Články

Dvojité integrály v polárnych súradniciach (cvičenia)


Podmienky a koncepcie

1. Pri hodnotení ( Displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) pomocou polárnych súradníc sa (f (x, y) ) nahradí _______ a (dA ) sa nahradí _______.

Odpoveď:
(f (x, y) ) sa nahrádza znakom (f (r cos theta, r sin theta) ) a (dA ) sa nahrádza znakom (r , dr , d theta ).

2. Prečo by sa mal niekto zaujímať o hodnotenie dvojitého integrálu s polárnymi súradnicami?

Definovanie polárnych oblastí

Na cvičeniach 3 - 6 vyjadrte oblasť (R ) v polárnych súradniciach.

3) (R ) je oblasť disku s polomerom 2 zameraná na počiatok, ktorý leží v prvom kvadrante.

Odpoveď:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 2, medzera 0 leq theta leq frac { pi} {2} big } )

4) (R ) je oblasť disku s polomerom 3 vystredená na počiatku.

5) (R ) je oblasť medzi kruhmi s polomerom 4 a s polomerom 5 so stredom na počiatku, ktorý leží v druhom kvadrante.

Odpoveď:
(R = big {(r, theta) , | , 4 leq r leq 5, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } )

6) (R ) je oblasť ohraničená osou (y ) a (x = sqrt {1 - y ^ 2} ).

7) (R ) je oblasť ohraničená osou (x ) - a (y = sqrt {2 - x ^ 2} ).

Odpoveď:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq sqrt {2}, medzera 0 leq theta leq pi big } )

8) (R = veľký {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4x veľký } )

9) (R = veľký {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4y veľký } )

Odpoveď:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 4 medzera sin theta, medzera 0 leq theta leq pi big } )

Na cvičeniach 10 - 15 je uvedený graf polárnej obdĺžnikovej oblasti (D ). Vyjadrite (D ) v polárnych súradniciach.

10)

11)

Odpoveď:
(D = veľký {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, medzera frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {2} veľký } )

12)

13)

Odpoveď:
(D = veľký {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, medzera frac {3 pi} {4} leq theta leq frac {5 pi} {4} veľký } )

14) V nasledujúcom grafe je oblasť (D ) umiestnená pod (y = x ) a je ohraničená (x = 1, medzera x = 5 ) a (y = 0 ) .

15) V nasledujúcom grafe je oblasť (D ) ohraničená (y = x ) a (y = x ^ 2 ).

Odpoveď:
(D = veľký {(r, theta) , | , 0 leq r leq tan theta medzera sec theta, medzera 0 leq theta leq frac { pi } {4} veľký } )

Vyhodnocovanie polárnych dvojitých integrálov

Na cvičeniach 16 - 25 vyhodnotte dvojitý integrál ( Displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) cez polárnu obdĺžnikovú oblasť (R ).

16) (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ), (R = veľký {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, medzera 0 leq theta leq 2 pi big } )

17) (f (x, y) = x + y ), (R = veľký {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, medzera 0 leq theta leq 2 pi big } )

Odpoveď:
(0)

18) (f (x, y) = x ^ 2 + xy, medzera R = veľký {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, medzera pi leq theta leq 2 pi big } )

19) (f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 4, medzera R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, medzera frac {3 pi} {2} leq theta leq 2 pi big } )

Odpoveď:
( frac {63 pi} {16} )

20) (f (x, y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y ^ 2} ), kde (R = veľký {(r, theta) , | , 0 leq r leq 1, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } ).

21) (f (x, y) = x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 ), kde (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 4, space frac { pi} {3} leq theta leq frac {2 pi} {3} big } ).

Odpoveď:
( frac {3367 pi} {18} )

22) (f (x, y) = sin ( arctan frac {y} {x}) ), kde (R = veľký {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

23) (f (x, y) = arctan doľava ( frac {y} {x} doprava) ), kde (R = big {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

Odpoveď:
( frac {35 pi ^ 2} {576} )

24) ( Displaystyle iint_R e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} doľava [1 + 2 medzera arctan doľava ( frac {y} {x} doprava) doprava] , dA, space R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta frac { pi} {3 } big } )

25) ( Displaystyle iint_R doľava (e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 doprava) arctan doľava ( frac {y} { x} vpravo) , dA, medzera R = veľký {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, medzera frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} veľký } )

Odpoveď:
( frac {7} {576} pi ^ 2 (21 - e + e ^ 4) )

Prevod dvojitých integrálov na polárny tvar

Na cvičeniach 26 - 29 boli integrály prevedené na polárne súradnice. Overte, či sú totožnosti pravdivé, a vyberte najjednoduchší spôsob vyhodnotenia integrálov v obdĺžnikových alebo polárnych súradniciach.

26) ( Displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) , dy medzera dx = int_0 ^ { frac { pi} {4}} int _ { sec theta} ^ {2 medzera sek theta} r ^ 3 , dr medzera d theta )

27) ( Displaystyle int_2 ^ 3 int_0 ^ x frac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy medzera dx = int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ { tan theta medzera sek theta} , r medzera cos theta medzera medzera d theta )

Odpoveď:
( frac {5} {4} ln (3 + 2 sqrt {2}) )

28) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy medzera dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta priestor sec theta} priestor dr priestor d theta )

29) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy medzera dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta medzera sek theta} , r medzera sin theta medzera medzera d theta )

Odpoveď:
( frac {1} {6} (2 - sqrt {2}) )

Na cvičeniach 30 - 37 nakreslite oblasť integrácie (R ), označte všetky limity integrácie, preveďte integrály na polárne súradnice a vyhodnoťte ich.

30) ( Displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { sqrt {9-y ^ 2}} , dx medzera )

31) ( Displaystyle int_0 ^ 2 int _ {- sqrt {4-y ^ 2}} ^ { sqrt {4-y ^ 2}} , dx medzera )

Odpoveď:
( Displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ 2 r ^ 5 , dr priestor d theta quad = quad frac {32 pi} {3} )

32) ( Displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x + y) medzera medzera dx )

33) ( Displaystyle int_0 ^ 4 int _ {- sqrt {16-x ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2}} sin (x ^ 2 + y ^ 2) medzera medzera dx )

Odpoveď:
( Displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 , r priestor sin (r ^ 2) priestor dr priestor d theta quad = quad pi medzera sin ^ 2 8 )

34) ( Displaystyle int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dy , dx )

35) ( Displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) , dx , dy )

Odpoveď:
( Displaystyle int _ { frac { pi} {2}} ^ { frac {3 pi} {2}} int_0 ^ {4} big (2r sin theta - r cos theta big) , r , dr medzera d theta quad = quad frac {128} {3} )

36) ( Displaystyle int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) , dx , dy )

37) ( Displaystyle int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int _ {- 1 } ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt { 4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx )

Odpoveď:
( Displaystyle int_ {0} ^ { pi} int_1 ^ {2} big (r cos theta + 5 big) , r , dr medzera d theta quad = quad frac {15 pi} {2} )

38) Vyhodnoťte integrál ( Displaystyle iint_D r , dA ) kde (D ) je oblasť ohraničená polárnou osou a hornou polovicou kardioidu (r = 1 + cos theta ) .

39) Nájdite oblasť regiónu (D ) ohraničenú polárnou osou a hornou polovicou kardioidu (r = 1 + cos theta ).

Odpoveď:
( frac {3 pi} {4} )

40) Vyhodnoťte integrál ( Displaystyle iint_D r , dA, ) kde (D ) je oblasť ohraničená časťou štvorlístkovej ruže (r = sin 2 theta ) nachádzajúcou sa v prvý kvadrant (pozri nasledujúci obrázok).

41) Nájdite celkovú plochu regiónu ohraničenú štvorlistou ružou (r = sin 2 theta ) (pozri obrázok v predchádzajúcom cvičení).

Odpoveď:
( frac { pi} {2} )

42) Nájdite oblasť regiónu (D ), ktorá je oblasťou ohraničenou (y = sqrt {4 - x ^ 2} ), (x = sqrt {3} ), (x = 2 ) a (y = 0 ).

43) Nájdite oblasť regiónu (D ), čo je oblasť vo vnútri disku (x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ) a napravo od riadku (x = 1 ).

Odpoveď:
( frac {1} {3} (4 pi - 3 sqrt {3}) )

44) Určte priemernú hodnotu funkcie (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) v oblasti (D ) ohraničenej polárnou krivkou (r = cos 2 theta ), kde (- frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {4} ) (pozri nasledujúci graf).

45) Určte priemernú hodnotu funkcie (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) v oblasti (D ) ohraničenej polárnou krivkou (r = 3 sin 2 theta ), kde (0 leq theta leq frac { pi} {2} ) (pozri nasledujúci graf).

Odpoveď:
( frac {16} {3 pi} )

46) Nájdite objem tuhej látky nachádzajúcej sa v prvom oktante a ohraničený paraboloidom (z = 1 - 4x ^ 2 - 4y ^ 2 ) a rovinami (x = 0, medzera y = 0 ), a (z = 0 ).

47) Nájdite objem pevnej látky ohraničenej paraboloidom (z = 2 - 9x ^ 2 - 9y ^ 2 ) a rovinou (z = 1 ).

Odpoveď:
( frac { pi} {18} )

48)

  1. Nájdite objem pevnej látky (S_1 ) ohraničenej valcom (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) a rovinami (z = 0 ) a (z = 1 ).
  2. Nájdite objem tuhej látky (S_2 ) mimo dvojitého kužeľa (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) vo vnútri valca (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) a nad rovina (z = 0 ).
  3. Nájdite objem pevnej látky vo vnútri kužeľa (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) a pod rovinou (z = 1 ) odčítaním objemov pevných látok (S_1 ) a ( S_2 ).

49)

  1. Nájdite objem pevnej látky (S_1 ) vo vnútri sférickej jednotky (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) a nad rovinou (z = 0 ).
  2. Nájdite objem tuhej látky (S_2 ) vo vnútri dvojitého kužeľa ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) a nad rovinou (z = 0 ).
  3. Nájdite objem tuhej látky mimo dvojitého kužeľa ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) a vo vnútri gule (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) .
Odpoveď:
a. ( frac {2 pi} {3} ); b. ( frac { pi} {2} ); c. ( frac { pi} {6} )

V Cvičeniach 50-51 sú predstavené špeciálne dvojité integrály, ktoré sú obzvlášť vhodné na hodnotenie v polárnych súradniciach.

50) Povrch pravého kruhového kužeľa s výškou (h ) a polomerom základne (a ) možno opísať rovnicou (f (x, y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ), kde špička kužeľa leží na ((0,0, h) ) a kruhová základňa leží na ( xy ) - rovina, vystredená na počiatku.
Potvrďte, že objem pravého kruhového kužeľa s výškou (h ) a polomerom základne (a ) je (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ) vyhodnotením ( displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) v polárnych súradniciach.

51) Zvážte ( Displaystyle int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} , dA. )
a) Prečo je ťažké tento integrál vyhodnotiť v obdĺžnikových súradniciach bez ohľadu na oblasť (R )?
(b) Nech (R ) je oblasť ohraničená kružnicou s polomerom (a ) vystredená na počiatku. Vyhodnoťte dvojitý integrál pomocou polárnych súradníc.
(c) Vezmite limit svojej odpovede z bodu (b) ako (a do infty ). Čo to znamená o objeme pod povrchom (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) v celej (xy ) - rovine?

Pri nasledujúcich dvoch cvičeniach zvážte sférický krúžok, čo je guľa s vyrezaným valcovitým otvorom tak, aby os valca prechádzala stredom gule (pozri nasledujúci obrázok).

52) Ak má guľa polomer 4 a valec polomer 2, nájdite objem guľového krúžku.

53) Cez guľu s polomerom 5 cm je vyvŕtaný valcový otvor s priemerom 6 cm tak, aby os valca prechádzala stredom gule. Nájdite objem výsledného sférického krúžku.

