Články

15.1E: Vektorové polia (cvičenia)


1. Doména vektorového poľa ( vecs {F} = vecs {F} (x, y) ) je množina bodov ((x, y) ) v rovine a rozsah ( vecs F ) je množina čo v lietadle?

Odpoveď:
Vektory

Pri cvičeniach 2 - 4 určite, či je tvrdenie také pravda alebo lož.

2. Vektorové pole ( vecs {F} = ⟨3x ^ 2,1⟩ ) je gradientné pole pre (ϕ_1 (x, y) = x ^ 3 + y ) aj (ϕ_2 (x, y) = y + x ^ 3 + 100. )

3. Vektorové pole ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) je konštantné v smere a veľkosti na jednotkovej kružnici.

Odpoveď:
Falošné

4. Vektorové pole ( vecs {F} = dfrac {⟨y, x⟩} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ) nie je ani radiálne, ani rotačné pole.

Na cvičeniach 5 - 13 popíšte každé vektorové pole nakreslením niektorých jeho vektorov.

5. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} )

Odpoveď:

6. [T] ( vecs {F} (x, y) = - y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

7. [T] ( vecs {F} (x, y) = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} )

Odpoveď:

8. [T] ( vecs {F} (x, y) = , hat { mathbf i} + , hat { mathbf j} )

9. [T] ( vecs {F} (x, y) = 2x , hat { mathbf i} + 3y , hat { mathbf j} )

Odpoveď:

10. [T] ( vecs {F} (x, y) = 3 , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} )

11. [T] ( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} + sin x , hat { mathbf j} )

Odpoveď:

12. [T] ( vecs F (x, y, z) = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} + z , hat { mathbf k} )

13. [T] ( vecs F (x, y, z) = 2x , hat { mathbf i} −2y , hat { mathbf j} −2z , hat { mathbf k} )

Odpoveď:

14. [T] ( vecs F (x, y, z) = yz , hat { mathbf i} −xz , hat { mathbf j} )

Na cvičeniach 15 - 20 nájdite gradientné vektorové pole každej funkcie (f ).

15. (f (x, y) = x sin y + cos y )

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = sin (y) , hat { mathbf i} + (x cos y− sin y) , hat { mathbf j} )

16. (f (x, y, z) = ze ^ {- xy} )

17. (f (x, y, z) = x ^ 2y + xy + y ^ 2z )

Odpoveď:
( vecs F (x, y, z) = (2xy + y) , hat { mathbf i} + (x ^ 2 + x + 2yz) , hat { mathbf j} + y ^ 2 , hat { mathbf k} )

18. (f (x, y) = x ^ 2 sin (5y) )

19. (f (x, y) = ln (1 + x ^ 2 + 2y ^ 2) )

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {2x} {1 + x ^ 2 + 2y ^ 2} , hat { mathbf i} + dfrac {4y} {1 + x ^ 2 + 2r ^ 2} , hat { mathbf j} )

20. (f (x, y, z) = x cos doľava ( frac {y} {z} doprava) )

21. Čo je vektorové pole ( vecs {F} (x, y) ) s hodnotou v ((x, y) ), ktorá má jednotkovú dĺžku a smeruje k ((1,0) )?

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(1 − x) , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j}} { sqrt {(1 − x ) ^ 2 + y ^ 2}} )

Pre cvičenia 22 - 24 napíšte vzorce pre vektorové polia s danými vlastnosťami.

22. Všetky vektory sú rovnobežné s osou (x ) - a všetky vektory na zvislej čiare majú rovnakú veľkosť.

23. Všetky vektory smerujú k začiatku a majú konštantnú dĺžku.

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {(y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j})}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

24. Všetky vektory majú jednotkovú dĺžku a sú kolmé na pozičný vektor v danom bode.

25. Zadajte vzorec ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) pre vektorové pole v rovine, ktorá má vlastnosti ( vecs {F} = vecs 0 ) v ((0,0) ) a že v ktoromkoľvek inom bode ((a, b), vecs F ) je dotyčnica kružnice (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) a ukazuje v smere hodinových ručičiek s veľkosťou ( | vecs F | = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ).

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = y , hat { mathbf i} −x , hat { mathbf j} )

26. Je vektorové pole ( vecs {F} (x, y) = (P (x, y), Q (x, y)) = ( sin x + y) , hat { mathbf i} + ( cos y + x) , hat { mathbf j} ) gradientné pole?

27. Nájdite vzorec pre vektorové pole ( vecs {F} (x, y) = M (x, y) , hat { mathbf i} + N (x, y) , hat { mathbf j} ) vzhľadom na skutočnosť, že pre všetky body ((x, y) ), ( vecs F ) smeruje k začiatku a ( | vecs F | = dfrac {10} {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Odpoveď:
( vecs {F} (x, y) = dfrac {−10} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} (x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j}) )

Pri cvičeniach 28 - 29 predpokladajme, že elektrické pole v rovine (xy ) - spôsobené nekonečnou čiarou náboja pozdĺž osi (x ) - je gradientné pole s potenciálnou funkciou (V (x, y) = c ln doľava ( frac {r_0} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} doprava) ), kde (c> 0 ) je konštanta a (r_0 ) je referenčná vzdialenosť, pri ktorej sa potenciál považuje za nulový.

28. Vyhľadajte komponenty elektrického poľa v smeroch (x ) - a (y ), kde ( vecs E (x, y) = - vecs ∇V (x, y). )

29. Ukážte, že elektrické pole v bode v rovine (xy ) - smeruje von od počiatku a má veľkosť ( | vecs E | = dfrac {c} {r} ), kde ( r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ).

Odpoveď:
( | vecs E | = dfrac {c} {| r | ^ 2} r = dfrac {c} {| r |} dfrac {r} {| r |} )

A prietokové potrubie (alebo zefektívniť) vektorového poľa ( vecs F ) je krivka ( vecs r (t) ) taká, že (d vecs {r} / dt = vecs F ( vecs r (t)) ). Ak ( vecs F ) predstavuje rýchlostné pole pohybujúcej sa častice, potom línie toku sú cesty, ktoré častica prešla. Preto sú čiary toku tangenciálne k vektorovému poľu.

Pre cvičenia 30 a 31 ukážte, že daná krivka ( vecs c (t) ) je čiara toku daného vektorového poľa rýchlosti ( vecs F (x, y, z) ).

30. ( vecs c (t) = ⟨e ^ {2t}, ln | t |, frac {1} {t}⟩, , t ≠ 0; quad vecs F (x, y, z) = X2x, z, −z ^ 2⟩ )

31. ( vecs c (t) = ⟨ sin t, cos t, e ^ t⟩; quad vecs F (x, y, z) = 〈y, −x, z〉 )

Odpoveď:
( vecs c ′ (t) = ⟨ cos t, - sin t, e ^ {- t}⟩ = vecs F ( vecs c (t)) )

Pri cvičeniach 32 - 34 nechajme ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ) a ( vecs H = x , hat { mathbf i} −y , hat { mathbf j} ) . Zhoda ( vecs F ), ( vecs G ) a ( vecs H ) s ich grafmi.

32.

33.

Odpoveď:
( vecs H )

34.

