Články

68: Riešenie rovníc dokončením štvorca - matematika


68: Riešenie rovníc dokončením štvorca - matematika

Príklad 1: Nižšie uvedenú rovnicu vyriešte pomocou metódy dokončovania štvorca.

Presuňte konštantu na pravú stranu rovnice, pričom x -termy držte vľavo. Môžem to urobiť tak, že odčítam obe strany o 14.

Ďalej identifikujte koeficient lineárneho člena (iba x -term), ktorý je

Vezmite toto číslo, vydeľte ho 2 a zarovnajte ho.

Pridajte <<81> nad 4> na obidve strany rovnice a potom zjednodušte.

Trinomiál na ľavej strane vyjadrte ako štvorcový dvojčlen.

Zoberte druhé odmocniny na oboch stranách rovnice, aby ste vylúčili silu 2 zátvoriek. Uistite sa, že ste ku konštantnému výrazu pripojili symbol plus alebo mínus (pravá strana rovnice).

Vyriešte problém s & # 8220 x & # 8221 pridaním oboch strán o <9 nad 2>.

Nájdite dve hodnoty & # 8220 x & # 8221 zvážením dvoch prípadov: pozitívny a negatívny.

Preto sú konečné odpovede = 7 a = 2. Tieto dve hodnoty x môžete spätne nahradiť pôvodnou rovnicou na kontrolu.

Príklad 2: Nižšie uvedenú rovnicu vyriešte pomocou metódy dokončovania štvorca. .

Odčítajte 2 od oboch strán kvadratickej rovnice, aby ste vylúčili konštantu na ľavej strane.

Rozdeľte 8 na 2 a zarovnajte ich na štvorce.

Pridajte 16 na obe strany rovnice.

Ľavú stranu vyjadrte ako štvorec dvojčlenu.

Vezmite odmocniny oboch strán.

Nájdite dve hodnoty & # 8220 x & # 8221 zvážením dvoch prípadov: pozitívny a negatívny.

Príklad 3: Nižšie uvedenú rovnicu vyriešte pomocou techniky dokončovania štvorca.

Vylúčte konštantu - 36 na ľavej strane pridaním 36 na obidve strany kvadratickej rovnice.

Celú rovnicu vydelíme koeficientom termín, ktorý je 6. Znížte zlomok na najnižší termín.

Určte koeficient lineárneho člena.

Tento koeficient vydelíme 2 a zarovnáme.

Pridajte tento výstup na obe strany rovnice. Pri sčítaní alebo odčítaní zlomkov buďte opatrní.

Vyslovte trojčlen na ľavej strane ako dokonalý štvorcový dvojčlen. Potom vyriešte rovnicu tak, že najskôr vezmete druhé odmocniny na oboch stranách. Nezabudnite pripojiť symbol plus alebo mínus na druhú odmocninu konštantného člena na pravej strane.

Dokončite to odpočítaním oboch strán znakom << <23> nad 4 >>. Mali by ste získať dve hodnoty & # 8220 x & # 8221 kvôli & # 8220plus alebo mínus & # 8221.

Konečné odpovede sú = <1 nad 2> a = - 12 .

Príklad 4: Nižšie uvedenú rovnicu vyriešte pomocou techniky dokončovania štvorca.

Krok 1: Vylúčte konštantu na ľavej strane a potom celú rovnicu vydelte - , 3.

Krok 2: Zoberte koeficient lineárneho člena, ktorý je <2 nad 3>. Rozdeľte ho na 2 a zarovnajte ho na štvorce.

Krok 3: Pridajte hodnotu nájdenú v kroku č. 2 na obidve strany rovnice. Potom spojte frakcie.

Krok 4: Vyslovte trojčlen na ľavej strane ako štvorec dvojčlenu.

Krok 5: Vezmite druhé odmocniny na oboch stranách rovnice. Nezabudnite pripojiť symbol & # 8220plus alebo mínus & # 8221 k druhej odmocnine konštanty na pravej strane. Zjednodušte radikál.

Krok 6: Vyriešte x tým, že odčítate obe strany o <1 nad 3>. Mali by ste mať dve odpovede z dôvodu & # 8220plus alebo mínus & # 8221.


Riešenie kvadratických rovníc doplnením štvorca

Nie som fanúšikom výučby kvadratickej formule na riešenie koreňov kvadratických rovníc, pretože samotný pohľad na odpornú formulu stačí na to, aby si študenti želali, aby boli vo svojej triede algebry neviditeľní. Naozaj, kto chce mať do činenia sNie všetky kvadratické rovnice sa dajú samozrejme vyriešiť faktoringom. Tu je príklad, ako sa snažím vyriešiť situáciu. Pred kvadratikou študenti riešili lineárne rovnice. Takže ak ich požiadate o riešenie, je pravdepodobné, že použijú rovnakú techniku, ktorú sa naučili už skôr, a to znamená, že uvedú všetko X& # 8216s na jednej strane rovnice a konštanty na druhej strane. Nebudú myslieť na faktorizáciu výrazu vľavo, aj keď predtým vykonali stovky faktoringových cvičení. Pre nich je factoring ďalším spôsobom, ako reprezentovať algebraický výraz, a je to skutočne tak. Riešenie rovnice znamená nájsť hodnotu x a na základe ich predchádzajúcich skúseností je technikou kladenie x na jednu stranu. Takže to urobia:

