Články

72: Úvod do aritmetiky komplexných čísel - matematika


72: Úvod do aritmetiky komplexných čísel - matematika

Oddiel A.3. ARITMETICKÉ ČINNOSTI KOMPLEXNÝCH ČÍSEL

Ktoré z vyššie uvedených foriem pre C v ekv. (A-1) je najlepšie použiť? Závisí to od aritmetickej operácie, ktorú chceme vykonať. Ak napríklad pridáme dve komplexné čísla, obdĺžnikový tvar v ekv. (A-1) sa najjednoduchšie používa. Sčítanie dvoch komplexných čísel, C1 = R1 + jI1 a C2 = R2 + jI2, je iba súčtom skutočných častí plus j krát súčtom imaginárnych častí ako

Obrázok A-3 je grafické znázornenie súčtu dvoch komplexných čísel pomocou koncepcie fázorov. Tu je súčet fázora C1 + C2 na obrázku A-3 (a) nový fázor od začiatku fázora C1 do konca fázora C2 na obrázku A-3 (b). Pamätajte, že R a Is môžu byť kladné alebo záporné čísla. Odčítanie jedného komplexného čísla od druhého je priame, pokiaľ zistíme rozdiely medzi dvoma reálnymi časťami a dvoma imaginárnymi časťami zvlášť. Teda

Rovnica A-11

Obrázok A-3. Geometrické znázornenie súčtu dvoch komplexných čísel.

Príkladom sčítania komplexných čísel sa zaoberáme v časti 11.3, kde sme sa venovali téme priemerovania výstupov rýchlej Fourierovej transformácie.

A.3.2 Násobenie komplexných čísel

Môžeme použiť obdĺžnikový tvar na vynásobenie dvoch komplexných čísel ako

Rovnica A-12

Ak však reprezentujeme dve komplexné čísla v exponenciálnej forme, ich súčin má jednoduchšiu formu

Rovnica A-13

pretože výsledkom násobenia je sčítanie exponentov.

Ako špeciálny prípad násobenia dvoch komplexných čísel, zmena mierky vynásobí komplexné číslo iným komplexným číslom, ktorého imaginárna časť je nula. Obdĺžnikové alebo exponenciálne tvary môžeme rovnako ľahko používať nasledovne:

Rovnica A-14

Rovnica A-15

A.3.3 Konjugácia komplexného čísla

Komplexný konjugát komplexného čísla sa získa iba zmenou znamienka imaginárnej časti čísla. Ak teda označíme C * ako komplexný konjugát čísla C = R + jI = Mej & oslash, potom je C * vyjadrené ako

Rovnica A-16

Existujú dve vlastnosti konjugátov, ktoré sa občas hodia. Po prvé, konjugát produktu sa rovná produktu konjugátu. To znamená, že ak C = C1C2, potom z rovnice. (A-13),

Rovnica A-17

Po druhé, súčin komplexného čísla a jeho konjugátu je veľkosť komplexného čísla na druhú. Je ľahké to ukázať v exponenciálnej podobe ako

Rovnica A-18

(Táto vlastnosť sa často používa pri digitálnom spracovaní signálu na určenie relatívnej sily komplexného sínusového fázora predstavovaného Mejwtom.)

A.3.4 Rozdelenie komplexných čísel

Delenie dvoch komplexných čísel je tiež vhodné pomocou foriem exponenciálu a veľkosti a uhla, ako napr

Rovnica A-19

Rovnica A-19 & # 39

Aj keď to nie je také praktické, môžeme vykonať komplexné rozdelenie v obdĺžnikovej notácii vynásobením čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom menovateľa ako

Rovnica A-20

A.3.5 Inverzia komplexného čísla

Špeciálnou formou delenia je inverzné alebo vzájomné číslo komplexného čísla. Ak C = Mej & oslash, jeho inverzná hodnota je daná vzťahom

Rovnica A-21

V obdĺžnikovom tvare je inverzná hodnota C = R + jI daná vzťahom

Rovnica A-22

Dostaneme ekv. (A-22) nahradením R1 = 1, 11 = 0, R2 = R a 12 = I v rovnici. (A-20).

A.3.6 Komplexné čísla zvýšené na mocninu

Zvýšenie komplexného čísla na určitú mocninu sa dá ľahko urobiť v exponenciálnej podobe. Ak C = Mej & oslash, tak

Rovnica A-23

Napríklad ak C = 3ej125 & deg, potom C kocka je

Rovnica A-24

Túto prílohu uzatvárame štyrmi zložitými aritmetickými operáciami, ktoré nie sú pri digitálnom spracovaní signálu veľmi bežné, a možno ich niekedy budete potrebovať.