Odpoveď:
( frac {256 pi} {3} medzera text {cm} ^ 3 )

54) Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod dvojitým kužeľom (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 4y ^ 2 ), vo vnútri valca (x ^ 2 + y ^ 2 = x ) a nad rovina (z = 0 ).

55) Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod paraboloidom (z = x ^ 2 + y ^ 2 ), vo vnútri valca (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) a nad rovinou (z = 0 ).

Odpoveď:
( frac {3 pi} {32} )

56) Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod rovinou (x + y + z = 10 ) a nad diskom (x ^ 2 + y ^ 2 = 4x ).

57) Nájdite objem pevnej látky, ktorá leží pod rovinou (2x + y + 2z = 8 ) a nad jednotkovým diskom (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Odpoveď:
(4 pi )

58) Radiálna funkcia (f ) je funkcia, ktorej hodnota v každom bode závisí iba od vzdialenosti medzi týmto bodom a začiatkom sústavy súradníc; to znamená (f (x, y) = g (r) ), kde (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Ukážte, že ak (f ) je spojitá radiálna funkcia, potom

[ iint_D f (x, y) dA = ( theta_2 - theta_1) [G (R_2) - G (R_1)], medzera kde medzera G '(r) = rg (r) ] a ((x, y) v D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, medzera 0 leq theta leq 2 pi} ), s (0 leq R_1 < R_2 ) a (0 leq theta_1 < theta_2 leq 2 pi ).

59) Použite informácie z predchádzajúceho cvičenia na výpočet integrálu ( displaystyle iint_D (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 dA, ) kde (D ) je jednotka.

Odpoveď:
( frac { pi} {4} )

60) Nech (f (x, y) = frac {F '(r)} {r} ) je spojitá radiálna funkcia definovaná v prstencovej oblasti (D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, medzera 0 leq theta 2 pi} ), kde (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), (0

Ukážte, že ( Displaystyle iint_D f (x, y) , dA = 2 pi [F (R_2) - F (R_1)]. )

61) Použite predchádzajúce cvičenie na výpočet integrálu. ( Displaystyle iint_D frac {e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dx space dy ) kde (D ) je prstencová oblasť medzi kruhmi polomerov 1 a 2 situovanými v treťom kvadrante.

Odpoveď:
( frac {1} {2} pi e (e - 1) )

62) Nech (f ) je spojitá funkcia, ktorú je možné vyjadriť v polárnych súradniciach iba ako funkciu ( theta ); to znamená (f (x, y) = h ( theta) ), kde ((x, y) v D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, medzera theta_1 leq theta leq theta_2} ), s (0 leq R_1

Ukážte, že ( Displaystyle iint_D f (x, y) , dA = frac {1} {2} (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2) [H ( theta_2) - H ( theta_1)] ) , kde (H ) je primitívom (h ).

63) Použite predchádzajúce cvičenie na výpočet integrálu ( Displaystyle iint_D frac {y ^ 2} {x ^ 2} , dA, ) kde (D = veľký {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, Space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big }. )

Odpoveď:
( sqrt {3} - frac { pi} {4} )

64) Nech (f ) je spojitá funkcia, ktorú je možné vyjadriť v polárnych súradniciach iba ako funkciu ( theta ); to je (f (x, y) = g (r) h ( theta) ), kde ((x, y) in big {(r, theta) , | , R_1 leq r leq R_2, space theta_1 leq theta leq theta_2 big } ) s (0 leq R_1

65) Hodnotiť ( Displaystyle iint_D arctan doľava ( frac {y} {x} doprava) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dA, ) kde (D = veľký {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } ).

Odpoveď:
( frac {133 pi ^ 3} {864} )

66) Sférická čiapočka je oblasť gule, ktorá leží nad alebo pod danou rovinou.

a. Ukážte, že objem sférickej čiapky na obrázku nižšie je ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + h ^ 2) ).

b. Sférický segment je teleso definované pretínaním gule s dvoma rovnobežnými rovinami. Ak je vzdialenosť medzi rovinami (h ), ukážte, že objem sférického segmentu na obrázku nižšie je ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + 3b ^ 2 + h ^ 2 ) ).

67) V štatistike je hustota spoja pre dve nezávislé, normálne distribuované udalosti so strednou hodnotou ( mu = 0 ) a štandardnou distribúciou ( sigma ) definovaná ako (p (x, y) = frac {1} {2 pi sigma ^ 2} e ^ {- frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 sigma ^ 2}} ). Uvažujme ((X, Y) ), karteziánske súradnice lopty v pokojovej polohe po tom, čo bola uvoľnená z polohy na z-osa smerom k (xy ) - rovine. Predpokladajme, že súradnice lopty sú normálne normálne rozdelené so strednou hodnotou ( mu = 0 ) a štandardnou odchýlkou ​​ ( sigma ) (v stopách). Pravdepodobnosť, že sa lopta nezastaví viac ako (a ) stôp od začiatku, je dané [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = iint_D p (x, y) dy medzera dx, ] kde (D ) je disk s polomerom (a ) vycentrovaný na počiatku. Ukážte, že [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = 1 - e ^ {- a ^ 2/2 sigma ^ 2}. ]

68) Dvojitý nesprávny integrál [ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx ] možno definovať ako limitnú hodnotu dvojitých integrálov ( Displaystyle iint_D e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dA ) na disky (D_a ) polomerov (a ) so stredom na začiatku, pretože (a ) sa zvyšuje bez obmedzenia; to je,

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} dy space dx = lim_ {a šípka vpravo infty} iint_ {D_a} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dA. ]

Pomocou polárnych súradníc ukážte, že ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = 2 pi. )

69) Ukážte, že ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} , dx = sqrt {2 pi} ) pomocou vzťahu

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} dx right) left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ 2/2 } dy right). ]

Prispievatelia

  • Gilbert Strang (MIT) a Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) s mnohými prispievajúcimi autormi. Tento obsah spoločnosti OpenStax je licencovaný s licenciou CC-BY-SA-NC 4.0. Stiahnite si zadarmo na http://cnx.org.

