Články

9.7: Riešenie systémov s inverzami - matematika


Učebné ciele

  • Nájdite inverznú hodnotu matice.
  • Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou inverznej matice

Nancy plánuje investovať (10 ​​500 dolárov) do dvoch rôznych dlhopisov, aby rozšírila svoje riziko. Prvý dlhopis má ročný výnos (10% ) a druhý dlhopis má ročný výnos (6% ). Koľko by mala Nancy investovať do každého dlhopisu, aby získala (8,5% ) výnos z týchto dvoch dlhopisov? Aký je najlepší spôsob riešenia tohto problému? Existuje niekoľko spôsobov, ako môžeme tento problém vyriešiť. Ako sme videli v predchádzajúcich častiach, systémy rovníc a matíc sú užitočné pri riešení skutočných problémov týkajúcich sa financií. Po preštudovaní tejto časti budeme mať nástroje na riešenie úlohy väzby pomocou inverzie matice.

Hľadanie inverzie matice

Vieme, že multiplikatívna inverzná hodnota skutočného čísla (a ) je (a ^ {- 1} ), takže

[aa ^ {- 1} = a ^ {- 1} a = doľava ( dfrac {1} {a} doprava) a = 1 label {eq0} ]

Zvážte napríklad situáciu skalárneho násobenia

[2 ^ {- 1} = dfrac {1} {2} nonumber ]

teda z rovnice ref {eq0}

[ doľava ( dfrac {1} {2} doprava) 2 = 1. nonumber ]

The multiplikatívna inverzia matice je podobný v koncepcii, až na to, že súčin matice (A ) a jej inverznej hodnoty (A ^ {- 1} ) sa rovná matica identity. Matica identity je štvorcová matica, ktorá obsahuje jednotky dole po hlavnej uhlopriečke a nuly všade inde. Identifikujeme matice podľa (I_n ), kde (n ) predstavuje dimenziu matice. Rovnice ref {eq1} a ref {eq2} sú matice identity pre maticu (2 × 2 ) a (3 × 3 ):

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix} label {eq1} ]

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix} label {eq2} ]

Matica identity funguje ako (1 ) v maticovej algebre. Napríklad,

[AI = IA = A nonumber ]

Vlastnosti má matica, ktorá má multiplikatívnu inverziu

[AA ^ {- 1} = I ]

[A ^ {- 1} A = I ]

Matica, ktorá má multiplikatívnu inverziu, sa nazýva an invertibilná matica. Iba štvorcová matica môže mať multiplikatívnu inverziu, pretože reverzibilita,

[AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ]

je požiadavka. Nie všetky štvorcové matice majú inverznú hodnotu, ale ak je (A ) invertovateľné, potom je (A ^ {- 1} ) jedinečný. Pozrime sa na dve metódy na nájdenie inverznej hodnoty matice (2 × 2 ) a tretiu metódu, ktorú je možné použiť na matice (2 × 2 ) aj (3 × 3 ).

Definície: MATICA IDENTITY A MULTIPLIKATÍVNE INVERZE

The matica identity, (I_n ), je štvorcová matica obsahujúca jednotky nadol po hlavnej uhlopriečke a nuly všade inde.

[I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} ]

čo sa týka (2 × 2 ) matice identity

[I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber 0 & 1 & 0 nonumber 0 & 0 & 1 end {bmatrix} ]

čo sa týka (3 × 3 ) matice identity

Ak (A ) je (n × n ) matica a (B ) je (n × n ) matica taká, že (AB = BA = I_n ), potom (B = A −1 ), multiplikatívna inverzia matice (A ).

Príklad ( PageIndex {1} ): Ukážka, že matica identity funguje ako 1

Vzhľadom na maticu (A ) ukážte, že (AI = IA = A ).

[A = begin {bmatrix} 3 a 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} ]

Riešenie

Pomocou násobenia matíc ukážte, že súčin (A ) a matice identity sa rovná súčinu matice identity a (A ).