A.3.7 Korene komplexného čísla

K-tý koreň komplexného čísla C je číslo, ktoré vynásobené k-krát vyústi do C. Exponenciálna forma C je najlepší spôsob, ako preskúmať tento proces. Keď je komplexné číslo reprezentované C = Mej & oslash, nezabudnite, že ho môže reprezentovať aj

Rovnica A-25

V tomto prípade je premenná & oslash v ekv. (A-25) je v stupňoch. Existuje k zreteľných koreňov, keď nájdeme k-tý koreň C. Pod výrazom máme na mysli korene, ktorých exponenty sú menšie ako 360 °. Tieto korene nájdeme pomocou nasledujúceho:

Rovnica A-26

Ďalej priradíme hodnoty 0, 1, 2, 3,. . ., k & ndash1 až n v ekv. (A-26), aby sme dostali korene C. Dobre, potrebujeme tu príklad! Povedzme, že hľadáme kockový (tretí) koreň C = 125ej (75 stupňov). Postupujeme nasledovne:

Rovnica A-27

Ďalej priradíme hodnoty n = 0, n = 1 a n = 2 k ekv. (A-27), aby sme dostali tri korene C. Takže tri odlišné korene sú

A.3.8 Prirodzené logaritmy komplexného čísla

Prijatie prirodzeného logaritmu komplexného čísla C = Mej & oslash je jednoduché pomocou exponenciálneho zápisu, ktorý je

Rovnica A-28

kde 0 & oslash & lt 2p. Napríklad, ak C = 12ejp / 4, prirodzený logaritmus C je

Rovnica A-29

To znamená, že e (2,485 + j0,785) = e2,485 & middot ej0,785 = 12ejp / 4.

A.3.9 Logaritmus k základni 10 komplexného čísla

Základný 10 logaritmus komplexného čísla C = Mej & oslash môžeme vypočítať pomocou

Rovnica A-30

Samozrejme e je iracionálne číslo, približne rovné 2,71828, ktorého log k základni 10 je približne 0,43429. Ak na to nezabudneme, môžeme ekv. (A-30) ako

Rovnica A-31

Vyššie uvedený príklad opakujeme s C = 12ejp / 4 a pomocou ekv. (A-31) aproximácia, základný 10 logaritmus C je

Pre druhé volebné obdobie výsledku v ekv. (A-30) sme použili logá (xn) = n & middotlogax podľa zákona o logaritmoch.

Rovnica A-32

Výsledok z ekv. (A-32) to znamená

Rovnica A-33

A.3.10 Prihláste sa do bázy 10 komplexného čísla pomocou prirodzených logaritmov

Niektoré softvérové ​​matematické balíčky bohužiaľ nemajú žiadnu základnú logaritmickú funkciu a môžu vypočítať iba prirodzené logaritmy. V tejto situácii jednoducho použijeme

Rovnica A-34

vypočítať základný 10 logaritmus x. Pomocou tejto zmeny základného vzorca nájdeme základný 10 logaritmus komplexného čísla C = Mej & oslash, čo je,

Rovnica A-35

Pretože log10 (e) je približne rovné 0,43429, používame ekv. (A-35) uviesť to

Rovnica A-36

Opakovaním vyššie uvedeného príkladu C = 12ejp / 4 sa ekv. (A-36) aproximácia nám umožňuje vziať základný 10 logaritmus C pomocou prírodných logov ako


Príklady

Predtým ste sa pýtali, ako uvažovať o absolútnej hodnote komplexného čísla. Dobrým spôsobom, ako premýšľať o absolútnej hodnote pre všetky čísla, je definovať ju ako vzdialenosť od čísla k nule. V prípade komplexných čísel, kde jednotlivé čísla sú skutočne súradnicami v rovine, je pôvodom nula.

Vypočítajte nasledujúci výkon ručne a použite svoju kalkulačku na podporu svojej práce.

(( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) cdot ( sqrt <3> +2 i) )

TI-84 je možné prepnúť do imaginárneho režimu a potom vypočítať presne to, čo ste práve urobili. Upozorňujeme, že kalkulačka poskytne desatinnú aproximáciu pre (- 9 sqrt <3> ).

Zjednodušte nasledujúci zložitý výraz.

Ak chcete pridať zlomky, musíte nájsť spoločného menovateľa.

Nakoniec pomocou konjugátu vylúčte imaginárnu zložku od menovateľa.

Zjednodušte nasledujúce komplexné číslo.

Pri zjednodušovaní zložitých čísel by (i ) nemalo mať silu väčšiu ako 1. Sily (i ) sa opakujú v štvordielnom cykle:

Preto stačí určiť, kde je rok 2013 v cykle. Za týmto účelom určte zvyšok, keď rok 2013 vydelíte štyrmi. Zvyšok je 1, takže (i ^ <2013> = i ).

Vyneste nasledujúce komplexné číslo na komplexnú rovinu súradníc a určite jeho absolútnu hodnotu.

Boky pravého trojuholníka sú 5 a (12, ), ktoré by ste mali rozpoznať ako Pytagorejov

trojitá s preponou 13. (| -12 + 5 i | = 13 ).

Zjednodušte nasledujúce komplexné čísla.

Pre každú z nasledujúcich položiek zakreslite komplexné číslo na rovinu komplexnej súradnice a


Základné informácie o komplexných číslach

Na základe rozprávania v Cut-the-Knot poskytujem svojim študentom krátku históriu číselného systému, ktorý v súčasnosti používame. Na podporu diskusie nakreslím na tabuľu diagram ako komplexné čísla Vennov diagram. Pri uvádzaní príbehu zdôrazňujem, že názvy rôznych číselných skupín poukazujú na skepsu, ktorá obklopovala ich užitočnosť. Myslím si, že to mojim študentom pomôže prekonať vlastnú skepsu v otázke užitočnosti imaginárnych čísel.