Na cviky 35 - 38, nech ( vecs {F} = x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ), ( vecs G = −y , hat { mathbf i} + x , hat { mathbf j} ) a ( vecs H = −x , hat { mathbf i} + y , hat { mathbf j} ). Priraďte vektorové polia k ich grafom v (I) - (IV).

  1. ( vecs F + vecs G )
  2. ( vecs F + vecs H )
  3. ( vecs G + vecs H )
  4. (- vecs F + vecs G )

35.

Odpoveď:
d. (- vecs F + vecs G )

36.

37.

Odpoveď:
a. ( vecs F + vecs G )

38.

Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.


Integrály toku v SpaceCirculation Nájdite obeh

Cirkulácia Nájdite cirkuláciu F = 2 x i + 2 z j + 2 y k okolo uzavretej dráhy pozostávajúcej z nasledujúcich troch kriviek prechádzaných v smere zvyšovania t.

Týždeň ubytovania a riadenia prevádzky Poznámky Čo je to riadenie ľudských zdrojov  Sú to všetky činnosti na plánovanie, organizáciu, riadenie a kontrolu práce ľudí. Prostredie:  Všetci manažéri pracujú v dvoch typoch prostredí 1. Vonkajšie prostredie - ovplyvňuje zvonka, napr. ako zákony, zvyky, ekonomické podmienky, trhy 2. Vnútorné prostredie - sú to vplyvy zvnútra, napríklad firemná kultúra, zamestnanecké vzťahy, imidž spoločnosti Zákony proti diskriminácii:  Zákon o občianskych právach  Sexuálne obťažovanie  Americký zákon so zdravotným postihnutím  Veková diskriminácia  Tehotenstvo Diskriminačné poistné programy a zákony:  Zákon o rodinnej a lekárskej dovolenke (FMLA) - umožňuje kvalifikovaným zamestnancom čerpať dovolenku s chorými rodinnými príslušníkmi alebo s inými rodinnými záležitosťami  Konsolidovaný súhrnný zákon o zosúladení rozpočtu (COBRA) - umožňuje zamestnancom pokračovať v lekárskej starostlivosti pokrytie po odchode zo zamestnania z akýchkoľvek dôvodov


9.2 Vektorové algoritmy a ods

V kapitole 6 - Základné algoritmy sme si ukázali, ako vytvoriť jednoduché vektorové glyfy a ako integrovať častice cez vektorové pole, aby sa vytvorili prúdnice. V tejto časti rozširujeme tieto koncepcie o vytváranie prúdových pruhov a prúdových polygónov. Ďalej predstavíme koncept topológie vektorového poľa a ukážeme si, ako charakterizovať vektorové pole pomocou topologických konštruktov.

Riady a povrchy a ods

Zjednodušujúce riadky zobrazujú dráhy častíc vo vektorovom poli. Vyfarbením týchto čiar alebo vytvorením miestnych glyfov (napríklad prerušovaných čiar alebo orientovaných kužeľov) môžeme predstaviť ďalšie skalárne a časové informácie. Tieto techniky však môžu prenášať iba základné informácie o vektorovom poli. Miestne informácie (napr. Rotácia toku alebo deriváty) a globálne informácie (napr. Štruktúra poľa, napríklad vírivé trubice) nie sú znázornené. Streamribbons a streamsurfaces sú dve techniky používané na reprezentáciu miestnych a globálnych informácií.

Prirodzené rozšírenie techniky zjednodušenia rozširuje čiaru a vytvára stuhu. Pásku je možné vytvoriť tak, že sa vygenerujú dve susedné prúdnice a potom sa čiary premostia polygonálnou sieťou. Táto technika funguje dobre, pokiaľ prúdnice zostávajú relatívne blízko pri sebe. Ak dôjde k oddeleniu, aby sa prúdnice rozchádzali, výsledná stuha nebude presne predstavovať tok, pretože očakávame, že povrch pásky bude všade dotyčnica vektorového poľa (t. J. Definícia prúdnice). Usmernená plocha spájajúca dva široko oddelené prúdnice túto požiadavku všeobecne nespĺňa.

Streamribbon poskytuje informácie o dôležitých parametroch toku: vektorovej vorticite a divergencii toku. Vorticita Omega je miera rotácie vektorového poľa vyjadrená ako vektorová veličina: smer (os rotácie) a veľkosť (veľkosť rotácie). Prúdová vírivosť Omega je projekcia vec < omega> pozdĺž vektora okamžitej rýchlosti, vec . Povedané iným spôsobom, prúdová vorticita je rotácia vektorového poľa okolo prúdnice definovaná nasledovne.

Miera skrútenia streamribbonu sa blíži prúdovej vírivosti. Divergencia toku je mierou „šírenia“ toku. Meniaca sa šírka streamribbonu je úmerná divergencii priečneho toku.

Streamsurface je súbor nekonečného počtu prúdnic prechádzajúcich základnou krivkou. Základná krivka alebo hrable určuje počiatočné body pre prúdnice. Ak je základná krivka uzavretá (napr. Kruh), povrch je uzavretý a vznikne prúdová trubica. Streamribbons sú teda špecializované typy povrchov streams s malou šírkou v porovnaní s dĺžkou.

V porovnaní s vektorovými ikonami alebo prúdnicami poskytujú povrchy prúdov ďalšie informácie o štruktúre vektorového poľa. Akýkoľvek bod na povrchu prúdu je dotyčnicový k vektoru rýchlosti. Preto si vezmime príklad z toku tekutiny a žiadna tekutina nemôže prechádzať cez povrch. Potoky sú potom reprezentáciami konštantného hmotnostného toku. Streamsurfaces ukazujú štruktúru vektorového poľa lepšie ako streamlines alebo vektorové glyfy, pretože nevyžadujú vizuálnu interpoláciu medzi ikonami.

Streamsurfaces možno vypočítať vygenerovaním sady prúdnic z hrable špecifikovaného používateľom. Polygonálna sieť sa potom vytvorí spojením susedných prúdnic. Jedným z problémov tohto prístupu je, že divergencia lokálneho vektorového poľa môže spôsobiť oddelenie prúdových prúdov. Separácia môže vniesť do povrchu veľké chyby alebo spôsobiť samokríženie, ktoré nie je fyzicky možné.

Iný prístup k výpočtom streamsurfaces zvolil Hultquist [Hultquist92]. Povrch potoka je súborom potokov pripojených po ich okrajoch. V tomto prístupe sa výpočet prúdnic a obkladov povrchu prúdov vykonáva súčasne. To umožňuje pridávať alebo odstraňovať prúdnice, keď sa tok oddeľuje alebo zbieha. Obklad je možné tiež ovládať, aby sa zabránilo vytváraniu dlhých úzkych trojuholníkov. Povrch môže byť tiež „roztrhnutý“, to znamená, že môžu byť pásky oddelené, ak je divergencia toku príliš vysoká.

Stream Polygon & ods

Doteraz opísané techniky poskytujú približné miery veličín vektorového poľa, ako je prúdová vírivosť a divergencia. Vektorové polia však obsahujú viac informácií, ako môžu tieto techniky sprostredkovať. Vo výsledku boli vyvinuté ďalšie techniky na vizualizáciu týchto informácií. Jednou z takýchto techník je prúdový polygón [Schroeder91], ktorý slúži ako základ pre množstvo pokročilých metód vektorovej a tenzorovej vizualizácie. Prúdový polygón sa používa na vizualizáciu miestnych vlastností deformácie, posunutia a rotácie. Začneme popisom účinkov vektorového poľa na lokálny stav napätia.

