Články

4.7: Racionálne funkcie - matematika


Učebné ciele

  • Použite šípku.
  • Riešiť použité problémy spojené s racionálnymi funkciami.
  • Nájdite domény racionálnych funkcií.
  • Identifikujte vertikálne asymptoty.
  • Identifikujte horizontálne asymptoty.
  • Graf racionálnych funkcií.

Predpokladajme, že vieme, že náklady na výrobu produktu závisia od počtu vyrobených položiek (x ). Toto je dané rovnicou (C (x) = 15 000x − 0,1x ^ 2 + 1000. ) Ak chceme poznať priemerné náklady na výrobu (x ) položiek, vydelíme nákladovú funkciu číslom počet položiek, (x ). Funkcia priemerných nákladov, ktorá poskytuje priemerné náklady na vyrobenú položku za (x ), je

[f (x) = dfrac {15 000x − 0,1x ^ 2 + 1000} {x} nečíslo ]

Mnoho ďalších problémov s aplikáciou si vyžaduje nájsť priemernú hodnotu podobným spôsobom, čo nám dá premenné v menovateli. Táto funkcia, napísaná bez premennej v menovateli, bude obsahovať zápornú hodnotu celého čísla.

V posledných niekoľkých častiach sme pracovali s polynomiálnymi funkciami, čo sú funkcie s nezápornými celými číslami pre exponenty. V tejto časti skúmame racionálne funkcie, ktoré majú premenné v menovateli.

Používanie šípkovej notácie

Videli sme grafy zákl recipročná funkcia a štvorcová recipročná funkcia z našej štúdie funkcií sady nástrojov. Preskúmajte tieto grafy, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {1} ), a všimnite si niektoré z ich funkcií.

Je zrejmé niekoľko vecí, ak preskúmame graf (f (x) = frac {1} {x} ).

  • V ľavej vetve grafu sa krivka blíži k (x ) - osi ((y = 0) ) ako (x pravá šípka - infty ).
  • Keď sa graf blíži k (x = 0 ) zľava, krivka klesá, ale keď sa blížime k nule sprava, krivka stúpa.
  • Nakoniec sa krivky v pravej vetve grafu priblížia k (x ) - osi ((y = 0) ) ako (x rightarrow infty ).

Ak to zhrnieme, použijeme šípkový zápis aby sme ukázali, že (x ) alebo (f (x) ) sa blíži ku konkrétnej hodnote (tabuľka ( PageIndex {1} )).

Tabuľka ( PageIndex {1} )
SymbolVýznam
(x pravá šípka a ^ - ) (x ) sa blíži k a zľava ( (x
(x pravá šípka a ^ + ) (x ) sa blíži k a zprava ( (x> a ), ale blízko k (a ))
(x pravá šípka infty ) (x ) sa blíži k nekonečnu ( (x ) sa zvyšuje bez obmedzenia)
(x pravá šípka - infty ) (x ) sa blíži k negatívnemu nekonečnu ( (x ) klesá bez obmedzenia)
(f (x) pravá šípka infty )výstup sa blíži k nekonečnu (výstup sa zvyšuje bez obmedzenia)
(f (x) rightarrow - infty )výstup sa blíži k negatívnemu nekonečnu (výstup klesá bez obmedzenia)
(f (x) pravá šípka a )výstup sa blíži (a )

Miestne správanie (f (x) = frac {1} {x} )

Na úvod sa pozrieme na recipročnú funkciu (f (x) = frac {1} {x} ). Nemôžeme deliť nulou, čo znamená, že funkcia je nedefinovaná na (x = 0 ); nula teda nie je v doméne. Keď sa vstupné hodnoty z ľavej strany blížia k nule (stávajú sa veľmi malými, zápornými hodnotami), hodnoty funkcií sa bez obmedzenia znižujú (inými slovami, blížia sa k zápornému nekonečnu). Toto správanie môžeme vidieť v tabuľke ( PageIndex {2} ).

Tabuľka ( PageIndex {2} )
(X)–0.1–0.01–0.001–0.0001
(f (x) = frac {1} {x} )–10–100–1000–10,000

Píšeme šípkou

ako (x rightarrow 0 ^ -, f (x) rightarrow - infty )

Keď sa vstupné hodnoty z pravej strany blížia k nule (stávajú sa veľmi malými, kladnými hodnotami), hodnoty funkcií sa zvyšujú bez obmedzenia (blížiace sa k nekonečnu). Toto správanie môžeme vidieť v tabuľke ( PageIndex {3} ).

Tabuľka ( PageIndex {3} )
(X)0.10.010.0010.0001
(f (x) = frac {1} {x} )10100100010,000

Píšeme šípkou

Ako (x rightarrow 0 ^ +, f (x) rightarrow infty ).

Viď obrázok ( PageIndex {2} ).

Toto správanie vytvára a vertikálny asymptot, čo je zvislá čiara, ku ktorej sa graf približuje, ale nikdy ju nepretína. V tomto prípade sa graf blíži k vertikálnej čiare (x = 0 ), pretože vstup sa blíži k nule (obrázok ( PageIndex {3} )).

Definícia: VERTIKÁLNY ASYMPTÓT

Vertikálna asymptota grafu je zvislá čiara (x = a ), kde má graf tendenciu k pozitívnej alebo negatívnej nekonečnosti, keď sa vstupy približujú (a ). Píšeme

Ako (x rightarrow a ), (f (x) rightarrow infty ) alebo ako (x rightarrow a ), (f (x) rightarrow - infty ).

Koncové správanie (f (x) = frac {1} {x} )

Keď sa hodnoty (x ) blížia k nekonečnu, hodnoty funkcií sa blížia (0 ). Keď sa hodnoty (x ) blížia k zápornému nekonečnu, hodnoty funkcií sa blížia k (0 ) (obrázok ( PageIndex {4} )). Symbolicky pomocou šípky

Ako (x rightarrow infty ), (f (x) rightarrow 0 ) a ako (x rightarrow - infty ), (f (x) rightarrow 0 ).

Na základe tohto celkového správania a grafu vidíme, že funkcia sa blíži k hodnote 0, ale v skutočnosti nikdy nedosahuje hodnotu 0; zdá sa, že sa vyrovnáva, keď sa vstupy zväčšujú. Toto správanie vytvára a horizontálny asymptot, vodorovná čiara, ku ktorej sa graf približuje, keď sa vstup zvyšuje alebo znižuje bez obmedzenia. V tomto prípade sa graf blíži k vodorovnej čiare (y = 0 ). Viď obrázok ( PageIndex {5} ).

Definícia: HORIZONTÁLNY ASYMPTÓT

A horizontálny asymptot grafu je vodorovná čiara (y = b ), kde sa graf blíži k čiare, keď sa vstupy zvyšujú alebo znižujú bez obmedzenia. Píšeme

Ako (x rightarrow infty text {alebo} x rightarrow - infty ), (f (x) rightarrow b ).

Príklad ( PageIndex {1} ): Použitie šípkovej notácie.

Použite šípkový popis na opísanie konečného a miestneho správania funkcie znázornenej na obrázku ( PageIndex {6} ).

Riešenie

Všimnite si, že graf zobrazuje vertikálnu asymptotu na (x = 2 ), ktorá nám hovorí, že funkcia nie je definovaná na (x = 2 ).

As (x rightarrow 2 ^ - ), (f (x) rightarrow - infty, ) a ako (x rightarrow 2 ^ + ), (f (x) rightarrow infty ).

A keďže vstupy klesajú bez obmedzenia, zdá sa, že sa graf vyrovnáva pri výstupných hodnotách (4 ), čo naznačuje horizontálny asymptot na (y = 4 ). Keď sa vstupy zvýšia bez obmedzenia, úroveň grafu sa zníži na (4 ).

Ako (x rightarrow infty ), (f (x) rightarrow 4 ) a ako (x rightarrow - infty ), (f (x) rightarrow 4 ).

Cvičenia ( PageIndex {1} )

Pomocou zápisu šípky popíšte konečné správanie a miestne správanie pre funkciu recipročných štvorcov.

Odpoveď

Ukončiť správanie: ako (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow 0 );

Miestne správanie: ako (x rightarrow 0 ), (f (x) rightarrow infty ) (neexistujú žiadne zachytenia x alebo y)

Príklad ( PageIndex {2} ): Použitie transformácií na vytvorenie grafu racionálnej funkcie.

Náčrt grafu recipročnej funkcie posunul dve jednotky doľava a nahor o tri jednotky. Určte vodorovné a zvislé asymptoty grafu, ak existujú.

Riešenie

Posunutie grafu doľava 2 a hore 3 by viedlo k funkcii

[f (x) = dfrac {1} {x + 2} +3 ]

alebo ekvivalentne tým, že výrazy budú mať spoločného menovateľa,

[f (x) = dfrac {3x + 7} {x + 2} ]

Graf posunutej funkcie je zobrazený na obrázku ( PageIndex {7} ).

Všimnite si, že táto funkcia nie je definovaná na (x = −2 ), a graf tiež zobrazuje vertikálnu asymptotu na (x = −2 ).

Ako (x rightarrow −2 ^ - ), (f (x) rightarrow - infty ) a ako (x rightarrow −2 ^ + ), (f (x) rightarrow infty ).

Keď sa vstupy zvyšujú a znižujú bez obmedzenia, zdá sa, že sa graf vyrovnáva pri výstupných hodnotách 3, čo naznačuje vodorovný asymptot na (y = 3 ).

Ako (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow 3 ).

