Články

3.4: Riešenie aplikácií zmesí - matematika


Učebné ciele

Na konci tejto časti budete môcť:

  • Riešte slovné úlohy s mincami
  • Vyriešte úlohy so vstupenkami a pečiatkami
  • Riešenie slovných úloh so zmesou
  • Použite zmiešaný model na riešenie investičných problémov pomocou jednoduchého úroku

Poznámka

Než začnete, absolvujte tento kvíz o pripravenosti.

  1. Vynásobte: (14 (0,25) ).
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 1.8.19.
  2. Riešiť: (0,25x + 0,10 (x + 4) = 2,5 ).
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 2.4.22.
  3. Počet desetníkov je o tri viac ako počet štvrtín. Nech q predstavuje počet štvrtín. Napíšte výraz pre počet desetníkov.
    Ak vám tento problém unikol, prečítajte si cvičenie 1.3.43.

Vyriešte problémy s mincovými slovami

V problémy so zmesou, budeme môcť kombinovať dve alebo viac položiek s rôznymi hodnotami. Obchodníci a barmani používajú model zmesi na zaistenie toho, aby stanovili spravodlivé ceny za výrobky, ktoré predávajú. Mnoho ďalších odborníkov, ako sú chemici, investiční bankári a krajinári, tiež používa zmiešaný model.

Poznámka

Vykonávanie činnosti manipulačnej matematiky Coin Lab vám pomôže lepšie porozumieť slovným úlohám kombinovaným.

Začneme tým, že sa pozrieme na aplikáciu, ktorú každý pozná - peniaze!

Predstavte si, že z vrecka alebo kabelky vyberieme hrsť mincí a položíme ich na stôl. Ako by sme určili hodnotu tej hromady mincí? Ak dokážeme zostaviť podrobný plán zisťovania celkovej hodnoty mincí, pomôže nám to pri začatí riešenia slovných úloh s mincami.

Čo by sme teda robili? Aby sme získali poriadok v neporiadku s mincami, mohli by sme mince rozdeliť na kôpky podľa ich hodnoty. Štvrťroky by išli s ubikáciami, desetníky s desetníkmi, nikly s niklami atď. Aby sme dostali celkovú hodnotu všetkých mincí, pridali by sme celkovú hodnotu každej hromádky.

Ako by sme určili hodnotu každej hromady? Pomysli na hromadu desiaty - koľko to stojí? Ak spočítame počet desetníkov, budeme vedieť, koľko ich máme - číslo desiatkov.

Ale toto nám nehovorí hodnotu zo všetkých desiatkov. Povedzme, že sme napočítali 17 centov, koľko majú hodnotu? Každý desetník má hodnotu 0,10 USD - to je hodnotu jedného desetníka. Ak chcete zistiť celkovú hodnotu hromady 17 desetníkov, vynásobte 17 0,10 $ a získate 1,70 $. To je celková hodnota všetkých 17 desetníkov. Táto metóda vedie k nasledujúcemu modelu.

CELKOVÁ HODNOTA MINCÍ

U rovnakého typu mince sa pomocou modelu zistí celková hodnota niekoľkých mincí

[číslo hodnota cdot = celková hodnota priestoru ]

kde
číslo je počet mincí

hodnotu je hodnota každej mince

Celková hodnota je celková hodnota všetkých mincí

Počet desetníkov krát hodnota každého desetníka sa rovná celkovej hodnote desaťkrát.

[ begin {zarovnané} text {number.} cdot text {value} & = text {celková hodnota} 17 cdot $ 0,10 & = $ 1,70 end {zarovnané} ]

V tomto procese by sme mohli pokračovať pre každý typ mince a potom by sme poznali celkovú hodnotu každého typu mince. Ak chcete získať celkovú hodnotu všetko k minciam, pridajte celkovú hodnotu každého typu mince.

Pozrime sa na konkrétny prípad. Predpokladajme, že tu je 14 štvrtín, 17 desetníkov, 21 niklov a 39 pencí.

Tabuľka ( PageIndex {1} )

Celková hodnota všetkých coinov je 6,64 dolárov.

Všimnite si, ako graf pomáha organizovať všetky informácie! Pozrime sa, ako používame túto metódu na riešenie úlohy s mince.

Príklad ( PageIndex {1} )

Adalberto má vo vrecku 2,25 dolára na desetníky a nikly. Má o deväť viac niklov ako desetníky. Koľko má z každého druhu mince?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém. Uistite sa, že sú pochopené všetky slová a nápady.

Určte typy použitých mincí.
Zamyslite sa nad stratégiou, ktorú sme použili na zistenie hodnoty niekoľkých mincí. Prvá vec, ktorú si musíme uvedomiť, je to, o aké druhy mincí ide. Adalberto má desetníky a nikly. Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií. Pozri tabuľku nižšie.

  • Označte stĺpce „typ“, „číslo“, „hodnota“, „celková hodnota“.
  • Uveďte druhy mincí.
  • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
  • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.

Tento problém môžeme vyriešiť všetky v centoch alebo v dolároch. Tu to urobíme v dolároch a do tabuľky vložíme na pripomenutie znak dolára ($).
Hodnota desetníka je 0,10 USD a hodnota niklu 0,05 USD. Celková hodnota všetkých coinov je 2,25 USD. Nasledujúca tabuľka zobrazuje tieto informácie.

Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.

Žiada sa nás, aby sme zistili počet desetníkov a niklov, ktoré Adalberto má.

Krok 3. Názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

Použite premenné výrazy na vyjadrenie počtu jednotlivých druhov mincí a ich zápis do tabuľky.

Vynásobte početnásobok hodnoty a získajte celkovú hodnotu každého typu mince.

Ďalej sme spočítali počet jednotlivých druhov mincí. V tomto probléme nemôžeme spočítať každý typ mince - to je to, čo hľadáte -, ale máme indíciu. Niklov je tu o deväť viac ako desetníkov. Počet niklov je o deväť viac ako desetník.

[ begin {zarovnané} text {Let} d & = text {počet desetníkov. } d + 9 & = text {počet niklov} end {zarovnané} ]

Vyplňte stĺpec „číslo“ v tabuľke, aby ste mali prehľad všetko.

Teraz máme všetky informácie, ktoré od problému potrebujeme!

Násobíme počet násobok hodnoty, aby sme dostali celkovú hodnotu každého druhu mince. Skutočné číslo síce nepoznáme, ale máme výraz, ktorý ho predstavuje.

A tak teraz vynásobte ( text {číslo} cdot text {hodnota} = text {celková hodnota} ). Ako sa to deje, nájdete v nasledujúcej tabuľke.

Všimnite si, že nadpis tabuľky sme vytvorili tak, aby ukazoval model.

Krok 4. Preložiť do rovnice. Môže byť užitočné preformulovať problém do jednej vety. Preložte anglickú vetu do algebraickej rovnice.

Napíšte rovnicu sčítaním celkových hodnôt všetkých druhov mincí.

Krok 5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.

Teraz vyrieš túto rovnicu.
Distribuovať.
Kombinujte ako pojmy.
Z každej strany odčítajte 0,45.
Rozdeľte sa.
Existuje teda 12 centov.
Počet niklov je d + 9d + 9.
21

Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.

Kontroluje sa to?

[ begin {array} {llll} {12 text {dimes}} & {12 (0,10)} & {=} & {1,20} {21 text {nickels}} & {21 (0,05)} & {=} & { underline {1.05}} {} & {} & {} & {$ 2,25 checkmark} end {array} ]

Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

Adalberto má dvanásť desetníkov a dvadsaťjeden niklov.

Keby to bolo domáce cvičenie, mohla by naša práca vyzerať nasledovne.

Vyskúšajte ( PageIndex {1} )

Michaela má v peňaženke na drobné 2,05 dolára v desetinách a nikle. Má o sedem centov viac ako nikly. Koľko mincí každého druhu má?

Odpoveď

9 niklov, 16 centov

Vyskúšajte ( PageIndex {2} )

Liliana má v batohu 2,10 dolárov za nikel a štvrť. Má o 12 viac niklov ako štvrtín. Koľko mincí každého druhu má?

Odpoveď

17 niklov, 5 štvrtín

RIEŠTE PROBLÉMY S MINCOVÝMI SLOVAMI.

  1. Čítať problém. Uistite sa, že sú pochopené všetky slová a nápady.
    • Určte typy použitých mincí.
    • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.
    • Označte stĺpce „typ“, „číslo“, „hodnota“, „celková hodnota“.
    • Uveďte druhy mincí.
    • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
    • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.
  2. Identifikovať čo hľadáme.
  3. názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.
    • Použite variabilné výrazy na vyjadrenie počtu jednotlivých druhov mincí a ich zápis do tabuľky.
    • Vynásobte početnásobok hodnoty a získajte celkovú hodnotu každého typu mince.
  4. Preložiť do rovnice.
    Môže byť užitočné preformulovať problém do jednej vety so všetkými dôležitými informáciami. Potom preložte vetu do rovnice.
    Napíšte rovnicu sčítaním celkových hodnôt všetkých druhov mincí.
  5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.
  6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
  7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

Príklad ( PageIndex {2} )

Maria má v peňaženke 2,43 dolárov na štvrťky a haliere. Má dvakrát toľko drobných ako štvrtí. Koľko mincí každého druhu má?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.

Určte typy použitých mincí.

Vieme, že Mária má štvrtiny a haliere.

Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.

  • Krok 2. Identifikujte čo hľadáte.

    • Hľadáme počet štvrtí a drobných.

    Krok 3. Názov. Predstavujte počet štvrtín a centov pomocou premenných.

    • Vynásobte „číslo“ a „hodnotu“, aby ste získali „celkovú hodnotu“ každého typu mince.

      Krok 4. Preložiť. Napíšte rovnicu pridaním „celkovej hodnoty“ všetkých druhov mincí.

      ( begin {array} {ll} { textbf {Step5. Solve} text {rovnica.}} & {0,25q + 0,01 (2q) = 2,43} { text {Znásobiť.}} & { 0,25q + 0,02q = 2,43} { text {Spojte podobné výrazy.}} & {0,27q = 2,43} { text {Vydeľte 0,27}} & {q = 9 text {štvrtiny}} { text {Počet centov je 2q.}} & {2q} {} & {2 cdot 9} {} & {18 text {pennies}} { textbf {Krok 6 . Zaškrtnite} text {odpoveď na problém.}} & {} { text {Maria má 9 štvrtí a 18 pencí. Zomiera toto}} & {} { text {make} 2,43 USD? } a {} end {pole} )
      ( begin {array} {llll} {9 text {quarterters}} & {9 (0,25)} & {=} & {2,25} {18 text {pennies}} & {18 (0,01 )} & {=} & { podčiarknutie {0.18}} & {} { text {Total}} & {} & {} & {$ 2,43 checkmark} end {array} )
      ( begin {array} {ll} { textbf {Krok 7. Odpoveď} text {otázka.}} & { text {Maria má deväť štvrtín a osemnásť centov.}} end {pole} )

Vyskúšajte ( PageIndex {3} )

Sumanta má vo svojom prasiatku 4,20 dolárov za nikly a desetníky. Má dvakrát toľko niklov ako desatiniek. Koľko mincí každého druhu má?

Odpoveď

42 niklov, 21 centov

Vyskúšajte ( PageIndex {4} )

Alison má v kabelke trikrát toľko desetníkov ako štvrtín. Dokopy má 9,35 dolárov. Koľko mincí každého druhu má?

