Americká matematická spoločnosť. ISBN978-0-8218-3246-2. , Anglický preklad Stephen Wilson.
  • Gupta, R.C. (1992). „Po zvyšok obdobia v sérii Madhava – Leibniz“. Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
  • Howe, Roger (1980), „O úlohe skupiny Heisenberg v harmonickej analýze“, Bulletin of the American Mathematical Society, 3 (2): 821–844, doi: 10.1090 / S0273-0979-1980-14825-9, MR0578375.
  • Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Princeton University Press. ISBN978-0-691-13526-7. Získané 5. júna 2013.
  • Posamentier, Alfred S. Lehmann, Ingmar (2004). Pi: Biografia najtajomnejšieho čísla na svete . Knihy Prometheus. ISBN978-1-59102-200-8.
  • Reitwiesner, George (1950). "Stanovenie ENIAC pí a e na 2 000 desatinných miest". Matematické tabuľky a ďalšie výpočtové pomôcky. 4 (29): 11–15. doi: 10,2307 / 2002695. JSTOR2002695.
  • Remmert, Reinhold (2012). „Ch. 5 Čo je π?“. In Heinz-Dieter Ebbinghaus Hans Hermes Friedrich Hirzebruch Max Koecher Klaus Mainzer Jürgen Neukirch Alexander Prestel Reinhold Remmert (eds.). Čísla. Springer. ISBN978-1-4612-1005-4.
  • Rossi, Corinna (2004). Architektúra a matematika v starovekom Egypte. Cambridge: University Press. ISBN978-1-107-32051-2.
  • Roy, Ranjan (1990). „Objav sériovej formuly pre pí od Leibniza, Gregoryho a Nilakanthy“. Matematický časopis. 63 (5): 291–306. doi: 10,2307 / 2690896. JSTOR2690896.
  • Schepler, H.C. (1950). „Chronológia pí“. Matematický časopis. 23 (3): 165–170 (január / február), 216–228 (marc / apríl) a 279–283 (máj / jún). doi: 10,2307 / 3029284. JSTOR3029284. . číslo 3. januára / februára, číslo 4 marca / apríla, vydanie 5. mája / júna
  • Thompson, William (1894), „Izoperimetrické problémy“, Séria Nature: Populárne prednášky a adresy, II: 571–592

Ďalšie čítanie

  • Blatner, David (1999). Radosť z Pi. Spoločnosť Walker & amp. ISBN978-0-8027-7562-7.
  • Borwein, Jonathan Borwein, Peter (1984). „Aritmeticko-geometrický priemer a rýchly výpočet elementárnych funkcií“ (PDF). Recenzia SIAM. 26 (3): 351–365. CiteSeerX10.1.1.218.8260. doi: 10.1137 / 1026073.
  • Borwein, Jonathan Borwein, Peter Bailey, David H. (1989). "Ramanujan, modulárne rovnice a aproximácie k pí alebo ako vypočítať jednu miliardu číslic pí". Americký matematický mesačník (Predložený rukopis). 96 (3): 201–219. doi: 10,2307 / 2325206. JSTOR2325206. a Chudnovsky, Gregory V., "Aproximácie a zložité násobenie podľa Ramanujana", in Ramanujan sa vrátil (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, s. 375–396, 468–472
  • Cox, David A. (1984). „Aritmeticko-geometrický priemer Gaussa“. L'Enseignement Mathématique. 30: 275–330.
  • Delahaye, Jean-Paul (1997). Le Fascinant Nombre Pi. Paríž: Bibliothèque Pour la Science. ISBN2-902918-25-9.
  • Engels, Hermann (1977). „Kvadratúra kruhu v starovekom Egypte“. Historia Mathematica. 4 (2): 137–140. doi: 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5. , "O použití zistených zlomkov na sčítanie nekonečných sérií", v Úvod do analýzy nekonečna. Kniha I., z latinčiny preložil J. D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, s. 137–153
  • Hardy, G. H. Wright, E. M. (2000). Úvod do teórie čísel (piate vydanie). Oxford, Veľká Británia: Clarendon Press.
  • Heath, T.L., Diela Archimeda, Cambridge, 1897 dotlač v Diela Archimedes s metódou Archimedes, Dover, 1953, s. 91–98, „De Circuli Magnitudine Inventa“, Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, s. 384–388
  • Lay-Yong, Lam Tian-Se, Ang (1986). „Merania kruhu v starej Číne“. Historia Mathematica. 13 (4): 325–340. doi: 10.1016 / 0315-0860 (86) 90055-8.
  • Lindemann, Ferdinand (1882). „Ueber die Zahl pi“. Mathematische Annalen. 20 (2): 213–225. doi: 10,1007 / bf01446522. S2CID120469397. Archivované od originálu 22. januára 2015.
  • Matar, K. Mukunda Rajagonal, C. (1944). „O hinduistickom kvadratúre kruhu“ (príloha K. Balagangadharan). “. Vestník bombajskej pobočky Kráľovskej ázijskej spoločnosti. 20: 77–82.
  • Niven, Ivan (júl 1947). "Jednoduchý dôkaz, že pi je iracionálne". Bulletin of the American Mathematical Society. 53 (7): 507. doi: 10,1090 / S0002-9904-1947-08821-2.
  • Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modulárne rovnice a aproximácie k π". Štvrťročný vestník čistej a aplikovanej matematiky. XLV: 350–372. Opätovne vytlačené
  • Ramanujan, Srinivasa (2015) [1927]. Hardy, G. H. Seshu Aiyar, P. V. Wilson, B. M. (eds.). Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. Cambridge University Press. s. 23–29. ISBN978-1-107-53651-7. , Príspevky k matematike pozostávajúcej hlavne z nápravy kruhu na 607 desatinných miest, 1853, s. I – xvi, 10
  • Shanks, Daniel Wrench, John William (1962). "Výpočet pí na 100 000 desatinných miest". Matematika výpočtu. 16 (77): 76–99. doi: 10,1090 / s0025-5718-1962-0136051-9.
  • Tropfke, Johannes (1906). Geschichte Der Elementar-Mathematik v Systematischer Darstellung [Dejiny elementárnej matematiky] (V Nemecku). Lipsko: Verlag Von Veit. , Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (dotlač), Georg Olms Verlag, 1970, s. 398–401, 436–446
  • Wagon, Stan (1985). „Je Pi normálne?“. Matematický spravodajca. 7 (3): 65–67. doi: 10,1007 / BF03025811. S2CID189884448.
  • Wallis, John (1655–1656). Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata (v latinčine). Oxford. Opätovne vytlačené
  • Opera Mathematica. 1. Oxford: E Theatro Sheldoniano. 1695. s. 357–478.
  • Zebrowski, Ernest (1999). Dejiny kruhu: Matematické uvažovanie a fyzický vesmír . Rutgers University Press. ISBN978-0-8135-2898-4.

