Články

8.3: Zjednodušte radikálne výrazy


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Použite vlastnosť produktu na zjednodušenie radikálnych výrazov
  • Pomocou vlastnosti Kvocient zjednodušte radikálne výrazy

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Zjednodušte: ( dfrac {x ^ {9}} {x ^ {4}} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 5.13.
  2. Zjednodušte: ( dfrac {y ^ {3}} {y ^ {11}} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 5.13.
  3. Zjednodušte: ( left (n ^ {2} right) ^ {6} ).
    Ak ste tento problém prehliadli, pozrite si príklad 5.17.

Použite vlastnosť produktu na zjednodušenie radikálnych výrazov

Zjednodušíme radikálne výrazy podobným spôsobom, ako sme zjednodušili zlomky. Pre zjednodušenie zlomku hľadáme v čitateľovi a v menovateli všetky bežné faktory.

A radikálny výraz, ( sqrt [n] {a} ), sa považuje za zjednodušené, ak nemá žiadne faktory (m ^ {n} ). Aby sme zjednodušili radikálne vyjadrenie, hľadáme v radicand akékoľvek faktory, ktoré sú mocnosťami indexu.

Definícia ( PageIndex {1} ): Zjednodušený radikálny výraz

Pre reálne čísla (a ) a (m ) a (n geq 2 ),

( sqrt [n] {a} ) sa považuje za zjednodušené, ak (a ) nemá žiadne faktory (m ^ {n} )

Napríklad ( sqrt {5} ) sa považuje za zjednodušený, pretože v (5 ) nie sú žiadne dokonalé štvorcové faktory. Ale ( sqrt {12} ) nie je zjednodušené, pretože (12 ) má dokonalý štvorcový faktor (4 ).

Podobne je zjednodušený ( sqrt [3] {4} ), pretože v (4 ) nie sú žiadne dokonalé kockové faktory. Ale ( sqrt [3] {24} ) nie je zjednodušené, pretože (24 ) má dokonalý koeficient kocky (8 ).

Na zjednodušenie radikálnych výrazov použijeme aj niektoré vlastnosti koreňov. Vlastnosti, ktoré použijeme na zjednodušenie radikálnych výrazov, sú podobné vlastnostiam exponentov. My to vieme

[(a b) ^ {n} = a ^ {n} b ^ {n}. ]

Zodpovedajúci Vlastnosť produktu koreňov hovorí že

[ sqrt [n] {a b} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b}. ]

Definícia ( PageIndex {2} ): Vlastnosť produktu koreňov (N ^ {th} )

Ak ( sqrt [n] {a} ) a ( sqrt [n] {b} ) sú reálne čísla a (n geq 2 ) je celé číslo, potom

( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} quad text {a} quad sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )

Produkt Product Root používame na odstránenie všetkých dokonalých druhou mocninu z druhej odmocniny.

Príklad ( PageIndex {1} ): Zjednodušte druhé odmocniny pomocou vlastnosti product of root

Zjednodušte: ( sqrt {98} ).

Riešenie:

Krok 1: Nájdite najväčší faktor v radicande, ktorým je dokonalá sila indexu.

Vidíme, že (49 ) je najväčší faktor (98 ), ktorý má silu (2 ).

( sqrt {98} )

Prepíšeme radicand ako súčin dvoch faktorov, pričom použijeme tento faktor.

Inými slovami (49 ) je najväčší koeficient dokonalého štvorca (98 ).

(98 = 49 cdot 2 )

Vždy najskôr napíšte dokonalý štvorcový faktor.

( sqrt {49 cdot 2} )
Krok 2: Použite pravidlo produktu na prepísanie radikálu ako produktu dvoch radikálov. ( sqrt {49} cdot sqrt {2} )
Krok 3: Zjednodušte koreň dokonalej sily. (7 sqrt {2} )

Vyskúšajte ( PageIndex {1} )

Zjednodušiť: ( sqrt {48} )

Odpoveď

(4 sqrt {3} )

Vyskúšajte ( PageIndex {2} )

Zjednodušte: ( sqrt {45} ).

Odpoveď

(3 sqrt {5} )

V predchádzajúcom príklade si všimnite, že zjednodušená forma ( sqrt {98} ) je (7 sqrt {2} ), čo je súčin celého čísla a druhej odmocniny. Celé číslo vždy napíšeme pred druhú odmocninu.

Buďte opatrní, keď napíšete celé číslo, aby nedošlo k zámene s indexom. Výraz (7 sqrt {2} ) sa veľmi líši od výrazu ( sqrt [7] {2} ).

Zjednodušte radikálny výraz pomocou vlastnosti produktu

  1. Nájdite najväčší faktor v radicande, ktorým je dokonalá sila indexu. Prepíšeme radicand ako súčin dvoch faktorov, pričom použijeme tento faktor.
  2. Pravidlo produktu použite na prepísanie radikálu ako produktu dvoch radikálov.
  3. Zjednodušte koreň dokonalej sily.

Túto metódu použijeme v nasledujúcom príklade. Môže byť užitočné mať k dispozícii stôl dokonalých štvorcov, kociek a štvrtých mocností.

Príklad ( PageIndex {2} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {500} )
  2. ( sqrt [3] {16} )
  3. ( sqrt [4] {243} )

Riešenie:

a.

( sqrt {500} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

( sqrt {100 cdot 5} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt {100} cdot sqrt {5} )

Zjednodušiť.

(10 ​​ sqrt {5} )

b.

( sqrt [3] {16} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najlepšieho faktora dokonalej kocky. (2 ^ {3} = 8 )

( sqrt [3] {8 cdot 2} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2} )

Zjednodušiť.

(2 sqrt [3] {2} )

c.

( sqrt [4] {243} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najvyššieho dokonalého štvrtého účinníka. (3 ^ {4} = 81 )

( sqrt [4] {81 cdot 3} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4] {3} )

Zjednodušiť.

(3 sqrt [4] {3} )

Vyskúšajte ( PageIndex {3} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {288} ) b. ( sqrt [3] {81} ) c. ( sqrt [4] {64} )

Odpoveď

a. (12 sqrt {2} ) b. (3 sqrt [3] {3} ) c. (2 sqrt [4] {4} )

Vyskúšajte ( PageIndex {4} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {432} ) b. ( sqrt [3] {625} ) c. ( sqrt [4] {729} )

Odpoveď

a. (12 sqrt {3} ) b. (5 sqrt [3] {5} ) c. (3 sqrt [4] {9} )

Nasledujúci príklad je veľmi podobný predchádzajúcim príkladom, ale obsahuje premenné. Nezabudnite použiť znaky absolútnej hodnoty, keď použijete rovnomerný koreň výrazu s premennou v radikáli.

Príklad ( PageIndex {3} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {x ^ {3}} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Riešenie:

a.

( sqrt {x ^ {3}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

( sqrt {x ^ {2} cdot x} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} )

Zjednodušiť.

(| x | sqrt {x} )

b.

( sqrt [3] {x ^ {4}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho faktora dokonalej kocky.

( sqrt [3] {x ^ {3} cdot x} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [3] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )

Zjednodušiť.

(x sqrt [3] {x} )

c.

( sqrt [4] {x ^ {7}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najvyššieho dokonalého štvrtého účinníka.

( sqrt [4] {x ^ {4} cdot x ^ {3}} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [4] {x ^ {4}} cdot sqrt [4] {x ^ {3}} )

Zjednodušiť.

(| x | sqrt [4] {x ^ {3}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {5} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {b ^ {5}} ) b. ( sqrt [4] {y ^ {6}} ) c. ( sqrt [3] {z ^ {5}} )

Odpoveď

a. (b ^ {2} sqrt {b} ) b. (| y | sqrt [4] {y ^ {2}} ) c. (z sqrt [3] {z ^ {2}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {6} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {p ^ {9}} ) b. ( sqrt [5] {y ^ {8}} ) c. ( sqrt [6] {q ^ {13}} )

Odpoveď

a. (p ^ {4} sqrt {p} ) b. (p sqrt [5] {p ^ {3}} ) c. (q ^ {2} sqrt [6] {q} )

Rovnakým spôsobom postupujeme, keď je v radicande koeficient. V nasledujúcom príklade majú konštanta aj premenná perfektné štvorcové faktory.

Príklad ( PageIndex {4} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {72 n ^ {7}} )
  2. ( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )
  3. ( sqrt [4] {80 r. ^ {14}} )

Riešenie:

a.

( sqrt {72 n ^ {7}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

( sqrt {36 n ^ {6} cdot 2 n} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt {36 n ^ {6}} cdot sqrt {2 n} )

Zjednodušiť.

(6 doľava | n ^ {3} doprava | sqrt {2 n} )

b.

( sqrt [3] {24 x ^ {7}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou faktorov dokonalej kocky.

( sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [3] {8 x ^ {6}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Prepíšte prvý radič na ( ľavé (2 x ^ {2} pravé) ^ {3} ).

( sqrt [3] { vľavo (2 x ^ {2} vpravo) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x} )

Zjednodušiť.

(2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x} )

c.

( sqrt [4] {80 r. ^ {14}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou dokonalých štvrtých výkonových faktorov.

( sqrt [4] {16 rokov ^ {12} cdot 5 rokov ^ {2}} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [4] {16 rokov ^ {12}} cdot sqrt [4] {5 rokov ^ {2}} )

Prepíšte prvý radič ako ( doľava (2 r. ^ {3} doprava) ^ {4} ).

( sqrt [4] { doľava (2 roky ^ {3} doprava) ^ {4}} cdot sqrt [4] {5 roky ^ {2}} )

Zjednodušiť.

(2 doľava | y ^ {3} doprava | sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {7} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {32 r. ^ {5}} ) b. ( sqrt [3] {54 p ^ {10}} ) c. ( sqrt [4] {64 q ^ {10}} )

Odpoveď

a. (4 roky ^ {2} sqrt {2 roky} ) b. (3 p ^ {3} sqrt [3] {2 p} ) c. (2 q ^ {2} sqrt [4] {4 q ^ {2}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {8} )

Zjednodušte: a. ( sqrt {75 a ^ {9}} ) b. ( sqrt [3] {128 m ^ {11}} ) c. ( sqrt [4] {162 n ^ {7}} )

Odpoveď

a. (5 a ^ {4} sqrt {3 a} ) b. (4 m ^ {3} sqrt [3] {2 m ^ {2}} ) c. (3 | n | sqrt [4] {2 n ^ {3}} )

V nasledujúcom príklade pokračujeme v používaní rovnakých metód, aj keď pod radikálom existuje viac ako jedna premenná.

Príklad ( PageIndex {5} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {40 x ^ {4} r ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {48 x ^ {4} r ^ {7}} )

Riešenie:

a.

( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4} cdot 7 u v} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4}} cdot sqrt {7 u v} )

Prepíšte prvý radič na ( ľavé (3 u v ^ {2} pravé) ^ {2} ).

( sqrt { vľavo (3 u v ^ {2} vpravo) ^ {2}} cdot sqrt {7 u v} )

Zjednodušiť.

(3 | u | v ^ {2} sqrt {7 u v} )

b.

( sqrt [3] {40 x ^ {4} r ^ {5}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho faktora dokonalej kocky.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3} cdot 5 x y ^ {2}} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Prepíšte prvý radič ako ((2xy) ^ {3} ).

( sqrt [3] {(2 x y) ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

Zjednodušiť.

(2 x y sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

c.

( sqrt [4] {48 x ^ {4} r ^ {7}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvrtého účinníka.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4} cdot 3 roky ^ {3}} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Prepíšte prvý radič na ((2xy) ^ {4} ).

( sqrt [4] {(2 x y) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

Zjednodušiť.

(2 | x y | sqrt [4] {3 r ^ {3}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {9} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {98 a ^ {7} b ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {56 x ^ {5} r ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {32 x ^ {5} r ^ {8}} )
Odpoveď
  1. (7 doľava | a ^ {3} doprava | b ^ {2} sqrt {2 a b} )
  2. (2 x y sqrt [3] {7 x ^ {2} y} )
  3. (2 | x | y ^ {2} sqrt [4] {2 x} )

Vyskúšajte ( PageIndex {10} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt {180 m ^ {9} n ^ {11}} )
  2. ( sqrt [3] {72 x ^ {6} y ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {80 x ^ {7} y ​​^ {4}} )
Odpoveď
  1. (6 m ^ {4} vľavo | n ^ {5} vpravo | sqrt {5 m n} )
  2. (2 x ^ {2} roky sqrt [3] {9 roky ^ {2}} )
  3. (2 | x y | sqrt [4] {5 x ^ {3}} )

Príklad ( PageIndex {6} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )

Riešenie:

a.

( sqrt [3] {- 27} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou faktorov dokonalej kocky.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} )

Vezmite koreň kocky.

(-3)

b.

( sqrt [4] {- 16} )

Neexistuje skutočné číslo (n ), kde (n ^ {4} = - 16 ).

Nie skutočné číslo

Vyskúšajte ( PageIndex {11} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2. ( sqrt [4] {- 81} )
Odpoveď
  1. (-4)
  2. žiadne skutočné číslo

Vyskúšajte ( PageIndex {12} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2. ( sqrt [4] {- 324} )
Odpoveď
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2. žiadne skutočné číslo

Už sme videli, ako používať poradie operácií na zjednodušenie niektorých výrazov s radikálmi. V nasledujúcom príklade máme súčet celého čísla a druhej odmocniny. Zjednodušujeme druhú odmocninu, ale výsledný výraz nemôžeme pridať do celého čísla, pretože jeden výraz obsahuje radikál a druhý nie. Nasledujúci príklad obsahuje aj zlomok so zvyškom v čitateli. Pamätajte, že na zjednodušenie zlomku potrebujete spoločný faktor v čitateľovi a menovateli.

Príklad ( PageIndex {7} )

Zjednodušiť:

  1. (3+ sqrt {32} )
  2. ( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Riešenie:

a.

(3+ sqrt {32} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

(3+ sqrt {16 cdot 2} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

(3+ sqrt {16} cdot sqrt {2} )

Zjednodušiť.

(3 + 4 sqrt {2} )

Výrazy nemožno pridať, pretože jeden má radikál a druhý nie. Pokus o pridanie celého čísla a radikálu je ako pokus o pridanie celého čísla a premennej. Nie sú ako pojmy!

b.

( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou najväčšieho dokonalého štvorcového koeficientu.

( dfrac {4- sqrt {16 cdot 3}} {2} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( dfrac {4- sqrt {16} cdot sqrt {3}} {2} )

Zjednodušiť.

Zfaktorujte spoločný faktor z čitateľa.

( dfrac {4 (1 sqrt {3})} {2} )

Odstráňte spoločný faktor 2 z čitateľa a menovateľa.

( dfrac { zrušiť {2} cdot 2 (1- sqrt {3})} { zrušiť {2}} )

Zjednodušiť.

(2 (1 sqrt {3}) )

Vyskúšajte ( PageIndex {13} )

Zjednodušiť:

  1. (5 a viac štvorcových {75} )
  2. ( dfrac {10- sqrt {75}} {5} )
Odpoveď
  1. (5 + 5 sqrt {3} )
  2. (2 sqrt {3} )

Vyskúšajte ( PageIndex {14} )

Zjednodušiť:

  1. (2 a viac sqrt {98} )
  2. ( dfrac {6- sqrt {45}} {3} )
Odpoveď
  1. (2 + 7 štvorcový {2} )
  2. (2 sqrt {5} )

Pomocou vlastnosti Kvocient zjednodušte radikálne výrazy

Kedykoľvek budete musieť zjednodušiť radikálne vyjadrenie, prvým krokom, ktorý by ste mali urobiť, je zistiť, či radicand predstavuje dokonalú silu indexu. Ak nie, skontrolujte čitateľ a menovateľ, či neobsahujú spoločné faktory, a odstráňte ich. Môžete nájsť zlomok, v ktorom sú čitateľ aj menovateľ dokonalou mocnosťou indexu.

Príklad ( PageIndex {8} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {45} {80}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Riešenie:

a.

( sqrt { dfrac {45} {80}} )

Najskôr zjednodušte vnútri radikálu. Opíšte a zobrazte spoločné faktory čitateľa a menovateľa.

( sqrt { dfrac {5 cdot 9} {5 cdot 16}} )

Zjednodušte zlomok odstránením bežných faktorov.

( sqrt { dfrac {9} {16}} )

Zjednodušiť. Poznámka ( doľava ( dfrac {3} {4} doprava) ^ {2} = dfrac {9} {16} ).

( dfrac {3} {4} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )

Najskôr zjednodušte vnútri radikálu. Prepíšte zobrazením bežných faktorov čitateľa a menovateľa.

( sqrt [3] { dfrac {2 cdot 8} {2 cdot 27}} )

Zjednodušte zlomok odstránením bežných faktorov.

( sqrt [3] { dfrac {8} {27}} )

Zjednodušiť. Poznámka ( doľava ( dfrac {2} {3} doprava) ^ {3} = dfrac {8} {27} ).

( dfrac {2} {3} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

Najskôr zjednodušte vnútri radikálu. Prepíšte zobrazením bežných faktorov čitateľa a menovateľa.

( sqrt [4] { dfrac {5 cdot 1} {5 cdot 16}} )

Zjednodušte zlomok odstránením bežných faktorov.

( sqrt [4] { dfrac {1} {16}} )

Zjednodušiť. Poznámka ( doľava ( dfrac {1} {2} doprava) ^ {4} = dfrac {1} {16} ).

( dfrac {1} {2} )

Vyskúšajte ( PageIndex {15} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {75} {48}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54} {250}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32} {162}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {5} {4} )
  2. ( dfrac {3} {5} )
  3. ( dfrac {2} {3} )

Vyskúšajte ( PageIndex {16} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {98} {162}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24} {375}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {4} {324}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {7} {9} )
  2. ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {1} {3} )

V poslednom príklade bolo naším prvým krokom zjednodušenie zlomku radikálu odstránením bežných faktorov. V nasledujúcom príklade použijeme Kvocientný majetok zjednodušiť pod radikál. Podobné základy vydelíme odčítaním ich exponentov,

( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n}, quad a neq 0 )

Príklad ( PageIndex {9} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Riešenie:

a.

( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )

Najskôr zjednodušte zlomok vo vnútri radikálu. Podobné základy vydeľte odčítaním exponentov.

( sqrt {m ^ {2}} )

Zjednodušiť.

(| m | )

b.

( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )

Pomocou vlastnosti kvocientu exponentov môžete najskôr zjednodušiť zlomok pod radikálom.

( sqrt [3] {a ^ {3}} )

Zjednodušiť.

(a )

c.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

Pomocou vlastnosti kvocientu exponentov môžete najskôr zjednodušiť zlomok pod radikálom.

( sqrt [4] {a ^ {8}} )

Prepíšte radicand pomocou dokonalých štvrtých výkonových faktorov.

( sqrt [4] { vľavo (a ^ {2} vpravo) ^ {4}} )

Zjednodušiť.

(a ^ {2} )

Vyskúšajte ( PageIndex {17} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {y ^ {17}} {y ^ {5}}} )
Odpoveď
  1. (| a | )
  2. (| x | )
  3. (y ^ {3} )

Vyskúšajte ( PageIndex {18} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {m ^ {13}} {m ^ {7}}} )
  3. ( sqrt [5] { dfrac {n ^ {12}} {n ^ {2}}} )
Odpoveď
  1. (x ^ {2} )
  2. (m ^ {2} )
  3. (n ^ {2} )

Pamätajte na Kvocient k silovej vlastnosti? Hovorilo sa v ňom, že môžeme zdvihnúť zlomok na mocninu samostatným zvýšením čitateľa a menovateľa na mocninu.

( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}, b neq 0 )

Definícia ( PageIndex {3} )

Kvocientová vlastnosť radikálnych výrazov

Ak ( sqrt [n] {a} ) a ( sqrt [n] {b} ) sú reálne čísla, (b neq 0 ) a pre akékoľvek celé číslo (n geq 2 ) potom,

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} text {a} dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

Príklad ( PageIndex {10} ) ako zjednodušiť kvocient radikálnych výrazov

Zjednodušiť: ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Riešenie:

Krok 1: Ak je to možné, zjednodušte zlomok v radicande.