Odpoveď

51 centov, 17 štvrtín

V nasledujúcom príklade zobrazíme iba vyplnenú tabuľku - nezabudnite, aké kroky sme podnikli pri jej vyplňovaní.

Príklad ( PageIndex {3} )

Danny má vo svojej prasiatke haliere a nikly v hodnote 2,14 dolárov. Počet niklov je dva a viac ako desaťnásobok počtu halierov. Koľko niklov a koľko pencí má Danny?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.
Určte typy použitých mincí.haliere a nikly
Vytvorte tabuľku.
Napíšte hodnotu každého druhu mince.Haliere majú hodnotu 0,01 dolára.
Hodnota niklov je 0,05 USD.
Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.počet halierov a niklov
Krok 3. Názov. Predstavte počet jednotlivých druhov mincí pomocou premenných.
Počet niklov je definovaný ako počet pencí, takže začnite s pencami.Nech (p = ) počet halierov.
Počet niklov je dva a viac ako desaťnásobok počtu halierov.A nech (10p + 2 = ) počet niklov.
Vynásobte číslo a hodnotu, aby ste získali celkovú hodnotu každého typu mince.
Krok 4. Preložiť. Napíš rovnicu sčítaním celkovej hodnoty všetkých druhov mincí.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.
Koľko niklov?
Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel
Danny má štyri haliere a 42 niklov.
Je celková hodnota 2,14 USD?
( begin {array} {rll} {4 (0,01) +42 (0,05)} & { stackrel {?} {=}} & {2,14} {2,14} & {=} & {2,14 začiarknutie } end {pole} )
Krok 7. Odpoveď otázka.Danny má štyri haliere a 42 niklov.

Vyskúšajte ( PageIndex {5} )

Jesse má vo vrecku štvrtiny a nikly v hodnote 6,55 dolárov. Počet niklov je päťkrát viac ako dvojnásobok počtu štvrtín. Koľko niklov a koľko štvrtí má Jesse?

Odpoveď

41 niklov, 18 štvrtín

Vyskúšajte ( PageIndex {6} )

Elane má v nádobe na mince celkovo 7,00 dolárov na desetníky a nikly. Počet desetníkov, ktoré má Elane, je sedem, menej ako trojnásobok počtu niklov. Koľko z každej mince má Elane?

Odpoveď

22 niklov, 59 centov

Vyriešte problémy so vstupenkami a pečiatkami

Problémy spojené s lístkami alebo známkami sa veľmi podobajú problémom s mincami. Každý typ lístka a známky má svoju hodnotu, rovnako ako každý druh mince. Pri riešení týchto problémov teda budeme postupovať podľa rovnakých krokov, ktoré sme použili pri riešení problémov s mincami.

Príklad ( PageIndex {4} )

Na školskom koncerte bola celková hodnota predaných lístkov 1 506 dolárov. Študentské vstupenky sa predávajú za 6 dolárov a vstupenky pre dospelých sa predávajú za 9 dolárov. Počet predaných lístkov pre dospelých bol päťkrát menej ako trojnásobok predaných lístkov pre študentov. Koľko študentských lístkov a koľko lístkov pre dospelých sa predalo?

Riešenie

Krok 1. Prečítajte si problém.

  • Určite typy použitých lístkov. K dispozícii sú lístky pre študentov a lístky pre dospelých.
  • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.

Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.

  • Hľadáme počet lístkov pre študentov a dospelých.

Krok 3. Názov. Predstavujte počet jednotlivých typov lístkov pomocou premenných.

Vieme, že počet predaných lístkov pre dospelých bol päťkrát menej ako trojnásobok predaných lístkov pre študentov.

  • Vynásobte početnásobok hodnoty, aby ste získali celkovú hodnotu každého typu lístka.

    Krok 4. Preložiť. Napíšte rovnicu pridaním celkových hodnôt každého typu lístka.

    [6 s + 9 (3 s-5) = 1506 nonumber ]

    Krok 5. Vyriešiť rovnica.

    [ begin {array} {rcl} {6 s + 27 s-45} & {=} & {1506} {33 s-45} & {=} & {1506} {33 s} & {=} A {1551} {s} & {=} a {47 text {študentské lístky}} { text {Počet lístkov pre dospelých}} & {=} & {3s-5} {} & {=} & {3 (47) -5} { text {Takže tam boli}} a {136} & { text {vstupenky pre dospelých}} end {array} nonumber ]

    Krok 6. Skontrolujte odpoveď.

    K dispozícii bolo 47 lístkov pre študentov po 6 dolárov a 136 lístkov pre dospelých po 9 dolárov. Je celková hodnota 1 506 dolárov? Celkovú hodnotu každého typu lístka nájdeme vynásobením počtu lístkov a jeho hodnoty a potom pridaním získame celkovú hodnotu všetkých predaných lístkov.

    [ begin {array} {lll} {47 cdot 6} & {=} & {282} {136 cdot 9} & {=} & { underline {1224}} {} & { } A {1506 začiarknutie} end {array} nonumber ]

    Krok 7. Odpoveď otázka. Predali 47 študentských lístkov a 136 lístkov pre dospelých.

Vyskúšajte ( PageIndex {7} )

Prvý deň turnaja vo vodnom póle bola celková hodnota predaných vstupeniek 17 610 dolárov. Jednodňové lístky sa predávajú za 20 dolárov a turnajové lístky sa predávajú za 30 dolárov. Počet predaných turnajových vstupeniek bol o 37 viac ako počet predaných denných vstupeniek. Koľko denných vstupeniek a koľko turnajových vstupeniek sa predalo?

Odpoveď

330 dňové preukazy, 367 turnajových povolení

Vyskúšajte ( PageIndex {8} )

V kine bola celková hodnota predaných vstupeniek 2 612,50 dolárov. Vstupenky pre dospelých sa predávajú za 10 dolárov a vstupenky pre seniorov / deti sa predávajú za 7,50 dolárov. Počet predaných lístkov pre seniorov / dieťa bol o 25 menej ako dvojnásobok predaných lístkov pre dospelých. Koľko lístkov pre seniorov / dieťa a koľko lístkov pre dospelých sa predalo?

Odpoveď

112 lístkov pre dospelých, 199 lístkov pre seniorov / dieťa

Naučili sme sa, ako zistiť celkový počet lístkov, keď počet jedného typu lístka vychádza z počtu druhého typu. Ďalej sa pozrieme na príklad, kde poznáme celkový počet lístkov a musíme zistiť, ako tieto dva typy lístkov súvisia.

Predpokladajme, že Bianca predala celkovo 100 lístkov. Každý lístok bol buď lístkom pre dospelých, alebo lístkom pre deti. Ak predala 20 lístkov pre deti, koľko lístkov pre dospelých predala?

  • Povedali ste „80“? Ako ste na to prišli? Odrátali ste 20 od 100?

Ak predala 45 lístkov pre deti, koľko lístkov pre dospelých predala?

  • Povedali ste ‘55’? Ako si to zistil Odčítaním 45 od 100?

Čo keby predala 75 detských lístkov? Koľko lístkov pre dospelých predala?

  • Počet lístkov pre dospelých musí byť 100−75. Predala 25 lístkov pre dospelých.

Teraz predpokladajme, že Bianca bola predaná X detské lístky. Koľko lístkov pre dospelých potom predala? Aby sme to zistili, riadili by sme sa rovnakou logikou, akú sme použili vyššie. V každom prípade sme počet detských lístkov odčítali od 100, aby sme získali počet lístkov pre dospelých. Teraz robíme to isté s X.

Toto sme zhrnuli nižšie.

Tabuľka ( PageIndex {2} )

Tieto techniky môžeme použiť na ďalšie príklady

Príklad ( PageIndex {5} )

Galen predal 810 lístkov na karneval svojho kostola v celkovej hodnote 2 820 dolárov. Cena detských lístkov je 3 doláre a vstupeniek pre dospelých 5 dolárov. Koľko detských lístkov a koľko lístkov pre dospelých predal?

Riešenie

Krok 1. Existujú lístky pre deti a lístky pre dospelých.

  • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.
  • Krok 2. Identifikujte čo hľadáme.

    • Hľadáme počet lístkov pre deti a dospelých.

    Krok 3. Názov. Predstavujte počet jednotlivých typov lístkov pomocou premenných.

    • Vieme, že celkový počet predaných lístkov bol 810.
    • To znamená, že počet detských lístkov plus počet lístkov pre dospelých musí byť spolu 810.
    • Nech (c ) je počet lístkov pre deti.

    • Potom (810 − c ) je počet lístkov pre dospelých.
    • Vynásobte početnásobok hodnoty, aby ste získali celkovú hodnotu každého typu lístka.

    Krok 4. Preložiť.

    Napíšte rovnicu pridaním celkových hodnôt každého typu lístka.

    Krok 5. Vyriešiť rovnica.

    [ begin {align *} 3 c + 5 (810-c) & = 2 820 3 c + 4 050-5 c & = 2 820 - 2 c & = - 1 230 c & = 615 text { detské lístky} end {align *} ]

    Koľko dospelých?

    [ begin {array} {c} {810-c} {810-615} {195 text {vstupenky pre dospelých}} end {pole} nonumber ]

    Krok 6. Skontrolujte odpoveď. K dispozícii bolo 615 detských lístkov po 3 dolároch a 195 lístkov pre dospelých po 5 dolárov. Je celková hodnota 2 820 dolárov?

    [ begin {array} {rrl} {615 cdot 3} & {=} & {1845} {195 cdot 5} & {=} & { podčiarknutie {975}} {} & { } A {2 820 začiarknutie} end {pole} nonumber ]

    Krok 7.Galen predal 615 detských lístkov a 195 lístkov pre dospelých.

    Vyskúšajte ( PageIndex {9} )

    Počas svojej zmeny v stánku s lístkami do múzea predala Leah 115 lístkov v celkovej hodnote 1 163 dolárov. Vstupenky pre dospelých stoja 12 dolárov a vstupenky študentov 5 dolárov. Koľko lístkov pre dospelých a koľko lístkov pre študentov predala Leah?

    Odpoveď

    84 lístkov pre dospelých, 31 lístkov pre študentov

    Vyskúšajte ( PageIndex {10} )

    Loď na pozorovanie veľrýb mala na palube 40 platiacich cestujúcich. Celková suma vyzbieraná z lístkov bola 1 196 dolárov. Cestujúci s úplným cestovným zaplatili každý po 32 dolárov a cestujúci so zníženým cestovným za 26 dolárov. Koľko cestujúcich s úplným cestovným a koľko cestujúcich so zníženým cestovným bolo na lodi?

    Odpoveď

    26 úplných, 14 znížených cestovných

    Teraz urobíme jeden, kde vyplníme tabuľku naraz.

    Príklad ( PageIndex {6} )

    Monika zaplatila za známky 8,36 dolárov. Počet 41-centových známok bol o štyri viac ako dvojnásobok počtu dvojcentových známok. Koľko 41-centových známok a koľko dvojcentových známok si kúpila Monika?

    Riešenie

    Druhy známok sú 41-centové známky a dvojcentové známky. Ich mená tiež dávajú hodnotu!

    "Počet známok za 41 centov bol o štyri viac ako dvojnásobok počtu známok za dve centy."

