Články

14.6: Výpočet centier hmotnosti a okamihov zotrvačnosti


Učebné ciele

  • Použite dvojité integrály na lokalizáciu ťažiska dvojrozmerného objektu.
  • Pomocou dvojitých integrálov nájdite okamih zotrvačnosti dvojrozmerného objektu.
  • Použite trojité integrály na lokalizáciu ťažiska trojrozmerného objektu.

Už sme diskutovali o niekoľkých aplikáciách viacerých integrálov, ako je hľadanie oblastí, objemov a priemerná hodnota funkcie v ohraničenej oblasti. V tejto časti vyvíjame výpočtové techniky na hľadanie ťažiska a momentov zotrvačnosti niekoľkých typov fyzikálnych objektov pomocou dvojitých integrálov pre vrstvu (plochú dosku) a trojitých integrálov pre trojrozmerný objekt s premenlivou hustotou. Hustota sa zvyčajne považuje za konštantné číslo, keď je vrstva alebo predmet homogénna; to znamená, že objekt má jednotnú hustotu.

Ťažisko v dvoch dimenziách

Ťažisko je tiež známe ako ťažisko, ak sa objekt nachádza v jednotnom gravitačnom poli. Ak má objekt jednotnú hustotu, ťažiskom je geometrický stred objektu, ktorý sa nazýva ťažisko. Obrázok ( PageIndex {1} ) zobrazuje bod (P ) ako ťažisko vrstvy. Lamela je okolo stredu hmoty dokonale vyvážená.

Aby sme našli súradnice stredu hmoty (P ( bar {x}, bar {y}) ) laminy, musíme nájsť moment (M_x ) laminy okolo (x ) - os a moment (M_y ) okolo osi (y ) -. Musíme tiež zistiť hmotnosť (m ) laminy. Potom

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ]

a

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. ]

Definície a metódy jednoduchej integrácie na nájdenie ťažiska jednorozmerného objektu (napríklad tenkej tyče) nájdete v časti Momenty a centrá hmotnosti. Použijeme tu podobný nápad, až na to, že objekt je dvojrozmerná vrstva a my používame dvojitý integrál.

Ak povolíme funkciu konštantnej hustoty, potom ( bar {x} = dfrac {M_y} {m} ) a ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} ) dajú ťažiskový z laminy.

Predpokladajme, že vrstva zaberá oblasť (R ) v (xy ) - rovine a nech ( rho (x, y) ) predstavuje jej hustotu (v jednotkách hmotnosti na jednotku plochy) v ktoromkoľvek bode ((x, y) ). Teda

[ rho (x, y) = lim _ { Delta A rightarrow 0} dfrac { Delta m} { Delta A} ]

kde ( Delta m ) a ( Delta A ) sú hmotnosť a plocha malého obdĺžnika obsahujúceho bod ((x, y) ) a limit sa berie, keď rozmery obdĺžnika prejdú na (0 ) (pozri nasledujúci obrázok).

Rovnako ako predtým rozdelíme oblasť (R ) na malé obdĺžniky (R_ {ij} ) s oblasťou ( Delta A ) a zvolíme ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) ako vzorkovacie body. Potom sa hmotnosť (m_ {ij} ) každého (R_ {ij} ) rovná ( rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ) (obrázok ( PageIndex {2} )). Nech (k ) a (l ) je počet podinterválov v (x ) a (y ). Pamätajte tiež, že tvar nemusí byť vždy obdĺžnikový, ale limit aj tak funguje, ako je vidieť v predchádzajúcich častiach.

Hmotnosť laminy je teda

[m = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R rho (x, y) dA. ]

Pozrime sa teraz na príklad zistenia celkovej hmotnosti trojuholníkovej vrstvy.

Príklad ( PageIndex {1} ): Nájdenie celkovej hmotnosti laminy

Uvažujme trojuholníkovú vrstvu (R ) s vrcholmi ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) a hustotou ( rho (x, y) = xy , kg / m ^ 2 ). Nájdite celkovú hmotnosť.

