Články

7.6E: Cvičenia na numerickú integráciu - matematika


V cvičeniach 1 - 5 aproximujte nasledujúce integrály pomocou pravidla stredového bodu, lichobežníkového pravidla alebo podľa Simpsonovho pravidla, ako je uvedené. (Zaokrúhlené odpovede na tri desatinné miesta.)

1) ( Displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {dx} {x}; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 5 )

Odpoveď:
( 0.696)

2) ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 sqrt {4 + x ^ 3} ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 6 )

3) ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 sqrt {4 + x ^ 3} ; dx; ) Simpsonovo pravidlo; (n = 6 )

Odpoveď:
( 9.279)

4) ( Displaystyle ∫ ^ {12} _0x ^ 2 ; dx; ) pravidlo stredného bodu; (n = 6 )

5) ( Displaystyle ∫ ^ 1_0 sin ^ 2 ( pi x) ; dx; ) pravidlo stredného bodu; (n = 3 )

Odpoveď:
( 0.500)

6) Na odhad hodnoty použite pravidlo stredného bodu s ôsmimi rozdeleniami. ( Displaystyle ∫ ^ 4_2x ^ 2 ; dx. )

7) Použite lichobežníkové pravidlo so štyrmi členeniami na odhad ( Displaystyle ∫ ^ 4_2x ^ 2 ; dx. )

Odpoveď:
(T_4 = 18,75 )

8) Nájdite presnú hodnotu ( Displaystyle ∫ ^ 4_2x ^ 2 ; dx. ) Nájdite chybu aproximácie medzi presnou hodnotou a hodnotou vypočítanou pomocou lichobežníkového pravidla so štyrmi členeniami. Na ilustráciu nakreslite graf.

Približne integrál na štyri desatinné miesta pomocou uvedeného pravidla.

9) ( Displaystyle ∫ ^ 1_0 sin ^ 2 ( pi x) ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 6 )

Odpoveď:
( 0.5000)

10) ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 frac {1} {1 + x ^ 3} ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 6 )

11) ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 frac {1} {1 + x ^ 3} ; dx; ) Simpsonovo pravidlo; (n = 6 )

Odpoveď:
( 1.1614)

12) ( Displaystyle ∫ ^ {0.8} _0e ^ {- x ^ 2} ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 4 )

13) ( Displaystyle ∫ ^ {0.8} _0e ^ {- x ^ 2} ; dx; ) Simpsonovo pravidlo; (n = 4 )

Odpoveď:
(0.6577)

14) ( Displaystyle ∫ ^ {0.4} _0 sin (x ^ 2) ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 4 )

15) ( Displaystyle ∫ ^ {0.4} _0 sin (x ^ 2) ; dx; ) Simpsonovo pravidlo; (n = 4 )

Odpoveď:
(0.0213)

16) ( Displaystyle ∫ ^ {0,5} _ {0,1} frac { cos x} {x} ; dx; ) lichobežníkové pravidlo; (n = 4 )

17) ( Displaystyle ∫ ^ {0,5} _ {0,1} frac { cos x} {x} ; dx; ) Simpsonovo pravidlo; (n = 4 )

Odpoveď:
(1.5629)

18) Presne vyhodnotte ( Displaystyle ∫ ^ 1_0 frac {dx} {1 + x ^ 2} ) a ukážte, že výsledok je (π / 4 ). Potom nájdite približnú hodnotu integrálu pomocou lichobežníkového pravidla s rozdelením (n = 4 ). Výsledok použite na aproximáciu hodnoty (π ).

19) Približné ( Displaystyle ∫ ^ 4_2 frac {1} { ln x} ; dx ) pomocou pravidla stredného bodu so štyrmi rozdeleniami na štyri desatinné miesta.

Odpoveď:
( 1.9133)

20) Približné ( Displaystyle ∫ ^ 4_2 frac {1} { ln x} ; dx ) pomocou lichobežníkového pravidla s ôsmimi rozdeleniami na štyri desatinné miesta.

21) Pomocou lichobežníkového pravidla so štyrmi podoblastmi odhadnite ( Displaystyle ∫ ^ {0.8} _0x ^ 3 ; dx ) na štyri desatinné miesta.

Odpoveď:
(T (4) = 0,1088 )

22) Na odhad použite lichobežníkové pravidlo so štyrmi členeniami. ( Displaystyle ∫ ^ {0.8} _0x ^ 3 ; dx. ) Porovnajte túto hodnotu s presnou hodnotou a nájdite odhad chyby.

23) Pomocou Simpsonovho pravidla so štyrmi podrozdeleniami nájdite ( displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 cos (x) ; dx. )

Odpoveď:
( Displaystyle ∫ ^ {π / 2} _0 cos (x) ; dx približne štvorec 1,0 )

24) Ukážte, že presná hodnota ( Displaystyle ∫ ^ 1_0xe ^ {- x} ; dx = 1− frac {2} {e} ). Nájdite absolútnu chybu, ak aproximujete integrál pomocou pravidla stredného bodu s 16 členeniami.

25) Vzhľadom na ( Displaystyle ∫ ^ 1_0xe ^ {- x} ; dx = 1− frac {2} {e}, ) použite lichobežníkové pravidlo so 16 podoblastmi na aproximáciu integrálu a nájdenie absolútnej chyby.

Odpoveď:
Približná chyba je (0,000325. )

26) Nájdite hornú hranicu chyby pri odhade pomocou lichobežníkového pravidla so šiestimi krokmi ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 (5x + 4) ; dx ).

27) Nájdite hornú hranicu chyby pri odhade pomocou lichobežníkového pravidla so siedmimi členeniami ( Displaystyle ∫ ^ 5_4 frac {1} {(x − 1) ^ 2} ; dx ).

Odpoveď:
( frac {1} {7938} )

28) Nájdite hornú hranicu chyby pri odhade ( Displaystyle ∫ ^ 3_0 (6x ^ 2−1) ; dx ) pomocou Simpsonovho pravidla s (n = 10 ) krokmi.