  • Problémy 1, 2, 34 - 37 a 50 - 51 sú z Apex Calculus, Kapitola 13.3
  • Upravil Paul Seeburger (Monroe Community College)

Cvičenie 2 DOUBLE INTEGRAL V POLAR COORDINAARES. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + Zvážte (i) Pomocou polárnych súradníc skombinujte integrály do jedného dvojitého integrálu. ii) Posúdiť integrál. (Predpokladajme -T & lt0 & lt1)

Pomocou polárnych súradníc skombinujte integrály do jedného dvojitého integrálu.

help_outline

Prepis obrázkaZavrieť

Cvičenie 2 DOUBLE INTEGRAL V POLAR COORDINAARES. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 intergal & quot dydx + Zvážte (i) Pomocou polárnych súradníc skombinujte integrály do jedného dvojitého integrálu. ii) Posúdiť integrál. (Predpokladajme -T & lt0 & lt1)


5.3 Dvojité integrály v polárnych súradniciach

Dvojité integrály sa niekedy dajú oveľa ľahšie vyhodnotiť, ak zmeníme obdĺžnikové súradnice na polárne súradnice. Predtým, ako popíšeme, ako vykonať túto zmenu, je však potrebné vytvoriť koncept dvojitého integrálu v polárnej obdĺžnikovej oblasti.

Polárne obdĺžnikové oblasti integrácie

Použitím rovnakého nápadu pre všetky podobdĺžniky a spočítania objemov obdĺžnikových polí dostaneme dvojnásobný Riemannov súčet ako

Ako sme už videli predtým, lepšiu aproximáciu k polárnemu objemu pevnej látky nad oblasťou R R získame, keď necháme m m a n n zväčšiť. Preto definujeme polárny objem ako hranicu dvojnásobnej Riemannovej sumy,

Toto sa stáva výrazom pre dvojitý integrál.

Definícia

Rovnako ako v prípade dvojitých integrálov nad obdĺžnikovými oblasťami, dvojitý integrál nad polárnou obdĺžnikovou oblasťou možno opäť vyjadriť ako iterovaný integrál v polárnych súradniciach. Teda

Upozorňujeme, že všetky vlastnosti uvedené v dvojitých integráloch nad obdĺžnikovými oblasťami pre dvojitý integrál v obdĺžnikových súradniciach platia rovnako aj pre dvojitý integrál v polárnych súradniciach, takže ich môžeme bez váhania použiť.

Príklad 5.24

Skicovanie polárnej obdĺžnikovej oblasti

Riešenie

Teraz, keď sme načrtli polárnu obdĺžnikovú oblasť, ukážme si, ako vyhodnotiť dvojitý integrál nad touto oblasťou pomocou polárnych súradníc.

Príklad 5.25

Vyhodnotenie dvojitej integrácie cez polárnu obdĺžnikovú oblasť

Riešenie

Najskôr načrtneme obrázok podobný obrázku 5.30, ale s vonkajším polomerom 2. 2. Z obrázku vidíme, že máme

Príklad 5.26

Vyhodnotenie dvojitej integrály prevodom z obdĺžnikových súradníc

Riešenie

Pomocou prepočtu x = r cos θ, y = r sin θ, x = r cos θ, y = r sin θ, a d A = r d r d θ, d A = r d r d θ, máme

Príklad 5.27

Vyhodnotenie dvojitej integrály prevodom z obdĺžnikových súradníc

Riešenie

Preto pomocou prevodu x = r cos θ, y = r sin θ, x = r cos θ, y = r sin θ a d A = r d r d θ, d A = r d r d θ, máme

Všeobecné polárne oblasti integrácie

Na vyhodnotenie dvojitého integrálu spojitej funkcie iterovanými integrálmi cez všeobecné polárne oblasti uvažujeme dva typy oblastí, analogické s typom I a typom II, ako sú diskutované pre obdĺžnikové súradnice v dvojitých integráloch nad všeobecnými oblasťami. Je bežnejšie písať polárne rovnice ako r = f (θ) r = f (θ) ako θ = f (r), θ = f (r), takže všeobecnú polárnu oblasť popisujeme ako R = <(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> R = <(r, θ) | α ≤ θ ≤ β, h 1 (θ) ≤ r ≤ h 2 (θ)> (pozri nasledujúci obrázok).

Dvojitá integrácia vo všeobecných polárnych oblastiach

Príklad 5.28

Vyhodnotenie dvojitej integrácie v polárnej oblasti

Riešenie

Polárne oblasti a zväzky

Túto myšlienku ilustrujeme na niekoľkých príkladoch.

Príklad 5.29

Nájdenie zväzku pomocou dvojitého integrálu

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod paraboloidom z = 1 - x 2 - y 2 z = 1 - x 2 - y 2 a nad jednotkovou kružnicou na rovine x y x y (pozri nasledujúci obrázok).

Riešenie

Metódou dvojitej integrácie vidíme, že objem je iterovaným integrálom tvaru ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A ∬ R (1 - x 2 - y 2) d A, kde R = < (r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π>. R = <(r, θ) | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π>.

Táto integrácia bola uvedená skôr v príklade 5.26, takže objem je π 2 π 2 kubických jednotiek.

Príklad 5.30

Nájdenie zväzku pomocou dvojitej integrácie

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod paraboloidom z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 a nad diskom (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 na xyxy-rovine. Pozri paraboloid na obrázku 5.35 pretínajúci valec (x - 1) 2 + y 2 = 1 (x - 1) 2 + y 2 = 1 nad rovinou x y x y.

Riešenie

Preto je objem tuhej látky ohraničenej vyššie paraboloidom z = 4 - x 2 - y 2 z = 4 - x 2 - y 2 a nižšie r = 2 cos θ r = 2 cos θ je

V nasledujúcom príklade si všimnite, že integrácia nie je vždy jednoduchá s polárnymi súradnicami. Zložitosť integrácie závisí od funkcie a tiež od regiónu, v ktorom potrebujeme integráciu vykonať. Ak má oblasť prirodzenejší výraz v polárnych súradniciach alebo ak má f f jednoduchší primitívny výraz v polárnych súradniciach, potom je zmena polárnych súradníc vhodná inak, použite obdĺžnikové súradnice.