Študenti sa pokúsia uhádnuť a skontrolovať, kým nenájdu hodnoty x, vďaka ktorým bude rovnica pravdivá. Túto techniku ​​budú naďalej používať, kým im nedáte niečo podobné, čo spôsobí, že postup bude veľmi zdĺhavý. Bude to čas na to, aby ich prinútili premýšľať o tom, aké ľahké by bolo, keby tá strana, kde sú x & # 8217, bola dokonalým štvorcom ako kde + alebo dovnútra, aby mali +. Teraz je teda problém urobiť zo strany dokonalý štvorec. Vizuálne znázornenie rovnice bude užitočné. Študenti by nemali mať problém uvažovať o obdĺžniku ako o vizuálnej reprezentácii produktu.

Ľavá strana zjavne nie je štvorec. Spôsob, ako jednu vyrobiť, je odrezať polovicu štvornásobnej plochy. Ale robí to neúplné štvorec!

Poďme to dokončiť pridaním štvorca 2 x 2. Pre udržanie rovnováhy pridávame rovnaké množstvo na pravú stranu.

Teraz by to malo byť ľahké vyriešiť X extrakciou koreňa a použitím vlastností rovnosti.

Verím, že tento proces bude mať zmysel viac ako použitie kvadratického vzorca. Študenti si vzorec iba zapamätajú bez pochopenia. Na druhý deň si tiež nebudú pamätať kúsok z toho. Nehovorím, že kvadratická fomula nie je úplne užitočná. Jednou z jeho aplikácií je použitie pravidla Cosine Rule pre nejednoznačný prípad.

Mali by ste sa najskôr naučiť metódu factoringu? Verím, že je najlepšie oboznámiť študentov s metódou dokončovania štvorca ako prvého (samozrejme s vizuálom). Akonáhle sa študenti tohto postupu dostanú do kontaktu, prvou vecou, ​​ktorú odhodia, je nakreslenie obdĺžnika a štvorca a urobia to len mentálne. Neskôr ich môžete požiadať, aby preskúmali štruktúru kvadratických rovníc, kde už nie je potrebné prenášať konštanta na druhej strane. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou faktoringu je preto skratka, ktorú by si študenti mali odvodiť z postupu dokončovania štvorca.

Každý nový postup by mal súvisieť s predtým naučeným postupom alebo by malo ísť o vylepšenie prvého. To je môj dôvod, prečo si myslím, že proces, ktorý som popísal vyššie, je prirodzenou postupnosťou procesu riešenia lineárnej rovnice, ktorú sa už študenti naučili. Ďalším dôvodom je, že väčšina problémov, s ktorými sa študenti pri kvadratickej rovnici stretávajú, má skôr formu než. Napríklad & # 8220Dve čísla sa líšia o 4 a ich súčin je 3. Aké sú dve čísla? & # 8221 Hlavným dôvodom samozrejme je, že bude vždy fungovať pre všetky kvadratické rovnice. Vyriešte vizuál.

Tiež som vyvinul applety geogebra Completeing the Square Solver a Quadratic Equation Solver, ktoré som zverejnil v AgIMat. Môžete ich použiť na riešenie kvadratických rovníc a na skúmanie ich koreňov.


68: Riešenie rovníc dokončením štvorca - matematika

Riešenie rovníc plnením štvorca

Začnime s prečo robíme to pred čímkoľvek. Existuje niečo ako dokonalý štvorcový trojuholník. To znamená, že výraz s tromi členmi je možné zohľadniť tak, že sa rovná jednému binomickému (2 členy) na druhú. Ľahšie to pochopíme na niekoľkých príkladoch:

(x ^ 2 + 6x + 9 ) je rovnaké ako ((x + 3) ^ 2 )

(3 + 3 = 6 ) (stredný termín) a (3 centerdot3 = 9 ) (posledný termín)

(x ^ 2 - 8x + 16 ) je rovnaké ako ((x - 4) ^ 2 )

(- 4 + -4 = -8 ) (stredné obdobie) a (- 4 centerdot-4 = 16 ) (posledné obdobie)

Tento faktoring je užitočný pri pokuse o zmenšenie alebo vyriešenie problému ako je tento.

Dobre, takže keď už sme pri tom, dokončením štvorca sa transformuje výraz, ktorý nie je dokonalý, do podoby, ktorá je!

Začnime iba tým, že zistíme chýbajúci kúsok, ktorý by dokončil štvorec. Všimli ste si v uvedených príkladoch nejaké vzory? Odkiaľ zobrali tie 3 v prvom príklade? Čo tak 4 v druhom?

