Články

2.3: Limitné zákony - matematika


V predchádzajúcej časti sme limity hodnotili prezeraním grafov alebo zostavením tabuľky hodnôt. Tieto dva výsledky spolu s limitnými zákonmi slúžia ako základ pre výpočet mnohých limitov.

Vyhodnocovanie limitov zákonmi o limitoch

Prvé dva limitné zákony boli uvedené skôr a my ich tu opakujeme. Tieto základné výsledky spolu s ostatnými zákonmi o medziach umožňujú vyhodnotiť limity mnohých algebraických funkcií.

Výsledky základného limitu

Pre akékoľvek reálne číslo (a ) a každú konštantu (c ),

  1. ( Displaystyle lim_ {x → a} x = a )
  2. ( Displaystyle lim_ {x → a} c = c )

Príklad ( PageIndex {1} ): Vyhodnotenie základného limitu

Vyhodnoťte každý z nasledujúcich limitov pomocou poznámky.

  1. ( Displaystyle lim_ {x → 2} x )
  2. ( Displaystyle lim_ {x → 2} 5 )

Riešenie:

  1. Hranica x, keď sa x blíži k a, je: ( Displaystyle lim_ {x → 2} x = 2 ).
  2. Limitom konštanty je táto konštanta: ( Displaystyle lim_ {x → 2} 5 = 5 ).

Teraz sa pozrieme na obmedzujúce zákony, jednotlivé vlastnosti limitov. Dôkazy, ktoré tieto zákony platia, sú tu vynechané.

Obmedziť zákony

Nech (f (x) ) a (g (x) ) sú definované pre všetky (x ≠ a ) cez nejaký otvorený interval obsahujúci (a ). Predpokladajme, že (L ) a (M ) sú reálne čísla také, že ( Displaystyle lim_ {x → a} f (x) = L ) a ( Displaystyle lim_ {x → a} g (x) = M ). Nech (c ) je konštanta. Potom platí každé z nasledujúcich vyhlásení:

  • Sumárny zákon pre limity:

[ Displaystyle lim_ {x → a} (f (x) + g (x)) = lim_ {x → a} f (x) + lim_ {x → a} g (x) = L + M ]

  • Rozdielny zákon pre limity:

[ Displaystyle lim_ {x → a} (f (x) −g (x)) = lim_ {x → a} f (x) - lim_ {x → a} g (x) = L − M ]

  • Neustále viacnásobné zákonné obmedzenie:

[ Displaystyle lim_ {x → a} cf (x) = c⋅ lim_ {x → a} f (x) = cL ]

  • Zákon o výrobkoch pre limity:

[ Displaystyle lim_ {x → a} (f (x) ⋅g (x)) = lim_ {x → a} f (x) ⋅ lim_ {x → a} g (x) = L⋅M ]

  • Kvocientový zákon pre limity:

[ displaystyle lim_ {x → a} frac {f (x)} {g (x)} = frac { displaystyle lim_ {x → a} f (x)} { displaystyle lim_ {x → a} g (x)} = frac {L} {M} ]

pre (M ≠ 0 ).

  • Zákon o sile limitov:

[ Displaystyle lim_ {x → a} (f (x)) ^ n = ( lim_ {x → a} f (x)) ^ n = L ^ n ]

pre každé kladné celé číslo (n ).

  • Koreňový zákon pre limity:

[ Displaystyle lim_ {x → a} sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] { lim_ {x → a} f (x)} = sqrt [n] {L} ]

pre všetky (L ), ak (n ) je nepárne, a pre (L≥0 ), ak (n ) je párne.

V súčasnosti uplatňujeme tieto zákony o limitoch na vyhodnotenie limitu.

Príklad ( PageIndex {2A} ): Vyhodnotenie limitu pomocou limitných zákonov

Použite zákon o limitoch na vyhodnotenie [ lim_ {x → −3} (4x + 2). nonumber ]

Riešenie

Poďme postupne uplatňovať limitné zákony, aby sme sa uistili, že rozumieme ich fungovaniu. Musíme mať na pamäti požiadavku, že pri každom použití limitného zákona musia existovať nové limity, aby sa mohol uplatniť limitný zákon.

( Displaystyle lim_ {x → −3} (4x + 2) ) = ( displaystyle lim_ {x → −3} 4x + lim_ {x → −3} 2 ) Uplatnite zákon o sume.

= ( Displaystyle 4⋅ lim_ {x → −3} x + lim_ {x → −3} 2 ) Uplatnite konštantné násobné právo.

= (4⋅ (−3) + 2 = −10. ) Použite výsledky základného limitu a zjednodušte ho.

Všimnite si, že to zodpovedá nahradeniu (- 3 ) za (x ) v pôvodnej funkcii. Len si treba dať pozor, aby v tomto okamihu hranica existovala.

Príklad ( PageIndex {2B} ): Opakované používanie limitných zákonov

Pomocou limitných zákonov vyhodnotte [ lim_ {x → 2} frac {2x ^ 2−3x + 1} {x ^ 3 + 4}. nonumber ]

Riešenie

Na nájdenie tohto limitu je potrebné, aby sme zákony o limite použili niekoľkokrát. Opäť si musíme uvedomiť, že pri prepísaní limitu na ďalšie limity musí byť pre uplatnenie zákona o limite k dispozícii každá nová hranica.

( Displaystyle lim_ {x → 2} frac {2x ^ 2−3x + 1} {x ^ 3 + 4} = frac { displaystyle lim_ {x → 2} (2x ^ 2−3x + 1 )} { displaystyle lim_ {x → 2} (x ^ 3 + 4)} ) Použite zákon kvocientu, uistite sa, že ((2) ^ 3 + 4 ≠ 0. )

= ( Displaystyle frac { displaystyle 2⋅ lim_ {x → 2} x ^ 2−3⋅ lim_ {x → 2} x + lim_ {x → 2} 1} { displaystyle lim_ {x → 2} x ^ 3 + lim_ {x → 2} 4} ) Použite zákon súčtu a konštantné násobné právo

= ( Displaystyle frac { displaystyle 2⋅ ( lim_ {x → 2} x) ^ 2−3⋅ lim_ {x → 2} x + lim_ {x → 2} 1} { displaystyle ( lim_ {x → 2} x) ^ 3 + lim_ {x → 2} 4} ) Použite zákon moci.

= ( Displaystyle frac {2 (4) −3 (2) +1} {(2) ^ 3 + 4} = frac {1} {4} ). Uplatňovať základné zákony o obmedzeniach a zjednodušovať ich.

Všimnite si, že to zodpovedá nahradeniu (2 ) za (x ) v pôvodnej funkcii. Len si treba dať pozor, aby v tomto okamihu hranica existovala.

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Pomocou limitných zákonov môžete vyhodnotiť ( Displaystyle lim_ {x → 6} (2x − 1) sqrt {x + 4} ). V každom kroku uveďte použité limitné právo.

Pomôcka

Začnite uplatňovaním zákona o výrobkoch.

Alebo stačí nahradiť (6 ) za (x ) v pôvodnej funkcii. Len si treba dať pozor, aby v tomto okamihu hranica existovala.