Analýza

Všimnite si, že horizontálne a vertikálne asymptoty sú spolu s funkciou posunuté doľava 2 a hore 3.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Načrtnite graf a nájdite vodorovné a zvislé asymptoty recipročnej štvorcovej funkcie, ktorá bola posunutá o 3 jednotky doprava a dole o 4 jednotky.

Riešenie

Funkcia a asymptoty sú posunuté o 3 jednotky doprava a 4 jednotky nadol. Ako (x rightarrow 3 ), (f (x) rightarrow infty ) a ako (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow −4 ).

Funkcia je (f (x) = frac {1} {{(x − 3)} ^ 2} −4 ).

Riešenie aplikovaných problémov spojených s racionálnymi funkciami

V príklade ( PageIndex {2} ) sme posunuli funkciu súpravy nástrojov spôsobom, ktorý vyústil do funkcie (f (x) = frac {3x + 7} {x + 2} ). Toto je príklad racionálnej funkcie. A racionálna funkcia je funkcia, ktorú je možné zapísať ako kvocient dvoch polynomiálnych funkcií. Mnoho problémov v reálnom svete vyžaduje, aby sme našli pomer dvoch polynomiálnych funkcií. Problémy spojené s rýchlosťami a koncentráciami často zahŕňajú racionálne funkcie.

Definícia: RACIONÁLNA FUNKCIA

A racionálna funkcia je funkcia, ktorú je možné zapísať ako kvocient dvoch polynomiálnych funkcií (P (x) ) a (Q (x) ).

[f (x) = dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {a_px ^ p + a_ {p − 1} x ^ {p − 1} + ... + a_1x + a_0 } {b_qx ^ q + b_ {q − 1} x ^ {q − 1} + ... + b_1x + b_0}, medzera Q (x) ≠ 0 ]

Príklad ( PageIndex {3} ): Riešenie aplikovaného problému súvisiaceho s racionálnou funkciou

Veľká miešacia nádrž v súčasnosti obsahuje 100 litrov vody, do ktorej bolo zmiešaných 5 libier cukru. Otvorí sa kohútik a do nádrže naleje 10 galónov vody za minútu súčasne, kým sa do nádrže naleje cukor rýchlosťou 1 libra za minútu. Po 12 minútach nájdite v nádrži koncentráciu cukru (libry na galón). Je to väčšia koncentrácia ako na začiatku?

Riešenie

Nech t je počet minút od otvorenia kohútika. Pretože voda stúpa rýchlosťou 10 galónov za minútu a cukor sa zvyšuje rýchlosťou 1 libra za minútu, jedná sa o konštantné rýchlosti zmeny. To nám hovorí, že množstvo vody v nádrži sa mení lineárne, rovnako ako množstvo cukru v nádrži. Pre každý môžeme rovnicu napísať nezávisle:

voda: (W (t) = 100 + 10 t ) v galónoch

cukor: (S (t) = 5 + 1 t ) v librách

Koncentrácia, (C ), bude pomer libier cukru k galónom vody

[C (t) = dfrac {5 + t} {100 + 10t} ]

Koncentrácia po 12 minútach sa stanoví vyhodnotením (C (t) ) pri (t = 12 ).

[ begin {align} C (12) & = dfrac {5 + 12} {100 + 10 (12)} & = dfrac {17} {220} end {align} ]

To znamená, že koncentrácia je 17 libier cukru na 220 galónov vody.

Na začiatku je koncentrácia

[ begin {align} C (0) & = dfrac {5 + 0} {100 + 10 (0)} & = dfrac {1} {20} end {align} ]

Pretože ( frac {17} {220} ≈0,08> frac {1} {20} = 0,05 ), je koncentrácia po 12 minútach vyššia ako na začiatku.

Analýza

Ak chcete vyhľadať vodorovnú asymptotu, vydeľte vedúci koeficient v čitateľi vedúcim koeficientom v menovateli:

[ dfrac {1} {10} = 0,1 ]

Všimnite si, že horizontálna asymptota je (y = 0,1.). To znamená, že koncentrácia, (C, ) pomer libier cukru k galónom vody, sa z dlhodobého hľadiska priblíži k 0,1.

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Na prípravnej rely napoludnie je 1200 prvákov a 1 500 druhákov. Po 12:00 prichádza na zhromaždenie každých päť minút 20 prvákov, zatiaľ čo z zhromaždenia odchádza 15 druhákov. Nájdite pomer prvákov a druhákov o 13:00.

Odpoveď

( frac {12} {11} )

Nájdenie domén racionálnych funkcií

A vertikálny asymptot predstavuje hodnotu, pri ktorej je racionálna funkcia nedefinovaná, takže táto hodnota nie je v doméne funkcie. Recipročná funkcia nemôže mať vo svojej doméne hodnoty, ktoré spôsobujú, že menovateľ sa rovná nule. Všeobecne platí, že aby sme našli doménu racionálnej funkcie, musíme určiť, ktoré vstupy by spôsobili delenie nulou.

Definícia: DOMÉNA RACIONÁLNEJ FUNKCIE

Doména racionálnej funkcie obsahuje všetky reálne čísla okrem tých, ktoré spôsobujú, že menovateľ sa rovná nule.

Ako: Vzhľadom na racionálnu funkciu, vyhľadajte doménu.

  1. Nastaviť menovateľ na nulu.
  2. Riešením nájdite hodnoty x, ktoré spôsobujú, že menovateľ sa rovná nule.
  3. Doménou sú všetky reálne čísla okrem tých, ktoré sú uvedené v kroku 2.

Príklad ( PageIndex {4} ): Nájdenie domény racionálnej funkcie

Nájdite doménu (f (x) = dfrac {x + 3} {x ^ 2−9} ).

Riešenie

Začnite nastavením menovateľa na nulu a riešením.

[x ^ 2-9 = 0 ]

[x ^ 2 = 9 ] [x = pm 3 ]

Menovateľ sa rovná nule, keď (x = pm 3 ). Doménou funkcie sú všetky reálne čísla okrem (x = pm 3 ).

Analýza

Graf tejto funkcie, ako je znázornený na obrázku ( PageIndex {9} ), potvrdzuje, že funkcia nie je definovaná, keď (x = pm 3 ).

Na (x = 3 ) je vertikálna asymptota a na (x = −3 ) v grafe je diera. O týchto typoch otvorov sa budeme podrobnejšie rozprávať ďalej v tejto časti.

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Nájdite doménu (f (x) = frac {4x} {5 (x − 1) (x − 5)} ).

Odpoveď

Doménou sú všetky reálne čísla okrem (x = 1 ) a (x = 5 ).

Identifikácia vertikálnych asymptot racionálnych funkcií

Pri pohľade na graf racionálnej funkcie môžeme preskúmať jej miestne správanie a ľahko zistiť, či existujú asymptoty. Možno budeme schopní odhadnúť ich umiestnenie. Aj bez grafu však môžeme určiť, či daná racionálna funkcia má nejaké asymptoty, a vypočítať ich polohu.

Vertikálne asymptoty

Vertikálne asymptoty racionálnej funkcie možno nájsť skúmaním faktorov menovateľa, ktoré nie sú spoločné pre faktory v čitateľovi. Vertikálne asymptoty sa vyskytujú pri nulách týchto faktorov.

Ako: Vzhľadom na racionálnu funkciu, identifikujte akékoľvek vertikálne asymptoty jeho grafu

  1. Rozpočítajte čitateľa a menovateľa.
  2. Všimnite si akékoľvek obmedzenia v doméne funkcie.
  3. Znížte výraz zrušením bežných faktorov v čitateľovi a menovateli.
  4. Všimnite si všetky hodnoty, ktoré v tejto zjednodušenej verzii spôsobujú, že menovateľ je nulový. Tu sa vyskytujú vertikálne asymptoty.
  5. Všimnite si akékoľvek obmedzenia v doméne, kde sa asymptoty nevyskytujú. Jedná sa o vymeniteľné nespojitosti alebo „diery“.

Príklad ( PageIndex {5} ): Identifikácia vertikálnych asymptot

Nájdite vertikálne asymptoty grafu (k (x) = frac {5 + 2x ^ 2} {2 − x − x ^ 2} ).

Riešenie

Najskôr zvážte čitateľa a menovateľa.

[k (x) = dfrac {5 + 2x ^ 2} {2 − x − x ^ 2} ].

[= dfrac {5 + 2x ^ 2} {(2 + x) (1-x)} ]

Aby sme našli vertikálne asymptoty, určíme, kde bude táto funkcia nedefinovaná, nastavením menovateľa na nulu:

[(2 + x) (1 − x) = 0 ]

[x = −2,1 ]

Ani (x = –2 ), ani (x = 1 ) nie sú nuly čitateľa, takže tieto dve hodnoty označujú dve vertikálne asymptoty. Graf na obrázku ( PageIndex {10} ) potvrdzuje umiestnenie dvoch zvislých asymptot.

Obrázok ( PageIndex {10} ).

Vymeniteľné diskontinuity

Príležitostne bude graf obsahovať dieru: jeden bod, v ktorom graf nie je definovaný, označený otvorenou kružnicou. Takúto dieru voláme a odnímateľná diskontinuita. Napríklad funkciu (f (x) = frac {x ^ 2−1} {x ^ 2−2x − 3} ) možno prepísať faktorovaním čitateľa a menovateľa.

