Články

52.2: Základy - matematika


52.2: Základy - matematika

Matematické koncepty: Základy

Prakticky všetky univerzálne programovacie jazyky zahŕňajú číselné dátové typy a aritmetické operátory na vykonávanie jednoduchých výpočtov a ukladanie výsledkov. Je prakticky nemožné postúpiť z úplného začiatočníka na strednú (alebo dokonca pokročilú začiatočnícku) úroveň programátora bez dôkladného pochopenia týchto základných typov a operácií.

Niektoré ďalšie možnosti (napr. Umocňovanie, logaritmy, trigonometrické funkcie, výpočty očakávanej presnosti / veľkosti) sú zvyčajne poskytované v samotnom jazyku alebo v štandardnej knižnici dodanej s tlmočníkom alebo prekladačom. Aj keď programátor nemá všetky tieto funkcie uložené v pamäti (v skutočnosti je to len veľmi málo programátorov), mal by mať pracovné porozumenie pre čo najviac z nich, jasný prehľad o rozsahu poskytovaných schopností a znalosti kam ísť, kde získate podrobnú dokumentáciu alebo ďalšie informácie.


52.2: Základy - matematika

Číselný systém bol desatinný so špeciálnymi symbolmi pre 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 a 1 000 000. Pridanie sa uskutočnilo zoskupením a preskupením. Násobenie a delenie boli v podstate založené na binárnych násobkoch. Frakcie boli všadeprítomné, ale boli povolené iba jednotkové frakcie, až na dve výnimky. Všetky ostatné zlomky sa museli zapisovať ako súčet jednotkových zlomkov. Geometria bola obmedzená na oblasti, objemy a podobnosť. Kuriózne však je, že objemové miery pre zlomkové časti hekatu s objemom približne 4,8 litra boli symbolicky vyjadrené odlišne od ostatných.

Jednoduché algebraické rovnice boli riešiteľné, dali sa vyriešiť aj sústavy rovníc v dvoch dimenziách.

Symbolická notácia pre čísla.

1 = vertikálny zdvih
10 = uzdraviť kosť
100 = pasca
1,000 = lotosový kvet
10,000 = ohnutý prst
100,000 = ryba mník
1,000,000 = kľačiacu postavu

Upozorňujeme, že existuje veľa interpretácií toho, čo tieto hieroglyfy môžu predstavovať.

Čísla sa tvoria zoskupením.

Sčítanie sa vytvára zoskupením

Pre tieto čísla si všimnite alternatívne formuláre.

Násobenie je v zásade binárne.

Ak vyberieme 8 a 16 (t. J.), Máme

Delenie je tiež v podstate binárne.

329 12
12 1 zdvojnásobenie 329
24 2 - 192
48 4 137
96 8 - 96
192 16 41
384 32 - 24
17
- 12
5

Je zrejmé, že distribučné zákony pre množenie a delenie boli dobre pochopené.

Zlomky Zdá sa, že Egypťania povolili iba jednotkové zlomky, až na dve výnimky, a. Všetky ostatné zlomky musia byť prevedené na jednotkové zlomky. Symbol pre jednotkové zlomky bol sploštený ovál nad menovateľom. V skutočnosti bol tento ovál dôstojnosťou, ktorú používali Egypťania pre „ústa.“ V prípade objemovej miery hekat sa bežne používané zlomkové časti ( frac <1> <4>, > frac <1 > <8>, > frac <1> <16>, > frac <1> <32> $ -> a boli označené časťami symbolu pre „Horovo oko“. 4 Pre bežné zlomky máme v modernej notácii nasledujúce.

Všetky ostatné zlomky musia byť prevedené na jednotkové zlomky. Napríklad:


Už ste niekedy premýšľali alebo sa pýtali sami seba, čo je algebra? Odkiaľ sa to vzalo? Ako sa algebra uplatňuje v skutočných situáciách? Nerobte si starosti. Tento článok vás krok za krokom prevedie pochopením algebry a riešením niekoľkých algebraických problémov.

Študenti v zásade začnú svoju matematickú cestu tým, že sa naučia vykonávať základné operácie, ako sú sčítanie a odčítanie. Odtiaľ študent postúpi na násobenie a potom na delenie. Neskôr alebo skôr študent dospeje do bodu, v ktorom bude schopný čeliť zložitým problémom. O čom to hovoríme? Algebra, samozrejme!

Niektorí ľudia nesprávne označujú algebru ako operáciu, ktorá sa zaoberá písmenami a číslami. Algebra v skutočnosti existovala pred vynálezom tlačiarenského stroja pred viac ako 2 500 rokmi. Zavedenie tlače iniciovalo použitie symbolov v algebre. Preto je Algebra dobre definovaná ako použitie matematických rovníc na modelovanie myšlienok. Myšlienky modelujeme vo forme matematických rovníc, aby sme vyriešili problémy okolo nás.