29) Nájdite hornú hranicu chyby pri odhade ( Displaystyle ∫ ^ 5_2 frac {1} {x − 1} ; dx ) pomocou Simpsonovho pravidla s (n = 10 ) krokmi.

Odpoveď:
( frac {81} {25 000} )

30) Nájdite hornú hranicu chyby pri odhadovaní pomocou Simpsonovho pravidla so štyrmi krokmi ( Displaystyle ∫ ^ π_02x cos (x) ; dx ).

31) Odhadnite minimálny počet podinterválov potrebných na aproximáciu integrálu ( Displaystyle ∫ ^ 4_1 (5x ^ 2 + 8) ; dx ) s veľkosťou chyby menšou ako 0,0001 pomocou lichobežníkového pravidla.

Odpoveď:
( 475)

32) Určte hodnotu n tak, aby sa lichobežníkové pravidlo priblížilo ( Displaystyle ∫ ^ 1_0 sqrt {1 + x ^ 2} ; dx ) s chybou nie väčšou ako 0,01.

33) Odhadnite minimálny počet podinterválov potrebných na aproximáciu integrálu ( Displaystyle ∫ ^ 3_2 (2x ^ 3 + 4x) ; dx ) s chybou veľkosti menšou ako 0,0001 pomocou lichobežníkového pravidla.

Odpoveď:
( 174)

34) Odhadnite minimálny počet podinterválov potrebných na aproximáciu integrálu pomocou lichobežníka ( Displaystyle ∫ ^ 4_3 frac {1} {(x − 1) ^ 2} ; dx ) s veľkosťou chyby menšou ako 0,0001 pravidlo.

35) Použite Simpsonovo pravidlo so štyrmi členeniami na aproximáciu oblasti pod funkciou pravdepodobnosti hustoty (y = frac {1} { sqrt {2π}} e ^ {- x ^ 2/2} ) z (x = 0 ) až (x = 0,4 ).

Odpoveď:
( 0.1544)

36) Použite Simpsonovo pravidlo s (n = 14 ) na priblíženie (na tri desatinné miesta) oblasti oblasti ohraničenej grafmi (y = 0, x = 0, ) a (x = π / 2. )

37) Dĺžka jedného oblúka krivky (y = 3 sin (2x) ) je daná vzťahom (L = ∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1 + 36 cos ^ 2 (2x) } ; dx. ) Odhadnite L pomocou lichobežníkového pravidla s (n = 6 ).

Odpoveď:
( 6.2807)

38) Dĺžka elipsy (x = a cos (t), y = b sin (t), 0≤t≤2π ) je daná vzťahom (L = 4a∫ ^ {π / 2} _0 sqrt {1 − e ^ 2 cos ^ 2 (t)} dt ), kde e je výstrednosť elipsy. Použite Simpsonovo pravidlo s rozdelením (n = 6 ) na odhad dĺžky elipsy, keď (a = 2 ) a (e = 1/3. )

39) Odhadnite plochu povrchu generovanú otáčaním krivky (y = cos (2x), 0≤x≤ frac {π} {4} ) okolo osi x. Použite lichobežníkové pravidlo so šiestimi členeniami.

Odpoveď:
( 4.606)

40) Odhadnite plochu povrchu generovanú otočením krivky (y = 2x ^ 2, 0≤x≤3 ) okolo osi x. Použite Simpsonovo pravidlo s (n = 6.)

41) Tempo rastu určitého stromu (v stopách) je dané (y = dfrac {2} {t + 1} + e ^ {- t ^ 2/2}, ) kde t je čas v rokoch . Odhadnite rast stromu do konca druhého roka pomocou Simpsonovho pravidla pomocou dvoch podinterválov. (Zaokrúhlite odpoveď na najbližšiu stotinu.)

Odpoveď:
(3,41 ) stôp

42) [T] Pomocou kalkulačky aproximujte ( Displaystyle ∫ ^ 1_0 sin (πx) ; dx ) pomocou pravidla stredného bodu s 25 členeniami. Vypočítajte relatívnu chybu aproximácie.

43) [T] Vzhľadom na ( Displaystyle ∫ ^ 5_1 (3x ^ 2−2x) ; dx = 100, ) aproximujte hodnotu tohto integrálu pomocou pravidla stredného bodu s 16 členeniami a určite absolútnu chybu.

Odpoveď:
(T_ {16} = 100,125; ) absolútna chyba = (0,125 )

44) Vzhľadom na to, že poznáme Základnú vetu počtu, prečo by sme chceli vyvíjať numerické metódy pre určité integrály?

45) Tabuľka predstavuje súradnice ((x, y) ), ktoré určujú hranicu dávky. Jednotkami merania sú metre. Pomocou lichobežníkového pravidla odhadnite počet metrov štvorcových pôdy, ktorá sa nachádza na tomto pozemku.

( X) (y )( X) (y )
012560095
10012570088
20012080075
30011290035
4009010000
50090
Odpoveď:
asi 89 250 m2

46) Vyberte správnu odpoveď. Keď sa na priblíženie konečného integrálu použije Simpsonovo pravidlo, je potrebné, aby počet oddielov bol____

a. párne číslo

b. nepárne číslo

c. párne alebo nepárne číslo

d. násobok 4

47) Súčet „Simpsonovcov“ je založený na ploche pod ____.