    [ begin {array} {l} { text {Let} x = text {počet} 2 text {-centných známok. }} {2 x + 4 = text {počet} 41- text {pečiatky centov}} koniec {pole} nonumber ]

    [ begin {array} {lr} { text {Napíšte rovnicu z celkových hodnôt.}} & {0,41 (2x + 4) + 0,02x = 8,36} {} & {0,82x + 1,64 + 0,02 x = 8,36} {} & {0,84x + 1,64 = 8,36} { text {Vyriešte rovnicu.}} & {0,84x = 6,72} {} & {x = 8} { text {Monica kúpila osem dvojcentových známok.}} & {} { text {Nájdite počet 41-centových známok, ktoré kúpila}} & {2x + 4 text {for} x = 8} { text {hodnotením}} & {2x + 4} {} & {2 (8) + 4} {} & {20} end {array} nonumber ]

    Skontrolujte.

    [ begin {array} {rll} {8 (0,02) + 20 (0,41)} & { stackrel {?} {=}} & {8,36} {0,16 + 8,20} & { stackrel {?} {=}} A {8,36} {8,36} & {=} a {8,46 začiarknutie} end {pole} ]
    [ begin {array} {ll} {} & { text {Monica kúpila osem dvojcentových známok a 20}} {} & { text {41-centové známky}} end {pole} nonumber ]

    Vyskúšajte ( PageIndex {11} )

    Eric zaplatil za známky 13,36 dolárov. Počet 41-centových známok bol osemkrát viac ako dvojnásobok počtu dvojcentových známok. Koľko 41-centových známok a koľko dvojcentových známok kúpil Eric?

    Odpoveď

    32 na 0,41 USD, 12 na 0,02 USD

    Vyskúšajte ( PageIndex {12} )

    Kailee zaplatila za známky 12,66 dolárov. Počet známok za 41 centov bol štyri, čo je menej ako trojnásobok počtu známok za 20 centov. Koľko známok za 41 centov a koľko známok za 20 centov kúpila Kailee?

    Odpoveď

    26 po 0,41 USD, 10 po 0,20 USD

    Riešenie slovných problémov so zmesami

    Teraz vyriešime niektoré všeobecnejšie aplikácie modelu zmesi. Potravinári a barmani používajú model zmesi na stanovenie spravodlivej ceny produktu vyrobeného zmiešaním dvoch alebo viacerých ingrediencií. Finanční plánovači používajú zmiešaný model, keď investujú peniaze do rôznych účtov a chcú nájsť celkovú úrokovú sadzbu. Krajinní dizajnéri používajú model zmesi, keď majú sortiment rastlín a pevný rozpočet, a koordinátori udalostí to isté robia pri výbere predjedál a predjedál na banket.

    Našou prvou slovnou kombináciou bude príprava zmesi z hrozienok a orechov.

    Príklad ( PageIndex {7} )

    Henning mieša hrozienka a orechy, aby pripravil 10 libier trailovej zmesi. Hrozienka stoja 2 doláre za libru a orechy 6 dolárov za libru. Ak Henning chce, aby jeho náklady na zmes chodníkov boli 5,20 dolárov za libru, koľko libier hrozienok a koľko libier orechov by mal použiť?

    Riešenie

    Rovnako ako predtým vyplňujeme tabuľku, aby sme usporiadali naše informácie.

    10 libier trail mixu bude pochádzať zo zmiešania hrozienok a orechov.

    [ begin {array} {l} { text {Let} x = text {počet libier hrozienok. }} {10-x = text {počet libier orechov}} end {pole} nonumber ]

    Pre každú položku zadáme cenu za libru.

    Násobíme počet násobok hodnoty, aby sme dostali celkovú hodnotu.

    Všimnite si, že posledný riadok v tabuľke poskytuje informácie o celkovom množstve zmesi.

    Vieme, že hodnota hrozienok plus hodnota orechov bude hodnotou zmesi chodníkov.

    Napíš rovnicu z celkových hodnôt.
    Vyriešte rovnicu.
    Nájdite počet kilogramov orechov.
    8 kíl orechov
    Skontrolujte.
    ( begin {array} {rll} {2 ($ 2) + 8 ($ 6)} & { stackrel {?} {=}} a {10 (5,20 $)} {$ 4 + 48 $} & { stackrel {?} {=}} & {$ 52} {$ 52} & {=} & {$ 52 checkmark} end {array} )
    Henning zmiešal dve kilá hrozienok s ôsmimi kilami orechov.

    Vyskúšajte ( PageIndex {13} )

    Orlando mieša štvorce orechov a obilnín, aby vytvoril párty mix. Orechy sa predávajú za 7 dolárov za libru a cereálne štvorce sa predávajú za 4 doláre za libru. Orlando chce vyrobiť 30 libier party mixu za cenu 6,50 dolárov za libru, koľko libier orechov a koľko libier cereálnych štvorcov by mal použiť?

    Odpoveď

    5 libier obilné štvorce, 25 libier orechy

    Vyskúšajte ( PageIndex {14} )

    Becca chce zmiešať ovocný džús a sódu, aby urobila punč. Môže si kúpiť ovocný džús za 3 doláre za galón a sódu za 4 doláre za galón. Ak chce urobiť 28 galónov punču za cenu 3,25 dolárov za galón, koľko litrov ovocnej šťavy a koľko galónov sódy by si mala kúpiť?

    Odpoveď

    21 galónov ovocného punču, 7 galónov sódy

    Môžeme tiež použiť zmiešaný model na riešenie investičných problémov pomocou jednoduchý záujem. Použili sme jednoduchý úrokový vzorec (I = Prt ), kde (t ) predstavoval počet rokov. Keď potrebujeme len zistiť úrok na jeden rok, (t = 1 ), tak potom (I = Pr ).

    Príklad ( PageIndex {8} )

    Stacey má 20 000 dolárov na investovanie do dvoch rôznych bankových účtov. Jeden účet platí úroky vo výške 3% ročne a druhý účet platí úroky vo výške 5% ročne. Koľko by mala investovať na každom účte, ak chce ročne zarobiť 4,5% úrok z celkovej sumy?

    Riešenie

    Vyplníme graf na usporiadanie našich informácií. Na nájdenie úroku získaného na rôznych účtoch použijeme jednoduchý vzorec úroku.

    Úrok zo zmiešanej investície bude pochádzať z pripočítania úroku z účtu zarábajúceho 3% a úroku z účtu zarábajúceho 5%, čím sa získa celkový úrok z 20 000 dolárov.

    [ begin {aligned} text {Let} x & = text {investovaná suma vo výške} 3 \% 20 000-x & = text {investovaná suma vo výške} 5 \% end {aligned} ]

    Investovaná suma je principál pre každý účet.

    Zadáme úrokovú sadzbu pre každý účet.

    Na získanie úroku vynásobíme investovanú sumu krát sadzbou.

    Všimnite si, že celková investovaná suma, 20 000, je súčtom investovanej sumy vo výške 3% a investovanej sumy vo výške 5%. A celkový úrok, (, 0,045 (20 000) ), je súčtom úrokov získaných na 3% účte a úrokov získaných na 5% účte.

    Rovnako ako v prípade iných aplikácií zmesí, aj v poslednom stĺpci tabuľky je uvedená rovnica, ktorú je potrebné vyriešiť.

    Napíšte rovnicu zo získaného úroku.

    Vyriešte rovnicu.

    ( begin {array} {rll} {0,03x + 0,05 (20000-x)} & {=} & {0,045 (20000)} {0,03x + 1000 - 0,05x} & {=} & {900} {-0,02x} & {=} & {- 100} {x} & {=} a {5 000} { text {investovaná suma vo výške 3%}} end {array} )

    Investičnú sumu nájdite na úrovni 5%.

    Skontrolujte.
    ( begin {array} {rll} {0,03x + 0,05 (15000 + x)} & { stackrel {?} {=}} & {0,045 (20000)} {150 + 750} & { stackrel {?} {=}} A {900} {900} & {=} a {900 začiarknutie} end {pole} )

    Stacey by mala na účet investovať 5 000 dolárov
    zarobí 3% a 15 000 dolárov na účte, ktorý zarobí 5%.

    Vyskúšajte ( PageIndex {15} )

    Remy má 14 000 dolárov na investovanie do dvoch podielových fondov. Jeden fond platí úroky vo výške 4% ročne a druhý fond platí úroky vo výške 7% ročne. Koľko by mala investovať do každého fondu, ak chce na celkovej sume získať úrok 6,1%?

    Odpoveď

    4 200 dolárov pri 4%, 9 800 dolárov pri 7%

    Vyskúšajte ( PageIndex {16} )

    Marco má 8 000 dolárov, aby ušetril na vysokoškolské vzdelanie svojej dcéry. Chce to rozdeliť medzi jeden účet, ktorý platí úroky 3,2% ročne, a ďalší účet, ktorý platí úroky 8% ročne. Koľko by mal investovať na každý účet, ak chce, aby úrok z celkovej investície bol 6,5%?

    Odpoveď

    2 500 USD pri 3,2%, 5 500 USD pri 8%

    Kľúčové koncepty

    • Celková hodnota mincí U rovnakého typu mince sa pomocou modelu zistí celková hodnota niekoľkých mincí.
      číslo · hodnota = celková hodnota kde číslo je počet mincí a hodnotu je hodnota každej mince; Celková hodnota je celková hodnota všetkých mincí
    • Stratégia riešenia problémov - problémy s mincovými slovami
      1. Čítať problém. Zabezpečte, aby boli všetky slová a nápady pochopené. Určte typy použitých mincí.
        • Vytvorte tabuľku na usporiadanie informácií.
        • Označte stĺpce typ, počet, hodnota, celková hodnota.
        • Uveďte druhy mincí.
        • Napíšte hodnotu každého druhu mince.
        • Napíšte celkovú hodnotu všetkých mincí.
      2. Identifikovať čo hľadáme.
      3. názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.
        Použite variabilné výrazy na vyjadrenie počtu jednotlivých druhov mincí a ich zápis do tabuľky.
        Vynásobte početnásobok hodnoty a získajte celkovú hodnotu každého typu mince.
      4. Preložiť do rovnice. Môže byť užitočné preformulovať problém do jednej vety so všetkými dôležitými informáciami. Potom preložte vetu do rovnice.
        Napíšte rovnicu sčítaním celkových hodnôt všetkých druhov mincí.
      5. Vyriešiť rovnicu pomocou dobrých techník algebry.
      6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
      7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

    Glosár

    problémy so zmesou
    Problémy so zmesou kombinujú dve alebo viac položiek s rôznymi hodnotami.

    Národné 3/4 aplikácie matematiky

    V tomto kurze a jeho jednotkách sa bude klásť dôraz na rozvoj zručností a ich aplikáciu. Žiaci sú požadované na absolvovanie všetkých 3 jednotiek a finálny Test pridanej hodnoty za účelom získania ocenenia za kurz.

    Všeobecným cieľom tejto jednotky je rozvíjať numerické a informačné zručnosti študentov pri riešení priamych problémov v reálnom živote, ktoré zahŕňajú počet, peniaze, čas a meranie. Študenti tiež interpretujú grafické údaje a svoje vedomosti a chápanie pravdepodobnosti použijú na identifikáciu riešení priamych problémov v reálnom živote, ktoré zahŕňajú peniaze, čas a meranie.

    Aplikácie matematiky: Správa financií a štatistika

    Všeobecným cieľom tejto jednotky je rozvoj zručností zameraných na využitie matematických myšlienok a stratégií, ktoré sa dajú použiť na riadenie financií a štatistík v priamom kontexte skutočného života. To zahŕňa použitie zručností v oblasti rozpočtu, ako aj zručností v organizácii a prezentácii údajov, na vysvetlenie riešení a / alebo na vyvodenie záverov.