Dejiny algebry

Slovo algebra pochádza z arabského slova al-Jabr, čo znamená ukladanie zlomených častí k sebe. Tento výraz je uvedený v knihe „Kompendentná kniha o výpočte dokončením a vyvážením“ od perzského matematika a astronóma Al-Khwarizmiho. V pätnástom storočí sa algebra pôvodne používala na popísanie chirurgického zákroku, pri ktorom došlo k zjednoteniu vykĺbených zlomených kostí. Z tejto diskusie môžeme povedať, že algebra nám pomáha znovu spojiť kúsky informácií.

Prečo potrebujeme študovať algebru?

Pochopenie algebry je pre študenta zásadne dôležité v triede aj mimo nej. Algebra zostruje schopnosť študenta uvažovať. Študenti môžu stručne a systematicky riešiť matematické úlohy.

Pozrime sa na dôležitosť algebry v skutočnom živote.

  • Batoľa alebo kojenec môže aplikovať algebru sledovaním trajektórie pohybujúcich sa objektov pomocou očí. Podobne môžu deti odhadnúť vzdialenosť medzi nimi a hračkou, a tak ju dokážu chytiť. Preto malé deti používajú algebru napriek skutočnosti, že o algebre nemajú dostatočné vedomosti.
  • Algebra sa v počítačovej vede používa na písanie algoritmov programov. Algebra sa tiež používa v strojárstve na výpočet správnych proporcií na implementáciu majstrovského diela. Možno ich uvidíte neskôr, keď budete napredovať vo svojej kariére.
  • Vyžadujete algebru, aby ste vedeli, kedy sa máte zobudiť a robiť ranné práce alebo sa pripraviť na vyučovanie.
  • Už ste niekedy hodili špinu do koša? Minuli ste, alebo ste vytvorili perfektný záber? Potrebujete algebru na odhad vzdialenosti medzi vami a odpadkovým košom a na odhad odporu vzduchu.
  • Použitie algebry počíta obchodné zisky a straty. Z tohto dôvodu je pre správu vašich financií nevyhnutná dobrá znalosť algebry.
  • Algebra sa široko uplatňuje v športe. Napríklad brankár sa môže ponoriť do lopty odhadom rýchlosti lopty. Športovec môže tiež zvýšiť svoje tempo odhadom vzdialenosti medzi nimi a cieľovou čiarou.
  • Algebra sa ocitá v kuchyni, ako je varenie, miešanie surovín a určovanie doby varenia.
  • Aplikácií algebry je neúrekom. Tento telefón, ktorý používate, počítačové hry, ktoré hráte, sú ovocím algebry. Počítačová grafika je vyvinutá na algebre.

Ako urobiť Algebru?

Známe hodnoty aj neznáme hodnoty zvyčajne uvidíte v algebraickom výraze a pre neznámu hodnotu vyriešite rovnicu. Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, musíte urobiť algebru, v ktorej musíte postupovať v rovnakom poradí operácií, aké robíte pre celé čísla.

Napríklad , najskôr vyriešite, čo sa nachádza v zátvorke, potom postupujte postupne v nasledujúcich operáciách: exponenty, násobenie, delenie, sčítanie a odčítanie.

Nasleduje výraz, ktorý uvidíte v algebraickom výraze.

  • Rovnica je výrok alebo veta, ktorá definuje dve identity oddelené znamienkom rovná sa (=).
  • Výraz je zoznam alebo skupina rôznych výrazov, ktoré sú zvyčajne oddelené znakom „+“ alebo „-“

Ak a a b sú dve celé čísla, nasledujú nasledujúce základné algebraické výrazy:

  • Sčítacia rovnica: a + b
  • Odčítacia rovnica: b - a
  • Multiplikačná rovnica: ab
  • Deliaca rovnica: a / b alebo a ÷ b

Základné problémy s algebrou

Základné algebraické vzorce sú:

  • [latex] a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) [/ latex]
  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • a 2 + b 2 = (a - b) 2 + 2ab
  • (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
  • (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
  • (a - b - c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc
  • (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
  • (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Nájdite hodnotu t, ak t + 15 = 30

Nájdite hodnotu y, keď, 9y = 63

Zvážte prípad výpočtu výdavkov na potraviny:

Chcete ísť nakupovať a kúpiť si 2 tucty vajec za 10 dolárov, 3 bochníky chleba za 5 dolárov a 5 fliaš s nápojmi, každé za 8 dolárov. Koľko peňazí potrebuješ?

Tento problém môžete začať riešiť napríklad tak, že komodite priradíte list:


Máte intuíciu správne. Prvý princíp znamená, že pre daný problém použijete základné definície, vlastnosti alebo axiómy. Napríklad, ak sa od vás požaduje, aby ste našli deriváciu $ tan (x) $ z prvých princípov, urobili by ste niečo ako toto:

Môžete použiť $ tan (x) = frac < sin (x)> < cos (x)> $ a použiť pravidlo kvocientu, to by však nebolo považované za prvé princípy. Nepoužívate základnú definíciu, ale pravidlo / vlastnosť, ktorá je dôsledkom hlavnej definície.

Podobne pri integrácii $ f (x) = x ^ <2> $ to robí z prvých princípov implikácia použitia Riemannovej integrácie a ukážka, že konverguje a hľadanie hodnoty.

