Články

9.3: Neurčené koeficienty pre rovnice vyšších rádov - matematika


V tejto časti uvažujeme rovnicu konštantného koeficientu

[ label {eq: 9.3.1} a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = F (x), ]

kde (n ge3 ) a (F ) je lineárna kombinácia funkcií formulára

[e ^ { alpha x} vľavo (p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k vpravo) nečíslo ]

alebo

[e ^ { lambda x} doľava [ doľava (p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k doprava) cos omega x + doľava (q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k doprava) sin omega x vpravo]. nečíslo ]

Z vety 9.1.5 je všeobecné riešenie rovnice ref {eq: 9.3.1} (y = y_p + y_c ), kde (y_p ) je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3. 1} a (y_c ) je všeobecné riešenie komplementárnej rovnice

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = 0. nonumber ]

V časti 9.2 sme sa naučili, ako nájsť (y_c ). Tu sa naučíme, ako nájsť (y_p ), keď má vynútená funkcia formu uvedenú vyššie. Postup, ktorý používame, je zovšeobecnením metódy, ktorú sme použili v oddieloch 5.4 a 5.5, a opäť sa volá metóda neurčitých koeficientov. Pretože základné myšlienky sú rovnaké ako v tejto časti, poskytneme neformálnu prezentáciu na základe príkladov.

Vynútené funkcie formulára (e ^ {αx} (p_0 + p_1x + ... + p_kx ^ k) )

Najprv zvážime rovnice tvaru

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = e ^ { alpha x} doľava (p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k vpravo). nonumber ]

Príklad ( PageIndex {1} )

Nájdite konkrétne riešenie

[ label {eq: 9.3.2} y '' '+ 3y' + 2y'-y = e ^ x (21 + 24x + 28x ^ 2 + 5x ^ 3). ]

Riešenie

Striedanie

[ begin {align *} y & = ue ^ x, y '& = e ^ x (u' + u), y '& = e ^ x (u' + 2u '+ u) , y '' '& = e ^ x (u' '' + 3u '' + 3u '+ u) end {zarovnať *} ]

do rovnice ref {eq: 9.3.2} a zrušenie (e ^ x ) výnosov

[(u '' + 3u '' + 3u '+ u) +3 (u' '+ 2u' + u) +2 (u '+ u) -u = 21 + 24x + 28x ^ 2 + 5x ^ 3, nonumber ]

alebo

[ label {eq: 9.3.3} u '' + 6u '+ 11u' + 5u = 21 + 24x + 28x ^ 2 + 5x ^ 3. ]

Pretože neznáme (u ) sa objavuje vľavo, vidíme, že rovnica ref {eq: 9.3.3} má konkrétne riešenie tvaru

[u_p = A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3. nonumber ]

Potom

[ begin {aligned} u_p '& = B + 2Cx + 3Dx ^ 2 u_p' '& = 2C + 6Dx u_p' '' = 6D. end {aligned} ]

Dosadením z posledných štyroch rovníc na ľavú stranu výťažkov z rovnice ref {eq: 9.3.3} sa získa

[ begin {aligned} u_p '' '+ 6u_p' '+ 11u_p' + 5u_p & = 6D + 6 (2C + 6Dx) +11 (B + 2Cx + 3Dx ^ 2) & : : + 5 ( A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3) & = (5A + 11B + 12C + 6D) + (5B + 22C + 36D) x & : : + (5C + 33D) x ^ 2 + 5Dx ^ 3. End {zarovnané} ]

Porovnanie koeficientov podobných síl (x ) na pravej strane tejto rovnice a rovnice ref {eq: 9.3.3} ukazuje, že (u_p ) vyhovuje rovnici ref {eq: 9.3.3}, ak

[ begin {array} {rcr} 5D & = 5 phantom {.} 5C + 33D & = 28 phantom {.} 5B + 22C + 36D & = 24 phantom {.} 5A + 11B + 12C + phantom {3} 6D & = 21. end {pole} nonumber ]

Riešením týchto rovníc sa postupne získa (D = 1 ), (C = -1 ), (B = 2 ), (A = 1 ). Preto

[u_p = 1 + 2x - x ^ 2 + x ^ 3 nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.3}, takže

[y_p = e ^ xu_p = e ^ x (1 + 2x-x ^ 2 + x ^ 3) nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.2} (Obrázok ( PageIndex {1} )).

Príklad ( PageIndex {2} )

Nájdite konkrétne riešenie

[ label {eq: 9.3.4} y ^ {(4)} - y '' '- 6y' '+ 4y' + 8y = e ^ {2x} (4 + 19x + 6x ^ 2). ]

Riešenie

Striedanie

[ begin {aligned} y & = ue ^ {2x}, y '& = e ^ {2x} (u' + 2u), y '& = e ^ {2x} (u' '+ 4u '+ 4u), y' '& = e ^ {2x} (u' '+ 6u' '+ 12u' + 8u), y ^ {(4)} & = e ^ {2x } (u ^ {(4)} + 8u '' '+ 24u' '+ 32u' + 16u) end {zarovnané} ]

do rovnice ref {eq: 9.3.4} a zrušenie (e ^ {2x} ) výnosov

[ begin {aligned} && (u ^ {(4)} + 8u '' '+ 24u' '+ 32u' + 16u) - (u '' '+ 6u' '+ 12u' + 8u) && -6 (u '+ 4u' + 4u) +4 (u '+ 2u) + 8u = 4 + 19x + 6x ^ 2, koniec {zarovnaný} ]

alebo

[ label {eq: 9.3.5} u ^ {(4)} + 7u '' '+ 12u' '= 4 + 19x + 6x ^ 2. ]

Pretože ani (u ), ani (u ') sa nenachádzajú vľavo, vidíme, že rovnica ref {eq: 9.3.5} má konkrétne riešenie tvaru

[ label {eq: 9.3.6} u_p = Ax ^ 2 + Bx ^ 3 + Cx ^ 4. ]

Potom

[ begin {aligned} u_p '& = 2Ax + 3Bx ^ 2 + 4Cx ^ 3 u_p' '& = 2A + 6Bx + 12Cx ^ 2 u_p' '' = = 6B + 24Cx u_p ^ { (4)} & = 24C. End {zarovnané} ]

Nahradením (u_p '' ), (u_p '' ') a (u_p ^ {(4)} ) na ľavej strane výťažkov rovnice ref {eq: 9.3.5}

[ begin {aligned} u_p ^ {(4)} + 7u_p '' '+ 12u_p' '& = 24C + 7 (6B + 24Cx) +12 (2A + 6Bx + 12Cx ^ 2) & = (24A + 42 B + 24 C) + (72 B + 168 C) x + 144 Cx ^ 2. End {zarovnané} ]

Porovnanie koeficientov podobných síl (x ) na pravej strane tejto rovnice a rovnice ref {eq: 9.3.5} ukazuje, že (u_p ) vyhovuje rovnici ref {eq: 9.3.5}, ak

[ begin {array} {rrr} 144C & = 6 phantom {.} 72B + 168C & = 19 phantom {.} 24A + 42B + phantom {1} 24C & = 4. end {pole} nonumber ]

Riešením týchto rovníc sa postupne získa (C = 1/24 ), (B = 1/6 ), (A = -1/6 ). Ich nahradením do rovnice ref {eq: 9.3.6} to ukazuje

[u_p = dfrac {x ^ 2} {24} (- 4 + 4x + x ^ 2) nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.5}, takže

[y_p = e ^ {2x} u_p = {x ^ 2e ^ {2x} over24} (- 4 + 4x + x ^ 2) nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.4} (Obrázok ( PageIndex {2} )).

Vynútené funkcie tvaru (e ^ {αx} (P (x) cos ωx + Q (x) sin ωx) )

Teraz uvažujeme rovnice tvaru

[a_0y ^ {(n)} + a_1y ^ {(n-1)} + cdots + a_ny = e ^ { lambda x} vľavo (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right), nonumber ]

kde (P ) a (Q ) sú polynómy.