    Aplikácie matematiky: geometria a miery

    Všeobecným cieľom tejto jednotky je rozvoj zručností zameraných na využitie matematických nápadov a stratégií, ktoré sa dajú aplikovať na geometriu a meranie v priamom kontexte skutočného života. To zahŕňa použitie zručností pri tlmočení a pri používaní tvaru, priestoru a mier na určenie a vysvetlenie riešení.

    Všetky úrovne kurzov matematiky študovaných v S3 / 4 sú rozdelené na 4 obdobia týždenne.

    Metodika

    Používame širokú škálu učebných prístupov a zdrojov, aby sme žiakov plne zapojili do učebných skúseností. Individuálna, párová a skupinová práca sa podporuje využitím:

    • Činnosti na čistom stole, skladačky, domino, slučky, hviezdne stanice, matematici a tímové hry
    • Rôzne zdroje Smartboard na použitie s celou triedou alebo v tímoch
    • Praktické zdroje na výučbu času, peňazí, merania a tvaru
    • TI Nspire, grafické kalkulačky a grafický softvér
    • Rôzne stratégie spoločného učenia

    Posúdenie

    Žiaci sú priebežne hodnotení v priebehu celého kurzu pomocou rôznych formatívnych metód hodnotenia vrátane hodnotenia učiteľom, seba a kolegov. Pravidelne sa používajú mini-tabule jednotlivých žiakov. Assessment is for Learning Metodiky sa používajú každý deň vrátane jasných učebných zámerov, semaforov a ďalších krokov. Začiatočníci revízie lekcie sa pravidelne používajú, aby umožnili žiakom spoznať oblasti, ktoré si môžu vyžadovať ďalšiu pozornosť.

    Keď budú študenti v celej S3 / 4 pripravení, absolvujú testy v oblasti numerickej gramotnosti, riadenia financií a štatistík amp a geometrie a mierok. Nakoniec, aby dosiahli kurz matematiky na úrovni 4, budú musieť úspešne absolvovať test pridanej hodnoty.

    Domáca štúdia sa vydáva každé dva týždne prostredníctvom tímov spoločnosti Microsoft alebo pracovných listov, ktoré poskytujú ďalšie cvičenia na pomoc pri konsolidácii práce v triede.

    Žiaci by mali pravidelne používať svoju brožúru o početných číslach.

    Kurzy Matematika po škole sú pre študentov S3 - S6 na všetkých stupňoch štúdia v pondelok a utorok od 15:30 do 82 30 hodín.

    Záznam a hlásenie

    Učitelia si vedú vlastné záznamy o domácom štúdiu žiakov, ale skóre hodnotenia sa zaznamenávajú do tabuľky pre jednotlivé oddelenia. Žiaci dostanú spätnú väzbu k úlohám a hodnoteniam domáceho štúdia počas vyučovania. Po každom hodnotení vyhodnotia svoj pokrok a urobia si poznámky o témach, ktoré je potrebné upevniť. K dispozícii je tiež sledovanie S4, večer rodičov a úplné správy. Tieto termíny nájdete v školskom kalendári.


    3.4: Riešenie aplikácií zmesí - matematika

    & quot; Zmes & quot; Problémy so slovom (strana 1 z 2)

    Problémy so zmesou zahŕňajú vytvorenie zmesi z dvoch alebo viacerých vecí a následné určenie určitého množstva (percento, cena atď.) Výslednej zmesi. Napríklad:

    Vaša škola organizuje tento víkend akciu & quot; vhodný pre rodiny & quot ;. Študenti predpredávajú vstupenky na podujatie, vstupenky pre dospelých sú za 5,00 dolárov a detské vstupenky (pre deti do šesť rokov) sú 2,50 dolárov. Z minulých skúseností očakávate, že sa udalosti zúčastní asi 13 000 ľudí. Ale toto je prvý rok, v ktorom boli ceny vstupeniek pre menšie deti znížené, takže naozaj neviete, koľko detských lístkov a koľko lístkov pre dospelých môžete očakávať. Váš šéf chce, aby ste odhadli predpokladané príjmy z lístkov. Informácie z predaných lístkov sa rozhodnete použiť na odhad pomeru dospelých a detí a na výpočet očakávaných výnosov z týchto informácií.

    Poraďte sa so svojimi študentskými predajcami lístkov a zistíte, že nesledujú, koľko detských lístkov predali. Vstupenky sú identické, kým predajca vstupeniek nevyrazí dieru v lístku, čo naznačuje, že ide o detský lístok. Ale nepamätajú si, koľko jamiek vyrazili. Vedia iba to, že predali 548 lístkov za 2460 dolárov. Aký vysoký príjem z lístkov pre deti aj dospelých môžete očakávať?

    Aby sme to vyriešili, musíme zistiť pomer lístkov, ktoré už boli predané. Ak budeme pracovať metodicky, môžeme nájsť odpoveď.

    Poďme A predstavuje počet predaných lístkov pre dospelých a C. stojí za predpredané vstupenky na dieťa. Potom A + C. = 548. Pretože každý lístok pre dospelého stojí 5,00 USD, potom (5,00 USD)A znamená výnos z predpredajných lístkov pre dospelých (2,50 USD)C. znamená výnos z detských lístkov. Potom je celkový doterajší príjem daný (5,00 USD)A + ($2.50)C. = 2460 dolárov. Ale môžeme vyriešiť iba rovnicu s jednou premennou, nie s dvoma. Pozrime sa teda znova na tú prvú rovnicu. Ak A + C. = 548, teda A = 548 & ndash C. (alebo C. = 548 & ndash A nezáleží na tom, pre ktorú premennú sa rozhodnete). Ak tieto informácie usporiadame do mriežky, dostaneme:

    Z posledného stĺpca dostaneme (celkový $ z lístkov pre dospelých) plus (celkový $ z detských lístkov) je (zatiaľ celkový $), alebo ako rovnicu:

    (5,00 dolárov) (548 & ndash C.) + ($2.50)C. = $2460
    2740 dolárov a ndash (5,00 dolárov)C. + ($2.50)C. = $2460
    2740 dolárov a ndash (2,50 dolárov)C. = $2460
    & ndash (2,50 dolárov)C. = & ndash 280 dolárov
    C. = & ndash 280 $ /& ndash 2,50 dolárov = 112

    Potom bolo predaných 112 detských lístkov, takže A = 548 & ndash 112 = 436 lístkov pre dospelých sa predalo. (Pomocou & quot A & quot a & quot C. & quot pre naše premenné, namiesto & quot X & quot a & quot r & quot, bolo užitočné, pretože premenné naznačovali, za čím stoja. Okamžite sme vedeli, že & quot C. = 112 & quot znamená & quot; 112 detských lístkov & quot. Toto je užitočná technika.)

    Teraz musíme zistiť, koľko vstupeniek pre dospelých a deti môžeme celkovo predať. Keďže 436 z 548 predaných lístkov boli lístky pre dospelých, potom môžeme očakávať 436 /548 , alebo asi 79,6% z celkového počtu predaných lístkov určených pre dospelých. Pretože očakávame asi 13 000 ľudí, vyjde to asi na 10 343 lístkov pre dospelých. (Túto hodnotu mimochodom nájdete pomocou proporcií.) Zvyšných 2657 lístkov bude detských. Celkový očakávaný výnos z lístka potom predstavuje 58 357,50 USD, z toho (5,00 USD) (10 343) = $51,715 budú pochádzať z lístkov pre dospelých , a (2,50 USD) (2 657) = $6,642.50 budú pochádzať z detských lístkov.

    Skúsme inú. Predpokladajme, že tentokrát budete pracovať v laboratóriu. Pre určitý test potrebujete 15% -ný roztok kyseliny, váš dodávateľ však dodáva iba 10% -ný roztok a 30% -ný roztok. Namiesto zaplatenia statného príplatku za to, aby dodávateľ vytvoril 15% roztok, sa rozhodnete zmiešať 10% roztok s 30% roztokom a vytvoriť si tak vlastné 15% riešenie. Potrebujete 10 litrov 15% roztoku kyseliny. Koľko litrov 10% roztoku a 30% roztoku by ste mali použiť?

    Poďme X stáť za počet litrov 10% roztoku a nechať r znamená počet litrov 30% roztoku. (Označovanie premenných je v tomto prípade veľmi dôležité, pretože & quot X & quot a & quot r & quot; vôbec nenaznačujú to, čo znamenajú. Ak neoznačíme štítok, nebudeme môcť nakoniec interpretovať našu odpoveď.) Pri problémoch so zmiešaním je často veľmi užitočné vytvoriť mriežku:

      litre sol'npercent kyslostispolu liter kys
      10% sol'nX0.100.10X
      30% sol'nr0.300.30r
      zmesX + r = 100.15(0.15)(10) = 1.5

    Odkedy X + r = 10, teda X = 10 & ndash r . Pomocou toho môžeme nahradiť X v našej mriežke a vylúčime jednu z premenných: Autorské práva a kópia Elizabeth Stapel 1999-2011 Všetky práva vyhradené

      litrov sol'npercent kyslostilitrov kys
      10% sol'n10 & ndash r0.100,10 (10 a viac r)
      30% sol'nr0.300.30 r
      zmesX + r = 100.15(0.15)(10) = 1.5

    Keď je problém nastavený takto, zvyčajne môžete do posledného stĺpca napísať svoju rovnicu: Litre kyseliny z 10% roztoku plus litre kyseliny v 30% roztoku sa pripočítajú k litrom kyseliny v 15% roztok. Potom:

    0,10 (10 a viac r) + 0.30r = 1.5
    1 & ndash 0,10r + 0.30r = 1.5
    1 + 0.20r = 1.5
    0.20r = 0.5
    r = 0.5 /0.20 = 2.5

    Potom potrebujeme 2,5 litra 30% roztoku a X = 10 & ndash r = 10 & ndash 2.5 = 7.5 litrov 10% roztoku . (Ak sa nad tým zamyslíte, má to zmysel. Pätnásť percent je bližšie k 10% ako k 30%, takže by sme v našej zmesi mali potrebovať viac 10% roztoku.)


    Problém zmesi diferenciálnych rovníc

    Veľká nádrž je naplnená do 100 litrov čistej vody. Soľanka obsahujúca 3 libry soli na galón sa čerpá do nádrže rýchlosťou 4 gal / min. Dobre premiešaný roztok sa odčerpáva z nádrže rýchlosťou 5 gal / min. Po 30 minútach zistite množstvo soli.

    K jeho riešeniu som zaujal tento zjavne nesprávny prístup:

    Najprv som vypočítal celkové množstvo kvapaliny v nádrži na 100 $ + 4t-5t $, pričom $ t $ označuje čas v minútach.

    Potom som pozoroval, že množstvo prichádzajúcej soli bolo $ frac <3 text> < text> $. Zistil som, že množstvo soli, ktoré išlo von, bolo $ frac < text frac < text> < text>> <100-t> $.

    Na výpočet celkového množstva soli som jednoducho vzal množstvo prichádzajúcej soli a odčítal som odchádzajúcu soľ, pripojil som hodnotu 30 za $ t $ a za 30 minút som dosiahol 87,85 libry soli. Správna odpoveď v sekcii odpovedí je však uvedená ako 209,97 libier.


    Rovnice prvého stupňa, nerovnosti a aplikácie

    & emsp & emspEquations sú prvý stupeň, keď môžu byť zapísané vo forme ax + b = c, kde x je premenná a a, b a c sú známe konštanty a a! = 0. Diskutovali sme o technikách riešenia rovníc prvého stupňa v časti 3.4 a opäť v časti 3.5, keď sa zaoberáme vzorcami. Aj hľadanie riešení proporcií diskutovaných v častiach 6.6 a 6.7 zahŕňalo riešenie rovníc prvého stupňa.

