Články

10.3.1: Základná teória homogénnych lineárnych systémov (úlohy)


Q10.3.1

1. Dokážte: Ak ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ), ..., ({ bf y} _n ) sú riešenia ({ bf y} ' = A (t) { bf y} ) na ((a, b) ), potom ľubovoľná lineárna kombinácia ({ bf y} _1 ), ({ bf y} _2 ), …, ({ Bf y} _n ) je tiež riešením ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) na ((a, b) ).

2. V časti 5.1 Wronskian dvoch riešení (y_1 ) a (y_2 ) skalárnej rovnice druhého rádu

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0 značka {A} ]

bol definovaný ako

[W = doľava | begin {pole} {cc} y_1 & y_2 y'_1 & y'_2 end {pole} doprava |. Nonumber ]

  1. Prepíšte (A) ako systém rovníc prvého rádu a ukážte, že (W ) je Wronskian (ako je definované v tejto časti) dvoch riešení tohto systému.
  2. Použite rovnicu 10.3.6 na systém odvodený od bodu (a) a ukážte, že [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) nad P_0 (s)} , ds doprava }, nonumber ], čo je forma Abelovho vzorca uvedeného vo vete 9.1.3.

3. V časti 9.1 Wronskian (n ) riešení (y_1 ), (y_2 ), ..., (y_n ) rovnice (n - ) toho rádu

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = 0 značka {A} ]

bol definovaný ako

[W = left | begin {array} {cccc} y_1 & y_2 & cdots & y_n y'_1 & y'_2 & cdots & y_n ' vdots & vdots & ddots & vdots y_1 ^ {(n-1)} & y_2 ^ {(n-1)} & cdots & y_n ^ {(n-1)} end {pole} vpravo |. nonumber ]

  1. Prepíšte (A) ako systém rovníc prvého rádu a ukážte, že (W ) je Wronskian (ako je definované v tejto časti) riešení (n ) tohto systému.
  2. Použite rovnicu 10.3.6 na systém odvodený od bodu (a) a ukážte, že [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) nad P_0 (s)} , ds doprava }, nonumber ], čo je forma Abelovho vzorca uvedeného vo vete 9.1.3.

4. Predpokladajme

[{ bf y} _1 = doľava [ begin {pole} {c} {y_ {11}} {y_ {21}} end {pole} doprava] quad text {a} štvorkolka { bf y} _2 = doľava [ začiatok {pole} {c} {y_ {12}} {y_ {22}} koniec {pole} doprava] nonumber ]

sú riešenia systému (2 krát 2 ) systému ({ bf y} '= A { bf y} ) na ((a, b) ), a nech

[Y = doľava [ begin {pole} {cc} {y_ {11}} a {y_ {12}} {y_ {21}} a {y_ {22}} end {pole} doprava ] quad text {a} quad W = doľava | begin {pole} {cc} {y_ {11}} a {y_ {12}} {y_ {21}} a {y_ {22} } end {pole} doprava | nonumber ]

(W ) je teda Wronskian z ( {{ bf y} _1, { bf y} _2 } ).

  1. Vyvodite z definície determinantu, že [W '= doľava | begin {pole} {cc} {y' _ {11}} a {y '_ {12}} {y_ {21}} & { y_ {22}} end {pole} doprava | + doľava | begin {pole} {cc} {y_ {11}} a {y_ {12}} {y '_ {21}} a {y' _ {22}} end {pole} vpravo |. nonumber ]
  2. Použite rovnicu (Y '= A (t) Y ) a definíciu násobenia matíc, aby ste ukázali, že [[y' _ {11} quad y '_ {12}] = a_ {11} [y_ { 11} quad y_ {12}] + a_ {12} [y_ {21} quad y_ {22}] nonumber ] a [[y '_ {21} quad y' _ {22}] = a_ {21} [y_ {11} quad y_ {12}] + a_ {22} [y_ {21} quad y_ {22}]. nonumber ]
  3. Pomocou vlastností determinantov odvodíme z (a) a (a), že [ doľava | begin {pole} {cc} {y '_ {11}} a {y' _ {12}} {y_ { 21}} & {y_ {22}} end {array} right | = a_ {11} W quad text {a} quad left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} right | = a_ {22} W. nonumber ]
  4. Z (c) vyvodzujte, že [W '= (a_ {11} + a_ {22}) W, nonumber ] a pomocou toho ukážte, že ak (a

5. Predpokladajme, že (n krát n ) matica (A = A (t) ) je spojitá na ((a, b) ). Poďme

[Y = left [ begin {array} {cccc} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right], nonumber ]

kde stĺpce (Y ) sú riešenia ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). Poďme

[r_i = [y_ {i1} , y_ {i2} , dots , y_ {in}] nonumber ]

byť (i ) tým riadkom (Y ) a nech (W ) bude determinantom (Y ).

  1. Vyvodite z definície determinantu, že [W '= W_1 + W_2 + cdots + W_n, nonumber ], kde pre (1 le m le n ) je (i ) ten riadok ( W_m ) je (r_i ) ak (i ne m ) a (r'_m ) ak (i = m ).
  2. Použite rovnicu (Y '= A Y ) a definíciu množenia matíc, aby ste ukázali, že [r'_m = a_ {m1} r_1 + a_ {m2} r_2 + cdots + a_ {mn} r_n. Nonumber ]
  3. Použite vlastnosti determinantov na odvodenie z (b), že [ det (W_m) = a_ {mm} W. nonumber ]
  4. Uzatvorte z (a) a (c), že [W '= (a_ {11} + a_ {22} + cdots + a_ {nn}) W, nonumber ] a pomocou toho ukážte, že ak (a

6. Predpokladajme, že (n krát n ) matica (A ) je spojitá na ((a, b) ) a (t_0 ) je bod v ((a, b) ). Nech (Y ) je základnou maticou pre ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) na ((a, b) ).

  1. Ukážte, že (Y (t_0) ) je invertovateľný.
  2. Ukážte, že ak ({ bf k} ) je ľubovoľný (n ) - vektor, potom riešenie problému počiatočnej hodnoty [{ bf y} '= A (t) { bf y}, quad { bf y} (t_0) = { bf k} nonumber ] je [{ bf y} = Y (t) Y ^ {- 1} (t_0) { bf k}. nonumber ]

7. Nech

[A = doľava [ begin {array} {cc} {2} & {4} {4} & {2} end {array} right], quad { bf y} _1 = doľava [ begin {pole} {c} e ^ {6t} e ^ {6t} end {pole} doprava], quad { bf y} _2 = doľava [ begin {pole} {r } e ^ {- 2t} -e ^ {- 2t} end {pole} vpravo], quad { bf k} = doľava [ begin {pole} {r} -3 9 koniec {pole} vpravo]. nonumber ]

  1. Overte, či ( {{ bf y} _1, { bf y} _2 } ) je základnou sadou riešení pre ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. Vyriešte problém s počiatočnou hodnotou [{ bf y} '= A { bf y}, quad { bf y} (0) = { bf k}. značka {A} ]
  3. Použite výsledok Cvičenie 10.3.6 (b) nájsť vzorec pre riešenie (A) pre ľubovoľný počiatočný vektor ({ bf k} ).

8. Opakujte Cvičenie 10.3.7 s

[A = doľava [ begin {pole} {cc} {- 2} & {- 2} {- 5} a {1} end {pole} doprava], quad { bf y} _1 = left [ begin {array} {r} e ^ {- 4t} e ^ {- 4t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r} -2e ^ {3t} 5e ^ {3t} end {array} right], quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 10 -4 end {pole} vpravo]. Nonumber ]

9. Opakujte Cvičenie 10.3.7 s

[A = doľava [ begin {pole} {cc} {- 4} a {- 10} {3} a {7} end {pole} doprava], quad { bf y} _1 = left [ begin {array} {r} -5e ^ {2t} 3e ^ {2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {pole } {r} 2e ^ t - e ^ t end {pole} vpravo], quad { bf k} = doľava [ begin {pole} {r} -19 11 end {pole } vpravo]. nonumber ]

10. Opakujte Cvičenie 10.3.7 s

[A = doľava [ begin {pole} {cc} {2} & {1} {1} & {2} end {array} right], quad { bf y} _1 = doľava [ begin {pole} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {pole} doprava], quad { bf y} _2 = doľava [ begin {pole} {r } e ^ t -e ^ t end {pole} vpravo], quad { bf k} = doľava [ begin {pole} {r} 2 8 end {pole} doprava] . nonumber ]

11. Nech

[ begin {aligned} A & = left [ begin {array} {ccc} {3} & {- 1} & {- 1} {- 2} & {3} & {2} { 4} & {- 1} & {- 2} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ {2t} 0 e ^ {2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} e ^ {3t} - e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right], quad { bf y} _3 = doľava [ begin {array} {c} e ^ {- t} - 3e ^ {- t} 7e ^ {- t} end {pole} vpravo], quad { bf k} = doľava [ begin {pole} {r} 2 - 7 20 end {pole} doprava ]. end {zarovnané} nonumber ]

  1. Overte, či ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, { bf y} _3 } ) je základnou množinou riešení pre ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. Vyriešte problém s počiatočnou hodnotou [{ bf y} '= A { bf y}, quad { bf y} (0) = { bf k}. značka {A} ]
  3. Použite výsledok Cvičenie 10.3.6 (b) nájsť vzorec pre riešenie (A) pre ľubovoľný počiatočný vektor ({ bf k} ).

12. Opakujte Cvičenie 10.3.11 s

[ begin {aligned} A & = left [ begin {array} {ccc} {0} & {2} & {2} {2} & {0} & {2} {2} & {2} & {0} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} 0 e ^ {-2t} end {array} right], quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} 0 end {array} right], quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {4t} e ^ {4t} e ^ {4t} koniec {pole} vpravo], quad { bf k} = doľava [ začiatok {pole} {r} 0 - 9 12 koniec {pole} doprava]. end {zarovnané} nečíslo ]

13. Opakujte Cvičenie 10.3.11 s

[ begin {aligned} A & = left [ begin {array} {ccc} {- 1} & {2} & {3} {0} & {1} & {6} {0} & {0} & {- 2} end {array} right], { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ t e ^ t 0 koniec {pole} doprava], quad { bf y} _2 = doľava [ začiatok {pole} {c} e ^ {- t} 0 0 koniec {pole} doprava], štvorkolka { bf y} _3 = doľava [ begin {pole} {c} e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} end {pole} doprava] , quad { bf k} = doľava [ začiatok {poľa} {r} 5 5 - 1 koniec {pole} doprava]. end {zarovnané} nonumber ]

14. Predpokladajme, že (Y ) a (Z ) sú základné matice systému (n krát n ) ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). Potom niektoré zo štyroch matíc (YZ ^ {- 1} ), (Y ^ {- 1} Z ), (Z ^ {- 1} Y ), (ZY ^ {- 1} ) sú nevyhnutne stále. Identifikujte ich a dokážte, že sú stále.