360 ms 11,8% Scribunto_LuaSandboxCallback :: getExpandedArgument 280 ms 9,2% dataWrapper 220 ms 7,2% Scribunto_LuaSandboxCallback :: callParserFunction 200 ms 6,6% Scribunto_LuaSandboxCallback :: gsub 160 ms 5,3% Scribunto_LuaSandboxCallback %_LuaSandboxCallback :: :: zhoda 100 ms 3,3% typ 100 ms 3,3% [ostatní] 880 ms 28,9% Počet načítaných entít Wikibase: 1/400 ->


3.3: Sadzby - matematika

NASA misia :
Snažíme sa stať sa najlepšími pedagógmi matematiky a štatistík, ktorí ponúkajú najefektívnejšie a cenovo dostupné výučby s vysoko očakávanými učebnými osnovami matematiky, aby naši študenti mohli byť čo najlepšie pripravení na vysokoškolské štipendiá a zamestnanie v oblasti STEM. Cieľom spoločnosti TutorTeddy je do roku 2025 zlepšiť mieru absolvovania štvorročnej vysokej školy z 53% na 70%.

Ktorým predmetom sa venuje program TutorTeddy?
TutorTeddy ponúka študentom online a priame koučovacie stretnutia naprieč stupňami (a vysokoškolskými úrovňami) všeobecné matematické, aritmetické, algebry, štatistiky, pravdepodobnosti, počtu, geometrie, trigonometrie, lineárnej algebry a funkčnej / skutočnej analýzy.

Ako môžem vziať ZADARMO * IMT (Intelligent Math Testing)?
IMT nám hovorí, ako je na tom študent v porovnaní so študentmi v Ázii alebo Európe. Ak sa chcete testu zúčastniť, pošlite nám e-mail na adresu [email protected] Uveďte vek a platovú triedu študentov. Pošleme vám odkazy na IMT. V prípade akýchkoľvek nejasností nám zavolajte na číslo 617-395-8864.

Ako sú ocenené produkty?

V TutorTeddy ponúkame výučbu online za najdostupnejšie ceny.

(a) Noví študenti môžu požiadať o pomoc našich online lektorov na 20 minút úplne zadarmo *. (Iba raz)
b) Získajte1 pomoc s domácimi úlohami .. Iba 99 centov.

(c) Matematické osnovy a koučovacie služby s vysokým očakávaním

d) Náš prémiový produkt: Aj keď sa riadime štátnymi učebnými osnovami v matematike, dbáme tiež na to, aby ste sa dostali na štandardnú úroveň porovnateľnú s medzinárodnými učebnými osnovami pre túto tému. Ako nástroj na vylepšenie svojich matematických schopností ponúkame neobmedzené tlačiteľné pracovné listy a inteligentný matematický test po dobu 30 dní. IMT je osvedčený test, ktorý určuje váš pokrok v porovnaní s ostatnými v iných častiach sveta, ako je India a Čína. Naši online lektori, ktorí sú väčšinou inžiniermi, sú pripravení pomôcť vám kedykoľvek je to potrebné. Prihlásiť sa na odber 149 dolárov na získanie neobmedzeného matematického hárku + špeciálneho IMT + neobmedzenej pomoci od našich živých lektorov NA 30 DNÍ.

Zadarmo * Štatistika Domáce úlohy Pomocník

[Pošlite svoje štatistické alebo matematické problémy na adresu [email protected] (fotografie z telefónu sú v poriadku)]

Kancelária v Bostone (blízko MIT / Kendall 'T'):
Cambridge Innovation Center,
Jedna Broadway, 14. poschodie,
Cambridge, MA 02142,
Telefón: 617-395-8864
WhatsApp

Kancelária v Dallase (v blízkosti Galleria):
15950 Dallas Parkway,
Apartmán 400,
Dallas, TX 75248,
Telefón: 617-395-8864
WhatsApp


Zhrnutie lekcie 3

Veľkosť jednotky, ktorú používame na meranie niečoho, ovplyvňuje meranie.