    & emsp & emspTáto téma je jednou z najzákladnejších a najdôležitejších pre každého začínajúceho študenta algebry a je tu opäť prezentovaná s cieľom pozitívneho posilnenia a ako príprava na riešenie rôznych aplikácií v oddieloch 7.3, 7.4 a 7.5.

    & emsp & emsp Existuje presne jedno riešenie rovnice prvého stupňa v jednej premennej. Toto tvrdenie možno dokázať metódou rozporu. Dôkaz tu nie je uvedený. Rovniciam, ktoré majú viac ako jedno riešenie, sa budeme venovať v kapitolách 8, 9 a 10.

    & emsp & emspVyriešte nasledujúce rovnice.

    & emsp & emsp1. 3x + 14 = x-2 (x + 1) & emsp & emsp Napíšte rovnicu.
    & emsp & emsp & emsp 3x + 14 = x-2x-2 & emsp & emsp Na odstránenie zátvoriek použite distribučnú vlastnosť.

    & emsp & emsp & emsp- 8/3 = x & emsp & emsp Rozdeľte obe strany o 6 a znížte.

    & emsp & emsp & emsp x = 8 & emsp & emsp Rozdeliť obe strany o 3 a zmenšiť.

    & emsp & emsp Pretože (3x) / 4 = 3/4 * x / 1 = 3 / 4x, mohli by sme vyriešiť rovnicu ako (3x) / 4 = 6 v jednom kroku vynásobením oboch strán 4/3, prevrátená hodnota 3 / 4, a to takto:

    & emsp & emspPriklad 3 je možné vyriešiť aj vynásobením prvého číslom 4 namiesto pridania +7 prvého. V tomto postupe si však musíme byť istí, že každý člen vynásobíme 4 na oboch stranách rovnice.

    & emsp & emsp & emsp x = 8 & emsp & emsp Rozdeliť obe strany o 3 a zmenšiť.

    & emsp & emspTáto posledná technika má tú výhodu, že ponecháva iba celočíselné koeficienty a konštanty. Ak existuje viac ako jeden zlomok, potom by sa každý výraz mal vynásobiť LCM menovateľov zlomkov.

    Pozrime sa, ako náš matematický riešiteľ rieši tento a podobné problémy. Kliknutím na tlačidlo „Vyriešiť podobné“ zobrazíte ďalšie príklady.

    & emsp & emsp & emsp (2x) / 5 * 20 + 1/4 * 20 = - (1/2) * 20 & emsp & emsp Vynásobte každý výraz o 20 LCM 5, 4 a 2.

    7.2 & emsp & emspRiadok skutočného čísla a nerovnosti prvého stupňa

    & emsp & emspDiskutovali sme o celých číslach, ktoré zahŕňajú celé čísla a ich protiklady,

    & emsp & emspand zlomky vytvorené pomocou celých čísel v čitateli a menovateli bez menovateľa rovného 0. Formálny názov pre tieto zlomky sú racionálne čísla. Racionálne číslo je akékoľvek číslo, ktoré je možné zapísať do formulára

    & emsp & emsp a / b & emsp & emsp kde a a b sú celé čísla a b! = 0

    & emsp & emspV desatinnej podobe môžu byť všetky racionálne čísla zapísané ako opakujúce sa desatinné miesta. Napríklad,

    & emsp & emspIné formy racionálnych čísel sú druhé odmocniny dokonalých druhých čísel. Napríklad od 5 ^ 2 = 25 je druhá odmocnina z 25 5 (Písaný koreň (25) = 5). Tiež

    Symbol & radik sa nazýva radikálne znamenie a číslo pod radikálnym znakom sa nazýva radicand.

    Nie všetky korene sú celé čísla alebo racionálne čísla. Čísla ako root (5), root (7), root (39) a -root (10) sa nazývajú iracionálne čísla. V desatinnej podobe môžu byť všetky iracionálne čísla zapísané ako neopakujúce sa desatinné miesta. Ďalšie príklady iracionálnych čísel sú

    & emsp & emsp root (2) = 1,4142136. & emsp & emsp (druhá odmocnina z 2)
    & emsp & emsp root (3,4) = 1,5874011. & emsp & emsp (koreň kocky zo 4)
    & emsp & emsp PI = 3,14159265358979. & emsp & emsp (pi, pomer obvodu k priemeru kruhu)

    & emsp & emsp E = 2,718281828459045. & emsp & emsp (základ prirodzených logaritmov)

    & emsp & emspIracionálne čísla sú rovnako dôležité ako racionálne čísla a rovnako užitočné pri riešení rovníc, ako uvidíme v kapitole 10. Číselné čiary majú body zodpovedajúce iracionálnym aj racionálnym číslam (pozri obrázok 7.1).

    & emsp & emsp

    & emsp & emspZvážte kruh s priemerom 1 jednotka, ktorý sa pohybuje po priamke. Ak sa kruh dotkne čiary v bode 0, v ktorom bode čiary sa ten istý bod kruhu znova dotkne čiary?
    & emsp & emspBod bude na PI na číselnej čiare, pretože PI je obvod kruhu. (Pozri obrázok 7.2.)

    & emsp & emspSpojte racionálne čísla a iracionálne čísla od skutočných čísel. To znamená, že každé racionálne číslo a každé iracionálne číslo je tiež reálne číslo. Vlastnosti reálnych čísel pri sčítaní a násobení sú uvedené nižšie na obrázku 7.2 na strane 181.

    & emsp & emsp

    & emsp & emspVlastnosti reálnych čísel

    & emsp & emsp Pre skutočné čísla a, b a c,

    Dodatok Nehnuteľnosť Násobenie
    a + b je reálne číslo uzáver a * b je reálne číslo
    a + b = b + a komutatívny a * b = b * a
    a + (b + c) = (a + b) + c asociatívny a * (b * c) = (a * b) * c
    a + 0 = a identita a * 1 = a
    a + (- a) = 0 inverzný a * 1 / a = 1 (a! = 0)

    & emsp & emspDistribučná vlastnosť: a (b + c) = ab + ac

    & emsp & emspČíselné riadky sa teraz nazývajú riadky skutočných čísel, pretože pre každé reálne číslo je jeden zodpovedajúci bod na riadku a pre každý bod na riadku je jedno zodpovedajúce reálne číslo.

    & emsp & emsp Teraz sa zaujímame o riešenie nerovností prvého stupňa a vytvorenie grafu ich riešení na riadku so skutočnými číslami. Nerovnosť, ktorú je možné zapísať v tvare ac + b alebo ax + b & lt = c, kde x je premenná a a, b, c sú konštanty a a! = 0 sa nazýva nerovnosť prvého stupňa.
    Riešenie nerovnosti ako 2x + 1 & lt 7 je podobné ako pri riešení prvej rovnice. Cieľom je nájsť ekvivalentnú nerovnosť (jednu s rovnakými riešeniami), ktorá má jednoduchšiu formu.

    & emsp & emspTieňovanie označuje všetky reálne čísla menšie ako 3. Prázdny kruh okolo 3 znamená, že 3 nie je v grafe zahrnutý.

    & emsp & emsp Dôležitý rozdiel medzi riešením rovníc a nerovnosťou spočíva v vynásobení alebo vydelení zápornými číslami. Vynásobením alebo vydelením oboch strán nerovnosti záporným číslom obrátite zmysel pre nerovnosť & ldquoless than & rdquo sa stane & ldquogreater than, & rdquo a naopak. Napríklad (šípky ukazujú, kde sú nerovnosti obrátené)

    & emsp & emspRiešenie nerovnosti prvého stupňa závisí od nasledujúcej axiómy:

    & emsp & emsp1. Ak sa na obe strany nerovnosti pridá nenulová konštanta, nová nerovnosť sa rovná pôvodnej nerovnosti.

    & emsp & emsp2. Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené (alebo vydelené) kladnou konštantou, nová nerovnosť rovnakého významu je ekvivalentná pôvodnej nerovnosti.

    & emsp & emsp3. Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené (alebo vydelené) zápornou konštantou, nová nerovnosť opačného zmyslu je ekvivalentná pôvodnej nerovnosti.

    & emsp & emspVyriešte nasledujúce nerovnosti a grafy riešení

    & emsp & emsp& emsp & emsp & emsp (Poznámka: plná bodka znamená, že je zahrnutá -1.)

    Pozrime sa, ako náš riešiteľ nerovností rieši tento a podobné problémy. Kliknutím na tlačidlo „Vyriešiť podobné“ zobrazíte ďalšie príklady.


    Problémy so zmesou - koncepcia

    Niektoré slovné úlohy používajúce sústavy rovníc zahŕňajú zmiešanie dvoch veličín s rôznymi cenami. Vyriešiť problémy so zmesou, vedomosti o riešení sústav rovníc. je nevyhnutné. Najčastejšie budú mať tieto úlohy dve premenné, ale pokročilejšie úlohy budú mať sústavy rovníc s tromi premennými. Medzi ďalšie typy slovných úloh využívajúcich systémy rovníc patria slovné úlohy s hodnotením a pracovné slovné úlohy.

    Dobre, slovné úlohy, chlapci, môžu byť jednými z najstrašidelnejších problémov, na ktoré narazíte vo svojich domácich úlohách z matematiky a ja som učiteľ matematiky, takže viem, že veľa študentov ich jednoducho preskočí. Prosím, nepreskočte ich. Sľubujem, že ak sa pokúsite, chlapci, môžete to urobiť. Dnes sa pozrieme na určitý druh slovných úloh a na tie, v ktorých sa budete pozerať na výšku nákladov a množstvo, ktoré ide do zmesi. Je to skutočne dôležité pre každého, kto sa zaoberá akýmkoľvek predajom výrobkov, či už ako potravina, ako napríklad značka miešanej kávy, kde kombinujete napríklad kolumbijskú s brazílskou alebo niečo podobné a musíte zistiť, koľko predať. . Alebo možno, ak vyrábate podobný make-up a máte radi jeden produkt, ktorý je naozaj drahý, a ktorý použijete ako polovicu svojich ingrediencií, sú ďalšie ingrediencie skutočne lacné a chcete zistiť, ako a ako príliš zistiť, aká je cena váš predajný tovar by mal byť.
    To je miesto, kde sa chystáte použiť tento druh problému. Tu je druh vzorca, ktorý vám môže pomôcť, keď si tým prechádzate. To, čo urobíš, je mať 2 množstvá alebo ingrediencie, ktoré sú zmiešané dokopy, aby ste dostali svoj mix. Takže máte množstvo alebo množstvo vašej prvej položky a jej cenu plus množstvo a množstvo vašej druhej položky a jej cenu, to sa bude rovnať množstvu zmesi a cene zmesi. Má to zmysel, keď sa na to teraz pozeráte, ale stavím sa, že keď začnete vidieť nejaké problémy, môžete byť trochu zmätení. Takže si to prosím napíšte niekam, kam to môžete uviesť, keď si chystáte domácu úlohu alebo pozeráte nadchádzajúce videá z Brightstorm.


    Riešenie problémov vynásobením a rozdelením zlomkov a zmiešaných čísel

    Príklad 1: Ak je na výrobu šiat potrebných 5/6 yardov látky, koľko metrov potom bude potrebných na výrobu 8 šiat?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému prevedieme celé číslo na nesprávny zlomok. Potom obe frakcie znásobíme.

    Odpoveď: Na výrobu 8 šiat bude potrebných 6 a 2/3 yardov látky.