Nejednotné vektorové polia spôsobujú lokálnu deformáciu v oblasti, kde sa vyskytujú. Ak sa vektorové pole posúva vo fyzickom médiu, ako je tekutina alebo pevná látka, deformácia spočíva v lokálnom namáhaní (t.j. lokálnom skreslení) a tuhom pohybe tela. Aby sme matematicky opísali deformáciu, preskúmame 3D vektor vec = (u, v, w) v určenom bode x = (x, y, z). Pomocou Taylorovho radu rozšírenia prvého rádu o x môžeme vyjadriť lokálnu deformáciu eij ako

kde epsilon_ je miestny kmeň a omega_ je lokálna rotácia. Upozorňujeme, že tieto premenné sú vyjadrené ako 3 krát 3 tenzory. (Porovnajte túto rovnicu s rovnicou uvedenou na obrázku 6-20. Všimnite si, že táto rovnica a nasledujúca rovnica 9-5 sa líšia vo svojich mimo diagonálnych pomeroch o faktor 1/2. Je to preto, že obrázok 6-20 vyjadruje technické šmykové napätie, ktoré sa používa pri štúdiu elasticity. Rovnica 9-5 vyjadruje tenzorovú veličinu a je matematicky konzistentná.)

Miestny kmeň je vyjadrený ako kombinácia parciálnych derivátov pri x nasledovne.

Výrazy na uhlopriečke epsilon_ sú normálne zložky kmeňa. Off-diagonálne členy sú šmykové napätie. Lokálna rotácia tuhého telesa je daná rovnicou 9-6 a môže byť tiež znázornená pomocou tenzorovej notácie ako

kde omega je vektor vírovitosti uvedený v predchádzajúcej časti. Vorticita alebo lokálna tuhá rotácia tela je potom

Pre čitateľa neznalého tenzorovej notácie je táto prezentácia určite menej ako úplná. Matice v rovnici 9-5 a rovnici 9-6 sa však priamo prekladajú do vizuálnej podoby, čo pomôže objasniť tu uvedené pojmy. S odvolaním sa na Obrázok 9-11 , normálne napätie, šmykové napätie a tuhý pohyb tela vytvárajú odlišné režimy deformácie. Kombináciou týchto režimov sa vytvorí celková deformácia. Režimy normálneho napätia spôsobujú kompresiu alebo predĺženie v smere kolmom na povrch, zatiaľ čo šmykové napätia spôsobujú uhlové skreslenia. Tieto kmene v kombinácii s tuhou rotáciou tela okolo osi poskytujú celkové napätie v bode.

Obrázok 9-11. Zložky lokálnej deformácie spôsobenej vektorovým poľom. Bodkovaná čiara zobrazuje pôvodne nedeformovaný objekt.

Podstatou techniky prúdového polygónu je ukázať tieto spôsoby deformácie. Pravidelný n-stranný mnohouholník ( Obrázok 9-12 ) sa umiestni do vektorového poľa v určenom bode a potom sa deformuje podľa lokálneho napätia. Zložky kmeňa môžu byť zobrazené samostatne alebo v kombinácii. Orientácia normály mnohouholníka je ľubovoľná. Je však vhodné zarovnať normálu s lokálnym vektorom. Potom je tuhá rotácia tela okolo vektora prúdová vírivosť a účinky normálneho a šmykového napätia sú v rovine kolmej na prúdnicu prechádzajúcu bodom.

Prúdový polygón ponúka ďalšie zaujímavé možnosti. Prúdový polygón sa môže prehýbať pozdĺž trajektórie, zvyčajne po prúdnici, aby sa vytvorili trubice. Polomer trubice r je možné upraviť podľa niektorých skalárnych funkcií. Jednou z aplikácií je vizualizácia toku tekutín. Pri nestlačiteľnom prietoku bez šmyku sa môže polomer trubice meniť podľa veľkosti vektora skalárnej funkcie. Potom rovnica

predstavuje oblasť konštantného hmotnostného toku. Výsledkom je, že trubica bude hustnúť, keď sa prietok spomalí a zúži, keď sa zvýši rýchlosť. Každá z n strán trubice môže byť zafarbená inou skalárnou funkciou, aj keď kvôli vizuálnej jasnosti by sa mala použiť najviac jedna alebo dve funkcie.

Obrázok 9-12. Polygón prúdu. (a) Rovinný pohľad. b) Zarovnané s vektorom. (c) Zarovnané pozdĺž usmernenia. (d) Zametanie mnohouholníka do tvaru trubice. Navštívte stránku OfficeTube.cxx a OfficeTube.py.

Potoky generované streampolygónom a potoky, ktoré sme opísali v predchádzajúcej časti, nie sú rovnaké. Prúdový polygon nemusí nevyhnutne ležať pozdĺž prúdnice. Ak áno, streampolygon predstavuje informáciu v bode, zatiaľ čo streamtube je aproximácia vytvorená z viacerých prúdov. Radiálna variácia rúrok vytvorených z prúdových tokov polygónu tiež nemusí nevyhnutne súvisieť s hmotnostným tokom, pretože polomer v prúdovom polygóne môže byť viazaný na ľubovoľnú skalárnu premennú.

Topológia vektorového poľa a ods

Vektorové polia majú zložitú štruktúru charakterizovanú špeciálnymi vlastnosťami nazývanými kritické body [Globus91] [Helman91]. Kritické body sú miesta vo vektorovom poli, kde sa veľkosť miestneho vektora zníži na nulu a smer vektora sa neurčí. V týchto bodoch sa vektorové pole buď zbieha, alebo rozbieha a / alebo nastáva lokálna cirkulácia okolo bodu.

Kritické body ležia v bunkách množiny údajov, kde u, v a w zložky vektorového poľa prechádzajú nulou. Tieto body sú lokalizované pomocou iteračného postupu vyhľadávania, napríklad pomocou techniky dvojrezy. Každá iterácia hodnotí funkciu interpolácie buniek, kým sa nenájde nulový vektor. Len čo sa nájde kritický bod, jeho miestne správanie sa určí z matice parciálnych derivácií.

Je to preto, že v kritickom bode je rýchlosť nulová a vektorové pole je možné aproximovať rozšírením parciálnych derivácií prvého rádu [Helman91]

Maticu parciálnych derivácií J môžeme zapísať vo vektorovom zápise ako parciálne u parciálne v parciálne w

a označuje sa ako jakobián. Chovanie vektorového poľa v blízkosti kritického bodu je charakterizované vlastnými hodnotami J. Vlastné hodnoty pozostávajú z imaginárnej a skutočnej zložky. Imaginárna zložka popisuje rotáciu vektorového poľa okolo kritického bodu, zatiaľ čo skutočná časť popisuje relatívnu príťažlivosť alebo odpudivosť vektorového poľa ku kritickému bodu. V dvoch dimenziách sú kritické body zobrazené v Obrázok 9-13 .