Príklad ( PageIndex {3} )

Nájdite konkrétne riešenie

[ label {eq: 9.3.7} y '' '+ y' - 4y'-4y = e ^ x [(5-5x) cos x + (2 + 5x) sin x]. ]

Riešenie

Striedanie

[ begin {aligned} y & = ue ^ x, y '& = e ^ x (u' + u), y '& = e ^ x (u' + 2u '+ u), y '' '& = e ^ x (u' '' + 3u '' + 3u '+ u) end {zarovnané} ]

do rovnice ref {eq: 9.3.7} a zrušenie (e ^ x ) výnosov

[(u '' + 3u '' + 3u '+ u) + (u' '+ 2u' + u) -4 (u '+ u) -4u = (5-5x) cos x + (2+ 5x) sin x, nonumber ]

alebo

[ label {eq: 9.3.8} u '' '+ 4u' '+ u'-6u = (5-5x) cos x + (2 + 5x) sin x. ]

Pretože ( cos x ) a ( sin x ) nie sú riešením doplnkovej rovnice

[u '' '+ 4u' '+ u'-6u = 0, nonumber ]

z vety analogickej k Vete 5.5.1 vyplýva, že rovnica ref {eq: 9.3.8} má konkrétne riešenie tvaru

[ label {eq: 9.3.9} u_p = (A_0 + A_1x) cos x + (B_0 + B_1x) sin x. ]

Potom

[ begin {aligned} u_p '= (A_1 + B_0 + B_1x) cos x + (B_1-A_0-A_1x) sin x, u_p' = = (2B_1-A_0-A_1x) cos x- (2A_1 + B_0 + B_1x) sin x, u_p '' = - (3A_1 + B_0 + B_1x) cos x- (3B_1-A_0-A_1x) sin x, koniec {zarovnaný} nonumber ]

tak

[u_p '' '+ 4u_p' '+ u_p'-6u_p = - doľava [10A_0 + 2A_1-8B_1 + 10A_1x doprava] cos x - doľava [10B_0 + 2B_1 + 8A_1 + 10B_1x doprava] sin x . nonumber ]

Porovnanie koeficientov (x cos x ), (x sin x ), ( cos x ) a ( sin x ) tu so zodpovedajúcimi koeficientmi v rovnici ref {eq: 9.3.8} ukazuje, že (u_p ) je riešením rovnice ref {eq: 9.3.8}, ak

[ begin {array} {rrr} -10A_1 & = - 5 phantom {.} -10B_1 & = phantom {-} 5 phantom {.} -10A_0-2A_1 + 8B_1 & = 5 phantom {. } -10B_0-2B_1-8A_1 & = 2. end {pole} nonumber ]

Riešením prvých dvoch rovníc sa získa (A_1 = 1/2 ), (B_1 = -1 / 2 ). Ich nahradením do posledných dvoch rovníc sa získa

[ begin {aligned} -10A_0 & = 5 + 2A_1-8B_1 = 10 phantom {.} -10B_0 & = 2 + 2B_1 + 8A_1 = 5, end {aligned} ]

takže (A_0 = -1 ), (B_0 = -1 / 2 ). Nahradenie (A_0 = -1 ), (A_1 = 1/2), (B_0 = -1 / 2 ), (B_1 = -1 / 2 ) do rovnice ref {rovnica: 9.3. 9} to ukazuje

[u_p = - frac {1} {2} vľavo [(2-x) cos x + (1 + x) sin x vpravo] nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.8}, takže

[y_p = e ^ xu_p = - {e ^ x over2} left [(2-x) cos x + (1 + x) sin x right] nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.7} (Obrázok ( PageIndex {3} )).

Príklad ( PageIndex {4} )

Nájdite konkrétne riešenie

[ label {eq: 9.3.10} y '' '+ 4y' + 6y '+ 4y = e ^ {- x} doľava [(1-6x) cos x- (3 + 2x) sin x vpravo]. ]

Riešenie

Striedanie

[ begin {aligned} y & = ue ^ {- x}, y '& = e ^ {- x} (u'-u), y' & = e ^ {- x} (u '' -2u '+ u), y' '' = e ^ {- x} (u '' '- 3u' '+ 3u'-u) end {zarovnané} ]

do rovnice ref {eq: 9.3.10} a zrušenie (e ^ {- x} ) výnosov

[(u '' - 3u '' + 3u'-u) +4 (u '' - 2u '+ u) +6 (u'-u) + 4u = (1-6x) cos x- ( 3 + 2x) sin x, nonumber ]

alebo

[ label {eq: 9.3.11} u '' '+ u' + u '+ u = (1-6x) cos x- (3 + 2x) sin x. ]

Pretože ( cos x ) a ( sin x ) sú riešením komplementárnej rovnice

[u '' + u '' + u '+ u = 0, nonumber ]

z vety analogickej k Vete 5.5.1 vyplýva, že rovnica ref {eq: 9.3.11} má konkrétne riešenie tvaru

[ label {eq: 9.3.12} u_p = (A_0x + A_1x ^ 2) cos x + (B_0x + B_1x ^ 2) sin x. ]

Potom

[ begin {align *} u_p '= & [A_0 + (2A_1 + B_0) x + B_1x ^ 2] cos x + [B_0 + (2B_1-A_0) x-A_1x ^ 2] sin x, u_p' ' = & [2A_1 + 2B_0- (A_0-4B_1) x-A_1x ^ 2] cos x & + [2B_1-2A_0- (B_0 + 4A_1) x-B_1x ^ 2] sin x, u_p " '= & - [3A_0-6B_1 + (6A_1 + B_0) x + B_1x ^ 2] cos x & - [3B_0 + 6A_1 + (6B_1-A_0) x-A_1x ^ 2] sin x, end {zarovnať * } ]

tak

[ begin {align *} u_p '' '+ u_p' '+ u_p' + u_p = & - [2A_0-2B_0-2A_1-6B_1 + (4A_1-4B_1) x] cos x & - [2B_0 + 2A_0 -2B_1 + 6A_1 + (4B_1 + 4A_1) x] sin x. end {zarovnať *} ]

Porovnanie koeficientov (x cos x ), (x sin x ), ( cos x ) a ( sin x ) tu so zodpovedajúcimi koeficientmi v rovnici ref {eq: 9.3.11} ukazuje, že (u_p ) je riešením rovnice ref {ekv: 9.3.11}, ak

[ begin {array} {rcr} -4A_1 + 4B_1 & = - 6 phantom {.} -4A_1-4B_1 & = - 2 phantom {.} -2A_0 + 2B_0 + 2A_1 + 6B_1 & = phantom { -} 1 phantom {.} -2A_0-2B_0-6A_1 + 2B_1 & = - 3. end {pole} nonumber ]

Riešením prvých dvoch rovníc sa získa (A_1 = 1 ), (B_1 = -1 / 2 ). Ich nahradením do posledných dvoch rovníc sa získa

[ begin {aligned} -2A_0 + 2B_0 & = phantom {-} 1-2A_1-6B_1 = 2 phantom {.} -2A_0-2B_0 & = - 3 + 6A_1-2B_1 = 4, end {zarovnaný} ]

takže (A_0 = -3 / 2 ) a (B_0 = -1 / 2 ). Nahradenie (A_0 = -3 / 2 ), (A_1 = 1 ), (B_0 = -1 / 2 ), (B_1 = -1 / 2 ) do rovnice ref {ekvivalent: 9.3. 12} to ukazuje

[u_p = - dfrac {x} {2} doľava [(3-2x) cos x + (1 + x) sin x doprava] nonumber ]

je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.11}, takže

[y_p = e ^ {- x} u_p = - {xe ^ {- x} over2} left [(3-2x) cos x + (1 + x) sin x right] nonumber ]

(Obrázok ( PageIndex {4} )) je konkrétne riešenie rovnice ref {eq: 9.3.10}.