    Príklad 2: Renee mala krabičku košíčkov, z ktorých dala 1/2 svojmu priateľovi Juanovi. Juan venoval 3/4 svojho podielu svojej priateľke Elene. Akú zlomkovú časť pôvodnej škatule s košíčkami dostala Elena?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému vynásobíme tieto dve zlomky.

    Odpoveď: Elena dostala 3/8 pôvodnej škatule s košíčkami.

    Príklad 3: Ninina učebňa matematiky je dlhá 6 a 4/5 metrov a široká 1 a 3/8 metra. Aká je plocha učebne?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému vynásobíme tieto zmiešané čísla. Najprv však musíme každé zmiešané číslo previesť na nesprávny zlomok.

    Odpoveď: Rozloha učebne je 9 a 7/20 metrov štvorcových.

    Príklad 4: Čokoládová tyčinka je dlhá 3/4 palca. Ak je rozdelený na kúsky dlhé 3/8 palca, potom koľko to je?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému vydelíme prvý zlomok druhým.

    Príklad 5: Elektrikár má kus drôtu dlhý 4 a 3/8 centimetra. Drôt rozdelí na kúsky dlhé 1 a 2/3 centimetrov. Koľko má kusov?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému vydelíme prvé zmiešané číslo druhým.

    Odpoveď: Elektrikár má 2 a 5/8 kusov drôtu.

    Príklad 6: Sklad má 1 a 3/10 metrov pásky. Ak pásku rozdelia na kúsky dlhé 5/8 metrov, potom koľko budú mať kusov?

    Analýza: Na vyriešenie tohto problému vydelíme prvé zmiešané číslo druhým. Najskôr prevedieme každé zmiešané číslo na nesprávny zlomok.

    Odpoveď: Sklad bude mať 2 a 2/25 kusov pásky.

    Zhrnutie: V tejto lekcii sme sa naučili, ako riešiť slovné úlohy spojené s násobením a delením zlomkov a zmiešaných čísel.

    Cvičenia

    Pokyny: Odčítajte zmiešané čísla v každom cvičení nižšie. Ak je to potrebné, nezabudnite svoj výsledok zjednodušiť. Kliknite raz do ODPOVEĎA, zadajte svoju odpoveď a potom kliknite na ENTER. Po kliknutí na ENTER sa v RÁMCI VÝSLEDKOV zobrazí správa, ktorá označuje, či je vaša odpoveď správna alebo nesprávna. Ak chcete začať odznova, kliknite na CLEAR.

    Poznámka: Ak chcete napísať zmiešané číslo štyri a dve tretiny, zadajte do formulára 4, medzeru a potom 2/3.


    Náš proces

    1. Naším cieľom je získať X (alebo ľubovoľné písmeno, ktoré otázka používa), na ľavej strane znaku rovnosti, samo o sebe.
    2. Rovnice riešime pomocou vyváženie: čokoľvek urobíme na jednej strane rovnice, musíme urobiť to isté na druhej strane. Ak teda pridáme 4 na ľavú stranu, musíme pridať 4 tiež na pravú stranu. Ak sa vynásobíme na ľavej strane číslom 2, násobíme aj na pravej strane 2.

    Príklad 1

    Musíme & quot; zbaviť & quot; -6 na ľavej strane, takže nám zostane X iba na ľavej strane.

    Opakom odčítania 6 je pridanie 6.

    Ak pridáme 6 na obe strany, odstránime vľavo -6.

    Takže hodnota X musí byť 16, aby bola rovnica pravdivá.

    SKONTROLUJTE do pôvodnej otázky:

    Príklad 2

    Tentokrát odpovedáme

    Mohli by sme to urobiť vo svojich hlavách ľahko (nie?), Ale ak je problém komplikovanejší, musíme vedieť, čo robiť.

    Vľavo vynásobíme naše neznáme množstvo číslom 5. Použijeme & quotX& quot pre toto množstvo.

    Opakom násobenia 5 je delenie 5. Takže obidve strany vydelíme 5:

    KONTROLA: 5 a krát 7 = 35. Prebieha kontrola v poriadku.

    [Tieto kontroly sa zdajú hlúpe s jednoduchými príkladmi, ale je to naozaj dobrý nápad aby ste skontrolovali, či vaše riešenia neobsahujú všetky problémy s rovnicami. Znamená to, že z problému môžete odísť s dobrým pocitom, že máte správnu odpoveď, a tiež sa dozviete viac o tom, ako riešenie funguje.]

    Príklad 3

    Tentokrát musíme urobiť 2 kroky k vyriešeniu rovnice. Všimli sme si, že na konci frakcie je 4.

    Toto sa rovná vydeleniu číslom 4. Opak vydelenia číslom 4 sa vynásobí číslom 4. Takže to urobíme ako prvé:

    Zrušením štvorky vľavo získate:

    V strednom kroku sme zrušili štvorku, takže nám nezostáva žiadny zlomok.

    Teraz musíme obe strany vydeliť číslom 3, pretože na ľavej strane rovnice máme & quot3 & krát & quot.

    Niektoré krajiny (napríklad USA) ponechajú odpoveď ako a jedna frakcia (28/3), zatiaľ čo prax v iných krajinách (napríklad vo Veľkej Británii a Austrálii) spočíva v vyjadrení odpovede ako zmiešané číslo.

    Nahradenie našej odpovede v ľavej časti dáva:

    Zrušenie 3 (čo nám dáva 1) a 28 s 4 nám dáva 7:

    Pravá strana v otázke bola 7, takže sme si istí, že naša odpoveď je správna.

    Príklad 4

    Vyriešiť 5 a mínus (X + 2) = 5X

    Najskôr roztiahneme konzolu.

    Teraz si uvedomujeme, že je ľahšie získať všetko Xje na pravej strane pridaním X na obe strany:

    Teraz rozdelím obe strany o 6 a zamením strany:

    Kontrolujeme našu odpoveď na oboch stranách rovnice. Ak to funguje, musí to byť správna odpoveď.

    Príklad 5

    Riešiť 5X & mínus 2 (X & mínus 5) = 4X

    Odčítaním znaku `3x` z oboch strán a z výmeny strán získate:

    LHS = `5 xx 10 - 2 (10 - 5) = 50 - 10 = 40`

    RHS = `4 xx 10 = 40` = LHS.

    Príklad 6

    Ak môžete, vyriešte rovnicu

    & mínus (7 a mínus X) + 5 = X + 7

    & mínus7 + X + 5 = X + 7

    Odčítať X z oboch strán:

    Zjednodušte ľavú stranu:

    To nie je možné, takže usudzujeme, že neexistujú žiadne možné hodnoty pre X.

    [V otázke bol náznak, že sa môže diať niečo vtipné. Vždy si uvedomte, že rovnica nemusí mať riešenie. Tiež existujú situácie, keď získate riešenia, ktoré nemôžu fungovať, takže ich musíte zľaviť. Takéto príklady nájdeme neskôr v Rovnice s radikálmi.]


    30 Riešenie aplikácií s lineárnymi nerovnosťami

    1. Napíš ako nerovnosť: X je najmenej 30.
      Ak ste tento problém premeškali, skontrolujte (Obrázok).
    2. Vyriešiť
      Ak ste tento problém premeškali, skontrolujte (Obrázok).

    Riešenie aplikácií s lineárnymi nerovnosťami

    Mnoho situácií v reálnom živote si vyžaduje riešenie nerovností. V skutočnosti sú aplikácie nerovností také bežné, že si často ani neuvedomujeme, že robíme algebru. Napríklad koľko galónov plynu je možné do auta vložiť za? 20? Je nájom za byt cenovo dostupný? Je pred hodinou dostatok času na obed, zjedenie a návrat? Koľko peňazí by mal stáť darček na dovolenku každého člena rodiny bez prekročenia rozpočtu?

    Metóda, ktorú použijeme na riešenie aplikácií s lineárnymi nerovnosťami, sa veľmi podobá metóde, ktorú sme použili pri riešení aplikácií pomocou rovníc. Prečítame si problém a uistíme sa, že sú pochopené všetky slová. Ďalej identifikujeme, čo hľadáme, a priradíme premennú, ktorá ju bude reprezentovať. Problém preformulujeme do jednej vety, aby sa dal ľahko premeniť na nerovnosť. Potom nerovnosť vyriešime.

    Emma získala nové zamestnanie a bude sa musieť presťahovať. Jej mesačný príjem bude? 5 265. Ak chcete mať Emmu nárok na prenájom bytu, musí byť jej mesačný príjem najmenej trikrát vyšší ako nájom. Na aké najvyššie nájomné bude mať Emma nárok?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. Emma bude mať najvyšší nájom
    Krok 3. Názov čo hľadáme.
    Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    Poďme nájom.
    Krok 4. Preložiť do nerovnosti.
    Najskôr napíšte vetu, ktorá informuje, aby ste ju našli.

    Emminin mesačný príjem musí byť minimálne trojnásobok nájomného.
    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.

    Pamätaj, má rovnaký význam ako .
    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Maximálna výška nájomného vo výške 1 755 sa zdá byť primeraná pre príjem vo výške 5 625 EUR.
    Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou. Maximálna výška nájmu je 1 755.

    Alan nakladá paletu s krabicami, z ktorých každý váži 45 libier. Paleta môže bezpečne uniesť nie viac ako 900 libier. Koľko krabíc môže bezpečne naložiť na paletu?

    Nemôže byť viac ako 20 políčok.

    Výťah v bytovom dome Yehire má značku, ktorá hovorí, že maximálna hmotnosť je 2 100 libier. Ak je priemerná hmotnosť jednej osoby 150 libier, koľko ľudí môže bezpečne jazdiť na výťahu?

    Vo výťahu môže bezpečne jazdiť maximálne 14 osôb.

    Aplikácia niekedy vyžaduje, aby riešením bolo celé číslo, ale algebraické riešenie nerovnosti nie je celé číslo. V takom prípade musíme algebraické riešenie zaokrúhliť na celé číslo. Kontext aplikácie bude určovať, či sa zaokrúhľujú nahor alebo nadol. Aby sme skontrolovali takéto aplikácie, zaokrúhlime našu odpoveď na číslo, ktoré sa dá ľahko vypočítať, a ubezpečíme sa, že toto číslo robí nerovnosť pravdivou.

    Dawn získala mini-grant vo výške 4 000 EUR na nákup tabletových počítačov do svojej triedy. Tablety, ktoré by si chcela kúpiť, stoja každý - 254,12 vrátane dane a dopravy. Aký je maximálny počet tabliet, ktoré si Dawn môže kúpiť?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. maximálny počet tabliet, ktoré si Dawn môže kúpiť
    Krok 3. Názov čo hľadáme.
    Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    Poďme počet tabliet.
    Krok 4. Preložiť. Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli.
    Preložiť do nerovnosti.
    - 254,12-násobok počtu tabliet nie je vyšší ako - 4 000.
    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.

    ale musí byť celý počet tabliet, takže zaokrúhlené na 15.

    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Zaokrúhlenie ceny na 250 250 by stálo 15 tabliet 3 750,
    zatiaľ čo 16 tabliet by bolo? 4 000. Takže maximálne 15 tabliet pri
    ? 254,12 sa zdá byť rozumné.
    Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou. Dawn si môže kúpiť maximálne 15 tabliet.

    Angie má? 20 na výdavky na džúsy na predškolský piknik svojho syna. Každé balenie krabičiek od džúsu stojí? 2,63. Aký je maximálny počet balení, ktoré si môže kúpiť?