Na zostrojenie topológie vektorového poľa z analýzy kritických bodov bolo vyvinutých množstvo vizualizačných techník. Tieto techniky poskytujú globálne pochopenie poľa, vrátane bodov pripojenia a odpojenia a vírov v teréne. Pri použití analógie toku tekutín sa body pripojenia a odpojenia vyskytujú na povrchu objektu, kde tangenciálna zložka vektorového poľa klesá na nulu a tok je kolmý na povrch. V týchto bodoch teda budú začínať alebo končiť zjednodušenia. Pre vír neexistuje žiadna spoločná definícia, ale všeobecne sú víry oblasti s relatívne koncentrovanou vírivosťou (napr. Rotácia toku). Štúdium vírov je dôležité, pretože predstavujú oblasti energetických strát alebo môžu mať výrazný vplyv na podmienky prúdenia po prúde (napr. Koncové víry za veľkými lietadlami).

Jedna užitočná vizualizačná technika vytvára kostry vektorového poľa, ktoré rozdeľujú vektorové pole na samostatné oblasti. V každej oblasti je vektorové pole topologicky ekvivalentné uniformnému toku. Tieto kostry sa vytvárajú lokalizáciou kritických bodov a následným prepojením kritických bodov s prúdnicami. V analýze 3D vektorového poľa možno túto techniku ​​použiť na povrch objektov na lokalizáciu línií oddelenia a pripevnenia toku a ďalších dôležitých funkcií toku. Všeobecne sú 3D prietoky tiež oblasti rovnomerného prúdenia oddelené povrchmi a aktuálnou témou výskumu je vytváranie kostier 3D toku.

Vizualizácia víru je ďalšou oblasťou súčasného výskumu. Jedna technika počíta hustota helicity

Obrázok 9-13. Kritické body v dvoch rozmeroch. Skutočná časť vlastných čísel (R1, R2) matice prvých derivátov riadi príťažlivosť alebo odpudivosť vektorového poľa. Rotácia je riadená imaginárnou časťou vlastných čísel (I1, I2).

Toto je skalárna funkcia vektorového bodového súčinu medzi vorticitou a lokálnym vektorom. Veľké kladné hodnoty H_d vedú k pravotočivým vírom, zatiaľ čo veľké záporné hodnoty označujú ľavotočivé víry. Hustotu helicity možno pohodlne zobraziť pomocou izosurfov, ktoré poskytujú indikáciu umiestnenia a štruktúry víru.


Matematika 535b: Pokročilá diferenciálna geometria, jar 2019

Pedagogický zbor

Inštruktor Sheel Ganatra
Kancelária KAP 266D
E-mail sheel (bodka) ganatra (zavináč) usc (bodka) edu (toto je najlepší spôsob, ako ma osloviť)
Úradné hodiny Tento týždeň (3 / 25-3 / 29): pondelok 14:00, streda 14:00, piatok 12 13:00.

Oznamy

Popis kurzu a nevyhnutné predpoklady

  • Riemannova geometria (štúdium rozdeľovačov s Riemannovou štruktúrou, t. J. Metrika indukovaná rodinou vnútorných produktov na dotyčnicových priestoroch).
  • Geometria K & aumlhler (štúdium komplexných potrubí s metrikou K & aumlhler, čo je špeciálny typ (hermitovskej) metriky, ktorej čisto imaginárna časť je uzavretá).
  • Symplektická geometria (štúdium skutočných párnych dimenzií so symplektickou formou, ktorá je nedegenerovanou uzavretou 2-formou).

Rozdeľovače K & aumlhler sú najmä zložité rozdeľovače, ktoré sú kompatibilné s Riemannovým a symplektickým tvarom. Budeme diskutovať o príkladoch všetkých troch typov rozdeľovačov a vytvoríme základnú sadu nástrojov na štúdium geometrie v každom z týchto nastavení. Kurz bude kladený na porozumenie tuhosť vlastnosti posledných dvoch geometrií: spôsoby, ktorými sú ich geometria a topológia (merané napr. ich kohomologickými skupinami alebo vlastnosťami určitých máp alebo vektorových polí) pevne obmedzené v porovnaní s rozdeľovačmi, ktoré tieto štruktúry nemajú.

Nižšie bude uvedený podrobnejší plán prednášok (priebežne aktualizovaný, po každej prednáške).

V posledných dvoch alebo troch týždňoch kurzu sa trieda stane študentom: študenti budú mať sériu prednášok o pokročilých témach v jednej alebo viacerých z týchto oblastí. Zoznam potenciálnych tém bude uverejnený o niečo neskôr.

Budeme predpokladať základné znalosti geometrie rozdeľovačov na úrovni kurzu Math 535a alebo ekvivalentného kurzu USC.

Referencie

Niektoré plánované témy, ktoré sa majú preskúmať, zahŕňajú:

  • Niektoré aspekty teórie rozdeľovača: vektorové zväzky, tubulárne štvrte, dualita Poincare a teória križovania pre podrodiny.
  • Spojenia a zakrivenie (na vektorových zväzkoch) a úvod do Riemannovej geometrie: Riemannovské metriky a s nimi spojené spojenia Levi-Civita, paralelný transport, geodetika a Gauss-Bonetova veta.
  • Symplektická geometria: Symplektické formy, lagrangeové podmanifoly, hamiltonovské vektorové polia a symplectomorfizmy, Darbouxova veta a Weinsteinova tubulárna veta, Moserova veta. Konštrukcie symplektických potrubí (prostredníctvom fibrácií, vyfúknutie do vzduchu a rozrezania a vloženia). Kompatibilné takmer zložité štruktúry. Arnoldova domnienka a (ak to čas dovoľuje) úvod do Floerovej homológie.
  • Komplexné rozdeľovače a „takmer zložité rozdeľovače“ (rozdeľovače vybavené takmer zložitými štruktúrami) a ich vzťah prostredníctvom vety Newlander-Nirenburg.
  • Geometria K & aumlhler: Formy K & aumlhler a Hodgeov rozklad pre (de Rhamovu kohomológiu) K & aumlhler. Príklady pochádzajúce zo zložitého projektívneho priestoru a plynulých projektívnych zložitých variácií. Veta o Kodaire.
  • Raoul Bott a Loring Tu, Diferenciálne formy v algebraickej topológii (Konkrétne kapitola 1, ktorá poskytuje pekné spracovanie De Rhamovej kohomológie, Poincarovej a eacuteovej duality pomocou diferenciálnych foriem, vety K & uumlnneth, vektorových zväzkov atď.).
  • John Lee, Riemannovské rozdeľovače: Úvod do zakrivenia .
  • Ana Cannas da Silva, Prednášky o symplektickej geometrii, dostupné online.
  • Raymond Wells, Diferenciálna analýza zložitých potrubí.
  • Claire Voisinová, Hodgeova teória a algebraická geometria, I.
  • Poznámky k kurzu diferenciálnej geometrie profesora Ko Hondu: prvý semester a druhý semester.
  • Kurz MIT profesora Denisa Aurouxa z roku 2007, 18.966: Geometria rozdeľovačov
  • Prednáška profesora Ralpha Cohena: Topológia zväzkov vlákien (použijeme ju ako doplnkovú referenciu v časoch, keď by sme mohli diskutovať o vektorových alebo hlavných zväzkoch).