Ak meriame rovnaké množstvo s rôznymi jednotkami, vyjadrenie merania bude trvať viac z menšej jednotky a menej z väčšej jednotky. Napríklad miestnosť s rozlohou 4 metre bude merať 12 stôp.

Vo dvore sú 3 stopy, takže jedna noha je frac13 vo dvore.

  • Meranie rovnakej dĺžky ako pri metroch trvá 3krát viac stôp.
  • Merať rovnakú dĺžku ako pri nohách trvá frac13 toľko metrov.

3.3 Riešenie aplikácií zmesí

Vynásobte: 14 (0,25).
Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 1.97.

Počet desetníkov je o tri viac ako počet štvrtín. Poďme q predstavujú počet štvrťrokov. Napíšte výraz pre počet desetníkov.
Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 1.26.

Vyriešte problémy so slovom mince

Pri problémoch so zmiešaním budeme mať dve alebo viac položiek s rôznymi hodnotami, ktoré môžeme kombinovať. Obchodníci a barmani používajú tento model zmesi na zaistenie toho, aby stanovili spravodlivé ceny za výrobky, ktoré predávajú. Mnoho ďalších odborníkov, ako sú chemici, investiční bankári a krajinári, tiež používa zmiešaný model.

Manipulatívna matematika

Začneme tým, že sa pozrieme na aplikáciu, ktorú každý pozná - peniaze!

Predstavte si, že vyberieme hrsť mincí z vrecka alebo kabelky a odložíme ich na stôl. Ako by sme určili hodnotu tej hromady mincí? Ak dokážeme zostaviť podrobný plán hľadania celkovej hodnoty mincí, pomôže nám to pri začatí riešenia slovných úloh s mincami.

Čo by sme teda robili? Aby sme získali poriadok v neporiadku s mincami, mohli by sme mince rozdeliť na kôpky podľa ich hodnoty. Štvrťroky by išli s ubikáciami, desetníky s desetníkmi, nikly s niklami atď.Aby sme dostali celkovú hodnotu všetkých mincí, pridali by sme celkovú hodnotu každej hromádky.

Ako by sme určili hodnotu každej hromady? Pomysli na hromadu desiaty - koľko to stojí? Ak spočítame počet desetníkov, budeme vedieť, koľko ich máme - číslo desiatkov.

Ale toto nám nehovorí hodnotu zo všetkých desiatkov. Povedzme, že sme napočítali 17 centov, koľko majú hodnotu? Každý desetník má hodnotu 0,10 - to je hodnotu jedného desetníka. Ak chcete zistiť celkovú hodnotu hromady 17 desetníkov, vynásobte 17 0,10 a získajte 1,70 USD. To je celková hodnota všetkých 17 desetníkov. Táto metóda vedie k nasledujúcemu modelu.

Celková hodnota mincí

U rovnakého typu mince sa pomocou modelu zistí celková hodnota niekoľkých mincí

kde
číslo je počet mincí

hodnotu je hodnota každej mince

Celková hodnota je celková hodnota všetkých mincí

Počet desetníkov krát hodnota každého desetníka sa rovná celkovej hodnote desaťkrát.

V tomto procese by sme mohli pokračovať pre každý typ mince a potom by sme poznali celkovú hodnotu každého typu mince. Ak chcete získať celkovú hodnotu všetko k minciam, pridajte celkovú hodnotu každého typu mince.

Pozrime sa na konkrétny prípad. Predpokladajme, že tu je 14 štvrtín, 17 desetníkov, 21 niklov a 39 pencí.

Celková hodnota všetkých coinov je 6,64 dolárov.

Všimnite si, ako graf pomáha organizovať všetky informácie! Pozrime sa, ako používame túto metódu na riešenie úlohy s mince.

Príklad 3.26

Adalberto má vo vrecku 2,25 dolára na desetníky a nikly. Má deväť ďalších niklov ako desetníky. Koľko má z každého druhu mince?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Uistite sa, že sú pochopené všetky slová a nápady.

  • Určte typy použitých mincí.
    Zamyslite sa nad stratégiou, ktorú sme použili na zistenie hodnoty niekoľkých mincí. Prvá vec, ktorú si musíme uvedomiť, je to, o aké druhy mincí ide. Adalberto má desetníky a nikly.
  • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií. Pozri tabuľku nižšie.
    • Označte stĺpce „typ“, „číslo“, „hodnota“, „celková hodnota“.
    • Uveďte druhy mincí.
    • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
    • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.

    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.

    Krok 3. Názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    • Použite variabilné výrazy na vyjadrenie počtu jednotlivých druhov mincí a ich zápis do tabuľky.
    • Vynásobte početnásobok hodnoty a získajte celkovú hodnotu každého typu mince.

    Ďalej sme spočítali počet jednotlivých druhov mincí. V tomto probléme nemôžeme spočítať každý typ mince - to je to, čo hľadáte -, ale máme indíciu. Niklov je tu o deväť viac ako desetníkov. Počet niklov je o deväť viac ako desetník.

    Vyplňte stĺpec „číslo“ v tabuľke, aby ste mali prehľad všetko.

    Teraz máme všetky informácie, ktoré od problému potrebujeme!

    Násobíme počet násobok hodnoty, aby sme dostali celkovú hodnotu každého druhu mince. Skutočné číslo síce nepoznáme, ale máme výraz, ktorý ho predstavuje.