[f (x) = dfrac {(x + 1) (x − 1)} {(x + 1) (x − 3)} ]

Všimnite si, že (x + 1 ) je spoločný faktor pre čitateľa a menovateľa. Nula tohto faktora, (x = −1 ), je miestom odstrániteľnej diskontinuity. Všimnite si tiež, že (x – 3 ) nie je faktorom v čitateľovi aj v menovateli. Nula tohto faktora, (x = 3 ), je vertikálny asymptot. Viď obrázok ( PageIndex {11} ). [Upozorňujeme, že odstrániteľné diskontinuity nemusia byť viditeľné, keď použijeme grafickú kalkulačku, v závislosti na vybranom okne.]

ODSTRÁNITEĽNÉ NEPOKONČENOSTI PRÁVNYCH FUNKCIÍ

A odnímateľná diskontinuita vyskytuje sa v grafe racionálnej funkcie pri (x = a ), ak (a ) je nula pre faktor v menovateli, ktorý je spoločný s faktorom v čitateli. Faktorujeme čitateľa a menovateľa a skontrolujeme spoločné faktory. Ak nejaké nájdeme, spoločný faktor nastavíme na 0 a vyriešime. Toto je miesto odstrániteľnej diskontinuity. To platí, ak je multiplicita tohto faktora väčšia alebo rovnaká ako v menovateli. Ak je multiplicita tohto faktora v menovateli väčšia, potom pri tejto hodnote ešte existuje asymptota.

Príklad ( PageIndex {6} ): Identifikácia vertikálnych asymptot a odstrániteľných diskontinuít pre graf

Nájdite vertikálne asymptoty a odstrániteľné nespojitosti grafu (k (x) = frac {x − 2} {x ^ 2−4} ).

Riešenie

Rozpočítajte čitateľa a menovateľa.

[k (x) = dfrac {x − 2} {(x − 2) (x + 2)} ]

Všimnite si, že v čitateľovi a v menovateli je spoločný faktor (x – 2 ). Nula pre tento faktor je (x = 2 ). Toto je miesto odstrániteľnej diskontinuity.

Všimnite si, že v menovateli je faktor, ktorý nie je v čitateľovi, (x + 2 ). Nula pre tento faktor je (x = −2 ). Vertikálna asymptota je (x = −2 ). Viď obrázok ( PageIndex {12} ).

Graf tejto funkcie bude mať vertikálnu asymptotu na (x = −2 ), ale na (x = 2 ) bude mať graf dieru.

Cvičenie ( PageIndex {5} )

Nájdite vertikálne asymptoty a odstrániteľné nespojitosti grafu (f (x) = frac {x ^ 2−25} {x ^ 3−6x ^ 2 + 5x} ).

Odpoveď

Vymeniteľná diskontinuita pri (x = 5 ).

Vertikálne asymptoty: (x = 0 ), (x = 1 ).

Identifikácia horizontálnych asymptot racionálnych funkcií

Zatiaľ čo vertikálne asymptoty popisujú správanie grafu ako výkon dostane veľmi veľké alebo veľmi malé, vodorovné asymptoty pomôžu opísať správanie grafu ako vstup je veľmi veľký alebo veľmi malý. Pripomeňme, že koncové správanie polynómu bude odrážať chovanie vedúceho člena. Podobne bude koncové správanie racionálnej funkcie odzrkadľovať pomer pomeru funkcie, ktorý je pomerom hlavných výrazov.

Pri kontrole horizontálnych asymptot existujú tri odlišné výsledky:

Prípad 1: Ak je stupeň menovateľa> stupeň čitateľa, existuje a horizontálny asymptot o (y = 0 ).

Príklad: (f (x) = dfrac {4x + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

V tomto prípade je konečné správanie (f (x) ≈ frac {4x} {x ^ 2} = frac {4} {x} ). Toto nám hovorí, že keď sa vstupy zvyšujú alebo znižujú bez obmedzenia, bude sa táto funkcia správať podobne ako funkcia (g (x) = frac {4} {x} ) a výstupy sa budú blížiť k nule, výsledkom čoho bude horizontálna asymptota pri (y = 0 ). Pozri Obrázok ( PageIndex {13} ). Tento graf pretína vodorovnú asymptotu.

Prípad 2: Ak je stupeň menovateľa

Príklad: (f (x) = dfrac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} )

V tomto prípade je konečné správanie (f (x) ≈ frac {3x ^ 2} {x} = 3x ). Toto nám hovorí, že keď sa vstupy zvyšujú alebo znižujú bez obmedzenia, bude sa táto funkcia správať podobne ako funkcia (g (x) = 3x ). Keď budú vstupy narastať, budú narastať a nebudú sa vyrovnávať, takže tento graf nemá horizontálneho asymptota. Avšak graf (g (x) = 3x ) vyzerá ako diagonálna čiara, a keďže (f ) sa bude správať podobne ako (g ), bude sa blížiť k priamke blízkej (y = 3x ). Tento riadok je šikmým asymptotom.

Ak chcete nájsť rovnicu šikmého asymptotu, rozdeľte ( frac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} ). Kvocient je (3x + 1 ) a zvyšok je 2. Šikmý asymptot je grafom priamky (g (x) = 3x + 1 ). Viď obrázok ( PageIndex {14} ).

Prípad 3: Ak je stupeň menovateľa = stupeň čitateľa, existuje vodorovná asymptota na (y = dfrac {a_n} {b_n} ), kde (a_n ) a (b_n ) sú vedúce koeficienty (p (x) ) a (q (x) ) pre (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} ), (q (x) ≠ 0 ).

Príklad: (f (x) = dfrac {3x ^ 2 + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

V tomto prípade je konečné správanie (f (x) ≈ dfrac {3x ^ 2} {x ^ 2} = 3 ). Toto nám hovorí, že keď sa vstupy zväčšia, bude sa táto funkcia správať ako funkcia (g (x) = 3 ), čo je vodorovná čiara. Ako (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow 3 ), výsledkom je vodorovná asymptota na (y = 3 ). Viď obrázok ( PageIndex {15} ). Tento graf pretína vodorovnú asymptotu.

Všimnite si, že zatiaľ čo graf racionálnej funkcie nikdy neprekročí a vertikálny asymptot, graf môže alebo nemusí prechádzať vodorovným alebo šikmým asymptotom. Aj keď graf racionálnej funkcie môže mať veľa vertikálnych asymptot, bude mať najviac jednu horizontálnu (alebo šikmú) asymptotu.

Je potrebné poznamenať, že ak je stupeň čitateľa väčší ako stupeň menovateľa o viac ako jeden, potom konečné správanie grafu bude napodobňovať správanie frakcie zníženého koncového správania. Napríklad, keby sme mali funkciu

[f (x) = dfrac {3x ^ 5 − x ^ 2} {x + 3} ]

s konečným správaním

[f (x) ≈ dfrac {3x ^ 5} {x} = 3x ^ 4 ],

konečné správanie grafu by vyzeralo podobne ako párny polynóm s kladným vedúcim koeficientom.

(x rightarrow pm infty, f (x) rightarrow infty )

HORIZONTÁLNE ASYMPTÓTY RACIONÁLNYCH FUNKCIÍ

The horizontálny asymptot racionálnej funkcie možno určiť pohľadom na stupne čitateľa a menovateľa.

  • Stupeň čitateľa je menší ako stupeň menovateľa: vodorovná asymptota na (y = 0 ).
  • Stupeň čitateľa je väčší ako stupeň menovateľa o jeden: žiadny horizontálny asymptot; šikmý asymptot.
  • Stupeň čitateľa sa rovná stupňu menovateľa: vodorovná asymptota pri pomere vedúcich koeficientov.

Príklad ( PageIndex {7} ): Identifikácia vodorovných a šikmých asymptot

Pre uvedené funkcie identifikujte vodorovný alebo šikmý asymptot.

  1. (g (x) = dfrac {6x ^ 3−10x} {2x ^ 3 + 5x ^ 2} )
  2. (h (x) = dfrac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} )
  3. (k (x) = dfrac {x ^ 2 + 4x} {x ^ 3−8} )

Riešenie

Pre tieto riešenia použijeme (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x)}, medzera q (x) ≠ 0 ).

  1. (g (x) = frac {6x ^ 3−10x} {2x ^ 3 + 5x ^ 2} ): Stupeň (p = ) stupňa (q = 3 ), takže môžeme nájdite horizontálnu asymptotu tak, že vezmete pomer vedúcich výrazov. Na (y = frac {6} {2} ) alebo (y = 3 ) je vodorovná asymptota.
  2. (h (x) = frac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} ): Stupeň (p = 2 ) a stupeň (q = 1 ). Pretože (p> q ) o 1, na mieste ( dfrac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} ) sa nachádza šikmý asymptot.
  3. (k (x) = frac {x ^ 2 + 4x} {x ^ 3−8} ): Stupeň (p = 2 )

Príklad ( PageIndex {8} ) identifikujúci horizontálne asymptoty

V predchádzajúcom probléme s koncentráciou cukru sme vytvorili rovnicu (C (t) = frac {5 + t} {100 + 10t} ).

Nájdite horizontálnu asymptotu a interpretujte ju v kontexte problému.

Riešenie

Čitateľ aj menovateľ sú lineárne (stupeň 1). Pretože sú si stupne rovnaké, bude k dispozícii vodorovný asymptot v pomere vedúcich koeficientov. V čitateli je vedúci člen (t ) s koeficientom 1. V menovateli je vedúci člen 10t s koeficientom 10. Horizontálna asymptota bude v pomere k týmto hodnotám:

(t rightarrow infty, medzera C (t) rightarrow frac {1} {10} )

Táto funkcia bude mať vodorovnú asymptotu na (y = frac {1} {10} ).