Metóda neurčitých koeficientov

Táto stránka je o diferenciálnych rovniciach druhého rádu tohto typu:

d 2 rdx 2 + P (x) D Ydx + Q (x) y = f (x)

kde P (x), Q (x) af (x) sú funkcie x.

Jednoduchší prípad, keď f (x) = 0:

d 2 rdx 2 + P (x) D Ydx + Q (x) y = 0

je & quothomogeneous & quot a je vysvetlené v časti Úvod do diferenciálnych rovníc druhého rádu. Najprv sa naučte túto metódu, aby ste pochopili túto stránku.


9.3: Neurčené koeficienty pre rovnice vyšších rádov - matematika

Chystáte sa vymazať svoju prácu na túto činnosť. Naozaj to chcete urobiť?

K dispozícii je aktualizovaná verzia

Existuje aktualizovaná verzia tejto činnosti. Ak aktualizujete na najnovšiu verziu tejto aktivity, bude vymazaný váš súčasný pokrok v tejto aktivite. Bez ohľadu na to, váš záznam o dokončení zostane. Ako by ste chceli postupovať?

Editor matematických výrazov

Diskutujeme o riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice th-tého poriadku.

Konštantné koeficienty vyššieho rádu Homogénne rovnice

Ak sú konštanty a, potom sa hovorí o a rovnica konštantného koeficientu. V tejto časti uvažujeme rovnicu homogénneho konštantného koeficientu

Pretože (ekvivalent: 9.2.1) je normálny, všetky vety v Trench 9.1 platia pre.

the charakteristický polynóm z (rovnice: 9.2.1). V Trench 5.2 sme videli, že keď riešenia (ekv.: 9.2.1) sú určené nulami charakteristického polynómu. To platí aj vtedy, ale situácia je v tomto prípade komplikovanejšia. Preto tu zvolíme iný prístup ako v prípade Trench 5.2.

Ak je kladné celé číslo, nechajme ten-tý derivačný operátor, ktorým je Ak je ľubovoľný polynóm, definujeme operátor tak, že kedykoľvek je to funkcia s deriváciami. Hovoríme a polynóm operátor.

S ako v (ekv.: 9.2.2), tak (ekv.: 9.2.1) možno písať ako. Ak je konštanta potom

položka: 9.2.1b Musíme určiť, a v (ekv.: 9.2.5), aby vyhovovali počiatočným podmienkam v (ekv.: 9.2.4). Diferencovanie (ekv.: 9.2.5), dvojnásobné výťažky

Nastavenie v (ekv.: 9.2.5) a (ekv.: 9.2.6) a zavedenie počiatočných podmienok výťažkov Riešením tohto systému je,,. Preto riešenie (ekv.: 9.2.4) je

Teraz uvažujeme prípad, keď charakteristický polynóm (ekv. 9.2.2) nemá odlišné reálne nuly. Pre tento účel je užitočné definovať, čo máme na mysli pod faktorizáciou polynomického operátora. Začíname príkladom.

To znamená, že z položky: 9.2.2b, ktorá dokončuje odôvodnenie (ekv.: 9.2.7).

Z (rovnice: 9.2.9) môžeme prepísať (rovnice: 9.2.10), čo znamená, že akékoľvek riešenie je riešením z (rovnice: 9.2.10). Preto je riešenie (rovnica: 9.2.10).

Wronskian of is Since je lineárne nezávislý a predstavuje všeobecné riešenie rovnice (ekv. 9.2.10).

Z algebry je známe, že každý polynóm so skutočnými koeficientmi je možné započítať tak, že žiadny pár polynómov nemá spoločný faktor a každý z nich má tvar

kde je skutočné a je celé kladné číslo alebo kde a sú skutočné a predstavuje kladné celé číslo. Ak (rovnica: 9.2.12) platí, potom je skutočná nula, zatiaľ čo ak (rovnica: 9.2.13) platí potom a sú komplexné konjugované nuly. V obidvoch prípadoch je to multiplicita nuly (núl).

Z argumentov podobných tým, ktoré sú použité v našich príkladoch, je možné preukázať, že

a že poradie faktorov vpravo je možné zvoliť ľubovoľne. Preto, ak pre niekoho potom. Aby sme to videli, jednoducho prepíšeme (ekv. 9.2.14) tak, aby sa použil ako prvý. Preto sa problém hľadania riešení s ako v (ekv. 9.2.14) redukuje na hľadanie riešení každej z týchto rovníc, kde je mocnosť termínu prvého stupňa alebo neredukovateľného kvadratického tvaru. Aby sme našli základný súbor riešení, nájdeme základný súbor riešení každej z rovníc a považujeme ich za súbor všetkých funkcií v týchto samostatných základných množinách. V cvičení: 9.2.40 načrtneme dôkaz, ktorý je lineárne nezávislý, a preto predstavuje základný súbor riešení.

Ak chcete použiť tento postup na všeobecné rovnice homogénnych konštantných koeficientov, musíme byť schopní nájsť základné množiny riešení rovníc tvaru a kde je ľubovoľné kladné celé číslo. Nasledujúce dve vety ukazujú, ako na to.

Dôkaz Ukážeme, že ak je ľubovoľný polynóm stupňa, potom existuje riešenie (rovnica: 9.2.16). Najprv si všimnite, že ak je akákoľvek diferencovateľná funkcia, tak teda Preto Pretože, z poslednej rovnice vyplýva, že ide o riešenie (ekvivalent: 9.2.16) if je akýkoľvek polynóm stupňa. Najmä každá funkcia v (ekv.: 9.2.15) je riešením (ekv.: 9.2.16). Ak chcete vidieť, že (rovnica: 9.2.15) je lineárne nezávislá (a teda základná sada riešení (rovnica: 9.2.16)), všimnite si, že ak pre všetky v nejakom intervale, tak pre všetko v. Z algebry však vieme, že ak má tento polynóm viac ako nuly, potom.

Dôkaz o ďalšej vete je načrtnutý v cvičení: 9.2.41.

Zdroj textu

Trench, William F., „Elementárne diferenciálne rovnice“ (2013). Fakulta autorsky upravené a upravené knihy a CD disky. 8. (CC-BY-NC-SA)


9.3: Neurčené koeficienty pre rovnice vyšších rádov - matematika

Máme ešte jednu časť, o ktorú sa musíme postarať, skôr ako skutočne začneme riešiť parciálne diferenciálne rovnice. Bude to pomerne krátka časť, ktorá sa bude zaoberať základnou terminológiou, ktorú budeme potrebovať v nasledujúcej časti, keď predstavíme metódu oddelenia premenných.

Začnime myšlienkou operátora. Operátor je v skutočnosti iba funkcia, ktorá berie funkciu ako argument namiesto čísel, ako sme si zvyknutí vo funkciách narábať. O niekoľkých operátoroch už viete, aj keď ste nevedeli, že to boli operátori. Tu je niekoľko príkladov operátorov.

Alebo ak zapojíme funkciu, povedzme (u doľava (x doprava) ), do každej z nich dostaneme,

Všetko sú to dosť jednoduché príklady operátorov, ale derivát a integrál sú operátory. Komplikovanejším operátorom by bol prevádzkovateľ tepla. Operátora tepla dostaneme z mierneho prepísania rovnice tepla bez zdrojov. Prevádzkovateľom tepla je,

To, čo tu skutočne chceme definovať, nie je operátor, ale skôr a lineárny operátor. Lineárny operátor je každý operátor, ktorý spĺňa,

Operátor tepla je príkladom lineárneho operátora a je ľahké ho ukázať pomocou základných vlastností parciálnej derivácie, tak poďme na to.

Možno si budete chcieť overiť, že derivačné a integrálne operátory, ktoré sme uviedli vyššie, sú tiež lineárne operátory. V skutočnosti v procese ukazovania, že operátor tepla je lineárny operátor, sme v skutočnosti tiež ukázali, že operátory parciálnych derivácií prvého a druhého poriadku sú tiež lineárne.