Informácie o úvodnej geometrii a topológii rozdeľovačov nájdete v učebnici často používanej v matematike 535a, Základy diferenciálnych rozdeľovačov a klamných skupín Frank Warner. Alternatívna úvodná učebnica je Úvod do hladkých rozdeľovačov John Lee. Príjemným doplnkovým odkazom je Guillemin a Pollack Diferenciálna topológia, najmä jej kapitola o teórii križovatiek.

Klasifikačný systém

  • Prednáška v posledných týždňoch kurzu zameraná na pokročilú tému nadväzujúcu na to, čo je v triede obsiahnuté. a
  • Záverečný informačný príspevok o dĺžke najmenej 5 strán týkajúci sa vyššie uvedenej témy. Toto je povolené, ale nemusí sa presne zhodovať s témou vašej prednášky. V skutočnosti, aj keď je téma rovnaká, príspevok by mal mať nevyhnutne viac podrobností a / alebo odlišný dôraz od toho, o čom sa prednáša na hodine.

Zoznam možných tém pre vyššie uvedené úlohy bude uvedený neskôr v semestri. Môžete tiež navrhnúť inú tému so súhlasom inštruktora.

Domáce zadania

Niektoré voliteľné (netriedené) domáce úlohy budú pravidelne zadávané počas celého semestra. Budú tu zverejňované priebežne.

Dátum Postúpenie Poznámky
TBD TBD TBD

Prednášky študentov a záverečné práce

Niektoré podrobnosti o vašej záverečnej prednáške a zadaní príspevku sú teraz k dispozícii tu.

Prednáškový plán

Témy prednášok podľa dní budú zverejňované priebežne nižšie. Budúce témy sú predbežné a budú podľa potreby upravené.


Formát kurzu:

Kurz bude pozostávať hlavne z prednášok, domácich úloh a štyroch programovacích úloh . Taktiež bude vykonaná strednodobá a záverečná skúška . Klasifikácia bude prebiehať nasledovne: približne 30% na zadanie domácej úlohy / programovania, 35% na priebežné hodnotenie a 35% na záverečnú skúšku.

CIS 462/562 - ANIMÁCIA POČÍTAČA

Dr. Stephen H. Lane

Úradné hodiny

Podľa menovania, Levine 154

Rozvrh kurzu

Prednáška 1: Úvod . Pozadie a motivácia pre kurz. Organizácia kurzu. Ukážky animácie. Základné pojmy a terminológia.

Prednáška 2: Súradnicové systémy. Recenzia lineárnej algebry, vektorové priestory a transformácie súradníc

Prednáška 3: Coordinate Systems Con t.- Eulerove uhly a štvrtohory.

Prednáška 4: Metódy interpolácie. Prispôsobenie krivky vs. vyhladenie . Lineárne a kubické spline . Bézierove krivky . Catmul-Romove spline.

Prednáška 5: Metódy interpolácie - Cont .Bsplines.

Prednáška 6: Metódy interpolácie - Cont Bsplines Con t 2D povrchy.

Prednáška 7: Metódy interpolácie - Cont . Spherical Interpolation (Quaternions) . Kontrola vývojového prostredia softvéru HW # 1.

Prednáška 8: Kinematika tela. Spoločná reprezentácia hierarchie . Transformačné matice . Forward kinematické modely . Jacobské matice.

Prednáška 9: Body Kinematics - Cont Kinematické reťazce. Metódy konštrukcie jakobiánskych matíc. Analytické a numerické prístupy k inverznej kinematike.

Prednáška 10: Animácia tela Metódy kľúčových snímok. Metódy snímania pohybu. Úpravy pohybu . Sekvenovanie a miešanie. Parametrizácia dĺžky oblúka

Prednáška 11: Animácia tela - Cont Lokomotíva. Chôdza Chôdza a behanie cyklov. Ukážky animačného nástroja (MotionBuilder).

Prednáška 12: Animácia tela - Cont Relácia na zachytenie pohybu.

Prednáška 13: Priebežná skúška ( )

Prednáška 14: Tvarová animácia.Mäkká pokožka, animácia tváre, morfové ciele a prístupy založené na svaloch.

Prednáška 15: Dynamika tela.. Stupne voľnosti. Pohybové rovnice. Reprezentácia stavového priestoru. Rotačná vs. translačná dynamika.

Prednáška 16: Body Dynamics Con t . Dynamické systémy druhého rádu (tj. Tlmič pružiny). Systémy častíc.

Prednáška 17: Body Dynamics Con t. Dynamika kinematických reťazcov (Newton Eulerova metóda)

Prednáška 18: Simulácia.Smyčka, riadenie, konanie, slučka spracovania. Numerické integračné metódy. Mŕtve výpočtové modely. Metódy detekcie kolízií. Virtuálna realita a distribuovaná interaktívna simulácia

Prednáška 19: Kontrola spätnej väzby . . Openloop vs. riadenie s uzavretou slučkou . Typy regulátorov . Požiadavky na dizajn . Návrh zákona o spätnej väzbe.

Prednáška 20: Ovládanie spätnej väzby - Cont. Sledovanie dráhy. Vyhnutie sa prekážkam. Metódy vypočítanej rýchlosti a vypočítaného krútiaceho momentu.

Prednáška 21: Behaviorálna animáciaZákladné koncepty. Správanie sa pri vrstvení a zmiešaní, hierarchické správanie a skupinové správanie. Arbitrážne a koordinačné schémy

Prednáška 22: Animácia založená na optimalizácii Obmedzenia časopriestoru.

Prednáška 23: Animácia založená na optimalizácii. Metódy riešenia obmedzenia časopriestoru.

Prednáška 24: Pokročilé témy v animácii postáv.Dynamické vyváženie. Celotelové dynamické radiče.


1 odpoveď 1

Nemôžem odpovedať na otázku z tvojho názvu - možno len ty nie starostlivosť. -)

Ale poviem vám niekoľko dôvodov, pre ktoré to považujem za zaujímavé a užitočné.

Najskôr a možno najhlbšie je, že skupinu všetkých difeomorfizmov hladkého potrubia $ M $ môžete zobraziť ako nekonečne trojrozmernú Fréchetovu Lieovu skupinu a jej Lieova algebra je presne $ mathfrak X (M) $ s Lieovou zátvorkou štruktúra (krásnu expozíciu tohto hľadiska nájdete v tomto článku Richarda Hamiltona).

Po druhé, akákoľvek plynulá pravá akcia (konečno-dimenzionálnej) Lieovej skupiny $ G $ na $ M $ určuje homomorfizmus Lieovej algebry z $ operatorname(G) $ až $ mathfrak X (M) $, odoslanie $ X v operatorname(G) $ do vektorového poľa $ widehat X in mathfrak X (M) $ definované $ widehat X_p = left. Frac

vpravo | _ p cdot exp tX. $ Naopak, vzhľadom na akúkoľvek konečnú trojrozmernú Lieovu subalgebru $ mathfrak g podmnožinu mathfrak X (M) $ s vlastnosťou, že každé vektorové pole v $ mathfrak g $ je úplné, existuje plynulá pravá akcia jednoducho spojenej Lie skupina $ G $, ktorej Liehova algebra je izomorfná s $ mathfrak g $, a $ mathfrak g $ je obrazom homomorfizmu Liehovej algebry opísaného vyššie. (Pozri strany 525 - 530 mojich Úvod do hladkých rozdeľovačov [ISM].)

