Články

8.3: Merateľné funkcie v ((S, mathcal {M}, m) )


I. Odteraz nebudeme predpokladať iba merateľný priestor (§1), ale aj merný priestor ((S, mathcal {M}, m), ) kde (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) je mierka na ( sigma ) -ring ( mathcal {M} subseteq 2 ^ {S} ).

V kapitole 7 sme videli, že by sme mohli často zanedbávať množiny Lebesgueovej miery nula na (E ^ {n} - ), ak by sa vlastnosť nachádzala všade okrem sady Lebesgueovej miery nula, povedali sme, že platí „takmer všade“. Nasledujúca definícia zovšeobecňuje toto použitie.

Definícia

Hovoríme, že vlastnosť (P (x) ) platí pre takmer všetky (x v A ) (vzhľadom na mieru (m) ) alebo takmer všade (ae ((m)) ) na (A ) ak drží (AQ ) pre niektoré (Q v mathcal {M} ) s (m Q = 0 ).

Takto píšeme

[
f_ {n} rightarrow f (a. e.) text {alebo} f = lim f_ {n} (a. e. (m)) text {on} A
]

iff (f_ {n} rightarrow f ( text {pointwise}) ) na (AQ, m Q = 0. ) „pointwise“ samozrejme znamená („a. e.“ ( text { take} Q = emptyset), ), ale konverzácia zlyhala.

Definícia

Hovoríme, že (f: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right) ) je takmer merateľný na (A ) iff (A in mathcal {M} ) a (f ) je ( mathcal {M} ) merateľný na (AQ, m Q = 0 ).

Potom tiež hovoríme, že (f ) je (m ) -merateľné ( (m ) ako príslušné opatrenie) na rozdiel od ( mathcal {M} ) - merateľného.

Všimnite si, že tu môžeme predpokladať (Q subseteq A ) (nahradiť (Q ) znakom (A cap Q) ).

* Poznámka 1. Ak (m ) je zovšeobecnená miera (Kapitola 7, §11), nahraďte (m Q = 0 ) znakom (v_ {m} Q = 0 vľavo (v_ {m} = text {celková variácia) of} m right) ) v definíciách 1 a 2 a v nasledujúcich dôkazoch.

Dodatok ( PageIndex {1} )

Ak funkcie

[
f_ {n}: S rightarrow left (T, rho ^ { prime} right), quad n = 1,2, ldots
]

sú (m ) - merateľné na (A, ) a ak

[
f_ {n} pravá šípka f (a. e. (m))
]

na (A, ) potom (f ) je (m ) - merateľné na (A ).

Dôkaz

Za predpokladu, (f_ {n} rightarrow f ( text {pointwise}) ) na (A-Q_ {0}, m Q_ {0} = 0. ) Tiež (f_ {n} ) je ( mathcal {M} ) - merateľné dňa

[
A-Q_ {n}, m Q_ {n} = 0, quad n = 1,2, bodky
]

( (Q_ {n} ) nemusí byť rovnaký.)

Poďme

[
Q = bigcup_ {n = 0} ^ { infty} Q_ {n};
]

tak

[
m Q leq sum_ {n = 0} ^ { infty} m Q_ {n} = 0.
]

Podľa dodatku 2 v §1 sú všetky (f_ {n} ) ( mathcal {M} ) - merateľné na (AQ ) (prečo?) A (f_ {n} pravý šíp f )
(bodovo) na (A-Q, ) ako (A-Q subseteq A-Q_ {0}. )

Teda podľa vety 4 v §1 je (f ) ( mathcal {M} ) merateľný na (A-Q.) As (m Q = 0 ), toto
je želaný výsledok. ( ámestie)

Dodatok ( PageIndex {2} )

Ak (f = g (a. E. (M)) ) na (A ) a (f ) je (m ) - merateľné na (A, ), tak je (g ).

Dôkaz

Predpokladom je, že (f = g ) na (A-Q_ {1} ) a (f ) je ( mathcal {M} ) - merateľné na (A-Q_ {2} ) , s (m Q_ {1} = m Q_ {2} = 0 ).

Nech (Q = Q_ {1} pohár Q_ {2}. ) Potom (m Q = 0 ) a (g = f ) na (A-Q. ) (Prečo? () )

Ako dôsledok 2 z §1, (f ) je ( mathcal {M} ) - merateľný na (A-Q ). Preto je (g ), ako sa tvrdí. ( ámestie)

Dodatok ( PageIndex {3} )

Ak (f: S pravá šípka ľavá (T, rho ^ { prime} pravá) ) je (m ) merateľná na (A, ), potom

[
f = lim _ {n rightarrow infty} f_ {n} ( text {jednotne}) text {on} A-Q (m Q = 0),
]

pre niektoré mapy (f_ {n}, ) všetky základné na (A-Q ).