15. Predpokladajme, že stĺpce (n krát n ) matice (Y ) sú riešením systému (n krát n ) systému ({ bf y} '= A { bf y} ) a (C ) je (n krát n ) konštantná matica.

  1. Ukážte, že matica (Z = YC ) vyhovuje diferenciálnej rovnici (Z '= AZ ).
  2. Ukážte, že (Z ) je základná matica pre ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) práve vtedy, ak (C ) je invertibilná a (Y ) je základná matica pre ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

16. Predpokladajme, že (n krát n ) matica (A = A (t) ) je spojitá na ((a, b) ) a (t_0 ) je v ((a, b) ). Pre (i = 1 ), (2 ), ..., (n ), nech ({ bf y} _i ) bude riešením problému počiatočnej hodnoty ({ bf y} _i '= A (t) { bf y} _i, ; { bf y} _i (t_0) = { bf e} _i ), kde

[{ bf e} _1 = doľava [ begin {pole} {c} 1 0 vdots 0 end {pole} vpravo], quad { bf e} _2 = doľava [ begin {pole} {c} 0 1 vdots 0 end {pole} doprava], quad cdots quad { bf e} _n = doľava [ begin {pole } {c} 0 0 vdots 1 end {pole} vpravo]; nonumber ]

tj (j ) tá zložka ({ bf e} _i ) je (1 ) ak (j = i ), alebo (0 ) ak (j ne i ).

  1. Ukážte, že ( {{ bf y} _1, { bf y} _2, dots, { bf y} _n } ) je základná sada riešení ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) na ((a, b) ).
  2. Uzavrieť z písmen a) a Cvičenie 10.3.15 že ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) má na ((a, b) ) nekonečne veľa základných množín riešení.

17. Ukážte, že (Y ) je základná matica systému ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) práve vtedy, ak (Y ^ {- 1} ) je základná matica pre ({ bf y} '= - A ^ T (t) { bf y} ), kde (A ^ T ) označuje transpozíciu (A ). TIP: Pozri Cvičenie 10.3.11.

18. Nech (Z ) je základná matica systému konštantných koeficientov ({ bf y} '= A { bf y} ) taká, že (Z (0) = I ).

  1. Ukážte, že (Z (t) Z (s) = Z (t + s) ) pre všetky (s ) a (t ). TIP: Pre pevné (s ) nechajme ( Gamma _ {1} (t) = Z (t) Z (s) ) a ( Gamma _ {2} (t) = Z (t + s) ). Ukáž to ( Gamma _ {1} ) a ( Gamma_ {2} ) sú obidve riešenia problému počiatočnej hodnoty matice ( Gamma '= A Gamma, : Gamma (0) = Z (s) ). Potom z vety 10.2.1 vyvodzujte, že ( Gamma _ {1} = Gamma _ {2} ).
  2. Ukážte, že ((Z (t)) ^ {- 1} = Z (-t) ).
  3. Matica (Z ) definovaná vyššie je niekedy označená (e ^ {tA} ). Diskutujte o motivácii pre tento zápis.

Teória lineárneho modelu

Táto učebnica predstavuje jednotný a dôsledný prístup k najlepšiemu lineárnemu nezaujatému odhadu a predikcii parametrov a náhodných veličín v lineárnych modeloch, ako aj k inej teórii, na ktorej je založená veľká časť štatistickej metodológie spojenej s lineárnymi modelmi. Najunikátnejšou vlastnosťou knihy je, že každý hlavný koncept alebo výsledok je ilustrovaný jedným alebo viacerými konkrétnymi príkladmi alebo špeciálnymi prípadmi. Bežne používané metodiky založené na teórii sú prezentované v metodických intermezziách roztrúsených po celej knihe spolu s množstvom cvičení, z ktorých budú mať úžitok študenti i inštruktori. V celom texte sa používajú zovšeobecnené inverzie, takže sa nevyžaduje, aby matica modelu a rôzne ďalšie matice mali úplné poradie. Podstatne väčší dôraz sa kladie na odhadovateľnosť, rozdelené analýzy rozptylov, obmedzené najmenšie štvorce, účinky špecifikácie modelu na miss a hlavne predikciu ako v mnohých iných učebniciach o lineárnych modeloch. Táto kniha je určená pre študentov magisterského a doktorandského štúdia so základnými štatistikami teórie, maticovej algebry a aplikovanej regresnej analýzy a pre inštruktorov kurzov lineárnych modelov. Riešenia cvičení knihy sú k dispozícii v sprievodnom zväzku Teória lineárneho modelu - úlohy a riešenia od toho istého autora.


Matice v MATLABe

Na zadanie matice do MATLABu používame hranaté zátvorky na začatie a ukončenie obsahu matice a na oddelenie riadkov používame bodkočiarky. Komponenty jedného riadku sú oddelené čiarkami. Napríklad príkaz

bude mať za následok priradenie matice k premennej A:

Vektor stĺpca môžeme zadať tak, že ho budeme považovať za maticu m & times1, teda za príkaz

bude mať za následok vektor stĺpca 2 & times1:

Existuje veľa vlastností matíc, ktoré MATLAB vypočíta pomocou jednoduchých príkazov. Väčšina tohto materiálu je zahrnutá v matematike 20F, ale pri riešení systémov diferenciálnych rovníc nám môže pomôcť niekoľko základných vlastností.

Vlastné hodnoty a vlastné vektory

Vlastné číslo a lambda pre maticu A súvisí s jeho vlastným vektorom b rovnicou

Program MATLAB možno použiť na vyhľadanie vlastných čísel a vlastných vektorov matice pomocou príkazu eig. Pri samostatnom použití príkazu, ako v eig (A), MATLAB vráti vektor stĺpca s vlastnými hodnotami A ako jeho súčasti. Napríklad s našou matricou A vyššie získame nasledujúci výstup:

Ak tiež chceme, aby MATLAB vypočítal vlastné vektory z A , musíme zadať dve výstupné premenné. Príkaz a jeho výstup sú uvedené nižšie:

Ako vidíte, pomocou tohto príkazu dostaneme ako výstup dve matice. Prvá matica, nazývaná eigvec, má vlastné vektory A ako jeho stĺpce. Druhá matica, vlastná, má vlastné hodnoty A na jeho hlavnej uhlopriečke a nuly všade inde. Vlastný vektor v prvom stĺpci eigvec zodpovedá vlastnej hodnote v prvom stĺpci eigval atď.

Poďme B byť matica.

  1. Definujte maticu B v MATLABe s vyššie uvedenými hodnotami. Skopírujte a prilepte vstup a výstup z vášho príkazu do dokumentu Word.
  2. Pomocou príkazov MATLAB nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory pre maticu B . Skopírujte a prilepte vstup a výstup z vášho príkazu do dokumentu Word.

Teraz, keď sme videli, ako používať matice v MATLABe, mali by sme byť pripravení vyriešiť systémy rovníc, ako je napríklad (1) vyššie.


Matematika 22B: Diferenciálne rovnice Jarná štvrťrok, 2008 Oddiel 2

Konečné riešenia sú zverejnené nižšie. Známky kurzov budú zverejnené do budúceho piatku.

Inštruktor

Prednášky: MWF 2:10 a # 1503: 00, 2205 Haring Hall

  • Posledný deň na doplnenie: utorok 15. apríla 2008
  • Posledný klesajúci deň: piatok 25. apríla 2008
  • Posledná hodina: streda 4. júna 2008
  • Akademický sviatok: pondelok 26. mája
  • Martha Schott (3229 MSB)
    Úradné hodiny: W 9:45 & # 150 11:00 am
  • Josh Oyoung (2232 MSB)
    Úradné hodiny: T 2:00 a # 150 15:15, Št 3:00 a # 150 16:15.

Skúšky

Priebežné obdobie 1

  • Odd. 1.1: Matematické modely vedúce k ODR.
  • Odd. 1.2: Niektoré jednoduché ODR.
  • Odd. 1.3: Klasifikácia ODR.
  • Odd. 2.1: Metóda integračného faktora pre lineárne ODR.
  • Odd. 2.2: Oddelenie premenných.
  • Odd. 2.4: Vety o existencii / jedinečnosti.Princíp superpozície pre lineárne ODR.
  • Odd. 2.5: Autonómne ODR. Fázové čiary, rovnováhy a stabilita.

Priebežné obdobie 2

  • Odd. 3.1: Konštantný homogénny koeficient ODR
    • exponenciálne riešenia
    • charakteristická rovnica
    • riešenie homogénnych ODR, keď má charakteristická rovnica odlišné skutočné korene
    • princíp superpozície pre homogénne rovnice
    • sady základných riešení
    • Wronskians
    • riešenie počiatočných hodnotových problémov
    • lineárna závislosť a nezávislosť funkcií
    • vzťah medzi lineárnou nezávislosťou a Wronskianmi
    • Ábelova veta
    • Komplexné čísla
    • Eulerov vzorec a komplexné exponenciály
    • riešenie homogénnych ODR, keď má charakteristická rovnica zložité korene
    • riešenie homogénnych ODR, keď má charakteristická rovnica opakovaný koreň
    • princíp superpozície pre nehomogénne ODR
    • výraz pre všeobecné riešenie nehomogénnej ODE z hľadiska konkrétneho riešenia a roztokov homogénnej ODE
    • použitie metódy neurčitých koeficientov na nájdenie konkrétnych riešení
    • prirodzená frekvencia netlmenej vibrácie
    • účinky malého a veľkého tlmenia (tlmené a príliš tlmené vibrácie)
    • rezonancia

    Priebežné obdobie 2: Vzorové otázky 2 (otázka 5 nie je reprezentatívna).

    Konečný

    • Odd. 7.1: Lineárne systémy prvého rádu
    • Odd. 7.2 & # 1507.3: Lineárna algebra
    • Odd. 7.4: Základná teória lineárnych systémov
    • Odd. 7.5: Homogénne lineárne systémy s konštantnými koeficientmi so skutočnými vlastnými hodnotami
      • saddlepoints
      • uzly (stabilné a nestabilné)
      • špirálové body (stabilné a nestabilné)
      • centier

      Finále: Vzorové otázky 2 (Ignorujte otázku 10 o variácii parametrov, ktorej sme sa tento štvrťrok nevenovali)

      Riešenia: Vzorové otázky 2 (riešenia, ktoré mám, sa bohužiaľ nezhodujú presne s otázkami)

      Domáca úloha

      Trieda kurzu

      Text pre matematiku 22B

      • Diferenciálne rovnice prvého rádu
      • Lineárne rovnice druhého rádu
      • Laplaceova transformácia
      • Lineárne systémy prvého rádu

      Sylabus katedry poskytuje podrobný náčrt.