Príklad 5.31

Nájdenie zväzku pomocou dvojitého integrálu

Riešenie

Najskôr preskúmajte oblasť, nad ktorou musíme nastaviť dvojitý integrál a sprievodný paraboloid.

Ako vidíte, tento integrál je veľmi komplikovaný. Takže môžeme tento dvojitý integrál v obdĺžnikových súradniciach vyhodnotiť ako

Aby sme odpovedali na otázku, ako sa nachádzajú vzorce pre objemy rôznych štandardných telies, ako je guľa, kužeľ alebo valec, chceme demonštrovať príklad a nájsť objem ľubovoľného kužeľa.

Príklad 5.32

Nájdenie zväzku pomocou dvojitého integrálu

Použite polárne súradnice na nájdenie objemu vo vnútri kužeľa z = 2 - x 2 + y 2 z = 2 - x 2 + y 2 a nad x-rovinou. x y -rovina.

Riešenie

Rovnicu kružnice nájdeme nastavením z = 0: z = 0:

∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = 2 (2 - r ) rdrd θ = 2 π 4 3 = 8 π 3 kubické jednotky.

Analýza

Všimnite si, že ak by sme našli objem ľubovoľného kužeľa s polomerom a a jednotky a výškou h h jednotky, potom by rovnica kužeľa bola z = h - h a x 2 + y 2. z = h - h a x 2 + y 2.

Stále môžeme použiť obrázok 5.37 a nastaviť integrál ako ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ. ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ r = 0 r = a (h - h a r) r d r d θ.

Vyhodnotením integrálu dostaneme 1 3 π a 2 h. 1 3 π a 2 h.

Použite polárne súradnice na nájdenie iterovaného integrálu na nájdenie objemu pevnej látky uzavretej paraboloidmi z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 a z = 16 - x 2 - y 2. z = 16 - x 2 - y 2.

Rovnako ako pri pravouhlých súradniciach, aj pri hľadaní oblastí určitých oblastí pomocou dvojitého integrálu môžeme použiť polárne súradnice. Rovnako ako predtým musíme porozumieť regiónu, ktorého oblasť chceme vypočítať. Načrtnutie grafu a identifikácia regiónu môžu byť užitočné pri realizácii limitov integrácie. Všeobecne bude vzorec oblasti v dvojitej integrácii vyzerať

Príklad 5.33

Nájdenie oblasti pomocou dvojitého integrálu v polárnych súradniciach

Vyhodnoťte oblasť ohraničenú krivkou r = cos 4 θ. r = cos 4 θ.

Riešenie

Príklad 5.34

Nájdenie oblasti medzi dvoma polárnymi krivkami

Nájdite oblasť ohraničenú kruhom r = 3 cos θ r = 3 cos θ a kardioidom r = 1 + cos θ. r = 1 + cos θ.

Riešenie

Najdôležitejšie je načrtnúť grafy oblasti (obrázok 5.39).

Zo symetrie grafu vidíme, že potrebujeme nájsť priesečníky. Nastavenie dvoch rovníc, ktoré sú si navzájom rovné, dáva

Hodnotením každého dielu zvlášť zisťujeme, že plocha je

Nájdite oblasť uzavretú vo vnútri kardioidu r = 3 - 3 sin θ r = 3 - 3 sin θ a mimo kardioidu r = 1 + sin θ. r = 1 + sin θ.

Príklad 5.35

Vyhodnotenie nesprávneho dvojitého integrálu v polárnych súradniciach

Vyhodnoťte integrál ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −10 (x 2 + y 2) d x d y.

Riešenie

Toto je nesprávny integrál, pretože sa integrujeme cez neobmedzenú oblasť R2. R 2. V polárnych súradniciach možno celú rovinu R2 R2 vnímať ako 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ r ≤ ∞. 0 ≤ r ≤ ∞.

Pomocou zmien premenných z obdĺžnikových súradníc na polárne súradnice máme

Vyhodnoťte integrál ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y. ∬ R 2 e −4 (x 2 + y 2) d x d y.

Oddiel 5.3 Cvičenia

V nasledujúcich cvičeniach vyjadrte oblasť D D v polárnych súradniciach.

V nasledujúcich cvičeniach je uvedený graf polárnej obdĺžnikovej oblasti D D. Vyjadrite D D v polárnych súradniciach.

V nasledujúcom grafe je oblasť D D ohraničená y = x y = x a y = x 2. y = x 2.

V nasledujúcich cvičeniach zhodnoťte dvojitý integrál ∬ R f (x, y) d A ∬ R f (x, y) d A nad polárnou obdĺžnikovou oblasťou D. D.

∬ D (e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4) arktán (y x) d A, D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 4 ≤ θ ≤ π 3> ∬ D (e x 2 + y 2 + x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4) arktán (y x) d A, D =

V nasledujúcich cvičeniach boli integrály prevedené na polárne súradnice. Overte, či sú totožnosti pravdivé, a vyberte najjednoduchší spôsob vyhodnotenia integrálov v obdĺžnikových alebo polárnych súradniciach.

∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s θ 2 s θ r 3 drd θ ∫ 1 2 ∫ 0 x (x 2 + y 2) dydx = ∫ 0 π 4 ∫ s θ 2 sekundy θ r 3 drd θ

∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 s θ r cos θ drd θ ∫ 2 3 ∫ 0 xxx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 2 s θ 3 sekundy θ r cos θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 x 1 x 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ drd θ

∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ ∫ 0 1 ∫ x 2 xyx 2 + y 2 dydx = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 tan θ sec θ r sin θ drd θ

V nasledujúcich cvičeniach prevedieme integrály na polárne súradnice a vyhodnotíme ich.

∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 (x 2 + y 2) d x d y

∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y ∫ 0 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 (x 2 + y 2) 2 d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 (x + y) d y d x

∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 hriech (x 2 + y 2) d y d x ∫ 0 4 ∫ - 16 - x 2 16 - x 2 hriech (x 2 + y 2) d y d x

Nájdite celkovú plochu oblasti ohraničenej štvorlistou ružou r = sin 2 θ r = sin 2 θ (pozri obrázok v predchádzajúcom cvičení).