Ďalším pojmom, ktorý si musíme definovať, je a lineárna rovnica. Lineárna rovnica je rovnica v tvare,

kde (L ) je lineárny operátor a (f ) je známa funkcia.

Tu je niekoľko príkladov lineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc.

Prvé dva z tohto zoznamu sú samozrejme tepelná rovnica a vlnová rovnica. Tretí používa laplacián a zvyčajne sa nazýva Laplaceova rovnica. Dvojrozmernú verziu Laplaceovej rovnice vlastne budeme riešiť v niekoľkých sekciách. Štvrtá rovnica bola práve vymyslená, aby poskytla komplikovanejší príklad.

Všimnite si tiež s rovnicou tepla a štvrtým príkladom vyššie, že prítomnosť (Q vľavo ( right) ) a (g left ( right) ) nebráňte tomu, aby to boli lineárne rovnice. Hlavným problémom, ktorý umožňuje, aby to boli lineárne rovnice, je skutočnosť, že operátor v každej z nich je lineárny.

Tu je len niekoľko príkladov nelineárnych parciálnych diferenciálnych rovníc.

Necháme na vás, aby ste overili, či operátory v každom z nich nie sú lineárne, avšak problémový výraz v prvom je () zatiaľ čo v druhej je súčin dvoch derivátov problémový pojem.

Teraz, ak sa vrátime späť do ( eqref) a predpokladajme, že (f = 0 ) potom prídeme na,

Hovoríme tomu a lineárna homogénna rovnica (pripomeňme, že (L ) je lineárny operátor).

Všimnite si, že (u = 0 ) bude vždy riešením lineárnej homogénnej rovnice (vráťte sa k tomu, čo znamená byť lineárna a použite ( = = 0 ) s dvoma ľubovoľnými riešeniami a je ľahké ich overiť). Hovoríme (u = 0 ) triviálne riešenie. V skutočnosti je to tiež skutočne pekný spôsob určenia, či je rovnica homogénna. Ak je (L ) lineárny operátor a zapojíme (u = 0 ) do rovnice a dostaneme (L vľavo (u vpravo) = 0 ), potom budeme vedieť, že operátor je homogénny .

Môžeme tiež rozšíriť predstavy o lineárnosti a homogénnosti k okrajovým podmienkam. Ak sa vrátime k rôznym okrajovým podmienkam, ktoré sme diskutovali napríklad pre rovnicu tepla, môžeme ich tiež klasifikovať ako lineárne a / alebo homogénne.

Predpísané teplotné okrajové podmienky,

[u doľava (<0, t> doprava) = doľava (t doprava) hspace <0,25in> u doľava ( vpravo) = doľava (t doprava) ]

sú lineárne a budú homogénne, iba ak ( doľava (t doprava) = 0 ) a ( doľava (t doprava) = 0 ).

Predpísané okrajové podmienky tepelného toku,

sú lineárne a budú opäť iba homogénne, ak (< varphi _1> left (t right) = 0 ) a (< varphi _2> left (t right) = 0 ).

Ďalej sú hraničné podmienky z Newtonovho zákona chladenia,

sú opäť lineárne a budú homogénne, iba ak ( doľava (t doprava) = 0 ) a ( doľava (t doprava) = 0 ).

Poslednou sadou okrajových podmienok, ktorú sme sledovali, boli periodické okrajové podmienky,

a sú lineárne aj homogénne.

Záverečná téma v tejto časti nie je v skutočnosti terminológiou, ale predstavuje preformulovanie skutočnosti, ktorú sme už v týchto poznámkach videli niekoľkokrát.

Princíp superpozície

Ak () a () sú riešenia lineárnej homogénnej rovnice potom také ( + ) pre akékoľvek hodnoty () a ().

Ako sme už uviedli, tento semester sme videli už niekoľkokrát, ale neurobili sme s tým veľa vecí. Toto však bude kľúčová myšlienka, keď sa skutočne dostaneme k riešeniu parciálnych diferenciálnych rovníc. Bez tohto faktu by sme neboli schopní vyriešiť všetky, iba najzákladnejšie, parciálnych diferenciálnych rovníc.


Príloha A. Kermackova-McKendrickova rovnica (PDF)
Príloha B. Zúžený most Tacoma: Rezonancia vs flutter (PDF)
Príloha C. Linearizácia: Phugoidova rovnica ako príklad (PDF)

Toto je jeden z viac ako 2 400 kurzov OCW. Preskúmajte materiály tohto kurzu na stránkach prepojených zľava.

MIT OpenCourseWare je bezplatná a otvorená publikácia materiálu z tisícov kurzov MIT, ktorá zahŕňa celé osnovy MIT.

Žiadna registrácia ani registrácia. Voľne prechádzajte a používajte materiály OCW svojim vlastným tempom. Neexistuje žiadna registrácia a dátum začatia ani ukončenia.

Vedomosti sú vašou odmenou. Použite OCW na vedenie svojho celoživotného vzdelávania alebo na výučbu ostatných. Za používanie OCW neponúkame kredit ani certifikáciu.

Vyrobené na zdieľanie. Stiahnite si súbory na neskôr. Poslať priateľom a kolegom. Upravte, remixujte a znova použite (nezabudnite uviesť ako zdroj OCW.)


9.3: Neurčené koeficienty pre rovnice vyšších rádov - matematika

Ďalším typom diferenciálnych rovníc prvého poriadku, na ktorý sa pozrieme, sú presné diferenciálne rovnice. Predtým, ako sa dostaneme k úplným detailom riešenia presných diferenciálnych rovníc, je pravdepodobne najlepšie pracovať na príklade, ktorý nám pomôže ukázať, čo presne presná diferenciálna rovnica je. Ukáže tiež niektoré podrobnosti zo zákulisia, s ktorými sa v procese riešenia zvyčajne neobťažujeme.

Prevažná väčšina nasledujúceho príkladu sa nebude robiť v žiadnom zo zvyšných príkladov a práca, ktorú do zvyšných príkladov vložíme, sa v tomto príklade neukáže. Celý bod tohto príkladu je ukázať vám, čo je to presná diferenciálna rovnica, ako používame túto skutočnosť na dosiahnutie riešenia a prečo tento proces funguje tak, ako funguje. Väčšina podrobností o skutočnom riešení bude uvedená v ďalšom príklade.

Začnime predpokladom, že niekde na svete je funkcia ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), ktorú nájdeme. V tomto príklade je funkcia, ktorú potrebujeme

Nerobte si teraz starosti, odkiaľ táto funkcia pochádza a ako sme ju našli. Prevažná väčšina práce pre tieto problémy spočíva v nájdení funkcie ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), ktorá je potrebná pre každú konkrétnu diferenciálnu rovnicu. Ako už bolo uvedené vyššie, účelom tohto príkladu je ukázať vám, prečo proces riešenia funguje, a nie ukázať vám skutočný proces riešenia. Uvidíme, ako nájsť túto funkciu v nasledujúcom príklade, takže si v tomto okamihu nerobte starosti s jej hľadaním, jednoducho akceptujte, že ju možno nájsť, a že sme to urobili pre túto konkrétnu diferenciálnu rovnicu.

Teraz vezmime niektoré čiastkové derivácie funkcie.

Teraz porovnajte tieto parciálne derivácie s diferenciálnou rovnicou a všimnete si, že pomocou nich teraz môžeme zapísať diferenciálnu rovnicu ako.

Teraz si pripomeňme z tvojej triedy premenných počtu (pravdepodobne počet III), že ( eqref) nie je nič iné ako nasledujúci derivát (na toto budete potrebovať pravidlo reťazca s viacerými premennými ...).

Takže diferenciálnu rovnicu možno teraz napísať ako

Teraz, ak je obyčajný (nie čiastočný ...) derivát niečoho nulový, muselo to byť na začiatku nejaká konštanta. Inými slovami, musíme mať ( Psi left ( vpravo) = c ). Alebo

Toto je potom implicitné riešenie pre našu diferenciálnu rovnicu! Keby sme mali počiatočnú podmienku, mohli by sme vyriešiť za (c ). Ak by sme chceli, mohli by sme nájsť aj výslovné riešenie, ale vydržíme to až do nasledujúceho príkladu.