Na doplnenie štvorca vydeľte číslo „x“ dvomi a potom toto číslo zaokrúhlite, aby ste našli posledný výraz.

Čo by sa rovnalo „c“? (x ^ 2 + 12x + c )

12 delené dvoma je 6 a 6 na druhú je 36, takže (c = 36! )

Čo by sa rovnalo „c“? (x ^ 2 + 5x + c )

Tentokrát 5 delené 2 je 2,5 a 2,5 na druhú je 6,25. Ak to chcete urobiť v zlomkovej forme, nechajte to ako ( frac <5> <2> ) a ( frac <5> <2> ) na druhú je ( frac <25> <4> ) ( štvorček čitateľa a menovateľa.)

Wow. Ten bol chaotický. Čo keby kúsok nebol chýba ale namiesto toho ten trojčlen nebol len dokonalým štvorcom? Chceme ho premeniť na dokonalú štvorcovú trojčlenku! Začíname s:

Toto nie je dokonalý štvorcový trojuholník, pretože polovica z 10 je 5 a 5 na druhú je 25, ale namiesto toho je tam -75. To, čo robíme, je presunúť 75 na druhú stranu rovnice, takže ju pridať na obe strany.

Rozhodli sme sa, že 25 bude chýbajúcim kúskom, aby bol tento trojčlen dokonalý, takže poďme sem dostať aj týchto 25, ale musíme ho pridať na obe strany, aby sme rovnicu nezmenili.

Teraz môžeme tieto informácie použiť na zmenu ich formy a riešenie!

Vezmite druhú odmocninu z oboch strán. Pamätajte, že sa delí medzi kladnú a zápornú odpoveď.

Nižšie môžete Stiahnuť ▼ niektoré zadarmo matematické pracovné listy a precvičovanie.


Kvadratika: Rýchle zhrnutie

V tejto sérii som veľa nehovoril o kvadratike, ale chcel som sa touto témou zaoberať, takže predpokladám, že viete, že kvadratika sú algebraické rovnice, kde výraz s najvyššou silou je 2.

Pamätajte, že keď grafujeme a kvadratický dostaneme a parabola, alebo graf v tvare U (alebo obrátený U).

Niekedy graf v tvare písmena U pretína horizontálnu os x a keď je to tak, radi nájdeme hodnoty x tam, kde sa pretínajú (a aj keď to tak nie je, radi by sme týchto mužov vyriešili, jednoducho im hovoríme zložité korene namiesto toho). Tieto hodnoty x majú veľa mien. Niektorí ľudia im hovoria korene, volajú ich iní nuly, a niektorí im jednoducho hovoria riešenia.

Teraz existuje veľa techník na hľadanie koreňov a v závislosti od rovnice sú niektoré metódy jednoduchšie ako iné. Riešiť môžeme grafom, faktoringom, kvadratickým vzorcom alebo doplnením štvorca.


Otvorené zdroje pre Community College Algebra

V tejto časti sa naučíme, ako „doplniť štvorec“ kvadratickým výrazom. Táto téma je užitočná pri riešení kvadratických rovníc a uvádzaní kvadratických funkcií do vrcholovej formy.

Obrázok 13.3.1. Alternatívne video lekcie

Pododdiel 13.3.1 Riešenie kvadratických rovníc dokončením štvorca

Keď máme rovnicu ako ((x + 5) ^ 2 = 4 text <,> ), môžeme ju rýchlo vyriešiť pomocou vlastnosti druhá odmocnina:

Metóda umožňuje nám vyriešiť akýkoľvek kvadratická rovnica využívajúca vlastnosť druhej odmocniny.

Predpokladajme, že máte malý kvadratický výraz vo forme (x ^ 2 + bx text <.> ). Môže byť zobrazený ako tvar „L“, ako na obrázku 13.3.2.

„Chýbajúci“ štvorec v pravom hornom rohu obrázku 13.3.2 je ( frac<2> ) na každej strane, takže jej plocha je ( vľavo ( frac<2> right) ^ 2 text <.> ) To znamená, že ak máme (x ^ 2 + bx ) a pridáme ( left ( frac<2> right) ^ 2 text <,> ) „dokončujeme“ väčší štvorec.

Fakt 13.3.3. Termín, ktorý dokončuje námestie.

Pre polynóm (x ^ 2 + bx text <,> ) je konštantný člen potrebný na vytvorenie dokonalého štvorcového trojuholníka ( highlight < left ( frac<2> vpravo) ^ 2> text <.> )

Postup 13.3.4. Dokončenie námestia.

Kvadratickú rovnicu zjednodušenú do tvaru (x ^ 2 + bx = c text <,> ) vyriešime pre (x ) vyplnením štvorca,

Pomocou Faktu 13.3.3 nájdite číslo, ktoré chcete pridať na obe strany rovnice, aby sa ľavá strana stala dokonalým štvorcom. Toto číslo je vždy ( highlight < left ( frac<2> vpravo) ^ 2> text <.> )

Pridajte toto číslo na obe strany (x ^ 2 + bx = c ), aby ste získali

Ľavá strana je teraz dokonalý štvorec, ktorý sa počíta ako (x ^ 2 + bx + vľavo ( frac<2> vpravo) ^ 2 = vľavo (x + frac<2> right) ^ 2 text <,> ), takže sa stane rovnica

Zvyšnú rovnicu vyriešte pomocou vlastnosti Square Root.