( dfrac {27 m ^ {3}} {196} ) nemožno zjednodušiť.

( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

Krok 2: Pomocou vlastnosti Kvocient prepíšte radikál ako kvocient dvoch radikálov.

Prepíšeme ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} ) ako kvocient ( sqrt {27 m ^ {3}} ) a ( sqrt {196} ).

( dfrac { sqrt {27 m ^ {3}}} { sqrt {196}} )

Krok 3: Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

(9m ^ {2} ) a (196 ) sú dokonalé štvorce.

( dfrac { sqrt {9 m ^ {2}} cdot sqrt {3 m}} { sqrt {196}} )

( dfrac {3 m štvorcový {3 m}} {14} )

Vyskúšajte ( PageIndex {19} )

Zjednodušte: ( sqrt { dfrac {24 p ^ {3}} {49}} ).

Odpoveď

( dfrac {2 | p | sqrt {6 p}} {7} )

Vyskúšajte ( PageIndex {20} )

Zjednodušte: ( sqrt { dfrac {48 x ^ {5}} {100}} ).

Odpoveď

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt {3 x}} {5} )

Zjednodušte druhú odmocninu pomocou vlastnosti Kvocient

  1. Ak je to možné, zjednodušte zlomok v rade.
  2. Pomocou vlastnosti Kvocient prepíšte radikál ako kvocient dvoch radikálov.
  3. Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

Príklad ( PageIndex {11} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

Riešenie:

a.

( sqrt { dfrac {45 x ^ {5}} {y ^ {4}}} )

Nemôžeme zjednodušiť zlomok v radicande. Prepíšte pomocou vlastnosti Podiel.

( dfrac { sqrt {45 x ^ {5}}} { sqrt {y ^ {4}}} )

Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

( dfrac { sqrt {9 x ^ {4}} cdot sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

Zjednodušiť.

( dfrac {3 x ^ {2} sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {24 x ^ {7}} {y ^ {3}}} )

Zlomok v rade nemôže byť zjednodušený. Použite vlastnosť kvocientu na zápis ako dva radikály.

( dfrac { sqrt [3] {24 x ^ {7}}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Prepisujte každý radicand ako produkt pomocou koeficientov dokonalej kocky.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

Opíšte čitateľ ako produkt dvoch radikálov.

( dfrac { sqrt [3] { vľavo (2 x ^ {2} vpravo) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x}} { sqrt [3] {y ^ { 3}}} )

Zjednodušiť.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x}} {y} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {48 x ^ {10}} {y ^ {8}}} )

Zlomok v rade nemôže byť zjednodušený.

( dfrac { sqrt [4] {48 x ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Použite vlastnosť kvocientu na zápis ako dva radikály. Každý radicand prepíšte ako produkt pomocou dokonalých štvrtých výkonových faktorov.

( dfrac { sqrt [4] {16 x ^ {8} cdot 3 x ^ {2}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

Opíšte čitateľ ako produkt dvoch radikálov.

( dfrac { sqrt [4] { vľavo (2 x ^ {2} vpravo) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 x ^ {2}}} { sqrt [4] { doľava (y ^ {2} doprava) ^ {4}}} )

Zjednodušiť.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {3 x ^ {2}}} {y ^ {2}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {21} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {80 m ^ {3}} {n ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {108 c ^ {10}} {d ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {80 x ^ {10}} {y ^ {4}}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {4 | m | sqrt {5 m}} { doľava | n ^ {3} doprava |} )
  2. ( dfrac {3 c ^ {3} sqrt [3] {4 c}} {d ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {5 x ^ {2}}} {| y |} )

Vyskúšajte ( PageIndex {22} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {54 u ^ {7}} {v ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {40 r ^ {3}} {s ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {162 m ^ {14}} {n ^ {12}}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {3 u ^ {3} sqrt {6 u}} {v ^ {4}} )
  2. ( dfrac {2 r sqrt [3] {5}} {s ^ {2}} )
  3. ( dfrac {3 doľava | m ^ {3} doprava | sqrt [4] {2 m ^ {2}}} { doľava | n ^ {3} doprava |} )

Ak je to možné, nezabudnite najskôr zjednodušiť zlomok v radicand.

Príklad ( PageIndex {12} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Riešenie:

a.

( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )

Ak je to možné, zjednodušte zlomok v rade.

( sqrt { dfrac {9 p ^ {4} q ^ {5}} {16}} )

Prepíšte pomocou vlastnosti Podiel.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {5}}} { sqrt {16}} )

Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {4}} cdot sqrt {q}} {4} )

Zjednodušiť.

( dfrac {3 p ^ {2} q ^ {2} sqrt {q}} {4} )

b.

( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )

Ak je to možné, zjednodušte zlomok v rade.

( sqrt [3] { dfrac {8 x ^ {3} y ^ {5}} {27}} )

Prepíšte pomocou vlastnosti Podiel.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {5}}} { sqrt [3] {27}} )

Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {y ^ {2}}} { sqrt [3] {27}} )

Zjednodušiť.

( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )

c.

( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

Ak je to možné, zjednodušte zlomok v rade.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {5} b ^ {4}} {16}} )

Prepíšte pomocou vlastnosti Podiel.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt [4] {16}} )

Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {4}} cdot sqrt [4] {a}} { sqrt [4] {16}} )

Zjednodušiť.

( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Vyskúšajte ( PageIndex {23} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {50 x ^ {5} y ^ {3}} {72 x ^ {4} y}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {5 | y | sqrt {x}} {6} )
  2. ( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )
  3. ( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

Vyskúšajte ( PageIndex {24} )

Zjednodušiť:

  1. ( sqrt { dfrac {48 m ^ {7} n ^ {2}} {100 m ^ {5} n ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54 x ^ {7} y ​​^ {5}} {250 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32 a ^ {9} b ^ {7}} {162 a ^ {3} b ^ {3}}} )
Odpoveď
  1. ( dfrac {2 | m | sqrt {3}} {5 doľava | n ^ {3} doprava |} )
  2. ( dfrac {3 x y sqrt [3] {x ^ {2}}} {5} )
  3. ( dfrac {2 | a b | sqrt [4] {a ^ {2}}} {3} )

V nasledujúcom príklade nie je v menovateľoch čo zjednodušovať. Pretože index na radikáloch je rovnaký, môžeme použiť Kvocientný majetok opäť ich spojiť do jedného radikálu. Potom sa pozrieme, či môžeme výraz zjednodušiť.

Príklad ( PageIndex {13} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

Riešenie:

a.

( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )

Menovateľa nie je možné zjednodušiť, preto pomocou vlastnosti kvocientu písajte ako jeden radikál.

( sqrt { dfrac {48 a ^ {7}} {3 a}} )

Zjednodušte zlomok pod radikálom.

( sqrt {16 a ^ {6}} )

Zjednodušiť.

(4 doľava | a ^ {3} doprava | )

b.

( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )

Menovateľa nie je možné zjednodušiť, preto pomocou vlastnosti kvocientu písajte ako jeden radikál.

( sqrt [3] { dfrac {-108} {2}} )

Zjednodušte zlomok pod radikálom.

( sqrt [3] {- 54} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou faktorov dokonalej kocky.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3} cdot 2} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} cdot sqrt [3] {2} )

Zjednodušiť.

c.

( dfrac { sqrt [4] {96 x ^ {7}}} { sqrt [4] {3 x ^ {2}}} )

Menovateľa nie je možné zjednodušiť, preto pomocou vlastnosti kvocientu písajte ako jeden radikál.

( sqrt [4] { dfrac {96 x ^ {7}} {3 x ^ {2}}} )

Zjednodušte zlomok pod radikálom.

( sqrt [4] {32 x ^ {5}} )

Prepíšte radicand ako produkt pomocou dokonalých štvrtých výkonových faktorov.

( sqrt [4] {16 x ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Prepíšte radikál ako produkt dvoch radikálov.

( sqrt [4] {(2 x) ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

Zjednodušiť.

(2 | x | sqrt [4] {2 x} )

Vyskúšajte ( PageIndex {25} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac { sqrt {98 z ^ {5}}} { sqrt {2 z}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 500}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {486 m ^ {11}}} { sqrt [4] {3 m ^ {5}}} )
Odpoveď
  1. (7z ^ {2} )
  2. (- 5 sqrt [3] {2} )
  3. (3 | m | sqrt [4] {2 m ^ {2}} )

Vyskúšajte ( PageIndex {26} )

Zjednodušiť:

  1. ( dfrac { sqrt {128 m ^ {9}}} { sqrt {2 m}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {324 n ^ {7}}} { sqrt [4] {2 n ^ {3}}} )
Odpoveď
  1. (8 m ^ {4} )
  2. (-4)
  3. (3 | n | sqrt [4] {2} )

Získajte prístup k týmto online zdrojom, kde získate ďalšie pokyny a postupy, a to zjednodušením radikálnych výrazov.

  • Zjednodušenie druhej odmocniny a kocky s premennými
  • Vyjadrite radikál v zjednodušených koreňoch tvaru štvorca a kocky s premennými a exponentmi
  • Zjednodušenie koreňov kociek

Kľúčové koncepty

  • Zjednodušený radikálny výraz
    • Pre reálne čísla (a, m ) a (n≥2 )
      ( sqrt [n] {a} ) sa považuje za zjednodušené, ak (a ) nemá žiadne faktory (m ^ {n} )
  • Vlastnosť produktu koreňov (n ^ {th} )
    • Pre akékoľvek reálne čísla ( sqrt [n] {a} ) a ( sqrt [n] {b} ) a pre celé číslo (n ≥2 )
      ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) a ( sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] { b} = sqrt [n] {ab} )
  • Ako zjednodušiť radikálny výraz pomocou vlastnosti produktu
    1. Nájdite najväčší faktor v radicande, ktorým je dokonalá sila indexu.
      Prepíšeme radicand ako súčin dvoch faktorov, pričom použijeme tento faktor.
    2. Pravidlo produktu použite na prepísanie radikálu ako produktu dvoch radikálov.
    3. Zjednodušte koreň dokonalej sily.
  • Kvocientová vlastnosť radikálnych výrazov
    • Ak ( sqrt [n] {a} ) a ( sqrt [n] {b} ) sú reálne čísla, (b ≠ 0 ) a pre celé číslo (n ≥2 ) potom , ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) a ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • Ako zjednodušiť radikálny výraz pomocou vlastnosti kvocientu.
    1. Ak je to možné, zjednodušte zlomok v rade.
    2. Pomocou vlastnosti Kvocient prepíšte radikál ako kvocient dvoch radikálov.
    3. Zjednodušte radikály v čitateli a menovateli.

8.3 Zjednodušte racionálnych účastníkov

Racionálne exponenty sú ďalším spôsobom písania výrazov pomocou radikálov. Keď používame racionálne exponenty, môžeme ich použiť na zjednodušenie výrazov.

(8 p) 3 = 8 Vynásobte exponenty vľavo. 8 3 p = 8 Napíš exponent 1 vpravo. 8 3 p = 8 1 Pretože základy sú rovnaké, exponenty musia byť rovnaké. 3 p = 1 Vyriešiť pre str. p = 1 3 (8 p) 3 = 8 Vynásobte exponenty vľavo. 8 3 p = 8 Napíš exponent 1 vpravo. 8 3 p = 8 1 Pretože základy sú rovnaké, exponenty musia byť rovnaké. 3 p = 1 Vyriešiť pre str. p = 1 3

Rovnakú logiku je možné použiť pre akýkoľvek kladný celočíselný exponent n ukázať, že a 1 n = a n. a 1 n = a n.

Rational Exponent a 1 n a 1 n

Menovateľom racionálneho exponenta je index radikálu.

Budú obdobia, keď bude práca s výrazmi ľahšia, ak použijete racionálne exponenty, a chvíľ, kedy bude jednoduchšie, ak použijete radikály. Na prvých niekoľkých príkladoch si precvičíte prevod výrazov medzi týmito dvoma zápismi.

Príklad 8.26

Napíšte ako radikálny výraz: ⓐ x 1 2 x 1 2 ⓑ y 1 3 y 1 3 ⓒ z 1 4. z 1 4.

Riešenie

Každý výraz chceme napísať v tvare a n. a n.

Napíšte ako radikálny výraz: ⓐ t 1 2 t 1 2 ⓑ m 1 3 m 1 3 ⓒ r 1 4. r 1 4.

Napíšte ako radiálny výraz: ⓐ b 1 6 b 1 6 ⓑ z 1 5 z 1 5 ⓒ p 1 4. p 1 4.

V nasledujúcom príklade napíšeme každý radikál pomocou racionálneho exponenta. Je dôležité používať zátvorky okolo celého výrazu v radicande, pretože celý výraz je zvýšený na racionálnu mocnosť.

Príklad 8.27

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ 5 y 5 y ⓑ 4 x 3 4 x 3 ⓒ 3 5 z 4. 3 5 z 4.

Riešenie

Každý radikál chceme napísať vo forme a 1 n. a 1 n.

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ 10 m 10 m ⓑ 3 n 5 3 n 5 ⓒ 3 6 y 4. 3 6 y 4.

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ 3 k 7 3 k 7 ⓑ 5 j 4 5 j 4 ⓒ 8 2 a 3. 8 2 a 3.

V nasledujúcom príklade môže byť jednoduchšie výrazy zjednodušiť, ak ich najskôr prepíšete ako radikály.

Príklad 8.28

Riešenie

V nasledujúcom príklade buďte opatrní pri umiestňovaní negatívnych znamienok. Budeme musieť v jednom prípade použiť vlastnosť a - n = 1 a n a - n = 1 a n.

Príklad 8.29

Riešenie

Zjednodušte výrazy pomocou m n a m n

To nás vedie k nasledujúcej definícii.

Rational Exponent a m n a m n

Pre akékoľvek kladné celé čísla m a n,

Ktorú formu používame na zjednodušenie výrazu? Spravidla najskôr vezmeme koreň - tým udržíme čísla v radicand menšie, potom ich zvýšime na udanú mocninu.

Príklad 8.30

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ y 3 y 3 ⓑ (2 x 3) 4 (2 x 3) 4 ⓒ (3 a 4 b) 3. (3 a 4 b) 3.

Riešenie

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ x 5 x 5 ⓑ (3 y 4) 3 (3 y 4) 3 ⓒ (2 m 3 n) 5. (2 m 3 n) 5.

Píšte s racionálnym exponentom: ⓐ a 2 5 a 2 5 ⓑ (5 a b 3) 5 (5 a b 3) 5 ⓒ (7 x y z) 3. (7 x yz) 3.

Príklad 8.31

Riešenie

Ⓑ Každý výraz prepíšeme najskôr pomocou a - n = 1 a n a - n = 1 a n a potom zmeníme na radikálny tvar.

Príklad 8.32

Riešenie

Použite vlastnosti Exponentov na zjednodušenie výrazov s racionálnymi Exponentmi

Rovnaké vlastnosti exponentov, ktoré sme už použili, platia aj pre racionálne exponenty. Uvádzame tu vlastnosti Exponenetov, aby sme ich mali na porovnanie, pretože zjednodušujeme výrazy.

Vlastnosti Exponentov

Ak a a b sú skutočné čísla a m a n sú teda racionálne čísla

Vlastnosť produktu am · an = am + n Energetická vlastnosť (am) n = am · n Produkt na mocninu (ab) m = ambm Kvocient vlastnosti aman = am - n, a ≠ 0 Definícia nulového exponenta a 0 = 1, a ≠ 0 Kvocient k silovej vlastnosti (ab) m = ambm, b ≠ 0 Negatívna vlastnosť exponenta a - n = 1 an, a ≠ 0 Vlastnosť produktu am · an = am + n Vlastnosť sily (am) n = am · n Produkt do a Sila (ab) m = ambm Kvocient vlastnosti aman = am - n, a ≠ 0 Nulový komponent Definícia a 0 = 1, a ≠ 0 Kvocient k silovej vlastnosti (ab) m = ambm, b ≠ 0 Negatívna vlastnosť komponentu a - n = 1 an, a ≠ 0

Tieto vlastnosti použijeme v nasledujúcom príklade.

Príklad 8.33

Riešenie

Ⓐ Vlastnosť produktu nám hovorí, že keď vynásobíme rovnakú bázu, pridáme exponenty.

Ⓑ Vlastnosť Sila nám hovorí, že keď zvýšime mocninu na mocninu, vynásobíme exponenty.

Ⓒ Vlastnosť Kvocient nám hovorí, že keď delíme na rovnakú základňu, odčítame exponenty.

Niekedy musíme použiť viac ako jednu vlastnosť. V nasledujúcom príklade použijeme ako Product to a Power Property, tak aj Power Power.

Príklad 8.34

Riešenie

V nasledujúcom príklade použijeme vlastnosť produktu aj kvocient.

Príklad 8.35

Riešenie

Ⓑ Postupujte podľa poradia operácií, aby ste najskôr zjednodušili prácu v zátvorke.

Médiá

Získajte prístup k týmto online zdrojom pre ďalšie inštruktáže a precvičovanie so zjednodušením racionálnych exponentov.

Oddiel 8.3 Cvičenia

Opakovanie je matka múdrosti

Zjednodušte výrazy pomocou 1 n a 1 n

V nasledujúcich cvičeniach píšte ako radikálny výraz.

V nasledujúcich cvičeniach píšeme s racionálnym exponentom.

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

Zjednodušte výrazy pomocou m n a m n

V nasledujúcich cvičeniach píšeme s racionálnym exponentom.

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte.

Použite zákony exponentov na zjednodušenie výrazov s racionálnymi exponentmi

V nasledujúcich cvičeniach to zjednodušte. Predpokladajme, že všetky premenné sú kladné.

Písanie cvičení

Ukážte dve rôzne algebraické metódy na zjednodušenie 4 3 2. 4 3 2. Vysvetlite všetky svoje kroky.

Vysvetlite, prečo nemožno vyhodnotiť výraz (- 16) 3 2 (- 16) 3 2.

Samokontrola

Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

Ⓑ Čo vám tento kontrolný zoznam hovorí o vašom ovládaní tejto sekcie? Aké kroky podniknete na zlepšenie?

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Intermediate Algebra 2e
    • Dátum zverejnenia: 6. mája 2020
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Adresa sekcie: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-3-simplify-rational-exponents

    © 21. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    Vzorce zahrnujúce radikály

    Ďalej skontrolujeme vzorec vzdialenosti. Vzhľadom na dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2),

    Vzdialenosť, d, medzi nimi je dané týmto vzorcom:

    Vzorec vzdialenosti Vzhľadom na dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2), vypočítajte vzdialenosť d medzi nimi pomocou vzorca d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2. :

    d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

    Pripomeňme, že tento vzorec bol odvodený z Pytagorovej vety.

    Príklad 9: Vypočítajte vzdialenosť medzi (−4, 7) a (2, 1).

    Riešenie: Použite vzorec vzdialenosti s nasledujúcimi bodmi.

    Je dobrým zvykom zahrnúť vzorec do jeho všeobecnej formy pred nahradením hodnôt premennými, čo zlepšuje čitateľnosť a znižuje pravdepodobnosť chyby.

    Príklad 10: Perióda, T, kyvadla v sekundách je dané vzorcom

    kde Ľ predstavuje dĺžku kyvadla v stopách. Ak je dĺžka kyvadla 6 stôp, potom vypočítajte obdobie zaokrúhlené na najbližšiu desatinu sekundy.

    Riešenie: Náhrada 6 za Ľ a potom zjednodušiť.

    Odpoveď: Perióda je približne 2,7 sekundy.