Riešenie

Náčrt oblasti (R ) je vždy užitočný, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Pomocou výrazu vyvinutého pre masu to vidíme

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} doľava [ doľava. x dfrac {y ^ 2} {2} vpravo | _ {y = 0} ^ {y = 3} vpravo] , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} dfrac {1 } {2} x (3 - x) ^ 2 dx = doľava. Doľava [ dfrac {9x ^ 2} {4} - x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {8} doprava] doprava | _ {x = 0} ^ {x = 3} = dfrac {27} {8}. ]

Výpočet je priamy a dáva odpoveď (m = dfrac {27} {8} , kg ).

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Zvážte rovnakú oblasť (R ) ako v predchádzajúcom príklade a použite funkciu hustoty ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Nájdite celkovú hmotnosť.

Odpoveď

( dfrac {9 pi} {8} , kg )

Teraz, keď sme vytvorili výraz pre hmotnosť, máme nástroje, ktoré potrebujeme na výpočet momentov a centier hmotnosti. Moment (M_z ) okolo osi (x ) - pre (R ) je limitom súčtu momentov oblastí (R_ {ij} ) okolo osi (x ) - . Preto

[M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R y rho (x, y) , dA ]

Podobne okamih (M_y ) okolo (y ) - osi pre (R ) je limitom súčtu momentov oblastí (R_ {ij} ) okolo (y ) - os. Preto

[M_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R x rho (x, y) , dA ]

Príklad ( PageIndex {2} ): Nájdenie okamihov

Zvážte tú istú trojuholníkovú vrstvu (R ) s vrcholmi ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) a hustotou ( rho (x, y) = xy ). Nájdite momenty (M_x ) a (M_y ).

Riešenie

Použite dvojité integrály pre každý okamih a vypočítajte ich hodnoty:

[M_x = iint_R y rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ^ 2 , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} x ^ 2 y , dy , dx = dfrac {81} {20}, ]

Výpočet je celkom priamy.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Zvážte rovnakú laminu (R ) ako je uvedené vyššie a použite funkciu hustoty ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Nájdite momenty (M_x ) a (M_y ).

Odpoveď

(M_x = dfrac {81 pi} {64} ) a (M_y = dfrac {81 pi} {64} )

Nakoniec sme pripravení preformulovať výrazy pre centrum hmoty z hľadiska integrálov. Označujeme X- súradnica ťažiska pomocou ( bar {x} ) a r-koordinovaný podľa ( bar {y} ). Konkrétne

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

a

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

Príklad ( PageIndex {3} ): ťažisko

Znova zvážte rovnakú trojuholníkovú oblasť (R ) s vrcholmi ((0,0), , (0,3), , (3,0) ) a s hustotnou funkciou ( rho (x, y) ) = xy ). Nájdite ťažisko.

Riešenie

Pomocou vzorcov, ktoré sme vyvinuli, máme

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}. ]

Preto je ťažiskom bod ( doľava ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} doprava). )

Analýza

Ak namiesto toho zvolíme hustotu ( rho (x, y) ), aby bola jednotná v celej oblasti (t. J. Konštanta), ako je napríklad hodnota 1 (bude stačiť ľubovoľná konštanta), môžeme vypočítať ťažisko,

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R , dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R , dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1. ]

Všimnite si, že ťažisko ( doľava ( dfrac {6} {5}, dfrac {6} {5} doprava) ) nie je úplne rovnaké ako ťažisko ((1,1) ) trojuholníkovej oblasti. Je to spôsobené premennou hustotou (R ) Ak je hustota konštantná, potom stačí použiť ( rho (x, y) = c ) (konštanta). Táto hodnota sa ruší zo vzorcov, takže pri konštantnej hustote sa ťažisko zhoduje s ťažiskom vrstvy.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Opäť použite rovnakú oblasť (R ) ako je uvedené vyššie a použite funkciu hustoty ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Nájdite ťažisko.

