Články

9.7: Používanie vlastností obdĺžnikov, trojuholníkov a lichobežníkov (2. časť) - Matematika


Použite vlastnosti trojuholníkov

Teraz vieme, ako nájsť oblasť obdĺžnika. Túto skutočnosť môžeme použiť, aby sme si pomohli vizualizovať vzorec pre oblasť trojuholníka. V obdĺžniku na obrázku ( PageIndex {9} ) sme označili dĺžku b a šírku h, takže jej plocha je bh.

Obrázok ( PageIndex {9} ) - Plocha obdĺžnika je základňa, b, krát výška, h.

Tento obdĺžnik môžeme rozdeliť na dva zhodný trojuholníky (Obrázok ( PageIndex {10} )). Zhodné trojuholníky majú rovnaké dĺžky a uhly strán, a preto sú ich plochy rovnaké. Plocha každého trojuholníka je polovičná ako plocha obdĺžnika, alebo ( dfrac {1} {2} ) bh. Tento príklad nám pomáha zistiť, prečo je vzorec pre oblasť trojuholníka A = ( dfrac {1} {2} ) bh.

Obrázok ( PageIndex {10} ) - Obdĺžnik možno rozdeliť na dva trojuholníky s rovnakou plochou. Plocha každého trojuholníka je polovičná ako plocha obdĺžnika.

Vzorec pre plochu trojuholníka je A = ( dfrac {1} {2} ) bh, kde b je základňa a h je výška. Ak chcete zistiť oblasť trojuholníka, musíte poznať jeho základňu a výšku. Základňa je dĺžka jednej strany trojuholníka, zvyčajne strany dole. Výška je dĺžka priamky, ktorá spája základňu s opačným vrcholom a zviera s základňou uhol 90 °. Obrázok ( PageIndex {11} ) zobrazuje tri trojuholníky, ktorých základňa a výška sú vyznačené.

Obrázok ( PageIndex {11} ) - Výška h trojuholníka je dĺžka úsečky, ktorá spája základňu s opačným vrcholom a zviera s základňou uhol 90 °.

Definícia: Vlastnosti trojuholníka

Pre akýkoľvek trojuholník ΔABC je súčet mier uhlov 180 °. $$ m uhol A + m uhol B + m uhol C = 180 ° $$ Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok strany. $$ P = a + b + c $$ Plocha trojuholníka je polovica základne, b, krát výška, h. $$ A = dfrac {1} {2} bh ]

Príklad ( PageIndex {9} ):

Nájdite plochu trojuholníka, ktorého základňa má veľkosť 11 palcov a výška je 8 palcov.

Riešenie

Krok 1. Čítať problém. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.oblasť trojuholníka
Krok 3. názov. Vyberte premennú, ktorá ju má reprezentovať.nech A = plocha trojuholníka
Krok 4.Preložiť. Napíš príslušný vzorec. Náhradník.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.A = 44 štvorcových palcov
Krok 6. Skontrolujte.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} bh 44 & stackrel {?} {=} dfrac {1} {2} (11) 8 44 & = 44 ; začiarknutie end {split} $$
Krok 7. Odpoveď otázka.Táto oblasť má rozlohu 44 štvorcových centimetrov.

Cvičenie ( PageIndex {17} ):

Nájdite plochu trojuholníka so základňou 13 palcov a výškou 2 palce.

Odpoveď

13 štvorcových.

Cvičenie ( PageIndex {18} ):

Nájdite plochu trojuholníka so základňou 14 palcov a výškou 7 palcov.

Odpoveď

49 štvorcových.

Príklad ( PageIndex {10} ):

Obvod trojuholníkovej záhrady je 24 stôp. Dĺžka dvoch strán je 4 stopy a 9 metrov. Aká dlhá je tretia strana?

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.dĺžka tretej strany trojuholníka
Krok 3. Vyberte premennú, ktorá ju predstavuje.Nech c = tretia strana
Krok 4.Preložiť. Náhradník v daných informáciách.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} 24 & = 13 + c 11 & = c end {split} $$
Krok 6. Skontrolujte.$$ begin {split} P & = a + b + c 24 & stackrel {?} {=} 4 + 9 + 11 24 & = 24 ; začiarknutie end {split} $$
Krok 7. Odpoveď otázka.Tretia strana je dlhá 11 stôp.

Cvičenie ( PageIndex {19} ):

Obvod trojuholníkovej záhrady je 48 stôp. Dĺžka dvoch strán je 18 stôp a 22 stôp. Aká dlhá je tretia strana?

Odpoveď

8 stôp

Cvičenie ( PageIndex {20} ):

Dĺžka dvoch strán trojuholníkového okna je 7 stôp a 5 stôp. Obvod je 18 stôp. Aká dlhá je tretia strana?

Odpoveď

6 stôp

Príklad ( PageIndex {11} ):

Plocha trojuholníkového okna kostola je 90 metrov štvorcových. Základňa okna je 15 metrov. Aká je výška okna?

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.výška trojuholníka
Krok 3. Vyberte premennú, ktorá ju predstavuje.Nech h = výška
Krok 4.Preložiť. Náhradník v daných informáciách.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} 90 & = dfrac {15} {2} h 12 & = h end {split} $$
Krok 6. Skontrolujte.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} bh 90 & stackrel {?} {=} dfrac {1} {2} cdot 15 cdot 12 90 & = 90 ; začiarknutie end {split} $$
Krok 7. Odpoveď otázka.Výška trojuholníka je 12 metrov.

Cvičenie ( PageIndex {21} ):

Plocha trojuholníkového obrazu je 126 centimetrov štvorcových. Základňa je 18 palcov. Aká je výška?

Odpoveď

14 palcov

Cvičenie ( PageIndex {22} ):

Trojuholníkové dvere stanu majú plochu 15 metrov štvorcových. Výška je 5 stôp. Aká je základňa?

Odpoveď

6 stôp

Rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky

Okrem pravého trojuholníka majú niektoré ďalšie trojuholníky aj špeciálne názvy. Trojuholník s dvoma stranami rovnakej dĺžky sa nazýva rovnoramenný trojuholník. Trojuholník, ktorý má tri strany rovnakej dĺžky, sa nazýva an rovnostranný trojuholník. Obrázok ( PageIndex {12} ) zobrazuje oba typy trojuholníkov.

Obrázok ( PageIndex {12} ) - V rovnoramennom trojuholníku majú dve strany rovnakú dĺžku a tretia strana je základňa. V rovnostrannom trojuholníku majú všetky tri strany rovnakú dĺžku.

Pojem: Rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky

Rovnoramenný trojuholník má dve strany rovnako dlhé.

Rovnostranný trojuholník má tri strany rovnakej dĺžky.

Príklad ( PageIndex {12} ):

Obvod rovnostranného trojuholníka je 93 palcov. Nájdite dĺžku každej strany.

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.

Obvod = 93 palcov

Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.dĺžka strán rovnostranného trojuholníka
Krok 3. Vyberte premennú, ktorá ju predstavuje.Nech s = dĺžka každej strany
Krok 4.Preložiť. Náhradník.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} 93 & = 3s 31 & = s end {split} $$
Krok 6. Skontrolujte.$$ begin {split} 93 & = 31 + 31 + 31 93 & = 93 ; začiarknutie end {split} $$
Krok 7. Odpoveď otázka.Každá strana má 31 palcov.

Cvičenie ( PageIndex {23} ):

Nájdite dĺžku každej strany rovnostranného trojuholníka s obvodom 39 palcov.

Odpoveď

13 palcov

Cvičenie ( PageIndex {24} ):

Nájdite dĺžku každej strany rovnostranného trojuholníka s obvodom 51 centimetrov.

Odpoveď

17 cm

Príklad ( PageIndex {13} ):

Arianna má 156 palcov obruby, ktoré môže použiť ako ozdoba okolo šálu. Šál bude rovnoramenný trojuholník so základňou 60 palcov. Ako dlho môže vytvárať dve rovnaké strany?

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.

P = 156 palcov

Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.dĺžky dvoch rovnakých strán
Krok 3. Vyberte premennú, ktorá ju predstavuje.Nech s = dĺžka každej strany
Krok 4.Preložiť. Náhradník v daných informáciách.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} 156 & = 2s + 60 96 & = 2s 48 & = s end {split} $$
Krok 6. Skontrolujte.$$ begin {split} p & = a + b + c 156 & stackrel {?} {=} 48 + 60 + 48 156 & = 156 ; začiarknutie end {split} $$
Krok 7. Odpoveď otázka.Arianna môže mať každú z dvoch rovnakých strán dlhú 48 palcov.

Cvičenie ( PageIndex {25} ):

Dvorka je v tvare rovnoramenného trojuholníka so základňou 20 stôp. Obvod paluby je 48 stôp. Aká dlhá je každá z rovnakých strán paluby?

Odpoveď

14 stôp

Cvičenie ( PageIndex {26} ):

Plachta člna je rovnoramenný trojuholník so základňou 8 metrov. Obvod má 22 metrov. Aká dlhá je každá z rovnakých strán plachty?

Odpoveď

7 m

Použite vlastnosti lichobežníkov

A lichobežník je štvorstranná postava, a štvoruholník, s dvoma stranami, ktoré sú rovnobežné a dvoma stranami, ktoré nie sú. Paralelné strany sa nazývajú základy. Hovoríme dĺžke menšej základne b a dĺžke väčšej základne B. Výška lichobežníka h je vzdialenosť medzi týmito dvoma základňami, ako je to znázornené na obrázku ( PageIndex {13} ).

Obrázok ( PageIndex {13} ) - Lichobežník má väčšiu základňu B a menšiu základňu b. Výška h je vzdialenosť medzi základňami.

Vzorec pre plochu lichobežníka je:

[Area_ {trapezoid} = dfrac {1} {2} h (b + B) ]

Rozdelenie lichobežníka na dva trojuholníky nám môže pomôcť pochopiť vzorec. Plocha lichobežníka je súčet plôch dvoch trojuholníkov. Viď obrázok ( PageIndex {14} ).

Obrázok ( PageIndex {14} ) - Rozdelenie lichobežníka na dva trojuholníky vám môže pomôcť pochopiť vzorec pre jeho oblasť.

Výška lichobežníka je tiež výška každého z dvoch trojuholníkov. Viď obrázok ( PageIndex {15} ).

Obrázok ( PageIndex {15} )

Vzorec pre plochu lichobežníka je

[Area_ {trapezoid} = dfrac {1} {2} h ( textcolor {modrá} {b} + textcolor {červená} {B}) ]

Ak distribuujeme, dostaneme,

Definícia: Vlastnosti lichobežníkov

  • Lichobežník má štyri strany. Pozri obrázok 9.25.
  • Dve jeho strany sú rovnobežné a dve strany nie.
  • Plocha A lichobežníka je A = ( dfrac {1} {2} ) h (b + B).

Príklad ( PageIndex {14} ):

Nájdite plochu lichobežníka, ktorého výška je 6 palcov a ktorého základne sú 14 a 11 palcov.

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Identifikovať čo hľadáte.oblasť lichobežníka
Krok 3. Vyberte premennú, ktorá ju predstavuje.Nech A = plocha
Krok 4.Preložiť. Náhradník.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 6 (25) A & = 3 (25) A & = 75 ; námestie; palce end {split} $$
Krok 6. Skontrolujte: Je táto odpoveď rozumná?

Ak okolo lichobežníka nakreslíme obdĺžnik, ktorý má rovnako veľkú základňu B a výšku h, mala by byť jeho plocha väčšia ako plocha lichobežníka.

Ak nakreslíme vo vnútri lichobežníka obdĺžnik, ktorý má rovnakú malú základňu b a výšku h, mala by byť jeho plocha menšia ako plocha lichobežníka.

Plocha väčšieho obdĺžnika je 84 štvorcových palcov a plocha menšieho obdĺžnika je 66 štvorcových palcov. Dáva teda zmysel, že plocha lichobežníka je medzi 84 a 66 štvorcovými palcami

Krok 7. Odpoveď otázka.Plocha lichobežníka je 75 centimetrov štvorcových.

Cvičenie ( PageIndex {27} ):

Výška lichobežníka je 14 metrov a základne 7 a 16 metrov. Aká je oblasť?

Odpoveď

161 štvorcových metrov

Cvičenie ( PageIndex {28} ):

Výška lichobežníka je 18 centimetrov a základne 17 a 8 centimetrov. Aká je oblasť?

Odpoveď

255 štvorcových cm

Príklad ( PageIndex {15} ):

Nájdite plochu lichobežníka, ktorého výška je 5 stôp a ktorého základne sú 10,3 a 13,7 stôp.

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Náhradník.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot 5 (24) A & = 12 cdot 5 A & = 60 ; námestie; stopy koniec {split} $$
Krok 6. Skontrolujte: Je táto odpoveď rozumná? Plocha lichobežníka by mala byť menšia ako plocha obdĺžnika so základňou 13,7 a výškou 5, ale viac ako plocha obdĺžnika so základňou 10,3 a výškou 5.
Krok 7. Odpoveď otázka.Plocha lichobežníka je 60 metrov štvorcových.