Príklad 13.3.5.

Vyriešte kvadratickú rovnicu (x ^ 2 + 6x = 16 ) dokončením štvorca.

Kvôli vyriešeniu kvadratickej rovnice (x ^ 2 + 6x = 16 text <,> ) na ľavej strane môžeme štvorec doplniť pridaním ( left ( frac<2> right) ^ 2 text <> ) všimnite si, že (b = 6 ) v tomto prípade robí ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<6> <2> right) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 text <.> ) Pre zachovanie rovnosti ho pridávame na obe strany.

Teraz, keď sme dokončili druhú mocninu, môžeme rovnicu vyriešiť pomocou vlastnosti druhá odmocnina.

Teraz sa pozrime na postup dokončovania štvorca, keď je kvadratická rovnica uvedená v štandardnom tvare.

Príklad 13.3.6.

Vyriešte (x ^ 2-14x + 11 = 0 ) vyplnením štvorca.

Vidíme, že polynóm na ľavej strane nie je dokonalý trojuholník štvorca, takže štvorec musíme dokončiť. Odčítame (11 ) z oboch strán, aby sme mohli pridať chýbajúci člen vľavo.

Ďalej nasleduje krok dokončenia. Musíme pridať správne číslo na obe strany rovnice, aby bola ľavá strana dokonalým štvorcom. Pamätajte, že Fakt 13.3.3 hovorí, že musíme použiť ( left ( frac<2> vpravo) ^ 2 ). V našom prípade (b = -14 text <,> ) takže ( doľava ( frac<2> ight)^2=left(frac<-14> <2> right) ^ 2 = 49 )

Kontrolný bod 13.3.7.

Doteraz bola hodnota (b ) rovnomerná zakaždým, čo robí ( frac<2> ) celé číslo. Keď je (b ) nepárne, nakoniec pridáme zlomok na obe strany. Tu je príklad.

Príklad 13.3.8.

Vyplňte štvorec, ktorý chcete vyriešiť za (z ) v (z ^ 2-3z-10 = 0 text <.> )

Najskôr presuňte konštantný člen na pravú stranu rovnice:

Ďalej, aby sme vyplnili štvorec, musíme nájsť správne číslo, ktoré je možné pridať na obe strany. Podľa Faktu 13.3.3 musíme hodnotu (b ) vydeliť (2 ) a výsledok potom umocniť, aby sme našli správne číslo. Najskôr vydeľte (2 text <:> )

a potom výsledok umocníme:

Teraz môžeme pridať ( frac <9> <4> ) z rovnice (13.3.2) na obe strany rovnice, aby sme vyplnili štvorec.

Teraz, aby sme vzali do úvahy zdanlivo komplikovaný výraz vľavo, stačí vedieť, že by sa malo vždy počítať pomocou čísla z prvého kroku procesu dokončovania štvorca, rovnice (13.3.1).

V každom z predchádzajúcich príkladov sa hodnota (a ) rovnala (1 text <.> ). To je nevyhnutné, aby náš vzorec pre chýbajúci výraz fungoval. Keď sa (a ) nerovná (1 ), vydelíme obe strany znakom (a text <.> ) Pozrime sa na príklad.

Príklad 13.3.9.

Vyplňte štvorec ( r) v (2r ^ 2 + 2r = 3 ).

Pretože existuje vedúci koeficient (2 text <,> ), vydelíme obe strany znakom (2 text <.> )

Ďalej dokončujeme štvorec. Pretože (b = 1 text <,> ) prvý,

a potom, druhá, to máme

Takže pridáme ( frac <1> <4> ) z rovnice (13.3.4) na obe strany rovnice:

Tu nezabudnite, že vždy zohľadňujeme počet nájdený v prvom kroku dokončenia štvorca, rovnica (13.3.3).

Pododdiel 13.3.2 Odvodenie kvadratického vzorca dokončením štvorca

V časti 7.2 sme sa dozvedeli Kvadratický vzorec. Možno by vás zaujímalo, odkiaľ vzorec pochádza, a keď už vieme, ako štvorec dokončiť, môžeme ho odvodiť. Vyriešime štandardnú tvarovú rovnicu (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) pre (x text <.> )

Najskôr odčítame (c ) z oboch strán a obidve strany vydelíme (a text <.> )

Ďalej dokončíme štvorec tak, že zoberieme polovicu stredného koeficientu a zarovnáme ho. Najprv,

a potom druhé mocniny, ktoré máme

Pridáme ( frac<4a ^ 2> ) z rovnice (13.3.6) na obe strany rovnice:

Pamätajte, že ľavá strana vždy ovplyvňuje hodnotu, ktorú sme našli v rovnici (13.3.5). Takže máme:

Aby sme našli spoločného menovateľa vpravo, vynásobíme (4a ) v čitateľovi a menovateľom druhého člena.