Prvé princípy sú základné evidentné predpoklady, s ktorými začíname vždy, keď sa snažíme začať dokazovať veci. Sú dosť podobné ako axiómy, ale rád si myslím, že sú také ako axiómy minimálne súbor predpokladov, zatiaľ čo vaše prvé princípy zahŕňajú všetky ostatné zrejmé fakty tiež.

Dokazovanie niečoho „od prvých princípov“ kontrastuje s tým, čo som počul, ako niektorí ľudia označujú ako, jazda v klinec s kladivom. Určite môže byť váš problém ľahko vyriešený, ale niekedy to nepôsobí veľmi elegantne, zvlášť ak by váš problém nemal byť príliš tvrdý na vyriešenie. Inštruktori teda niekedy požiadajú, aby ste preukázali výrok „od prvých princípov“, aby ste zistili, že môžete prísť s elegantným argumentom. Bežným príkladom toho je použitie pravidla spoločnosti L'Hôpital na vyhodnotenie určitých limitov. Spoločnosť L'Hôpital's kladivom: nie je okamžite zrejmé, prečo pravidlo spoločnosti L'Hôpital funguje, a jeho dôkaz nie je priamy. Použitie pravidla L'Hôpital na analýzu inak ľahko vyhodnotiteľného limitu sa javí ako nevhodné.


$ sum_ (a_-a_k) b_k $

Začnem prepisom súčtu na pravej strane rovnice:

Túto najnovšiu hodnotu je možné vrátiť do pôvodného práva:

čo je skutočne ľavá strana rovnice (posledný krok je podľa asociatívneho zákona povolený, ale to sa na okraj nezmestilo).

$ p (k) = k + (-1) ^ k c $

Je zrejmé, že pre každé možné (celé číslo) $ k $ existuje jeden $ p (k) $. Takže musím ukázať, že na každých $ m $ existuje jediný $ k $ taký, že $ p (k) = m $, definujúci $ p ^ <-1> $.

Knižná metóda je inteligentná, moja jednoznačne menej, ale pokiaľ viem, stále správne: za $ m $ považujem $ m-c $ a $ m + c $. Rozdiel je $ 2c $, takže sú obidve párne alebo obidve nepárne.

Ak sú obidve párne, potom $ m-c + (- 1) ^c = m $, takže $ k = m-c $. Ak sú obidve nepárne, potom $ m + c + (- 1) ^c = m $, takže $ k = m + c $. Takže $ k $ je vždy dobre definované pre každý $ m $ a $ p $ je skutočne permutácia.

$ sum_^ n (-1) ^ k k ^ 2 $

Aj keď som našiel uzavretý vzorec pre sumu, nemohol som to urobiť pomocou metódy repertoáru.

Riešenie súčtu nie je naozaj ťažké (aj keď o niečo viac ako repertoárová metóda, ak viete, ako na to) jedným zo spôsobov je samostatné riešenie kladných a záporných súm (dajú sa rozdeliť na už vyriešené súčty) iný jedným je výpočet súčtu párneho počtu členov (jeden kladný a jeden záporný), potom výpočet súčtov nepárneho počtu členov (pridaním výrazu k predchádzajúcemu riešeniu) a nakoniec kombináciou oboch nájdeme uzavretý vzorec.

V obidvoch vyššie uvedených pokusoch som sa pokúsil odstrániť faktor $ (- 1) ^ k $ z výrazov pri použití metódy repertoáru, ktorú som sa pokúsil urobiť rovnako, a preto som zlyhal.

Metóda repertoáru sa opiera o dobrú intuíciu: človek musí mať zmysel pre všeobecný tvar parametrických funkcií. Spätne sa to javí ako zrejmé, ale nemohol som to vidieť, zaslepený tým, ako som bol o $ (- 1) ^ k $.

Vyjadrenie súčtu ako opakovania je jednoduché:

Pri pohľade na prvých pár výrazov súčtu, $ -1, 3, -6, 10, -15, dots $, je prirodzené zvážiť riešenia v tvare $ (- 1) ^ n F (n) $ je trochu zložitejšie zistiť, kam by dobré zovšeobecnenie opakovania vyššie malo umiestniť ďalšie výrazy:

S takouto formou sa zapojenie riešení $ (- 1) ^ nF (n) $ zjednoduší na $ F (n) = beta + gamma n + delta n ^ 2 - F (n-1) $.

V tejto fáze je veľmi ľahké nájsť funkcie $ A (n) $, $ B (n) $, $ C (n) $ a $ D (n) $ (riešenie, ktoré hľadáme) . V skutočnosti, ak vám záleží len na $ D (n) $, potom stačí použiť $ R_n = (-1) ^ n n $ a $ R_n = (-1) ^ n n ^ 2 $:

$ R_n = (-1) ^ n n $

$ R_n = (-1) ^ n n ^ 2 $

čo dáva $ B (n) -2C (n) + 2D (n) = (-1) ^ n n ^ 2 $. V kombinácii s predchádzajúcou odpoveďou máme $ 2D (n) = (-1) ^ n (n ^ 2-n) $ alebo $ D (n) = (-1) ^ n frac<2>$.