Cvičenie ( PageIndex {29} ):

Výška lichobežníka je 7 centimetrov a základy sú 4,6 a 7,4 centimetra. Aká je oblasť?

Odpoveď

42 štvorcových cm

Cvičenie ( PageIndex {30} ):

Výška lichobežníka je 9 metrov a základne sú 6,2 a 7,8 metra. Aká je oblasť?

Odpoveď

63 metrov štvorcových

Príklad ( PageIndex {16} ):

Vinny má záhradu, ktorá má tvar lichobežníka. Lichobežník má výšku 3,4 metra a základne sú 8,2 a 5,6 metrov. Koľko štvorcových yardov bude k dispozícii na výsadbu?

Riešenie

Krok 1. Nakreslite figúrku a označte ju danými informáciami.
Krok 2. Náhradník.
Krok 5. Vyriešiť rovnica.$$ begin {split} A & = dfrac {1} {2} cdot (3.4) (13,8) A & = 23,46 ; námestie; yards end {split} $$

Krok 6. Skontrolujte: Je táto odpoveď rozumná? Áno. Plocha lichobežníka je menšia ako plocha obdĺžnika so základňou 8,2 yd a výškou 3,4 yd, ale viac ako plocha obdĺžnika so základňou 5,6 yd a výškou 3,4 yd.

Krok 7. Odpoveď otázka.Vinny má 23,46 štvorcových metrov, na ktorých môže sadiť.

Cvičenie ( PageIndex {31} ):

Lin chce premáčať svoj trávnik, ktorý má tvar lichobežníka. Základne sú 10,8 yardov a 6,7 ​​yardov a výška je 4,6 yardov. Koľko štvorcových metrov sodovky potrebuje?

Odpoveď

40,25 štvorcových metrov

Cvičenie ( PageIndex {32} ):

Kira chce pokryť svoju terasu betónovými dlaždicami. Ak má terasa patričný lichobežník, ktorého základne sú 18 stôp a 14 stôp a výška je 15 stôp, koľko štvorcových stôp dlaždíc bude potrebovať?

Odpoveď

240 štvorcových stôp

Opakovanie je matka múdrosti

Pochopte lineárne, štvorcové a kubické miery

V nasledujúcich cvičeniach určite, či by ste merali každú položku pomocou lineárnych, štvorcových alebo kubických jednotiek.

  1. množstvo vody v nádrži na ryby
  2. dĺžka zubnej nite
  3. obytná plocha bytu
  4. podlahová plocha kúpeľňovej dlaždice
  5. výška dverí
  6. kapacita prívesu nákladného vozidla

V nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte (a) obvod a (b) plochu každej figúry. Predpokladajme, že každá strana štvorca je 1 cm.

Použite vlastnosti obdĺžnikov

V nasledujúcich cvičeniach vyhľadajte (a) obvod a (b) plochu každého obdĺžnika.

  1. Dĺžka obdĺžnika je 85 stôp a šírka je 45 stôp.
  2. Dĺžka obdĺžnika je 26 palcov a šírka je 58 palcov.
  3. Obdĺžniková miestnosť je 15 stôp široká a 14 stôp dlhá.
  4. Príjazdová cesta má tvar obdĺžnika s šírkou 20 stôp a dĺžkou 35 stôp.

V nasledujúcich cvičeniach rieš.

  1. Nájdite dĺžku obdĺžnika s obvodom 124 palcov a šírkou 38 palcov.
  2. Nájdite dĺžku obdĺžnika s obvodom 20,2 yardov a šírkou 7,8 yardov.
  3. Nájdite šírku obdĺžnika s obvodom 92 metrov a dĺžkou 19 metrov.
  4. Nájdite šírku obdĺžnika s obvodom 16,2 metra a dĺžkou 3,2 metra.
  5. Plocha obdĺžnika je 414 metrov štvorcových. Dĺžka je 18 metrov. Aká je šírka?
  6. Plocha obdĺžnika je 782 centimetrov štvorcových. Šírka je 17 centimetrov. Aká je dĺžka?
  7. Dĺžka obdĺžnika je o 9 palcov viac ako šírka. Obvod je 46 palcov. Nájdite dĺžku a šírku.
  8. Šírka obdĺžnika je o 8 palcov väčšia ako dĺžka. Obvod je 52 palcov. Nájdite dĺžku a šírku.
  9. Obvod obdĺžnika je 58 metrov. Šírka obdĺžnika je o 5 metrov menšia ako dĺžka. Nájdite dĺžku a šírku obdĺžnika.
  10. Obvod obdĺžnika je 62 stôp. Šírka je o 7 stôp menšia ako dĺžka. Nájdite dĺžku a šírku.
  11. Šírka obdĺžnika je o 0,7 metra menšia ako dĺžka. Obvod obdĺžnika je 52,6 metra. Nájdite rozmery obdĺžnika.
  12. Dĺžka obdĺžnika je o 1,1 metra menšia ako šírka. Obvod obdĺžnika je 49,4 metra. Nájdite rozmery obdĺžnika.
  13. Obvod obdĺžnika 150 stôp. Dĺžka obdĺžnika je dvojnásobok šírky. Nájdite dĺžku a šírku obdĺžnika.
  14. Dĺžka obdĺžnika je trikrát väčšia ako šírka. Obvod je 72 stôp. Nájdite dĺžku a šírku obdĺžnika.
  15. Dĺžka obdĺžnika je o 3 metre menšia ako dvojnásobok šírky. Obvod má 36 metrov. Nájdite dĺžku a šírku.
  16. Dĺžka obdĺžnika je o 5 palcov viac ako dvojnásobok šírky. Obvod je 34 palcov. Nájdite dĺžku a šírku.
  17. Šírka obdĺžnikového okna je 24 palcov. Táto oblasť má rozlohu 624 štvorcových palcov. Aká je dĺžka?
  18. Dĺžka obdĺžnikového plagátu je 28 palcov. Táto oblasť má rozlohu 1316 centimetrov štvorcových. Aká je šírka?
  19. Plocha obdĺžnikovej strechy je 2310 metrov štvorcových. Dĺžka je 42 metrov. Aká je šírka?
  20. Plocha obdĺžnikovej plachty je 132 metrov štvorcových. Šírka je 12 stôp. Aká je dĺžka?
  21. Obvod obdĺžnikového nádvoria je 160 metrov. Dĺžka je o 10 stôp viac ako šírka. Nájdite dĺžku a šírku.
  22. Obvod obdĺžnikovej maľby je 306 centimetrov. Dĺžka je o 17 centimetrov väčšia ako šírka. Nájdite dĺžku a šírku.
  23. Šírka obdĺžnikového okna je o 40 palcov menšia ako výška.Obvod dverí je 224 palcov. Nájdite dĺžku a šírku.
  24. Šírka obdĺžnikového ihriska je o 7 metrov menšia ako dĺžka. Obvod ihriska je 46 metrov. Nájdite dĺžku a šírku.

Použite vlastnosti trojuholníkov

V nasledujúcich cvičeniach vyriešime použitie vlastností trojuholníkov.

  1. Nájdite plochu trojuholníka so základňou 12 palcov a výškou 5 palcov.
  2. Nájdite plochu trojuholníka so základňou 45 centimetrov a výškou 30 centimetrov.
  3. Nájdite plochu trojuholníka so základňou 8,3 metra a výškou 6,1 metra.
  4. Nájdite plochu trojuholníka so základňou 24,2 stôp a výškou 20,5 stôp.
  5. Trojuholníková vlajka má základňu 1 stopu a výšku 1,5 stopy. Aká je jeho rozloha?
  6. Trojuholníkové okno má základňu 8 stôp a výšku 6 stôp. Aká je jeho rozloha?
  7. Ak má trojuholník strany 6 stôp a 9 stôp a obvod je 23 stôp, aká dlhá je tretia strana?
  8. Ak má trojuholník strany 14 centimetrov a 18 centimetrov a obvod je 49 centimetrov, aká dlhá je tretia strana?
  9. Aká je základňa trojuholníka s plochou 207 štvorcových palcov a výškou 18 palcov?
  10. Aká je výška trojuholníka s plochou 893 štvorcových palcov a základňou 38 palcov?
  11. Obvod trojuholníkového zrkadlového bazénu je 36 metrov. Dĺžka dvoch strán je 10 metrov a 15 metrov. Aká dlhá je tretia strana?
  12. Trojuholníkové nádvorie má obvod 120 metrov. Dĺžka dvoch strán je 30 metrov a 50 metrov. Aká dlhá je tretia strana?
  13. Rovnoramenný trojuholník má základňu 20 centimetrov. Ak je obvod 76 centimetrov, nájdite dĺžku každej z ostatných strán.
  14. Rovnoramenný trojuholník má základňu 25 palcov. Ak je obvod 95 palcov, nájdite dĺžku každej z ostatných strán.
  15. Nájdite dĺžku každej strany rovnostranného trojuholníka s obvodom 51 metrov.
  16. Nájdite dĺžku každej strany rovnostranného trojuholníka s obvodom 54 metrov.
  17. Obvod rovnostranného trojuholníka je 18 metrov. Nájdite dĺžku každej strany.
  18. Obvod rovnostranného trojuholníka je 42 míľ. Nájdite dĺžku každej strany.
  19. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 42 stôp. Dĺžka najkratšej strany je 12 stôp. Nájdite dĺžku ďalších dvoch strán.
  20. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 83 palcov. Dĺžka najkratšej strany je 24 palcov. Nájdite dĺžku ďalších dvoch strán.
  21. Miska má tvar rovnostranného trojuholníka. Každá strana je dlhá 8 palcov. Nájdite obvod.
  22. Podlahová dlaždica má tvar rovnostranného trojuholníka. Každá strana je dlhá 1,5 stopy. Nájdite obvod.
  23. Dopravná značka v tvare rovnoramenného trojuholníka má základňu 36 palcov. Ak je obvod 91 palcov, nájdite dĺžku každej z ostatných strán.
  24. Šál v tvare rovnoramenného trojuholníka má základňu 0,75 metra. Ak je obvod 2 metre, nájdite dĺžku každej z ostatných strán.
  25. Obvod trojuholníka je 39 stôp. Jedna strana trojuholníka je o 1 stopu dlhšia ako druhá strana. Tretia strana je o 2 stopy dlhšia ako druhá strana. Nájdite dĺžku každej strany.
  26. Obvod trojuholníka je 35 stôp. Jedna strana trojuholníka je o 5 stôp dlhšia ako druhá strana. Tretia strana je o 3 stopy dlhšia ako druhá strana. Nájdite dĺžku každej strany.
  27. Jedna strana trojuholníka je dvakrát najmenšia strana. Tretia strana je o 5 stôp viac ako najkratšia strana. Obvod je 17 stôp. Nájdite dĺžky všetkých troch strán.
  28. Jedna strana trojuholníka je trikrát najmenšia strana. Tretia strana je o 3 stopy viac ako najkratšia strana. Obvod je 13 stôp. Nájdite dĺžky všetkých troch strán.

Použite vlastnosti lichobežníkov

V nasledujúcich cvičeniach riešime využitie vlastností lichobežníkov.

  1. Výška lichobežníka je 12 stôp a základne sú 9 a 15 stôp. Aká je oblasť?
  2. Výška lichobežníka je 24 metrov a základne 18 a 30 metrov. Aká je oblasť?
  3. Nájdite plochu lichobežníka s výškou 51 metrov a základňami 43 a 67 metrov.
  4. Nájdite plochu lichobežníka s výškou 62 palcov a základňami 58 a 75 palcov.
  5. Výška lichobežníka je 15 centimetrov a základne sú 12,5 a 18,3 centimetra. Aká je oblasť?
  6. Výška lichobežníka je 48 stôp a základne sú 38,6 a 60,2 stôp. Aká je oblasť?
  7. Nájdite plochu lichobežníka s výškou 4,2 metra a základňami 8,1 a 5,5 metra.
  8. Nájdite plochu lichobežníka s výškou 32,5 centimetra a základňami 54,6 a 41,4 centimetra.
  9. Laurel vyrába banner v tvare lichobežníka. Výška bannera je 3 stopy a základne sú 4 a 5 stôp. Aká je plocha bannera?
  10. Niko chce vydláždiť podlahu svojej kúpeľne. Podlaha má tvar lichobežníka so šírkou 5 stôp a dĺžkou 5 stôp a 8 stôp. Aká je plocha podlahy?
  11. Theresa potrebuje nový vrchol svojej kuchynskej linky. Počítadlo má tvar lichobežníka so šírkou 18,5 palca a dĺžkami 62 a 50 palcov. Aká je plocha pultu?
  12. Elena pletie šál. Šál bude mať tvar lichobežníka so šírkou 8 palcov a dĺžkami 48,2 palca a 56,2 palca. Aká je plocha šatky?