    8.3: Zjednodušte radikálne výrazy

    Používatelia služby Bing nás včera našli zadaním týchto kľúčových fráz:

    • list vzorcov ks3
    • pracovný hárok grafu lineárnych rovníc
    • ako nájdete najjednoduchšiu radikálnu formu v ti-84
    • pracovné listygegeometrie štvrtého ročníka
    • faktoring tic tac toe
    • od koreňov k exponentovým pravidlám
    • faktoringové trojčlenky - metóda tic-tac-toe
    • holt pre-algabra testy
    • preusporiadanie rovníc ks3
    • súčasná abstraktná algebra domáce úlohy
    • riešenie 2 neznámych zlomkov
    • príklady sústav rovníc obsahujúcich kvadratické rovnice
    • radikál celého čísla
    • matematické vedomosti pre základnú školu
    • kalkulačka zadarmo online logaritmická funkcia a model
    • kalkulačka power pointu rozkladu parciálnych zlomkov
    • aký je rozdiel medzi hodnotením a zjednodušením výrazu?
    • vzorce pre zlomky
    • algebraické výrazové hry
    • hľadanie spoločného menovateľa
    • Gr.7 základná algebra
    • Ako vyriešiť najmenej spoločné množiny
    • Výukový program pre vzorce y & ampx itercept
    • vzorka kalkulačka tretí root
    • riešiteľ kubických rovníc programu Excel
    • algebra 2 prentice hall workbook solutions texas
    • Syntetická deliaca diferenciálna rovnica s matlabom
    • porovnajte druhú odmocninu so štvrtou odmocninou
    • zjednodušenie polynómov kombináciou podobných výrazov
    • & quotFranctional Expoensnts & quot; Java BigDecimal
    • vytváranie grafov online paraboly
    • rebríkovou metódou
    • Stiahnutie druhej odmocniny
    • hra s koreňmi kvadratickej rovnice
    • objednávanie chémie od najmenšej po najväčšiu väzbu
    • vysokoškolská algebraická syntetická divízia
    • druhá odmocnina s riešením zlomkov
    • odpovede pre mcdougal littell gruzínsko stredoškolská matematika 1
    • algebraické rovnice
    • systém rovníc pomocou grafov mi dá odpovede
    • bezplatný riešiteľ problémov pre algebru 2
    • riešenie rovníc s 2 neznámou substitúciou TI 89
    • matematické vedomosti otázka a odpoveď
    • vypočítať strom faktorov
    • riešiteľ lineárnych diferenciálnych rovníc
    • Sklon riadkového listu
    • percent čísla z listu 8. ročníka
    • AAAmatické súradnice svahu
    • vysoká škola + algrebra lektor zadarmo
    • pridávanie pracovných hárkov polynómov zadarmo
    • Zistenie sklonu pridania striebra TI-84
    • písanie algebraických výrazov interaktívne hry
    • stiahnuť ti 84
    • Ako získam & quoteven odpovede & quot v mojej knihe pred výpočtom?
    • zadarmo na stiahnutie testovacia otázka schopnosti
    • riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu
    • riešenie listu s jednostupňovými rovnicami
    • rozdiely medzi algebraickými a geometrickými výrazmi
    • písanie lineárnych rovníc
    • evolučné a pravdepodobnostné pracovné listy
    • riešenie základných a stredných úloh algebry dugopolského slova
    • Grafy pracovných listov lineárnych rovníc
    • tlačiteľné pracovné listy v angličtine
    • príklad operácie na polynóme
    • plán lekcie simultánnej rovnice
    • doklady o spôsobilosti a technické otázky spoločností s vlnovkami
    • matlabové diferenciálne rovnice druhého rádu
    • kalkulačka na násobenie radikálov
    • Pomerový vzorec
    • riešenie polynómov pre ôsmakov
    • pretest saskej algebry
    • faktoringová kalkulačka
    • racionálne exponenty kalkulačky a druhá odmocnina
    • trigonometrické básne
    • ti-89 sústava rovníc
    • matematická algebra kalkulačka exponenciálna
    • faktorový komplex ti_89
    • Online matematické pracovné listy a riešenia
    • pracovný list + zadarmo + matematika + 6. ročník + štatistika a pravdepodobnosť
    • 5 problémov týkajúcich sa percenta čísla a jeho vzorca a odpovede
    • powerpointové hry o lineárnom vzťahu a funkciách
    • ti 89 odpoveď zlomkami
    • výpočet ťažby kvapaliny
    • ako odčítať zlomky, keď jeden je negatívny a jeden postívny
    • algebra 2 kapitola 11 prehľad odpovedí
    • geometria s pizzazzom
    • kalkulačka na násobenie viacerých premenných polynómov
    • výraz s druhou odmocninou
    • program kvadratickej formule grafickej kalkulačky
    • leanr algerbra online
    • zjednodušiť súčet výrazu radikál
    • matematické vedomosti pre elementárne
    • pre-algebra zadarmo tlačiteľné aktivity
    • matematická desatinná hádanka pre 5. ročník
    • vzorka na riešenie problémov trigonometrie
    • riešenie odčítacích rovníc
    • znížiť poradie druhého rádu
    • príručka riešenia učebnice lineárneho programovania
    • triky k trinomiálom
    • ako riešiť simultánne exponenciálne rovnice
    • simultánne lineárne rovnice v programe Excel
    • riešenie pre kubické stopy
    • pracovné listy fyziky holt
    • Tri metódy na grafovanie lineárnych rovníc
    • frakcie na skúšky spôsobilosti
    • bezplatná online kalkulačka radikálov Rationals
    • prentice hall algebra 1 kalifornia vydanie odpovede online
    • Matematická maličkosť Odpoveď
    • zmeniť desatinné miesto na zlomok v jave
    • pridanie kalkulačky racionálnych výrazov
    • logaritmus riešenie problémov
    • Pracovné listy pre percentuálne desatinné miesta v šiestom ročníku
    • zadarmo na stiahnutie aptitude test papers
    • + algebra + exponenti + nácvik
    • ti84 kvadratický vzorec prigram
    • algebra online bezplatný riešiteľ problémov
    • zvládnutie fyziky bungee jumpingu
    • online ti-84 plus
    • bezplatná matematika na vytlačenie listov ks3
    • bezplatné listy na čítanie pre tretiakov
    • príklad algebraickej substitučnej metódy na riešenie
    • krátky matematický vzorec 10. štandard
    • nefunkčný graf
    • list matematického faktora
    • riešenie exponenciálnej rovnice s matlabom
    • riešenie algebraických rovníc v MATLABe
    • matematické tabuľky s 8 lineárnymi grafmi
    • Factoring programov TI-84 Plus
    • mathproblems.com
    • matematický sklon 9. ročníka
    • Algebra 1 McDougal Littell Ch 8 testových odpovedí
    • vysoké známky: chémia vladárov urobila ľahkú odpoveď kľúč
    • bezplatné tipy na pamäť pri výučbe algebry
    • pre algbra
    • pracovné listy matematickej pravdepodobnosti šiestej triedy zadarmo online
    • Prepočty UK školský rok USA 5. roč
    • prevod štvorcových metrov ti lineárnych metrov
    • algebra s pizzazzovým listom 169 odpovedí
    • desatinné číslo v čase
    • algebra pizzazz odpoveď str. 60
    • riešenie množiny riešení algebry
    • riešiteľ slovných úloh z algebry
    • Pracovné listy pravdepodobnosti 4. ročníka zdarma
    • kladné a záporné čísla interaktívne hry
    • rozklad trinomiálov
    • Pracovné listy TAKS
    • schopnosti matematické otázky
    • online kalkulačka predalgebry
    • Ako pri zjednodušení podobných výrazov určujete podobné výrazy?
    • Zmiešané číslo je potrebné zadať ako nesprávny zlomok alebo desatinné číslo.
    • nájsť kalkulačku lcd
    • faktoringová algerbra
    • permutačné pracovné listy pre tretie
    • vypracované problémy, algebra, škola
    • Rovnica písania matematiky v šiestej triede pre vzory číselných radov
    • & kalkulačná kalkulačka & quot & kalkulačka kalkulačiek & quot
    • predbežný test na násobenie zlomkov
    • stiahnuť algebrator
    • bezplatné pracovné listy pre matematické grafy pre tretie ročníky
    • pridávanie zlomkov s negatívmi (pracovné listy)
    • reťazcové metódy ignorujú interpunkciu
    • McDougal Littel Algebra 1, zväzok 2, odpovede
    • zadarmo online maticový riešiteľ
    • koncepty zlomkových kvadratických rovníc
    • kubické polynómy
    • pracovný hárok riešenia lineárnych nerovností
    • riadkové výkresové listy tretej triedy
    • polročná skúška z algebry pre žiakov 9. ročníka
    • krížovka holt rinehart a winston kapitoly 5 a 6 krížovka v severnej Karolíne
    • trigonometrický graf
    • ako riešiť problémy teórie množín
    • bezplatná kalkulačka na zjednodušenie kvadratických výrazov
    • decimales Algebra de Baldor španielsky
    • Program grafického spracovania kvadratického vzorca TI 84+
    • Odpovede Kumon úrovne G, ktoré sa dajú vytlačiť
    • prevod desatinných miest na zlomky pomocou grafickej kalkulačky
    • kvadratické rovnice pomocou riešiča ti-84
    • Odpovede 6. ročníka pre program Excel 84
    • bezplatné pracovné listy s pomerom piatej triedy
    • zadarmo matematické ročníky 8 algebrov
    • pravdepodobnosť v grafe pre pre algebru
    • tic tack toe factoringová algebra
    • kalkulačka simultánnych rovníc
    • kalkulačka deliacich radikálov
    • vyriešte sústavu rovníc s koeficientmi druhých mocnín
    • bezplatné tlačiteľné pracovné listy z matematiky cti pre 8. ročník
    • kvadratická rovnica jedinečná krivka prechádzajúca tromi bodmi lineárna algebra
    • holt pre algbra
    • študijné listy pre matematiku 6. ročníka
    • Pracovný list pre násobenie a delenie celých čísel
    • McGraw-Hill Čítanie listu Spiknutie kmeňa a listu
    • učiteľ odpoveď na pravý hranol nelson
    • ročník 9 kvízu o algebre
    • bezplatné matematické pracovné listy pre 7. ročník
    • zjednodušiť čísla kalkulačka
    • faktorová analýza jednoduchý príklad
    • testovacie papiere Algebra
    • dr matematika riesenie cramerovych otazok
    • Aký je najväčší spoločný faktor čísla 871
    • Pracovné listy algebraická rovnica priamky
    • mcdougal littell matematický kurz 2 kapitola 7 kľúč na odpoveď kniha zdrojov
    • ODPOVEDE NA PROBLÉMY ALGEBRA
    • príklady tvrdých matematických rovníc
    • kalkulačka rovníc, ktorá bola prevedená na zlomok
    • ako naprogramovať kvadratický vzorec do ti
    • hyperbola 10 matematika
    • Excel prevádzať desatinné miesta na zlomky
    • pracovné listy o zmiešaných cvičeniach na svahu
    • algedra odpovede
    • faktoringové kockové trojčlenky
    • ako urobiť percentuálnu rovnicu algebry
    • ako vypočítať lineárne stopy
    • druhé odmocniny zlomkov
    • nech u je všeobecné riešenie nelineárnej ODE prvého rádu
    • odpovede na racionálne vyjadrenie
    • Algebra: Druhá odmocnina, kubický koreň, N-tý koreň
    • & quot; Výpočet zlomkov & quot; piaty ročník mcdougall
    • holt texas domáca úloha a precvičenie klávesov zošita
    • faktoringové funkcie s koreňmi kocky
    • matematické poynomiálne zlomky deviateho stupňa
    • previesť desatinné číslo na čas
    • odpoveď na pracovný list Nájdenie neznámych hodnôt
    • ries numericky matlab
    • vyriešiť pre x zjednodušením radikálov
    • viacstupňové slovné úlohy tretieho stupňa
    • vyhodnotiť kvadratické rovnice
    • video na tému Faktoring kvadratického polynómu v dvoch premenných
    • exponenty a štvorce
    • Najťažšia matematická rovnica
    • básne o matematickej matematike algebre
    • trojuholníkové súčty na tlač
    • vyhľadajte akékoľvek hodnoty, pre ktoré je racionálny výraz nedefinovaná kalkulačka
    • pracovné listy s bezplatnými transformáciami
    • súradnicové rovinné pracovné listy a obrázky
    • zjednodušená druhá odmocnina kalkulačka
    • hárok so základnou praxou v algerbre
    • desatinné číslo pre kalkulačku radikálov
    • PPT pre distribuovaný majetok pre pre albergu v matematike
    • bezplatná online kalkulačka s logickou algebrou
    • faktoringový súčet / rozdiel kociek pracovný hárok
    • bezplatné pracovné hárky percentá súm
    • TI-83 Plus Ako môžem kockovať
    • pomocou tabuliek nájdeme rovnice
    • každé desatinné miesto napíšte buď ako zlomok alebo ako zmiešané číslo
    • Algebra 1 Ako množiť a deliť radikálne výrazy
    • PROBLÉMY S PERMUTAČNOU PRAXOU
    • Fyzikálne riešenia HOLT online
    • najmenší spoločný násobok 2 a 31
    • Testy kapitoly pre Glencoe Algebra II
    • online kvadratická faktoringová kalkulačka
    • vzorový otáznik pre algebrické výrazy 7. stupňa
    • zjednodušenie exponenciálneho výrazu
    • vyriešiť nelineárnu diferenciálnu rovnicu prvého poriadku
    • bezplatné matematické ekvivalentné výrazy pre 6. ročník
    • grafická kalkulačka online trig
    • Polynomiálna prax b.c stupňa deväť
    • Pracovné listy zjednodušujúcich výrazov 8. ročníka
    • kombinujúci program polynómov na ti 83
    • zadarmo ks3 minulé papiere
    • usporiadané páry, ktoré vyhovujú rovnici
    • matematické pracovné listy, ktoré môžete vytvoriť s delením desatinných miest
    • Softvér Algebra
    • pracovný hárok pred algebrou, strana 52
    • základné otázky n. termínu
    • ti-84 programy, ktoré pomáhajú podvádzať
    • Problémy saskej praxe v prealgebre
    • pracovný list pre deti
    • algebra úvodné súradnicové grafy roviny ppt
    • ako hľadať polynomiálny graf
    • Pracovný list k slovnej úlohe 5. ročníka
    • ti83 faktoringové kvartické polynómy
    • ako riesite premennu s kockou root?
    • ako urobiť druhú odmocninu na bežnej kalkulačke
    • aké poradie odpočítate
    • online kurzy algegra
    • problémy algebry na strednej škole
    • lineárna algebra urobené správne riešenia
    • ako urobiť desatinné miesto v druhej odmocnine
    • online tréning na vysokej škole s algebrou
    • online graf parabola kalkulačka
    • pracovné listy algebry zjednodušujúce exponenty zlomkov
    • najnovšie matematické vedomosti s matematickými odpoveďami
    • mierka matematika
    • odpovede na test Glencoe Geometry Mid Chapter 6
    • nedokonalá druhá odmocnina kalkulačka
    • list domácich úloh 9: 1 kapitola 9 oddiel 1: písanie jednoduchých vzorcov
    • 2/3 na desatinné miesta
    • zadarmo stiahnuť aptitude book basic
    • pracovné listy s pravdepodobnosťou zadarmo 4. ročník
    • softvér na riešenie matematiky
    • dvojkrokové pracovné listy
    • osvojte si algebru 1 online zadarmo
    • diferenciálna rovnica prvého rádu s limitmi
    • zošit ontario matematika 6 odpoveď
    • lekcia 7.5 prax c mcdougal littell matematický kurz 2 kapitola 7 kniha zdrojov odpoveď kľúč
    • generátor hárkov online
    • rozdiel štvorcov
    • matematika pre figuríny
    • matematika na spoločnom koeficiente 44,60 a 110
    • zadarmo online grafická kalkulačka parabola
    • ks2 fyzikálne a chemické pracovné listy
    • trigonometrické vzorové úlohy s odpoveďami
    • McDougal Littell Geometry Book Answers
    • hwo na riešenie binomických radikálnych výrazov
    • SaxonMath Algebra 1/2 tretieho prírastku
    • matematická indukčná kalkulačka
    • kombinovaná kódová algebra s pizzazzom
    • texasová prístrojová kalkulačka exponenciálna
    • Uveďte zlomky v poradí
    • Aplikácia Riešenie rovníc pre TI-89
    • algebra pre začiatočníkov video
    • Holt Matematická algebra Pracovné listy
    • nástroj na zjednodušenie druhej odmocniny
    • Algebra 7. ročníka, ny
    • tx.algebra.com
    • sčítanie s čiastočnými súčetmi matematická hra
    • faktorizácia programov grafickej kalkulačky
    • algerbra programy, ktoré programy riešia
    • ti-83 arc tan
    • bezplatné matematické odpovede na rovnice
    • vzorec percentuálneho podielu
    • Ako získam kombináciu a permutáciu z kalkulačky TI-30X
    • ako sa robia operácie s racionálnymi výrazmi podobnými ako
    • kalkulačka casio - ako vypočítať dva premenné problémy
    • jednoduché algebraické výrazy
    • mcdougal littell algebra 2 pomoc
    • Vlastnosti rozdelenia plánu lekcie na zjednodušenie exponentov
    • Matematické stupnice
    • Riešiteľ 2 premenných rovníc
    • matematické hádanky o permutáciách
    • prevádzať radikály na frakcie
    • pracovný list radiaci celé čísla
    • saská matematika 8/7 s online knihami pre algebru
    • jednoduchý trik na vyriešenie 3 root 27 v matematike bezplatné stiahnutie
    • riešenie matematického programu
    • rýchlejší spôsob učenia sa algebry
    • matematika 10 zjednodušuje zmiešané radikálne zlomky
    • test sčítania a odčítania záporných čísel
    • prevádzať zlomky do desatinného vzorca
    • program na výpočet GCF každej monomálie
    • kalkulačka racionálnych exponentov
    • kalkulačka vyvažovacích chemických rovníc
    • aktivity algebry pre 1. stupeň
    • Problémy algebry KS2
    • ako písať kvadratickú rovnicu pomocou súradnicových párov
    • gcse cvičné matematické papiere zlomky percentá desatinné miesta základné algebrické cvičebné papiere
    • premena zlomkov na percentá a kalkulačka
    • faktorová kalkulačka trojčlenná
    • vyriešiť koreňové grafy
    • kvadratická faktoringová kalkulačka
    • ako nastaviť doménu v grafe ti-89
    • DOPLNOK ZDARMA S PRACOVNÝMI LISTAMI Z RODIČOV
    • algebra 6. stupňa
    • pracovný list o racionálnom vyjadrení 3. ročníka
    • kalkulačka kvadratických rovníc s vysvetlením
    • NAJTVORŠÍ PROBLÉM S MATOU NA SVETE
    • Matice pracovných hárkov
    • Pravdepodobnosti kombinácií a powerpointov s Permutáciami
    • kalkulačka algebry zadarmo
    • kvadratická rovnica s premennými
    • Pomerná prax z matematiky na 6. stupni
    • kognitívny lektor podvádza
    • radikálne na desatinné miesto
    • Matematické hry 6. ročníka algebry
    • prevod diferenciálnej rovnice druhého rádu na diferenciálnu rovnicu prvého poriadku
    • vykresľovanie obrázkov bodov
    • diferenciálna rovnica druhého rádu v MATLABe
    • bezplatné pracovné hárky pre štandardný formulár až po tvarovaný formulár
    • glencoe algebra 2 zručnosti precvičovať odpovede zadarmo
    • spoločné matematické pracovné listy
    • pracovný list preskúmania systémov rovníc
    • Nehomogénna diferenciálna rovnica prvého rádu
    • štvorcový symbol
    • vzorová otázka polárnej rovnice
    • java program na prevod zlomku na desatinné miesto
    • & quot3d súradnice & quot ks3
    • študijný odkaz 6.12 matematická algebra 6. ročníka
    • ako riešiť polynómy s ľubovoľnými premennými
    • bezplatné matematické cvičenie pre tlač pre rok 1
    • mcdougal littell algebra 2 klávesy odpovedí
    • matematika s listom pizzazz 99
    • aktivity listu algebra pre 4. ročník
    • druhá mocnina desatinný zlomok
    • precalculus začiatočník
    • & quotmultiplying a delenie celých pracovných hárkov & quot
    • báseň používajúca čísla
    • ako započítať ti 84
    • precvičujte matematické cvičenia + ročník 10 + radikály
    • pracovných hárkov o premenných
    • online parabola kalkulačka '
    • bezplatné pracovné listy na identifikáciu kvadratických funkcií a, b, c
    • sčítanie alebo odčítanie kalkulačky racionálnych výrazov
    • rovnice s premenným
    • pracovný list so zjednodušujúcimi výrazmi
    • Príručka riešení Prentice Hall Advanced Mathematics Precalculus Approach
    • Trojčlenné funkcie TI-83
    • voľné pracovné listy o dokončení rotačnej symetrie
    • kalkulačka základných štvorcových rovníc
    • pracovné listy riešenia rovníc delením
    • rovnica najmenšieho spoločného menovateľa
    • skúška geniálnej algebry
    • pridanie celých čísel
    • dokončenie kvadratickej rovnice s druhou odmocninou
    • faktoringové rovnice s dvoma premennými
    • 11 rokov mat
    • tabuľky pravdepodobnosti pre prvý stupeň
    • výučba kombinujúca podobné pojmy
    • písanie lineárnej rovnice v matlabe
    • grafy lineárnych rovníc so zlomkami
    • ti 89 APLIKÁCIÍ MATH ZDARMA
    • Sčítanie zlomkov na rozdiel od menovateľov a celých čísel
    • básnici trigonometrie a ich básne
    • maličkosti otázky o vysokoškolskej algebre
    • vysokoškolský algebra bezplatný kvíz
    • matlab doplňte štvorec
    • výtlačky grafu sklonu
    • riešenie binomických diferenciálnych rovníc
    • odpovede na knihy Glencoe
    • jednoduchý spôsob, ako sa naučiť druhé odmocniny
    • trigonometrické básne básní
    • bezplatná substitučná kalkulačka
    • vzorec percento čísla
    • list permutácie / kombinácie
    • riešenie rovníc algebry
    • použitie modelov na riešenie pracovného hárka rovníc
    • koreňová kalkulačka exponenciálnej funkcie
    • vykreslenie bodov do grafu + pracovný list + známka 3
    • jednoduchý kvadratický výraz
    • test algebry y8
    • Ti 89 elektronických kníh
    • bezplatná kalkulačka na zjednodušenie radikálov
    • matematické vzorce cheat sheet sadzby
    • www.10. matematická trieda studyguide.com
    • maličkosti z matematiky 1. ročník na strednej škole s odpoveďou.
    • jednoduché básne o matematike
    • pracovný list transformácie matematických textov
    • program TI 83 kombinovať do kvadratického
    • Matematika siedmeho roku
    • + Nerovnosti lineárnych rovníc + & lt & lt vypracovať otázky & gt & gt
    • metóda matematika + chisombop
    • štatistika a matematické otázky + otázka spôsobilosti
    • ako riešiť nelineárne rovnice
    • ako riešiť exponenty
    • kupóny + T1-84
    • stupnica výučby v matematike
    • list matematických vzorcov
    • Ako robiť elementárnu algebru
    • gaames pre odpočítanie celého čísla
    • c ++ riešenie rovníc premenných
    • hrw moderná chémia čísla zodpovedajú klávesy pre kapitolu 7 chemické vzorce a chemické zlúčeniny
    • kvadratické rovnice pomocou riešenia grafickej kalkulačky
    • ti 84 kvadratických rovníc
    • rovnice výrazy stupeň 5
    • zmiešať zlomok na desatinné miesta
    • Stredné školy - matematické pracovné listy
    • tlačiteľné pracovné listy na delenie zlomkov od množín
    • riešenie premennej s exponentom
    • Ako je porovnanie použitia kvadratickej metódy s grafickými, substitučnými a eliminačnými metódami?
    • riešenie rovníc druhého rádu
    • riešenie algebraickej rovnice oktáva matlab
    • bezplatná kalkulačka najmenšieho spoločného menovateľa
    • Pracovné listy 4. ročníka odpovedajú na zmiešané čísla
    • algebra test odpovede prentice hala
    • online vyhľadávač produktov chemickej reakcie
    • fyzika powerpoint prezentácia o zrýchlení rýchlosti ks3 na stiahnutie
    • list s dvojstupňovými rovnicami
    • pridať a odčítať celé číslo
    • ľahký spôsob pochopenia algebry dva
    • Rovnomerný dvojčlenný riešiteľ
    • Matematické prepočty 7. ročníka
    • online riešiteľ matematiky, ktorý ukazuje prácu
    • kancelária algebra de baldor
    • nájdenie druhej odmocniny bez slovných úloh kalkulačky
    • bezplatný riešiteľ matematických zlomkov
    • odčítanie premenných s druhou odmocninou
    • proporcie pracovných hárkov matematiky zadarmo
    • ks3 online pracovných listov
    • zošit prentice hall prealgerbra
    • matematika pre študentov 5. ročníka (trivias)
    • ako prevádzať zmiešané čísla na desatinné miesta bez použitia kalkulačky
    • kalkulačka vyrovnávacej rovnice
    • pracovné listy s odpoveďami
    • holt algebra 1 odpovedí
    • antilog ti 89
    • TAKS matematické pracovné listy
    • riešenie systémov s ti-83
    • druhá odmocnina zložených výrazov 9. štandard
    • ONLINE VÝPOČET FAKTORA ALGEBRA
    • druhé odmocniny
    • riešenie rovníc s premennými na oboch stranách katakulátora
    • zábavné aktivity na hľadanie svahu
    • hárkové grafy
    • ti-89 riešenie symbolických lineárnych rovníc
    • substitúcia a eliminácia pracovných listov algebry
    • cvičný zošit prentice hall pred algebrou odpovede
    • kalkulačka násobenia a delenia racionálnych výrazov
    • Aká je miera kombinácie uhlov trojuholníkov
    • Riešiteľ dôkazu trigonometrie
    • pracovné listy + matematika slov
    • online kalkulačka pre simultánne rovnice
    • Scott Foresman, & quottic-tac-toe math & quot, 3. ročník
    • graf tlačiteľných faktorov
    • Najväčší spoločný faktor 9. ročníka
    • Finite + Mathamatics, 9. vydanie, Lial Companion
    • exponent riešiteľ problémov
    • Najmenej kalkulačka spoločného menovateľa
    • výučba žiakov 2. stupňa o vrcholoch, stranách a rovinách
    • hyperbola grafu kalkulačky
    • bezplatné sťahovanie lektorov algebry
    • komplexná premenná hyperbola
    • indexy zlomkami druhej odmocniny
    • bodové svahové listy zadarmo
    • tipy na riešenie otázok spôsobilosti
    • pre algebra hel eso
    • matematické pracovné listy pre žiakov 3. ročníka