Toto cvičenie je zabalené

Pri spätnom pohľade mi tieto kroky mohli pomôcť vyriešiť toto cvičenie podľa plánu:

  • spočítajte prvých pár výrazov, aby ste zistili, či je v tomto prípade niečo zrejmé na ich tvare, faktor $ (- 1) ^ n $
  • spočiatku napíšeme rekurenčné rovnice čo najjednoduchšie, pričom všetky časti & # 8220inconvenient & # 8221 ich porovnajú s tvarmi & # 8220 tvarov & # 8221 identifikovanými v predchádzajúcom kroku, môžu poskytnúť určitý prehľad o všeobecných riešeniach a možno tieto zložité časti odstrániť.
  • až potom zvážte, ako zovšeobecniť rekurenčné rovnice. Základný prípad je vždy $ R_0 = alpha $, opakujúci sa prípad by mal pridať parametre ku každému výrazu a ďalšie výrazy (s vlastnými parametrami) na dokončenie niektorých základných tried problémov (napríklad ak existuje nejaký polynóm, mal by existovať termín pre každú mocninu menšiu ako najväčšia mocnina pôvodného problému ďalšou základnou triedou je zovšeobecnený Josephusov problém založený na radixe)
  • každú triedu problémov je možné vyriešiť nezávisle, čo uľahčuje hľadanie potenciálnych riešení a ich kombinovanie.

$ sum_^ n k2 ^ k $

Nie je to príliš komplikované, prinajmenšom zavedenie $ j $ nie je záhadou (na rozdiel od nasledujúceho cvičenia).

Vnútorný súčet možno prepísať na

Tu používam už známu sumu $ sum 2 ^ k $. Uvedenie tohto posledného výsledku do pôvodnej sumy

$ sum_^ n k ^ 3 $

Trvalo mi nejaký čas, kým som sa presvedčil, že pôvodný prepis bol legitímny, nakoniec som to urobil indukciou (knižná verzia je oveľa kratšia, a keď ju uvidíte, oveľa ľahšie). Je zrejmé, že to funguje za $ n = 1 $, takže za predpokladu, že to platí za $ n-1 $, máme

Takže prepis je správny. V tejto fáze to (2.33) pekne dokončuje:

$ frac> > = frac> > $

Konverzie rastovej a klesajúcej faktoriálnej sily

Ja urobím iba prevod zo zvýšenia faktoriálnej sily na klesajúcu faktoriálnu moc, iná konverzia je rovnaká.

Pre ostatné rovnosti indukciou na $ m $ a použitím (2.52) a jeho ekvivalentu zvyšujúcich faktoriálnych síl:

Základný prípad $ m = 0 $

Všetky vyplývajú z definície:

Ostatné kladné $ m $

Za predpokladu, že vzťahy budú platiť pre všetky $ k, 0 le k lt m $:

Záporné $ m $

Pomocou vzťahov rekurencie odvodených z (2.52) a jej ekvivalentu zvýšenia faktoriálnej sily:

Za predpokladu, že vzťahy budú platiť pre všetkých $ k, m lt k le 0 $:

Takže hlavnou ťažkosťou je odvodiť dve rovnosti z (2.52) (štyri, ak počítame aj záporné prípady) a identifikácia rekurentnej rovnice v indukčnom kroku (najmä pre $ (x + m-1) ^ < zdôrazniť>$).

Absolútna konvergencia komplexných súm

Predpokladám, že by som mohol povedať, že to vyplýva priamo z ekvivalencie metrických funkcií (ak je moja pamäť terminológie metrického priestoru správna).

Ekvivalencia výrokov v zásade vyplýva zo vzťahov založených na vzorci prepony: $ sqrt <(Rz) ^ 2 + (Iz) ^ 2> le | Rz | + | Iz | $, takže absolútna konvergencia reálnej a imaginárnej časti znamená absolútnu konvergenciu absolútnej hodnoty. Naopak, $ | Rz |, | Iz | le sqrt <(Rz) ^ 2 + (Iz) ^ 2> $, takže absolútna konvergencia absolútnej hodnoty znamená aj absolútnu konvergenciu reálnej aj imaginárnej časti.

Balenie

Tentokrát som našiel riešenie všetkých cvikov, čo je akýsi pokrok. Stále mám problémy s metódou repertoáru, alebo možno nie s metódou samotnou, ale s hľadaním vhodných zovšeobecnení a kandidátskych riešení. To je niečo, čo sa dá vyvinúť iba praxou, takže musím byť trpezlivý a snažiť sa (dúfam, že sa tam nakoniec dostanem).


52.2: Základy - matematika

Ponúkame viac ako 2 000 bezplatných matematických tlačovín, ktoré sa pohybujú v zručnostiach od ročníkov K-12. Mnoho učiteľov hľadá spoločné základné matematické práce. Využite prosím všetky naše tlačiteľné materiály, aby ste si uľahčili deň. Skvelé pre študentov, učiteľov, rodičov a učiteľov. Máme viac ako 12 000 hárkov určených na tlač. Zahŕňa to všetky hlavné tematické oblasti, šablóny, úspory času učiteľa a formuláre. Kompletný zdroj učebných osnov pre učiteľov nájdete v našom centrum predmetov z matematiky.