Odpoveď

(11 sqrt {10} )


2.3 Limitné zákony

V predchádzajúcej časti sme limity hodnotili prezeraním grafov alebo zostavením tabuľky hodnôt. V tejto časti stanovujeme zákony na výpočet limitov a učíme sa, ako tieto zákony uplatňovať. V Študentskom projekte na konci tejto časti máte možnosť použiť tieto limitné zákony na odvodenie vzorca pre plochu kruhu úpravou metódy navrhnutej gréckym matematikom Archimedesom. Začneme preformulovaním dvoch užitočných výsledkov limitu z predchádzajúcej časti. Tieto dva výsledky spolu s limitnými zákonmi slúžia ako základ pre výpočet mnohých limitov.

Vyhodnocovanie limitov zákonmi o limitoch

Prvé dva zákony o limite boli uvedené v Dvoch dôležitých limitoch a my ich tu opakujeme. Tieto základné výsledky spolu s ostatnými zákonmi o medziach umožňujú vyhodnotiť limity mnohých algebraických funkcií.

Výsledky základného limitu

Pre akékoľvek reálne číslo a a akákoľvek konštanta c,

Príklad 2.13

Vyhodnotenie základného limitu

Vyhodnoťte každý z nasledujúcich limitov pomocou výsledkov základného limitu.

Riešenie

Teraz sa pozrieme na limitné zákony, jednotlivé vlastnosti limitov. Dôkazy, ktoré tieto zákony platia, sú tu vynechané.

Obmedziť zákony

Zákon súčtu pre limity: lim x → a (f (x) + g (x)) = lim x → af (x) + lim x → ag (x) = L + M lim x → a (f (x) + g (x)) = lim x → af (x) + lim x → ag (x) = L + M

Zákon rozdielu pre limity: lim x → a (f (x) - g (x)) = lim x → af (x) - lim x → ag (x) = L - M lim x → a (f (x) - g (x)) = lim x → af (x) - lim x → ag (x) = L - M

Konštantné viacnásobné právo pre limity: lim x → a c f (x) = c · lim x → a f (x) = c L lim x → a c f (x) = c · lim x → a f (x) = c L

Zákon o produkte pre limity: lim x → a (f (x) · g (x)) = lim x → af (x) · lim x → ag (x) = L · M lim x → a (f (x) · g (x)) = lim x → af (x) · lim x → ag (x) = L · M

Kvocient zákona pre limity: lim x → af (x) g (x) = lim x → af (x) lim x → ag (x) = LM lim x → af (x) g (x) = lim x → af ( x) lim x → ag (x) = LM pre M ≠ 0 M ≠ 0

Silový zákon pre limity: lim x → a (f (x)) n = (lim x → af (x)) n = L n lim x → a (f (x)) n = (lim x → af (x) ) n = L n pre každé kladné celé číslo n.

V súčasnosti uplatňujeme tieto zákony o limitoch na vyhodnotenie limitu.

Príklad 2.14

Vyhodnotenie limitu pomocou limitných zákonov

Použite zákony limitu na vyhodnotenie lim x → −3 (4 x + 2). lim x → -3 (4 x + 2).

Riešenie

Poďme postupne uplatňovať limitné zákony, aby sme sa uistili, že rozumieme ich fungovaniu. Musíme mať na pamäti požiadavku, že pri každom použití limitného zákona musia existovať nové limity, aby sa mohol uplatniť limitný zákon.

lim x → −3 (4 x + 2) = lim x → −3 4 x + lim x → −3 2 Použite zákon súčtu. = 4 · lim x → −3 x + lim x → −3 2 Aplikujte konštantné násobné právo. = 4 · (−3) + 2 = −10. Použite výsledky základného limitu a zjednodušte to. lim x → −3 (4 x + 2) = lim x → −3 4 x + lim x → −3 2 Použite zákon súčtu. = 4 · lim x → −3 x + lim x → −3 2 Aplikujte konštantné násobné právo. = 4 · (−3) + 2 = −10. Použite výsledky základného limitu a zjednodušte to.

Príklad 2.15

Opakované používanie limitných zákonov

Použite zákony limitu na vyhodnotenie lim x → 2 2 x 2 - 3 x + 1 x 3 + 4. lim x → 2 2 x 2 - 3 x + 1 x 3 + 4.

Riešenie

Na nájdenie tohto limitu je potrebné, aby sme zákony o limite použili niekoľkokrát. Opäť si musíme uvedomiť, že pri prepísaní limitu na ďalšie limity musí byť pre uplatnenie zákona o limite k dispozícii každá nová hranica.

lim x → 2 2 x 2 - 3 x + 1 x 3 + 4 = lim x → 2 (2 x 2 - 3 x + 1) lim x → 2 (x 3 + 4) Použite zákon kvocientu a dbajte na to. (2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · lim x → 2 x 2 - 3 · lim x → 2 x + lim x → 2 1 lim x → 2 x 3 + lim x → 2 4 Použite zákon súčtu a konštantný násobok zákon. = 2 · (lim x → 2 x) 2 - 3 · lim x → 2 x + lim x → 2 1 (lim x → 2 x) 3 + lim x → 2 4 Použite mocenský zákon. = 2 (4) - 3 (2) + 1 (2) 3 + 4 = 1 4. Uplatňovať základné zákony o obmedzeniach a zjednodušovať ich. lim x → 2 2 x 2 - 3 x + 1 x 3 + 4 = lim x → 2 (2 x 2 - 3 x + 1) lim x → 2 (x 3 + 4) Použite zákon kvocientu a dbajte na to. (2) 3 + 4 ≠ 0 = 2 · lim x → 2 x 2 - 3 · lim x → 2 x + lim x → 2 1 lim x → 2 x 3 + lim x → 2 4 Použite zákon súčtu a konštantný násobok zákon. = 2 · (lim x → 2 x) 2 - 3 · lim x → 2 x + lim x → 2 1 (lim x → 2 x) 3 + lim x → 2 4 Použite mocenský zákon. = 2 (4) - 3 (2) + 1 (2) 3 + 4 = 1 4. Uplatňovať základné zákony o obmedzeniach a zjednodušovať ich.

Použite zákon o limitoch na vyhodnotenie lim x → 6 (2 x - 1) x + 4. lim x → 6 (2 x - 1) x + 4. V každom kroku uveďte použité limitné právo.

Limity polynomiálnych a racionálnych funkcií

Limity polynomiálnych a racionálnych funkcií

Ak chcete vidieť, že táto veta platí, zvážte polynóm p (x) = c n x n + c n - 1 x n - 1 + ⋯ + c 1 x + c 0. p (x) = c n x n + c n - 1 x n - 1 + ⋯ + c 1 x + c 0. Aplikáciou súčtového, konštantného násobku a zákonov moci nakoniec skončíme

Príklad 2.16

Vyhodnotenie limitu racionálnej funkcie

Vyhodnoťte limit x → 3 2 x 2 - 3 x + 1 5 x + 4. lim x → 3 2 x 2 - 3 x + 1 5 x + 4.

Riešenie

Pretože 3 je v doméne racionálnej funkcie f (x) = 2 x 2 - 3 x + 1 5 x + 4, f (x) = 2 x 2 - 3 x + 1 5 x + 4, môžeme vypočítať limit nahradením 3 za X do funkcie. Teda

Vyhodnoťte lim x → −2 (3 x 3 - 2 x + 7). lim x → −2 (3 x 3 - 2 x + 7).