Odpoveď:
parabola

48) Chybový vzorec pre Simpsonovo pravidlo závisí od___.

a. (f (x) )

b. (f '(x) )

c. (f ^ {(4)} (x) )

d. počet krokov


7.6E: Cvičenia na numerickú integráciu - matematika

Má séria $ ds sum_^ infty $ konvergovať? Je možné, ale trochu nepríjemné, priblížiť sa k tomu integrálnym testom alebo porovnávacím testom, ale existuje ľahšia cesta. Zvážte, čo sa stane, keď prechádzame z jedného výrazu na druhý v tejto sérii: $ cdots ++ <(n + 1) ^ 5 nad 5 ^> + cdots $ Menovateľ stúpa o faktor 5, $ ds 5 ^= 5 cdot5 ^ n $, ale čitateľ stúpa oveľa menej: $ ds (n + 1) ^ 5 = n ^ 5 + 5n ^ 4 + 10n ^ 3 + 10n ^ 2 + 5n + 1 $, čo je oveľa menej ako $ ds 5n ^ 5 $, keď je $ n $ veľké, pretože $ ds 5n ^ 4 $ je oveľa menšie ako $ ds n ^ 5 $. Mohli by sme teda hádať, že z dlhodobého hľadiska to začne vyzerať, akoby každý výraz bol $ 1/5 $ predchádzajúceho výrazu. Videli sme série, ktoré sa správajú takto: $ sum_^ infty <1 nad 5 ^ n> = <5 nad4>, $ geometrický rad. Takže by sme sa mohli pokúsiť porovnať danú sériu s nejakou variáciou tejto geometrickej rady. To je možné, ale trochu chaotické. Môžeme v skutočnosti robiť to isté, ale obísť väčšinu nepríjemnej práce.

Kľúčom je všimnúť si, že $ lim_ <> cez a_n> = lim_ <(n + 1) ^ 5 nad 5 ^> <5 ^ n nad n ^ 5> = lim_ <(n + 1) ^ 5 nad n ^ 5> <1 nad 5> = 1 cdot <1 nad5> = <1 nad 5>. $ Je to naozaj to, čo sme si všimli vyššie, urobené trochu oficiálnejšie: z dlhodobého hľadiska je každé volebné obdobie pätinou predchádzajúceho volebného obdobia. Teraz vyberte nejaké číslo medzi $ 1/5 $ a $ 1 $, povedzme $ 1/2 $. Pretože $ lim_ <> over a_n> = <1 over5>, $, potom keď bude $ n $ dostatočne veľké, povedzme $ n ge N $ za nejaké $ N $, $ <> over a_n> Veta 11.7.1 (Test pomeru) Predpokladajme, že $ ds lim_ | a_/ a_n | = L $. Ak sa $ L 1 $ séria rozchádzajú, a ak $ L = 1 $, tento test neposkytuje žiadne informácie.

Dôkaz.
Vyššie uvedený príklad v podstate dokazuje svoju prvú časť, ak jednoducho nahradíme $ 1/5 $ za $ L $ a $ 1/2 $ za $ r $. Predpokladajme, že $ L> 1 $, a vyberte $ r $ tak, aby $ 1 r quad hbox quad | a_| > r | a_n |. $ To znamená, že $ ds | a_|> r ^ k | a_N | $, ale od $ r> 1 $ to znamená, že $ ds lim_| a_| not = 0 $, čo znamená tiež, že $ ds lim_a_n not = 0 $. Testom divergencie sa séria rozchádza.

Aby sme zistili, že keď $ L = 1 $, nedostaneme žiadne informácie, musíme vystaviť dve série s $ L = 1 $, jednu, ktorá konverguje a druhú, ktorá sa rozchádza. Je ľahké vidieť, že $ sum 1 / n ^ 2 $ a $ sum 1 / n $ robia svoju prácu.

Príklad 11.7.2 Pomerový test je obzvlášť užitočný pre série zahŕňajúce faktoriálnu funkciu. Zvážte $ ds sum_^ infty 5 ^ n / n! $. $ lim_ <5^ nad (n + 1)!>= lim_ <5^ nad 5 ^ n>= lim_ <5> <1 nad (n + 1)> = 0. $ Od vety 11.7.3 (koreňový test) Predpokladajme, že $ ds lim_ | a_n | ^ <1 / n> = L $. Ak sa $ L 1 $ séria rozchádzajú, a ak $ L = 1 $, tento test neposkytuje žiadne informácie.

Dôkaz koreňového testu je v skutočnosti ľahší ako test pomeru a je dobrým cvičením.

Príklad 11.7.4 Analýza $ ds sum_^ infty <5 ^ n nad n ^ n> $.

Ukázalo sa, že test pomeru je pri tejto sérii trochu náročný (vyskúšajte). Používanie koreňového testu: $ lim_ doľava (<5 ^ n nad n ^ n> doprava) ^ <1 / n> = lim_ <(5 ^ n) ^ <1 / n> nad (n ^ n) ^ <1 / n >> = lim_ <5 n> = 0. $ Pretože <1 $, séria konverguje.

Koreňový test je často užitočný, keď sa $ n $ javí ako exponent vo všeobecnom termíne série.


Chybné vzorce

Vznikajú prirodzené otázky: aké dobré sú aproximácie dané vzorcami dopredu, dozadu a stredový rozdiel? Chybové vzorce odvodíme z Taylorovej vety.

Veta. Stupeň $ n $ Taylorov polynóm $ f (x) $ pri $ x = a $ so zvyšným funkčným obdobím je

pre určitú hodnotu $ c $ medzi $ x $ a $ a $.

Veta. Chyba vzorca rozdielu vpred je

kde $ vľavo | , f '(x) , vpravo | leq K_2 $ pre všetkých $ x v [a, a + h] $. Rovnaká chybová formulácia platí pre vzorec spätného rozdielu.

Dôkaz. Pozrite sa na vzorec 1. stupňa Taylor:

Nechajte $ x = a + h $ a manipulujte so vzorcom

Nechajte $ K_2 $ také, aby zostalo $ , f '(x) , vpravo | leq K_2 $ pre všetky $ x v [a, a + h] $ a vidíme výsledok.

Veta. Chyba vzorca rozdielu je:

kde $ | f '' '(x) | leq K_3 $ pre všetkých $ x v [a-h, a + h] $.