  1. Dodatok - Jedno, dvoj a trojciferné cvičné listy.
  2. Algebra - Rovnice zahŕňajúce sčítanie, delenie, násobenie a odčítanie.
  3. Plocha a obvod - Plocha a obvod obdĺžnika.
  4. Základná aritmetika - Viac ako 200 hárkov na sčítanie, počítanie, delenie, násobenie a odčítanie.
  5. Počítanie pracovných listov - Prostredníctvom vyfarbovania, kreslenia, vyplňovania a peňazí.
  6. Desatinné miesta - Tabuľky na sčítanie, počítanie, delenie, násobenie a odčítanie.
  7. Divízia - Jedno, dvoj a trojciferné cvičné listy.
  8. Urob teraz! (Špecifický stupeň) - Vyše 240 zahrievacích pracovných listov. Skvelé pre začatie vyučovania.
  9. Odhad - Odhadnite širokú škálu premenných.
  10. Párne a nepárne čísla - Študenti identifikujú párne a nepárne čísla.
  11. Exponenti - Konverzia komponentov a poradie operácií s exponentmi.
  12. Zlomky - Najväčšie spoločné faktory a najmenej spoločné viac pracovných hárkov.
  13. Geometria - Praktický list obsahuje identifikáciu zhodných tvarov a pretínajúcich sa čiar.
  14. Grafy - Cvičenia na tvorbu stĺpcových, čiarových a koláčových grafov.
  15. Väčšie ako menšie, alebo rovnocenné - Porovnania celých čísel, desatinných miest, vizuálov a objektov.
  16. Mriežkový (graf) papier - Potlačiteľný mriežkový papier vo všetkých veľkostiach. Skvelým nápadom je tieto stránky zalaminovať.
  17. Zábava s matematikou - Tieto listy pomáhajú preštudovať základné informácie. Zábava pre všetky príležitosti.
  18. V laboratórnych laboratóriách - Študenti pracujú s rôznymi stratégiami riešenia problémov.
  19. Logaritmické rovnice - V tejto časti nájdete základné až pokročilé zručnosti.
  20. Magické čísla - Zábavné aktivity, ktoré zobrazujú vzory v číslach. - Vytvorené na úrovni ročníka a zarovnané k spoločnému základnému matematickému učebnému plánu.
  21. Matematický generátor pracovných hárkov - Vytvorte si vlastnú aritmetiku, algebru, porovnanie, poradie operácií a zaokrúhľovanie pracovných hárkov.
  22. Matematické hádanky - Zábavné hádanky, ktoré pokrývajú logiku aj základné zručnosti!
  23. Meranie - Skvelé listy na učenie základne 10 meraní. Zahŕňa tiež metrickú konverziu z USA.
  24. Peniaze - Počítanie a slovné úlohy s peniazmi, ktoré študentom pomôžu pochopiť koncepty v reálnom svete.
  25. Násobenie - Táto oblasť bola nedávno výrazne vylepšená. Nájdete harmonogramy, fakty a príliš veľa na vymenovanie.
  26. Násobilka - Tieto grafy tabuliek časov násobenia sú farebné a sú skvelým zdrojom pre výučbu detí ich tabuliek časov násobenia. Kompletná sada bezplatných tlačových časových tabuliek pre 1 až 12 vo formáte Adobe PDF.
  27. Poradie operácií - Tri úrovne objednávacích listov na základe PEMDAS. - Študenti používajú logiku na riešenie tvarových a číselných vzorov.
  28. Hodnota miesta - Široká škála cvičení a aktivít s miestnou hodnotou.
  29. Pomery a proporcie - Tento dlho očakávaný úsek bol práve pridaný. Preberáme základné informácie o používaní v slovných úlohách.
  30. Tabuľky na čítanie - Pomáha študentom interpretovať tabuľky s údajmi. Skontrolujte tiež grafy.
  31. Zaokrúhlenie - Dvoj-, troj- a štvorciferné cvičné listy. Nový dolár, stovky, stotiny, desatiny, tisíce.
  32. Štatistika / pravdepodobnosť - Stredná hodnota, stredná hodnota, režim a kocky.
  33. Burza cenných papierov - Naučte sa trh s akciami pomocou týchto listov.
  34. Odčítanie- Váš mínus sa tento deň rovná tomuto.
  35. Prieskumy - Päť laboratórií pripravených na prieskum, ktoré zahŕňajú zber, triedenie a vytváranie grafov.
  36. Doba rozprávania - Skvelé na učenie analógových hodín.
  37. Puzzle Tic Tac Toe - Zábavná kooperatívna hra. Obsahuje sčítanie, delenie, násobenie a odčítanie.
  38. Slovné úlohy - Slovné úlohy na základnej a strednej úrovni.

Nové - pracovné listy uvedené podľa stupňa

Máme pracovné listy, ktoré sú pre študentov špeciálne klasifikované na základe matematických štandardov výučby.