Dôkaz

Sem pridajte dôkaz a automaticky sa skryje

(Porovnajte Dodatok 3 s Vetou 3 v §1).

Podobne sa všetky ostatné výroky § 1 prenášajú do takmer merateľných (t. J. (M ) -merateľných) funkcií. Upozorňujeme však, že výraz „merateľný“ v §§1 a 2 vždy znamenal („ mathcal {M} ) merateľný.“ To znamená (m ) - merateľnosť (take (Q = blankset), ), ale konverzácia zlyhá. (Pozri tiež poznámku (2, ).)

Stále dosahujeme nasledujúci výsledok.

Dodatok ( PageIndex {4} )

Ak funkcie

[
f_ {n}: S rightarrow E ^ {*} quad (n = 1,2, ldots)
]

are (m ) - merateľné na množine (A, ), takže tiež sú

[
sup f_ {n}, inf f_ {n}, overline { lim} f_ {n}, text {a} podčiarknutie { lim} f_ {n}
]

(Použite lemmu 1 v §2).

Podobne sa veta 2 v §2 prenáša na (m ) - merateľné funkcie.

Poznámka 2. Ak je (m ) úplné (napríklad Lebesgueova miera a LS miery), potom pre (f: S rightarrow E ^ {*} left (E ^ {n}, C ^ {n} right), m- ) a ( mathcal {M} ) - merateľnosť sa zhoduje (pozri problém 3 nižšie).

II. Merateľnosť a kontinuita. Aby sme študovali súvislosť medzi týmito pojmami, najskôr uvedieme dve lemmy, často považované za definície.

Lemma ( PageIndex {1} )

(A operatorname {map} f: S rightarrow E ^ {n} left (C ^ {n} right) ) je ( mathcal {M} ) - merateľné na (A ) iff
[
A cap f ^ {- 1} [B] in mathcal {M}
]
pre každú množinu Borelov (ekvivalentne otvorenú množinu) (B ) v (E ^ {n} vľavo (C ^ {n} vpravo) ).

Dôkaz

Náčrt dôkazu nájdete v časti Problémy (8-10 ) v §2.

Lemma ( PageIndex {2} )

(A operatorname {mapa} f: (S, rho) rightarrow dolava (T, rho ^ { prime} right) ) je na (A subseteq S ) relatívne spojité otvorená množina (B subseteq ľavá (T, rho ^ { prime} pravá), ) množina (A cap f ^ {- 1} [B] ) je otvorená v ((A , rho) ) ako podpriestor ((S, rho) ).
(Toto platí aj pre výraz „otvorené“ nahradené výrazom „zatvorené“.)

Dôkaz

V kapitole 4 § 1 je poznámka pod čiarou (4, f ) relatívne súvislá k (A ), ak je jej obmedzenie na (A ) (nazývajte to ((g: A pravý šíp T) ) spojité v bežný zmysel.
Teraz, pri probléme 15 (( mathrm {iv}) ( mathrm {v}) ) v kapitole 4, § 2, s (S ) nahradeným (A, ), to znamená, že (g ^ {- 1} [B] ) je otvorené (zatvorené) (v (A, rho) ), keď (B ) je v ( vľavo (T, rho ^ { prime} ) vpravo). ) Ale
[
g ^ {- 1} [B] = {x v A | f (x) v B } = A čiapka f ^ {- 1} [B].
]
(Prečo?) Preto nasleduje výsledok. ( ámestie)

Veta ( PageIndex {1} )

Nech (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) je topologické opatrenie v ((S, rho). ) Ak (f: S rightarrow ) (E ^ { n} doľava (C ^ {n} doprava) ) je na množine relatívne spojitá (A in mathcal {M}, ) je ( mathcal {M} ) -merateľná na ( A ).

Dôkaz

Nech (B ) bude otvorené v (E ^ {n} vľavo (C ^ {n} vpravo). ) Lemmou 2,
[
A cap f ^ {- 1} [B]
]
je otvorené (i n (A, rho). ) Preto podľa vety 4 kapitoly 3 §12,
[
A cap f ^ {- 1} [B] = A cap U
]
pre niektorú otvorenú množinu (U ) v ((S, rho) ).
Teraz, za predpokladu, že (A ) je v ( mathcal {M}. ) Rovnako je (U, ), pretože ( mathcal {M} ) je topologický (( mathcal {M} supseteq mathcal {G}) ).
Preto
[
A cap f ^ {- 1} [B] = A cap U in mathcal {M}
]
pre ľubovoľné otvorené (B subseteq E ^ {n} doľava (C ^ {n} doprava). ) Výsledok sleduje lemma 1. ( štvorec )