Ďalšie techniky vyhodnotenia limitu

Ako sme videli, limity polynómov a limity niektorých (ale nie všetkých) racionálnych funkcií môžeme ľahko vyhodnotiť priamou substitúciou. Ako sme však videli v úvodnej časti o limitoch, určite je možné, aby lim x → a f (x) lim x → a f (x) existovali, keď f (a) f (a) nie je definované. Nasledujúce pozorovanie nám umožňuje vyhodnotiť mnoho obmedzení tohto typu:

Aby ste tejto myšlienke lepšie porozumeli, zvážte limitnú hranicu lim x → 1 x 2 - 1 x - 1. lim x → 1 x 2 - 1 x - 1.

Stratégia riešenia problémov

Stratégia riešenia problémov: Výpočet limitu, keď f (x) / g (x) f (x) / g (x) má neurčitý tvar 0/0

  1. Najprv sa musíme ubezpečiť, že naša funkcia má príslušnú formu a nemožno ju okamžite vyhodnotiť pomocou limitných zákonov.
  2. Potom musíme nájsť funkciu, ktorá sa rovná h (x) = f (x) / g (x) h (x) = f (x) / g (x) pre všetky x ≠ a x ≠ a v nejakom intervale obsahujúcom a. Možno budeme musieť vyskúšať jeden alebo viac z nasledujúcich krokov:
    1. Ak sú f (x) f (x) a g (x) g (x) polynómy, mali by sme zohľadniť každú funkciu a zrušiť všetky bežné faktory.
    2. Ak čitateľ alebo menovateľ obsahuje rozdiel zahŕňajúci druhú odmocninu, mali by sme sa pokúsiť vynásobiť čitateľa a menovateľa konjugátom výrazu obsahujúceho druhú odmocninu.
    3. Ak je f (x) / g (x) f (x) / g (x) zložitý zlomok, začneme jeho zjednodušením.

    Nasledujúce príklady demonštrujú použitie tejto stratégie riešenia problémov. Príklad 2.17 ilustruje techniku ​​faktora a rušenia. Príklad 2.18 ukazuje násobenie konjugátom. V príklade 2.19 sa pozrieme na zjednodušenie zložitého zlomku.

    Príklad 2.17

    Vyhodnotenie limitu faktorovaním a zrušením

    Vyhodnoťte lim x → 3 x 2 - 3 x 2 x 2 - 5 x - 3. lim x → 3 x 2 - 3 x 2 x 2 - 5 x - 3.

    Riešenie

    Krok 2. Pre všetky x ≠ 3, x 2 - 3 x 2 x 2 - 5 x - 3 = x 2 x + 1. x ≠ 3, x 2 - 3 x 2 x 2 - 5 x - 3 = x 2 x + 1. Preto

    Krok 3. Vyhodnoťte pomocou limitných zákonov:

    Vyhodnoťte lim x → −3 x 2 + 4 x + 3 x 2 - 9. lim x → −3 x 2 + 4 x + 3 x 2 - 9.

    Príklad 2.18

    Vyhodnotenie limitu vynásobením konjugátom

    Vyhodnoťte lim x → −1 x + 2 - 1 x + 1. lim x → −1 x + 2 - 1 x + 1.

    Riešenie

    Krok 2. Potom vynásobíme čitateľa. Nerozmnožujeme menovateľa, pretože dúfame, že sa (x + 1) (x + 1) v menovateli nakoniec zruší:

    Krok 3. Potom zrušíme:

    Krok 4. Nakoniec použijeme zákony o medzných hodnotách:

    Vyhodnoťte lim x → 5 x - 1 - 2 x - 5. lim x → 5 x - 1 - 2 x - 5.

    Príklad 2.19

    Vyhodnotenie limitu zjednodušením zložitej frakcie

    Vyhodnoťte lim x → 1 1 x + 1 - 1 2 x - 1. lim x → 1 1 x + 1 - 1 2 x - 1.

    Riešenie

    Krok 2. Ďalej sa množíme prostredníctvom čitateľov. Neznásobujte menovatele, pretože chceme mať možnosť zrušiť faktor (x - 1): (x - 1):

    Krok 3. Potom zjednodušíme čitateľ:

    Krok 4. Teraz vytratíme −1 z čitateľa:

    Krok 5. Potom zrušíme spoločné faktory (x - 1): (x - 1):

    Krok 6. Na záver hodnotíme použitie limitných zákonov:

    Vyhodnoťte lim x → −3 1 x + 2 + 1 x + 3. lim x → −3 1 x + 2 + 1 x + 3.

    Príklad 2.20 nespadá úhľadne do žiadneho zo vzorov ustanovených v predchádzajúcich príkladoch. Avšak pri troche kreativity môžeme stále používať tieto rovnaké techniky.

    Príklad 2.20

    Vyhodnotenie limitu, keď sa limity neuplatňujú

    Vyhodnoťte lim x → 0 (1 x + 5 x (x - 5)). lim x → 0 (1 x + 5 x (x - 5)).

    Riešenie

    Vyhodnoťte lim x → 3 (1 x - 3 - 4 x 2 - 2 x - 3). lim x → 3 (1 x - 3 - 4 x 2 - 2 x - 3).

    Poďme sa znova pozrieť na jednostranné limity. Jednoduché úpravy v zákonoch o limitoch nám umožňujú aplikovať ich na jednostranné limity. Napríklad na uplatnenie limitných zákonov na limit tvaru lim x → a - h (x), lim x → a - h (x) vyžadujeme, aby bola funkcia h (x) h (x) definovaná nad otvorený interval tvaru (b, a) (b, a) pre limit tvaru lim x → a + h (x), lim x → a + h (x), vyžadujeme funkciu h (x) h (x) bude definované v otvorenom intervale tvaru (a, c). (a, c). Príklad 2.21 ilustruje tento bod.

    Príklad 2.21

    Vyhodnotenie jednostranného limitu pomocou limitných zákonov

    Ak je to možné, vyhodnotte každý z nasledujúcich limitov.

    Riešenie

    V príklade 2.22 sa pozrieme na jednostranné limity po častiach definovanej funkcie a pomocou týchto limitov urobíme záver o dvojstrannom limite tej istej funkcie.

    Príklad 2.22

    Vyhodnotenie obojstranného limitu pomocou limitných zákonov

    Riešenie

    Príklad 2.23

    Vyhodnotenie limitu formy K / 0, K ≠ 0 K / 0, K ≠ 0 pomocou limitných zákonov

    Vyhodnoťte lim x → 2 - x - 3 x 2 - 2 x. lim x → 2 - x - 3 x 2 - 2 x.

    Riešenie

    Vyhodnoťte lim x → 1 x + 2 (x - 1) 2. lim x → 1 x + 2 (x - 1) 2.

    Veta o stlačení

    Techniky, ktoré sme doteraz vyvinuli, fungujú veľmi dobre pre algebraické funkcie, stále však nie sme schopní vyhodnotiť limity veľmi základných trigonometrických funkcií. Nasledujúca veta, ktorá sa nazýva squeeze theorem, sa ukazuje ako veľmi užitočná na stanovenie základných trigonometrických limitov. Táto veta nám umožňuje vypočítať limity pomocou „stlačenia“ funkcie s limitom v bode a to nie je známe, medzi dvoma funkciami, ktoré majú spoločný známy limit na a. Obrázok 2.27 ilustruje túto myšlienku.

    Veta o stlačení

    kde Ľ je reálne číslo, potom lim x → a g (x) = L. lim x → a g (x) = L.