Matematika je určená pre učiteľov a rodičov, ktorí chcú zapojiť svojich študentov do výučby matematiky

Pre školy

Sledujte, ako vaši študenti rastú

Matematika dáva vašim študentom príležitosť vziať učenie do vlastných rúk, rozvíjať ich autonómiu, riešenie problémov a schopnosť samostatnej práce.

Vyrobené tak, aby vyhovovalo vášmu štýlu

Nemusíte nič meniť & # 8211 Mathletics sa dá prispôsobiť vášmu učebnému štýlu prostredníctvom flexibilného plánovania a vykazovania hodín.

Navrhnuté na zaujatie

Prostredníctvom vnútorných a vonkajších odmien prinášame do učenia matematiky účel, tvorivosť a zábavu.

Pre domov

Matematika doma

Podporte učenie matematiky svojich študentov na mieste, kde sa cítia najbezpečnejšie. Matematika doma môže dať rodičom, učiteľom a domácim pedagógom možnosť formovať cestu učenia sa matematiky svojho dieťaťa prostredníctvom podrobných poznatkov a správ.

Učenie sa zábavou

Najlepšie učenie je príjemné učenie. Matematika spája vnútorné (vnútorné) a vonkajšie (vonkajšie) odmeny s tvorivými dobrodružstvami a vytvára podmanivé zážitky, ktoré preveria vedomosti a schopnosti študentov.

Zarovnané do učebných osnov

Mathletics, postavený na základoch pevného obsahu vedeného učebnými osnovami a navrhnutý tímom pedagógov veteránov, dopĺňa a posilňuje školské práce a učenie v triede s plnou kontrolou v rukách rodiča, tútora alebo domáceho pedagóga.


Makada Henry-Nickie

Kolektívne - štúdie riadenia

Veľké množstvo správ opakovane varovalo pred nedostatkom kvalifikovaných pracovníkov. Napríklad IBM nedávno predpovedala, že sa očakáva, že počet pozícií v oblasti dátovej vedy a analýzy (DSA) do roku 2020 prekročí 2,7 milióna. Podľa IBM „[a] rastie dopyt po pracovníkoch DSA, tento rast vyvíja tlak na ponuku talentu DSA postupne rásť. “ Politických riešení a návrhov nie je nedostatok a majú tendenciu vyžadovať zvýšenie odbornej prípravy pracovnej sily a investície do vzdelávania v oblasti STEM. Napriek podrobným analýzam hlbokých zmien na trhu práce vyvolaných technologickým pokrokom, stále sa nedoceňuje rastúce prepojenie medzi matematikou a prácou. (Väčšinou neviditeľná) všadeprítomnosť matematiky na pracovisku je dôsledkom integrácie pokrokových technológií a digitálnych nástrojov do profesionálnej sféry, čo si v podstate vyžaduje komunikáciu pracovníkov prostredníctvom matematicky zameraných dialógov. Vzhľadom na to, že matematike sa na budúcom pracovisku skutočne nedá vyhnúť, musia tí, ktorí sú v čele našej vzdelávacej agendy, pripraviť pripravovanú pracovnú silu s matematickou gramotnosťou.

Matematická gramotnosť na pracovisku zahŕňa komunikáciu v jazyku, ktorý spája formálnu a neformálnu matematiku a matematické uvažovanie. Zjednodušene povedané, táto forma gramotnosti zahŕňa preklad matematických konceptov a znalostí do prehľadov, riešení alebo produktov v jednoduchom jazyku pre zamestnávateľov alebo klientov, čo má významné dôsledky pre náš celkový prístup k vzdelávaniu a odbornej príprave pracovných síl.

Vezmime si napríklad povolania so strednou kvalifikáciou, tieto práce zvyčajne vyžadujú určité vzdelanie nad rámec strednej školy, nie však viac ako 4 roky. Do tejto kategórie obvykle patria pracovné miesta v zdravotníctve, vo výrobe, v predaji a v doprave. Technológia zmenila prakticky všetky pracovné miesta v týchto odvetviach. USA v tomto trende samozrejme nie sú samy: podľa Jarvisa, Kozuskanicha, Lawa a McCullougha (2015) demografické a technologické zmeny v kanadskom zdravotníctve prispeli k vzrastajúcemu dopytu po technicko-numerických zdravotných sestrách. [1] Jarvis a kol. vyzval bakalárske ošetrovateľské programy, aby sa proaktívne zamerali na začlenenie výpočtovej a koncepčnej matematiky spolu s informačnou a technologickou gramotnosťou. Takéto kompetencie sa čoraz viac formujú rozširujúcim sa prijatím technologických nástrojov a telemedicíny.