Poznámka 3. Opak zlyhá. Napríklad Dirichletova funkcia (Príklad (( mathrm {c}) ) v kapitole 4, §1) je L-merateľná (dokonca jednoduchá), ale všade prerušovaná.
Poznámka 4. Lemma 1 a Veta 1 platia aj pre mapu (f: S pravá šípka ľavá (T, rho ^ { prime} pravá), ) za predpokladu, že (f [A] ) je oddeliteľná, t. J.
[
f [A] subseteq overline {D}
]
pre spočítateľnú množinu (D subseteq T ) (porovnaj problém 11 v §2).
* III. Pre veľmi pravidelné opatrenia (definícia 5 v kapitole 7, §7) dostaneme nasledujúcu vetu.

* Veta ( PageIndex {2} )

(Luzin). Nech (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) je veľmi pravidelná miera v ((S, rho) ). Nech (f: S pravá šípka ľavá (T, rho ^ { prime} pravá) ) je (m ) - merateľná na (A ).
Potom daná ( varepsilon> 0, ) existuje uzavretá množina (F subseteq A (F v mathcal {M})) ) taká, že
[
m (A-F) < varepsilon
]
a (f ) je na (F ) relatívne spojité.
(Upozorňujeme, že ak (T = E ^ {*}, rho ^ { prime} ) je ako v úlohe 5 v kapitole 3, §11.)

Dôkaz

Za predpokladu, (f ) je ( mathcal {M} ) - merateľný na množine
[
H = A-Q, mQ = 0;
]
takže podľa úlohy 7 v §1 je (f [H] ) oddeliteľný v (T ). Môžeme bezpečne predpokladať, že (f ) je ( mathcal {M} ) - merateľné na (S ) a že všetko (T ) je oddeliteľné. (Ak nie, nahradiť (S ) a (T ) za (H ) a (f [H], ) obmedzujúce (f ) na (H, ) a (m ) to ( mathcal {M} ) - nastaví sa vnútri (H; ), pozri tiež problémy 7 a 8 nižšie.)
Potom v úlohe 12 v §2 môžeme opraviť globusy (G_ {1}, G_ {2}, ldots ) ​​v (T ) tak, že
[
text {každá otvorená množina} B neq emptyset text {in} T text {je spojenie následnosti} left {G_ {k} right }.
]
Teraz nechajme ( varepsilon> 0, ) a nastavíme
[
S_ {k} = S cap f ^ {- 1} doľava [G_ {k} doprava] = f ^ {- 1} doľava [G_ {k} doprava], kvad k = 1,2, bodky
]
Ako dôsledok 2 v §2, (S_ {k} in mathcal {M}. ) Pretože (m ) je veľmi pravidelný, nájdeme pre každý (S_ {k} ) otvorenú množinu
[
U_ {k} supseteq S_ {k},
]
s (U_ {k} v mathcal {M} ) a
[
m doľava (U_ {k} -S_ {k} doprava) < frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}}.
]
Nech (B_ {k} = U_ {k} -S_ {k}, D = bigcup_ {k} B_ {k}; ) tak (D v mathcal {M} ) a
[
m D leq sum_ {k} m B_ {k} leq sum_ {k} frac { varepsilon} {2 ^ {k + 1}} leq frac {1} {2} varepsilon
]
a
[
U_ {k} -B_ {k} = S_ {k} = f ^ {- 1} doľava [G_ {k} doprava].
]
Ako (D = bigcup B_ {k}, ) máme
[
( forall k) quad B_ {k} -D = B_ {k} cap (-D) = emptyset.
]
Preto ( left (2 ^ { prime} right) ),
[
begin {aligned} ( forall k) quad f ^ {- 1} left [G_ {k} right] cap (-D) & = left (U_ {k} -B_ {k} right ) cap (-D) & = left (U_ {k} cap (-D) right) - left (B_ {k} cap (-D) right) = U_ {k} viečko (-D) end {zarovnané}.
]
Kombináciou tohto s ((1), ) máme pre každú otvorenú množinu (B = bigcup_ {i} G_ {k_ {i}} operatorname {in} T ),
[
f ^ {- 1} [B] cap (-D) = bigcup_ {i} f ^ {- 1} left [G_ {k_ {i}} right] cap (-D) = bigcup_ { i} U_ {k_ {i}} cap (-D).
]
pretože (U_ {k_ {i}} ) sú otvorené v (S ) (podľa konštrukcie), množina ((3) ) je otvorená v (SD ) ako podpriestor (S . ) Lemmou (2, ) je potom (f ) relatívne spojité na (SD, ) alebo skôr na
[
H-D = A-Q-D
]
(pretože sme v priebehu dokazovania skutočne nahradili (S ) za (H )). Ako (m Q = 0 ) a (m D < frac {1} {2} varepsilon ) od ((2) ),
[
m (H-D) ]
Nakoniec, keďže (m ) je veľmi pravidelný a (H-D v mathcal {M}, ) existuje uzavretá ( mathcal {M} ) - množina
[
F subseteq H-D subseteq A
]
také, že
[
m (H-D-F) < frac {1} {2} varepsilon.
]
keďže (f ) je na (H-D, ) relatívne spojité, je to určite tak (F.) Okrem toho
[
A-F = (A- (H-D)) pohár (H-D-F);
]
tak
[
m (A-F) leq m (A- (H-D)) + m (H-D-F) < frac {1} {2} varepsilon + frac {1} {2} varepsilon = varepsilon.
]
Týmto sa dokončuje dôkaz. ( ámestie)