    • kalkulačka najmenšieho menovateľa
    • pracovný hárok funkcie algebra
    • listy nízkej úrovne algebry
    • pearson california matematické odpovede 6. ročníka
    • previesť odčítanie a sčítanie celých čísel
    • pracovné listy faktoringových otázok
    • ti-84 plus online
    • odpovede pre algebru jednu knihu pre vydanie 3
    • grafové algebraické rovnice
    • rýchlostná rovnica pre algebru
    • Holt Mathematics Answers
    • pridanie exponentov pomocou ti-83
    • glencoe algebra 1 na parabolách
    • zjednodušujúca radikálna kalkulačka
    • dokončenie štvorcového vzorca Malajzia
    • pracovný list s návrhmi
    • pracovné listy pred-algebry pizzazz
    • matematika z 10. stupňa + rozdelenie príkladov
    • algebra vyrovnávacie rovnice ppt
    • násobenie zlomkov celými číslami
    • hyperbolický hriech ti-83
    • bezplatné factoringové listy
    • simultánne pomocou grafickej kalkulačky texas
    • zadarmo matematické úlohy pre žiakov 8. ročníka
    • Pravidlá pre sčítanie a odčítanie záporných čísel sa precvičujú
    • online kalkulačka pre alagbra
    • aritmatické poradie operácií
    • diferenciál druhého rádu homogénny partikulárny
    • Zvážte moju rovnicu
    • jednoduché vytváranie tabuliek lineárnych rovníc
    • monomial kalkulačka online
    • pracovné listy zjednodušujúce monomials
    • podvádzať na trigonometrickom teste na strednej škole
    • Ako zistíte, či nerovnosť predstavuje pri grafe lineárnej nerovnosti oblasť nad čiarou
    • eliminačná metóda riešenia rovnice kalkulačka
    • ruská metóda zisťovania druhej odmocniny kladného čísla
    • bezplatné pracovné listy podobný zlomok
    • online kalkulačka na odčítanie a sčítanie kladných a záporných čísel
    • pracovný list faktoringových trojčleniek
    • Aký je rozdiel medzi hodnotením a zjednodušením výrazu
    • nesprávna integrálna kalkulačka
    • faktory v matematike a amp pdf
    • výučba triganomotrie
    • riešenie diferenciálnych rovníc matlab
    • radikálny riešiteľ algebry
    • násobenie a delenie zmiešaných čísel & quot; PowerPoint & quot
    • násobenie a delenie racionálnych celých čísel
    • zistenie faktora mierky zlomkami
    • čo nasleduje po začiatku algebry od mckeague
    • ako zapojiť kvadratickú rovnicu do vášho ti 83
    • hala prentice matematika predalgebrický zošit / kľúč učiteľa
    • Delenie desatinných postupov
    • premenná druhá odmocnina premenná
    • zošit algebra 1
    • riešenie simultánneho rovnicového programu
    • matematická potlač gmes ks2
    • algebra 1 odpoveď na knihu zdrojov pre kapitolu 7 magický štvorec
    • otázky s výberom odpovede lineárne nerovnosti
    • MÔŽEM UPLATNIŤ PRAKTICKÝ TEST PRE GED ONLINE PRE AR.
    • graf polárnych rovníc online kalkulačka
    • najnovšie matematické vedomosti s odpoveďami
    • bezplatná zjednodušujúca radikálna kalkulačka
    • ako vykresliť trigo grafy pomocou grafickej kalkulačky
    • dva variabilné nelineárne matlab
    • riešenie lineárna algebra vykonané správne
    • bez pridania odčítania celých pracovných listov
    • odpovede z matematických kníh
    • matematické 070 grafy lineárnych rovníc
    • FYZIKA PRACOVNÁ KNIHA. STRÁNKY GOOGLE.COM/SOLATION
    • grafy pracovných hárkov lineárnych rovníc pre predbežnú algebru zadarmo
    • ti-30 stat log base 2
    • matematické úlohy - použitie kvadratických rovníc na riešenie problémov s nákladmi?
    • sčítanie odčítania zlomkov na rozdiel od listu menovateľov
    • súradnicové roviny pracovných listov 6. ročníka
    • Naučte sa základnú algebru online zadarmo
    • piata trieda ako zmeniť desatinné miesto na zlomok
    • najjednoduchšia radikálna forma druhej odmocniny z 12/28
    • aktivity v zátvorkách ks3 algebra
    • vedomosti z matematickej geometrie s odpoveďami
    • investičný problém zahŕňajúci kvadratickú rovnicu
    • zmesové problémy s odpoveďami pre strednú školu
    • ako zjednodušiť rovnice pre tlač
    • povedzte odpovede na pracovný list s priamymi variáciami, siedmy ročník
    • zhoda listu Holt pre-algebry (5-6)
    • obkladový list
    • Lineárna algebra 5. ročníka
    • vynikajú rovnicou niekoľkých odpovedí
    • vývojový diagram sčítania a odčítania zlomkov
    • Vytlačiteľný pracovný hárok odpočítania a rozdelenia zlomkov
    • Platón učenia podvádzať
    • odčítanie zlomkov listu štvrtého ročníka
    • básne v geometrii Vyšetrovateľstvo v geometrii
    • pracovný list kombinujúci podobné výrazy
    • imaginárne odpovede s ti-89
    • virtuálne manipulatívy na kombinovanie podobných výrazov
    • násobenie a delenie pracovných listov s desatinnými miestami
    • algebra pre elektrikárov v nj
    • ti 89 vyrieši dve premenné
    • deliace dvojčleny
    • vlastnosti exponenta sčítania a odčítania
    • tvrdý matematický systém rovníc
    • vyhľadávač asymptotov pre ti-84
    • prevod desatinných miest
    • Stiahnutie minulých otázok a riešení na použitie matematiky zdarma
    • ti 83 & quotsolve (& quot
    • Matematika 3. ročníka, permutácie, kombinácie
    • riešenie diferenciálnych rovníc druhého rádu + matlab
    • algebra konvertovať moc vyriešiť neznáme
    • holt pre tlač
    • riešenie kvadratickej rovnice v ti-83
    • celočíselný list
    • ako vyvážiť kvadratickú rovnicu
    • stiahnuť knihu o lineárnej algebre
    • kvadratické slovné úlohy
    • Matematika 8. ročníka: pracovné listy o zámene a vylučovaní
    • problém hodín s algebrou na vysokej škole
    • holt rinehart winston algebra zväzok 2 odpovede 2008
    • permutácie a kombinácie príbeh problémová prax
    • + začiatok + matematika + kladné + záporné + čísla + pracovný list
    • faktoringová kvadratická kalkulačka
    • kalkulačka algebry 1a zadarmo
    • mcdougal algebra 2 matematické odpovede na recenzie
    • príklad & ldquosystém rovníc nelineárny & rdquo elektrický obvod
    • riešenie rovníc obsahujúcich kalkulačku racionálnych výrazov
    • grafovanie lineárnych nerovností v dvoch premenných powerpoint
    • riešenie kvadratických rovníc s vydaním ti-84 plus striebro
    • jednoduchý spôsob, ako sa naučiť trig
    • algebátor
    • ako riešiť kvadratické rovnice na grafickej kalkulačke
    • matematický prevodný graf
    • komplexný factoring online
    • grafovanie kvadratických zlomkov KALKULÁTOR
    • ako zjednodušiť druhú odmocninu v kalkulačke
    • AJmain
    • ks2 matematické problémy zadarmo pracovný list
    • online faktoringové rovnice
    • + & quottest banka & quot + & quot; koláž algebra & quot + stiahnutie
    • matematické pracovné listy ks2
    • Bezplatné online kalkulačky algebry
    • kalkulačka zlomkov algebry
    • pracovný zošit pre-algebry
    • riešenie rovníc so zoskupením symbolov list
    • logaritmy bezplatný sprievodca matematikou na úrovni
    • zapnite asymptoty na ti 83
    • Druhá odmocnina vzorec
    • hodiny samostatnej matematiky - 6. a 7. ročník
    • sčítanie a odčítanie tabuľky do 13
    • bezplatné celé čísla
    • ako uchovať premennú ako algebru v matlabe
    • nerovnosť matematický problém
    • pracovné listy matematického výrazu algebry pre štvrtákov
    • pracovné listy vzorcov
    • online faktorizačný stroj
    • kalkulačka pre faktoringové trojčlenky online
    • odpoveďový hárok pre Glencoe / McGraw-Hill 7-7 Obohatenie pomocou súradníc Algebra: Pracovný list koncepcií a aplikácií
    • pracovný list
    • bezplatné pracovné listy pre nerovnosti nerovností
    • ako vyriešiť a nakresliť čiaru
    • systém eliminačnej kalkulačky online
    • súradnicové roviny pracovné listy 6. ročníka
    • sčítanie čísel exponentová algebra
    • ako urobiť kockové korene na ti-83
    • implicitná derivačná kalkulačka
    • kde je koreň v kalkulačke ti-83
    • nájdenie gcf na TI-83 plus
    • deliaci komplex viac zlomkov
    • indiana prentice hall matematika pre- algebra
    • bezplatný riešiteľ racionálnych výrazov
    • ako riesis simultannu rovnicu v exceli
    • matematické hry na sčítanie a odčítanie kladných a záporných čísel
    • kniha zdrojov pre algebru
    • bezplatné stiahnutie oblastí a obvodových otázok pre základné učebné osnovy 4
    • kvadratické rovnice druhá odmocnina kalkulačka
    • vyriešiť pre naznačenú premennú plochu obdĺžnika
    • Substitučná metóda algebry
    • & quot; frakčná rovnica & quot; premenné & quotti-84 & quot
    • zjednodušiť. dajte obmedzenia na variabilnú kalkulačku
    • obrana merania pre 1. stupeň
    • zlomky zjednodušený 5. ročník
    • zjednodušenie algebraických výrazov s druhou odmocninou
    • Odpovede Algebra s Pizzazzom na strane 26
    • zjednodušiť zložité racionálne aspekty
    • algerbove rovnice
    • štandardná forma algebra 2
    • odpovede na algebru
    • intermediárny riešiteľ algebry
    • algebraické štatistické príklady problémov
    • Pracovný list, ktorý môže študent robiť na celých číslach
    • faktoring racionálny algebraický výraz riešiteľ
    • tabuľka s odmocninami na vytlačenie
    • množiaci sa vedecký zápis
    • najťažší problém algebry na svete
    • zadarmo online slovné úlohy so zlomkami
    • Riešenia lineárnej algebry krok za krokom
    • kvadratický vzorec radikálny výraz
    • ako zjednodušiť radikály pomocou casio fx 300w
    • Aká je druhá odmocnina medzi 600?
    • faktor kvadratiky
    • preskupenie pracovných hárkov so vzorcom
    • bezplatný riešiteľ syntetického delenia
    • stiahnuť editor algebry
    • ako vyriešiť pravdepodobnostnú rovnicu
    • vyriešiť kubický pretínajúci hyperbola parabola
    • frakčné podvádzacie listy
    • Kde nájdem rovnomerné odpovede na geometriu pre knihu McDougal Littell
    • pracovný hárok „sčítať a odčítať celé čísla“ +
    • trigonometrická odpoveď
    • násobenie desatinných miest
    • & koreňová kalkulačka bezplatnej kocky & quot
    • Aký je rozdiel medzi hodnotením a zjednodušením výrazu?
    • symbolická metóda
    • polynominálny
    • & quotsimplification & quot + koreňové zlomky + & quot; & quot
    • extrapolácia algebry
    • delenie metódou polynómov
    • Vynásobte zlomok a desatinné miesto
    • vyriešiť racionálne výrazy
    • kombinovať konjugované druhé odmocniny
    • pre slučku pre ode45 matlab
    • Iracionalita druhej odmocniny 4 dôkazov sa zlomí
    • ti 84 cramerove pravidlo.
    • elipsa grafický nástroj interaktívny
    • riesit ode matlab
    • tabuľky celých rovníc
    • bezplatná online pomoc s riešením rovníc s premennými na každej strane
    • online koláčová kalkulačka
    • stiahnuteľný test spôsobilosti
    • faktorová kvadratická kalkulačka online
    • Zadarmo na tlač Yr 8 matematických testov
    • algebraické vzorce
    • ako rozdeliť kocky
    • sčítanie kladných a záporných čísel
    • PRIDÁVANIE, ODDELÁVANIE, NÁSOBENIE A ROZDELENIE ZÁBOROV
    • ako vyriešim za neznámeho zlomok
    • algebry milimetrový papier
    • pracovný list s grafmi lineárnych rovníc
    • ako riesis vrcholne rovnice?
    • riešenie nelineárnych diferenciálnych rovníc v matlabe
    • bezplatné základné pracovné hárky algebry
    • Vyvažovacie matematické rovnice
    • Príručka pre učiteľov matematiky pre algebru
    • mcdougal littell algebra 2 ch 6
    • riešiteľ boolovských rovníc
    • ako vyriešiť trojčlennú expanziu
    • softvér pre algebru TI-83
    • odpovede na algebru 2 kniha mcdougal litell
    • riešenie a vytváranie grafov pracovných listov lineárnych rovníc
    • Algebra 1 Advance pracovné listy zdarma
    • ako požiadať používateľa o zadanie hodnoty v programe Java
    • online kalkulačka factoringové polynómy
    • previesť časy na číslo v jave
    • log s ti 89
    • nájsť rozdiel medzi dvoma číslami vo forme zlomkov
    • riešenie paralelnej a kolmej rovnice
    • najvyšší spoločný faktor 65
    • kalkulačka aritmetickej sekvencie
    • algebraicky dokázať, že súčet druhých mocnín ľubovoľných dvoch nepárnych čísel ponecháva zvyšok 2
    • Matematické listy 3. ročníka
    • riešenie lcm algebraickej rovnice
    • Pracovné listy College Algebra
    • Pracovné listy pre zlomky 6. ročníka
    • Polynomiálny pracovný list 8. triedy
    • zoradiť percentuálne pracovné listy s desatinným zlomkom
    • kvadratické funkcie dokončujúce kalkulačku štvorcov
    • ako riešiť matematické úlohy krok za krokom
    • simultánne obyčajné diferenciálne rovnice
    • list na zjednodušenie výrazov
    • nenechávajte radikál a dno frakcie
    • pravidlo kvocientu na zjednodušenie kalkulačky
    • Aritmetické sekvencie + bezplatné + tvrdé otázky
    • pracovný hárok na riešenie problémov s algebrou
    • Riešiteľ polynomiálnych problémov
    • ti 89 ee peo pdf
    • praktický test na booleovské rovnice
    • zbaviť sa zlomku druhej odmocniny
    • & quotonline bezplatná matematika & quot
    • lineárne metre na metre štvorcové
    • ako riešiť algebraické úlohy a rovnice
    • zmeniť zmiešané číslo na desatinné miesto
    • previesť exponenta na radikálny výraz
    • 1998 mcdougal littell inc. pre nás história odpovedí na pracovné listy
    • pracovný hárok so štandardnými formulármi
    • odpovede na pracovný list
    • ako kocky na vedeckej kalkulačke
    • kalkulačka bezplatnej zloženej nerovnosti
    • ako je to s operáciami sčítania, odčítania, násobenia a
    • riešenie tutoriálu matlabovej diferenciálnej rovnice
    • Matematické programy zadarmo
    • vzorec pre obvod squae
    • prentická sála matematická algebra
    • riešenie problémov pomocou štvorcového vzorca
    • druhá odmocnina desatinných výrazov
    • online testy algebry ks3 zadarmo
    • násobenie a delenie premennej algebry
    • ti-89 riešenie lineárne
    • Zadarmo Pomoc College College Algebra
    • bezplatné pracovné listy algebry piateho ročníka
    • Faktoring kvadratiky pomocou rozkladu
    • zjednodušiť druhú odmocninu kalkulačka
    • Riešenie štandardných rovníc pre čiary
    • faktorové polynomické pracovné listy
    • Zadarmo pracovný hárok základnej algebry
    • riešte rovnice s viac ako jednou frakciou
    • ti-89 základňa protokolu 10 kľúčov
    • faktor polynómy tretieho rádu
    • nájsť koreň Suare z
    • deciaml na zmiešané číslo
    • pracovný list s matematickými hodnotami
    • online grafická kalkulačka s tabuľkou
    • online grafická kalkulačka kubický koreň
    • Faktorovanie trojčlenných kalkulačiek online
    • faktor trinomials online
    • najväčší spoločný faktor TI 84
    • výtlačky zlomkov
    • interaktívne dotvára námestie
    • Matematické pracovné listy Prentice Hall
    • kalkulačka odčítania celých čísel
    • faktorové vyjadrenie kal
    • testovateľný praktický test na vysokej škole
    • celočíselný pracovný list
    • PERMUTÁCIA A KOMBINÁCIA
    • Pracovný list Matematický preklad
    • kombinujúci podobné výrazy v
    • ako vziať druhú odmocninu z 1,4 pomocou kalkulačky
    • softvér na riešenie simultánnych rovníc
    • zmiešajte frakcie
    • algebra cvičenie štvrtého ročníka
    • javor & najvyšší spoločný faktor & quot
    • zjednodušujúce radikály na kocky
    • BEZPLATNÉ OZNAČENIA PRACOVNÝCH LISTOV
    • pokročilé účtovné knihy zadarmo
    • odpovedač rovníc
    • Cvičenie bodového vykreslenia pre začínajúcich grafikov
    • ľahké študijné metódy 8.. std. matematika
    • lektori matematiky pre CPT v North Miami Beach
    • online systémy grafov kalkulačky nerovností
    • 8-9 test z matematiky
    • matematické obrázky z roku 7
    • slovná úloha najväčší spoločný činiteľ pracovný list
    • prevodník algebry meniaci sa pomocou slov namiesto slov
    • Riešenie rovníc kvadratickej matice a factoringových polynómov
    • rovnice
    • mierka
    • matematické domáce pracovné listy 5. ročník & quot.Jednoduchá algebra & quot
    • algebrické problémy
    • diferenciálne rovnice grafy 2. rádu
    • zjednodušujúce radikálne výrazy
    • delenie pracovných listov s desatinnými miestami
    • runge-kutta matlab + simultánne rovnice
    • pro- algebrické proporcie
    • sčítanie / odčítanie kladného záporného čísla ##
    • ako vyriešiť kubický trojčlen
    • PERCENTÁRNE FORMULÁRE
    • zadarmo + nákladové účtovníctvo
    • list matematického faktora
    • online kalkulačka Faktorizácie - štvorce
    • kalkulačka súčtov algebry
    • Online testy 9. ročníka
    • záporný zlomok prevedený na desatinné miesta
    • revízia ks3 koniec semestra test yr 8 matematika
    • Online bezplatne rozširujte algebraické výrazy
    • percento online kalkulačky s hodnotením termínu
    • riešenie rovníc s križovatkovými bodmi grafu programu Excel 2007
    • algebraické vzorce v percentách
    • matematický program laplace integer
    • faktoringové kvadratické rovnice kalkulačky
    • aký je rozdiel medzi hodnotením a zjednodušením
    • riešenie jednostupňového listu nerovností
    • desiaty štandardný bezplatný matematický študijný materiál
    • kalkulačka kvadratických rovníc online
    • Sprievodca študijnou príručkou pre knihu Connected Mathmatics 2
    • pre algebra riešenie proporcií pomocou krížových produktov
    • bezplatné pridávanie a odčítanie tabuliek
    • ako učiť delenie na ks3 matematike
    • javor vyriešiť
    • zadarmo online factoringové rovnice
    • základné kroky pri riešení algebry
    • premieňať zlomky na desatinné miesta kal.
    • poradie sústavy lineárnych rovníc
    • absolvovanie kvadratického kvízu
    • 11 rokov skúška matematickou metódou
    • riešenie príbehovej úlohy trigonometria
    • ako riešiť dvojstupňové algebrické rovnice
    • matematika
    • pracovný list riešenia kvadratických rovníc b 0
    • previesť desatinné miesto na druhú odmocninu
    • pracovný list s desatinnými miestami v šiestej triede
    • riesit, kde sa krizia rovnice
    • sčítanie a odčítanie rovníc absolútnej hodnoty
    • Ručné riešenie Linear Algebra (4. vydanie)
    • vyriešiť rovnicu substitučnou metódou kvadraticky
    • algebrator disk
    • grafické funkcie
    • Ontario matematická trieda 10 parabola
    • vzorové listy na reálnych číslach a celých číslach
    • pracovné listy Sčítanie a odčítanie racionálnych výrazov
    • Pracovný list so slovnými úlohami 9. ročníka
    • zjednodušenie exponentov výrazmi
    • matematické vedomosti otázka a odpoveď
    • zadarmo pracovný hárok na sčítanie a odčítanie zlomkov
    • kombinovanie podobných pojmov aktivita
    • faktor quadratc
    • vzorové rovnice algebra
    • vzory a pracovné listy na tlač algebry
    • kniha o metodike testovania štruktúry algebry a trigonometrie 2
    • zadarmo grafy pracovných hárkov pre objednané páry pre 3. ročník
    • vykreslenie bodov obrázok
    • riešenie polynóm tretieho rádu
    • zadarmo na stiahnutie pre rovnicu riešiteľa
    • riesit moj pomer
    • radikály a racionálne exponenty na kalkulačke TI-83
    • holt algebra 1 kniha odpovedí
    • pomocník so sklonom grafickej kalkulačky
    • florida 5. ročník matematika vyhodnotiť výraz
    • pracovný list kombinujúci podobné výrazy
    • pomocou vzorca 3 spôsoby riešenia 1 matematickej úlohy
    • matematické pracovné listy pre žiakov šiesteho ročníka
    • ako termínová kalkulačka
    • cheat sheet to Mcdougal littell practice workbook pre algebra for free
    • Ako vyriešiť faktoriál
    • matematické papiere 11+
    • ako rozložiť nejednoduché trojčlenky pomocou metódy rozkladu
    • Odpovede na kontrolu koncepčnej fyziky Prentice Hall
    • písanie lineárnych rovníc powerpoint
    • algebra pomáha deliť zlomky exponentmi
    • pomoc pri riešení rovníc pomocou odmocnin
    • bezplatné tlačiteľné pracovné listy z matematiky pre základnú školu v Singapure
    • sčítanie a odčítanie pracovných listov so zápornými číslami
    • ako vyzerajú celé čísla
    • Účtovné knihy zadarmo
    • Kniha Pre Algebra pracice
    • radikálny zjednodušovač online stroj
    • mierka na algebru
    • t faktoringová algebra grafu
    • pracovný list s interdisciplinárnymi aplikáciami odpovedá mcdougal littell
    • riešiteľ troch rovníc
    • fibonacci indické tkanie košov
    • algebra demo online cu radikál
    • sťahujte hry pre t1-84 plus
    • lektor matematiky na úrovni colege
    • numerická analýza ti-89 programov
    • Stiahnite si otázky o kvalitatívnej spôsobilosti
    • ukážte, ako robiť úseky lineárneho tvaru
    • pre ALGEBRA pdf alebo ppt
    • ako vyriešiť tretiu rovnicu
    • substitučná kalkulačka
    • otázky týkajúce sa algebraického vyjadrovania v deviatom ročníku
    • riešenie pre y v zmysle x pracovných listov
    • vyriešiť kalkulačku algebraického rozdelenia
    • prvý kurz stiahnutia abstraktnej algebry
    • pripojte čísla pre percentá
    • Jednoduché kroky k učeniu algebry
    • vzorec na prevod násobenia na delenie
    • zadarmo pracovný hárok ks3 algebra
    • osvojte si základnú algebru zadarmo
    • desatinné číslo ako zmiešané číslo
    • najväčší spoločný faktor ti 84
    • Kalkulačka algebry zadarmo
    • bezplatné tlačiteľné viacstupňové rovnice
    • vedecká prax - Scott Foresman - zadarmo
    • násobiace exponenty + distribučná vlastnosť
    • riešenie voľných radikálov
    • prepisovanie vzorcov algebry pre 11-ročných
    • príklady matematických básní matematika
    • matlab vyriešiť jednoduchú rovnicu
    • riešenie rovníc s koreňovým hárkom
    • riešenie sústavy lineárnych rovníc na TI-83 plus
    • prevod merania na desatinné miesta
    • matematický program online pre KS2
    • kvadratika v simultánnych rovniciach
    • Javascriptový kód pre diferenciálne rovnice
    • ti84 trig stiahnutie aplikácie
    • faktoriál pre desatinné miesto 89
    • zoradenie zlomkov od najmenšieho po najväčší nástroj
    • správne poradie pridania delenia
    • Hry v 6. ročníku testovacej jednotky 2 a študijný sprievodca
    • pracovný list riešenia rovníc
    • riešenie eliminačným exponentom
    • najdi najnizsi spolocny menovatel pre algebraicku rovnicu
    • rovnica kombinovaného plynu pomaly
    • simultánny riešiteľ kvadratických rovníc
    • násobenie viacerých kvadratických rovníc
    • & quotrozdiel medzi (n + 1) číslom kocky a číslom n-tej kocky nemôže byť násobkom 3 & quot
    • ako píšeš percento ako zlomok?
    • kvadratický riešiteľ v programe Excel na riešenie rovnice štvrtého rádu
    • Kalkulačka rozdelenia polynómov
    • riešenie algebry & quotwork problém & quot
    • voľné pracovné listy, hodnotenie jednoduchých výrazov, zámena
    • zoradiť od kalkulačky od najmenších po najväčšie zlomky
    • Kapitola 6 Test kapitol mcdougal Littell Algebra 2
    • test z matematiky z algebry 9. ročník
    • súčet vstupného kódu java
    • bezplatný matematický riešiteľ úloh online
    • ako vyriešiť algebrickú rovnicu so zlomkami
    • 9. ročník matematickej sály
    • odpovede na precvičovanie zručností glencoe / mcgraw-hill algebra 1 zošit
    • matematická trojčlenná kalkulačka
    • dokončenie štvorcovej aplikácie pre ti-84
    • ako vyriešiť kvantitatívne a numerické uvažovanie
    • bezplatná online kalkulačka algebry
    • môžete pri hľadaní vzorca pre sklon použiť desatinné miesta vo svahu
    • zlomky v najjednoduchšom prevodníku formulárov
    • Pracovný list Zjednodušovanie radikálov Algebra I.
    • trigonometria dotvárajúca štvorec
    • obchodné testovacie schopnosti s odpoveďami
    • kalkulačka spoločného menovateľa
    • ako zjednodušiť premenné a exponenty
    • základná vlastnosť riešiteľa zlomkov
    • previesť int do času
    • riešenie radikálov kalkulačka
    • ako robiť exponenty na kasolovej kalkulačke
    • ako vyriešiť kvadratickú rovnicu vyriešením extrakcie koreňovej kalkulačky
    • špeciálne výrobky a faktoring
    • sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie testu celých čísel
    • pracovný list čiarového grafu 6. ročník
    • online racionálna kalkulačka výrazov
    • Príspevok na skúšku z objektívnych typov matematických schopností
    • riešiteľ viacerých koreňov vyniká