Môžete si myslieť, že štruktúra Lieovej algebry $ mathfrak X (M) $ poskytuje prekážky komutativite tokov: Dva plynulé toky pri dochádzaní $ M $ práve vtedy, ak ich nekonečne malé generátory majú nulovú hraničnú zátvorku [ISM, Thm. 9,44].

Ak je $ M $ obdarený úplnou Riemannovskou metrikou, množina všetkých zabíjacích vektorových polí je konečná trojrozmerná Lieova subalgebra $ mathfrak X (M) $, čo je Lieova algebra celej izometrickej skupiny $ M $ .

V prítomnosti symplektickej štruktúry existuje mapa od $ C ^ infty (M) $ do $ mathfrak X (M) $, ktorá posiela $ f $ do jeho hamiltonovského vektorového poľa $ X_f $, čo dáva izomorfizmus lži (alebo antiizomorfizmus, v závislosti od vašich zvyklostí) medzi $ C ^ infty (M) / < text> $ s jeho štruktúrou Poissonovej zátvorky a určitou Lieovou subalgebrou $ mathscr H (M) subseteq mathfrak X (M) $, algebra hamiltonovských vektorových polí. Toto je zase subalgebra väčšej Lieovej subalgebry $ mathscr S (M) subseteq mathfrak X (M) $, symplektické vektorové poliaa kvocient $ mathscr S (M) / mathscr H (M) $ je prirodzene izomorfný k prvej de Rhamovej kohomológii $ M $. (Pozri napríklad [ISM, kap. 22].) Štruktúra Lieovej algebry $ mathscr H (M) $ hrá ústrednú rolu v dynamických systémoch, napríklad pri identifikácii úplne integrovateľných systémov a v Noetherovej vete o vzťahu medzi symetriami a konzervovanými veličinami.


Kľúčové slová

Loris Nanni získal magisterský titul vyznamenaný v júni 2002 na Bolonskej univerzite a 26. apríla 2006 získal titul Ph.D. v odbore počítačové inžinierstvo na univerzite DEIS v Bologni. Medzi jeho výskumné záujmy patrí rozpoznávanie vzorov, bioinformatika a biometrické systémy (klasifikácia a rozpoznávanie odtlačkov prstov, overovanie podpisu, rozpoznávanie tváre).

Alessandra Lumini získala magisterský titul na univerzite v Bologni v Taliansku 26. marca 1996. V roku 1998 začala titul Ph.D. študuje na DEIS na Bolonskej univerzite a v roku 2001 získala titul Ph.D. diplom z počítačového inžinierstva za prácu na „Databázach obrázkov“. Teraz je docentkou na Bolonskej univerzite. She is interested in pattern recognition, bioinformatics, Biometric Systems, Multidimensional Data Structures, Digital Image Watermarking and Image Generation.

Matteo Ferrara is a researcher at the University of Bologna, Italy.

He received his bachelor׳s degree cum laude in Computer Science from the University of Bologna, (March 2004) and his Master׳s degree cum laude in October 2005. In 2009 he received his Ph.D. in Electronics, Computer Science and Telecommunications Engineering at Dept. of Electronics, Computer Science and Systems (DEIS), University of Bologna for his studies on Biometric Fingerprint Recognition Systems.

He is a member of the Biometric System Laboratory at Computer Science – Cesena.

His research interests include Image Processing, Pattern Recognition and Biometric Systems (Fingerprint Recognition, Fingerprint Template Protection, Performance Evaluation of Biometric Systems, Fingerprint Scanner Quality and Face Recognition).


Notes on class field theory

Reference.

By analogy with local class field theory, we want to prove that for (L/K) a cyclic extension of number fields and (C_K, C_L) the respective idèle class groups of (K) and (L ext<,>)

Our first step is to calculate the Herbrand quotient.

Theorem 7.1.1 .

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

This will end up reducing to a study of lattices in a real vector space, much as in the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

From Theorem 7.1.1, we will deduce the so-called “First Inequality”.

Theorem 7.1.2 . First Inequality.

For (L/K) a cyclic extension of number fields,

Proof .

The “Second Inequality” will be the reverse, which will be a bit more subtle (see Theorem 7.2.10).

Subsection 7.1.1 Some basic observations

Definition 7.1.3 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) (We do not yet need (G) to be cyclic.) For any finite set (S) of places of (K) containing all infinite places, write (I_) to mean the group (I_) where (T) denotes the set of places of (L) lying over some place in (S ext<.>) Similarly, write (gotho_) to mean (gotho_ text <.> )

Note that each (I_) is stable under the action of (G) and that (I_L) is the direct limit of the (I_) over all (S ext<.>) Moreover, by Corollary 6.2.10, for (S) sufficiently large we have

Proposition 7.1.4 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) For each (i>0 ext<,>)

where (v) runs over places of (K) and (w) denotes a single place of (L) above (v ext<.>) Similarly, for each (i ext<,>)

Proof .

View (I_L) as the direct limit of the (I_) over all finite sets (S) of places of (K) containing all infinite places and all ramified places then (H^i(G,I_L)) is the direct limit of the (H^i(G, I_) ext<.>) The latter is the product of (H^i(G, prod_ L_w^*)) over all (v in S) and (H^i(G, prod_ gotho_^*)) over all (v otin S ext<,>) but the latter is trivial because (v otin S) cannot ramify. By Shapiro's lemma (Lemma 3.2.3), (H^i(G, prod_ L_w^*) = H^i(G_w, L_w^*) ext<,>) so we have what we want. The argument for Tate groups is analogous.

Corollary 7.1.5 .

Let (L/K) be a Galois extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Then

Proof .

This follows by combining Proposition 7.1.4, the computation of cohomology of local fields (Lemma 1.2.3 and Proposition 4.2.1), and the equality

Remark 7.1.6 . Sanity check.

The case (i=0) of Proposition 7.1.4 asserts something that is evidently true: an idèle in (I_K) is a norm from (I_L) if and only if each component is a norm.

Remark 7.1.7 .

If (S) contains all infinite places and all ramified places, then

where (U_v) is open in (K_v^* ext<.>) The group on the right is open in (I_K ext<,>) so (Norm_ I_K) is open.

By quotienting down to (C_K ext<,>) we see that (Norm_ C_K) is open. In fact, the snake lemma on the diagram

implies that the quotient (I_K/(K^* imes Norm_ I_L)) is isomorphic to (C_K/Norm_ C_L ext<.>)

Subsection 7.1.2 Cohomology of the units: first steps

Definition 7.1.9 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Apply Corollary 6.2.10 to choose a finite set (S) of places of (K) so that (I_L = I_ L^* ext<.>) From the exact sequence

we have an equality of Herbrand quotients

(Since (G) is abelian, we write (G_v) instead of (G_w ext<.>)) To get (h(C_L) = [L:K] ext<,>) it will thus suffice to establish Lemma 7.1.10 below.

Lemma 7.1.10 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields. Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places. Potom

Proof .

Subsection 7.1.3 Cohomology of the units: a computation with (S)-units

At this point, we have reduced the computation of the Herbrand quotient (h(I_L) ext<,>) and by extension the First Inequality, to the computation of (h(gotho_^*)) for a suitable set (S) of places of (K ext<.>) We treat this point next, using similar ideas to the proof of Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11).

Definition 7.1.11 .