Moji študenti ešte nemajú dostatok matematických základov na to, aby skutočne pochopili užitočnosť komplexných čísel, ale snažím sa im dať intuíciu, že komplexné čísla sú užitočné pri reprezentácii veličín, ktoré majú dve časti. Napríklad v jednoduchom počítačovom programe môže pridanie komplexného čísla posunúť objekt súčasne doprava aj hore. Rovnako hovorím svojim študentom, že pretože operácie so zložitými číslami majú využitie v počítačovej animácii, vlnovej teórii, kvantovej mechanike, elektrine a ďalších oblastiach, učíme sa základy týchto operácií v Algebre 2 [MP4].


Groovy neposkytuje žiadne vstavané zariadenie na komplexnú aritmetiku. Podporuje však preťaženie aritmetického operátora. Nie je teda príliš ťažké zostaviť pomerne robustnú, úplnú a intuitívnu komplexnú číselnú triedu, ako napríklad:

Nasledujúci ComplexCategory trieda umožňuje úpravu regulárneho Číslo správanie pri interakcii s Zložité.

Všimnite si tiež, že toto riešenie liberálne využíva úplnú podporu Unicode od Groovy, vrátane podpory neanglických abeced použitých v identifikátoroch.

Testovací program (zmieša metódy ComplexCategory do triedy Number):


Aritmetika so zložitými číslami

Ahoj, som v Jave nováčik, & # x27ve som sa pokúsil, ale tu som uviazol. Veľmi by som ocenil, ak mi s tým pomôžete! Budujem projekt, ktorý bude v budúcnosti referenciou, ak sa niekedy dostanem do kontaktu s problémom súvisiacim s aritmetikou. Vopred ďakujem.

Vytvorte triedu nazvanú Komplex na vykonávanie aritmetiky so zložitými číslami. Komplexné čísla majú formu

realPart + imaginaryPart * i

kde i je druhá odmocnina z -1

Na vyjadrenie súkromných údajov triedy použite premenné s pohyblivou rádovou čiarkou. Poskytnite konštruktor, ktorý umožňuje inicializáciu objektu tejto triedy, keď je deklarovaný.

Vytvorte dva zložité objekty s hodnotou (9.5, 7.7) a (1.2, 3.1).

Ak nie sú poskytnuté žiadne inicializátory, poskytnite konštruktoru bez argumentov predvolené hodnoty. Poskytnite verejné metódy, ktoré vykonávajú nasledujúce operácie:

a) Pridajte dve komplexné čísla: Skutočné časti sa sčítajú a imaginárne časti sa sčítajú. Ak teda máme (a + bi) + (c + di)), výsledok by mal byť (a + c) + (b + d) i.

b) Odčítajte dve komplexné čísla: Skutočná časť pravého operandu sa odpočíta od skutočnej časti ľavého operandu a imaginárna časť pravého operandu sa odpočíta od imaginárnej časti ľavého operandu. Ak teda máme (a + bi) - (c + di)), výsledok by mal byť (a - c) + (b - d) i.

c) Vynásobte dve komplexné čísla: Skutočná časť výsledku je skutočná časť pravého operandu vynásobí skutočnú časť ľavého operandu mínus imaginárna časť pravého operandu vynásobí imaginárnu časť ľavého operandu. Pomyselná časť výsledku je skutočná časť ľavého operandu vynásobí imaginárnu časť ľavého operandu plus imaginárna časť ľavého operandu vynásobí skutočnú časť pravého operandu. Ak teda máme (a + bi) * (c + di)), výsledkom by malo byť (ac - bd) + (ad + bc) i.

d) Delenie dva Komplexné čísla: Nastavíme hodnotu štvorca reálnej časti menovateľa plus štvorca imaginárnej časti menovateľa je A. Skutočná časť výsledku je skutočná časť čitateľa vynásobí skutočnú časť menovateľa plus imaginárna časť čitateľa vynásobí imaginárnu časť menovateľa a vydelí sa A. Pomyselná časť výsledku je skutočná časť ľavého operandu vynásobí imaginárnu časť ľavého operandu plus imaginárna časť ľavého operandu vynásobí skutočnú časť súčasť pravého operandu. Ak teda máme (a + bi) / (c + di)), výsledok by mal byť (ac + bd) + i (bc-ad)) / (c2 + d2).

e) Tlačte komplexné čísla v tvare (a, b), kde a je skutočná časť ab je imaginárna časť.


Oddiel A.2. ARITMETICKÉ ZASTÚPENIE KOMPLEXNÝCH ČÍSEL

Rovnice (A-1 & # 39 & # 39) a (A-1 & # 39 & # 39 & # 39) nám pripomínajú, že komplexné číslo C možno považovať aj za špičku fázora v komplexnej rovine s veľkosťou M v smere stupňov & oslash vzhľadom na kladnú skutočnú os, ako je znázornené na obrázku A-2. (Vyhneme sa tomu, aby sme fázor M nazývali vektorom, pretože výraz vektor znamená rôzne veci v rôznych kontextoch. V lineárnej algebre je vektor výraz používaný na označenie jednorozmernej matice. Na druhej strane v strojárstve a teórii poľa, vektory sa používajú na označenie veličín a smerov, ale existujú vektorové operácie (skalárny alebo bodový súčin a vektor alebo krížový súčin), ktoré sa na našu definíciu fázora nevzťahujú.) Vzťahy medzi premennými na tomto obrázku sledujú štandardná trigonometria pravouhlých trojuholníkov. Pamätajte, že C je komplexné číslo a premenné R, I, M a & oslash sú všetky reálne čísla. Veľkosť C, niekedy nazývaná modul C, je