Súvisiace

Päť spôsobov, ako môžu učitelia pomôcť študentom pomocou technológií

ČERPANIE od učebných osnov minulosti

AI by sa mala obávať aj kvalifikovaných pracovníkov v oblasti znalostí

Viac ako desať rokov pred prácou Jarvisa a spol. (2015), Magajna a Monaghan (2003) študovali matematiku na pracovisku, ktorú strojní technici v slovinskej sklárni používali pri výrobe formy na fľaše. [2] Autori sa snažili vysvetliť matematické myslenie a zdôvodnenie, ktoré odborne vyškolení technici použili na stanovenie objemu šablóny formy použitej na splnenie objednávky klienta. Poznamenali, že technici sa spoliehali skôr na približné ako na presné výpočty objemu, o ktorých často diskutovali spolu s chybami a riešeniami. Inými slovami, formálna (t. J. Školská) matematika sa úplne nezhodovala s aplikovanou matematikou na pracovisku. Ďalej boli matematické formulácie technikov do značnej miery formované softvérom a technologickými nástrojmi (najmä strojmi a lasermi), ktoré mali k dispozícii. Podľa autorov „matematika [technici] skutočne robila, ich matematika práce bola neoddeliteľne spojená s technológiou, ktorú používali.“

Od roku 2003 došlo v revolúcii v práci strojných technikov vo výrobe k 3D tlači. Táto inovácia si vyžaduje, aby strojníci dojednali objem 3D pevných látok. Technológia 3D tlače zanechala nezmazateľnú stopu aj vo výtvarnom a módnom priemysle. Napriek tomu nás delí svetelné roky od toho, aby bol softvér AutoCAD štandardom v tradičnej triede geometrie pre stredné školy.

Súvisiace knihy

Otvorené siete, uzavreté režimy

Vládna politika voči softvéru s otvoreným zdrojom

Širokopásmové pripojenie

Kľúčovým poznatkom z týchto výskumov je, že matematická gramotnosť je nevyhnutnou kompetenciou. Zdravotné sestry, technici strojov, obchodní zástupcovia v oblasti marketingu a dokonca aj špecialisti na ľudské zdroje musia rozumieť matematike „čiernej skrinky“ ukrytej v nástrojoch umelej inteligencie (AI) a softvérových programoch, ktoré dopĺňajú ich prácu. Pridaná hodnota zamestnancov sa odvíja od ich ľudskej schopnosti interpretovať, racionalizovať a vyjednávať o približných riešeniach a komunikovať algoritmické výstupy ľahko pochopiteľným spôsobom. Možno, keď zamestnávatelia uvedú kritické myslenie a komunikáciu na svojom zozname želaní pracovných síl, toto je druh komunikácie, ktorú majú na mysli.

Vyššie uvedené štúdie a ďalšie kladú zložité epistemologické otázky týkajúce sa druhu matematiky, ktorú by sme mali vyučovať. Napríklad výpočtová nadradenosť počítačov by mala podnietiť rozhovory o prehodnotení kurikulárnych modelov, ktoré nadmerne zdôrazňujú výpočtové schopnosti na úkor koncepčného porozumenia. Gravemeijer, Stephan, Julie, Lin a Ohtani (2017) sa zhodli a naznačili, že by mohlo byť načase zvážiť provokatívne návrhy pedagóga matematiky Zalmana Usiskina, ktorý tvrdil, že „keďže systémy počítačovej algebry na ručných kalkulačkách môžu účinne vykonávať trinomiálny faktoring ... manuálne faktorovanie by mali byť z učebných osnov vypustené. “[3]

Ak navyše technológia mení spôsob organizácie práce, mali by sme vážne zvážiť urýchlenie zavedenia digitálnych technológií do učebne vo všetkých disciplínach. Príklad výrobného procesu strojných technikov osvetľuje úlohu matematiky, ako aj vplyv technologických nástrojov, či už ako obmedzenie alebo vylepšenie, na matematické uvažovanie a výpočet. Rovnako ako digitálne technológie zmenili organizáciu práce, môžu digitálne matematické technológie zmeniť spôsob, akým učíme, učíme sa a aplikujeme matematiku. Na tento účel môže vhodná integrácia digitálnych technológií do vyučovacích postupov podporiť učenie a zvládnutie matematiky a zároveň precvičovať matematické zručnosti spojené s matematikou a ústnym a písomným uvažovaním. Bez ohľadu na genézu výskumu je matematika na pracovisku ako taká nevyhnutná, musíme nájsť spôsoby, ako zlepšiť kvalitu matematickej gramotnosti v spoločnosti ako takej.