    Príklad 2.24

    Aplikácia Squeezeovej vety

    Aplikujte vetu squeeze na vyhodnotenie lim x → 0 x cos x. lim x → 0 x cos x.

    Riešenie

    Pomocou vety o squeeze vyhodnotíme lim x → 0 x 2 sin 1 x. lim x → 0 x 2 hriech 1 x.

    Teraz používame vetu o squeeze na zvládnutie niekoľkých veľmi dôležitých obmedzení. Aj keď je táto diskusia trochu zdĺhavá, tieto limity sa ukazujú ako neoceniteľné pre vývoj materiálu v ďalšej časti aj nasledujúcej kapitole. Prvým z týchto limitov je lim θ → 0 sin θ. lim θ → 0 sin θ. Zvážte kruh jednotiek zobrazený na obrázku 2.29. Na obrázku vidíme, že sin θ sin θ je r- súradnica na jednotkovom kruhu a zodpovedá úsečke zobrazenej modrou farbou. Radiánová miera uhla θ je dĺžka oblúka, ktorý zužuje na jednotkovú kružnicu. Preto vidíme, že pre 0 & lt θ & lt π 2, 0 & lt sin θ & lt θ. 0 & lt θ & lt π 2, 0 & lt sin θ & lt θ.

    Teraz sa pozrieme na limit, ktorý hrá dôležitú úlohu v ďalších kapitolách - konkrétne na lim θ → 0 sin θ θ. lim θ → 0 sin θ θ. Na vyhodnotenie tohto limitu používame jednotkovú kružnicu na obrázku 2.30. Všimnite si, že tento obrázok pridáva k obrázku 2.30 jeden ďalší trojuholník. Vidíme, že dĺžka bočného opačného uhla θ v tomto novom trojuholníku je tan θ. tan θ. Vidíme teda, že pre 0 & lt θ & lt π 2 sin θ & lt θ & lt tan θ. 0 & lt θ & lt π 2, sin θ & lt θ & lt tan θ.

    Príklad 2.25

    Vyhodnotenie dôležitého trigonometrického limitu

    Vyhodnoťte lim θ → 0 1 - cos θ θ. lim θ → 0 1 - cos θ θ.

    Riešenie

    V prvom kroku sa vynásobíme konjugátom, aby sme pomocou trigonometrickej identity mohli previesť kosínus v čitateľovi na sínus:

    Vyhodnoťte lim θ → 0 1 - cos θ sin θ. lim θ → 0 1 - cos θ sin θ.

    Študentský projekt

    Odvodenie vzorca pre oblasť kruhu

    Niektoré z geometrických vzorcov, ktoré dnes považujeme za samozrejmé, boli najskôr odvodené metódami, ktoré predpokladajú niektoré z metód výpočtu. Mimoriadne vynaliezavý bol grécky matematik Archimedes (asi 287 - 212 pred n. L.), Ktorý pomocou polygónov vpísaných do kruhov priblížil plochu kruhu so zvyšujúcim sa počtom strán mnohouholníka. Nikdy neprišiel s myšlienkou limitu, ale môžeme túto myšlienku využiť na to, aby sme zistili, čo mohli jeho geometrické konštrukcie predpovedať o limite.

    Plochu kruhu môžeme odhadnúť výpočtom plochy vpísaného pravidelného mnohouholníka. Myslite na to, že pravidelný polygón je tvorený n trojuholníky. Keď vezmeme limit, keď vrcholový uhol týchto trojuholníkov klesne na nulu, môžeme získať plochu kruhu. Ak to chcete vidieť, vykonajte nasledujúce kroky:

      Vyjadrite výšku h a základňu b rovnoramenného trojuholníka na obrázku 2.31 z hľadiska θ θ a r.

    Technika odhadu oblastí regiónov pomocou polygónov je uvedená v úvode do integrácie.

    Oddiel 2.3 Cvičenia

    V nasledujúcich cvičeniach použite zákony o limite na vyhodnotenie každého limitu. Každý krok zdôvodnite uvedením príslušných právnych predpisov o medzných hodnotách.


    Vyhodnocovanie limitov

    „Hodnotenie“ znamená nájsť hodnotu (myslieť e- "hodnota “-nášanie)

    V príklade vyššie sme povedali, že limit bol 2, pretože vyzeralo to, že to bude. Ale to nie je dosť dobré!

    V skutočnosti existujú mnohými spôsobmi získať presnú odpoveď. Pozrime sa na niektoré:

    1. Stačí vložiť hodnotu

    Prvá vec, ktorú treba vyskúšať, je vložiť hodnotu limitu a zistiť, či funguje (inými slovami substitúcia).


    2.3: Limitné zákony - matematika

    Nastal čas, aby sme skutočne vypočítali nejaké limity. Avšak predtým, ako to urobíme, budeme potrebovať niektoré vlastnosti limitov, ktoré nám trochu uľahčia život. Poďme sa teda na tie prvé pozrieť. Dôkaz o niektorých z týchto vlastností nájdete v časti Dôkazy o rôznych limitných vlastnostiach v kapitole Dodatky.

    Vlastnosti

    Najskôr budeme predpokladať, že ( mathop < lim> limits_ f doľava (x doprava) ) a ( mathop < lim> limity_ g left (x right) ) existujú a že (c ) je ľubovoľná konštanta. Potom,

    Inými slovami, multiplikatívnu konštantu môžeme „vyčísliť“ mimo limitu.

    Aby sme teda vzali limit súčtu alebo rozdielu, stačí, aby sme vzali limit jednotlivých častí a potom ich dali späť spolu s príslušným znamienkom. To tiež nie je obmedzené iba na dve funkcie. Táto skutočnosť bude fungovať bez ohľadu na to, koľko funkcií máme oddelených znakmi „+“ alebo „-“.

    Limity produktov berieme rovnako, ako limitu súm alebo rozdielov. Stačí vziať limit kusov a potom ich dať opäť dokopy. Rovnako ako v prípade súčtov alebo rozdielov, ani táto skutočnosť sa neobmedzuje iba na dve funkcie.

    Ako je uvedené vo vyhlásení, musíme sa obávať, že limit v menovateli bude nulový, až keď urobíme limit kvocientu. Keby bola nula, skončili by sme s chybou delenia nulou a musíme sa tomu vyhnúť.

    V tejto vlastnosti (n ) môže byť akékoľvek reálne číslo (kladné, záporné, celé číslo, zlomok, iracionálny, nula, atď.). V prípade, že (n ) je celé číslo, možno toto pravidlo považovať za rozšírený prípad 3.

    Zvážte napríklad prípad (n = ) 2.

    Toto je iba špeciálny prípad predchádzajúceho príkladu.

    Inými slovami, hranica konštanty je iba konštanta. Mali by ste byť schopní presvedčiť sa o tom nakreslením grafu (f doľava (x doprava) = c ).

    Rovnako ako pri poslednom by ste sa mali o tom presvedčiť nakreslením grafu (f doľava (x doprava) = x ).

    Toto je naozaj iba špeciálny prípad majetku 5 pomocou (f doľava (x doprava) = x ).

    Upozorňujeme, že všetky tieto vlastnosti platia aj pre obidve jednostranné limity, len sme ich nezapísali s jednostrannými limitmi, aby sme ušetrili miesto.