Teraz, keď sme dokončili štvorec, vidíme, že (x ) - hodnota vrcholu je (- frac<2a> text <.> ) Toto je vrcholný vzorec. Ďalej vyriešime rovnicu pomocou vlastnosti odmocniny na nájdenie Kvadratického vzorca.

To nám ukazuje, že riešenia rovnice (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) sú ( frac <-b pm sqrt> <2a> text <.> )

Pododdiel 13.3.3 Umiestnenie kvadratických funkcií do formy vrcholu

V časti 13.2 sme sa dozvedeli o vrcholnej forme paraboly, ktorá nám umožňuje rýchlo načítať súradnice vrcholu. Teraz môžeme použiť metódu dokončovania štvorca na vloženie kvadratickej funkcie do vrcholového tvaru. Doplnenie štvorca funkciou je trochu iné ako pri rovnici, začneme teda príkladom.

Príklad 13.3.10.

Napíšte vzorec vo vrcholovej podobe pre funkciu (q ) definovanú (q (x) = x ^ 2 + 8x )

Vzorec je v tvare (x ^ 2 + bx text <,> ), takže musíme pridať ( left ( frac<2> vpravo) ^ 2 ) na doplnenie štvorca o Fakt 13.3.3. Keď sme mali rovnicu, mohli sme pridať rovnaké množstvo na obe strany. Teraz však nechceme meniť ľavú stranu, pretože sa snažíme skončiť vzorcom, ktorý stále hovorí (q (x) = ldots text <.> ). Namiesto toho pridáme a odčítať výraz z pravej strany v záujme zachovania rovnosti. V tomto prípade,

Pre zachovanie rovnosti obaja dodávame a odčítať (16 ) na rovnakej strane rovnice. Je funkčne to isté ako pridanie (0 ) napravo, ale (16 ) umožňuje faktorovať výraz konkrétnym spôsobom:

Teraz, keď sme dokončili štvorec, je naša funkcia vo vrcholnej podobe. Vrchol je ((- 4, -16) text <.> ) Jedným zo spôsobov, ako overiť, či je naša práca správna, je vytvoriť graf pôvodnej verzie funkcie a skontrolovať, či je vrchol tam, kde má byť.

Pozrime sa na funkciu, ktorá má konštantný člen, a uvidíme, ako doplniť štvorec.

Príklad 13.3.12.

Napíšte vzorec vo vrcholovom tvare pre funkciu (f ) definovanú (f (x) = x ^ 2-12x + 3 )

Na doplnenie štvorca musíme na pravej strane sčítať a odčítať ( left (- frac <12> <2> right) ^ 2 = (- 6) ^ 2 = 36 ).

V prvých dvoch príkladoch sa (a ) rovnalo (1 text <.> ) Keď sa (a ) nerovná jednému, máme ďalší krok. Pretože pracujeme s výrazom, kde chceme zachovať ľavú stranu ako (f (x) = ldots text <,> ), nemôžeme obidve strany rozdeliť (a text <.> ) faktor (a ) z prvých dvoch výrazov. Pozrime sa na príklad toho.

Príklad 13.3.13.

Napíšte vzorec vo vrcholovej forme pre funkciu (g ) definovanú (g (x) = 5x ^ 2 + 20x + 25 )

Skôr ako dokončíme štvorec, z prvých dvoch výrazov vyberieme faktor ( highlight <5> ).

Teraz dokončíme štvorec v zátvorkách sčítaním a odčítaním ( left ( frac <4> <2> right) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 text <.> )

Všimnite si, že konštanta, ktorú sme odčítali, je v zátvorkách, ale nebude súčasťou našej dokonalej štvorcovej trojčlenky. Aby sme ho dostali von, musíme ho vynásobiť (5 text <.> ) Distribuujeme (5 ) k tomuto výrazu, aby sme ho mohli kombinovať s vonkajším výrazom.

Tu je príklad, ktorý obsahuje zlomky.

Príklad 13.3.14.

Napíšte vzorec vo vrcholovej forme pre funkciu (h ) definovanú (h (x) = - 3x ^ 2-4x- frac <7> <4> )

Najskôr z prvých dvoch výrazov vyberieme vedúci koeficient.

Ďalej dokončíme štvorec pre (x ^ 2 + frac <4> <3> x ) vo vnútri zoskupovacích symbolov sčítaním a odčítaním správneho čísla. Aby sme našli toto číslo, vydelíme hodnotu (b ) dvoma a výsledok vydelíme druhou mocninou. Vyzerá to takto:

Sčítaním a odčítaním hodnoty z rovnice (13.3.8) máme:

Pamätajte, že pri dokončovaní štvorca by mal výraz vždy zodpovedať číslu nájdenému v prvom kroku procesu dokončovania štvorca, rovnice (13.3.7).