    A tak teraz množte n u m b e r · v a l u e = t o t a l v a l u e. n u m b e r · v a l u e = t o t a l v a l u e. Ako sa to deje, nájdete v nasledujúcej tabuľke.

    Všimnite si, že nadpis tabuľky sme vytvorili tak, aby ukazoval model.

    Krok 4. Preložiť do rovnice. Môže byť užitočné preformulovať problém do jednej vety. Preložte anglickú vetu do algebraickej rovnice.

    Napíšte rovnicu sčítaním celkových hodnôt všetkých druhov mincí.

    Krok 5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.

    Teraz vyrieš túto rovnicu.
    Distribuovať.
    Kombinujte ako termíny.
    Z každej strany odčítajte 0,45.
    Rozdeľte sa.
    Existuje teda 12 centov.
    Počet niklov je d + 9 d + 9.
    21

    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.

    Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

    Keby to bolo domáce cvičenie, mohla by naša práca vyzerať nasledovne.

    Michaela má v peňaženke na drobné 2,05 dolára v desetinách a nikle. Má o sedem centov viac ako nikly. Koľko mincí každého druhu má?

    Liliana má v batohu 2,10 dolárov za nikel a štvrť. Má o 12 viac niklov ako štvrtín. Koľko mincí každého druhu má?

    Ako

    Vyriešte problémy s mincovými slovami.

    1. Krok 1. Čítať problém. Uistite sa, že sú pochopené všetky slová a nápady.
      • Určte typy použitých mincí.
      • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.
      • Označte stĺpce „typ“, „číslo“, „hodnota“, „celková hodnota“.
      • Uveďte druhy mincí.
      • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
      • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.
    2. Krok 2. Identifikovať čo hľadáme.
    3. Krok 3. názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.
      • Použite variabilné výrazy na vyjadrenie počtu jednotlivých druhov mincí a ich zápis do tabuľky.
      • Vynásobte početnásobok hodnoty a získajte celkovú hodnotu každého typu mince.
    4. Krok 4. Preložiť do rovnice.
      Môže byť užitočné preformulovať problém do jednej vety so všetkými dôležitými informáciami. Potom preložte vetu do rovnice.
      Napíšte rovnicu sčítaním celkových hodnôt všetkých druhov mincí.
    5. Krok 5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.
    6. Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    7. Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

    Príklad 3.27

    Mária má v peňaženke štvrťroky a haliere 2,43 dolára. Má dvakrát toľko drobných ako štvrtí. Koľko mincí každého druhu má?

    Riešenie

    Krok 1. Prečítajte si problém.

    Určte typy použitých mincí.

    Vieme, že Mária má štvrtiny a haliere.

    Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.

    • Označte stĺpce „typ“, „číslo“, „hodnota“, „celková hodnota“.
    • Uveďte druhy mincí.
    • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
    • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.

    Krok 2. Identifikujte čo hľadáte.

    Krok 3. Názov. Predstavujte počet štvrtín a centov pomocou premenných.

    • Vieme, že Mária má dvakrát toľko pencí ako štvrtí. Počet halierov je definovaný v štvrtinách.
    • Poďme q predstavujú počet štvrťrokov.
    • Potom je počet halierov 2q.

    Vynásobte „číslo“ a „hodnotu“, aby ste získali „celkovú hodnotu“ každého typu mince.

    Krok 4. Preložiť. Napíšte rovnicu pridaním „celkovej hodnoty“ všetkých druhov mincí.


    3.3: Sadzby - matematika

    Kurz je veľmi dôležitý typ pomeru, ktorý sa používa pri mnohých každodenných problémoch, ako je nakupovanie potravín, cestovanie, lieky - takmer každá činnosť v skutočnosti vyžaduje určitý druh sadzby. Míle za hodinu alebo stopy za sekundu sú obe sadzby rýchlosti. Počet úderov srdca za minútu sa nazýva & quotheart sadzba. & quot Ak sa opýtate opatrovateľky, & quot; aké je vaše sadzba? & quot; pýtate sa, koľko dolárov za hodinu vám bude účtovaných. Drobné slovo & quotza& quot je vždy stopa, s ktorou máte do činenia a sadzba. Jednotková cena je konkrétna sadzba, ktorá porovnáva cenu s určitou mernou jednotkou. Predpokladajme napríklad, že vajcia sú v predaji za 0,72 USD za tucet. Jednotková cena je 0,72 USD vydelená 12 alebo 6 centami za vajce.

    Slovo & quot; & quot; môže byť v prípade problémov nahradené & quot / & quot, takže 6 centov za vajce sa dá zapísať aj za 6 centov / vajce.

    Chytrí zákazníci vedia, ako odhadnúť jednotkové ceny pri rozhodovaní, či je lepšie kúpiť položku väčšej veľkosti. Mnoho každodenných problémov zahŕňa rýchlosť, využitie vzdialenosti a času. Tieto problémy môžeme vyriešiť pomocou proporcií a krížových produktov. Je však jednoduchšie použiť praktický vzorec: sadzba sa rovná vzdialenosti vydelenej časom: r = d / t. Tento vzorec v skutočnosti pochádza priamo z výpočtu podielu - jedná sa iba o to, že už bol pre vás vykonaný jeden krok násobenia, takže je skratkou naučiť sa vzorec a použiť ho. Tento vzorec môžete napísať dvoma ďalšími spôsobmi, a to riešením pre vzdialenosť (d = rt) alebo čas (t = d / r).