    Vypočítajme limit alebo dva pomocou týchto vlastností. Nasledujúcich pár príkladov nás prevedie niekoľkými skutočne užitočnými faktami o limitoch, ktoré budeme neustále používať.

    Prvýkrát použijeme na výpočet limitu iba vlastnosti uvedené vyššie.

    Najskôr použijeme majetok 2 rozdeliť limit na tri samostatné limity. Potom použijeme majetok 1 aby sme dostali konštanty z prvých dvoch limitov. Toto nám dáva,

    [začať mathop < lim> limity_ doľava (<3+ 5x - 9> vpravo) & = mathop < lim> limity_ 3 + mathop < lim> limits_ 5x - mathop < lim> limits_ 9 & = 3 mathop < lim> limits_ + mathop <5 lim> limits_ x - mathop < lim> limity_ 9 koniec]

    Teraz môžeme používať vlastnosti 7 cez 9 skutočne vypočítať limit.

    [začať mathop < lim> limity_ doľava (<3+ 5x - 9> vpravo) & = 3 mathop < lim> limity_ + mathop <5 lim> limits_ x - mathop < lim> limity_ 9 & = 3 < vľavo (<- 2> vpravo) ^ 2> + 5 vľavo (<- 2> vpravo) - 9 & = - 7 koniec]

    Teraz si všimnime, že keby sme to definovali

    potom by bol príklad postupu,

    [začať mathop < lim> limity_ p doľava (x doprava) & = mathop < lim> limity_ doľava (<3+ 5x - 9> vpravo) & = 3 < vľavo (<- 2> vpravo) ^ 2> + 5 vľavo (<- 2> vpravo) - 9 & = - 7 & = p vľavo (<- 2> vpravo) koniec]

    Inými slovami, v tomto prípade vidíme, že limit je rovnaká hodnota, ktorú by sme dostali iba vyhodnotením funkcie v danom bode. Zdá sa, že to porušuje jeden z hlavných pojmov obmedzení, ktoré sme v tomto bode videli.

    V predchádzajúcich dvoch častiach sme sa veľmi zaoberali skutočnosťou, že limity sa nestarajú o to, čo sa deje v danom bode. Záleží im len na tom, čo sa deje okolo bodu. Ako do toho zapadá predchádzajúci príklad, pretože sa zdá, že porušuje túto hlavnú myšlienku limitov?

    Napriek vzhľadu sa limit stále nezaujíma o to, čo funkcia robí v (x = - 2 ). V tomto prípade je funkcia, ktorú máme, jednoducho „dosť pekná“, takže to, čo sa deje okolo bodu, je úplne rovnaké ako to, čo sa deje v bode. Nakoniec formalizujeme to, čo sa rozumie pod pojmom „dosť pekné“. V tomto okamihu si nerobme starosti s tým, čo je „dosť pekné“. Využime iba to, že niektoré funkcie budú „dosť pekné“, nech už to znamená čokoľvek.

    Funkciou v poslednom príklade bol polynóm. Ukazuje sa, že všetky polynómy sú „dosť pekné“, takže to, čo sa deje okolo bodu, je úplne rovnaké ako to, čo sa deje v bode. To vedie k nasledujúcej skutočnosti.

    Ak (p (x) ) je polynóm, potom,

    [ mathop < lim> limits_ p doľava (x doprava) = p doľava (a doprava) ]

    Na konci tejto časti to značne zovšeobecníme na väčšinu funkcií, ktoré uvidíme v tomto kurze.

    Pozrime sa na ďalší príklad.

    Najprv si všimnite, že môžeme používať majetok 4 napísať limit ako,

    Vlastne by sme mali byť trochu opatrní. Môžeme to urobiť za predpokladu, že limit menovateľa nie je nula. Ako však uvidíme, v tomto prípade to tak nie je, takže sme v poriadku.

    Teraz sú čitateľ aj menovateľ polynómy, takže môžeme vyššie uvedenú skutočnosť použiť na výpočet limitov čitateľa a menovateľa, a teda aj samotného limitu.

    Všimnite si, že limit menovateľa nebol nulový, a tak sme použili vlastníctvo 4 bolo legitímne.

    V predchádzajúcom príklade, rovnako ako v prípade polynómov, sme skutočne iba vyhodnotili funkciu v danom bode. Zdá sa teda, že existuje pomerne veľká trieda funkcií, pre ktoré je to možné vykonať. Poďme to trochu zovšeobecniť.

    Za predpokladu, že (f (x) ) je „dosť pekné“, máme,

    [ mathop < lim> limits_ f left (x right) = f left (a right) hspace <0,5in> mathop < lim> limits_> f doľava (x doprava) = f doľava (a doprava) hspace <0,5in> mathop < lim> limity_> f doľava (x doprava) = f doľava (a doprava) ]

    Opäť budeme formalizovať to, čo máme na mysli, tým, že bude „dosť pekné“. V tejto chvíli sa chceme iba starať o to, ktoré funkcie sú „dosť pekné“. Niektoré funkcie sú „dosť pekné“ pre všetky (x ), zatiaľ čo iné budú iba „dostatočne pekné“ pre všetky hodnoty (x ). Všetko bude závisieť od funkcie.

    Ako sa uvádza vo vyhlásení, táto skutočnosť platí rovnako pre dva jednostranné limity, ako aj pre normálny limit.

    Tu je zoznam niektorých bežných funkcií, ktoré sú „dosť pekné“.

    • Polynómy sú dosť pekné na všetky písmená (x ).
    • Ak ( Displaystyle f doľava (x doprava) = frac <><> ) potom (f (x) ) bude dosť pekné za predpokladu, že obidve (p (x) ) a (q (x) ) sú dosť pekné a ak nedostaneme delenie nulou na bod, ktorý hodnotíme.
    • ( cos left (x right), , , sin left (x right) ) sú dosť pekné na všetky (x )
    • ( sec left (x right), , , tan left (x right) ) sú dosť pekné za predpokladu, (x ne ldots, - frac << 5 pi >> < 2>, - frac << 3 pi >> <2>, frac < pi> <2>, frac << 3 pi >> <2>, frac << 5 pi >> < 2>, ldots ) ​​Inými slovami, sekans a tangenta sú dosť pekné všade, kde kosínus nie je nula. Ak chcete vidieť, prečo si spomenúť, že ide o skutočne racionálne funkcie a že kosínus je v menovateli oboch, vráťte sa späť a pozrite sa na druhú guľku vyššie.
    • ( csc left (x right), , , cot left (x right) ) sú dosť pekné za predpokladu, (x ne ldots, - 2 pi, , , - pi, , , 0, , , pi, , , 2 pi, ldots ) ​​Inými slovami, kosekans a kotangens sú dosť pekné všade, kde sínus nie je nula.
    • ( sqrt [n]) je dosť pekný pre všetkých (x ), ak (n ) je nepárne.
    • ( sqrt [n]) je dosť pekné na (x ge 0 ), ak (n ) je párne. Tu požadujeme (x ge 0 ), aby sme sa nemuseli zaoberať zložitými hodnotami.
    • (, , , << bf> ^ x> ) sú dosť pekné na všetky (x ).
    • (< log _b> x, , , , ln x ) sú dosť pekné na (x & gt 0 ). Pamätajte, že do logaritmov môžeme vkladať iba kladné čísla, nie nulové alebo záporné čísla.
    • Akýkoľvek súčet, rozdiel alebo súčin vyššie uvedených funkcií bude tiež dosť pekný. Podiely budú dosť pekné, ak po vyhodnotení limitu nedostaneme delenie nulou.