Rovnica A-2

a, podľa definície, fázový uhol alebo argument C je arkustangensom I / R alebo

Rovnica A-3

Premenná & oslash v ekv. (A-3) je všeobecný uhlový pojem. Môže mať rozmery stupňov alebo radiánov. Samozrejme môžeme prevádzať tam a späť medzi stupňami a radiánmi pomocou p radiánov = 180 °. Ak je teda & oslashr v radiánoch a & oslashd v stupňoch, potom môžeme & oslashr previesť na stupne výrazom

Rovnica A-4

Rovnako môžeme výraz & konvertovať & oslashd na radiány

Rovnica A-5

Exponenciálna forma komplexného čísla má zaujímavú charakteristiku, ktorú si musíme uvedomiť. Zatiaľ čo iba jediný výraz v obdĺžnikovom tvare môže opísať jediné komplexné číslo, nekonečný počet exponenciálnych výrazov môže opísať jediné komplexné číslo, ktoré je, zatiaľ čo v exponenciálnom tvare môže byť komplexné číslo C reprezentované výrazom C = Mej & oslash, môžu byť tiež reprezentované

Rovnica A-6

kde n = & plusmn1, & plusmn2, & plusmn3,. . . a & oslash je v radiánoch. Keď je & oslash v stupňoch, ekv. (A-6) je vo forme

Rovnica A-7

Rovnice (A-6) a (A-7) sú takmer samozrejmé. Označujú, že bod na komplexnej rovine predstavovanej špičkou fázora C zostáva nezmenený, ak otočíme fázor o nejaký integrálny násobok 2p radiánov alebo integrálny násobok 360 °. Napríklad, ak C = Mej (20 stupňov), potom

Rovnica A-8

Premenná & oslash, uhol fázora na obrázku A-2, nemusí byť konštantný. Často sa stretneme s výrazmi obsahujúcimi komplexnú sínusoidu, ktorá má podobu

Rovnica A-9

Rovnica (A-9) predstavuje fázor veľkosti M, ktorého uhol na obrázku A-2 sa lineárne zvyšuje s časom rýchlosťou w radiánov každú sekundu. Ak w = 2p, fázor opísaný v ekv. (A-9) sa otáča proti smeru hodinových ručičiek rýchlosťou 2p radiánov za sekundu & mdashone otáčky za sekundu & mdash a preto sa w nazýva radiánska frekvencia. Pokiaľ ide o frekvenciu, ekv. (A-9) fázor & # 39s sa otáča proti smeru hodinových ručičiek pri w = 2pf radiánoch za sekundu, kde f je cyklická frekvencia v cykloch za sekundu (Hz). Ak je cyklická frekvencia f = 10 Hz, fázor rotuje 20p radiánov za sekundu. Rovnako aj výraz

Rovnica A-9 & # 39

predstavuje fázor veľkosti M, ktorý sa otáča v smere hodinových ručičiek okolo pôvodu komplexnej roviny pri negatívnej radiánovej frekvencii & ndashwských radiánov za sekundu.


Matematika (MATH)

Navštívte Sprievodcu prenosom BC - bctransferguide.ca - informácie o prevode kurzu v B.C.

Študenti si osvoja výpočtové schopnosti a koncepčné porozumenie algebry, funkcií a grafov potrebných na prechod k pokročilejšiemu uvažovaniu v matematike. Budú študovať rovnice, nerovnosti, grafy, funkcie, trigonometriu v pravom uhle a aplikácie pri riešení problémov.

Požiadavky: Úroveň E1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky.

Študenti si osvoja koncepčné porozumenie a výpočtové schopnosti, ktoré poskytnú solídny základ pre štúdium počtu. Budú študovať funkcie, ich grafy a ich aplikácie pri riešení problémov. Budú študovať najmä polynomické, racionálne, exponenciálne, logaritmické a trigonometrické funkcie. Rozvinú svoju schopnosť používať a chápať pojmy a jazyk matematiky

Požiadavky: Úroveň C1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti zosumarizujú a zobrazia údaje a urobia závery o proporciách, priemeroch a štandardných odchýlkach pre jednu a dve populácie. Študenti zosumarizujú a zobrazia údaje, nájdu intervaly spoľahlivosti a vykonajú testy hypotéz pre proporcie, priemery a štandardné odchýlky pre jednu a dve populácie, veľké aj malé. Budú tiež vykonávať regresnú analýzu a určovať pravdepodobnosti.

Požiadavky: Úroveň C1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti budú študovať štruktúru a vývoj matematiky z pohľadu nematematika. Budú študovať historický materiál o vývoji klasických matematických myšlienok, ako aj o vývoji a štruktúre novšej matematiky, aby získali ocenenie historického a súčasného matematického myslenia. Toto je prieskumný kurz matematiky pre študentov, ktorí majú minimálne matematické vzdelanie a ktorých hlavné záujmy ležia mimo prírodných vied. Tento kurz je možné použiť na čiastočné splnenie kvantitatívnych požiadaviek na titul BA. Nemusí sa používať ako predpoklad ďalších kurzov matematiky.