Vrchol je ( left (- frac <2> <3>, - frac <5> <12> right) text <.> )

Vyplnenie štvorca sa dá použiť aj na nájdenie minima alebo maxima v aplikácii.

Príklad 13.3.15.

V príklade 5.4.16 sme sa dozvedeli, že ročný príjem umelca Tyroneho z obrazov je možné modelovať pomocou (I (x) = - 100x ^ 2 + 1000x + 20000 text <,> ), kde (x ) je číslo krát zvýši cenu za jeden obraz o 20,00 dolárov. Ako by mal Tyrone nastaviť svoju cenu za maľbu, aby maximalizoval svoj príjem? Nájdite maximum dokončením štvorca.

Nájsť maximum je v podstate to isté ako nájsť vrchol, ktorý nájdeme po dokončení štvorca. Aby sme vyplnili štvorec pre (I (x) = - 100x ^ 2 + 1000x + 20000 text <,> ), začneme vynásobením (- 100 ) z prvých dvoch výrazov:

Ďalej doplníme štvorec pre (x ^ 2-10x ) sčítaním a odčítaním ( left (- frac <10> <2> right) ^ 2 = (- 5) ^ 2 = highlight < 25> text <.> )

začať I (x) amp = -100 doľava (x ^ 2-10x addright <25> subtractright <25> vpravo) +20000 amp = -100 doľava ( highlight < doľava ( nezvýrazniť) right)> - 25 right) +20000 amp = -100 highlight < left ( unflightlight right)> - left (100 cdot-25 right) +20000 amp = -100 (x-5) ^ 2 + 2500 + 20000 amp = -100 (x-5) ^ 2 +2 250 end

Vrcholom je bod ((5,22500) text <.> ) To znamená, že Tyrone by mal zvýšiť cenu za maľbu ( substitút <5> ) krát, čo je ( substitút <5> cdot20 = 100 ) dolárov. Predal by (100-5 ( substitút <5>) = 75 ) obrazov. To by znamenalo, že cena za jeden obraz bude (200 + 100 = 300 ) dolárov a jeho ročný príjem z obrazov by podľa tohto modelu dosiahol 22 500 dolárov.

Pododdiel 13.3.4 Ručné zobrazovanie kvadratických funkcií

Teraz, keď vieme, ako dať kvadratickú funkciu do vrcholovej formy, poďme si prečítať, ako graficky znázorniť parabolu ručne.

Príklad 13.3.16.

Vytvorte graf funkcie (h ) definovanej ako (h (x) = 2x ^ 2 + 4x-6 ) algebraickým určením jej hlavných znakov.

Na začiatok si všimneme, že táto funkcia sa otvára smerom nahor, pretože vedúci koeficient (2 text <,> ) je kladný.

Teraz môžeme dokončiť štvorec, aby sme našli vrchol. Z prvých dvoch výrazov vyberieme faktor (2 ) a potom sčítame a odčítame ( left ( frac <2> <2> right) ^ 2 = 1 ^ 2 = highlight <1> ) napravo.

Vrchol je ((- 1, -8) ), takže osou symetrie je priamka (x = -1 text <.> )

Ak chcete nájsť intercept (y ), nahradíme (x ) znakom (0 ) alebo prečítame hodnotu (c ) z funkcie v štandardnom tvare:

Intercept (y ) - je ((0, -6) ) a jeho symetrický bod nájdeme v grafe, ktorým je ((- 2, -6) text <.> )

Ďalej nájdeme vodorovné úseky. Vidíme tieto funkčné faktory, takže napíšeme faktorizovaný tvar, aby sme dostali vodorovné intercepty.

(X ) - zachytené sú ((1,0) ) a ((- 3,0) text <.> )

Teraz nakreslíme všetky kľúčové body a nakreslíme parabolu.

Príklad 13.3.18.

Napíšte vzorec vo vrcholovej forme pre funkciu (p ) definovanú (p (x) = - x ^ 2-4x-1 text <,> ) a algebraicky nájdite kľúčové vlastnosti grafu. Potom načrtnite graf.

V tejto funkcii je vedúci koeficient záporný, takže sa bude otvárať smerom nadol. Aby sme vyplnili štvorec, najprv z prvých dvoch výrazov vyberieme faktor (- 1 ).

Teraz pridáme a odčítame správne číslo na pravej strane funkcie: ( left ( frac<2> ight)^2=left(frac<4> <2> right) ^ 2 = 2 ^ 2 = highlight <4> text <.> )

Vrchol je ((- 2,3) ), takže osou symetrie je priamka (x = -2 text <.> )

Nájdeme intercept (y ) - pri pohľade na hodnotu (c text <,> ), ktorá je (- 1 text <.> ), Takže (y ) - intercept je ((0, -1) ) a jeho symetrický bod nájdeme v grafe, ((- - 4, -1) text <.> )

Pôvodný výraz (- x ^ 2-4x-1 text <,> ) sa nezohľadňuje tak, aby sme našli zachytené súbory (x ) - musíme nastaviť (p (x) = 0 ) a doplňte štvorec alebo použite kvadratický vzorec. Pretože sme práve prešli procesom dokončenia štvorca vyššie, môžeme pomocou tohto výsledku uložiť niekoľko opakujúcich sa krokov.