Každodenná matematika

  1. Plot Jose práve odstránil detskú herňu zo svojho zadného dvora, aby vytvoril priestor pre obdĺžnikovú záhradu. Chce dať okolo záhrady plot, aby bol pes mimo. Vo svojej garáži má 50 metrový plot, ktorý plánuje použiť. Ak chcete zapadnúť do záhradky, musí byť šírka záhrady 10 stôp. Ako dlho môže urobiť druhú stranu, ak chce použiť celú rolku plotu?
  2. Záhradníctvo Lupita chce oplotiť svoju paradajkovú záhradu. Záhrada je obdĺžniková a dĺžka je dvakrát väčšia ako šírka. Ohradenie záhrady bude trvať 48 metrov. Nájdite dĺžku a šírku jej záhrady.
  3. Plot Christa chce okolo svojho trojuholníkového záhonu položiť plot. Boky záhonu sú 6 stôp, 8 stôp a 10 stôp. Plot stojí 10 dolárov za stopu. Koľko bude stáť Christa za oplotenie na svojom záhone?
  4. Maľba Caleb chce namaľovať jednu stenu svojho podkrovia. Stena má tvar lichobežníka s výškou 8 stôp a základňami 20 stôp a 12 stôp. Náklady na maľovanie jednej štvorcovej stopy steny sú približne 0,05 USD. Asi toľko, koľko bude stáť Caleb maľovanie podkrovnej steny?

Písanie cvičení

  1. Ak potrebujete položiť dlažbu na podlahu v kuchyni, potrebujete poznať obvod alebo plochu kuchyne? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.
  2. Ak potrebujete dať okolo záhradky plot, potrebujete poznať obvod alebo plochu záhradky? Vysvetlite svoje zdôvodnenie.
  3. Pozrite sa na dve čísla. a) Ktorý obrázok vyzerá, že má väčšiu plochu? Čo vyzerá, že má väčší obvod? (b) Teraz vypočítajte plochu a obvod každého obrázka. Ktorá má väčšiu plochu? Ktorý má väčší obvod?

  1. Dĺžka obdĺžnika je o 5 stôp viac ako šírka. Táto oblasť má rozlohu 50 metrov štvorcových. Nájdite dĺžku a šírku. (a) Napíšte rovnicu, ktorú by ste použili na vyriešenie problému. (b) Prečo nemôžete vyriešiť túto rovnicu metódami, ktoré ste sa naučili v predchádzajúcej kapitole?

Samokontrola

(a) Po absolvovaní cvičení použite tento kontrolný zoznam na vyhodnotenie vášho zvládnutia cieľov tejto časti.

(b) Ako by ste na stupnici od 1 do 10 ohodnotili vaše zvládnutie tejto časti na základe vašich odpovedí v kontrolnom zozname? Ako to môžete vylepšiť?


Prečo neznášam definíciu lichobežníkov (3. časť)

Áno, je to pravda. Opäť píšem o lichobežníkoch (písal o nich tu a tu už predtým vášnivo). Dával som si prestávku od blogovania, ako to zvyknem robiť v lete. Škola pre nás začína iba za dva týždne. Takže som si myslel, že vyjdem z ulity a niečo zverejním & samozrejme, že mám vždy čo povedať o lichobežníkoch :-).

Začnime nasledujúcou ľahkou testovacou otázkou. Nepozerajte. Zistite, či môžete na otázku odpovedať bez akejkoľvek pomoci.

Ktoré z nasledujúcich štvoruholníkov sú lichobežníky?

Predtým, ako odpoviem, dovoľte mi, aby som vám najskôr pripomenul moje veľmi silno držaná pozícia. Verím, že namiesto tejto typickej definície učebnice (& # 8220exkluzívna definícia & # 8221 ju budeme volať), ktorá znie:

"Štvoruholník s." jeden a jediný pár paralelných strán. “

definícia by mala byť komplexná a mala by znieť:

"Štvoruholník s." najmenej jeden pár rovnobežných strán. “

Takže vyššie uvedená testovacia otázka bola ľahká, však? Počul som, že štvoruholníky (A) a (C) sú lichobežníky.

Nie tak rýchlo!! Ak používate inkluzívnu definíciu, potom sú správne odpovede v skutočnosti (A), (B), (C), (D) a (E). Ale bude to lepšie: Ak ste používali výlučná definícia, potom ŽIADNE z nich nie sú lichobežníky. Aby mohli byť (A) a (C) lichobežníky, musíte podľa výlučnej definície dokázať, že dve strany sú rovnobežné A dve zvyšné strany sú nie paralelne (a nemôžete predpokladať, že z obrázka & # 8230 špeciálne pre (C)!).

Vidíte teraz absurdnosť výlučnej definície?

Na záver ponúkam nasledujúci zoznam dôvodov, prečo je lepšia definícia zahrňujúca (môžete navrhnúť viac dôvodov?):

  1. Všetky ostatné štvoruholníky sú definované inkluzívnym spôsobom, takže štvoruholníky & # 8220beneath & # 8221 dedia všetky vlastnosti svojich & # 8220 rodičov. & # 8221 Štvorec je obdĺžnik, pretože štvorec zodpovedá definícii obdĺžnika. Rovnako rovnobežníky, obdĺžniky, kosoštvorce a štvorce by mali byť špeciálnymi prípadmi lichobežníka.
  2. Vzorec plochy pre lichobežník stále funguje, aj keď sú nohy rovnobežné. Je to pravda! Vzorec oblasti funguje dobre pre rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec alebo štvorec.
  3. Pri použití inkluzívnej definície nedochádza k prerušeniu iných definícií. S výnimkou definície, ktorá niektoré texty sa používajú pre rovnoramenný lichobežník. Tieto texty definujú rovnoramenný lichobežník, ktorý má obidve nohy kongruentné, čo by urobilo z rovnobežníka rovnoramenný lichobežník. Namiesto toho definujte rovnoramenný lichobežník, ktorý má základné uhly zhodné alebo ekvivalentné s priamkou symetrie.
  4. Metóda lichobežníkovej aproximácie v programe Calculus nezlyhá, keď jeden z lichobežníkov je vlastne obdĺžnik. Ale podľa výlučnej definície by ste museli zmeniť jej názov na & # 8220trapézovú a / alebo obdĺžnikovú aproximačnú metódu & # 8221, alebo možno zakázať ľuďom robiť lichobežníkovú metódu pri problémoch, ako je tento: Približné pomocou lichobežníkovej metódy s 5 rovnakými intervalmi. (Všimnite si tu, že stredový lichobežník je v skutočnosti obdĺžnik & # 8230Bůh to chráňte !!)
  5. Keď preukážete, že štvoruholník je lichobežník, môžete sa zastaviť, keď preukážete, že sú dve strany rovnobežné. Ale s exkluzívny definície, aby ste dokázali, že štvoruholník je lichobežník, museli by ste dokázať, že dve strany sú rovnobežné A ďalšie dve strany sú nie paralelne (pozri začiatok tohto príspevku!).

Zdieľaj toto:

Páči sa ti to:

Súvisiace


Klasifikácia trojuholníkov podľa uhlov pomocou Eulerových diagramov - 3. časť

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Na konci tohto tutoriálu by ste mali byť schopní identifikovať príklady štvoruholníkov a ich definujúcich atribútov a klasifikovať ich pomocou diagramov.

Oblasť (oblasti): Matematika

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Preskúmajte definujúce atribúty lichobežníkov - špeciálny typ štvoruholníka - a klasifikujte ich pomocou diagramov v tomto interaktívnom návode.

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Naučte sa, ako klasifikovať štvoruholníky - vrátane rovnobežníkov, obdĺžnikov, kosoštvorcov a štvorcov - na základe ich definujúcich atribútov pomocou diagramov

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Naučte sa, ako zobrazovať vzťahy znázornené na Vennových a Eulerových diagramoch, keď absolvujete tento interaktívny výukový program o geometrii. Toto je druhá časť zo štyroch.

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

V tomto interaktívnom návode sa dozviete, ako je možné trojuholníky triediť a klasifikovať pomocou dĺžok a mier bokov. Toto je posledný tutoriál v a

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Preskúmajte 2D (dvojrozmerné) postavy a v tomto interaktívnom výučbe uvidíte, ako má každá 2D postava jedinečné atribúty. Toto je prvá časť zo štyroch.

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Prílohy

  • MAFS.5.G.2.3: Pochopte, že atribúty patriace do kategórie dvojrozmerných figúrok patria tiež do všetkých podkategórií tejto kategórie. Napríklad všetky obdĺžniky majú štyri pravé uhly a štvorce sú obdĺžniky, takže všetky štvorce majú štyri pravé uhly.

Naučte sa klasifikovať trojuholníky a používať Eulerove diagramy na znázornenie vzťahov v tomto interaktívnom výučbe.

Toto je tretia zo štyroch. Kliknutím nižšie otvoríte ďalšie výukové programy v sérii.


Lichobežníky 6. časť

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Na konci tohto tutoriálu by ste mali byť schopní identifikovať príklady štvoruholníkov a ich definujúcich atribútov a klasifikovať ich pomocou diagramov.

Oblasť (oblasti): Matematika

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Naučte sa, ako klasifikovať štvoruholníky - vrátane rovnobežníkov, obdĺžnikov, kosoštvorcov a štvorcov - na základe ich definujúcich atribútov pomocou diagramov

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Naučte sa, ako zobrazovať vzťahy znázornené na Vennových a Eulerových diagramoch, keď absolvujete tento interaktívny výukový program o geometrii. Toto je druhá časť zo štyroch.

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

V tomto interaktívnom návode sa dozviete, ako je možné trojuholníky triediť a klasifikovať pomocou dĺžok a mier bokov. Toto je posledný tutoriál v a

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Naučte sa klasifikovať trojuholníky a používať Eulerove diagramy na znázornenie vzťahov v tomto interaktívnom výučbe. Toto je tretia zo štyroch. Kliknite nižšie na ikonu

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Preskúmajte 2D (dvojrozmerné) postavy a v tomto interaktívnom výučbe uvidíte, ako má každá 2D postava jedinečné atribúty. Toto je prvá časť zo štyroch.

Oblasť (oblasti): Matematika, Matematika (B.E.S.T. -.

Primárny typ zdroja: Originálny návod

Prílohy

  • MAFS.5.G.2.3: Pochopte, že atribúty patriace do kategórie dvojrozmerných figúrok patria tiež do všetkých podkategórií tejto kategórie. Napríklad všetky obdĺžniky majú štyri pravé uhly a štvorce sú obdĺžniky, takže všetky štvorce majú štyri pravé uhly.

Preskúmajte definujúce atribúty lichobežníkov - špeciálny typ štvoruholníka - a klasifikujte ich pomocou diagramov v tomto interaktívnom návode. Dozviete sa tiež, ako dve rôzne definície lichobežníka môžu zmeniť vplyv na klasifikáciu štvoruholníkov.

Táto časť 6 v šesťdielnej sérii. Kliknutím nižšie preskúmate ďalšie návody v sérii.


Geometria, spoločný štýl jadra

Oddiel 5-2 textu U z Chicaga sa týka rôznych druhov štvoruholníkov. V tejto časti nie sú žiadne vety, ale iba definície. Pojem definície je dôležitý pre štúdium geometrie a zatiaľ nie sú v žiadnej lekcii významnejšie ako v tejto lekcii.

Lekcia sa začína definovaním rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnika námestie. So žiadnou z týchto definícií sa nestalo nič zlé. Potom však dospejeme ku kontroverznej definícii - z lichobežník:

Definícia:
Štvoruholník je lichobežník vtedy a len vtedy, ak má najmenej jeden pár paralelných strán.
(dôraz môj)

Rovnako ako pri definícii paralelne späť v časti 1-7, máme ďalšie dve slová, ktoré ju odlišujú od tradičnej definície lichobežník -- "najmenej." V iných učebniciach žiadny paralelogram nie je lichobežník, ale v texte U of Chicago každý rovnobežník je lichobežník!

Aby sme pochopili, čo sa tu deje, vráťme sa k prvému geometru, ktorý definoval niektoré pojmy v štvorstrannej hierarchii - samozrejme hovorím o Euklidovi:

Z štvoruholníkových čísel a námestie je rovnostranný aj pravouhlý podlhovastý to, čo je síce pravouhlé, ale nie rovnostranné a kosoštvorec to, čo je rovnostranné, ale nie pravouhlé a a kosodĺžnik to, ktoré má svoje protiľahlé strany a uhly navzájom rovnaké, ale nie je ani rovnostranné, ani pravouhlé. A nechajte zavolať iné štvoruholníky, ako sú tieto lichobežník.

Samozrejme, moderný výraz pre „podlhovastý“ je obdĺžnika „kosoštvorec“ je teraz rovnobežník. Slovo „trapezia“ je v skutočnosti množné číslo „trapezium“. V britskej angličtine je „lichobežník“ to, čo by sme my Američania nazvali lichobežník, ale pre Euklida je každý štvoruholník, ktorý nie je rovnobežníkom (alebo nižšie v štvoruholníkovej hierarchii), „lichobežník“. Ale dôležitou časťou je, že napríklad pre Euklida námestie nie je ani obdĺžnik (podlhovastý), ani kosoštvorec. Dbá na to, aby povedal, že obdĺžnik (podlhovastý) nie je „rovnostranný“ a že kosoštvorec „nie je v pravom uhle“. A samozrejme, ani obdĺžnik, ani kosoštvorec nie sú rovnobežníkmi (kosodĺžnikmi).