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 nonumber −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 end {bmatrix} nonumber [ 4pt] & = begin {bmatrix} 3 a 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

[ begin {align *} AI & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 & 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 nonumber 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 3 a 4 nonumber −2 & 5 end {bmatrix} end {align *} ]

Ako: Dané dve matice, ukážte, že jedna je multiplikatívnou inverznou hodnotou druhej

  • Daná matica (A ) rádu (n × n ) a matica (B ) rádu (n × n ) sa vynásobia (AB ).
  • Ak (AB = I ), nájdite produkt (BA ). Ak (BA = I ), potom (B = A ^ {- 1} ) a (A = B ^ {- 1} ).

Príklad ( PageIndex {2} ): Ukážka, že matica (A ) je multiplikatívna inverzná hodnota matice (B )

Ukážte, že dané matice sú navzájom multiplikatívne inverzie.

[A = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} ]

a

[B = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} ]

Riešenie

Vynásobte (AB ) a (BA ). Ak sa obidva produkty rovnajú identite, potom sú dve matice navzájom inverzné.

[ begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} · begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) nonumber −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

a

[ begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −9 & −5 nonumber 2 & 1 end {bmatrix} · begin {bmatrix} 1 & 5 nonumber −2 & −9 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & - 9 (5) −5 (−9) nonumber 2 (1) +1 (−2 ) & 2 (−5) +1 (−9) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

(A ) a (B ) sú navzájom obrátené.

Cvičenie ( PageIndex {1} )

Ukážte, že nasledujúce dve matice sú navzájom inverzné.

[A = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} ]

a

[B = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} ]

Odpoveď

( begin {align *} AB & = begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 koniec {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) nonumber [4pt] −1 (−3 ) + - 3 (1) & - 1 (−4) + - 3 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

( begin {align *} BA & = begin {bmatrix} −3 & −4 nonumber [4pt] 1 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} 1 & 4 nonumber [4pt] −1 & −3 koniec {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −3 (1) + - 4 (−1) & - 3 (4) + - 4 (−3) nonumber [4pt] 1 (1) +1 (−1) a 1 (4) +1 (−3) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} )

Nájdenie multiplikatívnej inverzie pomocou maticového násobenia

Teraz môžeme určiť, či sú dve matice inverzné, ale ako by sme našli inverznú hodnotu danej matice? Pretože vieme, že produktom matice a jej inverzie je matica identity, môžeme inverziu matice nájsť nastavením rovnice pomocou násobenie matíc.

Príklad ( PageIndex {3} ): Nájdenie multiplikatívnej inverzie pomocou maticového násobenia

Pomocou násobenia matice nájdite inverznú hodnotu danej matice.

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

Riešenie

Pre túto metódu vynásobíme (A ) maticou obsahujúcou neznáme konštanty a nastavíme ju na rovnakú úroveň ako identita.

( begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )

Nájdite súčin dvoch matíc na ľavej strane znaku rovnosti.

[ begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} = begin {bmatrix} 1a − 2c & 1b − 2d nonumber [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d end {bmatrix} ]

Ďalej vytvorte systém rovníc so záznamom v riadku 1, stĺpci 1 novej matice, ktorý sa rovná prvému záznamu identity (1 ). Položku v riadku 2, stĺpci 1 novej matice nastavte na zodpovedajúci záznam identity, ktorý je (0 ).

(1a − 2c = 1 medzera R_1 )

(2a − 3c = 0 medzera R_2 )

Pomocou operácií s riadkami vynásobte a pridajte nasledovne: ((- 2) R_1 + R_2 rightarrow R_2 ). Pridajte rovnice a riešte (c ).

[ begin {align *} 1a − 2c & = 1 nonumber [4pt] 0 + 1c & = - 2 nonumber [4pt] c = −2 nonumber end {align *} nonumber ]

Spätná náhrada za riešenie (a ).

[ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 nonumber [4pt] a + 4 & = 1 nonumber [4pt] a & = - 3 nonumber end {align *} nečíslo ]

Napíšte ďalší systém rovníc tak, aby sa položka v riadku 1, stĺpci 2 novej matice rovnala zodpovedajúcemu záznamu identity (0 ). Nastavte záznam v riadku 2, stĺpci 2, ktorý sa rovná zodpovedajúcemu záznamu identity.