Odchytávky (x ) - sú približne ((- 3,7,0) ) a ((- 0,3,0) text <.> ) Teraz môžeme vykresliť všetky body a nakresliť parabolu.

Čítanie otázok 13.3.5 Čítanie otázok

Pre výraz (y = x ^ 2 + 10x-9 text <,> ) vysvetlite slovami, aký je ďalší krok na doplnenie štvorca.


Riešenie kvadratickej úpravy dokončením štvorca - koncepcia

Carl učil matematiku na vyššej úrovni na niekoľkých školách a v súčasnosti vedie vlastnú doučovateľskú spoločnosť. Vsádza, že jeho lásku k intenzívnym outdoorovým aktivitám nikto neprekoná!

Riešenie kvadratiky môže byť ťažké. Dokončenie štvorca je jednou z metód riešenia kvadratickej rovnice. Kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť tiež faktorovaním pomocou druhej odmocniny alebo kvadratického vzorca. Riešenie kvadratických rovníc doplnením štvorca bude vždy fungovať pri riešení kvadratických rovníc a je dobrým nástrojom na opasok s matematickými nástrojmi.

Riešenie kvadratickej rovnice dokončením štvorca. Takže už vieme, ako využiť tieto vlastnosti druhej odmocniny na riešenie kvadratickej oblasti. Takže ak sme niekedy dostali rovnicu s niečím už na druhú, všetko, čo chceme urobiť, je izolovať tento výraz, takže v tomto prípade sa x-3 na druhú rovná 5. Vezmeme druhú odmocninu oboch strán. Takže nakoniec skončíme s x-3 sa rovná plus alebo mínus odmocnina 5. Pamätajte, že kedykoľvek použijete druhú odmocninu ako nástroj, musíme zahrnúť plus alebo mínus. Potom vyriešime pre x, len aby sme pridali 3 na obe strany, takže nám x bude rovné 3 plus alebo mínus root 5, dobre.
Vlastnosť druhá odmocnina je teda skutočne šikovná vlastnosť, keď máme niečo na druhú, dobre? Problém je v tom, že vždy nemáme niečo na druhú, dobre? Pôjdeme teda k ďalšiemu príkladu, kde použijeme toto doplnenie štvorca, aby sme ho dostali v tejto podobe. Dobre.
To, čo tiež chceme urobiť, je zmeniť tento problém na druhú, dobre? Prvý krok, ktorý chceme urobiť, je izolovať všetkých našich x výrazov dohromady. Čo teda chceme urobiť, je odpočítať 10 od x na druhú plus 8x sa rovná -10. Dobre. Takže teraz chcem tento kúsok zmeniť na niečo štvorčekované, dobre? X na druhú a 8x sú pevné. Nemôžem ich zmeniť. Dobre? Na konci som nechal trochu miesta, pretože môžeme pridať niečo na obe strany a náš problém sa nemení.
Takže čo chceme urobiť, je prísť na to, čo tam môžeme pridať, aby sme vytvorili perfektný štvorec vrátane tohto 8x, dobre. Takže viem, že toto musí byť x a musí to byť plus. Dobre? Toto strednodobé obdobie je pozitívne, takže nám hovorí, že to musí byť pozitívne znamenie. Čo však chceme urobiť, je nejako prísť na to, čo by sme sem mohli dať, aby sme dostali 8 a naše stredné obdobie, keby sme to prekazili, dobre? A trikom je, že využijete toto strednodobé obdobie a vydelíte ho 2. Dobre? V tomto prípade teda 8 delené 2 je 4. To bude to, čo pôjde práve sem. Dobre? A čo sa stane, keď to zafixujeme, čo nakoniec dostaneme, je x na druhú plus 8x plus 16.
Takže to, čo som skutočne urobil, je zahrnutie tejto 4 sem. Do pôvodnej rovnice som pridal 16. Takže som na túto stranu pridal 16, taktiež musím pridať 16 na túto stranu, aby to bolo vyvážené. Čokoľvek urobíme jednej strane, musíme urobiť aj druhej. Dobre? Takže to, čo vlastne máme v tomto prípade, je, že x + 4 druhá mocnina sa rovná 6. Dobre?
Takže toto sa nazýva dokončovanie štvorcov, ok. Zobrali sme si termín a prišli na to, čo musíme pridať na obe strany, aby to bolo perfektné štvorec. Takže ten stredný termín delený 2, ktorý ide tu a potom, že nový nový výraz na druhú je získať to, čo sa pridá na oboch stranách, a potom to môžeme prepísať na dokonalý štvorec.
Len čo sa dostaneme do tohto bodu, použijeme na vyriešenie rovnakú presnú metódu, akú sme urobili na samom začiatku. Vezmeme druhú odmocninu oboch strán x + 4 sa rovná plus alebo mínus druhá odmocnina 6. A potom pre x v tomto prípade odčítaj 4, takže skončíme s x sa rovná -4 plus alebo mínus druhá odmocnina z 6. Takže som dokončil druhú mocninu, čo môžeme urobiť, je vziať si kvadratickú rovnicu, ktorú nie je možné vyriešiť pomocou vlastnosti druhá odmocnina, premeniť ju na perfektnú druhú mocninu, aby ste mohli použiť vlastnosť druhej odmocniny v poradí vyriešiť to.