Nájdite objem tuhej látky nachádzajúcej sa v prvom oktante a ohraničený paraboloidom z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 a rovinami x = 0, y = 0, x = 0, y = 0 a z = 0. z = 0.

Nájdite objem pevnej látky ohraničenej paraboloidom z = 2 - 9 x 2 - 9 y 2 z = 2 - 9 x 2 - 9 y 2 a rovinu z = 1. z = 1.

Pri nasledujúcich dvoch cvičeniach zvážte sférický krúžok, čo je guľa s vyrezaným valcovitým otvorom tak, aby os valca prechádzala stredom gule (pozri nasledujúci obrázok).

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod dvojitým kužeľom z 2 = 4 x 2 + 4 y 2, z 2 = 4 x 2 + 4 y 2, vo vnútri valca x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2. = x a nad rovinou z = 0. z = 0.

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod paraboloidom z = x 2 + y 2, z = x 2 + y 2, vo vnútri valca x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = x a nad rovinou z = 0. z = 0.

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod rovinou x + y + z = 10 x + y + z = 10 a nad diskom x 2 + y 2 = 4 x. x 2 + y 2 = 4 x.

Nájdite objem tuhej látky, ktorá leží pod rovinou 2 x + y + 2 z = 8 2 x + y + 2 z = 8 a nad jednotkovým diskom x 2 + y 2 = 1. x 2 + y 2 = 1.

Pomocou informácií z predchádzajúceho cvičenia vypočítajte integrál ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A, ∬ D (x 2 + y 2) 3 d A, kde D D je jednotka disku.

Použite predchádzajúce cvičenie na výpočet integrálu ∬ D y 2 x 2 d A, ∬ D y 2 x 2 d A, kde D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 6 ≤ θ ≤ π 3>. D = <(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, π 6 ≤ θ ≤ π 3>.

Sférická čiapočka je oblasť gule, ktorá leží nad alebo pod danou rovinou.

Ako spolupracovník spoločnosti Amazon zarábame na kvalifikovaných nákupoch.

Chcete citovať, zdieľať alebo upravovať túto knihu? Táto kniha je Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike licencia 4.0 a musíte pripísať OpenStax.

    Ak redistribuujete celú knihu alebo jej časť v tlačenom formáte, musíte na každú fyzickú stránku uviesť nasledujúce uvedenie zdroja:

  • Informácie uvedené nižšie použite na vygenerovanie citácie. Odporúčame použiť citačný nástroj, ako je tento.
    • Autori: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Vydavateľ / web: OpenStax
    • Názov knihy: Calculus Volume 3
    • Dátum zverejnenia: 30. marca 2016
    • Miesto: Houston, Texas
    • URL knihy: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • URL sekcie: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-3-double-integrals-in-polar-coordinates

    © 21. decembra 2020 OpenStax. Obsah učebnice produkovaný OpenStax je licencovaný pod licenciou Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Názov OpenStax, logo OpenStax, obálky kníh OpenStax, názov OpenStax CNX a logo OpenStax CNX nepodliehajú licencii Creative Commons a nemôžu byť reprodukované bez predchádzajúceho a výslovného písomného súhlasu Rice University.


    1 odpoveď 1

    Nie je veľký rozdiel medzi integráciou oblasti v polárnych súradniciach ako dvojitého integrálu a spôsobom, akým ste sa s ňou mohli predtým stretnúť pri výpočte s jednou premennou. Stále je dôležité mať predstavu o tom, ako vyzerajú regióny (tu máte limakón a „arašid“).

    Vaša radiálna časť je správna, ale skutočne sa musíte pozrieť na uhly, v ktorých sa krivky pretínajú: budete chcieť vyriešiť $ 2 + sin theta = 2 + cos (2 theta) $, aby ste získali rozsah uhlovej integrácie. Existujú dve zóny, ktoré je potrebné zakryť, ale tu môžete využiť symetriu a integrovať sa do jednej z nich.

    Červená krivka je limakón $ 2 + sin theta $, modrá krivka $ 2 + cos (2 theta) $.

    Mimochodom, v integrále, ktorý ste napísali, to nie je ono č integrand, ale skôr to, že integrand je „1“. Robíte povrchový integrál, kde sú všetky nekonečne malé opravy rovnako „vážené“ na 1, takže výsledkom je jednoducho oblasť regiónu. Plošné integrály s niektorými „váhovými funkciami“ $ f (r, theta) $ alebo $ g (x, y) $ sa objavujú v rôznych aplikáciách.


    2 odpovede 2

    Mali by ste mať dva samostatné integrály, pretože došlo k zmene hraníc integrácie, meranej od začiatku. Môžete tiež použiť symetriu okolo osi $ x- $ a písať

    $ A = 2 doľava [ int_0 ^ < arccos (1/3)> int_0 ^ <2> r dr d theta + int _ < arccos (1/3)> ^ < pi / 2> int_0 ^ <6 cos theta> r dr d theta vpravo]. $

    „Radiálne rameno“ siaha do kruhu $ r = 2 $ až do uhla $ theta = arccos ( frac <1> <3>) , $, ale potom sa „prepne“ na druhý kruh až do $ theta = frac < pi> <2> . $ Tu je graf situácie:

    Ide o to, že pre oblasť „medzi“ týmito dvoma kruhmi nie je váš „polomer“ od začiatku nikde ohraničený jedným kruhom ako „vonkajším kruhom“ a druhým ako „vnútorným kruhom“, ktorý zmeníte iba z jedného kruhu kruh k druhému.

    ÚPRAVA: Znova som sa pozrel na vaše vyhlásenie o probléme a potom opäť na môj graf a uvedomil som si, že vyhlásenie je nejednoznačný. Interpretoval som to ako „oblasť vo vnútri oboje $ r = 6 cos theta text r = 2 $ "[ktoré som vyplnil modrou farbou]. Integrál, ktorý ste napísali mohol be applied to "the area inside $ r = 6 cos heta , $ but outside $ r = 2 $ " [which I've now filled in orange]. In that case, your approach is correct, except that $ r = 6 cos heta $ is the "outer curve" and $ r = 2 $ , the "inner curve", so you should have written

    Was this in fact the area you meant to cover? (Sorry if I misunderstood the intended problem.) You have the boundaries swapped in the integral, which certainly explains the negatívny result.