* Lemma ( PageIndex {3} )

Dané ([a, b] podmnožina E ^ {1} ) a disjunktné uzavreté množiny (A, B subseteq (S, rho), ) vždy existuje spojitá mapa (g: S pravý šíp [a, b] ) také, že (g = a ) na (A ) a (g = b ).

Dôkaz

Ak (A = prázdna sada ) alebo (B = prázdna sada, ) nastavte (g = b ) alebo (g = a ) na všetky (S ).
Ak však (A ) a (B ) nie sú prázdne, nastavte
[
g (x) = a + frac {(b-a) rho (x, A)} { rho (x, A) + rho (x, B)}.
]
Pretože (A ) je zatvorené, ( rho (x, A) = 0 ) iff (x v A ) (Problém 15 v kapitole 3, §14); podobne pre (B. ) Teda ( rho (x, A) + rho (x, B) neq 0 ).
Tiež (g = a ) na (A, g = b ) na (B, ) a (a leq g leq b ) na (S ).
Pre kontinuitu pozri kapitolu 4, §8, príklad (( mathrm {e}). ) ( Štvorec )

* Lemma ( PageIndex {4} )

(Tietze). Ak je (f: (S, rho) rightarrow E ^ {*} ) na uzavretej množine (F subseteq S, ) relatívne spojité, existuje funkcia (g: S rightarrow E ^ { *} ) také, že (g = f ) na (F ),
[
inf g [S] = inf f [F], sup g [S] = sup f [F],
]
a (g ) je spojité na všetkých (S ).
(Predpokladáme, že (E ^ {*} ) je metrizované ako v úlohe 5 v kapitole 3, § 11. Ak (| f | < infty, ) môže byť štandardná metrika v (E ^ {1} ) byť použitý.)