    Používatelia služby Bing prišli na túto stránku včera pomocou týchto kľúčových fráz:

    • int 2 matematické úlohy list
    • sklon zachytiť formulár pracovný list
    • bezplatný pracovný hárok na funkčných strojoch triedy 3
    • bezplatný list pre matematiku, analytické a logické uvažovanie pre 3. ročník
    • spoločné vstupné matematické skúšky
    • algebátor
    • kruhová grafická kalkulačka online
    • desatinné až zmiešané číslo
    • znásobenie generátorov pracovných listov vedeckej notácie
    • čo je najmenší spoločný násobok 22 a 64
    • zadarmo sa naučte druhú odmocninu pre figuríny
    • bezplatná pomoc pri riešení problémov modernej chémie
    • Program zloženého úroku v jazyku „c“
    • teória permutácií pomocou matlab
    • aritmatický postup v matematike a jeho využitie v chémii
    • kvadratická rovnica sa zmenila na vrcholovú formu kalkulačky
    • algebra s pizzazz tvorivé publikácie odpovede
    • 11+ testovacích papierov z matematiky
    • riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice vyššieho rádu
    • Ax + By = koeficient C
    • interaktívne aktivity Square Roots
    • riešiteľ identít
    • online hodnotenie algebry zadarmo
    • riešenie rovnice tepla zelenou
    • zjednodušiť rovnice online
    • lekcia majstrovská matematická algebra
    • pridávanie racionálnych pracovných listov
    • Pracovné listy 8. ročníka GCF
    • Algebra 4. ročníka
    • Pochopenie výpočtu matematickej indukcie
    • použite kalkulačku t89 online
    • ako previesť zmiešané číslo na desatinné miesta
    • podvádzať na logaritmoch
    • Cvičenie 9.-12
    • kalkulačka na delenie racionálnych čísel
    • ako písať ekvivalentné zmiešané čísla alebo desatinné číslo
    • logaritmy pre figuríny
    • Faktoring kalkulačka Trinomials
    • zadarmo nauč ma praktický základ + vzorka výpočtov
    • zjednodušenie pracovných listov na rozdelenie algebraických výrazov
    • matematické testy pre 11r
    • zadarmo na stiahnutie pre saskú matematiku
    • algoritmus na prevod množstva zadaného v číslach na slová v programovaní java
    • Pracovné listy z matematiky pre 5. ročník
    • g c d texas
    • básne o Pytagorovej vete
    • sčítať, odčítať, násobiť, deliť desatinné miesta pre žiakov piateho ročníka
    • bezplatný pracovný list pre 7. ročník podľa rozvrhu prevádzky
    • list s percentuálnou zľavou
    • symbolický výpočet javor
    • exponenty a korene
    • porovnávanie a objednávanie zlomkov, od najmenších po najväčšie
    • prevod základne kalkulačka
    • bezplatný test z matematiky 9. ročníka
    • ako previesť celé číslo na desatinné miesto
    • gcd kalkulačka
    • hala prentice alg 1
    • ako urobiť chémiu na ti-84 plus?
    • glencoe matematika algebra 1 odpovedí
    • príklad matematické vedomosti
    • pracovný list vyvažovacích rovníc
    • ako faktorovať s kockovaným číslom
    • Kvadratický vzorec pre ti 89 aplikácií
    • Faktoring polynómov s frakčnými exponentmi
    • Písanie desatinných miest ako zmiešaných čísel
    • matematické maličkosti
    • www.Advance Základy algebry
    • Zoraďte zlomky od najmenších po najväčšie
    • online kvadratická faktoringová kalkulačka
    • Stiahnite si riešenie 8. vydania Fundamentals of Physics
    • ti-85 kvadratický faktoring
    • podvádzajte listy k učebnici 7. vydania T Tan
    • vykreslenie čiary od začiatku po súradnicu v javore
    • odpovede na úlohy z matematiky
    • pozitívny a negatívny kvíz sčítania a odčítania
    • desatinné miesto na druhú odmocninu
    • 11 rokov mat
    • previesť desatinné číslo na zlomok
    • algibra
    • urobte 1 až 30 algebrou
    • mathcad + vzorky trigonometria
    • zmiešané čísla, desatinné miesta
    • Online emulátor TI-84
    • ako vyriešiť problémy s exponenciálnym zápisom?
    • ako vyriešiť kvadriatiku na kalkulačke
    • stiahnuť zadarmo pdf knihu pre matematiku
    • kľúč odpovede pre cvičný zošit algebra1
    • pracovný hárok na pridávanie a odčítanie loptičiek
    • zjednodušená radikálna forma
    • prentice hall precalculus knižné odpovede
    • koreň kocky 200
    • súčty permutácie a kombinácie zosilňovača
    • saská matematická algebra 1 odpoveď kľúč zadarmo
    • Matematické slovné spojenie 6. roč
    • Praktické testy 9. stupňa
    • odpoveď glencoe algebra 1
    • modely na algebrické identity pre ôsmu triedu
    • odpoveď na algebru
    • www.algebrator.com
    • bezplatné návody na matematiku o funkciách a vzťahoch
    • FOIL kalkulačka online
    • javor vyriešiť rovnicu viac premenných
    • prax pre matematiku
    • otázky a odpovede softvérových spoločností
    • aptitude papers samles
    • riešiť simultánne rovnice matlab
    • zadarmo odpovede pre pre-algebru
    • radikálna forma
    • aký vzorec pre percento z čísla
    • tlačiteľná algebra 1 lekcie
    • + matlab vyrieši nelineárne diferenciálne rovnice
    • algebátor
    • online riešiteľ algebraických diferenciálnych rovníc
    • kvadratický simultánny riešiteľ rovníc
    • vzorec na sčítanie a odčítanie zlomkov
    • algebra kalkulačka online
    • stredná škola algerba
    • zadarmo tlačiteľné factoringové polynómy
    • mierkový matematický slovník
    • najväčší spoločný faktor s kalkulačkou premenných
    • stiahnite si zadarmo & quot; lietadlo & quot; & quot; trigonometria & quot; ebook
    • list s dobrou algebrou ks3
    • faktoriálny pravdepodobnostný vzorec
    • freeworksheetof druhého stupňa
    • exponenciálny výraz
    • faktoringové algebraické rovnice
    • nájdenie sklonu a preloženia y na grafickej kalkulačke
    • zmena zmiešaného zlomku na desatinné miesto
    • štatistika pre začiatočníkov
    • transformácia rovníc algebra
    • anglické skúšky spôsobilosti
    • & quot; matematická trieda 4 & quot
    • online učebnica pokročilých matematických konceptov glencoe
    • online lektori algebra2
    • bezplatný online riešiteľ rovníc algebry
    • prevod zlomkov zmiešaného čísla na desatinné miesta
    • zjednodušiť algebru na rozdiel od kalkulačky radikálov
    • veľký zoznam, ktorý má problémy s odpočítaním celých čísel a odpovedá
    • prepisovanie vzorcov algebry pomocou kalkulačky algebry
    • zmiešané číslo na desatinné miesta
    • biológia mcdougal littell podvádza
    • zjednodušenie exponenciálneho výrazu
    • faktoringové diferenciály
    • & quotBinomické rozšírenie je ľahké & quot
    • Definícia stupnice v matematike
    • najnižší termín kalkulačka
    • holt rinehart winston matematické testy odpoveď kľúčová voľná odpoveď kapitola 10
    • sčítanie a odčítanie tabuľky s odmocninami
    • algbra 1 pre deti
    • najmenej sú najväčšie v zlomku
    • sčítanie / odčítanie pracovných listov celých slov
    • prepisovanie diferenciálnych rovníc druhého rádu ako systém prvého rádu
    • daj mi odpovede hned
    • online geometrické aktivity pre žiakov 10. ročníka
    • porovnávať celé čísla
    • pracovný hárok algebry pre 7. ročník plus riešenie problémov
    • faktorizácia kalkulačky matematických rovníc
    • pracovné listy sčítania a odčítania kladných a záporných čísel
    • reálna aplikácia svahu
    • www.scottforesmanworksheets.com
    • zadarmo / matematické / štvorcové / trasy
    • matematika podvádzať list ročník 8
    • bezplatné riešenie problémov s prepočtom na vysokej škole
    • cpm diamantová metóda factoring
    • homogénna diferenciálna rovnica prvého rádu
    • listy o nerovnosti zadarmo
    • tlačte zlomky vzorových papierov
    • hyperbola rovnica ti-89
    • písať kvadraticky vo vrcholnej forme
    • bezplatná webová kniha nákladového účtovníctva
    • interaktívne hry na riešenie algebraických výrazov
    • vyšetrovacie problémy / projekt v elementárnej matematike
    • „Kvíz Glencoe / McGraw-Hill“
    • kumon preukaz totožnosti
    • problém aplikácie na diaľku a algebra 1
    • podvádzať listy pre matematiku 8. rok
    • koeficient mierky v algebre
    • Zjednodušte a zosilnite kalkulačku výrazov
    • zjednodušená kalkulačka výrazov
    • ako termíny v algebraických výrazoch
    • bezplatné pracovné listy algebry 10. ročníka
    • mathcadovo mriežkové pravidlo
    • ako riešiť operácie s radikálmi
    • kto vynašiel polynómy?
    • práca v deviatom ročníku zadarmo
    • Riešenie kvadratických rovníc - fólia
    • pravidlá kombinujúce podobné výrazy, hranaté trasy
    • vyriešiť polynomiálnu rovnicu 3. rádu
    • bezplatná faktoristická kalkulačka online
    • delenie monomials online kalkulačka odpovede
    • Matematika 9. ročníka
    • identita zlomkovej exponentovej algebry
    • online kalkulačka, ktorá rieši 3-krokové lineárne problémy
    • doslovná rovnica matlab
    • riešiteľ simultánnych rovníc excel
    • riešiteľ matematických slov a úlohy & quotalgebra & quot
    • Premenné, ktoré ovplyvňujú pracovný hárok reakcií
    • vynásobte exponenciálne druhé odmocniny
    • mathconceptsworksheets
    • systémová diferenciálna rovnica matlab
    • bezplatný pracovný hárok na zjednodušenie jednoduchých výrazov v algebre?
    • Aritematický
    • Autorské práva (c) McDougal Littell / Houghton Mifflin Company
    • násobenie racionálnych výrazov
    • Druhá odmocnina exponentov
    • bezplatné matematické odpovede pre pre-al
    • modelovanie powerpointov jednokrokovej a dvojstupňovej algebry
    • bezplatné pracovné listy exponentov zákonov
    • 2 simultánne rovnice, 3 neznáme
    • Zmiešané čísla na desatinné miesta
    • bezplatné pracovné listy na zmenu výrazov do algebrického jazyka
    • sada problémov s pracovným listom algebry 2 1
    • ako nájsť najväčšieho spoločného menovateľa pre zlomok
    • desatinné korene
    • riešenie kvadratickej rovnice faktorom g
    • zjednodušenie druhej odmocniny kalkulačka
    • zjednodušenie zložitých racionálnych výrazov
    • stránky zošita algebra 2
    • matematické ks2 revízne pracovné listy
    • tlačiteľné matematické papiere
    • Hľadajú sa tlačiteľné súbory Pythagoras pre test jednotky
    • casio kalkulačka vložiť rovnicu
    • vyriešiť a vykresliť rovnicu online
    • pracovný list s dvojitým krížom mat. gr.9
    • homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu
    • kalkulačka spoločného spoločného menovateľa
    • riešenie nehomogénnych lineárnych rovníc prvého rádu
    • plsql porovnaj tri premenné
    • RIEŠTE PROBLÉMY PRE RACIONÁLNE EXPONENTY A RADIKÁLNE VÝRAZY
    • rozšíriť logaritmickú hru
    • lineárne riešenie systémov pomocou kalkulačky Ti 83
    • delenie polynómov online kalkulačka
    • list s matematickými odmocninami
    • zjednodušiť faktoringom
    • riešiteľ vekových problémov
    • testy deliacich zlomkov
    • limity grafickej kalkulačky
    • bezplatný riešenie problémov s algebrou online
    • list rozložiť čísla
    • problémy s mierkou
    • MANAGEMENT študijný materiál pre test spôsobilosti bezplatné stiahnutie
    • práca tretej triedy
    • riešenie kockových rovníc
    • kalkulačka t1 online
    • Gaussova eliminácia ti výpočet 83
    • odpovede na stratégie na riešenie problémov zošit tretieho vydania
    • spôsoby zapamätania si násobenia celých čísel
    • rozdiel medzi rovnicami a vzorcami v algebre
    • online bezplatná matematická pomoc pre zlomky, kde ste práve zadali problém a ten mi hovorí anwser
    • ako odčítať nerovnomerné zlomky
    • nájsť n v pre algebre
    • previesť celé číslo na desatinné miesto
    • kvadratický vzorec ti-89
    • čo je mierka na grafe v matematike
    • rozdiel medzi hodnotením, riešením a zjednodušením
    • faktoringová kalkulačka
    • previesť desatinné číslo na binárne java
    • BEZPLATNÉ matematické výtlačky pre algebru
    • kroky ku grafovaniu na kalkulačke
    • bezplatné pracovné listy algebry
    • pracovné listy algebry sa kombinujú ako termíny
    • Vyriešte druhú odmocninu pre X Calculator
    • percentuálne vzorce
    • matlab kódy kvadratické rovnice
    • príklady matematických maličkostí
    • 7. štandardný otáznik z matematiky
    • algebra maličkosti
    • šiesty ročník sčítanie a odčítanie
    • matematický list s geometrickou postupnosťou
    • faktor trinomials kalkulačka
    • piate pracovné listy z matematiky
    • online percentuálny vyhľadávač bezplatnej skúšobnej verzie
    • praktické sumy a odpočty pre základnú školu
    • skúška slobodnej spôsobilosti
    • program kvadratickej rovnice ti kalkulačka
    • & quotPercentné zľavy & quot; listy 7. triedy
    • graf parabola s ti84
    • Kľúč 6. algebry
    • ako dostať odpoveď na násobenie polynomiálneho problému (x-8) na druhú
    • stiahnutie účtovnej knihy
    • logaritmy začiatočník
    • rovnice exponenciálny polynóm parabola
    • tvrdé matematické listy
    • algebraické výrazy bezplatné pracovné listy
    • prevod zlomkov na desatinné miesta na TI-30X
    • otázka modelu spôsobilosti
    • kalkulačka n-tého termínu
    • ZNEUŽITIE FRÁT
    • porovnaj racionálne vyjadrenie a polynomické delenie
    • apti skvelé otázky
    • Odpoveď na pracovný list s 6-8 násobením polynómov
    • Aký je význam algebry
    • percentuálne podiely matematických vzorcov
    • stiahnuteľné pracovné listy účtovníctva 9. stupňa
    • pochopenie grafických rovníc
    • stiahnutie testov aptitude
    • ako riesit algebru
    • Kurz Prentice Hall 3 Kapitola 1 Odpovede na test z matematiky
    • pracovný hárok nadácie kongruencie gcse
    • Odpovede na kontrolný hárok Algebra 1 - Kapitola 3
    • ho riesim algebru I problemy
    • otázka jazykových schopností c
    • rozdiel medzi výrazmi a vzorcami v algebre
    • kalkulačka s najmenším a častým výpočtom
    • pracovný list so symetriou pre 6. ročník
    • nelineárna diferenciálna rovnica druhého rádu do prvého rádu
    • matematické úlohy pre tínedžerov, geometrická postupnosť
    • určiť korene nasledujúceho simultánneho matlabu
    • permutácia a pracovný list
    • Double Cross Algebra s pizzazzom 81
    • súradnicové roviny pracovných listov
    • bezplatné tlačiteľné pracovné listy so zjednodušujúcimi zlomkami
    • učebnica praktickej matematiky sála prentice
    • ti 38 katakulátor
    • Online riešenie problémov s algebrou
    • koeficient mierky matematiky
    • Používanie TRACE na grafickej kalkulačke
    • Grafické riešenia riešení Purple Math Algebra
    • písanie ako exponenciálny výraz
    • okamžitá algebra 2 odpovede
    • kompletné pracovné listy na vyvažovanie chemických rovníc
    • vzorový vyšetrovací projekt na strednej škole fyziky
    • tabuľka faktorov kvadratických nerovností
    • pracovné listy pred algebrou zadarmo
    • exponenty pre deti
    • Je rozdiel medzi riešením sústavy rovníc algebraickou metódou a grafickou metódou?
    • www.môžem získať pomoc s vyjadrením
    • matematické powerpointy pre žiakov siedmeho ročníka
    • radikálny riešiteľ matematiky
    • riešenie rovníc matlab viac premenných
    • čo je najmenší spoločný menovateľ 14 a 18
    • pracovný hárok sčítania a odčítania mierok
    • vyplnenie štvorcového pracovného hárka “
    • zadávanie rovníc a nerovností do grafickej kalkulačky
    • vladári problémy so zmesou
    • ti-89 riešiace systémy viacerých premenných
    • kocky korene + stredná škola + pracovný list
    • nákladové účtovníctvo ppt kniha
    • najťažší problém
    • Najmenej spoločné násobné zloženie
    • ako nájsť sklon na grafickej kalkulačke
    • ako nájsť percentá so sklonmi a zachytením y
    • kvadratické rovnice: metóda druhej odmocniny
    • rovnice s premennými na oboch stranách
    • list premenných a výrazov elementárny
    • Matematická divízia 1. stupňa uľahčila triky
    • činnosť problémov s algebrou
    • lektori algebry v ohiu
    • pracovný hárok sčítania alebo odčítania premenných
    • pomerné pracovné listy
    • riešenie koreňov
    • online aptitude matematika pre základné školy
    • softvér na riešenie problémov algebry
    • Delenie zlomkov 7. ročníka
    • bezplatné otázky a odpovede o spôsobilosti
    • nehomogénna diferenciálna rovnica druhého rádu zvláštna
    • študijný list na hľadanie rovníc z úrovne 7. ročníka grafu
    • matematický materiál bez úrovne f
    • riešenie plánu lekcie riešenia kvadratickej rovnice
    • vypočítajte sklon s ti-84 plus
    • JEDNODUCHÁ ALGEBRA PRE ZAČIATOČNÍKOV
    • Elektronické knihy o nákladovom účtovníctve
    • korene polynómu 3. rádu
    • zadarmo online riešenie problémov s algebrou 1 pre notáciu funkcií
    • hľadanie najmenších bežných menovateľov v kalkulačke zlomkov
    • riešenie rovníc & kvadratického kvintratického rádu & quot
    • TI 86 Riemann Sums
    • aptitude test na stiahnutie zadarmo
    • Konverzia lineárneho merača
    • plány lekcií algebry elementárnych
    • súčasná abstraktná algebra domáce úlohy
    • riešiteľ simultánnych rovníc ti-83
    • matlab riesit pociatocne podmienky
    • ako sa delíš
    • ako odovzdať algebru
    • faktoring pomocou vedeckej kalkulačky
    • ako algebátor diskriminovať
    • knihy nákladového účtovníctva
    • Ako identity zjednodušujú faktoringový proces a výpočty pomocou polynómov?
    • Základňa logaritmu TI
    • tvorca pracovných listov algebry a trigonometrie zadarmo
    • použitie faktoringu
    • nacvičte si prácu na obvode
    • & quotformula program & quot spisovatelia na stiahnutie
    • algebra 2 nájsť vrchol
    • zjednodušenie polynómov na ti-89
    • algebra 2 problémy
    • delenie racionálnych exponentov
    • kvadratická formula java návratová metóda
    • vzorka testovacích papierov z histórie pre zrovnávače
    • stlmenie záporných zlomkov
    • vzorky na strednej škole
    • kvadradické rovnice
    • bezplatná tlačiteľná prázdna pracovná doba pre tretiu triedu
    • rôzne príkladové rovnice nelineárnych grafov
    • kalkulačka deliacich negatívov
    • prednáška o videu Waltera Rudina
    • robiť čiastkové zlomky na grafickej kalkulačke
    • Ako vyriešiť pre LCM
    • matematický list ks3 r. 9
    • pomocou kalkulačky pre algebru
    • pracovné listy jednokrokových rovníc
    • matlab rozširujúce rovnice
    • percento zmeny algebra glencoe 1
    • zjednodušiť algebrické rovnice
    • online kniha štruktúr a metód mcdougal littell 1
    • zjednodušenie koreňovej kalkulačky
    • exponenti + 5. ročník
    • výuka plánuje matice pomocou kalkulačky
    • spoločný menovateľ Vypoč
    • štát New York regenti stredná škola algebra integrované hodnotenie skúška prehľad pracovný zošit odpoveďový hárok
    • symboly a písma algebry na stiahnutie
    • Faktoring kvadratiky pomocou rozkladu
    • návod, ako pridať na rozdiel od zlomkov
    • n-tý koreň ti-83
    • ako prevádzať iracionálne na zlomky
    • odčítanie zmiešaných čísel premenovaním pracovných listov
    • intervalové matematické zručnosti 6. ročník
    • tlačidlo kalkulačky n-tý koreň
    • chemická učebňa pre odpoveď odpoveď
    • dokončenie štvorca na TI-84 plus
    • objednané obrázky párov
    • účtovné knihy pdf