      Vydavateľ má pre web sprievodnú webovú stránku, ktorá obsahuje súbory Maple, MATLAB a Mathematica pre ODR a informácie o softvéri pre ODE architektúru, ktorý je súčasťou textu.

      Ďalším zdrojom pre matematiku 22B sú prednášky Craiga Tracyho o bežných diferenciálnych rovniciach.

      Účty počítačov

      Tu uverejním niekoľko jednoduchých súborov MATLAB pre ODE, alebo môžete napísať svoje vlastné.


      10.3.1: Základná teória homogénnych lineárnych systémov (úlohy)

      Jedným z najdôležitejších problémov v oblasti technických výpočtov je riešenie systémov simultánnych lineárnych rovníc.

      V maticovom zápise má všeobecný problém túto podobu: Uvedené dve matice A a b, existuje jedinečná matica X, aby tak AX= b alebo XA= b?

      Je poučné brať do úvahy príklad 1: 1. Napríklad robí rovnicu

      Odpoveď je samozrejme áno. Rovnica má jedinečné riešenie X = 3. Riešenie sa dá ľahko získať delením:

      Riešením je nie bežne sa získa výpočtom inverznej hodnoty 7, čo je 7 & # 82111 = 0,142857. a potom vynásobenie 7 & # 82111 číslom 21. To by bolo viac práce a ak je 7 & # 82111 reprezentovaný konečným počtom číslic, menej presné. Podobné úvahy platia pre množiny lineárnych rovníc s viac ako jedným neznámym programom MATLAB & # x00AE rieši také rovnice bez výpočtu inverznej hodnoty matice.

      Aj keď nejde o štandardný matematický zápis, MATLAB používa na opísanie riešenia všeobecného systému simultánnych rovníc diviznú terminológiu známu v skalárnom prípade. Dva symboly divízie, lomítko , / a spätné lomítko , , zodpovedajú dvom funkciám MATLABu mrdivide a mldivide. Tieto operátory sa používajú pre dve situácie, keď sa neznáma matica objaví vľavo alebo vpravo od matice koeficientu:

      Označuje riešenie maticovej rovnice xA = b, získané použitím mrdividu.

      Označuje riešenie maticovej rovnice Sekera = b, získané pomocou mldivide.

      Popremýšľajte, ako „rozdeliť“ obe strany rovnice Sekera = b alebo xA = b od A. Matica koeficientu A je vždy v „menovateli“.

      Podmienky kompatibility rozmerov pre x = A b vyžadujú, aby dve matice A a b mali rovnaký počet riadkov. Riešenie x má potom rovnaký počet stĺpcov ako b a jeho rozmer riadka sa rovná rozmeru stĺpca A. Pre x = b / A sú roly riadkov a stĺpcov zamenené.

      V praxi lineárne rovnice tvaru Sekera = b vyskytujú častejšie ako vo formulári xA = b. Preto sa spätné lomítko používa oveľa častejšie ako lomítko. Zvyšok tejto časti sa sústreďuje na operátor spätného lomítka, z ktorého je možné odvodiť príslušné vlastnosti operátora lomky z identity:

      Matica koeficientu A nemusí byť štvorcová. Ak má A veľkosť m-by-n, potom existujú tri prípady:

      Štvorcový systém. Hľadajte presné riešenie.

      Predurčený systém s viac rovnicami ako neznámymi. Nájdite riešenie najmenších štvorcov.

      Podurčený systém s menej rovnicami ako neznámymi. Základné riešenie nájdete nanajvýš m nenulové komponenty.

      Algoritmus mldivide

      Operátor mldivide zamestnáva rôznych riešiteľov na prácu s rôznymi druhmi matíc koeficientov. Jednotlivé prípady sa diagnostikujú automaticky preskúmaním matice koeficientov. Viac informácií nájdete v sekcii „Algoritmy“ na referenčnej stránke mldivide.

      Všeobecné riešenie

      Všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc Sekera= b popisuje všetky možné riešenia. Všeobecné riešenie nájdete:

      Riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému Sekera = 0. Urobte to pomocou príkazu null, zadaním null (A). Týmto sa vráti základ pre priestor riešenia Sekera = 0. Akékoľvek riešenie je lineárna kombinácia bázových vektorov.

      Nájdenie konkrétneho riešenia nehomogénneho systému Sekera =b.

      Potom môžete napísať akékoľvek riešenie do Sekera= b ako súčet konkrétneho riešenia Sekera =b, z kroku 2, plus lineárna kombinácia základných vektorov z kroku 1.

      Zvyšok tejto časti popisuje, ako používať MATLAB na nájdenie konkrétneho riešenia Sekera =b, ako v kroku 2.

      Štvorcové systémy

      Najbežnejšia situácia sa týka matice štvorcového koeficientu A a jedného pravého stĺpcového vektora b.

      Matica nesúvislého koeficientu

      Ak je matica A nesúvislá, potom riešenie, x = A b, má rovnakú veľkosť ako b. Napríklad:

      Môže sa potvrdiť, že A * x sa presne rovná u.

      Ak sú A a b štvorce a rovnakej veľkosti, x = A b je tiež táto veľkosť:

      Môže sa potvrdiť, že A * x sa presne rovná b.

      Oba tieto príklady majú presné, celočíselné riešenia. Je to preto, že matica koeficientu bola zvolená ako pascal (3), čo je matica úplného poradia (nesingulárna).

      Matica singulárneho koeficientu

      Štvorcová matica A je singulár, ak nemá lineárne nezávislé stĺpce. Ak A je singulárne riešenie Sekera = b buď neexistuje, alebo nie je jedinečný. Operátor spätného lomítka A b vydá varovanie, ak je A takmer singulár alebo ak zistí presnú singularitu.

      Ak A je jednotné číslo a Sekera = b má riešenie, môžete nájsť konkrétne riešenie, ktoré nie je jedinečné, napísaním

      pinv (A) je pseudoinverzia A. Ak Sekera = b nemá presné riešenie, potom funkcia pinv (A) vráti riešenie najmenších štvorcov.

      je jednotné číslo, ako môžete overiť zadaním

      Odkedy A nie je úplná hodnosť, má niektoré singulárne hodnoty rovné nule.

      Presné riešenia. Pre b = [5212] platí rovnica Sekera = b má presné riešenie dané

      Zadaním zadajte, či je pinv (A) * b presným riešením

      Riešenia najmenších štvorcov. Ak však b = [360], Sekera = b nemá presné riešenie. V takom prípade funkcia pinv (A) * b vráti riešenie najmenších štvorcov. Ak píšete

      nedostanete späť pôvodný vektor b.

      Môžete určiť, či Sekera =b má presné riešenie nájdením riadkovej redukovanej echelónovej formy rozšírenej matice [A b]. Pre tento príklad zadajte

      Pretože spodný riadok obsahuje všetky nuly okrem posledného záznamu, rovnica nemá riešenie. V takom prípade funkcia pinv (A) vráti riešenie najmenších štvorcov.

      Predurčené systémy

      Tento príklad ukazuje, ako sa s overdeterminovanými systémami často stretávame pri rôznych druhoch kriviek prispôsobených experimentálnym údajom.

      Množstvo y sa meria pri niekoľkých rôznych hodnotách času t, aby sa získali nasledujúce pozorovania. Môžete zadať údaje a zobraziť ich v tabuľke s nasledujúcimi vyhláseniami.

      Skúste údaje modelovať pomocou rozpadajúcej sa exponenciálnej funkcie

      Predchádzajúca rovnica hovorí, že vektor y by sa mal aproximovať lineárnou kombináciou dvoch ďalších vektorov. Jeden je konštantný vektor obsahujúci všetky a druhý je vektor so zložkami exp (-t). Neznáme koeficienty, c 1 a c 2, je možné vypočítať vykonaním najmenších štvorcov, čo minimalizuje súčet druhých mocnín odchýlok údajov od modelu. Existuje šesť rovníc v dvoch neznámych, reprezentovaných maticou 6 x 2.

      Pomocou operátora spätného lomítka získate riešenie najmenších štvorcov.

      Inými slovami, najmenšie štvorce zodpovedajú údajom

      y (t) = 0. 4 7 6 0 + 0. 3 4 1 3 e - t.

      Nasledujúce príkazy vyhodnotia model v pravidelne rozložených prírastkoch t a potom výsledok vykreslia spolu s pôvodnými údajmi:

      E * c sa nerovná presne y, ale rozdiel môže byť menší ako chyby merania v pôvodných dátach.

      Obdĺžniková matica A má nedostatočné hodnotenie, ak nemá lineárne nezávislé stĺpce. Ak je A nedostatočné, potom riešenie najmenších štvorcov pre AX = B nie je jedinečné. A B vydá varovanie, ak A nemá hodnotenie a vytvorí riešenie najmenších štvorcov. Môžete použiť lsqminnorm na nájdenie riešenia X, ktoré má medzi všetkými riešeniami minimálnu normu.

      Podurčené systémy

      Tento príklad ukazuje, ako nie je riešenie nedostatočne určených systémov jedinečné. Podurčené lineárne systémy zahŕňajú viac neznámych ako rovnice. Operácia delenia matice vľavo v MATLABe nachádza základné riešenie najmenších štvorcov, ktoré má pre maticu koeficientov m-b-n najviac m nenulových zložiek.

      Tu je malý náhodný príklad:

      Lineárny systém Rp = b zahŕňa dve rovnice v štyroch neznámych. Pretože matica koeficientu obsahuje malé celé čísla, je vhodné použiť príkaz format na zobrazenie riešenia v racionálnom formáte. Konkrétne riešenie sa získa pomocou

      Jednou z nenulových zložiek je p (2), pretože R (:, 2) je stĺpec R s najväčšou normou. Ďalšou nenulovou zložkou je p (4), pretože R (:, 4) dominuje po vylúčení R (:, 2).

      Kompletné všeobecné riešenie nedostatočne určeného systému je možné charakterizovať pridaním p k ľubovoľnej lineárnej kombinácii vektorov nulového priestoru, ktoré možno nájsť pomocou funkcie null s možnosťou požadujúcou racionálny základ.

      Dá sa potvrdiť, že R * Z je nula a že zvyškový R * x - b je malý pre akýkoľvek vektor x, kde

      Pretože stĺpce Z sú vektory prázdneho priestoru, produkt Z * q je lineárna kombinácia týchto vektorov:

      Z q = (x ⇀ 1 x ⇀ 2) (u w) = u x ⇀ 1 + w x ⇀ 2.

      Pre ilustráciu zvoľte ľubovoľné q a zostrojte x.

      Vypočítajte normu zvyšku.