Dobre, tak čo sme sa dozvedeli z posledného príkladu? Pozrime sa na veci trochu všeobecnejšie. Predpokladajme, že máme nasledujúcu diferenciálnu rovnicu.

Upozorňujeme, že je dôležité, aby to malo byť v tejto podobe! Na jednej strane musí byť znak „= 0“ a znak oddeľujúci dva výrazy musí byť znak „+“. Teraz, ak existuje funkcia niekde na svete, ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), takže,

potom hovoríme diferenciálna rovnica presne. V týchto prípadoch môžeme diferenciálnu rovnicu napísať ako

Potom pomocou reťazcového pravidla z vašej triedy Multivariable Calculus môžeme ďalej znížiť diferenciálnu rovnicu na nasledujúcu deriváciu,

(Implicitným) riešením presnej diferenciálnej rovnice je potom

Je to riešenie za predpokladu, že ( Psi left (x, y right) ) aj tak nájdeme. Preto, akonáhle máme túto funkciu, môžeme kedykoľvek jednoducho skočiť priamo na ( eqref) aby sme dostali implicitné riešenie našej diferenciálnej rovnice.

Nájdenie funkcie ( Psi vľavo (x, y vpravo) ) je jednoznačne ústrednou úlohou pri určovaní presnosti diferenciálnej rovnice a pri hľadaní jej riešenia. Ako uvidíme, nájdenie ( Psi doľava (x, y doprava) ) môže byť trochu zdĺhavý proces, v ktorom existuje šanca na chyby. Preto by bolo pekné, keby existoval nejaký jednoduchý test, ktorý by sme mohli použiť ešte predtým, ako by sme začali zisťovať, či je diferenciálna rovnica presná alebo nie. To bude obzvlášť užitočné, ak sa ukáže, že diferenciálna rovnica nie je presná, pretože v tomto prípade ( Psi left (x, y right) ) nebude existovať. Bolo by stratou času snažiť sa nájsť neexistujúcu funkciu!

Pozrime sa teda, či nájdeme test na presné diferenciálne rovnice. Začnime s ( eqref) a predpokladajme, že diferenciálna rovnica je v skutočnosti presná. Od jeho presného fungovania vieme, že niekde vonku je funkcia ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), ktorá vyhovuje

Teraz, za predpokladu, že ( Psi left (x, y right) ) je spojitý a jeho deriváty prvého rádu sú tiež spojité, vieme, že

Máme však aj nasledujúce.

Ak je teda diferenciálna rovnica presná a ( Psi doľava (x, y pravá) ) spĺňa všetky jej podmienky spojitosti, ktoré musíme mať.

Rovnako, ak ( eqref) nie je pravda, neexistuje spôsob, aby bola diferenciálna rovnica presná.

Preto použijeme ( eqref) ako test presných diferenciálnych rovníc. Ak ( eqref) je pravda, budeme predpokladať, že diferenciálna rovnica je presná a že ( Psi left (x, y right) ) spĺňa všetky jej podmienky spojitosti a budeme ju hľadať. Upozorňujeme, že vo všetkých príkladoch budú splnené podmienky kontinuity, takže to nebude žiadny problém.

Dobre, vráťme sa a prepracujme prvý príklad. Tentokrát si na príklade ukážeme, ako nájsť ( Psi vľavo (x, y vpravo) ). K problému tiež pridáme počiatočný stav.

Najskôr označte (M ) a (N ) a skontrolujte presnosť diferenciálnej rovnice.

Diferenciálna rovnica je teda podľa testu presná. Už sme však vedeli, že tak, ako sme vám dali ( Psi vľavo (x, y vpravo) ). Nie je to zlá vec, overiť si to však a prejsť testom aspoň raz.

Ako teraz nájdeme ( Psi vľavo (x, y vpravo) )? Dobre si to pripomeň

Môžeme použiť ktorýkoľvek z nich na začiatok hľadania ( Psi vľavo (x, y vpravo) ) integráciou nasledujúcim spôsobom.

Budeme však musieť byť opatrní, pretože to nám neposkytne presnú funkciu, ktorú potrebujeme. Často nezáleží na tom, s ktorým z nich sa rozhodnete pracovať, zatiaľ čo pri iných problémoch bude jeden podstatne ľahší ako ten druhý. V takom prípade nezáleží na tom, ktorý z nich použijeme, bude rovnako ľahké.

Použijeme teda prvý.

Všimnite si, že v tomto prípade „konštanta“ integrácie nie je vôbec vôbec konštantou, ale bude to v tomto prípade funkcia zvyšných premenných, (y ).

Pripomeňme si, že pri integrácii sa pýtame, akú funkciu sme diferencovali, aby sme dostali funkciu, ktorú integrujeme. Pretože tu pracujeme s dvoma premennými a hovoríme o čiastočnej diferenciácii vo vzťahu k (x ), znamená to, že akýkoľvek výraz, ktorý by obsahoval iba konštanty alebo (y ), by sa diferencoval na nulu, preto musíme potvrdiť túto skutočnosť pridaním funkcie (y ) namiesto štandardnej (c ).

Dobre, máme väčšinu ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), stačí určiť (h (y) ) a budeme hotoví. Je to skutočne ľahké. Použili sme (< Psi _x> = M ) na nájdenie väčšiny ( Psi vľavo (x, y vpravo) ), takže na nájdenie použijeme (< Psi _y> = N ) (h (y) ). Rozlišujte naše ( Psi doľava (x, y pravá) ) vzhľadom na (y ) a nastavte ich rovné (N ) (pretože si musia byť koniec koncov rovnaké). Nezabudnite „odlíšiť“ (h (y) )! Toto dáva,

Z toho vidíme, že

Všimnite si, že v tejto fáze (h (y) ) musí byť iba funkciou (y ), takže ak v rovnici v tejto fáze existujú nejaké (x ), urobili sme niekde chybu a je čas ísť hľadať.

Teraz môžeme nájsť (h (y) ) integráciou.

Všimnite si, že sme sem zahrnuli konštantu integrácie (k ). Ukázalo sa však, že to sa nakoniec pohltí do inej konštanty, takže ju môžeme všeobecne vypustiť.

Teraz teda môžeme zapísať ( Psi doľava (x, y doprava) ).

[ Psi vľavo ( vpravo) = y - 3 + + y + k = + doľava (<+ 1> vpravo) y - 3 + k ]

S výnimkou znaku (k ) je toto totožné s funkciou, ktorú sme použili v prvom príklade. Teraz môžeme prejsť priamo na implicitné riešenie pomocou ( eqref).

Teraz sa postaráme o (k ). Pretože (k ) aj (c ) sú neznáme konštanty, všetko, čo musíme urobiť, je odpočítať jednu z obidvoch strán a kombinovať a stále máme neznámu konštantu.

Preto (k ) nebudeme zahrňovať do ďalších problémov.

Tu sme v prvom príklade skončili. Teraz použijeme počiatočnú podmienku na nájdenie (c ).

Implicitné riešenie teda je.

Teraz, ako sme videli v časti s oddeliteľnými diferenciálnymi rovnicami, je to kvadratické v (y ), a takže môžeme vyriešiť (y (x) ) pomocou kvadratického vzorca.

Teraz znova použite počiatočnú podmienku, aby ste zistili, ktoré z dvoch znakov v ( pm ), ktoré potrebujeme.

Vyzerá to teda tak, že „-“ je to, čo potrebujeme. Výslovné riešenie teda je.

Teraz pre interval platnosti. Vyzerá to, že by sme mohli mať problémy s druhou odmocninou záporných čísel. Musíme teda vyriešiť

Po vyriešení tejto rovnice je nula pri (x ) = –11,81557624 a (x ) = –1,3969911133. Upozorňujeme, že pri riešení tejto rovnice budete musieť použiť určitú formu výpočtovej pomôcky. Tu je graf polynómu pod radikálom.