Toto nám hovorí, že ako sa hodnoty t zvyšujú, hodnoty (C ) sa budú blížiť ( frac {1} {10} ). V kontexte to znamená, že s pribúdajúcim časom sa koncentrácia cukru v nádrži priblíži k desatine libry cukru na galón vody alebo ( frac {1} {10} ) libier na galón .

Príklad ( PageIndex {9} ): Identifikácia horizontálnych a vertikálnych asymptot

Nájdite horizontálne a vertikálne asymptoty funkcie

(f (x) = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} )

Riešenie

Najskôr si všimnite, že táto funkcia nemá spoločné faktory, takže neexistujú žiadne potenciálne odstrániteľné diskontinuity.

Keď bude menovateľ nulový, funkcia bude mať vertikálne asymptoty, čo spôsobí, že funkcia nebude definovaná. Menovateľ bude nula pri (x = 1, –2, ) a (5 ), čo naznačuje vertikálne asymptoty pri týchto hodnotách.

Čitateľ má stupeň (2 ), zatiaľ čo menovateľ má stupeň 3. Pretože stupeň menovateľa je väčší ako stupeň čitateľa, menovateľ bude rásť rýchlejšie ako čitateľ, čo spôsobí, že výstupy budú smerovať k nule vstupy sú veľké a tak (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow 0 ). Táto funkcia bude mať vodorovnú asymptotu na (y = 0. ) Pozri obrázok ( PageIndex {16} ).

Cvičenie ( PageIndex {6} )

Nájdite vertikálne a horizontálne asymptoty funkcie:

(f (x) = dfrac {(2x − 1) (2x + 1)} {(x − 2) (x + 3)} )

Odpoveď

Vertikálne asymptoty at (x = 2 ) and (x = –3 )

horizontálna asymptota pri (y = 4 ).

INTERCEPTY RACIONÁLNYCH FUNKCIÍ

A racionálna funkcia bude mať (y ) - intercept na (f (0), ), ak je funkcia definovaná na nule. Racionálna funkcia nebude mať zachytenie (y ), ak funkcia nie je definovaná na nule.

Rovnako tak bude mať racionálna funkcia (x ) - zachytenie na vstupoch, ktoré spôsobí, že výstup bude nulový. Pretože zlomok sa rovná nule iba vtedy, keď je čitateľ nulový, môžu sa interagy x vyskytnúť iba vtedy, keď sa čitateľ racionálnej funkcie rovná nule.

Príklad ( PageIndex {10} ): Nájdenie zachytení racionálnej funkcie

Nájdite zachytené body (f (x) = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} ).

Riešenie

Intercept y môžeme nájsť vyhodnotením funkcie na nule

(f (0) = dfrac {(0-2) (0 + 3)} {(0-1) (0 + 2) (0-5)} )

(= - dfrac {6} {10} )

(= - dfrac {3} {5} )

(=−0.6)

The X-koncepty sa vyskytnú, keď je funkcia rovná nule:

(0 = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} ) Toto je nula, keď je čitateľ nulový.

(0 = (x − 2) (x + 3) )

(x = 2, -3)

The r-intercept je ((0, –0,6) ), x-zachytené sú ((2,0) ) a ((- 3,0) ). Pozri obrázok ( PageIndex {17} ).

Cvičenie ( PageIndex {7} )

Vzhľadom na recipročnú štvorcovú funkciu, ktorá je posunutá o 3 jednotky doprava, nadol o 4 jednotky, napíšte to ako racionálnu funkciu. Potom nájdite záchytné body x a y a vodorovné a zvislé asymptoty.

Odpoveď

Pre transformovanú recipročnú štvorcovú funkciu nájdeme racionálny tvar.

(f (x) = dfrac {1} {{(x − 3)} ^ 2} −4 = dfrac {1−4 {(x − 3)} ^ 2} {{(x − 3)} ^ 2} = dfrac {1−4 (x ^ 2−6x + 9)} {(x − 3) (x − 3)} = dfrac {−4x ^ 2 + 24x − 35} {x ^ 2− 6x + 9} )

Pretože čitateľ má rovnaký stupeň ako menovateľ, vieme, že ako (x rightarrow pm infty ), (f (x) rightarrow −4 ); takže (y = –4 ) je horizontálny asymptot. Ďalej nastavíme menovateľ na nulu a zistíme, že vertikálna asymptota je (x = 3 ), pretože ako (x rightarrow 3 ), (f (x) rightarrow infty ). Potom nastavíme čitateľ rovný (0 ) a zistíme, že úseky x sú na ((2.5,0) ) a ((3.5,0) ). Nakoniec vyhodnotíme funkciu na 0 a zistíme, že priesečník y je na ((0, - frac {35} {9}) ).

Grafické znázornenie racionálnych funkcií

V príklade ( PageIndex {10} ) vidíme, že čitateľ racionálnej funkcie odhaľuje X-koncepty grafu, zatiaľ čo menovateľ odhalí vertikálne asymptoty grafu. Rovnako ako v prípade polynómov môžu mať faktory čitateľa celočíselné sily väčšie ako jedna. Našťastie je vplyv na tvar grafu pri týchto zachyteniach rovnaký ako u polynómov.

Vertikálne asymptoty spojené s faktormi menovateľa budú zrkadliť jednu z dvoch recipročných funkcií sady nástrojov. Ak je miera faktora v menovateli nepárna, rozlišujúcou charakteristikou je, že na jednej strane vertikálneho asymptotu smeruje graf k pozitívnemu nekonečnu a na druhej strane smeruje k negatívnemu nekonečnu. Viď obrázok ( PageIndex {18} ).

Ak je stupeň faktora v menovateli párny, rozlišujúcou charakteristikou je, že graf smeruje buď k pozitívnemu nekonečnu na oboch stranách vertikálneho asymptotu, alebo smeruje k negatívnemu nekonečnu na oboch stranách. Viď obrázok ( PageIndex {19} ).

Napríklad graf (f (x) = dfrac {{(x + 1)} ^ 2 (x − 3)} {{(x + 3)} ^ 2 (x − 2)} ) je zobrazené na obrázku ( PageIndex {20} ).

  • Na priesečníku x (x = −1 ), ktorý zodpovedá faktoru ({(x + 1)} ^ 2 ) čitateľa, sa graf „odrazí“, čo zodpovedá kvadratickej podstate faktora.
  • Na priesečníku x (x = 3 ), ktorý zodpovedá faktoru ((x − 3) ) čitateľa, graf prechádza osou, ako by sme očakávali od lineárneho faktora.
  • Pri vertikálnej asymptote (x = −3 ) zodpovedajúcej faktoru ({(x + 3)} ^ 2 ) menovateľa graf smeruje k pozitívnemu nekonečnu na oboch stranách asymptoty, čo je v súlade so správaním funkcie (f (x) = frac {1} {x ^ 2} ).
  • Na zvislej asymptote (x = 2 ), zodpovedajúcej faktoru ((x − 2) ) menovateľa, smeruje graf k pozitívnemu nekonečnu na ľavej strane asymptoty a k negatívnemu nekonečnu na pravej strane , v súlade s chovaním funkcie (f (x) = frac {1} {x} ).

Ako: Vzhľadom na racionálnu funkciu, nakreslite graf.

  1. Vyhodnoťte funkciu na 0 a nájdite priesečník y.
  2. Rozpočítajte čitateľa a menovateľa.
  3. Pre faktory v čitateli, ktoré nie sú spoločné pre menovateľa, určte, kde je každý faktor čitateľa nula, aby ste našli interagujúce x.
  4. Nájdite multiplicity interceptov x a určte správanie grafu v týchto bodoch.
  5. Pre faktory v menovateli si všimnite multiplicity núl, aby ste určili miestne správanie. Pre tie faktory, ktoré čitateľ nemá spoločné, nájdite vertikálne asymptoty nastavením týchto faktorov na nulu a potom vyriešte.
  6. Pre faktory v menovateli spoločné pre faktory v čitateli nájdite odstrániteľné diskontinuity nastavením týchto faktorov na hodnotu 0 a potom vyriešte.
  7. Porovnajte stupne čitateľa a menovateľa, aby ste určili vodorovné alebo šikmé asymptoty.
  8. Načrtnite graf.

Príklad ( PageIndex {11} ): Vytvorenie grafu racionálnej funkcie

Načrtnite graf (f (x) = frac {(x + 2) (x − 3)} {{(x + 1)} ^ 2 (x − 2)} ).

Riešenie

Na úvod môžeme poznamenať, že funkcia je už zapracovaná, čo nám ušetrí krok.

Ďalej nájdeme zachytené objekty. Vyhodnotením funkcie na nule sa získa priesečník y:

(f (0) = dfrac {(0 + 2) (0 -3)} {{(0 + 1)} ^ 2 (0-2)} )

(=3)

Aby sme našli intergescie x, určíme, kedy je čitateľ funkcie nulový. Nastavením každého faktora na nulu nájdeme úseky x na (x = –2 ) a (x = 3 ). Chovanie bude vždy lineárne (multiplicita 1), pričom graf bude prechádzať interceptom.

Zachytenie y máme na ((0,3) ) a zachytenie x na ((- 2,0) ) a ((3,0) ).