(1b − 2d = 0 medzera R_1 )

(2b − 3d = 1 medzera R_2 )

Pomocou operácií s riadkami vynásobte a pridajte nasledovne: ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 ). Pridajte dve rovnice a vyriešte znak (d ).

[ begin {align *} 1b − 2d & = 0 nonumber [4pt] 0 + 1d & = 1 nonumber [4pt] d & = 1 nonumber end {align *} nonumber ]

Ešte raz, dosaďte a vyriešte znak (b ).

[ begin {align *} b − 2 (1) & = 0 nonumber [4pt] b & −2 = 0 nonumber [4pt] b & = 2 nonumber end {align *} nonumber ]

[A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −3 & 2 nonumber [4pt] -2 & 1 end {bmatrix} ]

Nájdenie multiplikatívnej inverzie rozšírením identity

Ďalším spôsobom, ako nájsť multiplikatívna inverzia je rozšírením identity. Keď sa matica (A ) transformuje na (I ), rozšírená matica (I ) sa transformuje na (A ^ {- 1} ).

Napríklad dané

(A = begin {bmatrix} 2 & 1 nonumber [4pt] 5 & 3 end {bmatrix} )

rozšíriť (A ) o identitu

( left [ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 5 & 3 & 0 & 1 end {array} right] )

Vykonajte riadkové operácie s cieľom zmeniť A na identitu.

  1. Prepnite riadok 1 a riadok 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

  2. Vynásobte riadok 2 číslom −2 a pridajte do riadku 1.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 end {array} right] )

  3. Vynásobte riadok 1 číslom −2 a pridajte do riadku 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 1 & -2 & 1 nonumber [4pt] 0 & -1 & 5 & -2 end {array} right] )

  4. Pridajte riadok 2 do riadku 1.
  5. Vynásobte riadok 2 číslom − 1. -1.

Matica, ktorú sme našli, je (A ^ {- 1} ).

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 3 & −1 nonumber [4pt] −5 & 2 end {bmatrix} )

Nájdenie multiplikatívnej inverzie matíc (2 × 2 ) pomocou vzorca

Keď potrebujeme nájsť multiplikatívna inverzia matice (2 × 2 ) môžeme použiť špeciálny vzorec namiesto maticového násobenia alebo zväčšovania identity.

Ak (A ) je (2 × 2 ) matica, ako napr

(A = begin {bmatrix} a & b nonumber [4pt] c & d end {bmatrix} )

multiplikatívna inverzná hodnota (A ) je daná vzorcom

(A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} )

kde (ad − bc ≠ 0 ). Ak (ad − bc = 0 ), potom (A ) nemá žiadnu inverznú hodnotu.

Príklad ( PageIndex {4} ): Použitie vzorca na vyhľadanie multiplikatívnej inverznej hodnoty matice (A )

Pomocou vzorca nájdite multiplikatívnu inverznú hodnotu čísla

[A = begin {bmatrix} 1 & −2 nonumber [4pt] 2 & −3 end {bmatrix} ]

Riešenie

To, či náš vzorec funguje, môžeme skontrolovať pomocou jednej z ďalších metód na výpočet inverznej hodnoty. Poďme rozšíriť (A ) o identitu.

( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 end {array} right] )

Vykonajte operácie s riadkami s cieľom premeniť (A ) na identitu.

  1. Vynásobte riadok 1 (- 2 ) a pridajte do riadku 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

  2. Vynásobte riadok 1 číslom (2 ) a pridajte do riadku 1.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 0 & -3 & 2 nonumber [4pt] 0 & 1 & -2 & 1 end {array} right] )

Overili sme teda naše pôvodné riešenie.

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} -3 & 2 nonumber [4pt] -2 & 1 end {bmatrix} )

Cvičenie ( PageIndex {2} )

Pomocou vzorca nájdite inverznú hodnotu matice (A ). Overte svoju odpoveď rozšírením o maticu identity.

(A = begin {bmatrix} 1 & −1 nonumber [4pt] 2 & 3 end {bmatrix} )

Odpoveď

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} dfrac {3} {5} & dfrac {1} {5} nonumber [4pt] - dfrac {2} {5} & dfrac {1} {5} end {bmatrix} )

Príklad ( PageIndex {5} ): Nájdenie inverznej hodnoty matice, ak existuje

Nájdite inverznú hodnotu danej matice, ak existuje.