Dôkazný obrys

Najskôr predpokladajme inf (f [F] = 0 ) a ( sup f [F] = 1.)
[
A = F doľava (f leq frac {1} {3} vpravo) = F čiapka f ^ {- 1} doľava [ doľava [0, frac {1} {3} doprava] správny]
]
a
[
B = F doľava (f geq frac {2} {3} doprava) = F čiapka f ^ {- 1} doľava [ doľava [ frac {2} {3}, 1 doprava] správny].
]
Pretože (F ) je uzavreté (i n S, ), sú aj (A ) a (B ) znakom Lemma (2. ) (Prečo? () )
Pretože (B cap A = emptyset, ) Lemma 3 poskytuje súvislú mapu (g_ {1}: S rightarrow left [0, frac {1} {3} right], ) s (g_ {1} = 0 ) v (A, ) a (g_ {1} = frac {1} {3} ) v (B. ) Nastaviť (f_ {1} = f -g_ {1} ) na (F; ), takže ( doľava | f_ {1} doprava | leq frac {2} {3}, ) a (f_ {1} ) sú nepretržité zapnutie (F.)
Rovnakým spôsobom použite (f_ {1} ) (s vhodnými množinami (A_ {1}, B_ {1} subseteq F), ) na nájdenie súvislej mapy (g_ {2}, ) s (0 leq g_ {2} leq frac {2} {3} cdot frac {1} {3} ) na (S. ) Potom (f_ {2} = f_ {1} - g_ {2} ) je spojité a (0 leq f_ {2} leq left ( frac {2} {3} right) ^ {2} ) na (F ).
Pokračovaním získate dve postupnosti ( left {g_ {n} right } ) a ( left {f_ {n} right } ) skutočných funkcií tak, že každá (g_ {n} ) je nepretržite zapnuté (S ),
[
0 leq g_ {n} leq frac {1} {3} vľavo ( frac {2} {3} vpravo) ^ {n-1},
]
a (f_ {n} = f_ {n-1} -g_ {n} ) je definované a spojité na (F, ) s
[
0 leq f_ {n} leq vľavo ( frac {2} {3} vpravo) ^ {n}
]
tam ( dolava (f_ {0} = f doprava) ).
Tvrdíme to
[
g = sum_ {n = 1} ^ { infty} g_ {n}
]
je požadovaná mapa.
Séria skutočne konverguje rovnomerne na (S ) (veta 3 v kapitole 4, §12).
Pretože všetky (g_ {n} ) sú spojité, tak je aj (g ) (veta 2 v kapitole 4, §12). Tiež
[
left | f- sum_ {k = 1} ^ {n} g_ {k} right | leq left ( frac {2} {3} right) ^ {n} rightarrow 0
]
on (F ( text {why?}); ) so (f = g ) on (F. )
[
0 leq g_ {1} leq g leq sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {3} doľava ( frac {2} {3} doprava) ^ {n} = 1 text {on} S.
]
Preto podľa potreby inf (g [S] = 0 ) a ( sup g [S] = 1, ).
Teraz predpokladajme
[
inf f [F] = a < sup f [F] = b quad doľava (a, b v E ^ {1} vpravo)
]
Nastaviť
[
h (x) = frac {f (x) -a} {b-a}
]
takže inf (h [F] = 0 ) a ( sup h [F] = 1.) (Prečo?)
Ako je uvedené vyššie, na (S, ) je spojitá mapa (g_ {0} ) s
[
g_ {0} = h = frac {f-a} {b-a}
]
na (F, ) inf (g_ {0} [S] = 0, ) a ( sup g_ {0} [S] = 1.)
[
a + (b-a) g_ {0} = g.
]
Potom je požadovanou funkciou (g ). (Overiť!)
Nakoniec, ak (a, b v E ^ {*} (a

* Veta ( PageIndex {3} )

(Fréchet). Nech (m: mathcal {M} rightarrow E ^ {*} ) je veľmi pravidelná miera v ((S, rho). ) Ak (f: S rightarrow E ^ {*} vľavo (E ^ {n}, C ^ {n} vpravo) ) je (m ) -merateľné na (A, ) potom
[
f = lim _ {i rightarrow infty} f_ {i} (a cdot e. (m)) text {on} A
]
pre určitú postupnosť máp (f_ {i} ) spojitých na (S. ) (Predpokladáme, že (E ^ {*} ) bude metrizované ako v lemme 4.)

Dôkaz

Považujeme (f: S rightarrow E ^ {*} ) (ostatné prípady sa redukujú na (E ^ {1} ) prostredníctvom komponentov).
Ak vezmeme ( varepsilon = frac {1} {i} (i = 1,2, ldots) ) do vety (2, ), dostaneme pre každé (i ) uzavretý ( mathcal { M} ) - nastavte (F_ {i} subseteq A ) také, že
[
m doľava (A-F_ {i} doprava) < frac {1} {i}
]
a (f ) je relatívne spojitý na každom (F_ {i}. ) Môžeme predpokladať, že (F_ {i} subseteq F_ {i + 1} ) (ak nie, nahraďte (F_ {i } ) od ( bigcup_ {k = 1} ^ {i} F_ {k}) ).
Teraz Lemma 4 poskytne pre každé (i ) súvislú mapu (f_ {i}: S pravú šípku E ^ {*} ) takú, že (f_ {i} = f ) na (F_ {i }. ) Dôkaz dokončíme tak, že na množine ukážeme, že (f_ {i} rightarrow f ) (bodovo)
[
B = bigcup_ {i = 1} ^ { infty} F_ {i}
]
a to (m (A-B) = 0 ).
Opravte skutočne ľubovoľné (x v B. ) Potom (x vo F_ {i} ) pre niektoré (i = i_ {0}, ) teda aj pre (i> i_ {0} ) (od ( doľava {F_ {i} doprava } uparrow). ) Ako (f_ {i} = f ) na (F_ {i}, ) máme
[
left ( forall i> i_ {0} right) quad f_ {i} (x) = f (x),
]
a tak (f_ {i} (x) rightarrow f (x) ) pre (x v B. ) Ako (F_ {i} subseteq B, ) dostaneme
[
m (A-B) leq m doľava (A-F_ {i} doprava) < frac {1} {i}
]
pre všetky (i. ) Preto (m (A-B) = 0, ) a všetko je dokázané. ( ámestie)