Zdá sa teda, že existujú dva intervaly, v ktorých bude polynóm kladný.

Pripomeňme však, že intervaly platnosti musia byť nepretržité intervaly a obsahovať hodnotu (x ), ktorá sa použije v počiatočnom stave. Interval platnosti preto musí byť.

Tu je rýchly graf riešenia.

Bol to dlhý príklad, ale väčšinou kvôli počiatočnému vysvetleniu, ako nájsť ( Psi vľavo (x, y vpravo) ). Zvyšné príklady nebudú také dlhé.

Tu musíme najskôr pokračovať v diferenciálnej rovnici do správnej formy. Pripomeňme, že musí byť „= 0“ a znamienko oddeľujúce dva výrazy musí byť plusom!

[začať2x + 4 - 2 vľavo (<3 - y> right) y '& = 0 2x + 4 + 2 vľavo (<y - 3> vpravo) y '& = 0 koniec]

a tak je diferenciálna rovnica presná. Môžeme integrovať (M ) vzhľadom na (x ) alebo integrovať (N ) vzhľadom na (y ). V tomto prípade by bolo jedno rovnako ľahké, takže tentokrát integrujeme (N ), aby sme mohli povedať, že tu dole máme príklad oboch.

[ Psi vľavo ( right) = int << 2y - 6 , dy >> = - 6r + h vľavo (x vpravo) ]

Tentokrát, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, musí byť naša „konštanta“ integrácie funkciou (x ), pretože sme integrovali s ohľadom na r. Teraz rozlišujte vo vzťahu k (x ) a porovnajte to s (M ).

[h ' left (x right) = 4 hspace <0,25in> Rightarrow hspace <0,25in> , , , h left (x right) = 4x ]

Opäť upustíme od konštanty integrácie, ktorá by technicky mala byť prítomná v (h (x) ), pretože sa len vstrebá do konštanty, ktorú vyzvedneme v ďalšom kroku. Upozorňujeme, že (h (x) ) by v tomto okamihu malo obsahovať iba znaky (x ). Ak v tejto chvíli zostanú nejaké (y ), urobila sa chyba, preto sa vráťte späť a hľadajte ju.

Keď si všetko zapíšete, pre ( Psi doľava (x, y doprava) ) získate nasledujúce hodnoty.

Implicitné riešenie diferenciálnej rovnice teda je

Aplikácia počiatočnej podmienky dáva,

Použitie kvadratického vzorca nám dáva

Opätovné použitie počiatočnej podmienky ukazuje, že tentokrát potrebujeme „+“ (tieto podrobnosti necháme na kontrolu). Výslovné riešenie preto je

Teraz poďme nájsť interval platnosti. Budeme sa musieť vyhnúť (x ) = 0, aby sme nedostali delenie nulou. Budeme si tiež musieť dávať pozor na druhé odmocniny záporných čísel, takže vyriešime nasledujúcu rovnicu.

Jediným skutočným riešením je (x = 3,217361577 ). Nižšie je uvedený graf polynómu.

Vyzerá to teda, že polynóm bude pozitívny, a teda v poriadku pod druhou odmocninou

Teraz tento interval nemôže byť intervalom platnosti, pretože obsahuje (x = 0 ) a tomuto bodu sa musíme vyhnúť. Preto sa tento interval v skutočnosti delí na dva rôzne možné intervaly platnosti.

Prvý obsahuje (x = -1 ), hodnotu (x ) z počiatočnej podmienky. Therefore, the interval of validity for this problem is ( - infty < x < 0).

Here is a graph of the solution.

So, first deal with that minus sign separating the two terms.

Now, find (M) and (N) and check that it’s exact.

So, it’s exact. We’ll integrate the first one in this case.

[Psi left( ight) = int<> <<+ 1>> - 2t,dt>> = yln left( <+ 1> ight) - + hleft( y ight)]

Differentiate with respect to (y) and compare to (N).

[ = ln left( <+ 1> ight) + h'left( y ight) = ln left( <+ 1> ight) - 2 = N]

So, it looks like we’ve got.

[h'left( y ight) = - 2hspace<0.25in>,, Rightarrow hspace<0.25in>,,,hleft( y ight) = - 2y]

[Psi left( ight) = yln left( <+ 1> ight) - - 2y]

The implicit solution is then,

[yln left( <+ 1> ight) - - 2y = c]

Applying the initial condition gives,

The implicit solution is now,

This solution is much easier to solve than the previous ones. No quadratic formula is needed this time, all we need to do is solve for (y). Here’s what we get for an explicit solution.

Alright, let’s get the interval of validity. The term in the logarithm is always positive so we don’t need to worry about negative numbers in that. We do need to worry about division by zero however. We will need to avoid the following point(s).

[eginln left( <+ 1> ight) - 2 & = 0 ln left( <+ 1> ight) & = 2 + 1 & = <<f>^2> t & = pm sqrt <<<f>^2> - 1> end]

We now have three possible intervals of validity.

The last one contains (t = 5) and so is the interval of validity for this problem is (sqrt <<<f>^2> - 1> < t < infty ). Here’s a graph of the solution.

Let’s identify (M) and (N) and check that it’s exact.

So, it’s exact. With the proper simplification integrating the second one isn’t too bad.

However, the first is already set up for easy integration so let’s do that one.

Differentiate with respect to (y) and compare to (N).

So, it looks like we’ve got

[h'left( y ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hleft( y ight) = 0]

Recall that actually (h(y) = k), but we drop the (k) because it will get absorbed in the next step. That gives us (h(y) = 0). Therefore, we get.

The implicit solution is then

Apply the initial condition.

The implicit solution is then

This is as far as we can go. There is no way to solve this for (y) and get an explicit solution.


MATH 3331 - Ordinary Differential Equations

Prerequisite: Math 2331 and Math 2433.

Course Description: Systems of ordinary differential equations existence, uniqueness and stability of solutions initial value problems bifurcation theory Jordan form higher order equations Laplace transforms. Computer assignments are required

*Note: Students may not receive credit for both MATH 3321 and MATH 3331. This course is required for Math majors.

Text : Differential Equations, Second Edition, by J. Polking, A. Boggess and D. Arnold. Prentice Hall, 2006. ISBN:�

The book comes together with Ordinary Differential Equations using Matlab (ODEuM) by Polking and Arnold, 3rd edition, and a Student Solution Manual.

Course outline: Ordinary differential equations (ODE's) and systems of ODE's. Existence, uniqueness and stability of solutions first and second order ODE's applications the Laplace transform numerical methods systems of ODE's solutions of linear equations with constant coefficients qualitative results.

The computer software Matlab will be used to compute numerical solutions and represent them graphically. The additional Matlab programs (dfield, pplane, odesolve, eul, rk2, rk4) can be found at http://math.rice.edu/~dfield (see Appendix to Ch. 3 in ODEuM).

Optional sections are indicated by a *.
Problems grouped by semicolons are similar or related.
Exams can be given at the end of Chapters 3, 6 and 9.