Riešenie kvadratických rovníc dokončením štvorca

Toto kurikulum zdôrazňuje multi-reprezentačný prístup k algebre, pričom koncepty, výsledky a problémy sú vyjadrené graficky, analyticky a slovne. Rozvíja algebraickú plynulosť tým, že poskytuje študentom zručnosti potrebné na riešenie rovníc a vykonávanie dôležitých manipulácií s číslami, premennými, rovnicami a nerovnosťami. Okrem toho kurz rozvíja odbornosť v operáciách zahŕňajúcich monomické a polynomické výrazy. Medzi hlavné zjednocujúce témy kurzu patria porozumenie, písanie, riešenie a grafy lineárnych rovníc, systémy lineárnych rovníc a nerovností, kvadratické rovnice a racionálne rovnice.

Zdôvodnenie

URL alebo zdroj

Poskytovateľ obsahu alebo ďalšie informácie

HippoCampus je projekt Montereyovho inštitútu pre technológie a vzdelávanie (MITE). Cieľom HippoCampus je bezplatne poskytovať vysokokvalitný multimediálny obsah o predmetoch všeobecného vzdelávania študentom stredných a vysokých škôl.

Používatelia sa môžu rozhodnúť zaregistrovať si voliteľný bezplatný účet v službe Hippocampus. Na využitie zdrojov Hippocampus nie je potrebné mať účet zadarmo.

HippoCampus bol navrhnutý ako súčasť Open Education Resources (OER), celosvetového úsilia o zlepšenie prístupu ku kvalitnému vzdelávaniu pre všetkých. Obsah HippoCampus bol vyvinutý niektorými z najlepších vysokých škôl a univerzít na svete a prispel k ďalšiemu projektu MITE v Národnom úložisku online kurzov (NROC). Spoločnosť NROC investuje do redakčného a technického inžinierstva obsah, aby ho pripravila na distribúciu spoločnosťou HippoCampus. HippoCampus aj NROC podporuje The William and Flora Hewlett Foundation.

Kľúčové slová

algebra, algebra 1, korene, kvadratické rovnice, druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu, video, inštruktážne video, 9. ročník, 10. ročník, 11. ročník, 12. ročník, hipokampus, dokončenie štvorca, vyplnenie štvorca, štandardný formulár, vrcholná forma


68: Riešenie rovníc dokončením štvorca - matematika

Nie všetky kvadratické rovnice je možné zohľadniť alebo ich je možné vyriešiť v pôvodnom tvare pomocou vlastnosti druhá odmocnina. V týchto prípadoch môžeme použiť metódu riešenia a kvadratická rovnica známy ako dokončenie námestia. Pomocou tejto metódy sčítame alebo odčítame výrazy na obe strany rovnice, až kým na jednej strane znamienka rovnosti nebudeme mať dokonalý štvorcový trojuholník. Potom použijeme vlastnosť druhej odmocniny. Na doplnenie štvorca musí byť vedúci koeficient a, musí sa rovnať 1. Ak to tak nie je, potom celú rovnicu vydeľte a. Potom môžeme pomocou nasledujúcich postupov vyriešiť kvadratickú rovnicu dokončením štvorca.

Použijeme príklad [latex]^ <2> + 4x + 1 = 0 [/ latex] na ilustráciu každého kroku.

    Vzhľadom na kvadratickú rovnicu, ktorú nie je možné zohľadniť, a pri parametri [latex] a = 1 [/ latex] najskôr pridajte alebo odčítajte konštantný člen k pravému znamienku rovného znamienka.

Príklad 8: Riešenie kvadratickej časti dokončením štvorca

Vyriešte kvadratickú rovnicu dokončením štvorca: [latex]^ <2> -3x - 5 = 0 [/ latex].

Riešenie

Najskôr posuňte konštantný člen na pravú stranu znaku rovnosti.

Potom vezmite [latex] frac <1> <2> [/ latex] z b termín a zarovnajte ho.


Prečo je dokončenie námestia dôležité?

Vyplnením štvorca je kvadratická rovnica vo vrcholovom tvare. Je ľahšie nájsť nuly rovnice v tejto podobe. Táto informácia je často východiskovým alebo konečným bodom pre mnoho rovníc. Napríklad keď sa predmet dotýka zeme.

Je tiež ľahké nájsť vrchol rovnice. Vrchol je buď maximálny bod alebo minimálny bod rovnice. To je skvelé, keď chcete nájsť maximálny zisk alebo objem, ktorý je daný určitými obmedzeniami.


Pozri si video: sústava dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych (December 2021).