Odpoveď

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {81 pi / 64} {9 pi / 8} = dfrac {9} {8} ) a ( bar { y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {81 pi} {9 pi / 8} = dfrac {0} {8} ).

Opäť máme na základe komentárov na konci príkladu ( PageIndex {3} ) výrazy pre ťažisko oblasti v rovine:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R , dA} , text {and} , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R , dA}. ]

Mali by sme použiť tieto vzorce a overiť ťažisko trojuholníkovej oblasti R uvedenej v posledných troch príkladoch.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie omše, okamihov a ťažiska

Nájdite hmotnosť, momenty a stred hmotnosti vrstvy hustoty ( rho (x, y) = x + y ) zaberajúcej oblasť (R ) pod krivkou (y = x ^ 2 ) v intervale (0 leq x leq 2 ) (pozri nasledujúci obrázok).

Riešenie

Najskôr vypočítame hmotnosť (m ). Musíme popísať oblasť medzi grafom (y = x ^ 2 ) a zvislými čiarami (x = 0 ) a (x = 2 ):

[m = iint_R , dm = iint_R rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} (x + y) dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} doľava [ doľava. xy + dfrac {y ^ 2} {2} vpravo | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} vpravo] , dx ]

[= int_ {x = 0} ^ {x = 2} doľava [x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {2} doprava] dx = doľava. doľava [ dfrac {x ^ 4 } {4} + dfrac {x ^ 5} {10} doprava] doprava | _ {x = 0} ^ {x = 2} = dfrac {36} {5}. ]

Teraz vypočítajte momenty (M_x ) a (M_y ):

[M_x = iint_R y rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} y (x + y) , dy , dx = dfrac {80} {7}, ]

[M_y = iint_R x rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} x (x + y) , dy , dx = dfrac {176} {15}. ]

Nakoniec vyhodnotte ťažisko,

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {176/15} {36/5} = dfrac {44} {27}, ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} = dfrac {80/7} {36/5} = dfrac {100} {63}. ]

Preto je ťažisko (( bar {x}, bar {y}) = doľava ( dfrac {44} {27}, dfrac {100} {63} doprava) ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vypočítajte hmotnosť, momenty a stred hmotnosti oblasti medzi krivkami (y = x ) a (y = x ^ 2 ) pomocou funkcie hustoty ( rho (x, y) = x ) v intervale (0 leq x leq 1 ).

Odpoveď

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/20} {1/12} = dfrac {3} {5} ) a ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/24} {1/12} = dfrac {1} {2} )

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie ťažiska

Nájdite ťažisko oblasti pod krivkou (y = e ^ x ) v intervale (1 leq x leq 3 ) (obrázok ( PageIndex {6} )).

Riešenie

Na výpočet ťažiska predpokladáme, že funkcia hustoty je konštantná, a preto sa zruší:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} a , y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA}, ]

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x , dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} x , dy , dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} , dy , dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} xe ^ x dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} e ^ x dx} = dfrac {2e ^ 3} {e ^ 3 - e} = dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}, ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y , dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} y , dy , dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} , dy , dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} dfrac {e ^ {2x}} {2} dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} e ^ x dx} = dfrac { dfrac {1} {4} e ^ 2 (e ^ 4 - 1)} {e (e ^ 2 - 1)} = dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1). ]

Ťažisko regiónu je teda

[(x_c, y_c) = left ( dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}, dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1) right). ]

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Vypočítajte ťažisko oblasti medzi krivkami (y = x ) a (y = sqrt {x} ) s rovnomernou hustotou v intervale (0 leq x leq 1 ).