Section Title Problémy
Chapter 2 First-Order Equations (9 lecture hours)
1.1 Differential Equation Models 1, 2, 3
2.1 Differential Equations and Solutions (see p. 23: explain dfield, odesolver) 3, 4, 7 13 17, 21 25
2.2 Solutions to Separable Equations 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 13, 15 32, 33
2.3 Models of Motion 3, 4, 9, 14
2.4 Linear Equations 1, 2, 3, 4, 5, 6 15, 18 23 36, 37
2.5 Mixing Problems 1, 5, 12
2.7 Existence and Uniqueness of Solutions 1, 2 9, 11
2.8 Dependence of Solutions on Initial Conditions 5
2.9 Autonomous Equations and Stability 3, 4 7, 9 11, 12 15, 17 27, 28 31
Chapter 3 Modeling and Applications (1 lecture hour)
3.1 Modeling Population Growth 1, 5, 13, 16
*3.2 Models and the Real World ---
*3.3 Personal Finance 3, 6, 7
Chapter 4 Second-Order Equations (7 lecture hours)
4.1 Definitions and Examples 1, 2, 3, 4, 5, 6 13, 17 22, 23 29
4.2 Second-Order Equations and Systems
(see pplane, Ch. 7 of ODEuM)
1, 3 9, 19
4.3 Linear, Homogeneous Equations with Constant Coefficients 1, 11, 17 25, 27, 29 38
4.4 Harmonic Motion 1, 5 11, 16
4.5 Inhomogeneous Equations the Method of Undetermined Coefficients 1, 3 5, 13 15, 17 19, 23, 31
4.6 Variation of Parameters 5, 7, 13
4.7 Forced Harmonic Motion 9 17, 21
Chapter 5 The Laplace Transform (4 lecture hours)
5.1 The Definition of the Laplace Transform 1, 3 12 19, 21 25, 27
5.2 Basic Properties of the Laplace Transform 3, 5, 27, 30 19, 21, 23, 25 34, 35, 39
5.3 The Inverse Laplace Transform 1, 3, 5 7 11, 13, 17 19, 23, 27, 29
5.4 Using the Laplace Transform to Solve Differential Equations 1, 2, 3 11, 14, 15, 21 27, 33
*5.5 Discontinuous Forcing Terms 1, 5 11, 13 27, 29 35
Chapter 6 Numerical Methods (2 lecture hours)
6.1 Euler's Method 5, 7, 10, 16 download eul, rk2, rk4 see ODEuM Ch. 2 pp. 15-25 for plot, and Ch. 5
6.2 Runge-Kutta Methods 7, 19, 29
6.3 Numerical Error Comparisons 9 read “A cautionary tale” at the end of ڌ.4
Chapter 7 Matrix Algebra  (review, no lectures)
7.3 Solving Systems of Equations 3, 7
7.5 Bases of a Subspace 1, 3, 5 11, 21 27, 29
7.6 Square Matrices 1 4, 5, 7 13, 15 21, 23, 24
7.7 Determinants 1, 7, 15, 20, 27
Chapter 8 An Introduction to Systems (5 lecture hours)
8.1 Definitions and Examples 7 11, 15 17, 18 23, 24
8.2 Geometric Interpretation of Solutions 17, 19, 21, 29 (for (c) see ezplot, ODEuM pp. 9-11) review pplane, Ch. 7 of ODEuM
8.3 Qualitative Analysis 1, 6 7, 9
8.4 Linear Systems 11, 13, 17 21
8.5 Properties of Linear Systems 1, 7, 13 11 23, 25 27
Chapter 9 Linear Systems with Constant Coefficients (8 lecture hours)
9.1 Overview of the Technique 17, 19, 21, 25
9.2 Planar Systems 3, 9 13, 14 17, 23 31, 37 49, 51, 53 28
9.3 Phase Plane Portraits 11, 12, 13, 17, 21
*9.4 The Trace-Determinant Plane 1, 3, 5, 7, 9, 11 13, 20
9.5 Higher-Dimensional Systems 9, 15 21, 27 53
9.6 The Exponential of a Matrix 1, 3 7, 10 13, 17, 19, 21 27
9.7 Qualitative Analysis of Linear Systems 1, 3, 4, 5, 7 11, 12
9.8 Higher-Order Linear Equations 15, 17 29, 31 39
9.9 Inhomogeneous Linear Systems 1 13, 15 (typo, y'=. ) 27 31
Chapter㺊  Nonlinear Systems  
*10.1 The Linearization of a Nonlinear System 1, 3, 9, 17, 19
*10.2 Long-Term Behavior of Solutions 1, 5, 9, 13
*10.3 Invariant Sets and the Use of Nullclines 3, 7, 11 13 17
*10.4 Long-Term Behavior of Solutions to Planar Systems 1, 5, 7, 11, 23

CSD Accommodations:

Academic Adjustments/Auxiliary Aids: The University of Houston System complies with Section 504 of the Rehabilitation Act of 1973 and the Americans with Disabilities Act of 1990, pertaining to the provision of reasonable academic adjustments/auxiliary aids for students who have a disability. In accordance with Section 504 and ADA guidelines, University of Houston strives to provide reasonable academic adjustments/auxiliary aids to students who request and require them. If you believe that you have a disability requiring an academic adjustments/auxiliary aid, please visit   The Center for Students with DisABILITIES (CSD)   website at   http://www.uh.edu/csd/   for more information.

Accommodation Forms: Students seeking academic adjustments/auxiliary aids must, in a timely manner (usually at the beginning of the semester), provide their instructor with a current Student Accommodation Form (SAF) (paper copy or   online   version, as appropriate) from the CSD office before an approved accommodation can be implemented.

Details of this policy, and the corresponding responsibilities of the student are outlined in   The Student Academic Adjustments/Auxiliary Aids Policy (01.D.09)   document under [STEP 4: Student Submission (5.4.1 & 5.4.2), Page 6]. For more information please visit the   Center for Students with Disabilities Student Resources   page.

Additionally, if a student is requesting a (CSD approved) testing accommodation, then the student will also complete a Request for Individualized Testing Accommodations (RITA) paper form to arrange for tests to be administered at the CSD office. CSD suggests that the student meet with their instructor during office hours and/or make an appointment to complete the RITA form to ensure confidentiality.

*Note: RITA forms must be completed at least 48 hours in advance of the original test date. Please consult your   counselor   ahead of time to ensure that your tests are scheduled in a timely manner. Please keep in mind that if you run over the agreed upon time limit for your exam, you will be penalized in proportion to the amount of extra time taken.

Counseling and Psychological Services (CAPS) can help students who are having difficulties managing stress, adjusting to college, or feeling sad and hopeless. You can reach   (CAPS) by calling 713-743-5454 during and after business hours for routine appointments or if you or someone you know is in crisis. No appointment is necessary for the   "Let's Talk"   program, a drop-in consultation service at convenient locations and hours around campus.


Features

This title is a Pearson Global Edition. The Editorial team at Pearson has worked closely with educators around the world to include content which is especially relevant to students outside the United States.

· Students learn the basic theory of differential equations while exploring a variety of modern applications in science and engineering.

o Modernized treatment of the introduction to systems chapter and phase plane analysis increases student comprehension of the material.

o Flexible organization allows for various course configurations and emphasis (theory, applications and techniques, and concepts).

o Motivating Problems begin most chapters with a discussion of a physics or engineering problem

o Applications-driven sections are included in the chapter on linear second-order equations.

o Review of Linear Algebraic Equations and Matrices -- The chapter on matrix methods for linear systems (Chapter 9) begins with two introductory sections on the theory of linear algebraic systems and matrix algebra.

o Review of Integration Techniques appendix provides a review of the methods for integrating functions analytically. This offers students a useful refresh prior to beginning the differential equations course.

o NEW! Príklady have been added dealing with variation of parameters, Laplace transforms, the Gamma function, and eigenvectors (among others).

· Robust opportunities for exercises and assignments give instructors flexibility and students a wide range of practice.

o Projects relating to the material covered appear at the end of each chapter. They may involve more challenging applications, delve deeper into theory, or introduce more advanced topics.

o Exercises, which are graduated in difficulty and varied by type, include a wide variety of applications such as barometric pressure, compound interest, the mathematical equivalence of an impulse force and a velocity boost.

o Chapter Summaries and Review Problems at the end of each chapter help students comprehend fully the learning and promote knowledge retention.

o Technical Writing Exercises help students develop their communication skills, an essential aspect of professional activity.

o Optional use of Mathematica ® , MATLAB ® , and Maple ™ computer software gives students opportunity to conduct numerical experiments and tackle realistic applications that give additional insights into the subject. Online Manuals for Maple, MATLAB, and Mathematica offer sample worksheets and suggestions on incorporating these technologies into the courses.