Aby sme našli vertikálne asymptoty, určíme, kedy je menovateľ rovný nule. K tomu dochádza, keď (x + 1 = 0 ) a keď (x – 2 = 0 ), čo nám dáva vertikálne asymptoty v (x = –1 ) a (x = 2 ).

V čitateľovi a menovateli nie sú spoločné faktory. To znamená, že neexistujú žiadne odstrániteľné diskontinuity.

Nakoniec je stupeň menovateľa väčší ako stupeň čitateľa, čo nám hovorí, že tento graf má vodorovný asymptot na (y = 0 ).

Na načrtnutie grafu by sme mohli začať vynesením troch interceptov. Pretože graf nemá medzi vertikálnymi asymptotami žiadne priesečníky x a intercept typu y je kladný, vieme, že medzi asymptotami musí zostať pozitívna funkcia, ktorá nám umožňuje vyplniť strednú časť grafu, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {21} ).

Faktor spojený s vertikálnym asymptotom v (x = −1 ) bol na druhú, takže vieme, že chovanie bude rovnaké na oboch stranách asymptotu. Keď sa vstupy približujú k asymptote vpravo, graf smeruje k pozitívnemu nekonečnu, takže graf bude smerovať takisto k pozitívnemu nekonečnu zľava.

Pre vertikálnu asymptotu pri (x = 2 ) nebol faktor štvorcový, takže graf bude mať opačné správanie na oboch stranách asymptoty. Viď obrázok ( PageIndex {22} ). Po prechode priesečníkmi x sa graf potom vyrovná smerom k nule, čo naznačuje vodorovná asymptota.

Cvičenie ( PageIndex {8} )

Vzhľadom na funkciu (f (x) = frac {{(x + 2)} ^ 2 (x − 2)} {2 {(x − 1)} ^ 2 (x − 3)} ) použite charakteristiky polynómov a racionálnych funkcií na opísanie ich správania a načrtnutie funkcie.

Odpoveď

Horizontálna asymptota na (y = frac {1} {2} ). Vertikálne asymptoty at (x = 1 ) and (x = 3 ). Y-intercept v ((0, frac {4} {3}) ).

x-zachytáva na ((2,0) ) a ((- 2,0) ). ((- 2,0) ) je nula s multiplicitou (2 ) a graf sa v tomto bode odráža od osi x. ((2,0) ) je jedna nula a graf v tomto bode pretína os.

Písanie racionálnych funkcií

Teraz, keď sme analyzovali rovnice pre racionálne funkcie a ich vzťah k grafu funkcie, môžeme na napísanie funkcie použiť informácie dané grafom. Racionálna funkcia napísaná vo faktorizovanej podobe bude mať X-intercept, kde sa každý faktor čitateľa rovná nule. (Výnimka nastane v prípade vymeniteľnej diskontinuity.) Vo výsledku môžeme vytvoriť čitateľ funkcie, ktorej graf bude prechádzať množinou X-koncepty zavedením zodpovedajúcej sady faktorov. Likewise, because the function will have a vertical asymptote where each factor of the denominator is equal to zero, we can form a denominator that will produce the vertical asymptotes by introducing a corresponding set of factors.

WRITING RATIONAL FUNCTIONS FROM INTERCEPTS AND ASYMPTOTES

Ak rational function has x-intercepts at (x=x_1,x_2,...,x_n), vertical asymptotes at (x=v_1,v_2,…,v_m), and no (x_i=) any (v_j), then the function can be written in the form:

(f(x)=adfrac{ {(x−x_1)}^{p_1} {(x−x_2)}^{p_2}⋯{(x−x_n)}^{p_n} }{ {(x−v_1)}^{q_1} {(x−v_2)}^{q_2}⋯{(x−v_m)}^{q_n}})

where the powers (p_i) or (q_i) on each factor can be determined by the behavior of the graph at the corresponding intercept or asymptote, and the stretch factor (a) can be determined given a value of the function other than the x-intercept or by the horizontal asymptote if it is nonzero.

Given a graph of a rational function, write the function.

  1. Determine the factors of the numerator. Examine the behavior of the graph at the X-intercepts to determine the zeroes and their multiplicities. (This is easy to do when finding the “simplest” function with small multiplicities—such as 1 or 3—but may be difficult for larger multiplicities—such as 5 or 7, for example.)
  2. Determine the factors of the denominator. Examine the behavior on both sides of each vertical asymptote to determine the factors and their powers.
  3. Use any clear point on the graph to find the stretch factor.

Example (PageIndex{12}): Writing a Rational Function from Intercepts and Asymptotes

Write an equation for the rational function shown in Figure (PageIndex{24}).

Riešenie

The graph appears to have x-intercepts at (x=–2) and (x=3). At both, the graph passes through the intercept, suggesting linear factors. The graph has two vertical asymptotes. The one at (x=–1) seems to exhibit the basic behavior similar to (dfrac{1}{x}), with the graph heading toward positive infinity on one side and heading toward negative infinity on the other. The asymptote at (x=2) is exhibiting a behavior similar to (dfrac{1}{x^2}), with the graph heading toward negative infinity on both sides of the asymptote. See Figure (PageIndex{25}).

We can use this information to write a function of the form

(f(x)=adfrac{(x+2)(x−3)}{(x+1){(x−2)}^2})

To find the stretch factor, we can use another clear point on the graph, such as the r-intercept ((0,–2)).

(−2=adfrac{(0+2)(0−3)}{(0+1){(0−2)}^2})

(-2=adfrac{−6}{4})

(a=dfrac{−8}{−6}=dfrac{4}{3})

This gives us a final function of (f(x)=frac{4(x+2)(x−3)}{3(x+1){(x−2)}^2}).

Kľúčové rovnice

Rational Function(f(x)=dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{a_px^p+a_{p−1}x^{p−1}+...+a_1x+a_0}{b_qx^q+b_{q−1}x^{q−1}+...+b_1x+b_0},space Q(x)≠0)

Kľúčové koncepty

  • We can use arrow notation to describe local behavior and end behavior of the toolkit functions (f(x)=frac{1}{x}) and (f(x)=frac{1}{x^2}). Viď príklad ( PageIndex {1} ).
  • A function that levels off at a horizontal value has a horizontal asymptote. A function can have more than one vertical asymptote. Pozri príklad.
  • Application problems involving rates and concentrations often involve rational functions. Pozri príklad.
  • The domain of a rational function includes all real numbers except those that cause the denominator to equal zero. Pozri príklad.
  • The vertical asymptotes of a rational function will occur where the denominator of the function is equal to zero and the numerator is not zero. Pozri príklad.
  • A removable discontinuity might occur in the graph of a rational function if an input causes both numerator and denominator to be zero. Pozri príklad.
  • A rational function’s end behavior will mirror that of the ratio of the leading terms of the numerator and denominator functions. See Example, Example, Example, and Example.
  • Graph rational functions by finding the intercepts, behavior at the intercepts and asymptotes, and end behavior. Pozri príklad.
  • If a rational function has x-intercepts at (x=x_1,x_2,…,x_n), vertical asymptotes at (x=v_1,v_2,…,v_m), and no (x_i=) any (v_j), then the function can be written in the form

Rational Expressions and Functions: Your Complete Guide

Learning about Rational Expressions and Functions can be tough. Once you feel you mastered one type of problem you get stumped on the next. This course is structured to not leave you behind in the dust. I start off each section with basic definitions and processes you will need to know moving through the course. I then present two types of videos to you for each skill. First is the overview video where I explain the concept as a whole like a typical lecture in a classroom. I then work through multiple examples showing you step by step how to complete different types of problems. We both know watching someone do math is not the best way to learn. You have to practice! Each section you are provided with multiple worksheets to practice your skills as well as the answers to check your work. Revert back to videos if you get stuck and forget how to solve the problems. Once you feel you have a good grasp of your understanding it is time to take your quiz. There are multiple quizzes provided for each section. Take the quizzes as many times as you need to earn 100%.

There is no pressure you are hear to learn. By taking this course you will not only gain a better understanding of Rational Expressions and Functions but you will gain confidence to solve more problems on your own. That is why I created this course. I want students to no longer fear learning math or walking into their math class because they just don't understand. Everyone can learn math. Some it just takes a little longer, some just need a little boast and some need a course like I designed to guide them through the material. Heck once you complete this course, show your teacher! You deserve and A. I am here for you and by joining this course you are now one of my students just as important to me as the 140 students I teach in the classroom during the school year. So please keep in touch, let me know how I am doing and if there is anything extra I can provide to assist you with your learning of Rational Expressions and Equations.


Frequently bought together

Review

Iteration of Rational Functions

Complex Analytic Dynamical Systems

"This book makes available a comprehensive, detailed, and organized treatment of the foundations of the theory of iteration of rational functions of a complex variable. The material covered extends from the original memoirs of Fatou and Julia to the recent and important results and methods of Sullivan and Shishikura. Many of the details of the proofs have not occurred in print before ."―ZENTRALBLATT MATH


Algebra II

Emphasis on functions returns as the functional families learned in Algebra I are studied in more detail. Algebra II expands on quadratic, polynomial, exponential, radical and rational functions and introduces logarithmic functions. Students learn how to use and operate on complex numbers so that complex solutions of quadratic and polynomial functions can be considered. This course focuses on more abstract and theoretical concepts, allowing students to improve their critical thought processes. The primary goal of this course is for students to own a strong understanding of all types of functions and prepare them for Pre-Calculus.