    • pracovný list percenta 7. ročníka
    • kreatívne produkcie pizzazz! matematika
    • sčítanie a odčítanie pracovných listov ako zlomky
    • história kvadratickej rovnice
    • jednoduché spôsoby logaritmov
    • Kniha Štruktúra a metodika algebry 1 Kapitola 4
    • študijná príručka mcdougal littell
    • pracovné listy o hľadaní spoločných menovateľov
    • grafická kalkulačka online tabuľka
    • zjednodušiť kalkulačku algebraických rovníc
    • matematické úlohy pre deti zdarma
    • javascript algebra zjednodušovač
    • lang algebra riešenie
    • rozdiel druhá odmocnina
    • počet pracovných listov vzostupne a zostupne
    • algebra 2 radikály
    • Online vedecká grafická kalkulačka
    • holt algebra 1 zošit kapitola 5
    • odpovede na koncepčnú fyziku
    • tvary v pracovnom hárku algebry
    • algebra 1 kniha Glencoe online
    • vyriešiť pre x list zadarmo
    • bezplatný pracovný list vlastností a nerovností pre štvrtý ročník
    • algebra s tvorivými publikáciami pizzazzu
    • riešenie ód druhého rádu v matlabe
    • pracovné listy zlomkových rovníc
    • prevod desatinných čísel na zmiešané čísla
    • vysoká škola Algebra deviate vydanie lial hornsby nízka cena kľúč na odpoveď
    • vzorec na vynásobenie desatinných čísel
    • riešiteľ problémov s násobením
    • BEZPLATNÁ KNIHA STIAHNUTIA ÚČTOVNÍCTVA
    • pracovný list prírodovedy z 9. ročníka polčasu rozpadu
    • ZÁKLADNÉ slovné problémy vo vysokoškolskej algebre
    • wronská funkcia diferenciálna rovnica
    • matematické problémy EOCT
    • ti kalkulačka na stiahnutie
    • kvadratické rovnice v štandardnej forme online
    • list podobných výrazov
    • sústavy eliminácie rovníc ti-89
    • Preveďte zmiešané číslo na desatinné miesto
    • matematické maličkosti fakty 3. ročník
    • exponentové radikálne a logaritmické kalkulačky
    • pridanie druhej odmocniny s exponentmi
    • Online kalkulačka grafov T1 83
    • kombinovať ako termíny pre algebra
    • Faktoring na riešenie koreňov
    • 6. stupeň, Scott Foresman, spôsobilosť pre tlač, jazykový test umenia
    • bezplatné grafy (zoradené páry) / obrázky
    • význam / závislosť produktov a reaktantov z dvoch chemických rovníc.
    • pracovný list s desatinnými miestami s rovnicou v jednom kroku
    • nájdenie exponenciálneho modelu TI 89
    • Pracovný zošit Mcdougal littell algebra 2 taks
    • odpoveď zošita mcdouglas littell
    • Aplikácie zahŕňajúce systémy lineárnej rovnice v troch premenných
    • bezplatné pracovné listy + & quot; grafy & quot + maximum, rozsah
    • ch12 riešenia z gallian abstraktnej algebry
    • podpísať pravidlá pre sčítanie odčítania násobenia a delenia
    • tvrdá práca z matematiky
    • algebra 1 vyriešené stiahnutie zadarmo
    • Odpovedový hárok pre lineárnu algebru s aplikáciou
    • riešenie rovníc s premennou na oboch stranách + bezplatný tlačiteľný list
    • číslo pred vzorcom
    • faktoringové trojčlenky pomocou rozkladu
    • Pracovné listy matematického poradia 4. stupňa
    • kalkulačka s desatinnými a zmiešanými číslami
    • riešenie matíc pomocou ti-83
    • grafická hyperbola
    • Čo matematický výraz znamená zlomok s premennými v čitateľovi, démonovi alebo v oboch
    • sčítanie a odčítanie záporných a pozitívnych čísel hra 6. ročník
    • kalkulačka spätnej fólie
    • pracovné listy deliace desatinné miesta
    • problémy a riešenia v skupinách + algebra
    • Zadarmo pracovné listy pre algebru
    • Program riešenia skladieb TI 84
    • ks3 algebra držiaky domáci list zadarmo
    • podiel ks2 definícia
    • Runge-Kutta metóda 3. rádu v exceli
    • činnosti a cvičenia týkajúce sa účtovného listu v 9. ročníku
    • riešenie lineárnej rovnice v jave na affinetransformácii
    • vyriešiť sústavu rovníc ti-83
    • bezplatné pracovné listy / vrchol
    • ako zoradiť desatinné miesta od najmenších po najväčšie
    • & quotesquare čísla & quot; plán lekcie
    • písanie sčítania v jave
    • racionálny algebraický zjednodušovač
    • McDougal Littell Algebra
    • riešenie rovníc algebry s zlomkovými exponenciálmi
    • ako riešiť algrebraické rovnice
    • aké dôležité je mať dobré známky v školských triedach alebo grafoch
    • pridanie kalkulačky algebraických zlomkov
    • Bezplatná pomocná pomocná algebra
    • monomický pracovný list
    • hľadanie kvadratických funkcií TI-89
    • aptitude + vyriešený papier
    • matematické hry na riešenie rovnice pre algebru 1
    • Algebra: Pojmy a aplikácie verzus algebra 1
    • online riešiteľ výrazov algebry
    • matematické úlohy pre figuríny
    • & quotglencoe algebra 2 & quot & quot; Kapitola 3 & quot test
    • rozdelenie pracovných listov z matematiky na zlomky a zložité zlomky
    • rovnice špeciálnych výrobkov
    • online tlač grafov
    • súradnicové roviny
    • Sprievodca štúdiom CLEP pre štúdium Vysokoškolská matematika na stiahnutie zadarmo
    • Cvičenie Algebra 2
    • ako interpretovať grafy hyperboly
    • zadarmo + testové otázky + 11 rokov
    • nájsť chýbajúce číslo pri delení celých čísel zlomkami
    • kroky v rovniciach pre 5. ročník
    • pracovné listy so slovnými úlohami zdarma na tlač pre študentov 5. ročníka matematiky
    • svahová skúška s riešeniami
    • inštrukcie log funcion ti-83
    • Násobenie a delenie monomónov
    • nájdenie rovnice paraboly a jej znázornenie na ti-83
    • matematická otázka zverejnená
    • zmiešané číslo na desatinný prevodník
    • základný nácvik začiatočnej algebry
    • ako zistiť, či je rovnica lineárna rovnica
    • 10664788
    • downlood nákladové účtovníctvo
    • vyhľadávač kociek a zlomkov
    • otázka otázok
    • ako zvládnuť algebraické svahy
    • najväčšia spoločná kalkulačka faktorov
    • výpočet medzného sklonu
    • dvojčlenná teória druhá odmocnina
    • www.printovateľné matematické pracovné listy o pridávaní celých čísel
    • kalkulačka faktoringových polynómov
    • bezplatné odpovede na otázky algebry
    • ks3 obrázkov so súradnicami
    • matematické riešenie problémov s odpoveďou
    • zmiešané čísla a desatinné miesta
    • ako vyriešiť algebru = 0
    • koeficient matematickej mierky
    • previesť int na čas v jave
    • 5.stupňová algebra
    • základná a stredná matematická pomoc
    • riešenie koreňov druhého rádu
    • algebra 1 vyznamenanie zadarmo online doučovanie
    • odpovede na pracovný hárok algebry 2
    • ti 89 kalkulačka ručné riešenie funkcie lineárne rovnice
    • precvičiť sčítanie odčítania násobenia a delenia záporných čísel
    • previesť základňu 6 na základňu 8
    • celočíselné otázky pre matematiku
    • násobenie výrazov exponentmi
    • pracovné listy na svahoch
    • x druhá odmocnina kalkulačka
    • previesť základ 10 na základ 8
    • najmenší spoločný faktor 9 a 14
    • & quot; multiplikácia + milimetrový papier & quot
    • javorový polárny 3d pozemok
    • násobenie desatinných miest
    • viacnásobná kalkulačka
    • klady a zápory kvadratických rovníc pomocou grafov
    • postupná výučba matematiky na vysokej škole
    • Kvadratické rovnice na ti-89
    • runge-kutta poradie štyroch na riešenie tretieho stupňa
    • pokročilé problémy so zmesou
    • kalkulačka trig polynómov
    • otázky z booleovskej algebry
    • Math Mcdougal Littell pracovné listy
    • bezplatné matematické testy s otázkami
    • číselný riešiteľ ti 89
    • java kód, ktorý prijme 3 celé čísla a vytlačí sumu
    • štvrtý koreň 82 - 3 + 2 = 0
    • trigonometrické techniky integračnej kalkulačky
    • bezplatná grafická kalkulačka online na zisťovanie sklonu
    • Ako nájdete mierkový faktor trojuholníka
    • algebra TESTY YR 8
    • kocková rovnica
    • tlačidlá odpovedí na pracovný hárok mcdougal littell
    • bezplatný lektor o 12. ročníku matematiky
    • ako vložiť program kvadratickej rovnice do vášho počítača
    • glencoe algebra 1 odpovede zošita
    • matematický násobok grafu
    • riešenie maticových diferenciálnych rovníc
    • vzorky účtovných listov
    • ako previesť 3 3/4 na desatinné miesto
    • algebraické rovnice vysvetlil cheat
    • LCM odpovede
    • stiahnite si vb kód pre interpolačný vzorec
    • Booleova algebra zjednodušujúca
    • prezentácie powerpointu v algebre glencoe1
    • druhá odmocnina cvičenie viacerých chiocií
    • základňa guľatiny 2 ti-83
    • Určte korene rovníc druhého stupňa v matlabe
    • riešenie rovníc tretieho stupňa
    • Plány lekcií algebry 6. stupňa
    • riešiteľ matematických úloh pre algebru = zadarmo
    • vzorec na desatinné miesta
    • + interaktívne + delenie 3 číslic dvoma číslicami
    • pracovné listy lineárnych rovníc prvého stupňa
    • rovnice a nerovnosti prvého stupňa v jednej premennej kalkulačke
    • kvadratická rovnica neštandardný tvar
    • spojené parciálne diferenciálne rovnice
    • pracovné listy o Zjednodušenie koreňov kociek
    • matematika 5. ročník vyhodnotiť rovnicu
    • matlab kvadraticky
    • kvadratická funkcia v ti89
    • druhá odmocnina
    • Algebra 2 Dokončenie námestia
    • Sčítanie a odčítanie celočíselných hier
    • TI-83 plus stupne minúty a sekundy od desatinných miest
    • emulátor ti-83 plus na stiahnutie zadarmo
    • každodenné použitie permutácie a kombinácie
    • logaritmy učenia
    • premeniť desatinné miesta na zlomkovú kalkulačku
    • mcdougal littell pre algebra odpovede na lekciu 2., 3
    • Spustiť základný pracovný hárok
    • aritematický
    • Kalkulačky pre algebru používajú zadarmo
    • faktoringové kvadratické rovnice kalkulačka na stiahnutie
    • mcdougall littell + integrovaná matematika 1 + testy
    • factoring na nájdenie x-intercepts webmath
    • pracovné listy na preklad matematiky
    • slovné úlohy z trigonometrie 10. stupňa
    • bezplatné matematické pracovné listy o krížových produktoch
    • ti89 polárna forma odčítanie
    • odpovede na riešenie rovníc pridaním celých čísel
    • Pracovný list Riešenie proporcií
    • precvičovanie racionalizácie menovateľa pomocou viacerých konjugátov
    • nájdite vrchol, zameranie a smernicu paraboly na ti-83
    • matematika Quadratics FAKTORIZÁCIA revízia ročník 10
    • štandardné pracovné listy pre algebru 7 stupňov
    • naučiť sa algebru 2 knihy
    • laplace pre ti83
    • Formovanie výrazov algebry.ppt
    • násobenie a delenie záporných čísel pracovný list zadarmo
    • riešenie rovnice 3. rádu
    • kniha o štruktúre a metodike algebry 1 odpovede
    • základy odpovedí v pracovnom liste pre inštruktorov
    • ti 84 striebro plus n faktoriálna funkcia
    • algebraické rovnice pre 5. ročník
    • rozdeliť polynómy exponentmi online kalkulačkou
    • zjednodušenie kalkulačky racionálnych výrazov
    • Aptitude Test Download
    • znázornenie elips ti-84
    • ako vyriešiť rovnice lineárneho modelu?
    • dvojčlenná teória
    • ako používať kalkulačku ti83 pre zmiešané zlomky
    • proporčný list 9. ročník
    • básne algebra
    • rovnice grafických systémov, voľný list
    • praktická stránka sčítania a odčítania celých čísel
    • zľava algebrator na cd
    • sklon pracovných listov
    • najväčšia automobilová hra online
    • nerovnosti grafov na TI-89
    • n-ta sila na kalkulačke texaských prístrojov
    • ako urobiť tretí do druhej odmocniny
    • Scott Foresman, 6. ročník, pripraviteľný test tlače umenia
    • ako nájsť koreň suare
    • riešenie pde prvého rádu
    • factoring s racionálnymi exponentmi
    • Metóda druhej odmocniny pre figuríny ZDARMA
    • vyznamenáva problémy s precvičovaním pred algebrou
    • pomoc s matematickou úlohou z algebry 2
    • exponentný radikálny zlomok
    • algerbr
    • algebra pre pracovné listy pre začiatočníkov
    • Riešiteľ TI83
    • kvadratické rovnice pomocou faktora
    • celé čísla od najmenšieho po najväčší
    • mierkové faktory / matematika 8. ročníka
    • jednoduché krok za krokom factoring monomials v angličtine
    • Faktorové stromy, pracovné listy
    • Algebra2 odpovede
    • grafy parabola jednoduchý pracovný list
    • bezplatné pracovné listy s koláčovými grafmi
    • pracovný list s matematikou pre deti vo veku 7 rokov zdarma
    • 11. ročník Matematická skúška Podvodný list
    • Zadarmo lektor Algebra 1
    • rok 1 voľné pracovné listy pridávajúce odčítanie desiatok
    • ľahké plány lekcií algebry
    • pre algebra s pizzazzom / pálčivá otázka
    • & quot; Biológia ctiteľov & quot; praktický test & quot
    • bezplatné matematické testy pre žiakov 6. ročníka
    • prevod zmiešaných čísel na desatinné miesta
    • Mcgraw hill worksheat odpovede
    • www.ti.com/calc-ti-30xIIs
    • powerpoint zjednodušujúci radikály
    • knihy o nákladovom účtovníctve zadarmo
    • kapitola 11 pracovný zošit o chemických reakciách
    • hárky merania priameho merania pre tretiu triedu
    • výučba kvadratických rovníc
    • polynóm tretieho rádu excel
    • odpoveď na kľúč k listu Science Tutor: Chemistry Chemical Equations
    • premenné s exponentmi nastavenými navzájom
    • nájdite vrcholy a ohniská elipsy na ti-83
    • mathematica algebraický riešiteľ exponenciálny
    • deliace racionálne výrazy + podvádzať
    • urob kvadratické rovnice na ti 89
    • pomocník pri domácich úlohách algrebra
    • riešiteľ trigonometrických rovníc
    • uložiť do zoznamu TI 89
    • ZADARMO ONLINE RIEŠIČ LINEÁRNEJ ROVNICE
    • piaty root kalkulátor zjednodušiť
    • Kalkulačka kvadratického výrazu
    • kalkulačka pravdepodobnosti pre zlomky
    • Grafické triky TI 84
    • písanie listu lineárnych rovníc
    • PRACOVNÝ LIST PRE ŠTATISTIKU
    • vysoká škola algbra
    • radič rovníc
    • trigonomické rovnice
    • & quotonline kalkulačka & quot + + & quot; koreň & quot;
    • bezplatné sťahovanie poznámok k témam z chémie pre úroveň o
    • dotazníky so sat algebrou
    • Scott Foresman pre Algebra online učebnica pre 9. ročník
    • algerbra quetions
    • faktoringové komplexné číslo
    • desatinné miesta na zlomky na texaskej prístrojovej kalkulačke
    • Kalkulačka racionálnych výrazov
    • ti89 fyzikálne vzorce
    • nerovnosť online pracovný list
    • prevádzať desatinné miesta na zlomky na TI 86
    • otázky a odpovede z testov matematickej zdatnosti
    • listy pre domáce úlohy pred algebrou pre osem ročníkov
    • druhá odmocnina čísla menšieho ako 1
    • algebra pre začiatočníkov online zadarmo
    • jednostupňový pracovný list nerovností
    • kalkulačka na zjednodušenie radikálnych výrazov
    • prax faktoringových trojčleniek, glencoe
    • zjednodušiť kalkulačku racionálnych výrazov
    • vyvažovanie chemických rovníc ti 83
    • pomôcť pri riešení rovnice chemických reakcií
    • matematická frakcia na desatinné rozdelenie
    • ľahký spôsob, ako nájsť algebraické rovnice
    • ti 83 kalkulačka rom
    • algebátorová matica
    • riešenie otázok n algebry
    • kalkulačka kubických rovníc v programe Excel
    • Domáce úlohy Pomocník Účtovníctvo Gr9
    • osemročný online lektor matematiky
    • & quotfun matematické pracovné listy & quot + + & quot; stredná škola & quot
    • polynomický riešiteľ tretieho rádu
    • kalkulačka riešenia funkcií
    • výrazy a operácie s druhou odmocninou
    • algebra, vrchol
    • kľúč odpovede na test fyziky holt
    • grafická elipsa
    • riešenie rezistorových sietí v matlabe
    • simultánna rovnica nelineárna
    • algebra 2 štandardný formulár
    • nájdi odpovede na pracovný hárok
    • získanie LCD racionálneho algebraického výrazu
    • zjednodušiť pracovné listy radikálnych výrazov
    • nástroj najnižšieho spoločného menovateľa
    • ako riešiť algebraické rovnice
    • kombinovanie celých pracovných listov
    • zjednodušiť expotenciálne rovnice
    • vzorec zlomku koreňovej kocky
    • zlomky so zlomkovými exponentmi
    • algrebra, radikály
    • celočíselné operácie so zlomkom listu
    • ako pridať číslice celých čísel
    • ti 89 miesto premena
    • výpočet najmenšieho spoločného deliteľa
    • sústava rovníc so zložitými číslami na ti-83
    • jednoduché sčítanie odčítanie rovnice
    • znásobenie radikálových kalkulačiek sa znásobí
    • Riešiteľ simultánnych rovníc
    • ako vyriešiť radikálnu formu
    • exponenty a radikály + otázky s možnosťou výberu z viacerých odpovedí
    • pomocná algebra 6. stupňa
    • Najväčší spoločný faktor pre rovnice
    • ako vypočítať prvočíslo v jave pomocou cyklu for
    • newton-raphsonova metóda na grafickej kalkulačke TI
    • otázky ekonomickej spôsobilosti
    • rozdeľ racionálne výrazy
    • percentá v algerbe
    • úlohy polynomiálnej triedy 9. stupňa
    • nehomogénne diferenciálne systémové riešenie
    • ako riesit rovnice, ked sa to neda zapocitat
    • zmiešané čísla desatinné
    • riešenie problémov s algebrou s bezplatnou pomocou
    • mierka problém matematika
    • stupnica matematika
    • online hry na celé číslo
    • zmena desatinnej čiarky na zmiešanú číslicu
    • ľahká viac premenná algebra
    • ako vyriešiť systém nelineárnych rovníc v matlabe
    • druhá odmocnina premenných
    • algebraické rovnice nájdenie x s menovateľmi
    • lcm podvodník
    • vyrovnávacie rovnice pracovné listy 4. ročníka
    • symbol cesta na druhú
    • algebraické celé listy
    • číselný vzor algebry vynásobte tromi a odčítajte
    • pracovné listy premenných rovníc
    • zjednodušenie výrazov týkajúcich sa racionálnych oponentov
    • list s matematickým kvízom vyššia stredná škola
    • kde môžem získať anwser na nerovnosti vynásobením alebo vydelením zadarmo
    • vytváranie grafov elipsy online
    • Kto vymyslel vlastnosť odčítania rovnosti
    • zadarmo online riešenie kalkulačky diferenciálnych rovníc
    • stroj na algebráciu zadarmo
    • Pracovné zošity a rovnice, Holt a stredná škola
    • kalkulačka racionálnych výrazov
    • koreň squaRE exponentov
    • vysokoškolská algebra
    • Odpovede spoločnosti McDougal Littell
    • logaritmický riešiteľ
    • vyriešte 2 premennú kvadratickú rovnicu pre x
    • vyriešiť pre neznámeho v zlomkovom exponente
    • bezplatné stiahnutie emulátora ti-84
    • Pracovný list so zjednodušením premenných výrazov v 7. ročníku
    • urobiť ti 83 trig program
    • nájdi y-intercept a interpretuj polynóm
    • práca pre žiakov 3. ročníka
    • Glencoe online matematika
    • kvadratická rovnica pre TI-83
    • horúce riešiť druhú odmocninu
    • pracovné hárky rovníc
    • účtovné nákladové účtovníctvo
    • matematické roviny súradníc
    • bezplatné odpovede na riešenie kvadratických rovníc pomocou odmocniny
    • ako urobiť 3. root na ti-83 plus
    • kvízové ​​otázky z matematickej analýzy
    • odpoveď na otázku algebry
    • knihy o schopnostiach zadarmo
    • profesionálny riešiteľ rovníc
    • voľný obrázok súradnicového grafu
    • rovnica na získanie percent
    • riešenie rovnice hmotnej pružiny pomocou matice
    • Kalkulačka deliaca desatinné miesta