    Príklady
    Povedzme, že ste išli na bicykli 2 hodiny a cestovali ste 24 míľ. Aká je vaša rýchlosť? Použite vzorec r = d / t. Vaša sadzba je 24 míľ delená 2 hodinami, takže:

    r = 24 míľ a rozdelenie 2 hodiny = 12 míľ za hodinu.

    Teraz povedzme, že ste jazdili na bicykli rýchlosťou 10 míľ za hodinu po dobu 4 hodín. Koľko kilometrov ste precestovali? Tentokrát použite vzorec vzdialenosti d = rt:

    d = 10 míľ za hodinu a 4 hodiny = 40 míľ.

    Ďalej jazdíte 18 míľ a cestujete rýchlosťou 12 míľ za hodinu. Ako dlho ti to trvalo? Použite časový vzorec t = d / r:

    t = 18 míľ a rozdelenie 12 míľ za hodinu = 1,5 hodiny alebo 1 a 12 hodín.



    Niekedy máme informácie o sadzbe, ale žiada sa od nich, aby sme vyriešili inú premennú (čas, vzdialenosť, objem atď.). Základná rovnica je stále rovnaká, ale budete ju musieť usporiadať, aby ste vyriešili inú premennú. The Math You Need, When You Need Má celý modul určený na nové usporiadanie rovníc (ak kliknete na tento odkaz, nezabudnite sa vrátiť a precvičiť si svoje novo naučené kroky!). Vzorové problémy s preusporiadaním rovníc majú niekoľko problémov (vpravo v hornej časti stránky), ktoré vám pomôžu vyriešiť vzdialenosť a / alebo čas, ak poznáte rýchlosť!


    3.3: Sadzby - matematika

    Do tohto bodu sme sa pozreli iba na dva parciálne deriváty ( doľava ( right) ) a ( doľava ( správny)). Pripomeňme, že tieto deriváty predstavujú rýchlosť zmeny (f ), keď meníme (x ) (držíme (y ) pevne) a ako meníme (y ) (držíme [(x ) pevne) resp. Teraz musíme diskutovať o tom, ako nájsť rýchlosť zmeny (f ), ak umožníme súčasne zmeny (x ) aj (y ). Problém je v tom, že existuje veľa spôsobov, ako umožniť zmenu (x ) aj (y ). Napríklad jeden sa môže meniť rýchlejšie ako druhý a potom je tu aj otázka, či sa každý zvyšuje alebo neznižuje. Takže predtým, ako sa dostaneme k nájdeniu rýchlosti zmien, musíme si najskôr zaobstarať niekoľko predbežných nápadov. Hlavná myšlienka, na ktorú sa musíme pozrieť, je, ako definujeme zmenu (x ) a / alebo (y ).

    Začnime predpokladom, že by sme chceli rýchlosť zmeny (f ) v konkrétnom bode, povedzme ( left (<,> vpravo) ). Predpokladajme tiež, že (x ) aj (y ) sa zvyšujú a že v tomto prípade (x ) rastie dvakrát rýchlejšie ako (y ). Takže ako (y ) zvyšuje jednu mernú jednotku (x ) zvyšuje dve merné jednotky.

    Aby sme nám pomohli vidieť, ako definujeme túto zmenu, predpokladajme, že častica sedí v ( left (<,> right) ) a častica sa bude pohybovať v smere určenom zmenou (x ) a (y ). Preto sa častica pohne smerom k zväčšeniu (x ) a (y ) a súradnica (x ) bodu sa zvýši dvakrát rýchlejšie ako súradnica (y ). Teraz, keď uvažujeme o tejto zmene (x ) a (y ) ako o smere pohybu, môžeme získať spôsob definovania zmeny. Z kalkulu II vieme, že vektory sa dajú použiť na definovanie smeru, a tak sa dá povedať, že častica sa v tomto bode pohybuje v smere,

    [ vec v = left langle <2,1> right rangle ]

    Pretože tento vektor je možné použiť na definovanie toho, ako sa častica v bode mení, môžeme ho tiež použiť na opísanie toho, ako sa (x ) a / alebo (y ) menia v bode. Pre náš príklad povieme, že chceme rýchlosť zmeny (f ) v smere ( vec v = left langle <2,1> right rangle ). Týmto spôsobom budeme vedieť, že (x ) rastie dvakrát rýchlejšie ako (y ). S tým však stále existuje malý problém. Existuje veľa vektorov, ktoré smerujú rovnakým smerom. Napríklad všetky nasledujúce vektory smerujú rovnakým smerom ako ( vec v = left langle <2,1> right rangle ).

    [ vec v = left langle <5>, frac <1> <<10> >> right rangle , hspace <0,25in> , , , vec v = left langle <6,3> right rangle hspace <0,25in> vec v = left langle < frac <2> << sqrt 5 >>, frac <1> < < sqrt 5 >>> pravý rangle ]

    Potrebujeme spôsob, ako konzistentne nájsť rýchlosť zmeny funkcie v danom smere. Urobíme to tak, že budeme trvať na tom, aby vektor, ktorý definuje smer zmeny, bol jednotkový vektor. Pripomeňme si, že jednotkový vektor je vektor s dĺžkou alebo veľkosťou 1. To znamená, že pre príklad, o ktorom sme začali uvažovať, by sme ho chceli použiť

    pretože toto je jednotkový vektor, ktorý ukazuje v smere zmeny.