(A = begin {bmatrix} 3 a 6 nonumber [4pt] 1 & 2 end {bmatrix} )

Riešenie

Použijeme metódu rozšírenia o identitu.

( left [ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 nonumber [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 end {array} right] )

  1. Prepnite riadok 1 a riadok 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 nonumber [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 end {array} right] )

  2. Vynásobte riadok 1 číslom -3 a pridajte ho do riadku 2.

    ( left [ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 end {array} right] )

  3. Už nemôžeme nič robiť. Nuly v riadku 2 naznačujú, že táto matica nemá žiadnu inverziu.
Nájdenie multiplikatívnej inverzie matíc (3 × 3 )

Bohužiaľ nemáme podobný vzorec ako pre maticu (2 × 2 ), ktorý by našiel inverznú hodnotu matice (3 × 3 ). Namiesto toho rozšírime pôvodnú maticu o maticu identity a na získanie inverzie použijeme operácie riadkov.

Vzhľadom na maticu (3 × 3 )

[A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ]

rozšíriť (A ) o maticu identity

[ begin {array} {c | c} A&I end {array} = left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 koniec {pole} vpravo] ]

Na začiatok napíšeme rozšírená matica s identitou vpravo a (A ) vľavo. Predvádzanie elementárne riadkové operácie aby matica identity sa objaví vľavo, získame inverzná matica napravo. Inverziu tejto matice nájdeme v nasledujúcom príklade.

Ako: Vzhľadom na maticu (3 × 3 ), nájdite inverznú hodnotu

  1. Napíš pôvodnú maticu doplnenú o maticu identity vpravo.
  2. Základné operácie s riadkami používajte tak, aby sa identita objavila vľavo.
  3. To, čo sa získa vpravo, je inverzná hodnota k pôvodnej matici.
  4. Pomocou násobenia matíc ukážte, že (AA ^ {- 1} = I ) a (A ^ {- 1} A = I ).

Príklad ( PageIndex {6} ): Hľadanie inverzie matice (3 × 3 )

Vzhľadom na maticu (3 × 3 ) (A ) nájdite inverznú hodnotu.

(A = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} )

Riešenie

Rozšírte (A ) o maticu identity a potom začnite s riadkovými operáciami, kým matica identity nenahradí (A ). Matica vpravo bude inverzná k (A ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] xrightarrow {Interchange space R_2 space and space R_1} left [ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

(- R_2 + R_1 = R_1 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

(- R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 end {array} správny])

(R_2 leftrightarrow R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 end {array} right] )

(- 2R_1 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 end {pole } správny])

(- 3R_2 + R_3 = R_3 rightarrow left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 end {pole} vpravo] )

Teda

(A ^ {- 1} = B = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} )

Analýza

Aby sme to dokázali (B = A ^ {- 1} ), vynásobme dve matice dohromady a zistíme, či sa produkt rovná identite, ak (AA ^ {- 1} = I ) a (A ^ { −1} A = I ).

[ begin {align *} AA ^ {- 1} & = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & −2 & −3 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 2 (−1) +3 (−1 ) +1 (6) & 2 (1) +3 (0) +1 (-2) a 2 (0) +3 (1) +1 (-3) nečíslo [4pt] 3 (-1) +3 (-1) +1 (6) a 3 (1) +3 (0) +1 (-2) a 3 (0) +3 (1) +1 (-3) nonumber [4pt] 2 ( −1) +4 (−1) +1 (6) & 2 (1) +4 (0) +1 (−2) & 2 (0) +4 (1) +1 (−3) end {bmatrix } nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] A ^ {- 1} A & = begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & 0 & 1 nonumber [4pt] 6 & -2 & −3 end {bmatrix} begin {bmatrix} & 2 & 31 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1) +0 (1) nonumber [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) + 1 (4) & -1 (1) +0 (1) +1 (1) nonumber [4pt] 6 (2) + - 2 (3) + - 3 (2) a 6 (3) + - 2 (3) + - 3 (4) a 6 (1) + - 2 (1) + - 3 (1) end {bmatrix} nonumber [4pt] & = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumbe r [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} end {align *} ]

Cvičenie ( PageIndex {3} )

Nájdite inverznú hodnotu k (3 × 3 ) matici.