    Math 215 Examples

    A polar rectangle is a region in the (xy)-plane defined by the inequalities (a le r le b) and (alphale hetaleeta) in polar coordinates. For example, the unit disk can be concisely described as the polar rectangle (0le rle 1), (0le hetale 2pi).

    The area of a polar rectangle is (frac<1><2>(eta-alpha)(b^2-a^2)), as this is the difference in area between the sectors of a radius (b) and a radius (a) circle for (alphale hetaleeta).

    In particular, if we have a polar rectangle of radial "width" (Delta r) and angular "width" (Delta heta) centered around ((r, heta)), then (eta-alpha=Delta heta) and (frac<1><2>(b^2-a^2)=frac<1><2>(b+a)(b-a) = rDelta r), so the area of this polar rectangle is (r Delta rDelta heta).

    Integrating in Polar Coordinates

    Recall that, to estimate (iintlimits_R f(x,y),dA) over an ordinary rectangle (R), we formed the Riemann sum [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(x_i,y_j)Delta A = sum_^msum_^n f(x_i,y_i)Delta xDelta y] where each ((x_i,y_j)) is a sample point in the (ij)th subrectangle. Taking the limit as the number of subrectangles goes to infinity is, in fact, our definition of (iintlimits_R f(x,y),dA).

    What if instead we want to integrate (f(x,y)) over a polar rectangle (R)? We can write (f(x,y)) in polar coordinates as (f(rcos heta, rsin heta)) by using the relations (x=rcos heta), (y=rsin heta). Now if we subdivide (R) into polar subrectangles, we have [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j)Delta A] where each ((r_i, heta_j)) is a sample point in the (ij)th polar subrectangle.

    For example, a Riemann sum over a polar rectangle with (4) radial subdivisions and (3) angular subdivisions might look graphically like

    If we pick the sample points in the Riemann sum to be the centers of the polar subrectangles, then as just discussed, we can write (Delta A = r_iDelta rDelta heta), and our Riemann sum becomes [iintlimits_R f(x,y),dA approx sum_^msum_^n f(r_icos heta_j, r_isin heta_j) r_iDelta rDelta heta] (notice the (r_i) arising from (Delta A) on the right hand side!).

    Taking the limit as (m) and (n) go to infinity turns the right hand side into an iterated integral:

    Illustrated Example

    Worked Solution

    The region (R) is the polar rectangle (0le rle 1), (pi/2le hetalepi). Using (x=rcos heta) and (y=rsin heta), we write the integrand in polar coordinates as [egin x^2-3x+y^2 &= (rcos heta)^2-3rcos heta+(rsin heta)^2 &= r^2(cos^2 heta+sin^2 heta)-3rcos heta &= r^2 - 3rcos heta. koniec]

    Remembering to include the extra factor of (r) when converting to polar coordinates, the desired integral is [egin iintlimits_R (x^2-3x+y^2), dA &= int_^piint_0^1 (r^2-3rcos heta),r,dr,d heta &= int_^piint_0^1 (r^3-3r^2cos heta),dr,d heta &= int_^pileft(left(frac<1><4>r^4-r^3cos heta ight)Bigg|_0^1 ight), d heta &= int_^pileft(frac<1><4>-cos heta ight),d heta &= left(frac<1><4> heta-sin heta ight)Bigg|_^pi &= left(frac<4>+0 ight)-left(frac<8>-1 ight) &= frac<8>+1. koniec]

    Visualizing the Example

    The following animation shows the polar Riemann sums approximating this double integral as the number of subdivisions increases.

    Notice that the polar rectangles closer to the origin are much narrower looking than the ones further out, so if we had two boxes in a polar Riemann sum with the same height, the one closer to the origin would contribute less to the result than the one further out. This is not true in the ordinary, non-polar Riemann sums we've looked at in these sums, all the subrectangles have the same area (Delta A = Delta x Delta y), so two boxes with the same height have the same volume and hence always contribute the same amount to the Riemann sum. However, in polar Riemann sums, the area of a polar subrectangle is (Delta A = rDelta rDelta heta), which depends also on (r), the distance from the origin. Thus polar subrectangles closer to the origin (with small (r)) contribute less to the result than polar subrectangles further from the origin (with bigger (r)). We see this graphically in the narrow rectangles near the origin, and symbolically in the extra factor of (r) that shows up when writing the double integral as an iterated integral in polar coordinates.

    Further Questions

    1. Work this example again using the other order of integrals, integrating first with respect to ( heta) then (r).
    2. How would our answer change if our region of integration were instead the sector of the unit disk in the first quadrant? What about the third quadrant? Fourth quadrant? Try to answer these questions without redoing the whole calculation instead, think about which parts of the calculation would change, and how.
    3. Based on your answers to Question 2, what would we get if we integrated (x^2-3x+y^2) over the entire unit disk?
    4. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the angular range as (alphale hetaleeta), with (0le eta-alphale 2pi). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (eta-alpha > 2pi)?
    5. In the box on Double Integrals in Polar Coordinates, we defined the radial range as (0le ale rle b). What could go wrong with our polar rectangles if we allow (a < 0)?

    Using the Mathematica Demo

    All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 15_4DoubleIntegralsInPolarCoordinates.nb.

    This notebook generates images and animations like those on this page of polar Riemann sums for any integrand (f(r, heta)) and any polar rectangle.

    As an exercise, use the notebook to provide clear graphical answers to Questions 2 and 3 above.

    Then, can you come up with an integrand (f(r, heta)) and bounds so that the notebook produces Riemann sums approximating the area of the unit circle, or the volume of the unit sphere? What about a cone of radius 1 and height 1?