Dôkaz. Pozrite sa na Taylorov polynóm 2. stupňa:

Nech $ x = a + h $ a tiež $ x = a - h $ a napíš:

Všimnite si, že $ f '' '(x) $ je spojité (za predpokladu) a $ (f' '(c_1) + f' '' (c_2)) / 2 $ je medzi $ f '' (c_1) $ a $ f '' '(c_2) $, takže medzi $ c_1 $ a $ c_2 $ existuje nejaké $ c $ také, že

teorémou o strednej hodnote. Nechajte $ K_3 $ tak, aby zostalo $ , f '' '(x) , vpravo | leq K_3 $ pre všetky $ x v [a-h, a + h] $ a vidíme výsledok.


Numerická integrácia

Pravdepodobne sa stretnete s mnohými situáciami, v ktorých je analytická integrácia funkcie alebo diferenciálnej rovnice zložitá alebo nemožná. V tejto časti ukážeme, ako môže program Scientific Python pomôcť prostredníctvom svojich matematických algoritmov na vysokej úrovni. Naučíte sa, ako si vyvinúť vlastnú metódu numerickej integrácie a ako dosiahnuť zadanú presnosť. Balík scipy.integrate dokáže integráciu v kvadratúre a dokáže vyriešiť diferenciálne rovnice

1. Základné pravidlo lichobežníka

Scipy používa na integráciu jednorozmernej funkcie tri metódy: lichobežníkový (integrovať.trapz), Simpson (integrovať.simpy) a Romberg (integrovať.romb). Lichobežníková (lichobežníková) metóda je najpriamočiarejšia z týchto troch metód. Jednoduchý lichobežníkový vzorec počíta integrál funkcie f (x) ako plochu pod krivkou predstavujúcu f (x) tak, že ju aproximuje súčtom lichobežníkov:

Plocha každého lichobežníka sa počíta ako šírka krát priemerná výška.
Príklad: Vyhodnoťte integrál:

pomocou základného pravidla lichobežníka.
Napíšeme malý program na vyhodnotenie integrálu. Samozrejme musíme odhadnúť počet lichobežníkov, aby sme mohli použiť presnosť našej metódy závisí od tohto počtu.

Náš základný integračný program má tú nepríjemnosť, že závisí od počtu lichobežníkov, ktoré musíme manuálne meniť. Ako základné pravidlo platí, že ak zdvojnásobíme počet lichobežníkov a dostaneme rovnakú odpoveď v rozsahu 1 ku 10 000 000, je odpoveď pravdepodobne správna.

Spustite program. Koľko lichobežníkov je potrebných na získanie relatívnej chyby menšej ako 1 diel z 1 000 000?
Môžeme to urobiť nasledovne:

Po spustení tohto kódu by ste mali skončiť s vytlačenou hodnotou 6.

Predchádzajúci program musíte upraviť kvôli nekonečnému rozsahu integrácie. Skontrolujte integrand a zistite, kde sa stane zanedbateľným. Upravený kód by mal vyzerať asi takto.

A vytlačený výsledok pri spustení programu by mal byť niečo blízko k 1,77245385091.

2. Integrovanie funkcie do scipy.integrate

Náš jednoduchý integračný program rozdelí interval 0 až 2 na rovnomerne rozmiestnené plátky a strávi rovnaký čas výpočtom integrand v každom z týchto plátkov. Ak sa na integrand pozrieme bližšie a vykreslíme ho, všimli by sme si, že pri nízkych hodnotách x sa funkcia ťažko mení, takže náš program bude v tejto oblasti strácať čas. Naproti tomu rutina integrate.quad () od spoločnosti Scipy je ľubovoľne volateľná (adaptívna) v tom zmysle, že dokáže prispôsobiť vyhodnotenie funkcií tak, aby sa sústredila na dôležitejšie oblasti (quad je skratka pre quadrature, starší názov pre integráciu). Pozrime sa, ako by Scipy mohla zjednodušiť našu prácu:

Výstup bude (8.153364119811167, 9.0520525739669813e-014). Ako si všimnete, integrálnu hodnotu a odhad chyby dostaneme iba v troch riadkoch kódu, bez toho aby sme sa obťažovali počtom lichobežníkov alebo presnosťou. Rutina integrate.quad () berie funkciu a limity integrácie ako vstupné argumenty. Prehľad modulov scipy.integrate je prístupný zadaním do okna shellu:

Perióda kyvadla dĺžky l kmitajúca pod veľkým uhlom α je daná vzťahom

je perióda toho istého kyvadla pri malých amplitúdach. V Cvičeniach 2 a 3 budete analyzovať experimentálne údaje aj Pylabov diagram kyvadla s veľkým uhlom. Akékoľvek číselné vyhodnotenie integrálu ako také by zlyhalo (vysvetlite prečo). Ak zmeníme premennú napísaním:

čo je dobre vychovaný integrál. Napíš program, ktorý použije vyššie uvedený integrál na výpočet pomeru T / T0 pre integrálne amplitúdy 0 ° ≤ α ≤ 90 °. Tieto hodnoty odošlite ako tabuľku s amplitúdou v stupňoch a radiánoch a tiež T / T0. Výsledok vysvetlite, keď α = 0. Zamyslite sa na chvíľu nad tým, ako si prečítate riešenie uvedené nižšie.

Niektoré ukážkové výstupy nájdete tu. NumIntA3output.txt

Na rovnakom grafe porovnajte graf funkcie sin s grafom integrálu funkcie cos v rozsahu [-π, π].
Môžete to urobiť nasledovne:

3. Integrácia bežných diferenciálnych rovníc s odeintom

Mnoho fyzikálnych javov je modelovaných pomocou diferenciálnych rovníc: oscilácie jednoduchých systémov (pružina, kyvadlo atď.), Mechanika tekutín (Navier-Stokes, Laplace & # x27s atď.), Kvantová mechanika (Schrödinger’s) a mnoho ďalších. Tu vám ukážeme, ako numericky vyriešiť tieto rovnice. Príkladom, ktorý použijeme v tomto výučbe, je dynamika systému pružina-hmotnosť za prítomnosti sily odporu.