    Daniel chce prekvapiť svoju priateľku narodeninovou párty v jej obľúbenej reštaurácii. Bude to stáť 42,75 EUR na osobu za večeru, vrátane poplatkov a dane. Jeho rozpočet pre stranu je? 500. Aký maximálny počet ľudí môže mať Daniel na večierku?

    Peťo pracuje v obchode s počítačmi. Jeho týždenná mzda bude buď pevná suma, 925 EUR alebo 500 EUR plus 12% z jeho celkového predaja. Koľko by mali byť jeho celkové tržby, aby jeho variabilná mzda presiahla pevnú sumu? 925?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. celkový predaj potrebný na to, aby jeho možnosť variabilného platu presiahla pevnú sumu? 925
    Krok 3. Názov čo hľadáme.
    Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    Poďme celkový predaj.
    Krok 4. Preložiť. Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli.
    Preložiť do nerovnosti. Nezabudnite
    prepočítajte percento na desatinné miesto.

    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.
    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Ak zaokrúhlime celkový predaj na 4 000? Vidíme to
    , čo je viac ako? 925.
    Krok 7. Odpoveď otázka s úplnou vetou. Celkový predaj musí byť viac ako 3 541,67.

    Tiffany práve vyštudovala vysokú školu a jej nové zamestnanie jej zaplatí? 20 000 ročne plus 2% zo všetkých tržieb. Chce zarobiť najmenej 100 000 ročne. Za aký celkový predaj bude schopná dosiahnuť svoj cieľ?

    Christianovi bola ponúknutá nová práca, ktorá platí? 24 000 ročne plus 3% z predaja. Za aký celkový predaj by táto nová práca platila viac ako za súčasnú prácu, ktorá platí? 60 000?

    Sergio a Lizeth majú veľmi obmedzený rozpočet na dovolenku. Plánujú si prenajať auto od spoločnosti, ktorá účtuje 75 dolárov za týždeň plus 0,25 míle za kilometer. Koľko kilometrov môžu prejsť a stále dodržať svoj rozpočet? 200?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. počet kilometrov, ktoré môžu Sergio a Lizeth prejsť
    Krok 3. Názov čo hľadáme.
    Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    Poďme počet kilometrov.
    Krok 4. Preložiť. Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli.

    Preložiť do nerovnosti.
    75 plus 0,25-násobok počtu kilometrov je menší alebo rovný 200.

    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.
    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Áno, .
    Krok 7. Napíšte veta, ktorá odpovedá na otázku. Sergio a Lizeth môžu cestovať 500 míľ a stále zostať pri rozpočte.

    Taleishin telefónny tarif ju stojí? 28,80 mesačne plus 0,20 za každú textovú správu. Koľko textových správ môže použiť a uchovať si svoj mesačný účet za telefón najviac? 50?

    nie viac ako 106 textových správ

    Účet spoločnosti Rameen za kúrenie je? 5,42 za mesiac plus? 1,08 za teplo. Koľko termínov môže Rameen použiť, ak chce, aby jeho účet za kúrenie bol maximálne? 87,50?

    Spoločným cieľom väčšiny podnikateľov je dosiahnuť zisk. Zisk sú peniaze, ktoré zostanú, keď sa výdavky odpočítajú od zarobených peňazí. V nasledujúcom príklade nájdeme počet pracovných miest, ktoré musí malý podnikateľ každý mesiac vykonávať, aby dosiahol určitú mieru zisku.

    Elliot podniká v oblasti údržby krajiny. Jeho mesačné výdavky sú? 1 100. Ak si účtuje poplatok 60 EUR za prácu, koľko pracovných miest musí urobiť, aby dosiahol zisk minimálne? 4 000 mesačne?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. počet pracovných miest, ktoré Elliot potrebuje
    Krok 3. Názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať. Poďme počet pracovných miest.
    Krok 4. Preložiť Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli. „60-násobný počet pracovných miest - mínus - 1 100 je najmenej - 4 000.
    Preložiť do nerovnosti.
    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.
    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Keby Elliot urobil 90 pracovných miest, jeho zisk by bol alebo . To je viac ako .
    Krok 7. Napíšte veta, ktorá odpovedá na otázku. Elliot musí pracovať najmenej 85 pracovných miest.

    Caleb má firmu na sedenie domácich miláčikov. Účtuje si? ​​32 za hodinu. Jeho mesačné výdavky sú 2 272 EUR. Koľko hodín musí odpracovať, aby dosiahol zisk minimálne? 800 mesačne?

    Felicity podniká v oblasti kaligrafie. Za svadobné oznámenie si účtuje 2,50 EUR. Jej mesačné výdavky sú? 650. Koľko pozvánok musí napísať, aby dosiahla zisk minimálne? 2 800 mesačne?

    minimálne 1 380 pozvánok

    Život sa niekedy skomplikuje! Existuje veľa situácií, v ktorých sa na celkových nákladoch podieľa niekoľko množstiev. Keď riešime takéto problémy, musíme si uvedomiť, že musíme zohľadniť všetky individuálne výdavky.

    Najlepšia priateľka Brendy má cieľovú svadbu a udalosť bude trvať 3 dni. Brenda má úspory vo výške 500 EUR a môže zarobiť 15 hodín stráženia detí. Očakáva, že za svoj podiel na hotelovej izbe zaplatí „350 leteniek“, „375“ za jedlo a zábavu a „60“ za noc. Koľko hodín musí strážiť, aby mala dostatok peňazí na zaplatenie cesty?

    Krok 1. Prečítajte si problém.
    Krok 2. Identifikujte čo hľadáme. počet hodín, ktoré musí Brenda strážiť
    Krok 3. Názov čo hľadáme.
    Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.

    Poďme počet hodín.
    Krok 4. Preložiť.
    Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli.


    Preložiť do nerovnosti.
    Výdavky musia byť menšie alebo rovnaké ako príjem.
    Náklady na letenky plus náklady na jedlo a zábavu a
    hotelový účet musí byť menší alebo rovný úspornému plus
    suma zarobeného stráženia detí.
    Krok 5. Vyriešiť nerovnosť.
    Krok 6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
    Dosadíme 27 do nerovnosti.
    Krok 7. Napíšte veta, ktorá odpovedá na otázku. Brenda musí strážiť deti minimálne 27 hodín.

    Malik plánuje 6-dňovú letnú dovolenku. Má úspory vo výške 840 EUR a za doučovanie zarába 45 EUR za hodinu. Cesta ho bude stáť 525 EUR za letenky, 780 EUR za jedlo a prehliadky pamiatok a 95 EUR za noc pre hotel. Koľko hodín musí doučovať, aby mal dostatok peňazí na zaplatenie cesty?

    Josue chce ísť na budúci rok na jar na 10-denný výlet. Bude ho to stáť 180 € za benzín, 450 € za jedlo a 49 € za noc za motel. Má úspory - 520 a môže zarobiť - 30 na každú príjazdovú cestu odhŕňajúcu sneh. Koľko príjazdových ciest musí vykopať, aby mal dostatok peňazí na zaplatenie cesty?

    Kľúčové koncepty

    • Riešenie nerovností
      1. Čítať problém.
      2. Identifikovať čo hľadáme.
      3. názov čo hľadáme. Vyberte premennú, ktorá predstavuje dané množstvo.
      4. Preložiť. Napíšte vetu, ktorá poskytne informácie, aby ste ju našli. Preložiť do nerovnosti.
      5. Vyriešiť nerovnosť.
      6. Skontrolujte odpoveď na problém a uistite sa, že má zmysel.
      7. Odpoveď otázka s úplnou vetou.

    Sekčné cvičenia

    Opakovanie je matka múdrosti

    Riešenie aplikácií s lineárnymi nerovnosťami

    V nasledujúcich cvičeniach rieš.

    Mona plánuje narodeninovú oslavu svojho syna a má rozpočet? 285. Poplatok za zábavnú zónu? 19 za dieťa. Koľko detí môže mať na večierku a zostať v rámci svojho rozpočtu?

    Carlos prezerá apartmány s tromi svojimi priateľmi. Chcú, aby mesačný nájom nebol vyšší ako 2360? Ak spolubývajúci rozdelia nájomné rovnomerne medzi všetkých štyroch, aké je najvyššie nájomné, ktoré každý zaplatí?

    Vodný taxík má maximálnu záťaž 1 800 libier. Ak je priemerná hmotnosť jednej osoby 150 libier, koľko ľudí môže bezpečne jazdiť vo vodnom taxíku?

    Marcela sa prihlasuje na štúdium na vysokej škole, ktoré stojí? 105 za jednotku. Koľko jednotiek môže vziať, aby mala maximálnu cenu 1 365?

    Arleen dostala do kaviarne darčekovú kartu? 20. Jej obľúbený ľadový nápoj stojí? 3,79. Aký je maximálny počet nápojov, ktoré si môže kúpiť pomocou darčekovej karty?

    Teegan rád hrá golf. Na budúci mesiac má pre driving range v rozpočte 60 €. Stojí ho to 10,55 za vedro loptičiek zakaždým, keď ide. Aký je maximálny počet prípadov, keď môže ísť budúci mesiac na driving range?

    Joni predáva kuchynské zástery online za 32,50 EUR. Koľko zásteriek musí predať budúci mesiac, ak chce zarobiť aspoň? 1 000?

    Ryan účtuje poplatok svojim susedom? 17,50, aby im umyli auto. Koľko automobilov musí umyť budúce leto, ak je jeho cieľom zarobiť aspoň? 1 500?

    Keshad dostane výplatu? 2 400 mesačne plus 6% z jeho predaja. Jeho brat zarába? 3 300 mesačne. Pri akej výške celkového predaja bude Keshadova mesačná mzda vyššia ako mesačná mzda jeho brata?

    Aby mohla zaplatiť všetky svoje výdavky, musí Kimuyen zarobiť 4 150 mesačne. Jej práca jej vypláca? 3 475 mesačne plus 4% z jej celkového predaja. Aký minimálny musí byť celkový predaj Kimuyen, aby mohla zaplatiť všetky svoje výdavky?

    Andreovi bola ponúknutá práca na základnej úrovni. Spoločnosť mu ponúkla - 48 000 ročne a 3,5% z jeho celkového predaja. Andre vie, že priemerná mzda za túto prácu je 62 000? Aké by boli celkové tržby Andreho, aby jeho plat bol minimálne taký vysoký ako priemerný plat za túto prácu?

    Nataly zvažuje dve pracovné ponuky. Prvé zamestnanie by jej platilo 83 000 ročne. Druhá by jej zaplatila 66 500 plus 15% z jej celkového predaja. Aký by bol jej celkový predaj, aby jej plat pri druhej ponuke bol vyšší ako pri prvej?

    Jakeov účet za vodu je? 24,80 za mesiac plus? 2,20 za CCF (sto kubických stôp) vody. Aký maximálny počet CCF môže Jake použiť, ak chce, aby jeho účet nebol vyšší ako? 60?

    Kiyoshiho telefónny plán stojí 17,50 mesačne plus 0,15 za textovú správu. Aký je maximálny počet textových správ, ktoré môže Kiyoshi použiť, aby telefónny účet nebol vyšší ako? 56,50?

    Televízny program Marlona stojí? 49,99 mesačne plus? 5,49 za premiérový film. Koľko premiérových filmov si môže pozrieť, ak chce udržiavať svoj mesačný účet maximálne na 100?