Review of Equations & Exponents

  1. 1.1 Introduction to Equations
  2. 1.2 Multistep & Distributive Part I
  3. 1.3 Multistep & Distributive Part II
  4. 1.4 Equations with Multiple Variables
  5. 1.5 Slope & Rate of Change
  6. 1.6 Calculating Slope Using a Graph
  7. 1.7 Calculate Slope Using dydx & Intercepts
  8. 1.8 Slope-Intercept Form
  9. 1.9 Equation of a Line
  10. 1.10 Introduction to Exponents
  11. 1.11 The Product Property
  12. 1.12 The Quotient Property
  13. 1.13 Zero and Negative Exponents
  14. 1.14 Fractional Exponents
  15. 1.15 Power of a Power Property
  16. 1.16 Power of a Product Property
  17. 1.17 Power of a Fraction
  18. 1.18 Simplifying Algebraic Expressions with Exponents

Systems of Linear Equations & Inequalities

  1. 2.1 Intro to Systems of Linear Equations & Inequalities
  2. 2.2 Solving a System of Equations by Substitution
  3. 2.3 Solving a System of Equations by Elimination
  4. 2.4 Graphing Systems of Linear Equations
  5. 2.5 Graphing Systems of Inequalities
  6. 2.6 Linear Programming

Polynomial Functions

  1. 3.1 Introduction to Polynomials
  2. 3.2 Adding & Subtracting Polynomials
  3. 3.3 Multiplying Polynomials
  4. 3.4 Dividing Polynomials Using Long Division
  5. 3.5 Dividing Polynomials Using Synthetic Division
  6. 3.6 Remainder Theorem
  7. 3.7 Factor Theorem
  8. 3.8 Factoring Polynomials Using the GCF
  9. 3.9 Factoring Using Difference of Squares
  10. 3.10 Factoring Perfect Square Trinomials
  11. 3.11 Factoring Trinomials
  12. 3.12 Factoring Using Sums or Difference of Cubes
  13. 3.13 Solving Equations Using Factoring

Functions

  1. 4.1 Introduction to Functions
  2. 4.2 Function Notation & Evaluation
  3. 4.3 Domain of a Function & Interval Notation
  4. 4.4 Range of a Function & Interval Notation
  5. 4.5 Adding & Subtracting Functions
  6. 4.6 Multiplying & Dividing Functions
  7. 4.7 Composition of Functions
  8. 4.8 Inverse Functions
  9. 4.9 Composition and Inverse
  10. 4.10 Piecewise Functions
  11. 4.11 Step Functions

Komplexné čísla

  1. 5.1 Introduction to Imaginary & Complex Numbers
  2. 5.2 Adding & Subtracting Complex Numbers
  3. 5.3 Multiplying Complex Numbers
  4. 5.4 Complex Conjugates
  5. 5.5 Dividing Complex Numbers
  6. 5.6 Absolute Value & Complex Numbers

Polynomial Functions Solving & Graphing

  1. 6.1 Finding a Polynomial Given the Roots
  2. 6.2 Location Principle & Multiplicity of Zeros
  3. 6.3 Rational Root Theorem
  4. 6.4 The Quadratic Formula
  5. 6.5 The Complex Conjugate Root Theorem
  6. 6.6 Fundamental Theorem of Algebra & Descartes Rule of Signs
  7. 6.7 Graphing Polynomials

Quadratic Functions

  1. 7.1 Introduction to Quadratic Functions
  2. 7.2 Graphing Quadratic Functions in Vertex Form
  3. 7.3 Solving Quadratics with Square Roots
  4. 7.4 Solving Quadratics with Completing the Square
  5. 7.5 Converting Quadratic Function to Vertex Form using Completing the Square
  6. 7.6 Graphing Quadratic Inequalities
  7. 7.7 Applications of Quadratics

Exponential & Logarithmic Functions

  1. 8.1 Intro to Exponential & Logarithmic Properties
  2. 8.2 Exponential Growth
  3. 8.3 Exponential Decay
  4. 8.4 Logarithmic Functions
  5. 8.5 Evaluating Logarithmic Functions
  6. 8.6 Product Property of Logarithms
  7. 8.7 Quotient Property of Logarithms
  8. 8.8 Power Property of Logarithms
  9. 8.9 Exponential-Logarithmic Inverse Properties
  10. 8.10 Application of Logarithms
  11. 8.11 The Natural Exponential Function
  12. 8.12 The Natural Logarithm
  13. 8.13 Solving Logarithmic Equations

Exponential & Logarithmic Functions

  1. 9.1 Introduction to Rational Functions
  2. 9.2 Direct Variation
  3. 9.3 Inverse Variation
  4. 9.4 Joint & Combined Variation
  5. 9.5 Simplifying Rational Expressions
  6. 9.6 Adding & Subtracting Rational Expressions
  7. 9.7 Multiplying Rational Expressions
  8. 9.8 Dividing Rational Expressions
  9. 9.9 Complex Fractions
  10. 9.10 Solving Rational Equations
  11. 9.11 Graph of a Rational Function
  12. 9.12 Graph of a Rational Function Continued

Radical Functions

  1. 10.1 Introduction to Radical Functions
  2. 10.2 Simplifying Radicals - Numerical
  3. 10.3 Simplifying Radicals - Algebraic
  4. 10.4 Multiplying Radicals
  5. 10.5 Dividing Radicals
  6. 10.6 Adding & Subtracting Radicals
  7. 10.7 Solving Radical Equations
  8. 10.8 Graphing Radical Functions

Conic Sections

  1. 11.1 Introduction to Conic Sections
  2. 11.2 Distance & Midpoint Formulas
  3. 11.3 Parabolas Part I
  4. 11.4 Parabolas Part II
  5. 11.5 Circles Part I
  6. 11.6 Circles Part II
  7. 11.7 Ellipses Part I
  8. 11.8 Ellipses Part II
  9. 11.9 Hyperbolas Part I
  10. 11.10 Hyperbolas Part II
  11. 11.11 Solving Non Linear Systems

Statistics & Probability

  1. 12.1 Introduction to Statistics
  2. 12.2 Independent & Dependent Events
  3. 12.3 Measures of Central Tendency
  4. 12.4 Hisotgrams & Circle Graphs
  5. 12.5 Stem & Leaf Plots
  6. 12.6 Box & Whisker Plots
  7. 12.7 Scatter Plots
  8. 12.8 Permutations
  9. 12.9 Combinations
  10. 12.10 Measures of Dispersion

Series & Patterns

  1. 13.1 Introduction to Series & Patterns
  2. 13.2 Sequences & Series
  3. 13.3 Arithmetic Sequences
  4. 13.4 Arithmetic Series
  5. 13.5 Geometric Sequences
  6. 13.6 Finite Geometric Series
  7. 13.7 Infinite Geometric Series
  8. 13.8 Pascal's Triangle
  9. 13.9 Binomial Theorem

Trigonometria

  1. 14.1 Introduction to Trigonometric Functions
  2. 14.2 Finding an Unknown Angle
  3. 14.3 Reciprocal Ratios
  4. 14.4 Sine Law
  5. 14.5 Cosine Law
  6. 14.6 Angles in Standard Position
  7. 14.7 Special Triangles & Exact Values

Matrices

  1. 15.1 Introduction to Matrices
  2. 15.2 Basic Matrix Operations
  3. 15.3 Matrix Multiplication
  4. 15.4 Determinant of a Matrix
  5. 15.5 Inverse of a Matrix

Rational Functions Contents : This page corresponds to § 3.5 (p. 289) and § 3.6 (p. 299) of the text. Suggested Problems from Text: Úvod

A rational function is one that can be written as a polynomial divided by a polynomial. Since polynomials are defined everywhere, the domain of a rational function is the set of all numbers except the zeros of the denominator.

f(x) = x / (x - 3). The denominator has only one zero, x = 3. So the domain of f is the set of all numbers other than 3.

Domain of f: (-inf, 3) union (3, inf).

The graph of f is pictured below.

Asymptotes

Look again at the graph of f(x) = x / (x - 3) shown above. Since 3 is not in the domain of f, there is no point on the graph with first coordinate 3, so there has to be a break in the graph. In fact, we can see that the function values become unbounded (go to infinity or negative infinity) as x approaches 3. The following tables of function values illustrate this behavior.

We say that f (x) approaches infinity as x approaches 3 from the right , or

The phrase from the right is important. It means that we are using values for x that are larger than 3 and getting close to 3. The next table shows the behavior of f as x approaches 3 from the left.

We say that f(x) approaches negative infinity as x approaches 3 from the left. Here we will use a superscript - to indicate approaching from the left.

In the last section we pointed out that polynomial graphs either rise to the right or fall to the right. The graph of the rational function f does neither of these. It appears from the picture that the points on the graph of f approach the horizontal line y = 1 as x goes right and as x goes left. The tables below provide further evidence that this is the case.

f(x) -> 1 as x -> inf and f(x) -> 1 as x -> - inf,

The vertical line x = 3 and the horizontal line y = 1 are examples of asymptotes . An asymptote is a line that a graph gets close to as x goes to plus or minus infinity or a particular number.

Definition of Horizontal and Vertical Asymptotes

The line x = a is a vertical asymptote of the graph of f if f(x) -> ± infinity as x -> a from the left or the right.

The line y = b is a horizontal asymptote of the graph of f if f(x) -> b as x -> ± infinity.

In general, the graph of a rational function will have a vertical asymptote at a zero of the denominator. The exception to this rule is the case where the numerator and denominator share a zero.

g(x) = (x 2 - 4) / (x - 2). g is a rational function and g is not defined at 2 because 2 is a zero of the denominator. However, 2 is also a zero of the numerator, and we can simplify the quotient.