Let (L/K) be a cyclic extension of number fields with Galois group (G ext<.>) Let (S) be a finite set of places of (K) containing all infinite places, and let (T) be the set of places of (L) lying above places of (S ext<.>) Let (V) be the real vector space consisting of one copy of (RR) for each place in (T ext<.>) Define the map (gotho_^* o V) by

with normalizations as in Definition 6.1.10. By the product formula (Proposition 6.1.11) and Dirichlet's units theorem (Corollary 6.2.11), the kernel of this map consists of roots of unity, and the image (M) is a lattice in the trace-zero hyperplane (H) of (V ext<.>) Since (G) acts compatibly on (gotho_^*) and (V) (the latter by permuting the factors), it also acts on (M ext<.>)

Remark 7.1.12 . Caveat.

At this point, we deviate from [37] due to an error therein. Namely, Lemma VI.3.4 is only proved assuming that (G) acts transitively on the coordinates of (V ext<,>) but in Definition 7.1.11 this is not the case: (G) permutes the places above any given place (v) of (K) but those are separate orbits. So we'll follow [36] instead.

Definition 7.1.13 .

Continuing from Definition 7.1.11, we can write down two natural lattices in (V ext<.>) One of them is the lattice generated by (M) together with the all-ones vector, on which (G) acts trivially. As a (G)-module, the Herbrand quotient of that lattice is (h(M) h(Z) = [L:K] h(M) ext<.>) The other is the lattice (M') in which, in the given coordinate system, each element has integral coordinates. To compute its Herbrand quotient, notice that the projection of this lattice onto the coordinates corresponding to the places (w in T) above some (v in S) form a copy of (Ind^G_ Z ext<.>) Thus

To sum up, the calculations from Definition 7.1.11 and Definition 7.1.13 reduce Lemma 7.1.10 to the following statement (Lemma 7.1.14).

Subsection 7.1.4 Herbrand quotients of real lattices

We conclude the proof of the First Inequality with the following statement.

Lemma 7.1.14 .

Let (V) be a real vector space on which a finite cyclic group (G) acts linearly, and let (L_1) and (L_2) be (G)-stable lattices in (V) for which at least one of (h(L_1)) and (h(L_2)) is defined. Then (h(L_1) = h(L_2)) (and both are defined).

Proof .

Note that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are (QQ[G])-modules which become isomorphic to (V ext<,>) and hence to each other, after tensoring over (QQ) with (RR ext<.>) By Lemma 7.1.15, this implies that (L_1 otimes_ <Z>QQ) and (L_2 otimes_ <Z>QQ) are isomorphic as (QQ[G])-modules.

From this isomorphism, we see that as a (Z[G])-module, (L_1) is isomorphic to some sublattice of (L_2 ext<.>) Since a lattice has the same Herbrand quotient as any sublattice (the quotient is finite, so its Herbrand quotient is 1), that means (h(L_1) = h(L_2) ext<.>)

Lemma 7.1.15 .

Let (F/E) be an extension of infinite fields. Let (G) be a finite group. Let (V_1) and (V_2) be two right (E[G])-modules which are finite-dimensional as (E)-vector spaces. If (V_1 otimes_E F) and (V_2 otimes_E F) are isomorphic as (F[G])-modules, then (V_1) and (V_2) are isomorphic.

Proof .

By hypothesis, the (F)-vector space

on which (G) acts by the formula (T^g(x) = T(x^>)^g ext<,>) contains an invariant vector which, as a linear transformation, is invertible. Now (W_F) can also be written as

The fact that (W_F) has an invariant vector says that a certain set of linear equations has a nonzero solution over (F ext<,>) namely the equations that express the fact that the action of (G) leaves the vector invariant. But those equations have coefficients in (E ext<,>) so

in particular, the space of invariant vectors in (W) is also nonzero.

It remains to check that some element of (W^G) corresponds to a map (V_1 o V_2) which is actually an isomorphism for this, we argue as in Exercise 1.2.5.3. Fix an isomorphism of vector spaces between (V_2 otimes_ F) and (V_1 otimes_ F) (which need not respect the (G)-action). By composing each element of (W) with this isomorphism and taking the determinant, we get a well-defined polynomial function on (W ext<,>) which we can restrict to (W^G ext<.>) By hypothesis, this function is not identically zero on (W_F^G ext<,>) so (because (E) is infinite) it cannot be identically zero on (W^G) either.

Subsection 7.1.5 Splitting of primes

As a consequence of the First Inequality, we record the following fact which was previously stated as a consequence of the Chebotarëv density theorem (Theorem 2.4.11), but which will be needed logically earlier in the arguments. (See [37], Corollary VI.3.8 for more details.)

Corollary 7.1.16 .

For any nontrivial extension (L/K) of number fields, there are infinitely many primes of (K) which do not split completely in (L ext<.>)

Proof .

Suppose first that (L/K) is cyclic. Suppose that all but finitely many primes split completely we can then take a finite set (S) of places which contains all of them as well as all of the infinite places and all of the ramified places. For each (v in S ext<,>) the group (U_v = Norm_ L_w^*) is open of finite index in (K_v^* ext<.>) For any (alpha in I_K ext<,>) using the approximation theorem (Proposition 6.1.17) we can then find (eta in K^*) such that ((alpha/eta)_v in U_v) for all (v in S ext<.>) For each place (v otin S ext<,>) we have (L_w = K_v ext<,>) so (alpha/eta in Norm_ I_L ext<.>) We deduce that the class of (alpha) in (C_L) is a norm that is, (C_K = Norm_ C_L ext<,>) whereas Theorem 7.1.2 asserts that (H^0_T(Gal(L/K), C_L) geq [L:K] ext<,>) contradiction.

In the general case, let (M) be the Galois closure of (L/K ext<>) then a prime of (K) splits completely in (L) if and only if it splits completely in (M ext<.>) Since (Gal(M/K)) is a nontrivial finite group, it contains a cyclic subgroup let (N) be the fixed field of this subgroup. By the previous paragraph, there are infinitely many prime ideals of (N) which do not split completely in (M ext<,>) proving the original result.

Exercises 7.1.6 Exercises

Let (K) be a number field. Let (L_1, dots, L_r) be cyclic extensions of (K) of the same prime degree (p) such that (L_i cap L_j = K) for (i eq j ext<.>) Using the First Inequality (Theorem 7.1.2), prove that there are infinitely many primes of (K) which split completely in (L_2, dots, L_r) but not in (L_1 ext<.>)


Microvortex generators in high-speed flow

Frank K. Lu Qin Li Chaoqun Liu , in Progress in Aerospace Sciences , 2012

3.1 Transonic Mach numbers (normal shock)

Vane [12,46] and ramp [12,17] MVGs, and contoured bumps [74,75] were studied. The incoming flow for most of these studies was slightly supersonic, being in the range of Mach 1.3–1.5, that allowed a normal or nearly normal shock to stably impinge a turbulent boundary layer which serves as the transonic criterion. A subsonic diffuser follows downstream of the interaction, its location being varied per the different investigations. In this sense, these studies were primarily interested in examining transonic diffuser-type flows. The exception is the study by König et al. [75] where an incoming flow at a high subsonic Mach number of 0.79 passes over an airfoil to produce a local supersonic pocket. Note that the vane configuration of Ref. [12] is similar to the third figure in the right of Fig. 1 (b), with the apex pointing downstream. In Ref. [46] , the vanes have their apex pointed upstream. Except for the contoured bump, the MVGs were placed ahead of the shock impingement location. In the case of the contoured bump, the shock impinged on the bump.