    Double Integrals in Polar Coordinates (Exercises)

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral

    Converting to Polar Coordinates:

    In Exercises 29–32, use polar coordinates to set up and evaluate the double integral


    Double Integrals in Polar Coordinates

    A series of free Calculus Video Lessons.
    How to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.
    How to transform and evaluate double integrals from Cartesian co-ordinates to polar co-ordinates?



    Double Integral Using Polar Coordinates - Part 1 of 3
    This video shows how to use polar coordinates to set up a double integral to find the volume underneath a plane and above a circular region.

    Try the free Mathway calculator and problem solver below to practice various math topics. Try the given examples, or type in your own problem and check your answer with the step-by-step explanations.

    We welcome your feedback, comments and questions about this site or page. Please submit your feedback or enquiries via our Feedback page.


    Príklad 1

    Evaluate the double integral $iint_R x + 2y : dA$ where $R$ is the region of area between the semicircles above the $x$ -axis of $x^2 + y^2 = 1$ and $x^2 + y^2 = 4$ .

    We note that $f(x, y) = x + 2y$ and so $f(r cos heta, r sin heta) = r cos heta + 2r sin heta$ . Using the formula above, we can convert our double integral into the following iterated integrals:


    Multivariable Calculus

    Objectives

    After completing this section you should.

    Be able to change coordinates of a double integral between Cartesian and polar coordinates

    We now want to explore how to perform (u)-substitution in high dimensions. Let's start with a review from first semester calculus.

    Review 11.3.1

    Consider the integral (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx ext<.>)

    Let (u=-3x ext<.>) Solve for (x) and then compute (dx ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<3>^<-12>e^u left(-frac<1><3> ight)du ext<.>)

    Explain why (dsint_<-1>^4 e^ <-3x>dx=int_<-12>^<3>e^u left|-frac<1><3> ight| du ext<.>)

    If the (u)-values are between (-3) and (2 ext<,>) what would the (x)-values be between? How does the length of the (u) interval ([-3,2]) relate to the length of the corresponding (x) interval?

    In the exercise above, we used a change of coordinates (u=-3x ext<,>) or (x=-1/3 u ext<.>) By taking derivatives, we found that (dx=-frac<1><3>du ext<.>) The negative means that the orientation of the interval was reversed. The fraction (frac13) tells us that lengths (dx) using (x) coordinates will be (1/3)rd as long as lengths (du) using (u) coordinates. When we write (dx = fracdu ext<,>) the number (frac) is called the Jacobian of (x) with respect to (u ext<.>) The Jacobian tells us how lengths are altered when we change coordinate systems. We now generalize this to polar coordinates. Before we're done with this section, we'll generalize the Jacobian to any change of coordinates.

    Exercise 11.3.2

    Consider the polar change of coordinates (x=rcos heta) and (y=rsin heta ext<,>) which we could just write as

    If you need a reminder of how to compute determinants, refer to Section 2.3.1

    Compute the derivative (Dvec T(r, heta) ext<.>) You should have a 2 by 2 matrix.

    We need a single number from this matrix that tells us something about area. Determinants are connected to area.

    Compute the determinant of (Dvec T(r, heta)) and simplify.

    The determinant you found above is called the Jacobian of the polar coordinate transformation. Let's summarize these results in a theorem.

    Theorem 11.3.1

    If we use the polar coordinate transformation (x=rcos heta, y=rsin heta ext<,>) then we can switch from ((x,y)) coordinates to ((r, heta)) coordinates if we use

    Ask me in class to give you an informal picture approach that explains why (dxdy=rdrd heta ext<.>)

    The number (|r|) is called the Jacobian of (x) and (y) with respect to (r) and ( heta ext<.>) If we require all bounds for (r) to be nonnegative, we can ignore the absolute value. If (R_) is a region in the (xy) plane that corresponds to the region (R_) in the (r heta) plane (where (rgeq 0)), then we can write

    začať iint_<>> f(x,y) dxdy = iint_<>> f(rcos heta,rsin heta) r drd heta. koniec

    Subsection 11.3.1 Practice Changing Coordinates

    We need some practice using this idea. We'll start by describing regions using inequalities on (r) and ( heta ext<.>)

    Exercise 11.3.3

    For each region (R) below, draw the region in the (xy)-plane. Then give a set of inequalities of the form (aleq rleq b, alpha(r)leq heta leq eta(r)) or (alphalt hetalt eta, a( heta)leq rleq b( heta) ext<.>) For example, if the region is the inside of the circle (x^2+y^2=9 ext<,>) then we could write (0leq hetaleq 2pi ext<,>) (0leq rleq 3 ext<.>)

    The region (R) is the quarter circle in the first quadrant inside the circle (x^2+y^2=25 ext<.>)

    The region (R) is below (y=sqrt<9-x^2> ext<,>) above (y=x ext<,>) and to the right of (x=0 ext<.>)

    The region (R) is the triangular region below (y=sqrt 3 x ext<,>) above the (x)-axis, and to the left of (x=1 ext<.>)

    Exercise 11.3.4

    Consider the opening exercise for this unit. We want to find the volume under (f(x,y)=9-x^2-y^2) where (xgeq0) and (zgeq 0 ext<.>) We obtained the integral formula

    Write bounds for the region (R) by giving bounds for (r) and ( heta ext<.>)

    Rewrite the double integral as an iterated integral using the bounds for (r) and ( heta ext<.>) Don't forget the Jacobian (as (dxdy=rdrd heta)).

    Compute the integral in the previous part by hand. [Suggestion: you'll want to simplify (9-x^2-y^2) to (9-r^2) before integrating.]

    Exercise 11.3.5

    Find the centroid of a semicircular disc of radius (a) ((ygeq 0)). Actually compute any integrals.

    Exercise 11.3.6

    try switching coordinate systems to polar coordinates. This will require you to first draw the region of integration, and then then obtain bounds for the region in polar coordinates.

    We're now ready to define the Jacobian of any transformation.

    Subsection 11.3.2 Computational Practice

    These are provided to help you achieve better skills in basic computational answers.


    Pozri si video: Basic concepts of web applications, how they work and the HTTP protocol (November 2021).