Pri písaní druhého Newtonovho zákona pre tento systém musíme kombinovať elastickú silu

s brzdnou silou, ktorej model pre pomaly sa pohybujúci objekt je

kde L je dĺžka nenatiahnutej / nestlačenej pružiny.

Na nájdenie približného riešenia pohybovej rovnice vyššie budeme musieť použiť deriváciu konečných diferencií, ktorá vygeneruje algoritmus na riešenie rovnice. Väčšina takýchto algoritmov je založená na diferenciálnych rovniciach prvého poriadku, takže pravdepodobne nebude zlý nápad začať tým, že uvedieme našu rovnicu druhého rádu vo forme systému dvoch diferenciálnych rovníc prvého rádu:

Na napísanie programu numerickej integrácie použijeme odeint, ktorý je súčasťou scipy.integrate. Volanie funkcie na odeint vyzerá asi takto:

Ako môžete vidieť v zjednodušenej syntaxe vyššie, je potrebných niekoľko vstupných argumentov: funkcia func definujúca systém rovníc prvého rádu, počiatočné hodnoty premenných y0 (vložené do poľa), čas t (pole časových hodnôt), a argumenty args (), ktoré môžu byť našimi parametrami (hmotnosť, elastická konštanta, koeficient odporu a počiatočná dĺžka pružiny). Neznáme v systéme diferenciálnych rovníc sú funkcie, ktoré nám vráti hodnoty týchto funkcií pri zadaných hodnotách t ako pole.


Cvičenia 10.5

V nasledujúcich problémoch vypočítajte lichobežníkovú a Simpsonovu aproximáciu pomocou 4 podintervalov a pre každú vypočítajte odhad chyby. (Nájdenie maximálnych hodnôt druhej a štvrtej derivácie môže byť pre niektoré z nich náročné. Na odhad maximálnych hodnôt môžete použiť grafickú kalkulačku alebo počítačový softvér.) Ak máte prístup k softvéru Sage alebo podobnému softvéru, aproximujte každý integrál na dve desatinné miesta. Miesta. Na začiatok môžete použiť tento pracovný list Sage.


7.6E: Cvičenia na numerickú integráciu - matematika

V nasledujúcich častiach sa budeme venovať niektorým technikám, ktoré sú často úspešné pri hľadaní primitívnych funkcií. Niekedy je to jednoduchý problém, pretože bude zrejmé, že funkcia, ktorú chcete integrovať, je derivátom nejakým priamym spôsobom. Napríklad tvárou v tvár $ int x ^ <10> , dx $ si okamžite uvedomíme, že derivácia $ ds x ^ <11> $ dodá $ ds x ^ <10> $: $ ds ( x ^ <11>) '= 11x ^ <10> $. Nechceme „11“, ale konštanty sa dajú ľahko zmeniť, pretože diferenciácia ich za určitých okolností „ignoruje“, takže $<1over 11>> = <1 nad 11> 11> = x ^ <10>. $

Na základe našich znalostí o derivátoch môžeme okamžite zapísať množstvo anti-negatívnych látok. Tu je zoznam najčastejšie používaných:

$ displaylines < int x ^ n , dx =<> cez n + 1> + C, quad hbox cr int x ^ <-1> , dx = ln | x | + C cr int e ^ x , dx = e ^ x + C cr int sin x , dx = - cos x + C cr int cos x , dx = sin x + C cr int sec ^ 2 x , dx = tan x + C cr int sec x tan x , dx = sec x + C cr int <1 over1 + x ^ 2> , dx = arctan x + C cr int <1 over sqrt <1-x ^ 2 >> , dx = arcsin x + C cr> $


7.6E: Cvičenia na numerickú integráciu - matematika

diskrétna matematika a jej aplikácie Riešenie 7e [pdf]

Diskrétna matematika a jej aplikácie (7E) Sprievodca študentskými riešeniami, Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman

MathSchoolinternational obsahuje viac ako 5 000 bezplatných kníh z matematiky PDF a kníh PDF z fyziky zdarma. Ktoré pokrývajú takmer všetky témy pre študentov matematiky, fyziky a techniky. Tu nájdete rozsiahly zoznam elektronických kníh o základnej matematike. Dúfame, že sa študentom a učiteľom tieto učebnice, poznámky a príručky k riešeniam páčia.

Gratulujeme, odkaz je k dispozícii na stiahnutie zadarmo.

Ako stiahnuť knihu ?,. Potrebujete pomoc?

O tejto knihe: -
Diskrétna matematika a jej aplikácie (7E) Sprievodca riešeniami pre študentov napísal Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman
Tento text je určený pre jedno- alebo dvojsemestrálny úvodný diskrétny kurz matematiky, ktorý absolvujú študenti v rôznych obore, vrátane matematiky, informatiky a techniky.
Vysokoškolská algebra je jediným výslovným predpokladom, hoci na zmysluplné štúdium samostatnej matematiky je potrebný určitý stupeň matematickej zrelosti. Táto kniha bola navrhnutá tak, aby vyhovovala potrebám takmer všetkých typov úvodných samostatných kurzov matematiky. Je vysoko flexibilný a mimoriadne komplexný. Kniha je koncipovaná nielen tak, aby bola úspešnou učebnicou, ale slúži aj ako cenný zdroj, s ktorým môžu študenti konzultovať počas celého štúdia i profesionálneho života.