    Pre referenčné účely si uvedomte, že veľkosť alebo dĺžka vektora ( vec v = left langle right rangle ) je dané,

    Pre dvojrozmerné vektory vypustíme (c ) zo vzorca.

    Niekedy dáme smer zmeny (x ) a (y ) ako uhol. Napríklad môžeme povedať, že chceme rýchlosť zmeny (f ) v smere ( theta = frac < pi> <3> ). Jednotkový vektor, ktorý ukazuje týmto smerom, je daný,

    Dobre, teraz, keď vieme, ako definovať smer zmeny (x ) a (y ), je čas začať hovoriť o hľadaní rýchlosti zmeny (f ) v tomto smere. Začnime s oficiálnou definíciou.

    Definícia

    Rýchlosť zmeny (f vľavo ( right) ) v smere jednotkového vektora ( vec u = left langle right rangle ) sa nazýva smerová derivácia a označuje sa (> f doľava ( správny)). Definícia smerovej derivácie je,

    Takže definícia smerovej derivácie je veľmi podobná definícii parciálnych derivácií. V praxi to však môže byť veľmi ťažké vypočítať, takže potrebujeme ľahší spôsob prijímania smerových derivácií. Odvodiť ekvivalentný vzorec na odvodenie smerových derivácií je v skutočnosti celkom jednoduché.

    Aby sme videli, ako to môžeme urobiť, definujme novú funkciu jednej premennej,

    [g doľava (z doprava) = f doľava (<+ az, + bz> vpravo) ]

    kde (), (), (a ) a (b ) sú niektoré pevné čísla. Upozorňujeme, že toto je teraz funkcia jednej premennej, pretože (z ) je jediné písmeno, ktoré nepredstavuje pevné číslo.

    Potom definíciou derivácie pre funkcie jednej premennej máme,

    [g ' doľava (z doprava) = mathop < lim> limity_ frac < right) - g left (z right) >>]

    a derivácia na (z = 0 ) je daná vzťahom,

    Ak teraz dosadíme za (g doľava (z doprava) ), dostaneme,

    Vyzerá to teda, že máme nasledujúci vzťah.

    Teraz sa na to pozrime z inej perspektívy. Prepíšeme (g doľava (z doprava) ) takto,

    Teraz môžeme na výpočet použiť pravidlo reťaze z predchádzajúcej časti,

    Z reťazového pravidla teda máme nasledujúci vzťah.

    Ak teraz vezmeme (z = 0 ), dostaneme to (x = ) a (y = ) (z toho, ako sme definovali (x ) a (y ) vyššie) a zapojte ich do ( eqref) dostaneme,

    Teraz jednoducho zrovnajte ( eqref) a ( eqref) dostať to,

    Ak sa teraz vrátime k povoleniu ľubovoľného čísla (x ) a (y ), dostaneme nasledujúci vzorec na výpočet smerových derivácií.

    To je oveľa jednoduchšie ako definícia limitu. Všimnite si tiež, že táto definícia predpokladala, že pracujeme s funkciami dvoch premenných. Existujú podobné vzorce, ktoré možno odvodiť rovnakým typom argumentu pre funkcie s viac ako dvoma premennými. Napríklad smerová derivácia (f doľava ( right) ) v smere jednotkového vektora ( vec u = left langle right rangle ) je dané,

    Poďme si uviesť pár príkladov.

    1. (> f doľava (<2,0> doprava) ) kde (f doľava ( right) = x << bf>^> + y ) a ( vec u ) je jednotkový vektor v smere ( displaystyle theta = frac << 2 pi >> <3> ).
    2. (> f doľava ( right) ) kde (f doľava ( vpravo) = z + - xyz ) v smere ( vec v = left langle <- 1,0,3> right rangle ).

    Najprv nájdeme (> f doľava ( right) ) a potom použite tento vzorec na vyhľadanie (> f doľava (<2,0> doprava) ). Jednotkový vektor udávajúci smer je,

    Takže smerová derivácia je,

    Teraz zapojením príslušného bodu získate,

    V takom prípade najskôr skontrolujeme, či je smerový vektor jednotkový vektor alebo nie a či ho neprevodzuje na jeden. Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať jeho veľkosť.

    Nejde teda o jednotkový vektor. Pripomeňme, že ľubovoľný vektor môžeme previesť na jednotkový vektor, ktorý ukazuje rovnakým smerom, vydelením vektora jeho veľkosťou. Takže jednotkový vektor, ktorý potrebujeme, je,

    Smerová derivácia je potom,

    Existuje iná forma vzorca, ktorú sme použili na získanie smerovej derivácie, ktorá je o niečo krajšia a o niečo kompaktnejšia. Je to tiež oveľa všeobecnejší vzorec, ktorý bude obsahovať obidva vyššie uvedené vzorce.

    Začnime druhým a všimnime si, že ho môžeme napísať nasledovne,

    Inými slovami, môžeme zapísať smerovú deriváciu ako bodový súčin a všimnúť si, že druhý vektor nie je nič iné ako jednotkový vektor ( vec u ), ktorý udáva smer zmeny. Keby sme použili verziu pre funkcie dvoch premenných, tretia zložka by tu nebola, ale okrem toho by bol vzorec rovnaký.