Požiadavky: Úroveň E1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti budú študovať algebraické koncepty a metódy, ktoré využijú pri riešení všeobecných a environmentálnych problémov. Budú študovať základnú geometriu a trigonometriu, ako aj funkcie (polynomické, racionálne, exponenciálne a logaritmické).

Požiadavky: Úroveň E1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti sa naučia rozlišovať algebraické a elementárne transcendentné funkcie a tieto zručnosti aplikovať na grafy, maximá a minima, súvisiace rýchlosti a priamočiary pohyb. Osvoja si parametrické krivky a ich diferenciálny počet. Študenti, ktorí majú kredit za MATH 1130, už tento kurz nemôžu získať.

Požiadavky: Úroveň A1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti budú študovať diferenciálny počet a jeho aplikácie v biologických vedách. Budú študovať najmä limity a diferenciáciu algebraických a elementárnych transcendentných funkcií s aplikáciami na grafy a optimalizáciu. Študenti, ktorí majú kredit za MATH 1120, si nemôžu vziať ďalší MATH 1130 za ďalší kredit.

Požiadavky: Úroveň B1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti si osvoja zručnosti pri riešení matematických úloh. Budú študovať výrokovú a kvantifikovateľnú logiku a tieto vedomosti uplatnia pri riešení problémov a elementárnej teórii množín vrátane vzťahov a funkcií.

Požiadavky: Úroveň C1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti budú študovať diferenciáciu algebraických a elementárnych transcendentných funkcií a tieto zručnosti aplikovať pri tvorbe grafov, hľadaní maxím a minimov a riešení problémov v obchodných, ekonomických a spoločenských vedách. Študenti tiež študujú čiastkové deriváty prvého a druhého rádu

Požiadavky: Úroveň B1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky

Študenti budú riešiť sústavy lineárnych rovníc a študovať algebru matíc, determinantov, invertibility, vlastných čísel a vlastných vektorov, diagonalizovateľnosti a systémov lineárnych obyčajných diferenciálnych rovníc (ODE). Budú študovať geometriu euklidovského priestoru, bodové a krížové produkty, aritmetiku komplexných čísel, exponenciály komplexných čísel a komplexnú rovinu. Študenti použijú počítačový algebraický systém na riešenie problémov v maticovej algebre.

Požiadavky: Jeden z: MATH 1120, MATH 1130 (C +), MATH 1140 (B-), MATH 1230 alebo MATH 1240

Študenti budú študovať teóriu a aplikácie aritmetiky, geometrie a analýzy dát (štatistika). Tento kurz je určený pre študentov plánujúcich kariéru učiteľa na základnej škole.

Požiadavky: Úroveň E1 podľa tabuľky matematických alternatív a 9 kreditov za kurzy na úrovni 1100 alebo vyššej.

Študenti študujú matematické princípy, metódy a štruktúry používané vo výtvarnom umení. Budú študovať euklidovskú a neeuklidovskú geometriu, symetriu, nakláňanie v rovine, fraktálnu geometriu a perspektívu. Poznámka: tento kurz nemusí byť nevyhnutným predpokladom ďalších kurzov matematiky.

Požiadavky: Úroveň E1, ako je definované v tabuľke alternatív matematiky.

Študenti sa naučia integrovať algebraické a elementárne transcendentné funkcie a aplikovať tieto zručnosti na príslušné problémy. Ďalej sa naučia základnú vetu počtu, integrálny počet parametrických kriviek, Taylorove polynómy, postupnosti a rady a jednoduché diferenciálne rovnice.

Študenti budú študovať integrálny počet a jeho aplikácie v biologických vedách. Budú predovšetkým študovať techniky integrácie vrátane integrácie pomocou častí a parciálnych zlomkov diferenciálnych rovníc vrátane systémov lineárnych diferenciálnych rovníc a matematických modelov v biologických vedách.

Študenti budú študovať systémy lineárnych rovníc, matíc, determinantov, vlastných čísel a vektorov, bodové produkty, krížové produkty, Gram-Schmidtov proces, vektorové a skalárne projekcie, priamky a roviny v euklidovskom priestore. Študenti budú študovať aj vektorové priestory vrátane všeobecných vektorových priestorov a podpriestorov, lineárnu nezávislosť, preklenovacie množiny, bázy a lineárne transformácie. Študenti budú písať jednoduché dôkazy.

Požiadavky: Jeden z nasledujúcich: MATH 1120 (C) alebo MATH 1130 (C +) alebo MATH 1140 (B-) alebo MATH 1220 (C) alebo MATH 1230 (C) alebo MATH 1240 (C)

Študenti budú študovať úvodnú pravdepodobnosť a štatistiku na základe počtu. Budú študovať koncepty vrátane náhodnosti, pravdepodobnosti, rozdelenia pravdepodobnosti pre diskrétne a spojité náhodné premenné, deskriptívnej štatistiky, viacnásobného rozdelenia, zákonov očakávania, funkcií náhodných premenných, štatistickej inferencie a testovania hypotéz. Študované rozdelenia budú zahŕňať binomálne, normálne, geometrické, hypergeometrické, exponenciálne a Poissonovo rozdelenie.