Nazývajú sa „exkluzívne“ definície. Pre Euklida neexistovala štvoruholníková hierarchia - každá trieda štvoruholníkov bola disjunktná od ostatných. Ale od čias Euklida čoraz viac textov geometrie pomaly pridávalo viac „inkluzívnych“ definícií.

Jednou z prvých inkluzívnych definícií, ktoré som videl, bola definícia obdĺžnik. Bolo to spomenuté v epizóde televízie Square One, keď mala parodická postava Pacmana menom Mathman jesť obdĺžniky a potom zjedla štvorec, pretože „každý štvorec je obdĺžnik“. Poskytoval by som odkaz na YouTube, ale odkaz som nenašiel roky a neprišiel by pri hľadaní. (Dokonca si pamätám, že niekto v komentároch uverejnil, že rovnako ako pre mňa, aj jeho prvé stretnutie s inkluzívnou definíciou obdĺžnik bol pri sledovaní tohto klipu, keď sa prvýkrát vysielal pred toľkými rokmi!)

Ale veľa mojich členov rodiny boli tiež učitelia a jeden príbuzný mi dal starú učebnicu, ktorá stále uvádzala niektoré exkluzívne definície. Najmä deklaroval, že štvorec nie je kosoštvorec. O niečo neskôr potom môj učiteľ piateho ročníka učil inkluzívnu definíciu slova kosoštvorec. Potom som vyhladil, že štvorec nie je kosoštvorec, a potom som vlastne priniesol starý text do školy, aby som to dokázal! Odpovedala: „Páni!“ ale potom, ak si spomeniem správne, povedal mi, že táto definícia je stará a že podľa novej definície je štvorec kosoštvorec. Takže všetky moderné texty klasifikujú štvorec ako obdĺžnik aj ako kosoštvorec a že všetky tieto texty sa považujú za rovnobežníky.

Vidíme teda, že existuje tendencia k tomu, že definície budú časom pribúdať inkluzívnejšie. (Vidíme, že sa to deje aj v politike - napríklad definícia manželstvo. Ale odbočím.) A tak vidíme, že ďalším prirodzeným krokom je, aby bol rovnobežník považovaný za lichobežník.

Jeden z prvých obhajcov, ktorý som videl, pre komplexnú definíciu lichobežník je slávny princetonský matematik John H. Conway. Je známy predovšetkým tým, že vymyslel matematickú hru o život, ktorá má vlastnú webovú stránku:

Conway sa ale špecializuje aj na ďalšie oblasti matematiky, ako je geometria a teória grup (čo je v niektorých ohľadoch štúdium symetrie). Pred dvanástimi rokmi zverejnil nasledujúce informácie o tom, prečo uprednostňuje inkluzívne definície:

Uprednostňujem výlučné definície, myslím, z
čo nazývam „popisné použitie“. Jeden by, samozrejme, NEOPISOVAL
štvorcový stôl ako „obdĺžnikový“, pretože by to bolo zbytočné
z dlhodobého hľadiska sprostredkovať menej informácií. Takže pri popisnom použití
existuje prirodzený predpoklad, že tabuľka s názvom „obdĺžnikový“
v skutočnosti nebude hranatá - inými slovami, prirodzená domnienka
že výrazy sa budú používať výlučne.

Popisné použitie však nie je dôležité pre geometriu, kde
naozaj dôležitá vec je pravdivosť viet. To znamená, že my
by mal používať výraz "A" na zahrnutie "B", ak sú všetky totožnosti to
podržať pre všetky "A" bude platiť aj pre všetky "B" (spôsobom, že
veta o lichobežníkovej oblasti platí pre všetky rovnobežníky, pre
inštancia).

Mohli by ste sa obávať dôslednosti prechodu na
inkluzívne použitie, zatiaľ čo ostatní ľudia pokračujú v exkluzívnom použití.
Ale nemôže existovať súlad s ľuďmi, ktorí sú nekonzistentní!
Videl som veľa kníh o geometrii, ktoré MALI exkluzívne definície,
ale nikto, kto ich dokáže konzistentne POUŽÍVAŤ viac ako pár
vety.

Conway sa skutočne zasadzoval za to, aby sa urobil jeden krok vpred a aby sa v skutočnosti zrušil lichobežník a v hierarchii boli iba lichobežníkové rovnoramenné! Napokon, o lichobežníku, ktorý nie je rovnoramenný, sa toho veľa povedať nedá - stačí sa pozrieť do časti 5-5. Existuje iba jedna veta o všeobecných lichobežníkoch - veta o trapézovom uhle, a to je v skutočnosti iba veta o vnútornom uhle dôsledku tej istej strany, ktorú je možné dokázať bez odkazu na lichobežníky vôbec. Všetky ostatné vety v lekcii odkazujú na rovnoramenný lichobežníky. Konkrétne vety o symetrii v lekcii odkazujú na rovnoramenné lichobežníky. (Pripomeňme, že spoločnosť Conway sa špecializuje na teóriu skupín - čo, ako som už napísal vyššie, je štúdia symetria.) Mám podozrenie, že jediný dôvod, prečo máme všeobecné lichobežníky, je ten, že sú to najjednoduchší štvoruholník, pre ktorý možno uviesť vzorec plochy.

Toto je teraz ďalší odklon od Common Core Geometry, takže uvediem iba ďalší odkaz. Všimnite si, že tu Conway navrhuje aj a šesťuholník hierarchia založená na symetrii. Existuje tiež päťuholníková hierarchia, ale existujú iba tri typy päťuholníkov - všeobecné, čiarovo-symetrické a pravidelné - rovnako ako pre trojuholníky. Je jednoduchšie robiť čísla so párnym počtom strán symetricky.

Ďalším obhajcom inkluzívnych definícií je pán Chase, stredoškolský učiteľ matematiky z Marylandu. Vidím, že je tak zanietený pre inkluzívnu definíciu slova lichobežník že venoval celé tri blogové príspevky tomu, prečo nenávidí výlučnú definíciu slova lichobežník:

Jedným z dôvodov, ktoré Chase uvádza pre použitie inkluzívnych definícií, je to, že to zjednodušuje dôkazy:

Keď preukážete, že štvoruholník je lichobežník, môžete sa zastaviť, keď preukážete, že sú dve strany rovnobežné . Ale s exkluzívny definície, aby ste dokázali, že štvoruholník je lichobežník, museli by ste dokázať, že dve strany sú rovnobežné A ďalšie dve strany sú nie paralelne.

Pokiaľ ide o niektorých ďalších, o ktorých pravidelne hovorím, používa Dr. Wu inkluzívnu definíciu:

"Štvoruholník s najmenej jedným párom protiľahlých strán, ktoré sú rovnobežné, sa nazýva lichobežník. Lichobežník s dvoma pármi paralelných protiľahlých strán sa nazýva rovnobežník."

zatiaľ čo Dr. Mason používa výlučnú definíciu:

„Lichobežník je zo svojej podstaty štvoruholník presne jeden dvojica rovnobežných strán. ““
(dôraz Dr. M.)

Pre ktorú definíciu by som mal teda použiť lichobežník? Toto je blog Common Core, takže definícia uprednostňovaná programom Common Core by mala mať prednosť pred všetkými ostatnými definíciami. Toto je odkaz na informácie, ktoré sa objavia na konci roka v hodnotení PARCC pre geometriu:

A práve tam v stĺpci „Objasnenie“ znie:

i) Lichobežník je definovaný ako štvorstranný & # 8220A s najmenej jedným párom paralelných strán. & # 8221

A to to zjavne urovná. V hodnotení spoločného jadra PARCC sa používa inkluzívna definícia lichobežník, a tak je mojou povinnosťou na blogu Common Core používať definíciu Common Core. Samozrejme si všimneme, že toto je definícia uvedená v PARCC - ale zatiaľ som nevidel žiadne informácie o tom, čo používa definícia Smarter Balanced. Bolo by tragické, keby PARCC používal jednu definíciu a Chytrejší vyvážil druhú. Ale keďže nemôžem povedať nič o Smarter Balanced, použijem jedinú definíciu, ktorá je známe absolvovať test spoločného jadra, a to je inkluzívna definícia. Skutočnosť, že túto definíciu už používa U of Chicago, je čerešničkou na torte.

Existuje jeden problém s inkluzívnou definíciou lichobežník, a práve vtedy sa pokúsime definovať rovnoramenný lichobežník. Slovo rovnoramenný naznačuje, že rovnako ako v rovnoramennom trojuholníku, má rovnoramenný lichobežník dve rovnaké strany - strany susediace s (rovnobežnými) základňami. Ale v rovnobežníku, kde za dvojice protiľahlých strán možno považovať ktorúkoľvek z dvojíc, sú strany rovnaké. To by urobilo z každého rovnobežníka rovnoramenný lichobežník. Ale to nie je žiaduce - rovnoramenný lichobežník má niekoľko vlastností, ktoré vo všeobecnosti paralelogramy chýbajú. Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké, ale rovnobežníky všeobecne nie sú. Ale uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké. Radi by sme teda považovali obdĺžniky, ale nie rovnobežníky všeobecne, za rovnoramenné lichobežníky.

Táto dilema je uvedená v komentároch pri jednom z odkazov Chase. Poukazuje sa na to, že z tohto neporiadku existujú dve cesty - môžeme definovať rovnoramenný lichobežník z hľadiska symetrie, ako to robí Conway, alebo môžeme použiť definíciu U z Chicaga:

„Lichobežník je rovnoramenný, len ak má dvojicu základných uhlov rovnakých v miere.“

Niektorým sa táto definícia nepáči, pretože porušuje jazykovú čistotu - slovo rovnoramenný pochádza z gréčtiny a znamená „rovnaké nohy“, nie „rovnaké uhly“. Ale ako sa ukázalo, je to malá cena, ktorú treba zaplatiť za to, aby štvorstranná hierarchia a ďalšie vety fungovali. A okrem toho každý geometer, ktorý nazýva deväťstranný polygón a nonagon mal by len sklapnúť o jazykovej čistote!

V tejto lekcii je jedna definícia, ktorú som neopomenul spomenúť - šarkana. Ako sa ukázalo, existujú dve definície šarkana, jeden exkluzívny a jeden inkluzívny. Inkluzívna definícia robí z každého kosoštvorca (a teda aj z každého štvorca) draka. Prirodzene, tí, ktorí uprednostňujú výlučnú definíciu slova lichobežník, rovnako ako Dr. M, tiež uprednostňuje výlučnú definíciu slova šarkana, zatiaľ čo iné prijímajú inkluzívne definície oboch lichobežník a šarkana. (Wu o tejto otázke mlčí - o drakoch sa na svojom webe vôbec nezmieňuje.)

Skutočnosť, že exkluzívne definície robia dôkazy dlhšími - ako spomenuli Conway aj Chase - je viditeľná, keď sa pozrieme na lekciu draka M. o drakoch (lekcia 6.6 na jeho stránke). Pretože používa výlučnú definíciu slova šarkanaDr. M musí zabezpečiť, aby sa každá vlastnosť, ktorú má drak, ako napríklad dvojica rovnakých opačných uhlov, vzťahovala iba na jeden pár uhlov, a nie na druhý - inak by bol údaj paralelogramom (skutočne kosoštvorcom) ) a nie draka. Ak by sme však mali použiť inkluzívnu definíciu, nemusíme sa báť, že postava je kosoštvorec, pretože kosoštvorec sa stále považuje za draka. Lekcia Dr. M. obsahuje 15 stránok PowerPointu, ale takmer polovicu z nich by sme mohli vystrihnúť jednoducho pomocou inkluzívnej definície - päť stránok nepriamych dôkazov „nie ten druhý“ a ďalšie dve stránky, ktoré vysvetľujú, prečo „nie ten druhý“ dôkazy sú potrebné!

Takže tu je definícia draka z Chicaga:

Štvoruholník je drak práve vtedy, ak má dva odlišné páry po sebe nasledujúcich strán rovnakej dĺžky.

(Všimnite si to tu odlišný znamená, že existujú dva rôzne páry rovnakej dĺžky, teda celkovo štyri strany - nie to, že samotné dĺžky musia byť odlišné.)

Text má štvorstrannú hierarchiu, ale chýba jeden odkaz, od kosoštvorca po rovnobežník. Uvádza sa v ňom, že to bude dokázané v lekcii 5-4 (vlastne 5-6), pretože sa v nej používa Test alternatívnych vnútorných uhlov, ktorý sa objaví až po tejto lekcii. Ale tu na tomto blogu sme už preukázali test AIA, takže teraz môžeme skutočne dokázať celú hierarchiu.

Teraz si tu niektorí môžu niečo všimnúť. Včera som napísal, že prvé štyri oddiely kapitoly 5 nevyžadujú paralelný postulát. Napriek tomu dnes diskutujem o štvorstranách, ako sú obdĺžniky a štvorce, a ako sa ukázalo, obdĺžniky (a teda štvorce) bez paralelného postulátu ani neexistujú!