    Posledná guľka je dôležitá. To znamená, že pri akejkoľvek kombinácii týchto funkcií musíme iba vyhodnotiť funkciu v danom bode a ubezpečiť sa, že nie je porušené žiadne z obmedzení. To znamená, že teraz môžeme urobiť veľké množstvo obmedzení.

    Toto je kombinácia niekoľkých funkcií uvedených vyššie a žiadne z obmedzení nie je porušené, takže všetko, čo musíme urobiť, je zapojiť (x = 3 ) do funkcie, aby sme dosiahli limit.


    Zápis

    Limit sprava je znázornený takto:

    Vyššie uvedený vzorec nám hovorí, aby sme vypočítali limit f (x), keď sa blíži x a sprava (označené šípkou). Hodnoty budú väčšie ako a.

    Limit zľava je takmer totožný, s výnimkou a+ sa stáva a-.

    Hodnoty budú menšie ako a.

    Keď pracujete s jednostrannými limitmi, často dostanete vzorec podobný vyššie uvedenému a budete požiadaní o vyhodnotenie. Pozrime sa na príklad.


    Vlastnosti limitov

    Ďalej predpokladáme, že limity funkcií ( lim limity_ f doľava (x doprava), ) ( lim limity_ g doľava (x doprava), ) ( lim limity_ left (x right), ) ( ldots, ) ( lim limits_ left (x right) ) existujú.

    Pravidlo súčtu

    Toto pravidlo uvádza, že limit súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu ich limitov:

    Pravidlo rozšírenej sumy

    Pravidlo konštantnej funkcie

    Limitom konštantnej funkcie je konštanta:

    Konštantné viacnásobné pravidlo

    Limita konštantnej doby funkcie sa rovná súčinu konštanty a limitu funkcie:

    Pravidlo produktu

    Toto pravidlo hovorí, že limit súčinu dvoch funkcií je súčinom ich obmedzení (ak existujú):

    Rozšírené produktové pravidlo

    Pravidlo kvocientu

    Limita kvocientu dvoch funkcií je kvocientom ich limitov za predpokladu, že limit vo funkcii menovateľa nie je nula:

    Pravidlo napájania

    kde mocnina (p ) môže byť akékoľvek reálne číslo. Najmä

    Ak (f doľava (x doprava) = x ^ n, ) potom

    Toto je zvláštny prípad predchádzajúcej nehnuteľnosti.

    Limit exponenciálnej funkcie

    Limit logaritmu funkcie

    Veta o stlačení

    Predpokladajme, že (g ľavé (x pravé) le f ľavé (x pravé) le h ľavé (x pravé) ) pre všetky (x ) blízke (a, ) okrem možno za (x = a. ) Ak

    [ lim limits_ f doľava (x doprava) = L. ]

    Myšlienka tu je, že funkcia (f doľava (x doprava) ) je vtesnaná medzi dve ďalšie funkcie, ktoré majú rovnaký limit (L. )


    Obsah

    Pri rovnakom temperamente je vzdialenosť medzi dvoma susednými stupňami stupnice rovnaký interval. Pretože vnímaná identita intervalu závisí od jeho pomeru, je táto mierka v párnych krokoch geometrickou postupnosťou násobení. (Aritmetická sekvencia intervalov by neznela rovnomerne rozložená a neumožnila by transpozíciu do rôznych kľúčov.) Najmenší interval v rovnomerne mierke je konkrétne pomer:

    kde pomer r rozdeľuje pomer p (zvyčajne oktáva, ktorá je 2: 1) do n rovnaké časti. (Pozri dvanásťtónový rovnaký temperament nižšie.)

    Stupnice sa často merajú v centoch, ktoré delia oktávu na 1 200 rovnakých intervalov (každý sa nazýva cent). Táto logaritmická stupnica uľahčuje porovnanie rôznych ladiacich systémov ako porovnanie pomerov a má značné využitie v etnomuzikológii. Základný krok v centoch pre akýkoľvek rovnaký temperament možno zistiť šírkou p vyššie v centoch (zvyčajne oktáva, ktorá je široká 1 200 centov), ​​nazývaná nižšie wa rozdeliť ho na n časti:

    V hudobnej analýze sa materiálu rovnakého temperamentu často dáva celočíselná notácia, čo znamená, že každé ihrisko sa používa na celé číslo. To zjednodušuje a zovšeobecňuje diskusiu o materiáli výšky tónu v temperamente rovnakým spôsobom, že prijatie logaritmu násobenia ho redukuje na sčítanie. Ďalej použitím modulárnej aritmetiky, kde modulom je počet dielov oktávy (zvyčajne 12), je možné tieto celé čísla znížiť na triedy výšky tónu, čo odstráni rozdiel (alebo uznáva podobnosť) medzi výškami rovnakého mena, napr. c je 0 bez ohľadu na oktávový register. Štandard kódovania MIDI používa označenie celých nôt.

    Všeobecné vzorce pre rovnako temperovaný interval Upraviť

    12-tónový rovnaký temperament, ktorý rozdeľuje oktávu na dvanásť rovnako veľkých intervalov, je najbežnejším hudobným systémom, ktorý sa dnes používa, najmä v západnej hudbe.

    História úprav

    Dve čísla, ktoré sa často pripisujú dosiahnutiu presného výpočtu rovnakého temperamentu, sú Zhu Zaiyu (tiež romanized as Chu-Tsaiyu. Chinese: 朱 載 堉) in 1584 and Simon Stevin in 1585. Podľa Fritza A. Kuttnera, kritika theory, [5] it is known that "Chu-Tsaiyu presented a highly precise, simple and ingenious method for arithmetic calculation of equal temperament mono-chords in 1584" and that "Simon Stevin offered a mathematical definition of equal temperament plus a somewhat less precise computation of the corresponding numerical values in 1585 or later." The developments occurred independently. [6]

    Kenneth Robinson attributes the invention of equal temperament to Zhu Zaiyu [7] and provides textual quotations as evidence. [8] Zhu Zaiyu is quoted as saying that, in a text dating from 1584, "I have founded a new system. I establish one foot as the number from which the others are to be extracted, and using proportions I extract them. Altogether one has to find the exact figures for the pitch-pipers in twelve operations." [8] Kuttner disagrees and remarks that his claim "cannot be considered correct without major qualifications." [5] Kuttner proposes that neither Zhu Zaiyu or Simon Stevin achieved equal temperament and that neither of the two should be treated as inventors. [9]

    China Edit

    While China had previously come up with approximations for 12-TET, Zhu Zaiyu was the first person to mathematically solve twelve-tone equal temperament, [10] which he described in his Fusion of Music and Calendar 律暦融通 in 1580 and Complete Compendium of Music and Pitch (Yuelü quan shu 樂律全書 ) in 1584. [11] An extended account is also given by Joseph Needham. [12] Zhu obtained his result mathematically by dividing the length of string and pipe successively by 12 √ 2 ≈ 1.059463, and for pipe length by 24 √ 2 , [13] such that after twelve divisions (an octave) the length was divided by a factor of 2.