Detail knihy: -
Názov: Diskrétna matematika a jej aplikácie Sprievodca riešeniami pre študentov
Vydanie: 7.
Autori: Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman
Vydavateľ: McGraw-Hill Science / Engineering / Math
Séria:
Rok: 2011
Stránky: 534
Typ: PDF
Jazyk: Angličtina
ISBN: 0077353501,9780077353506
Krajina: USA
Stiahnite si / získajte knihy z Amazonu

O autorovi: -
Autor Kenneth H. Rosen je autor a matematik. Medzi jeho záujmy patrí diskrétna matematika a teória čísel. Je autorom niekoľkých kníh, vrátane Diskrétnej matematiky a jej aplikácií, McGraw-Hill. Je držiteľom titulov z matematiky na University of Michigan Ann Arbor a Massachusetts Institute of Technology. Publikoval niekoľko článkov z oblasti teórie čísel a matematického modelovania. V súčasnosti je členom technického personálu v AT&T Labs v Middletowne v New Jersey a hlavným redaktorom Príručky diskrétnej a kombinatorickej matematiky, ktorú vydáva CRC Press. V AT&T Labs sa niektoré z jeho príspevkov venujú oblasti multimédií vrátane video komunikácie, rozpoznávania reči a sieťových spojení s obrázkami. Rosen získal titul B.S. v odbore matematika na University of Michigan, Ann Arbor (1972), a titul Ph.D. z matematiky od M.I.T. (1976)
Obsah tejto stránky pochádza z článku Wikipedia. Obsah je k dispozícii pod licenciou CC BY-SA 4.0.

Pripojte sa k našim novým aktualizáciám, upozorneniam: -
Pokiaľ ide o nové aktualizácie a upozornenia, pripojte sa k našej skupine WhatsApp Group a Telegram Group (môžete si tiež vyžiadať ktorúkoľvek [pdf] knihu / poznámky / príručku riešení).
Pripojte sa k skupine WhatsApp
Pripojte sa k Telegram Group

Obsah knihy: -
Diskrétna matematika a jej aplikácie (7E) Sprievodca riešeniami pre študentov napísal Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman pokrývajú nasledujúce témy.
1. Základy: Logika a dôkazy
2. Základné štruktúry: množiny, funkcie, sekvencie, súčty a matice
3. Algoritmy
4. Teória čísel a kryptografia
5. Indukcia a rekurzia
6. Počítanie
7. Diskrétna pravdepodobnosť
8. Pokročilé techniky počítania
9. Vzťahy
10. Grafy
11. Stromy
12. Booleova algebra
13. Výpočet modelovania
Prílohy 1 Axiómy pre skutočné čísla a kladné celé čísla
Prílohy 2 Exponenciálne a logaritmické funkcie
Prílohy 3 Pseudokód.
Navrhované hodnoty
Odpovede na nepárne cviky S
Fotoúvery
Register biografií
Register

Nie sme vlastníkmi tejto knihy / poznámok. Poskytujeme ho, ktorý je už k dispozícii na internete. V prípade akýchkoľvek ďalších otázok nás kontaktujte. Nikdy nepodporujeme pirátstvo. Táto kópia bola poskytnutá študentom, ktorí majú finančné problémy, ale chcú sa učiť. Ak si myslíte, že sú tieto materiály užitočné, získajte ich legálne od VYDAVATEĽA. Ďakujem.


Cvičenia 15.7

Ex 15.7.1 Kompletný príklad 15.7.1 prevedením na polárne súradnice a vyhodnotením integrálu. (odpoveď)

Ex 15.7.2 Vyhodnoťte $ ds dint <> xy , dx , dy $ cez štvorec s rohmi $ (0,0) $, $ (1,1) $, $ (2,0) $ a $ (1, -1) $ dvoma spôsobmi: priamo a pomocou $ x = (u + v) / 2 $, $ y = (uv) / 2 $. (odpoveď)

Ex 15.7.3 Vyhodnoťte $ ds dint <> x ^ 2 + y ^ 2 , dx , dy $ cez štvorec s rohmi $ (- 1,0) $, $ (0,1) $, $ (1,0) $ a $ (0, -1) $ dvoma spôsobmi: priamo a pomocou $ x = (u + v) / 2 $, $ y = (uv) / 2 $. (odpoveď)

Ex 15.7.4 Vyhodnoťte $ ds dint <> (x + y) e ^, dx , dy $ nad trojuholníkom s rohmi $ (0,0) $, $ (- 1,1) $ a $ (1,1) $ dvoma spôsobmi: priamo a pomocou $ x = (u + v) / 2 $, $ y = (uv) / 2 $. (odpoveď)

Ex 15.7.5 Vyhodnoťte $ ds dint <> y (xy) , dx , dy $ nad paralelogramom s rohmi $ (0,0) $, $ (3,3) $, $ (7,3) $ a $ (4,0) $ dvoma spôsobmi: priamo a pomocou $ x = u + v $, $ y = u $. (odpoveď)

Ex 15.7.6 Vyhodnoťte $ ds dint <> sqrt, dx , dy $ nad trojuholníkom s rohmi $ (0,0) $, $ (4,4) $ a $ (4,0) $ pomocou $ x = u $, $ y = uv $. (odpoveď)

Ex 15.7.7 Vyhodnoťte $ ds dint <> y sin (xy) , dx , dy $ v regióne ohraničenom $ xy = 1 $, $ xy = 4 $, $ y = 1 $ a $ y = 4 $ pomocou $ x = u / v $, $ y = v $. (odpoveď)

Ex 15.7.8 Vyhodnoťte $ ds dint <> sin (9x ^ 2 + 4y ^ 2) , dA, $ nad oblasťou v prvom kvadrante ohraničenom elipsou $ 9x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 $. (odpoveď)

Ex 15.7.9 Vypočítajte jakobiána pre substitúcie $ x = rho sin phi cos theta $, $ y = rho sin phi sin theta $, $ z = rho cos phi $.