Čo tu teda dáva? V skutočnosti každé tvrdenie preukázané v tejto lekcii stále platí v neeuklidovskej geometrii, dokonca aj také, ako „každý obdĺžnik je rovnobežník“. Ak obdĺžniky neexistujú, potom je výrok „každý obdĺžnik rovnobežný“ vákuovo pravdivý - existujú nulové obdĺžniky a všetky nulové sú rovnobežníky! (Podobne sú všetky jednorožce biele.) Žiadne tvrdenia o obdĺžnikoch alebo štvorcoch uvedené v tejto lekcii v skutočnosti nevyžadujú, aby existovali žiadne z nich - iba to ak existujú, potom majú tieto vlastnosti. Rovnaký trik robí Wu aj na svojej stránke:

„Štvoruholník, ktorého všetky uhly sú pravými uhlami, sa nazýva obdĺžnik. Obdĺžnik, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé, sa nazýva štvorec. Upozorňujeme, že v tomto okamihu nevieme, či existuje
je štvorec alebo nie, alebo ešte horšie, či je alebo nie je obdĺžnik. ““

Tiež vyhlásenie, že každý kosoštvorec je rovnobežník, používa Alternatívne vnútorné uhly Test, ale je to paralelné Dôsledky, nie Paralelné Skúšky, ktoré vyžadujú paralelný postulát. Až v časti 5-5, kde odvodíme vlastnosti lichobežníkov pomocou dôsledkov ich paralelných strán, budeme potrebovať paralelný postulát.

Prejdime k cvičeniu. Rozhodol som sa vyhodiť prvých osem otázok, pretože od definovania, nakreslenia a umiestnenia do hierarchie sedem typov štvoruholníkov lepšie zapadá do poznámok, nie do cvičení, ktoré nasledujú po poznámkach. Pokiaľ ide o ďalšie otázky, je zaujímavé poukázať na to, ako sa môžu odpovede líšiť pomocou inkluzívnych / exkluzívnych definícií alebo euklidovskej / neeuklidovskej geometrie.

Zahŕňam prvé tri pravdivé / nepravdivé otázky od 9. do 11. septembra. Otázka 9 je pravdivá, dokonca aj v neeuklidovskej geometrii (kde je to prázdna pravda), a otázka 10 vždy neplatí. Otázka 11 je pravdivá, ale stane sa nepravdivou, ak použijeme výlučnú definíciu draka. (Všimnite si, že moje cviky nijako neodkazujú na lichobežníky, ale iba na drakov, pretože draky sa v časti 5-4 objavujú skôr.)

Potom preskočím na otázku 20. Ak je množina A množina všetkých obdĺžnikov a množina B množina všetkých kosoštvorcov, potom A priesečník B je množina všetkých štvorcov. Toto zostáva v platnosti aj v neeuklidovskej geometrii, pretože tam sa množina A, množina všetkých obdĺžnikov, stáva prázdnou množinou. Potom by priesečník B bol tiež prázdnou množinou, ktorá sa rovná množine všetkých štvorcov, pretože aj to je prázdna množina.

Existuje ale podobný problém križovatky, ktorý je príliš pokročilý na to, aby sa tu dal uviesť, a ktorého odpoveď sa líši v závislosti od toho, akú geometriu človek používa. Priesečník množiny všetkých rovnobežníkov a množiny všetkých rovnoramenných lichobežníkov je v euklidovskej geometrii množinou všetkých obdĺžnikov. (Jedným zo spôsobov, ako to dokázať, je poznamenať, že rovnoramenné lichobežníky majú rovnaké uhlopriečky a - aj keď to nie je dokázané v Chicagu - rovnobežníky s rovnakými uhlopriečkami sú obdĺžniky.) Napriek tomu v hyperbolickej geometrii neexistujú žiadne obdĺžniky, ale existujú údaje, ktoré sú rovnobežníkmi aj rovnoramennými lichobežníkmi - najmä štvoruholník Saccheri je obidva. Hyperbolickému geometru môže chýbať skutočnosť, že štvoruholník Saccheri je rovnoramenný lichobežník, pretože používa výlučnú definíciu, kde rovnobežník nemôže byť lichobežník. Ale v niektorých ohľadoch je Saccheriho štvoruholník skôr ako euklidovský rovnoramenný lichobežník ako euklidovský rovnobežník, pretože Saccheriho a rovnoramenný lichobežník zdieľajú rovnaký typ čiary symetrie, aký chýba všeobecnému rovnobežníku.

V otázke 21 to dokazujeme NOPQ je drak - dôkaz, ktorý vyžaduje iba štyri kroky (pretože k trom krokom, ktoré sú v knihe požadované, vždy pridám daný krok). Ale ak použijeme výlučnú definíciu slova šarkana, NOPQ nemusí to byť drak, pretože by to mohol byť kosoštvorec. Po technickej stránke to nemôžeme dokázať NOPQ je exkluzívny drak, pokiaľ k tomu nepridáme ďalšiu hypotézu, napríklad kruhy O a Q ktoré majú nerovnaké polomery.


Geometria, spoločný štýl jadra

Dnes je deň bez študentov v mojom novom okrese, podobne ako 15. októbra v mojom starom okrese. Kalendár blogov nadväzuje na starú štvrť, a preto je dnes deň zverejnenia príspevku.

Na druhej strane, jediný spôsob, ako by som dnes prešiel, je môj starý okres. Samozrejme, že to bolo veľmi nepravdepodobné a nakoniec som dnes sub.

Opäť idem k tomu, že príspevok tradicionalistov je mimo plánu. Minulý týždeň v naplánovaný deň som toho veľa nenapísal a vyhlásil som, že skutočné príspevky tradicionalistov sú príspevky „Sue Teele“, pretože jej viacnásobné inteligencie sú druhou stranou debaty.

Ale cez víkend zverejnil príspevok náš hlavný tradicionalista Barry Garelick. A reaguje na článok iného autora, ktorého nápady sme videli nedávno - Jo Boaler:

Zjednotená školská štvrť v San Franciscu a # 8217s sa rozhodla vylúčiť prístup k algebre pre žiakov 8. ročníka, aj keď má študent kvalifikáciu absolvovať tento kurz. Najnovším článkom na ospravedlnenie tejto akcie je článok, ktorý napísal Jo Boaler (ktorého samozrejmý prístup k výučbe matematiky a názor mnohých ďalších vo výučbe, ktorého rešpektujem, bol neúčinný a škodlivý) a Alan Schoenfeld, profesor matematiky z UC Berkeley, ktorého postoj je v súlade s matematickými reformátormi. Tj. & # 8220rozumiteľné & # 8221 má okrem iného prednosť pred postupom.

Garelick a ďalší tradicionalisti sa v minulosti zmienili o San Franciscu Unified. Takmer vždy je to kritizovať politiku ôsmeho stupňa algebry I. v okrese. Cituje Boalerov článok:

& # 8220 Spoločné základné štátne normy zvýšili úroveň a presnosť matematiky ôsmeho ročníka tak, aby obsahovala obsah Algebra 1, ako aj geometrické a štatistické témy, ktoré sa predtým vyučovali na strednej škole. & # 8221

A tradicionalista nesúhlasí. Vo svojom článku nakoniec spomína seniorský ročník AP Calculus - triedu, na ktorej sa tradicionalistom skutočne záleží. Zvyšovanie prísnosti matematiky 8 tak, aby obsahovala o niečo viac algebry, je irelevantné, ak to nevedie k tomu, že by seniori absolvovali hodinu s názvom AP Calculus. A mimochodom:

Preklad: Pre tých študentov, ktorí si želajú navštevovať kalkul v 12. ročníku, môžu zdvojnásobiť matematické kurzy v 11. ročníku, aby mohli absolvovať Algebru 2 a Precalculus. Pokiaľ ide o to, čo znamenajú „koncepčne bohaté kurzy, ktoré sú prospešné pre všetkých“, hádajú ktokoľvek a # 8217.

Inými slovami, nepočíta sa to ako skutočná cesta k počtu, pokiaľ študenti nemôžu matematické štúdium absolvovať iba jedno obdobie denne, bez letnej školy, pričom vrcholovou triedou je program AP Calculus. (Súhlasím s Garelickom, že Algebra II a Pre-Calc sú pre juniorov veľmi ťažká záťaž.)

Kurz na strednej škole zahŕňa racionálne výrazy (t. J. Algebraické zlomky), polynomické delenie, faktoring, kvadratické rovnice a priame a inverzné variácie. Normy pre 8. ročník ich nezahŕňajú. Učím matematiku pre 8. ročník, ako aj stredoškolskú algebru pre žiakov 8. ročníka.

Súhlasím iba čiastočne. Obvykle považujem Common Core 8 za zhodné s prvou polovicou Algebry I. Takže faktoring a kvadratika sú témy Algebry 1B, ktoré sa v Common Core 8 neobjavujú. Čo sa týka racionálnych výrazov a polynomického dlhého delenia, tieto sa objavujú v niektorých Algebre I texty, ale mnoho učiteľov stredných škôl si ich odkladá na koniec roka a nakoniec tieto témy preskočí. Keďže Garelick uvádza, že vyučuje ôsmu algebru I, zaujímalo by ma, či učí tieto témy, a ak áno, aké hodnotenie známkami podľa abecedy získajú jeho ôsmaci z testov. (Pokiaľ ide o priamu variáciu, Garelick sa tomu venuje neskôr vo svojom príspevku.)

Všimnite si tiež, že Boaler nikdy netvrdí, že program Common Core Math 8 je prísnejší ako Algebra I. Znamená to, že program Common Core Math 8 je prísnejší ako program pred Core Core Math 8 vo väčšine štátov (iných ako Kalifornia), pre ktoré sa matematika 8 nerovná Algebra I. Common Core Math 8 je v tomto prípade dôslednejšia ako matematika 8 pred Coreom pred Cali niektoré (nie všetky) Bol pridaný obsah Algebra I. Ale je ľahké sa nechať zmiasť, pretože toto je článok v novinách Cali o okrese Cali, a preto si Garelick myslí, že sa snaží porovnať Common Core Math 8 s Cali pre-Core Math 8 (= Algebra I).

Garelick porovnáva Common Core Math s jeho obľúbeným textom Dolciani spred 50 rokov:

Voľne dopĺňam knihu pred-algebrou od Dolcianiho napísanú v 70. a 70. rokoch a ďalšie materiály. Dôraz na pomer a proporcie v 7. a 8. ročníku je skôr zdôraznený a je možné ho urobiť výstižnejšie, než aby sme sa usilovali o to, čo je priama variácia a proporčný vzťah.Tradičné kurzy Algebra 1 predstavujú priame variácie oveľa zrozumiteľnejším spôsobom ako techniku ​​& # 8220 bitie okolo buša & # 8221, ktorá definuje také vzťahy ako priamkové funkcie, ktoré prechádzajú pôvodom a ktorých sklon sa rovná & # 8220 konštantnej variácii / proporcionalita & # 8221.

Pripomeňme, že som našiel kópiu textu z roku 1970 Dolciani pri predaji kníh v knižnici. Ale v texte som nenašiel žiadnu zmienku o priamych variáciách. (Môj text sa volá „Kurz 2“ - mám podozrenie, že Garelick vo svojej triede skutočne používa „Kurz 3“.)

Pozerám sa na svoj ďalší text z 60. rokov, Moiseovu geometriu, a všimol som si to v predslove:

„V posledných rokoch sa viedli rozsiahle diskusie o obsahu kurzu geometrie, ktorý sa obvykle vyučuje v desiatom ročníku.“

Takže pre Moiseho je Geometria kurzom pre druhého ročníka, ale pre tradicionalistov, ktorí uprednostňujú texty z jeho éry, je Geometria kurzom pre začiatočníkov. Myšlienka, že by žiaci ôsmeho ročníka mali byť v Algebre I alebo seniori v Kalkulu, je dosť nedávna. Moise, Dolcianiho a ďalších autorov učebníc 60. a 70. rokov nikdy nenapadlo, že by sa mal Calculus učiť na strednej škole.

Skutočným cieľom eliminácie algebry v 8. ročníku v San Franciscu je však prekonať medzeru v dosiahnutí výsledkov, čo dokazuje posledný odsek v článku.

Tradicionalisti si neželajú preklenúť medzeru v úspechoch - namiesto toho uprednostňujú sledovanie, ktoré je presným opakom. Ak väčšina študentov v Garelickovej ôsmej triede Algebra I alebo AP Calculus je členom privilegovaných skupín (s „privilégiom“, ako ho definovala Eugenia Cheng), tak to bude.

SteveH sa vracia komentovať v tomto vlákne:

SteveH:
Zarážajúce. Prečo nevylúčiť zrovnané skupiny v K-6, ktoré používajú na diferencované vyučovanie? Pre najbežnejšieho pozorovateľa to všetko nemá zmysel. CCSS má sklon, ktorý nevedie k žiadnej náprave v univerzitnej algebre - hovoria to # 8211! & # 8211, ale Jo Boaler, et al. tvrdiť, že je normálne magicky zmeniť ten sklon na strednej škole, aby sa dostal k počtu, čo je náročná úroveň aj pre tých, ktorí dostanú algebru v 8. ročníku.