Požiadavky: Jeden z: MATH 1220, MATH 1230, MATH 1240

Študenti budú študovať kalkul troch dimenzií. Budú študovať vektory, priamky, roviny, valce a povrchy vektorových funkcií, priestorové krivky a pohyb v priestore a diferenciálny a integrálny počet funkcií viacerých premenných. Študenti študujú optimalizáciu vrátane Lagrangeových multiplikátorov. Budú študovať obdĺžnikové, polárne, valcové a sférické súradnicové systémy. Študenti sa oboznámia s aplikovanými problémami a využitím systému počítačovej algebry.

Požiadavky: Jeden z: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C +), MATH 1240 (B-)

Študenti budú študovať teóriu, ktorá je základom počtu. Budú predovšetkým študovať reálne čísla, limity sekvencií, limity funkcií, kontinuitu a naučia sa, ako zostrojiť dôkazy zahŕňajúce tieto pojmy.

Požiadavky: Jeden z MATH 1220, MATH 1230 (C +), MATH 1240 (B-) alebo MATH 2232

Študenti sa naučia štatistické techniky a ich aplikácie v biologických vedách. Budú študovať popisnú štatistiku, elementárnu pravdepodobnosť, rozdelenie pravdepodobnosti, najmä binomické, normálne rozdelenie t a chí-kvadrát, intervaly spoľahlivosti a testovanie hypotéz pre priemerné hodnoty populácie a proporcie, ako aj rozdiely v priemerných hodnotách a proporciách populácie. Študenti tiež študujú lineárnu regresiu a test chí-kvadrát dobrej zhody. Študenti, ktorí majú kredit za MATH 2341, si nemôžu vziať ďalší MATH 2335 za ďalší kredit.

Študenti sa naučia štatistické techniky a ich aplikácie v podnikaní a ekonomike. Budú študovať popisnú štatistiku, elementárnu pravdepodobnosť, náhodné premenné, distribúcie vzorkovania, lineárnu regresiu, koreláciu, odhad a testovanie hypotéz. Naučia sa tiež, ako aplikovať štatistický softvér na popisnú a inferenčnú štatistiku. Študované distribúcie budú zahŕňať binomálne, normálne, t- a chí-kvadrát distribúcie. Študenti, ktorí majú kredit za MATH 2335, si nemôžu vziať ďalší MATH 2341 za ďalší kredit.

Požiadavky: Úroveň C1, ako je definované v tabuľke matematických alternatív, a 9 kreditov z kurzov na úrovni 1100 alebo vyššej.

Študenti študujú základné techniky diskrétnej matematiky vrátane metód logiky, formálneho uvažovania, indukcie, rekurzie, počítania, funkcií a vzťahov, modulárnej aritmetiky a štruktúr, ako sú grafy a stromy.

Požiadavky: CPSC 1103 a jeden z nasledujúcich: MATH 1120, MATH 1130 alebo MATH 1140

Študenti využijú redukciu riadkov na riešenie sústav lineárnych rovníc. Budú študovať algoritmy násobenia matíc, inverzie, transpozície, determinanty, vlastné hodnoty a vlastné vektory a diagonalizáciu a tieto zručnosti aplikovať na praktické problémy. Budú študovať geometriu euklidovského priestoru. Budú študovať aritmetiku, exponenciály a logaritmy komplexných čísel a pomocou nich budú riešiť rôzne aplikované problémy vo fyzike a inžinierstve. Študenti použijú počítačový algebraický systém na riešenie problémov v maticovej algebre.

Študenti študujú princípy viacrozmerného a vektorového počtu. Budú študovať povrchy, parciálne derivácie, gradienty a viacnásobné integrály v polárnych, valcových a sférických súradnicových systémoch. Študenti tiež študujú deriváty funkcií s vektorovou hodnotou, diferenciálne operátory, lineárne integrály a Greenovu vetu, povrchové integrály vrátane divergenčných a Stokesových viet, konzervatívne polia a potenciály s dôrazom na aplikácie.

Študenti sa naučia rôzne techniky a metódy užitočné v aplikovanej matematike. Budú študovať gama funkciu a hyperbolické trigonometrické funkcie. Študenti preskúmajú výkonové rady a Frobeniove rady metód riešenia bežných diferenciálnych rovníc vrátane vybraných dôležitých diferenciálnych rovníc v matematickej fyzike. Ďalej budú študovať Sturm-Liouvilleove problémy a ortogonálne rady. Poskytne sa stručný úvod do parciálnych diferenciálnych rovníc a separácie premenných.

Študenti budú študovať a implementovať teórie súvisiace s výučbou matematiky. Preveria a preskúmajú súčasné a minulé postupy výučby matematiky. Dokončia projekt, ktorý spája teóriu s praxou a vypracujú portfólio písomnej práce. Študenti budú musieť aplikovať teóriu na aktivity ako doučovanie matematiky, asistencia v učebni alebo príprava učebných osnov.

Požiadavky: Jeden z: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Poznámka: Odporúča sa EDUC 2220 (C).

Študenti navrhnú a implementujú programy MATLAB a Maple na riešenie problémov z matematiky a aplikácií matematiky. Osvoja si matematické spracovanie textu pomocou LaTeXu. Študenti musia mať prenosný počítač schopný spúšťať softvér podľa pokynov inštruktora.

Požiadavky: Všetky: a) CPSC 1103 a MATH 2321 b) MATH 1152 alebo 2232 ac) jeden z MATH 1115, 2315, 2335 alebo 2341

Študenti študujú základnú štruktúru matematiky vrátane matematickej symboliky, úvod do teórie množín a úvod do logiky. Rozvinú porozumenie metódam dokazovania a ocenenie štruktúry matematiky.