The presence of the MVG array appears to create a “global distortion” of the separated flowfield, as revealed by surface flow visualization [12,46] . Except for a region near the center of the interaction, the surface streamlines turn inward in the outboard regions. The distortions appear to be more serious in [46] perhaps because of its unusual MVG configuration. These global distortions are likely due to so-called corner effects as discussed above [61–64] and which has recently been revisited [76] . Unfortunately, these distortions complicate the understanding of how an MVG array affects transonic SBLI.

Bur et al. [46] concluded that the spanwise spacing of MVGs and their distance ahead of the shock impingement location play important roles in affecting separated SBLI. A close spacing allows the vortices to merge to reduce separation while sufficient distance must be provided to allow entrainment of the high-momentum freestream fluid see also [11] where optimal geometries were proposed. In terms of potential benefits, Holden and Babinsky [12] suggested that the vane-type MVG causes a lower wave drag rise while Bur et al. suggested that the MVG height should be less than the sonic line of the incoming boundary layer. Holden and Babinsky observed that vortices from vane-type MVGs do not lift off as fast as ramp-type MVGs and are more effective in energizing the boundary layer. These investigators also observed that the MVGs successfully eliminated shock-induced separation.

The study of Bur et al. elicits a further comment vis-à-vis Mehta's [26] study with an axisymmetric transonic bump. The latter study utilizes a single, conventional vortex generator, as shown schematically in Fig. 25 (a). Mehta's surface flow visualization shows a spiral similar to the spiral array of Bur et al., Fig. 24 (b). As was observed by Lin [8] in subsonic flows, qualitatively, the effect of microvortex generators on mitigating separation is the same as conventional ones, even in SBLIs.

Fig. 24 . Surface flow visualization from Bur et al. (flow from right to left) [46] . (a) No vane showing a nominally two-dimensional separated SBLI. (b) With sub-boundary layer co-rotating vane array showing a highly distorted surface flow pattern.

Fig. 25 . Mehta's study of a single conventional vortex generator upstream of an axisymmetric transonic bump [26] . (a) Schematic of test configuration. (b) Surface flow visualization at M ∞ = 0.862 .

Holden and Babinsky [12] examined the effect of MVGs on a normal SBLI at Mach 1.5. While this study was at a Mach number higher than that of Bur et al., this interaction possesses characteristics of transonic flow with its mixed character. These authors suggested that MVGs placed ahead of a separated SBLI may cause an increase in wave drag although they appeared to eliminate separation, with an overall benefit.

Titchener and Babinsky [73] extended the above study with particular attention paid on the effect of the tunnel span. Without MVGs, a separated interaction occurs when the shock impinged the boundary layer close to the diffuser. The separated interaction also gives rise to corner separations, namely, interactions with the tunnel sidewall boundary layers. The MVGs reduce the extent of the separation from the centerline with a resulting increase in total pressure recovery. However, the MVGs tend to enlarge and elongate the corner separation structures, as was also observed by Bur et al. [46] . In certain situations, the presence of the MVG array creates an asymmetrical flow. Reasons for this are still unknown. Finally, the authors concluded that the benefits of MVGs may be lost due to an increase in the size and severity of corner separations. In view of this, one can conclude that further detailed understanding of corner effects is necessary for MVGs to be applied in transonic inlets.

Herges et al. [17] deployed a comprehensive array of diagnostics and offered somewhat modest conclusions. They found that MVGs improve the health of the boundary and could help resist separation in SBLIs. They suggested that MVGs be used to augment or replace bleed for future supersonic inlets.

Ogawa et al. [74] were interested in the effects of a contoured bump on the performance of an airfoil at Mach 1.3, pertaining to reducing drag and buffeting arising from SBLI. The contoured hump is different from the usual MVG element but its height is still less than the boundary-layer thickness and thus falls into the MVG category. The study placed the hump under the shock. By doing so, the intention is to reduce wave drag and not necessarily to exploit the vortices produced downstream to mitigate SBLI effects. These investigators examined six bump configurations. Without the bumps, a near normal shock impinge the boundary layer. The bumps induce a lambda-foot shock configuration to produce a weaker SBLI. With the associated numerical simulations, a side-by-side pair of narrow rounded bumps was found to achieve the best performance by wave drag reduction through modifying the wave pattern with little viscous penalty.

Another joint experimental–computational study on the possibility of sub-boundary-layer protuberances for mitigating the effects of SBLI over transonic airfoils was reported by König et al. [75] . With an incoming freestream Mach number of 0.79, a mixed flow regime occurs over the airfoil to produce a normal shock impinging the boundary layer. Great effort was placed in designing the control bumps distributed spanwise across the airfoil. Despite the use of fences and adaptive walls, some wall interference effects were noted. Through numerical simulations, the interference was found to arise from shock waves originating from the junction of the airfoil's leading edge and the tunnel sidewalls. Detailed comparisons between experiment and computation suggest that there is a decrease in drag. However, the occurrence of drag reduction for the experiment starts at an angle of attack of α ≈ 2 ° whereas the computations show a drag reduction at a lower value of α ≈ 1.3 ° .

New compound MVGs known as split-ramps and ramped-vanes were studied experimentally by Rybalko et al. [22] and numerically by Lee et al. [23] , with multiple and single protuberances respectively. Rybalko et al. observed that flow separation was eliminated in the vicinity of the center but increased sidewall interference was observed compared to the simple vane or ramp geometries. The sidewall interference was labeled as “corner vortices” although these may actually be open separation which features strong vortices [60] . These results are consistent with other transonic investigations [12,46,73] although such interference was not reported nor observed in [17] . Lee et al. found that a “ramped-vane” configuration produces the most effective flow entrainment far downstream, reducing the total separation area but with spanwise distortions.


3 odpovede 3

The reason it is only a suggestion is that you could quite easily write a print function that ignored the options value. The built-in printing and formatting functions do use the options value as a default.

As to the second question, since R uses finite precision arithmetic, your answers aren't accurate beyond 15 or 16 decimal places, so in general, more aren't required. The gmp and rcdd packages deal with multiple precision arithmetic (via an interace to the gmp library), but this is mostly related to big integers rather than more decimal places for your doubles.

Mathematica or Maple will allow you to give as many decimal places as your heart desires.

ÚPRAVA:
It might be useful to think about the difference between decimal places and significant figures. If you are doing statistical tests that rely on differences beyond the 15th significant figure, then your analysis is almost certainly junk.

On the other hand, if you are just dealing with very small numbers, that is less of a problem, since R can handle number as small as .Machine$double.xmin (usually 2e-308).

Compare these two analyses.

In the first case, differences between numbers only occur after many significant figures, so the data are "nearly constant". In the second case, Although the size of the differences between numbers are the same, compared to the magnitude of the numbers themselves they are large.

As mentioned by e3bo, you can use multiple-precision floating point numbers using the Rmpfr package.

These are slower and more memory intensive to use than regular (double precision) numeric vectors, but can be useful if you have a poorly conditioned problem or unstable algorithm.