(A = begin {bmatrix} 2 & −17 & 11 nonumber [4pt] −1 & 11 & −7 nonumber [4pt] 0 & 3 & −2 end {bmatrix} )

Odpoveď

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 1 a 1 & 2 nonumber [4pt] 2 & 4 & −3 nonumber [4pt] 3 & 6 & −5 end {bmatrix} )

Riešenie systému lineárnych rovníc pomocou inverzie matice

Riešenie systému lineárnych rovníc pomocou inverzie matice si vyžaduje definíciu dvoch nových matíc: (X ) je matica predstavujúca premenné systému a (B ) je matica predstavujúca konštanty. Použitím násobenie matíc, môžeme definovať sústavu rovníc s rovnakým počtom rovníc ako premenné ako

(AX = B )

Aby sme vyriešili sústavu lineárnych rovníc pomocou inverznej matice, nech (A ) je matica koeficientov, nech (X ) je premenná matica a nech (B ) je konštantná matica. Preto chceme vyriešiť systém (AX = B ). Napríklad sa pozrite na nasledujúci systém rovníc.

(a_1x + b_1y = c_1 )

(a_2x + b_2y = c_2 )

Z tohto systému je matica koeficientu

(A = begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} )

Premenná matica je

(X = begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} )

A konštantná matica je

(B = begin {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

Potom vyzerá (AX = B )

( begin {bmatrix} a_1 & b_1 nonumber [4pt] a_2 & b_2 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} c_1 nonumber [4pt] c_2 end {bmatrix} )

Pripomeňme si diskusiu v tejto časti, ktorá sa týka násobenia skutočného čísla jeho inverznou hodnotou ((2 ^ {- 1}) 2 = doľava ( dfrac {1} {2} doprava) 2 = 1 ). Aby sme vyriešili jednu lineárnu rovnicu (ax = b ) pre (x ), jednoducho by sme obe strany rovnice vynásobili multiplikatívnou inverznou (recipročnou) hodnotou (a ). Teda

[ begin {align *} ax & = b left ( dfrac {1} {a} right) ax & = left ( dfrac {1} {a} right) b left (a ^ {- 1} right) ax & = left (a ^ {- 1} right) b left [ left (a ^ {- 1} right) a right] x & = left (a ^ {- 1} vpravo) b 1x & = doľava (a ^ {- 1} doprava) b x & = doľava (a ^ {- 1} doprava) b end {zarovnať *} ]

Jediný rozdiel medzi riešením lineárnej rovnice a sústavou rovníc napísaných vo forme matice je ten, že hľadanie inverzie matice je komplikovanejšie a násobenie matice je dlhší proces. Cieľ je však rovnaký - izolovať premennú.

Túto myšlienku podrobne preskúmame, ale je užitočné začať so systémom (2 × 2 ) a potom prejsť na systém (3 × 3 ).

RIEŠENIE SYSTÉMU ROVNÍKOV S POUŽITÍM INVERTORU MATICE

Vzhľadom na sústavu rovníc napíšeme koeficientovú maticu (A ), premennú maticu (X ) a konštantnú maticu (B ). Potom

(AX = B )

Vynásobte obe strany inverznou hodnotou (A ), aby ste získali riešenie.

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B left [ left (A ^ {- 1} vpravo) A vpravo] X & = doľava (A ^ {- 1} doprava) B IX & = doľava (A ^ {- 1} doprava) B X & = doľava (A ^ {- 1 } vpravo) B end {zarovnať *} ]

Otázky a odpovede: Ak matica koeficientov nemá inverznú hodnotu, znamená to, že systém nemá riešenie?

Nie, ak matica koeficientov nie je invertovateľná, systém môže byť nekonzistentný a nemá riešenie, alebo môže byť závislý a má nekonečne veľa riešení.

Príklad ( PageIndex {7} ): Riešenie systému (2 × 2 ) pomocou inverzie matice

Vyriešte daný systém rovníc pomocou inverzie matice.

[ begin {align *} 3x + 8y & = 5 4x + 11y & = 7 end {align *} ]

Riešenie

Napíšte systém v zmysle matice koeficientov, premennej matice a konštantnej matice.