MyLab™ Math is not included. Students, if MyLab Math is a recommended/mandatory component of the course, please ask your instructor for the correct ISBN. MyLab Math should only be purchased when required by an instructor. Instructors, contact your Pearson representative for more information.

New! For the first time, MyLab Math is available for this text. MyLab Math is an online homework, tutorial, and assessment program designed to work with this text to engage students and improve results. Within its structured environment, students practice what they learn, test their understanding, and pursue a personalized study plan that helps them absorb course material and understand difficult concepts.

· Exercises with immediate feedback — Nearly 750 assignable exercises are based on the textbook exercises, and regenerate algorithmically to give students unlimited opportunity for practice and mastery. MyLab Math provides helpful feedback when students enter incorrect answers and includes optional learning aids including Help Me Solve This, View an Example, videos, and an eText. The instructor can decide if and when to allow students access to the learning aids by assignment, or at the exercise level so students get the right level of support while also preparing them to work independently.

· A suite of instructional videos, featuring the authors, provide meaningful support to students and flexibility for instructors in how they are used. Instructors can assign questions that relate to the videos in order to gauge student comprehension of concepts, by selecting exercises via the Guide to Video-Based Assignments. Or, instructors can use the videos in class or as a supplementary resource on specific topics.

· The complete interactive eText is available to students through their MyLab Math courses for the lifetime of the edition, giving students unlimited access to the eText within any course using that edition of the textbook. The Pearson eText offers interactive links throughout, so students can watch videos on key examples as they read.

· Learning Catalytics ™ helps instructors generate class discussion, customize lectures, and promote peer-to-peer learning with real-time analytics. As a student response tool, Learning Catalytics uses students’ smartphones, tablets, or laptops to engage them in more interactive tasks and thinking.

o Help students develop critical thinking skills.

o Monitor responses to find out where students are struggling.

o Rely on real-time data to adjust teaching strategy.

o Automatically group students for discussion, teamwork, and peer-to-peer learning.

· Accessibility and achievement go hand in hand. MyLab Math is compatible with the JAWS screen reader, and enables multiple-choice and free-response problem types to be read and interacted with via keyboard controls and math notation input. MyMathLab also works with screen enlargers, including ZoomText, MAGic, and SuperNova. And, all MyMathLab videos have closed-captioning. More information is available athttp://mymathlab.com/accessibility.

· A comprehensive gradebook with enhanced reporting functionality allows for efficient course management.

o The Reporting Dashboard provides insight to view, analyze, and report learning outcomes. Student performance data is presented at the class, section, and program levels in an accessible, visual manner to make accessible all required information to keep students on track.

o Item Analysis tracks class-wide understanding of particular exercises to so refine class lectures or adjust the course/department syllabus. Just-in-time teaching has never been easier!

New to This Edition

Several pedagogical changes were made including amplification of the distinction between phase plane solutions and actual trajectories in Chapter 5, and incorporation of matrix and Jacobian formulations for autonomous systems.

New problems added to exercise sets deal with such topics as axon gating variables and oscillations of a helium-filled balloon on a cord. Additionally, novel problems accompany the new projects, focusing on economic models, disease control, synchronization, signal propagation, and phase plane analyses of neural responses.

New examples have been added dealing with variation of parameters, Laplace transforms, the Gamma function, and eigenvectors (among others).

Kapitola 1 has a new project called “Applications to Economics” deals with models for an agrarian economy as well as the growth of capital.

Chapter 4 contains a new project called “Gravity Train” which invites to reader to utilize differential equations in the design of an underground tunnel from Moscow to St. Petersburg, Russia, using gravity for propulsion.

Chapter 5 has two new projects.

◦ “The 2014-2015 Ebola Epidemic” describes a system of differential equations for modelling for the spread of the disease in West Africa. The model incorporates such features as contact tracing, number of contacts, likelihood of infection, and efficacy of isolation.

◦ Phase-locked loops constitute the theme of a new project that utilizes differential equations to analyze a technique for measuring or matching high frequency radio oscillations.

Chapter 7, the Laplace Transforms chapter, has been updated so that the treatments of discontinuous and periodic functions are now divided into two sections that are more appropriate for 50 minute lectures: Section 7.6 “Transforms of Discontinuous Functions” and Section 7.7 “Transforms of Periodic and Power Functions.”

Chapter 10 has a new project that broadens the analysis of the wave and heat equations to explore the telegrapher's and cable equations.

Appendix G is a new appendix which lists commercial software and freeware for direction fields, phase portraits, and numerical methods for solving differential equations.

MyLab™ Math is not included. Students, if MyLab Math is a recommended/mandatory component of the course, please ask your instructor for the correct ISBN. MyLab Math should only be purchased when required by an instructor. Instructors, contact your Pearson representative for more information.

For the first time, MyLab™ Math is available with this edition for differential equations. MyLab Math is an online homework, tutorial, and assessment program designed to work with this text to engage students and improve results. Within its structured environment, students practice what they learn, test their understanding, and pursue a personalized study plan that helps them absorb course material and understand difficult concepts.

Exercises with immediate feedback — Nearly 750 assignable exercises are based on the textbook exercises, and regenerate algorithmically to give students unlimited opportunity for practice and mastery. MyLab Math provides helpful feedback when students enter incorrect answers and includes optional learning aids including Help Me Solve This, View an Example, videos, and an eText. The instructor can decide if and when to allow students access to the learning aid — by assignment, or at the exercise level — so students get the right level of support while also preparing them to work independently.

A new suite of instructional videos provide meaningful support to students and flexibility for instructors in how they are used. Instructors can assign questions that relate to the videos in order to gauge student comprehension of concepts, by selecting exercises via the Guide to Video-Based Assignments. Or, instructors can use the videos in class or as a supplementary resource on specific topics.

The complete interactive eText is available to students through their MyLab Math courses for the lifetime of the edition, giving students unlimited access to the eText within any course using that edition of the textbook. The Pearson eText offers interactive links throughout, so students can watch videos on key examples as they read.

Learning Catalytics ™ helps instructors generate class discussion, customize lectures, and promote peer-to-peer learning with real-time analytics. As a student response tool, Learning Catalytics uses students’ smartphones, tablets, or laptops to engage them in more interactive tasks and thinking.

Help students develop critical thinking skills.

Monitor responses to find out where students are struggling.

Rely on real-time data to adjust teaching strategy.

Automatically group students for discussion, teamwork, and peer-to-peer learning.

Accessibility and achievement go hand in hand. MyLab Math is compatible with the JAWS screen reader, and enables multiple-choice and free-response problem types to be read and interacted with via keyboard controls and math notation input. MyLab Math also works with screen enlargers, including ZoomText, MAGic, and SuperNova. And, all MyLab Math videos have closed-captioning. More information is available at http://mymathlab.com/accessibility.

A comprehensive gradebook with enhanced reporting functionality allows for efficient course management.

The Reporting Dashboard provides insight to view, analyze, and report learning outcomes. Student performance data is presented at the class, section, and program levels in an accessible, visual manner to make accessible all information required to keep students on track.

Item Analysis tracks class-wide understanding of particular exercises to refine class lectures or adjust the course/department syllabus. Just-in-time teaching has never been easier!


About Elementary Differential Equations 6th Edition Solutions Manual Pdf

A clear, concise book that emphasizes finding solutions to differential equations where applications play an important role. Each chapter includes many illustrative examples to assist the reader. The book emphasizes methods for finding solutions to differential equations. It provides many abundant exercises, applications, and solved examples with careful attention given to readability. Elementary Differential Equations includes a thorough treatment of power series techniques. In addition, the book presents a classical treatment of several physical problems to show how Fourier series become involved in the solution of those problems. The eighth edition of Elementary Differential Equations has been revised to include a new supplement in many chapters that provides suggestions and exercises for using a computer to assist in the understanding of the material in the chapter. It also now provides an introduction to the phase plane and to different types of phase portraits. A valuable reference book for readers interested in exploring the technological and other applications of differential equations.


Pozri si video: soustavy rovnic závorky, zlomky (December 2021).