Odpoveď

(x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/15} {1/6} = dfrac {2} {5} ) a (y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/12} {1/6} = dfrac {1} {2} )

Okamihy zotrvačnosti

Pre jasné pochopenie toho, ako vypočítať momenty zotrvačnosti pomocou dvojitých integrálov, sa musíme vrátiť k všeobecnej definícii v časti (6.6 ). Moment zotrvačnosti častice hmotnosti (m ) okolo osi je (mr ^ 2 ), kde (r ) je vzdialenosť častice od osi. Z obrázka (PageIndex {3} ) môžeme vidieť, že moment zotrvačnosti subreťazca (R_ {ij} ) okolo osi (x ) - je ((y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ). Podobne je moment zotrvačnosti subrektanglu (R_ {ij} ) okolo osi (y ) - ((x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A ). Moment zotrvačnosti súvisí s rotáciou hmoty; konkrétne meria tendenciu hmoty odolávať zmene rotačného pohybu okolo osi.

Moment zotrvačnosti (I_x ) okolo (x ) - os pre oblasť (R ) je limit súčtu momentov zotrvačnosti oblastí (R_ {ij} ) okolo (x ) - os. Preto

[I_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij } ^ *) , Delta A = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA. ]

Podobne je moment zotrvačnosti (I_y ) okolo (y ) - osi pre (R ) limitom súčtu momentov zotrvačnosti oblastí (R_ {ij} ) okolo (y ) - os. Preto

[I_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij } ^ *) , Delta A = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA. ]

Niekedy musíme nájsť okamih zotrvačnosti objektu o počiatku, ktorý je známy ako polárny moment zotrvačnosti. Označíme to (I_0 ) a získame ho pripočítaním momentov zotrvačnosti (I_x ) a (I_y ). Preto

[I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA. ]

Všetky tieto výrazy je možné zapísať do polárnych súradníc nahradením (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ) a (dA = r , dr , d theta ). Napríklad (I_0 = iint_R r ^ 2 rho (r , cos , theta, , r , sin , theta) , dA ).

Príklad ( PageIndex {6} ): Nájdenie momentov zotrvačnosti pre trojuholníkovú laminu

Použite trojuholníkovú oblasť (R ) s vrcholmi ((0,0), , (2,2) ) a ((2,0) ) a hustotou ( rho (x, y) ) = xy ) ako v predchádzajúcich príkladoch. Nájdite okamihy zotrvačnosti.

Riešenie

Pomocou výrazov stanovených vyššie pre momenty zotrvačnosti máme

[I_x = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} xy ^ 3 , dy , dx = dfrac {8} {3}, ]

[I_y = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 3y , dy , dx = dfrac {16} {3}, ]

[I_0 = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA = int_0 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) xy , dy , dx = I_x + I_y = 8 ]

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Opäť použite rovnakú oblasť (R ) ako je uvedené vyššie a funkciu hustoty ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Nájdite okamihy zotrvačnosti.

Odpoveď

[I_x = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} y ^ 2 sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {64} {35} ] a

[I_y = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 2 sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {64} {35}. ] Tiež,

[I_0 = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} (x ^ 2 + y ^ 2) sqrt {xy} , dy , dx = dfrac {128} {21} ]

Ako už bolo spomenuté, moment zotrvačnosti častice hmotnosti (m ) okolo osi je (mr ^ 2 ), kde (r ) je vzdialenosť častice od osi, známa tiež ako polomer otáčania.

Preto sú polomery rotácie vzhľadom na os (x ) - os, (y ) - os a počiatok

[R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}}, , R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}}, , a , R_0 = sqrt { dfrac {I_0} { m}}, ]

resp. V obidvoch prípadoch nám polomer otáčania hovorí, ako ďaleko (kolmá vzdialenosť) od osi otáčania by mohla byť sústredená celá hmotnosť objektu. Okamžiky objektu sú užitočné na vyhľadanie informácií o rovnováhe a krútiacom momente objektu okolo osi, ale na opis rozloženia hmoty okolo jeho ťažiska sa používajú radiálne polomery. Existuje mnoho aplikácií v strojárstve a fyzike. Niekedy je potrebné nájsť polomer otáčania, ako v nasledujúcom príklade.