    Používatelia vyhľadávacieho nástroja našli našu webovú stránku dnes zadaním týchto výrazov algebry:


    Radikál

    Radikál je matematický symbol, ktorý predstavuje koreň čísla. Tu & rsquos rýchly príklad: fráza & ldquothe druhá odmocnina čísla `81` & rdquo je reprezentovaná radikálnym výrazom` root (2) (81) `. (V prípade druhej odmocniny sa tento výraz bežne skracuje na `sqrt81` & všimnite si absenciu malého & ldquo` 2`. & Rdquo) Keď nájdeme `sqrt81`, nájdeme nezáporné číslo` r` také že `r ^ 2 = 81`, čo je` 9`.

    Zatiaľ čo druhé odmocniny sú pravdepodobne najbežnejším radikálom, nájdeme tiež tretí, piaty, desiaty alebo desiaty root alebo akýkoľvek iný n-tý root čísla. `N`-tý koreň čísla môže byť reprezentovaný radikálnym výrazom` root (n) (x) `.

    Radikály a exponenty sú inverzné operácie. Napríklad vieme, že `9 ^ 2 = 81` a` sqrt81 = 9`. Túto vlastnosť je možné zovšeobecniť aj na všetky radikály a exponenty: pre každé číslo `x`, ktoré sa zdvihne na exponent` n`, aby vyprodukovalo číslo `y`, je„ n “th koreň„ y “„ x` .

    Túto vlastnosť môžeme reprezentovať takto: `root (n) (x ^ n) = x`. Varovanie: platí vždy, ak `x & gt = 0`, a vždy platí, ak je` n` nepárne. Ale nie je to pravda, keď sú hodnoty „x & lt0` a` n` párne.

    Prečo je to tak? Je to preto, lebo zvýšenie ľubovoľného počtu, kladného alebo záporného, ​​na párnu mocnosť má za následok to, že nové číslo je pozitívne. Toto nie je prípad nepárnych exponentov. Napríklad uvažujte o vložení výrazov `x = -3` a` n = 2` do vyššie uvedeného vzorca.

    Radikál by bol napísaný ako `sqrt ((- 3) ^ 2)`, čo vyjde na `sqrt9` alebo` 3`. Ale naša počiatočná hodnota `x` bola` -3`, takže nám ostáva výrok `3 = -3`. To nie je pravda!

    Vytiahnutie exponenta z radikálu

    Pri práci s exponentmi a radikálmi:

    • Ak je `n` nepárne,` root (n) (x ^ n) = x`.
    • Ak je `n` párne,` root (n) (x ^ n) = | x | `. (Absolútna hodnota zodpovedá skutočnosti, že ak je argument „x` záporný a zvýšený na párnu mocninu, bude toto číslo kladné, rovnako ako n-tý koreň tohto čísla.)