      Ak je k dispozícii nekonečne veľa riešení, je obzvlášť zaujímavé riešenie s minimálnou normou. Môžete použiť lsqminnorm na výpočet riešenia minimálnej normy najmenších štvorcov. Toto riešenie má najmenšiu možnú hodnotu pre normu (p).

      Riešenie pre niekoľko pravých strán

      Niektoré problémy sa týkajú riešenia lineárnych systémov, ktoré majú rovnakú koeficientovú maticu A, ale odlišné pravé strany b. Keď sú súčasne k dispozícii rôzne hodnoty b, môžete zostrojiť b ako maticu s niekoľkými stĺpcami a vyriešiť všetky systémy rovníc súčasne pomocou jediného príkazu spätného lomítka: X = A [b1 b2 b3… ].

      Niekedy však rôzne hodnoty b nie sú k dispozícii naraz, čo znamená, že musíte vyriešiť niekoľko sústav rovníc za sebou. Keď vyriešite jeden z týchto systémov rovníc pomocou lomky (/) alebo spätného lomítka (), operátor faktorizuje maticu koeficientu A a na výpočet riešenia použije tento rozklad matice. Avšak zakaždým, keď vyriešite podobný systém rovníc s iným b, operátor vypočíta rovnaký rozklad A, čo je nadbytočný výpočet.

      Riešením tohto problému je predpočítať rozklad A a potom znovu použiť faktory na riešenie pre rôzne hodnoty b. V praxi však môže byť predpočítanie rozkladu týmto spôsobom náročné, pretože potrebujete vedieť, ktorý rozklad máte vypočítať (LU, LDL, Cholesky atď.), Ako aj to, ako znásobiť faktory potrebné na vyriešenie problému. Napríklad s rozkladom LU musíte vyriešiť dva lineárne systémy, aby ste vyriešili pôvodný systém Sekera = nar:

      Namiesto toho je odporúčanou metódou riešenia lineárnych systémov s niekoľkými po sebe nasledujúcimi pravými stranami použitie objektov rozkladu. Tieto objekty vám umožňujú využiť výkonové výhody predkompaktácie maticového rozkladu, ale sú nie vyžadovať vedomosti o tom, ako používať maticové faktory. Predchádzajúci rozklad LU môžete nahradiť:

      Ak si nie ste istí, aký rozklad použiť, rozklad (A) vyberie správny typ na základe vlastností A, podobne ako to robí spätná lomka.

      Tu je jednoduchý test možných výkonnostných výhod tohto prístupu. Test rieši ten istý riedky lineárny systém stokrát pomocou spätného lomítka () a rozkladu.


      Kontrolné cvičenia

      U nasledujúcich cvičení zistite, či je usporiadaná dvojica riešením systému rovníc.

      Pri nasledujúcich cvičeniach používajte substitúciu na riešenie sústavy rovníc.

      10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12 10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12

      4 7 x + 1 5 r = 43 70 5 6 x - 1 3 r = - 2 3 4 7 x + 1 5 r = 43 70 5 6 x - 1 3 r = - 2 3

      Pri nasledujúcich cvičeniach použite dodatok na riešenie sústavy rovníc.

      Pre nasledujúce úlohy vypracujte sústavu rovníc na vyriešenie každého problému. Vyriešte sústavu rovníc.

      Systémy lineárnych rovníc: Tri premenné

      Pre nasledujúce úlohy vyriešte sústavu troch rovníc pomocou substitúcie alebo sčítania.

      0,5 x - 0,5 r = 10 - 0,2 r + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2 0,5 x - 0,5 r = 10 - 0,2 r + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 z = 2

      5 x + 3 roky - z = 5 3 x - 2 roky + 4 z = 13 4 x + 3 roky + 5 z = 22 5 x + 3 roky - z = 5 3 x - 2 roky + 4 z = 13 4 x + 3 r + 5 z = 22

      x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2

      2 x - 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y - 3 z = 33 2 x - 3 y + z = −1 x + y + z = −4 4 x + 2 y - 3 z = 33

      3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = −2 3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = -2

      3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10 3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10

      2 x - 3 roky + z = 0 2 x + 4 roky - 3 z = 0 6 x - 2 roky - z = 0 2 x - 3 roky + z = 0 2 x + 4 roky - 3 z = 0 6 x - 2 y - z = 0

      6 x - 4 roky - 2 z = 2 3 x + 2 roky - 5 z = 4 6 rokov - 7 z = 5 6 x - 4 roky - 2 z = 2 3 x + 2 roky - 5 z = 4 6 rokov - 7 z = 5

      Pre nasledujúce úlohy vypracujte sústavu rovníc na vyriešenie každého problému. Vyriešte sústavu rovníc.

      Súčet troch nepárnych čísel je až 61. Menšie je o jednu tretinu väčšie a stredné číslo je o 16 menšie ako väčšie. Aké sú tri čísla?

      Miestne divadlo sa vypredáva za svoju šou. Predajú všetkých 500 lístkov za celkovú kabelku 8 070,00 dolárov. Cena lístkov bola 15 dolárov pre študentov, 12 dolárov pre deti a 18 dolárov pre dospelých. Ak skupina predala trikrát viac lístkov pre dospelých ako lístkov pre deti, koľko z každého typu sa predalo?

      Systémy nelineárnych rovníc a nerovností: dve premenné

      Pri nasledujúcich cvičeniach riešte sústavu nelineárnych rovníc.

      Pre nasledujúce cvičenia nakreslite graf nerovnosti.

      Pre nasledujúce cvičenia nakreslite systém nerovností.

      x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2 - 3 x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2 - 3

      x 2 - 2 x + y 2 - 4 x & lt 4 y & lt - x + 4 x 2 - 2 x + y 2 - 4 x & lt 4 y & lt - x + 4

      Čiastočné zlomky

      Pri nasledujúcich cvičeniach sa rozložte na čiastočné zlomky.

      x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 (x 2 - 2) 2 x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 (x 2 - 2) 2

      4 x 4 - 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x (x 2 + 4) 2 4 x 4 - 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x (x 2 + 4) 2

      Matice a maticové operácie

      Pri nasledujúcich cvičeniach vykonajte požadované operácie na daných maticiach.

      Riešenie systémov s Gaussovou elimináciou

      Pre nasledujúce cvičenia napíšte systém lineárnych rovníc z rozšírenej matice. Uveďte, či bude existovať jedinečné riešenie.

      Pre nasledujúce úlohy napíšeme rozšírenú maticu zo systému lineárnych rovníc.

      - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 y + 22 z = 3 - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 rokov + 22 z = 3

      4 x + 2 roky - 3 z = 14 - 12 x + 3 roky + z = 100 9 x - 6 rokov + 2 z = 31 4 x + 2 roky - 3 z = 14 - 12 x + 3 roky + z = 100 9 x - 6 rokov + 2 z = 31

      x + 3 z = 12 - x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7 x + 3 z = 12 - x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7

      V nasledujúcich cvičeniach vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej eliminácie.

      3 x - 4 roky = - 7 - 6 x + 8 rokov = 14 3 x - 4 roky = - 7 - 6 x + 8 rokov = 14

      2 x + 3 roky + 2 z = 1 - 4 x - 6 rokov - 4 z = - 2 10 x + 15 rokov + 10 z = 0 2 x + 3 roky + 2 z = 1 - 4 x - 6 rokov - 4 z = - 2 10 x + 15 y + 10 z = 0

      - x + 2 r - 4 z = 8 3 r + 8 z = - 4 - 7 x + r + 2 z = 1 - x + 2 r - 4 z = 8 3 r + 8 z = - 4 - 7 x + y + 2 z = 1

      Riešenie systémov s inverzami

      Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte inverznú hodnotu matice.

      V nasledujúcich cvičeniach nájdite riešenia vypočítaním inverznej hodnoty matice.

      0,3 x - 0,1 r = - 10 - 0,1 x + 0,3 r = 14 0,3 x - 0,1 r = - 10 - 0,1 x + 0,3 r = 14

      4 x + 3 r - 3 z = - 4,3 5 x - 4 r - z = - 6,1 x + z = - 0,7 4 x + 3 r - 3 z = - 4,3 5 x - 4 r - z = - 6,1 x + z = - 0,7

      - 2 x - 3 roky + 2 z = 3 - x + 2 roky + 4 z = - 5 - 2 roky + 5 z = - 3 - 2 x - 3 roky + 2 z = 3 - x + 2 roky + 4 z = - 5 - 2 r + 5 z = - 3

      Pre nasledujúce úlohy vypracujte sústavu rovníc na vyriešenie každého problému. Vyriešte sústavu rovníc.

      Študenti boli požiadaní, aby priniesli svoje obľúbené ovocie do triedy. 90% ovocia pozostávalo z banánov, jabĺk a pomarančov. Ak boli pomaranče o polovicu populárnejšie ako banány a jablká boli o 5% populárnejšie ako banány, aké sú percentá každého jednotlivého ovocia?

      Družstvo usporiadalo pekársky predaj, aby zhromaždilo peniaze, a predávalo sušienky a sušienky s čokoládovými lupienkami. Cena brownies bola 2 doláre a čokoládové sušienky 1 dolár. Vyzbierali 250 dolárov a predali 175 predmetov. Koľko brownies a koľko cookies sa predalo?

      Riešenie systémov pomocou Cramerovho pravidla

      Pri nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte determinant.

      V nasledujúcich cvičeniach použite Cramerovo pravidlo na riešenie lineárnych systémov rovníc.