Pripomeňme, že Boalerová napísala predhovor ku knihe Number Talks, takže predpokladám, že podporuje metódy použité v tejto knihe. Jedna z jej autoriek, Cathy Humphreys, vo svojej knihe (v kapitole o zlomkoch) skutočne hovorí o kalkulu. Dovoľte mi uviesť úplný kontext:

"Jedného dňa, keď Cathy spolupracovala so žiakmi šiesteho ročníka, aby im pomohla nájsť rôzne spôsoby porovnania zlomkov, bola trieda neobvykle pasívna - a takmer mrzutá. Nakoniec sa zastavila a spýtala sa, čo sa stalo. Asi po minúte prehovoril Anthony , a aj keď to bolo pred niekoľkými rokmi, jeho slová sa jej stále vryli do pamäti: „Pani Humphreysová, mali sme zlomky v treťom a štvrtom ročníku a v piatom ročníku. Vtedy sme ich nedostali a nerobíme to“ Teraz ich nezískame - a už ich nechceme robiť! “ Vďaka tomu, že Anthony nebol schopný „dostať“ zlomky, cítil sa neúspešný - a kto chce pracovať na veciach, vďaka ktorým sa tak cítime?

"Pre úspech na strednej škole sa však nedá vyhnúť zlomkom. Študenti, ktorí sa úspešne učia zložité pojmy z algebry, trigonometrie a počtu, môžu byť zmätení zlomkom v strede rovnice."

Všimnite si, že Anthony, žiak šiesteho ročníka, nechce robiť zlomky. Oveľa radšej nechá problém nevyplnený, ako by mal odpovedať na otázku č. 1, ak obsahuje zlomok.

Vieme, aké riešenie by Cathy Humphreys a Jo Boaler odporučili - začať s Number Talks po zlomkoch. Ale Garelickovi, SteveH a ďalším tradicionalistom čokoľvek iné ako tradičná matematika zablokovalo Anthonymu prístup k AP Calc.

Dobre, tak by som rád videl, čo by urobili tradicionalisti so študentom, ako je Anthony. Jasne dáva najavo, že nechce robiť zlomky, takže predpokladajme, že odmietne odpovedať na otázku č. 1 pri tradičnom súbore p s zlomkami. Pokračujte, tradicionalisti, ukážte nám svoje kúzlo!

Lekcia 5 - 2 textu U z Chicaga sa nazýva „Typy štvoruholníkov“. V modernom treťom vydaní textu sa štvoruholníky objavujú v lekcii 6-4.

Toto som napísal pred dvoma rokmi o dnešnej lekcii:

Lekcia 5-2 textu U of Chicago sa týka rôznych druhov štvoruholníkov. V tejto časti nie sú žiadne vety, ale iba definície. Pojem definície je dôležitý pre štúdium geometrie a zatiaľ nie sú v žiadnej lekcii významnejšie ako v tejto lekcii.

Lekcia sa začína definovaním rovnobežník , kosoštvorec , obdĺžnik a námestie . So žiadnou z týchto definícií sa nestalo nič zlé. Potom však dospejeme ku kontroverznej definícii - z lichobežník :

Definícia:
Štvoruholník je lichobežník vtedy a len vtedy, ak má najmenej jeden pár paralelných strán.
(dôraz môj)

Rovnako ako pri definícii paralelne späť v lekcii 1-7, máme dve slová navyše, ktoré ju odlišujú od tradičnej definície lichobežník -- "najmenej." V iných učebniciach žiadny paralelogram nie je lichobežník, ale v texte U of Chicago každý rovnobežník je lichobežník!

Aby sme pochopili, čo sa tu deje, vráťme sa k prvému geometru, ktorý definoval niektoré pojmy v štvorstrannej hierarchii - samozrejme hovorím o Euklidovi:

Z štvoruholníkových čísel a námestie je rovnostranný aj pravouhlý podlhovastý to, čo je síce pravouhlé, ale nie rovnostranné a kosoštvorec to, čo je rovnostranné, ale nie pravouhlé a a kosodĺžnik to, ktoré má svoje protiľahlé strany a uhly navzájom rovnaké, ale nie je ani rovnostranné, ani pravouhlé. A nechajte zavolať iné štvoruholníky, ako sú tieto lichobežník.

Samozrejme, moderný výraz pre „podlhovastý“ je obdĺžnik a „kosoštvorec“ je teraz rovnobežník . Slovo „trapezia“ je v skutočnosti množné číslo „trapezium“. V britskej angličtine je „lichobežník“ to, čo by sme my Američania nazvali lichobežník , ale pre Euklida je každý štvoruholník, ktorý nie je rovnobežníkom (alebo nižšie v štvoruholníkovej hierarchii), „lichobežník“. Ale dôležitou časťou je, že napríklad pre Euklida námestie nie je ani obdĺžnik (podlhovastý), ani kosoštvorec. Dbá na to, aby povedal, že obdĺžnik (podlhovastý) nie je „rovnostranný“ a že kosoštvorec „nie je v pravom uhle“. A samozrejme, ani obdĺžnik, ani kosoštvorec nie sú rovnobežníkmi (kosodĺžnikmi).

Nazývajú sa „exkluzívne“ definície. Pre Euklida neexistovala štvoruholníková hierarchia - každá trieda štvoruholníkov bola disjunktná od ostatných. Ale od čias Euklida čoraz viac textov geometrie pomaly pridávalo viac „inkluzívnych“ definícií.

Jednou z prvých inkluzívnych definícií, ktoré som videl, bola definícia obdĺžnik . Bolo to spomenuté v epizóde televízie Square One, keď mala parodická postava Pacmana menom Mathman jesť obdĺžniky a potom zjedla štvorec, pretože „každý štvorec je obdĺžnik“. Poskytoval by som odkaz na YouTube, ale odkaz som nenašiel roky a neprišiel by pri hľadaní. (Dokonca si pamätám, že niekto v komentároch uverejnil, že rovnako ako pre mňa, aj jeho prvé stretnutie s inkluzívnou definíciou obdĺžnik bol pri sledovaní tohto klipu, keď sa prvýkrát vysielal pred toľkými rokmi!)

Ale veľa mojich členov rodiny boli tiež učitelia a jeden príbuzný mi dal starú učebnicu, ktorá stále uvádzala niektoré exkluzívne definície. Najmä deklaroval, že štvorec nie je kosoštvorec. O niečo neskôr potom môj učiteľ piateho ročníka učil inkluzívnu definíciu slova kosoštvorec . Potom som vyhladil, že štvorec nie je kosoštvorec, a potom som vlastne priniesol starý text do školy, aby som to dokázal! Odpovedala: „Páni!“ ale potom, ak si spomeniem správne, povedal mi, že táto definícia je stará a že podľa novej definície je štvorec kosoštvorec. Takže všetky moderné texty klasifikujú štvorec ako obdĺžnik aj ako kosoštvorec a že všetky tieto texty sa považujú za rovnobežníky.

Vidíme teda, že existuje tendencia k tomu, že definície budú časom pribúdať inkluzívnejšie. (Vidíme, že sa to deje aj v politike - napríklad definícia manželstvo . Ale odbočím.) A tak vidíme, že ďalším prirodzeným krokom je, aby bol rovnobežník považovaný za lichobežník.

Jeden z prvých obhajcov, ktorý som videl, pre komplexnú definíciu lichobežník je slávny princetonský matematik John H. Conway. Je známy predovšetkým tým, že vymyslel matematickú hru o život, ktorá má vlastnú webovú stránku:

Conway sa ale špecializuje aj na ďalšie oblasti matematiky, ako je geometria a teória grup (čo je v niektorých ohľadoch štúdium symetrie). Pred dvanástimi rokmi zverejnil nasledujúce informácie o tom, prečo uprednostňuje inkluzívne definície:

Uprednostňujem výlučné definície, myslím, z
čo nazývam „popisné použitie“. Jeden by, samozrejme, NEOPISOVAL
štvorcový stôl ako „obdĺžnikový“, pretože by to bolo zbytočné
z dlhodobého hľadiska sprostredkovať menej informácií. Takže pri popisnom použití
existuje prirodzený predpoklad, že tabuľka s názvom „obdĺžnikový“
v skutočnosti nebude hranatá - inými slovami, prirodzená domnienka
že výrazy sa budú používať výlučne.

Popisné použitie však nie je dôležité pre geometriu, kde
naozaj dôležitá vec je pravdivosť viet. To znamená, že my
by mal používať výraz "A" na zahrnutie "B", ak sú všetky totožnosti to
podržať pre všetky "A" bude platiť aj pre všetky "B" (spôsobom, že
veta o lichobežníkovej oblasti platí pre všetky rovnobežníky, pre
inštancia).

Mohli by ste sa obávať dôslednosti prechodu na
inkluzívne použitie, zatiaľ čo ostatní ľudia pokračujú v exkluzívnom použití.
Ale nemôže existovať súlad s ľuďmi, ktorí sú nekonzistentní!
Videl som veľa kníh o geometrii, ktoré MALI exkluzívne definície,
ale nikto, kto ich dokáže konzistentne POUŽÍVAŤ viac ako pár
vety.

Conway sa skutočne zasadzoval za to, aby sa urobil jeden krok vpred a aby sa v skutočnosti zrušil lichobežník a v hierarchii boli iba lichobežníkové rovnoramenné! Napokon, o lichobežníku, ktorý nie je rovnoramenný, sa toho veľa povedať nedá - stačí sa pozrieť na lekciu 5-5. Existuje iba jedna veta o všeobecných lichobežníkoch - veta o trapézovom uhle, a to je v skutočnosti iba veta o vnútornom uhle dôsledku tej istej strany, ktorú je možné dokázať bez odkazu na lichobežníky vôbec. Všetky ostatné vety v lekcii odkazujú na rovnoramenný lichobežníky. Konkrétne vety o symetrii v lekcii odkazujú na rovnoramenné lichobežníky. (Pripomeňme, že spoločnosť Conway sa špecializuje na teóriu skupín - čo, ako som už napísal vyššie, je štúdia symetria .) Mám podozrenie, že jediný dôvod, prečo máme všeobecné lichobežníky, je ten, že sú to najjednoduchší štvoruholník, pre ktorý možno uviesť vzorec plochy.

Toto je teraz ďalší odklon od Common Core Geometry, takže uvediem iba ďalší odkaz. Všimnite si, že tu Conway navrhuje aj a šesťuholník hierarchia založená na symetrii. Existuje tiež päťuholníková hierarchia, ale existujú iba tri typy päťuholníkov - všeobecné, čiarovo-symetrické a pravidelné - rovnako ako pre trojuholníky. Je jednoduchšie robiť čísla so párnym počtom strán symetricky.

Ďalším obhajcom inkluzívnych definícií je pán Chase, učiteľ matematiky na strednej škole v Marylande. (A nie, vo včerajšom príspevku a dnešnom mám na mysli dve rôzne Učitelia z Marylandu.) Vidím, že je tak zanietený pre inkluzívnu definíciu slova lichobežník že venoval celé tri blogové príspevky tomu, prečo nenávidí výlučnú definíciu slova lichobežník :

Jedným z dôvodov, ktoré Chase uvádza pre použitie inkluzívnych definícií, je to, že to zjednodušuje dôkazy:

Keď preukážete, že štvoruholník je lichobežník, môžete sa zastaviť, keď preukážete, že sú dve strany rovnobežné . Ale s exkluzívny definície, aby ste dokázali, že štvoruholník je lichobežník, museli by ste dokázať, že dve strany sú rovnobežné A ďalšie dve strany sú nie paralelne.

Pokiaľ ide o niektorých ďalších, o ktorých pravidelne hovorím, používa Dr. Wu inkluzívnu definíciu:

"Štvoruholník s najmenej jedným párom protiľahlých strán, ktoré sú rovnobežné, sa nazýva lichobežník. Lichobežník s dvoma pármi paralelných protiľahlých strán sa nazýva rovnobežník."

zatiaľ čo Dr. Mason používa výlučnú definíciu:

„Lichobežník je zo svojej podstaty štvoruholník presne jeden dvojica rovnobežných strán. ““
(dôraz Dr. M.)

Pre ktorú definíciu by som mal teda použiť lichobežník ? Toto je blog Common Core, takže definícia uprednostňovaná programom Common Core by mala mať prednosť pred všetkými ostatnými definíciami. Toto je odkaz na informácie, ktoré sa objavia na konci roka v hodnotení PARCC pre geometriu:

A práve tam v stĺpci „Objasnenie“ znie:

i) Lichobežník je definovaný ako štvorstranný & # 8220A s najmenej jedným párom paralelných strán. & # 8221

A to to zjavne urovná. V hodnotení spoločného jadra PARCC sa používa inkluzívna definícia lichobežník , a tak je mojou povinnosťou na blogu Common Core používať definíciu Common Core. Samozrejme si všimneme, že toto je definícia uvedená v PARCC - ale zatiaľ som nevidel žiadne informácie o tom, čo používa definícia Smarter Balanced. Bolo by tragické, keby PARCC používal jednu definíciu a Chytrejší vyvážil druhú. Ale keďže nemôžem povedať nič o Smarter Balanced, použijem jedinú definíciu, ktorá je známe absolvovať test spoločného jadra, a to je inkluzívna definícia. Skutočnosť, že túto definíciu už používa U of Chicago, je čerešničkou na torte.