    Teraz poďme pomenovať a označiť prvý vektor v bodovom súčine, pretože tento vektor sa bude počas tohto kurzu (a v ďalších kurzoch) objavovať pomerne pravidelne. The sklon (f ) alebo gradientný vektor (f ) je definované ako

    [ nabla f = left langle <,,> pravý rangle hspace <0,25in> < mbox> hspace <0,5in> nabla f = left langle <,> pravý rangle ]

    Alebo, ak chceme použiť štandardné základné vektory, je to gradient,

    Definícia sa zobrazuje iba pre funkcie dvoch alebo troch premenných, existuje však prirodzené rozšírenie funkcií ľubovoľného počtu premenných, ktoré by sme chceli.

    S definíciou gradientu môžeme teraz povedať, že smerová derivácia je daná,

    [> f = nabla f centerdot vec u ]

    kde už nebudeme ukazovať premennú a použijeme tento vzorec pre ľubovoľný počet premenných. Upozorňujeme tiež, že niekedy použijeme nasledujúci zápis,

    [> f doľava (< vec x> doprava) = nabla f centerdot vec u ]

    kde ( vec x = vľavo langle right rangle ) alebo ( vec x = left langle right rangle ) podľa potreby. Tento zápis sa použije, keď si chceme nejakým spôsobom všimnúť premenné, ale v skutočnosti sa nechceme obmedzovať na určitý počet premenných. Inými slovami, ( vec x ) bude použité na vyjadrenie toľkých premenných, koľko vo vzorci potrebujeme, a tento zápis použijeme najčastejšie, keď už v probléme / vzorci používame vektory alebo vektorový zápis.

    Urobme si niekoľko príkladov pomocou tohto vzorca smerovej derivácie.

    1. (> f vľavo (< vec x> vpravo) ) pre (f vľavo ( right) = x cos left (y right) ) v smere ( vec v = left langle <2,1> right rangle ).
    2. (> f vľavo (< vec x> vpravo) ) pre (f vľavo ( right) = sin left ( right) + ln left (<> right) ) na ( left (<1,1, pi> right) ) v smere ( vec v = left langle <1,1, - 1> right zvonenie ).

    Najprv vypočítajme gradient pre túto funkciu.

    Ako sme už videli skôr v tejto časti, jednotkový vektor pre tento smer je,

    Smerová derivácia je potom,

    V tomto prípade požadujete smerovú deriváciu v konkrétnom bode. Aby sme to dosiahli, najskôr vypočítame gradient, vyhodnotíme ho v danom bode a potom urobíme bodový súčin. Poďme teda na gradient.

    Ďalej potrebujeme jednotkový vektor pre smer,

    Nakoniec, smerová derivácia v danom bode je,

    Pred pokračovaním si všimnime, že čiastkové derivácie prvého rádu, ktoré sme sledovali vo väčšine časti, možno považovať za špeciálne prípady smerových derivácií. Napríklad () možno považovať za smerovú deriváciu (f ) v smere ( vec u = left langle <1,0> right rangle ) alebo ( vec u = left langle <1,0,0> right rangle ), v závislosti od počtu premenných, s ktorými pracujeme. To isté možno urobiť pre () a ()

    Túto časť uzavrieme niekoľkými peknými faktami o vektore gradientu. Prvý nám hovorí, ako určiť maximálnu rýchlosť zmeny funkcie v bode a smer, ktorým sa musíme pohnúť, aby sme dosiahli túto maximálnu rýchlosť zmeny.

    Veta

    Maximálna hodnota (> f doľava (< vec x> vpravo) ) (a teda potom maximálna miera zmeny funkcie (f doľava (< vec x> doprava) )) je daná ( left | < nabla f left (< vec x> right)> right | ) a bude sa vyskytovať v smere určenom ( nabla f left (< vec x> right) ).

    Dôkaz

    Toto je skutočne jednoduchý dôkaz. Najskôr, ak začneme s bodovým súčinovým tvarom (> f doľava (< vec x> doprava) ) a použijeme pekný údaj o bodových produktoch a skutočnosť, že ( vec u ) je jednotkový vektor, ktorý dostaneme,

    [> f = nabla f centerdot vec u = doľava | < nabla f> doprava | , , doľava | < vec u> pravý | cos theta = ľavý | < nabla f> doprava | cos theta ]

    kde ( theta ) je uhol medzi gradientom a ( vec u ).

    Teraz je najväčšia možná hodnota ( cos theta ) 1, ktorá sa vyskytuje pri ( theta = 0 ). Preto maximálna hodnota (> f left (< vec x> right) ) je ( left | < nabla f left (< vec x> right)> right | ) Taktiež nastáva maximálna hodnota keď je uhol medzi gradientom a ( vec u ) nulový, alebo inými slovami, keď ( vec u ) smeruje rovnakým smerom ako gradient, ( nabla f doľava (< vec x> vpravo) ).

    Pozrime sa rýchlo na príklad.

    Najskôr si, dúfajme, zo sekcie Kvadrické povrchy spomeniete, že ide o eliptický paraboloid, ktorý sa otvára smerom nadol. Aj keď väčšina kopcov nie je taká symetrická, bude mať aspoň neurčitý tvar kopca, takže otázka má aspoň malý zmysel.

    Teraz k problému. Existuje niekoľko otázok, na ktoré je potrebné odpovedať, ale použitie vety umožňuje odpovedať na tieto otázky veľmi jednoducho. Najprv budeme potrebovať gradientový vektor.