Požiadavky: MATH 2232 (C) a jeden z: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C +) alebo MATH 1240 (B-).

Študenti budú študovať základné pojmy a výsledky teórie skupín. Budú študovať skupiny a podskupiny, Lagrangeovu vetu, homomorfizmy, normálne podskupiny, skupiny faktorov, Cauchyovu vetu a priame produkty.

Požiadavky: Obaja (a) MATH 1220, MATH 1230 (C +) alebo MATH 1240 (B-) a (b) MATH 2232.

Študenti budú študovať komplexné čísla, funkcie komplexných čísel, analytické funkcie, Cauchy-Riemannovy rovnice, elementárne funkcie, obrysovú integráciu, Cauchyho integrálnu vetu a vzorec, sériové zastúpenie analytických funkcií, póly a zvyšky s aplikáciami vo fyzike a inžinierstve.

Študenti budú študovať euklidovskú a inú geometriu a zostavovať geometrické dôkazy a objekty. Aplikujú geometrické pojmy a úvahy na praktické problémy.

Požiadavky: MATH 2232 (C) a jeden z nasledujúcich: MATH 1220 (C), 1230 (C +) alebo 1240 (B-)

Študenti sa oboznámia so štandardnými technikami viacnásobnej regresnej analýzy. Budú študovať jednoduchú regresiu, ANOVA, distribúciu viac premenných, analýzu zvyškov a všeobecné lineárne modely a ich úlohu vo výskume.

Požiadavky: 15 kreditov z kurzov na úrovni 1100 alebo vyššej a jeden z: MATH 1115, MATH 2335, MATH 2341 alebo MATH 2315.

Študenti budú študovať počet vektorovo hodnotných funkcií a vektorové polia. Budú študovať deriváty funkcií s vektorovou hodnotou, reťazové pravidlo, Jacobians a invertibilitu, diferenciálne operátory, lineárne integrály a Greenovu vetu, povrchové integrály vrátane divergencie a Stokesovej vety, nezávislosť cesty a konzervatívne polia a potenciály.

Požiadavky: MATH 2321 (C) a jeden z: MATH 2232 (C), MATH 1152 (C)

Študenti budú študovať riešenie diferenciálnych rovníc prvého poriadku, lineárnych diferenciálnych rovníc druhého poriadku s konštantnými koeficientmi, Laplaceových transformácií, systémov lineárnych diferenciálnych rovníc a aplikácií diferenciálnych rovníc. Študenti tiež budú používať počítačový algebrický systém.

Podmienky: [Matematický 2232 (C) alebo Matematický 1152 (C)] a [MATH 1220 (C) alebo MATH 1230 (C +) alebo MATH 1240 (B-)]

Študenti študujú vlnovú rovnicu, tepelnú rovnicu, Laplaceovu rovnicu a ďalšie klasické rovnice matematickej fyziky. Budú študovať charakteristické krivky, riešenia tepelných a vlnových rovníc na nekonečnej, polo nekonečnej a konečnej priamke, Fourierove rady, Laplaceove transformácie a numerické riešenia pomocou konečných rozdielov.

Študenti budú študovať aspekty dejín matematiky od jej počiatkov pri riešení konkrétnych problémov cez vývoj abstrakcie a presnosti v devätnástom a začiatkom dvadsiateho storočia. Preskúmajú a analyzujú rast myšlienok a kontext, v ktorom sa vyvinuli, s dôrazom na matematiku vyučovanú na strednej škole a prvé dva roky vysokoškolského štúdia.

Požiadavky: MATH 2232 (C) a jeden z: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C +), MATH 1240 (B-)

Študenti preskúmajú teórie a trendy v matematickom vzdelávaní. They will survey significant historical, philosophical, psychological and societal factors influencing the development of mathematics education as a field of inquiry, and will critically examine and discuss current theories and research in mathematics instruction. They will investigate problem solving, reasoning and communication in mathematics.

Prerequisite(s): One of: MATH 2232 (C), MATH 2321 (C), MATH 2331 (C), MATH 2410 (C). Note: EDUC 2220 (C) is recommended.

Students will study the following topics: divisibility, properties of types of integer numbers, primes, congruences, Diophantine equations, primitive roots, and quadratic residues.

Prerequisite(s): Both (a) MATH 1220, MATH 1230 (C+) or MATH 1240 (B-), and (b) MATH 2232.

Students will study the fundamental concepts and results of point-set (general) topology. They will study sets, relations and functions, order, cardinality, Axiom of Choice, topological spaces, bases and subbases, continuity and homeomorphisms, metric spaces, countability and compactness.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and MATH 2331 (C) and one of the following: MATH 1220 (C), 1230 (C+), or 1240 (B-)

Students will study mathematical modelling and data analysis for biological systems. They will focus on developing and analysing dynamic models of biological systems and processes. They will study the mathematics of population dynamics, models of metabolic processes, genomics and epidemiology.

Students will study the theory and practical application of numerical methods for approximating solutions of linear and nonlinear problems. They will study solutions to nonlinear equations, interpolation and splines, numerical differentiation and integration, solution of initial and boundary value problems, and error sources and analysis. Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study the formation, analysis, and interpretation of mathematical models drawn from the physical, biological, economic, and social sciences. They will study continuous and discrete, deterministic and stochastic models. Students will use techniques such as differential and difference equations, matrix analysis, optimization, simple stochastic processes, and numerical methods. NOTE: Students are required to have a portable computer able to run software as designated by the instructor.