Príklad ( PageIndex {7} ): Nájdenie polomeru žiarenia pre trojuholníkovú laminu

Uvažujme tú istú trojuholníkovú vrstvu (R ) s vrcholmi ((0,0), , (2,2) ) a ((2,0) ) a s hustotou ( rho (x, y) = xy ) ako v predchádzajúcich príkladoch. Nájdite polomery gyrácie vzhľadom na os (x ) - os (y ) - a východiskový bod.

Riešenie

Ak vypočítame hmotnosť tejto oblasti, zistíme, že (m = 2 ). Momenty zotrvačnosti tejto vrstvy sme našli v príklade ( PageIndex {4} ). Z týchto údajov sú polomery rotácie vzhľadom na os (x ) - osi, (y ) - a pôvod, v uvedenom poradí,

[ begin {align} R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}} = sqrt { dfrac {8/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {6}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3}, R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}} = sqrt { dfrac {16/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {3}} = dfrac {2 sqrt {6}} {3}, R_0 = sqrt { dfrac {I_0} {m}} = sqrt { dfrac {8} {2 }} = sqrt {4} = 2. end {zarovnať} ]

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Použite rovnakú oblasť (R ) z príkladu ( PageIndex {7} ) a funkciu hustoty ( rho (x, y) = sqrt {xy} ). Nájdite polomery gyrácie vzhľadom na os (x ) -, os (y ) - a počiatok.

Pomôcka

Postupujte podľa krokov uvedených v predchádzajúcom príklade.

Odpoveď

(R_x = dfrac {6 sqrt {35}} {35}, , R_y = dfrac {6 sqrt {15}} {15}, ) a (R_0 = dfrac {4 sqrt { 42}} {7} ).

Cvičenie ( PageIndex {9} )

Zvážte ten istý región (Q ) (Obrázok ( PageIndex {7} )) a použite funkciu hustoty ( rho (x, y, z) = xy ^ 2z ). Nájdite ťažisko.

Pomôcka

Skontrolujte, či (M_ {xy} = dfrac {27} {35}, , M_ {xz} = dfrac {243} {140}, ) a (M_ {yz} = dfrac {81} { 35} ). Potom použite znak (m ) z predchádzajúcej otázky týkajúcej sa kontrolného bodu.

Odpoveď

( doľava ( dfrac {3} {2}, dfrac {9} {8}, dfrac {1} {2} doprava) )

Túto časť uzatvárame príkladom hľadania momentov zotrvačnosti (I_x, , I_y ) a (I_z ).

Príklad ( PageIndex {10} ): Nájdenie momentov zotrvačnosti telesa

Predpokladajme, že (Q ) je pevná oblasť a je ohraničená (x + 2y + 3z = 6 ) a súradnicovými rovinami s hustotou ( rho (x, y, z) = x ^ 2 yz ) (pozri obrázok ( PageIndex {7} )). Nájdite momenty zotrvačnosti štvorstenu (Q ) okolo (yz ) - roviny, (xz ) - roviny a (xy ) - roviny.

Riešenie

Opäť môžeme takmer okamžite napísať hranice integrácie, a teda môžeme rýchlo pristúpiť k vyhodnoteniu momentov zotrvačnosti. Pomocou vyššie uvedeného vzorca sú momenty zotrvačnosti štvorstenu (Q ) okolo (yz ) - roviny, (xz ) - roviny a (xy ) - roviny sú

[I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) rho (x, y, z) , dV, ]

[I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) rho (x, y, z) , dV, ] a

[I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y, z) , dV , s , rho (x, y, z) = x ^ 2yz. ]

Pokračujeme vo výpočtoch

[ begin {align *} I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {117} {35} približne 3,343, end {zarovnať *} ]

[ begin {align *} I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {684} {35} približne 19,543, end {zarovnať *} ]

[ begin {align *} I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 rho (x, y, z) , dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 yz , dz , dy , dx = dfrac {729} {35} približne 20 829. end {zarovnať *} ]

Teda momenty zotrvačnosti štvorstenu (Q ) okolo (yz ) - roviny, (xz ) - roviny a (xy ) - roviny sú (117/35, 684/35 ) a (729/35 ).