    Kellen si chce prenajať banketovú miestnosť v reštaurácii pre sesternicu. V reštaurácii sa za banketovú miestnosť účtuje 350 EUR plus za obed 32,50 EUR za osobu. Koľko ľudí môže mať Kellen pri sprche, ak chce byť maximálna cena 1 500?

    Moshde podniká v kaderníctve zo svojho domu. Za účes a štýl si účtuje 45? Jej mesačné výdavky sú? 960. Chce mať možnosť vložiť na svoj sporiaci účet najmenej 1 200 mesačne, aby si mohla otvoriť vlastný salón. Koľko „strihov a strihov“ musí urobiť, aby ušetrila minimálne? 1 200 mesačne?

    Noe inštaluje a konfiguruje softvér na domácich počítačoch. Za prácu si účtuje 125 €. Jeho mesačné výdavky sú 1 600. Koľko pracovných miest musí pracovať, aby dosiahol zisk minimálne 2 400?

    Katherine je osobná kuchárka. Za jedlo pre štyri osoby si účtuje 115 EUR. Jej mesačné výdavky sú? 3 150. Koľko jedál pre štyri osoby musí predať, aby dosiahla zisk minimálne? 1 900?

    Melissa vyrába náhrdelníky a predáva ich online. Za náhrdelník si účtuje? 88. Jej mesačné výdavky sú? 3745. Koľko náhrdelníkov musí predať, ak chce dosiahnuť zisk minimálne? 1 650?

    Na štátny zjazd chce ísť päť študentov vládnych úradníkov. Bude ich to stáť 110 EUR za registráciu, 375 EUR za dopravu a stravu a 42 EUR za osobu za hotel. Na dohovor je v rozpočte študentských vládnych sporení 450 Sk. Zvyšok potrebných peňazí môžu zarobiť tým, že budú mať umyté auto. Ak účtujú poplatok 5 za auto, koľko automobilov musia umyť, aby mali dostatok peňazí na zaplatenie cesty?

    Cesar plánuje 4-dňový výlet za svojím priateľom na univerzitu v inom štáte. Bude ho to stáť 198 dolárov za letenky, 56 miestnu dopravu a 45 dolárov za deň za jedlo. Má úspory vo výške 189 a môže zarobiť 35 dolárov za každý trávnik, ktorý kosí. Koľko trávnikov musí pokosiť, aby mal dostatok peňazí na zaplatenie cesty?

    Alonzo pracuje ako detailista automobilov. Za auto si účtuje 175 €. Plánuje sa odsťahovať z domu svojich rodičov a prenajať si svoj prvý byt. Bude musieť zaplatiť 120 EUR za poplatky za prihlášku, 950 EUR za bezpečnostnú zálohu a nájomné za prvý a posledný mesiac vo výške 1140 EUR mesačne. Má úspory vo výške 1 810. Koľko automobilov musí podrobne uviesť, aby mal dostatok peňazí na prenájom bytu?

    Eun-Kyung pracuje ako lektor a zarába? 60 za hodinu. Má úspory vo výške 792 EUR. Chystá narodeninovú párty pre svojich rodičov. Chcela by pozvať 40 hostí. Večierok ju bude stáť? 1 520 za jedlo a nápoje a? 150 za fotografa. Bude mať tiež láskavosť pre každého z hostí a každá láskavosť bude stáť? 7,50. Koľko hodín musí doučovať, aby mala dostatok peňazí na večierok?

    Každodenná matematika

    Maximálne zaťaženie na scéne V roku 2014 sa zrútilo stredoškolské javisko vo Fullertone v Kalifornii, keď sa na pódium dostalo 250 študentov do finále hudobnej produkcie. Zranili sa dve desiatky študentov. Pódium mohlo uniesť maximálne 12 750 libier. Ak sa predpokladá, že priemerná hmotnosť študenta je 140 libier, aký je maximálny počet študentov, ktorí by mohli byť bezpečne na pódiu?

    Maximálna hmotnosť na lodi V roku 2004 sa v prístave Baltimore potopilo vodné taxi a päť ľudí sa utopilo. Vodné taxi malo maximálnu kapacitu 3 500 libier (25 ľudí s priemernou hmotnosťou 140 libier). Priemerná hmotnosť 25 ľudí pri vodnom taxíku, keď sa potopil, bola 168 libier na osobu. Aký by mal byť maximálny počet ľudí s touto hmotnosťou?

    Rozpočet na svadbu Adele a Walter našli ideálne miesto pre svoju svadobnú hostinu. Cena je £ 9 850 pre až 100 hostí, plus € 38 pre každého ďalšieho hosťa. Koľko hostí sa môže zúčastniť, ak Adele a Walter chcú, aby celkové náklady neboli vyššie ako 12 500?

    Rozpočet na sprchu Penny plánuje pre svoju nevestu bábätko. Reštaurácia si účtuje 950 až 25 hostí, plus 31,95 za každého ďalšieho hosťa. Koľko hostí sa môže zúčastniť, ak chce spoločnosť Penny, aby celkové náklady neboli vyššie ako 1 500?

    Písanie cvičení

    Nájdite svoj účet za telefón za posledný mesiac a hodinovú mzdu, ktorú dostávate vo svojej práci. (Ak nemáte prácu, použite hodinovú mzdu, ktorú by ste reálne dostali, ak by ste mali prácu.) Vypočítajte počet hodín práce, za ktoré by ste zarobili aspoň toľko peňazí, aby ste zaplatili účet za telefón, napísaním primeraná nerovnosť a jej následné riešenie.

    Zistite, koľko jednotiek vám po tomto semestri zostáva, aby ste dosiahli svoj cieľ na vysokej škole, a odhadnite počet jednotiek, ktoré môžete na semestri na vysokej škole vziať. Vypočítajte počet pojmov, ktoré vás dovedú k dosiahnutiu vášho vysokoškolského cieľa, a to napísaním príslušnej nerovnosti a jej následným vyriešením.

    Samokontrola

    Ⓐ Po dokončení cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

    Ⓑ Čo vám tento kontrolný zoznam hovorí o vašom ovládaní tejto sekcie? Aké kroky podniknete na zlepšenie?

    Kapitola 3 Revízne cvičenia

    3.1 Používanie stratégie riešenia problémov

    Pristupujte k slovným problémom s pozitívnym prístupom

    V nasledujúcich cvičeniach sa zamyslite nad svojím prístupom k slovným úlohám.

    Ako sa zmenil váš prístup k riešeniu slovných úloh po vykonaní tejto kapitoly? Vysvetlite.

    Pomohla vám stratégia riešenia problémov pri riešení slovných úloh v tejto kapitole? Vysvetlite.

    Pri problémoch so slovom používajte stratégiu riešenia problémov

    V nasledujúcich cvičeniach riešte pomocou stratégie riešenia problémov slovných úloh. Nezabudnite napísať celú vetu, aby ste odpovedali na každú otázku.

    Tri štvrtiny ľudí na koncerte sú deti. Ak je tu 87 detí, aký je celkový počet ľudí na koncerte?

    V kapele je deväť hráčov na saxofón. Počet hráčov na saxofón je o jeden menej ako dvojnásobok počtu hráčov na tubu. Nájdite počet hráčov na tubu.

    Vyriešte problémy s počtom

    V nasledujúcich cvičeniach vyriešte každú číselnú slovnú úlohu.

    Súčet čísla tri je štyridsaťjeden. Nájdite číslo.

    Dvojnásobný rozdiel čísla a desať je päťdesiatštyri. Nájdite číslo.

    Jedno číslo je o deväť menej ako iné. Ich súčet je mínus dvadsaťsedem. Nájdite čísla.

    Jedno číslo je o jedenásť viac ako iné. Ak sa ich súčet zvýši o sedemnásť, výsledkom je 90. Nájdite čísla.

    Jedno číslo je dvakrát viac ako štyrikrát iné. Ich súčet je Nájdite čísla.

    Súčet dvoch po sebe nasledujúcich celých čísel je Nájdite čísla.

    Nájdite tri po sebe idúce celé čísla, ktorých súčet je

    Nájdite tri po sebe idúce celé čísla, ktorých súčet je 234.

    Nájdite tri po sebe idúce nepárne celé čísla, ktorých súčet je 51.

    Koji má na svojom sporiacom účte 5 502 dolárov. To je? 30 menej ako šesťnásobok sumy na jeho bežnom účte. Koľko peňazí má Koji na svojom bežnom účte?


    Ako vyriešiť problémy s Aptitude Aligation alebo Mixture?

    Môžete ľahko vyriešiť všetky druhy otázok týkajúcich sa Aptitude na základe Alligation alebo Mixture precvičením cvičení objektívnych typov uvedených nižšie, taktiež získate skratkové metódy na riešenie problémov s Aptitude Alligation or Mixture.

    Cvičenie :: Aligácia alebo zmes - všeobecné otázky

    Nádoba je naplnená tekutinou, z ktorej 3 časti sú voda a 5 častí sirup. Koľko zo zmesi musí byť odčerpané a nahradené vodou, aby mohla byť zmesou napoly voda a napoly sirup?

    Predpokladajme, že nádoba pôvodne obsahovala 8 litrov kvapaliny.

    Poďme X litre tejto kvapaliny sa nahradia vodou.

    Množstvo vody v novej zmesi 3 - 3X + X litrov
    8

    Množstvo sirupu v novej zmesi 5 - 5X litrov
    8

    3 - 3X + X = 5 - 5X
    8 8

    5X + 24 = 40 - 5X

    Časť zmesi bola nahradená 8 X 1 = 1 .
    5 8 5

    Čaj v hodnote Rs. 126 na kg a Rs. 135 na kg sa zmieša s treťou odrodou v pomere 1: 1: 2. Ak má zmes hodnotu Rs. 153 za kg, cena tretej odrody za kg bude:

    Pretože prvá a druhá odroda sú zmiešané v rovnakom pomere.

    Takže ich priemerná cena = Rs. 126 + 135 = Rs. 130,50
    2

    Takže zmes sa vytvorí zmiešaním dvoch odrôd, jednej pri Rs. 130,50 za kg a ďalšie pri povedzme Rs. X na kg v pomere 2: 2, t.j. 1: 1. Musíme nájsť X.

    Podľa pravidla aligácie máme:

    Náklady na 1 kg prvého druhu Náklady na 1 kg čaju druhého druhu
    Rs. 130,50 Priemerná cena
    Rs. 153
    Rs. X
    (X - 153) 22.50

    Plechovka obsahuje zmes dvoch tekutín A a B je pomer 7: 5. Keď sa odčerpá 9 litrov zmesi a plechovka je naplnená B, pomer A a B sa stane 7: 9. Koľko litrov kvapaliny A bola pôvodne obsiahnutá v plechovke?

    Predpokladajme, že plechovka pôvodne obsahuje 7X a 5X zmesi A, respektíve B.

    Zostáva množstvo A v zmesi 7X - 7 x 9 litre = 7X - 21 litrov.
    12 4

    Zostáva množstvo B v zmesi = 5X - 5 x 9 litre = 5X - 15 litrov.
    12 4

    28X - 21 = 7
    20X + 21 9

    252X - 189 = 140X + 147

    Plechovka teda obsahovala 21 litrov A.

    Predajca mlieka má 2 plechovky mlieka. Prvý obsahuje 25% vody a zvyšok mlieka. Druhá obsahuje 50% vody. Koľko mlieka by mal zmiešať z každej nádoby tak, aby získal 12 litrov mlieka tak, aby pomer vody a mlieka bol 3: 5?


    Pozri si video: Ako odinštalovať aktualizácie, zakázať aplikáciu a odinštalovať systémovú aplikáciu Android (December 2021).