    [ nabla f left (< vec x> right) = left langle <- 0,02x, - 0,04y> right rangle ]

    Maximálna rýchlosť zmeny nadmorskej výšky potom nastane v smere k

    [ nabla f left (<60 100> right) = left langle <- 1.2, - 4> right rangle ]

    Maximálna rýchlosť zmeny nadmorskej výšky v tomto bode je,

    Pred opustením tohto príkladu si všimnime, že sme v bode ( vľavo (<60 100> vpravo) ) a smer najväčšej rýchlosti zmeny výšky v tomto bode je daný vektorom ( left jazyk <- 1.2, - 4> pravý rangle ). Pretože obe zložky sú záporné, vyzerá to tak, že smer maximálnej rýchlosti zmeny smeruje do kopca smerom k stredu, nie smerom od kopca.

    Druhá skutočnosť o vektore gradientu, ktorú musíme uviesť v tejto časti, bude v niektorých ďalších častiach veľmi vhodná.

    Gradientný vektor ( nabla f doľava (<,> vpravo) ) je kolmý (alebo kolmý) na úrovňovú krivku (f vľavo ( right) = k ) v bode ( left (<,> vpravo) ). Rovnako tak gradientný vektor ( nabla f doľava (<,,> vpravo) ) je kolmý na rovnú plochu (f vľavo ( right) = k ) v bode ( left (<,,> vpravo) ).

    Dôkaz

    Chystáme sa urobiť dôkaz pre (< mathbb^ 3> ) prípad. Dôkaz pre (< mathbb^ 2> ) prípad je identický. Budeme tiež potrebovať notáciu, ktorá nám uľahčí život, nech je (S) rovinný povrch daný rovnicou (f vľavo right) = k ) a nechajte (P = left (<,,> vpravo) ). Upozorňujeme tiež, že (P ) bude zapnuté (S ).

    Teraz nech je (C ) ľubovoľná krivka na (S ), ktorá obsahuje (P ). Nech ( vec r doľava (t doprava) = doľava langle right rangle ) je vektorová rovnica pre (C ) a predpokladajme, že () je hodnota (t ) taká, že ( vec r left (<> right) = left langle <,,> pravý rangle ). Inými slovami, () je hodnota (t ), ktorá dáva (P ).

    Pretože (C ) leží na (S ), vieme, že body na (C ) musia vyhovovať rovnici pre (S ). Alebo

    Ďalej v tomto prípade použijeme reťazové pravidlo,

    Všimnite si, že ( nabla f = left langle <,,> right rangle ) a ( vec r ' left (t right) = left langle right rangle ) takže toto sa stane,

    [ nabla f , centerdot , vec r ' vľavo (t vpravo) = 0 ]

    [ nabla f doľava (<,,> right) , centerdot , vec r ' left (<> vpravo) = 0 ]

    Toto nám potom hovorí, že gradientný vektor v (P ), ( nabla f vľavo (<,,> right) ), je kolmý na tangensový vektor, ( vec r ' left (<> vpravo) ) na každú krivku (C ), ktorá prechádza cez (P ) a na povrchu (S ), a preto musí byť tiež kolmá na povrch (S ).

    Ako uvidíme v ďalších častiach, budeme často potrebovať vektory, ktoré sú kolmé na povrch alebo krivku, a pomocou tejto skutočnosti budeme vedieť, že všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať gradientový vektor a získame ortogonálny vektor, ktorý potrebujeme. Prvú aplikáciu tohto uvidíme v nasledujúcej kapitole.


    Kalkulátor priemernej rýchlosti zmeny

    Jednoduchá online kalkulačka na zistenie priemernej rýchlosti zmeny funkcie za daný interval. Zadajte hodnoty f (x), A a B do kalkulačky priemernej rýchlosti zmeny, aby ste poznali f (a), f (b), f (a) - (b), (ab) a rýchlosť zmeny .

    Jednoduchá online kalkulačka na zistenie priemernej rýchlosti zmeny funkcie za daný interval. Zadajte hodnoty f (x), A a B do kalkulačky priemernej rýchlosti zmeny, aby ste poznali f (a), f (b), f (a) - (b), (ab) a rýchlosť zmeny .

    Priemerná rýchlosť zmeny vzorca:

    Pre funkciu je to zmena hodnoty y vydelená zmenou hodnoty x pre dva odlišné body v grafe.

    Vzorec:

    Priemerná miera zmeny funkcie: Je to zmena hodnoty veličiny vydelená uplynutým časom. Vo funkcii určuje sklon sečnovej čiary medzi dvoma bodmi.

    Použite našu bezplatnú online kalkulačku priemernej rýchlosti zmeny a nájdite priemernú rýchlosť, pri ktorej sa mení jedna veličina vzhľadom na druhú meniacu sa veličinu v danom výraze (funkcii). Vo vyššie uvedenej kalkulačke zadajte výraz a hodnoty A a B a kliknite na vypočítať, aby ste našli hodnotu „Priemerná miera zmeny“.

    Príklad:

    Zvážte rovnicu 2x & sup3 + 3x + 2, s hodnotou A ako 3 a hodnotou B ako 2. Vypočítajte priemernú mieru návratnosti funkcie.

    Riešenie:

    f (a) = 2 (3) a sup3 + 3 (3) + 2
    = 54 + 9 + 2
    = 65
    f (b) = 2 (2) a sup3 + 3 (2) + 2
    = 16 + 6 + 2
    = 24
    Priemerná zmena sadzby teda = 65 - 24/3 - 2
    = 41