Microsoft Small Basic

„Basketbal 0.3
„Autorské práva (c) 2012 Nonki Takahashi. Všetky práva vyhradené.
'
„História:
'0.3 2012/08/21 Zistená kolízia medzi loptou a palubou alebo bránkou. (TKL110-0)
„0,2 2012/08/09 Opravená rovnica. (TKL110)
'0.1 2012/06/24 Vytvorené.
'
' ROBIŤ :
„(1) Prepíšte štruktúru končatiny (nohy a ruky).
„(2) Správny odraz, keď je viazaný na krúžku.
„(3) Grafické používateľské rozhranie.
'
title = "Basketbal 0.3"
GraphicsWindow.Title = názov
šírka = 950
výška = 600
GraphicsWindow.Width = šírka
GraphicsWindow.Height = výška
FLOORY = 550 'poschodie r
ENDX = 105 'koniec x
veľkosť = 24
DrawRoom ()
Ball_Add ()
Cieľ_pridať ()
Man_Add ()
AddControls ()
x = 0
y = FLOORY - veľkosť
Ball_Move ()
uhol = 0 '[stupeň]
delta = 8
nCiel = 0
Aj keď je to pravda
Ak x 30
GraphicsWindow.DrawRectangle (0, FLOORY, width, height - FLOORY)
koncový riadok
GraphicsWindow.PenColor = "biela"
GraphicsWindow.DrawRectangle (ENDX - 5, FLOORY, 5, 0)
„čiara trestného hodu
GraphicsWindow.PenColor = "biela"
GraphicsWindow.DrawRectangle (ENDX + 120 + 455, FLOORY, 5, 0)
„kruh voľného hodu
GraphicsWindow.PenColor = "biela"
GraphicsWindow.DrawRectangle (ENDX + 580 + 180, FLOORY, 5, 0)
„3-bodová čiara
GraphicsWindow.PenColor = "biela"
GraphicsWindow.DrawRectangle (ENDX + 120 + 670, FLOORY, 5, 0)
EndSub

Sub WaitButton
Controls.ShowControl (oThrow)
notClicked = "True"
Controls.ButtonClicked = OnButtonClicked
Zatiaľ čo nie je kliknuté
Program. Oneskorenie (200)
EndWhile
Controls.HideControl (oThrow)
EndSub

Sub OnButtonKliklo
notClicked = "False"
EndSub

Sub Ball_Add
„Lopta | Pridajte loptu
„veľkosť param - veľkosť gule
'návrat oBall
lopta ["num"] = lopta ["num"] + 1
oBall = "Lopta" + lopta ["num"]
guľa [oBall + ".size"] = veľkosť
lopta [oBall + ".angle"] = 0
rad = uhol / 180 * matematický. Pi 'radián
GraphicsWindow.BrushColor = "OrangeRed"
GraphicsWindow.PenColor = "SaddleBrown"
GraphicsWindow.PenWidth = 2
lopta [oBall + ".oBall"] = Shapes.AddEllipse (veľkosť, veľkosť)
GraphicsWindow.PenWidth = 2
oLineU = Shapes.AddEllipse (veľkosť * 0,6, veľkosť * 0,4)
lopta [oBall + ".oLineU"] = oLineU
oLineC = Shapes.AddEllipse (veľkosť * 0,6, veľkosť * 0,4)
lopta [oBall + ".oLineC"] = oLineC
GraphicsWindow.PenColor = "SaddleBrown"
oLineH = Tvary. AddLine (0, 0, veľkosť - 2, 0)
lopta [oBall + ".oLineH"] = oLineH
oLineV = Tvary. AddLine (0, 0, 0, veľkosť - 2)
lopta [oBall + ".oLineV"] = oLineV
GraphicsWindow.PenColor = "biela"
GraphicsWindow.BrushColor = "biela"
oHighlight = Tvary. AddEllipse (veľkosť * 0,7, veľkosť * 0,7)
Shapes.SetOpacity (oHighlight, 30)
lopta [oBall + ".oHighlight"] = oHighlight
Ball_Move ()
EndSub

Sub Ball_Move
„Lopta | Pohybujte loptou
„param oBall
'param x, y - poloha na pohyb
lopta [oBall + ".x"] = x
lopta [oBall + ".y"] = r
uhol = guľa [oBall + ".angle"]
rad = uhol / 180 * matematický. Pi 'radián
size = ball [oBall + ".size"]
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oBall"], x, y)
xU = x + veľkosť * (0,5 + 0,3 * Math.Sin (rad) - 0,3)
yU = y + veľkosť * (0,5 - 0,3 * Math.Cos (rad) - 0,2)
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oLineU"], xU, yU)
xC = x + veľkosť * (0,5 - 0,3 * Math.Sin (rad) - 0,3)
yC = y + veľkosť * (0,5 + 0,3 * Math.Cos (rad) - 0,2)
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oLineC"], xC, yC)
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oLineH"], x + 1, y + veľkosť * 0,5)
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oLineV"], x + veľkosť * 0,5, r)
Tvary. Pohyb (lopta [oBall + ".oHighlight"], x + 1, y + 1)
EndSub

Sub Ball_Rotate
„Lopta | Otočte loptu
„param oBall
'param uhol - uhol otočenia
angle = Math.Remainder (uhol, 360)
Ak uhol Man_MoveLimb ()
EndSub

Sub Man_Catch
"Muž | Chyť loptu
„param oBall
„param oMan
'param x, y - ľavá horná pozícia lopty
EndSub

Sub Man_Hold
"Muž | Držte loptu
„param oBall
„param oMan
x = muž [oMan + ".x"] - 48
y = muž [oMan + ".y"] - 48
Ball_Move ()
„za ruku
al = "1 = 852 = 1203 = 904 = -20"
Man_MoveLimb ()
EndSub


Pozri si video: 10 класс. Алгебра. Преобразование иррациональных выражений. (December 2021).