    Zhu Zaiyu created several instruments tuned to his system, including bamboo pipes. [14]

    Europe Edit

    Some of the first Europeans to advocate for equal temperament were lutenists Vincenzo Galilei, Giacomo Gorzanis, and Francesco Spinacino, all of whom wrote music in it. [15] [16] [17] [18]

    Simon Stevin was the first to develop 12-TET based on the twelfth root of two, which he described in Van De Spiegheling der singconst (ca. 1605), published posthumously nearly three centuries later in 1884. [19]

    For several centuries, Europe used a variety of tuning systems, including 12 equal temperament, as well as meantone temperament and well temperament, each of which can be viewed as an approximation of the former. Plucked instrument players (lutenists and guitarists) generally favored equal temperament, [20] while others were more divided. [21] In the end, twelve-tone equal temperament won out. This allowed new styles of symmetrical tonality and polytonality, atonal music such as that written with the twelve tone technique or serialism, and jazz (at least its piano component) developed and flourished.

    Mathematics Edit

    In twelve-tone equal temperament, which divides the octave into 12 equal parts, the width of a semitone, i.e. the frequency ratio of the interval between two adjacent notes, is the twelfth root of two:

    This interval is divided into 100 cents.

    Calculating absolute frequencies Edit

    To find the frequency, Pn, of a note in 12-TET, the following definition may be used:

    In this formula Pn refers to the pitch, or frequency (usually in hertz), you are trying to find. Pa refers to the frequency of a reference pitch. n a a refer to numbers assigned to the desired pitch and the reference pitch, respectively. These two numbers are from a list of consecutive integers assigned to consecutive semitones. For example, A4 (the reference pitch) is the 49th key from the left end of a piano (tuned to 440 Hz), and C4 (middle C), and F#4 are the 40th and 46th key respectively. These numbers can be used to find the frequency of C4 and F#4 :

    Converting frequencies to their equal temperament counterparts Edit

    To convert a frequency (in Hz) to it's equal 12-TET counterpart, the following formula can be used:

    Kde En refers to the frequency of a pitch in equal temperament, and a refers to the frequency of a reference pitch. For example, (if we let the reference pitch equal 440 Hz) we can see that E5 and C#5 are equal to the following frequencies respectively:

    Comparison with just intonation Edit

    The intervals of 12-TET closely approximate some intervals in just intonation. [22] The fifths and fourths are almost indistinguishably close to just intervals, while thirds and sixths are further away.

    In the following table the sizes of various just intervals are compared against their equal-tempered counterparts, given as a ratio as well as cents.

    Seven-tone equal division of the fifth Edit

    5 and 7 tone temperaments in ethnomusicology Edit

    Five and seven tone equal temperament (5-TET hrať ( help · info ) a 7-TET hrať ( help · info ) ), with 240 Play ( help · info ) and 171 Play ( help · info ) cent steps respectively, are fairly common.

    5-TET and 7-TET mark the endpoints of the syntonic temperament's valid tuning range, as shown in Figure 1.

    • In 5-TET the tempered perfect fifth is 720 cents wide (at the top of the tuning continuum), and marks the endpoint on the tuning continuum at which the width of the minor second shrinks to a width of 0 cents.
    • In 7-TET the tempered perfect fifth is 686 cents wide (at the bottom of the tuning continuum), and marks the endpoint on the tuning continuum, at which the minor second expands to be as wide as the major second (at 171 cents each).

    5-tone equal temperament Edit

    Indonesian gamelans are tuned to 5-TET according to Kunst (1949), but according to Hood (1966) and McPhee (1966) their tuning varies widely, and according to Tenzer (2000) they contain stretched octaves. It is now well-accepted that of the two primary tuning systems in gamelan music, slendro and pelog, only slendro somewhat resembles five-tone equal temperament while pelog is highly unequal however, Surjodiningrat et al. (1972) has analyzed pelog as a seven-note subset of nine-tone equal temperament (133-cent steps Play ( help · info ) ).

    7-tone equal temperament Edit

    A Thai xylophone measured by Morton (1974) "varied only plus or minus 5 cents," from 7-TET. According to Morton, "Thai instruments of fixed pitch are tuned to an equidistant system of seven pitches per octave . As in Western traditional music, however, all pitches of the tuning system are not used in one mode (often referred to as 'scale') in the Thai system five of the seven are used in principal pitches in any mode, thus establishing a pattern of nonequidistant intervals for the mode." [24] Play ( help · info )

    A South American Indian scale from a pre-instrumental culture measured by Boiles (1969) featured 175-cent seven-tone equal temperament, which stretches the octave slightly as with instrumental gamelan music.

    Chinese music has traditionally used 7-TET. [25] [26]

    Various equal temperaments Edit

    24 EDO, the quarter tone scale (or 24-TET), was a popular microtonal tuning in the 20th century probably because it represented a convenient access point for composers conditioned on standard Western 12 EDO pitch and notation practices who were also interested in microtonality. Because 24 EDO contains all of the pitches of 12 EDO, plus new pitches halfway between each adjacent pair of 12 EDO pitches, they could employ the additional colors without losing any tactics available in 12-tone harmony. The fact that 24 is a multiple of 12 also made 24 EDO easy to achieve instrumentally by employing two traditional 12 EDO instruments purposely tuned a quarter-tone apart, such as two pianos, which also allowed each performer (or one performer playing a different piano with each hand) to read familiar 12-tone notation. Various composers including Charles Ives experimented with music for quarter-tone pianos. 24 EDO approximates the 11th harmonic very well, unlike 12 EDO.

    19 EDO is famous and some instruments are tuned in 19 EDO. It has slightly flatter perfect fifth (at 694 cents), but its major sixth are less than a single cent away from just intonation's major sixth (at 884 cents). Its minor third is also less than a cent from just intonation's. Its perfect fourth (at 503 cents), is only 5 cents sharp than just intonation's and 3 cents sharp from 12-tet's.

    23 EDO is the largest EDO that fails to approximate the 3rd, 5th, 7th, and 11th harmonics (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) within 20 cents, making it attractive to microtonalists looking for unusual microtonal harmonic territory.

    26EDO is the smallest EDO to almost purely tune the 7th harmonic (7:4). It is also a very flat meantone temperament that means after 4 fifths,it produces a neutral 3rd rather than a major one. 26 EDO has two minor thirds and two minor sixths. It could be a bit confusing at first glance because if you play the neutral 3rd it sounds like a very flat major one.26EDO could be an alternative temperament of Barbershop harmony.

    27 EDO is the smallest EDO that uniquely represents all intervals involving the first eight harmonics. It tempers out the septimal comma but not the syntonic comma.

    29 EDO is the lowest number of equal divisions of the octave that produces a better perfect fifth than 12 EDO. Its major third is roughly as inaccurate as 12-TET however, it is tuned 14 cents flat rather than 14 cents sharp. It tunes the 7th, 11th, and 13th harmonics flat as well, by roughly the same amount. This means intervals such as 7:5, 11:7, 13:11, etc., are all matched extremely well in 29-TET.

    31 EDO was advocated by Christiaan Huygens and Adriaan Fokker. 31 EDO has a slightly less accurate fifth than 12 EDO, but provides near-just major thirds, and provides decent matches for harmonics up to at least 13, of which the seventh harmonic is particularly accurate.