Ex 15.7.10 Vyhodnoťte $ ds odtieňdV $, kde $ E $ je útvar uzavretý elipsoidom $ + + = 1, $ pomocou transformácie $ x = au $, $ y = bv $ a $ z = cw $. (odpoveď)


Eulerova integračná metóda na riešenie diferenciálnych rovníc

V matematike existuje niekoľko typov obyčajné diferenciálne rovnice (ODE), ako lineárne, separovateľné alebo presné diferenciálne rovnice, ktoré sú riešené analyticky a poskytujú presné riešenie. To znamená, že existuje konkrétna metóda, ktorá sa má použiť na extrahovanie a všeobecné presné riešenie.

je a oddeliteľná diferenciálna rovnica prvého rádu, ktoré má presné riešenie:

V praxi väčšina diferenciálnych rovníc nemá štandardný tvar a nedá sa vyriešiť analytickými metódami, čo znamená, že nemôžeme nájsť všeobecné riešenie. y (x). To je prípad väčšiny diferenciálnych rovníc odvodených z fyzikálnych modelov (mechanické, elektrické, tepelné atď.).

V takom prípade musíme použiť numerické metódy vedieť určiť riešenie diferenciálnej rovnice. Majte na pamäti, že pomocou numerických metód:

  • dostaneme aproximácia riešenia, nie presné riešenie
  • riešenie sa počíta postupne, krok za krokom

Jednou z najjednoduchších metód integrácie je Eulerova integračná metóda, pomenovaná po matematikovi Leonhardovi Eulerovi. Eulerova metóda je metóda prvého rádu, čo znamená, že lokálna chyba (chyba na krok) je úmerná druhej mocnine veľkosti kroku a globálna chyba (chyba v danom čase) je úmerná veľkosti kroku.

Eulerova integračná metóda je tiež metóda explicitnej integrácie, čo znamená, že stav systému v neskoršom čase (ďalší krok) sa počíta zo stavu systému v aktuálnom čase (aktuálny krok).

Eulerova integračná metóda sa tiež nazýva metóda polygonálnej integrácie, pretože aproximuje riešenie diferenciálnej rovnice radom spojených čiar (mnohouholník).

Rovnica priamky

Aby sme lepšie porozumeli Eulerovej integračnej metóde, musíme si pripomenúť rovnica priamky:

m & # 8211 je sklon čiary
n & # 8211 je posunutie
(x, y) & # 8211 súradnice

Obrázok: Príklad priamkových rovníc

Ak použijeme diferenciáciu na rovnicu priamky (4), dostaneme:

čo znamená, že sklon m riadku sa rovná rozdielu y (x).

Eulerova metóda

Eulerova metóda poskytuje aproximáciu riešenia diferenciálnej rovnice:

s počiatočný stav:

kde t je v intervale spojitá [a, b].

Eulerov algoritmus pre integráciu diferenciálnych rovníc je nasledovný:

Krok 1. Definujte počiatočné parametre integrácie: N, a, b, h, t0 a r0.

N je počet integračné kroky, je definované používateľom (napr. 10, 100 atď.). Pri pevnom integračnom intervale platí, že čím vyšší počet integračných krokov, tým lepšia aproximácia presného riešenia. Veľmi vysoké kroky znamenajú vysoký výpočtový výkon. Spravidla musí existovať kompromis medzi presnosťou a časom potrebným na vyriešenie integrácie.

a a b sú začiatkom a koncom integračný interval. Ak napríklad chceme aproximovať riešenie diferenciálnej rovnice medzi 0 a 1potom a = 0 a b = 1.

Veľkosť intervalu a počet krokov integrácie definujú veľkosť integračného kroku h. Čím menšia je veľkosť kroku, tým lepšia je aproximácia, tým menšia je chyba integrácie. Je možné priamo definovať veľkosť kroku, ktorá ďalej určí počet krokov integrácie. Veľkosť kroku h sa počíta ako:

The počiatočné podmienky t0, r0 predstavujú riešenie (r0) diferenciálnej rovnice v danom čase (t0). Spravidla t0 sa rovná začiatočnej hodnote integračného intervalu a.

Krok 2. Inicializujte index výpočtovej slučky i = 1.

Krok 3. (Smyčka) Vypočítajte argument funkcie ti a aproximácia funkcií wi ako:

Všimnite si, že počiatočná aproximácia funkcie w0 sa rovná pôvodnému riešeniu r0.

Krok 4. Ak i & lt N, prírastok i = i + 1 a opakujte krok 3.

Krok 5. Ak i = N, algoritmus je dokončený a wi bude aproximácia riešenia y (t), pre i = 1, 2, a # 8230 N.

V každom kroku iterácie Eulerova aproximácia vypočíta koncový bod úsečky. Východiskový bod A0 je známe, má súradnice (t0, r0). Bod A1 sa počíta na základe bodu A0 a sklon f (t, r). Ďalšie body An sa počítajú na základe predchádzajúcich bodov An-1 a sklon. Ako sme videli v rovnici priamky, sklon je rovný diferenciálu y (t).

Obrázok: Grafické znázornenie Eulerovej integračnej metódy

Toto je priame spojenie medzi Eulerovou aproximáciou použitou v Krok 3 a rovnica priamky. Na nasledujúcom obrázku je zobrazené, kde sa každý parameter rovnice priamky nachádza v Eulerovej aproximácii. Tento obrázok celkom dobre zhŕňa, ako Eulerova aproximácia (integračná metóda) Tvorba.

Obrázok: Eulerova aproximácia a rovnica priamky

Príklad Eulerovej integračnej metódy

Použime Eulerovu integráciu a vyriešime nasledujúcu obyčajnú diferenciálnu rovnicu:

Eulerova aproximácia musí byť vykonaná v 10 a 30 krokoch. Presné riešenie rovnice je:

Presné riešenie použijeme na porovnanie s Eulerovou aproximáciou. Pre lepšie pochopenie použijeme metódu krok za krokom (manuálne) a tiež pomocou a Scilab a a C. scenár.