Existuje jeden problém s inkluzívnou definíciou lichobežník , a práve vtedy sa pokúsime definovať rovnoramenný lichobežník . Slovo rovnoramenný naznačuje, že rovnako ako v rovnoramennom trojuholníku, má rovnoramenný lichobežník dve rovnaké strany - strany susediace s (rovnobežnými) základňami. Ale v rovnobežníku, kde za dvojice protiľahlých strán možno považovať ktorúkoľvek z dvojíc, sú strany rovnaké. To by urobilo z každého rovnobežníka rovnoramenný lichobežník. Ale to nie je žiaduce - rovnoramenný lichobežník má niekoľko vlastností, ktoré vo všeobecnosti paralelogramy chýbajú. Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké, ale rovnobežníky všeobecne nie sú. Ale uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké. Radi by sme teda považovali obdĺžniky, ale nie rovnobežníky všeobecne, za rovnoramenné lichobežníky.

[Aktualizácia 2018: Podľa starého textu Moise, ktorý som spomenul vyššie, všetky rovnobežníky sú rovnoramenné lichobežníky, zatiaľ čo žiadny drak nie je kosoštvorec. Inak sa jeho definícia lichobežníka zhoduje s U z Chicaga.]

Táto dilema je uvedená v komentároch pri jednom z odkazov Chase. Poukazuje sa na to, že z tohto neporiadku existujú dve cesty - môžeme definovať rovnoramenný lichobežník z hľadiska symetrie, ako to robí Conway, alebo môžeme použiť definíciu U z Chicaga:

„Lichobežník je rovnoramenný, len ak má dvojicu základných uhlov rovnakých v miere.“

Niektorým sa táto definícia nepáči, pretože porušuje jazykovú čistotu - slovo rovnoramenný pochádza z gréčtiny a znamená „rovnaké nohy“, nie „rovnaké uhly“. Ale ako sa ukázalo, je to malá cena, ktorú treba zaplatiť za to, aby štvorstranná hierarchia a ďalšie vety fungovali. A okrem toho každý geometer, ktorý nazýva deväťstranný polygón a nonagon mal by len sklapnúť o jazykovej čistote!

Poznámka: Pán Chase uverejnil v roku 2018 iba jeden príspevok. Všetko je to o použití čistej geometrie na preukázanie totožnosti v Trig.


Geometria, spoločný štýl jadra

To píše Theoni Pappas na jej strane 303 Kúzlo matematiky:

„Pomocou svojich vizualizačných schopností a techniky skladania určite spôsob, ako urobiť jeden priamy rez, aby sa šachovnica rozdelila na štvorce 2 * 2, ako je tento.“

Toto je druhá stránka pododdielu „Šachovnicová mánia“. Prvú stránku v tejto časti opäť zablokoval víkend.

Ale aby sme pochopili problém, nemusíme vidieť prvú stránku - a teda ani obrázky na tejto stránke. Šachovnica je štandardná 8 * 8 a žiada sa nás, aby sme ju zložili tak, že jediný rez ju rozdelí na šestnásť štvorcov 2 * 2. Pappas to popisuje ako „rozoberanie šachovnice jedným úderom“.

Ako obvykle, riešenie zverejním zajtra. Tento problém nie je vôbec ľahký - záhyby a strih, ktorý je potrebné urobiť, sú mimoriadne šikovné.

Lekcia 5 - 2 textu U z Chicaga sa nazýva „Typy štvoruholníkov“. V modernom treťom vydaní textu sa štvoruholníky objavujú v lekcii 6-4.

Toto som napísal pred dvoma rokmi o dnešnej lekcii:

Lekcia 5-2 textu U of Chicago sa týka rôznych druhov štvoruholníkov. V tejto časti nie sú žiadne vety, ale iba definície. Pojem definície je dôležitý pre štúdium geometrie a zatiaľ nie sú v žiadnej lekcii významnejšie ako v tejto lekcii.

Lekcia sa začína definovaním rovnobežník , kosoštvorec , obdĺžnik a námestie . So žiadnou z týchto definícií sa nestalo nič zlé. Potom však dospejeme ku kontroverznej definícii - z lichobežník :

Definícia:
Štvoruholník je lichobežník vtedy a len vtedy, ak má najmenej jeden pár paralelných strán.
(dôraz môj)

Rovnako ako pri definícii paralelne späť v lekcii 1-7, máme dve slová navyše, ktoré ju odlišujú od tradičnej definície lichobežník -- "najmenej." V iných učebniciach žiadny paralelogram nie je lichobežník, ale v texte U of Chicago každý rovnobežník je lichobežník!

Aby sme pochopili, čo sa tu deje, vráťme sa k prvému geometru, ktorý definoval niektoré pojmy v štvorstrannej hierarchii - samozrejme hovorím o Euklidovi:

Z štvoruholníkových čísel a námestie je rovnostranný aj pravouhlý podlhovastý to, čo je síce pravouhlé, ale nie rovnostranné a kosoštvorec to, čo je rovnostranné, ale nie pravouhlé a a kosodĺžnik to, ktoré má svoje protiľahlé strany a uhly navzájom rovnaké, ale nie je ani rovnostranné, ani pravouhlé. A nechajte zavolať iné štvoruholníky, ako sú tieto lichobežník.

Samozrejme, moderný výraz pre „podlhovastý“ je obdĺžnik a „kosoštvorec“ je teraz rovnobežník . Slovo „trapezia“ je v skutočnosti množné číslo „trapezium“. V britskej angličtine je „lichobežník“ to, čo by sme my Američania nazvali lichobežník , ale pre Euklida je každý štvoruholník, ktorý nie je rovnobežníkom (alebo nižšie v štvoruholníkovej hierarchii), „lichobežník“. Ale dôležitou časťou je, že napríklad pre Euklida námestie nie je ani obdĺžnik (podlhovastý), ani kosoštvorec. Dbá na to, aby povedal, že obdĺžnik (podlhovastý) nie je „rovnostranný“ a že kosoštvorec „nie je v pravom uhle“. A samozrejme, ani obdĺžnik, ani kosoštvorec nie sú rovnobežníkmi (kosodĺžnikmi).

Nazývajú sa „exkluzívne“ definície. Pre Euklida neexistovala štvoruholníková hierarchia - každá trieda štvoruholníkov bola disjunktná od ostatných. Ale od čias Euklida čoraz viac textov geometrie pomaly pridávalo viac „inkluzívnych“ definícií.

Jednou z prvých inkluzívnych definícií, ktoré som videl, bola definícia obdĺžnik . Bolo to spomenuté v epizóde televízie Square One, keď mala parodická postava Pacmana menom Mathman jesť obdĺžniky a potom zjedla štvorec, pretože „každý štvorec je obdĺžnik“. Poskytoval by som odkaz na YouTube, ale odkaz som nenašiel roky a neprišiel by pri hľadaní. (Dokonca si pamätám, že niekto v komentároch uverejnil, že rovnako ako pre mňa, aj jeho prvé stretnutie s inkluzívnou definíciou obdĺžnik bol pri sledovaní tohto klipu, keď sa prvýkrát vysielal pred toľkými rokmi!)

Ale veľa mojich členov rodiny boli tiež učitelia a jeden príbuzný mi dal starú učebnicu, ktorá stále uvádzala niektoré exkluzívne definície. Najmä deklaroval, že štvorec nie je kosoštvorec. O niečo neskôr potom môj učiteľ piateho ročníka učil inkluzívnu definíciu slova kosoštvorec . Potom som vyhladil, že štvorec nie je kosoštvorec, a potom som vlastne priniesol starý text do školy, aby som to dokázal! Odpovedala: „Páni!“ ale potom, ak si spomeniem správne, povedal mi, že táto definícia je stará a že podľa novej definície je štvorec kosoštvorec. Takže všetky moderné texty klasifikujú štvorec ako obdĺžnik aj ako kosoštvorec a že všetky tieto texty sa považujú za rovnobežníky.

Vidíme teda, že existuje tendencia k tomu, že definície budú časom pribúdať inkluzívnejšie. (Vidíme, že sa to deje aj v politike - napríklad definícia manželstvo . Ale odbočím.) A tak vidíme, že ďalším prirodzeným krokom je, aby bol rovnobežník považovaný za lichobežník.

Jeden z prvých obhajcov, ktorý som videl, pre komplexnú definíciu lichobežník je slávny princetonský matematik John H. Conway. Je známy predovšetkým tým, že vymyslel matematickú hru o život, ktorá má vlastnú webovú stránku:

Conway sa ale špecializuje aj na ďalšie oblasti matematiky, ako je geometria a teória grup (čo je v niektorých ohľadoch štúdium symetrie). Pred dvanástimi rokmi zverejnil nasledujúce informácie o tom, prečo uprednostňuje inkluzívne definície:

Uprednostňujem výlučné definície, myslím, z
čo nazývam „popisné použitie“. Jeden by, samozrejme, NEOPISOVAL
štvorcový stôl ako „obdĺžnikový“, pretože by to bolo zbytočné
z dlhodobého hľadiska sprostredkovať menej informácií. Takže pri popisnom použití
existuje prirodzený predpoklad, že tabuľka s názvom „obdĺžnikový“
v skutočnosti nebude hranatá - inými slovami, prirodzená domnienka
že výrazy sa budú používať výlučne.

Popisné použitie však nie je dôležité pre geometriu, kde
naozaj dôležitá vec je pravdivosť viet. To znamená, že my
by mal používať výraz "A" na zahrnutie "B", ak sú všetky totožnosti to
podržať pre všetky "A" bude platiť aj pre všetky "B" (spôsobom, že
veta o lichobežníkovej oblasti platí pre všetky rovnobežníky, pre
inštancia).

Mohli by ste sa obávať dôslednosti prechodu na
inkluzívne použitie, zatiaľ čo ostatní ľudia pokračujú v exkluzívnom použití.
Ale nemôže existovať súlad s ľuďmi, ktorí sú nekonzistentní!
Videl som veľa kníh o geometrii, ktoré MALI exkluzívne definície,
ale nikto, kto ich dokáže konzistentne POUŽÍVAŤ viac ako pár
vety.

Conway sa skutočne zasadzoval za to, aby sa urobil jeden krok vpred a aby sa v skutočnosti zrušil lichobežník a v hierarchii boli iba lichobežníkové rovnoramenné! Napokon, o lichobežníku, ktorý nie je rovnoramenný, sa toho veľa povedať nedá - stačí sa pozrieť na lekciu 5-5. Existuje iba jedna veta o všeobecných lichobežníkoch - veta o trapézovom uhle, a to je v skutočnosti iba veta o vnútornom uhle dôsledku tej istej strany, ktorú je možné dokázať bez odkazu na lichobežníky vôbec. Všetky ostatné vety v lekcii odkazujú na rovnoramenný lichobežníky. Konkrétne vety o symetrii v lekcii odkazujú na rovnoramenné lichobežníky. (Pripomeňme, že spoločnosť Conway sa špecializuje na teóriu skupín - čo, ako som už napísal vyššie, je štúdia symetria .) Mám podozrenie, že jediný dôvod, prečo máme všeobecné lichobežníky, je ten, že sú to najjednoduchší štvoruholník, pre ktorý možno uviesť vzorec plochy.

Toto je teraz ďalší odklon od Common Core Geometry, takže uvediem iba ďalší odkaz. Všimnite si, že tu Conway navrhuje aj a šesťuholník hierarchia založená na symetrii. Existuje tiež päťuholníková hierarchia, ale existujú iba tri typy päťuholníkov - všeobecné, čiarovo-symetrické a pravidelné - rovnako ako pre trojuholníky. Je jednoduchšie robiť čísla so párnym počtom strán symetricky.

Ďalším obhajcom inkluzívnych definícií je pán Chase, učiteľ matematiky na strednej škole v Marylande. (A nie, vo včerajšom príspevku a dnešnom mám na mysli dve rôzneUčitelia z Marylandu.) Vidím, že je tak zanietený pre inkluzívnu definíciu slova lichobežník že venoval celé tri blogové príspevky tomu, prečo nenávidí výlučnú definíciu slova lichobežník :

Jedným z dôvodov, ktoré Chase uvádza pre použitie inkluzívnych definícií, je to, že to zjednodušuje dôkazy:

Keď preukážete, že štvoruholník je lichobežník, môžete sa zastaviť, keď preukážete, že sú dve strany rovnobežné . Ale s exkluzívny definície, aby ste dokázali, že štvoruholník je lichobežník, museli by ste dokázať, že dve strany sú rovnobežné A ďalšie dve strany sú nie paralelne.