(A = begin {bmatrix} 3 a 8 nonumber [4pt] 4 a 11 end {bmatrix} ), (X = begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} ), (B = begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} )

Potom

( begin {bmatrix} 3 a 8 nonumber [4pt] 4 a 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} = begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} )

Najskôr musíme vypočítať (A ^ {- 1} ). Pomocou vzorca na výpočet inverzie matice (2 ) k (2 ) máme:

[ begin {align *} A ^ {- 1} & = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} & = dfrac {1} {3 (11) −8 (4)} begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} & = dfrac {1} { 1} begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} end {align *} ]

Takže

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} )

Teraz sme pripravení to vyriešiť. Vynásobte obe strany rovnice znakom (A ^ {- 1} ).

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B [4pt] begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 3 a 8 nonumber [4pt] 4 & 11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} 11 & −8 nonumber [4pt] −4 & 3 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 nonumber [4pt] 7 end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 nonumber [4pt] −4 (5) +3 (7) end {bmatrix} [4pt] begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y end {bmatrix} & = begin {bmatrix} −1 nonumber [4pt] 1 end {bmatrix} end {zarovnať *} ]

Riešením je ((- 1,1) ).

Otázka a odpoveď: Môžeme vyriešiť pre (X ) nájdením produktu (BA ^ {- 1} )?

Nie, pripomeňme, že násobenie matíc nie je komutatívne, takže (A ^ {- 1} B ≠ BA ^ {- 1} ). Zvážte naše kroky pri riešení maticovej rovnice.

[ begin {align *} left (A ^ {- 1} right) AX & = left (A ^ {- 1} right) B left [ left (A ^ {- 1} vpravo) A vpravo] X & = doľava (A ^ {- 1} doprava) B IX & = doľava (A ^ {- 1} doprava) B X & = doľava (A ^ {- 1 } vpravo) B end {zarovnať *} ]

Všimnite si, že v prvom kroku sme obe strany rovnice vynásobili (A ^ {- 1} ), ale (A ^ {- 1} ) bolo naľavo od (A ) na ľavej strane a naľavo od (B ) na pravej strane. Pretože násobenie matice nie je komutatívne, záleží na poradí.

Príklad ( PageIndex {8} ): Riešenie systému 3 × 3 pomocou inverzie matice

Vyriešte nasledujúci systém pomocou inverzie matice.

Riešenie

Napíšte rovnicu (AX = B ).

( begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [ 4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 end {bmatrix} )

Najskôr nájdeme inverznú hodnotu (A ) rozšírením o identitu.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

Vynásobte riadok 1 ( dfrac {1} {5} ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 a 0 & 1 end {array} right] )

Vynásobte riadok 1 číslom (4 ) a pridajte do riadku 2.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 end {array} right] )

Pridajte riadok 1 do riadku 3.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & dfrac {56} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} right] )

Vynásobte riadok 2 (- 3 ) a pridajte do riadku 1.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & dfrac {1} {5} & dfrac {1} {5} & 0 & 1 end {array} right] )

Vynásobte riadok 3 (5 ).

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & - dfrac {1} {5} & - dfrac {11} {5} & - 3 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19 } {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 end {array} right] )

Vynásobte riadok 3 znakom ( dfrac {1} {5} ) a pridajte do riadku 1.

( left [ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & -3 & 1 nonumber [4pt] 0 & 1 & dfrac {19} {5} & dfrac {4} {5} & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 a 0 a 1 a 1 a 0 a 5 koniec {pole} vpravo] )

Vynásobte riadok 3 (- dfrac {19} {5} ) a pridajte do riadku 2.