Students will study a particular advanced topic in mathematics, depending upon student interest and faculty availability. Note: Students may take this course multiple times for further credit on different topics.

Prerequisite(s): MATH 2232 (C) and one of: MATH 1220 (C), MATH 1230 (C+), MATH 1240 (B-)

Students will complete a substantial research project under the supervision of an instructor. They will identify relevant sources of information, in the form of a literature search and review, and submit a final paper investigating a research question. Students will present their project and research results.


Quotable Mathematics

"√-1 is take for granted today. No serious mathematician would deny that it is a number. Yet it took centuries for √-1 to be officially admitted to the pantheon of numbers. For almost three centuries, it was controversial mathematicians didn't know what to make of it many of them worked with it successfully without admitting its existence. […] Primarily for cognitive reasons. Mathematicians simply could not make it fit their idea of what a number was supposed to be. A number was supposed to be a magnitude. √-1 is not a magnitude comparable to the magnitudes of real numbers. No tree can be √-1 units high. You cannot owe someone √-1 dollars. Numbers were supposed to be linearly ordered. √-1 is not linearly ordered with respect to other numbers." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"From a formal perspective, much about complex numbers and arithmetic seems arbitrary. From a purely algebraic point of view, i arises as a solution to the equation x^2+1=0. There is nothing geometric about this - no complex plane at all. Yet in the complex plane, the i-axis is 90° from the x-axis. Why? Complex numbers in the complex plane add like vectors. Why? Complex numbers have a weird rule of multiplication […]" (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"[…] i is not a real number-not ordered anywhere relative to the real numbers! In other words, it does not even have the central property of ‘numbers’, indicating a magnitude that can be linearly compared to all other magnitudes. You can see why i has been called imaginary. It has almost none of the properties of the small natural numbers-not subitizability, not groupability, and not even relative magnitude. If i is to be a number, it is a number only by virtue of closure and the laws of arithmetic." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)

"The complex plane is just the 90° rotation plane-the rotation plane with the structure imposed by the 90° Rotation metaphor added to it. Multiplication by i is "just" rotation by 90°. This is not arbitrary it makes sense. Multiplication by-1 is rotation by 180°. A rotation of 180° is the result of two 90° rotations. Since i times i is -1, it makes sense that multiplication by i should be a rotation by 90°, since two of them yield a rotation by 180°, which is multiplication by -1." (George Lakoff & Rafael E Nuñez, "Where Mathematics Come From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, 2000)


Sťažnosť DMCA

Ak sa domnievate, že obsah dostupný prostredníctvom webových stránok (ako je definované v našich Podmienkach služby) porušuje jedno alebo viac vašich autorských práv, oznámte nám to písomným oznámením („Oznámenie o porušení“) obsahujúcim nižšie popísané informácie určené osobe. agent uvedený nižšie. Ak Varsity Tutors podnikne kroky v reakcii na Oznámenie o porušení, bude sa v dobrej viere snažiť kontaktovať stranu, ktorá takýto obsah sprístupnila, pomocou najnovšej e-mailovej adresy, ak takáto strana poskytuje Varsity Tutors.

Vaše oznámenie o porušení môže byť postúpené strane, ktorá sprístupnila obsah, alebo tretím stranám, ako je napríklad ChillingEffects.org.

Vezmite prosím na vedomie, že budete zodpovední za škody (vrátane nákladov a poplatkov za právne zastúpenie), ak podstatne nepravdivo vyhlásite, že produkt alebo činnosť porušuje vaše autorské práva. Ak si teda nie ste istí, že obsah umiestnený na alebo prepojený s webovou stránkou porušuje vaše autorské práva, mali by ste najskôr zvážiť kontaktovanie právnika.

Ak chcete podať oznámenie, postupujte podľa týchto pokynov:

Musíte zahrnúť nasledujúce položky:

Fyzický alebo elektronický podpis vlastníka autorských práv alebo osoby oprávnenej konať v ich mene Identifikácia autorských práv, ktoré boli údajne porušené Popis povahy a presného umiestnenia obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, v dostatočnom rozsahu detail to allow Varsity Tutors to find and positively identify that content, napríklad požadujeme odkaz na konkrétnu otázku (nielen na názov otázky), ktorá obsahuje obsah a popis konkrétnej časti otázky - obrázok, obrázok odkaz, text atď. - vaša sťažnosť sa týka vášho mena, adresy, telefónneho čísla a e-mailovej adresy a vášho vyhlásenia: (a) že v dobrej viere veríte, že použitie obsahu, o ktorom tvrdíte, že porušuje vaše autorské práva, je neautorizované zákonom alebo vlastníkom autorských práv alebo agentom tohto vlastníka; b) všetky informácie uvedené vo vašom oznámení o porušení sú presné; a c) pod trestom za krivú prísahu ste buď vlastník autorských práv alebo osoba oprávnená konať v ich mene.

Zašlite svoju sťažnosť nášmu určenému zástupcovi na adrese:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, suita 300
St. Louis, MO 63105


Pozri si video: Matematika.. Úvod Do Komplexných a Imaginárnych Čísel (December 2021).