      4 x - 2 roky = 23 - 5 x - 10 rokov = - 35 4 x - 2 roky = 23 - 5 x - 10 rokov = - 35

      0,2 x - 0,1 y = 0 - 0,3 x + 0,3 y = 2,5 0,2 x - 0,1 y = 0 - 0,3 x + 0,3 y = 2,5

      x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0 x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0

      4 x - 3 roky + 5 z = - 5 2 7 x - 9 rokov - 3 z = 3 2 x - 5 rokov - 5 z = 5 2 4 x - 3 roky + 5 z = - 5 2 7 x - 9 rokov - 3 z = 3 2 x - 5 rokov - 5 z = 5 2

      3 10 x - 1 5 r - 3 10 z = - 1 50 1 10 x - 1 10 r - 1 2 z = - 9 50 2 5 x - 1 2 r - 3 5 z = - 1 5 3 10 x - 1 5 r - 3 10 z = - 1 50 1 10 x - 1 10 r - 1 2 z = - 9 50 2 5 x - 1 2 r - 3 5 z = - 1 5

      Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

      Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution License 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

        Ak distribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledovné uvedenie zdroja:

      • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
        • Autori: Jay Abramson
        • Vydavateľ / web: OpenStax
        • Názov knihy: Precalculus
        • Dátum zverejnenia: 23. októbra 2014
        • Miesto: Houston, Texas
        • URL knihy: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
        • URL sekcie: https://openstax.org/books/precalculus/pages/9-review-exercises

        © 21. januára 2021 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


        Lineárne homogénne systémy diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi

        kde ( doľava (t doprava), doľava (t doprava), ldots, left (t right) ) sú neznáme funkcie premennej (t, ), ktorá má často význam pre čas, (<>> ) sú určité konštantné koeficienty, ktoré môžu byť skutočné alebo zložité, ( left (t right) ) sú dané (všeobecne s komplexnou hodnotou) funkcie premennej (t. )

        Predpokladáme, že všetky tieto funkcie sú spojité v intervale ( left [ right] ) osi skutočného čísla (t. )

        systém diferenciálnych rovníc je možné zapísať do matice:

        [X & # 8217 left (t right) = AX left (t right) + f left (t right). ]

        Ak je vektor (f ľavý (t pravý) ) identicky rovný nule: (f ľavý (t pravý) ekv. 0, ), potom sa hovorí o systéme, ktorý je homogénny:

        [X & # 8217 vľavo (t vpravo) = AX vľavo (t vpravo). ]

        Homogénne sústavy rovníc s konštantnými koeficientmi je možné vyriešiť rôznymi spôsobmi. Najčastejšie sa používajú tieto metódy:

        • eliminačná metóda (metóda redukcie (n ) rovníc na jednu rovnicu (n ) rádu)
        • metóda integrovateľných kombinácií (vrátane metódy neurčitých koeficientov alebo použitia Jordanovej formy v prípade viacerých koreňov charakteristickej rovnice)
        • metóda maticového exponenciálu.

        Ďalej na tejto stránke podrobne rozoberieme metódu eliminácie. Na ďalších stranách sa osobitne zaoberáme ďalšími metódami riešenia sústav rovníc.

        Metóda eliminácie

        Pomocou metódy eliminácie možno normálny lineárny systém (n ) rovníc redukovať na jednu lineárnu rovnicu (n ) rádu. Táto metóda je užitočná pre jednoduché systémy, najmä pre systémy rádu (2. )

        Uvažujme o homogénnom systéme dvoch rovníc s konštantnými koeficientmi:

        kde funkcie (,) závisia od premennej (t. )

        Rozlišujeme prvú rovnicu a nahrádzame deriváciu () z druhej rovnice:

        Teraz nahradíme (>) z prvej rovnice. Výsledkom je lineárna homogénna rovnica druhého rádu:

        Je ľahké skonštruovať jej riešenie, ak poznáme korene charakteristickej rovnice:

        V prípade reálnych koeficientov (<>>, ) korene môžu byť skutočné (odlišné alebo viacnásobné) aj zložité. Najmä ak sú koeficienty (> ) a (> ) mať rovnaké znamienko, potom bude diskriminátor charakteristickej rovnice vždy pozitívny, a preto budú korene skutočné a zreteľné.

        Po funkcii ( left (t right) ), druhá funkcia ( left (t right) ) nájdete z prvej rovnice.

        Metódu eliminácie možno použiť nielen na homogénne lineárne systémy. Môže sa tiež použiť na riešenie nehomogénnych sústav diferenciálnych rovníc alebo sústav rovníc s premenlivými koeficientmi.


        Úvod do bežných diferenciálnych rovníc

        Úvod do bežných diferenciálnych rovníc, druhé vydanie predstavuje úvod do diferenciálnych rovníc. Táto kniha predstavuje aplikáciu a obsahuje problémy v chémii, biológii, ekonómii, mechanike a elektrických obvodoch. Toto vydanie, ktoré je usporiadané do 12 kapitol, začína prehľadom metód riešenia jednotlivých diferenciálnych rovníc. Tento text potom popisuje dôležité základné vlastnosti riešení lineárnych diferenciálnych rovníc a vysvetľuje lineárne rovnice vyššieho rádu. V ďalších kapitolách sa zvažuje možnosť predstavenia riešení určitých lineárnych diferenciálnych rovníc z hľadiska výkonových radov. Táto kniha pojednáva aj o dôležitých vlastnostiach funkcie gama a vysvetľuje stabilitu riešení a existenciu periodických riešení. Záverečná kapitola sa zaoberá metódou konštrukcie riešenia integrálnej rovnice a vysvetľuje, ako zistiť existenciu riešenia systému počiatočnej hodnoty. Táto kniha je cenným zdrojom pre matematikov, študentov a výskumných pracovníkov.

        Úvod do bežných diferenciálnych rovníc, druhé vydanie predstavuje úvod do diferenciálnych rovníc. Táto kniha predstavuje aplikáciu a obsahuje problémy v chémii, biológii, ekonómii, mechanike a elektrických obvodoch. Toto vydanie, ktoré je usporiadané do 12 kapitol, začína prehľadom metód riešenia jednotlivých diferenciálnych rovníc. Tento text potom popisuje dôležité základné vlastnosti riešení lineárnych diferenciálnych rovníc a vysvetľuje lineárne rovnice vyššieho rádu. V ďalších kapitolách sa zvažuje možnosť predstavenia riešení určitých lineárnych diferenciálnych rovníc z hľadiska výkonových radov. Táto kniha pojednáva aj o dôležitých vlastnostiach funkcie gama a vysvetľuje stabilitu riešení a existenciu periodických riešení. Záverečná kapitola sa zaoberá metódou konštrukcie riešenia integrálnej rovnice a vysvetľuje, ako zistiť existenciu riešenia systému počiatočnej hodnoty. Táto kniha je cenným zdrojom pre matematikov, študentov a výskumných pracovníkov.


        12.3: Zákony o sadzbách

        Q12.3.1

        Ako sa líši rýchlosť reakcie a jej rýchlostná konštanta?

        S12.3.1

        Rýchlosť reakcie alebo rýchlosť reakcie je zmena koncentrácie buď reaktantu alebo produktu v priebehu určitého časového obdobia. Ak sa zmenia koncentrácie, zmení sa aj rýchlosť.

        Konštanta rýchlosti (k) je konštanta proporcionality, ktorá spája reakčné rýchlosti s reaktantmi. Ak sa zmenia koncentrácie, rýchlostná konštanta sa nezmení.

        Pre reakciu so všeobecnou rovnicou: (aA + bB & rarrcC + dD )

        experimentálne stanovený zákon o sadzbách má zvyčajne nasledujúcu formu:

        Q12.3.2

        Zdvojnásobenie koncentrácie reaktantu zvyšuje rýchlosť reakcie štyrikrát. S týmito vedomosťami odpovedzte na nasledujúce otázky:

        1. Aké je poradie reakcie vo vzťahu k uvedenému reaktantu?
        2. Trojnásobná koncentrácia iného reaktantu zvyšuje rýchlosť reakcie trikrát. Aké je poradie reakcie vo vzťahu k uvedenému reaktantu?

        Q12.3.3

        Trojnásobná koncentrácia reaktantu zvyšuje rýchlosť reakcie deväťkrát. S týmito vedomosťami odpovedzte na nasledujúce otázky:

        1. Aké je poradie reakcie vo vzťahu k uvedenému reaktantu?
        2. Zvýšenie koncentrácie reaktantu štvornásobne zvyšuje rýchlosť reakcie štyrikrát. Aké je poradie reakcie vo vzťahu k uvedenému reaktantu?

        Q12.3.4

        Nakoľko a akým smerom ovplyvní rýchlosť reakcie každý z nasledujúcich prvkov: ( ce(g) + ce(g) & # 10230 ce(g) + ce(g) ) ak je sadzbový zákon pre reakciu ( ce= k [ ce]^2)?

        1. Zníženie tlaku NO2 od 0,50 atm do 0,250 atm.
        2. Zvyšovanie koncentrácie CO z 0,01 M do 0,03 M.

        (a) Proces znižuje sadzbu faktorom 4. b) Pretože CO sa v zákone o sadzbách nenachádza, sadzba nie je ovplyvnená.

        Q12.3.5

        Ako každý z nasledujúcich vplyvov na rýchlosť reakcie: ( ce(g) + ce(g) & # 10230 ce(g) + ce(g) ) ak je sadzbový zákon pre reakciu ( ce= k [ ce] [ ce]) ?

        1. Zvyšovanie tlaku NO2 od 0,1 atm do 0,3 atm
        2. Zvyšovanie koncentrácie CO z 0,02 M až 0,06 M.

        Q12.3.6

        Pravidelné lety nadzvukových lietadiel v stratosfére sú znepokojujúce, pretože také lietadlá produkujú oxid dusnatý NO ako vedľajší produkt vo výfukových plynoch ich motorov. Oxid dusnatý reaguje s ozónom a predpokladá sa, že by to mohlo prispieť k poškodeniu ozónovej vrstvy. Reakcia ( ce) je prvého rádu, pokiaľ ide o NO aj O3 s rýchlostnou konštantou 2,20 a krat 107 L / mol / s. Aká je okamžitá rýchlosť zmiznutia NO, keď [NO] = 3,3 krát 10 a mínus6 M a [O.3] = 5,9 a krát 10 a mínus7 M?

        Q12.3.7

        Rádioaktívny fosfor sa používa pri štúdiu mechanizmov biochemickej reakcie, pretože atómy fosforu sú zložkami mnohých biochemických molekúl. Umiestnenie fosforu (a umiestnenie molekuly, v ktorej je viazaný) možno zistiť z elektrónov (beta častíc), ktoré produkuje:

        Aká je okamžitá rýchlosť produkcie elektrónov vo vzorke s koncentráciou fosforu 0,0033 M?

        Q12.3.8

        Rýchlostná konštanta pre rádioaktívny rozpad 14 C je 1,21 a krát 10 a mínus 4 roky a mínus1. Produktmi rozpadu sú atómy dusíka a elektróny (beta častice):

        Aká je okamžitá rýchlosť produkcie N atómov vo vzorke s obsahom uhlíka-14 6,5 a 10 a mínus 9 M?

        Q12.3.9

        Aká je okamžitá rýchlosť produkcie N atómov Q12.3.8 vo vzorke s obsahom uhlíka-14 1,5 a krát 10 a mínus 9 M?

        Q12.3.10

        Rozklad acetaldehydu je reakcia druhého poriadku s rýchlostnou konštantou 4,71 krát 10 & mínus 8 l / mol / s. Aká je okamžitá rýchlosť rozkladu acetaldehydu v roztoku s koncentráciou 5,55 a 10 a mínus 4 M?