Takže

(A ^ {- 1} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} )

Vynásobte obe strany rovnice znakom (A ^ {- 1} ). Chceme (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ):

( begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 nonumber [4pt] −4 & −11 & −41 nonumber [4pt] −1 & −3 & −11 end {bmatrix} begin {bmatrix} x nonumber [4pt] y nonumber [4pt] z end {bmatrix} = begin {bmatrix} −2 & −3 & 1 nonumber [4pt] −3 & 1 & −19 nonumber [4pt] 1 & 0 & 5 end {bmatrix} begin {bmatrix} 35 nonumber [4pt] −26 nonumber [4pt] −7 end {bmatrix} )

Teda

(A ^ {- 1} B = begin {bmatrix} −70 + 78−7 nonumber [4pt] −105−26 + 133 nonumber [4pt] 35 + 0−35 end {bmatrix } = begin {bmatrix} 1 nonumber [4pt] 2 nonumber [4pt] 0 end {bmatrix} )

Riešením je ((1,2,0) ).

Cvičenie ( PageIndex {4} )

Vyriešte systém pomocou inverznej matice koeficientu.

Odpoveď

(X = begin {bmatrix} 4 nonumber [4pt] 38 nonumber [4pt] 58 end {bmatrix} )

Ako: Vzhľadom na sústavu rovníc, riešenie pomocou inverzií matíc pomocou kalkulačky

  1. Uložte maticu koeficientov a konštantnú maticu ako maticové premenné ([A] ) a ([B] ).
  2. Zadajte násobenie do kalkulačky a podľa potreby vyvolajte každú maticovú premennú.
  3. Ak je matica koeficientu invertovateľná, kalkulačka zobrazí maticu riešenia; ak matica koeficientov nie je invertovateľná, kalkulačka zobrazí chybové hlásenie.

Príklad ( PageIndex {9} ): Použitie kalkulačky na riešenie sústavy rovníc s inverziou matice

Vyriešte sústavu rovníc s inverziou matice pomocou kalkulačky

Riešenie

Na maticovej stránke kalkulačky zadajte maticu koeficientov ako premennú matice ([A] ) a konštantnú maticu ako premennú matice ([B] ).

([A] = begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 nonumber [4pt] 3 & 3 & 1 nonumber [4pt] 2 & 4 & 1 end {bmatrix} ), ([B] = begin {bmatrix} 32 nonumber [4pt] −27 nonumber [4pt] −2 end {bmatrix} )

Na domovskej obrazovke kalkulačky zadajte násobenie, ktoré vyrieši (X ), podľa potreby vyvolajte každú maticovú premennú.

([A] ^ {- 1} × [B] )

Vyhodnoťte výraz.

( begin {bmatrix} −59 nonumber [4pt] −34 nonumber [4pt] 252 end {bmatrix} )

Kľúčové rovnice

Matica identity pre (2 × 2 ) maticu (I_2 = begin {bmatrix} 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 end {bmatrix} )
Matica identity pre (3 × 3 ) maticu

(I_3 = begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 nonumber [4pt] 0 & 1 & 0 nonumber [4pt] 0 & 0 & 1 end {bmatrix} )

Multiplikatívna inverzia matice (2 × 2 ) (A ^ {- 1} = dfrac {1} {ad − bc} begin {bmatrix} d & −b nonumber [4pt] −c & a end {bmatrix} ), kde (ad − bc ≠ 0 )

Kľúčové koncepty

  • Matica identity má vlastnosť (AI = IA = A ). Viď príklad ( PageIndex {1} ).
  • Invertovateľná matica má vlastnosť (AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I ). Viď príklad ( PageIndex {2} ).
  • Pomocou násobenia matice a identity nájdite inverznú hodnotu matice (2 × 2 ). Viď príklad ( PageIndex {3} ).
  • Multiplikatívnu inverziu možno nájsť pomocou vzorca. Viď príklad ( PageIndex {4} ).
  • Ďalšou metódou hľadania inverznej hodnoty je zväčšenie identity. Viď príklad ( PageIndex {5} ).
  • Môžeme rozšíriť (3 × 3 ) maticu o identitu vpravo a pomocou riadkových operácií zmeniť pôvodnú maticu na identitu a matica vpravo sa stane inverznou. Viď príklad ( PageIndex {6} ).
  • Napíšte sústavu rovníc ako (AX = B ) a obe strany vynásobte inverznou hodnotou (A ): (A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B ). Pozri príklady ( PageIndex {7} ) a Example ( PageIndex {8} ).
  • Môžeme tiež použiť kalkulačku na riešenie systému rovníc s inverziou matíc. Viď príklad ( PageIndex {9} ).