    34 EDO gives slightly less total combined errors of approximation to the 5-limit just ratios 3:2, 5:4, 6:5, and their inversions than 31 EDO does, although the approximation of 5:4 is worse. 34 EDO doesn't approximate ratios involving prime 7 well. It contains a 600-cent tritone, since it is an even-numbered EDO.

    41 EDO is the second lowest number of equal divisions that produces a better perfect fifth than 12 EDO. Its major third is more accurate than 12 EDO and 29 EDO, about 6 cents flat. It is not meantone, so it distinguishes 10:9 and 9:8, unlike 31edo. It is more accurate in 13-limit than 31edo.

    46 EDO provides slightly sharp major thirds and perfect fifths, giving triads a characteristic bright sound. The harmonics up to 11 are approximated within 5 cents of accuracy, with 10:9 and 9:5 being a fifth of a cent away from pure. As it's not a meantone system, it distinguishes 10:9 and 9:8.

    53 EDO is better at approximating the traditional just consonances than 12, 19 or 31 EDO, but has had only occasional use. Its extremely good perfect fifths make it interchangeable with an extended Pythagorean tuning, but it also accommodates schismatic temperament, and is sometimes used in Turkish music theory. It does not, however, fit the requirements of meantone temperaments, which put good thirds within easy reach via the cycle of fifths. In 53 EDO, the very consonant thirds would be reached instead by using a Pythagorean diminished fourth (C-F ♭ ), as it is an example of schismatic temperament, just like 41 EDO.

    72 EDO approximates many just intonation intervals well, even into the 7-limit and 11-limit, such as 7:4, 9:7, 11:5, 11:6 and 11:7. 72 EDO has been taught, written and performed in practice by Joe Maneri and his students (whose atonal inclinations typically avoid any reference to just intonation whatsoever). It can be considered an extension of 12 EDO because 72 is a multiple of 12. 72 EDO has a smallest interval that is six times smaller than the smallest interval of 12 EDO and therefore contains six copies of 12 EDO starting on different pitches. It also contains three copies of 24 EDO and two copies of 36 EDO, which are themselves multiples of 12 EDO. 72 EDO has also been criticized for its redundancy by retaining the poor approximations contained in 12 EDO, despite not needing them for any lower limits of just intonation (e.g. 5-limit).

    96 EDO approximates all intervals within 12.5 cents, which is barely distinguishable. As an eightfold multiple of 12, it can be used fully like the common 12 EDO. It has been advocated by several composers, especially Julián Carrillo from 1924 to the 1940s. [28]

    Other equal divisions of the octave that have found occasional use include 15 EDO, 17 EDO, 19 EDO and 22 EDO.

    2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 are denominators of first convergents of log2(3), so 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 twelfths (and fifths), being in correspondent equal temperaments equal to an integer number of octaves, are better approximation of 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 and 15601 just twelfths/fifths than for any equal temperaments with fewer tones. [29] [30]

    1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200. (sequence A060528 in the OEIS) is the sequence of divisions of octave that provide better and better approximations of the perfect fifth. Related sequences contain divisions approximating other just intervals. [31]

    This application: [1] calculates the frequencies, approximate cents, and MIDI pitch bend values for any systems of equal division of the octave. Note that 'rounded' and 'floored' produce the same MIDI pitch bend value.

    Equal temperaments of non-octave intervals Edit

    The equal-tempered version of the Bohlen–Pierce scale consists of the ratio 3:1, 1902 cents, conventionally a perfect fifth plus an octave (that is, a perfect twelfth), called in this theory a tritave ( play ( help · info ) ), and split into thirteen equal parts. This provides a very close match to justly tuned ratios consisting only of odd numbers. Each step is 146.3 cents ( play ( help · info ) ), or 13 √ 3 .

    Wendy Carlos created three unusual equal temperaments after a thorough study of the properties of possible temperaments having a step size between 30 and 120 cents. These were called alfa, betaa gamma. They can be considered as equal divisions of the perfect fifth. Each of them provides a very good approximation of several just intervals. [32] Their step sizes:

    • alfa: 9 √
    • 3 ⁄ 2 (78.0 cents) Play( help · info )
    • beta: 11 √
    • 3 ⁄ 2 (63.8 cents) Play( help · info )
    • gamma: 20 √
    • 3 ⁄ 2 (35.1 cents) Play( help · info )

    Alpha and Beta may be heard on the title track of her 1986 album Beauty in the Beast.

    Proportions between semitone and whole tone Edit

    In this section, semitone a whole tone may not have their usual 12-EDO meanings, as it discusses how they may be tempered in different ways from their just versions to produce desired relationships. Let the number of steps in a semitone be s, and the number of steps in a tone be t.

    There is exactly one family of equal temperaments that fixes the semitone to any proper fraction of a whole tone, while keeping the notes in the right order (meaning that, for example, C, D, E, F, and F ♯ are in ascending order if they preserve their usual relationships to C). That is, fixing q to a proper fraction in the relationship qt = s also defines a unique family of one equal temperament and its multiples that fulfil this relationship.

    The smallest of these families is 12k-EDO, and in particular, 12-EDO is the smallest equal temperament that has the above properties. Additionally, it also makes the semitone exactly half a whole tone, the simplest possible relationship. These are some of the reasons why 12-EDO has become the most commonly used equal temperament. (Another reason is that 12-EDO is the smallest equal temperament to closely approximate 5-limit harmony, the next-smallest being 19-EDO.)


    Test Both Sides!

    It is like running up a hill and then finding the path is magically "not there".

    . but if we only check one side, who knows what happens?

    So we need to test it from both directions to be sure where it "should be"!

    Príklad pokračoval

    So, let's try from the other side:

    X (x 2 − 1) (x − 1)
    1.5 2.50000
    1.1 2.10000
    1.01 2.01000
    1.001 2.00100
    1.0001 2.00010
    1.00001 2.00001
    . .

    Also heading for 2, so that's OK


    Obsah

    An infinite series or simply a series is an infinite sum, represented by an infinite expression of the form [4]

    If an abelian group A of terms has a concept of limit (e.g., if it is a metric space), then some series, the convergent series, can be interpreted as having a value in A, nazvaný sum of the series. This includes the common cases from calculus, in which the group is the field of real numbers or the field of complex numbers. Given a series s = ∑ n = 0 ∞ a n < extstyle s=sum _^a_> , its kth partial sum is [3]

    Convergent series Edit

    A series ∑an is said to converge or to be convergent when the sequence (sk) of partial sums has a finite limit. If the limit of sk is infinite or does not exist, the series is said to diverge. [5] [3] When the limit of partial sums exists, it is called the value (or sum) of the series

    An easy way that an infinite series can converge is if all the an are zero for n sufficiently large. Such a series can be identified with a finite sum, so it is only infinite in a trivial sense.

    Working out the properties of the series that converge, even if infinitely many terms are non-zero, is the essence of the study of series. Consider the example

    The idiom can be extended to other, equivalent notions of series. For instance, a recurring decimal, as in

    Since these series always converge to real numbers (because of what is called the completeness property of the real numbers), to talk about the series in this way is the same as to talk about the numbers for which they stand. In particular, the decimal expansion 0.111. can be identified with 1/9. This leads to an argument that 9 × 0.111. = 0.999. = 1 , which only relies on the fact that the limit laws for series preserve the arithmetic operations for more detail on this argument, see 0.999. .


    Pozri si video: 2 - Newtonovy zákony FYZ - Dynamika (December 2021).