    Toto nám dáva dva prípady, keď je `n` párne:


    Vzorce zahrnujúce radikály

    Vzorce často pozostávajú z radikálnych výrazov. Napríklad doba kyvadla alebo čas, za ktorý sa kyvadlo pohne z jednej strany na druhú a späť, závisí od jeho dĺžky podľa nasledujúceho vzorca.

    Tu T predstavuje obdobie v sekundách a Ľ predstavuje dĺžku kyvadla v stopách.

    Príklad 9

    Ak je dĺžka kyvadla 1 1 2 stopy, potom vypočítajte periódu zaokrúhlenú na najbližšiu desatinu sekundy.

    Nahraďte 1 1 2 = 3 2 za Ľ a potom zjednodušiť.

    T = 2 π L 32 = 2 π 3 2 32 = 2 π 3 2 ⋅ 1 32 A p p l y t h e q u o t i e n t r u l e f o r r a d i c a l s. = 2 π 3 64 S i m p l i f y. = 2 π 3 8 = π 3 4 ≈ 1,36

    Odpoveď: Perióda je približne 1,36 sekundy.

    Často musíte vypočítať vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine. Za týmto účelom vytvorte pravý trojuholník pomocou dvoch bodov ako vrcholov trojuholníka a potom použite Pytagorovu vetu. Pripomeňme, že Pytagorova veta hovorí, že ak je daný akýkoľvek pravý trojuholník s meraním nôh a a b jednotky, potom druhá mocnina miery prepočtu c sa rovná súčtu štvorcov nôh: a 2 + b 2 = c 2. Inými slovami, prepona ktoréhokoľvek pravého trojuholníka sa rovná druhej odmocnine súčtu druhých mocnín jeho nôh.

    Príklad 10

    Nájdite vzdialenosť medzi (−5, 3) a (1, 1).

    Vytvorte pravý trojuholník nakreslením vodorovných a zvislých čiar cez dva body. Takto sa vytvorí pravý trojuholník, ako je uvedené nižšie:

    Dĺžka nohy b sa vypočíta nájdením vzdialenosti medzi X- hodnoty daných bodov a dĺžka nohy a sa počíta zistením vzdialenosti medzi danou r-hodnoty.

    a = 3 - 1 = 2 jednotky b = 1 - (- 5) = 1 + 5 = 6 jednotiek

    Ďalej pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku prepony.

    c = 2 2 + 6 2 = 4 + 36 = 40 = 4 ⋅ 10 = 2 10 jednotiek

    Odpoveď: Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je 2 10 jednotiek.

    Zovšeobecnite tento proces a vytvorte vzorec, pomocou ktorého je možné algebraicky vypočítať vzdialenosť medzi ľubovoľnými dvoma danými bodmi.

    Vzhľadom na dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2), vzdialenosť, d, medzi nimi je dané vzorcom vzdialenosti Vzhľadom na dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2) vypočítajte vzdialenosť d medzi nimi pomocou vzorca d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2. , d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

    Príklad 11

    Vypočítajte vzdialenosť medzi (−4, 7) a (2, 1).

    Použite vzorec vzdialenosti s nasledujúcimi bodmi.

    (x 1, y 1) (x 2, y 2) (- 4, 7) (2, 1)

    Je dobrým zvykom zahrnúť vzorec do jeho všeobecnej formy pred nahradením hodnôt premennými, čo zlepšuje čitateľnosť a znižuje pravdepodobnosť chyby.

    d = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 = (2 - (- 4)) 2 + (1 - 7) 2 = (2 + 4) 2 + (1 - 7) 2 = (6) 2 + (- 6) 2 = 36 + 36 = 72 = 36 ⋅ 2 = 6 2

    Odpoveď: Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je 6 2 jednotiek.

    Príklad 12

    Tvoria tri body (2, -1), (3, 2) a (8, -3) pravý trojuholník?

    Pytagorova veta hovorí, že mať dĺžky strán, ktoré vyhovujú vlastnosti a 2 + b 2 = c 2, je nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou pravých trojuholníkov. Inými slovami, ak môžete preukázať, že súčet štvorcov dĺžok nôh trojuholníka sa rovná štvorcu dĺžky prepony, musí byť trojuholník pravý trojuholník. Najskôr vypočítajte dĺžku každej strany pomocou vzorca vzdialenosti.

    a = (8 - 2) 2 + [- 3 - (- 1)] 2 = (6) 2 + (- 3 + 1) 2 = 36 + (- 2) 2 = 36 + 4 = 40 = 2 10

    b = (3 - 2) 2 + [2 - (- 1)] 2 = (1) 2 + (2 + 1) 2 = 1 + (3) 2 = 1 + 9 = 10

    c = (8 - 3) 2 + (- 3 - 2) 2 = (5) 2 + (- 5) 2 = 25 + 25 = 50 = 5 2

    Teraz skontrolujeme, či a 2 + b 2 = c 2.

    a 2 + b 2 = c 2 (2 10) 2 + (10) 2 = (5 2) 2 4 (10) 2 + (10) 2 = 25 (2) 2 4 ⋅ 10 + 10 = 25 ⋅ 2 50 = 50 ✓

    Odpoveď: Áno, tri body tvoria pravý trojuholník.

    Skúste to! Rýchlosť vozidla pred zabrzdením sa dá odhadnúť podľa dĺžky značiek na šmyku, ktoré zostali na ceste. Na mokrom betóne rýchlosť v v míľach za hodinu možno odhadnúť podľa vzorca v = 2 3 d, kde d predstavuje dĺžku značiek šmyku v stopách. Predtým, ako zabrzdíte, odhadnite rýchlosť vozidla, ak po sebe zanechajú stopy po šmyku 27 stôp. Zaokrúhlené na najbližšiu míľu za hodinu.

    Kľúčové jedlá

    • Ak chcete zjednodušiť radikálny výraz, hľadajte radikálove faktory s mocnosťami, ktoré zodpovedajú indexu. Ak sa nájdu, dajú sa zjednodušiť uplatnením pravidiel produktu a kvocientu na radikály, ako aj vlastnosti a n n = a, kde a je nezáporné.
    • Radikálny výraz je zjednodušený, ak jeho radicand neobsahuje žiadne faktory, ktoré by sa dali zapísať ako dokonalá sila indexu.
    • Typicky predpokladáme, že všetky premenné výrazy v rámci radikálu sú nezáporné. To nám umožňuje zamerať sa na zjednodušenie radikálov bez technických problémov spojených s principálom nth koreň. Pokiaľ tento predpoklad nebude splnený, zabezpečíme pozitívny výsledok použitím absolútnych hodnôt pri zjednodušovaní radikálov párnymi indexmi.

    Tématické cvičenia

    Časť A: Zjednodušenie radikálnych výrazov

    Predpokladajme, že premenná môže predstavovať akékoľvek skutočné číslo, a potom ju zjednodušíme.


    Zjednodušenie radikálnych výrazov - koncepcia

    Máme racionálne funkcie kedykoľvek máme zlomok, ktorý má polynom v čitateľovi a / alebo v menovateli. Vylúčenou hodnotou vo funkcii je akákoľvek hodnota premennej, vďaka ktorej by sa menovateľ rovnal nule. Ak chcete vyhľadať doménu, uveďte všetky hodnoty premennej, ktorá by po nahradení viedla k nule v menovateli.

    Keď začnete pracovať s radikálnymi výrazmi, je dôležité vedieť, čo je radikálny výraz. Radikálny výraz znamená iba výraz, ktorý má druhú odmocninu. Ja tomu niekedy hovorím & quotsquare rootie & quot. Neviem prečo. Proste to vychádza z mojich úst. Nie je to oficiálny termín. Ďalšia vec je, že to, čo sa pod radikálnym znakom alebo pod & quotsquare rootie & quot nazýva radicand. A uvidíte to viac, keď začneme robiť nejaké problémy.
    Takže keď ste požiadali o zjednodušenie radikálnych výrazov, máme skutočne dôležitú vlastnosť a tu je, čo to je: Ak máte druhú odmocninu produktu AB, ktorá sa rovná súčtu ich jednotlivých odmocnin. Je to druhá odmocnina z A krát druhá odmocnina B. Len buďte naozaj opatrní. To platí iba dovtedy, kým A a B sú kladné hodnoty a nie 0.
    Ukážem vám príklad. Keby som mal druhú odmocninu 10, to by nebolo to, s čím ste, chlapci, asi veľmi spolupracovali. Druhá odmocnina 10 sa rovná druhej odmocnine dvojnásobku druhej odmocniny 5. Ak mi neveríte, vezmite si kalkulačku a vyskúšajte to.
    Druhá odmocnina z 10 je desatinná hodnota z 3,16. Druhá odmocnina z dvoch je desatinné číslo 1,41. A tvrdím, že 3,16 sa rovná 1,41-násobku druhej odmocniny z piatich je 2,23. Bude to trochu preč, pretože sa zaokrúhľujem, ale chlapci, chápete. Táto desatinná doba, ktorá je desatinná, mi dáva túto odpoveď.
    A niekedy to nemá zmysel, ak nemáte k dispozícii kalkulačku, ale môže to byť skutočne užitočné pri problémoch, ako je táto, ako druhá odmocnina 18. Neviem, čo druhá odmocnina z 18 je, ale viem, že 18 sa rovná súčinu deväťkrát dva.
    Takže zjednodušená forma druhej odmocniny 18 by bola, poďme vidieť, druhá odmocnina z deviatich je tri, krát druhá odmocnina z dvoch. To by bola moja odpoveď v zjednodušenej podobe. Zjednodušená forma znamená, že v radicande neexistujú žiadne dokonalé faktory alebo ak v prípade, že to pre vás má väčší zmysel, neexistujú žiadne štvorcové čísla pod & quotsquare rootie & quot.
    Takže keď sa blížite k týmto problémom, je skutočne dôležité, aby ste dobre rozpoznali dokonalé štvorcové faktory. Prešiel som a uviedol som všetky dokonalé štvorce pre čísla od 1 do 15, napríklad jedenkrát sám je jeden, dvakrát dva, trikrát tri, štyrikrát štyri.
    Docela veľa, musíte si ich zapamätať. Buďte skutočne spokojní so všetkými štvorcami čísel od 1 do 15, aby ste pri riešení týchto problémov dokázali rozpoznať tieto faktory. Sú to dôležité čísla. Posledná vec, ktorú vám chcem nechať, než sa pustíte do domácich úloh, je dať si pozor na túto vlastnosť. Záporná druhá odmocnina čísla 144 nie je to isté ako druhá odmocnina čísla 144. To je skutočne dôležité.
    Záporná druhá odmocnina čísla 144 by bola 12. Je to ako druhá odmocnina zakorenená číslom 144 a potom ju negativizujem, na rozdiel od tohto: Druhá odmocnina čísla 144, ak to vyskúšate na kalkulačke, uvidíte, že bude obsahovať & quotError & quot. Toto nie je skutočné riešenie, žiadne skutočné číslo. Neexistuje skutočné číslo, že keď ho vynásobíte sama, dostanete odpoveď 144. Takže pozor na to. To sú dva skutočne dôležité rozdiely.


    ZJEDNODUŠENIE radikálových výrazov: zmiešaný prehľad

    Rozložte 117 a 52 na primárne faktory pomocou syntetického delenia.

    Zjednodušenie vyššie uvedeného radikálneho výrazu nie je nič iné ako racionalizácia menovateľa. & # Xa0

    Racionalizujte teda menovateľa. & # Xa0

    Tu je menovateľ 2 + & # xa0 √5. & # Xa0

    V danom zlomku vynásobte čitateľ aj menovateľ konjugátom & # xa0 2 + & # xa0 √5. To je & # xa0 2 - & # xa0 √5.

    Zjednodušenie vyššie uvedeného radikálneho výrazu nie je nič iné ako racionalizácia menovateľa. & # Xa0

    Racionalizujte teda menovateľa. & # Xa0

    Tu je menovateľ & # xa0 √3. & # Xa0

    V danom zlomku vynásobte čitateľ aj menovateľ znakom & # xa0 √3.

    Ak chcete pridať dve vyššie uvedené frakcie, urobte rovnaké menovatele. & # Xa0

    Najmenej spoločný násobok & # xa0 √2 a & # xa0 √5 je & # xa0

    Ak chcete racionalizovať menovateľa na pravej strane, vynásobte čitateľ aj menovateľ znakom & # xa0 √10.

    Zjednodušenie vyššie uvedeného radikálneho výrazu nie je nič iné ako racionalizácia menovateľa. & # Xa0

    Racionalizujte teda menovateľa. & # Xa0

    Tu je menovateľ 6 - & # xa0 √5. & # Xa0

    V danom zlomku vynásobte čitateľ aj menovateľ konjugátom 6 & # xa0 - & # xa0 √5. To je 6 & # xa0 + & # xa0 √5.

    Okrem vyššie uvedených vecí, ak potrebujete ďalšie veci v matematike, použite tu naše vlastné vyhľadávanie google.

    Ak máte spätnú väzbu k nášmu matematickému obsahu, pošlite nám e-mail: & # xa0

    Vždy si ceníme vašu spätnú väzbu. & # Xa0

    Môžete tiež navštíviť nasledujúce webové stránky s rôznymi témami v matematike. & # Xa0


    Zjednodušte korene kocky

    Na zjednodušenie koreňov druhého rádu môžeme použiť rovnaké techniky, ktoré sme použili na zjednodušenie druhej odmocniny. Napríklad pre zjednodušenie koreňa kocky je cieľom nájsť pod radikálom faktory, ktoré sú dokonalé kocky, aby ste mohli zakoreniť ich kocku. Už sa nemusíme zaujímať o to, či sme identifikovali hlavný koreň, pretože teraz nachádzame korene kocky. Zamerajte sa na hľadanie rovnakých trojíc faktorov, ktoré zjednodušujete.

    Príklad

    Pretože hľadáte koreň kocky, musíte nájsť faktory, ktoré sa pod radikálom objavia [latex] 3 [/ latex] krát. Prepíšte [latex] 2 cdot 2 cdot 2 [/ latex] ako [latex] <<2> ^ <3>> [/ latex].

    Prepíšte výraz ako produkt viacerých radikálov.

    [latex] 2 cdot sqrt [3] <5> cdot m cdot sqrt [3] <<^ <2> >> [/ latex]

    Odpoveď

    Pamätajte, že kocku odmocniny môžete odvodiť od negatívneho výrazu. V nasledujúcom príklade si zjednodušíme kockový koreň so záporným radicandom.

    Príklad

    Oddeľte kockové faktory na jednotlivé radikály.

    [latex] -1 cdot 3 cdot x cdot y cdot sqrt [3][/ latex]

    Odpoveď

    Svoju odpoveď by ste mohli skontrolovať vykonaním inverznej operácie. Ak máte pravdu, keď kockujete [latex] -3xy sqrt [3][/ latex] mali by ste dostať [latex] -27 <^<4>><^ <3>> [/ latex].

    [latex] začať doľava (-3xy sqrt [3] vpravo) vľavo (-3xy sqrt [3] vpravo) vľavo (-3xy sqrt [3] right) - 3 cdot -3 cdot -3 cdot x cdot x cdot x cdot y cdot y cdot y cdot sqrt [3] cdot sqrt [3] cdot sqrt [3] - 27 cdot <^ <3>> cdot <^ <3>> cdot sqrt [3] <<^<3>>>\-27<^<3>><^ <3>> cdot x - 27 <^<4>><^ <3>> koniec[/ latex]

    Môžete tiež preskočiť krok vylučovania záporného, ​​keď sa vám bude s identifikáciou kociek vyhovovať.

    Príklad

    Faktorové premenné. Hľadáte exponenty kocky, takže faktor [latex] a ^ <5> [/ latex] rozložíte na [latex] a ^ <3> [/ latex] a [latex] a ^ <2> [/ latex].

    Faktory rozdeľte na jednotlivé radikály.

    Zjednodušte to pomocou vlastnosti [latex] sqrt [3] <<^ <3> >> = x [/ latex].

    [latex] -1 cdot 2 cdot a cdot sqrt [3] <3 cdot <^ <2> >> [/ latex]

    Toto je najjednoduchšia forma tohto výrazu, keď boli všetky kocky vytiahnuté z radikálneho výrazu.

    Odpoveď

    V nasledujúcom videu ukážeme ďalšie príklady zjednodušenia koreňov kocky.


    Racionalizácia menovateľov

    Aj keď radikály dodržiavajú rovnaké pravidlá ako celé čísla, často je ťažké zistiť hodnotu výrazu obsahujúceho radikály. Napríklad máte pravdepodobne dobrý prehľad o tom, koľko [latex] frac <4> <8>, 0,75 [/ latex] a [latex] frac <6> <9> [/ latex] je, ale čo o množstvách [latex] frac <1> < sqrt <2>> [/ latex] a [latex] frac <1> < sqrt <5>> [/ latex]? Tie sa oveľa ťažšie vizualizujú.

    Môžete použiť techniku ​​tzv racionalizácia menovateľa eliminovať radikál. Zmyslom racionalizácie menovateľa je uľahčiť pochopenie skutočnej kvantity odstránením radikálov z menovateľov.

    Pripomeňme, že čísla 5, [latex] frac <1> <2> [/ latex] a [latex] 0,75 [/ latex] sú všetky známe ako racionálne čísla - každé z nich možno vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel ( [latex] frac <5> <1>, frac <1> <2> [/ latex], a [latex] frac <3> <4> [/ latex]). Niektoré radikály sú iracionálne čísla, pretože ich nemožno predstaviť ako pomer dvoch celých čísel. Výsledkom je racionalizácia menovateľa, ktorého výsledkom je zmena výrazu tak, aby sa menovateľ stal racionálnym číslom.

    Tu je niekoľko príkladov iracionálnych a racionálnych menovateľov.

    Teraz sa pozrime, ako sa dostať od iracionálnych k racionálnym menovateľom.

    Začnime zlomkom [latex] frac <1> < sqrt <2>> [/ latex]. Jeho menovateľ je [latex] sqrt <2> [/ latex], iracionálne číslo. To sťažuje zisťovanie, aká je hodnota [latex] frac <1> < sqrt <2>> [/ latex].

    Túto frakciu môžete premenovať bez zmeny jej hodnoty, ak ju vynásobíte 1. V takom prípade nastavte 1 na [latex] frac < sqrt <2>> < sqrt <2>> [/ latex]. Sledujte, čo sa stane.

    Menovateľ novej frakcie už nie je radikál (všimnite si však, že čitateľ je).

    Prečo sa teda rozhodnúť vynásobiť [latex] frac <1> < sqrt <2>> [/ latex] výrazom [latex] frac < sqrt <2>> < sqrt <2>> [/ latex]? Vedeli ste, že druhá odmocnina niekoľkokrát bude celé číslo. Z algebraického hľadiska predstavuje túto myšlienku [latex] sqrt cdot sqrt= x [/ latex]. Vráťte sa k menovateľom v násobení [latex] frac <1> < sqrt <2>> cdot 1 [/ latex]. Vidíte kde [latex] sqrt <2> cdot sqrt <2> = sqrt <4> = 2 [/ latex]?

    Tu uvádzam niekoľko ďalších príkladov. Všimnite si, ako sa hodnota zlomku vôbec nezmení - jednoducho sa vynásobí 1.

    Príklad

    Racionalizujte menovateľa.

    Ak je to možné, zjednodušte koeficienty a radikály.

    Odpoveď

    V nasledujúcom príklade videa uvádzame ďalšie príklady toho, ako racionalizovať menovateľa s celým číslom radicand.

    Rovnakou metódou môžete racionalizovať menovatele na zjednodušenie zlomkov pomocou radikálov obsahujúcich premennú. Pokiaľ pôvodný výraz vynásobíte iným menom pre 1, môžete vylúčiť radikál v menovateli bez zmeny hodnoty samotného výrazu.


    Pozri si video: Úpravy výrazů #7 - Algebraické vzorce (December 2021).