(x 2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2.

However, the function g is not equal to the function h(x) = x + 2, because h is defined at 2 while g is not! (This point is usually mentioned in a College Algebra class and then promptly forgotten.)

The graph of g does not have a vertical asymptote through 2. The graph of g is the line y = x + 2 with a hole where the point (2, 4) would be.

You can usually see from a graphing utility whether or not the graph of a rational function has a horizontal asymptote. However it is generally not clear from the picture exactly what number the asymptote goes through on the y-axis. Generating a table as we did above gives you a much better idea of where the horizontal asymptote is.

f(x) = x 2 / (x - 3). The graph of f is pictured below.

We see from the graph that f(x) -> -inf as x -> 3 - , and f(x) -> inf as x -> 3 + . It is also clear from the picture that the graph has no horizontal asymptote . The graph rises to the right and falls to the left.

The dotted line is a slant asymptote of the graph of f. Slant asymptotes are discussed on page 302 of the text.

It is possible to tell whether or not a rational function has a horizontal asymptote, and if so, exactly where it is, by analyzing the leading terms of the numerator and denominator. This procedure is described in detail on page 291 of the text.

It is certainly possible to be fooled by a graph. Consider the graph pictured below.

This appears to be a graph with the y-axis as a vertical asymptote. In fact this is the graph of f(x) = 5x / (x 2 + 0.01), as rendered by the Java Grapher. The denominator has no (real) zeros, so the graph has no vertical asymptotes.

Use a graphing utility to graph f(x) = 3x 2 / (x 2 - 16). Find all asymptotes. Odpoveď

Aplikácia

We are going to enclose a corral adjacent to a river as in the diagram below. No fence is needed on the river side. The enclosed area needs to be 800 square yards. Find the dimensions x and y that require the least amount of fence.

Since we are given that the area must be 800 sq yds, and the area of a rectangle is the product of the two dimensions, this gives us an equation that x and y must satisfy.

x y = 800.

Solving for y yields

y = 800 / x.

Let F stand for the length of fence used, in yards. Since there is one side of length x and two sides of length y, we have

F = x + 2y.

Substituting for y yields

F = x + 2(800 / x).

F = x + 1600 / x.

F is a rational function. Its graph has the y-axis (x = 0) as a vertical asymptote, because F is not defined at 0. The graph of F has no horizontal asymptote, but the line y = x is a slant asymptote.

F = x + 1600 / x

Note that since the variable x in this problems stands for a length, we are only interested in values x > 0, so we may focus on quadrant I of the graph of F.

We need to find the first coordinate of the relative minimum point in quadrant I, for that is the length x corresponding to the smallest values of F, and our goal is to use the smallest possible amount of fence.

One of the graded assignments for the course will be to complete this problem by using a graphing utility to approximate the coordinates of the relative minimum point and find the x and y dimensions of the corral that require the least amount of fence.


Solved Examples

Find the x-intercepts of the function give below:

Set the numerator of this rational function equal to zero and solve for ( ext ):

[ egin ext x^2+ ext x - 2 &= 0 ( ext x&minus1)( ext x+2) &= 0 end ]

Solutions for this polynomial are -

and plot the graph for the function.

Factoring the numerator, we have

[ egin 3 ext x^3&minus6 ext x &= 0 3 ext x( ext x^2&minus2) &= 0 end ]

Given the factor ( 3 ext x ), the polynomial equals ( 0 ) when ( 3 ext x = 0 ) or ( ext x = 0 ).

Let the second factor equal zero, and solve for ( ext x ) :

Thus, the three roots or x-intercepts are:

( herefore ext< x-intercepts >: 0, &minus&radic2 ext < and >&radic2 )

Sketch the graph of the following function.
[ ext < f(x) >= dfrac < ext x+3 >< ext x&minus1>]

So, we&rsquoll start off with the intercepts.

Now, we need to determine the asymptotes.

Let&rsquos first find the vertical asymptotes.

( egin ext x &minus1 &= 0 ext x &= 1 end )
So, we&rsquove got one vertical asymptote. This means that there are now two regions of ( ext x )&rsquos.

They are ( ext x < 1 ) and ( ext x >1 ).

Now, the largest exponent in the numerator and denominator is ( 1 ) and so by the fact, there will be a horizontal asymptote at the line.

Now, we just need points in each region of ( ext x )&rsquos.

Since the ( ext ) and ( ext < x-intercept >) are already in the left region we won&rsquot need to get any points there.

That means that we&rsquoll just need to get a point in the right region.

It doesn&rsquot really matter what value of ( ext x ) we pick here we just need to keep it fairly small so it will fit onto our graph.

&rArr ( (2,5) )
Okay, putting all this together gives the following graph.

Find the vertical asymptotes of

Notice that, based on the linear factors in the denominator, singularities exists at ( ext x= -4 ) and ( ext x= -1 ).

Also, notice that one linear factor ( ( ext x+4) ) cancels with the numerator.

However, one linear factor ( ( ext x+4)) remains in the denominator because it is squared.

Therefore, a vertical asymptote exists at
[ ext x= -4 ]
The linear factor ( ( ext x+1) ) also does not cancel out thus, a vertical asymptote also exists at

Vertical asymptotes are at

( herefore) ( ext x = -1 ext < and > ext x = &minus4 )

Find any horizontal or oblique asymptote of

Since, the polynomials in the numerator and denominator have the same degree ( (2) ), we can identify that there is one horizontal asymptote and no oblique asymptote.

The coefficient of the highest power term is ( 6 ) in the numerator and ( 3 ) in the denominator.

Hence, horizontal asymptote is given by ( ext y= dfrac63=2 )

( herefore ext : ext y = 2 )


Solved Examples on Rational Functions

For ACT Students
The ACT is a timed exam. $60$ questions for $60$ minutes
This implies that you have to solve each question in one minute.
Some questions will typically take less than a minute a solve.
Some questions will typically take more than a minute to solve.
The goal is to maximize your time. You use the time saved on those questions you solved in less than a minute, to solve the questions that will take more than a minute.
So, you should try to solve each question correctly a timely.
So, it is not just solving a question correctly, but solving it correctly on time.
Please ensure you attempt all ACT questions.
There is no "negative" penalty for any wrong answer.

For JAMB and CMAT Students
Calculators are not allowed. So, the questions are solved in a way that does not require a calculator.

For WASSCE Students
Any question labeled WASCCE is a question for the WASCCE General Mathematics
Any question labeled WASSCE-FM is a question for the WASSCE Further Mathematics/Elective Mathematics

For GCSE Students
All work is shown to satisfy (and actually exceed) the minimum for awarding method marks.
Calculators are allowed for some questions. Calculators are not allowed for some questions.

For NSC Students
For the Questions:
Any space included in a number indicates a comma used to separate digits. separating multiples of three digits from behind.
Any comma included in a number indicates a decimal point.
For the Solutions:
Decimals are used appropriately rather than commas
Commas are used to separate digits appropriately.

Review:
Given a Rational Function:
To Find the Vertical Asymptote (VA):
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero (if applicable after simplifying the function)
(3.) Solve for the value of $x$
(4.) $VA: x = value$

To Find the Horizontal Asymptote (HA):
(1.) Arrange the numerator in standard form
(2.) Arrange the denominator in standard form
(3.) If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, $HA: y = 0$
(4.) If the degree of the numerator is the same as the degree of the denominator,
$HA: y = dfrac$

If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, then onto the Slant Asymptote (or Oblique Asymptote)

To Find the Slant Asymptote (SA):
If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator,
$SA: y = quotientofdfrac$

To Find the $x-intercept$:
(1.) Set $y = 0$
(2.) Solve for the value of $x$
(3.) $x-intercept = (value, 0)$

To Find the $y-intercept$:
(1.) Set $x = 0$
(2.) Solve for the value of $y$
(3.) $y-intercept = (0, value)$

Solve all questions.
Show all work.

(1.) Determine the $x-intercept$ and the $y-intercept$ for the function.

$ f(x) = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

(2.) ACT Consider the graph of the equation $y = dfrac<3x - 12><2x - 6>$ in the standard $(x, y)$ coordinate plane.
Which of the following equations represents the vertical asymptote of the graph?

$ F.:: x = 2 [3ex] G.:: x = 3 [3ex] H.:: x = 4 [3ex] J.:: x = 6 [3ex] K.:: x = 12 [3ex] $ Show/Hide Answer

(3.) Determine the intercepts and the vertical asymptote of

$ f(x) = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

(4.) ACT Which of the following linear equations gives the vertical asymptote for the graph of $y = dfrac<201x + 202><203x + 204>$ in the standard $(x, y)$ coordinate plane?

Only two asymptotes apply to the function: the Vertical Asymptote (VA) and the Slant Asymptote (SA)
So, we shall find both asymptotes.
Then, we shall answer the question (the intersection of both asymptotes)

$ underline [3ex] y = dfrac<2x(x + 2)> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x - 3 = 0 [3ex] x = 0 + 3 [3ex] x = 3 [3ex] VA:x = 3 [3ex] underline [3ex] y = dfrac<2x(x + 2)> [5ex] y = dfrac<2x^2 + 4x> [5ex] y = dfrac<2x^2 + 4x + 0> [5ex] equire egin 2x + 10 [-3pt] x - 3 enclose<2x^2 + 4x + 0>kern-.5ex [-3pt] underline<2x^2 - 6xphantom<000>> [-3pt] 10x + 0phantom <0>[-3pt] underline10x - 30> [-3pt] phantom<0>30 [-3pt] end [3ex] SA: y = 2x + 10 [3ex] underline [3ex] VA:x = 3 [3ex] SA: y = 2x + 10 [3ex] y = 2(3) + 10 [3ex] y = 6 + 10 [3ex] y = 16 [3ex] Intersection:(x, y) = (3, 16) $

(6.) ACT In the standard $(x, y)$ coordinate plane, the graph of which of the following equations has the line $x = 2$ as a vertical asymptote?