        Q12.3.11

        Alkohol sa z krvi vylučuje sériou metabolických reakcií. Prvou reakciou sa získa acetaldehyd, potom sa tvoria ďalšie produkty. Nasledujúce údaje boli určené pre rýchlosť vylučovania alkoholu z krvi priemerného muža, hoci jednotlivé dávky sa môžu líšiť o 25% a 30%. Ženy metabolizujú alkohol o niečo pomalšie ako muži:

        [C.2H5OH] (M) 4,4 a krát 10 a mínus2 3,3 a krát 10 a mínus2 2,2 a krát 10 a mínus2
        Rýchlosť (mol / l / h) 2,0 a krát 10 a mínus2 2,0 a krát 10 a mínus2 2,0 a krát 10 a mínus2

        Určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a celkové poradie tejto reakcie.

        sadzba = k k = 2,0 a krát 10 a mínus 2 mol / l / h (asi 0,9 g / l / h pre priemerného muža). Reakcia je nultého poriadku.

        Q12.3.12

        Za určitých podmienok rozklad amoniaku na kovovom povrchu poskytuje nasledujúce údaje:

        [NH3] (M) 1,0 a krát 10 a mínus3 2,0 a krát 10 a mínus3 3,0 a krát 10 a mínus3
        Rýchlosť (mol / l / h 1) 1,5 a krát 10 a mínus6 1,5 a krát 10 a mínus6 1,5 a krát 10 a mínus6

        Určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a celkové poradie tejto reakcie.

        Q12.3.13

        Nitrozylchlorid, NOCl, sa rozkladá na NO a Cl2.

        Z nasledujúcich údajov určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a celkové poradie tejto reakcie:

        [NOCl] (M) 0.10 0.20 0.30
        Rýchlosť (mol / l / h) 8,0 a krát 10 a mínus10 3,2 a krát 10 a mínus9 7,2 a krát 10 a mínus9
        Riešenie

        Predtým, ako najskôr zistíme rýchlostnú konštantu, musíme najskôr určiť základnú rýchlostnú rovnicu a rýchlosť. Základná rýchlostná rovnica pre túto reakciu, kde n je rýchlostný rád NOCl a k je rýchlostná konštanta, je

        pretože NOCl je reaktant v reakcii.

        Aby sme zistili poradie reakcie, musíme nájsť poradie [NOCl], pretože je jediným reaktantom v reakcii. Aby sme to dosiahli, musíme preskúmať, ako sa mení rýchlosť reakcie, keď sa mení koncentrácia NOCl.

        Keď sa [NOCl] zdvojnásobí v koncentrácii od 0,10 M do 0,20 M, rýchlosť sa zvýši z 8,0 x 10-10 na 3,2 x 10-9

        (3,2 x 10 - 9 (mol / l / h)) / (8,0 x 10 - 10 (mol / l / h)) = 4

        takže sme dospeli k záveru, že keď sa [NOCl] zdvojnásobí, sadzba stúpne o 4. Pretože 2 2 = 4 môžeme povedať, že poradie [NOCl] je 2, takže náš aktualizovaný zákon o sadzbe je

        Teraz, keď máme poriadok, môžeme nahradiť prvé experimentálne hodnoty z danej tabuľky a nájsť rýchlostnú konštantu, k

        (8,0 x 10-10 (mol / L / h)) = k (0,10 M) 2

        Boli sme schopní nájsť jednotky k pomocou rýchlostného poradia, keď je rýchlostný poriadok 2 jednotky k sú M -1 x s -1

        Rýchlostná rovnica teda je: rýchlosť = k [NOCl] 2, je druhého rádu a k = 8 x 10 -8 M -1 x s -1

        Zákon o celkovej miere: [rate = underbrace <(8 times 10 ^ <-8>)> _ < text <1 / (M x sec) >> [NOCl] ^ 2 nonumber ]

        sadzba = k[NOCl] 2 k = 8,0 a krát 10 a mínus 8 l / mol / s druhého rádu

        Q12.3.14

        Z nasledujúcich údajov určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a poradie vzhľadom na A pre reakciu (A & # 102302C ).

        [A] (M) 1,33 a krát 10 a mínus2 2,66 a krát 10 a mínus2 3,99 a krát 10 a mínus2
        Rýchlosť (mol / l / h) 3,80 a krát 10 a mínus7 1,52 a krát 10 a mínus6 3,42 a krát 10 a mínus6
        Riešenie

        A. Pomocou experimentálnych údajov môžeme porovnať účinky zmeny [A] na rýchlosť reakcie spojením pomerov [A] s pomermi rýchlostí

        B. Z toho vieme, že zdvojnásobenie koncentrácie A povedie k štvornásobnému zvýšeniu rýchlosti reakcie. Poradie tejto reakcie je 2.

        C. Teraz môžeme napísať rýchlostnú rovnicu, pretože poznáme poradie:

        D. Pripojením jednej sady experimentálnych údajov do našej rýchlostnej rovnice môžeme vyriešiť rýchlostnú konštantu k:

        [3,8 krát 10 ^ <-7> = k krát (1,33 krát 10 ^ <-2>) ^ <2> nonumber ]

        Q12.3.15

        Oxid dusičitý reaguje s chlórom podľa rovnice:

        Pre určité koncentrácie reaktantov boli pozorované nasledujúce počiatočné rýchlosti reakcie:

        [NO] (mol / L 1) [Cl2] (mol / L) Rýchlosť (mol / l / h)
        0.50 0.50 1.14
        1.00 0.50 4.56
        1.00 1.00 9.12

        Aká je rýchlostná rovnica, ktorá popisuje závislosť rýchlosti a rýchlosti na koncentráciách NO a Cl2? Aká je rýchlostná konštanta? Aké sú príkazy vzhľadom na každého reaktanta?

        Kurz je možné zapísať ako

        (sadzba = k [A] ^[B] ^) kde k je rýchlostná konštanta am a n sú reakčné poriadky.

        (2NO (g) + Cl_ <2> (g) pravá šípka 2NOCl (g) )

        Teraz musíme nájsť reakčné príkazy. Reakčné príkazy možno nájsť iba prostredníctvom experimentálnych hodnôt. Môžeme porovnať dve reakcie, kde jeden z reaktantov má rovnakú koncentráciu pre oba pokusy, a vyriešiť ich pre reakčné poradie.

        Môžeme použiť údaje z uvedenej tabuľky. Ak pripojíme hodnoty pre riadky 1 a 2, uvidíme, že hodnoty pre koncentráciu Cl sa zrušia, zostanú iba rýchlosti a koncentrácie NO.

        Teraz môžeme vyriešiť pre m a zistíme, že m = 2. To znamená, že poradie reakcie pre [NO] je 2.

        Teraz musíme nájsť hodnotu n. Môžeme na to použiť rovnakú rovnicu, ale s hodnotami z riadkov 2 a 3. Tentokrát sa koncentrácia NO zruší.

        Keď vyriešime n, zistíme, že n = 1. To znamená, že reakčné poradie pre [Cl2] je 1.

        Sme o krok bližšie k dokončeniu našej sadzbovej rovnice.

        Nakoniec môžeme vyriešiť rýchlostnú konštantu. K tomu môžeme použiť jednu z pokusov experimentu, zapojiť hodnoty rýchlosti a koncentrácie reaktantov a potom vyriešiť k.

        (1,14 mol / l / h = k [0,5 mol / l] ^ <2> [0,5 mol / l] )

        Naša konečná rovnica sadzieb je teda:

        * Častou chybou je zabudnutie jednotiek. Počas procesu určovania rýchlostnej konštanty nezabudnite sledovať svoje jednotky. Buďte opatrní, pretože jednotky sa budú meniť v závislosti od reakčného poradia.

        sadzba = k[NO] 2 [Cl]2 k = 9,12 L 2 mol & minus2 h & minus1 druhý poriadok v ŽIADNOM prvom poradí v Cl2

        Q12.3.17

        Vodík reaguje s oxidom dusičitým za vzniku oxidu dusného (smiechový plyn) podľa rovnice:

        [ ce

        (g) + ce (g) & # 10230 ce(g) + ce(g) nečíslo ] Určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a poradia vzhľadom na každú reaktantu z nasledujúcich údajov: [NIE] (M) 0.30 0.60 0.60 [H2] (M) 0.35 0.35 0.70 Rýchlosť (mol / l / s) 2,835 a krát 10 a mínus3 1,134 a krát 10 a mínus2 2,268 a krát 10 a mínus2 Riešenie Určte rýchlostnú rovnicu, rýchlostnú konštantu a poradia vzhľadom na každú reaktantu. Rýchlostnú konštantu a príkazy je možné určiť prostredníctvom zákona o diferenciálnej sadzbe. Všeobecná forma zákona o diferenciálnej sadzbe je uvedená nižšie: kde A, B a C sú koncentrácie reaktantov, k je rýchlostná konštanta a n, m a p sa vzťahujú na poradie každého reaktantu. Aby sme našli poradie každého reaktantu, vidíme, že keď sa [NO] zdvojnásobí, ale [H2] sa nemení, rýchlosť sa zvyšuje štvornásobne, čo znamená, že [NO] je reakcia druhého rádu ([NO] 2). Keď [H2] sa zdvojnásobí, ale [NIE] sa nezmení, rýchlosť sa zdvojnásobí, čo znamená, že [H2] je reakcia prvého rádu. Zákon o sadzbách by teda vyzeral asi takto: Pomocou tohto sadzobného zákona môžeme určiť hodnotu rýchlostnej konštanty. Pripojte údaje o koncentrácii a rýchlosti reaktantu z jednej zo skúšok, aby ste vyriešili rýchlostnú konštantu k. V tomto prípade sme sa rozhodli použiť údaje z pokusu 1 z druhého stĺpca tabuľky s údajmi. Q12.3.18 Pre reakciu (A & # 10230 B + C ) boli získané nasledujúce údaje pri 30 ° C: Aké je poradie reakcie vzhľadom na [A], a čo je rýchlostná rovnica? Aká je rýchlostná konštanta? 1. Rovnica rýchlosti pre reakciu (n ) je uvedená ako ( frac= ). Kde ([A] ) je koncentrácia v M a ( frac) je rýchlosť v M / s. Potom môžeme použiť každú množinu dátových bodov, vložiť jej hodnoty do rovnice rýchlosti a vyriešiť pre (n ). Upozorňujeme, že môžete použiť ktorýkoľvek z údajových bodov, pokiaľ koncentrácia zodpovedá jej rýchlosti. Rýchlostnú rovnicu 1 vydelíme rýchlostnou rovnicou 2, aby sme zrušili k, rýchlostnú konštantu. Jedinou neznámou, ktorú máme, je (n ). Riešiť to môžeme pomocou logaritmických pravidiel. Rýchlostná rovnica je druhého rádu vzhľadom na A a je napísaná ako ( frac= ). 2. Pre (k ) môžeme vyriešiť zapojením ľubovoľného dátového bodu do našej rýchlostnej rovnice ( frac= ). Pomocou prvých dátových bodov napríklad ([A] = 0,230 : frac) a ( frac = 4,17 krát ^ : frac)] dostaneme rovnicu (4,17 krát ^ : frac=]^2>) Ktoré rieši pre (k = 7,88 krát ^ frac) Pretože vieme, že ide o reakciu druhého rádu, príslušné jednotky pre (k ) možno tiež zapísať ako ( frac ) a) Rovnica rýchlosti je druhého rádu v A a píše sa ako rýchlosť = k[A] 2. b) k = 7,88 a krát 10 & mínus13 L mol & mínus1 s & mínus1 Q12.3.19 Pre reakciu (Q & # 10230 W + X ) sa pri 30 ° C získali nasledujúce údaje: Aké je poradie reakcie vzhľadom na [Q], a čo je rýchlostná rovnica? Aká je rýchlostná konštanta? Aké je poradie reakcie s ohľadom na [Q], a čo je rýchlostná rovnica? Reakcia objednávky: 2, pretože keď použijete pomerový pokus 3: 2, bude to vyzerať takto: ( ( dfrac > > )) = ( ( dfrac >>)) 2,82 = 1,7 x x = 2, takže poradie reakcie je 2 Rovnica rýchlostnej reakcie: Rýchlosť = k [Q] 2 Ak chcete nájsť rýchlostnú konštantu (k), jednoducho zapojte a vypočítajte jeden z pokusov do rýchlostnej rovnice 1,04 x 10 -2 = k [0,212] 2 k = 0,231 (M ^ s ^ ) Q12.3.20 Rýchlostná konštanta pre rozklad prvého rádu pri 45 ° C oxidu dusného, ​​N2O5, rozpustený v chloroforme, CHCI3, je 6,2 a krát 10 a mínus 4 min a mínus1. Aká je rýchlosť reakcie, keď [N2O5] = 0.40 M? Krok 1: Prvým krokom je napísanie zákona o sadzbách. Poznáme všeobecný vzorec pre zákon o sadzbe prvého rádu. Je to nasledovné: Sadzba = k [A] Krok 2: Teraz pripojíme [N2O5] pre [A] v našom všeobecnom zákone o sadzbách. Zapojíme tiež našu rýchlostnú konštantu (k), ktorá nám bola daná. Teraz naša rovnica vyzerá takto: Krok 3: Teraz pripojíme našu danú molaritu. [N2O5] = 0,4 M. Teraz vyzerá naša rovnica takto: Krok 4: Teraz riešime našu rovnicu. Rýchlosť = (6,2 x 10-4 min -1) (0,4 M) = 2,48 x 10-4 M / min. Krok 5: Použite významné číslice a prevod jednotky na zaokrúhlenie 2,48 x 10-4 M / min na 2,5 a krát 10 a mínus4 (móly) L -1 min -1 Q12.3.21 Ročná produkcia HNO3 v roku 2013 to bolo 60 miliónov metrických ton. Väčšina z toho sa pripravila nasledujúcou sekvenciou reakcií, pričom každá prebiehala v samostatnej reakčnej nádobe. ( ce (g) + ce (g) & # 10230 ce (g) + ce (g) ) ( ce (g) + ce(g) & # 10230 ce (g) ) ( ce (g) + ce(l) & # 10230 ce (aq) + ce(g) ) Prvá reakcia sa uskutočňuje spaľovaním amoniaku na vzduchu nad platinovým katalyzátorom. Táto reakcia je rýchla. Reakcia v rovnici (c) je tiež rýchla. Druhá reakcia obmedzuje rýchlosť, akou je možné pripraviť kyselinu dusičnú z amoniaku. Ak je rovnica (b) druhého rádu v NO a prvého rádu v O.2, aká je rýchlosť tvorby NO2 keď je koncentrácia kyslíka 0,50 M a koncentrácia oxidu dusnatého je 0,75 M? Rýchlostná konštanta pre reakciu je 5,8 krát 10 a mínus 6 L 2 / mol 2 / s. Aby sme určili zákon rýchlosti pre rovnicu, musíme sa pozrieť na jej pomalý krok. Pretože obe rovnice a aj c sú rýchle, môžeme rovnicu b považovať za pomalý krok reakcie. Pomalý krok sa tiež považuje za krok určujúci rýchlosť systému. Krok určovania rýchlosti je preto druhým krokom, pretože je to pomalý krok. miera produkcie (NO_2 = k [A] ^ m [B] ^ n ) Q12.3.22 Pre reakciu boli stanovené nasledujúce údaje: 1 2 3 ( mathrm >) (M) 0.10 0.20 0.30 ( mathrm >) (M) 0.050 0.050 0.010 Rýchlosť (mol / l / s) 3,05 a krát 10 a mínus4 6,20 a krát 10 a mínus4 1,83 a krát 10 a mínus4 Určte rýchlostnú rovnicu a rýchlostnú konštantu pre túto reakciu. Pomocou reaktantov môžeme vytvoriť rýchlostný zákon reakcie: $ r = k [OCl ^ -] ^ n [I ^ -] ^ m ] Odtiaľ musíme pomocou údajov určiť poradie oboch ([OCl ^ -] ) a ([I ^ -] ). Pritom musíme porovnať (r_1 ) s (r_2 ) takým spôsobom, že: Môžeme „vyčiarknuť“ koncentráciu ([OCl ^ -] ), pretože má rovnakú koncentráciu v obidvoch použitých pokusoch. Teraz, keď vieme, že m ( ([I ^ -] )) má prvý rád 1. Nemôžeme & quot; vyčiarknuť & quot; ([I ^ -] ) nájsť ([OCl ^ -] ), pretože žiadne dva pokusy nemajú rovnakú koncentráciu. Aby sme vyriešili pre n, zapojíme 1 pre m. Pretože vieme, že poradie oboch n a m sa rovná jednej, nemôžeme ich dosadiť do rovnice rýchlostného zákona spolu s príslušnými koncentráciami (z prvej, druhej alebo tretej reakcie) a vyriešiť rýchlostnú konštantu k . Preto je celkový zákon o sadzbe: $ r = (6,1 * 10 ^ frac ) [OCl ^ -] [I ^ -] ] Jednotky pre K závisia od celkového poradia reakcie. Aby sme našli celkové poradie, pridáme spolu m a n. Týmto nájdeme celkové poradie 2. Preto sú jednotky pre K $ frac ] Q12.3.23 reaktanty a produkty sú pri teplote reakcie plyny. Nasledujúce údaje o rýchlosti boli namerané pre tri experimenty: Z týchto údajov napíšte rýchlostnú rovnicu pre túto reakciu plynu. V akom poradí je reakcia v NO, Cl2a celkovo? Vypočítajte špecifickú rýchlostnú konštantu pre túto reakciu. a. Rýchlostnú rovnicu je možné určiť navrhnutím experimentov, ktoré merajú koncentráciu (koncentrácie) jedného alebo viacerých reaktantov alebo produktov ako funkciu času. Napríklad pre reakciu (A + B rightarrow products ) ​​musíme určiť k a exponenty m a n v tejto rovnici: [rate = k [A] ^ m [B] ^ n nonumber ] Za týmto účelom sa môže počiatočná koncentrácia B udržiavať konštantná, pričom sa mení počiatočná koncentrácia A a počíta sa počiatočná rýchlosť reakcie. Táto informácia by odvodila reakčné poradie vzhľadom na A. Rovnaký postup je možné nájsť pri hľadaní reakčného poradia vzhľadom na B. V tomto konkrétnom príklade [ frac= frac nonumber ] Takže vezmeme hodnoty z tabuľky, [ frac > > = frac nonumber ] a zrušením podobných podmienok vám zostáva [ frac > > = frac nonumber ] Teraz vyrieš pre m (4 = 2 ^ m Longrightarrow m = 2 ) Pretože m = 2, reakcia vzhľadom na (NO ) je 2. (NIE ) je druhého rádu. Rovnakým spôsobom môžete nájsť n. Teraz tentokrát vyrieš pre n Pretože n = 1, reakcia vzhľadom na (Cl_2 ) je 1. (Cl_2 ) je prvá objednávka. Rýchlostná rovnica je teda [rate = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 nonumber ] Ak chcete zistiť celkovú objednávku ceny, jednoducho pridajte objednávky. Druhá objednávka + prvá objednávka robí celková reakcia tretieho rádu. b. Rýchlostná konštanta sa počíta vložením údajov z ktoréhokoľvek riadku tabuľky do experimentálne určeného rýchlostného zákona a riešením pre k. Pre reakciu tretieho rádu sú jednotky k (frac ). Pomocou experimentu 1, [sadzba = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 Longrightarrow 5,1 * 10 ^ frac= k [0,5 m atm] ^ 2 [0,5 atm] ^ 1 nonumber ] [k = 0,0408 frac nonumber ] Celkové poradie reakcie je tri. 10.3.1: Základná teória homogénnych lineárnych systémov (úlohy)

        Teória elastického ohybu

        Napätie, deformácia, rozmer, zakrivenie, pružnosť sú spojené, za určitých predpokladov, s teóriou jednoduchého ohybu. Táto teória sa týka ohybu lúča, ktorý je výsledkom párov pôsobiacich na lúč bez ohľadu na šmykové sily.

        Princíp superpozície

        Princíp superpozície je jedným z najdôležitejších nástrojov na riešenie problémov so zaťažením lúča, ktorý umožňuje zjednodušenie veľmi komplikovaných konštrukčných problémov.

        U lúčov vystavených niekoľkým zaťaženiam rôznych typov možno výslednú šmykovú silu, ohybový moment, sklon a priehyb nájsť v ktoromkoľvek mieste tak, že sa spočítajú vplyvy každého samostatného zaťaženia ostatných zaťažení.

        e = napätie
        E = Youngov modul = & # 963 / e (N / m 2)
        y = vzdialenosť povrchu od neutrálneho povrchu (m).
        R = polomer neutrálnej osi (m).
        I = moment zotrvačnosti (m 4 - bežnejšie cm 4)
        Z = modul prierezu = I / rmax(m 3 - bežnejšie cm 3)
        F = sila (N)
        x = vzdialenosť pozdĺž lúča
        & # 948 = priehyb (m)
        & # 952 = Smernica (radiány)
        & # 963 = stres (N / m 2)

        Priama tyč z homogénneho materiálu podlieha iba okamihu na jednom konci a rovnakému a opačnému okamihu na druhom konci.