Metóda krok za krokom (manuálna)

Po druhé, napíšeme výraz sklonu f (t, w):

Iteračná slučka sa uskutoční v nasledujúcej tabuľke:

KrokČasSklonEulerova aproximáciaPresné riešenieAbsolútna chyba
iti = t0 + h · if (ti-1, ži-1)wi = ži-1 + h · f (ti-1, ži-1)ri = -1 / ti| ri & # 8211 wi|
11.11.0000000-0.9000000-0.90909090.0090909
21.20.8346281-0.8165372-0.83333330.0167961
31.30.7081591-0.7457213-0.76923080.0235095
41.40.6092475-0.6847965-0.71428570.0294892
51.50.5303982-0.6317567-0.66666670.0349100
61.60.4664990-0.5851068-0.62500000.0398932
71.70.4139668-0.5437101-0.58823530.0445252
81.80.3702295-0.5066872-0.55555560.0488684
91.90.3334030-0.4733469-0.52631580.0529689
102.00.3020810-0.4431388-0.50000000.0568612

Podľa očakávaní existuje rozdiel medzi Eulerovou aproximáciou a presným riešením. Absolútna chyba sa zvyšuje v každom iteračnom kroku, pretože v každom kroku sa aktuálna aproximácia (i) je založené na predchádzajúcej aproximácii (i-1), ktorý má tiež chybu.

Scenár C.

Metódu Euler možno definovať v ľubovoľnom programovacom jazyku. Nižšie vidíte implementáciu v a Kód C..

Spustením spustiteľného súboru sa zobrazia nasledujúce výsledky:

Scilab skript

Používanie Scilabu je veľmi ľahký a flexibilný spôsob, ako experimentovať s rôznymi veľkosťami integračných krokov a tiež dať možnosť vykresliť výsledky. Pre ľahšie pochopenie budeme definovať niekoľko funkcií Scilab (* .sci), pre:

Funkcia Scilab pre funkciu sklonu bude definovaná v súbore f.sci s nasledujúcim obsahom:

Funkcia Scilab pre aproximáciu Euler bude definovaná v súbore eulerODE1.sci s nasledujúcim obsahom:

Presné riešenie bude definované v súbore y.sci s nasledujúcim obsahom:

V skripte Scilab, v našom prípade s názvom runEuler.sce, definujeme počiatočné parametre integrácie Euler, zavoláme funkcie * .sci a vykreslíme výsledky.

Po spustení skriptu sa generuje nasledujúci graf:

Obrázok: Eulerova integračná metóda a # 8211 príklad 1 (10 krokov)

Je jasne viditeľné, že medzi presným riešením diferenciálnej rovnice a jej Eulerovou aproximáciou je podstatný rozdiel. In order to improve the results, we are going to increase the number the integration steps N = 30 and run the Scilab script again.

Image: Euler integration method – example 1 (30 steps)

As expected, the error between the exact solution and the Euler approximation is reduced. This is achieved by having 3 times more integration steps, which means more calculation power.


Input Arguments

Fun — Integrand function handle

Integrand, specified as a function handle, which defines the function to be integrated from xmin to xmax .

For scalar-valued problems, the function y = fun(x) must accept a vector argument, x , and return a vector result, y . This generally means that fun must use array operators instead of matrix operators. For example, use .* ( times ) rather than * ( mtimes ). If you set the 'ArrayValued' option to true , then fun must accept a scalar and return an array of fixed size.

Xmin — Lower limit of X real number | komplexné číslo

Lower limit of X, specified as a real (finite or infinite) scalar value or a complex (finite) scalar value. If either xmin or xmax are complex, then integral approximates the path integral from xmin to xmax over a straight line path.

Data Types: double | single
Complex Number Support: Yes

Xmax — Upper limit of X real number | komplexné číslo

Upper limit of X, specified as a real number (finite or infinite) or a complex number (finite). If either xmin or xmax are complex, integral approximates the path integral from xmin to xmax over a straight line path.

Data Types: double | single
Complex Number Support: Yes

Name-Value Pair Arguments

Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

Príklad: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

'AbsTol' — Absolute error tolerance 1e-10 (default) | nonnegative real number

Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance.

AbsTol and RelTol work together. integral might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

Príklad: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

Data Types: single | double

'RelTol' — Relative error tolerance 1e-6 (default) | nonnegative real number

Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance.

RelTol and AbsTol work together. integral might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

Príklad: integral(fun,a,b,'RelTol',1e-9) sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

Data Types: single | double

'ArrayValued' — Array-valued function flag false or 0 (default) | true or 1

Array-valued function flag, specified as the comma-separated pair consisting of 'ArrayValued' and a numeric or logical 1 ( true ) or 0 ( false ). Set this flag to true or 1 to indicate that fun is a function that accepts a scalar input and returns a vector, matrix, or N-D array output.

The default value of false indicates that fun is a function that accepts a vector input and returns a vector output.

Príklad: integral(fun,a,b,'ArrayValued',true) indicates that the integrand is an array-valued function.

'Waypoints' — Integration waypoints vector

Integration waypoints, specified as the comma-separated pair consisting of 'Waypoints' and a vector of real or complex numbers. Use waypoints to indicate points in the integration interval that you would like the integrator to use in the initial mesh:

Add more evaluation points near interesting features of the function, such as a local extrema.

Integrate efficiently across discontinuities of the integrand by specifying the locations of the discontinuities.

Perform complex contour integrations by specifying complex numbers as waypoints. If xmin , xmax , or any entry of the waypoints vector is complex, then the integration is performed over a sequence of straight line paths in the complex plane. In this case, all of the integration limits and waypoints must be finite.

Do not use waypoints to specify singularities. Instead, split the interval and add the results of separate integrations with the singularities at the endpoints.

Príklad: integral(fun,a,b,'Waypoints',[1+1i,1-1i]) specifies two complex waypoints along the interval of integration.

Data Types: single | double
Complex Number Support: Yes