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

$ All hefunctionsarealreadysimplified [3ex] Lookingat hedenominators: [3ex] x - 2 = 0 [3ex] x = 2 [3ex] CorrectOption: C $

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

(10.) ACT At what value(s) of X is $dfrac<(x - 3)^2>$ undefined?

F. 0 only
G. 0 and 3 only
H. -3 only
J. -3 and 0 only
K. -3, 0, and 3 only

The function is undefined when the denominator is zero.
In other words, find the vertical asymptote of the function.

$ underline [3ex] f(x) = dfrac<(x - 3)^2> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x^2 = 0 [3ex] x = pm sqrt <0>[3ex] x = pm 0 [3ex] x = 0 [3ex] VA:x = 0 $

(12.) ACT The equation $y = dfrac<2x^2 - 18>$ has 2 vertical asymptotes and 1 horizontal asymptote.
What is the horizontal asymptote?

$ F. x = 0 [3ex] G. x = 3 [3ex] H. x = 9 [3ex] J. y = 0 [3ex] K. y = 2 [3ex] $ Show/Hide Answer

(14.) ACT In the standard $(x, y)$ coordinate plane, when $a e 0$ and $b e 0$, the graph of $f(x) = dfrac<2x + b>$ has a horizontal asymptote at:

$ F. y = 2 [3ex] G. y = a [3ex] H. y = -a [3ex] J. y = -dfrac <2>[5ex] K. y = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

Use the following information to answer questions 15 - 17

ACT Consider the rational function $f(x) = dfrac$, whose graph is shown in the standard $(x, y)$ coordinate plane below.

(15.) ACT What is the value of $f(x)$ at $x = 4$?

$ F. 4 [3ex] G. 2 [3ex] H. dfrac<5> <3>[5ex] J. -1 [3ex] K. -dfrac<7> <3>[5ex] $ Show/Hide Answer

(16.) ACT What is the domain of $f(x)$?
(Note: The domain of a function is all the $x-values$ for which the function is defined.)

A. All real values of $x$ except $pm 3$

B. All real values if $x$ except $dfrac<9><7>$

C. All real values of $x$ except $7$

D. All real values of $x$ except $pm 3$ and $7$

E. All real values of $x$ where $x le -6$ or $x ge 8$

In this case: (based on this question):
Th denominator cannot be zero
Prečo?
Because division by zero is undefined
Therefore, to find the domain, set the denominator to zero and exclude the value of $x$ that makes the denominator to be zero

$ x - 7 = 0 [3ex] x = 0 + 7 [3ex] x = 7 [3ex] $ Therefore, the domain is the set of all the real values of $x$ except $7$

(17.) ACT How many horizontal and/or vertical asymptotes are there for the graph of $f(x)$?

$ F. 4 [3ex] G. 3 [3ex] H. 2 [3ex] J. 1 [3ex] K. 0 [3ex] $ Show/Hide Answer

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

$ underline [3ex] f(x) = dfrac [5ex] f(x) = dfrac [5ex] f(x) = dfrac<(x + 3)(x - 3)> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x - 7 = 0 [3ex] x = 7 [3ex] VA:x = 7. only1verticalasymptote [5ex] underline [3ex] numeratorinstandardform . yes [3ex] denominatorinstandardform . yes [3ex] DegreeofNumerator = 2 [3ex] DegreeofDenominator = 1 [3ex] $ Because the Degree of the Numerator is greater than the Degree of the Denominator, there is č horizontal asymptote.
In this case, we have a slant asymptote.
Therefore, we have only 1 vertical asymptote.
The correct option is J.


Properties of Rational Numbers

Here are some properties based on arithmetic operations such as addition and multiplication when performed on the rational irrational numbers.

  • Closure Property: This property states that when any two rational numbers are added, the result is also a rational number.

Example: 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 = 5/6
So it is closed under addition, the same way for other operations also it remains closed.
Example: 1/2 -1/3=1/6
1/2* 1/3=1/6
1/2/1/3=3/2

  • Commutative Property: The sum of two rational numbers are commutative, as they can be added in any order.

For example:1/2+1/3=5/6 or 1/3+1/2=5/6
The product of two rational numbers is a rational number.
Example: 1/2 x 1/3 = 1/6 or 1/3*1/2=1/6
This property holds true for addition and multiplication , but it does not hold true for Subtraction and division of rational numbers.

  • Associative Property: In this property, when we Take any three rational numbers a, b and c.

(a + b) + c and a + (b + c) is the same .
It states that you can add or multiply numbers regardless of how they are grouped.

For example, given numbers are 5, -6 and 2/3 ( 5 &ndash 6 ) + 2/3= -1+2/3=-1/3 Now, 5 + ( -6 + 2/3)=-1/3.
But again this property does not hold true for subtraction and division.

  • Distributive Property: This property says that when we multiply a sum of integers by another integer it equals to the same result when we multiply each integer by another integer and then add the products together. In other words, it is the distributive property of multiplication by making use of integers.

Distributive property states that for any three integers x, y and z we have
x * ( y + z ) = (x * y) +( x * z)
2*(3+4)=(2*3)+(2*4) = 14


Graph some more complicated functions

Graphs of normal polynomials are always unbroken lines or smooth curves. Rational functions, by contrast, sometimes have breaks which separate the graph into two or more disconnected pieces. A break in the graph of a function is called a diskontinuita. Think about it as a gap on the road you are driving.

Polynomials have no breaks or discontinuities because they deal mainly with the process of addition, subtraction and multiplication. Rational functions deal with the process of division. Division makes room for discontinuity to take place in the graph of the function, particularly in places where a division by zero exists. Before we go on, it is vital for you to remember that division by zero is undefined or does not exist. In other words, a fraction cannot have zero in the denominator. Here are three samples of fractions that are undefined: 5/0, 12/0, x/0 and/or any other fraction which has zero in the denominator. The equation (y=frac<5>) is undefined at exactly one place: when (x=1).

Example A:

In this case, x CANNOT = 2 in the denominator because it will create division by zero. If x = 2 in the denominator of the above fraction, there will be a break or discontinuity in the graph or picture of the function.

How to graph the above function:

1) Create an (x, y) table.
2) Select different values for x OTHER THAN x = 2.
3) Use algebra to simplify the fraction.
4) Graph each point on the xy-plane. NOTE: The xy-plane is also called the Coordinate Plane. This idea is taught in geometry.

I will select the following 4 values for x: 0, 3, 4 and 5.

Here are the four points in (x, y) form:

After graphing all four points, the graph will look like this:

NOTE: There are functions with squares, cubes, etc that will NEVER yield division by zero regardless what values we decide to select for x. The squaring and cubing process will do away with division by zero.

Again, follow the steps given in Sample A.

I decided to select the following 4 values for x: 0, -1, 3 and 1/2.

This is what our function looks like:

A break in the graph of the function can happen in two ways:

1) A Missing Point (also called Removable Singularity or Discontinuity).

2) Asymptotes. I will discuss asymptotes in math lesson: Graphing Rational Functions. Part 2.

In the function y = x^2 - x + 12/(x - 4), if x = 4, there is discontinuity or a gap in the graph of the function because when x = 4, division by zero is the result.

Here's what the above graph looks like when x = 4:

When facing division by zero, I can factor the numerator and denominator of the fraction. I will now factor the above fraction. Why factor? After factoring, I'll be able to select ANY value for x in terms of making a graph without removable singularity.

In the equation y = x + 3, I can select ANY value for x to find points in the (x, y) form.

The first type of break is known as REMOVABLE SINGULARITY, which is a missing point on the graph of the function. Removable singularity takes place when a chosen value for x leads to division by zero. If you factor and then simplify the rational function, division by zero can be avoided.

Asymptotes: An Introduction

In the function f(x) = (x + 3)/(x - 2), x CANNOT equal 2 because it would yield division by zero in the denominator, which does not exist. But what happens when x almost equals 2?
For example, in the sample above, if x = 2.3, then this will happen:

We can see here that as the value of x decreases, y increases. The closer x will get to 2, the bigger y will be. Of course, the opposite is also true. As x increases, y decreases.

Geometrically speaking, there will be a near-vertical line that appears as x gets closer to 2. It will approach, but never actually touch, x=2. The vertical line x=2 is called the asymptote. Here is an illustration:

Asymptote on the right upward side of the vertical line looks like this:


The above pictures represent vertical asymptotes. Both asymptotes get closer to 2 but never quite reach the vertical line at point (2, 0 ).

There are many more pictures of asymptotes. Look for them in future lessons.


Review

1. Write a function that fits the following criteria:

2. Write a function that fits the following criteria:

3. Write a function that fits the following criteria:

4. Write a function that fits the following criteria:

5. Write a function that fits the following criteria:

Give the equations of the vertical asymptotes for the following functions.

Určte diery a rovnice vertikálnych asymptot nasledujúcich racionálnych funkcií.


Pozri si video: Integrais de Funções Racionais 1 (December 2021).