        Lúč je symetrický okolo Y-Y
        Úseky priečnej roviny zostávajú po ohnutí rovné a kolmé na pozdĺžne vlákna (Beroulliho predpoklad)
        Pevný vzťah medzi napätím a namáhaním (Youngov modul) pre materiál lúča je rovnaký pre napätie a kompresiu (& # 963 = E.e)

        Zvážte dve časti veľmi blízko seba (AB a CD).
        Po ohnutí budú sekcie na A'B 'a C'D' a už nie sú rovnobežné. AC sa rozšíri na A'C 'a BD sa komprimuje na B'D'
        Linka EF bude umiestnená tak, aby sa jej dĺžka nezmenila. Tento povrch sa nazýva neutrálny povrch a jeho priesečník so Z_Z sa nazýva neutrálna os
        Vývojové čiary A'B 'a C'D' sa pretínajú v bode 0 pod uhlom radiánov & # 952 a polomerom E'F '= R
        Nech y je vzdialenosť (E'G ') akejkoľvek vrstvy H'G' pôvodne rovnobežnej s EF..Potom

        A napätie e vo vrstve H'G '=

        e = (H'G'-HG) / HG = (H'G'-HG) / EF = [(R + y) & # 952 - R & # 952] / R & # 952 = y / R

        Prijatý vzťah medzi stresom a namáhaním je & # 963 = E.e Preto

        Preto pre ilustrovaný príklad ťahové napätie priamo súvisí so vzdialenosťou nad neutrálnou osou. Tlakové napätie tiež priamo súvisí so vzdialenosťou pod neutrálnou osou. Za predpokladu, že E je rovnaké pre kompresiu a napätie, vzťah je rovnaký.

        Pretože je lúč v statickej rovnováhe a je vystavený iba momentom (žiadne vertikálne šmykové sily), sily v úseku (AB) sú úplne pozdĺžne a celkové tlakové sily musia vyvážiť celkové ťahové sily. Interný pár vznikajúci zo súčtu (& # 963 .dA .y) v celej sekcii sa musí rovnať externe použitému momentu.

        Môže to byť správne, iba ak & # 931 (y & # 948 a) alebo & # 931 (y.z. & # 948 y) je moment oblasti oblasti okolo neutrálnej osi. To môže byť nula, iba ak os prechádza ťažiskom (ťažiskom) rezu.

        Interný pár vznikajúci zo súčtu (& # 963 .dA .y) v celej sekcii sa musí rovnať externe použitému momentu. Preto sa dvojica síl vyplývajúcich z namáhania každej oblasti, ak súčtované do celej oblasti, rovná použitému momentu

        Z vyššie uvedeného vyplýva nasledujúci dôležitý jednoduchý vzťah ohybu lúča

        Zhora je zrejmé, že jednoduchý lúč vystavený ohybu vytvára maximálne napätie na povrchu najvzdialenejšom od neutrálnej osi. Pre úseky symetrické okolo Z-Z je maximálne tlakové a ťahové napätie rovnaké.

        Faktor I / rmax dostal názov sekcie Modulus (Z) a teda

        Hodnoty Z sú uvedené v tabuľkách ukazujúcich vlastnosti štandardných oceľových profilov

        Ďalej je znázornený oblúk neutrálnej osi lúča, ktorý je predmetom ohybu.

        Pre malý uhol dy / dx = tan & # 952 = & # 952
        Zakrivenie lúča je identifikované ako d & # 952 / ds = 1 / R
        Na obrázku je & # 948 & # 952 malý a & # 948 x je prakticky = & # 948 s, tj. Ds / dx = 1

        Z tejto jednoduchej aproximácie sú odvodené nasledujúce vzťahy.

        Integrácia medzi vybranými limitmi.

        Vychýlenie medzi limitmi sa dosiahne ďalšou integráciou.

        Bolo preukázané ref. Šmyku - Ohýbanie, že dM / dx = S a dS / dx = -w = d 2 M / dx
        Kde S = šmyková sila M je moment a w je rozložené zaťaženie / jednotka dĺžky lúča. preto

        Ak je w konštantné alebo integrovateľná funkcia x, potom sa tento vzťah dá použiť na dosiahnutie všeobecných výrazov pre S, M, dy / dx alebo y progresívnymi integráciami s pridaním konštanty integrácie v každej fáze. Na stanovenie konštánt sa môžu použiť vlastnosti podpier alebo upevnení. (x = 0 - jednoducho podporované, dx / dy = 0 pevný koniec atď.)

        Podobným spôsobom, ak je známy výraz pre ohybový moment, možno sklon a priehyb získať v ktoromkoľvek bode x jednoduchou a dvojitou integráciou vzťahu a použitím vhodných integračných konštánt.

        Funkcie singularity je možné použiť na určenie hodnôt pri načítaní nie jednoduchej ref. Singularity Functions


        Príklad - konzolový nosník

        Zvážte konzolový nosník (rovnomerný rez) s jediným koncentrovaným zaťažením na konci. Na pevnom konci x = 0, dy = 0, dy / dx = 0

        Z rovnovážnej rovnováhy .. Na podpore je odporový moment -FL a vertikálna sila F smerom hore.
        V ktoromkoľvek bode x pozdĺž lúča je moment F (x - L) = MX = E I d 2 y / dx 2

        Príklad - Jednoducho podporovaný lúč

        Zvážte jednoducho podopretý nosník rovnomerného rezu s jedným zaťažením F v strede. Lúč sa vychýli symetricky okolo stredovej čiary s 0 sklonom (dy / dx) v stredovej čiare. Je vhodné zvoliť počiatok na stredovej čiare.

        Toto je metóda určenia zmeny sklonu alebo priehybu medzi dvoma bodmi na nosníku. Vyjadruje sa ako dve vety.

        Veta 1
        Ak sú A a B dva body na nosníku, zmena uhla (radiány) medzi dotyčnicou v A a dotyčnicou v B sa rovná oblasti diagramu ohybového momentu medzi bodmi vydelenej príslušnou hodnotou EI (ohyb konštanta tuhosti).

        Veta 2
        Ak A a B sú dva body na lúči, posunutie B vzhľadom na dotyčnicu lúča v bode A sa rovná okamihu oblasti diagramu ohybového momentu medzi bodmi A a B okolo súradnice cez B vydelenej príslušnou hodnotou EI (konštanta ohybovej tuhosti).

        Príklady. Ďalej sú uvedené dva jednoduché príklady na ilustráciu týchto viet

        Príklad 1) Určte priehyb a sklon konzoly, ako je to znázornené.

        Ohybový moment pri A = MA = -FL
        Plocha diagramu ohybového momentu AM = -F.L 2/2
        Vzdialenosť k ťažisku diagramu BM od B = xc = 2L / 3
        Vychýlenie B = y b = A M.X c / E I = -F.L 3 / 3EI
        Sklon v bode B vo vzťahu k tan v A = & # 952 b = AM / E I = -FL 2 / 2EI

        Príklad 2) Určte stredný priehyb a koncové svahy jednoducho podopretého nosníka, ako je to znázornené.

        E = 210 GPa. I = 834 cm 4. EI = 1 7514. 10 6 Nm 2

        A1 = 10. 1,8. 1,8 / 2 = 16,2kNm 2
        A2 = 10. 1,8. 2 = 36 kNm 2
        A3 = 10. 1,8. 2 = 36 kNm 2
        A4 = 10. 1,8. 1,8 / 2 = 16,2kNm 2
        X1 = Ťažisko A1 = (2/3). 1,8 = 1,2 m
        X2 = Ťažisko A2 = 1,8 + 1 = 2,8 m
        X3 = Ťažisko A3 = 1,8 + 1 = 2,8 m
        X4 = Ťažisko A4 = (2/3). 1,8 = 1,2 m

        Sklon pri A je daný plochou momentového diagramu medzi A a C vydelenou EI.

        θ A = (A.1 + A2) / EI = (16,2 + 36), 10 3 / (1 7514,10 6)
        = 0,029rad = 1,7 stupňa

        Vychýlenie v strede (C) sa rovná odchýlke bodu A nad priamkou, ktorá je dotyčnica C.
        Je preto potrebné brať do úvahy momenty okolo čiary odchýlky v bode A.

        Nosníky skonštruované z viac ako jedného materiálu je možné ošetriť použitím techniky ekvivalentnej šírky, ak sú maximálne napätia v každom z materiálov v rámci limitu pružnosti príslušných materiálov. Zvážte zložený lúč, ako je znázornené nižšie. Oceľ má modul pružnosti ES = 210,10 3 N / mm 2 a hliník má EA = 78,10 3 N / mm 2.

        Kompozitný nosník sa analyzuje na základe základného predpokladu, že rovné povrchy zostávajú počas ohybu rovné v medziach pružnosti, preto je deformácia (priehyb / pôvodná dĺžka) konštantná, tj. Priehyb je úmerný vzdialenosti od neutrálnej osi. lúča. Kmeň sa rovná (stres / Youngov modul (E)). Pozri obrázok nižšie

        Teraz, aby sa získal ekvivalentný profil, ktorým je celý hliník, musia byť rozmery náhradného hliníka také, aby mechanické vlastnosti boli ekvivalentné pôvodnému materiálu. Celková hĺbka transformovanej časti je rovnaká ako v pôvodnej časti. Výsledné napätie v ktoromkoľvek prvku dA transformovanej časti musí byť konštantné.

        Ekvivalentná plocha transformovaného profilu na báze hliníka sa rovná ploche pôvodného oceľového profilu x nSA. Ak je hĺbka transformovaného úseku rovnaká ako pôvodný úsek, potom sa šírka transformovaného hliníkového úseku rovná nSA x šírka pôvodného oceľového profilu.

        Ekvivalentná plocha hliníkového profilu musí byť vystavená rovnakému namáhaniu ako pôvodný oceľový profil umiestnený v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi profilu. Na výpočet ohybových napätí v transformovanom úseku je možné použiť jednoduchú teóriu lúča. Skutočné napätia budú samozrejme n x vypočítané napätia v transformovanom úseku.

        Príklad na zložených nosníkoch

        Zvážte zložený nosník obsahujúci oceľové, mosadzné a hliníkové profily. Vyrobte ekvivalentnú časť na báze hliníka. Vypočítajte polohu neutrálnej osi a moment zotrvačnosti ekvivalentného rezu.

          . Mississipi State U. Pure Bending Prednáška Poznámky .. veľmi užitočné. Veľmi užitočná sada poznámok. Veľmi jednoduché a ľahké poznámky

        Pamätajte - informácie na tomto serveri slúžia iba na všeobecné informačné účely. Aj keď sa snažíme tieto informácie udržiavať aktuálne a správne, neposkytujeme nijaké záruky ani výslovné ani implicitné záruky úplnosti, presnosti, spoľahlivosti a vhodnosti týchto informácií. alebo dostupnosť. Akékoľvek spoliehanie sa na tieto informácie je preto výlučne na vaše vlastné riziko.

        Roy Beardmore zomrel 9. marca 2013. Je mu smutno. Táto webová stránka, Roymech, bola neoceniteľným zdrojom pre inžinierov z celého sveta a dúfame, že si toto neuveriteľné dedičstvo zachováme aj v budúcnosti.