Cvičenie ( PageIndex {10} )

Zvážte rovnakú oblasť (Q ) (Obrázok ( PageIndex {7} )) a použite funkciu hustoty ( rho (x, y, z) = xy ^ 2z ). Nájdite momenty zotrvačnosti okolo troch súradnicových rovín.

Odpoveď

Momenty zotrvačnosti štvorstenu (Q ) okolo (yz ) - roviny, (xz ) - roviny a (xy ) - roviny sú (99/35, , 36 / 7 ) a (243/35 ).

Kľúčové koncepty

Nájdenie hmoty, ťažiska, momentov a momentov zotrvačnosti v dvojitých integráloch:

  • Pre vrstvu (R) s funkciou hustoty ( rho (x, y) ) v ľubovoľnom bode ((x, y) ) v rovine je hmotnosť [m = iint_R rho (x, y) , dA. ]
  • Momenty okolo osi (x ) - a (y ) - sú [M_x = iint_R y rho (x, y) , dA a , M_y = iint_R x rho ( x, y) , dA. ]
  • Ťažisko je dané ( bar {x} = dfrac {M_y} {m}, , bar {y} = dfrac {M_x} {m} ).
  • Keď je hustota konštantná, ťažisko sa stane ťažiskom roviny.
  • Momenty zotrvačnosti okolo osi (x ) - osi, (y ) - osi a počiatok sú [I_x = iint_R y ^ 2 rho (x, y) , dA, , I_y = iint_R x ^ 2 rho (x, y) , dA, a , I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x, y) , dA. ]

Nájdenie hmoty, ťažiska, momentov a momentov zotrvačnosti v trojitých integráloch:

  • Pre pevný objekt (Q ) s funkciou hustoty ( rho (x, y, z) ) v ľubovoľnom bode ((x, y, z) ) v priestore je hmotnosť [m = iiint_Q rho (x, y, z) , dV. ]
  • Momenty okolo roviny (xy ), roviny (xz ) a roviny (yz ) sú [M_ {xy} = iiint_Q z rho (x, y, z) , dV, , M_ {xz} = iiint_Q y rho (x, y, z) , dV, , M_ {yz} = iiint_Q x rho (x, y, z) , dV ]
  • Ťažisko je dané ( bar {x} = dfrac {M_ {yz}} {m}, , bar {y} = dfrac {M_ {xz}} {m}, , lišta {z} = dfrac {M_ {xy}} {m}. )
  • Keď je hustota konštantná, ťažisko sa stane ťažiskom pevnej látky.
  • Momenty zotrvačnosti okolo (yz ) - roviny, (xz ) - roviny a (xy ) - roviny sú [I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) , rho (x, y, z) , dV, , I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) , rho (x, y, z) , dV, , I_z = iiint_Q ( x ^ 2 + y ^ 2) , rho (x, y, z) , dV. ]

Kľúčové rovnice

  • Hmotnosť laminy [m = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R rho (x, y) , dA ]
  • Moment o X- os [M_x = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R y rho (x, y) , dA ]
  • Moment o r- os [M_y = lim_ {k, l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k , l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = iint_R x rho (x, y) , dA ]
  • Ťažisko laminy [ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} , a , bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x, y) , dA} { iint_R rho (x, y) , dA} ]

Glosár

polomer otáčania
vzdialenosť od ťažiska objektu k jeho osi otáčania