Pokiaľ ide o niektorých ďalších, o ktorých pravidelne hovorím, používa Dr. Wu inkluzívnu definíciu:

"Štvoruholník s najmenej jedným párom protiľahlých strán, ktoré sú rovnobežné, sa nazýva lichobežník. Lichobežník s dvoma pármi paralelných protiľahlých strán sa nazýva rovnobežník."

zatiaľ čo Dr. Mason používa výlučnú definíciu:

„Lichobežník je zo svojej podstaty štvoruholník presne jeden dvojica rovnobežných strán. ““
(dôraz Dr. M.)

Pre ktorú definíciu by som mal teda použiť lichobežník ? Toto je blog Common Core, takže definícia uprednostňovaná programom Common Core by mala mať prednosť pred všetkými ostatnými definíciami. Toto je odkaz na informácie, ktoré sa objavia na konci roka v hodnotení PARCC pre geometriu:

A práve tam v stĺpci „Objasnenie“ znie:

i) Lichobežník je definovaný ako štvorstranný & # 8220A s najmenej jedným párom paralelných strán. & # 8221

A to to zjavne urovná. V hodnotení spoločného jadra PARCC sa používa inkluzívna definícia lichobežník , a tak je mojou povinnosťou na blogu Common Core používať definíciu Common Core. Samozrejme si všimneme, že toto je definícia uvedená v PARCC - ale zatiaľ som nevidel žiadne informácie o tom, čo používa definícia Smarter Balanced. Bolo by tragické, keby PARCC používal jednu definíciu a Chytrejší vyvážil druhú. Ale keďže nemôžem povedať nič o Smarter Balanced, použijem jedinú definíciu, ktorá je známe absolvovať test spoločného jadra, a to je inkluzívna definícia. Skutočnosť, že túto definíciu už používa U of Chicago, je čerešničkou na torte.

Existuje jeden problém s inkluzívnou definíciou lichobežník , a práve vtedy sa pokúsime definovať rovnoramenný lichobežník . Slovo rovnoramenný naznačuje, že rovnako ako v rovnoramennom trojuholníku, má rovnoramenný lichobežník dve rovnaké strany - strany susediace s (rovnobežnými) základňami. Ale v rovnobežníku, kde za dvojice protiľahlých strán možno považovať ktorúkoľvek z dvojíc, sú strany rovnaké. To by urobilo z každého rovnobežníka rovnoramenný lichobežník. Ale to nie je žiaduce - rovnoramenný lichobežník má niekoľko vlastností, ktoré vo všeobecnosti paralelogramy chýbajú. Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké, ale rovnobežníky všeobecne nie sú. Ale uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké. Radi by sme teda považovali obdĺžniky, ale nie rovnobežníky všeobecne, za rovnoramenné lichobežníky.

Táto dilema je uvedená v komentároch pri jednom z odkazov Chase. Poukazuje sa na to, že z tohto neporiadku existujú dve cesty - môžeme definovať rovnoramenný lichobežník z hľadiska symetrie, ako to robí Conway, alebo môžeme použiť definíciu U z Chicaga:

„Lichobežník je rovnoramenný, len ak má dvojicu základných uhlov rovnakých v miere.“

Niektorým sa táto definícia nepáči, pretože porušuje jazykovú čistotu - slovo rovnoramenný pochádza z gréčtiny a znamená „rovnaké nohy“, nie „rovnaké uhly“. Ale ako sa ukázalo, je to malá cena, ktorú treba zaplatiť za to, aby štvorstranná hierarchia a ďalšie vety fungovali. A okrem toho každý geometer, ktorý nazýva deväťstranný polygón a nonagon mal by len sklapnúť o jazykovej čistote!

Mimochodom, pán Chase sa vrátil k vysielaniu v roku 2017, minimálne v januári až apríli. Jeho posledný príspevok je o bienále Národný matematický festival, ktorý sa koná vo Washingtone, DC.


9.7: Používanie vlastností obdĺžnikov, trojuholníkov a lichobežníkov (2. časť) - Matematika

Uvádzam Vlastnosti lichobežníkov a Vetu o strednom segmente
PRÍKLADY O 3:56 7:54 13:20

Register kurzov

  1. Namierte čiary a roviny v geometrii
  2. Viac postulátov a viet Body, čiary a roviny
  3. Segment, lúč, vzdialenosť na číselnej čiare
  4. Úvod do uhlov
  5. Špeciálne uhlové páry
  6. Segment a uhol základných konštrukcií
  7. Konštrukcie uhlových a segmentových úsečiek
  8. Dištančný vzorec a Pytagorova veta
  9. Vzorec stredného bodu
  10. Obvod rovinnej oblasti
  11. Oblasť rovinatého regiónu
  12. Deduktívne zdôvodnenie, ak potom vyhlásenia
  13. Úvod do 2 dôkazov o geometrii stĺpca
  14. Zhodné uhly
  15. Paralelné čiary a Šikmé čiary, uhly tvorené priečnym
  16. Paralelné čiary a priečne uhly
  17. Paralelné skúšanie
  18. Dôkaz rovnobežné a kolmé čiary
  19. Uhly trojuholníkov a rovnobežných čiar
  20. Grafické čiary vo forme sklonenia y = mx + b
  21. Rovnice čiar a grafov
  22. Rýchlosť zmeny sklonu a bodová rovnica sklonu čiar
  23. Rovnice rovnobežných a kolmých priamok
  24. Zhodné polygóny a veta tretieho uhla
  25. Zhodné trojuholníky SSS SAS
  26. Zhodné trojuholníky ASA AAS
  27. Vety o nezhode AAA SSA
  28. CPCTC zodpovedajúce časti zhodných trojuholníkov sú zhodné
  29. Rovnoramenné a vlastnosti rovnostranného trojuholníka
  30. Rovnostranný trojuholník / Rovnoramenný trojuholník
  31. Zhodujúce sa pravé trojuholníky Veta o hypotenuse končatín
  32. Veta o trojuholníku
  33. Veta o dokázaní stredného segmentu
  34. Veta o osi kolmej osi
  35. Veta o uhle úsečky
  36. Kolmé trojuholníky a cirkuscentrum
  37. Uholníky a zameriavač trojuholníkov
  38. Medián trojuholníkov a ťažisko
  39. Nadmorské výšky trojuholníkov a ortocentra
  40. Veta o trojuholníku nerovnosti
  41. Veta závesu Nerovnosti 2 trojuholníky
  42. Vety o mnohouholníkovom uhle
  43. Vlastnosti rovnobežníkov
  44. Preukazujúce štvoruholníky sú rovnobežníky
  45. Kosoštvorce, obdĺžniky a štvorce
  46. Ďalšie príklady Kosoštvorec a obdĺžnik
  47. Vlastnosti lichobežníkov a vety o strednom segmente
  48. Vlastnosti drakov
  49. Polygóny v rovine súradníc
  50. Pomery a proporcie
  51. Proporcie a podobné mnohouholníky / podobné údaje
  52. Preukazujúce trojuholníky sú podobné AA SAS SSS
  53. Podobnosť v pravých trojuholníkoch
  54. Veta o bočnom rozdeľovači vety v trojuholníkoch
  55. Proporcie v trojuholníku
  56. Pytagorova veta
  57. Konverzná Pytagorova veta a trojnásobok
  58. Špeciálne pravé trojuholníky 45-45-90 30-60-90
  59. Trigonometria pravouhlého trojuholníka, 1. časť: Nájdenie chýbajúcich strán
  60. Trigonometria pravouhlého trojuholníka, časť 2: Riešenie pre ostré uhly
  61. Uhol vyvýšenia a depresia Spustenie pravouhlého trojuholníka
  62. Plošné rovnobežníky a trojuholníky
  63. Area Trapezoid Rhombus Kite
  64. Oblasť pravidelného uvádzania mnohouholníkov s príkladmi šesťuholníka
  65. Pravidelné polygóny rozdeľte pomocou trigonometrie
  66. Pomery obvodov a plôch podobných čísel
  67. Úvod do kruhu a dĺžka oblúka
  68. Sektorová a segmentová oblasť v kruhoch
  69. Segmentová oblasť v kruhoch - rýchlejšie metódy
  70. Dĺžka geometrických pravdepodobností
  71. Oblasť geometrických pravdepodobností
  72. Povrch pravého hranola
  73. Povrch valca
  74. Povrch bežných príkladov nespúšťania pyramídy
  75. Povrch pyramídy s trigonometriou
  76. Povrch kužeľa
  77. Objem hranola a objem valca
  78. Objem pyramídy 3 príklady
  79. Objem kužeľa 3 príklady
  80. Plocha gule a objem gule
  81. Tangenciálne čiary ku kruhom
  82. Dostanete tangenciálnu čiaru a kruh Nájdite bod tangencie
  83. Akordové oblúky a priemery v kruhu
  84. Napísané uhly v kružniciach a dotyčniciach
  85. Uhly v kruhoch Akordy Secants Tangenty a oblúky
  86. Segmentujte dĺžky v kruhoch pomocou akordov, secantov a tangens

Popis kurzu

V tejto sérii veľmi užitočný a zábavný učiteľ matematiky, pán Tarrou, učí študentov celý kurz geometrie od začiatku do konca. Jeho videá sú priateľské, ľahko zrozumiteľné, zábavné a veľmi dobre organizované. Všetko vďaka pánovi Tarrou venuje veľkú pozornosť výučbe a mathusiasmu.


Táto sada úloh v oblasti geometrie sa zameriava na vytváranie rôznych polygónov, keď študenti riešia a premýšľajú, ako sa učia kódovať pomocou softvéru na kódovanie blokov. Študent bude musieť na splnenie zadaných úloh využiť svoje vedomosti o atribútoch polygónov a matematických princípov geometrie. Výzvy začínajú pomerne jednoducho a vedú k zložitejším situáciám, v ktorých môžu študenti skúmať svoje vlastné tempo alebo pracovať ako tím. Normy počítačovej vedy sú hladko prepojené s matematickými štandardmi a zároveň poskytujú „Vylepšite to!“ a „Vyskoč!“ príležitosti na zvýšenie prísnosti.

V tejto lekcii študenti použijú štvoruholníky a trojuholníky založené na štandardoch na navrhnutie veže na horskej dráhe. Študenti použijú proces inžinierskeho návrhu na prepracovanie procesov v tejto lekcii.

V tejto lekcii si študenti precvičia klasifikáciu a pomenovanie štvorstran. Študenti si budú robiť poznámky a pomocou nich dokončia Vennov diagram štvoruholníkov. Študenti budú vyzvaní, aby pomenovali a klasifikovali štvorstrany s použitím všetkých príslušných mien.

"Kde vo Venne sú štvorstrany?„je aktivita, ktorá pomáha študentovi lepšie pochopiť klasifikáciu dvojrozmerných figúr v hierarchii založenej na vlastnostiach.

Počas tejto aktivity si študenti prečítajú knihu o Brooklynskom moste. Po diskusii celej triedy budú deti skúmať rôzne typy mostov a údajov, aby mohli dešifrovať, ktorý most je najsilnejší. Študenti budú spolupracovať v skupinách s pridelenými študentskými rolami. Študenti využijú pri príprave riešenia myslenie vyšších rádov. Vyvrcholením aktivity je predstavenie riešenia celej triede.

Študenti skonštruujú niekoľko jednoduchých mnohostenov, potom spočítajú počet tvárí, hrán a vrcholov. Tieto údaje by mali naznačovať Eulerov vzorec.

Študent sa bude venovať aktivite tvorby papierovej roviny pri objavovaní atribútov rôznych trojuholníkov. Študenti sa naučia podobnosti a rozdiely v nasledujúcich trojuholníkoch: scalenový, rovnoramenný, rovnostranný, pravý, tupý a ostrý.


Vlastnosti obdĺžnikov, rovnobežníkov a lichobežníkov

Videá, hry, aktivity a pracovné listy, ktoré majú študentom ACT pomôcť skontrolovať vlastnosti obdĺžnikov, rovnobežníkov a lichobežníkov. Vlastnosti špeciálnych paralelogramov - kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec:
Štvorce a obdĺžniky sú špeciálne typy rovnobežníkov so špeciálnymi vlastnosťami. Štvorec je druh ekviangulárneho rovnobežníka a vlastnosti štvorca zahŕňajú kongruentné uhlopriečky a uhlopriečky, ktoré sa navzájom rozkladajú. Obdĺžnik je typ pravidelného štvoruholníka. Medzi vlastnosti obdĺžnika patria (1) uhlopriečky, ktoré sú zhodné, (2) kolmé uhlopriečky, ktoré sa navzájom rozdeľujú, a (3) uhlopriečky, ktoré rozdeľujú každý z uhlov.

Vyskúšajte bezplatnú Mathway kalkulačku a riešenie problémov nižšie, aby ste si precvičili rôzne matematické témy. Vyskúšajte uvedené príklady alebo zadajte svoj vlastný problém a overte si odpoveď pomocou podrobných vysvetlení.

Uvítame vaše pripomienky, pripomienky a otázky týkajúce sa tejto stránky alebo stránky. Odošlite svoje pripomienky alebo dotazy prostredníctvom našej stránky Spätná väzba.


Pozri si video: Obsah rovnoběžníku. Geometrie. Matematika. Khan Academy (December 2021).